›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Có đáp án)

docx 36 trang xuanha23 07/01/2023 2200
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_trac_nghiem_toan_11_bai_3_mot_so_phuong_trinh_luong.docx

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Có đáp án)

  1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2cos x 3 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 5 11 13 13 A. S. B. S. C. S. D. S. 6 6 6 6 7 Câu 2. Hỏi x là một nghiệm của phương trình nào sau đây? 3 A. 2sin x 3 0. B. 2sin x 3 0. C. 2cos x 3 0. D. 2cos x 3 0. Câu 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin 4x 1 0. 3 7 A. x . B. x . C. x . D. x . 4 24 8 12 Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tan 2x 3 0 trên đường 3 trịn lượng giác là? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 5. Hỏi trên đoạn 0;2018  , phương trình 3 cot x 3 0 cĩ bao nhiêu nghiệm? A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018. Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 2cos x 1? 2 2 A. sin x . B. 2sin x 2 0. C. tan x 1. D. tan x 1. 2 Câu 7. Phương trình nào dưới đây cĩ tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2 tan x 3? 1 2 1 1 A. cos x . B. 4cos x 1. C. cot x . D. cot x . 2 3 3 2 Câu 8. Giải phương trình 4sin x 3 . x k2 x k2 3 3 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 2 x k2 x k2 3 3 k k x x C. 3 3 k,l ¢ . D. 3 k,l ¢ . k 3l k 3l Trang 1
  2. Câu 9. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 2 3sin x cos x ? 1 3 2 3 2 A. sin x . B. cos x . C. sin x . D. cot x 3. 2 2 4 2 3 Câu 10. Với x thuộc 0;1 , hỏi phương trình cos 6 x cĩ bao nhiêu nghiệm? 4 A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. Câu 11. Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cos x m 1 0 cĩ nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vơ số. Câu 12. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2108;2018 để phương trình mcos x 1 0 cĩ nghiệm? A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038. Câu13. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 sin 2x m 1 nhận x 12 làm nghiệm. 2 3 1 A. m 2. B. m . C. m 4. D. m 1. 3 2 Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 1 sin x 2 m 0 cĩ nghiệm. 1 1 A. m 1. B. m . C. 1 m . D. m 1. 2 2 Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 2 sin 2x m 1 vơ nghiệm. 1 1 A. m ;2 . B. m ;  2; . 2 2 1 1 C. m ;2  2; . D. m ; . 2 2 Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cos x Câu 16. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos 2x sin 2x 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 5 A. S. B. S. C. S. D. S. 4 2 4 4 Câu 17. Số nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 3 trên khoảng 0; là? 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 2 Câu 18. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos x sin 2x 2 sin x trên khoảng 0;2 . Trang 2
  3. 7 21 11 3 A. T . B. T . C. T . D. T . 8 8 4 4 3 Câu 19. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin 3x 3 cos 9x 1 4sin 3x. A. x . B. x . C. x . D. x . 0 2 0 18 0 24 0 54 Câu 20. Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos5x 2sin 7x trên khoảng 0; là? 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 21. Giải phương trình 3 cos x sin x 2sin 2x. 2 2 5 7 x k2 x k2 6 6 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 2 2 x k x k 18 3 18 3 5 2 x k2 x k 6 18 3 C. , k ¢ . D. , k ¢ . 7 2 x k2 x k 6 18 3 Câu 22. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x 3 cos7x sin 7x 3 cos9x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 ;0 . B. x0 ; . C. x0 ; . D. x0 ; . 12 6 12 3 6 2 3 Câu 23. Biến đổi phương trình cos3x sin x 3 cos x sin 3x về dạng sin ax b sin cx d với b , d thuộc khoảng ; . Tính b d . 2 2 A. b d . B. b d . C. b d . D. b d . 12 4 3 2 cos x 3 sin x Câu 24. Giải phương trình 0. 1 sin x 2 A. x k , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 6 6 7 7 C. x k2 , k ¢ . D. x k , k ¢ . 6 6 2sin 2x cos 2x Câu 25. Hàm số y cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2x cos 2x 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 26. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cos x 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Trang 3
  4. A. x0 0; . B. x0 ; . C. x0 ; . D. x0 ; . 12 12 6 6 3 3 2 Câu 27. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình sin x 3 cos x 2m vơ nghiệm. 3 3 A. 21. B. 20. C. 18. D. 9. Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 cos x sin x 2 m 1 vơ nghiệm. A. m ; 1  1; . B. m  1;1. C. m ; D. m ;0  0; . Câu 29. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình m 1 sin x mcos x 1 m cĩ nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 11. Câu 30. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2018;2018 để phương 2 trình m 1 sin x sin 2x cos 2x 0 cĩ nghiệm. A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020. Vấn đề 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2 Câu 31. Hỏi trên 0; , phương trình 2sin x 3sin x 1 0 cĩ bao nhiêu nghiệm? 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 Câu 32. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos x 5cos x 3 0 trên đường trịn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 Câu 33. Cho phương trình cot 3x 3cot 3x 2 0. Đặt t cot x , ta được phương trình nào sau đây? 2 2 2 2 A. t 3t 2 0. B. 3t 9t 2 0. C. t 9t 2 0. D. t 6t 2 0. 2 Câu 34. Số nghiệm của phương trình 4sin 2x 2 1 2 sin 2x 2 0 trên 0; là? A. 3.B. 4.C. 2.D. 1. 2 Câu 35. Số nghiệm của phương trình sin 2x cos 2x 1 0 trên đoạn  ;4  là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. 2 x x Câu 36. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2sin 3cos 0 trên đoạn 4 4 0;8 . A. T 0. B. T 8 . C. T 16 . D. T 4 . Trang 4
