Bài tập về phương trình đường thẳng - Đại số Lớp 9

Nội dung text: Bài tập về phương trình đường thẳng - Đại số Lớp 9

1. Bài 4. Tỡm m để đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y (m 2)x 11 cắt nhau tại một điểm trờn trục tung. Đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y (m 2)x 11 cắt nhau tại một điểm trờn trục tung 1 m 2 m 3 m 3 2 2 m 3 m 2 11 m 9 m 3 Vậy m 3 là giỏ trị cần tỡm. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tỡm hệ số a và b. Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 1 nờn a = 3. Vỡ đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1;2) nờn ta cú: 2 = 3.(-1) + b b= 5 (t/m vỡ b 1 ) Vậy: a = 3, b = 5 là cỏc giỏ trị cần tỡm. Bài 4. Cho hai đường thẳng (d): y x m 2 và (d’): y (m2 2)x 3 . Tỡm m để (d) và (d’) song song với nhau. 1 m2 2 m2 1 m 1 (d) / /(d') m 1 m 2 3 m 1 m 1 Vậy m = –1 là giỏ trị cần tỡm. 1 1 Bài 4. Cho hai đường thẳng (d1): y mx m và (d2): y x (với m là tham số, m 0 ). Gọi m m 2 2 I(x0 ; y0 ) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) với (d2). Tớnh T x0 y0 . Theo đề bài, (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ: y0 mx0 m 1 1 2 2 mx0 m x0 m x0 m x0 1 1 1 m m y0 x0 y0 mx0 m m m y0 mx0 m 2 1 m 1 m2 x0 2 2 2 x0 2 (m 1)x0 1 m 1 m 1 m 2 y0 m(x0 1) 1 m 2m y0 m 2 1 y0 2 1 m 1 m Do đú: 2 2 2 2 2 4 2 1 m2 2 2 1 m 2m 1 2m m 4m T x0 y0 2 2 2 2 1 1 m 1 m 1 m2 1 m2 Bài 4. Cho hai hàm số bậc nhất y = x –3 và y m2 1 x 2m 3 Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị của cỏc hàm số trờn cắt nhau tại một điểm cú hoành độ bằng -1. Đk để 2 đt cắt nhau là m2 1 1 m 0 Thay x =- 1 vào y = x-3 =-4 Thay x =-1 và y = -4 vào hàm số y m2 1 x 2m 3 được m =0 (Loại); m = 2 (TM) ĐS: m =2
2. 3 Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng y x 2 (d ) và y x 3 (d ) . Gọi A, 1 2 2 B lần lượt là giao điểm của (d 1), (d2) với trục Oy và C là giao điểm của (d 1) với (d2). Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. Đường thẳng (d1) đi qua cỏc điểm (0; – 2) và (– 2; 0) Đường thẳng (d2) đi qua cỏc điểm (0; 3) và (– 2; 0) Theo đề bài, ta cú: A(0; – 2) , B(0; 3) , C(– 2; 0) CO = 2; AB = 5 Diện tớch của ABC là: AB.OC 5.2 S 5 (đơn vị diện tớch) 2 2 y 4 B 2 d1 C O x d 2 2 A Bài 4. a) Cho hàm số y = 3 2 x + 1. Tớnh giỏ trị của hàm số khi x = 3 2 . b) Tỡm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục hoành. 1 Đường thẳng y = 2x – 1 cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ x = ; 2 cũn đường thẳng y = 3x + m cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ x = m . Suy ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trờn trục hoành 3 m 1 -3 m = . 3 2 2 Bài 4. Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1 a) Khi m = -2, hóy tỡm toạ độ giao điểm của chỳng. b) Tỡm m để (d) song song với (d’) a)Khi m = - 2, ta cú hai đường thẳng y = - x - 2 + 2 = - x và y = (4 - 2)x + 1 = 2x + 1 Ta cú toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng trờn là nghiệm của hệ y = - x y = 2x + 1
