›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Toán học 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc trong không gian (Có lời giải và đáp án)

docx 111 trang xuanha23 10/01/2023 7536
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Toán học 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc trong không gian (Có lời giải và đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_trac_nghiem_toan_hoc_11_chuong_3_quan_he_vuong_goc_t.docx

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán học 11 - Chương 3: Quan hệ vuông góc trong không gian (Có lời giải và đáp án)

  1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT Cho các véc tơ tùy ý a,b,c và k,l ¡ . 1. Cộng véc tơ:    Lấy điểm O tùy ý trong không gian, vẽ OA a, AB b, thì OB a b    Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N, K bất kỳ thì MN MK KN 2. Trừ véc tơ: a b a ( b)    Quy tắc ba điểm: MN KN KM .    Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD .     Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A B C D ta có AC AB AD AA . 3. Tích véc tơ: Tích của véc tơ a với một số thực k là một véc tơ. Kí hiệu là k.a +) Cùng hướng với a nếu k 0 . +) Ngược hướng với a nếu k 0 . +) k.a k . a .    Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A, B,O tùy ý thì OA OB 2OI . 4. Tích vô hướng của hai véc tơ. +) Định nghĩa: a.b a . b .cos a,b . +) Hệ quả: a  b a.b 0 . 2 2 +) a a.a a . AB2 AC 2 BC 2 +) Với ba điểm A, B,C ta có AB.AC . 2 Trang 1
  2.  +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a,b . Gọi a là hình chiếu vuông góc của a trên đường  thẳng chứa b thì: a.b a .b . 5. Định nghĩa: Ba véc tơ a,b,c gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng. 6. Các định lý: a) Cho a,b không cùng phương: a,b,c đồng phẳng m,n ¡ : c ma nb ( với m,n xác định duy nhất). b) Nếu ba véc tơ a,b,c không đồng phẳng thì mọi véc tơ x đều được biểu diễn dưới dạng: x ma nb kc với m,n,k xác định duy nhất. B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD .       Đặt AB b, AC c, AD d . Phân tích véc tơ MG theo d,b,c .  1 1 1   1 1 1  A. MG b c d .B. MG b c d . 6 3 3 6 3 3  1 1 1   1 1 1  C. MG b c d .D. MG b c d . 6 3 3 6 3 3 Lời giải Đáp án A Trang 2
  3. A M B D G C  1    1 1  1   1   MG MB MC MD . AB MA AC MA AD 3 3 2 3 3 1  2  1  1  1  2 1  1  1  AB MA AC AD AB . AB AC AD 6 3 3 3 6 3 2 3 3 1  1  1  1 1 1  AB AC AD b c d 6 3 3 6 3 3 Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào sau đây sai?.      1   A. AC BD AD BC . B. MN AD BC . 2         C. AC BD AD BC 4NM .D. MC MD 4MN 0 . Lời giải: Đáp án D A M B D N C         A.Đúng vì: AC BD AD DC BC CD AD BC .         B. Đúng vì: AC BD AM MN ND BM MN NC       2MN AM BM ND NC 2MN            C.Đúng vì: AC BD AD BC 2AN 2BN 2 AN BN 2 NA NB 4NM . Vậy D sai   Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD AC . Giá tri của cos AB,CD là: 1 1 3 A. . B. 0 . C. . D. . 2 2 2 Trang 3
  4. Lời giải: Đáp án B Gọi N là trung điểm của CD . Tam giác đều BCD nên BN  CD . Tam giác ACD cân tại A nên AN  CD ta có:              AB.CD AB.CD AN NB .CD AN.CD NB.CD 0 cos AB,CD   0 . AB . CD   Ví dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD có AB CD a;BC AD b;CA BD c . Giá trị của cos BC, DA là: a2 c2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 A. . B. . C. .D. . b2 a2 b2 c2 Lời giải Chọn A          BC.DA BC DC CA CB.CD CB.CA 1 1 CB2 CD2 BD2 CB2 CA2 AB2 2 2 1 1 AB2 CD2 BD2 CA2 2a2 2c2 a2 c2 2 2   a2 c2 a2 c2 Vậy cos BC, DA .   2 BC . DA b Ví dụ 5. Trong mặt phẳng a cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. AC BD AB CD .     B. SA SC SB CD (Với S là điểm tùy ý).     C. Nếu tồn tại điểm S mà SA SC SB SD thì ABCD là hình bình hành.     D. OA OB OC OD 0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD . Lời giải Đáp án C         A. Sai vì AC BD AB CD AC AB DC DB 0 B  C (Vô lí) B. Sai vì: Gọi O và O ' theo thứ tự là trung điểm của AC và BD . Ta có         SA SC 2SO và SB SD 2SO ' SO SO ' O  O ' điều này không đúng nếu ABCD không phải là hình bình hành. Trang 4
  5. C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B. Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA', O là tâm của hình bình hành ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?       A. MO, AB và B 'C . B. MO, AB và A' D ' .       C. MO, DC ' và B 'C .D. MO, A' D và B 'C '. Lời giải Đáp án A D' C' A' B' D M C O A B Cách 1: Ta có MO// CDA' B ' ; AB / / A' B ' AB// CDA' B ' , B 'C ' nằm trong mặt phẳng    CDA' B ' nên các vecto MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng CDA' B ' .  1 1   1   1  1  Cách 2: Ta có MO A' B ' B 'C A' B ' B 'C ' AB B 'C . A'C 2 2 2 2    Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng. Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?       A. BC, BD, AD. B. AC; AD;MN.       C. BC; AD;MN. D. AC; DC;MA. Lời giải Đáp án C A M B D N C Trang 5
  6.     AD AM MN ND     BC BM MN NC     1  1  AD BC 2MN MN AD BC 2 2    Vậy ba vecto BC; AD;MN. đồng phẳng. Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB 2MA . N là điểm trên đường thẳng      CD mà CN kCD . Nếu MN, AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là: 2 3 4 1 A. k . B. k . C. k . D. k . 3 2 3 2 Lời giải Đáp án A A M N B Q D N C Qua M vẽ mặt phẳng song song với AD và BC . cắt AC tại P , BD tại Q và CD tại N . Ta có MP//PN //AD .    Các vecto MN, AD, BC có giá song song hay nằm trong mặt phẳng nên đồng phẳng.  2  2 Ta có CN CD . Vậy k . 3 3  1  Ví dụ 9. Cho hình hộp ABCD.A B C D . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM AD. N là điểm 1 1 1 1 2 trên đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N, P thẳng hàng.  MN Tính  . NP 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 Lời giải Đáp án B Trang 6
  7. P D1 C1 A1 B1 C D M A B        Đặt AB a, AD b, AA1 c và BN xBD1;CP yCC1 yc . STUDYTIP   Ta biểu thi hai vecto MN, NP theo các vecto a,b,c   Ba điểm M , N, P thẳng hàng nên MN .NP 1 .     Ta có: MN MA AB BN 1  1    b a xBD b a x BA BC BB 3 1 3 1 1 1 b a x a b c 1 x a x b xc 2 3 3 Ta lại có:      NP NB BC CP xBD1 b yc x b a c b yc  NP xa 1 x b y x c 3 Thay (2), (3) vào (1) ta được: 1 x x 1 2 3 3 x 1 x . Giải hệ ta được , x , y . 3 3 5 2 x y x  MN 2 Vậy  . NP 3 Ví dụ 10. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là   trọng tâm tam giác BCD, là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos có giá trị là: 2 2 2 1 A. 2 B. 3 C. 6 D. 2 Đáp án: C Lời giải:    Đặt AB a; AC b; AD c;  1    1 AG (a b c) MG AG AM ( a 2b 2c) 3 6    1 PN AN AP (a b c) 2 Trang 7
  8. Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1 1 a b c 1và a.b b.c c.a 1.1.cos600 2     MG.PN cos cos(MG, PN)   (*) MG . PN   1 Ta có: MG.PN ( a 2b 2c)(a b c) 12 1 2  2 2 1 ( a ab ac 2ab 2b 2bc 2ac 2bc 2c ) 12 12  1 1  1 2 MG ( a 2b 2c)2 ; PN (a b c)2 6 2 2 2 Thay vào (*) ta được 1 1 2 cos 12 . (*) 1 2 3 2 6 . 2 2 C.Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1: Cho ABCD.A1B1C1D1 là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:    1      A. AK AB AD AA B. AK AB BC AA 2 1 1       1  1  C. AK AB AD AA D. AK AB AD AA 1 2 2 1 Hướng dẫn giải      1    1  Có AK AC CK (AB AD) AA AB AD AA 2 1 2 1 A B D C K A1 B1 D1 C1 Chọn A Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 với M CD1  C1D . Khi đó:  1  1  1   1   1  AM AB AD AA1 AM AB AD AA1 A. 2 2 2 B. 2 2 Trang 8
  9.    1   1  1   AM AB AD AA1 AM AB AD AA1 C. 2 D. 2 2 Hướng dẫn giải ( hính vẽ câu 1)      1    1  1  Ta có: AM AD DM AD DC AD (DC DD ) AD AB AA 1 2 1 2 2 1 Chọn B       Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Khi đó: tổng 3 góc (D1 A1 ,CC1 ) (C1B,DD1 ) (DC1 ,A1 B) là: A. 1800 B. 2900 C.3600 D. 3150 Hướng dẫn giải A B D C K A1 B1 D1 C1 Ta có:   (D A ,CC ) 900 1 1  1   (C B,DD ) (C B,CC ) 1350 1 1 1 1 (DC ,A B) (DC , D C) 900 1 1  1 1   0 0 0 0 (D1 A1 ,CC1 ) (C1B,DD1 ) (DC1 ,A1 B) 90 135 90 315 Chọn D       Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , đặt (AC, DC1 );  (DA1 ,BB1 );  (AA1 ,C1C) Khi đó: là   : A. 3600 B. 3750 C. 3150 D. 2750 Hướng dẫn giải ( hình câu 3)     (AC, DC ) (AC, AB ) 600  1  1  (DA ,BB ) (DA ,A A) 1350  1  1  1 1 0  (AA1 ,C1C) (AA1 , A1 A) 180   600 1350 1800 3750 Chọn B Trang 9
  10.   Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; AB.AD 12 . Tính   (SC. SA)2 . A. 76B. 28C. 52D. 40 Hướng dẫn giải S 4 A 4 D 6 7.42 cm B C    2    2  2   (SC. SA)2 . AC (AB AD) AB AD 2AB.AD 62 42 2( 12) 28 Chọn B Câu 6: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng B. Ba vectơ a,b,c đồng phẳng thì có c ma nb, với m, n là các số duy nhất   C. Ba vectơ đồng phẳng khi có d ma nb pc với d là vec tơ bất kỳ D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai Hướng dẫn giải -Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó Phương án B: Sai a, b phải không cùng phương. Phương án C sai Vậy chọn D Chọn D Câu 7: Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?  1       A. OG (OA OB OC) B. GA GB GC 0 4  2     1    C. AG (AB AC AD) D. AG (AB AC AD) 3 4 Hướng dẫn giải Trang 10
  11. A M G B D N C Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD   G là trung điểm của MN GM GN 0    GA GB GC 0 B đúng             Ta có: OA OB OC OD OG GA OG GB OG GC OG GD       4OG (GA GB GC GD) 4OG A đúng Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C. Chọn C  Câu 8: Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng xét các vectơ x 2a b; y 4a 2b; z 3a 2c Chọn mênh đề đúng trong các mệnh đề sau: A.Hai vec tơ y, z cùng phương  B. Hai vec tơ x, y cùng phương  C.Hai vec tơ x, z cùng phương   D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng Hướng dẫn giải   Ta thấy y 2x nên x, y cùng phương. Chọn B Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D , Tìm giá trị của k thích hợp để     1 1 1 1 AB B1C1 DD1 k AC1 ) A.k=4B. k=1C. k=0D. k=2 Hướng dẫn giải Trang 11
  12. A1 B1 D1 C1 A B D C       Có AB B1C1 DD1 AB BC CC1 AC1 k 1 Chọn B     Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 . Đặt AA1 a; AB b;AC c; BC1 d trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.  A. a b c d 0 B. a b c d  C. b c d 0 D. a b c Hướng dẫn giải A C A1 B1 B D1 C1 A B C1 A1 D C B1       Ta có: b c d AB AC BC CB BC 0 Chọn C Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A.Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng B.Nếu ba vectơ a,b,c có một vec tơ 0 thì ba vectơ đồng phẳng Trang 12
