Bài toán lập phương trình gây nhức đầu

Nội dung text: Bài toán lập phương trình gây nhức đầu

1. Bài toán lập phương trình gây nhức đầu Lời bàn: Giải bài toán bằng cách lập phương trình là dạng toán quen thuộc với học sinh khối lớp 8. Tuy nhiên, có những bài với dữ liệu gây rối sẽ gây khó cho học sinh khi giải. Tôi xin đưa ra ví dụ như sau Bài 1: Số học sinh toàn trường khối 8 không đổi sau 1 năm học. Trong 1 năm có 2 học kì là HKI và HKII. Số học sinh nam đạt HSG ở học kì I nhưng không đạt HSG ở HKII chỉ bằng số học sinh nam đạt HSG ở học kì II nhưng không đạt HSG ở HKI . Số học sinh nam đạt HSG duy nhất ở 1 học kì chỉ bằng số học sinh nữ chỉ đạt HSG duy nhất ở 1 học kì. Số học sinh nữ đạt HSG ở HKI nhưng không đạt HSG ở HKII nhiều hơn số học sinh nữ không đạt HSG cả 2 học kì là 100 bạn. Có 12% số học sinh toàn trường không đạt HSG ở cả 2 học kì. Có 50 học sinh nam không đạt HSG ở cả 2 học kì. Số học sinh nam đạt HSG ở HKI chỉ chiếm 24% số học sinh khối 8 toàn trường. Có 240 học sinh đạt HSG ở HKI nhưng không đạt HSG ở HKII. Số học sinh không đạt HSG ở cả 2 học kì bằng số học sinh đạt HSG ở cả 2 học kì. Tính số học sinh khối 8 của trường học đó. Hướng dẫn giải Nhận xét: Một bài toán trông có vẻ quá dài và phức tạp. Trong đó với các dữ liệu là giới tính, số lượng đạt HSG ở học kì I và học kì II có đôi lúc không rõ ràng và mang tính chung chung. Điều này sẽ gây khó khăn trong việc đặt ẩn phụ và giải quyết như thế nào. Tuy nhiên, nếu tinh ý và nhận xét rằng ở mỗi học sinh chỉ cần xét 3 yếu tố đó là: Giới tính, đạt HSG hoặc không đạt HSG ở HKI, tương tự cho học kì 2. Do vậy, ta sẽ lập bảng phân định rõ ràng. Như vậy, tổng số học sinh khối 8 chia thành 8 thành phần nhỏ như sau HKI HKII Nam KG KG Nam G KG Nam KG G Nam G G Nữ KG KG
2. Nữ G KG Nữ KG G Nữ G G Để đơn giản, ta sẽ kí hiệu. Ví dụ như Nam(KG + G) nghĩa là học sinh nam không đạt HSG ở HKI nhưng đạt HSG ở HKII. Nam(G + KG) nghĩa là học sinh nam đạt HSG ở HKI nhưng không đạt HSG ở HKII. Nam(G + G) nghĩa là học sinh nam đạt HSG ở HKI và đạt HSG ở HKII. Tương tự cho các trường hợp khác Gọi x là số học sinh toàn trường ĐK: (x > 0). Theo đề bài ta có * Nam (KG + KG) = 50 * Nam (KG + KG) + Nữ (KG + KG) = 0,12x => Nữ (KG + KG) = 0,12x – 50 * Nữ (G + KG) – Nữ (KG + KG) = 100 => Nữ (G + KG) = 100 + Nữ (KG + KG) = 100 + 0,12x – 50 = 50 + 0,12x * Nam (G + KG) + Nữ (G + KG) = 240 => Nam (G + KG) = 240 – Nữ (G + KG) = 240 – 50 – 0,12 = 190 – 0,12x * => Nam (KG + G) = 228 – 0,144x * Nam (G + KG) + Nam (G + G) = 0,24x => Nam (G + G) = 240 – Nam (G + KG) = 0,24x – (190 – 0,12x) = 0,36x – 190 * Ta có Nam (G + KG) + Nam (KG + G) = 190 – 0,12x + 228 – 0,144x = 418 – 0,264x =>15.(418 – 0,264x) = 11.Nữ (KG + G) + 11.Nữ (G + KG) => Nữ (KG + G) = 520 – 0,48x * Ta có Nam (KG + KG) + Nữ (KG + KG) = 0,12x =>14. 0,12x = 9.Nam (G + G) + 9.Nữ (G + G) => Nữ (G + G) =
