Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án)

74 trang Đình Phong 11/10/2023 1973

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_17_de_thi_vao_lop_10_mon_toan_nghe_an_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án)

Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Nghệ An trường THPT chuyên phan bội châu Đề chính thức Môn thi : Toán (Vòng 1) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1(4,0 điểm). x 2 x 1 x 1 Cho biểu thức P = + . x x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P. 1 b) Chứng minh P BC. Điểm D di động trên cạnh AB, không trùng với A và B. Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau tại K. a) Chứng minh tứ giác ADCK là tứ giác nội tiếp. DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Tứ giác ABCK là hình gì? Tại sao? c) Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành. Hết Họ và tên thí sinh: Phòng thi: Số báo danh: DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Sở Giáo dục và Đào tạo Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Nghệ An trường THPT chuyên phan bội châu Hướng dẫn chấm và biểu điểm chấm môn toán (Vòng 1) Đề chính thức Câu Nội dung, kiến thức Điểm Câu I 4.0 a 3.0 Điều kiện: x 0 ; x 1. 0.5 x 2 x 1 x 1 0.5 P = + . x x 1 x x 1 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 1 0.5 = + . ( x)3 1 x x 1 x 1 x 2 ( x 1)( x 1) (x x 1) = 0.5 ( x 1)(x x 1) x x = 0.5 ( x 1)(x x 1) x = 0.5 x x 1 b 1.0 1 x 1 Với x 1 và x 0 ta có: P 3 x x x 1 (vì x x 1 > 0) 0.25 x - 2 x +1 > 0 0.25 ( x -1)2 > 0 đúng vì x 1 và x 0 0.25 Câu 2 4.0 a 2.0 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi / 0 0.5 (m - 1)2 - (m2 - 3) 0 0.5 4 - 2m 0 0.5 m 2 0.5 b 2.0 Với m 2 thì phương trinh (1) có 2 nghiệm. 0.25 Gọi một nghiệm của phương trình (1) là a thì nghiệm kia là 3a 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Theo định lý Vi-ét ta có: a 3a 2m 2 (2) 0.25 2 a.3a m 3 (3) m 1 0.25 Từ (2) ta có a = 2 2 m 1 0.25 Thay vào (3): 3. = m2 - 3 2 m2 + 6m - 15 = 0 0.25 m = - 3 2 6 (thoả mãn m 2) 0.5 Câu 3 4.0 a 2.0 Điều kiện: x 0 ; 2 - x2 > 0 x 0 ; x 2 0.25 Đặt y = 2 x 2 > 0 0.25 x 2 y 2 2 (1) 0.25 Ta có hệ: 1 1 2 (2) x y Từ (2) ta có x + y = 2xy 0.25 Thay vào (1): (x + y)2 - 2xy = 2 4(xy)2 - 2xy - 2 = 0 1 0.25 2(xy)2 - xy - 1 = 0 xy = 1 hoặc xy = - 2 * Nếu xy = 1 thì x + y = 2 khi đó x, y là nghiệm phương trình: X2 - 2X + 1 = 0 X = 1 => x = y = 1 (thoả mãn) 0.25 1 * Nếu xy = - thì x + y = -1 khi đó x, y là nghiệm phương trình: 2 1 1 3 X2 + X - = 0 X = 2 2 1 3 1 3 0.25 Vì y > 0 nên y = => x = (thoả mãn) 2 2 1 3 0.25 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 ; x = 2 b 2.0 Từ các điều kiện a + 2b - 4c + 2 = 0; 2a - b + 7c - 11 = 0 2a b 4c 2 0.25 Suy ra 2a b 11 7c => a = 4 - 2c ; b = 3c - 3 0.5 Vì a 0 ; b 0 nên: DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 2c 0 0.25 => 1 c 2 3c 3 0 Khi đó Q = 6(4 - 2c) + 7(3c - 3) + 2006c = 2015c + 3 0.25 Vì 1 c 2 nên 2018 Q 4033 0.25 Giá trị lớn nhất của Q là 4033 khi c = 2 ; a = 0 ; b = 3 0.25 Giá trị nhỏ nhất của Q là 2018 khi c = 1 ; a = 2 ; b = 0 0.25 Câu 4 8.0 a 3.0 A Vì tam giac ABC cân tại C nên: K 180 0 ACB 0.5 BAC = (1) D 2 x Theo tính chất của tiếp tuyến ta có tam giác O 1800 KDC 1.0 B C KDC cân tại K nên DKC = (2) 2 mà KDC = ABC (cùng chắn cung DC) (3) 0.5 từ (1), (2), (3) suy ra BAC = KDC 0.5 => tứ giác ADCK nội tiếp 0.5 b 3.0 Theo câu a) tứ giác ADCK nội tiếp nên CAK = CDK (4) 0.5 Ta có KDC = ABC (theo (3)) (5) 0.5 ABC = ACB (6) 0.5 Từ (4), (5), (6) => KAC = ACB 0.5 => AK  BC 0.5 => ABCK là hình thang 0.5 c 2.0 Theo câu b) ABCK là hình thang do đó ABCK là hình bình hành khi và chỉ khi AB  CK. 0.25 BAC = ACK (7) 0.25 Ta có KCD = KDC = ABC = ACB (theo trên) 0.25 => BCD + DCA = DCA + ACK => BCD = ACK 0.25 Do đó (7) BCD = BAC 0.25 Trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC, dựng tia Cy sao cho BCy = BAC. Gọi D là giao điểm của AB và Cy. 0.25 Với giả thiết AB > BC thì BCA = BAC = BCD => D thuộc đoạn thẳng AB. 0.25 Vậy điểm D xác định như trên là điểm cần tìm. 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 SỞ GD&ĐT NGHỆ ANKỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Đề chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút x 2 2 Câu I (3 điểm). Cho biểu thức A = . x 1 x 1 x 1 1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 3. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, với B = A(x – 1). Câu II (2 điểm). Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m. x2 – (m + 1)x + 2m – 2 = 0 (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1). Câu III (1,5 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi). Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC. 1. Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân. DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3. Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C). Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm này gồm 03 trang) Môn : TOÁN I. Hướng dẫn chung : 1) Nếu thì sinh làm bài đúng , không theo cách nêu trong đáp án thì cho điểm các phần tương ứng như trong đáp án. 2) Cho điểm đến 0,25 không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm : Câu Ý Nội dung Điểm x 0 Điều kiện xác định của biểu thức A là: 0,50 x 1 x x 1 2 x 1 2 A 0,50 x 1 x 1 1. (1,5đ) x x 0,25 x 1 x 1 x 0,25 I. x 1 (3,0đ) 9 Khi x = 9, ta có A = 0,50 0,75đ 9 1 = 0,25 B = x x 1 0,25 2 1 1 B x x x 0,25 0,75đ 2 4 B - x : 0 x ≠ 1 ; Đẳng thưc xẩy ra khi x = , thoả mãn . 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng - khi x = . II. 1. Khi m = 2, phương trình (1) trở thành x2 - 3x + 2 = 0 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (2,0đ) (1,00đ) = 1 ( Hoặc nhận thấy a + b + c = 0 ) 0,25 Nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 2 0,50 Vì x = -2 là nghiệm của phương trình (1) nên 0,50 2. (- 2)2 - (m + 1)(-2) + 2m - 2 =0 (*) (1,00đ) (*) 4m + 4 = 0 0,50 m = - 1 . Vậy m= -1 Gọi x là thời gian người thứ nhất một mình hoàn thành công việc . Gọi y là thời gian người thứ hai một mình hoàn thành công việc . 0,25 ( x > 0, y > 0, đơn vị của x,là giờ ) Người thứ nhất làm trong thời gian 1 gìờ được 1/x công việc . Người thứ hai làm trong thời gian 1 giờ được 1/y công việc . Vì hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong thời gian 1 1 2 4giờ 30 phút nên 0,25 x y 9 Vì nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ,sau đó một mình III. người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% 4 3 3 (1,5đ) công việc nên x y 4 1 1 2 1 1 x y 9 x 12 Từ đó ta có hệ 0,50 4 3 3 1 5 x y 4 y 36 x 12 36 (thoả mãn điều kiện ) y 5 0,25 Vậy người thứ nhất một mình làm xong công việc trong 12 giờ người thứ hai một mình làm xong công việc trong 7giờ 12 phút E C D 0,50 IV. 1. I (3,5đ) (1,5đ) A O H B Vì AB là đường kính nên ·ABD 90 , do đó I·DB 90 0,25 vì CH  AB nên I·HB 90 0,25 suy ra I·DB + I·HB 180 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn 0,25 · · 1 » EDA DBA sdAD 0,50 2. 2 (1,25đ) D· EI D· BA ( cùng bù D· IH ) 0,50 Do đó E· DI D· IE hay DEI là tam giác cân 0,25 E C D F I A O 3. H B (0,75đ) ( lưu ý : Không yêu cầu thí sinh vẽ hình này ) Do F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD nên 180 C· FI C· FI 0,25 I·CF 90 2 2 C· FI I·CD C· BA suy ra I·CF 90 C· BA H· CB 0,25 2 Vì D nằm trên cung BC nên tia CF trùng với tia CB cố định . Vậy 0,25 góc ABF có số đo không đổi Hết ĐỀ SỐ 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. ( 3 điểm). Cho biểu thức: A = ( + ): a) Nêu điều kiện xác đinh và rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A = c) TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x . Câu 2. ( 2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai: x2 - 2( m + 2)x + m2 + 7 = 0. (1), (m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = 1. b) Tìm m để ph (1) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1x2 - 2(x1 + x2 ) = 4 Câu 3. (1,5 điểm). Quảng đường AB dài 120km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của xe máy thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe máy thứ hai là 10km/h nên xe máy thứ nhất đến B trước xe máy thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu 4.