Bộ 19 Đề thi Giải tích 2 (Có đáp án)

pdf 108 trang Thái Huy 15/02/2024 2500
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 19 Đề thi Giải tích 2 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbo_19_de_thi_giai_tich_2_co_dap_an.pdf

Nội dung text: Bộ 19 Đề thi Giải tích 2 (Có đáp án)

  1. DeThi.edu.vn
  2. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 1 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20163 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong tại 2 3 + 3 + 2 = 3 Câu(2 ;2−: 1(1;đ1).) Tìm hình bao của họ đường thẳng với là tham số. 2 Câu 3: (1đ). Tìm điểm có độ cong lớn nhất của đườ=ng2 cong− Câu 4: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân: = ln 1 1 ∫ ∫ ( , ) 2 Câu 5: (2đ). Tính các tích phân kép sau:0 √2 − 2 ) ∬(3 + 2 ) , là miền giới hạn bởi các đường = và = 1 2 2 2 ) ∬ 2 2 với = {( , ) ∈ 푅 : 1 ≤ + ≤ 2 , ≥ 0} Câu 6: (1đ).+ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 Câu 7: (2đ). Tính tích phân bội ba = + và trong = 2 đó: + 4 a) giới hạn bởi các mặt ∭ b) là hình cầu 2 2 2 2 2 = 0,2 = , = 2 và = 4 + Câu 8: (1đ). Tính tích+ phân + ≤ 2 +∞ 2 −훼 푒 −2 1 ∫ 2 với 훼 ≥ 0 0 푒 DeThi.edu.vn
  3. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20163 Câu 1: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong tại 2 3 + 3 + 2 = 3 Gi ả(i:2; −1; 1) Đặt 2 3 ′ ′ ′ 2 Tại 퐹( , , ) = ta có+ 3 + 2 − 3 ⇒ 퐹 = 2 , 퐹 = 3, 퐹 = 6 ′ ′ ′ Phương (2, trình −1,1 pháp), tuyế퐹 n( c ủa) đườ= 4,ng 퐹 cong( ) =tại 3, 퐹 ( ) = 6 là: (2, −1,1) − 2 + 1 − 1 p di n c ng cong t i = = là: Phương trình tiế ệ ủa đườ 4ạ 3 6 (2, −1,1) 4( − 2) + 3( + 1) + 6( − 1) =0⇔4 +3 +6 − 11 = 0 Câu 2: Tìm hình bao của họ đường thẳng với là tham số. 2 Giải: = 2 − Đặt 2 Xét:퐹 ( , , ) = − 2 + Vô nghi m H ng th m kì d . ′ ệ ọ đườ ẳng không có điể ị 퐹′ = 0 −2 = 0 { ⇔ { ⇒ ⇒ Xét 퐹 = 0 1 = 0 2 2 퐹′ = 0 − 2 + = 0 − 2 + = 0 (1) { ⇔ { ⇔ { Thế (2)퐹 vào= 0 (1) ta có:−2 + 2 = 0 = (2) 2 2 2 Vậy hình bao của họ đườ −ng 2 thẳ+ng là:= 0 ⇔ = 2 = Câu 3: Tìm điểm có độ cong lớn nhất của đường cong Giải: = ln ′ 1 ′′ −1 = congln ( c > 0)ng ⇒ = , t = m2 b t kì là: Độ ủa đườ ại điể ấ = ln ( , ) DeThi.edu.vn