  5. 1 Câu 37. Số nghiệm của phương trình 3 1 cot x 3 1 0 trên 0; là? sin2 x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 38. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2x 2cos x 2 0 trên đoạn 0;3  . 17 A. T . B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 . 4 Câu 39. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 2x 3sin x 4 0 trên đường trịn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x x Câu 40. Cho phương trình cos x cos 1 0 . Nếu đặt t cos , ta được phương trình nào 2 2 sau đây? 2 2 2 2 A. 2t t 0. B. 2t t 1 0. C. 2t t 1 0. D. 2t t 0. 5 Câu 41. Số nghiệm của phương trình cos 2 x 4cos x thuộc 0;2  là? 3 6 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x mcot x 8 cĩ nghiệm. A. m 16. B. m 16. C. m 16. D. m 16. Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 cĩ nghiệm trên khoảng ; . 2 2 1 A. 1 m 0 . B. 1 m 0 . C. 1 m 0 . D. 1 m . 2 2 2 Câu 44. Biết rằng khi m m0 thì phương trình 2sin x 5m 1 sin x 2m 2m 0 cĩ đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 1 3 7 3 2 A. m 3. B. m . C. m0 ; . D. m0 ; . 2 5 10 5 5 Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2cos 3x 3 2m cos3x m 2 0 cĩ đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; . 6 3 A. 1 m 1. B. 1 m 2. C. 1 m 2. D. 1 m 2. Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI sin x và cos x 2 2 Câu 46. Giải phương trình sin x 3 1 sin x cos x 3 cos x 0. A. x k2 k ¢ . B. x k k ¢ . 3 4 Trang 5
  6. x k2 x k 3 3 C. k ¢ . D. k ¢ . x k2 x k 4 4 Câu 47. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin2 x 3 3 sin x cos x cos2 x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?   5  5  A. ;   S. B. ;   S. C. ;   S. D. ;   S. 3  6 2  4 12  2 6  Câu 48. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 2 sin x 3 1 sin x cos x 3 cos x 3 . A. sin x 0 .B. sin x 1. 2 3 1 2 C. cos x 1 tan x 0 .D. tan x 2 3 cos x 1 0 . 1 3 Câu 49. Phương trình nào dưới đây cĩ tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin2 x 3 sin x cos x 1 ? 2 A. cos x cot x 3 0 . B. sin x . tan x 2 3 0 . 2 4 2 C. cos x 1 . tan x 3 0 . D. 2 sin x 1 cot x 3 0 . 2 Câu 50. Cho phương trình cos x 3sin x cos x 1 0 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. x k khơng là nghiệm của phương trình. 2 B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình 2 tan x 3tan x 2 0 . 2 C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình 2 2cot x 3cot x 1 0 . D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x 3sin 2x 3 0 . 2 2 Câu 51. Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình sin x 4sin x cos x 4cos x 5 trên đường trịn lượng giác là? A. 4 .B. 3 .C. 2 .D. 1. 2 2 Câu 52. Số nghiệm của phương trình cos x 3sin x cos x 2sin x 0 trên 2 ;2 ? A. 2 .B. 4 .C. 6 .D. 8 . Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4sin2 x 3 3 sin 2x 2 cos2 x 4 là: A. .B. .C. .D. . 12 6 4 3 2 2 Câu 54. Cho phương trình 2 1 sin x sin 2x 2 1 cos x 2 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Trang 6
  7. 7 A. x là một nghiệm của phương trình. 8 2 B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình 2 tan x 2 tan x 1 0 . 2 C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình 2 cot x 2cot x 1 0 . D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x sin 2x 1. 2 2 Câu 55. Giải phương trình 2sin x 1 3 sin x cos x 1 3 cos x 1. 2 A. .B. .C. .D. . 6 4 3 12 Câu 56. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình 2 2 11sin x m 2 sin 2x 3cos x 2 cĩ nghiệm? A. 16. B. 21. C. 15. D. 6. Câu 57. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình 2 2 sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m cĩ nghiệm? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vơ số. 2 2 Câu 58. Tìm điều kiện để phương trình asin x asin x cos x bcos x 0 với a 0 cĩ nghiệm. 4b 4b A. a 4b .B. a 4b .C. 1.D. 1. a a 2 Câu 59. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x msin 2x 2m vơ nghiệm. 4 4 4 4 A. 0 m . B. m 0 , m . C. 0 m . D. m , m 0 . 3 3 3 3 Câu 60. Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3;3 để phương trình 2 2 m 2 cos x 2msin 2x 1 0 cĩ nghiệm. A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 4 . Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA sin x cos x và sin x cos x. Câu 61. Giải phương trình sin x cos x 2 sin x cos x 2 . x k x k2 A. 2 , k ¢ . B. 2 , k ¢ . x k x k2 Trang 7
  8. x k2 x k C. 2 , k ¢ . D. 2 , k ¢ . x k2 x k Câu 62. Cho phương trình 3 2 sin x cos x 2sin 2x 4 0 . Đặt t sin x cos x , ta được phương trình nào dưới đây? 2 2 A. 2t 3 2 t 2 0. B. 4t 3 2 t 4 0. 2 2 C. 2t 3 2 t 2 0. D. 4t 3 2 t 4 0. Câu 63. Cho phương trình 5sin 2x sin x cos x 6 0 . Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho? 2 3 A. sin x . B. cos x . 4 2 4 2 2 C. tan x 1. D. 1 tan x 0. 1 Câu 64. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x cos x 1 sin 2x là: 2 3 A. . B. . C. . D. 2 . 2 2 Câu 65. Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x sin x cos x 1. Tính sin x . 4 A. sin x 0 hoặc sin x 1. B. sin x 0 4 4 4 2 hoặc sin x . 4 2 2 C. sin x . D. sin x 0 hoặc 4 2 4 2 sin x . 4 2 Câu 66. Từ phương trình 5sin 2x 16 sin x cos x 16 0 , ta tìm được sin x cĩ 4 giá trị bằng: 2 2 2 A. . B. . C. 1. D. . 2 2 2 Câu 67. Cho x thỏa mãn 6 sin x cos x sin x cos x 6 0 . Tính cos x . 4 A. cos x 1. B. cos x 1. 4 4 1 1 C. cos x . D. cos x . 4 2 4 2 Câu 68. Từ phương trình 1 3 cos x sin x 2sin x cos x 3 1 0 , nếu ta đặt t cos x sin x thì giá trị của t nhận được là: Trang 8
