›
›
›

Bảng tóm tắt công thức Toán Lớp 12

pdf 18 trang thaodu 6670
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bảng tóm tắt công thức Toán Lớp 12", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbang_tom_tat_cong_thuc_toan_lop_12.pdf

Nội dung text: Bảng tóm tắt công thức Toán Lớp 12

  1. BAÛNG TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC TOAÙN 12 COÂNG THÖÙC LUÕY THÖØA Cho caùc soá döông ab, vaø mn, . Ta coù: n * . a a. a a vôùi n n 1 . a0 1 . a n thöøa soá an am . ()()am n a mn a n m . am. a n a m n . amn an 1 n n n aa2 n n n aa m n . . aa m a b () ab . n 1 bb 3 aa3 COÂNG THÖÙC LOGARIT Cho caùc soá a, b 0, a 1. Ta coù: . loga b a b . lgb log b log10 b . lnbb loge b . loga 1 0 . loga a 1 . loga ab 1 n n n . logm bb log . logb n log b . logm bb log a m a aa a m a log b b aba . log (bc ) log b log c . log logbc log . a a a a a a logca log c acbb loga c 1 . logab .log b c log a c . logb c . loga b loga b logb a HAØM SOÁ LUÕY THÖØA – MUÕ – LOGARIT HAØM LUÕY THÖØA HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT yxlog yx x . Daïng: a vôùi . Daïng: vôùi u laø ña ya a 0 . Daïng: vôùi . yuloga yu yau a 1 . Ñaëc bieät: a e yln x ; . Taäp xaùc ñònh: thöùc ñaïi soá. D . a10 y log x lg x . . Ñaïo haøm: . Ñieàu kieän xaùc ñònh: u 0. . Taäp xaùc ñònh: . Ñaïo haøm: xx y a y aln a 1 . ylog x y Neáu ÑK u . y aux y aln a . u a xaln . u xx ÑK ()ee yloga u y Neáu u 0. Ñaëc bieät: . ualn uu ().e e u 1 ÑK (lnx ) Neáu u 0. x . Söï bieán thieân: yax Ñaëc bieät: . u (lnu ) . Ñaïo haøm: Neáu a 1 thì haøm ñoàng bieán u . Söï bieán thieân: yxloga 1 y x  y x treân . Neáu 01a thì Neáu : haøm ñoàng bieán y u  y u 1. u haøm nghòch bieán treân . treân (0; ) . Neáu : haøm nghòch bieán treân (0; )
  2. ÑOÀ THÒ HAØM MUÕ VAØ HAØM LOGARIT ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ MUÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ LOGARIT xx . logx 0 a 1; log x 0 b 1 . Ta thaáy: a0 a 1; b 0 b 1. Ta thaáy: ab. xx . logx c 1; log x d 1. . Ta thaáy: c c1; d d 1. Ta thaáy: cd . So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân . So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân x töø traùi sang phaûi, truùng a tröôùc neân ab. töø phaûi sang traùi, truùng logb x tröôùc: ba. . So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân . So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân x töø traùi sang phaûi, truùng c tröôùc neân cd. töø phaûi sang traùi, truùng logd x tröôùc: dc. . Vaäy 0b a 1 d c . . Vaäy 01a b c d . PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT Phöông trình muõ Phöông trình Logarit . Daïng cô baûn: . Daïng cô baûn: af()() x a g x f()() x g x logaaf ( x ) log g( x ) f ( x ) g ( x ) 0 . Daïng logarit hoùa: b fx() . a b f( x ) log b Daïng muõ hoùa: loga f ( x ) b f ( x ) a a f()() x g x (khoâng caàn ñieàu kieän) a b f( x ) g ( x ).loga b BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT Baát Phöông trình muõ Baát Phöông trình Logarit . a 1 Daïng cô baûn: af()() x a g x f()() x g x a 1 . Daïng cô baûn: logaaf () x log g () x f () x g () x 0 01 a af()() x a g x f()() x g x 01 a logaaf ()log x g () x 0 f () x g () x COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM 1 11 . x . 1 2 . k 0 . ()xx 2 x xx Vôùi k laø haèng soá  ().u u 1 u u  u 1 u  2 2 u uu xx xx . ee . a aln a . sinxx cos . cosxx sin uu uu  e e. u  a a.ln a . u  sinu u cos u  cosu u sin u