3. 1 x 2x 1 x . 3 1 Từ đú tớnh được : y . 3 1 1 Vậy tọa độ giao điểm là A(A ; . 3 3 b) Hai đường thẳng (d), (d ) song song khi và chỉ khi m2 - 2 = - 1 m = 1 m = 1 m + 2 1 m - 1 Vậy m = 1 thỡ hai đường thẳng đó cho song song với nhau 5 Bài 4. Tỡm m để đường thẳng y 3x 6 và đường thẳng y x 2m 1cắt nhau tại một điểm 2 nằm trờn trục hoành. Ta gọi (d1 ) , (d 2 ) lần lượt là cỏc đường thẳng cú phương trỡnh 5 y 3x 6 và y x 2m 1 . Giao điểm của (d ) và trục hoành là 2 1 A(2, 0). Yờu cầu của bài toỏn được thoả món khi và chỉ khi (d 2 ) cũng 5 đi qua A 0 .2 2m 1 m 3 . 2 Bài 4. Trong mp toạ độ Oxy, tỡm m để đường thẳng (d): y (m2 1)x 1 song song với đường thẳng (d ) : y 3x m 1. Đường thẳng d và d song song với nhau khi và chỉ khi: m2 1 3 m2 4 m 2 m 2 m 1 1 m 2 m 2 Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giỏ trị nào của a, b thỡ đường thẳng (d): y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với nhau. Hai đường thẳng (d) và (d’) song song khi và chỉ khi: 3 a 3 a a 2 . b 2 b b 1 Bài 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d cú phương trỡnh: 3x + 4y = 2. a) Tỡm hệ số gúc của đường thẳng d. 2 b) Với giỏ trị nào của tham số m thỡ đường thẳng d1: y = (m -1)x + m song song với đường thẳng d. 3 1 1 m2 1 m2 m 4 4 2 1 d // d1 m . 1 1 1 2 m m m 2 2 2
4. 1 Vậy với m thỡ d1 // d. 2 1 1 Bài 4. Cho hai đường thẳng (d1): y mx m và (d2): y x (với m là tham số, m 0 ). Gọi m m 2 2 I(x0 ; y0 ) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) với (d2). Tớnh T x0 y0 . Theo đề bài, (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ: y0 mx0 m 1 1 2 2 mx0 m x0 m x0 m x0 1 1 1 m m y0 x0 y0 mx0 m m m y0 mx0 m 2 1 m 1 m2 x0 2 2 2 x0 2 (m 1)x0 1 m 1 m 1 m 2 y0 m(x0 1) 1 m 2m y0 m 2 1 y0 2 1 m 1 m Do đú: 2 2 2 2 2 4 2 1 m2 2 2 1 m 2m 1 2m m 4m T x0 y0 2 2 2 2 1 1 m 1 m 1 m2 1 m2 Bài 4. Tỡm m để đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y (m 2)x 11 cắt nhau tại một điểm trờn trục tung. Đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y (m 2)x 11 cắt nhau tại một điểm trờn trục tung 1 m 2 m 3 m 3 2 2 m 3 m 2 11 m 9 m 3 Vậy m 3 là giỏ trị cần tỡm. Bài 4. Cho hai hàm số bậc nhất y = x –3 và y m2 1 x 2m 3 Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị của cỏc hàm số trờn cắt nhau tại một điểm cú hoành độ bằng -1. Đk để 2 đt cắt nhau là m2 1 1 m 0 Thay x =- 1 vào y = x-3 =-4 Thay x =-1 và y = -4 vào hàm số y m2 1 x 2m 3 được m =0 (Loại); m = 2 (TM) ĐS: m =2 3 Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng y x 2 (d ) và y x 3 (d ) . Gọi A, 1 2 2 B lần lượt là giao điểm của (d 1), (d2) với trục Oy và C là giao điểm của (d 1) với (d2). Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. Đường thẳng (d1) đi qua cỏc điểm (0; – 2) và (– 2; 0) Đường thẳng (d2) đi qua cỏc điểm (0; 3) và (– 2; 0) Theo đề bài, ta cú: A(0; – 2) , B(0; 3) , C(– 2; 0)
5. CO = 2; AB = 5 Diện tớch của ABC là: AB.OC 5.2 S 5 (đơn vị diện tớch) 2 2 y 4 B 2 d1 C O x d 2 2 A Bài 4. Cho đường thẳng (d): y = 2x + m- 1 . a) Khi m = 3 , tỡm a để điểm A(a;- 4) thuộc đường thẳng (d) . b) Tỡm m để đường thẳng (d) cắt cỏc trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho tam giỏc OMN cú diện tớch bằng 1. a) Khi m = 3 để điểm A(a;- 4) thuộc đường thẳng (d) thỡ - 4 = 2.a + 3- 1 Û a = - 3 . Vậy a = - 3 b) Đường thẳng (d) cắt cỏc trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N ổ1- m ử thỡ Mỗ ;0ữ và N(0;m- 1) nờn ốỗ 2 ứữ ổ ử 1 1 ỗ1- mữ SMNO = MO.NO = (m- 1).ỗ ữ 2 2 ốỗ 2 ứữ 1 ổ1- mử 2 ộm = 3 Mà S = 1 Û m- 1 .ỗ ữ= 1 Û m- 1 = 4 Û ờ MNO ( ) ỗ ữ ( ) 2 ố 2 ứ ởờm = - 1 Vậy m = 3,m = - 1 . Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: 1 5 (d ): y = - mx + m + 1,(d ): y = x - 1- (với m là tham số khỏc 0). 1 2 m m Tỡm điểm cố định mà đường thẳng (d1) luụn đi qua. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng luụn thuộc một đường cố định. Giả sử M(xM ;yM ) là điểm cố định mà đường thẳng (d1) luụn đi qua. Ta cú: yM = - mxM + m + 1 với mọi m Û m(1- xM )+ (1- yM )= 0 với mọi m ùỡ 1- x = 0 ùỡ x = 1 Û ớù M Û ớù M ù ù ợù 1- yM = 0 ợù yM = 1 Vậy đường thẳng (d1) luụn đi qua điểm M(1;1) cố định. Giả sử N(x0;y0 ) là giao điểm của (d1) và (d2 ) . Khi đú:
6. ỡ = - + + ùỡ - 1= 1- (1) ù y0 mx0 m 1 ù y0 m( x0 ) ù ù ớ Û ớù ù 1 5 ù 1 ù y0 = x0 - 1- ù y + 1= (x - 5) (2) ợù m m ợù 0 m 0 Nhõn theo vế của (1) và (2) ta được: 2 2 2 2 (y0 + 1)(y0 - 1)= (1- x0 )(x0 - 5)Û y0 - 1= - x0 + 6x0 - 5 Û (x0 - 3) + y0 = 5 2 2 Giả sử I(3;0) thuộc mặt phẳng tọa độ. Ta cú IN = (x0 - 3) + y0 = 5 khụng đổi. Vậy N thuộc đường trũn tõm I bỏn kớnh 5 . Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho cỏc đường thẳng cú phương trỡnh: (d1): y = x + 2; (d2 ): y = - 2; (d3 ): y = (k + 1)x + k . Tỡm k để cỏc đường thẳng trờn đồng quy. Tọa độ giao điểm của (d1) , (d2 ) là nghiệm của hệ: ùỡ y = x + 2 ùỡ x = - 4 ớù Û ớù ợù y = - 2 ợù y = - 2 Do đú cỏc đường thẳng trờn đồng quy Û (d3) đi qua điểm (- 4;- 2) 2 Û - 2 = - 4(k + 1)+ k Û 3k = - 2 Û k = - 3 2 Vậy k = - thỡ cỏc đường thẳng đó cho đồng quy. 3 Bài 4. Tỡm giỏ trị của m để hai đường thẳng (d1): mx + y = 1 và (d2 ): x - my = m + 6 cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng (d): x + 2y = 8 . * Phõn tớch đề bài Tỡm tọa độ giao điểm M của (d1),(d2 ) . Vỡ M thuộc đường thẳng (d) nờn tọa độ M thỏa món phương trỡnh của (d) . m 1 Để hai đường thẳng (d ),(d ) cắt nhau thỡ ạ Û m2 ạ - 1 luụn thỏa món với 1 2 1 - m mọi m. Tọa độ giao điểm M của (d1),(d2 ) là nghiệm của hệ phương trỡnh: ùỡ 2m + 6 ù = ỡ ù x 2 ùỡ mx + y = 1 ùỡ y = 1- mx ù y = 1- mx ù 1+ m ớù Û ớù Û ớ Û ớù ù x - my = m + 6 ù x - m(1- mx)= m + 6 ù (1+ m2 )x = 2m + 6 ù - m2 - 6m + 1 ợù ợù ợù ù y = ợù m2 + 1 Vỡ M thuộc đường thẳng (d) nờn: 2m + 6 - m2 - 6m + 1 + 2. = 8 Û 2m + 6- 2m2 - 12m + 2 = 8m2 + 8 1+ m2 m2 + 1 ộm = 0 Û 10m2 + 10m = 0 Û 10m(m + 1)= 0 Û ờ ởờm = - 1 Vậy với m = 0 hoặc m = - 1 thỡ hai đường thẳng (d1) và (d2 ) cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng (d) . Bài 4. Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (dÂ): y = (m2 - 2)x + 3 . Tỡm m để (d) và (dÂ) song song với nhau. Điều kiện để hai đồ thị song song là
7. ùỡ - 1= m2 - 2 ùỡ m2 = 1 ùỡ m = ± 1 ớù Û ớù Û ớù Û m = - 1 ợù m + 2 ạ 3 ợù m ạ 1 ợù m ạ 1 Vậy m = - 1 thỡ hai đường thẳng đó cho song song. Bài 4. Tỡm giỏ trị của tham số k để đường thẳng d1 : y = - x + 2 cắt đường thẳng d2 : y = 2x + 3- k tại một điểm nằm trờn trục hoành. Ta thấy hai đường thẳng d1;d2 luụn cắt nhau: + Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(2;0) ổ ử ỗk - 3 ữ + Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm Bỗ ;0ữ ốỗ 2 ứữ + Để hai đường thẳng d1;d2 cắt nhau tại một điểm trờn trục hoành thỡ k - 3 = 2 Û k = 7. 2 Vậy k = 7 . Bài 4. Cho hai hàm số y = (3m + 2)x + 5 với m ạ - 1 và y = - x - 1 cú đồ thị cắt nhau tại điểm A(x;y). Tỡm cỏc giỏ trị của m để biểu thức P = y2 + 2x - 3 đạt giỏ trị nhỏ nhất. ổ- 2 2 ử Với m ạ - 1 hai đồ thị cắt nhau tại điểm Aỗ ; - 1ữ ốỗm + 1 m + 1 ứữ 2 2 ổ 2 ử ổ- 2 ử Ta cú: P = y + 2x - 3 = ỗ - 1ữ + 2ỗ ữ- 3 ốỗm + 1 ứữ ốỗm + 1ữứ 2 Đặt t = ta được m + 1 2 2 P = (t - 1) - 2t - 3 = t2 - 4t - 2 = (t - 2) - 6 ³ - 6 2 Đẳng thức xảy ra Û t = 2 ị = 2 Û m = 0 m + 1 Vậy m = 0 thỡ biểu thức P = y2 + 2x - 3 đạt giỏ trị nhỏ nhất. 1 Bài 4. Cho hai hàm số y = 2x - 1 và y = - x + 4 2 a) Tỡm tọa độ giao điểm M của hai đồ thị hàm số trờn. b) Gọi N, P lần lượt là giao điểm của hai đồ thị trờn với trục tung. Tớnh diện tớch tam giỏc MNP. a) Tọa độ giao điểm M của hai đồ thị hàm số trờn là nghiệm của hệ phương trỡnh: ùỡ y = 2x - 1 ùỡ 2x - y = 1 ù ù ùỡ x = 2 ớ 1 Û ớ 1 Û ớ ị M(2;3) ù y = - x + 4 ù x + y = 4 ợù y = 3 ợù 2 ợù 2 b) N = d ầOy ị N(0;- 1);P = dẦOy ị P(0;4) Gọi H là hỡnh chiếu của M trờn Oy. Ta cú MH = xM = 2 1 1 Diện tớch tam giỏc S = MH.NP = .2.5 = 5 (đvdt). MNP 2 2