  13. C.Nếu giá của ba vectơ a,b,c cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng D.Nếu trong ba vectơ a,b,c có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng Hướng dẫn giải Chọn A Câu 12: Cho ABCD.A B C D là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai:   1 1 1 1    A. AC A C 2AC B. AC CA 2CC 0 1 1   1  1  1 C. AC1 A1C AA1 D. CA1 AC CC1 Hướng dẫn giải A B D C A1 B1 D1 C1         Ta có: AC1 A1C AA1 AC1 AA1 AC1 A1C C1 A1 Chọn C Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:   A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA 0   B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD     C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành    D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD Hướng dẫn giải Chọn C Câu 14: Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ABB' A' và BCC ' B' . Khẳng định nào sau đây là sai? A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng  1  1  B. IK AC A'C ' 2  2  C.Bà vec tơ BD, IK, B 'C ' không đồng phẳng    D. BD 2IK 2BC Hướng dẫn giải Chọn C Trang 13
  14. A B D C Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. A1 B1 Gọi P,Q lần lượt là trung  điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.Các vec tơ BD, AC, MN không đồng phẳng    B. Các vec tơ MN, DC, PQ đồng phẳng    C. Các vec tơ AB, DC, PQ đồng phẳng D1 C1    D. Các vec tơ AC, DC, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A P M E B F D Q N C Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD 1 NE / / AB, NE AB 3 NE / /MF, NE / /MF 1 MF / / AB, MF AB 3    NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC, MN có giá song song hoặc nằm trên mặt    phẳng (MFNE) BA, DC, MN đồng phẳng    BD, AC, MN không đồng phẳng. Chon A Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:       a2 3 A. AD CD BC DA 0 B. AB.AC       2 C. AC.AD AC.CD D. AD.CD 0 Hướng dẫn giải ( sử dụng hình câu 7) Phương án A:          AD CD BC DA (AD DA) (BC CD) 0 BD 0 A sai Trang 14
  15.   a 2 Phương án B: AB.AC a.a.cos600 = B sai 2         2 Phương án B AC.AD AC.CD AC(AD DC) 0 AC 0 C sai Chọn D Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng:        1  A. B M B B B A B C B. A C M C C C D C B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1B 2 1 1   1  1      C.C M C C C D C B D. BB B A B C 2B D 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 D C Hướng dẫn giải A1 B1 A aD1 B C1 M a D C A A1 B1 D1 C1 P       1  M Ta có C1M C1D1 D1D DM C1D1 C1C C1B1 2 E Chọn B B F D    Q Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA GB GC 0 ( G là trọng tâm của tứ diện).N CGọi O là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A A.GA 2OG B. GA 4OG     C. GA 3OG D. GA 2OG A P M E N B F D G B Q C D N H O M C Hướng dẫn giải A Trang 15 N G B D H O M C x M A B N y
  16. A B D C A1 B1 D1 C1 A P M E B F D Q N C Gọi M, N là trung điểm của BC, AD G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD NH là đường trung bình của AOD và OG là đường trung bình của MNH A 1 1 1 1 1 OG NH . AO OG NH .AO 2 2 2 2 4   hay GA 3OG N G Chọn C B D H Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,O Nlaafn lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau, M khẳng định nào sai? C A.Các vec tơ AB, DC, MN đồng phẳng    B. Các vec tơ MN, AB, AC không đồng phẳng    C. Các vec tơ AN, CM , MN đồng phẳng    D. Các vec tơ AC, BD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A M P B Q D N C Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD    Ba vec tơ AB , DC, MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ này đồng phẳng A đúng    Ba vec tơ AB , AC, MN không đồng phẳng B đúng    Ba vec tơ AN ,CM , MN có giá không thể song song với mặt phẳng nào C sai Chọn C ' ' ' ' Câu 20: Cho hình  lập phương ABCD.A B C D , có cạnh A.Hãy tìm  mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. AD'.CC ' a2 B. AD'.AB' a2    C. AB'.CD' 0 D. AC a 3 Hướng dẫn giải Trang 16
  17. A a B a D C A' B' D' C' A P M E B F D Q N C A A a B a D C A' N B' G B D' C' D  H     O 0 2 XếtM phương án A có: AD '.CC ' AD '.AA ' AD ' . AA ' cos45 a C Chọn A Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạnA MN luôn bằng giá trị c không đổi (c AB). Gọi là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN c2 AB2 c2 AB2 A. B. 2(1 cos ) 2(1 cos ) c2 AB2 c2 AB2 P C. D. 2(1 cos ) 2(1 cos ) M Hướng dẫn giải E B F D Q N C x M A A B N N G B y D H O M C  2    Ta có: c2 MN 2 MN (MA AB BN)2 c2 AB2 AB2 2AM.BN.(1 cos ) AM.BN. 2(1 cos ) Trang 17    AM 2 AB2 BN 2 2AM.BN AM 2 AB2 BN 2 2AM.BN.cos A M P B Q D N C
  18. c2 AB2 Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng 2(1 cos ) Chọn A Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc 1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau tạo nên. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a vàb . Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ). 2. Phương pháp Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác. Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a vàb thì góc của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức u.v cos cos u,v . u . v Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . A. 450 . B. 300 . C. 600 . D. 900 Đáp án A. Lời giải Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN //AC nên: M· N, AP A· C, AP . Ta tính góc P· AC . Vì A D P vuông tại D nên 2 2 2 2 a a 5 A P A D D P a . 2 2 Trang 18
  19. 2 a 5 3a AA P vuông tại A nên 2 2 2 . AP A A A P a 2 2 a2 a 5 CC P vuông tại C nên CP CC 2 C P2 a2 . 4 2 Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC a 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có: CP2 AC 2 AP2 2AC.AP.cosC· AP 1 cosC· AP 2 cosC· AP 45 90 Nên ·AC; AP C· AP 45 hay M· N; AP 45. Chọn A.           MN.AP Phương pháp 2: Ta có MN.AP MN . AP .cos MN, AP cos MN, AP   * MN . AP        Ta có: MN.AP MB BN AA A D D P             MB.AA MB.A D MB.D P BN.AA BN.A D BN.D P a a a 3a2 0 0 . 0 .a 0 1 2 2 2 4   a 2 3a 3 2a2 MN . AP . 2 2 2 4 3a2   1 Thay 1 , 2 vào ta được: cos MN, AP 4 ·MN, AP 450. 2 3 2a 2 4 Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC, AD . Biết rằng MN a 3. Tính góc của AB và CD . A. 450. B. 300 . C. 600 .D. 900 . Đáp án C. Lời giải Trang 19
  20. Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM IN a . Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có: IM 2 IN 2 MN 2 a2 a2 3a2 1 cos M· IN M· IN 1200 . 2.IM.IN 2.a.a 2 Vì IM / / AB, IN / /CD ·AB,CD ·IM , IN 1800 1200 600 . Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCA B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA , B C . Lời giải Chọn D Phương pháp 1: Gọi H là trung điểm của BC , là góc giữa AA và B C . Ta có AA / /BB và B C / /BC nên góc giữa ·AA , B C B·B , BC . Ta tính góc ·B BH ABC vuông tại A nên ta có: BC AB2 AC 2 a2 3a2 2a . 1 AH BC a A H AA 2 AH 2 4a2 a2 a 3 . 2 Vì AH  A B C nên A B H vuông tại A B H A H 2 A B 2 a2 3a2 2a . B B2 BH 2 B H 2 4a2 a2 4a2 1 cos B· BH Chọn A 2B B.BH 2.2a.a 4 Phương pháp 2: Ta có Trang 20
  21.              AA .B C AH HA .BC AH.BC HA .BC AH.BC cos cos AA ; B C   2 2 AA . B C 2a.2a 4a 4a 1     1 1 AB AC AC AB AC 2 AB2 3a2 a2 2 2 2 1 . 4a2 4a2 4a2 4 Ví dụ 11. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Gọi M là trung điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM . 3 3 3 2 A. .B. . C. . D. . 4 6 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Gọi N là trung điểm AD ta có: MN //AC ·AC; BM M· N; BM . Ta tính góc a 3 B· MN . Ta có: BM BN (trung tuyến tam giác đều). 2 AC a MN . 2 2 Áp dụng định lý cosin cho BMN , ta được: BM 2 MN 2 BN 2 MN 3 cos B· MN 0 . 2BM.MN 2BM 6 3 Vậy cos ·AC; BM . 6        AC.BM AC. CM CB Cách 2. cos cos AC, BM   AC . BM a 3 a. 2 2 2 a a a 2     a. cos1200 a.a.cos1200 a AC.CM AC.CB 2 4 2 3 4 . a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 6 2 2 2 2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1. Định nghĩa. Nếu đường thẳng a  P thì góc giữa đường thẳng a và P bằng 900 . Nếu đường thẳng a không vuông góc với P thì góc giữa đường thẳng a và P là góc giữa a và hình chiếu a của a trên P . a a' P Trang 21
  22. 2. Phương pháp tính. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và SAB ,  là góc giữa AC và SBC . Giá trị tan sin  bằng? 1 7 1 19 7 21 1 20 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn C. Để xác định góc giữa SC và SAB ta xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB . Ta BC  AB có: S là hình chiếu của S trên SAB , B là hình chiếu của C trên SAB vì . BC  SA Vậy SB là hình chiếu của SC trên SAB SC, SAB B· SC . BC a 1 SBC vuông tại B tan tan B· SC . SB SA2 AB2 7 Kẻ AH  SB tại H mà BC  SAB nên AH  BC . AH  SBC HC là hình chiếu vuông góc của AC trên SBC AC, SBC ·ACH  . 1 1 1 a 6 SAB vuông nên AH . AH 2 AS 2 AB2 7 AH 21 ACH vuông tại H sin  sin ·ACH . AC 7 7 21 Vậy tan sin  . 7 Trang 22
  23. Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và ABCD bằng 60 . Tính góc giữa MN và SAO . 1 1 A. arcsin . B. arcsin . 2 5 5 3 1 C. arcsin . D. arcsin . 2 5 4 5 Lời giải Chọn A. S M A B P O N H D C Gọi P là trung điểm của AO MP là đường trung bình của SAO MP / /SO MP  ABCD Góc giữa MN và ABCD bằng góc M· NP 60 . Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: 2 2 2 2 2 a 3 a 3 1 NP CN CP 2CN.CP.cos 45 a 2 2. . a 2. 4 4 2 4 2 a 2 9a 2 3 2a2 11a2 3a2 5a2 + 4 8 4 2 8 4 8 Trong tam giác vuông MNP ta có : PN 5 15 15 MN .a và PM NP.tan 60 a SO 2MP .a . cos60 2 8 2 Gọi H là trung điểm CO NH / /BD NH  AC . Mà NH  SO NH  SAC do đó ·MN, SAC N· MH . 1 a 2 5a Ta có : HN OB , MN (tính trên) 2 4 2 NH 1 Vậy trong MHN ta có :sin N· MH . Nên nếu gọi là góc giữa MN và SAO thì: MN 2 5 1 1 sin hay arcsin 0 . 2 5 2 5 2 Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có a là độ dài cạnh đáy và C· BS . Gọi là góc giữa cạnh bên với đáy. Tính sin theo . Trang 23
  24. 1 A. sin 9 12sin2 .B. sin 9 12sin2 . 3 2 2 1 1 C.sin 9 4sin2 .D. sin 9 12sin2 . 3 2 3 2 Lời giải Chọn A. S A C O a a H B Gọi H là trung điểm BC , O là chân đường cao hạ từ S . 2 a 3 Ta có AO AH , SHB vuông tại H nên ta có: 3 3 THIẾU PHẦN 9 Ví dụ 12. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và C· BS . Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính sin theo . 1 A. sin 9 12sin2 .B. sin 9 12sin2 . 3 2 2 1 1 C. sin 9 4sin2 .D. sin 9 12sin2 . 3 2 3 2 Lời giải Chọn A. Trang 24
  25. Gọi H là trung điểm BC , O là chân đường cao hạ từ S . 2 3 Ta có AO AH a . 3 3 BH BH a a VSHB vuông tại H nên: sin SB SA SB SC . 2 SB sin 2sin 2sin 2 2 2 Trong tam giác vuông SAO ta có: a2 3 a SO SA2 AO2 a2 9 12sin2 . 4sin2 9 6sin 2 2 2 SO 1 Góc giữa cạnh bên và đáy là S· AO sin 9 12sin2 . SA 3 2 Ví dụ 13. Cho hình chóp đều S.ABCD . Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính . 1 33 1 33 A. arcsin .B. arcsin . 4 8 1 33 2 33 C. arcsin . D. arcsin . 8 8 Lời giải Chọn B. Đặt cạnh đáy hình vuông ABCD là a AC a 2 . Giả sử thiết diện qua A là cắt SC , SB , SD lần lượt tại K , N , M . Theo giả thiết SC  ANKM MN  SC . Trang 25
