Bài tập Toán Lớp 12 - Tỉ số thể tích khối lăng trụ (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 - Tỉ số thể tích khối lăng trụ (Có lời giải)

1. TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ LỆ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP 1. Khối trụ tam giác Bài toán 1: Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V4 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của V 1 lăng trụ. Khi đó: 4 . V 3 V 1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C '. Khi đó: C.A'B'C ' . VABC.A'B'C ' 3 Bài toán 2: Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V5 là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của V 2 lăng trụ. Khi đó: 5 . V 3 V 2 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C '. Khi đó: A'B' ABC . VABC.A'B'C ' 3 Bài toán 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C '. Mặt phẳng cắt các đường thẳng AA', BB ',CC ' AM BN CP V a b c lần lượt tại M , N, P sao cho a, b, c thì ABC.MNP AA' BB ' CC ' VABC.A'B'C ' 3 2. Khối hộp
2. Bài toán 1: Gọi V là thể tích khối hộp, V4 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối V 1 hộp và 4 đỉnh này thuộc hai đường chéo của hai mặt song song . Khi đó: 4 . V 3 Bài toán 2: Gọi V là thể tích khối hộp, V4 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối V 1 hộp ( trừ trường hợp 4 đỉnh này thuộc hai đường chéo của hai mặt song song) . Khi đó: 4 . V 6 Bài toán 3: Gọi V là thể tích khối hộp, V5 là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 8 đỉnh của khối V 1 hộp (1 đỉnh thuộc mặt phẳng đáy, 4 đỉnh còn lại thuộc mặt phẳng đáy còn lại). Khi đó: 5 . V 3 Bài toán 4: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Mặt phẳng cắt các đường thẳng AA', BB ',CC ', DD ' lần AM BQ CP DN lượt tại M ,Q, P, N sao cho a, b, c, d và a c b d thì: AA' BB ' CC ' DD ' V a b c d a c b d ABCD.MQPN VABCD.A'B'C 'D' 4 2 2 V Chú ý: Hai khối đa diện đồng dạng với tỉ số k thì tỉ lệ thể tích của chúng là k 3 hay 1 k 3 V2 MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH KHÁ
3. Câu 1. Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện BAA C C . 3V 2V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 4 Lời giải Chọn B Mặt phẳng BA C chia khối lăng trụ ABC.A B C thành hai khối: B.AA C C và B.A B C VB.AA C C VABC.A B C VB.A B C . 1 Khối chóp B.A B C và khối lăng trụ có chung đáy và chung chiều cao V V B.A B C 3 1 2V V V V . BAA C C 3 3 Câu 2. Cho lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm CC . Mặt phẳng ABM chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính V tỉ số 1 . V2 1 1 1 2 A. . B. . C. D. 5 6 2 . 5 Lời giải Chọn B 1 V là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức là V V S .MC 1 1 M .ABC 3 ABC 1 5 V là thể tích khối đa diện còn lại V V V S .CC S .CC S .CC 2 2 ABC.A B C 1 ABC 6 ABC 6 ABC
4. 1 1 S MC S .CC V ABC ABC 1 Khi đó ta có tỉ số: 1 3 6 . V 5 5 5 2 S .CC S .CC 6 ABC 6 ABC Câu 3. Khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 6 . Mặt phẳng A BC chia khối lăng trụ thành một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác có thể tích lần lượt là A. 2 và 4 . B. 3 và 3 . C. 4 và 2 . D. 1 và 5 . Lời giải Chọn A +) Thể tích khôi lăng trụ là: VABC.A B C d B, A B C .SA B C 6 . +) Thể tích khối chóp tam giác B.A B C là: 1 1 1 VB.A B C .d B, A B C .SA B C .VABC.A B C .6 2 . 3 3 3 Vậy thể tích khối chóp tứ giác B.ACC A là: VB.ACC A VABC.A B C VB.A B C 6 2 4. Câu 4. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C có thể tích V . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Mặt phẳng MAB chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k 1. Tìm k ? 2 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 6 Lời giải Chọn C
