Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông - Phần bài tập cơ bản - Bùi Anh Tuấn

Nội dung text: Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông - Phần bài tập cơ bản - Bùi Anh Tuấn

1. BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG PHẦN BÀI TẬP CƠ BẢN AB 5 Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A. Biết . Đường cao AH = 15cm. Tính HB, HC. AC 7 Bài 2: Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH. Tính HD, HB, HC. HB 1 Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, . HC 4 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác góc B. Biết rằng AD = 1cm; BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC. Bài 6: Cho tam giác ABC , = 60표, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB. Bài 7: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Bài 8: a. Cho tam giác ABC có = 60표,퐶 = 50표, 퐶 = 35 . Tính diện tích tam giác ABC. b. Cho tứ giác ABCD có = 퐷 = 90표,퐶 = 40표, = 4 , 퐷 = 3 . Tính diện tích tứ giác. c. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết 퐶 = 4, 퐷 = 5, 푂 = 50표. Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi ∆AHB bằng 30cm, chu vi ∆ACH bằng 4dm. Tính BH, CH và chu vi ∆ABC. Bài 10: Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17. a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông. b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh. Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm, góc B bằng 600 và góc A là 900 . a) Tính đường chéo BD. b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC. c) Tính HK. d) Vẽ BE  DC kéo dài. Tính BE, CE và DC. Bài 12: Cho  ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC. DE DB a) Chứng minh . b) Chứng minh BDE đồng dạng  CDB. DB DC c) Tính tổng 퐹 + 퐶퐷. Bài 13: Chình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a. sin + 표푠 a) Tính b) Tính diện tích hình thang ABCD. 푠푖푛 ― 표푠 Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox  AB. Trên Ox lấy điểm D sao cho a OD . Từ B kẽ BC vuông góc với đường thẳng AD. 2 a) Tính AD, AC và BC theo a. b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn. Bài 15: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 푀퐶 = = 90표. Chứng minh: AM = AN.
2. AB 20 Bài 16: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC. AC 21 Bài 17: Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết = 2 13; OA = 6. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 cm có D  AB, E  4 BC, F  AC. Biết AB > AC và S S . Tính AB ; AC. ADEF 9 ABC Bài 19: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI. Bài 20: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở 1 1 1 F. Chứng minh: AE2 AF2 a 2 Bài 21: Cho hình thang ABCD có = 퐶 = 90표. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại H. Biết AB = 3 5 cm, HA = 3cm. Chứng minh: a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8 1 1 1 1 b) AB2 CD2 HB2 HC 2 ^ ^ Bài 22: Cho ABC nhọn. đường cao AD và BE. Gọi I  AD và Q  BE sao cho BIC AQC 900 . a) Chứng minh: CA.CE = CD.CB b) Chứng minh: IQC là tam giác cân c) BI cắt AQ tại K. Chứng minh: CK  IQ Bài 23: Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH. Biết AC = 12cm, BC = 15cm. a) Tính HA, HB, HC. b) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC. Chứng minh: AE.AB = AF.AC c) Chứng minh: HE2 + HF2 = HB.HC Bài 24: Cho hình vẽ: B A a/ Tính AC 74 5,5 4,1 b/ Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY // BX. Hãy tính XY. 2,8 Y 123 c/ Tính diện tích tam giác BCX. X D C Bài 25: Cho hình vẽ dưới đây biết 퐶 = 60 . Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. Tính: a/ AP; BP b/ CP và diện tích tam giác ABC. C 30 20 B   A P
3. Bài 26: Cho tam giác ABC có AB = 24cm; AC = 18cm; BC = 30cm a/ Tính đường cao AH, số đo góc B và C. b/ Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD. c/ Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF. Bài 27: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên AC lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC. DE DB a/ Chứng minh DB DC b/ Chứng minh BDE đồng dạng với CDB. c/ Tính tổng 퐸 + 퐶퐷. Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A, 퐶 = 30표; 퐶 = 10 . a/ Tính AB, AC. b/ Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc. Chứng minh MN// BC và MN = AB. c/ Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng. Bài 29: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 10cm; BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho 퐼 = 1 3 퐻. Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D. a/ Tính các góc của tam giác ABC. b/ Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A . Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với trung tuyến AM . Các tia phân giác của các góc AMB; AMC cắt đường thẳng d lần lượt tại D và E. Chứng minh: a) Tứ giác BCED là hình thang BC 2 b) BD . CE = 4 c) Giả sử AC = 2AB , chứng minh EC = BC Bài 31: Cho hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính chu vi và diện tích hình thang cân đó biết đáy nhỏ bằng 14 cm , đáy lớn bằng 50 cm . Bài 32: Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: BC2 a) AB2 AC2 2AM2 2 b) AB2 AC2 2BC.MH Bài 33: Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm. a) Chứng minh AC vuông góc với BD. b) Tính diện tích hình thang. Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE. a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm. b) Tính tg IED và tg HCE. c) Chứng minh 퐼퐸퐷 = 퐻퐶퐸 d) Chứng minh: DE  EC .
4. Bài 35: Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh: a) ANL đồng dạng ABC b) . 퐿.퐶푀 = . 퐶.퐶 . 표푠 . 표푠 . 표푠퐶 Bài 36: Giải tam giác ABC, biết: a) = 90표, 퐶 = 10, = 75표. b) 퐶 = 120표, = 퐶 = 6. c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền = 5, đường cao AH = 4. o d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền = 5, một góc nhọn bằng 47 . Bài 37: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC. a) Giải tam giác vuông ABC. b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. c) Tính: EA.EB + AF.FC. Bài 38: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Cho biết khoảng cách từ O đến mỗi cạnh hình thoi 1 1 1 là h; AC = m; BD = n. Chứng minh rằng: . 2 + 푛2 = 4ℎ2 Bài 39: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 33,6. Biết 24.AB = 7. AC. Tìm độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác. Bài 40: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD), = 2,퐶퐷 = 6 và chiều cao bằng 4. Tính số đo góc tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh bên. Bài 41: Cho tam giác ABC có = 40표,퐶 = 60표, đường trung tuyến AM. Tính số đo góc AMC. Bài 42: Cho tam giác ABC nhọn, AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng 2 = 2 + 2 ― 2 표푠 2 = 2 + 2 ― 2 표푠 2 = 2 + 2 ― 2 표푠퐶 Bài 43: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có 퐶 = 30표,퐷 = 60표, 퐷 = 2,퐶퐷 = 6. a. Tìm AD. b. Tính diện tích hình thang. Bài 44: Cho tứ giác ABCD có 퐶 + 퐷 = 90표. Chứng minh rằng: 2 + 퐶퐷2 = 퐶2 + 퐷2 Bài 45: Cho tam giác ABC cân tại A, < 90표, = 퐶 = 2 2 , 퐶 = 2 .Kẻ đường cao BH. Chứng minh rằng: AH = 7.HC HẾT (Bùi Anh Tuấn – VT – VP)