( 3,5 điểm). Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đừơng tròn( B, C là hai tiếp điểm, D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC. a) CMR: ABOC là tứ giác nội tiếp b) CMR: AH.AO = AD. AE c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia AB tại P và cắt tia AC tại Q. d) CMR: IP + KQ PQ ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn MÔN TOÁN ( biểu điểm dự kiến) Câu 1. (3 điểm). a) ĐK: x > 0, x ≠ 1. 0.25 điểm Rút gọn: A = ( + ): A = . A = 0.75 điểm b) A = = x = tmđk Vậy với x = thì A = 1 điểm c) P = A - 9 x P = - 9 x P = 1 - - 9 x P = 1 - ( + 9 x ) Do + 9 x 2. 3 = 6 ( theo Cosi) Dấu “=” xảy ra khi x = tmđk Suy ra P 1 - 6 = -5 Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi x = 1 điểm Câu 2 ( 2 điểm). a) Khi m = 1 ta có phương trình: x2 - 6x + 8 = 0 ’ = 1 x1 = 2 ; x2 = 4 Vậy với m = 1 phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 2, x2 = 4. 1 điểm b) ’ = (m + 2) 2 - (m2 + 7) ’ = 4m - 3 . DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Để pt có hai nghiệm thì ’ 0 hay x 0.5 điểm 2 Với x , theo Vi - et ta có x1.x2 = m + 7 ; x1 + x2 = 2m + 4 2 x1.x2 - 2(x1 + x2 ) = 4 nên m + 7 - 2(2m + 4) = 4 m 2 - 4m - 5 = 0 m = -1 ( loại), m = 5 (tm) Vậy với m= 5 thì pt có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1x2 - 2(x1 + x2 ) = 4 0.5 điểm Câu 3. ( 2 điểm) Gọi vận tốc của xe máy thứ nhất là x (km/h), ĐK x > 10 0.25đ suy ra vận tốc của xe máy thứ hai là : x - 10 (km/h). Thời gian xe thứ nhất đi hết quảng đường AB là : (h). 0.25đ Thời gian xe thứ hai đi hết quảng đường AB là : (h). 0.25đ Do xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 1 giờ nên ta có pt - = 1, x2 - 10x - 1200 = 0. ’ = 1225, x1 = 40 (tm) ; x2 = -30 (loại) 1đ Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là : 40(km/h), Vận tốc của xe máy thứ hai là : 30 (km/h). 0.25đ Câu 4( 3.5 điểm) Hình vẽ : 0.5 điểm a) Ta có ABO = 900 ( do AB là tiếp tuyến của đt(O)) ACO = 900 ( do AC là tiếp tuyến của đt (O)). suy ra ABO + ACO = 1800 suy ra tứ giác ABOC nội tiếp 1 điểm DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) AB và AC là hai tiếp tuyến của đt(O) nên AB = AC và AO là tia phân giác của BAC . suy ra ABC cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao suy ra AH  BC tại H. + AB là tiếp tuyến của đt (O) nên AB  OB. ABO vuông tại B có BH  AO nên ta có AB2 = AH.AO (1) + Ta lại có ABD ∽ AEB P B I vì A chung, AEB = ABD ( E cùng chắn cung BD) D suy ra: = H suy ra AB.AB =AD.AE A O hay AB2 = AD.AE (2) K Từ ( 1) và (2) ta có AH.AO = AD.AE ( = AB2). 1điểm C Q c) Dễ dàng chứng minh được OP = OQ và APQ = AQ P Ta có IP + KQ 2 IP.KQ Côsi (3) IPO ∽ OQK (g - g). vì APQ = AQ P và PIO = QOK ( Ta có 2 BIO + 2 BOI = 1800; 2 BOI + 2 COK + BO P + COQ = 1800 suy ra 2 BIO + 2 BOI = 2 BOI + 2 COK + BO P + COQ 2 BIO = 2 COK + 2 COQ vì BO P = COQ 2 BIO = 2 ( COK + COQ ) = 2 KOQ BIO = KOQ hay PIO = COQ ) = IP . KQ = PO.OQ IP.KQ = PO2 vì PO = QO Thay vào (3) có IP + KQ 2PO = PQ ( vì PO = PQ) DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy IP + KQ PQ (đpcm) 1 điểm ĐỀ SỐ 4 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH NGHỆ AN Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức sau: a) A 12 2 5 3 60. 4x x2 6x 9 b) B . với 0 < x < 3. x 3 x Câu 2: (2,5 điểm) 1) Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; -1) và N(2; 1). 2) Cho phương trình: x2 2mx m2 m 3 0 (1), với m là tham số. a) Giải phương trình (1) với m = 4. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức: P x1x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3: (1,5 điểm) Tình cảm gia đình có sức mạnh phi trường. Bạn Vì Quyết Chiến - Cậu bé 13 tuổi qua thương nhớ em trai của mình đã vượt qua một quãng đường dài 180km từ Sơn La đến bệnh viện Nhi Trung ương Hà Nội để thăm em. Sau khi đi bằng xe đạp 7 giờ, bạn ấy được lên xe khách và đi tiếp 1 giờ 30 phút nữa thì đến nơi. Biết vận tốc của xe khách lớn hơn vận tốc của xe đạp là 35km/h. Tính vận tốc xe đạp của bạn Chiến. Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC). a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp. b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC. c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp ∆MHC là K. Chứng minh 3 điểm C, K, E thẳng hàng. DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5: (1,0 điểm) Giải phương trình: 5x2 27x 25 5 x 1 x2 4. DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN LÀM BÀI Câu 1: a) A 12 2 5 3 60 36 2 15 2 15 36 6 b) Với 0 < x < 3 thì x 3 3 x 2 4x x2 6x 9 2 x x 3 2 x x 3 2 x 3 x B . . . 2 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x x Câu 2: 1) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; -1) nên a b 1 đồ thị hàm số đi qua điểm N(2; 1) nên 2a b 1 a b 1 a 2 Yêu cầu bài toán 2a b 1 b 3 Vậy hàm số phải tìm là y = 2x - 3. 2) a) Với m = 4, phương trình (1) trở thành: x2 8x 15 0 . Có 1 0 Phương trình có hai nghệm phân biệt x1 3; x2 5; b) Ta có: ∆' = m 2 1. m2 m 3 m2 m2 m 3 m 3. Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 khi ∆' 0 m 3 0 m 3 x1 x2 2m Với m 3, theo định lí Vi-ét ta có: 2 x1.x2 m m 3 Theo bài ra: P x1x2 x1 x2 x1x2 (x1 x2 ) Áp đụng định lí Vi-ét ta được: P m2 m 3 2m m2 3m 3 m(m 3) 3 Vì m 3nên m(m 3) 0 , suy ra P 3. Dấu " = " xảy ra khi m = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi m = 3. Bài 3: Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ. Gọi vận tốc xe đạp của bạn Chiến là x (km/h, x 0 ) Vận tốc của ô tô là x 35(km/h) Quãng đường bạn Chiến đi bằng xe đạp là: 7x (km) Quãng đường bạn Chiến đi bằng ô tô là: 1,5(x 35) (km) Do tổng quãng đường bạn Chiến đi là 180km nên ta có C phương trình: 7x 1,5(x 35) 180 M H K 7x 1,5x 52,2 180 8,5x 127,5 x 15 (thỏa mãn) E Vậy bạn Chiến đi bằng xe đạp với vận tốc là 15 km/h. Bài 4: A B O DeThi.edu.vn N
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Ta có: M· OB 900 (do AB  MN) và M· HB 900 (do MH  BC) Suy ra: M· OB M· HB 900 900 1800 Tứ giác BOMH nội tiếp. b) ∆OMB vuông cân tại O nên O· BM O· MB (1) Tứ giác BOMH nội tiếp nên O· BM O· HM (cùng chắn cung OM) và O· MB O· HB (cùng chắn cung OB) (2) Từ (1) và (2) suy ra: O· HM O· HB ME MH HO là tia phân giác của M· HB (3) BE HB Áp dụng hệ thức lượng trong ∆BMC vuông tại M có MH là đường cao ta HM HC có: HM 2 HC.HB (4) HB HM ME HC Từ (3) và (4) suy ra: 5 ME.HM BE.HC (đpcm) BE HM c) Vì M· HC 900 (do MH  BC) nên đường tròn ngoại tiếp ∆MHC có đường kính là MC M· KC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MN là đường kính của đường tròn (O) nên M· KN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) M· KC M· KN 1800 3 điểm C, K, N thẳng hàng (*) HC MC ∆MHC ∽ ∆BMC (g.g) . Mà MB = BN (do ∆MBN cân tại B) MH BM HC MC ME HC , kết hợp với (theo (5) ) HM BN BE HM MC ME Suy ra: . Mà E· BN E· MC 900 ∆MCE ∽ ∆BNE (c.g.c) BN BE M· EC B· EN , mà M· EC B· EC 1800 (do 3 điểm M, E, B thẳng hàng) B· EC B· EN 1800 3 điểm C, E, N thẳng hàng ( ) Từ (*) và ( ) suy ra 4 điểm C, K, E, N thẳng hàng 3 điểm C, K, E thẳng hàng (đpcm) Câu 5: ĐKXĐ: x 2 Ta có: DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 5x2 27x 25 5 x 1 x2 4 5x2 27x 25 5 x 1 x2 4 5x2 27x 25 x2 4 25x 25 10 (x 1)(x2 4) 4x2 2x 4 10 x 1)(x2 4) 2x2 x 2 5 (x 1)(x2 4) (1) Cách 1: (1) x2 2x 4 4x2 13x 26 0 Giải ra được: 13 3 65 13 3 65 x 1 5 (loại); x 1 5 (nhận); x (nhận); x (loại) 8 8 Cách 2: (1) 5 x2 x 2 x 2 2 x2 x 2 3 x 2 (2) Đặt a x2 x 2; b x 2 (a 0; b 0) Lúc đó, phương trình (2) trở thành: 2 2 2 2 a b 5ab 2a 3b 2a 5ab 3b 0 a b 2a 3b 0 (*) 2a 3b x 1 5(ktm) - Với a = b thì x2 x 2 x 2 x2 2x 4 x 1 5(tm) 13 3 65 x (tm) 2 2 8 - Với 2a = 3b thì 2 x x 2 3 x 2 4x 13x 26 0 13 3 65 x (ktm) 8 13 3 65 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 1 5 và x . 8 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 SỞ GD&ĐT NGHỆ ANKỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN. Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) 2 1 1 Cho biểu thức P = : x 4 x 2 x 2 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P = 3 2 Câu 2: (1,5 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4m thì diện tích giảm 2 m2 . Tính diện tích của mảnh vườn. Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1 + 2(m+1)x2 3m2 + 16 Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đương tròn (O) tại D. a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. a 2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: + + a+b b+c c+a 2 Hết DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN LÀM BÀI: Câu 1: a) ĐKXĐ: x 0, x 4 2 1 1 Rút gọn: P = : x 4 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x P =  x 2 x 2 1 x 2 3 b) Với x 0, x 4 , P = 2 x 3 2 x 3 x 2 x 6 x 36 (thỏa mãn). x 2 2 Vậy với x = 36 thì P = Câu 2: Nửa chu vi của mảnh vườn là: 50m. - Gọi chiều rộng của mảnh vườn là: x (m), ĐK: 0 x1 = 2, x2 = 4 Vậy với m = 2 thì pt có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2, x2 = 4 b) Xét pt (1) ta có: ' = (m + 1)2 – (m2 + 4) = 2m – 3 3 phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 Khi ' 0 2m – 3 0 m 2 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x1 x2 2(m 1) Theo hệ thức Vi-et: 2 x1x2 m 4 2 2 2 2 Theo giả thiết: x1 + 2(m+1)x2 3m + 16 x1 + (x1 + x2)x2 3m + 16 2 2 2 x1 + x2 + x1x2 3m + 16 2 2 (x1 + x2) - x1x2 3m + 16 => 4(m + 1)2 – (m2 + 4) 3m2 + 16 8m 16 m 2 3 2 2 Vậy: m 2 thì pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2(m+1)x2 3m + 2 16 Câu 4: A a) B· EC = 900 v× BE AC; B· FC 900 v× CF AB Tứ giác BCEF có: B· EC B· FC 900 (gt) E  Tứ giác BCEF nội tiếp vì có đỉnh E và F cùng nhìn O F Cạnh BC dưới hai góc bằng nhau G H b) Ta có B· AD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đtròn) C => BD  AB mà CH  AB => BD // CH B M C/m tương tự: CD // BH => BHCD là hình bình hành D c) BHCD là hình bình hành , M là trung điểm của BC  M là trung điểm của HD Mặt khác O là trung điểm của AD suy ra G là trọng tâm của AHD. = Xét ABC có AM là đường trung tuyến, = Suy ra G là trọng tâm của ABC Câu 5: Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có: a2 a b a2 a b 2 . a a b 4 a b 4 b2 b c c2 c a Tương tự: b; c b +c 4 c +a 4 a 2 b2 c2 + + + + + a + b + c a + b b +c c +a DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a 2 b2 c2 + + + 1 a + b b +c c +a a 2 b2 c2 + + + 1 a + b b +c c +a a 2 b2 c2 + + (đpcm) a + b b +c c +a Hết DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Nghệ An Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) x x 1 x 1 Câu I: (3,0đ). Cho biểu thức A = x 1 x 1 1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4. 3. Tìm tất cả các giá trị của x để A A = 2 3 . 3 1 2 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x x x x 1 1 3. Với A 1 10 0 0 x 10 x 1 x 1 x 1 x 1 x >0 với mọi m => phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. m 3 x x 1 2 2 Theo Viét ta có: m x x 1 2 2 5 Mà x1 + x2 = x1x2 =>2(m+3) = 5m m = 2. 2 2 2 2 2 3. Ta có (x1 – x2) = (x1 + x2) - 4x1.x2 = (m + 3) :4 – 2m = (m - 2m + 9):4 = (m 1)2 8 2 x x 2 4 1 2 Vậy MinP = 2 m =1 Câu III: Gọi chiều dài của thửa ruộng là x(m) Chiều rộng của thửa ruộng là y(m) ( x>45, x>y) x y 45 => x Giải hệ ta được x = 60, y = 15 (thoả mãn) 3y x y 2 Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m2). Câu IV: a. Ta có tam giác AEF vuông tại A (Góc A là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mà AB là đường cao. => BE.BF = AB2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) => BE.BF = 4R2 ( Vì AB = 2R) F b. Ta có góc CEF = góc BAD (Cùng phụ với góc BAE) D Mà góc BAD = góc ADC ( Tam giác AOD cân) => Góc CEF = góc ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn. O c. Gọi trung điểm của EF là H. A B => IH // AB (*) Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến I 0 H của tam giác vuông AEF, góc A = 90 ) => góc HAC = C góc HEA (1) Mà góc HEA + góc BAC = 900 (2) Mặt khác góc BAC = góc ACO ( tam giác AOC cân tại O) (3) DeThi.edu.vn d E
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ (1), (2) và (3) => AH CD Nhưng OI CD => AH//OI ( ) Từ (*) và ( ) => AHIO là hình bình hành => IH = AO = R (không đổi). Nên I cách đường thẳng cố định EF một khoảng không đổi = R => I thuộc đường thẳng d // EF và cách EF một khoảng =R. DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH NGHỆ AN Câu 1. (2,0 điểm ) 7 7 a) Tính giá trị biểu thức : A 1 7 . 2 7 b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức : 1 1 x 1 P . 1 x 1 x x Câu 2. ( 2,5 điểm ) 2x y 4 a) Giải hệ phương trình : . 4x y 1 b) Giải phương trình : 2x2 5x 2 0 . c) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng và đường thẳng d : y 2x m 6 Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có các hoành độ dương. Câu 3. ( 1,5 điểm ) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 15 m. Nếu giảm chiều dài 2 m và tăng chiều rộng 3 m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 44 m2 .Tính diện tích mảnh vườn. Câu 4. ( 3,0 điểm ) Cho điểm M nằm bên ngoài đường tròn O; R . Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn đó ( A, B là các tiếp điểm ). Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn O; R tại C . Nối MC cắt đường tròn O; R tại D . Tia AD cắt MB tại E . a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh EM EB . c) Xác định vị trí của điểm M để BD  MA . DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. ( 1,0 điểm ) 2 2x Giải phương trình : x 1 . 1 x2 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH NGHỆ AN Câu 1. (2,0 điểm) 7 7 a) Tính giá trị biểu thức : A 1 7 . 2 7 b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức : 1 1 x 1 P . 1 x 1 x x Lời giải 7 7 7 1 7 a.(1,0 điểm). A 1 7 . 1 7 . 2 7 2 7 1 7 1 7 1 7 3 . 2 2 b. (1,0 điểm) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức: 1 1 x 1 P . 1 x 1 x x x 0 ĐKXĐ: x 1 1 1 x 1 1 x 1 x x 1 P . 1 x 1 x x 1 x 1 x x 2 x x 1 . 2. x 1 x Câu 2. ( 2,5 điểm ) DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2x y 4 a) Giải hệ phương trình : . 4x y 1 b) Giải phương trình : 2x2 5x 2 0 . c) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng và đường thẳng d : y 2x m 6 Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có các hoành độ dương. Lời giải 2x y 4 a.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình : . 4x y 1 1 2x y 4 6x 3 x 2 . 4x y 1 4x y 1 y 3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y ; 3 . 2 b. ( 0,75 điểm) Giải phương trình : 2x2 5x 2 0. 1 Ta có: 9 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 2 , x . 1 2 2 c. ( 0,75 điểm). Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng và đường thẳng d : y 2x m 6. Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có các hoành độ dương. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol P là: x2 2x m 6 . x2 2x m 6 0 * . Điều kiện để d cắt P tại hai điểm phân biệt là m 5 0 m 5. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình * , khi đó Để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương cần thêm x1 x2 2 0 điều kiện m 6 . x1 x2 m 6 0 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy điều kiện để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có các hoành độ đều dương là: 5 m 6 . Câu 3. ( 1,5 điểm ) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 15 m. Nếu giảm chiều dài 2 m và tăng chiều rộng 3 m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 44 m2 .Tính diện tích mảnh vườn. Lời giải Gọi x, y m lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn, điều kiện x 0, y 0 suy ra diện tích mảnh vườn là: xy m2 . Do chiều dài lớn hơn chiều rộng của mảnh vườn là 15 m nên ta có phương trình: x y 15 1 . Khi giảm chiều dài 2 m, tăng chiều rộng 3 m thì diện tích mảnh vườn tăng 44 m2 nên ta có phương trình : x 2 y 3 xy 44 3x 2y 50 2 . x y 15 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: . 3x 2y 50 Giải hệ phương trình ta được : x 20, y 5 ( TMĐK ). Vậy diện tích của mảnh vườn là: S xy 100 m2 . Câu 4. ( 3,0 điểm ) Cho điểm M nằm bên ngoài đường tròn O; R . Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn đó ( A, B là các tiếp điểm ). Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn O; R tại C . Nối MC cắt đường tròn O; R tại D . Tia AD cắt MB tại E . a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh EM EB. c) Xác định vị trí của điểm M để BD  MA . Lời giải DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Lưu ý: Hình vẽ chỉ cần vẽ đúng đến câu b là được 0,5 điểm. a. ( 1,0 điểm ) Xét tứ giác MAOB có M· AO M· BO 90 ( MA, MB là các tiếp tuyến của O ) . M· AO M· BO 90 . Suy ra MAOB là tứ giác nội tiếp. b. (1,0 điểm) Xét EBD và EAB có Eµ chung và E· BD E· AB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung B»D ) EBD : EAB g.g . EB ED EB2 EA.ED 1 . EA EB Xét EMD và EAM có Eµ chung. Mà AC P MB gt E· MD ·ACD (so le trong). Mặt khác E· AM ·ACD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung »AD ). E· AM E· MD EMD : EAM g.g . EM ED EM 2 EA.ED 2 . EA EM Từ 1 , 2 EM EB . DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn c. (0,5 điểm) Ta có ·ABD M· CA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung »AD ). Mà M· CA E· MD E· MD ·ABD . Ta có BD  MA B· AM ·ABD 900 E· MD M· BA 900 M· BA M· AB MC  AB . MC đi qua O và D là điểm chính giữa cung nhỏ »AB D· AC E· AB 900 . MAB đều MOB vuông tại B có O· MB 300 . OM 2OB 2R M O;2R . Câu 5. ( 1,0 điểm ) 2 2x Giải phương trình : x 1. 1 x2 Lời giải Ta có VP 1 0 VT 0 x 0 * . Phương trình đã cho tương đương với 1 x 1 x2 2 2x 1 . Từ * và 1 suy ra 0 x 1 . Do đó 1 1 x 2 1 x2 8x2 (vì 0 x 1). 2 2 1 x2 2x 1 x2 8x2 1 x2 x 9x2 x2 x 1 3x (vì 3x 0 và x2 x 1 0 ). x 2 3 tm . x 2 3 l Vậy phương trình có tập nghiệm S 2 3 . DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NGHỆ AN THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. a) So sánh 2 3 27 và 74 1 1 x 4 b) Chứng minh đẳng thức . 1 (với x 0;x 4 ) x 2 x 2 4 c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y 3x m đi qua điểm A(1;2) Câu 2. Cho phương trình x2 2x m 1 0(*) trong đó m là tham số a) Giải phương trình (*) khi m = - 2 b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x1 2x2 Câu 3. Nhân ngày sách Việt Nam, 120 học sinh khối 8 và 100 học sinh khối 9 cùng tham gia phong trào xây dựng “Tủ sách nhân ái”. Sau một thời gian phát động, tổng số sách cả hai khối đã quyên góp được là 540 quyển. Biết rằng mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 1 quyển. Hỏi mỗi khối đã quyên góp được bao nhiêu quyển sách (Mỗi học sinh cùng một khối quyên góp số lượng sách như nhau). Câu 4. Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A di động trên (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, đoạn thẳng KA cắt (O) tại điểm M. Chứng minh rằng: a) BCEF là tứ giác nội tiếp b) KM.KA = KE.KF c) Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x(2x 2y 1) y Câu 5. Giải hệ phương trình 2 2 y 2 1 x 2x 2(1 y) ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 TOÁN NGHỆ AN Cau1 a)2 3 27 2 3 3 3 5 3 25.3 75 b)Víi x 0;x 4 1 1 x 4 x 2 x 2 x 4 . . x 2 x 2 4 x 2 . x 2 4 4 x 4 . 1(®pcm) x 4 4 x 1 c)V× d :y 3x m ®i qua A(1;2) .thay vµo(d)ta cã y 2 2 3.1 m m 1 C©u2:a) khi m= - 2 th× pt (*)thµnh :x2 2x 3 0 ' ( 1)2 3 4 0 nª n ph¬ng tr×nh cã2 nghiÖm x 1 4 3 1 .VËyS 3;1 x2 1 4 1 b) pt (*) :x2 2x m 1 0 ' ( 1)2 (m 1) 2 m. §Ó pt (*)cã nghiÖm th× ' 0 2 m 0 m 2 x1 x2 2 Khi ®ã¸p dôngVi et,ta cã : x1x2 m 1 4 x1 3 x1 x2 2 2 KÕt hîp vs®Ò ta cãhÖ x x m 1 x 1 2 2 3 x 2x 1 2 4 2 m 1 x1x2 3 3 8 17 m 1 (tháa) 9 9 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u3:Gäi x(quyÓns¸ch)lµ sè s¸ch khèi8quyª n gãp(x ¥ *;x 540) Sè s¸ch khèi 9 :540 x 540 x Sè s¸ch1häcsinh khèi 9 : 100 x Sè s¸ch1häcsinh khèi8 : 120 540 x x Theo ®Ò ta cã ph¬ng tr×nh: 1 100 120 6(540 x) 5x 1 11x 3240 600 600 x 240(tháa) VËy khèi8gãp :240s¸ch,khèi 9 : 540 240 300cuèns¸ch Cau 4. A E M O C F H J B I K DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a)ta cã :BE,CF lµ 2®êngcao B· FC B· EC 900 BEFC cã2®Ønh F,E cïng nh×n BC díi1gãc900 BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp b)V× BMAC lµ tø gi¸c néi tiÕp K· MB A· CB. (gãc ngoµi t¹i1®Ønh b»nggãctrong®èi diÖn) XÐt MKB vµ CKA cã : Kµ chung;K· MB A· CB(cmt) MK KB MKB : CKA(g g) KM.KA KC.KB(1) CK KA V× EFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp K· BF F· EC XÐt KBF vµ KEC cã : CKF chung K· BF K· EC (cmt) KBF : KEC (g g) KB KF KB.KC KF.KE(2) KE KC Tõ (1)vµ (2) KM.KA KE.KF c)KÐo dµi MH c¾t ®êng trßn t¹i I KM KE Ta cã :KM.KA KE.KF (cmt) KF KA KM KE XÐt KME vµ KFA cã : ;Kµ chung KF KA KME : KFC (c.g.c) K· AF K· EM hayM· EF M· AF vµ 2gãc nµycïng nh×n MF MAEF lµ tø gi¸c néi tiÕp A;M;F;H;E cïng thuéc mét ®êng trßn L¹i cã :A· FH A· EH 900 AH ®êng kÝnh cña ®êng trßn ®i qua 5®iÓm A,M,F,E,H MÆt kh¸c AMH lµ gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn A· MH 900 hay A· MI 900 AI lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn(O) ABI 900 hay AB  BI BI / /CF hayBC / /CF Cmtt CI / /BE hayCI / /BH BHCI lµ h×nh b×nh hµnh BC  HI J nª n BC  MH J víi J lµ trung®iÓm BC Mµ BC cè ®Þnh nªn J cè ®Þnh VËy khi A thay®æi ta cãMH lu«n ®i qua trung®iÓm J cña BC cè ®Þnh DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. x(2x 2y 1) y (1) 2 2 y 2 1 x 2x 2 1 y (2) 1 §iÒu kiÖn:1 x 2x2 0 x 1 2x 1 0 1 x 2 Ta cã :(1) x(2x 2y 1) y 2x2 2xy x y 0 2x(x y) (x y) 0 1 x 2x 1 x y 0 2 x y 1 1 1 *)Víi x (2) y 2 1 2. 2(1 y)2 2 2 4 y 0 2 2y y 0 1 y 2 *)x y (2) x 2 1 x 2x2 2(1 x2 ) 2 1 x 2x2 4x2 2x2 x 1 1 4x2 2x2 x 1 2 1 x 2x2 1 0 4x2 2x2 x 1 2 1 x 2x2 .1 12 0 4x2 0 2x 0 x 0 2 x 0 2 1 x 2x2 1 0 1 x 2x2 1 2x x 0 1 1 1  VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm(x;y) ;0 ; ; ; 0;0  2 2 2  DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH NGHỆ AN Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức sau: a) A 12 2 5 3 60. 4x x2 6x 9 b) B . với 0 < x < 3. x 3 x Câu 2: (2,5 điểm) 1) Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; -1) và N(2; 1). 2) Cho phương trình: x2 2mx m2 m 3 0 (1), với m là tham số. a) Giải phương trình (1) với m = 4. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức: P x1x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3: (1,5 điểm) Tình cảm gia đình có sức mạnh phi trường. Bạn Vì Quyết Chiến - Cậu bé 13 tuổi qua thương nhớ em trai của mình đã vượt qua một quãng đường dài 180km từ Sơn La đến bệnh viện Nhi Trung ương Hà Nội để thăm em. Sau khi đi bằng xe đạp 7 giờ, bạn ấy được lên xe khách và đi tiếp 1 giờ 30 phút nữa thì đến nơi. Biết vận tốc của xe khách lớn hơn vận tốc của xe đạp là 35km/h. Tính vận tốc xe đạp của bạn Chiến. Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC). a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp. b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC. c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp ∆MHC là K. Chứng minh 3 điểm C, K, E thẳng hàng. Câu 5: (1,0 điểm) Giải phương trình: 5x 2 27x 25 5 x 1 x 2 4. HƯỚNG DẪN LÀM BÀI Câu 1: a) A 12 2 5 3 60 36 2 15 2 15 36 6 b) Với 0 < x < 3 thì x 3 3 x DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 4x x2 6x 9 2 x x 3 2 x x 3 2 x 3 x B . . . 2 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x x Câu 2: 1) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; -1) nên a b 1 đồ thị hàm số đi qua điểm N(2; 1) nên 2a b 1 a b 1 a 2 Yêu cầu bài toán 2a b 1 b 3 Vậy hàm số phải tìm là y = 2x - 3. 2) a) Với m = 4, phương trình (1) trở thành: x2 8x 15 0 . Có 1 0 Phương trình có hai nghệm phân biệt x1 3; x2 5; b) Ta có: ∆' = m 2 1. m2 m 3 m2 m2 m 3 m 3. Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 khi ∆' 0 m 3 0 m 3 x1 x2 2m Với m 3, theo định lí Vi-ét ta có: 2 x1.x2 m m 3 Theo bài ra: P x1x2 x1 x2 x1x2 (x1 x2 ) Áp đụng định lí Vi-ét ta được: P m2 m 3 2m m2 3m 3 m(m 3) 3 Vì m 3nên m(m 3) 0 , suy ra P 3. Dấu " = " xảy ra khi m = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi m = 3. Bài 3: Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ. Gọi vận tốc xe đạp của bạn Chiến là x (km/h, x 0 ) Vận tốc của ô tô là x 35(km/h) Quãng đường bạn Chiến đi bằng xe đạp là: 7x (km) Quãng đường bạn Chiến đi bằng ô tô là: 1,5(x 35) (km) Do tổng quãng đường bạn Chiến đi là 180km nên ta có phương trình: 7x 1,5(x 35) 180 7x 1,5x 52,2 180 8,5x 127,5 x 15 (thỏa mãn) Vậy bạn Chiến đi bằng xe đạp với vận tốc là 15 km/h. Bài 4: C a) Ta có: M· OB 900 (do AB  MN) và M· HB 900 (do MH  BC) 0 0 0 M H Suy ra: M· OB M· HB 90 90 180 K Tứ giác BOMH nội tiếp. E b) ∆OMB vuông cân tại O nên O· BM O· MB (1) A B O DeThi.edu.vn N
