Bài tập trắc nghiệm Toán 12: Cực trị trong hình học không gian (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán 12: Cực trị trong hình học không gian (Có đáp án)

1. CỰC TRỊ TRONG HèNH HỌC KHễNG GIAN Cõu 111. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. a3 6 a3 6 a3 6 A. V = a3 6. B. V = . C. V = . D. V = . max max 2 max 3 max 6 Cõu 112. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A' B'C ' D' cú độ dài đường chộo AC ' = 18. Gọi S là diện tớch toàn phần của hỡnh hộp đó cho. Tỡm giỏ trị lớn nhất Smax của S. A. Smax = 36 3. B. Smax = 18 3. C. Smax = 18. D. Smax = 36. Cõu 113. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB = 4 , cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABCD) và SC = 6 . Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. 40 80 20 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 24. max 3 max 3 max 3 max Cõu 114. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều và cú SA = SB = SC = 1. Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. 1 2 3 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 6 max 12 max 12 max 12 Cõu 115. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AD = 4 . Cỏc cạnh bờn bằng nhau và bằng 6 . Tỡm thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. 130 128 125 250 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 3 max 3 max 3 max 3 Cõu 116. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O , cạnh bằng 1; SO vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABCD) và SC = 1 . Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. 2 3 2 3 2 3 4 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 9 max 3 max 27 max 27 Cõu 117. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành với AD = 4a . Cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp bằng nhau và bằng a 6 . Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. 8a3 4 6 A. V = . B. V = a3. C. V = 8a3. D. V = 4 6 a3. max 3 max 3 max max Cõu 118. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, AB = 2 . Cạnh bờn SA = 1 và vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABC ). Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. 1 1 1 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 3 max 4 max 12 max 6 Cõu 119. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại C, cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABC ). Biết SC = 1, tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. 3 2 2 3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 12 max 12 max 27 max 27 Cõu 120. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A và AB = 1. Cỏc cạnh bờn SA = SB = SC = 2. Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp đó cho. 5 5 2 4 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 8 max 4 max 3 max 3
2. Cõu 121. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , cạnh bờn SA = y (y > 0) và vuụng gúc với mặt đỏy (ABCD). Trờn cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = x (0 0, SB SN = n > 0. Tớnh thể tớch lớn nhất V của khối chúp S.AMN biết 2m2 + 3n2 = 1. SD max a3 a3 6 a3 3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 6 max 72 max 24 max 48 Cõu 128. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A' B'C ' D' cú đỏy ABCD là một hỡnh vuụng. Biết tổng diện tớch tất cả cỏc mặt của khối hộp bằng 32. Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối hộp đó cho. 56 3 80 3 70 3 64 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 9 max 9 max 9 max 9 Cõu 129. Cho hỡnh lăng trụ đứng cú thể tớch V và cú đỏy là tam giỏc đều. Khi diện tớch toàn phần của hỡnh lăng trụ nhỏ nhất thỡ độ dài cạnh đỏy bằng bao nhiờu? A. 3 4V . B. 3 V . C. 3 2V . D. 3 6V . Cõu 130. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA = x (0 < x < 3), tất cả cỏc cạnh cũn lại bằng nhau và bằng 1. Với giỏ trị nào của x thỡ thể tớch khối chúp S.ABCD lớn nhất?