  9. A. t 1 hoặc t 2 .B. t 1 hoặc t 3 . C. t 1.D. t 3 . Câu 69. Nếu 1 5 sin x cos x sin 2x 1 5 0 thì sin x bằng bao nhiêu? 2 2 2 A. sin x . B. sin x hoặc sin x . 2 2 2 C. sin x 1 hoặc sin x 0 .D. sin x 0 hoặc sin x 1. Câu 70. Nếu 1 sin x 1 cos x 2 thì cos x bằng bao nhiêu? 4 2 2 A. 1. B. 1. C. . D. . 2 2 Câu 71. Cho x thỏa mãn 2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0 . Tính sin 2x. 1 2 1 2 A. sin 2x . B. sin 2x . C. sin 2x . D. sin 2x . 2 2 2 2 Câu 72. Hỏi trên đoạn 0;2018  , phương trình sin x cos x 4sin 2x 1 cĩ bao nhiêu nghiệm? A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019. Câu 73. Từ phương trình 2 sin x cos x tan x cot x , ta tìm được cos x cĩ giá trị bằng: 2 2 A. 1. B. . C. . D. 1. 2 2 3 3 3 Câu 74. Từ phương trình 1 sin x cos x sin 2x , ta tìm được cos x cĩ giá trị 2 4 bằng: 2 2 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 75. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x sin x cos x m 0 cĩ nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2cos x 3 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 5 11 13 13 A. S. B. S. C. S. D. S. 6 6 6 6 x k2 6 Lời giải. Ta cĩ 2cos x 3 0 cos x cos k ¢ . 6 x k2 6 Trang 9
  10. k 1 11 Nhận thấy với nghiệm x k2  x S. Chọn B 6 6 7 Câu 2. Hỏi x là một nghiệm của phương trình nào sau đây? 3 A. 2sin x 3 0. B. 2sin x 3 0. C. 2cos x 3 0. D. 2cos x 3 0. 7 3 sin x sin 7 3 2 2sin x 3 0 Lời giải. Với x , suy ra . Chọn A 3 7 1 2cos x 1 0 cos x cos 3 2 7 Cách 2. Thử x lần lượt vào từng phương trình. 3 Câu 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin 4x 1 0. 3 7 A. x . B. x . C. x . D. x . 4 24 8 12 1 Lời giải. Ta cĩ 2sin 4x 1 0 sin 4x sin 4x sin 3 3 2 3 6 k 4x k2 4x k2 x 3 6 2 8 2 k ¢ . 7 7 k 4x k2 4x k2 x 3 6 6 24 2 k Cho 0 k 1 TH1. Với x  0 k k 0 x . 8 2 8 2 4 min 8 7 k Cho 0 7 k 7 7 TH2. Với x  0 k k 0 x . 24 2 24 2 12 min 24 So sánh hai nghiệm ta được x là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn C 8 Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tan 2x 3 0 trên đường 3 trịn lượng giác là? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải. Ta cĩ tan 2x 3 0 tan 2x 3 tan 2x tan 3 3 3 3 k 2x k 2x k x k ¢ . 3 3 2 Trang 10
  11. sin B C A cos O D Quá dễ để nhận ra cĩ 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường trịn lượng giác là A, B, C, D. Chọn A k 2 Cách trắc nghiệm. Ta cĩ x k  cĩ 4 vị trí biểu diễn. 2 4 Câu 5. Hỏi trên đoạn 0;2018  , phương trình 3 cot x 3 0 cĩ bao nhiêu nghiệm? A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018. Lời giải. Ta cĩ cot x 3 cot x cot x k k ¢ . 6 6 xap xi 1 Theo giả thiết, ta cĩ 0 k 2018  k 2017,833 6 6 k ¢ 3  k 0;1; ;2017 . Vậy cĩ tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với cĩ 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn D Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 2cos x 1? 2 2 A. sin x . B. 2sin x 2 0. C. tan x 1. D. tan x 1. 2 2 2 1 2 2 2 1 Lời giải. Ta cĩ 2cos x 1 cos x . Mà sin x cos x 1 sin x . 2 2 2 sin x 2 2 Do đĩ tan2 x 1 . Vậy 2cos x 1 tan x 1. Chọn D cos2 x Câu 7. Phương trình nào dưới đây cĩ tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2 tan x 3? 1 2 1 1 A. cos x . B. 4cos x 1. C. cot x . D. cot x . 2 3 3 sin2 x Lời giải. Ta cĩ tan2 x 3 3 sin2 x 3cos2 x cos2 x 2 2 2 2 2 1 cos x 3cos x 4cos x 1. Vậy tan x 3 4cos x 1 . Chọn B 2 Câu 8. Giải phương trình 4sin x 3 . x k2 x k2 3 3 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 2 x k2 x k2 3 3 Trang 11
  12. k k x x C. 3 3 k,l ¢ . D. 3 k,l ¢ . k 3l k 3l 2 2 3 3 Lời giải. Ta cĩ 4sin x 3 sin x sin x . 4 2 x k2 3 3 Với sin x sin x sin k ¢ . 2 3 2 x k2 3 x k2 3 3 Với sin x sin x sin k ¢ . 2 3 4 x k2 3 Nhận thấy chưa cĩ đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường trịn lượng giác (hình vẽ). sin 2p p 3 3 cos B A O 2p p - - 3 3 Nếu tính luơn hai điểm A, B thì cĩ tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đĩ là x k . 3 x k k 3 x Suy ra nghiệm của phương trình 3 k,l ¢ . Chọn D k l k 3l 3 Câu 9. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 2 3sin x cos x ? 1 3 2 3 2 A. sin x . B. cos x . C. sin x . D. cot x 3. 2 2 4 2 2 2 2 Lời giải. Ta cĩ 3sin x cos x . Chi hai vế phương trình cho sin x, ta được cot x 3 . Chọn D 2 3 Câu 10. Với x thuộc 0;1 , hỏi phương trình cos 6 x cĩ bao nhiêu nghiệm? 4 A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. 2 3 3 Lời giải. Phương trình cos 6 x cos 6 x . 4 2 3 Với cos6 x cos6 x cos 6 x k2 . 2 6 6 Trang 12