3. Để dễ nhìn ta có bảng sau HKI HKII Nam KG KG 50 Nam G KG 190 – 0,12x Nam KG G 228 – 0,144x Nam G G 0,36x – 190 Nữ KG KG 0,12x – 50 Nữ G KG 50 + 0,12x Nữ KG G 520 – 0,48x Nữ G G Theo đề bài ta có phương trình 50 + (190 – 0,12x) + (228 – 0,144x) + (0,36x – 190) + (0,12x – 50) + (50 + 0,12x) + (520 – 0,48x) + = x  988 = 0  = 988  x = 750 (nhận) Vậy số học sinh khối 8 của trường đó là 750 học sinh. Bài 2. Tại thành phố A có 1 người đi xe máy khởi hành chạy về thành phố B và ở thành phố B có 1 người lái ô tô khởi hành về thành phố A. Biết cả 2 xe khởi hành cùng một lúc và vận tốc người lái ô tô lớn hơn vận tốc người đi xe máy là 20 km/h. Theo dự định thì người đi xe máy chạy liên tục không nghỉ ngơi. Nhưng trên thực tế thì sau khi đi được 1 giờ 30 phút, người đi xe máy dừng lại nghỉ ngơi trong 45 phút rồi đi tiếp, do đó thời gian để 2 xe gặp nhau trễ hơn so với dự định là 18 phút. Tìm vận tốc mỗi xe, biết vận tốc xe máy nhỏ hơn 60 km/h. Nhận xét: Đây là bài toán có sự kết hợp giữa yếu tố 2 xe chuyển động ngược chiều và yếu tố giả định kế hoạch. Bài này khó ở chỗ ta phải xác định trong các tiến trình chuyển động thì hai xe gặp nhau ở giai đoạn nào. Do vậy mà để giải được bài toán ta cũng phải chia nhỏ ra các trường hợp như sau. Để dễ hình dung tôi sẽ dùng mô hình để mô tả. Hơn nữa, cái khó của bài toán này chính là lại không cho biết quãng đường giữa 2 thành phố, do vậy, việc đặt ẩn để giải sẽ khó hơn nhiều.
4. Dựa vào mô hình trên ta thấy trong mọi trường hợp, theo giả định tức là theo kế hoạch từ chỉ có duy nhất 2 xe gặp nhau tại điểm S. Nhưng trên thực tế lại chia đến 5 trường hợp TH1: Trong 1h30phút thì xe máy đến C. Xe ô tô đến điểm D. Trong 45 phút thì xe máy dừng tại điểm C để nghỉ ngơi nhưng xe ô tô đi đến điểm E. Tiếp theo 2 xe tiếp tục chạy và gặp nhau tại điểm S TH2: Trong 1h30phút thì xe máy đến C. Xe ô tô đến điểm D. Tiếp theo 45 phút thì xe máy dừng tại điểm C để nghỉ ngơi nhưng trong 45 phút này thì xe ô tô đã đi nhanh đến điểm C. Như vậy điểm C cũng chính là điểm gặp nhau của 2 xe TH3: Trong 1h30phút thì xe máy đến C. Xe ô tô đến điểm D. Tiếp theo 45 phút thì xe máy dừng tại điểm C để nghỉ ngơi nhưng xe ô tô đã đi đến điểm C chưa đầy 45 phút thì lúc này hai xe đã gặp nhau tại điểm C. TH4: Trong 1h30phút thì 2 xe đã gặp nhau tại vị trí S. Xe máy chưa nghĩ ngơi. Như vậy trường hợp này trùng với giả định cho nên trường hợp này loại. TH5: Chưa đầy 1h30phút mà 2 xe đã gặp nhau tại vị trí S. Điểm C là xe máy đi được 1h30phút. Như vậy thời gian 2 xe gặp nhau sớm hơn so với dự định, điều này mâu thuẫn với giả thiết nên trường hợp này loại. Quay trở lại bài toán. Gọi S là độ dài quãng đường AB x (km/h) là vận tốc xe máy (0 < x < 60) x + 20 là vận tốc xe ô tô Trong 1 giờ cả 2 xe đi được x + x + 20 = 2x + 20 km Vậy thời gian 2 xe gặp nhau theo dự định là h