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tứ giác BOMH nội tiếp nên O· BM O· HM (cùng chắn cung OM) và O· MB O· HB (cùng chắn cung OB) (2) Từ (1) và (2) suy ra: O· HM O· HB ME MH HO là tia phân giác của M· HB (3) BE HB Áp dụng hệ thức lượng trong ∆BMC vuông tại M có MH là đường cao ta HM HC có: HM 2 HC.HB (4) HB HM ME HC Từ (3) và (4) suy ra: 5 ME.HM BE.HC (đpcm) BE HM c) Vì M· HC 900 (do MH  BC) nên đường tròn ngoại tiếp ∆MHC có đường kính là MC M· KC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MN là đường kính của đường tròn (O) nên M· KN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) M· KC M· KN 1800 3 điểm C, K, N thẳng hàng (*) HC MC ∆MHC ∽ ∆BMC (g.g) . Mà MB = BN (do ∆MBN cân tại B) MH BM HC MC ME HC , kết hợp với (theo (5) ) HM BN BE HM MC ME Suy ra: . Mà E· BN E· MC 900 ∆MCE ∽ ∆BNE (c.g.c) BN BE M· EC B· EN , mà M· EC B· EC 1800 (do 3 điểm M, E, B thẳng hàng) B· EC B· EN 1800 3 điểm C, E, N thẳng hàng ( ) Từ (*) và ( ) suy ra 4 điểm C, K, E, N thẳng hàng 3 điểm C, K, E thẳng hàng (đpcm) Câu 5: ĐKXĐ: x 2 Ta có: 5x2 27x 25 5 x 1 x2 4 5x2 27x 25 5 x 1 x2 4 5x2 27x 25 x2 4 25x 25 10 (x 1)(x2 4) 4x2 2x 4 10 x 1)(x2 4) 2x2 x 2 5 (x 1)(x2 4) (1) Cách 1: DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (1) x2 2x 4 4x2 13x 26 0 Giải ra được: 13 3 65 13 3 65 x 1 5 (loại); x 1 5 (nhận); x (nhận); x (loại) 8 8 Cách 2: (1) 5 x2 x 2 x 2 2 x2 x 2 3 x 2 (2) Đặt a x2 x 2; b x 2 (a 0; b 0) Lúc đó, phương trình (2) trở thành: 2 2 2 2 a b 5ab 2a 3b 2a 5ab 3b 0 a b 2a 3b 0 (*) 2a 3b x 1 5(ktm) - Với a = b thì x2 x 2 x 2 x2 2x 4 x 1 5(tm) 13 3 65 x (tm) 2 2 8 - Với 2a = 3b thì 2 x x 2 3 x 2 4x 13x 26 0 13 3 65 x (ktm) 8 13 3 65 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 1 5 và x . 8 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 x 2 2 Câu I (3 điểm). Cho biểu thức A = . x 1 x 1 x 1 4. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 5. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 6. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, với B = A(x – 1). Câu II (2 điểm). Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m. x2 – (m + 1)x + 2m – 2 = 0 (1) 3. Giải phương trình (1) khi m = 2. 4. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1). Câu III (1,5 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi). Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC. 4. Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn. 5. Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân. 6. Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C). Hết DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm này gồm 03 trang) Môn : TOÁN I. Hướng dẫn chung : 3) Nếu thì sinh làm bài đúng , không theo cách nêu trong đáp án thì cho điểm các phần tương ứng như trong đáp án. 4) Cho điểm đến 0,25 không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm : Câu Ý Nội dung Điểm x 0 Điều kiện xác định của biểu thức A là: 0,50 x 1 x x 1 2 x 1 2 A 0,50 x 1 x 1 1. (1,5đ) x x 0,25 x 1 x 1 x 0,25 I. x 1 (3,0đ) 9 Khi x = 9, ta có A = 0,50 0,75đ 9 1 = 0,25 B = x x 1 0,25 2 1 1 B x x x 0,25 0,75đ 2 4 B - x : 0 x ≠ 1 ; Đẳng thưc xẩy ra khi x = , thoả mãn . 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng - khi x = . Khi m = 2, phương trình (1) trở thành x2 - 3x + 2 = 0 0,25 1. = 1 ( Hoặc nhận thấy a + b + c = 0 ) 0,25 (1,00đ) Nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 2 0,50 II. Vì x = -2 là nghiệm của phương trình (1) nên (2,0đ) 0,50 2. (- 2)2 - (m + 1)(-2) + 2m - 2 =0 (*) (1,00đ) (*) 4m + 4 = 0 0,50 m = - 1 . Vậy m= -1 III. Gọi x là thời gian người thứ nhất một mình hoàn thành công việc . 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (1,5đ) Gọi y là thời gian người thứ hai một mình hoàn thành công việc . ( x > 0, y > 0, đơn vị của x,là giờ ) Người thứ nhất làm trong thời gian 1 gìờ được 1/x công việc . Người thứ hai làm trong thời gian 1 giờ được 1/y công việc . Vì hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong thời gian 4giờ 1 1 2 30 phút nên 0,25 x y 9 Vì nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ,sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công 4 3 3 việc nên x y 4 1 1 2 1 1 x y 9 x 12 Từ đó ta có hệ 0,50 4 3 3 1 5 x y 4 y 36 x 12 36 (thoả mãn điều kiện ) y 5 0,25 Vậy người thứ nhất một mình làm xong công việc trong 12 giờ người thứ hai một mình làm xong công việc trong 7giờ 12 phút E C D 0,50 1. I (1,5đ) A O B IV. H (3,5đ) Vì AB là đường kính nên ·ABD 90 , do đó I·DB 90 0,25 vì CH  AB nên I·HB 90 0,25 suy ra I·DB+ I·HB 180 0,25 Vậy tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn 0,25 · · 1 » EDA DBA sdAD 0,50 2. 2 (1,25đ) D· EI D· BA ( cùng bù D· IH ) 0,50 Do đó E· DI D· IE hay DEI là tam giác cân 0,25 E C 3. D (0,75đ) F DeThi.edu.vnI A O H B
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ( lưu ý : Không yêu cầu thí sinh vẽ hình này ) Do F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD nên 180 C· FI C· FI 0,25 I·CF 90 2 2 C· FI I·CD C· BA suy ra I·CF 90 C· BA H· CB 0,25 2 Vì D nằm trên cung BC nên tia CF trùng với tia CB cố định . Vậy góc 0,25 ABF có số đo không đổi Hết DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 Së GD&§T NghÖ An K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt chuyªn phan béi ch©u §Ò thi chÝnh thøc M«n thi: to¸n Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò Bµi 1: (3.5 ®iÓm) a. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x 2 3 7 x 3 b. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 8 2 3x y3 6 x3 2 y Bµi 2: (1.0 ®iÓm) T×m sè thùc a ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nguyªn x2 ax a 2 0 . Bµi 3: (2.0 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng ph©n gi¸c trong BE (E thuéc AC). §êng trßn ®êng kÝnh AB c¾t BE, BC lÇn lît t¹i M, N (kh¸c B). §êng th¼ng AM c¾t BC t¹i K. Chøng minh: AE.AN = AM.AK. Bµi 4: (1.5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän, trung tuyÕn AO cã ®é dµi b»ng ®é dµi c¹nh BC. §êng trßn ®êng kÝnh BC c¾t c¸c c¹nh AB, AC thø tù t¹i M, N (M kh¸c B, N kh¸c C). §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN vµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC c¾t ®êng th¼ng AO lÇn lît t¹i I vµ K. Chøng minh tø gi¸c BOIM néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn vµ tø gi¸c BICK lµ h×nh b×nh hµnh. Bµi 5: (2.0 ®iÓm) a. Bªn trong ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh 1 cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng ®iÓm O n»m trong hoÆc n»m trªn c¹nh cña tam gi¸c ABC. b. Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng thay ®æi tháa m·n: a b c 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ab bc ca P a2 b2 c2 a2b b2c c2a DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh SBD * ThÝ sinh kh«ng ®îc sö dông tµi liÖu. * Gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Së GD&§T NghÖ An K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt chuyªn phan béi ch©u §Ò thi chÝnh thøc M«n thi: To¸n Híng dÉn chÊm thi B¶n híng dÉn chÊm gåm 03 trang Néi dung ®¸p ¸n §iÓm Bµi 1 3,5 ® a 2,0® 3 x 2 3 7 x 3 x 2 7 x 33 x 2.3 7 x 3 x 2 3 7 x 27 0.50® 9 9.3 (x 2)(7 x) 27 0.25® 3 (x 2)(7 x) 2 0.25® (x 2)(7 x) 8 0.25® x2 5x 6 0 0.25® x 1 ( tháa m·n ) 0.50® x 6 b 1,50® 2 §Æt z 0.25® y 2 3x z3 HÖ ®· cho trë thµnh 3 0.25® 2 3z x 3 x z z3 x3 0,25® x z x2 xz z2 3 0 0,25® x z (v× x2 xz z2 3 0, x, z ). 0,25® 3 x 1 Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh: x 3x 2 0 x 2 0,25® VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm: (x, y) ( 1; 2), 2,1 Bµi 2: 1,0 ® DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: 0 a2 4a 8 0 (*). 