  3. 1 2 1 2 . tanxx 2 1 tan . cotxx 2 1 cot cos x sin x u u 2 2  tanu 2 u 1 tan u  cotu 2 u 1 cot u cos u sin u COÂNG THÖÙC NGUYEÂN HAØM fxdxFx()()()() C Fx fx . k.()() f x dx k f x dx .  fx()()()() gxdx fxdx gxdx . kdx kx C 1) kdx kx C . 22dx x C . ( 3)dx 3 x C 3 4 1 1 x 3 x x 2 2 2) x dx C . x dx C . xdx x2 dx C x3 C 1 4 3/ 2 3 1 MR 1 (ax b ) 1 (1 xx )11 (1 ) 11  ().ax b dx C . (1 2x )10 dx . C C a 1 2 11 22 1 1 1 11 3) dx ln x C  MR dx ln ax b C . dx ln 1 3 x C x ax b a 1 3x 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4) dx C  MR dx . C . dx . C C x22 x() ax b a ax b (2x 3)2 2 2 x 3 4 x 6 3 55 2 1 1x 1 xx 11 4 . x 2 10 dx ln x 10 x C . dx x dx ln x C x x3 x xx 5 1 1 5) ex dx e x C  MR e ax b dx e ax b C . e x dx e x C e x C a 1 ax 5x 9x 6) ax dx C . 5x dx C . 392xxdx dx C ln a ln5 ln9 bx c 2xx 5 2 5 MR bx c 1 a 1 3 3  a dx . C . 3.25x dx C C baln 2 ln3 2ln3 1 1 1 6x . ex 1 2 edx x e 2 x 1 2 edxe x 2 x 1 2 eC x . 2x .3 x 1dx 2 x .3 x . dx 6 x dx C 2 3 3 3ln 6 7) sinxdx cos x C 1 . sin 4x dx cos 4 x C MR 1 2 4 2  sin(ax b ) dx cos( ax b ) C a ab 4; 2 8) cosxdx sin x C 1 . cos x dx sin x C sin x C 3 1 3 3 MR 1  cos(ax b ) dx sin( ax b ) C ab 1; a 3 2 1 1 1 . sinxdx 1 cos2 x dx x sin 2 x C . 3sinx 2cos x dx 3cos x 2sin x C 2 2 2 (haï baäc) 1 2 9) dx 1 tan2 x dx tan x C 1 2cosx 1 2 . 22dx 2 dx tan x 2 x C cos x cosxx cos 11  MR dx tan ax b C 11 2 . dx tan3 x C cos ax b a cos2 3x 3
  4. MR 2 1  1 tan ax b dx tan ax b C 1 a . 1 tan2 2x dx tan 2 x C 2 ab 2; 22 1 2 xsin x 1 1 x 10) dx 1 cot x dx cot x C . 2 22dx x dx cot x C sin x sinxx sin 2 11  MR dx cot ax b C 11 2 . dx cot8 x C sin ax b a sin2 8x 8 1 1  MR 1 cot2 ax b dx cot ax b C . 1 cot2 3x dx cot 3 x C a 3 1 sin22xx cos 1 1 . 2 2dx 2 2 dx 2 2 dx tan x cot x C sinx cos x sin x cos x cos x sin x DIEÄN TÍCH VAØ THEÅ TÍCH . Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y f() x , . Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y f() x , truïc Ox , x a, x b thì coù dieän tích: y g() x , x a, x b thì coù dieän tích: b b S f() x dx S f()() x g x dx a a y f() x y f() x . Khi xoay hình phaúng quanh Ox , . Khi xoay hình phaúng y g() x quanh Ox , x a, x b x a, x b ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích b ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích 2 V f() x dx b a V f22()() x g x dx a . Xeùt hình khoái ñöôïc giôùi haïn bôûi hai maët phaúng x a, x b . Khi caét khoái naøy ta ñöôïc thieát dieän coù b dieän tích Sx() (laø haøm lieân tuïc treân [a;b]). Theå tích khoái naøy treân ab;  laø: V S() x dx . a COÂNG THÖÙC CHUYEÅN ÑOÄNG Xeùt haøm quaûng ñöôøng St( ), haøm vaän toác vt() vaø haøm gia toác at(). Ba haøm naøy seõ bieán thieân theo t . . S()()()() t v t dt v t S t . v()()()() t a t dt a t v t COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC 1. Heä thöùc cô baûn: sin cos . sin22 cos 1 . tan . cot . tan .cot 1 cos sin 1 1 sin( k 2 ) sin tan( k ) tan 2 2 . . 1 tan 2 . 1 cot 2 . cos sin cos( k 2 ) cos cot( k ) cot 2. Cung lieân keát: Pi Ñoái: vaø Buø: vaø Phuï: vaø Khaùc pi: ; Khaùc :; 2 22
  5. sin cos sin( ) sin sin cos sin( ) sin sin( ) sin 2 2 cos( ) cos cos( ) cos cos sin cos( ) cos cos sin 2 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot tan( ) tan tan cot 2 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan cot( ) cot cot tan 2 2 Khaùc pi Khaùc pi chia 2 Cos Ñoái Sin Buø Phuï Cheùo Tang, Cotang Sin baïn cos 3. Coâng thöùc coäng: sin(a b ) sin a .cos b sin b .cos a cos(a b ) cos a .cos b sin a .sin b sin(a b ) sin a .cos b sin b .cos a cos(a b ) cos a .cos b sin a .sin b tanab tan tanab tan tan(ab ) tan(ab ) 1 tanab .tan 1 tanab .tan 4. Coâng thöùc nhaân ñoâi, nhaân ba: cos 2 cos22 sin 2tan sin 2 2sin .cos tan 2 2cos22 1 1 2sin 1 tan2 3tan tan3 sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos tan3 1 3tan2 5. Coâng thöùc haï baäc 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 sin2 cos2 tan2 2 2 1 cos 2 6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích: a b a b a b a b cosab cos 2cos .cos cosab cos 2sin .sin 22 22 a b a b a b a b sinab sin 2sin .cos sinab sin 2cos .sin 22 22 sin(ab ) sin(ab ) tanab tan tanab tan cosab .cos cosab .cos sin cos 2.sin 2.cos sin cos 2 sin 2 cos 44 44 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång: 1 1 1 cosa .cos b  cos( a b ) cos( a b ) sina .sin b  cos( a b ) cos( a b ) sina .cos b  sin( a b ) sin( a b ) 2 2 2 Cos.Cos thì Cos coäng coäng Cos tröø Sin.Sin thì Cos tröø tröø Cos coäng Sin.Cos thì Sin coäng coäng Sin tröø PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC u v k2 u v k2 . sinu sin v ( k ) . cosu cos v k u v k2 u v k2