5. Ta có V d C , ABC  SABC . 1 1 1 5 Khi đó VM .ABC d M , ABC .SABC d C , ABC  SABC V VABM .A B C V . 3 6 6 6 V 1 Vậy k M .ABC . VABM .A B C 5 Câu 5. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có thể tích là V . Gọi M là trung điểm cạnh AA . Khi đó thể tích khối chóp M.BCC B là V 2V V V A. . B. . C. . D. . 2 3 3 6 Lời giải Chọn B Vì AA // BB C C nên d M , BB C C d A, BB C C suy raVM .BB C C VA.BB C C 1 2 Mà V V V V V V A.BB C C ABC.A B C AA B C 3 3 2 Vậy V V . M .BB C C 3 Câu 6. Cho lăng trụ ABC.A B C . Biết diện tích mặt bên ABB A bằng 15, khoảng cách từ điểm C đến ABB A bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn B
6. 1 1 Ta có VC ABB A d C; ABB A .SABB A .6.15 30. 3 3 2 3 Mà V .V V V 45. C ABB A 3 ABC.A B C ABC.A B C 2 C ABB A Câu 7. Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện ABCB C . V V 3V 2V A. . B. . C. . D. . 4 2 4 3 Lời giải Chọn D Gọi chiều cao của lăng trụ là h , SABC SA B C S . Khi đó V S.h . 1 1 2 Ta có V S.h V V V . A.A B C 3 3 ABCB C 3 Câu 8. Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là 4 . Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích là: A. 8 . B. 4 . C. 16. D. 2 . Lời giải Chọn A Giả sử khối lăng trụ tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là a và chiều cao là h . Khi đó thể tích khối lăng trụ tứ giác đều được tính bởi công thức V = B.h = a2.h = 4.
7. Nếu gấp đôi các cạnh đáy thì diện tích đáy mới B ' = 4a2 . Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao mới h h h' = . Vì vậy thể tích khối lăng trụ mới sẽ là: V = B '.h' = 4a2. = 2a2h = 8 . 2 2 Câu 9. Biết khối hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có thể tích V . Nếu tăng mỗi cạnh của hình hộp đó lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp mới là: A. 8V . B. 4V . C. 2V . D. 16V . Lời giải Chọn A Ta có nếu tăng mỗi cạnh của khối hộp lên hai lần thì ta được khối hộp mới đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số 2. Do đó thể tích khối hộp mới bằng 23.V 8V . V Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có M là trung điểm của AA . Tỉ số thể tích M .ABC bằng VABC.A B C 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 12 2 Lời giải Chọn A A' C' B' M A C B Ta có: VABC.A B C AA .S ABC 1 1 1 1 VM .ABC 1 VM .ABC AM.S ABC . AA .S ABC VABC.A B C 3 3 2 6 VABC.A B C 6 Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có I là giao điểm của AC và BD. Gọi V1 và V2 lần lượt là V thể tích của các khối ABCD.A' B 'C ' D ' và I.A' B 'C ' . Tính tỉ số 1 . V2 V V V 3 V A. 1 6 . B. 1 2 . C. 1 . D. 1 3. V2 V2 V2 2 V2 Lời giải Chọn A
8. B C I A D B' C' A' D' Ta có: V1 AA'.SA'B'C 'D' 1 1 1 1 1 V1 V2 d I; A' B 'C ' .S A'B'C ' d A; A' B 'C ' . SA'B'C 'D' AA'.SA'B'C 'D' V1 6 3 3 2 6 6 V2 MỨC ĐỘ KHÁ GIỎI Câu 12. Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 2022 . Gọi M là trung điểm AA ; N, P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC sao cho BN 2B N , CP 3C P . Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP . 2288 4036 4036 7751 A. .B. .C. .D. . 27 27 3 6 Lời giải Chọn D VABC.MNP 1 AM BN CP 23 Ta có . VABC.A B C 3 AA BB CC 36 7751 Vậy V . ABC.MNP 6
9. Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 6a3 . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các AM 1 BN CP 2 cạnh AA , BB , CC sao cho , . Tính thể tích V của đa diện ABC.MNP AA 2 BB CC 3 11 9 11 11 A. V a3 .B. V a3 .C. V a3 . D. V a3 . 27 16 3 18 Lời giải Chọn C A C B M Q P N A' C' B' Lấy điểm Q AA sao cho PQ//AC . 1 Ta có MQ AQ AM AA . 6 2 1 Dễ thấy V .V , V .V . ABC.MNP 3 ABC.A B C M .QNP 12 ABC.A B C 11 11 Vậy V V V V a3 . ABC.MNP M .QNP 18 3 Câu 14. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Gọi M , N, P,Q lần lượt là các điểm thuộc AA , AM 1 BN 1 CN 1 C Q 1 AA , BB , CC , B C thỏa mãn , , , . Gọi V , V là thể tích khối tứ AA' 2 BB ' 3 CC ' 4 C B 5 1 2 V diện MNPQ và ABC.A B C . Tính tỷ số 1 . V2 V 11 V 11 V 19 V 22 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 30 V2 45 V2 45 V2 45 Lời giải Chọn B.