  26. Mặt khác: BD  SC (vì BD  SAC ) MN //BD MN  SAC MN  AK 1 S AK.MN . ANKM 2 S· CA AK AC sin a 2 sin . MN SO SO OO OO 1 (vì ·AO O ·ACK ; với O MN  AK ). BD SO SO SO 1 a 2 cot 1 MN OO a 2 cot 1 2 1 cot2 . 2 BD OC tan 2 2 MN BD 1 cot a 2 1 cot 0 . 2 1 1 1 2 2 2 Ta có SAMKN SABCD AK.MN a a 2 sin .a 2 1 cot a 2 2 2 2 2 2 2sin 1 sin 4sin sin 2 0 0 2 1 33 1 33 sin arcsin . 8 8 Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA AB a . Tính diện tích tam giác SBD theo a . 3 3 3 6 A. a2 .B. a2 .C. a2 .D. a2 . 3 4 2 2 Lời giải Chọn C. BD  AC Gọi O AC  BD ta có: BD  SO . BD  SA 1 1 3 Khi đó S SO.BD SA2 AO2 .a 2 a2 . BCD 2 2 2 Ví dụ 15. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA AB a . Tính Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SBD . 1 1 1 2 A. arcsin .B. arcsin .C. arcsin .D. arcsin . 4 3 3 3 Lời giải Chọn C. Trang 26
  27. Gọi H là hình chiếu của C lên SO O AC  BD (vì góc S·OC tù nên H nằm ngoài SO ). CH  SO · Ta có: CH  SBD SC, SBD C· SO . CH  BD a 6 SA SO a CH 1 Ta có: SAO : CHO 2 3 CH sin C· SO . SH CO a 2 3 SC 3 2 · 1 CSO arcsin . 3 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa ➢ Góc giữa hai mặt phẳng và  là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. ➢ Nếu hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 . 2. phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ❖ Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và  . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng và  là · ,  a¶,b . Tính góc a¶,b . ❖ Phương pháp 2: ➢ Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng và  . ➢ Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó: · ,  a¶,b . Hay ta xác định mặt phẳng phụ  vuông góc với giao tuyến c mà   a ,    b . Suy ra · ,  a¶,b . ❖ Phương pháp 3: (trường hợp đặc biệt) Trang 27
  28. ➢ Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A , B A , B  mà AB   thì qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H . Khi đó · ,  ·AHB . Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy ABCD bằng a và SA SB SC SD a . Tính cosin góc giauwx hai mặt phẳng SAB và SAD . 1 1 3 1 A. .B. .C. .D. . 4 3 2 3 Lời giải Chọn B. Gọi I là trung điểm SA . Do tam giác SAD và SAB đều nên BI  SA · SAB , SAD B· I, DI . DI  SA Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có: 2 2 3 3 2 a a a 2 IB2 ID2 BD2 2 2 1 cos B· ID . 2IB.ID 3 3 3 2. a. a 2 2 1 Vậy cos ·SAB , SAD . 3 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a , SA vuông góc với ABCD và SA a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . 10 5 10 10 A. arccos .B. arccos .C. arccos . D. arccos . 5 5 10 3 Nhận xét: Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng ta đi xác định hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng SBC và SCD . Lời giải Chọn A. Vì ABCD là nửa lục giác đều nên AD DC CB a . Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với SCD . Trong mặt phẳng ABCD dựng AH  CD tại H CD  SAH . Trong mặt phẳng SAH dựng AP  SH CD  AP AP  SCD . Trang 28
  29. Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với SBC . Trong mặt phẳng SAC dựng AQ  SC . BC  AC Lại có AQ  BC vì BC  SAC BC  AQ . BC  SA Vậy AQ  SBC . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là AP và AQ . a2 a 3 - Ta tính góc P· AQ , có AH AD2 HD2 a2 4 2 1 1 1 a 3 AP . AP2 AS 2 AH 2 5 SC a 6 Tam giác SAC vuông cân tại A AQ . 2 2 AP 10 10 APQ vuông tại P cos P· AQ P· AQ arccos . AQ 5 5 Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA BC a , SA  ABC , SA a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng SEF và SBC . 3 5 1 3 A. .B. .C. . D. . 10 10 10 2 10 Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng SEF và SBC là đường thẳng St đi qua S và song song với EF và BC nên ta xác định hai đường thẳng qua S và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng SEF và SBC và cùng vuông góc với St (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là SE và SB ). Lời giải Chọn A. EF  SEF Vì BC  SBC giao tuyến của SEF và SBC là đường thẳng qua S , song song với EF // BC BC , là St . Trang 29
  30. BC  AB gt BC  SAB BC  SB hay St  SB . BC  SA vì SA  ABC Tương tự EF  SAE EF  SE mà EF // St St  SE . Vậy SB và SE cùng đi qua S và cùng vuông góc với St nên góc giữa hai mặt phẳng SEF và SBC bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SE . Ta tính góc B· SE . a 5 a Có SE SA2 AE 2 ; SB SA2 AB2 a 2 ; BE . 2 2 SE 2 SB2 BE 2 3 3 Theo định lí cosin ta có: cos B· SE B· SE arccos . 2.SE.SB 10 10 Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA a và SA  ABC , AB BC a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC . A. 45.B. 30 .C. 60 .D. 90 . Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp 3 - trường hợp đặc biệt. Lời giải Chọn C. Ta có SAC  SBC SC . Gọi F là trung điểm AC BF  SAC . Dựng BK  SC tại K SC  BKF · SAC , SBC ·KB, KF B· KF a 2 .a FK SA FC.SA a CFK ~ CSA FK 2 . FC SC SC a 3 6 a 2 FB BFK vuông tại F tan B· KF 2 3 B· KF 60 · SAC , SBC . FK a 6 Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a , SA vuông góc với ABCD và SA a 3 . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC . 1 A. 14 .B. . C. 5 .D. 7 . 7 Trang 30
  31. Lời giải Chọn D. S a 3 2a B A E D C I Gọi J = AD ÇBC , ABCD là nửa lục giác đều nên AD = DC = CB = a , AI = IB = a . ïì BD ^ SA (SAD)Ç(SBC)= SI Þ íï Þ BD ^ (SAD)Þ BD ^ SI . îï BD ^ AD Vì vậy theo trường hợp đặc biệt ta chỉ cần dựng DE ^ SI với E Î SI . · · · Khi đó, SI ^ (BED)Þ ((SAD),(SSBC))= (EB,ED)= BED , (Vì DBED vuông tại D ) DAIB đều nên BD = a 3 SI = SA2 + AI 2 = a 7 DE DI a 3 Hai tam giác vuông SAI và DEI đồng dạng nên: = Þ DE = . SA SI 7 · BD DBDE vuông tại D Þ tan BED = = 7 A DE Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a , trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D . Tính góc giữa hai mặt phẳng(ABC) và(DBC), trong trường hợp (DBC) là tam giác đều. 1 3 3 3 A. arccos B. arccos C. arccos D. arccos 3 3 4 6 Đáp Án: B Lời giải: D H C A a a a 2 B Gọij là góc giữa hai mặt phẳng(ABC) và(DBC). Trang 31
  32. Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác, ta có:SDABC = SDDBC .cosj 1 1 3 a2 3 Mà:S = DB.DC.sin600 = a 2.a 2. = VDBC 2 2 2 2 1 1 Mặt khác:S = AB.AC = a2 V ABC 2 2 S 3 3 Þ cosj = V ABC = Þ j = arccos SVDBC 3 3 Ví Dụ 7: Cho lăng trụ đứng OAB.O' A'B' có các đáy là các tam giác vuông cânOA = OB = a, AA' = a 2 . Gọi M,P lần lượt là trung điểm các cạnhOA, AA' . Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi (B' MP)? 2 2 2 2 A. a 15 B. 5a 15 C. 5a 15 D. a 15 12 2 12 2 6 2 6 2 Đáp Án: C Lời giải: A' B' P O' A H B M Q O R Gọi R là giao điểm của MP và OO' , Q là giao điểm của B'R vớiOB . OQ RO 1 a Thiết diện là tứ giác MPB'Q , ta có: = = Þ OQ = . O'B' RO' 3 3 Tứ giác AMQB là hình chiếu vuông góc của tứ giác PMQB' trên mặt phẳng (OAB) nên: S S = AMQB . PMQB' cosj Với j là góc tạo bởi hai mặt phẳng(OAB) và(MPB'Q) . 1 1 5 Ta có:S = S - S = a2 - a2 = a2 AMQB OAB OMQ 2 12 12 ïì MQ ^ OH Hạ OH ^ MQ , ta có:íï Þ MQ ^ (OHR) îï MQ ^ OR · · Vậy:j = OHR (OHR nhọn) Trang 32
  33. a · OH OH 2 Ta có: cosj = cosOHR = = = 13 = RH OH 2 + OR2 a2 a2 15 + 13 2 5a2 15 Vậy:SPMQB' = 12 2 Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với AB AC a,B· AC 1200 , cạnh bên BB' a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và AB'I . 15 30 10 15 A. . B. . C. . D. . 10 10 30 30 Đáp án B. Lời giải B' C' a A' I B C a a A Áp dụng định lý cosin cho ABC ta có: BC2 a2 a2 2a2cos1200 3a2 . Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác: B'BA có : B' A2 2a2 . 2 2 2 2 1 5a ICA có : AI a . 2 4 a2 13a2 B'C'I có : B'I 2 3a2 . 4 4 5a2 13a2 Ta có: B' A2 AI 2 2a2 B'I 2 AB'I vuông ở A. 4 4 1 1 a 5 a2 10 Ta có: S AI.AB' . .a 2 . AB'I 2 2 2 4 1 a2 3 S a2 sin1200 . ABC 2 4 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và AB'I . Thì ta có: a2 3 S 3 30 cos ABC 4 . 2 S ABI ' a 10 10 10 4 Trang 33
  34. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. B. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. C. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c ). D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c . Câu 2. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng P khi a và b song song (hoặc a trùng với b ). C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng Q thì mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q . D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng P thì a và b song song. Câu 3. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn. B. Góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q bằng góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng R khi mặt phẳng R song song với mặt phẳng Q (hoặc R trùng với Q ). C. Góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q bằng góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng R thì mặt phẳng R song song với mặt phẳng Q . D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD là . Khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 2 A. tan . B. tan 1 C. tan 2 . D. tan 3 . 2 Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Xét mặt phẳng A BD , trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa mặt phẳng A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau. Trang 34
  35. B. Góc giữa mặt phẳng A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau. C. Góc giữa mặt phẳng A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng 1 mà tan . 2 D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. Câu 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một mặt bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc nhau. B. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc nhau. C. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc nhau. D. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc nhau.   Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.EFGH , hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB, DH ? A. 450 . B. 900 . C. 1200 . D. 600 . Câu 8. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a / /b . B. Nếu a / /b , c  a thì c  b . C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a / /b . D. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng và c / / thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c . Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC, ·ASB B· SC C· SA . Hãy xác định góc giữa SB và AC . A. 600 . B. 1200 . C. 450 . D. 900 . Câu 10. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC, ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là A. 1200 . B. 600 . C. 900 . D. 300 . Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A B CD . Giả sử tam giác AB C, A DC là các tam giác nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây? B. ·AB C . B. D· A C . C. B· B C . D. D· AC . Câu 12. Trong các mện đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Trang 35