5. Tiếp theo ta sẽ lập ẩn theo từng trường hợp thực tế Theo mô hình trên ta có trường hợp 1 Đổi 1h30 phút = 1,5 h ; 45 phút = 0,75h ; 18 phút = 0,3h Quãng đường AC xe máy đi được là 1,5x Quãng đường BE xe ô tô đi được là 1,5.(x + 20) + 0,75.(x + 20) = 2,25.(x + 20) Độ dài quãng đường CE là: S – 1,5x – 2,25.(x + 20) = S – 3,75x – 45 Thời gian tính trên quãng đường CE hai xe gặp nhau là h Thời gian 2 xe gặp nhau tính theo thực tế là 2,25 + h Theo bài toán ta có phương trình 2,25 + = 0,3  = 1,95  3,75x + 45 = 3,9x + 39  0,15x = 6  x = 40 (km/h). (Nhận) Vậy vận tốc xe máy là 40km/h, xe ô tô là 60 km/h. Trường hợp 2 Tương tự ta có: quãng đường AC xe máy đi được là 1,5x Quãng đường BC xe ô tô đi được là 1,5.(x + 20) + 0,75.(x + 20) = 2,25.(x + 20) Độ dài quãng đường AB là: S = 1,5.x + 2,25.(x + 20) = 3,75x + 45 Vậy thời gian 2 xe gặp nhau theo thực tế là 1,5h + 0,75h = 2.25h Thời gian 2 xe gặp nhau theo dự định là 2,25 – 0,3 = 1,95h Theo bài toán ta có phương trình = 1,95  = 1,95  3,75x + 45 = 3,9x + 39  0,15x = 6  x = 40 km (nhận) Vậy vận tốc xe máy là 40km/h, xe ô tô là 60 km/h. Trường hợp 2 giống với trường hợp 1 Trường hợp 3 Gọi t là thời gian xe ô tô đi từ điểm D đến vị trí điểm C của xe máy đang nghỉ ngơi Điều kiện t < 0,75 Tương tự ta có: quãng đường AC xe máy đi được là 1,5x Quãng đường BC xe ô tô đi được là 1,5.(x + 20) + t.(x + 20) = (1,5 + t).x + 20t + 30 Độ dài quãng đường AB là: S = 1,5x + (1,5 + t).x + 20t + 30 = (3 + t).x + 20t + 30 Thời gian 2 xe gặp nhau tính theo thực tế là t + 1,5 (h)
6. Theo bài toán ta có phương trình t + 1,5 – = 0,3  t = – 1,2  t. (2x + 20) = (3 + t).x + 20t + 30 – 1,2.(2x + 20)  2tx + 20t = 3x + tx + 20t + 30 – 2,4x – 24  2tx – tx = 3x + 6 – 2,4x  tx = 6 + 0,6x  t = ĐK: t 6  x > 40. (nhận). So với điều kiện ta nhận 40 < x < 60 Nói tóm lại ta có 2 trường hợp như sau TH1 xảy ra khi vận tốc xe máy là 40 km/h ; vận tốc xe ô tô là 60 km/h TH2 xảy ra với vận tốc xe máy là a (km/h) với 40 < a < 60. Vận tốc xe ô tô là a + 20 (km/h). Bình luận: Chỉ thông qua 2 ví dụ trên đã cho thấy rằng thực chất có nhiều bài đòi hỏi lập phương trình rất khó với tư duy của học sinh lớp 8, do vậy trong các chương trình học và kiểm tra ở dạng lập phương trình chỉ nên đưa ra các dạng toán để học sinh hiểu được vấn đề cơ bản để giải.