Bài tập Trắc nghiệm Toán 11 - Nhị thức Niu-tơn (Có đáp án và lời giải)

Nội dung text: Bài tập Trắc nghiệm Toán 11 - Nhị thức Niu-tơn (Có đáp án và lời giải)

1. TRẮC NGHIỆM NHỊ THỨC NIU-TƠN CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI I. KIẾN THỨC 1. Nhị thức Niu‐tơn n 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n n a b Cn a Cna b  Cn ab Cn b n  an kbk k 0 2. Hệ quả n 0 1 n‐1 n Với a b 1, ta có 2 Cn C  Cn Cn . n 0 1 k k n n Với a 1;b 1, ta có 0 Cn C  1 Cn  1 Cn . 3. Chú ý Trong biểu thức ở vế phải của khai triển a b n n Số các hạng tử là n 1; n Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 ; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n , nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0 b0 1) ; n Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau. II. TRẮC NGHIỆM 10 Câu 1: Tìm hệ số của x12 trong khai triển 2x x2 8 2 8 2 2 8 A. C10 . B. C10 2 . C. C10 . D. C10 2 . 2007 Câu 2: Khai triển đa thức P x 5x 1 ta được 2007 2006 P x a2007 x a2006 x  a1x a0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a C 7 .57 . B. a C 7 .57. C. a C 2000 52000 D. a C 7 57 2000 2007 2000 2007 2000 2007 2000 2007
2. Câu 3: Đa thức P x 32x5 80x4 80x3 40x2 10x 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? 5 5 5 5 A. 1 2x . B. 1 2x . C. 2x 1 . D. x 1 1 Câu 4: Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển (x )13 x 4 7 3 3 7 3 7 A. C13 x . B. C13 . C. C13 x . D. C13 x . 1 Câu 5: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (x )9 2x 1 1 A. − C3 x3 . B. C3 x3 . C. C3 x3 . D. C3 x3. 8 9 8 9 9 9 1 Câu 6: Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển (x )40 x2 37 31 37 31 2 31 4 31 A. C40 x . B. C40 x . C. C40 x . D. C40 x . 2 Câu 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x2 )6 x 2 A. 24 B. 2 2 C. 4 4 D. 2 4 C 6 . 2 C6 . 2 C6 . 2 C6 . 1 Câu 8: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (xy2 )8 xy A. 70y4 . B. 60y4 . C. 50y4 . D. 40y4. 1 Câu 9: Tìm số hạng chứa x3 y trong khai triển (xy )5 y A. 3x3 y . B. 5x3 y . C. 10x3 y . D. 4x3 y. 3n 1 6 1 3 Câu 10: Tìm hệ số của x trong khai triển x với x 0 , biết n là số nguyên x 2 2 dương thỏa mãn 3Cn 1 nP2 4An . A. 210x6 . B. 120x6 . C. 120. D. 210. 2n Câu 11: Tìm hệ số của x9 trong khai triển 1 3x , biết n là số nguyên dương
3. 2 14 1 thỏa mãn 2 3 . Cn 3Cn n 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 A. C18 3 . B. C18 3 x . C. C18 3 x . D. C18 3 3 Câu 12: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x )2n với x 0 , biết n là số 3 x 3 2 nguyên dương thỏa mãn Cn 2n An 1. 12 4 12 0 16 12 4 12 16 0 A. C16 .2 .3 . B. C16 2 . C. C16 .2 .3 . D. C16 .2 . 2 Câu 13: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (3x2 )n với x 0 , biết hệ số của số x hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080. A. 1080. B. −810. C. 810. D. 810. Câu 14: Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x 1 trong khai triển (x )n bằng 4. 