0,25® Gäi x1, x2 lµ 2 nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®· cho ( gi¶ sö x1 ≥ x2). x1 x2 a 0,25® Theo ®Þnh lý Viet: x1.x2 x1 x2 2 x1.x2 a 2 (x1 1)(x2 1) 3 x1 1 3 x1 1 1 hoÆc (do x1 - 1 ≥ x2 -1) x2 1 1 x2 1 3 x1 4 x1 0 hoÆc 0,25® x2 2 x2 2 Suy ra a = 6 hoÆc a = -2 (tháa m·n (*) ) Thö l¹i ta thÊy a = 6, a = -2 tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n. 0,25® Bµi 3: 2,0 ® V× BE lµ ph©n gi¸c gãc ·ABC nªn ·ABM M· BC ¼AM M¼N 0,25® M· AE M· AN (1) 0,50® V× M, N thuéc ®êng trßn ®êng A 0,25® kÝnh AB nªn ·AMB ·ANB 900 · · 0 E ANK AME 90 , kÕt hîp víi (1) ta cã tam gi¸c AME ®ång 0,50® M d¹ng víi tam gi¸c ANK AN AK C 0,25® B N K AM AE AN.AE = AM.AK (®pcm) 0,25® Bµi 4: 1,5 ® V× tø gi¸c AMIN néi tiÕp nªn ·ANM ·AIM A V× tø gi¸c BMNC néi tiÕp nªn ·ANM ·ABC 0,25® ·AIM ·ABC .Suy ra tø gi¸c BOIM néi tiÕp Tõ chøng minh trªn suy ra tam gi¸c AMI ®ång d¹ng víi tam gi¸c AOB E N AM AI 0,25® M AI.AO AM.AB (1) AO AB I Gäi E, F lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AO B O C víi (O) (E n»m gi÷a A, O). Chøng minh t¬ng tù (1) ta ®îc: K 0,25® AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (víi BC = 2R) F = AO2 - R2 = 3R2 3R2 3R2 3R R AI.AO = 3R2 AI OI (2) 0,25® AO 2R 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tam gi¸c AOB vµ tam gi¸c COK ®ång d¹ng nªn OA.OK = OB.OC = R2 R2 R2 R 0,25® OK (3) OA 2R 2 Tõ (2), (3) suy ra OI = OK Suy ra O lµ trung ®iÓm IK, mµ O lµ trung ®iÓm cña BC 0,25® V× vËy BICK lµ h×nh b×nh hµnh Bµi 5: 2,0 ® a, 1,0 ® A Gi¶ sö O n»m ngoµi miÒn tam gi¸c ABC. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö A vµ O 0,25® K n»m vÒ 2 phÝa cña ®êng th¼ng BC B C Suy ra ®o¹n AO c¾t ®êng th¼ng BC t¹i K. H 0,25® O KÎ AH vu«ng gãc víi BC t¹i H. Suy ra AH AK 0 ab bc ca Suy ra P a2 b2 c2 a2 b2 c2 0,25® 9 (a2 b2 c2 ) P a2 b2 c2 2(a2 b2 c2 ) §Æt t = a2 + b2 + c2, ta chøng minh ®îc t 3. 9 t t 9 t 1 3 1 Suy ra P t 3 4 P 4 2t 2 2t 2 2 2 2 0,25® DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 4 NÕu thÝ sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng cña mçi c©u th× vÉn cho tèi ®a ®iÓm cña c©u ®ã DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Đề thi chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (7,0 điểm). a) Giải phương trình: ( x 1 1)(5 x) 2x. x2 2xy x 2y 3 0 b) Giải hệ phương trình: 2 2 y x 2xy 2x 2 0. Câu 2 (3,0 điểm). Tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn 2x 1 y2. Câu 3 (2,0 điểm). 1 1 1 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1. Chứng minh rằng: x y z x yz y zx z xy xyz x y z. Câu 4 (6,0 điểm). Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và D· AB 600. Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ hai N. a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng. b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC. Câu 5 (2,0 điểm). Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 1: Chữ ký của Giám thị 2: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm này gồm có 3 trang) Câu 1 7,0 điểm ĐK : x 1 0 x 1. 0,25 Với x 0 không là nghiệm của phương trình 0,5 Với x 0, nhân 2 vế với x 1 1 0 ta được 0,5 x 5 x 2x x 1 1 a) 2 x 1 7 x 0,5 7 x 0 0,5 2 4 x 1 7 x x 7 0,5 2 x 18x 45 0 4,0 điểm x 7 x 3 0,5 x 15 x 3 (thoả mãn các điều kiện). 0,5 Vậy phương trình có nghiệm x 3. 0,25 2 2 b) x 2xy x 2y 3 0 (1) 2x 4xy 2x 4y 6 0 0,5 2 2 2 2 y x 2xy 2x 2 0 (2) y x 2xy 2x 2 0 x2 y2 2xy 4x 4y 4 0 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x y 2 2 0 0,5 y x 2 . Thay vào pt (1) ta được 0,5 5 21 3,0 điểm x2 5x 1 0 x 0,5 2 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là 0,5 5 21 1 21 5 21 1 21 ; , ; . 2 2 2 2 Câu 2 3,0 điểm 2x 1 y2 2x y2 1 2x y 1 y 1 . 0,5 Đặt y 1 2m , y 1 2n (m,n ¥ ; m n). 0,5 Khi đó 2m 2n y 1 y 1 2 0,5 2n 2m n 1 2 0,5 n 2 2 n 1; m 2 ; thoả mãn đk m,n ¥ ;m n 0,5 m n 2 1 1 Vậy x 3; y 3. 0,5 Câu 3 2,0 điểm Bất đẳng thức đã cho tương đương với a bc b ca c ab 1 ab bc ca, 0,5 1 1 1 với a , b , c , a b c 1. x y z Ta có: a bc a(a b c) bc 0,75 a2 a(b c) bc a2 2a bc bc a bc. Tương tự: b ca b ca; c ab c ab. 0,25 Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x y z 3. 0,5 Câu 4 6,0 điểm DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn E D F H A B O C M N a) Ta có :A· CH A· BD (so le trong) (1) 0,5 4,0 điểm mà A· ND A· BD (góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2) 0,5 từ (1) và (2) suy ra A· ND A· CH hay A· NF A· CF 0,5 suy ra tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn 0,5 AFCN nội tiếp đường tròn C· NF C· AF hay C· ND B· AE (3) 0,5 Mặt khác B· AE D· AE D· NE (4) 0,5 từ (3) và (4) suy ra C· ND E· ND 0,5 N, C, E thẳng hàng 0,5 Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN tại M 0,25 Ta có D· AB A· CM (so le trong) 0,25 b) Mà D· AB D· NB (góc nội tiếp cùng chắn một cung) 0,25 A· CM D· NB tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn 0,25 C· BM E· ND; C· MB E· NB (vì N, C, E thẳng hàng) 0,25 2,0 điểm mặt khác E· ND E· NB C· BM C· MB 0,25 CB = CM . lại có CB = AD (gt) AD = CM 0,25 AD = CM, AD//CM suy ra ADCM là hình bình hành đpcm 0,25 Câu 5 2,0 điểm Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a, b, c, d (a, b, c, d ¥ * ). Giả sử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Không mất tính 0,5 tổng quát, giả sử a > b > c > d. (*) DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do tứ giác lồi nên a b > c n > m > 3 n 5, m 4 0,25 Cộng (1), (2), (3) được 3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc 3a +4b + 5c 0,25 (b – d) + 2(c – d) 0 , mâu thuẫn (*) Tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau. (Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN ĐỀ THI CHÍNH THỀC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (2,5 điểm) a) Tính A = 64 16 2 36 . b) Xác định các hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b, biết đường thẳng này đi qua điểm M(1;9) và song song với đường thẳng y = 3x. 1 2 x x c) Rút gọn biểu thức P = . với x 0, x 1. x 1 x 1 x Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x2 – 5x + 2 = 0. 2 b) Cho phương trình x – 12x +4 = 0 có hai nghiệm dương x 1, x2. Không x 2 x 2 giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức T 1 2 . x1 x2 Câu 3. (1,5 điểm). Vào tháng 5 năm 2021, chỉ sau 26 giờ phát hành sản phẩm âm nhạc MV “Trốn tìm” của rapper Đen Vâu đã chính thức dành tốp 1 trending của YouTube Việt Nam. Giả sử trong tất cả những người đã xem MV, có 60% số người đã xem 2 lượt và những người còn lại mới chỉ xem 1 lượt. Hỏi đến thời điểm nói trên có bao nhiêu người đã xem MV, biết rằng tổng số lượt xem là 6,4 triệu lượt? Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, các đường caoAD, BE và CF (D BC, E AC và F AB) cắt nhau tại H. a) Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp. b) Gọi N là giáo điểm của CF và DE. Chứng minh DN.EF = HF.CN c) Gọi M là trung điểm của BC, tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng OM tại P. Chứng minh O· AM D· AP . x 3y 2 xy 4 x y Câu 5. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y x 1 y xy x2 x 4 R) DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn . Hết LỜI GIẢI SƠ LƯỢC Câu 1. (2,5 điểm) a) Tính A = 64 16 2 36 = 8 + 4 – 2.6 = 12 – 12 = 0 b) Đường thẳng y = ax + b đi qua M(1;9) và song song với đường thẳng y = 3x, nên ta thay x = 1, y = 9 và a = 3 vào ta có: 9 = 3.1 + b, tìm được b = 6. Vậy a = 3 và b = 6 thì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(1;9) và song song với đường thẳng y = 3x. 1 2 x x 1 x 2 x x x 1 1 x c) Với x 0, x 1, ta có P . . x 1 x 1 x x x 1 1 x 1 x = 1 Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x2 – 5x + 2 = 0. C1: Phân tích vế trái thành nhân tử rồi giải phương trình tích C2: Ta có = b2 – 4ac = 52 – 4.2.2 = 9 > 0 3 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b2 5 3 b2 5 3 1 x1 2 ; x2 2a 4 2a 4 2 1  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm T 2;  2 b) Vì phương trình x2 – 12x +4 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt, nên theo định b x1 x2 a x1 x2 12 lý Viet, ta có: c x .x 4 x .x 1 2 1 2 a 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 = 12 2.4 136 2 x1 x2 x1 x2 2 x1x2 = 12 + 4 = 16 x1 x2 = 4 x 2 x 2 136 T 1 2 34 x1 x2 4 Câu 3. (1,5 điểm) Gọi số người xem MV là x (triệu người), (x N*) Số người đã xem 2 lượt là 60%x = 0,6x (người) và số người xem 1 lượt là 40%x = 0,4x (người). DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vì tổng số lượt xem là 6,4 triệu, nên ta có phương trình: 2.0,6x + 0,4x = 6,4 1,6x = 6,4 x = 4 (thoả mãn điều kiện) Vậy có 4 triệu người xem MV. Câu 4. (3,0 điểm) a) Xét tứ giác BCEF, có: A B· FC 900 nên F nằm trên đường tròn đường kính AC E B· EC 900 nên E nằm trên đường tròn đường kính AC F H N O BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC. B C b) Xét tứ giác HECD, có: D M H· EC 900 (vì BE là đường cao) H· DC 900 (vì AD là đường cao) Ta có: H· EC H· DC 900 900 1800 nên HECD là tứ giác nội tiếp đường tròn H· ED H· CD Từ tứ giác BCEF nội tiếp (câu a) F· EB F· CD (cùng chắn cung B»F ) (2) Từ (1) và (2) suy ra F· EB B· ED Xét FEN có EH là tia phân giác góc E, ta có: HF HN (t/c đường phân giác) (3) EF NE (cùng chắn cung H¼D ) (1) Xét HNE và DNC, ta có: P H· NE D· NC  HN DN  HEN : DCN g g (4) · · HEN DCN  NE CN HF DN Từ (3) và (4) suy ra: HF.CN DN.EF (đfcm). EF CN c) Vì BP là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) nên OBP vuông tại B. Lại có M là trung điểm của BC nên OP  BC OBP vuông có đường cao OM theo hệ thức lượng ta có: OB2 OM.OP OM OA OA OB suy ra OA2 OM.OP . OA OP OM OA Xét OAM và OPA có ·AOM chung và OA OP suy ra OAM : OPA c g c O· AM O· PA 5 Vì AD / /OP  BC O· PA D· AP (so le trong) (6) DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ (5) và (6) suy ra O· AM D· AP (đfcm). DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TẠO NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) A. Trắc nghiệm Em hãy chọn phương án trả lời đúng : 1) Đồ thị hàm số y= 3x – 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ là : A. 2 B. –2 C. 3 D . 