  4. lOMoARcPSD|9783286 ′′ −12 12 12 | | | | 1 ( ) = 3 = 3 = 3 = 3 = 1 ′2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 1 + 2 2 1 2 2 1 (1 + ) (1 + 2) ( 2 ) (1 + ) .( 2) (1 + ) .( 2) 1 = 3 = 3 = ( ) 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 1 + . 1 + 3 1 2 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 2 ′ (1 + ) − . 2 . (1 + ) . (1 + ) − 3 . (1 + ) ⇒ ( ) = 2 2 3 = 2 3 (1 + ) (1 + ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 + ) . (1 + − 3 ) (1 + ) . (1 − 2 ) = 2 3 = 2 3 (1 + ) (1 + ) ′ 1 BTa ngcó :bi n( thiên:) = 0 ⇔ = ả ế √2 1 0 √2 + ∞ ′ ( ) + 0 − 1 ( ) (√2) Vậy độ cong của đường lớn nhất tại điểm 1 1 = ln (√2 , ln √2) Câu 4: Đổi thứ tự lấy tích phân: 1 1 ∫ ∫ ( , ) 2 Giải: 0 √2 − Miền 0 ≤ ≤ 1 : { 2 √2 − ≤ ≤ 1 2 2 2 2 2 ( − 1) + ≥ 1 (√2 − ≤ ⇔ 2 − ≤ ⇔ { ) ≥ 0 DeThi.edu.vn
  5. lOMoARcPSD|9783286 Đổi thứ tự lấy tích phân 2 0 ≤ ≤ 1 − √1 − : { 0 ≤ ≤ 1 2 1 1 1 1−√1− ⇒ ∫ ∫ ( , ) = ∫ ∫ ( , ) 2 0 √2 − 0 0 Câu 5: Tính các tích phân kép sau: 2 ) ∬(3 + 2 ) , là miền giới hạn bởi các đường = và = 1 2 2 2 ) ∬ 2 2 với = {( , ) ∈ 푅 : 1 ≤ + ≤ 2 , ≥ 0} + Giải: 2 ) ∬(3 + 2 ) , là miền giới hạn bởi các đường = và = 1 Miền −1 ≤ ≤ 1 ( ):{ 2 ≤ ≤ 1 DeThi.edu.vn
  6. lOMoARcPSD|9783286 1 1 1 3 4 8 2 2 ∬ = ∫ ∫(3 2 + 2 ) = ∫(3 + 1 − 3 − ) = + −1 −1 5 Hình minh họa câu 2 2 2 ) ∬ 2 2 với = {( , ) ∈ 푅 : 1 ≤ + ≤ 2 , ≥ 0} + Đặt = cos 휑 { |퐽| = Miền = sin 휑 1 ≤ ≤ 2 cos 휑 ( ): { 0 ≤ 휑 ≤ /3 DeThi.edu.vn
  7. lOMoARcPSD|9783286 3 2 cos 휑 3 2 cos 휑 cos 휑. sin 휑 ∬ 2 2 = ∫ 휑 ∫ 2 = ∫ 휑 ∫ cos 휑 sin 휑 + 0 1 0 1 3 3 1 2 −1 2 = ∫[4(cos 휑) − 1] cos 휑 sin 휑 휑 = ∫[4(cos 휑) − 1] cos 휑 (cos 휑) 2 0 2 0 1 2 −1 2 9 = ∫(4푡 − 1)푡 푡 = 2 1 32 Câu 6: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 Giải: = + và = 2 + 4 Xét giao tuyến của 2 2 = + 2 2 2 2 { ⇒ + =2 +4 ⇔( −1) + ( − 2) = 5 Hình chiếu của lên = 2 +là: 4 2 2 Thể tích miền ( ) là: ( ): ( − 1) + ( − 2) ≤ 5 ( ) 2 +4 2 2 ( ) =∭ = ∬ 2 ∫2 = ∬(2 + 4 − − ) + 2 2 = ∬{5 − [( − 1) + ( − 2) ]} Đặt . Miền = 1 + cos 휑 { |퐽| = ( ): {0 ≤ ≤ √5 = 2 + sin 휑 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 √5 2 2 25 25 ⇒ ( ) = ∬(5 − ) 휑 = ∫ 휑 ∫ (5 − ) = 2 . = (đvtt) 0 0 4 2 DeThi.edu.vn
  8. lOMoARcPSD|9783286 Câu 7: Tính tích phân bội ba trong đó: a) giới hạn bởi các mặt ∭ b) là hình cầu 2 2 2 2 2 = 0,2 = , = 2 và = 4 + Giải: + + ≤ 2 a) giới hạn bởi các mặt 2 2 2 = 0, = , = 2 và = 4 + Hình chiếu của lên giới hạn bởi 2 = 2 −2 ≤ ≤ 2 { 2 ⇒ ( ) { 2 2 = 4 + 2 ≤ ≤ 4 + 2 2 2 2 4+ 2 4+ 2 2 1 2 2 2 4 4096 ∭ = ∫ ∫2 ∫ = ∫ ∫2 = ∫ [(4 + ) − 4 ] = −2 2 0 −2 2 2 −2 105 