3. 3 2 6 3 A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 3 2 2 2 Cõu 131. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A , SA vuụng gúc với đỏy, khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 3 . Gọi a là gúc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC ), tớnh cosa khi thể tớch khối chúp S.ABC nhỏ nhất. 1 3 2 2 A. cosa = . B. cosa = . C. cosa = . D. cosa = . 3 3 2 3 Cõu 132. Cho khối chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn tại B. Khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng a 2, SãAB = SãCB = 900. Xỏc định độ dài cạnh AB để khối chúp S.ABC cú thể tớch nhỏ nhất. a 10 A. AB = . B. AB = a 3. C. AB = 2a. D. AB = 3a 5. 2 Cõu 133. Cho tam giỏc OAB đều cạnh a . Trờn đường thẳng d qua O và vuụng gúc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM = x . Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Tỡm x để thể tớch tứ diện ABMN cú giỏ trị nhỏ nhất. a 2 a 6 a 3 A. x = a 2. B. x = . C. x = . D. x = . 2 12 2 Cõu 134. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại B , AC = 2 . Trờn đường thẳng qua A vuụng gúc với mặt phẳng (ABC ) lấy cỏc điểm M , N khỏc phớa so với mặt phẳng (ABC ) sao cho AM.AN = 1. Tớnh thể tớch nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện MNBC . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . min 3 min 6 min 12 min 3 Cõu 135. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, SA = AB = 2. Cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABC ). Gọi H , K lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn SB và SC . Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp S.AHK . 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 6 max 6 max 3 max 3 Cõu 136. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.AÂBÂC ÂDÂ cú AB = x, AD = 3, gúc giữa đường thẳng AÂC và mặt phẳng (ABBÂAÂ) bằng 300. Tỡm x để thể tớch khối hộp chữ nhật cú thể tớch lớn nhất. 3 15 3 6 3 3 3 5 A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 5 2 2 5 Cõu 137. Cho hỡnh hộp chữ nhật cú tổng diện tớch cỏc mặt bằng 36 và độ dài đường chộo bằng 6. Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đó cho. A. Vmax = 16 2. B. Vmax = 12. C. Vmax = 8 2. D. Vmax = 6 6. Cõu 138*. Cho hỡnh hộp chữ nhật cú ba kớch thước là a, b, c . Dựng một hỡnh lập phương cú cạnh bằng tổng ba kớch thước của hỡnh hộp chữ nhật trờn. Biết rằng thể tớch hỡnh lập phương luụn gấp 32 lần thể tớch hỡnh hộp chữ nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tớch toàn phần hỡnh lập phương và diện tớch toàn phần hỡnh hộp chữ nhật. Tỡm giỏ trị lớn nhất Smax của S. 1 16 32 48 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . max 10 max 5 max 5 max 5
4. Cõu 139*. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = 1, SB = 2, SC = 3 . Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC . Mặt phẳng (a) đi qua trung điểm I của SG cắt cỏc cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M , N, P . 1 1 1 Tớnh giỏ trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức T = + + . SM 2 SN 2 SP 2 2 3 18 A. T = . B. T = . C. T = . D. T = 6. min 7 min 7 min 7 min Cõu 140*. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành, thể tớch là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trờn cạnh SB sao cho SN = 2NB; mặt phẳng (a) di động qua cỏc điểm M , N và cắt cỏc cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phõn biệt K, Q . Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối chúp S.MNKQ . V V 3V 2V A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . max 2 max 3 max 4 max 3 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HèNH HỌC KHễNG GIAN Cõu 111. Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn mặt phẳng (SBC )ắ ắđ AH ^ (SBC ). Ta cú A ã AH Ê AS . Dấu '' = '' xảy ra khi AS ^ (SBC ) . 1 1 ã S = SB.SC.sin BãSC Ê SB.SC . DSBC 2 2 Dấu '' = '' xảy ra khi SB ^ SC . S B ổ ử 1 1ỗ1 ữ 1 H Khi đú V = SDSBC .AH Ê ỗ SB ìSCữAS = SA.SB.SC. 3 3ốỗ2 ứữ 6 Dấu '' = '' xảy ra khi SA, SB, SC đụi một vuụng gúc với nhau. C 1 a3 6 Vậy thể tớch lớn nhất của khối chúp là V = SA.SB.SC = . Chọn D. max 6 6 Cõu 112. Gọi a, b, c là ba kớch thước của hỡnh hộp chữ nhật. Khi đú Stp = 2(ab + bc + ca). Theo giả thiết ta cú a2 + b2 + c 2 = AC '2 = 18. 2 2 2 Từ bất đẳng thức a + b + c ³ ab + bc + ca , suy ra Stp = 2(ab + bc + ca)Ê 2.18 = 36. Dấu '' = '' xảy ra Û a = b = c = 6. Chọn D.