2/3 x y 1 2) Hệ phương trình có nghiệm là : x y 3 A. (2;1) B. (3;2) C. (0;1) ; D . (1;2) 3) Sin 300 bằng : 1 3 2 1 A. B. C. D. 2 2 2 3 4) Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O;R). Biết góc MNP bằng 700 thì góc MQP có số đo là: A.1300 ; B. 1200 ; C. 1100 ; D. 1000. B. TỰ LUẬN x 1 1 Câu 1 (3 điểm). Cho biểu thức A : x 1 x x x 1 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0 . c) Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình A x m x có nghiệm. Câu 2 (2 điểm). Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B . Xe máy thứ nhất có vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai 1h. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe máy, biết rằng quãng đường AB dài 120 km Câu 3 (3 điểm) Cho nữa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm H nằm giữa hai điểm A và B (Hkhông trùng với O ). Đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nữa đường tròn trên tại điểm C. Gọi D và E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AC và BC. a) Tứ giác HDCE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ADEB là tứ giác nôi tiếp. DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn c) Gọi K là tâm đương tròn ngoại tiêp tư giác ADEB . Chưng minh DE = 2KO. Hướng dẫn chấm đề chính thức Môn: Toán (Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang) PHẦN I: Trắc nghiệm (2 điểm) Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm 1. B; 2. A; 3. A; 4. C; PHẦN II. Tự luận (8 điểm). Thang Câu ý Nội dung điểm x 0 0.25 Điều kiện xác định: x 1 0.25 x 1 1 A = : 0.25 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 =  a (1,5 điểm) 0.5 x x 1 1 = x 1 x 0.25 x 1 Với x > 0, x 1; A 0, x 1 thì A x = m - x trở thành x 1  x m x x x x m 1 0 (1) 0.25 Đặt x = t, vì x > 0, x 1 nên t > 0, t 1. Phương trình (1) qui về t2 + t - m - 1 = 0 (2) c (0.75 điểm) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm dương khác 1. 0.25 b Nhận thấy 1 0 a DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1 m 1 0 1 1 m 1 0 m 1 0.25 m 1 Kết luận: m > -1 và m 1. Gọi vận tốc trung bình của xe máy thứ hai là x (km/h), x > 0. Suy ra vận tốc trung bình của xe máy thứ nhất là x + 10 0.25 (km/h) Thời gian xe máy thứ hai đi hết quãng đường AB là 120 x 0.25 (h) Thời gian xe máy thứ nhất đi hết quãng đường AB là 120 (h) 0.25 x 10 120 120 Theo bài ra ta có phương trình: - = 1 (1) 0.5 2 (2 điểm) x x 10 (1) x2 + 10 x - 1200 = 0 (x > 0.25 0) x 40 (Lo¹i) 0.25 x 30 (TM§K) Vậy vận tốc trung bình của xe máy thứ nhất là 40 km/h 0.25 vận tốc trung bình của xe máy thứ hai là 30 km/h C E I D 0.25 B A H O Vẽ hình đúng K Tứ giác HDCE là hình chữ nhật 0.5 · · 0 0.25 a Vì HDC = HEC = 90 (theo giả thiết) (1 3 (3 điểm) điểm) D· CE = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) 0.25 Gọi I là giao điểm của CH và DE 0.25 Theo câu a, HDCE là hình chữ nhật suy ra: I·CE I·EC Mặt khác I·CE Aµ (vì cùng phụ với Bµ ) I·EC Aµ 0.25 Mà I·EC D· EB 1800 (kề bù) 0.25 b (1 điểm) Aµ D· EB 1800 ADEB là tứ giác nội tiếp () 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB 0.25 OK là trung trực của AB, IK là trung trực DE. Ta có OBC cân tại O (OB = OC = bán kính) Bµ O· CB Mà Aµ I·EC (chứng minh trên) 0.25 O· CB I·EC Aµ Bµ 900 CO  DE CO // IK (cùng vuông góc với DE) Từ giả thiết CI  AB CI // OK (vì cùng vuông góc với c (0.75 điểm) AB). Từ đó OKIC là hình bình hành, suy ra CI = KO CH = 0.25 2KO. Mặt khác CH = DE ( đường chéo hình chữ nhật), nên DE = 2KO (). Lưu ý: Thí sinh giải bằng cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TẠO NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) x x 1 x 1 Bài 1. (3 điểm) Cho biểu thức: A x 1 x 1 a. Tìm điều kiện và rút gọn A 9 b. Tính A khi x = . 4 c. Tìm x để A < 1. Bài 2. (2,5 điểm) Cho pt : 2x2 – (m+3)x + m = 0 a. Giải phương trình khi m = 2. 5 b.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa mản x x x x . 1 2 2 1 2 c. Tìm giá trị nhỏ nhất của B x1 x2 với x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình. Bài 3. (1,5 điểm) Cho mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Nếu giảm chiều dài 2 lần tăng chiều rộng lên 3 lần thì chu vi không đổi. Tính diện tích mảnh đất Bài 4. (3 điểm) Cho (O;R) . Đường kính AB cố định , Đường kính CD thay đổi khác AB. Tiếp tuyến của đường tròn tại B cát đường thẳng AC,AD lần lượt tại E ; F. Chứng minh rằng : a. BE.BF = 4R2 b. Tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn. c. Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD thuộc đường thẳng cố định. DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TẠO NGHỆ AN Hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: toán Câu ý Nội dung Điểm x 0 Điều kiện xác định của biểu thức A là 0,25 x 1 x x 1 (x 1)( x 1) A 0,25 1) x 1 (1,0 x x 1 x x x x 1 x x điểm) 0,25 x 1 x 1 x( x 1) x 0,25 ( x 1)( x 1) x 1 9 9 4 Khi x , ta có A 0,25 4 9 1 4 I 3 (3,0 2) điểm) 2 0,25 (1,0 3 1 điểm) 2 3 2 0,25 1 2 3. Vậy A = 3. 0,25 x Trong điều kiện xác định thì A < 1 trở thành 1 (*). 0,25 x 1 3) x x x 1 1 (1,0 (*) 1 0 0 0 0,25 điểm) x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1 0,25 Kết hợp với điều kiện ta có kết quả là 0 x 1 0,25 II 1) Khi m = 2, phương trình trở thành 2x2 - 5x + 2 = 0 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (2,5 (1,0 25 16 9 0,25 điểm) điểm) 5 9 1 Phương trình có hai nghiệm là x 0,25 1 4 2 5 9 x 2 0,25 2 4 2 Ta có m 3 8m m2 2m 9 0,25 2 m 1 8 0, m R 0,25 m 3 x x 1 2 2 Khi đó 0,25 m x x 1 2 2 2) (1,0 5 m 3 5m điểm) x1 x2 x1x2 , trở thành m 2 . Vậy m = 2. 0,25 2 2 4 (Lưu ý: + HS có thể không viết hệ thức Viet riêng biệt mà thể hiện hệ 5 thức Viet trong biểu thức x x x x vẫn cho đầy đủ 1 2 2 1 2 điểm. + Nếu HS không nêu được điều kiện có 2 nghiệm mà làm được phần sau thì vẫn cho điểm ) 2 2 m 3 (m 1) 8 m 3 (m 1) 8 Ta có x ; x 0,25 1 4 2 4 3) 2 (m 1) 8 8 (0,5 P x x 2 , dấu "=" khi m = 1. điểm) 1 2 2 2 Vậy MinP = 2 , khi m = 1. 0,25 (Lưu ý: HS có thể viết đảo nghiệm x1 cho x2 thì không có gì thay đổi) Gọi chiều rộng, chiều dài của thửa ruộng tương ứng là x, y. 0,25 Điều kiện x > 0, y > 0; đơn vị của x, y là mét. III Vì chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m nên y - x = 45 (1). 0,25 Chiều dài giảm 2 lần, chiều rộng tăng 3 lần ta được hình chữ (1,5 0,25 điểm) nhật có hai cạnh là y/2 và 3x. Theo giả thiết chu vi không thay đổi nên 2(x + y) = 2(3x + y/2) (2). 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn y x 45 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình y . 2(x y) 2(3x ) 2 0,25 x 15 (m) Giải hệ này ta có y 60 (m) 2 Vậy diện tích của thửa ruộng là S = xy = 900 (m ). 0,25 Vì CD là đường kính, nên tam giác AEF là 0,25 tam giác vuông tại A. Vì EF là tiếp tuyến của D F đường tròn (O; R) tại B nên AB là đường cao 0,25 A O B 1) của tam giác vuông AEF C I Theo hệ thức trong tam K t giác vuông ta có 0,25 x BE.BF = AB2 Vì AB là đường kính F nên BE.BF = 4R2. 