  6. sinu 1 u k 2 2 cosu 1 u k 2 Ñaëc bieät: sinu 1 u k 2 k Ñaëc bieät: cosu 1 u k 2 2 sinu 0 u k cosu 0 u k 2 . tanu tan v u v k . cotu cot v u v k TOÅ HÔÏP – XAÙC SUAÁT QUY TAÉC COÄNG QUY TAÉC NHAÂN Neáu pheùp ñeám ñöôïc chia ra nhieàu tröôøng hôïp, Neáu pheùp ñeám ñöôïc chia ra laøm nhieàu giai ñoaïn ta seõ coäng caùc keát quaû laïi. baét buoäc, ta seõ nhaân caùc keát quaû cuûa moãi giai ñoaïn aáy. HOAÙN VÒ CHÆNH HÔÏP TOÅ HÔÏP . Choïn k phaàn töû töø n phaàn töû . Choïn phaàn töû töø phaàn töû . Saép xeáp (ñoåi choã) cuûa n phaàn (khoâng saép xeáp thöù töï), ta coù (coù saép xeáp thöù töï), ta ñöôïc soá töû khaùc nhau, ta coù soá caùch k k soá caùch choïn laø Cn . caùch choïn laø An . xeáp laø Pn ! vôùi n . n n! n! . Caùch tính: C k . Caùch tính: Ak . Caùch tính: n n k !! k n nk ! n! 1.2 n 1 n . nk, nk, . Quy öôùc soác: 0! 1. vôùi . vôùi . 0 kn 0 kn nX() . Coâng thöùc: PX() . Tính chaát: n() 0 PX ( ) 1 . Trong ñoù: nX(): soá phaàn töû cuûa XAÙC SUAÁT PP( ) 0; (  ) 1 . taäp bieán coá X ; n(): soá phaàn töû khoâng gian maãu . PX() laø xaùc suaát PXPX( ) 1 ( ) vôùi X laø bieán coá ñoái cuûa X . ñeå bieán coá X xaûy ra vôùi X . KHAI TRIEÅN NHÒ THÖÙC NEWTÔN n 0n 1 n 1 2 n 2 2 n 1 n 1 n n . ab CaCabCabn n n Cab n Cb n . Khai trieån daïng lieät keâ: n 0 1 2 2n 1 n 1 n n . Ñaëc bieät: 1 x C C x C x C x C x (*). n n n n n 0 1 2n 1 n n Trong caùc coâng thöùc beân, . Heä quaû 1: CCCCCn n n n n 2 (töùc laø thay x 1 vaøo (*)). ta luoân coù nn , 2. . Heä quaû 2: Vôùi n chaün, chæ caàn thay x 1 vaøo (*), ta coù: 0 1 2n 1 n 0 2 4 n 1 3 n 1 CCCCCCCCCCCCnnn nn 0 nnn nnn n n n k n k k k n k k . Khai trieån: a b  Cn a b . Soá haïng toång quaùt: Tkn 1 C a b Khai trieån toång quaùt: k 0 k k n k k . Phaân bieät heä soá vaø soá haïng: Cn ( 1) a b . x . Trong caùc coâng thöùc beân, HEÄ SOÁ ta luoân coù SOÁ HAÏNG Nhôù raèng soá haïng khoâng chöùa x öùng vôùi 0. CAÁP SOÁ COÄNG – CAÁP SOÁ NHAÂN CAÁP SOÁ COÄNG CAÁP SOÁ NHAÂN
  7. 1. Ñònh nghóa: 1. Ñònh nghóa: . Daõy soá un ñöôïc goïi laø caáp soá coäng khi vaø . Daõy soá un ñöôïc goïi laø caáp soá nhaân khi vaø * * chæ khi unn 1 u d vôùi n . chæ khi unn 1 u. q vôùi n . . Caáp soá coäng nhö treân coù soá haïng ñaàu u1, . Caáp soá nhaân nhö treân coù soá haïng ñaàu u1, coâng sai d. coâng boäi q . 2. Soá haïng toång quaùt: 2. Soá haïng toång quaùt: * n 1 * . un u1 ( n 1) d vôùi n . . un u1. q vôùi n . 3. Tính chaát caùc soá haïng: 3. Tính chaát caùc soá haïng: . u u2 u vôùi k vaø k 2. 2 k 11 k k . u. u u vôùi vaø k 2. k 11 k k 4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: 4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: ()u1 un n n . Snn u12 u u . uq1(1 ) 2 . Snn u12 u u vôùi q 1. 1 q KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ & BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN HAØM NHAÁT BIEÁN HAØM BAÄC BA XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU ax b y ax32 bx cx d (a 0) y ( ad bc 0) cx d . Böôùc 1: Tìm taäp xaùc ñònh D . 2 . Ñaïo haøm y 32 ax bx c . ad bc . Böôùc 2: Tính y f() x ; cho . Ñaïo haøm y . . Haøm soá ñoàng bieán treân taäp ()cx d 2 Tìm nghieäm y 0 xx12, xaùc ñònh yx 0,  . Haøm soá ñoàng bieán treân . Böôùc 3: Laäp baûng bieán thieân. a 0 (Neân choïn giaù trò x ñaïi dieän cho . töøng khoaûng xaùc ñònh 0 töøng khoaûng thay vaøo y ñeå tìm ad bc 0. . Haøm soá nghòch bieán treân daáu cuûa y treân khoaûng ñoù). . Haøm soá nghòch bieán taäp xaùc ñònh yx 0,  . Böôùc 4: Döïa vaøo baûng bieán treân töøng khoaûng xaùc a 0 thieân ñeå keát luaän veà söï ñoàng . ñònh ad bc 0. bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. 