  13. 1 k 1 35 k x 0;1 k ¢ k 0;1;2 36 3 12 12 cĩ 6 nghiệm. 1 k 1 37 x 0;1 k k ¢ k 1;2;3 36 3 12 12 3 5 5 Với cos6 x cos6 x cos 6 x k2 . 2 6 6 5 k 5 31 k x 0;1 k ¢ k 0;1;2 36 3 12 12 cĩ 6 nghiệm. 5 k 5 41 x 0;1 k k ¢ k 1;2;3 36 3 12 12 Vậy phương trình đã cho cĩ 12 nghiệm. Chọn D Câu 11. Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cos x m 1 0 cĩ nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vơ số. 1 m Lời giải. Ta cĩ 3 cos x m 1 0 cos x . 3 1 m m ¢ Phương trình cĩ nghiệm 1 1 1 3 m 1 3  m 0;1;2. 3 Vậy cĩ tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m . Chọn C Câu 12. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2108;2018 để phương trình mcos x 1 0 cĩ nghiệm? A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038. 1 Lời giải. Ta cĩ mcos x 1 0 cos x . m Phương trình cĩ nghiệm 1 m ¢ 1 1 m 1 m 1;2;3; ;2018 . m m  2018;2018 Vậy cĩ tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m . Chọn A Câu13. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 sin 2x m 1 nhận x 12 làm nghiệm. 2 3 1 A. m 2. B. m . C. m 4. D. m 1. 3 2 Lời giải. Vì x là một nghiệm của phương trình m 2 sin 2x m 1 nên ta cĩ: 12 2 m 2 m 2 .sin m 1 m 1 m 2 2m 2 m 4 . 12 2 Vậy m 4 là giá trị cần tìm. Chọn C Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 1 sin x 2 m 0 cĩ nghiệm. 1 1 A. m 1. B. m . C. 1 m . D. m 1. 2 2 Trang 13
  14. Lời giải. Phương trình m 2 m 1 sin x 2 m 0 m 1 sin x m 2 sin x . m 1 m 2 Để phương trình cĩ nghiệm 1 1 m 1 m 2 2m 1 1 0 1 0 m m 1 m 1 2 1 m là giá trị cần tìm. Chọn B m 2 3 m 1 2 1 0 0 m 1 m 1 m 1 Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 2 sin 2x m 1 vơ nghiệm. 1 1 A. m ;2 . B. m ;  2; . 2 2 1 1 C. m ;2  2; . D. m ; . 2 2 Lời giải. TH1. Với m 2 , phương trình m 2 sin 2x m 1 0 3: vơ lý. Suy ra m 2 thì phương trình đã cho vơ nghiệm. m 1 TH2. Với m 2 , phương trình m 2 sin 2x m 1 sin 2x . m 2 m 1 1 m 2 m 1 m 2 Để phương trình vơ nghiệm  1;1 1 . m 2 m 1 m 2 1 2 m 2 1 Kết hợp hai trường hợp, ta được m là giá trị cần tìm. Chọn D 2 Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cos x Câu 16. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos 2x sin 2x 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 5 A. S. B. S. C. S. D. S. 4 2 4 4 1 Lời giải. Phương trình 2 cos 2x 1 cos 2x 4 4 2 2x k2 x k 4 4 cos 2x cos ,k ¢ . 4 4 x k 2x k2 4 4 4 3 Xét nghiệm x k , với k 1 ta được x . Chọn C 4 4 Câu 17. Số nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 3 trên khoảng 0; là? 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Trang 14
  15. 1 3 3 3 Lời giải. Phương trình sin 2x cos 2x sin 2x 2 2 2 3 2 2x k2 x k 3 3 sin 2x sin , k ¢ . 3 3 x k 2x k2 6 3 3 1 k ¢ 0 k 0 k  khơng cĩ giá trị k thỏa mãn. 2 2 1 1 k ¢ 0 k k  k 0 x . Chọn A 6 2 6 3 6 2 2 Câu 18. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos x sin 2x 2 sin x trên khoảng 0;2 . 7 21 11 3 A. T . B. T . C. T . D. T . 8 8 4 4 2 2 Lời giải. Phương trình cos x sin x sin 2x 2 cos 2x sin 2x 2 cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 4 4 8 7 k 1 x 1 17 k ¢ 8 Do 0 x 2  0 k 2 k  8 8 8 15 k 2 x 8 7 15 11  T . Chọn C 8 8 4 3 Câu 19. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin 3x 3 cos 9x 1 4sin 3x. A. x . B. x . C. x . D. x . 0 2 0 18 0 24 0 54 Lời giải. Phương trình 3sin 3x 4sin3 3x 3 cos 9x 1 sin 9x 3 cos 9x 1 1 3 1 1 sin 9x cos9x sin 9x 2 2 2 3 2 k2 9x k2 x 3 6 18 9 sin 9x sin 3 6 7 k2 9x k2 x 3 6 54 9 k2 1 k ¢ 0 k  kmin 0 x Cho 0 18 9 4 18  . 7 k2 7 7 0 k k ¢ k 0 x 54 9 12 min 54 So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là x . Chọn B 18 Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn. Trang 15
  16. Câu 20. Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos5x 2sin 7x trên khoảng 0; là? 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 1 3 Lời giải. Phương trình sin 5x cos5x sin 7x sin 5x sin 7x 2 2 3 7x 5x k2 x k 3 6 sin 7x sin 5x k ¢ . 3 k 7x 5x k2 x 3 18 6 1 1 k ¢ 0 k k  k 0 x . 6 2 6 3 6 k 0 x 18 1 8 k ¢ 2 0 k k  k 1 x . 18 6 2 3 3 9 7 k 2 x 18 Vậy cĩ 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn D Câu 21. Giải phương trình 3 cos x sin x 2sin 2x. 2 2 5 7 x k2 x k2 6 6 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 2 2 x k x k 18 3 18 3 5 2 x k2 x k 6 18 3 C. , k ¢ . D. , k ¢ . 7 2 x k2 x k 6 18 3 Lời giải. Ta cĩ cos x sin x và sin x cos x . 2 2 Do đĩ phương trình 3 sin x cos x 2sin 2x 3 sin x cos x 2sin 2x 3 1 sin x cos x sin 2x sin x sin 2x sin x sin 2x 2 2 6 6 2 x 2x k2 x k 6 18 3 k ¢ . 5 x 2x k2 x k2 6 6 5 k 1 k ' 7 Xét nghiệm x k2  x k '2 . 6 k ¢ , k ' ¢ 6 2 7 Vậy phương trình cĩ nghiệm x k , x k '2 k,k ' ¢ . Chọn B 18 3 6 Trang 16
  17. Câu 22. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x 3 cos7x sin 7x 3 cos9x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 ;0 . B. x0 ; . C. x0 ; . D. x0 ; . 12 6 12 3 6 2 3 Lời giải. Phương trình sin 9x 3 cos9x sin 7x 3 cos7x 9x 7x k2 x k 3 3 sin 9x sin 7x 5 k 3 3 x 9x 7x k2 48 8 3 3 k 0 k 0 k ¢ k 1 x Cho 0 max  . So sánh hai 5 k 5 k 0 k ¢ k 1 x 48 8 6 max 48 nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x ;0 . Chọn A 48 12 Câu 23. Biến đổi phương trình cos3x sin x 3 cos x sin 3x về dạng sin ax b sin cx d với b , d thuộc khoảng ; . Tính b d . 2 2 A. b d . B. b d . C. b d . D. b d . 12 4 3 2 Lời giải. Phương trình 3 sin 3x cos3x sin x 3 cos x 3 1 1 3 sin 3x cos3x sin x cos x sin 3x sin x . 2 2 2 2 6 3 Suy ra b d . Chọn D 6 3 2 cos x 3 sin x Câu 24. Giải phương trình 0. 1 sin x 2 A. x k , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 6 6 7 7 C. x k2 , k ¢ . D. x k , k ¢ . 6 6 Lời giải. Điều kiện x k2 1 1 6 sin x 0 sin x sin x sin k ¢ . 2 2 6 5 x k2 6 Trang 17