5. Cõu 113. Đặt cạnh BC = x > 0. S Tam giỏc vuụng ABC, cú AC 2 = 16 + x 2 . Tam giỏc vuụng SAC, cú SA = SC 2 - AC 2 = 20- x 2 . Diện tớch hỡnh chữ nhật S = AB.BC = 4x. ABCD 6 1 4 Thể tớch khối chúp V = S .SA = x 20- x 2 . S.ABCD 3 ABCD 3 A 4 B Áp dụng BĐT Cụsi, ta cú 2 x 2 + ( 20- x 2 ) x x. 20- x 2 Ê = 10 . D C 2 4 40 Suy ra V Ê .10 = . S.ABCD 3 3 40 Dấu " = " xảy ra Û x = 20- x 2 Û x = 10 . Vậy V = . Chọn A. max 3 4 Cỏch 2. Xột hàm số f (x)= x 20- x 2 trờn (0;2 5). 3 Cõu 114. Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đều ABC. Vỡ S.ABC là hỡnh chúp đều ị SO ^ (ABC ). x 2 3 Đặt AB = x > 0. Diện tớch tam giỏc đều S = . S DABC 4 x 3 2 x 3 Gọi M là trung điểm BC ị AM = ị OA = AM = . 2 3 3 2 2 2 x Tam giỏc vuụng SOA, cú SO = SA - OA = 1- . A 3 C 2 2 1 1 x 3 3- x 1 2 2 O M Khi đú VS.ABC = SDABC .SO = . . = .x 3- x 3 3 4 3 12 B 1 1 Xột hàm f (x)= .x 2 3- x 2 trờn (0; 3), ta được max f (x)= f ( 2)= . Chọn A. 12 (0; 3) 6 ổ 2 2 2 ử3 2 2 1 2 2 2 1 ỗx + x + 6- 2x ữ Cỏch 2. Ta cú x 3- x = x .x .(6- 2x )Ê ỗ ữ = 2. 2 2 ốỗ 3 ứữ Cõu 115. Gọi O = AC ầBD. Vỡ SA = SB = SC = SD suy ra hỡnh chiếu của S trờn mặt đỏy trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đỏy ị SO ^ (ABCD). Đặt AB = x > 0. Tam giỏc vuụng ABC, cú S AC = AB 2 + BC 2 = x 2 + 16. Tam giỏc vuụng SOA, cú 6 AC 2 128- x 2 SO = SA2 - AO 2 = SA2 - = . 4 2 x 1 1 128- x 2 B A Khi đú V = S .SO = .4x. S.ABCD 3 ABCD 3 2 O 4 1 1 128 = . 2x 128- x 2 Ê .(x 2 + 128- x 2 )= . C D 3 ( ) 3 3 128 Dấu '' = '' xảy ra x = 128- x 2 Û x = 8. Suy ra V Ê . Chọn B. S.ABCD 3
6. Cõu 116. Đặt OA = OC = x . Tam giỏc vuụng AOD, cú S OD = AD 2 - OA2 = 1- x 2 . Suy ra = - 2 . BD 2 1 x 1 2 Diện tớch hỡnh thoi S ABCD = OA.BD = 2x 1- x . Tam giỏc vuụng SOC, cú B A SO = SC 2 - OC 2 = 1- x 2 . x 1 O 1 Thể tớch khối chúp VS.ABCD = SABCD .SO 3 C D 1 2 = .2x 1- x 2 . 1- x 2 = x (1- x 2 ). 3 3 ổ ử 2 ỗ 1 ữ 2 Xột hàm f (x )= x (1- x ) trờn (0;1), ta được max f (x)= f ỗ ữ= . (0;1) ốỗ 3 ứữ 3 3 4 3 Suy ra V = . Chọn D. max 27 Cỏch 2. Áp dụng BDT Cụsi, ta cú 2 2 2 2 1- 2 2 2x 1- x 1- x ổ 2 2 2 ử3 x ( x ) ( )( ) 2 ỗ2x + 1- x + 1- x ữ 4 3 = Ê ỗ ữ = . 