0 CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BA CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BOÁN ÑIEÀU KIEÄN CÖÏC TRÒ y ax42 bx c . Haøm soá coù ñieåm cöïc trò laø . Ñaïo haøm y 42 ax3 bx . . Ñaïo haøm . yx (0 ) 0 . Ñieàu kieän cöïc trò (;)xy . . Haøm soá coù hai cöïc trò 00 y() x y ab 0 00 a 0 Ba cöïc trò (giaû thieát laø haøm soá lieân tuïc (*) . ab 0 y 0 Moät cöïc trò 22 taïi x0 ). ab 0 . Ñeå tìm ñieàu kieän cho haøm soá fx( ) 0 Coù cöïc trò ab22 0 . Neáu 0 thì haøm soá khoâng coù cöïc trò: Böôùc 1: . Cho ABC,, laø ba ñieåm cöïc fx(0 ) 0 laøm theo coâng thöùc (*). Böôùc 2: phuû ñònh keát quaû. 3 xx ba 8 fx() ñaït cöïc ñaïi taïi 0. trò, ta coù: cos BAC . Phöông trình ñöôøng thaúng ñi ba3 8 fx( ) 0 qua hai ñieåm cöïc trò: . Neáu 0 thì haøm soá b5 fx(0 ) 0 f( x ). f ( x ) y f() x S ABC 3 . 18a 32a ñaït cöïc tieåu taïi TÌM MAX-MIN TREÂN ÑOAÏN TÌM MAX-MIN TREN KHOAÛNG Tìm Max-Min cuûa fx() treân ñoaïn ab;  Tìm Max-Min cuûa treân khoaûng (;)ab
  8. . Böôùc 1: Tính . . Böôùc 1: Tính y f() x . Tìm caùc nghieäm khi cho . Tìm caùc nghieäm xi (;) a b khi cho fx( ) 0 . . Böôùc 2: Caàn tính limyy , lim . (Neáu thay (;)ab . Böôùc 2: Tính caùc giaù trò f( a ), f ( b ) vaø fx(i ), x a x b (neáu coù). baèng (;) thì ta tính theâm lim y ). x . Böôùc 3: So sanh taát caû giaù trò trong böôùc 2 ñeå . Böôùc 3: Laäp baûng bieán thieân vaø suy ra giaù trò keát luaän veà giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát. lôùn nhaát, nhoû nhaát treân khoaûng. . Neáu haøm fx() ñoàng bieán treân [;]ab thì . Neáu haøm nghòch bieán treân thì maxf ( x ) f ( b ) maxf ( x ) f ( a ) x[;] a b x[;] a b minf ( x ) f ( a ) minf ( x ) f ( b ) ÑAËC x[;] a b x[;] a b BIEÄT TIEÄM CAÄN ÑÖÙNG TIEÄM CAÄN NGANG xx x . Ñònh nghóa: 0 (x höõu haïn, y voâ haïn), . Ñònh nghóa: (x voâ haïn, y höõu haïn), y yy0 ta coù tieäm caän ñöùng xx0 . Löu yù: ñieàu kieän ta coù tieäm caän ngang yy0 . xx0 coù theå ñöôïc thay baèng xx0 (giôùi . Caùch tìm TCN: Ñôn giaûn nhaát laø duøng CASIO Böôùc 1: Nhaäp haøm soá vaøo maùy. haïn beân traùi) hoaëc xx0 (giôùi haïn beân NEXT NEXT phaûi). Böôùc 2: CALC X 10 ^10 NEXT NEXT . Caùch tìm TCÑ: Neáu xx0 laø moät nghieäm CALC X 10 ^10 cuûa maãu soá maø khoâng phaûi laø nghieäm cuûa Böôùc 3: Neáu keát quaû thu ñöôïc laø höõu haïn (töùc töû soá thì xx0 chính laø moät TCÑ cuûa ñoà thò. laø y0 ) thì ta keát luaän TCN: yy0 . ax b d a . Ñoà thò haøm soá y vôùi (c 0, ad bc 0) coù moät TCÑ: x , moät TCN: y . cx d c c . Neân nhôù, ñoà thò coù theå coù nhieàu tieäm caän ñöùng, nhöng chæ coù toái ña laø 2 tieäm caän ngang. TÌM TOÏA ÑOÄ GIAO ÑIEÅM HOAËC SOÁ GIAO ÑIEÅM HAI ÑOÀ THÒ Xeùt hai ñoà thò():()C1 y f x vaø():()C2 y g x . . Böôùc 1 : Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm . Böôùc 2 : Giaûi phöông trình (*) ñeå tìm caùc nghieäm xx, , (neáu coù), suy ra yy, cuûa ()&()CC12: f()() x g x . (*) 12 12 PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN DAÏNG 1 DAÏNG 2 DAÏNG 3 Vieát phöông trình tieáp tuyeán Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa cuûa ñoà thò ():()C y f x taïi ñoà thò bieát tieáp ñoà thò bieát tieáp ñieåm M(;)() x00 y C tuyeán coù heä soá goùc k. tuyeán ñi qua A(;) xAA y . . Böôùc 1: Tính ñaïo haøm y , töø . Böôùc 1: Goïi M(;) x00 y laø tieáp . Böôùc 1: Tieáp tuyeán coù daïng : y y( x )( x x ) y (*) vôùi ñoù coù heä soá goùc k y( x0 ). ñieåm vaø tính ñaïo haøm . 0 0 0 y f( x ). . Böôùc 2 : Vieát phöông trình . Böôùc 2: Cho y() x0 k , töø ñoù 00 tieáp tuyeán cuûa ñoà thò daïng . Böôùc 2: Thay toïa ñoä ñieåm A tìm ñöôïc tieáp ñieåm (xy00 ; ). y k() x x y . vaøo (*) ñeå tìm ñöôïc x . 00 . Böôùc 3: Vieát phöông trình 0 tieáp tuyeán : . Böôùc 3: Thay x0 tìm ñöôïc vaøo
  9. (*) ñeå vieát phöông trình tieáp y k() x x00 y . tuyeán. SOÁ PHÖÙC VAØ CAÙC YEÁU TOÁ LIEÂN QUAN ab, Soá phöùc coù daïng: z a bi vôùi (i: laø ñôn vò aûo). Kyù hieäu taäp soá phöùc: . i2 1 Thaønh phaàn Hình hoïc Minh hoïa . Phaàn thöïc: a. Neáu a 0 thì z bi ñöôïc goïi laø . Ñieåm M(;) a b bieåu dieãn soá thuaàn aûo. cho z treân heä truïc Oxy. . Phaàn aûo : b. . Moâ-ñun: Neáu b 0 thì za laø soá thöïc. z OM a22 b . . Khi ab0 thì z 0 vöøa laø soá thuaàn aûo vöøa laø soá thöïc. Soá phöùc lieân hôïp – Soá phöùc Caên baäc hai Phöông trình baäc hai nghòch ñaûo 2 Cho z a bi . Khi ñoù: . Caên baäc hai cuûa a 0 laø a. . Phöông trình za0 coù . Soá phöùc lieân hôïp cuûa noù . Caên baäc hai cuûa a 0 laø hai nghieäm phöùc za. laø z a bi . ia. . Phöông trình za2 0 coù . Soá phöùc nghòch ñaûo laø . Caên baäc hai cuûa soá phöùc hai nghieäm phöùc z i a . 