  18. sin 5p p 6 6 cos O Hình 1 Điều kiện bài tốn tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường trịn lượng giác (Hình 1). Phương trình cos x 3 sin x 0 cos x 3 sin x cot x 3 cot x cot x l l ¢ . 6 6 sin p 6 O cos Hình 2 Biểu diễn nghiệm x l trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2. 6 Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm x k2 . Do đĩ phương trình cĩ nghiệm 6 7 x 2l l ¢ . Chọn C 6 2sin 2x cos 2x Câu 25. Hàm số y cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2x cos 2x 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2sin 2x cos 2x Lời giải. Ta cĩ y y 2 sin 2x y 1 cos 2x 3y. sin 2x cos 2x 3 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm y 2 2 y 1 2 3y 2 7y2 2y 5 0 5 y ¢ 1 y  y 1;0 nên cĩ 2 giá trị nguyên. Chọn B 7 Câu 26. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cos x 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 0; . B. x0 ; . C. x0 ; . D. x0 ; . 12 12 6 6 3 3 2 1 3 3 1 Lời giải. Phương trình cos 2x sin 2x sin x cos x 1 2 2 2 2 Trang 18
  19. sin 2x sin x 1 . 6 6 Đặt t x  x t 2x 2t 2x 2t . 6 6 3 6 2 Phương trình trở thành sin 2t sin t 1 cos 2t sin t 1 2 2sin2 t sin t 0 sin t 2sin t 1 0. 1 k ¢ sin t 0 t k  x k 0 k  k 0 x . 6 6 min 6 1 k t k2  x k2 0 k ¢ k 0 x . 1 6 3 6 min 3 sin t 2 5 1 t k2  x k2 0 k k ¢ k 0 x . 6 2 min Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x ; . Chọn B 6 12 6 Câu 27. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình sin x 3 cos x 2m vơ nghiệm. 3 3 A. 21. B. 20. C. 18. D. 9. 2 2 2 2 m 1 Lời giải. Phương trình vơ nghiệm 1 3 2m 4m 4 0 m 1 m ¢  m 10; 9; 8; ; 2;2; ;8;9;10  cĩ 18 giá trị. Chọn C m  10;10 Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 cos x sin x 2 m 1 vơ nghiệm. A. m ; 1  1; . B. m  1;1. C. m ; D. m ;0  0; . 2 2 2 2 Lời giải. Phương trình vơ nghiệm 1 1 2 m 1 4 2 2 2 2 m 2m 0 m m 2 0 m 0 m 0. Chọn D Câu 29. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình m 1 sin x mcos x 1 m cĩ nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 11. Lời giải. Phương trình cĩ nghiệm 2 2 2 2 m 0 m 1 m 1 m m 4m 0 m 4 m ¢  m 10; 9; 8; ; 4;0;1;2; ;8;9;10  cĩ 18 giá trị. Chọn C m  10;10 Trang 19
  20. Câu 30. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2018;2018 để phương 2 trình m 1 sin x sin 2x cos 2x 0 cĩ nghiệm. A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020. 1 cos 2x Lời giải. Phương trình m 1 sin 2x cos 2x 0 2 2sin 2x 1 m cos 2x m 1. 2 2 2 Phương trình cĩ nghiệm 2 1 m m 1 4m 4 m 1 m ¢  m 2018; 2017; ;0;1  cĩ 2020 giá trị. Chọn D m  2018;2018 Vấn đề 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2 Câu 31. Hỏi trên 0; , phương trình 2sin x 3sin x 1 0 cĩ bao nhiêu nghiệm? 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 1 2 sin x Lời giải. Phương trình 2sin x 3sin x 1 0 2 sin x 1 x k2 6 sin x sin 5 6 x k2 k ¢ . 6 sin x 1 x k2 2 Theo giả thiết 1 1 k 0 k2 k ¢ k 0 x 6 2 12 6 6 5 5 1 0 x 0 k2 k k ¢ k  . 2 6 2 12 12 1 0 k2 k 0 k ¢ k  2 2 4 Vậy phương trình cĩ duy nhất một nghiệm trên 0; . Chọn A 2 2 Câu 32. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos x 5cos x 3 0 trên đường trịn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. cos x 1 2 Lời giải. Phương trình 2cos x 5cos x 3 0 3 cos x loại 2 cos x 1 x k2 k ¢ . Suy ra cĩ duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác. Chọn A Trang 20
  21. 2 Câu 33. Cho phương trình cot 3x 3cot 3x 2 0. Đặt t cot 3x , ta được phương trình nào sau đây? 2 2 2 2 A. t 3t 2 0. B. 3t 9t 2 0. C. t 9t 2 0. D. t 6t 2 0. Lời giải. Chọn A 2 Câu 34. Số nghiệm của phương trình 4sin 2x 2 1 2 sin 2x 2 0 trên 0; là? A. 3.B. 4.C. 2.D. 1. 2 sin 2x 2 2 Lời giải. Phương trình 4sin 2x 2 1 2 sin 2x 2 0 . 1 sin 2x 2 0; 2x k2 x k  x 2 4 8 8 sin 2x sin . 2 4 3 3 0; 3 2x k2 x k  x 4 8 8 0; 2x k2 x k  x 1 6 12 12 sin 2x sin . 2 6 5 5 0; 5 2x k2 x k  x 6 12 12 Vậy cĩ tất cả 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn B 2 Câu 35. Số nghiệm của phương trình sin 2x cos 2x 1 0 trên đoạn  ;4  là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. 2 2 Lời giải. Phương trình sin 2x cos 2x 1 0 cos 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 cos 2x 1 2x k2 x k , k ¢ . cos 2x 2 loại k ¢ Do x  ;4   k 4 1 k 4  k 1;0;1;2;3;4. Vậy phương trình cĩ 6 nghiệm thỏa mãn. Chọn C 2 x x Câu 36. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2sin 3cos 0 trên đoạn 4 4 0;8 . A. T 0. B. T 8 . C. T 16 . D. T 4 . 2 x x 2 x x Lời giải. Phương trình 2sin 3cos 0 2 1 cos 3cos 0 4 4 4 4 x 1 cos x x 4 2 x 1 x 2cos2 3cos 2 0 cos cos cos 4 4 x 4 2 4 3 cos 2 loại 4 x 4 x 0;8  4 k2 x k8  x 4 3 3 3 4 20 T 8 . x 4 x 0;8  20 3 3 k2 x k8  x 4 3 3 3 Chọn B Trang 21
  22. 1 Câu 37. Số nghiệm của phương trình 3 1 cot x 3 1 0 trên 0; là? sin2 x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Điều kiện: sin x 0 x k k ¢ . Phương trình 2 2 1 cot x 3 1 cot x 3 1 0 cot x 3 1 cot x 3 0 x 0; 3 cot x cot x k  x thỏa mãn cot x 1 4 4 4 . cot x 3 x 0; cot x cot x k  x thỏa mãn 6 6 6 Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm thỏa mãn. Chọn B Câu 38. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2x 2cos x 2 0 trên đoạn 0;3  . 17 A. T . B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 . 4 2 Lời giải. Phương trình 2cos 2x 2cos x 2 0 2 2cos x 1 2cos x 2 0 2 cos x 2 2 4cos2 x 2cos x 2 2 0 cos x 2 1 2 cos x loại 2 x 0;3  9 x k2  x ; x 4 4 4 9 7 17  T . Chọn x 0;3  7 4 4 4 4 x k2  x 4 4 A Câu 39. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 2x 3sin x 4 0 trên đường trịn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 2 Lời giải. Phương trình 1 2sin x 3sin x 4 0 2sin x 3sin x 5 0 sin x 1 5 sin x 1 x k2 k ¢ . sin x loại 2 2 Suy ra cĩ duy nhất 1 vị trí đường trịn lượng giác biểu diễn nghiệm. Chọn A x x Câu 40. Cho phương trình cos x cos 1 0 . Nếu đặt t cos , ta được phương trình nào 2 2 sau đây? 2 2 2 2 A. 2t t 0. B. 2t t 1 0. C. 2t t 1 0. D. 2t t 0. 2 x Lời giải. Ta cĩ cos x 2cos 1. 2 Trang 22