3 A. 8. B. 17. C. 9. D. 4. 21 Câu 15: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển x3 xy . 10 40 10 10 43 10 A. C21 x y . B. C21 x y . 11 41 11 10 43 10 11 41 11 C. C21x y . D. C21 x y ; C21x y . 17 Câu 16: Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển 3x 4 A. S 1. B. S 1. C. S 0 . D. S 8192. 1000 Câu 17: Khai triển đa thức P x 2x 1 ta được 1000 999 P x a1000 x a999 x  a1x a0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? n n A. a1000 a999  a1 2 . B. a1000 a999  a1 2 1. C. a1000 a999  a1 1 D. a1000 a999  a1 0
4. 5 10 Câu 18: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P x x 1 2x x2 1 3x A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200. 2 10 1 2 3n Câu 19: Tìm hệ số chứa x trong khai triển f x x x 1 x 2 với n là số 4 3 n 2 tự nhiên thỏa mãn hệ thức An Cn 14n. 9 10 10 5 5 10 10 9 2 x . A. 2 C1910 B. 2 C19 x . C. 2 C1910 D. C 19 n Câu 20: Tìm hệ số của x4 trong khai triển P x 1 x 3x3 với n là số tự nhiên n‐ 2 2 thỏa mãn hệ thức Cn 6n 5 An 1. A. 210. B. 840. C. 480. D. 270. 5 Câu 21: Tìm hệ số của x10 trong khai triển 1 x x2 x3 A. 5. B. 50. C. 101. D. 105. 2 8 Câu 22: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P x 1 x 2 1 x  8 1 x A. 630. B. 635. C. 636. D. 637. Câu 23: Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 1 n n 1 n 2 2n A. C2n C2n C2n C2n C2n C2n . 0 1 n 1 n 1 n 2 2n B. C2n C2n  c2n c2n c2n C2n . 0 1 n 2 n 1 n 2 2n C. C2n C2n C2n C2n C2n C2n . 0 1 n 1 n 1 n 2 2n D. C2n C2n C2n C2n C2n C2n . 0 1 2 n Câu 24: Tính tổng S Cn Cn Cn  Cn . A. S 2n 1. B. S 2n . C. S 2n‐1 . D. S 2n 1. 0 1 2 2n Câu 25: Tính tổng S C2n C2n C2n  C2n . A. S 22n . B. S 22n 1. C. S 2n . D. S 22n 1. 1 2 n 20 Câu 26: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n 1 C2n 1  C2n 1 2 1.
5. A. n 8 . B. n 9 . C. n 10 . D. n 11. 1 3 2n 1 Câu 27: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n 1 C2n 1  C2n 1 1024. A. n 5. B. n 9 . C. n 10 . D. n 4. 0 1 2 3 n n Câu 28: Tính tổng S Cn 3Cn 3 Cn  3 Cn . A. S 3n . B. S 2n . C. S 3.2n . D. S 4n. 12 12 Câu 29: Khai triển đa thức P x 1 2x a0 a1x  a12 x . Tìm hệ số ak 0 k 12 lớn nhất trong khai triển trên. 8 8 9 9 10 10 8 8 A. C12 2 . B. C12 2 . C. C12 2 . D. 1 C12 2 . 10 1 2 9 10 Câu 30: Khai triển đa thức P x x a0 a1x  a9 x a10 x . Tìm hệ số 3 3 ak 0 k 10 lớn nhất trong khai triển trên. 27 27 26 28 A. 1 C 7 . B. C 7 . C. C 6 . D. C8 . 310 10 310 10 310 10 310 10 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Câu 1. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 10 10 k 2 k 10‐ k 2 2x x C10. 2x . x k 0 10 10 k 1 k 10‐ k 10 k C10. 2 x C10. 2 .x k 0 k 0 Hệ số của x12 ứng với 10 k 12 k 2 2 8 hệ số cần tìm C10 2 . ChọnB. Câu 2.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 2017 2007 k 2017‐ k k 5x 1 C2017. 5x . 1 k 0 2017 k 2017‐ k k 2017‐ k C2017. 5 . 1 .x k 0 Hệ số của x2000 ứng với 2017 k 2000 k 7