3 3 3 ốỗ 3 ứữ 27 Cõu 117. Do SA = SB = SC = SD = a 6 nờn hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng (ABCD) trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp đỏy, do đú tứ giỏc ABCD là hỡnh chữ nhật. Gọi H = AC ầBD , suy ra SH ^ (ABCD). Đặt AB = x > 0. Ta cú S AC = AD 2 + AB 2 = x 2 + 16a2 . Tam giỏc vuụng SHA, cú AC 2 8a2 - x 2 SH = SA2 - = . 4 2 A D 1 1 H Khi đú VS.ABCD = SABCD .SH = AB.AD.SH 3 3 B C 1 8a2 - x 2 a a 8a3 = .x.4a. = 2x 8a2 - x 2 Ê (x 2 + 8a2 - x 2 )= . Chọn A. 3 2 3 ( ) 3 3 Cõu 118. Đặt AC = x > 0. S Suy ra CB = AB 2 - CA2 = 4 - x 2 . 1 x 4 - x 2 Diện tớch tam giỏc S = AC.CB = . DABC 2 2 1 1 Khi đú V = S .SA = x 4 - x 2 A B S.ABC 3 DABC 6 ( ) ổ 2 2 ử 1 ỗx + 4 - x ữ 1 Ê ỗ ữ= . Chọn A. C 6 ốỗ 2 ứữ 3
7. Cõu 119. Giả sử CA = CB = x > 0. S Suy ra SA = SC 2 - AC 2 = 1- x 2 . 1 1 2 Diện tớch tam giỏc SDABC = CA.CB = x . 1 2 2 A B 1 1 2 2 x x Khi đú VS.ABC = SDABC .SA = x 1- x . 3 6 C ổ 2 ử 3 1 2 2 ỗ ữ Xột hàm f (x)= x 1- x trờn (0;1), ta được max f (x)= f ỗ ữ= . Chọn D. 6 (0;1) ốỗ 3 ứữ 27 ổ 2 2 2 ử3 2 2 1 2 2 2 1 ỗx + x + 2- 2x ữ 2 3 Cỏch 2. Ta cú x 1- x = x .x .(2- 2x )Ê ỗ ữ = . 2 2 ốỗ 3 ứữ 9 Cõu 120. Gọi I là trung điểm của BC. Suy ra IA = IB = IC ắ ắđ I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Theo giả thiết, ta cú SA = SB = SC suy ra I là hỡnh chiếu của S trờn mặt phẳng (ABC ) ắ ắđ SI ^ (ABC ). 2 2 2 Đặt AC = x > 0. Suy ra BC = AB + AC = x + 1. S 15- x 2 Tam giỏc vuụng SBI, cú SI = SB 2 - BI 2 = . 2 1 x Diện tớch tam giỏc vuụng S = AB.AC = . DABC 2 2 B C 1 1 x 15- x 2 Khi đú V = S .SI = . . I S.ABC 3 DABC 3 2 2 1 1 x 2 + 15- x 2 5 = x 15- x 2 Ê . = . Chọn A. 12 ( ) 12 2 8 A Cõu 121. Từ x 2 + y 2 = a 2 ị y = a 2 - x 2 . S ổ ử ổ ử ỗBC + AM ữ ỗa + x ữ Diện tớch mặt đỏy SABCM = ỗ ữ.AB = ỗ ữa. ốỗ 2 ứữ ốỗ 2 ứữ y 1 Thể tớch khối chúp VS.ABCM = SABCM .SA A a 3 x B 1 ổa + x ử a a = .ỗ . ữ 2 - 2 = + 2 - 2 . M ỗ aữ a x (a x) a x 3 ố 2 ứ 6 D C 2 2 2 ổaử 3 3a Xột hàm f (x)= (a + x) a - x trờn (0;a), ta được max f (x)= f ỗ ữ= . (0;a) ốỗ2ứữ 4 a3 3 Suy ra V = . Chọn B. max 8 Cõu 122. Gọi H là trung điểm của AD ị SH ^ AD.