  23. 2 x x 2 x x Do đĩ phương trình 2cos 1 cos 1 0 2cos cos 0. 2 2 2 2 x 2 Đặt t cos , phương trình trở thành 2t t 0. Chọn A 2 5 Câu 41. Số nghiệm của phương trình cos 2 x 4cos x thuộc 0;2  là? 3 6 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 2 Lời giải. Ta cĩ cos 2 x 1 2sin x 1 2cos x . 3 3 6 2 3 Do đĩ phương trình 2cos x 4cos x 0 6 6 2 1 cos x x k2 6 2 1 6 cos x x k2 , k ¢ 3 6 2 6 3 cos x loại x k2 6 2 2 . x 0;2  11 x 0;2  Ta cĩ x k2  x ; x k2  x . 6 6 2 2 Vậy cĩ hai nghiệm thỏa mãn. Chọn B Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x mcot x 8 cĩ nghiệm. A. m 16. B. m 16. C. m 16. D. m 16. Lời giải. Phương trình m 2 tan x mcot x 8 tan x 8 tan x 8tan x m 0 . tan x 2 Để phương trình đã cho cĩ nghiệm khi và chỉ khi 4 m 0 m 16 . Chọn D Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 cĩ nghiệm trên khoảng ; . 2 2 1 A. 1 m 0 . B. 1 m 0 . C. 1 m 0 . D. 1 m . 2 1 2 cos x Lời giải. Phương trình 2cos x 2m 1 cos x m 0 2 . cos x m sin cos O 1 m 2 Trang 23
  24. 1 3 Nhận thấy phương trình cos x khơng cĩ nghiệm trên khoảng ; (Hình vẽ). Do đĩ 2 2 2 3 yêu cầu bài tốn cos x m cĩ nghiệm thuộc khoảng ; 1 m 0 . 2 2 Chọn B 2 2 Câu 44. Biết rằng khi m m0 thì phương trình 2sin x 5m 1 sin x 2m 2m 0 cĩ đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 1 3 7 3 2 A. m 3. B. m . C. m0 ; . D. m0 ; . 2 5 10 5 5 Lời giải. Đặt t sin x 1 t 1 . 2 2 Phương trình trở thành 2t 5m 1 2m 2m 0. * sin sin t2 cos cos O O t2 Hình 1 Hình 2 Yêu cầu bài tốn tương đương với: TH1: Phương trình * cĩ một nghiệm t1 1 (cĩ một nghiệm x ) và một nghiệm 0 t2 1 (cĩ bốn nghiệm x ) (Hình 1). c 2 Do t 1 t m m . 1 2 a m 3  t 6 0;1 loại 2 Thay t1 1 vào phương trình * , ta được 1 1 . m  t 0;1 thỏa 2 2 4 TH2: Phương trình * cĩ một nghiệm t1 1 (cĩ hai nghiệm x ) và một nghiệm 1 t2 0 (cĩ ba nghiệm x ) (Hình 2). c 2 Do t 1 t m m . 1 2 a m 1 t 2 1;0 loại 2  Thay t1 1 vào phương trình * , ta được 1 3 . m  t 1;0 loại 2 2 4 1 1 3 2 Vậy m thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Do m ; . Chọn D 2 2 5 5 Trang 24
  25. Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2cos 3x 3 2m cos3x m 2 0 cĩ đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; . 6 3 A. 1 m 1. B. 1 m 2. C. 1 m 2. D. 1 m 2. 2 Lời giải. Đặt t cos x 1 t 1 . Phương trình trở thành 2t 3 2m t m 2 0. 1 2 t Ta cĩ 2m 5 . Suy ra phương trình cĩ hai nghiệm 1 2 . t2 m 2 sin cos O 1 t2 t = 1 2 1 Ta thấy ứng với một nghiệm t1 thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ; . Do đĩ 2 6 3 yêu cầu bài tốn 1 t2 0 1 m 2 0 1 m 2. Chọn B 2 Cách 2. Yêu cầu bài tốn tương đươn với phương trình 2t 3 2m t m 2 0 cĩ hai P 0 nghiệm t1, t2 thỏa mãn 1 t2 0 t1 1 a. f 1 0 . a. f 1 0 Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cos x 2 2 Câu 46. Giải phương trình sin x 3 1 sin x cos x 3 cos x 0. A. x k2 k ¢ . B. x k k ¢ . 3 4 x k2 x k 3 3 C. k ¢ . D. k ¢ . x k2 x k 4 4 2 tan x 1 Lời giải. Phương trình tan x 3 1 tan x 3 0 tan x 3 Trang 25
  26. x k 4 k ¢ . Chọn D x k 3 Câu 47. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin2 x 3 3 sin x cos x cos2 x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?   5  5  A. ;   S. B. ;   S. C. ;   S. D. ;   S. 3  6 2  4 12  2 6  2 2 2 2 Lời giải. Phương trình 2sin x 3 3 sin x cos x cos x 2 sin x cos x 3 3 sin x cos x 3cos2 x 0 3cos x 3 sin x cos x 0. k 0 cos x 0 x k k ¢  x . 2 2 3 sin x cos x 0 3 sin x cos x 1 k 0 tan x tan x tan x k k ¢  x . 3 6 6 6 Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm và . Chọn B 6 2 Câu 48. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 2 sin x 3 1 sin x cos x 3 cos x 3 . A. sin x 0 .B. sin x 1. 2 3 1 2 C. cos x 1 tan x 0 .D. tan x 2 3 cos x 1 0 . 1 3 Lời giải. Phương trình sin2 x 3 1 sin x cos x 3 cos2 x 3 sin2 x cos2 x 1 3 sin2 x 3 1 sin x cos x 0 sin x 1 3 sin x 3 1 cos x 0. 2 2 sin x 0 cos x 1 cos x 1 0. 1 3 sin x 3 1 cos x 0 1 3 sin x 3 1 cos x 3 1 tan x tan x 2 3 tan x 2 3 0. 1 3 2 Vậy phương trình đã cho tương đương với tan x 2 3 cos x 1 0 . Chọn D Câu 49. Phương trình nào dưới đây cĩ tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin2 x 3 sin x cos x 1 ? 2 A. cos x cot x 3 0 . B. sin x . tan x 2 3 0 . 2 4 Trang 26
  27. 2 C. cos x 1 . tan x 3 0 . D. 2 sin x 1 cot x 3 0 . Lời giải. Phương trình sin2 x 3 sin x cos x sin2 x cos2 x 3 sin x cos x cos2 x 0 cos x 3 sin x cos x 0. cos x 0 sin x 0. 2 1 3 sin x cos x 0 tan x . 3 Ta cĩ 1 tan x tan 1 tan x 4 3 2 3 tan x 2 3 0. 1 4 1 tan x.tan 1 .1 4 4 3 Vậy phương trình đã cho tương đương với sin x . tan x 2 3 0 .Chọn B 2 4 2 Câu 50. Cho phương trình cos x 3sin x cos x 1 0 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. x k khơng là nghiệm của phương trình. 2 B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình 2 tan x 3tan x 2 0 . 2 C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình 2 2cot x 3cot x 1 0 . D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x 3sin 2x 3 0 . sin x 0 sin x 0 Lời giải. Với x k  . Thay vào phương trình ta thấy 2 cos x 1 cos x 1 thỏa mãn. Vậy A đúng. 2 2 2 Phương trình cos x 3sin x cos x sin x cos x 0 2 2 2 sin x 3sin x cos x 2cos x 0 tan x 3tan x 2 0 . Vậy B đúng. 2 2 2 Phương trình cos x 3sin x cos x sin x cos x 0 2 2 2 2cos x 3sin x cos x sin x 0 2cot x 3cot x 1 0 . Vậy C sai. Chọn C 1 cos 2x sin 2x Phương trình 3 1 0 cos 2x 3sin 2x 3 0. Vậy D đúng. 2 2 2 2 Câu 51. Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình sin x 4sin x cos x 4cos x 5 trên đường trịn lượng giác là? A. 4 .B. 3 .C. 2 .D. 1. 2 2 2 2 Lời giải. Phương trình sin x 4sin x cos x 4cos x 5 sin x cos x Trang 27