10. C' A' Q B' M P N A C B SC PQ C Q C P 1 3 3 3 . . SC PQ SC B BC . SC B C C B C C 5 4 20 40 SB NQ B Q B N 2 4 8 4 . . SB NQ SC B BC SB BC B C B B 3 5 15 15 S NPCB 1 BN CP 1 1 1 7 7 SNPCB SC B BC SC B BC 2 BB CC 2 3 4 24 24 S NPQ SC QP SB NQ SCPNB 3 4 7 11 Suy ra, 1 1 SC B BC SBB C C 40 15 24 30 Mặt khác AM // CC nên d A, BB C C d M ,(BB C C) 11 11 2 V V . V M .NPQ 30 A.BB C C 30 3 ABC.A B C V 11 Vậy 1 . V2 45 Câu 15. Cho hình lăng trụ ABVC.A B C . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC sao cho AM 2MA , NBũ 2NB , PC PC . Gọi V , V lần lượt là thể tích của hai khối đa diện V 1 2 ă V ABCMNP và A B C MNP . Tínhn tỉ số 1 . B V2 ắ V c V 1 V V 2 A. 1 2 . B. 1 . C. 1 1. D. 1 . V2 V2 2 V2 V2 3 Lời giải Chọn C
11. A' C' M B' P A C N B Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . Ta có V1 VM .ABC VM .BCPN . 1 1 2 2 VM .ABC SABC .d M , ABC . SABC .d A , ABC V . 3 3 3 9 1 1 1 1 VM .A B C SA B C .d M , A B C . SA B C .d M , A B C V . 3 3 3 9 7 Do BCC B là hình bình hành và NB 2NB , PC PC nên S S . B C PN 5 BCPN 7 Suy ra V V , Từ đó V V V V V M .B C PN 5 M .BCPN M .ABC M .BCPN M .A B C M .B C PN 2 1 7 5 V V V V V V V . 9 M .BCPN 9 5 M .BCPN M .BCPN 18 2 5 1 1 V1 Như vậy V1 V V V V2 V . Bởi vậy: 1. 9 18 2 2 V2 Câu 16. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C 'có thể tích là V .Gọi M là trung điểm BB ', điểm N thuộc cạnh CC 'sao cho CN = 2C ' N . Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V . 7V 7V V 5V A. V = .B. V = .C. V = . D. V = . A.BCMN 12 A.BCMN 18 A.BCMN 3 A.BCMN 18 Lời giải Chọn B Cách 1: B' A' C' M N B A C
12. 1 1 Ta có: V = .d(B ',(ABC)).S = V . B'BAC 3 DABC 3 VB.MAC BM 1 1 1 1 V Theo công thức tỷ số thể tích: = = Þ VB.MAC = .VB.B' AC = . V = . VB.B' AC BB ' 2 2 2 3 6 3 3 Ta có: BB ' = 2BM = NC Þ BM = NC . 2 4 1 .BM.d(C, BB ') S 3 Þ DBMC = 2 = . S 1 4 DNMC .NC.d(M ,CC ') 2 S 4 7 V 7 Þ BCNM = 1+ = Þ A.BCNM = . SDBMC 3 3 VA.BMC 3 7 7 V 7V Vậy: V = .V = . = . A.BCNM 3 A.BMC 3 6 18 Cách 2: B' A' h C' M N h/2 k B A C Gọi h,k lần lượt là độ dài đường cao của hình lăng trụ ABC.A' B 'C 'và hình chóp A.BCMN , S là diện tích tam giác ABC . h Þ độ dài đường cao của hình chóp M.ABC là: 2 1 h hS V = . .S = (1). MABC 3 2 6 1 h 1 hS Mặt khác: V = . .S = .k.S Þ k.S = MABC 3 2 3 DBCM DBCM 2 4 4 Ta có S = S (vì 2 tam giác MNC và BCM có cùng chiều cao và CN = BM ). DMNC 3 DBCM 3 1 1 4 4 4 hS 2hS V = .k.S = .k. .S = .k.S = . = . (2). AMNC 3 DMNC 3 3 DBCM 9 DBCM 9 2 9 hS 2hS 7hS 7V Từ (1) và (2) ta có:V = V + V = + = = . A.BCMN MABC AMNC 6 9 18 18 Câu 17. Cho khối lăng trụ ABC.A B C . Điểm M thuộc cạnh A B sao cho A B 3A M . Đường thẳng BM cắt đường thẳng AA tại F , và đường thẳng CF cắt đường thẳng A C tại G , Tính tỉ số thể tích khối chóp FA MG và thể tích khối đa diện lồi GMB C CB
