›
›
›

Bài tập tự luyện Đại số Lớp 12 - Chủ đề 2: Cực trị của hàm số

doc 63 trang hangtran11 11/03/2022 5201
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập tự luyện Đại số Lớp 12 - Chủ đề 2: Cực trị của hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_tu_luyen_dai_so_lop_12_chu_de_2_cuc_tri_cua_ham_so.doc

Nội dung text: Bài tập tự luyện Đại số Lớp 12 - Chủ đề 2: Cực trị của hàm số

  1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ FULL FREE: ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ FULL FREE: CHỦ ĐỀ 2 – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Khái niệm cực đại và cực tiểu  Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng a;b (có thể a là ; b là ) và điểm x0 a;b a) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0 h; x0 h và x x0 thì ta nói hàm số f x đạt cực đại tại x0 . b) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0 h; x0 h và x x0 thì ta nói hàm số f x đạt cực tiểu tại x0 . Chú ý: - Nếu hàm số f x đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f x0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là fCD fCT , còn điểm M x0 ; f x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. - Các điểm cực đại cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. - Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng a;b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f ' x0 0.  Định lý 1: Giả sử hàm số y f x liên tục trên khoảng K x0 h; x0 h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0, với h 0 . - Nếu f ' x0 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x0 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là điểm cực đại của hàm số f x . x x0 h x0 x0 h f ' x CĐ f x - Nếu f ' x0 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x0 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f x .
  2. x x0 h x0 x0 h f ' x f x CT Nhận xét: Xét hàm số y f x liên tục và xác định trên a;b và x0 a;b . - Nếu f ' x đổi dấu khi qua điểm x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số. - Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số. - Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. 2x Chú ý: Hàm số y x2 x có đạo hàm là y ' không có đạo hàm tại điểm x 0 tuy nhiên y ' 2 x2 vẫn đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 .  Định lý 2: Giả sử hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trong khoảng x0 h; x0 h với h 0 . Khi đó: f ' x0 0 - Nếu x0 là điểm cực tiểu. f '' x0 0 f ' x0 0 - Nếu x0 là điểm cực đại. f '' x0 0 Chú ý: Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì chưa thể khẳng định được x0 là điểm cực đại hay điểm cực tiểu hay cực trị của hàm số. 3 f ' 0 0 Ví dụ: Hàm số y x có tuy nhiên hàm số này không đạt cực trị tại điểm x 0 . f '' 0 0 4 f ' 0 0 Hàm số y x có tuy nhiên hàm số này đạt cực tiểu tại điểm x 0 . f '' 0 0 Do vậy ta chú ý định lý 2 chỉ đúng theo một chiều (không có chiều ngược lại). II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ Phương pháp giải:  Quy tắc 1: Áp dụng định lý 1. - Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số đã cho. - Bước 2: Tính f ' x . Tìm các điểm mà tại đó f ' x 0 hoặc f ' x không xác định. - Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu f ' x hoặc bảng biến thiên đê kết luận.  Quy tắc 2: Áp dụng định lý 2. - Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số đã cho.
  3. - Bước 2: Tính f ' x . Giải phương trình f ' x 0 và ký hiệu xi i 1,2, n là các nghiệm của nó. - Bước 3: Tính f '' x từ đó tính được f '' xi . - Bước 4: Dựa vào dấu của f '' xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi . Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: y x4 8x2 2 Lời giải 3 x 0 TXĐ: ¡ . Ta có: f ' x 4x 16x 0 x 2 Bảng xét dấu của y '. x 2 0 2 y ' 0 0 0 Ta thấy y ' đổi dấu khi qua các điểm x 0, x 2 x 0, x 2 là các điểm cực trị của hàm số. y ' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua các điểm x 2 x 2 là điểm cực tiểu, y ' đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua các điểm x 0 x 0 là điểm cực đại của hàm số. Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số: x4 a) f x 2x2 6. 4 b) g x sin 2x . Lời giải 3 x 0 2 a) TXĐ: ¡ . Ta có: f ' x x 4x 0 , f '' x 3x 4. x 2 Khi đó f '' 2 8 0 x 2 là các điểm cực tiểu, f '' 0 4 0 x 0 là điểm cực đại của hàm số. b) TXĐ: ¡ . Ta có: g ' x 2cos 2x 0 cos 2x 0 2x k x k k ¢ . 2 4 2 f '' k 4khi k 2 4 2 f '' x 4sin 2x . f '' k =4 khi k 2 1 4 2 Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x k k ¢ và đạt cực tiểu tại các điểm 4 2 3 x k k ¢ . 4 Ví dụ 3: Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
  4. sau? A. Nếu f ' x0 0 thì hàm số đó đạt cực trị tại điểm x x0. B. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm x x0. C. Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x x0. D. Nếu f ' x không xác định tại điểm x0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm x x0. Lời giải Nếu f x x3 thì f ' 0 0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x 0 nên A sai. Nếu f x x4 thì f ' 0 0 và f '' 0 0 nhưng hàm số vẫn đạt cực trị tại điểm x 0 . B sai. Nếu y x2 x , hàm số này không có đạo hàm tại điểm x 0 nhưng vẫn có cực trị tại điểm x 0 . D sai. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên  2;3 và có bảng xét dấu như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đã cho? x 2 0 1 3 f ' x 0 A. Đạt cực tiểu tại x 2. B. Đạt cực đại tại x 1. C. Đạt cực tiểu tại x 3. D. Đạt cực đại tại x 0. Lời giải Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x 0. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hàm số y x 2 x2 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 3 A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 3. B. Hàm số đạt cực đại tại x . 3 2 3 10 3 C. Hàm số đạt cực tiểu tại x . D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng . 3 3 Lời giải TXĐ: D ¡ . 2x 2 x 0 2 3 Ta có: y ' 1 0 x 4 2x 2 2 x . x2 4 x 4 4x 3 Bảng xét dấu cho y '. 2 3 x 3
  5. y ' 0 2 3 2 3 Suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x và có giá trị cực đại bằng y 2 3. Chọn A. 3 3 1 3 Ví dụ 6: Cho hàm số y x3 x2 2x 1. Giả sử hàm số đạt cực đại tại điểm x a và đạt cực tiểu tại 3 2 điểm x b thì giá trị của biểu thức 2a 5b là: A. 1.B. 12.C. 1. D. 8. Lời giải 2 x 1 TXĐ: D ¡ . Ta có: y ' x 3x 2 0 . x 2 Bảng xét dấu y '. x 1 2 y ' 0 0 Do y ' đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x 1 x 1 là điểm cực đại của hàm số. y ' đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x 2 x 2 là điểm cực tiểu của hàm số. Hoặc ta có: y '' 2x 3 y '' 1 1 0, y '' 2 1 0 xCD 1, xCT 1. xCD 1 a Vậy 2a 5b 8. Chọn D. xCT 2 b 3 Ví dụ 7: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT 2017] Tìm giá trị cực đại yCD của hàm số y x 3x 2. A. yCD 4. B. yCD 1. C. yCD 0. D. yCD 1. Lời giải 2 x 1 Ta có: y ' 3x 3 0 . x 1 Mặt khác y '' 6x y '' 1 0 xCD 1 yCD y 1 4. Vậy giá trị cực đại của hàm số là yCD 4. Chọn A. Chú ý: Hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 có hai điểm cực trị khi y ' 3ax2 2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó yCD yCT và:  Nếu a 0 thì xCD xCT .  Nếu a 0 thì xCD xCT . Ví dụ 8: Giá trị cực đại của hàm số y x sin 2x trên 0; là 3 2 3 2 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 2 3 2 3 2
  6. Lời giải 1 Ta có: y ' x sin 2x ' 1 cos 2x y ' 0 1 2cos 2x 0 cos 2x 2 x 3 x k k ¢ , với x 0; . 3 2 x 3 y '' 2 3 0 (CD) 3 Mặt khác y '' 4sin 2x y '' 2 2 3 0 (CT ) 3 3 Giá trị cực đại của hàm số bằng y '' . Chọn D. 3 2 3 Ví dụ 9: Cho hàm số y x3 x2 x 1. Giả sử hàm số đạt cực đại tại x a và cực tiểu tại x b thì giá trị của biểu thức 2a2 b2 là 11 19 10 8 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9 Lời giải x 1 2 1 Ta có: y ' 3x 2x 1 0 1; y '' 6x 2 y '' 1 4 0, y '' 4 0. x 3 3 1 xCD a 2 2 11 Từ đó suy ra: 3 2a b . Chọn A. 9 xCT 1 b Ví dụ 10: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 2x2 x 2 là: 1 58 1 A. ; . B. ;1 . C. 2;1 . D. 1;2 . 3 27 3 Lời giải x 1 2 1 Ta có: y ' 3x 4x 1 0 1 ; y '' 6x 4 y '' 1 2 0, y '' 2 0. x 3 3 Từ đó suy ra xCT 1 yCT 2. Chọn D. Ví dụ 11: Cho hàm số y x3 3x2 9x 2. Hàm số: A. Đạt cực tiểu tại điểm x 3. B. Đạt cực tiểu tại điểm x 1.
  7. C. Đạt cực đại tại điểm x 1. D. Đạt cực đại tại điểm x 3. Lời giải 2 x 1 xCT 1 Ta có: y ' 3x 6x 9 0 . Dễ dàng . Chọn D. x 3 xCD 3 3 2 Ví dụ 12: Giả sử hàm số y x 3x 9x 1 đạt cực đại, cực tiểu lần lượt tại các điểm A x1; y1 và x1 y2 B x2 ; y2 thì giá trị của biểu thức T là: x2 y1 1 1 A. . B. . C. 3. D. 3. 3 3 Lời giải 2 x 3 y 26 Ta có: y ' 3x 6x 9 0 . Do hàm số bậc ba có yCD yCT nên điểm cực đại của x 1 y 6 1 26 đồ thị hàm số là A 1;6 , điểm cực tiểu B 3; 26 T 3. Chọn D. 3 6 Chú ý: Với hàm số bậc 3 thì giá trị của cực đại luôn lớn hơn giá trị cực tiểu. Ví dụ 13: Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ , biết rằng f ' x x 1 2 . x 2 3 x 3 4 2x 1 . Fàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị. A. 1.B. 2.C. 3.D. 0. Lời giải 2 3 4 1 Do hàm số có f ' x x 1 . x 2 x 3 đổi dấu qua các điểm x 2, x nên hàm số đã cho có 2 2 điểm cực trị. Chọn B. Ví dụ 14: [Đề thi minh họa THPTQG năm 2019] Cho hàm số f x có đạo hàm 3 f ' x x x 1 x 2 ,x ¡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 3.B. 2.C. 5.D. 1. Lời giải Do f ' x đổi dấu qua cả 3 điểm x 0, x 1, x 2 nên hàm số đạt cực trị tại x 0, x 1, x 2 . Chọn A. Ví dụ 15: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có đạo hàm là f ' x x2 1 x2 3x , số điểm cực tiểu của hàm số f x là: A. 0.B. 2.C. 3.D. 1. Lời giải
  8. Ta có f ' x x 1 x x 1 x 3 bảng xét dấu của f ' x : x 1 0 1 3 y ' 0 0 0 Do y ' đổi dấu từ âm sang dương khi qua các điểm x 0, x 3 nên hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. Chọn B. x2 3 Ví dụ 16: [Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017]: Cho hàm số y . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 A. Cực tiểu của hàm số bằng 3. B. Cực tiểu của hàm số bằng 1. C. Cực tiểu của hàm số bằng 6. D. Cực tiểu của hàm số bằng 2. Lời giải x2 3 x2 2x 3 Xét hàm số y với x 1, ta có f ' x x 1 x 1 2 Bảng xét dấu f ' x x 3 1 y ' 0 0 0 Suy ra x 1 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy cực tiểu của hàm số bằng yCT f 1 2. Chọn D. x2 3 Ví dụ 17: Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây là đúng? x 1 A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1. B. Hàm số đạt cực đại tại x 3. C. Giá trị cực tiểu bằng 2. D. Hàm số có hai cực trị và yCD yCT . Lời giải 2 x 2x 3 2 x 1 Hàm số có tập xác định D ¡ \ 1 và y ' 2 y ' 0 x 2x 3 0 . x 1 x 3 8 y '' 1 1 0 yCD y 1 2 Mặt khác y '' 3 yCD yCT . Chọn D. x 1 y '' 3 1 0 yCT y 3 3 Ví dụ 18: Cho hàm số y x3 3x2 1. Gọi A và B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Độ dài AB bằng. A. AB 5 2. B. AB 2 2. C. AB 20. D. AB 2 5. Lời giải 2 x 0 y 1 Ta có: y ' 3x 6x 0 . x 2 y 3 Do vậy A 0;1 ; B 2; 3 AB 20 2 5. Chọn D.