8. Mà (SAD)^ (ABCD)ị SH ^ (ABCD). S Giả sử AD = x > 0 . x 2 Suy ra HC = HD 2 + CD 2 = + 16. 4 x 2 Tam giỏc vuụng SHC, cú SH = SC 2 - HC 2 = 20- . A B 4 H 1 1 Khi đú V = S .SH = AB.AD.SH S.ABCD 3 ABCD 3 D C 1 x 2 1 1 80 = .4.x 20- = 2x 80- x 2 Ê (x 2 + 80- x 2 )= . Chọn D. 3 4 3( ) 3 3 Cõu 123. Ta cú tam giỏc ABC và SBC là những tam giỏc đều cạnh bằng 1. Gọi N là trung điểm BC . Trong tam giỏc SAN , kẻ SH ^ AN . (1) Ta cú 3 ● SN là đường cao của tam giỏc đều SBC ắ ắđ SN = . 2 ùỡ BC ^ AN ● ớù ắ ắđ BC ^ (SAN )ắ ắđ BC ^ SH . (2) ợù BC ^ SN Từ (1)và (2), suy ra SH ^ (ABC ). S 3 Diện tớch tam giỏc đều ABC là S = . x DABC 4 1 Khi đú V = S .SH S.ABC 3 DABC A C 1 1 3 3 1 Ê S .SN = . . = . 3 DABC 3 4 2 8 H N Dấu '' = '' xảy ra ô H º N. Chọn B. B Cõu 124. Hỡnh vẽ. A Cỏch làm tương tự như bài trờn. Tam giỏc BCD đều cạnh bằng 2 3 đ BN = 3. x VABCD lớn nhất H Û N . Khi đú ANB vuụng. Trong tam giỏc vuụng cõn ANB , cú B C AB = BN 2 = 3. 2. Chọn A. H N D Cõu 125. Từ giả thiết ta cú a = b + c. ổ ử2 3 1 1 1 ỗb + c ữ a Do OA, OB, OC vuụng gúc từng đụi nờn VOABC = abc = a.(bc)Ê a.ỗ ữ = . 6 6 6 ốỗ 2 ứữ 24 a Dấu '' = '' xảy ra Û b = c = . Chọn C. 2 ùỡ x 2 + y2 = a2 ù ù 2 2 2 Cõu 126. Đặt AB = x, AC = y, AS = z. Ta cú ớ x + z = b . S ù ù 2 2 2 ợù y + z = c c z b A y C x a B
9. xyz (2xy)(2yz)(2zx) Khi đú V = ắ ắđ V 2 = 6 288 2 2 2 2 2 2 (x + y )(y + z )(z + x ) a2b2c 2 abc 2 Ê = ắ ắđ V Ê . 288 288 24 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z ắ ắđ a = b = c. Chọn D. a3 Cõu 127. Thể tớch khối chúp S.ABD là V = . S S.ABD 6 V SM SN Ta cú S.AMN = . = mn M VS.ABD SB SD N 3 mna B ắ ắđ VS.AMN = mn.VS.ABD = . 6 A 2.m. 3.n 2m2 + 3n2 1 Mặt khỏc mn = Ê = . 6 2 6 2 6 D C ỡ 3 ù 2m = 3n 1 1 a 6 Dấu '' = '' xảy ra Û ớ ị m = ;n = . Suy ra V Ê . Chọn B. ù 2 2 S.AMN ợù 2m + 3n = 1 2 6 72 Cõu 128. Đặt a là độ dài cạnh của hỡnh vuụng đỏy, b là chiều cao của khối hộp với a, b > 0. 2 1 ổ16 ử Theo giả thiết ta cú 2a + 4ab = 32 Û 2a(a + 2b)= 32 Û a(a + 2b)= 16 Û b = ỗ - aữ. 2 ốỗ a ứữ 16 Do b > 0 ắ ắđ - a > 0 đ a 0 là chiều cao lăng trụ; a > 0 là độ dài cạnh đỏy. a2 3 4V Theo giả thiết ta cú V = Sday .h = .h ắ ắđ h = . 4 a2 3 a2 3 4V Diện tớch toàn phần của lăng trụ: Stp = S2 day + Sxung quanh = + 3a. . 2 a2 3 a2 3 4 3V Áp dụng BĐT Cụsi, ta cú S = + toan phan 2 a a2 3 2 3V 2 3V a2 2 2 3V 2 3V = + + ³ 33 . . = 3 3 6 2V 2 2 a a 2 a a a2 3 2 3V 2 3V Dấu '' = '' xảy ra khi Û = = Û a = 3 4V . Chọn A. 2 a a Cõu 130. Gọi O là tõm của hỡnh thoi ABCD ị OA = OC . (1) Theo bài ra, ta cú DSBD = DCBD ị OS = OC. (2) 1 Từ (1) và (2), ta cú OS = OA = OC = AC ị DSAC vuụng tại S ị AC = x 2 + 1 . 2 x 2 + 1 3- x 2 Suy ra OA = và OB = AB 2 - OA2 = . 2 2