  36. Câu 13. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , CA và BD . Khi đó góc giữa AB và CD là: A. J· IK . B. ·ABC . C. I·JK . D. J· KI . Câu 14. Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SA a và vuông góc với ABC . Tính góc giữa SD và BC A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. arctan 2 . Câu 15. Cho tứ diện ABCD .Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của BC , AD và AC . Cho AB 2a , CD 2a 2 và MN a 5 . Tính góc ·AB,CD A. 135 . B. 60 . C. 90 . D. 45 . Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA a , ABC đều cạnh a . Tính góc giữa SB và ABC A. arctan 2 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA a , ABC đều cạnh a . Tính tan S·C, SAB ? 3 5 1 A. . B. . C. . D. 2 . 5 3 2 Câu 18. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và DBC . Tính cos ? 1 3 1 A. 3 . B. . C. . D. . 3 3 2 Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ; SA  ABCD và SA a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ABCD và SBC ? 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 6 Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a ; SA  ABCD và SA a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC ? 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 4 3 Câu 21. Cho ba tia Ox , Oy , Oz trong không gian sao cho x· Oy 120 , z·Oy 90 , x· Oz 60 Trên ba tia ấy lần lượt lấy các điểm A , B , C sao cho OA OB OC a . Gọi ,  lần lượt là góc giữa mặt phẳng ABC với mặt phẳng OBC và mặt phẳng OAC . Tính tan  tan  ? 1 3 A. . B. 2 . C. . D. 1. 2 2 Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ; SA  ABCD và SA a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ; SA  ABCD và SA a 3 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SC . Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và BD Trang 36
  37. 1 A. 90 . B. 60 . C. arctan . D. 45 . 3 4 Câu 24. Cho tứ diện ABCD có CD AB . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , AC , DB . 3 5 Biết IK AB .Tính góc giữa hai đường thẳng CD và IJ 6 A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . Câu 25. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , BC . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và C D A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 26. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AD A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 27. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC , C D . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 28. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC , C D . Tính góc giữa hai đường thẳng DN và A P A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA  ABCD và SA a 6 . Tính cosin góc tạo bởi SC và mặt phẳng SAB . 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 8 7 Câu 30. Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ABCD cà SA a 6 . Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng SBC . 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 7 7 Câu 31. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân đỉnh A, ·ABC , BC ' tạo đáy góc  . Gọi I là trung điểm của AA’ , biết B· IC 900 . Tính tan2 tan2  1 A. . B. 2 . C. 3 . D.1 . 2 Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B . Cho B· SC 450 , gọi ·ASB . Tìm sin để góc giữa hai mặt phẳng ASC và BSC bằng 600 3 2 1 15 2 sin sin A. sin . B. sin . C. 9 . D. 5 . 5 2 D. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án C. Trang 37
  38. +) Đáp án A sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ chỉ phương. +) Đáp án B sai vì có thể là góc 900 . Câu 2. Đáp án B. +) Đáp án A sai vì khi đường thẳng đó vg với mặt phẳng. +) Đáp án C, D: Vẽ hình thấy có vô số đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn. Câu 3. Đáp án B. +) Đáp án A sai vì vì có thể là vg. +) Đáp án C sai vì chẳng hạn Q và R cắt nhau, P là mặt phẳng phân giác. Câu 4. Đáp án B. CD  AD 0 Ta có: CD  SAD S· DA . Mà VSDA vuông cân tại A nên S· DA 45 . CD  SA Câu 5. Đáp án A. Đáp án B, C vì giả sử ta xác định góc giữa A' BD và ABCD là góc ·A' IA với I là trung điểm của 2 2 a 2 a 6 2 2 2 a 2a 6a 2 2 2 2 a 2 AI A' I AA' 2 2 4a 1 BD và cos ·AIA' 4 4 2.AI.A' I a 2 a 6 2a2 12 2a212 3 2. . 2 2 4 1 1 cos tan 3 2 Câu 6. Đáp án B. Trang 38
  39. Giả sử hình chóp đó là S.ABCD . Ta có SAB  ABCD ; SAB  SAD ; SAD  ABCD Câu 7. Đáp án B.     AB; DH DC; DH 900 . Câu 8. Đáp án B. Câu 9. Đáp án D. Từ giả thiết suy ra các mặt của hình chóp đều là các tam giác đều. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm a của SA, SC, BC . Giả sử cạnh hình chóp đều là a thì MN NP ;MP  SA vì VSAP cân tại P . 2 2 2 2 2 a a 2a 2 2 2 2 2 2 a 3 a 3a a a 2 MN NP MP PM ;cos M· NP 4 4 4 a a 2 2 4 4 2 2.MN.NP 2. . 2 2 cos M· NP 0 ·SB, AC 900 . Cách 2: Lấy I là trung điểm của AC ta có: AC  SIB AC  SB .          Cách 3: SB.AC SB SC SA SB.SC SB.SA 0 . Trang 39
  40. Câu 10. Đáp án C. Gọi I là trung điểm của AB AB  (IDC) AB  CD . Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng tích vô hướng để giải quyết bài toán này. Câu 11. Đáp án B. Ta có: AC / / A'C ' ·AC,A'D ·A'C ', A' D D· A'C ' (góc nhọn). Câu 12. Đáp án A. Câu 13. Đáp án A. Câu 14. Đáp án C. Ta có: AD / /BC ·SD, BC ·SD, AD ·ADS 450 . Câu 15. Đáp án D. Trang 40
  41. 1 IN / /CD; IN CD a 2 2 Theo tính chất đường trung bình trong tam giác: 1 IM / / AB; IM AB a 2 ·AB,CD ·IM , IN . Áp dụng định lý cosin ta có: IM 2 IN 2 MN 2 2 2 cos 450 . 2.IM.IN 2 2 Câu 16. Đáp án C. Ta có SA  ABC AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABC ·ASB ·SD, AD 450 . Câu 17. Đáp án A. Hình câu 16. CI  AB Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: CI  SAB CI  SA SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng SAB  C· SI ·SC, SAB Trang 41
  42. a 3 CI CI 3 tan  2 . SI 2 2 2 5 SA AI 2 a a 2 Câu 18. Đáp án B. Gọi M là trung điểm CB và G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có a 3 a 3 a 3 BC  AGM ·AMG . Có DM GM ; AM 2 6 2 a 3 GM 1 cos 6 . AM a 3 3 2 Câu 19. Đáp án A. Ta có giao tuyến BC  SBA S· BA (góc nhọn). Mà SBA vuông cân tại A nên 450 Câu 20. Đáp án D. (Hình vẽ của câu 19) Hai tam giác vuông SBC và SDC nên có chung chân đường cao M kẻ từ B và D  ·MB, MD . Ta đi tính góc B· MD . Trong tam giác vuông SBC ta có: Trang 42
  43. 2 2 1 1 1 1 1 3 2 2a 2 2a 2 2 2 2 2 2 BM . Tương tự DM . BM SB BC a 2 a 2a 3 3 Áp dụng định lý cosin cho BMD ta có: 2 4a 2 2 2 2 2a · MB MD BD 4 1 · 0 0 0 0 cos BMD 2 BMD 120  180 120 60 2.MB.MD 2 2 2. a 3 Hay . 3 Câu 21. Đáp án A. OAB đều AC a . Tam giác OBC vuông BC a 2 . Áp dụng định lý cosin cho OAB AB a 3 ABC có AB2 AC 2 BC 2 ABC vuông tại C . Gọi H là trung điểm của AB H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OH  ABC O· IH; O· JH (với I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC ). 2 a 2 OH OH OH 2 1 tan .tan  . . HI HJ HI.HJ a a 2 2 . 2 2 Câu 22. Đáp án A. Trang 43
  44. SA Vì BC / / AD, S· AD 900 ·SD, BC S· DA tan S· DA 3 SD, BC 600 . SD Câu 23. Đáp án A. (Hình vẽ như câu 22) Ta có IJ / / AC, ·IJ, BD ·AOB 900 . Câu 24. Đáp án A. AB a Đặt AB a . Ta có: IJ . 2 2 CD 2 2a 5 5a IK AB ; JK AB . 2 3 3 6 6 a2 4a2 25aa Ta có: IJ2 IK 2 JK 2 . 4 9 16 Vậy IJK vuông tại I . Ta có IK / /CD ·AB,CD J· IK 900 . Câu 25. Đáp án B. Ta có: AB / /C ' D ' ·MN,C ' D ' ·MN, AB B· MN 450 . Câu 26. Đáp án C. (Hình vẽ câu 25) Có B ' D '/ /BD ·BD, AD ' ·B ' D ', AD ' ·AD ' B ' 600 vì AB ' D ' đều cạnh a 2 . Câu 27. Đáp án B. (Hình vẽ câu 25) MN / / AC ·MN, AP ·AC, AP C· AP (góc nhọn). Ta có: AC a 2 . a 5 3a Trong tam giác vuông CC ' P có CP . Trong tam giác vuông APA' có AP . 2 2 1 Áp dụng định lý cosin cho CAP ta có: cosC· AP ·MN, AP 450 . 2 Câu 28. Đáp án A. (Hình vẽ câu 25) Trang 44
  45. Gọi N ' là trung điểm của B 'C '. Ta có ND / /N ' D ' ·ND, A' P ·N ' D ', A' P . Có VN 'C ' D ' VPD ' A' C· ' D ' N ' D· ' A' P ' Mà C· ' D ' N ' ·A' D ' N ' 900 D· ' A' P ·A' D ' N ' 900 D· IA' 900 hay ·DN, A' P 900 . Câu 29. Đáp án C. Ta có: CB  SAB SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB ·SC, SAB ·SC, SB C· SB . Do CSB vuông tại B nên: BC BC a 1 sin C· SB . SC SA2 AC 2 a 8 8 Câu 30. Đáp án D. (Hình vẽ giống câu 29) Kẻ AH  SB BC  AH AH  SBC AH là hình chiếu của AC lên mặt phẳng SBC ·AC, SBC ·AC, HC ·ACH . SA.AB a 6.a a 6 Tam giác SAB vuông AH SB a 7 7 AH 3 Vì AHC vuông tại H sin ·ACH . AC 7 Câu 31. Đáp án D. BB ' Ta có: tan  . VAHB vuông tại H B 'C ' ( H là trung điểm của BC ) AH 2AH tan BH BC 4 AI 2 AH 2 tan2 tan2  (*) BC 2 Mà VAIH vuông tại A nên AI 2 AH 2 IH 2 . VBIC vuông tại BC I IH BC 2 4IH 2 . Thay vào (*) 2 Ta có: tan2 tan2  1. Câu 32. Đáp án A. Trang 45
  46. Dựng BJ  SC(1), BI  AC SA  BI BI  SAC BI  SC 2 Từ 1 và 2 SC  BIJ IJ  SC Góc giữa hai mặt phẳng ASC và (BSC) là B· JI . Do VBIJ vuông tại I nên B· JI 600 3 1 4 1 BI BJ . 3 2 BI 2 3 BJ 2 SBC có B· SC 450 SBC vuông cân tại B . Trong tam giác SJB vuông tại J có 1 2 J· SB 450 SB 2BJ BJ 2 BC 2 1 1 4 2 Từ 3 và 4 2 2 1 . 2 BC sin 3 BC 15 Giải phương trình ta được sin . 5 KHOẢNG CÁCH A. LÝ THUYẾT I. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 1. Cho điểm O và đường thẳng . Hạ OH  (H ) . Khi đó khoảng cách từ O tới bằng độ dài đoạn OH . Kí hiệu là d O, . 2. d O, OA ,với A là điểm bất kì thuộc . 3. Cho hai đường thẳng a và cắt nhau tại M . d A, MA Trên a lấy hai điểm A, B . Khi đó: d B, MB Trang 46
  47. 4. Cho ABC vuông tại A . Dựng đường cao AH , khi đó ta có: AH d A, BC và AH được tính 1 1 1 theo công thức: hoặc AH 2 AB2 AC 2 AB.AC AH . BC II. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 1. Định nghĩa Cho điểm O và mặt phẳng . Dựng OH  , H . Khi đó khoảng cách từ O tới bằng độ dài đoạn OH và được kí hiệu là d O, . 2. Giả sử đường thẳng cắt tại M . Trên d A, AM lấy hai điểm A, B . Khi đó: . d B, BM 3. (Tính chất tứ diện vuông) Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O trên ABC . Khi đó OH d O, ABC và 1 1 1 1 . OH 2 OA2 OB2 OC 2 4. Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Khi đó khoảng cách giữa và được định nghĩa bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc tới . 5. Cho hai mặt phẳng và  song song. Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng và  là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc tới  . III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1.Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng a và b và cắt cả hai đường thẳng Trang 47