  9. Ví dụ 19: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x 0 2 y ' - 0 + 0 - 0 5 y 1 Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 1.B. 2.C. 0.D. 5. Lời giải Giá trị cực đại của hàm số đã cho là 5. Chọn D. Ví dụ 20: [Đề thi THPTQG 2017]: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số có ba điểm cực trị.B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.D. Hàm số có hai điểm cực tiểu. x 1 0 1 y ' 0 0 0 3 y 0 0 Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy rằng: Hàm số đã cho có ba điểm cực trị và x 1, x 1 là hai điểm cực tiểu. Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng 0, có giá trị cực đại bằng 3. Chọn C. DẠNG 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3 Xét hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 . Ta có: y ' 3ax2 2bx c. Khi đó:  Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) khi y ' 0 có hai nghiệm phân biệt 'y' 0.  Hàm số không có cực trị khi y ' 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 'y' 0. Chú ý: - Trong trường hợp hệ số a chứa tham số ta cần xét a 0.
  10. - Đối với hàm số bậc 3 ta luôn có yCD yCT và: +) Nếu a 0 thì xCD xCT . +) Nếu a 0 thì xCD xCT . 2 Khi y ' 3ax 2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt ta gọi A x1; y1 và B x2 ; y2 là tọa độ hai điểm cực 2b x x 1 2 3a trị thì theo định lý Viet ta có: . c x x 1 2 3a Thực hiện phép chia đa thức y cho y ' ta được y y '.g x h x . Khi đó y1 y ' x1 .g x1 h x1 h x1 và y2 y ' x2 .g x2 h x2 h x2 y1 h x1 Do đó . y2 h x2 Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có dạng y h x .  Loại 1: Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị hoặc không có cực trị Phương pháp giải: Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) khi y ' 0 có hai nghiệm phân biệt 'y' 0. Hàm số không có cực trị khi y ' 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 'y' 0. Ví dụ 1: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x3 3mx2 12x 1 không có cực trị là A. 3.B. 5.C. 4.D. 6. Lời giải Ta có: y ' 3x2 6mx 12 0 x2 2mx 4 0 * . 2 Để hàm số không có cực trị thì ' * m 2 0 2 m 2. Kết hợp m ¢ có 5 giá trị của m . Chọn B.
  11. 1 Ví dụ 2: Số giá trị nguyên của tham số m  10;10 để hàm số y x3 mx2 1 2m x m 2 có cực 3 đại và cực tiểu là A. 20.B. 21.C. 10.D. 9. Lời giải Ta có: y ' x2 2mx 1 2m . 2 2 2 Để hàm số có cực đại và cực tiểu 'y' m 1 2m m 2m 1 m 1 0 m 1. m  10;10 Kết hợp có 20 giá trị của m. Chọn A. m ¢ Ví dụ 3: Hàm số y x3 3x2 3 1 m2 x 1có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi. A. m 1. B. m ¡ . C. m 0. D. Không tồn tại m. Lời giải Ta có: y ' 3x2 6x 3 1 m2 0 x2 2x 1 m2 0 (1). 2 2 Để hàm số có 2 điểm cực trị 'y' 1 1 m m 0 m 0. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số y x3 2m 1 x2 2 2 m x 2. Số giá trị nguyên của tham số m  20;20 để hàm số có cực trị là A. 39.B. 3.C. 38.D. 2. Lời giải Ta có: y ' 3x2 2 2m 1 x m 2. Để hàm số có cực trị thì y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 5 2 m ' 2m 1 3 m 2 0 4m2 m 5 0 4 . y' m 1 m  20;20 Kết hợp có 38 giá trị của tham số m. Chọn C. m ¢ Ví dụ 5: Số giá trị nguyên dương của m để hàm số y x3 3x2 mx 5 có cực trị là: A. 3.B. 4.C. 2.D. Vô số. Lời giải Ta có: y ' 3x2 6x m. Hàm số đã cho có cực trị y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 'y' 9 3m 0 m 3 Kết hợp m ¢ * m 1;2. Chọn C. Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y x3 2mx2 mx 1 có cực trị.
  12. 3 3 m m 3 A. 4 . B. 4 . C. m 0. D. 0 m . 4 m 0 m 0 Lời giải Ta có: y ' 3x2 4mx m. Hàm số đã cho có cực trị y ' 3x2 4mx m có 2 nghiệm phân biệt 3 m ' 4m2 3m 0 4 . Chọn A. m 0 Ví dụ 7: Cho hàm số y 2x3 2m 1 x2 m2 1 x 2. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị. A. 4.B. 5.C. 3.D. 6. Lời giải Ta có: y ' 6x2 2 2m 1 x m2 1 . 2 Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi ' 2m 1 6 m2 1 0 2m2 4m 7 0 (xét m ¢ ) 2 3 2 2 3 3 m 3,1 m 1,12 m 3; 2; 1;0;1. Chọn B. 2 2 m 1 x3 Ví dụ 8: Cho hàm số y m 1 x2 4x 1. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x , đạt cực đại tại 3 1 x2 đồng thời x1 x2 khi và chỉ khi: m 1 m 1 A. m 1. B. . C. m 5. D. . m 5 m 5 Lời giải Với m 1 ta có y 4x 1 hàm số đã cho không có cực trị. Với m 1 ta có: y ' m 1 x2 2 m 1 x 4 Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x1 , đạt cực đại tại x2 đồng thời a m 1 0 m 1 x1 x2 2 m 1. Chọn A. m 1 m 5 0 'y' y ' m 1 4 m 1 0 mx3 Ví dụ 9: Cho hàm số y m 1 x2 3 m 1 x 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x và cực tiểu 3 1 tại x2 sao cho x1 x2. 1 1 A. 1 m 0. B. 1 m . C. 1 m 0. D. 1 m . 2 2 Lời giải
  13. Với m 0 y x2 3x 1 không thỏa mãn có 2 điểm cực trị. 2 Với m 0 . Ta có: y ' mx 2 m 1 x 3 m 1 . Để hàm số đạt cực đại tại x1 và cực tiểu tại x2 sao m a 0 3 cho x1 x2 1 m 0. Chọn A. 2 'y' m 1 3m m 1 m 1 1 2m 0  Loại 2: Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x x0. Phương pháp giải:  Bài toán 1: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x x0. 'y' 0 Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm x x0 . y ' x0 0  Bài toán 2: Tìm m để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x x0. Hàm số đạt cực trị tại điểm x0 ta suy ra y ' x0 0 , giải phương trình tìm giá trị của tham số m . Với giá trị của tham số m tìm được ta tính y '' x0 để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận. Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 2x2 mx 2. Giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại điểm x 2 là A. m 4. B. m 4. C. m 2. D. Không tồn tại m. Lời giải Ta có: y ' 3x2 4x m. 'y' 4 3m 0 Hàm số đạt cực trị tại điểm x 2 m 4. Chọn A. y ' 2 4 m 0 1 Ví dụ 2: Cho hàm số y x3 x2 mx 2. Giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại điểm x 1 là 3 A. m 2. B. m 1. C. m 1. D. Không tồn tại m. Lời giải Ta có: y ' x2 2x m. 'y' 1 m 0 Hàm số đạt cực trị tại điểm x 1 m . Chọn D. y ' 1 m 1 0 Ví dụ 3: Cho hàm số y 2x3 3mx2 m 9 x 1. Biết hàm số có một cực trị tại x 2 . Khi đó điểm cực trị còn lại của hàm số là A. 1.B. 3.C. 1. D. 3. Lời giải Ta có: y ' 6x2 6mx m 9. Cho y ' 2 24 12m m 9 0 m 3.
  14. 2 x 2 Với m 3 y ' 6x 18x 12 0 . Chọn A. x 1 Ví dụ 4: Cho hàm số y x3 mx2 nx 1 C . Giá trị của 2m n biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm A 2;7 là: A. 21.B. 22.C. 23.D. 20. Lời giải Ta có: y ' 3x2 2mx n y ' 2 4m n 12 0 4m n 12 Mặt khác A 2;7 C nên x 2 y 7 nên ta có 8 4m 2n 1 7 4m 2n 2 x 2 11 Khi đó m ;n 10 y ' 3x2 11x 10 5 Hàm số có hai điểm cực trị. 2 x 3 11 Vậy m ;n 10 2m n 21. Chọn A. 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y x3 3mx2 nx 2. Giá trị của 3m n biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm A 1;4 là: 37 A. 15. B. 15.C. . D. Không tồn tại m. 3 Lời giải Ta có: y ' 3x2 6mx n. Cho y ' 1 3 6m n 0 6m n 3. Mặt khác đồ thị hàm số qua A 1;4 nên 4 1 3m n 2 3m n 7 4 x 1 6m n 3 m 2 Do đó 3 y ' 3x 8x 11 0 11 (thỏa mãn có 2 điểm cực trị). 3m n 7 x n 11 3 Chọn A. 1 1 Ví dụ 6: Cho hàm số y x3 2m 4 x2 m2 4m 3 x 1 ( m là tham số). Tìm m để hàm số đạt 3 2 cực đại tại x0 2. A. m 1. B. m 2. C. m 1. D. m 2. Lời giải y ' x2 2m 4 x m2 4m 3 2 2 2 Để hàm số đạt cực đại tại x0 2 thì 2 2m 4 .2 m 4m 3 0 m 1 m 1
  15. 2 Với m 1 thì y ' x 6x 8 y '' 2x 6 y '' 2 2 0 x0 2 là điểm cực đại. 2 Với m 1 thì y ' x 2x y '' 2x 2 y '' 2 2 0 x0 2 là điểm cực tiểu. Vậy m 1 là điểm cần tìm. Chọn A. 1 Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y x3 mx2 m2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 1. 3 A. m 1. B. m 1. C. m 2. D. m 2. Lời giải Ta có y ' x2 2mx m2 m 1; y '' 2x 2m 2 m 1 Để hàm số đạt cực đại tại x 1 thì y ' 1 m 3m 2 0 . m 2 Với m 1 y '' 1 0 x 1 không phải điểm cực đại. Với m 2 y '' 1 2 0 x 1 là điểm cực đại của hàm số. Chọn C. Ví dụ 8: Cho hàm số y 18x3 9 m2 1 x2 6 2 3m x 2019 với m là tham số thực. Tìm tất cả các 1 giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x . 3 A. m 2. B. m 1. C. m 1. D. m 2. Lời giải Ta có y ' 54x2 18 m2 1 x 6 2 3m , y '' 108x 18 m2 1 . 1 1 2 m 2 Hàm số đạt cực tiểu tại x khi đó y ' 0 6 6 m 1 6 2 3m 0 . 3 3 m 1 1 1 TH1: Với m 1 y ' 0 x không phải điểm cực tiểu của hàm số. 3 3 1 1 TH2: Với m 2 y ' 54 0 x là điểm cực tiểu của hàm số. 3 3 Suy ra với m 2 thỏa mãn đề bài. Chọn A. Ví dụ 9: Cho hàm số y x3 mx2 m2 x 2. Giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x 1 là: m 1 m 1 A. m 1. B. m 3. C. . D. . m 3 m 3 Lời giải 2 2 2 m 1 Ta có y ' 3x 2mx m . Cho y ' 1 3 2m m 0 . m 3 Với m 3 y '' 6x 2m 6x 6 y '' 1 12 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1.