  28. 4sin2 x 4sin x cos x cos2 x 0 2sin x cos x 2 0 2sin x cos x 0 1 tan x  cĩ 2 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường trịn lượng gác. Chọn C 2 2 2 Câu 52. Số nghiệm của phương trình cos x 3sin x cos x 2sin x 0 trên 2 ;2 ? A. 2 .B. 4 .C. 6 .D. 8 . Lời giải. Phương trình tan x 1 x k 2 4 1 3tan x 2 tan x 0 1 . tan x 1 2 x arctan k 2 Vì 9 7 k ¢ x 2 ;2  2 k 2 k  k 2; 1;0;1 . 4 4 4 1 Vì x 2 ;2  2 arctan k 2 2 CASIO k ¢  28,565 k 24,565  k 28; 27; 26; 25 . xapxi  Vậy cĩ tất cả 8 nghiệm. Chọn D Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4sin2 x 3 3 sin 2x 2 cos2 x 4 là: A. .B. .C. .D. . 12 6 4 3 2 2 2 2 Lời giải. Phương trình 4sin x 3 3 sin 2x 2cos x 4 sin x cos x cos x 0 3 3 sin 2x 6cos2 x 0 6cos x 3 sin x cos x 0 1 tan x 3 1 k ¢ x k k 0 k  kmin 0 x 2 Cho 0 2 2 2  . 1 x k k 0 k k ¢ k 0 x 6 6 6 min 6 So sánh hai nghiệm ta được x là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn B 6 2 2 Câu 54. Cho phương trình 2 1 sin x sin 2x 2 1 cos x 2 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 7 A. x là một nghiệm của phương trình. 8 2 B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình 2 tan x 2 tan x 1 0 . 2 C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình 2 cot x 2cot x 1 0 . D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x sin 2x 1. Lời giải. Chọn D Trang 28
  29. 2 2 Câu 55. Giải phương trình 2sin x 1 3 sin x cos x 1 3 cos x 1. 2 A. .B. .C. .D. . 6 4 3 12 Lời giải. Phương trình 2sin2 x 1 3 sin x cos x 1 3 cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x 1 3 sin x cos x 3 cos2 x 0 x k 2 tan x 1 4 tan x 1 3 tan x 3 0 tan x 3 x k 3 1 k ¢ k 0 k  kmax 0 x Cho 0 4 4 4  . 1 2 k 0 k k ¢ k 1 x 3 3 max 3 So sánh hai nghiệm ta được x là nghiệm âm lớn nhất. Chọn B 4 Câu 56. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình 2 2 11sin x m 2 sin 2x 3cos x 2 cĩ nghiệm? A. 16. B. 21. C. 15. D. 6. 2 2 Lời giải. Phương trình 9sin x m 2 sin 2x cos x 0 1 cos 2x 1 cos 2x 9. m 2 sin 2x 0 m 2 sin 2x 4cos 2x 5. 2 2 2 2 m 5 Phương trình cĩ nghiệm m 2 16 25 m 2 9 m 1 m ¢  m 10; 9; ; 1;5;6; ;10  cĩ 16 giá trị nguyên. Chọn A m  10;10 Câu 57. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình 2 2 sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m cĩ nghiệm? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vơ số. 2 2 Lời giải. Phương trình 1 m sin x 2 m 1 sin x cos x 2m 1 cos x 0 1 cos 2x 1 cos 2x 1 m . m 1 sin 2x 2m 1 . 0 2 2 2 m 1 sin 2x mcos 2x 2 3m. 2 2 2 2 Phương trình cĩ nghiệm 4 m 1 m 2 3m 4m 4m 0 0 m 1 m ¢  m 0;1  cĩ 2 giá trị nguyên. Chọn A 2 2 Câu 58. Tìm điều kiện để phương trình asin x asin x cos x bcos x 0 với a 0 cĩ nghiệm. 4b 4b A. a 4b .B. a 4b .C. 1.D. 1. a a Trang 29
  30. 2 Lời giải. Phương trình a tan x a tan x b 0 . 2 Phương trình cĩ nghiệm a 4ab 0 a a 4b 0 4b a 4b a 4b a 0 0 1. Chọn C a a 2 Câu 59. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x msin 2x 2m vơ nghiệm. 4 4 4 4 A. 0 m . B. m 0 , m . C. 0 m . D. m , m 0 . 3 3 3 3 1 cos 2x Lời giải. Phương trình 2. msin 2x 2m msin 2x cos 2x 2m 1. 2 m 0 2 2 2 Phương trình vơ nghiệm m 1 2m 1 3m 4m 0 4 . Chọn B m 3 Câu 60. Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3;3 để phương trình 2 2 m 2 cos x 2msin 2x 1 0 cĩ nghiệm. A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 4 . 2 1 cos 2x Lời giải. Phương trình m 2 . 2msin 2x 1 0 2 2 2 4msin 2x m 2 cos 2x m 4 . Phương trình cĩ nghiệm 2 2 16m2 m2 2 m2 4 12m2 12 m2 1 m 1 m ¢  m 3; 2; 1;1;2;3  cĩ 6 giá trị nguyên. Chọn C m  3;3 Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA sin x cos x và sin x cos x. Câu 61. Giải phương trình sin x cos x 2 sin x cos x 2 . x k x k2 A. 2 , k ¢ . B. 2 , k ¢ . x k x k2 x k2 x k C. 2 , k ¢ . D. 2 , k ¢ . x k2 x k Trang 30
  31. Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Vì 4 sin x  1;1 t 2; 2 . 4 2 2 2 2 2 t 1 Ta cĩ t sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x . 2 2 t 1 2 t 1 Khi đĩ, phương trình đã cho trở thành 2t 2 t 4t 5 0 . 2 t 5 loại 1 Với t 1, ta được sin x cos x 1 sin x sin x sin . 4 2 4 4 x k2 x k2 4 4 , k ¢ . Chọn B x k2 x k2 2 4 4 Câu 62. Cho phương trình 3 2 sin x cos x 2sin 2x 4 0 . Đặt t sin x cos x , ta được phương trình nào dưới đây? 2 2 A. 2t 3 2 t 2 0. B. 4t 3 2 t 4 0. 2 2 C. 2t 3 2 t 2 0. D. 4t 3 2 t 4 0. Lời giải. Đặt t sin x cos x  sin 2x t 2 1. 2 2 Phương trình đã cho trở thành 3 2 t 2 t 1 4 0 2t 3 2 t 2 0. Chọn A Câu 63. Cho phương trình 5sin 2x sin x cos x 6 0 . Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho? 2 3 A. sin x . B. cos x . 4 2 4 2 2 C. tan x 1. D. 1 tan x 0. Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Điều kiện 2 t 2. 4 2 2 2 2 2 Ta cĩ t sin x cos x sin x cos x 2.sin x.cos x sin 2x t 1. 2 2 Khi đĩ, phương trình đã cho trở thành 5 t 1 t 6 0 5t t 1 0 : vơ nghiệm. Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vơ nghiệm. 2 Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1 tan x 0. Chọn D 1 Câu 64. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x cos x 1 sin 2x là: 2 3 A. . B. . C. . D. 2 . 2 2 Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Điều kiện 2 t 2. 4 Trang 31