  48. a và b. được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đoạn thẳng AB được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng độ dài đoạn vuông góc chung AB 2.Nếu gọi (P);(Q) là hai mặt phẳng song song với nhau và lần lượt chứa hai thẳng a và b chéo nhau thì AB=d(A;(Q))=d(b;(P))=d(( P);(Q) Nhận xét: -Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn còn lại. -Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. IV.Bổ sung kiến thức 1.Hệ thức lượng trong tam giác vuông a2 b2 c2 b2 a.b';c2 a.c ' h2 b'.c' a.h b.c 1 1 1 h2 b2 c2 b asin B a cosC c tan B c cot C c asin C a cos B b tan C bcot B 2.Hệ thức lượng trong tam giác đều -Cho tam giác đều ABC cạnh a,trung tuyến AM,trọng tâm G ta có a 3 2 a 3 1 a 3 AM ; AG AM ;GM AM 2 3 3 3 6 1 a2 3 -Diện tích S AM.BC 2 4 3.Hệ thức lượng trong tam giác thường -Định lý cosin: a2 b2 c2 2bc cosA a b c -Định lý sin : 2R sin A sin B sin C b2 c2 a2 -Công thức trung tuyến: m2 a 2 4 -Công thức diện tích: 1 1 1 S ah bh ch 2 a 2 b 2 c 1 1 1 S absin C bcsin A acsin B 2 2 2 abc S 4R S p.r a b c S p( p a)( p b)(p c);( p ) 2 B.Các bài toán vè khoảng cách Ví dụ 1:Cho chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B và AB=2BC=2a.Biết SA  (ABC) .Tính d(B; ABC 2a a A. B. a C. 2a D. 5 2 Trang 48
  49. Đáp án A. Lời giải -Dựng BH  AC BH  SA;(SA  (ABC)). Vậy BH  (SAC) BH là khoảng cách từ B đến (SAC) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BA.BC 2a.a 2a BH d(B;(ABC)) BA2 BC 2 4a2 a2 5 Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABC có SA h và SA  (ABC) và tam giác ABC đều cạnh a.Tính d(A; SBC ah 7 a 3 ah 3 ah 3 A. B. C. D. 3a2 4h2 3a2 4h2 3a2 4h2 4a2 3h2 Đáp án:c Lời giải Trang 49
  50. Gọi M là trung điểm của BC BC  (SAM ) .Dựng AK  SM AK  BC;(BC  (SAM )) AK  (SBC) AK d(A;(SBC)) a 3 Có AM ;tam giác SAM vuông tại A 2 3 a .h AM.AS 3ah AK 2 d(A;(SBC)) AM 2 +AS2 a 3 3a2 4h2 ( )2 h2 2 Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABC có SA h và SA  (ABC) .Lấy điểm M SB sao cho 1 SM MB;(M AB) .Gọi I là trung điểm của CM.Tính d I; ABC 2 h h 2h A. B. C. D. h 2 3 3 Đáp án B. Dựng MN / /SA, N AB MN  (ABC) Dựng IH  CN IH  (ABC) IH d(I;(ABC)) 1 1 2 h IH MN . SA 2 2 3 3  Ví dụ 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD 60 ; 3a SO  (ABCD);SO .Đặt x d O; SBC ; y d A; SBC ; z d AD;SB . Tính 4 x y z 9a 3a 15a 15a A. B. C. D. 8 4 4 8 Đáp án D. Trang 50
  51.  Vì BAD 60 BAD đều cạnh a a 3 a 3 a AO ;BD a OC ;OB 2 2 2 Suya ra tứ diện OSBC vuông tại O 1 1 1 1 1 1 1 64 2 2 2 2 3a 2 2 2 x SO OB OC ( )2 a a 3 9a 4 2 2 3a 3a x .Ta có AC 2AO d(A;(SBC)) 2d(O;(SBC)) y 8 4 3a Vì AD / /(SBC) z d(AD;SB) d(AD;(SBC)) d(A;(SBC)) 4 3a 3a 3a 15a x y z 8 4 4 8 Ví dụ 5:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a .Tính d AC; DC’ a 3 a 3 a A. B. C. D. a 3 2 3 Đáp án A. Trang 51
  52. d AC; DC’ d(AC; DA’C’ d(A; DA’C’ d(D’; DA’C’ Vì AC / / DA’C’ nên Tứ diện D’A’DC’ vuông tại D’nên 1 1 1 1 1 1 1 3 d 2 (D';(DA'C') D ' A'2 D ' D2 D 'C '2 a2 a2 a2 a2 a a 3 d(D ';(DA'C') d(AC; DC ') 3 3 Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B, AB BC a ,cạnh bên AA' 2 .Gọi M là trung điểm BC .Tính d AM ; B’C a 7 7 a 2 A. a 7 B. C. D. 7 a 7 Đáp án B. Trước hết ta đi dựng 1 mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia để chuyển về khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng.Lấy E là trung điểm BB’ ME / /CB ' CB '/ /(AME) d(AM ; B 'C) d(B'C;(AME)) d(C;(AME)) d(B;(AME)) Mà tứ diện BAME vuông ở B nên: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 d (B;(AME)) BM BE BA a a 2 a 2 2 4 4 1 7 a2 2a2 a2 a2 a d(B;(AME)) d(AM ; B 'C) 7 Trang 52
  53. Nhận xét:Qua 2 ví dụ trên ta luôn chuyển khoảng cách về tứ diện vuông để tính Ví dụ 7: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’. Tính d d(B’M ;CN) a 3 a 3 a 3 A. B. a 3 C. D. 2 8 4 Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ và P OO' CN vì B’M / / CAN Nên Tứ diện OACP vuông tại O 1 1 1 1 d 2 (O; (CAP)) OA 2 OP 2 OC 2 1 1 1 4 16 4 64 2 2 2 2 2 2 2 a 3 a a 3a a a 3a 4 2 2 a 3 a 3 d(O;(CAP)) d 8 4 B Nhận xét:Ngoài việc chuyển khoảng cách giữa B’M và CN ta còn dựng thêm được tứ diện vuông OACP và nhờ vào tính chất tứ diện vuông ta tính được khoảng cách   Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , ABC BAD 90 , BA BC a, AD 2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Tính d H; SCD a 2a 2a a a A. B. C. D. 2 3 3 3 3 Đáp án C. ọi M AB CD; K AH  SM Vì BC là đường trung bình của MAD B là trung điểm của AM BH BH.BS BA a2 1 Ta có: H là trọng tâm của SAM BS BS 2 BS 2 3a2 3 S d(H;(SCD)) KH 1 Từ đó . d(A;(SCD)) KA 3 Tứ diện ASDM vuông tại A nên 1 1 1 1 1 d 2 (A;(SCD)) AS 2 AD2 AM 2 a2 a d(A;(SCD)) a d(H;(SCD)) 3 Trang 53
  54. Ví dụ 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’ a 2 a a 3 A. B. a 2 C. D. 2 2 2 Đáp án A. Xét mặt phẳng (BB’D’D) chứa BD’ và song song với AA’ AO  BD Ta có (O là tâm hình vuông ABCD) AO  BB ' AC a 2 AO  (BB ' D ' D) d(AA';BD')=AO= 2 2 Ví dụ 10:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a; AD 2a, AA’ a .Gọi M là điểm chia AM đoạn AD với 3 .Đặt x d AD’; B’C ; y d M ; AB’C . Tìm x.y MD 3a2 5a2 a 2 3a2 A. B. C. D. 2 6 3 6 2 4 B C Đáp án C. Ta có B 'C / /(AA ' D ' D) d(B'C;AD') B'A' a x d(M ;(AB 'C)) MI AM 3 Goi I BM  AC A’ d(B;(AB 'C)) BI BC 4 3 d(M ;(AB 'C)) d(B;(AB 'C)) 4 Tứ diện BAB’C vuông tại B nên ta có 1 1 1 1 9 d 2 (B;(AB 'C)) a2 a2 4a2 4a2 2a 3 2a a d(B;(AB 'C)) d(M ;(AB 'C)) . y 3 4 3 2 a a2 Vậy x.y a. 2 2 Ví dụ 16. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính d CK; A D . 2a a 3a 4a A. .B. .C. .D. . 3 3 4 3 Lời giải Trang 54
  55. Đáp án B. Gọi M là trung điểm BB . Ta có: A M PKC nên d CK; A D d CK; A MD d K; A MD . d K; A MD NK 1 Gọi N AK  A D , P AB  A M . Khi đó . d A; A MD NA 2 1 1 d CK; A D d A; A MD d A; A DP . 2 2 Tứ diện đều AA DP vuông tại A nên: 1 1 1 1 1 1 1 9 d 2 A; A DP A A2 AD2 AP2 a2 a2 4a2 4a2 2a a d A; A DP d CK; A D . 3 3 Ví dụ 17. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AA 2a , A C 3a . Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A C , I là giao điểm của AM và A C . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng IBC . 2a 5 a 5 3a A. 2a 5 .B. .C. .D. . 5 5 5 Lời giải Đáp án B. Ta có: AC A C2 A A2 a 5 BC AC 2 AB2 2a Hạ AK  A B K A B vì BC  ABB A nên AK  BC AK  IBC . Trang 55
  56. 2S AA .AB 2a 5 d A; IBC AK AA B . A B AA 2 AB2 5 Ví dụ 18. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên ABCD trùng với giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a . a 3 a a 3 A. .B. a 3 .C. .D. . 2 2 6 Lời giải Gọi O là giao điểm của AC và BD . Khi đó A1O  ABCD . Ta có: B1C P A1D B1C P A1BD d B1; A1BD d C; A1BD . Kẻ CH  BD thì CH  A1BD CD.CB a 3 d B1; A1BD CH . CD2 CB2 2 Ví dụ 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB 3a , BC 4a , mặt phẳng SBC · vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết SB 2a 3 và SBC 30. Tính d B; SAC . 3a 7 6a 7 A. . B. 6a 7 .C. .D. a 7 . 14 7 Lời giải Trang 56
  57. Đáp án C. Kẻ SH  BC H BC do SBC  ABC nên SH  ABC . Ta có: SH SB.sin 30 a 3 Kẻ HD  AC D AC , kẻ HK  SD K SD . Khi đó HK d H; SAC Vì BH SB.cos30 3a nên BC 4HC d B; SAC 4d H; SAC Ta có: AC AB2 BC 2 5a HC 3a SH.HD 3a 7 HC BC BH a HD AB. HK AC 5 SH 2 HD2 14 6a 7 Vậy d B; SAC 4HK . 7 * Chú ý 1: Xác định đoạn vuông góc chung, tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau. TH1: Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau. Ta dựng mp chứa a và vuông góc với b tại B . Trong mặt phẳng dựng BA  a tại A .Khi đó độ dài đoạn thẳng BA là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b . TH2: Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau. - Ta dựng mp chứa a và song song với b . Trang 57
  58. - Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM  tại M . - Từ M dựng đường thẳng b Pb cắt a tại A . - Từ A dựng AB PMM cắt b tại B khi đó đoạn thẳng AB gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b . * Chú ý 2: Thông thường bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. Như TH2 nói trên thì d a; b d b; d M ; . Ví dụ 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với ABCD mặt phẳng và SH a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . 2 3a 2 3a 2a a A. . B. .C. .D. . 19 19 5 5 Lời giải Đáp án B. · · Ta có: ADM DCN nên ADM DCN DM  CN Có DM  SH DM  SHC Hạ HK  SC tại K HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC Do đó d DM ;SC HK Trong tam giác vuông CND ta có: CD2 a2 2a CH.CN CD2 CH CN a 5 5 2 Mặt khác HK.SC SH.HC Trang 58
  59. 2a a 3. SH.HC 2a2 3 2a 3 HK 5 SH 2 HC 2 4a2 19a2 19 3a2 5. 5 5 Ví dụ 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a ; hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của AB , mặt phẳng ABC đi qua SM và song song với BC cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a . 2a 39 2a 39 2a 11 2a 11 A. .B. . C. .D. . 13 13 13 13 Lời giải Đáp án B. Ta có: SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC nên SA  ABC . Từ AB  BC SB  BC nên S· BA là góc giữa SBC và ABC . Từ đó S· BA 60 ; SA AB.tan S· BA 2a 3 Kẻ đường thẳng đi qua N , song song với AB . Hạ AD  D AB P SND d AB;SN d AB; SND d A; SND Dựng AH  SD tại H AH  SND d A; SND AH . BC Tam giác SAD vuông tại A , có AH  SD và AD a 2 SA.AD 2a 39 d AB;SN AH . SA2 AD2 13 Ví dụ 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a . Tam giác SAC cân tại S có đường cao SO a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a . a 3 A. .B. 2a 3 .C. a 3 .D. a . 2 Lời giải Trang 59
  60. Đáp án C. Tam giác SAC cân tại S có SO  AC và SAC  ABC nên SO  ABC . Gọi D là điểm đối xứng với B qua O , khi đó ABCD là hình vuông nên AB PCD AB P SCD d AB;SC d AB; SCD Gọi E là trung điểm của AB d AB; SCD d E; SCD Gọi F là trung điểm của CD . Kẻ OH  SF H SF thì OH  SCD d O, SCD OH . Dựng EK POH K SF EK  SCD 1 1 1 4 d E; SCD EK và EK 2OH mà OH 2 OF 2 OS 2 3a2 a 3 OH EK d AB;SC 2OH a 3 2 Ví dụ 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . a 42 a 42 a 42 a 42 A. . B. .C. .D. . 8 4 12 10 Lời giải Đáp án A. · · Ta có: SCH SC; ABC 60 Kẻ Ax PBC . Trang 60
  61. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN . 3 3 Ta có BC P SAN và BA nên d SA; BC d B, SAN d H, SAN . 2 2 Ta cũng có Ax  SHN nên Ax  HK . Do đó HK  SAN d H, SAN HK 2a a 3 SH.HN a 42 AH , HN AH.sin 60 HK 3 3 SH 2 HN 2 12 a 42 Vậy d SA; BC . 8 Ví dụ 24. Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy là hình vuông, tam giác vuông cân A AC , A C a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD theo a . a 6 a 6 a 6 a 3 A. .B. .C. .D. . 3 2 6 6 Lời giải Đáp án C. a 2 a A AC vuông cân tại A và A C a nên AA AC AB B C . 2 2 Gọi H là chân đường cao kẻ A từ của A AB . Do đó d DM ;SC HK Ta có AH  A B và AH  BC nên AH  A BC hay AH  BCD Do đó AH d A; BCD . 1 1 1 6 a 6 Ta có: d A, BCD AH . AH 2 AB2 AA 2 a2 6 Ví dụ 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, · · BAD 120 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA 45 . Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBC . a 6 a 6 a 3 a 3 A. .B. .C. .D. . 2 4 4 2 Lời giải Trang 61