10. S B A H O C D (x 2 + 1)(3- x 2 ) Diện tớch hỡnh thoi S = 2.OA.OB = . ABCD 2 Ta cú SB = SC = SD = 1, suy ra hỡnh chiếu vuụng gúc H của đỉnh S trờn mặt đỏy là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD ắ ắđ H ẻ AC. SA.SC x Trong tam giỏc vuụng SAC , ta cú SH = = . SA2 + SC 2 x 2 + 1 2 2 1 (x + 1)(3- x ) x 1 1 ổx 2 + 3- x 2 ử 1 Khi đú V = . = x 3- x 2 Ê .ỗ ữ= . S.ABCD ỗ ữ 3 2 x 2 + 1 6 6 ốỗ 2 ứữ 4 1 6 Suy ra V Ê . Dấu '' = '' xảy ra Û x = 3- x 2 Û x = . Chọn C. S.ABCD 4 2 Cõu 131. Gọi M là trung điểm của BC , kẻ AH ^ SM (H ẻ SM ). (1) Tam giỏc ABC cõn suy ra BC ^ AM. Mà SA ^ (ABC )ị SA ^ BC . Suy ra BC ^ (SAM )ị AH ^ BC. (2) ộ ự Từ (1) và (2), suy ra AH ^ (SBC ) nờn d ởA,(SBC )ỷ= AH = 3. 3 S Tam giỏc vuụng AMH, cú AM = . sin a 3 Tam giỏc vuụng SAM , cú SA = AM.tan a = . cosa H Tam giỏc vuụng cõn ABC, BC = 2AM. A C 1 9 9 Diện tớch tam giỏc S = BC.AM = AM 2 = = . DABC 2 sin2 a 1- cos2 a M 1 9 Khi đú V = SDABC .SA = . 3 (1- cos2 a).cosa B 2 27 3 Xột hàm f (x )= (1- cos2 x ).cos x , ta được f (x)Ê . Suy ra V ³ . 3 3 2 3 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi cosa = . Chọn B. 3 1 Cỏch 2. Đặt AB = AC = x; SA = y . Khi đú V = x 2 y. S.ABC 6 1 1 1 1 1 1 Vỡ AB, AC, AS đụi một vuụng gúc nờn = = + + ³ 33 . 2 ộ ự 2 2 2 4 2 9 d ởA,(SBC )ỷ x x y x y 1 27 3 Suy ra x 2 y ³ 81 3 ắ ắđ V = x 2 y ³ . SABC 6 2
11. 3 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = y = 3 3 ắ ắđ cosa = . 3 Cõu 132. Gọi D là điểm sao cho ABCD là hỡnh vuụng. ùỡ AB ^ AD Ta cú ớù ắ ắđ AB ^ (SAD)ắ ắđ AB ^ SD . ù ã 0 ợù SAB = 90 đ AB ^ SA Tương tự, ta cũng cú BC ^ SD . Từ đú suy ra SD ^ (ABDC ). Kẻ DH ^ SC (H ẻ SC )ắ ắđ DH ^ (SBC ). S ộ ự ộ ự Khi đú d ởA,(SBC )ỷ= d ởD,(SBC )ỷ= DH. Đặt AB = x > 0. H Trong tam giỏc vuụng SDC, cú 1 1 1 1 1 1 2 = 2 + 2 Û 2 = 2 + 2 . DH SD DC (a 2) SD x D C ax 2 Suy ra SD = . x 2 - 2a2 A B 1 1 ax 3 2 a 2 x 3 Thể tớch khối chúp VS.ABC = VS.ABCD = . = . . 2 6 x 2 - 2a2 6 x 2 - 2a2 x 3 Xột hàm f (x)= trờn (a 2;+ Ơ ), ta được min f (x)= f (a 3)= 3 3a2 . x 2 - 2a2 (a 2;+ Ơ ) Chọn B. a Cõu 133. Do tam giỏc OAB đều cạnh a ị F là trung điểm OB ị OF = . 2 ùỡ AF ^ OB M Ta cú ớù ị AF ^ (MOB)ị AF ^ MB. ợù AF ^ MO Mặt khỏc, MB ^ AE . Suy ra MB ^ (AEF )ị MB ^ EF. Suy ra DOBM ∽ DONF nờn OB ON OB.OF a2 O A = ị ON = = . OM OF OM 2x E F Ta cú VABMN = VABOM + VABON 1 a2 3 ổ a2 ử a3 6 ỗ ữ B = SDOAB (OM + ON )= ỗx + ữ³ . 3 12 ốỗ 2x ữứ 12 N a2 a 2 Đẳng thức xảy ra khi x = Û x = . Chọn B. 2x 2 Cõu 134. Đặt AM = x, AN = y suy ra AM.AN = x.y = 1.