13. 1 1 3 1 A. .B. .C. .D. . 11 27 22 28 Lời giải Chọn D GM A M 1 1 Ta có GM // C B S S . C B A B 3 A MG 9 ABC Gọi h là chiều cao của lăng trụ ABC.A B C , V là thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . Ta có V SABC .h . h V S S S .S A MG.ABC 3 ABC A MG ABC A MG h 1 1 13 13 S S S . S S .h V ABC ABC ABC ABC ABC 3 9 9 27 27 14 V V V V . GMB C CB A MG.ABC 27 Mặt khác ta cũng có FG GM 1 FA FG FM 1 V FA FG FM 1 FA GM . . . FC CB 3 FA FC FB 3 VFACB FA FC FB 27 1 1 1 1 V V V V V V V . FA GM 27 FACB 27 A MG.ABC FA GM FA GM 26 A MG.ABC 54 V 1 Vậy FA GM . VA MG.ABC 28 Câu 18. Cho lăng trụ ABC.A B C . Trên các cạnh AA , BB lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AA kA E, BB kB F. Mặt phẳng C EF chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối V1 2 chóp C .A B FE có thể tích V1 và khối đa diện ABCEFC có thể tích V2 . Biết rằng , tìm k. V2 7 A. k 4 . B. k 3. C. k 1. D. k 2 . Lời giải
14. Chọn B Ta có: AA kA E BB kB F 1 S S A B FE k ABB A V 1 C .A B FE VC .ABB A k 2 2 2 VC .ABB A .VABC.A B C VC .A B FE .VABC.A B C VABCEFC 1 VABC.A B C 3 3k 3k 2 VC .A B FE 3k 2 14 2 2 1 k 3. V 2 7 3k 3k ABCEFC 1 3k Câu 19. Cho khối đa diện như hình vẽ bên. Trong đó ABC.A' B 'C ' là khối lăng trụ tam giác đều có tất cả 2 các cạnh đều bằng 1, S.ABC là khối chóp tam giác đều có cạnh bên SA = . Mặt phẳng (SA' B ') chia khối 3 đa diện đã cho thành hai phần. Gọi V1 là thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A , V2 là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh A . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 72V1 = 5V2 . B. 3V1 = V2 . C. 24V1 = 5V2 . D. 4V1 = 5V2 .
15. Lời giải Chọn B Dựng thiết diện SMA' B ' N tạo bởi mặt phẳng (SA' B ') và khối đa diện đã cho như hình vẽ. 2 æ2ö2 æ 3ö 1 1 3 1 3 2 2 ç ÷ ç ÷ SG = SC - GC = ç ÷ - ç ÷ = ; GD = G ' D ' = CD = ; GK = G ' D ' = èç3ø÷ èç 3 ø÷ 3 3 6 4 24 3 3 3 3 DK = GD- GK = - = ; MN = . 6 24 8 4 3 1 1 3 5 3 Gọi V là thể tích toàn bộ khối đa diện: V = V + V = .1+ . . = . ABC.A'B'C ' S.A'B'C ' 4 3 3 4 18 æ ö 1 1 1 ç 3÷ 3 7 3 VB'.ABNM = BB '.SABNM = .1. ç1+ ÷. = . 3 3 2èç 4ø÷ 8 192 1 1 3 1 1 3 V = d (B;(ACC ' A')).S = . . .1. = . B'.AA'M 3 AA'M 3 2 2 4 48 æ ö 1 1 1 1 ç 3÷ 3 7 3 VS.ABNM = SG.SABNM = . . ç1+ ÷. = . 3 3 3 2èç 4ø÷ 8 576 7 3 3 7 3 5 3 5 3 5 3 5 3 V = + + = => V = V - V = - = . 1 192 48 576 72 2 1 18 72 24 Suy ra 3V1 = V2 . Câu 20. Cho hình hộp ABCD.A B C D có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , A C , BB . Tính thể tích khối tứ diện CMNP . 1 7 5 1 A. V .B. V .C. V . D. V . 8 48 48 6 Lời giải Chọn C
16. Gọi G CM  BD , I PN  BD , O AC  BD . Dễ thấy BP là đường trung bình của INO và G là 2 2 trọng tâm ABC nên BG BO BI. 3 3 VN.CMP NP 1 1 VCMNP VN.CMI . VN.CMI NI 2 2 Đặt S SABCD và h là chiều cao của khối hộp ABCD.A B C D . Ta có 1 d B, MC .MC S BG 2 5 5 1 5 BMC 2 S S . S S . S 1 IG 5 IMC 2 BMC 2 4 8 IMC d I, MC .MC 2 1 1 5 5 Mà VN.IMC S IMC .d N, ABCD . S.h V . 3 3 8 24 1 5 Vậy V V V . CMNP 2 N.CMI 48 Câu 21. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D có thể tích bằng 2110 . Biết A M MA ; DN 3ND ; CP 2PC . Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng D C A N B P M D C A B 7385 5275 8440 5275 A. .B. .C. .D. . 18 12 9 6 Lời giải Chọn D