  16. Với m 1 y '' 6x 2m 6x 2 y '' 1 4 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1. Chọn C. Ví dụ 10: Cho hàm số y x3 ax2 bx 1. Giá trị của a b để hàm số đạt cực trị tại các điểm x 1 và x 2 là: 9 9 15 15 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải 3 2 y ' 1 3 2a b 0 a 9 Ta có y ' 3x 2ax b. Cho 2 a b . Chọn A. y ' 2 12 4a b 0 2 b 6 Ví dụ 11: Cho biết hàm số y f x x3 ax2 bx c đạt cực tiểu tại điểm x 1, f 1 3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Tính giá trị của hàm số tại x 2. A. f 2 16. B. f 2 24. C. f 2 2. D. f 2 4. Lời giải Ta có f ' x 3x2 2ax b. f ' 1 0 3 2a b 0 a 3 f 1 3 1 a b c 3 3 2 Theo đề bài ta có b 9 f x x 3x 9x 2 f 0 2 c 2 c 2 f '' 1 6 2a 0 a 3 f 2 24. Chọn B. Ví dụ 12: [Đề thi thử nghiệm 2017] Biết M 0;2 , N 2;2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d. Tính giá trị tại điểm x 2. A. y 2 2. B. y 2 22. C. y 2 6. D. y 2 18. Lời giải Ta có y ' 3x2 2bx c. y ' 0 c 0 Hàm số đạt cực trị tại điểm x 0; x 2 (1) y ' 2 12a 4b 0 y 0 d 2 Lại có M , N C (2). y 2 8a 4b c 2 c 0,d 2 3 2 Từ (1) và (2) y x 3x 2. Do đó y 2 18. Chọn D. a 1,b 3
  17. Ví dụ 13: Biết đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d có các điểm cực trị E 0; 4 và F 1; 3 . Tính giá trị hàm số tại điểm x 2. A. y 2 8. B. y 2 6. C. y 2 4. D. y 2 2. Lời giải Xét hàm số y ax3 bx2 cx d , ta có y ' 3ax2 2bx c y ' 0 0 c 0 Điểm E 0; 4 là điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). y 0 4 d 4 y ' 1 0 3a 2b 0 Điểm F 1; 3 là điểm cực trị của đồ thị hàm số (2). y 1 3 a b 4 3 Từ (1) và (2) suy ra a 2,b 3,c 0,d 4 y 2x3 3x2 4 y 2 8. Chọn A.  Loại 3: Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K. Phương pháp giải: Xét hàm số y ax3 bx2 cx d 2 Khi y ' 3ax 2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt ta gọi A x1; y1 và B x2 ; y2 là tọa độ hai điểm cực 2b x x 1 2 3a trị thì theo định lý Viet ta có: . c x x 1 2 3a Thực hiện phép chia đa thức y cho y ' ta được y y '.g x h x . Khi đó y1 y ' x1 .g x1 h x1 h x1 và y2 y ' x2 .g x2 h x2 h x2 Chú ý: 2 2  Độ dài đoạn thẳng AB x1 x2 y1 y2 .    OA.OB x1; y1 x2 ; y2 x1x2 y1 y2.    Tam giác CAB vuông tại C thì CA.CB 0. 1  Công thức diện tích CAB : S d C; AB .AB. CAB 2 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 m 1 x2 4m 3m 1 x 7. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại 3 2 2 x1, x2 sao cho x1 x2 8 Lời giải Ta có: y ' 2x2 2 m 1 x 4m 3m 1 ;x ¡ Đặt f x x2 m 1 x 2m 3m 1 .
  18. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu y ' 0 có hai nghiệm phân biệt f x 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 1 0 m 1 8m 3m 1 0 25m2 10m 1 0 5m 1 0 m f x 5 Khi đó gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương x1 x2 1 m trình f x 0 suy ra (*) x1x2 2m 1 3m 2 2 2 Từ giả thiết, ta có x1 x2 8 x1 x2 2x1x2 8, kết hợp với (*) ta được m 1 2 2 2 2 1 m 4m 1 3m 8 m 2m 1 12m 4m 8 13m 6m 7 0 7 m 13 1 7 Đối chiếu với điều kiện m nên m 1;m là giá trị cần tìm. 5 13 3 Ví dụ 2: Cho hàm số y x3 4m 1 x2 3 5m2 m x m 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu 2 và hoành độ các điểm cực trị lớn hơn 4 . Lời giải Ta có: y ' 3x2 3 4m 1 x 3 5m2 m ;x ¡ Đặt f x x2 4m 1 x 5m2 m. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu y ' 0 có hai nghiệm phân biệt f x 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 2 1 f x 0 4m 1 4 5m m 36m 12m 1 6m 1 0 m 6 Khi đó gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương x1 x2 4m 1 trình f x 0 suy ra 2 (*) x1x2 5m m x1 4 x1 4 0 x1 4 x2 4 0 x1 x2 8 Từ giả thiết, ta có x x 4 x x 16 0 x2 4 x2 4 0 x1 4 x2 4 0 1 2 1 2 Kết hợp với (*) ta được 4m 1 8 4m 9 4m 9 2 2 1 m 4 5m m 4 4m 1 16 0 5m 15m 20 0 1 m 4 1 1 1 Đối chiếu với điều kiện m nên suy ra m 1;  ;4 là giá trị cần tìm. 6 6 6
  19. x2 Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 m 3 2 m2 m x 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 2 16 x2.x x .x2 . 1 2 1 2 9 Lời giải Ta có: y ' 3x2 m 3 x 2 m2 m ;x ¡ Đặt f x 3x2 m 3 x 2 m2 m . Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu y ' 0 có hai nghiệm phân biệt f x 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 2 5 f x 0 m 3 24 m m 25m 30m 9 5m 3 0 m 3 Khi đó gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương 3 m 2m 2m2 trình f x 0 suy ra x x ; x x (*) 1 2 3 1 2 3 16 16 Từ giả thiết, ta có x2.x x .x2 x x x x 0. Kết hợp với (*) ta được 1 2 1 2 9 1 2 1 2 9 2m 2m2 3 m 16 . 0 2m 2m2 3 m 16 0 3 3 9 6m 2m2 6m2 2m3 16 0 2m3 8m2 6m 16 0 m 1. 5 Đối chiếu với điều kiện m nên suy ra m 1 là giá trị cần tìm. 3 1 x2 Ví dụ 4: Cho hàm số y x3 2m 3 m2 3m x m 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu 3 2 3 sao cho xCD 2xCT 10. Lời giải Ta có: y ' x2 2m 3 x m2 3m;x ¡ Đặt f x x2 2m 3 x m2 3m. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu y ' 0 có hai nghiệm phân biệt f x 0 có hai nghiệm 2 2 phân biệt f x 0 2m 3 4 m 3m 9 0 m ¡ Khi đó gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có
  20. b 2m 3 3 x1 m 3 2a 2 x1 x2 3 0 m 3 m b 2m 3 3 x m 2 2a 2 1 Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba a 0 do đó suy ra 3 x1 xCT m 3; x2 xCD m (*) 3 Từ giả thiết, ta có xCD 2xCT 10. Kết hợp với (*) ta được m3 2 m 3 10 m3 2m 4 0 m 2 Đối chiếu với điều kiện m ¡ nên suy ra m 2 là giá trị cần tìm. 1 x2 Ví dụ 5: Cho hàm số y x3 2m 1 m m2 x. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 3 2 2 2 3xCT xCD 1. Lời giải Ta có: y ' x2 2m 1 x m m2 ;x ¡ Đặt f x x2 2m 1 x m2 m. Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu y ' 0 có hai nghiệm phân biệt f x 0 có hai nghiệm 2 2 phân biệt f x 0 2m 1 4 m m 1 0 m ¡ Khi đó gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có b 2m 1 1 x1 m 2a 2 x1 x2 0 1 m m 1 b 2m 1 1 x m 1 2 2a 2 1 Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba a 0 do đó suy ra 3 x1 xCT m 1; x2 xCD m (*) 2 2 Từ giả thiết, ta có 3xCT xCD 1. Kết hợp với (*) ta được 2 1 3 m 1 m2 1 4m2 6m 2 0 m 1 2 1 Đối chiếu với điều kiện m ¡ nên suy ra m 1 là giá trị cần tìm. 2 3 2 Ví dụ 6: Cho hàm số y x 2m 1 x mx 2 C . Tìm m để hàm số có 2 cực trị tại x1 và x2 thỏa
  21. 2 2 mãn A 4x1x2 3 x1 x2 2 Lời giải Ta có: y ' 3x2 2 2m 1 x m 0 (1). Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị PT (1) có hai nghiệm phân biệt 2 ' 2m 1 3m 0 4m2 m 1 0 m ¡ 2 2m 1 x1 x2 3 Khi đó gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: m x x 1 2 3 2 2 2 4 2m 1 2m Do vậy A 4x x 3 x x 2x x 3 x x 2x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 m 1 16m2 14m 4 A 2 16m2 14m 2 0 1 . 3 m 8 1 Vậy m 1;m là các giá trị cần tìm. 8 Ví dụ 7: Cho hàm số y x3 3x2 3mx 2 C . Tìm giá trị của tham số m để hàm số có 2 điểm cực trị tại x1 và x2 sao cho 2x1 x2 5. Lời giải Ta có: y ' 3x2 6x 3m 0 x2 2x m 0 (1) Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị PT (1) có hai nghiệm phân biệt ' 1 m 0 m 1 x1 x2 2 Khi đó gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: x1x2 m x1 x2 2 x1 1 Kết hợp: 2x1 x2 5 x2 3 x1x2 m m x1x2 3 (tm) Vậy m 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 8: Cho hàm số y x3 3 m 1 x2 6mx 2 C . Tìm giá trị của tham số m để hàm số có 2 điểm cực trị tại x1 và x2 đều dương và thỏa mãn x1 x2 10. Lời giải Ta có: y ' 3x2 6 m 1 x 6m 0 x2 2 m 1 x 2m 0 (1). Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị dương PT (1) có hai nghiệm phân biệt dương