  32. 2 2 2 2 2 Ta cĩ t sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x sin 2x t 1. 2 t 1 2 t 1 Phương trình đã cho trở thành t 1 t 2t 3 0 . 2 t 3 loại 1 Với t 1, ta được 2 sin x 1 sin x sin x sin 4 4 2 4 4 x k2 x k2 4 4 , k ¢ . x k2 x k2 2 4 4 k ¢ TH1. Với x k2 0 k 0  kmax 1 x 2 . 1 k ¢ 3 TH2. Với x k2 0 k  k 1 x . 2 4 max 2 3 Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x . Chọn C 2 Câu 65. Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x sin x cos x 1. Tính sin x . 4 A. sin x 0 hoặc sin x 1. B. sin x 0 4 4 4 2 hoặc sin x . 4 2 2 C. sin x . D. sin x 0 hoặc 4 2 4 2 sin x . 4 2 Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Điều kiện 2 t 2. 4 2 2 2 2 2 Ta cĩ t sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x sin 2x 1 t . 2 2 t 0 Phương trình đã cho trở thành 1 t t 1 t t 0 . t 1 1 Với t 1, ta được 2 sin x 1 sin x . 4 4 2 Với t 0 , ta được 2 sin x 0 sin x 0. 4 4 Chọn B Trang 32
  33. Câu 66. Từ phương trình 5sin 2x 16 sin x cos x 16 0 , ta tìm được sin x cĩ 4 giá trị bằng: 2 2 2 A. . B. . C. 1. D. . 2 2 2 Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Điều kiện 2 t 2. 4 2 2 2 2 2 Ta cĩ t sin x cos x sin x cos x 2.sin x cos x sin 2x 1 t . t 1 2 Phương trình đã cho trở thành 5 1 t 16t 16 0 21 . t loại 5 Với t 1 sin x cos x 1. 2 2 Mặt khác sin x cos x sin x cos x 2 , kết hợp với suy ra 2 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x 1 sin x . Chọn D 4 2 Câu 67. Cho x thỏa mãn 6 sin x cos x sin x cos x 6 0 . Tính cos x . 4 A. cos x 1. B. cos x 1. 4 4 1 1 C. cos x . D. cos x . 4 2 4 2 Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Điều kiện 2 t 2. 4 2 2 2 2 2 1 t Ta cĩ t sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x . 2 1 t2 t 1 Phương trình đã cho trở thành 6t 6 0 2 t 13 loại 1 1 2 sin x 1 sin x sin x 4 4 2 4 2 1 1 cos x cos x . Chọn C 2 4 2 4 2 Câu 68. Từ phương trình 1 3 cos x sin x 2sin x cos x 3 1 0 , nếu ta đặt t cos x sin x thì giá trị của t nhận được là: A. t 1 hoặc t 2 .B. t 1 hoặc t 3 . C. t 1.D. t 3 . 1 t2 Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 t 2  sin x cos x . 2 2 Phương trình trở thành 1 3 t t 1 3 1 0 Trang 33
  34. t 1 2 t 1 3 t 3 0 t 1. Chọn C t 3 loại Câu 69. Nếu 1 5 sin x cos x sin 2x 1 5 0 thì sin x bằng bao nhiêu? 2 2 2 A. sin x . B. sin x hoặc sin x . 2 2 2 C. sin x 1 hoặc sin x 0 .D. sin x 0 hoặc sin x 1. 1 t2 Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 t 2  sin x cos x . 2 2 Phương trình trở thành 1 5 t 1 t 1 5 0 t 1 2 t 1 5 t 5 0 t 5 loại sin x cos x 1 cos x sin x 1. 2 2 2 2 sin x 0 Mặt khác sin x cos x 1 sin x sin x 1 1 . Chọn D sin x 1 Câu 70. Nếu 1 sin x 1 cos x 2 thì cos x bằng bao nhiêu? 4 2 2 A. 1. B. 1. C. . D. . 2 2 Lời giải. Ta cĩ 1 sin x 1 cos x 2 1 sin x cos x sin x.cos x 2 sin x cos x sin x.cos x 1 2 sin x cos x 2.sin x.cos x 2. t2 1 Đặt t sin x cos x 2 t 2  sin x cos x . 2 2 2 t 1 Khi đĩ trở thành 2t t 1 2 t 2t 3 0 t 3 loại sin x cos x 1. 2 2 Ta cĩ cos x cos x cos sin xsin cos x sin x . Chọn C 4 4 4 2 2 Câu 71. Cho x thỏa mãn 2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0 . Tính sin 2x. 1 2 1 2 A. sin 2x . B. sin 2x . C. sin 2x . D. sin 2x . 2 2 2 2 Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Vì 4 sin x  1;1 t 0; 2 . 4 2 2 2 2 2 Ta cĩ t sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x sin 2x t 1. Trang 34
  35. 6 2 t Phương trình đã cho trở thành 2 t 1 3 6 t 8 0 2 t 6 loại 2 1 sin 2x t 1 . Chọn C 2 Câu 72. Hỏi trên đoạn 0;2018  , phương trình sin x cos x 4sin 2x 1 cĩ bao nhiêu nghiệm? A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019. Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Vì 4 sin x  1;1 t 0; 2 . 4 2 2 2 2 2 Ta cĩ t sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x sin 2x 1 t . t 1 2 Phương trình đã cho trở thành t 4 1 t 1 3 . t loại 4 k Với t 1, ta được sin 2x 0 2x k x , k ¢ . 2 k Theo giả thiết x 0;2018   0 2018 0 k 4046 2 k ¢  k 0;1;2;3; ;4036  cĩ 4037 giá trị của k nê cĩ 4037 nghiệm. Chọn A Câu 73. Từ phương trình 2 sin x cos x tan x cot x , ta tìm được cos x cĩ giá trị bằng: 2 2 A. 1. B. . C. . D. 1. 2 2 sin x 0 Lời giải. Điều kiện sin 2x 0 . cos x 0 sin x cos x Ta cĩ 2 sin x cos x tan x cot x 2 sin x cos x cos x sin x sin2 x cos2 x 2 sin x cos x 2sin x cos x. 2 sin x cos x 2. sin x cos x t2 1 Đặt t sin x cos x 2 t 2  sin x cos x . 2 2 3 Phương trình trở thành 2 t t 1 2 t t 2 0 t 2 sin x cos x 2 sin x 2 cos x. 2 2 2 2 2 Mà sin x cos x 1 cos x 2 cos x 1 2cos x 2 2 cos x 1 0 2 1 2 cos x 1 0 cos x . Chọn C 2 Trang 35
  36. 3 3 3 Câu 74. Từ phương trình 1 sin x cos x sin 2x , ta tìm được cos x cĩ giá trị 2 4 bằng: 2 2 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 3 Lời giải. Phương trình 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin 2x 2 2 sin x cos x 2 sin 2x 3sin 2x. t2 1 Đặt t sin x cos x 2 t 2  sin x cos x . 2 2 2 Phương trình trở thành 2 t 2 t 1 3 t 1 t 1 3 2 t 3t 3t 5 0 . t 1 6 loại 1 Với t 1, ta được sin x cos x 1 sin x . 4 2 Mà 2 2 2 1 2 sin x cos x 1 cos x cos x . 4 4 4 2 4 2 Chọn D Câu 75. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x sin x cos x m 0 cĩ nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. t2 1 Lời giải. Đặt t sin x cos x 2 t 2  sin x cos x . 2 2 t 1 2 2 Phương trình trở thành t m 0 2m t 2t 1 t 1 2m 2 . 2 2 Do 2 t 2  2 1 t 1 2 1 0 t 1 3 2 2 . 1 2 2 Vậy để phương trình cĩ nghiệm 0 2m 2 3 2 2 m 1 2 m ¢  m 1;0;1. Chọn C Trang 36