  62. Đáp án B. · · a 3 Ta có: BAD 120 , ABC 60 ABC đều AM 2 Do AD PBC nên d D; SBC d A; SBC Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Ta có: AM  BC và SA  BC BC  SAM BC  AH AH  SBC d A; SBC AH AM. 2 a 6 a 6 Ta có: AH d D, SBC . 2 4 4 STUDY TIP Nếu ta công nhận công thức tính thể tích của khối chóp mà sau này ta học ở lớp 12 thì ta còn có một cách khác để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng vì: 1 3V V B.h h 3 B Với B là diện tích đáy h Là chiều cao V Là thể tích khối chóp. · Ví dụ 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , ABC 30, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB . a 13 a 13 a 39 a 39 A. . B. .C. .D. . 4 13 4 13 Lời giải Đáp án D. Gọi H là trung điểm BC SH  BC . Mà SBC  ABC theo giao tuyến BC nên SH  ABC . a 3 a Ta có: BC a SH ; AC BC.sin 30 . 2 2 Trang 62
  63. a 3 1 a3 AB BC.cos30o . Do đó V SH.AB.AC . 2 S.ABC 6 16 Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên HA HB mà SH  ABC SA SB a . AB2 a 13 Gọi I là trung điểm của AB SI  AB . Do đó SI SB2 . 4 4 3V 6V a 39 d C; SAB S.ABC S.ABC . S SAB SI.AB 13 Ví dụ 27: Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng A C và mặt đáy bằng 60o . Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng ACC A . 3 13a 3 13a 2 13a 5 13a A. . B. . C. . D. . 13 26 13 26 Hướng dẫn giải Chọn A. Trang 63
  64. Gọi H là trung điểm của AB A H  ABC và ·A CH 60O . 3a Do đó A H CH.tan ·A CH . 2 Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên AC , K là hình chiếu vuông góc của H trên A I HK d H; ACC A . a 3 Ta có HI AH.sin I·AH . 4 1 1 1 52 3 13a HK . HK 2 HI 2 HA 2 9a 2 26 3 13a Do đó d B; ACC A 2d H; ACC A 2HK . 13 STUDY TIP: Vì A H  ABC và H là trung điểm của AB nên d B; ACC A 2d H; ACC A . 3a Ví dụ 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD . Hình chiếu vuông góc của 2 S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của AB . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD . a 2a a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi H là trung điểm của AB SH  ABCD . Do đó SH  HD , ta có SH SD2 HD2 SD2 AH 2 HD2 a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD và E là hình chiếu vuông góc của H trên SK . Ta có BD  HK và BD  SH BD  SHK BD  HE . Mà HE  SK do đó HE  SBD . a 2 HS.HK a Ta có HK HB.sin K· BH HE . 4 HS2 HK 2 3 2a Do đó d A; SBD 2d H; SBD 2HE . 3 STUDY TIP: d A; SBD 2d H; SBD . Ví dụ 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 45o . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC . Trang 64
  65. 5a 5a a 10 a 10 A. . B. . C. . D. . 5 2 5 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Kẻ đường thẳng d qua B và song song với AC . Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d ; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Ta có SA  BM , MA  BM nên AH  BM AH  SBM . Do đó d AC;SB d A; SBM AH . 1 1 1 5 SAM vuông tại A có đường cao AH nên . AH 2 SA2 AM 2 2a2 a 10 Vậy d AC;SB AH . 5 STUDY TIP: Dựng mặt phẳng SBM chứa SB và song song với AC . C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Cho mặt phẳng P và hai điểm A, B không nằm trong P . Đặt d1 d A; P và d2 d B; P . Trong các kết luận sau thì kết luận nào đúng? d A. 1 1 khi và chỉ khi AB// P . d2 d B. 1 1 khi và chỉ khi đoạn thẳng AB cắt P . d2 d C. 1 1 khi đoạn thẳng AB cắt P . d2 IA d D. Nếu đường thẳng AB cắt P tại điểm I thì 1 . IB d2 Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Giả sử AB 1, AC 2 , AD 3. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng: 7 5 6 7 A. . B. . C. . D. . 5 7 7 11 Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD b , AA c . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC là: bc ab bc 1 A. . B. . C. . D. a2 b2 . b2 c2 a2 b2 a2 b2 2 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD . a 7 a 7 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 21 7 3 Trang 65
  66. Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? a A. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BD bằng . 3 B. Độ dài AC a 3 . C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng CDD C bằng a 2 . 3a D. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC B bằng . 2 Câu 6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi A là hình chiếu của A trên mặt phẳng BCD . Độ dài cạnh AA là: a 6 a 6 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AC a , BD 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC  BD . Tính MN . a 6 2a 3 3a 2 a 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Câu 8. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Tính tích AB.EG ? A. a2 3 . B. a2 . C. a2 2 . D. 2a2 . Câu 9. Cho tứ diện ABCD có AB 6, CD 3. Góc giữa AB và CD bằng 60o . Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho BM 2MC . Mặt phẳng P qua M song song với AB và CD cắt AC , AD và BD lần lượt tại N , P , Q . Tính diện tích MNPQ ? A. 2 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 2 . Câu 10. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB CD 6 ; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC xBC 0 x 1 . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD , BD tại M , N , P , Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là: A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Câu 11. Cho tứ diện ABCD có DA  ABC , AC AD 4 , AB 3 , CD 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD . 12 12 6 34 A. . B. . C. . D. . 5 34 34 3 Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA 3a , AB BC 2a , ·ABC 120o . Tính khoảng cách từ A đến SBC . a 3 3a A. a . B. 2a . C. . D. . 2 2 Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA  ABC và SA a . Tính khoảng cách từ A đến SBC theo a . a 3 3a a 3 3a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD a , CD 2a , cạnh SD vuông góc với ABCD , SD a . Tính d A; SBC . a 3 a 6 a 6 A. . B. a 3 . C. . D. . 3 6 3 Trang 66
  67. Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD 2a , SA  ABCD , SA a . Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC đến SBD . a 3 a a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA  ABCD , SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD . A. a . B. a 2 . C. a 3 . D. 2a . Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA  ABCD , SA a . Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách từ M đến SAB nhận giá trị nào sau đây? a 2 A. . B. a . C. a 2 . D. 2a . 2 Câu 18. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC đôi một vuông góc và SA AB BC 1. Tính độ dài SC . 3 A. 2 . B. 3 . C. 2 . D. . 2 Câu 19. Cho tứ diện ABCD có DA DB DC và B· CD 60o , ·ADC 90o , ·ADB 120o . Trong các mặt của tứ diện đó: A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất. B. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất. C. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất. D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Câu 20. Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện vuông góc. Cắt tứ diện đó bằng một mặt phẳng song song với một cặp cạnh đối diện còn lại của tứ diện. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Thiết diện là hình thang. B. Thiết diện là hình bình hành. C. Thiết diện là hình chữ nhật. D. Thiết diện là hình vuông. Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 3 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . a a 3 3a a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều với đáy lớn AD 2a SA  ABCD và SA a 3 . Tính khoảng cách từ A đến SBC . a 3 a 3 a 3 A. a . B. . C. . D. . 2 5 7 Câu 23. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi a , b , c tương ứng là độ dài của các cạnh OA , OB , OC . Gọi h là khoảng cách từ O đến ABC thì h có giá trị là: 1 1 1 1 1 1 A. h . B. h . a b c a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 abc C. h 2 2 2 . D. h . a b c a2b2 b2c2 c2a2 Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , đường chéo AC a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và ABCD bằng 60o . Gọi I là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ I đến SBC . 3a 13 a 3 a 13 3a 13 A. . B. . C. . D. . 26 4 26 16 Trang 67
  68. Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD 2a , CD a ; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60o . Gọi I là trung điểm của AD , hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với ABCD . Tính theo a khoảng cách từ A đến SBC . a 15 3a 15 2a 15 2a 15 A. . B. . C. . D. . 5 10 10 5 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho mặt phẳng P và hai điểm A, B không nằm trong P . Đặt d1 d A; P và d2 d B; P . Trong các kết luận sau thì kết luận nào đúng? d A. 1 1 khi và chỉ khi AB// P . d2 d B. 1 1 khi và chỉ khi đoạn thẳng AB cắt P . d2 d C. 1 1 khi đoạn thẳng AB cắt P . d2 IA d D. Nếu đường thẳng AB cắt P tại điểm I thì 1 . IB d2 Hướng dẫn giải Chọn D. Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Giả sử AB 1, AC 2 , AD 3. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng: 7 5 6 7 A. . B. . C. . D. . 5 7 7 11 Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1 1 1 49 6 Vì d . d 2 12 22 32 36 7 Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD b , AA c . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC là: bc ab bc 1 A. . B. . C. . D. a2 b2 . b2 c2 a2 b2 a2 b2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Trang 68
  69. ab d BB ; AC d BB ; ACC ' A' d B; ACC ' A' BH . a2 b2 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD . a 7 a 7 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 21 7 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi I là trung điểm của AB , ta có SI  AB và SAB  ABCD SI  ABCD . Gọi E là trung điểm của CD , trong mặt phẳng SIE dựng IH  SE H SE thì IH  SCD d I; SCD IH . a 3 Ta có SI , IE a . 2 SI.IE a 21 d A; SCD d I; SCD IH . SI 2 IE 2 7 Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? a A. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BD bằng . 3 B. Độ dài AC a 3 . C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng CDD C bằng a 2 . 3a D. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC B bằng . 2 Hướng dẫn giải Trang 69
  70. Chọn B. Câu 6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi A là hình chiếu của A trên mặt phẳng BCD . Độ dài cạnh AA là: a 6 a 6 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A. a 3 3a2 a 6 Ta có BA ; AA AB2 BA'2 a2 . 3 9 3 Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AC a , BD 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC  BD . Tính MN . a 6 2a 3 3a 2 a 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Lấy P là trung điểm của AB . Khi đó: PM //BD , PN //AC . 3a a Vì AC  BD PM  PN và PM ; PN . 2 2 9a 2 a2 a 10 MN PM 2 PN 2 . 4 4 2 Câu 8. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Tính tích AB.EG ? A. a2 3 . B. a2 . C. a2 2 . D. 2a2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Trang 70