  22. ' m 1 2 2m m2 1 0 2 m 1 0 m 0. 2m 0 x1 x2 2m 2 Khi đó gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: x1x2 2m Theo giả thiết, ta có x1 x2 2 x1x2 2m 2 2 2m 10 2m 2 m 8 0. 2 t 2 2m 2 m 2 tm Đặt t 2m t 0 ta có: t 2t 8 0 t 4 (loai) Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Ví dụ 9: Cho hàm số y x3 3mx2 3 2m 1 x 1 C . Tìm giá trị của tham số m để hàm số có 2 điểm x1 x2 cực trị tại x1 và x2 đều dương và thỏa mãn 6. x2 x1 Lời giải Ta có: y ' 3x2 6mx 3 2m 1 0 x2 2mx 2m 1 0 (1) Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị PT (1) có 2 nghiệm phân biệt ' m2 2m 1 0 (*) x1 x2 2m Khi đó gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: x1x2 2m 1 2 x2 x2 x x 2x x 4m2 2 2m 1 Theo giả thiết, ta có 1 2 1 2 1 2 6 x1x2 x1x2 2m 1 1 m 2 m 1 tm . Vậy m 1 là giá trị cần tìm. 2 4m 8m 4 0 1 1 Ví dụ 10: Cho hàm số y x3 2m 1 x2 mx 1 có đồ thị là C . Tìm m để hàm số có 2 điểm cực 3 2 trị tại hai điểm có hoành độ x1 và x2 sao cho x1 1 x2 1 2 Lời giải Ta có: y ' x2 2m 1 x m (*) Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt 0 2m 1 2 4m 0 4m2 1 0,m Gọi x1; x2 là hoành độ của hai điểm cực trị x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1 x2 2m 1 * x1x2 m
  23. Ta có x1 1 x2 1 2 x1x2 x1 x2 1 2 m 2m 1 1 2 m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. 1 1 Ví dụ 11: Cho hàm số y x3 m 1 x2 x 2 , có đồ thị là C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai 3 2 3 3 điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2 18 Lời giải Ta có: y ' x2 m 1 x 1 (*) Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt 2 2 m 3 0 m 1 4 0 m 2m 3 0 m 1 Gọi x1; x2 là hoành độ của hai điểm cực trị x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1 x2 m 1 * x1x2 1 3 3 3 Ta có x1 x2 18 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 18 m 1 3 3 m 1 18 m3 3m2 16 0 m 4 m2 m 4 0 m 4 Vậy m 4 là giá trị cần tìm. 3 2 2 Ví dụ 12: Tìm m để hàm số y x 3mx 3x 1đạt cực trị tại x1 ; x2 sao cho x1 x2 1 25x1x2. Lời giải y ' 3x2 6mx 3 3 x2 2mx 1 ; y ' 0 x2 2mx 1 0. Hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 ; x2 y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 m 1 ' m 1 0 (*) m 1 Theo định lý Viet có x1 x2 2m; x1x2 1 2 2 2m 1 5 m 2 Theo đề bài x1 x2 1 25x1x2 nên 2m 1 25 TM * 2m 1 5 m 3 Đ/s: m 2 hoặc m 3 . 3 2 Ví dụ 13: Cho hàm số y 2x 3 m 1 x 6mx 1 C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1; x2 2 2 thỏa mãn 4x1 x1 x2 19. Lời giải Ta có: y ' 6x2 6 m 1 x 6m 0 x2 m 1 x m 0 x2 x mx m 0
  24. x 1 x x 1 m x 1 0 x m x 1 0 1 x m Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt m 1. Khi đó ta xét 2 trường hợp: 2  TH1: Cho x1 1; x2 m ta có: 4 1 m 19 m 19 tm m 2 2 2  TH2: Cho x1 m; x2 1ta có: 4m m 1 19 4m m 18 0 9 tm m 4 9 Vậy m 19;m 2;m là các giá trị cần tìm. 4 Ví dụ 14: Cho hàm số y 2x3 3 m 2 x2 12mx 3 C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm 2 2 x1; x2 thỏa mãn x1 x2 2x1 7. Lời giải Ta có: y ' 6x2 6 m 2 x 12m 0 x2 m 2 x 2m 0 x2 2x 2mx 2m 0 x 2 x x 2 m x 2 0 x m x 2 0 1 x m Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt m 2. Khi đó ta xét 2 trường hợp: 2  TH1: Cho x1 2; x2 m ta có: 4 m 4 7 m 1 loai 2 2 m 1  TH2: Cho x1 m; x2 2 ta có: m 2m 4 7 m 2m 3 0 tm m 3 Vậy m 1;m 3 là các giá trị cần tìm. 3 2 2 Ví dụ 15: Cho hàm số y x 3x 3 1 m x 1 C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1; x2 2 thỏa mãn: 3x1 x2 x1x2 5. Lời giải Ta có: y ' 3x2 6x 3 1 m2 0 x2 2x 1 m2 0 x 1 2 m2 x 1 m x 1 m x 1 m x 1 m Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 1 m 1 m m 0. Khi đó ta xét 2 trường hợp: 2  TH1: Cho x1 1 m; x2 1 m ta có: 3 1 m 1 m 1 m 1 m 5
  25. m 0 loai 2 2m 5m 5 5 5 m 2 2  TH2: Cho x1 1 m; x2 1 m ta có: 3 1 m 1 m 1 m 1 m 5 m 0 loai 2 2m 5m 5 5 5 m 2 5 Vậy m là các giá trị cần tìm. 2 Ví dụ 16: Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm 3 1 x1; x2 thỏa mãn: 2. x1 x2 Lời giải Ta có: y ' 3x2 6mx 3 m2 1 0 x2 2mx m2 1 0 x m 2 12 x m 1 x m 1 x m 1 x m 1 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt m 1 m 1 m ¡ . Khi đó ta xét 2 trường hợp: 3 1 2  TH1: Cho x1 m 1; x2 m 1ta có: 2 4m 2 2 m 1 m 1 m 1 m 1 2 m 0 2m 4m 0 m 2 3 1 2  TH2: Cho x1 m 1; x2 m 1ta có: 2 4m 2 2 m 1 m 1 m 1 m2 2m 2 0 m 1 3 Vậy m 0;m 1;m 1 3 là các giá trị cần tìm. 3 2 2 Ví dụ 17: Cho hàm số y x 6x 3 m 3 x 4 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho x2 5x1. Lời giải TXĐ: D ¡ . Ta có: y ' 3x2 12x 3 m2 3 ; y ' 0 x2 4x m2 3 0 Hàm số đã cho đạt cực trị x1; x2 y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 4 m2 3 0 m ¡ *
  26. 2 Khi đó theo Viet có x1 x2 4; x1x2 3 m . Bài ra x2 5x1 x1 5x1 4 x1 1 x2 5 3 m2 1.5 m2 8 m 2 2. Thỏa mãn (*). Ví dụ 18: Cho hàm số y x3 3 m 1 x2 3 m2 3m x 7 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại 2 2 x1, x2 sao cho x1 x2 8. Lời giải TXĐ: D ¡ . Ta có: y ' 3x2 6 m 1 x 3 m2 3m ; y ' 0 x2 2 m 1 x m2 3m 0 Hàm số đã cho có cực trị x1; x2 y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt m 1 2 m2 3m 0 m 1 0 m 1 * 2 Khi đó theo Viet có x1 x2 2 m 1 ; x1x2 m 3m 2 2 2 2 2 Bài ra có x1 x2 8 x1 x2 2x1 x2 8 4 m 1 2 m 3m 8 m 1 Ko TM * 2m2 2m 4 0 . m 2 TM * 3 2 3 Ví dụ 19: Tìm m để hàm số y x 3mx m đạt cực trị tại x1; x2 sao cho x1 2x2 3. Lời giải 2 x 0 TXĐ: ¡ . Ta có: y ' 3x 6mx 3x x 2m ; y ' 0 x 2m Hàm số đã cho đạt cực trị x1; x2 y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 2m 0 m 0 * 3  TH1: x 0; x 2m khi đó: x 2x 3 0 2.2m 3 m . Đã thỏa mãn (*). 1 2 1 2 4 3  TH2: x 2m; x 0 khi đó: x 2x 3 2m 2.0 3 m . Đã thỏa mãn (*). 1 2 1 2 2 Ví dụ 20: Cho hàm số y x3 3 m 1 x2 6m 3 x 5, có đồ thị là C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ x1, x2 sao cho x1 5x2 2 Lời giải 2 2 Ta có: y ' 3x 6 m 1 x 6m 3 3 x 2 m 1 x 2m 1 Hàm số đã có cực đại, cực tiểu khi y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt ' 0 m 1 2 2m 1 0 m 0 x 2m 1 Khi đó y ' 0 x 1  TH1: x1 2m 1; x2 1 2m 1 5 2 m 2
  27. 2  TH2: x 1; x 2m 1 1 5 2m 1 2 m 1 2 5 2 Vậy m 2;,m là giá trị cần tìm. 5 Ví dụ 21: Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x 1, có đồ thị là C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai 3 3 điểm có hoành độ x1, x2 sao cho x1 x2 và x1 2x2 8. Lời giải 2 2 2 2 Ta có: y ' 3x 6mx 3 m 1 3 x 2mx m 1 Hàm số đã có cực đại, cực tiểu khi y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt ' 0 m2 m2 1 0 1 0,m x m 1 Khi y ' 0 . Ta có m 1 m 1 x1 m 1, x2 m 1 x m 1 3 3 3 3 3 2 Theo bài thì x1 2x2 8 m 1 2 m 1 8 3m 3m 9m 9 0 m 1 3m2 9 0 m 1. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. 1 1 Ví dụ 22: Cho hàm số y x3 4x2 2m C . Tìm m để hàm số 2 điểm cực trị tại A và B sao cho 3 3 2 tam giác OAB nhận điểm G 0; làm trọng tâm. 3 Lời giải Ta có: y ' x2 4 x2 4 x 2 17 Khi đó hàm số luôn có 2 điểm cực trị tại A 2;2m và B 2;2m 5 3 2 4m 3 Do đó trọng tâm tam giác OAB có tọa độ G 0; 3 2 1 Từ giả thiết bài toán ta cho: 4m 2 m 3 3 1 Vậy m là giá trị cần tìm. 3 Ví dụ 23: Cho hàm số y x3 3mx2 2m3 C . Tìm m để hàm số 2 điểm cực trị tại A và B sao cho AB OA 5 trong đó điểm A là điểm cực trị thuộc trục tung và O là gốc tọa độ.
  28. Lời giải 2 x 0 Ta có: y ' 3x 6mx 0 3x x 2m 0 1 x 2m Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt m 0 . Khi đó với x 0 y 2m3 A 0;2m3 (vì A thuộc trục tung) Với x 2m y 2m3 B 2m; 2m3 2 2 2 6 6 2 6 m 0(loai) Theo bài ra ta sẽ có: AB 5.OA 4m 16m 5.4m 4m 4m 4 m 1 m 1 Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 24: Cho hàm số y x3 3mx2 4 C . Tìm m để hàm số 2 điểm cực trị tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4. Lời giải 2 x 0 Ta có: y ' 3x 6mx 0 3x x 2m 0 1 x 2m Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt m 0 . Khi đó với x 0 y 2m3 A 0;4 . Với x 2m y 2m3 B 2m; 4m3 4 1 Ta có: OA 4 và O và A đều thuộc trục Oy nên S .OA.d B;Oy 2. 2m 4 m 1 AOB 2 Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 25: Cho hàm số y x3 3mx2 4m3 , có đồ thị là C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác SOAB 4 Lời giải Ta có: y ' 3x2 6mx 3x x 2m , hàm số có hai điểm cực trị khi m 0. x 0 y 4m3 Khi y ' 0 3x x 2m 0 x 2m y 0 Giả sử A 0;4m3 , B 2m;0 là các điểm cực trị của hàm số 1 1 3 4 4 m 1 Ta có SAOB 4 .OA.OB 4 . 4m . 2m 4 m 1 m 1 2 2 m 1 Vậy m 1,m 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 26: Cho hàm số y x3 3mx2 2 (với m là tham số thực).