11 z 1 z a bi laø hai soá phöùc daïng . Phöông trình az2 bz c 0 z a bi x22 y a vôùi 0 seõ coù hai nghieäm ab w x yi vôùi . i . 2xy b bi a2 b 2 a 2 b 2 phöùc laø: z . 1,2 2a KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG I. MOÄT SOÁ HÌNH PHAÚNG CÔ BAÛN: Pitago 1. Tam giaùc vuoâng: 2 2 2 2 A ▪ AB AC BC ▪ AB BH. BC ▪ AC2 CH. BC ▪ AH2 BH. CH 1 1 1 AB. AC ▪ AH AH2 AB 2 AC 2 22 B C AB AC H AC AB AC AB ▪ sinB (ñoái/huyeàn) ▪ cosB (keà/huyeàn) ▪ tanB (ñoái/keà) ▪ cot B (keà/ñoái) BC BC AB AC 2. Tam giaùc ñeàu: Giaû söû tam giaùc ABC ñeàu coù caïnh a; troïng taâm G; caùc ñöôøng A cao (truøng vôùi trung tuyeán) goàm AH , BK. (caïnh ) 3 a 3 a ▪ Ñöôøng cao: AH BK . 22 a K 2 2a 3 a 3 1 1 a 3 a 3 ▪ AG AH.; GH AH G 3 3 2 3 3 3 2 6 22 B C (caïnh ) 3 a 3 H a ▪ Dieän tích: S . ABC 44 3. Tam giaùc thöôøng: Giaû söû tam giaùc ABC coù a BC,, b AC c AB ; caùc ñöôøng cao ha,, h b h c laàn löôït öùng vôùi caïnh a,,. b c Kyù hieäu Rr, laàn löôït laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp ∆.
  10. a b c ▪ Ñònh lí Sin: 2R. sinABC sin sin ▪ Ñònh lí Coâ-sin: a2 b 2 c 2 2 bc .cos A ; b2 ac 2 22 ac .cos Bc ; 2 ab 2 2 2 abC .cos . 1 1 1 1 1 1 ▪ Dieän tích: S h ; a h b h c S ab.sin C ac .sin B bc .sin A ; ABC2 a 2 b 2 c ABC 2 2 2 abc a b c S pr ; S pp( ap )( bp )( bvôùip ) (nöûa chu vi). ABC 4R ABC 2 Coâng thöùc Heâ Roâng 4. Hình vuoâng: Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh a; hai ñieåm MN, laàn löôït laø trung ñieåm cuûa CD,; AD I laø taâm hình vuoâng. AC BD ▪ Ñöôøng cheùo: . AC BD( caïnh ) 2 a 2 a 2 IA IB IC ID neân I laø taâm ñöôøng troøn ñi qua 2 boán ñænh hình vuoâng. 22 ▪ Dieän tích: SABCD () caïnh a ; chu vi: pa4. ▪ Vì ABN ADM , ta chöùng minh ñöôïc: AM BN. 5. Hình chöõ nhaät: Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm I coù AB a,. AD b ▪ Ñöôøng cheùo: AC BD a22 b . 1 IA IB IC ID a22 b neân I laø taâm ñöôøng troøn ñi 2 qua boán ñieåm ABCD,,,. ▪ Dieän tích: S a. b ; chu vi: p2( a b ). ABCD 6. Hình thoi: Cho hình thoi ABCD coù taâm I, caïnh baèng a. ▪ Ñöôøng cheùo: AC BD; AC2 AI 2 AB .sin ABI 2 a .sin ABI . 1 ▪ Dieän tích: S AC. BD ; SSSS2 2 2 . ABCD 2 ABCD ABC ACD ABD Ñaëc bieät: Neáu hình thoi coù goùc BD600 ( AC1200 ) thì ta chia hình thoi ra laøm hai tam giaùc ñeàu: ABC ACD. a2 3 a2 3 AC a vaø SS ; SS2. ABC ACD 4 ABCD ABC 2 II. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP: 7. Hình choùp: 7.1. Hình choùp tam giaùc ñeàu ▪ Taát caû caïnh beân baèng nhau. S ▪ Ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. ▪ SH() ABC vôùi H laø troïng taâm h ∆ ABC. D 2 a 3 2 13a Sñ Theå tích A ▪ 4 Vh. H 34 SH h Sđ B C Goùc giöõa caïnh beân vaø maët Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy: 1 V h. S 3 ñ
  11. 7.2. Töù dieän ñeàu: ñaùy: SA,( ABC ) SAH (SAB ),( ABC ) SMH ▪ Ñaây cuõng laø hình choùp tam giaùc ñeàu, ñaëc bieät laø caïnh SC,( ABC ) SCH . (SBC ),( ABC ) SNH . beân baèng caïnh ñaùy. Theå 7.3. Hình choùp töù giaùc ñeàu: ▪ Taát caû caïnh beân baèng nhau. a3 2 tích: V . ▪ Ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. 12 ▪ SO() ABCD vôùi O laø taâm hình vuoâng ABCD. Sa2 1 ▪ ñ Theå tích V h. a2 . SO h 3 Goùc giöõa caïnh beân vaø maët Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy: ñaùy: SA,( ABCD ) SAO (SAB ),( ABCD ) SMO SB,( ABCD ) SBO . (SBC ),( ABCD ) SNO . 7.4. Hình choùp coù caïnh beân Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc ñaëc bieät SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. h SA Theå tích 1 h SA 1 ▪ V SA. S . ▪ Theå tích V SA. S . SS 3 ABC ABCD ñ ABC SSñ ABCD 3 ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SB,( ABC ) SBA SB,( ABCD ) SBA . . SC,( ABC ) SCA SC,( ABCD ) SCA 7.5. Hình choùp coù maët beân Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc ñaëc bieät (SAB) vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. ▪ Ñöôøng cao h SH cuõng laø ▪ Ñöôøng cao cuõng laø ñöôøng cao cuûa ∆SAB. ñöôøng cao cuûa ∆SAB. ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SA,( ABC ) SAH SA,( ABCD ) SAH . . SC,( ABC ) SCH SC,( ABCD ) SCH