  71. Ta có AB a , EG a 2 AB.EG a2 2 . Câu 9. Cho tứ diện ABCD có AB 6, CD 3. Góc giữa AB và CD bằng 60o . Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho BM 2MC . Mặt phẳng P qua M song song với AB và CD cắt AC , AD và BD lần lượt tại N , P , Q . Tính diện tích MNPQ ? A. 2 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Giao tuyến của P với ABC là MN //AB . Tương tự NP//MQ//CD . Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành và N·M ; NP 60o MN MC 1 1 NP AN BM 2 2 2 Có MN AB 2 ; NP CD .3 2 . AB CB 3 3 CD AC BC 3 3 3 3 S MN.NP.sin M· NP 2.2. 2 3 . MNPQ 2 Câu 10. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB CD 6 ; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC xBC 0 x 1 . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD , BD tại M , N , P , Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là: A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A. MN CM Ta có x MN xAB 6x . AB CB NP AN BM BC CM CM 1 1 x NP 6 1 x . CD AC BC BC BC 2 1 2 1 SMNPQ 36x 1 x 9 36 x x 9 36 x 9 max SMNPQ 9 . 4 2 Câu 11. Cho tứ diện ABCD có DA  ABC , AC AD 4 , AB 3 , CD 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD . 12 12 6 34 A. . B. . C. . D. . 5 34 34 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Trang 71
  72. D 4 H 4 A C 3 I 5 B Vì AB2 AC 2 BC 2 nên ABC vuông tại A . Cách 1: Sử dụng tính chất tam giác vuông AB.AC 3.4 12 Dựng AI  BC AI.BC AB.AC AI BC 5 5 Dựng AH  DI AH  BCD AH d A; BCD 1 1 1 1 1 1 25 34 AH 2 AD2 AI 2 16 144 16 144 144 25 144 12 AH . 34 34 Cách 2: Vì tứ diện ABCD vuông tại A nên áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta có: 1 1 1 1 1 1 1 12 AH . AH 2 AB2 AC 2 AD2 9 16 16 34 Nhận xét: Trong 2 cách trên thì cách 2 nhanh hơn nhiều khi sử dụng tính chất tứ diện vuông. Câu 12: Đáp án D. S 3a K A C 2a 2a B H Kẻ AH  BC và AK  SH . Ta có: BC  AH và BC  SA BC  SAH AK  SBC AK d A; SBC Trang 72
  73. Trong tam giác vuông BAH ta có: AH AB.sin 60 a 3 . Trong tam giác vuông SAH ta có: AS.AH 3a.a 3 3 3 AK a d A; SBC a. SH 9a2 3a2 2 2 Nhận xét: Trong bài này ta sử dụng tính chất tam giác vuông SAH để tính khoảng cách d A; SBC . Vậy có thể sử dụng tính chất của tứ diện vuông dduocjw không ? Câu trả lời là được. Vì nếu lấy điểm H trên tia CB sao cho C· AH 90,C· AB ·ACB 30 nên ·ABH 60 , mặt khác ·ABH 60 ABH đều AH 2a , AC 2 AB2 BC 2 2AB.BC.cos120 4a2 4a2 4a2 4a2 . Sau đó sử dụng tính chất tứ diện vuông cho tứ diện SAHC ta có: 1 1 1 1 3a 2 2 2 . Tính được d A; SBC . d 2 A; SBC AH AS AC 2 Câu 13: Đáp án A. S a A C a M a B Gọi M là trung điểm BC. Do ABC đều nên AM  BC BC  SAM Dựng AH  SM AH  SBC AH d A; SBC . Trong tam giác vuông SAM ta có: Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng tính chất tứ diện vuông bằng cách sử dụng them D thuộc tia BC sao choC· AD 90 . Câu 14: Đáp án C. Trang 73
  74. S a H 2 a D C a A a B I Kẻ dài AD cắt BC tại I . Ta có: AB là đường trung bình của IDC DI 2a. 1 d A; SBC d A; SIC d D; SIC 2 Áp dụng tính chất tứ diện vuông cho tứ diện SIC ta có: 1 1 1 1 6 2a a a 6 d D; SIC d A; SBC . d 2 D; SIC a2 4a2 4a2 4a2 6 6 6 Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng tính chất tam giác vuông bằng cách dựng DH  SBC và DH là khoảng cách cần tìm. Câu 15: Đáp án B. S I G K A B O H D C Kẻ AH  BD và AK  SH . Ta có BD  SH và BD  SA nên BD  SAH DB  AK Ta có: AK SH và BD  AK nên AK  SBD AD.AB 2a ABD vuông AH BD 5 2a a. SA.AH 2a SAH vuông AK 5 SH 4a2 3 a2 5 Gọi O AC  BD , SO cắt AI tại G G là trọng tâm SAC Trang 74
  75. d I; SBD GI 1 1 a d I; SBD AK . d A; SBD GA 2 2 3 Câu 16: Đáp án A. d SB;CD d CD; SAB d C; SAB a. S a A a B a D M C Câu 17: Đáp án B. ( Hình vẽ câu 16 ) d M ; SAB d C; SAB a. Câu 18: Đáp án B. S 1 D A C 1 1 B SA  AB 2 2 Ta có SA  ABCD SA  AC AC 2 SC SA AC 3. SA  BC Câu 19: Đáp án D. D 60 a a a 2 A C a 3 a B Gỉa sử DA DB DC a BC a, AC a 2, AB a 3 1 1 3 a2 3 S DA.DBsin120 a2. ABD 2 2 2 4 Trang 75
  76. 1 a2 3 S DB.DC sin 60 BCD 2 4 1 1 S DA.DC a2 ACD 2 2 ABC có AC 2 BC 2 AB2 ( cùng bằng 3a2 ) ABC vuông tại C 1 1 a2 2 S AC.BC a 2.a . ABC 2 2 2 a 2 So sánh 4 kết quả trên ta thấy là lớn nhất nên chọn D. 2 Câu 20: Đáp án C. Câu 21: Đáp án B. S a 3 H A a D a B C AH  SB Dựng AH  SB . Ta có: AH  SBC d A; SBC AH AH  BC vì BC  SAB SA.AB SA.AB a 3 Áp dụng tính chất cho tam giác vuông SAB ta có: AH . SB SA2 AB2 2 Câu 22: Đáp án C. S P A D H B C Trong mặt phẳng ABCD , dựng AH  BC t ại H BC  SAH Trong mặt phẳng SAH . dựng AP  SH AP  SBC tại P d A; SBC AP Trang 76
  77. a 3 1 1 1 a 3 Mà AH AB2 BH 2 . 2 AP2 AS 2 AH 2 5 Câu 23: Đ áp án D. 1 1 1 1 b2c2 c2a2 a2b2 abc Ta c ó: 2 2 2 2 2 2 2 h . h a b c a b c a2b2 b2c2 c2a2 Câu 24: Đáp án A. S A H a D I O a B F E C Ta có: SI  AB, SAB  ABCD SI  ABCD Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của Ta có AE  BC, IF / / AE IF  BC BC  IF, BC  SI BC  SBC Trong mặt phẳng SIF , dựng IH  SF v à H SF Ta có IH  SF, IH  BC IH  SBC Do đó d I; SBC IH . Góc giữa SC và ABCD là S· CI nên a 3 3a S· CI 60,CI SI CI.tan S· CI 2 2 a 3 AE a 3 AE IF 2 2 4 1 1 1 4 16 52 3a Từ đó IH IH 2 IS 2 IF 2 9a2 3a2 9a2 52 3a 3a 13 d I; SBC IH 52 26 Câu 25: Đáp án D. S H A B I K D C E Trang 77
  78. SBI  ABCD Ta có SI  ABCD SCI  ABCD Trong mặt phẳng ABCD , dựng IK  BC, K BC Trong mặt phẳng SIK , dựng IH  SK, H SK Từ IH  SBC d I; SBC IB a2 3a2 S S S S 3a2 a2 IBC ABCD DIC ABI 2 2 2S 3a 5 BC 2a2 a2 a 5 IK IBC BC 5 Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là S· KI . Nên 3a 15 S· KI 60 SI IK.tan S· KI 5 1 1 1 5 5 20 3a 15 Ta có: d I; SBC IH . IH 2 IS 2 IK 2 27a2 9a2 27a2 10 Trong mặt phẳng ABCD , gọi E là giao điểm của AD và BC thì E AI  SBC . d A; SBC EA 4 4 2a 15 d A; SBC d I; SBC . d I; SBC EI 3 3 5 Nhận xét: Sử dụng tỉ số khoảng cách ta có thể tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thong qua điểm khác, quan trọng là biết xuất phát từ điểm nào trước, Từ dấu hiệu SI  ABCD , ta chọn tính khoảng cách từ điểm I đến SBC sau đó dựa vào tỉ số khoảng cách suy ra khoảng cách cần tìm. Bài tập ôn tập chủ đề 8 Câu 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k    thích hợp đẻ điền vào đẳng thức vectơ : MN k AC BD 1 1 A. k .B. k .C. k 3.D. k 2 . 2 3 Câu 2. Cho ba vectơ a,b,c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a,b,c đồng phẳng? A.Tồn tại ba số thực m,n, p thoả mãn m n p 0 và ma nb pc 0 . B.Tồn tại ba số thực m,n, p thoả mãn m n p 0 và ma nb pc 0 . C.Tồn tại ba số thực m,n, p thoả mãn ma nb pc 0 . D.Giá của a,b,c đồng quy.    Câu 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C ' có AA' a, AB b, AC c. Hãy phân tích ( biểu thị) vectơ  B'C qua các vectơ a,b,c .   A. B'C a b c. B. B'C a b c.   C. B'C a b c. D. B'C a b c. Câu 4. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?  1  A.Nếu AB BC thì B là trung điểm của đoạn AC .  2   B.Từ AB 3AC ta suy ra CB AC .    C.Vì AB 3AC 5AD nên bốn điểm A, B,C, D cùng thuộc một mặt phẳng.     D.Từ AB 3AC ta suy ra BA 3CA . Trang 78
  79. Câu 5. Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A.Ba vectơ a,b,c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương B.Ba vectơ a,b,c đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ 0 C.Vectơ x a b c luôn luôn đồng phẳng với hai vectơ a và b .    D.Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D' ba vectơ AB' ,C ' A' , DA' đồng phẳng. Câu 6. Trong các kết luận sau đây, kết luận nào đúng?.  Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Ta có AB.EG bằng:. a 2 A. a2. B. a 2. C. a 3. D. . 2 Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD . G ọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?.   A.Nếu SA SB 2SC 2SD 6SO th ì ABCD l à h ình thang.      B.Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SD 4SO .      C.Nếu ABCD là h ình thang thì SA SB 2SC 2SD 6SO .      D.Nếu SA SB SC SD 4SO thì ABCD là hình bình hành. Câu 8. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?.       A.Từ hệ thức AB 2AC 8AD ta suy ra ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng.   B.Vì NM NP 0 nên N là đoạn trung điểm của đoạn MP .  1   C.Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI OA OB     2 D.Vì AB BC CD DA 0 nên bốn điểm A, B,C, D cùng thuộc một mặt phẳng.   Câu 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D' có tâm O . Đặt AB a; BC b . M là điểm xác định bởi  1 OM a b . Khẳng định nào sau đây đúng?. 2 A. M là trung điểm của BB'. . B. M là tâm hình bình hành BCC 'B' . C. M là tâm hình bình hành ABB' A' . D. M là trung điểm của CC ' .   Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữ cặp vectơ AB và DH ?. A. 45. B.90. C.120. D. 60. Câu 11. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC 'D' có cạnh chung AB và nằm trong hai   mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O' . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và OO' ?. A. 60. B. 45. C.120. D.90. Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ SB và AC ?. A. 60. B.120. C. 45. D.90. Câu 13. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?. A.120. B. 60. C.90. D.30. Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạch đều bằng A.Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC.Số đo của góc IJ,CD bằng: A.90. B. 45. C.30. D. 60. Câu 15. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Giả sử tam giác AB C và A DC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây? A. ·AB C. B. D· A C . C. B· B D. D. B· DB . Câu 16. Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?. Trang 79
  80. A.Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B.Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C.Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ   SC và AB ? A.120. B. 45. C. 60. D.90. Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN, SC bằng: A. 45. B.30. C.90. D. 60. Câu 19. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Chọn khẳng định sai? A.Góc giữa AC và B1D 1 bằng 90. B.Góc giữa B1D 1 và AA1 bằng 60. C.Góc giữa AD và B1C bằng 45. D.Góc giữa BD vàAC bằng 90. 1 1   Câu 20. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a . Gọi M là trung điểm AD . Giá trị B1M.BD1 là: 1 3 3 A.a2. B.a2. C.a2. D. a2. 2 4 2 Câu 21. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?. A.Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c . B.Cho ba đường thẳng a,b,c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c . C.Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c . D.Cho hai đường thẳng a vàb song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng a,b .   Câu 22. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A.90. B.60. C.45. D.120. Câu 23. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CD , là góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng? 3 1 3 A.cos = . B.cos = . C.cos = . D. 60. 4 3 6  Câu 24. Cho a 3, b 5 góc giữa a,b bằng 120. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A B.a .C.b . D 19 a b 7 a 2b 139 a 2b 9   Câu 25. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AF và EG ? A.90. B.60. C.45. D.120. Câu 26. Trong không gian cho ba điểm A, B,C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?   A 2AB.AC AB2 AC 2 BC 2   B 2AB.AC AB2 AC 2 2BC 2   C AB.AC AB2 AC 2 2BC 2   D AB.AC AB2 AC 2 BC 2 Trang 80