  29. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. Lời giải 3 2 2 x 0 Ta có: y x 3mx 2, y ' 3x 6mx . Cho y ' 0 . x 2m Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì y ' 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là m 0 . 1 Ta có y x m .y ' 2m2 x 2 phương trình qua cực trị là y 2m2 x 2. 3 1 Tại x 0 y 2, y 0 x . m2 1 1 1 Nên diện tích tam giác tạo bởi các trục là S .2. 4 m . 2 m2 2 1 Vậy m là giá trị cần tìm. 2 1 1 Ví dụ 27: Cho hàm số y x3 m 3 x2 m 2 x 1. Giá trị của m để hàm số có 2 điểm cực trị trái 3 2 dấu là: A. m 2. B. m 3. C. m 3. D. m 2. Lời giải y ' x2 m 3 x m 2. Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì x2 m 3 x m 2 0 có 2 nghiệm b2 4ac 0 trái dấu ac m 2 0 m 2. Chọn D. ac 0 3 2 2 2 Ví dụ 29: Tìm m để hàm số f x x 3x mx 1 có 2 điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn x1 x2 3. 2 3 3 A. m . B. m . C. m 2. D. m . 3 2 2 Lời giải y ' 3x2 6x m. ĐK có 2 cực trị là ' 9 3m 0 x1 x2 2 2 2 m 3 Khi đó m . Theo giả thiết x1 x2 3 4 2. 3 m t / m . Chọn D. x x 3 2 1 2 3 2 3 2 2 2 Ví dụ 30: Cho hàm số y x mx 2 3m 1 x C . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 sao 3 3 cho x1x2 2 x1 x2 1. 2 2 2 A. m 0;m . B. m 0. C. m . D. m . 3 3 3
  30. Lời giải Ta có: y ' 2x2 2mx 2 3m2 1 0 x2 mx 3m2 1 0. ĐK có 2 cực trị là 4m2 1 0. x1 x2 m Khi đó 2 x1x2 3m +1 m 0 loai 2 GT 3m 1 2m 1 2 . Chọn C. m 3 3 2 Ví dụ 31: Cho hàm số y x 3mx 3 m 1 x 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1; x2 thỏa mãn: 3 x1 x2 4x1x2 16 0. A. m 2. B. m 2. C. m 3. D. m 3. Lời giải Ta có: y ' 3x2 6mx 3 m 1 0 x2 2mx m 1 0. 2 x1 x2 2m ĐK có 2 cực trị ' m m 1 0. Khi đó x1x2 m+1 Do đó 3.2m 4. m 1 16 0 m 2 (thỏa mãn). Chọn A. 1 Ví dụ 32: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x3 m 3 x2 4 m 3 x m2 m có các điểm 3 cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 1 x1 x2 7 7 A. ; 2 . B. ; 2 . C. ; 3  1; . D. ; 3 . 2 2 Lời giải 1 ' Ta có y ' x3 m 3 x2 4 m 3 x m2 m x2 2 m 3 x 4 m 3 . 3 Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y ' 0 0 m 3 2 4 m 3 0 m 3 4 m 1 * m 3 0 m 3 x1 x2 2 m 3 Khi đó gọi hai cực trị là x1 , x2 , suy ra x1.x2 4 m+3 x1 1 x2 1 0 x1.x2 x1 x2 1 0 Mặt khác 1 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2
  31. 1 7 4 m 3 2 m 3 1 0 m 3 m 7 2 2 m ; 2 . 2 m 3 2 2 m 3 1 m 2 7 Kết hợp (*) m ; 2 . Chọn D. 2 Ví dụ 33: Cho hàm số y x3 3x 2m 1. Tìm tất cả các giá trị của thm số m giá trị cực đại của hàm số bằng 4 5 1 A. m 2. B. m . C. m . D. m 5. 2 2 Lời giải 2 x 1 Ta có y ' 3x 3 0 . Hàm số có a 1 0 nên xCT xCD xCD 1 x 1 1 Khi đó y y 1 3 2m 4 m . Chọn C. CD 2 Ví dụ 34: Cho hàm số y x3 3x m . Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A và B sao cho OA2 OB2 12 (với O là gốc tọa độ). A. m 1. B. m 2. C. m 3. D. m 2. Lời giải 2 x 1 y m 2 y ' 3x 3 0 . Khi đó A 1;m 2 , B 1;m 2 x 1 y m 2 Ta có: OA2 OB2 1 m 2 2 1 m 2 2 2m2 10 12 m 1. Chọn A. Ví dụ 35: Cho hàm số y x3 3x2 m 1. Số các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành. A. 5.B. 4.C. 3.D. 2. Lời giải 2 x 0 y m 1 y ' 3x 6x 0 . Để hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành thì x 2 y m 3 yCD .yCT 0 m 1 m 3 0 1 m 3. Chọn C. 3 2 Ví dụ 36: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 m 1 x 3mx 2 m đạt cực trị A x1; y2 và B x2 ; y2 y y thỏa mãn: 1 2 0. x1 x2 x1x2 2 A. m 2. B. m 2. C. m 2. D. m ¡ . Lời giải
  32. Ta có: y ' 3x2 6 m 1 x 3m 0 x2 2 m 1 x m 0 2 Hàm số có 2 điểm cực trị ' m 1 m 0 m2 m 1 0 m ¡ . Do hàm số có a 1 0 nên xCD xCT , mặt khác yCD yCT nên trong trường hợp này ta luôn có y1 y2 0. Do đó ta có x1x2 2 0 x1x2 m 2 m 2. Chọn A. x1 x2 x3 Ví dụ 37: Gọi d là đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y mx2 9x 1. Tìm tất 3 9 cả các giá trị của m để d đi qua điểm A ;8 . 2 A. m 4. B. m 3. C. m 4. D. m 4 hoặc m 3. Lời giải Ta có: y ' x2 2mx 9 0. 2 ĐK để hàm số có cực trị là 'y' m 9 0 x m 2 2 Khi đó ta có: y y '. 6 m x 1 3m đường thẳng d đi qua cực đại và cực tiểu của 3 3 3 2 2 đồ thị hàm số là: d : y 6 m x 1 3m 3 9 2 2 9 Để d đi qua điểm A ;8 thì 6 m . 1 3m 8 2 3 2 2 m 4 m m 12 0 . Chọn C. m 3 l Ví dụ 38: Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3mx2 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ). A. m 3. B. m 1. C. m 5. D. m 2. Lời giải 3 2 2 x 0 Xét hàm số y x 3mx 1, ta có y ' 3x 6mx; y ' 0 x x 2m 0 . x 2m Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m 0. Khi đó gọi A 0;1 và B 2m;1 4m3 . Phương trình đường thẳng OA là x 0 d B; OA 2 m 1 S ABC .d B OA .OA m 1 m 1. Chọn B. 2 DẠNG 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG  Xét hàm số trùng phương y ax4 bx2 c với hệ số a 0 .
  33. x 0 3 Ta có: y ' 4ax 2bx 0 b . Khi đó: x2 2a b  Hàm số có một cực trị 0 ab 0. 2a b  Hàm số có ba cực trị 0 ab 0. 2a a 0  Hàm số có một cực trị và cực trị là cực tiểu . b 0 a 0  Hàm số có một cực trị và cực trị là cực đại . b 0 a 0  Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại . b 0 a 0  Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu . b 0  Bài toán hàm trùng phương có ba cực trị tạo tam giác ABC (rất hay gặp) b  Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị: 0 * 2a x 0 x  y A A b  Với điều kiện (*) ta có y ' 0 x2 xB  yB , từ đó 2a b x3 xC  yC 2a b b A 0; y ; B ; y ;C ; y A B C 2a 2a Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có yB yC . Nhận xét: A Oy, B;C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A. Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số:  Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại   đỉnh A. Khi đó ta có điều kiện AB.AC 0,(1) với  b  b AB ; y y ; AC ; y y B A C A 2a 2a
  34.   b 2 Từ đó (1) AB.AC 0 y y 0 2a B A Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân ABC: AB2 AC 2 BC 2 2AB2 BC 2  Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Tam giác ABC đều khi AB BC AB2 BC 2 ,(2)  b  b với AB ; y y ; BC 2 ;0 B A 2a 2a b 2 2b Từ đó (2) y y 2a B A a Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.  Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 1200. ¼ 0 Tam giác ABC cân tại A nên BAC 120 . Gọi H là trung điểm của BC H 0; yB . AH AH Ta có cos H¼AB cos600 AB 2AH AB2 4AH 2 ,(3) AB AB  b  b 2 2 với AB ; y y ; AH 0; y y , từ đó (3) y y 4 y y B A B A B A B A 2a 2a Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.  Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S So cho trước. Gọi H là trung điểm của BC H 0; yB . Khi đó 1 S AH.BC 2S AH.BC 4S 2 AH 2.BC 2 ,(4) ABC 2 o o  b  2 b với BC 2 ;0 ; AH 0; y y , từ đó (4) 4S 2 y y .4 B A o B A 2a 2a Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.  Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước. abc abc AB.AC.BC AB2 Sử dụng công thức diện tích tam giác S R R R 1 4R 4S 4. .AH.BC 2AH 2 Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng.  Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G 0; cho trước. y y y Ta có điều kiện trong trường hợp này là A B C y 2y 3 3 A B
  35.  Tính chất 7: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước. 1 AH.BC S AH.BC Sử dụng công thức diện tích tam giác S p.r r 2 p AB AC BC 2AB BC 2 Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng.  Một số công thức tính nhanh liên quan đến cực trị của hàm trùng phương (tham khảo) Xét hàm số y ax4 bx2 c với a 0 và hàm số có ba điểm cực trị. b b Khi đó gọi A 0;c ; B ; ;C ; lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 2a 4a 2a 4a b4 b b AB AC ; BC 2 với b2 4ac . 16a2 2a 2a 8a Xét ABC cân, đặt B¼AC ta có tan2 . 2 b3 1 b2 b b5 Và diện tích S . . S 2 , phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là 4 a 2a 32a3 2 x2 y2 c n x c.n 0 với n . b 4a Đồ thị hàm số y ax4 bx2 c ab 0 có ba điểm cực trị A Oy, B,C tạo thành DỮ KIỆN GIẢ THIẾT CÔNG THỨC TÍNH NHANH Tam giác ABC vuông cân tại A 900 Tam giác ABC đều 600 2 8a B¼AC tan 2 b3 5 2 b S ABC So S o 32a3 b2 ro r r (bán kính đường tròn nội tiếp) b2 ABC o a 1 1 a 2 BC m0 a.m0 2b 0 2 2 4 Ab AC n0 16a .n0 b 8b 0 B,C Ox (ba điểm cực trị nằm trên cùng b2 4ac 0 một trục tọa độ) Tam giác có trọng tâm O 0;0 (gốc tọa độ) b2 6ac 0 Tam giác có trực tâm O 0;0 (gốc tọa độ) b3 8a 4ac 0 b3 8a R R (bán kính đường tròn ngoại tiếp) R ABC 0 0 8 a b
  36. Ví dụ 1: Cho hàm số y x4 2 m 1 x2 m, với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA BC , với O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Lời giải x 0 Ta có: y ' 4x3 4 m 1 x 4x x2 m 1 y ' 0 2 x m 1 Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt m 1 0 m 1.(*) x1 0 y1 m 2 Với m 1 thì y ' 0 x2 m 1 y2 m 1 m 2 x3 m 1 y3 m 1 m Theo bài ta có tọa độ các điểm cực trị là A 0;m , B m 1; m2 m 1 ,C m 1; m2 m 1 m 2 2 2 Từ đó OA BC OA2 BC 2 m2 4 m 1 m2 4m 4 0 m 2 2 2 Kết hợp với điều kiện (*) ta được m 2 2 2 là các giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho hàm số y x4 2m2 x2 1, với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Lời giải x 0 Ta có: y ' 4x3 4m2 x 4x x2 m2 y ' 0 2 2 x m Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt m2 0 m 0.(*) x1 0 y1 1 Với m 0 thì y ' 0 x m y 1 m4  A 0;1 , B m;1 m4 ,C m;1 m4 2 2 4 x3 m y3 1 m Ta nhận thấy tam giác ABC luôn cân tại A. Để ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A. Từ đó suy ra   4 4 2 8 2 6 m 0 AB  AC AB.AC 0 m; m . m; m 0 m m 0 m m 1 0 m 1 Kết hợp với điều kiện (*) ta được m 1 là các giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho hàm số y x4 2mx2 m 1, với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác
  37. a) Có diện tích bằng 4 2. b) Đều. c) Có một góc bằng 1200. Lời giải 3 2 x 0 Ta có: y ' 4x 4mx 4x x m y ' 0 2 x m Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m 0.(*) Với m 0 thì x 0 y m 1 2 2 2 y ' 0 x m y m m 1  A 0; m 1 , B m; m m 1 ,C m; m m 1 2 x m y m m 1 Ta nhận thấy A thuộc Oy, B; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A. a) Gọi H là trung điểm của BC H 0; m2 m 1 1 Khi đó, S AH.BC 4 2 AH.BC 8 2 AH 2.BC 2 128. (1) ABC 2   Ta có BC 2 m;0 ; AH 0; m2 , từ đó (1) 4m.m4 128 m5 32 m 2 Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy m 2 là giá trị cần tìm. b) Tam giác ABC đều khi AB BC AB2 BC 2 , 2   Ta có AB m; m2 ; BC 2 m;0 , từ đó m 0 (2) m m4 4m m4 3m 3 m 3 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m 3 3 là giá trị cần tìm. c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng 1200 thì B· AC 1200 Gọi H là trung điểm của BC H 0; m2 m 1 Trong tam giác vuông HAB có BH 3 sin H· AB sin 600 3AB 2BH BC 3AB2 BC 2 , (3) AB 2 m 0   Ta có AB m; m2 ; BC 2 m;0 , khi đó (3) 3 m m4 4m 1 m 3 3 1 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m là giá trị cần tìm. 3 3