6. 7 2000 2000 2000 hệ số cần tìm C2017. 5 C2007 .5 . Chọn C. Câu 3. Lời giải. Nhận thấy P x có dấu đan xen nên loại đáp án B. Hệ số của x5 bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32x5.) Chọn C. Câu 4.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 13 13 k 1 k 13‐ k 1 x C13.x . x k 0 x 13 k k 13‐ 2k C13. 1 .x k 0 7 3 7 Hệ số của x ứng với 13 2k 7 k 3 số hạng cần tìm C13 x . Chọn C. Câu 5.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 9 9 k 1 k 9‐ k 1 x C9 .x . 2x k 0 2x 9 k k 1 9‐ 2k C9 . .x k 0 2 1 Hệ số của x3 ứng với 9 2k 3 k 3 số hạng cần tìm C3 x3 . Chọn B. 8 9 Câu 6.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 40 k 1 40 1 x C k .x40‐ k 2  40 2 x k 0 x 40 k 40‐3k C40.x k 0 31 37 31 Hệ số của x ứng với 40 3k 31 k 3 số hạng cần tìm C40 x . Chọn B. Câu 7.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 6 6 k 6 k 2 2 k 2 2 x C6 . x . x k 0 x 6 k k 12‐3k C6 . 2 .x k 0 Số hạng không chứa x ứng với 12 3k 0 k 4
7. 4 4 4 2 số hạng cần tìm C6 .2 2 C6 . Chọn A. Câu 8.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 8 k 8 8‐ k 2 1 k 2 1 xy C8 . xy . xy k 0 xy 8 k k 8‐ 2k 16‐3k C8 . 1 .x .y k 0 Số hạng không chứa x ứng với 8 2k 0 k 4 4 4 4 số hạng cần tìm C8 y 70y . ChọnA. Câu 9.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 5 k 5 1 k 5‐ k 1 xy C5 . xy . y k 0 y 5 k 5‐ k 5‐ 2k C5 .x .y k 0 3 5 k 3 2 3 3 Hệ số của x y ứng với k 2 số hạng cần tìm C5 x y 10x y. 5 2k 1 Chọn C. 2 2 Câu 10.Lời giải. Từ phương trình 3Cn 1 nP2 4An n 3. 3n 1 10 1 3 1 3 Với n 3, ta có x x x x 10 10‐ k 10 k k 1 3 k 4k‐10 C10. . x C10.x k 0 x k 0 Hệ số của x6 ứng với 4k 10 6 k 4 4 hệ số cần tìm C10 210 . Chọn D. 2 14 1 Câu 11.Lời giải. Từ phương trình 2 3 n 9. Cn 3Cn n 2n 18 Với n 9 , ta có 1 3x 1 3x
8. 18 k 18 k k k k C18. 3x C18. 3 .x k 0 k 0 9 9 9 Hệ số của x ứng với k 9 hệ số cần tìm C18 3 . Chọn A. 3 2 Câu 12.Lời giải. Từ phương trình Cn 2n An 1 n 8. Với n 8 , ta có 2n 16 3 3 2x 2x 3 x 3 x 16 k 16‐ k 3 C k . 2x .  16 3 k 0 x 16 4k k 16 k 16‐ k 3 C16.2 . 3 .x . k 0 4k Số hạng không chứa x ứng với 16 0 k 12 3 12 4 12 số hạng cần tìm C16 .2 .3 . Chọn C. A. 1080. B. 810 . C. 810. D. 1080. Câu 13.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có n n k n‐ k 2 2 k 2 2 3x Cn . 3x . x k 0 x n k n‐ k k 2n‐3k Cn .3 2 .x k 0 Số hạng thứ 3 ứng với k 2 , kết hợp với giả thiết ta có 2 n‐ 2 n 5 Cn .3 .4 1080 n n 1 .3 4.5.3 n 5. Hệ số của x7 ứng với 2n 3k 7 10 3k 7 k 1 1 4 hệ số cần tìm C5 3 2 810 . Chọn B. Câu 14.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có n 1 0 n 1 1 n‐1 x Cn x Cn x 3 3