  12. III. THEÅ TÍCH KHOÁI LAÊNG TRUÏ: 1. Hình laêng truï thöôøng: Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc . Hai ñaùy laø hai hình gioáng nhau vaø naèm trong hai maët phaúng song song. . Caùc caïnh beân song song vaø baèng nhau. Caùc maët beân laø caùc hình bình haønh. . Theå tích: V h S . . ñ V AH SABC AH S A B C V AH SABCD AH S A B C D 2. Hình laêng truï ñöùng: Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc . Caùc caïnh beân cuøng vuoâng goùc vôùi hai maët ñaùy neân moãi caïnh beân cuõng laø ñöôøng cao cuûa laêng truï.  Laêng truï tam giaùc ñeàu: Laø laêng truï ñöùng vaø coù hai ñaùy laø hai tam giaùc ñeàu baèng nhau. . Theå tích: V h. Sñ vôùi Theå tích: vôùi h AA BB CC . h AA BB CC DD . 3. Hình hoäp: 3.1 Hình hoäp chöõ nhaät: 3.2. Hình laäp phöông: . Laø laêng truï coù taát caû caùc maët . Laø laêng truï ñöùng coù ñaùy laø . Laø hình hoäp chöõ nhaät coù taát caû laø hình bình haønh. hình chöõ nhaät. caùc caïnh baèng nhau. . V abc vôùi a,, b c laø ba kích 3 . Va vôùi a laø caïnh cuûa hình . Theå tích: . thöôùc khaùc nhau cuûa hình hoäp laäp phöông. chöõ nhaät. MAËT TRUÏ – MAËT NOÙN – MAËT CAÀU MAËT NOÙN Caùc yeáu toá maët noùn: Moät soá coâng thöùc: S . Ñöôøng cao: h SO . ( SO . Chu vi ñaùy: pr2. cuõng ñöôïc goïi laø truïc cuûa hình . Dieän tích ñaùy: Sr2 . noùn). đ . Baùn kính ñaùy: l h 112 l . Theå tích: V h S h r l r OA OB OM . 33đ . Ñöôøng sinh: (lieân töôûng khoái choùp). A B r O l SA SB SM . . Dieän tích xung quanh: M . Goùc ôû ñænh: ASB . Sxq rl . Hình thaønh: Quay vuoâng
  13. SOM quanh truïc SO , ta ñöôïc . Thieát dieän qua truïc: SAB . Dieän tích toaøn phaàn: maët noùn nhö hình beân vôùi: caân taïi S. 2 Stp S xq Sđ rl r . h SO . Goùc giöõa ñöôøng sinh vaø maët . r OM ñaùy: SAO SBO SMO . MAËT TRUÏ Caùc yeáu toá maët truï: Moät soá coâng thöùc: . Ñöôøng cao: h OO . . Chu vi ñaùy: pr2. . 2 Ñöôøng sinh: l AD BC . . Dieän tích ñaùy: Srđ . Ta coù: lh. . Theå tích khoái truï: . Baùn kính ñaùy: 2 V h Sđ h r . r OA OB O C O D . . Dieän tích xung quanh: . ∆ Truïc ( ) laø ñöôøng thaúng ñi qua S2 r . h . xq hai ñieåm OO,. Hình thaønh: Quay hình chöõ . Dieän tích toaøn phaàn: nhaät ABCD quanh ñöôøng . Thieát dieän qua truïc: Laø hình S S2 S 2 r . h 2 r2 . trung bình OO , ta coù maët truï chöõ nhaät ABCD. tp xq đ nhö hình beân. Maët caàu ngoaïi tieáp ña dieän MAËT CAÀU Moät soá coâng thöùc: Maët caàu noäi tieáp ña dieän . Maët caàu . Taâm I, baùn kính ngoaïi tieáp ña R IA IB IM . dieän laø maët . Ñöôøng kính AB2 R. caàu ñi qua taát caû ñænh cuûa ña . Thieát dieän qua taâm maët caàu: dieän ñoù. Laø ñöôøng troøn taâm I , baùn kính R . . Maët caàu noäi 2 tieáp ña dieän laø Hình thaønh: Quay ñöôøng . Dieän tích maët caàu: SR4 troøn taâm I , baùn kính maët caàu tieáp 4 R3 AB . Theå tích khoái caàu: V xuùc vôùi taát caû R quanh truïc AB , ta coù 3 caùc maët cuûa ña 2 dieän ñoù. maët caàu nhö hình veõ. CAÙCH TÌM BAÙN KÍNH MAËT CAÀU NGOAÏI TIEÁP HÌNH CHOÙP THÖÔØNG GAËP 1. Hình choùp coù caùc ñænh nhìn moät caïnh 2. Hình choùp ñeàu. döôùi moät goùc vuoâng. . Xeùt hình choùp coù . Xeùt hình choùp tam . Xeùt hình choùp töù giaùc . Xeùt hình choùp coù SA() ABCD vaø giaùc ñeàu coù caïnh beân ñeàu coù caïnh beân baèng SA() ABC vaø ABCD laø hình chöõ baèng b vaø ñöôøng cao b vaø chieàu cao SO h