  38. Ví dụ 4: Cho hàm số y x4 2mx2 m 1, với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Lời giải 3 2 x 0 Ta có: y ' 4x 4mx 4x x m y ' 0 2 x m Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m 0.(*) Với m 0 thì x 0 y m 1 2 2 2 y ' 0 x m y m m 1  A 0;m 1 , B m; m m 1 ,C m; m m 1 2 x m y m m 1 Ta nhận thấy A thuộc Oy, B; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC H 0; m2 m 1 AH.BC AB.BC.AC AB2 Diện tích tam giác ABC là S R , (1) ABC 2 4R 2AH   AB2 m m4 Ta có AB m; m2 ; AH 0; m2 2 AH m 4 m 1 m m 3 2 Khi đó, (1) 2 2 m 2m 1 0 m 1 m m 1 0 1 5 m m 2 5 1 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m 1;m là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y x4 2 m 1 x2 m2 (1), với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông Lời giải x 0 Ta có: y ' 4x3 4 m 1 x 4x x2 m 1 y ' 0 2 x m 1 Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt m 1 0 m 1.(*) Với m 0 thì 2 x1 0 y1 m 2 y ' 0 x2 m 1 y2 2m 1  A 0;m , B m 1; 2m 1 ,C m 1; 2m 1 x3 m 1 y3 2m 1
  39. Ta nhận thấy tam giác ABC luôn cân tại A. Để ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A.   Ta có AB m 1; m 1 2 ; AC m 1; m 1 2   4 m 1 0 m 1 Từ đó suy ra AB  AC AB.AC 0 m 1 m 1 0 m 1 1 m 0 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m 0 là các giá trị cần tìm. Ví dụ 6: Cho hàm số y x4 2 m 1 x2 2 C . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho BC 4OA trong đó A là điểm cực trị thuộc trục tung. Lời giải 3 x 0 y 2 A 0;2 Ta có: y ' 4x 4 m 1 x 0 2 (1). x m 1 Để hàm số có 3 điểm cực trị (1) có ba nghiệm phân biệt m 1 0 m 1. Khi đó ta có: x m 1 y m 1 2 2 m2 2m 1. B m 1; m2 2m 1 ;C m 1; m2 2m 1 . Theo giả thiết ta có: BC 4OA 2 m 1 4.2 m 1 4 m 15 tm . Vậy m 15 là giá trị cần tìm. Ví dụ 7: Cho hàm số y x4 2mx2 2m2 1 C . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho tam giác ABC vuông cân. Lời giải 2 2 3 x 0 y 2m 1 A 0;2m 1 Ta có: y ' 4x 4mx 0 (1). 2 x m Để hàm số có 3 điểm cực trị (1) có ba nghiệm phân biệt m 0. Khi đó ta có: x m y m2 1 B m;m2 1 ;C m;m2 1 .   Ta có: AB m; m2 ; AC m; m2 . Khi đó AB2 AC 2 m m4 do vậy tam giác ABC cân tại A   suy ra tam giác ABC vuông cân vuông cân tại A AB.AC 0 4 3 m 0 loai m m 0 m m 1 0 . m 1 Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 8: Cho hàm số y x4 2mx2 2m 1 C . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C có tung độ là y1; y2 ; y3 thỏa mãn đẳng thức: y1 y2 y3 3. Lời giải
  40. +) Ta có: y ' 4x3 4mx 4x x2 m +) Để hàm số có 3 cực trị m 0. Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là A 0;2m 1 , B m;2m 1 m2 ,C m;2m 1 m2 2 Ta có: y1 y2 y3 yA yB yC 2m 6m 3 3 m 3. Vậy m 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 9: Cho hàm số y x4 2mx2 m2 m C . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho 2OA OB2 OC 2 8 với O là gốc tọa độ và A là điểm cực trị thuộc trục tung. Lời giải +) Ta có: y ' 4x3 4mx 4x x2 m +) Để hàm số có 3 cực trị m 0. Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là A 0;m2 m , B m;m ,C m;m +) Để 2OA OB2 OC 2 8 2 m2 m 2 m m2 8 m2 m 2 m 1 do m 0 . Kết hợp điều kiện ta được m 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 10: Cho hàm số y x4 2 m 1 x2 m2 1 C và điểm E 0; 1 . Tìm m để hàm số có cực đại tại A hai điểm cực tiểu tại B và C sao cho BCE là tam giác đều. Lời giải 3 2 +) Ta có: y ' 4x 4 m 1 x 4x x m 1 +) Để hàm số có 3 cực trị m 1 0 m 1. +) Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là A 0;m2 1 , B m 1; 2m ,C m 1; 2m BC 2 4 m 1 ; BE 2 m 1 2m 1 2 CE 2 Do BE CE nên tam giác BCE đều BE BC 4 m 1 m 1 2m 1 2 m 2 2 1 4m 7m 2 0 1 t / m . Vậy m 2;m là các giá trị cần tìm. m 4 4 Ví dụ 11: Cho hàm số y x4 m 1 x2 1. Giá trị của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là: A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Lời giải Hàm số có 3 điểm cực trị ab 1. m 1 0 m 1. Chọn A. Ví dụ 12: Cho hàm số y x4 m2 4m 3 x2 2m 1. Giá trị của m để hàm số đã cho có một điểm cực
  41. trị là: m 3 m 3 A. 1 m 3. B. 1 m 3. C. . D. . m 1 m 1 Lời giải x 0 3 2 2 Ta có: y ' 4x 2 m 4m 2 x 0 m 4m 3 . x2 2 2 m 3 Hàm số có 1 điểm cực trị ab m 4m 3 0 . Chọn D. m 1 Ví dụ 13: Cho hàm số y m 1 x4 2m 1 x2 3 . Giá trị của m để hàm số đã cho có một điểm cực trị là: m 1 m 1 1 1 A. m 1. B. m 1. C. 1 . D. 1 . 2 2 m m 2 2 Lời giải Với m 1 y x2 3 nên hàm số đã cho có một điểm cực trị m 1 Với m 1 để hàm số có 1 điểm cực trị ab m 1 2m 1 0 1 . m 2 m 1 Kết hợp cả 2 trường hợp ta được 1 là giá trị cần tìm. Chọn D. m 2 Ví dụ 14: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y mx4 2m 1 x2 m 2 chỉ có một cực đại và không có cực tiểu. m 0 m 0 1 A. 1 . B. m 0 C. 1 . D. m . m m 2 2 2 Lời giải TH1: Với m 0, ta có y x2 2 x 0 là điểm cực đại của hàm số. TH2: Với m 0, ta có y ' 4mx3 2m 1 x x 4mx2 2m 1 ;x ¡ . 2 x 0 Phương trình y ' 0 x 4mx 2m 1 0 2 . 4mx 1 2m
  42. m 0 Để hàm số có một cực đại và không có cực tiểu m 0. Vậy m 0 . Chọn B. 1 2m 0 Ví dụ 15: Cho hàm số y m2 2m x4 m 1 x2 1. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  100;100 để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là: A. 103.B. 100.C. 101.D. 102. Lời giải Với m2 2m 0 thì hàm số đã cho không thể có 3 điểm cực trị Với m2 2m 0 để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì ab f x m2 2m m 1 0. Lập bảng xét dấu cho f m ta được f m 0 m ;0  1;2 . m ¢ Kết hợp có 100 giá trị nguyên của m. Chọn B. m  100;100 Ví dụ 16: Cho hàm số y m2 1 x4 2m 1 x2 2m 1. Giá trị của m để hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu là m 1 1 1 1 m A. m 1. B. 1 m 1. C. 1 . D. 2 . 2 m 1 2 m 1 Lời giải 2 a m 1 0 Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu 2 ab m 1 2m 1 0 m2 1 0 1 m 1. Chọn A. 2m 1 0 2 Ví dụ 17: Cho hàm số y mx4 m2 1 x2 m 1. Giá trị của m để hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại là: A. 1 m 1. B. 1 m 0. C. 0 m 1. D. m 1. Lời giải Hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại khi m 0 m 0 2 2 0 m 1. Chọn C. ab m m 1 0 m 1 0 Ví dụ 18: Cho hàm số y ax4 bx2 2 a 0 . Giá trị của a và b để đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm A 1; 2 là: A. a 4;b 8. B. a 2;b 6. C. a 4;b 8. D. a 2;b 4.
  43. Lời giải x 0 y c 3 Ta có y ' 4ax 2bx 0 b . x2 2a b 1 b 2a a 4 Hàm số đạt cực trị tại điểm A 1; 2 nên 2a . Chọn A. a b 4 b 8 a b 2 2 Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x4 2mx2 1có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. 1 1 A. m . B. m 1. C. m . D. m 1. 3 9 3 9 Lời giải 3 x 0 Ta có: y ' 4x 4mx 0 2 x m Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là m 0 m 0. Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là A 0;1 , B m; m2 1 ,C m; m2 1 Do AB2 AC 2 m m4 nên tam giác ABC luôn cân tại A.   4 m 0 loai Do ABC luôn cân suy ra nó vuông cân tại A. Do đó AB.AC 0 m m 0 . m 1 A 8a 8 Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh với B· AC 900 ta có: tan2 1 m 1. 2 b3 8m3 Chọn B. Ví dụ 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x4 2m2 x2 1có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. 1 1 1 A. m . B. m . C. m 1. D. m . 3 9 2 3 3 Lời giải 3 2 x 0 Ta có: y ' 4x 4m x 0 2 2 x m Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là m2 0 m 0. Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là A 0;1 , B m;1 m4 ,C m;1 m4 Do AB2 AC 2 m m8 nên tam giác ABC luôn cân tại A. Do ABC luôn cân suy ra nó vuông cân tại A.
  44.   6 m 0 l Do đó AB.AC 0 m m 0 2 . Chọn C. m 1 m 1 Ví dụ 21: Cho hàm số y x4 2 m 1 x2 m2 C .Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông. A. m 1. B. m 0. C. m 1. D. m 2. Lời giải Ta có: y ' 4x3 4 m 1 x 4x x2 m 1 +) Để hàm số có 3 cực trị m 1 0 m 1. Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là A 0;m2 , B m 1; 2m 1 ,C m 1; 2m 1   AB m 1; m 1 2 ; AC m 1; m 1 2   4 m 1 loai +) Do AB AC nên tam giác ABC vuông AB.AC 0 m 1 m 1 0 m 0 t / m Vậy m 0 là giá trị cần tìm. Chọn B. Ví dụ 22: Cho hàm số y x4 2mx2 2m m4 . Điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều là: A. m 1. B. m 3 3. C. m 3 3. D. m 1. Lời giải 3 x 0 Ta có: y ' 4x 4mx 0 2 x m Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là m 0. Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là: A 0;2m m4 , B m;m4 m2 2m ,C m;m4 m2 2m Do AB2 AC 2 m m4 nên tam giác ABC luôn cân tại A. m 3 3 Tam giác ABC đều AB BC m m4 4m . m 0 loai A 8a 8 1 Cách 2: Sử dụng công thức nhanh với B· AC 600 ta có: tan2 m 3 3. 2 b3 8m3 3 Chọn C. Ví dụ 23: Cho hàm số y x4 2mx2 2m2 4 . Giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng S 1 là: A. m 1. B. m 3 3. C. m 3 3. D. m 1. Lời giải
  45. 3 x 0 Ta có: y ' 4x 4mx 0 2 x m Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là: m 0. Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là: A 0;2m2 4 , B m;m2 4 ,C m;m2 4 2 1 1 Trung điểm của BC là H 0;m 4 . Do đó S AH.BC yA yH . xB xC . 2 2 1 . m2 .2 m 1 m2 m 1 m 1. 2 b5 Cách 2: Sử dụng công thức nhanh với S 2 m5 1 m 1. Chọn A. 32a3 Ví dụ 24: Cho hàm số y x4 2mx2 2m2 2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S thỏa mãn 1 S 2018. A. 19.B. 20.C. 2018.D. 2017. Lời giải b5 Ta có: S 2 m5 S m2 m. 32a3 Khi đó: 1 S 2018 1 m2 m 2018 1 m5 20182 1 m 20,98 Kết hợp m ¢ có 19 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A. 4 2 Ví dụ 25: Cho hàm số y x 2mx 2m C . Giá trị m0 của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tại A, B,C sao cho tam giác ABC có một góc bằng 1200 thỏa mãn: 1 1 A. m0 0; . B. m0 ;1 . C. m0 1;2 . D. m0 2;3 . 2 2 Lời giải 3 x 0 Ta có: y ' 4x 4mx 0 2 x m Để hàm số có CĐ,CT m 0. Khi đó gọi A 0;2m B m;2m m2 ,C m;2m m2 Gọi H là trung điểm của BC ta có H 0;2m m2 . Dễ thấy tam giác ABC cân tại A. B· AC 1200 có đường trung tuyến AH do đó: B· AH 600. BH m 1 1 1 Khi đó ta có: tan B· AH 3 m3 m . AH m2 m m 3 3 3 1 1 Vậy m ;1 là giá trị cần tìm. Chọn B. 3 3 2