9. 2 n 2 1 n‐ 2 n 1 Cn x  Cn 3 3 2 2 1 n‐ 2 số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là Cn x 3 2 2 1 Yêu cầu bài toán Cn 4 3 n! 1 . 4 n 9 2! n 2 ! 9 Do n N nên ta chọn n 9 thỏa mãn. Chọn C. Câu 15.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 21 21 21 k 3 k 3 k x xy C21. x . xy k 0 21 k 63‐ 2k k C21.x .y k 0 21 Suy ra khai triển x3 xy có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k 10 ) và số hạng thứ 12 (ứng với k 11). 10 43 10 11 41 11 Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là C21 x y ; C21x y . Chọn D. Câu 16.Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển cho x 1. Khi đó S 3.1 4 17 1. Chọn B. 1000 999 Câu 17.Lời giải. Ta có P x a1000 x a999 x  a1x a0. Cho x 1 ta được P 1 a1000 a999  a1 a0. Mặt khác P x 2x 1 1000 P 1 2.1 1 1000 1. Từ đó suy ra a1000 a999  a1 a0 1 a1000 a999  a1 1 a0. Mà là số hạng không chứa x trong khai triển P x 2x 1 1000 nên
10. 1000 0 1000 1000 a0 C1000 2x 1 C1000 1. Vậy a1000 a999  a1 0 . Chọn D. Câu 18.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 5 5 k 5 k x 1 2x x.C5 . 2x k 0 5 k 5 k 6 k C5 . 2 .x k 0 số hạng chứa x5 tương ứng với 6 k 5 k 1. 10 2 10 2 l 10‐l Tương tự, ta có x 1 3x x .C10. 3x l 0 10 l 10‐l 12‐l C10.3 .x l 0 số hạng chứa x5 tương ứng với 12 l 5 l 7. 5 1 4 7 3 Vậy hệ số của x cần tìm P x là C5. 2 C10.3 3320 . Chọn C. 3 n‐ 2 Câu 19.Lời giải. Từ phương trình An Cn 14n n 5. 2 1 2 3n Với n 5, ta có f x x x 1 x 2 4 1 4 15 1 19 x 2 x 2 x 2 16 16 19 1 19 1 k k 19‐ k Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có f x x 2 C19.2 .x 16 16 k 0 Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với 19 k 10 k 9. 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là C10 29 25 C10 . Chọn A. 16 19 19 n‐ 2 2 Câu 20.Lời giải. Từ phương trình Cn 6n 5 An 1 n 10. n 10 Với n 10 , khi đó P x 1 x 3x3 1 x 3x3 . Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
11. 10 10 10 k 3 3 k k 3 P x 1 x 3x 1 x 3x C10 1 x 3x k 0 10 10 k k k k k 2 k l k l k 2l C10 1 x 1 3x C10 Ck 1 3 x k 0 k 0 l 0 k 2l 4 Số hạng chứa x4 trong khai triển tương ứng với 0 k 10 k;l 4;0 , 2;1  0 l k 4 4 0 2 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là C10C4 C10C2 3 480 . ChọnC. Câu 21.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 5 5 1 x x2 x3 1 x 5 1 x2 5 5 5 5 l k k l 2 k l k 2l C5 x .C5 x C5 .C5.x k 0 l 0 k 0 l 0 Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với k 2l 10 k 10 2l. k 2l 10 Kết hợp với điều kiện ta có hệ 0 k 5,0 l 5 k,l N k;l 0;5 , 2;4 , 4;3 . 0 5 2 4 4 3 Vậy hệ số cần tìm là C5 .C5 C5 .C5 C5 .C5 101. Chọn C. Câu 22.Lời giải. Các biểu thức 1 x , 1 x 2 , , 1 x 4 không chứa số hạng chứa x5. 5 5 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 1 x là 5C5 . 5 6 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 6 1 x là 6C6 . 5 7 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 7 1 x là 7C7 . 5 8 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 1 x là 8C8 . 5 5 5 5 5 Vậy hệ số của x trong khai triển P x là 5C5 6C6 7C7 8C8 636 . Chọn C.