b) là hình cầu 2 2 2 2 2 +2 + ≤ 2 2 2 2 Miền : + + ≤ 2 ⇔ + ( − 1) + ≤ 1 Đặt . Miền = sin 휃 cos 휑 2 0 ≤ ≤ 1 { = 1 + sin 휃 sin 휑 |퐽| = sin 휃 ( ): { 0 ≤ 휃 ≤ = cos 휃 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 1 2 ∭ = ∫ 휑 ∫ 휃 ∫(1 + sin 휃 sin 휑) sin 휃 0 0 0 2 2 1 1 2 2 4 = ∫ 휑 ∫ ( sin 휃 + (sin 휃) sin 휑) 휃 = ∫ ( + sin 휑) 휑 = 0 0 3 4 0 3 8 3 Câu 8: Tính tích phân +∞ 2 −훼 푒 −2 1 ∫ 2 với 훼 ≥ 0 0 푒 Giải: +∞ 2 +∞ 2 2 −훼 −훼 −0. 푒 −2 1 푒 − 푒2 ∫ 2 = ∫ 2 0 푒 0 푒 DeThi.edu.vn
  9. lOMoARcPSD|9783286 2 − 푒 2 Đặt 퐹( , ) = 2 푒 2 2 0 − −0. 2 2 ′ −( +1) −( +1) 푒 − 푒2 2 = 퐹( , ) − 퐹( , 0) = ∫ 퐹 ( , ) = ∫ −푒 = ∫ 푒 푒 0 0 +∞ 2 2 +∞ 0 0 +∞ −훼 −0. 2 2 −( +1) −( +1) 푒 − 푒2 ∫ 2 = ∫ (∫ 푒 ) = ∫ (∫ 푒 ) 0 푒 0 0 +∞ 2 −( +1) Xét ∫ 푒 0 −1 2 √푡 1 2 Đặt ( + 1) = 푡 ⇒ = ⇒ = . 푡 푡 √1 + 2√1 + +∞ +∞ +∞ 2 −1 1 −1 −( +1) −푡 1 2 1 −푡 2 1 1 ⇒ ∫ 푒 = ∫ 푒 . . 푡 푡 = ∫ 푒 . 푡 푡 = .Γ ( ) 0 0 2√1 + 2√1 + 0 2√1 + 2 √ = 2√1 + 0 +∞ 0 2 −( +1) √ √ ⇒ ∫ (∫ 푒 ) = ∫ = . 2(√ + 1 − 1) = √ (√ + 1 − 1) *Ki ểm 0tra điều kiện khả tích: 2√1 + 2 2 −( +1) Đặt− Hàm ( , ) = 푒 liên tục trên miền − Tích phân hội tụ đều trên ( , ) [20; +∞) × [0; ] +∞ −( +1) ( ) = ∫0 푒 [0, ] 2 2 −( +1) −( 0+1) 푒 ≤ 푒 với 0 ≥ 0 +∞ +∞ 2 2 −( +1) Do −( 0+1) √ ⇒ ∫ 푒 hội tụ đều trên [0; ] 0 ∫ 푒 = 0 hội tụ Vậy{ điề0 u kiện đổi thứ tự lấ2y√ tích1 + phân thỏa mãn. DeThi.edu.vn
  10. lOMoARcPSD|9783286 ❖ Mẹo: Trong các bài tập sử dụng phương pháp đổi thứ tự lấy tích phân và phương pháp đạo hàm đạo hàm qua dấu tích phân, chúng ta sẽ “tiền trảm hậu tấu”, tức là cứ áp dụng hai phương pháp trên để tính tích phân, khi ra kết quả rồi mới kiểm tra điều kiện khả vi, khả tích, giống lời giải tham khảo trên. Khi làm như vậy, nếu không đủ thời gian chứng minh điều kiện khả vi, khả tích, chúng ta vẫn được 0.5đ nếu tính toán đúng tích phân. DeThi.edu.vn
  11. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 2 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20172 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong tại điểm 2 3 ln( +3 ) −3 =2 Câu 2 : (11đ,0)., −Tìm1). hình bao của họ đường cong với là tham số. 2 3 Câu 3: (1đ). Tính độ cong của đường − tại2 điể−m ứ+ng1 v=ới 0 Câu 4: (2đ). Tính các tích phân sau: = ln(sin ) = /4. 