  81.   Câu 27. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG a2 2 A aB.2 .C.3.D a2 a2 2 2 Câu 28. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB CD 6 . M là điểm thuộc BC sao cho MC x.BC 0 x 1 . Mp P song song với AB vàCD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M , N, P,Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu? A.9.B.11.C.10.D.8. Câu 29. Cho tứ diện ABCD có AB CD . Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC , BC , BD , DA . Góc giữa IE và JF là: A. .3 0 B. . 45 C. . 60 D. . 90 Câu 30. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mộtđường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. D.Mộtđường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Câu 31. Cho hai vec tơ a, b thỏa mãn a 4 ;b 3; a b 4 . Gọi là góc giữa hai véc tơ a và b . Chọn khẳng định đúng: 3 1 A. .c os B. . C. 3 .0  D. . cos 60 8 3       Câu 32. Cho tứ diện ABCD . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: AB.CD AC.DB AD.BC k A. .k 1 B. . k 2 C. . k D.0 . k 4 Câu 33. Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm điểm M sao cho giá trị của biểu thức P MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. M là trọng tâm tam giác ABC . B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. M là trực tâm tam giác ABC . D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC . Câu 34. Cho hai vec tơ a, b thỏa mãn a 26 ;b 28; a b 48 . Độ dài của vec tơ a b là: A. .2 5 B. . 616 C. . 9 D. . 618  Câu 35. Cho hai vec tơ a, b thỏa mãn a 4 ;b 3; a.b 10 . Xét hai véc tơ y a b ; x a 2b . Gọi  là góc giữa hai véc tơ x và y . Chọn khẳng định đúng: 2 1 3 2 A. .c os B. . C. . cosD. . cos cos 15 15 15 15 Câu 36. Trong không gian cho tam giác ABC có diện tích S . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: 1  2  2   2 S AB .AC 2k AB.AC 2 1 1 A. .k B. . k 0 C. . k D. . k 1 4 2 Câu 37. Trong không gian cho đường thẳng d và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với d Trang 81
  82. A. Vô số . B. .2 C. . 3 D. . 1 Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA SB SC b a b 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Xét mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC tại điểm I nằm giữa S và C . Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P là: a2 3b2 a2 a2 3b2 a2 A. .S B. . S 4b 2b a2 3b2 a2 a2 3b2 a2 C. .S D. . S 2b 4b Câu 39. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , BC , BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng: A. Góc giữa CD và ABD là góc CBD . B. Góc giữa AC và CBD là góc ACB . C. Góc giữa AD và ABC là góc ADB . D. Góc giữa AC và ABD là góc CBA . Câu 40. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ SH  ABC , H ABC . Khẳng định nào sau đây đúng: A. H trùng với trung điểm của AC . B. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H là trực tâm tam giác ABC .D. trùng với trungH điểm của . BC Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng ABC . A. .3 0 B. . 45 C. . 60 D. . 75 Câu 42. Mệnh đề nào sau đây làsai? A.Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho ) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC , BSC 120 , CSA 60 . Vẽ SH  ABC , H ABC . Khẳng định nào sau đây đúng: A. H trùng với trung điểm của AB . B. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H trùng với trung điểm của BC .D. trùng với trungH điểm của . AC Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA  ABCD . Khẳng định nào sau đây sai: A. .S A  BD B. . SC.C .  BD D. . SO  BD AD  SC Câu 45. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC và SO  ABC . Gọi I là điểm tùy ý trên OH ( không trùng với O và H ). Xét mặt phẳng P đi qua I và vuông góc với OH . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P là: A. Hình thang cân.B.Hình thang vuông. C.Hình bình hành.D.Tam giác vuông. Trang 82
  83. Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SA  ABCD . Gọi I là trung điểm của SC .Khẳng định nào sau đây sai: A. .I O  ABCD B. . SC  BD C. .S A SB SC D. là mặt phẳng SAC trung trực của. BD Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuôngcạnh a ,SA  ABCD và SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và ABCD . Chọn khẳng định đúng: 1 A. . 45 B. . C.30 . D. . cos 60 3 Câu 48. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S lên mặt phẳng ABC là: A.Trọng tâm tam giác ABC . B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. Trực tâm tam giác ABC . D.Tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC . Câu 49. Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào sau đây là sai? A.Nếu a  b và b  c thì a / /b . B. Nếu a  và b / / thì a  b . C. Nếu a / /b và b  c thì a  c . D.Nếu a  b , b  c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng chứa a và c . Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và AB  BC . Số các mặt của hình chóp S.ABC là tam giác vuông là A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA  ABCD . Gọi AE; AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD . Khẳng định nào sau đây đúng: A. .S C  AFB B. . SC  AEC C. .S C  AED D. . SC  AFE Câu 52. Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy là hình thoi, BAD 60 và A A A B A D . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Hình chiếu của A lên mặt phẳng ABCD là: A.Trung điểm của. AO B. Trọng tâm tam giác A .BD C. Điểm O .D.Trọng tâm tam giác . BCD a 3 Câu 53. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và SA  ABC , SA . Xét mặt phẳng 2 P đi qua A và vuông góc với BC . Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P là: 3a2 3a2 3a2 2a2 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 3 a 6 Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuôngcạnh a ,SA  ABCD và SA . Gọi là góc 3 giữa SC và ABCD . Chọn khẳng định đúng: A. . 45 B. . C.30 . D. . 75 60 Trang 83
  84. Câu 55. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi là góc giữa AC và A BCD . Chọn khẳng định đúng: 2 A. . 45 B. . C.30 . D. . tan 2 tan 3 Câu 56. Cho tứ diện SABC thỏa mãn SA = SB = SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S len mặt phẳng (ABC) . Đói với tam giác ABC ta có điểm H là A. Trực tâm. B. Tâm đường tròn nội tiếp. C. Trọng tâm. D. Tâm đường tròn ngoại tiếp. a 3 Câu 57. Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và(SBC) là hai tam giác đều cạnh a , SA = . M 2 là điểm trên AB sao cho AM = b (0 < b < a) . (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC . Thiết diện của (P) và tứ diện SABC có diện tích bằng? 3 3 æa- bö2 3 æa- bö2 3 3 æa- bö2 3 3 æa- bö2 A. ç ÷ . B. ç ÷ . C. ç ÷ . D. ç ÷ . 4 èç a ø÷ 4 èç a ø÷ 16 èç a ø÷ 8 èç a ø÷ Câu 58. Cho hai đường thẳng a ,b và mặt phẳng (P) . Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu a//(P) và b ^ a thì b//(P) . B. Nếu a//(P) và b ^ a thì a ^ b . C. Nếu a//(P) và b ^ a thì b ^ (P) . D. Nếu a ^ (P) và b ^ a thì b//(P) . Câu 59. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC . Biết SA = a . Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) . A. 30° . B. 45° . C. 60° . D. 75° . Câu 60. Tính chất nào sau đây không phải tính chất của hình lăng trụ đứng? A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành. B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật. C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng song song và bằng nhau. D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau. Câu 61. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. D. Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Câu 62. Cho hình chóp S.ABDC có đáy ABDC là hình bình hành tâm O , AD, SA, AB đôi một vuông góc , AD = 8, SA = 6 . (P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB . Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng ? A. 20. B. 16. C. 17. D. 36. Câu 63. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Độ dài SG bằng: 9b2 + 3a2 b2 - 3a2 9b2 - 3a2 b2 + 3a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Trang 84
  85. Câu 64. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Xét mặt phẳng (P)đi qua A và vuông góc với SC . Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để mặt phẳng (P) cắt SC tai điểm C1 nằm giữa S và C . A. b > a 2 . B. b b 2 . Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi thoi tâm O . Biết SA = SC , SB = SD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB ^ (SAC) . B. CD ^ AC . C. SO ^ (ABCD) . D. CD ^ (SBD) . Câu 66. Cho tứ diện đều cạnh a = 12 , AP là đường cao của tam giác ACD . Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AP cắt mặt phẳng (ACD) theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng: A. 9. B. 6. C. 8. D. 7. Câu 67. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi a là góc giữa AC1 và mặt phẳng (ABCD) . Chọ khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 2 A. a = 45° . B. tan a = . D. tan a = . D. a = 30° . 2 3 Câu 68. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA ^ (ABC), SA = a . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC . Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC có diện tích bằng? Câu 69. Tam giác ABC có BC = 2a , đường cao AD = a 2 . Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A , lấy điểm S sao cho SA= a 2 . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB, SC . Diện tích tam giác AEF bằng? 3 3 1 2 3 A. .a2 .B C D a2 a a2 4 6 2 2 Câu 70. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ . Đường thẳng AC¢ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. (A¢BD) .B C. .(D.A¢.DC¢) (A¢CD¢) (A¢B¢CD) Câu 71. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là a, khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau ? . 1 A. tan 2 . B. .tC.an 3 .D tan tan 1 2 Câu 72. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của VABC và VSBC . Số đo góc tạo bởi SC và BHK là: A. 450 .B C. . 1200 D. . 900 650 Câu 73. Cho hình vuông ABCD tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với ABCD lấy điểm S . Biết góc giữa SA và mặt phẳng ABCD có số đo bằng 450 . Tính độ dài SO. a 3 a 2 A. SO a 3 .B C. SO .D.a. 2 SO SO 2 2 Câu 74. Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, SA  ABCD . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông. A. VSBC . B. .VC.SC D . VD.SA .B VSBD Trang 85