17. D C A N B P M Q D C A B VMNPQ.A B C D 1 A M C P 1 1 1 5 Ta có: . VABCD.A B C D 2 A A C C 2 2 3 12 5 5 5275 V V V 2110 . nho MNPQ.A B C D 12 ABCD.A B C D 12 6 Câu 22. Cho khối hộp ABCD.A B C D có thể tích V . Lấy điểm M thuộc cạnh AA sao cho MA 2 MA . Thể tích của khối chóp M.ABC bằng V V V V A. .B. .C. .D. . 3 9 18 6 Lời giải Chọn B B' A' C' D' M B H K A C D Thể tích hình hộp là V B.h 1 Gọi diện tích tam giác ABC là B , ta có: B B . 2 Gọi A H là đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng đáy: A H  ABCD tại H , đặt h A H . Dựng MK MA 2 2 MK  ABCD tại K , ta có MK //A H và có tỉ số gt h h . A H A A 3 3 1 1 1 2 1 V Gọi V là thể tích hình chóp M .ABC , ta có: V .B .h . B. h B.h . 3 3 2 3 9 9
18. Câu 23. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D có thể tích bằng 2110 . Biết A M MA , DN 3ND , CP 2C P như hình vẽ. Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng 5275 8440 7385 5275 A. .B. .C. D. . 6 9 18 12 Lời giải Chọn A Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng MNP với BB . A M C P D N B Q Giả sử x , y , z , t . Khi đó x y z t . AA CC DD BB V x z t V x z t A B D .MQN A B D .MQN VA B D .ABD 3 VA B C D .ABCD 6 V y z t V y z t C B D .PQN C B D .PQN VC B D .CBD 3 VA B C D .ABCD 6 V 1 MNPQ.A D C B x y VABCD.A D C B 2 VMNPQ.A D C B 1 A M C P 1 1 1 5 VABCD.A D C B 2 AA CC 2 2 3 12
19. 5 5275 V .V . MNPQ.A D C B 12 ABCD.A D C B 6 Câu 24. Cho lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 6. Gọi M , N và P là các điểm nằm trên cạnh 3 1 A B , B C và BC sao cho M là trung điểm của A B , B N B C và BP BC. Đường thẳng NP cắt 4 4 đường thẳng BB tại E và đường thẳng EM cắt đường thẳng AB tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi AQPCA MNC ' bằng 23 23 59 19 A. . B. . C. . D. . 3 6 12 6 Lời giải Chọn C EB EQ EP BP 1 Ta có . EB EM EN B N 3 3 Suy ra d E, A B C d B, A B C . 2 S B N B M 3 Mà ta lại có B MN . . SA B C B C B A 8 1 3 9 Và VE.MB N d E, MB N .SMB N VABC.A B C . 3 16 8 3 VE.QPB EQ EP EB EB 1 Ta lại có . . . VE.MNB EM EN EB EB 27 26 Suy ra V V V V . BQP.B MN E.MB N EBQP 27 E.MB N 26 9 59 Vậy V V V 6 . . AQPCA MNC ABC.A B C BQP.B MN 27 8 12
20. Câu 25. Cho lăng trụ ABC.A B C có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A , ACC A và BCC B . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, M , N, P bằng 20 3 14 3 A. 8 3 . B. 6 3 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn B A' C' B' N P M A C B 42. 3 Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là V 4. 16 3 . 4 Gọi thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, M , N, P là V1 . Ta có: V1 VAMNCB VBMNP VBNPC . 