  14. ABC 900 . nhaät hoaëc hình vuoâng. SH h. . Baùn kính maët caàu . Ta coù . Ta coù: SAC SBC . Baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp 0 0 ngoaïi tieáp hình choùp SAC SBC 90 SDC 90 treân laø . b2 neân maët caàu ngoaïi Suy ra maët caàu ngoaïi treân laø R . tieáp hình choùp coù taâm tieáp hình choùp coù taâm 2h I laø trung ñieåm SC , laø trung ñieåm , SC SC baùn kính R . baùn kính R . 2 2 3. Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi 4. Hình choùp coù maët beân vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. maët ñaùy. . Khi ñoù maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù baùn 2 h kính Rr2 . 2 ñ . Neáu ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a thì a 3 r . ñ 3 . Xeùt hình choùp coù . Neáu ñaùy laø hình vuoâng SA (ñaùy) vaø . Xeùt hình choùp coù maët beân ()SAB (ñaùy), baùn a 2 kính ngoaïi tieáp ñaùy laø r , baùn kính ngoaïi tieáp SA h; baùn kính caïnh a thì r . ñ ñ 2 ñöôøng troøn ngoaïi tieáp SAB laø r , d AB() SAB (ñaùy). . Neáu ñaùy laø hình chöõ b cuûa ñaùy laø rñ . . Khi ñoù baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp laø nhaät caïnh ab, thì 2 22 d ab R r22 r . r . ñb ñ 2 4 HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN 1. Heä truïc toïa ñoä Oxyz: . Heä truïc goàm ba truïc Ox,, Oy Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau. . Truïc Ox : truïc hoaønh, coù vectô ñôn vò i (1;0;0) . . Truïc Oy : truïc tung, coù vectô ñôn vò j (0;1;0) . . Truïc Oz : truïc cao, coù vectô ñôn vò k (0;0;1). . Ñieåm O(0;0;0) laø goác toïa ñoä. 2. Toïa ñoä vectô: Vectô u xi yj zk u(;;) xyz . Cho a( a1 ; a 2 ; a 3 ), b ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) . Ta coù: . a b(;;) a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 . a cuøng phöông b a kb() k R . ka(;;) ka1 ka 2 ka 3 a11 kb ab aaa 11 a kb123 , ( b , b , b 0). 2 2b b b 1 2 3 . a b a22 b 1 2 3 a33 kb ab33 2 222 2 2 2 2 . a b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 . a a1 a 2 a 2 . a a a1 a 2 a 3
  15. ab. a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 . a b a. b 0 a b a b a b 0 . cos(ab , ) 1 1 2 2 3 3 ab. 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a 3. b 1 b 2 b 3 3. Toïa ñoä ñieåm: M(;;)(;;) x y z OM x y z . Cho Axyz(;;),(;;),(;;)AAABBBCCC Bxyz Cxyz , ta coù: 2 2 2 . AB(;;) xBABABA x y y z z . AB()()() xBABABA x y y z z . Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: . Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: x x y y z z x x x y y y z z z M ABABAB;;. G ABCABCABC;;. 2 2 2 3 3 3 4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô:  Ñònh nghóa: Cho a(,,) a1 a 2 a 3 , b(,,) b1 b 2 b 3 , tích coù höôùng cuûa a vaø b laø: a2 a 3 a 3 a 1 aa12 ab,;;;; abababababab23 3231 1312 21 . b2 b 3 b 3 b 1 bb12  Tính chaát: [,]a b a [,]a b b [a , b ] a . b .sin a , b . Ñieàu kieän cuøng phöông của hai vectô ab& laø . Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô ab, vaø c ab,0 vôùi 0 (0;0;0). laø [a , b ]. c 0. . Dieän tích hình bình haønh ABCD: . Dieän tích tam giaùc ABC: 1 S AB,. AD S AB,. AC ABCD ABC 2 1 . Theå tích khoái hoäp: V[ AB , AD ]. AA '. . Theå tích töù dieän: V AB,. AC AD . ABCD.'''' A B C D ABCD 6 5. Phöông trình maët caàu: Daïng 1: ():()()()S x a2 y b 2 z c 2 R 2 Daïng 2: (Sx ) :2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 czd 0 I(;;) a b c I(;;) a b c Maët caàu() S coù Maët caàu() S coù RR2 R a2 b 2 c 2 d  Phöông trình x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 laø phöông trình maët caàu a2 b 2 c 2 d 0 . Baøi toaùn 5.1. Vieát phöông trình maët caàu taâm Baøi toaùn 5.2. Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB. I vaø ñi qua ñieåm M. . Böôùc 1: Tìm taâm I laø trung ñieåm AB. Baùn kính . Böôùc 1: Tính baùn kính R IM . AB R IA IB . 2 . Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. . Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. 6. Phöông trình maët phaúng: qua M(;;) x y z . Maët phaúng ()P 0 0 0 thì phöông VTPT n(;;) a b c trình (P ) : a ( x x0 ) b ( y y 0 ) c ( z z 0 ) 0 . . Ngöôïc laïi, moät maët phaúng baát kyø ñeàu coù phöông  Löu yù: Vectô phaùp tuyeán (VTPT) cuûa maët trình daïng ax by cz d 0 , maët phaúng phaúng laø vectô khaùc 0 naèm treân ñöôøng thaúng naøy coù VTPT n(;;) a b c . vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñoù. Baøi toaùn 6.1. Vieát phöông trình maët phaúng Baøi toaùn 6.2. Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB. ñi qua ba ñieåm A, B, C.