12. 0 2n C2n C2n 1 2n‐1 k n‐ k C2n C2n Câu 23.Lời giải. Áp dụng công thức Cn Cn , ta có  n1 n 1 C2n C2n 0 1 n‐1 Cộng vế theo vế, ta được C2n C2n  C2n n 1 n 2 2n C2n C2n  C2n . Chọn B. Câu 24. Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 1 x n , ta có n 0 1 2 2 n n 1 x Cn Cn x Cn x Cn x . 0 1 2 n n n Cho x 1, ta được Cn Cn Cn Cn 1 1 2 . Chọn B. Câu 25.Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 1 x 2n , ta có 2n 0 1 2 2 2n 2n 1 x C2n C2n x C2n x C2n x . 0 1 2 2n Cho x 1, ta được C2n C2n C2n C2n 1 1 2n 22n . Chọn A. Câu 26.Lời giải. 2n 1 0 1 2n 1 Ta có 1 1 C2n 1 C2n 1  C2n 1 . ( 11) 0 2n 1 1 2n Lại có C2n 1 C2n 1 ; C2n 1 C2n 1 ; 2 2n‐1 n n 1 C2n 1 C2n 1 ;  ; C2n 1 C2n 1 . (2) 22n 1 Từ ( 1) và (2) , suy ra C 0 C1  C n 2n 1 2n 1 2n 1 2 1 n 2n 20 2n C2n 1  C2n 1 2 1 2 1 2 1 n 10. Vậy n 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 2n 1 0 2n 1 1 2n 2n 1 Câu 27.Lời giải. Xét khai triển x 1 C2n 1x C2n 1x  C2n 1 . 2n 1 0 1 2n 1 Cho x 1, ta được 2 C2n 1 C2n 1  C2n 1 . ( 11) 0 1 2n 1 Cho x 1, ta được 0 C2n 1 C2n 1  C2n 1 . (2) Cộng ( 1) và (2) vế theo vế, ta được
13. 2n 1 1 3 2n 1 2n 1 2 2 C2n 1 C2n 1  C2n 1 2 2.1024 n 5. Chọn A. Câu 28.Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 1 x n , ta có n 0 1 2 2 n n 1 x Cn Cn x Cn x Cn x . 0 1 2 3 n n n n Cho x 3, ta được Cn 3Cn 3 Cn  3 Cn 1 3 4 . Chọn D. Câu 29.Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 1 2x 12 , ta có 12 12 12 k k k k k 1 2x C12 2x C12 2 x k 0 k 0 k k Suy ra ak C12 2 . k k k 1 k 1 ak ak 1 2 .c12 2 C12 Hệ số ak lớn nhất khi a a k k k‐1 k‐1 k k‐1 2 c12 2 C12 1 2 12 k k 1 23 26 k 2 1 3 3 k 12 k 1 0 k 12 k 8 k ¥ 8 8 Vậy hệ số lớn nhất là a8 C12.2 . Chọn B. 10 1 2 Câu 30. Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của x , ta có 3 3 10 10 10‐ k k 1 2 k 1 2 x C10 x 3 3 k 0 3 3 10 10‐ k k k 1 2 k C10 x . k 0 3 3 10‐ k k k 1 2 Suy ra ak C10 3 3 ak ak 1 Giả sử ak là hệ số lớn nhất, khi đó ak ak‐1
14. 10 k k 10 (k 1) k 1 k 1 2 k 1 1 2 C 10 C 10 3 3 3 3 10 k k 10 (k 1) k 1 k 1 2 k 1 1 2 C 10 C 10 3 3 3 3 19 k 3 0 k 10 k ¥ k 7 22 k 3 27 Vậy hệ số lớn nhất là a C 7 . Chọn B. 7 310 10