1 3 1 Dễ thấy V V và V V nên V V . A ABC 3 AMNCB 4 A ABC AMNCB 4 1 1 1 V V và V V nên V V . BA B C 3 BMNP 8 BA B C BMNP 24 1 1 1 V V V và V V nên V V . A BCB A B CC 3 BNPC 4 BA B C BNPC 12 3 Vậy V V V V V 6 3 . 1 AMNCB BMNP BNPC 8 Câu 26. Cho lăng trụ ABC.A B C có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N, P lần lượt là tâm các mặt bên ABB A , ACC A , BCC B . Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, M , N, P bằng A. 9 3 . B. 10 3 . C. 7 3 . D. 12 3 . Lời giải Chọn A
21. A' C' B' N D F M P E A C B Gọi DEF là thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng MNP . Dễ chứng minh được DEF / / ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn 1 thẳng AA , BB ,CC suy ra V V 12 3 . ABC.DEF 2 ABC.A B C Ta có VABCPNM VABC.DEF VADMN VBMPE VCPMF . 1 3 Mặt khác V V V V V V 9 3 . ADMN BMPE CPMF 12 ABC.DEF ABCPNM 4 ABC.DEF Câu 27. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4 . Gọi M , N và P lần lượt là tâm các mặt bên ABB ' A', ACC ' A' và BCC ' B '. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, M , N, P bằng 40 3 28 3 A. . B. 16 3 . C. . D. 12 3 . 3 3 Lời giải Chọn D 3 1 1 Ta có: V 8. .42 32 3; V V ; V V ABC.A'B'C ' 4 C '.ABC 3 ABC.A'B'C ' A.BC 'B' 3 ABC.A'B'C ' Khối đa diện cần tìm V VC.ABPN VP.AMN VP.ABM A' C' B' N M P A C B
22. 3 1 Ta có V V V C.ABPN 4 C '.ABC 4 ABC.A'B'C ' 1 1 Ta có V V V PAMN 8 ABC 'B' 24 ABC.A'B'C ' 1 1 Ta có V V V PABM 4 ABC 'B' 12 ABC.A'B'C ' 1 1 1 3 Vậy thể tích khối cần tìm V V V V V 12 3 . 4 ABC.A'B'C ' 24 ABC.A'B'C ' 12 ABC.A'B'C ' 8 ABC.A'B'C ' Câu 28. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 . Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A', ACC ' A' và BCC ' B '. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, M , N, P bằng A. 30 3 . B. 36 3 . C. 27 3 . D. 21 3 . Lời giải Chọn C Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ ABC.A' B 'C '. 3 Vì ABC đều có độ dài cạnh bằng 6 nên S 62. 9 3 . ABC 4 Thể tích lặng trụ ABC.A' B 'C ' là V h.S ABC 8.9 3 72 3 . Gọi E là trung điểm của cạnh AA'. 1 1 1 1 1 Thể tích khối chóp A.EMN là VA.EMN d A, EMN .S EMN . h. S ABC V . 3 3 2 4 24 Thể tích khổi đa diện ABCMNP là: 1 1 1 3 V V 3V V 3. V V 27 3 . ABCMNP 2 A.EMN 2 24 8 Câu 29. Cho hình hộp ABCD.A B C D có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 . Gọi M , N, P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A , BCC B , CDD C và DAA D . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, D, M , N, P và Q bằng A. 27 . B. 30 . C. 18. D. 36 . Lời giải Chọn B
23. Ta có VABCD.A B C D 9.8 72 . Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm các cạnh AA , BB , CC , DD suy ra VABCD.IJKL 36. 1 Do hình chóp A.MIQ đồng dạng với hình chóp A.B A D theo tỉ số nên 2 1 1 1 9 3 V V . .8. . A.MQI 8 A.B A D 8 3 2 2 3 V V 4V 36 4. 30 . ABCD.MNPQ ABCD.IJKL A.MIQ 2 Câu 30. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AB a, BC 2a, AC ' 3a . Điểm N thuộc cạnh BB' sao cho BN 2NB ' , điểm M thuộc cạnh DD ' sao cho D ' M 2MD . Mặt phẳng A' MN chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C ' . A. 4a3 . B. a3 . C. 2a3 . D. 3a3 . Lời giải Chọn C