  16. . Böôùc 1: Tìm trung ñieåm I cuûa ñoaïn AB vaø tính . Böôùc 1: Tính toïa ñoä AB, AC vaø suy ra toïa ñoä AB . AB, AC . qua I . Böôùc 2: Phöông trình mp(P ) . qua A . Böôùc 2: Phöông trình mp(P ) VTPT n AB VTPTn AB , AC Baøi toaùn 6.3. Vieát phöông trình maët phaúng Baøi toaùn 6.4. Vieát phöông trình maët phaúng qua M vaø chöùa ñöôøng thaúng d vôùi Md. caét Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi A( a ; 0;0), B (0; b ; 0), Cc(0;0; ) vôùi a, b , c 0 . . Phöông trình maët phaúng ñöôïc vieát theo ñoaïn chaén . Böôùc 1: Choïn ñieåm Ad vaø moät VTCP ud . x y z Tính AM, u . (P ) : 1 . d a b c qua M . Böôùc 2: Phöông trình mp(P ) VTPTn AM , u d Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song M(;;) x0 y 0 z 0 (P ) : ax by cz d1 0 . Cho . . Cho hai maët phaúng . mp( P ) : ax by cz d 0 (Q ) : ax by cz d2 0 ax0 by 0 cz 0 d dd12 . Khi ñoù: d M,() P . . Khi ñoù: d ( P ),( Q ) vôùi dd12 . abc2 2 2 abc2 2 2 Goùc giöõa hai maët phaúng Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng ( ), () coù phöông trình: . Cho hai maët phaúng ( ), () coù phöông trình: (P ) : a1 x b 1 y c 1 z d 1 0 (P ) : a x b y c z d 0 . Ta coù: 1 1 1 1 (Q ) : a x b y c z d 0 2 2 2 2 (Q ) : a x b y c z d 0 2 2 2 2 a b c d . ()()PQ 1 1 1 1 . . Goùc giöõa ()&()PQ ñöôïc tính: a2 b 2 c 2 d 2 a b c d nnPQ. a a b b c c 1 1 1 1 cos (PQ ),( ) 1 2 1 2 1 2 . ()()PQ . 2 2 2 2 2 2 a2 b 2 c 2 d 2 nnPQ. a1 b 1 c 1. a 2 b 2 c 2 . ()&()PQ caét nhau a1:::: b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 .  Chuù yù: 000 (PQ ),( ) 90 . . (P ) ( Q ) a1 a 2 bb 1 2 c 1 c 2 0.  Löu yù: Caùc tæ soá treân coù nghóa khi maãu khaùc 0. Ví trò töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu Cho maët phaúng (P ): ax by cz d 0 vaø maët caàu ()S coù taâm I vaø baùn kính R. . Tröôøng hôïp 1: d I,() P R ()P vaø ()S khoâng coù ñieåm chung. . Tröôøng hôïp 2: d I,() P R ()P vaø ()S coù . Tröôøng hôïp 3: d I,() P R ()P caét ()S
  17. moät ñieåm chung. Khi ñoù ta noùi ()P tieáp xuùc theo giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn. ()S hoaëc ()P laø tieáp dieän cuûa (S ). Ñöôøng troøn giao tuyeán coù taâm H (laø trung ñieåm Ta coù: IM () P vôùi M laø tieáp ñieåm. AB), baùn kính r R22 IH vôùi IH d I,(). P 7. Phöông trình ñöôøng thaúng: quaA ( x ; y ; z ) AAA x xA u1 t  Ñöôøng thaúng d coù: VTCPu ( u1 ; u 2 ; u 3 ) . Phöông trình tham soá d: y yA u2 t vôùi z zA u3 t t laø tham soá. . Phöông trình chính taéc x xAAA y y z z d : vôùi u1. u 2 . u 3 0 .  Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng d laø u1 u 2 u 3 vectô khaùc 0 , coù giaù naèm treân d hoaëc song song vôùi d. ad  Löu yù: Neáu coù caëp vectô khaùc 0 khoâng cuøng phöông sao cho thì d coù VTCP laø: u a, b . d bd 7.1. Ví trò töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng: qua M qua N Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng dd12, vôùi d1 , d1 . VTCP u1 VTCP u2 Böôùc I Böôùc II Keát luaän dd u;0 MN 12  uu,0Hai ñöôøng thaúng  1 12 (Hai ñöôøng thaúng truøng nhau) dd12, song song hoaëc truøng nhau.  u1;0 MN dd12  u12, u . MN 0 d1 caét d2  uu12,0Hai ñöôøng thaúng dd12, caét nhau hoaëc cheùo nhau.  u12, u . MN 0 dd12& cheùo nhau 7.2. Ví trò töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: x x01 u t Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng d: y y02 u t vaø maët phaúng (P ) : ax by cz d 0 . z z03 u t Böôùc II:Giaûi PT (*), ta gaëp Böôùc I: Keát luaän 1 trong 3 tröôøng hôïp sau  Thay phöông trình tham soá d vaøo  PT (*) voâ nghieäm dP()
  18. phöông trình ()P , ta ñöôïc PT (*): xx 0 d caét ()P taïi ñieåm ax( ut ) by ( ut ) cz ( ut ) d 0 0 1 0 2 0 3  PT (*) coù 1 nghieäm yy 0 coù toïa ñoä (;;)x0 y 0 z 0 . zz 0  PT (*) coù voâ soá nghieäm dP() 7.3. Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng: . Böôùc 1: Choïn ñieåm Ad vaø moät VTCP ud .  Cho ñieåm M vaø ñöôøng thaúng d (coù u, AM d phöông trình tham soá hoaëc chính taéc). . Böôùc 2: d M, d . ud 7.4. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: uu12.  Ta coù: cosdd , .  Cho hai ñöôøng thaúng dd12, laàn löôït coù VTCP laø uu12, . 12 uu12. 7.5. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: un.  Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP u vaø maêt phaúng ()P coù VTPT n .  Ta coù: sin dP ,( ) . un. 8. Hình chieáu vaø ñieåm ñoái xöùng: Baøi toaùn Phöông phaùp qua A  Goïi d laø ñöôøng thaúng Vieát pt tham Tìm hình chieáu ()P cuûa ñieåm A treân soá cuûa d vôùi VTCP cuûa d cuõøng laø VTPT cuûa (P). maët phaúng ()P .  Goïi H  d() P . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H. Tìm ñieåm A xAHA 2 x x ñoái xöùng vôùi A qua  Ta coù H laø trung ñieåm AA yAHA 2 y y . ()P . zAHA 2 z z  Goïi H() theo t (döïa vaøo pt tham soá cuûa d). Caùch I  AH d AH.0 ud  Tìm ñöôïc t Toïa ñoä H. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm A treân qua A  Goïi ()P Vieát pt mp(P ) . ñöôøng thaúng d. ()Pd Caùch II  Goïi . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H. Tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi qua  Ta coù H laø trung ñieåm . ñöôøng thaúng d. Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn Email goùp yù: thayxuannhan@gmail.com