  46. Ví dụ 26: Cho hàm số y x4 2mx2 1 m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. A. m 0. B. m 2. C. m 1. D. Không tồn tại m. Lời giải 3 x 0 Ta có: y ' 4x 4mx 0 2 . Để hàm số có ba điểm cực trị thì m 0 (1) x m Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là: A 0;1 m , B m; m2 m 1 ,C m; m2 m 1     Ta có: OA 0;1 m ,OB m; m2 m 1 , BC 2 m;0 , AC m; m2   OA.BC 0 0 0 Vì O là trực tâm nên   m 0;m 1 (2) m. m m2 m 1 m2 0 OB.AC 0 Từ (1) và (2) m 1. Chọn C. Ví dụ 27: Đồ thị hàm số y x4 2mx2 m có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng 1 thì giá trị của m là 1 5 1 5 1 5 1 5 A. m 1;m . B. m 1;m . C. m 1;m . D. m 1;m . 2 2 2 2 Lời giải Hàm số y x4 2mx2 m ax4 bx2 c a 1;b 2m;c m. 3 x 0 Ta có y ' 4x 4mx; y ' 0 2 . Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 x m b3 8a 8m3 8 Sử dụng công thức giải nhanh R R với R 1 m3 2m 1 0. ABC 0 0 8 a b 16m 4 abc m m .2 m Cách 2: A 0;m , B m;m m2 ,C m;m m2 R 1 m2 1 2m. 4S 4.m m 1 5 Kết hợp với điều kiện m 0 m 1;m là giá trị cần tìm. Chọn C. 2 DẠNG 4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x 3 x x2 1 2x,x ¡ . Hỏi hàm số g x f x x2 1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây? A. x 1. B. x 1. C. x 3. D. x 0. Lời giải 2 x 3 HD: Ta có g ' x f ' x 2x 3 x x 1 ; g ' x 0 x 1
  47. Lập bảng xét dấu  Hàm số đạt cực tiểu tại x 1.Chọn B. Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 3 9 x2 3x2 ,x ¡ . Hỏi hàm số g x f x x3 1 đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x 3. B. x 3. C. x 0. D. x 1. Lời giải 2 2 2 x 3 HD: Ta có g ' x f ' x 3x x 3 9 x x 3 3 x ; g ' x 0 x 3 Và g ' x không đổi dấu khi qua điểm x 3 x 3là điểm cực đại. Chọn A. Ví dụ 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x2 3x,x ¡ và f 0 10 . Giá trị cực tiểu của hàm số g x f x 3 có thể bằng A. 13.B. 12.C. 16.D. 14. Lời giải 2 x 0 HD: Ta có g ' x f ' x x 3x; g ' x 0 x 3 Suy ra x 3 là điểm cực tiểu của hàm số g 3 g 0 f 0 3 13. Chọn B. Ví dụ 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x2 2x,x ¡ . Hỏi hàm số g x f 1 x đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x 1. B. x 1. C. x 0. D. x 2. Lời giải HD: Ta có g ' x f ' 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 Phương trình g ' x 0  x 1 là điểm cực đại. Chọn A. x 1 Ví dụ 5: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm f ' x x2 3x 1 x trên ¡ . Số điểm cực trị của hàm số g x f x2 x 1 là A. 5.B. 6.C. 7.D. 8. Lời giải Ta có: f ' x x2 3x 1 x ' 2 2 2 2 2 Khi đó: g ' x f x x 1 2x 1 f ' x x 1 2x 1 x x 1 x x 2 x x 2x 1 x2 x 1 x 1 x 2 x 1 x
  48. Do g ' x đổi dấu qua 5 điểm suy ra hàm số g x có 5 điểm cực trị. Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm f ' x x2 1 x2 4x 3 trên ¡ . Số điểm cực đại của hàm số g x f x2 2x là A. 1.B. 2.C. 4.D. 5. Lời giải Ta có: f ' x x 1 2 x 1 (x 3) 2 Khi đó: g ' x 2x 2 f ' x2 2x 2x 2 x2 2x 1 x2 2x 1 x2 2x 3 2 2x 2 x2 2x 1 x 1 2 x 1 x 3 .Ta có bảng xét dấu x 3 1 1 y ' 0 0 0 Do g ' x đổi dấu từ dương sang âm khi qua 1 điểm nên hàm số g x có 1 điểm cực đại. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm f ' x x2 4 x2 2x trên ¡ . Số điểm cực tiểu của hàm số g x f x2 3x là A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Lời giải Ta có: f ' x x2 2 x 2 x 2 Khi đó: g ' x 2x 3 f ' x2 3x 2x 3 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 2 2x 3 x2 3x 2 x 1 x 2 x x 3 . 3 x 3 2 1 0 2 y ' 0 0 0 0 0 Do g ' x đổi dấu từ âm sang dương khi qua 3 điểm nên hàm số g x có 3 điểm cực tiểu. Chọn C. Ví dụ 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x2 3x 2 x 1 và g x 2 f 2 x x2. Hàm số đạt cực trị tại điểm x bằng A. x 2. B. x 2. C. x 3. D. x 3. Lời giải Ta có f ' x x 1 2 x 2  f ' 2 x x 1 x 2 Lại có g ' x 2 f 2 x 2x 2x 1 x 2 2x 2x2 2 x .
  49. 2 x 0 Phương trình g ' x 0 2x 2 x 0 . x 2 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2. Chọn A. Ví dụ 9: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x 1 1 2 4 f ' x 0 0 0 0 Hàm số y x2 x 2 có mấy điểm cực trị? A. 9.B. 7.C. 6.D. 5. Lời giải 2x 1 Ta có y x2 x 2  y ' . f ' x2 x 2 . 2 x2 x 2 1 x 2 2 Xét y ' 0 2x 1 . f ' x x 2 0 f ' x2 x 2 0 (*) x 1 2 x x 2 1 x2 x 1 0 x 2 2 2 Lại có f ' x 0 suy ra (*) x x 2 2 x x 2 (có 4 nghiệm). x 4 2 2 x x 2 4 x x 14 Suy ra hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn D. Ví dụ 10: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới x 3 2 y ' 0 0 10 y 1 Số điểm cực trị của hàm số y f 2x 1 là: A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Lời giải f ' x . f x Ta có: y f x thì y ' f x f 2x 1 '. f 2x 1 2 f ' 2x 1 . f 2x 1 Ta có: y f 2x 1 y ' (*) f 2x 1 f 2x 1 Dựa vào BBT suy ra phương trình f x 0 có một nghiệm x a 2 nên phương trình f 2x 1 0 2x 1 a(1) có 1 nghiệm.
  50. x 3 2x 1 3 f ' x 0 f 2x 1 0 (2) x 2 2x 1 2 Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số y f 2x 1 có 3 điểm cực trị. Chọn A. Ví dụ 11: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới x 2 3 y ' 0 0 1 y 4 Số điểm cực trị của hàm số y f x2 2 là: A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Lời giải x 2 Ta có: f ' x 0 x 3 2 2 ' f x 2 f x 2 ' f x2 2 .2x. f ' x2 2 Ta có: y f x2 2 (*) 2 2 f x 2 f x 2 Dựa vào BBT ta có thể giả sử f x 0 có 1 nghiệm duy nhất là x a 3 Khi đó f x2 2 0 x2 2 a(1) x 0 2 2 Mặt khác 2x. f ' x 2 0 x 2 2(2) 2 x 2 3 Từ (1) và (2) suy ra (*) có 5 nghiệm phân biệt suy ra hàm số y f x2 2 có 5 điểm cực trị. Chọn C. 2 Ví dụ 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 x2 3x , với mọi x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y f x2 4x m có 5 điểm cực trị? A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Lời giải Ta có g ' x 2x 4 f ' x2 4x m 2 x 2 t 1 2 t 2 3t (với t x2 4x m ) Số điểm cực trị của hàm số g x là số nghiệm bội lẻ của phương trình x 2 t 2 3t 0 x 2 x2 4x m x2 4x m 3 0
  51. Hàm số có 5 điểm cực trị khi các phương trình u x x2 4m m 0 và v x x2 4m m 3 0 ' u 4 m 0 ' u 4 m 3 0 Có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 2 m 4 u 2 4 m 0 v 2 7 m 0 Vậy 3 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A. 4 Ví dụ 13: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 2 x3 x ,với mọi x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;0 để hàm số y f x2 m có 7 điểm cực trị? A. 9.B. 7.C. 8.D. 10. Lời giải 2 2 4 3 2 Ta có g ' x f x m ' 2x. f ' x m 2x t 2 t t (với t x m ) Số điểm cực trị của hàm số g x là số nghiệm bội lẻ của phương trình x.t t 2 1 x 0 x2 m 2 2 2 x x m x m 1 x m 1 0 2 (*) x 1 m 2 x 1 m m 0 PT (*) có 7 nghiệm phân biệt khi 1 m 0 m 1. 1 m 0 Vậy có 8 giá trị nguyên âm của m  10;0 thỏa mãn. Chọn C. Ví dụ 14: Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây x 2 0 1 y ' 0 0 0 2 0 y 3 2 Số giá trị nguyên của tham số m  10;10 để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị là: A. 11.B. 10.C. 9.D. 12. Lời giải f ' x 0 Ta có: g ' x 2. f ' x . f x m 0 f x m Do hàm số y f x có 3 điểm cực trị nên phương trình f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt. Để hàm số g x có 5 điểm cực trị thì phương trình f x m có 2 nghiệm phân biệt
  52. 2 m 0 m 3 Chú ý:Với m 2,m 3 thì f ' x m có nghiệm kép tại x 2. Kết hợp với m ¢ m 10; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1. Chọn B. Ví dụ 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x3 2x2 x3 2x , với mọi x ¡ . Hàm số y f 1 2018x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 9.B. 2018.C. 2022.D. 11. Lời giải Ta có f ' x x3 2x2 x3 2x x3 x 2 x2 2 ;x ¡ . Số điểm cực trị của hàm số y g x f 1 2018x là tổng số nghiệm của phương trình g ' x 0 2018. f ' 1 2018x 0  có 4 điểm. Số nghiệm của phương trình 1 2018x 0  có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm có 4 nghiệm. Vậy hàm số đã cho có tối đa 9 điểm cực trị. Chọn A. Ví dụ 16: Hàm số đa thức bậc sáu y f x có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Hàm số g x f 3 3x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Số điểm cực trị của hàm số y f ax b bằng số điểm cực trị của hàm số y f x Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số y f x có 5 điểm cực trị. Chọn C. Ví dụ 13: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu như hình vẽ. x 1 0 2 4 f ' x 0 0 0 Gọi m, n lần lượt là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số. Tính m2 2n. A. 3.B. 6.C. 1.D. 0. Lời giải
  53. x 1 Ta thấy f ' x 0 x 2 và f ' x không xác định tại x 0. x 4 Mà f ' x đổi dấu từ  khi đi qua x 1; x 2 Hàm số có 2 điểm cực đại. Và f ' x đổi dấu từ  khi đi qua x 0; x 4 Hàm số có 2 điểm cực tiểu. Vậy m n 2  m2 2n 22 2.2 0. Chọn D. DẠNG 5. CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI  Loại 1: Cực trị hàm số y f x . Phương pháp giải: f ' x . f x Ta có: y f x y ' do đó f x Số điểm cực trị của hàm số y f x là số nghiệm bội lẻ của phương trình f ' x . f x 0. Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số y f x và n là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và trục hoành thì m n là số điểm cực trị của hàm số y f x (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn). Ví dụ 1: [Đề thi THPT QG năm 2017] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. x 1 3 y ' 0 0 5 y 1 Đồ thị của hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5.B. 3.C. 4.D. 2. Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành y 0 tại 1 điểm nên m 1. Hàm số y f x có 2 điểm cực trị nên n 2 Hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Chọn B. Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới x 3 2 1 y ' 0 0 0 3 y 0 2
  54. Số điểm cực trị của hàm số y f x là: A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số y f x có 3 điểm cực trị suy ra m 3. Phương trình f x 0 có 3 nghiệm (tuy nhiên x 1 là nghiệm kép) suy ra n 2. Do đó hàm số y f x có m n 5 điểm cực trị. Chọn C. Ví dụ 3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. x 1 1 2 y ' 0 0 0 0 4 y 3 Số điểm cực trị của hàm số y f x là: A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số y f x có 3 điểm cực trị suy ra m 3. Đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (tuy nhiên x 1 là nghiệm kép) nên n 2. Do đó hàm số y f x có 5 điểm cực trị. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. x 2 0 1 y ' 0 0 0 2 0 y 3 Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 là: A. 4.B. 6.C. 3.D. 5. Lời giải Đặt g x f x 2 g ' x f ' x Phương trình g ' x f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt nên m 3. Phương trình g x 0 f x 2 có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép n 2. Do đó hàm số y f x 2 có 5 điểm cực trị. Chọn D.