24. Nhận xét: B ' NDM là hình bình hành B ' N DM , B ' N //DM MN  B ' D O là trung điểm của mỗi đoạn nên O cũng là trung điểm của đường chéo A'C . Vậy thiết diện tạo bởi mặt A' MN và hình chóp là hình bình hành A' NCM . Ta có: C ' A2 B ' B2 BA2 BC 2 B ' B 2a . Cách 1: Thể tích phần chứa C ' là 1 1 V V V .A' B '.S .A' D '.S A'.B 'C 'CN A'.C 'CMD 3 B 'C 'CN 3 C ' D ' MC 2a 4a 2a 2a 1 1 .a.2a 3 .2a.a 3 2a3 . 3 2 3 2 Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh Gọi thể tích phần chứa C ' là V ' . B ' N D ' M V ' 1 1 Ta có: B ' B D ' D V ' .4a3 2a3 . VABCD.A' B 'C ' D ' 2 2 2 Cách 3: Nhận xét nhanh do đa diện chứa C ' đối xứng với đa diện không chứa C ' qua O nên thể tích 1 của hai phần này bằng nhau, suy ra V ' .V 2a3 . 2 ABCD.A' B 'C ' D ' Câu 31. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Gọi M , N, P,Q, R, S là tâm các mặt của hình lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh M , N, P,Q, R, S bằng a3 2 a3 a3 a3 A. B. C. D. 24 4 12 6 Lời giải Chọn D
25. Ta có: dễ thấy MNPQRS là bát giác đều nên V VR.MNPQ VS.MNPQ 2VR.MNPQ a Dễ thấy: RO 2 a 2 Lại có hình chóp đều R.MNPQ có tất cả các cạnh bằng nhau nên: MR OR 2 2 1 a3 2V 2. .MN 2.OR R.MNPQ 3 6 Câu 32. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp bằng 144, thể tích khối tứ diện AMNP bằng A. 15. B. 24. C. 20. D. 18. Lời giải Chọn A
26. NP CD E. Đặt DC 2d , BC 2r. 3 5 S S S S 5dr dr dr dr. EMA ECBA EMC ABM 2 2 1 1 5 5 V S .d(N,(EMA)) S .CC ' .4dr.CC ' V 30. NEAM 3 EMA 3 EMA 24 24 ABCD.A'B'C 'D' 1 V V 15. NPAM 2 NEAM Câu 33. Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C ' có tất cả các cạnh bằnga. Gọi S là điểm đối xứng của A qua BC ' . Thể tích khối đa diện ABCSB'C ' là a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. a3 3 . C. . D. . 3 6 2 Lời giải Chọn A Chia khối đa diện ABCSB'C ' thành 2 khối là khối chóp A.BCC 'B' và khối chóp S.BCC 'B' VABCSB'C ' VABCC 'B' VS.BCC 'B'
27. Gọi M là trung điểm BC. AM  BC  a 3 Ta có:  AM  BCC 'B' . Tam giác ABC đều AM . AM  BB' 2 1 1 a 3 a3 3 Thể tích khối chóp A.BCC 'B' là:V AM.S . .a2 . A.BCC 'B' 3 BCC 'B' 3 2 6 1 d S; BCC 'B' .S V BCC 'B' d S; BCC 'B' SI Thể tích khối chóp S.BCC 'B' là: S.BCC 'B' 3 1. 1 VA.BCC 'B' d A; BCC 'B' AI d A; BCC 'B' .SBCC 'B' 3 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 V V V V V S.BCC 'B' A.BCC 'B' 6 ABCSB'C ' A.BCC 'B' S.BCC 'B' 6 6 3 Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi có cạnh 4a , A A 8a , B· AD 120 . Gọi M , N, K lần lượt là trung điểm cạnh AB , B C, BD . Thể tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, M , N, K là: 28 3 40 3 A. 12 3 a3 B. a3 C. 16 3 a3 D. a3 3 3 Lời giải Chọn A 1 MN / / AC;MN AC , MNCA là hình thang. 2 VMNKABC VK.MNCA VB.MNCA B ' K 1 d K;(MNCA) 1 1 DK cắt (B’AC) tại B’, VK.MNCA VD.MNCA B ' D 2 d D;(MNCA) 2 2 1 3 Mà: VB.MNCA VD.MNCA nên ta có: VMNKABC VB.MNCA VB.MNCA VB.MNCA 2 2