0,25 1 1 ·ADC Sd »AC Sd ¼ACB SdC»B 0,25 2 2 2) 1 1 IV (1,0 ·AEF Sd ¼ADB SdC»B Sd ¼ACB SdC»B 0,25 (3,0 2 2 điểm) · · · · 0 điểm) Suy ra ADC AEF CDF CEF 180 0,25 Vậy tứ giác CEFD nội tiếp được trong đường tròn. 0,25 Gọi K là trung điểm của EF, từ K kẻ đường thẳng Kt  EF, từ O kẻ đường thẳng Ox  CD. Khi CD không trùng, không vuông góc với AB thì Kt cắt Ox tại I là tâm đường tròn ngọa 0,25 tiếp tứ giác CEFD. Vì AK là trung tuyến của tam giác vuông AEF nên ·AFK K· AF 0,25 3) , kết hợp với ·ADC ·AEF và ·AFE ·AEF 900 AK  CD (1,0 Suy ra tứ giác AKIO là hình bình hành, do đó KI = AO = R điểm) không đổi, I khác phía với điểm O so vớiđường thẳng cố định 0,25 EF. Suy ra I năm trên đường thẳng d cố định (d // EF, d cách EF một khoảng không đổi về khác phía với điểm O) Trong trường hợp CD  AB thì tâm I cũng thuộc d. Vậy tâm I nằm trên một đường d cố định. 0,25 (Lưu ý: Nếu HS làm theo cách này mà không nói gì đến trường hợp CD  AB thì chỉ trừ 0,25 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NGHỆ AN THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : Toán. Thời gian làm bài : 120 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (2,5 điểm). 1 4 Cho biểu thức P x 2 x 4 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. 1 b) Tính giá trị của biểu thức P khi x . 4 Câu 2 (1,5 điểm). Số tiền mua 1 quả dừa và một quả thanh long là 25 nghìn đồng. Số tiền mua 5 quả dừa và 4 quả thanh long là 120 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi quả dừa và giá mỗi quả thanh long là bao nhiêu ? Biết rằng mỗi quả dừa có giá như nhau và mỗi quả thanh long có giá như nhau. Câu 3 (1,5 điểm). Cho phương trình : x2 2 m 1 x m2 3 0 (1) (m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m = 2. 2 2 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x1 x2 4 . Câu 4 (3 điểm). Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A chuyển động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ các đường cao BE và CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB). Chứng minh rằng : a) BCEF là tứ giác nội tiếp. b) EF.AB = AE.BC. c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động. Câu 5 (3 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x y 3. Chứng minh rằng: 1 2 9 x y 2x y 2 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đẳng thức xảy ra khi nào ? . Hết . ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1. a) ĐKXĐ : x 0 , x 4 (0,5 đ) 1 4 x 2 4 x 2 Rút gọn : P x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 1 (1 điểm) x 2 1 1 1 5 b) x ĐKXĐ. Thay vào P, ta được : P (1 điểm) 4 1 1 2 2 1 4 2 Câu 2. Gọi x, y (nghìn) lần lượt là giá của 1 quả dừa và 1 quả thanh long. Điều kiện : 0 < x ; y < 25. x y 25 Theo bài ra ta có hệ phương trình 5x 4y 120 Giải ra ta được : x = 20, y = 5 (thỏa mãn điều kiện bài toán). Vậy : Giá 1 quả dừa 20 nghìn. Giá 1 quả thanh long 5 nghìn. Câu 3. (1,5 điểm) a) Với m = 2, phương trình (1) trở thành : x2 6x 1 0. Ta có : ' 32 1 8 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 3 8 , x1 3 8 b) ' m 1 2 m2 3 2m 4 Phương trình có 2 nghiệm 2m 4 0 m 2. x1 x2 2 m 1 Theo Vi – ét ta có : 2 x1x2 m 3 2 2 2 Theo bài ra ta có : x1 x2 4 x1 x2 2x1x2 4 4 m 1 2 2 m2 3 4 2 m1 1 m 4m 3 0 m2 3 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn m2 3 không thỏa mãn điều m 2 . Vậy m = 1. Câu 4. Hình vẽ (0,5 điểm) A a) BCEF là tứ giác nội tiếp. (1 điểm) E · o Ta có : BFC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) F B· EC 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp đpcm. O C b) EF.AB = AE.BC. (1 điểm) B BCEF nội tiếp (chứng minh trên) Suy ra A· FE A· CB (cùng bù với góc BFE) Do đó AEF : ABC (g.g) EF AE Suy ra EF.AB BC.AE đpcm. BC AB c) EF không đổi khi A chuyển động. (0,5 điểm) AE Cách 1. Ta có EF.AB BC.AF EF BC. BC.cosB· AC AB Mà BC không đổi (gt), ABC nhọn A chạy trên cung lớn BC không đổi B· AC không đổi cosB· AC không đổi. Vậy EF BC.cosB· AC không đổi đpcm. Cách 2. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF có: Tâm I là trung điểm của BC cố định. BC Bán kính R không đổi (vì dây BC cố định) 2 Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF là một đường tròn cố định Vì Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (I) nên ta có: 1 F· BE E· CF Sd E»F (góc nội tiếp) (1) 2 Lại có: F· BE E· CF 900 B· AC . Mà dây BC cố định Sd B¼nC không đổi 1 B· AC Sd B¼nC có số đo không đổi 2 F· BE E· CF 900 B· AC có số đo không đổi (2) Từ (1) và (2) E»F có số đo không đổi Dây EF có độ dài không đổi (đpcm). DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. Cách 1. Ta có : Với x, y > 0 và x y 3 . Ta có : 1 2 1 1 4 x y x y x 2 y 4 6 2x y 2 x y 2 2 1 1 2 1 9 = x y x y 6 3 6 . 2 x y 2 2 1 x 0 x x 1 Đẳng thức xảy ra 2 y 2 y 0 y Cách 2. Với x, y > 0 và x y 3. Ta có : 1 2 1 1 4 1 1 4 9 x y x y x y 3 2 x. 2 y. 2x y 2 x y 2 x y 2 1 x x x 1 Đẳng thức xảy ra (vì x, y > 0) 4 y 2 y y DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 SỞ GD&ĐT NGHỆ ANĐỀ THI VÀO LỚP 10 TỈNH NGHỆ AN Môn thi:TOÁN. Đề thi chính thức. Thời gian làm bài: 120 phút. x 2 2 Câu I (3 điểm). Cho biểu thức A = . x 1 x 1 x 1 7. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 8. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 9. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, với B = A(x – 1). Câu II (2 điểm). Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m. x2 – (m + 1)x + 2m – 2 = 0 (1) 5. Giải phương trình (1) khi m = 2. 6. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1). Câu III (1,5 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi). Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC. 7. Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn. 8. Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân. 9. Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C). DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hết HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Ý Nội dung Điểm x 0 Điều kiện xác định của biểu thức A là: 0,50 x 1 x x 1 2 x 1 2 A 0,50 x 1 x 1 1. (1,5đ) x x 0,25 x 1 x 1 x 0,25 x 1 I. (3,0đ) 9 Khi x = 9, ta có A = 0,50 0,75đ 9 1 = 0,25 B = x x 1 0,25 2 1 1 B x x x 0,25 2 4 0,75đ B - x : 0 x ≠ 1 ; Đẳng thưc xẩy ra khi x = , thoả mãn . 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng - khi x = . Khi m = 2, phương trình (1) trở thành x2 - 3x + 2 = 0 0,25 1. = 1 ( Hoặc nhận thấy a + b + c = 0 ) 0,25 (1,00đ) Nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 2 0,50 II. Vì x = -2 là nghiệm của phương trình (1) nên (2,0đ) 0,50 2. (- 2)2 - (m + 1)(-2) + 2m - 2 =0 (*) (1,00đ) (*) 4m + 4 = 0 0,50 m = - 1 . Vậy m= -1 Gọi x là thời gian người thứ nhất một mình hoàn thành công việc . Gọi y là thời gian người thứ hai một mình hoàn thành công việc . 0,25 ( x > 0, y > 0, đơn vị của x,là giờ ) III. Người thứ nhất làm trong thời gian 1 gìờ được 1/x công việc . (1,5đ) Người thứ hai làm trong thời gian 1 giờ được 1/y công việc . Vì hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong thời gian 1 1 2 4giờ 30 phút nên 0,25 x y 9 DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vì nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ,sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% 4 3 3 công việc nên x y 4 1 1 2 1 1 x y 9 x 12 Từ đó ta có hệ 0,50 4 3 3 1 5 x y 4 y 36 x 12 36 (thoả mãn điều kiện ) y 5 0,25 Vậy người thứ nhất một mình làm xong công việc trong 12 giờ người thứ hai một mình làm xong công việc trong 7giờ 12 phút E C D 0,50 1. I (1,5đ) A O B IV. H (3,5đ) Vì AB là đường kính nên ·ABD 90 , do đó I·DB 90 0,25 vì CH  AB nên I·HB 90 0,25 suy ra I·DB + I·HB 180 0,25 Vậy tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn 0,25 · · 1 » EDA DBA sdAD 0,50 2. 2 (1,25đ) D· EI D· BA ( cùng bù D· IH ) 0,50 Do đó E· DI D· IE hay DEI là tam giác cân 0,25 E C 3. D (0,75đ) F I A O H B DeThi.edu.vn
Bộ 17 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Nghệ An (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ( lưu ý : Không yêu cầu thí sinh vẽ hình này ) Do F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD nên 180 C· FI C· FI 0,25 I·CF 90 2 2 C· FI I·CD C· BA suy ra I·CF 90 C· BA H· CB 0,25 2 Vì D nằm trên cung BC nên tia CF trùng với tia CB cố định . Vậy 0,25 góc ABF có số đo không đổi DeThi.edu.vn