  55. Ví dụ 5: Số điểm cực trị của hàm số y x 1 3 x 3 x 2 là: A. 4.B. 5.C. 6.D. 7. Lời giải f ' x f x Ta có: y f x thì y ' f x Xét f x x 1 3 x 3 x 2 Ta có: f x 0 có 3 nghiệm bội lẻ x 1, x 3, x 2. Lại có: f x x 1 3 x2 x 6 f ' x 3 x 1 2 x2 x 6 x 1 3 2x 1 2 2 2 2 x 1 3x 3x 18 x 1 2x 1 x 1 5x 6x 17 0 f ' x 0 có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B. Ví dụ 6: Số điểm cực trị của hàm số y x4 2x3 x2 2x là: A. 4.B. 5.C. 6.D. 7. Lời giải f x 0 x4 2x3 x2 2x 0 x3 x 2 x x 2 0 x x2 1 x 2 0 có 4 nghiệm bội lẻ. Phương trình f ' x 4x3 4x2 2x 2 0 2 2x2 1 x 1 0 có 3 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 4 3 7 điểm cực trị. Chọn D. Ví dụ 7: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x4 4x3 4x2 m có 7 điểm cực trị là: A. 0.B. 9.C. 8.D. vô số. Lời giải Xét f x x4 4x3 4x2 m x 0 3 2 Phương trình f ' x 4x 12x 8x 0 x 1 có 3 nghiệm bội lẻ. x 2 Để hàm số y x4 4x3 4x2 m có 7 điểm cực trị thì phương trình f x 0 x4 4x3 4x2 m(*) phải có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT cho hàm số g x x4 4x3 4x ta được: x 0 1 2 y ' 0 0 0 1 y 0 8
  56. Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi 0 m 1. Vậy không có giá trị nguyên của m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Ví dụ 8: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x4 4x3 8x2 m có 7 điểm cực trị là: A. 129.B. 2.C. 127.D. 3. Lời giải x 0 3 2 Phương trình f ' x 4x 12x 16x 0 x 1 có 3 nghiệm bội lẻ. x 4 Để hàm số y x4 4x3 8x2 m có 7 điểm cực trị thì phương trình f x 0 x4 4x3 8x2 m(*) có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT cho hàm số g x x4 4x3 8x2 ta được: x 1 0 4 y ' 0 0 0 0 y 3 128 Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi 3 m 0. Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3x4 4x3 12x2 m có 7 điểm cực trị? A. 3.B. 5.C. 6.D. 4. Lời giải Đặt f x 3x4 4x3 12x2 m  f ' x 12x3 12x2 24x;x ¡ . Phương trình f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt. Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị f x 0 g x 3x4 4x3 12x2 m có 4 nghiệm phân biệt. Mà f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt f x m có 4 nghiệm phân biệt. Dựa vào BBT hàm số f x , để (*) có 4 nghiệm phân biệt 5 m 0 m 0;5 . Kết hợp với m ¢ suy ra có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D. Ví dụ 10: Cho hàm số f x 2x3 3x2 12x m 2 . Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là: A. 26.B. 25.C. 8.D. 9. Lời giải
  57. 3 2 2 x 1 Dễ thấy hàm số g x 2x 3x 12x m 2 có y ' 6x 6x 12 0 x 2 Suy ra hàm số g x có 2 điểm cực trị. Để hàm số f x 2x3 3x2 12x m 2 có 5 điểm cực trị thì phương trình 2x3 3x2 12x m 2 h x 2x3 3x2 12x 2 m có 3 nghiệm phân biệt h 1 9 Dễ thấy h x m có 3 nghiệm phân biệt khi 18 m 9 18 m 9 h 2 18 Vậy có 8 giá trị nguyên cần tìm. Chọn C. Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f x 2x4 4 m 8 x2 m 1 có 5 điểm cực trị? A. 9.B. 10.C. 8.D. vô số. Lời giải Xét hàm số f x 2x4 4 m 8 x2 m 1 TH1: Hàm số y f x có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số y f x không thể có 5 điểm cực trị. TH2: Hàm số y f x có 3 điểm cực trị khi ab 0 2. 4 m 8 0 m 8. Để hàm số y f x có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Vì hàm số y f x có a 2 0 nên có BTT như hình vẽ. x x0 0 x0 y ' 0 0 0 y m 1 Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng y 0) tại 2 điểm phân biệt khi 0 m 1 m 1. (Trong trường dấu bằng xảy ra m 1 phương trình có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép x 0 nên chỉ có điểm cực trị). Vậy 8 m 1. Kết hợp m ¢ có 9 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A. Ví dụ 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10 để hàm số y x4 2 m 4 x2 9 có 7 điểm cực trị? A. 9.B. 11.C. 10.D. 4 Lời giải Xét hàm số f x 2x4 2 m 4 x2 4
  58. TH1: Hàm số y f x có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số y f x không thể có 7 điểm cực trị. TH2: Hàm số y f x có 3 điểm cực trị khi ab 0 1. 2 m 4 0 m 4. Để hàm số y f x có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 3 x 0 Ta có: f ' x 4x 4 m 4 x 0 2 2 . x m 4 x0 Hàm số có BTT như hình vẽ x x0 0 x0 y ' 0 0 0 y 9 Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng y 0) tại 4 điểm phân biệt khi f x0 f m 4 0 2 2 2 m 1 m 4 2 m 4 9 0 m 4 9 m 7 m ¢ Với m 1. Kết hợp m 0;1; 10 có 11 giá trị của m. Chọn B. m  10;10 Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  20;20 để hàm số y x4 2 m 1 x2 8 có 7 điểm cực trị? A. 9.B. 11.C. 12.D. 7. Lời giải Xét hàm số f x x4 2 m 1 x2 8 TH1: Hàm số y f x có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số y f x không thể có 7 điểm cực trị. TH2: Hàm số y f x có 3 điểm cực trị khi ab 0 1. 2 m 1 0 m 1. Để hàm số y f x có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 3 x 0 Ta có: f ' x 4x 4 m 1 x 0 2 2 . x m 1 x0 Hàm số có BTT như hình vẽ x x0 0 x0
  59. y ' 0 0 0 y 8 Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng y 0) tại 4 điểm phân biệt khi f x0 f m 1 0 2 2 2 m 1 2 2 m 1 2 m 1 8 0 m 1 8 m 1 2 2 m ¢ Với m 1 2 2. Kết hợp m 2;3; 10 có 9 giá trị của m. Chọn A. m  20;20  Loại 2: Cực trị hàm số y f x . Phương pháp giải: x Ta có: y f x y ' . f ' x từ đó ta có nhận xét sau: x - Hàm số đạt cực trị tại điểm x 0. - Số điểm cực trị dương của hàm số y f x là m thì số điểm cực trị của hàm số y f x là 2m 1. Ví dụ 1: Cho hàm số f x 6x5 15x4 10x3 30x2 1, số điểm cực trị của hàm số y f x là: A. 4.B. 5.C. 6.D. 7. Lời giải Ta có: f ' x 30x4 60x3 30x2 60x 0 x x3 2x2 x 2 x x 1 x 1 x 2 x Lại có: y f x y ' . x x 1 x 1 x 2 đổi dấu qua 5 điểm x 0; x 1; x 2 nên hàm x số y f x có 5 điểm cực trị. Chọn B. Ví dụ 2: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. x 2 2 5 y ' 0 0 0 2 0 y 1
  60. Số điểm cực trị của hàm số y f x là: A. 2.B. 3.C. 4.D. 5. Lời giải Hàm số y f x có 2 điểm cực trị có hoành độ dương là 2; 1 và 5;0 Do đó hàm số y f x có 2.2 1 5 điểm cực trị. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới x 1 0 2 y ' 0 0 0 4 5 y 3 Số điểm cực trị của hàm số y f x 1 là A. 4.B. 6.C. 5.D. 3. Lời giải x x 0 Ta có: y ' x 1 '. f ' x 1 . f ' x 1 0 (*) x f ' x 1 0 x 1 Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' x 0 x 0 x 2 x 1 1 Suy ra f ' x 1 0 x 1 0 hệ có 2 nghiệm. x 1 2 Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn D. Ví dụ 4: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 20 để hàm số y f x m có 5 điểm cực trị A. 15. B. 19. C. 16. D. 18. Lời giải x x 0 Ta có: y ' x m '. f ' x m . f ' x m 0 x f ' x m 0
  61. x 3 Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' x 0 x 1 x m 3 x 3 m Do đó f ' x m 0 (*) x m 1 x 1 m 3 m 0 Hàm số có 5 điểm cực trị khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 m 1. 1 m 0 m ¢ Kết hợp có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D. m 20 Ví dụ 5: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10 để hàm số y f x m có 7 điểm cực trị A. 8. B. 9. C. 12. D. 13. Lời giải x x 0 Ta có: y ' x m '. f ' x m . f ' x m 0 x f ' x m 0 x 2 Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' x 0 x 2 x 5 x m 2 x 2 m Do đó f ' x m 0 x m 2 x 2 m (*) x m 5 x 5 m 2 m 0 Hàm số có 7 điểm cực trị khi (*) có 6 nghiệm phân biệt khác 0 m 2. 2 m 0 5 m 0 m ¢ Kết hợp có 8 giá trị nguyên của m. Chọn A. m  10;10 Ví dụ 6: Cho hàm số y x3 3 m 1 x2 6mx 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  100;100 để hàm số f x có 5 điểm cực trị?
  62. A. 100.B. 99.C. 97.D. 96. Lời giải Để hàm số f x có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x phải có 2 điểm cực trị có hoành độ dương. Ta có: f ' x 3x2 6 m 1 x 6m 0 x2 2 m 1 x 2m (*) ' m 1 2 2m 0 Giả thiết bài toán * có 2 nghiệm dương phân biệt S 2 m 1 0 m 2 3. P 2m 0 m ¢ Kết hợp có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C. m  100;100 Ví dụ 7: Cho hàm số y f x 2x3 3 m 1 x2 6 m2 9 x 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  100;100 để hàm số f x có đúng 3 điểm cực trị? A. 6.B. 7.C. 8.D. 9. Lời giải Để hàm số f x có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số y f x phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương. Ta có: f ' x 6x2 6 m 1 x 6 m2 9 0 x2 m 1 x m2 9 0 (*) Giả thiết bài toán thỏa mãn khi (*) có 2 nghiệm trái dấu hoặc (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: (*) có 2 nghiệm trái dấu m2 9 0 3 m 3. m2 9 0 TH2: (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương m 3. m 1 0 m ¢ Kết hợp hai trường hợp này và điều kiện có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa m  100;100 mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Ví dụ 8: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm f ' x x3 m 3 x2 2x 4m trên ¡ . Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  100;100 để hàm số f x có 7 điểm cực trị là: A. 100.B. 101.C. 198.D. 197. Lời giải Để hàm số f x có 7 điểm cực trị thì hàm số y f x có 3 điểm cực trị có hoành độ dương. f ' x 0 có 3 nghiệm dương phân biệt. Ta có: f ' x x3 m 3 x2 2x 4m 0 x3 3x2 2x m 4 x2 0
  63. x 2 x x 1 x 2 m x 2 x 2 0 2 g x x m 1 x 2m 0 Giả thiết bài toán thỏa mãn g x có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2 2 0 m 10m 1 0 S m 1 0 m 0 m 0. P 2m 0 2 0 g 2 0 m ¢ Kết hợp có 100 giá trị nguyên của m. Chọn A. m  100;100 Ví dụ 9: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có đồ thị hình vẽ dưới. Số điểm cực trị của hàm số f x 1 là: A. 4.B. 6.C. 5.D. 3. Lời giải x x 0 Ta có: y ' x 1 '. f ' x 1 . f ' x 1 0 (*) x f ' x 1 0 x x1 1;0 x x 0;1 Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' x 0 2 x x 1;2 3 x 2 x 1 x1 1;0 x 1 x 0;1 2 x 1 x3 1;2 Suy ra f ' x 1 0 hệ có 4 nghiệm. x 1 x 1;2 x 1 2 3 x 1 2 Do đó (*) có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn C.