12. AC M Tam giỏc vuụng ABC, cú AB = BC = = 2. 2 AB 2 Diện tớch tam giỏc vuụng S = = 1. DABC 2 1 Ta cú V = V . + V . = SD .(AM + AN ) A C MNBC M ABC N ABC 3 ABC 1 1 2 = (x + y) ắ Cắosắiđ ³ .2 xy = . 3 3 3 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 . Chọn D. B N Cõu 135. Đặt AC = x (0 0). D' C' A' B' h D C 3 A x B Tam giỏc vuụng AÂBÂB, cú AÂB = AÂBÂ2 + BBÂ2 = x 2 + h2 . BC 3 Tam giỏc vuụng AÂBC, cú tanCãAÂB = Û tan 300 = Û x 2 + h2 = 27. AÂB x 2 + h2 Thể tớch khối hộp chữ nhật ABCD.AÂBÂC ÂDÂ là V = BBÂ.SABCD = 3xh.
13. ổx 2 + h2 ử 27 81 81 ỗ ữ Áp dụng BĐT Cụsi, ta cú 3xh Ê 3ỗ ữ= 3. = ị Vmax = . ốỗ 2 ứữ 2 2 2 ùỡ x = h > 0 27 3 6 Dấu = xảy ra Û ù ị 2 = ị = Chọn B. " " ớ 2 2 x x . ợù x + h = 27 2 2 Cõu 137. Giả sử a, b, c là cỏc kớch thước của hỡnh hộp chữ nhật. Độ dài đường chộo của hỡnh chữ nhật là a2 + b2 + c 2 Tổng diện tớch cỏc mặt là 2(ab + bc + ca). ỡ ù 2(ab + bc + ca)= 36 ùỡ ab + bc + ca = 18 Theo giả thiết ta cú ớù Û ớù . ù 2 2 2 ù 2 + 2 + 2 = ợù a + b + c = 6 ợù a b c 36 Ta cần tỡm giỏ trị lớn nhất của V = abc. 2 Ta cú (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca)= 72 ị a + b + c = 6 2. 2 2 Ta cú (b + c) ³ 4bc Û 6 2 - a ³ 4 ộ18- a 6 2 - a ựÛ 0 Ê a Ê 4 2. ( ) ởờ ( )ỷỳ Khi đú V = abc = a ộ18- a(b + c)ự= a ộ18- a 6 2 - a ự= a3 - 6 2a2 + 18a ở ỷ ởờ ( )ỷỳ Xột hàm số f a = a3 - 6 2a2 + 18a với a ẻ 0;4 2ự, ta được ( ) ( ỷỳ max f (x)= f ( 2)= f (4 2)= 8 2. 0;4 2ự ( ỷỳ Chọn C. 3 ổa + b + c ử Nhận xột. Nếu sử dụng V = abc Ê ỗ ữ = 16 2 thỡ sai vỡ dấu '' = '' khụng xảy ra. ốỗ 3 ứữ Cõu hỏi tương tự. Cho hỡnh hộp chữ nhật cú tổng độ dài tất cả ỏc cạnh bằng 32 và độ dài đường chộo bằng 2 6. Tớnh thể tớch lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đó cho. ĐS: Vmax = 16. Cõu 138*. Theo giả thiết ta cú cạnh của hỡnh lập phương bằng a + b + c . ● Hỡnh hộp chữ nhật cú: V = abc và Stp = 2(ab + ac + bc). 3 2 ● Hỡnh lập phương cú: V ' = (a + b + c) và S 'tp = 6(a + b + c ) . 2 S (a + b + c) Suy ra S = 1 = 3. . S2 ab + bc + ca 3 3 3 (a + b + c) bc ổb c ử ổb c ử Ta cú (a + b + c) = 32abc Û = 32 Û ỗ + + 1ữ = 32ỗ . ữ. a3 a2 ốỗa a ữứ ốỗa aữứ ùỡ b ù = x 3 ù a 3 (x + y + 1) Đặt ớù ắ ắđ (x + y + 1) = 32xy Û xy = . ù c 32 ù = y ợù a 2 2 2 (x + y + 1) (x + y + 1) t= x + y+ 1> 1 t Khi đú S = 3. = 3. 3 ắ ắ ắ ắắđ S = 96. 3 . x + y + xy (x + y + 1) t + 32t - 32 x + y + 32 3 2 Ta cú (x + y + 1) = 32xy Ê 8(x + y) 2 ắ ắđ t 3 Ê 8(t - 1) ơ ắđ t 3 - 8t 2 + 16t - 8 Ê 0 ơ ắđ 2 Ê t Ê 3 + 5 . 2 t ộ ự 1 Xột hàm f (t)= 3 trờn đoạn 2;3+ 5 , ta được max f (t)= f (4)= . ởờ ỷỳ ộ2;3+ 5ự t + 32t - 32 ởờ ỷỳ 10 Chọn D.