28. 3 3 3 3 1 3 Mặt khác: SMNCA SB' AC VB.MNCA VB.B' AC VB'.ABC . VABCD.A'B'C 'D' 8 3a 4 4 4 4 6 3 3 V V 8 3 a3 12 3 a3 MNKABC 2 B.MNCA 2 Câu 35. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có thể tích V . Gọi M là điểm thuộc cạnh BB sao cho BM 2MB . Mặt phẳng ( ) đi qua M và vuông góc với AC cắt các cạnh DD , DC, BC lần lượt tại V N, P,Q . Gọi V là thể tích khối đa diện CPQMNC . Tính tỷ số 1 1 V 31 35 34 13 A. . B. . C. . D. . 162 162 162 162 Lời giải Chọn B Theo giả thiết ( )  DD N,( ) CD P,( )  BC Q . Từ tính chất của hình lập phương ta có (ACC )  BD suy ra BD  AC do đó BD//( ) , từ đây ta suy ra MN //BD; PQ//BD do vậy ta có DN 2ND . AB  B C Ta xác định vị trí P, Q như sau: Ta có B C  (ABC ) B C  AC vì vậy ( )//B C do BC  B C đó MQ//B C , vậy ta được BQ 2QC , và theo trên PQ//BD ta lại có DP 2PC . Vậy các điểm M , N, P,Q hoàn toàn được xác định. Gọi S là điểm trên cạnh CC thỏa mãn CS 2SC và R là điểm trên đường thẳng CC thỏa mãn MB CR là hình bình hành. Khi đó ta có R nằm trên mặt phẳng ( ) và (MNS)//(A B C D ) Đặt V0 VRCPQ ;V2 VC MSN khi đó V1 VRMNS VC MSN VRCPQ Đặt cạnh của hình lập phương là AB 3x ta có
29. V (3x)3 27x3 1 9 3 3 VRMNS SN.SM.SR x 9 3 x 6 2 x3 x2 V1 2 2 6 35 1 3x3 do đó V 27x3 162 VC MSN SM.SN.SC 6 2 1 x3 V CP.CQ.CR RCPQ 6 6 V 35 Vậy 1 . V 162 Câu 36. Cho hình hộp ABCD.A B C D có chiều cao 8 và diện tích đáy bằng 11. Gọi M là trung điểm của AA , N là điểm trên cạnh BB sao cho BN 3B N và P là điểm trên cạnh CC sao cho 6CP 5C P . Mặt phẳng MNP cắt cạnh DD tại Q . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, D, M , N, P và Q bằng 88 220 A. . B. 42 . C. 44 . D. . 3 3 Lời giải Chọn B Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: 1 AM BN CP Cho hình lăng trụ như hình vẽ, VABC.MNP .VABC.A B C . 3 AA BB CC Chứng minh: VABC.MNP VN.ACB VN.ACPM BN BN 1 V .V . .V N.ACB BB B'.ACB BB 3 ABC.A B C 1 . CP AM VN.ACPM SACPM 2 1 CP AM . VB .ACC A SACC A AA 2 CC AA 1 CP AM 2 VN.ACPM . . VABC.A B C 2 CC AA 3 Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
30. Bây giờ ta áp dụng vào giải bài toán. ADD A // BCC B Ta có: MQ  MNP  ADD A NP//MQ , tương tự ta cũng có MN //PQ . Do đó MNPQ là hình bình NP  MNP  BCC B hành. Ta có OI là đường trung bình của hai hình thang AMPC và BNQD suy ra 2OI MA PC DQ NB MA PC BN DQ AA CC BB DD Dựa vào hình vẽ ta chia khối lăng trụ làm hai phần khi cắt bởi mặt phẳng BDD B . Do đó VA D B .ADB VBD C .BDC 44 . VABCD.MNPQ VABD.MNQ VBCD.NPQ 1 MA BN DQ 1 CP BN DQ .VABD.A B D .VBCD.B C D 3 AA BB DD 3 CC BB DD 1 MA BN DQ CP BN DQ 1 . VABC.A B C 3 AA BB DD CC BB DD 2 1 MA CP 3. .VABC.A B C 3.2 AA CC 1 MA CP . .VABC.A B C 2 AA CC 1 1 5 . .88 42 2 2 11