14. uur 1 uur uur uur Cõu 139*. Do G là trọng tõm DABC ắ ắđ SG = SA + SB + SC 3( ) SG uur 1ổSA uuur SB uuur SC uurử uur 1 ổSA uuur SB uuur SC uurử ắ ắđ .SI = ỗ SM + SN + SPữÛ SI = ỗ SM + SN + SPữ. SI 3ốỗSM SN SP ứữ 6 ốỗSM SN SP ứữ 1 ổSA SB SC ử SA SB SC Do I, M , N, P đồng phẳng nờn ỗ + + ữ= 1 ô + + = 6. 6 ốỗSM SN SP ứữ SM SN SP Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta cú 2 ổ 1 1 1 ử 2 2 2 ổSA SB SC ử ỗ + + ữ(SA + SB + SC )³ ỗ + + ữ ốỗSM 2 SN 2 SP 2 ứữ ốỗSM SN SP ứữ 36 18 Suy ra T ³ = . Chọn C. SA2 + SB2 + SC 2 7 Cỏch trắc nghiệm. Do đỳng với mọi hỡnh chúp nờn ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt SA, SB, SC đụi một vuụng gúc và tọa độ húa như sau: S º O(0;0;0), A(1;0;0), B(0;2;0) và C (0;0;3). Suy ổ1 2 ử ổ1 1 1ử ra Gỗ ; ;1ữắ ắđ I ỗ ; ; ữ. ốỗ3 3 ứữ ốỗ6 3 2ứữ Khi đú mặt phẳng (a) cắt SA, SB, SC lần lượt tại M (a;0;0), N (0;b;0), P (0;0;c) x y z 1 1 1 ắ ắđ (a): + + = 1 và T = + + . a b c a2 b2 c 2 ổ1 1 1ử 1 1 1 1 1 1 Vỡ I ỗ ; ; ữẻ (a)ắ ắđ (a): . + . + . = 1. ốỗ6 3 2ứữ 6 a 3 b 2 c 2 2 ổ1 1 1 1 1 1ử ổ1 1 1 ử ổ1 1 1 ử 18 Ta cú 1 = ỗ . + . + . ữ Ê ỗ + + ữ.ỗ + + ữắ ắđ T ³ . ốỗ6 a 3 b 2 c ứữ ốỗ62 32 22 ứữốỗa2 b2 c 2 ứữ 7 SK Cõu 140*. Gọi a = (0 Ê a Ê 1). SC Vỡ mặt phẳng (a) di động đi qua cỏc điểm M , N và cắt cỏc cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm SA SC SB SD phõn biệt K, Q nờn ta cú đẳng thức + = + SM SK SN SQ 1 3 SD SQ 2a ơ ắđ 2 + = + ắ ắđ = . a 2 SQ SD 2 + a S M N Q P A D B C V 1 ổSM SN SK SM SK SQ ử 1 ổ4a 2 ử 2a 1 Ta cú S.MNKQ = ỗ . . + . . ữ= ỗ - ữ= - . ỗ ữ ỗ ữ VS.ABCD 2 ốSA SB SC SA SC SD ứ 2 ố 3 a + 2ứ 3 a + 2 2a 1 1 Xột hàm f (a)= - . trờn đoạn [0;1], ta được max f (a)= f (1)= . Chọn B. 3 a + 2 [0;1] 3