2 2 ) ∬( −4 ) , là miền giới hạn bởi = , =1 và =0 2 2 ) ∬( − + ) , là miền giới hạn bởi = −3 + 1, = −3 + 2, = vàCâu 5: = (1đ). + 2 Tính tích phân sau: 1 1 1 ∫ ∫ 5 4 + 1 Câu 6: (1đ). Tính thể tích của vật thể 0 giới h√ạ n bởi các mặt và 2 2 2 2 Câu 7: (1đ). Tính tích phân bộ i ba = + 2 = 3 − 2 − trong đó là miền xác định bởi 2 ∭ (3 − 4 ) 1Câu ≤ 8: ≤ (1đ). 2, 0 Tính ≤ tích≤ 2,0phân ≤ b ộ ≤i ba 2 trong đó là miền giới hạn bởi các mặt 2 2 2 ∭ ( + + ) 2 2 Câu 9: (1đ). = √Tính + tích 4 phân, = 2. +∞ 2 2 − − 푒 − 푒 ∫ với , > 0 0 DeThi.edu.vn
  12. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20172 Câu 1: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong tại điểm 2 3 ln( + 3 ) − 3 = 2 Gi ả(i:1,0, −1). ′ 2 퐹 = 2 2 3 + 3 ′ Đặt 퐹( , , ) = ln( + 3 ) − 3 − 2 ⇒ 3 퐹 = 2 ′ + 3 2 { 퐹 = −9 T i ta có: ′ ạ 퐹′( ) = 2 ( ) (1,0, −1), { 퐹′ = 3 Phương trình tiếp diện củ퐹a (m ặ)t cong= −9 tại là: (1,0, −1) Phương trình pháp2( tuyế − 1)n +củ 3a (m ặ −t cong 0) − t 9ại( + 1) =0⇔2 +3 −9 − là: 11 = 0 (1,0, −1) − 1 + 1 = = 2 3 −9 Câu 2: Tìm hình bao của họ đường cong với là tham số. 2 3 Giải: − 2 − + 1 = 0 Đặt 2 3 Xét 퐹( , , ) = − 2 − + 1 Vô nghi m H m kì d . ′ ệ ọ đường cong không có điể ị 퐹′( , , ) = 0 2 = 0 { ⇔ { ⇒ ⇒ 퐹 ( , , ) = 0 −2 = 0 2 3 2 3 퐹( , , ) = 0 ′ −2 2 − 2 + 1 = 0 . 3 − 2 2 − 2+ 1 = 0 Xét { ⇔ { ⇔ { 퐹 ( , , ) = 0 − 3 = 0 = 3 3 3 2 − 1 2 3 2 2 = 2 − 1 = 2 2 2 − 1 ⇔ { 2 ⇔ { 2 ⇒ ( ) − ( ) = 0 = 2 3 2 3 = 3 6 2 (2 − 1) Vậy hình bao của họ đường cong là đường = 27 4 DeThi.edu.vn
  13. lOMoARcPSD|9783286 Câu 3: Tính độ cong của đường tại điểm ứng với Giải: = ln(sin ) = /4. ′ cos ′′ −1 = ln(sin ) ⇒ ( ) = = cot , ( ) = 2 sin sin ′ ′′ Tại cong = c, ta có:ng ( ) = 1, ( t )i = −2 Độ 4ủa đườ 4 4ạ = ln(sin ) = /4 |−2| 2 1 ( = ) = 3 = = 4 2 (1 + 1) 2√2 √2 Câu 4: Tính các tích phân sau: 2 2 ) ∬( − 4 ) , là miền giới hạn bởi = , = 1 và = 0 2 2 ) ∬( − + ) , là miền giới hạn bởi = −3 + 1, = −3 + 2, = Givàả i: = + 2 2 2 ) ∬( − 4 ) , là miền giới hạn bởi = , = 1 và = 0 Miền 0 ≤ ≤ 1 : { 0 ≤ ≤ 1 2 2 2 2 ∬( − 4 ) = ∫ ∫( − 4 ) 0 0 1 2 4 3 −1 = ∫ ( . − ) = 0 3 12 DeThi.edu.vn
  14. lOMoARcPSD|9783286 2 2 ) ∬( − + ) , là miền giới hạn bởi = −3 + 1, = −3 + 2, = và = + 2 Miền giới hạn bởi = −3 + 1 + 3 = 1 = −3 + 2 + 3 = 2 { ⇔ { = − = 0 Đặt = + 2 − = 2 = + 3 −1 3 1 { ⇒ 퐽 = | | = 4 ⇒ 퐽 = 1/4 푣 = − −1 1 Mi n trong t m i gi i h n b i ề ọa độ ớ ớ ạ ở = 1 = 2 1 ≤ ≤ 2 푣 푣 { ⇒ 푣 : { 푣 = 0 0 ≤ 푣 ≤ 2 푣 = 2 − 푣 = = + 3 4 { ⇒ { 푣 = − + 3푣 = 4 2 2 2 2 1 − 푣 − 푣 + 3푣 + 3푣 ⇒ ∬( − + ) = ∬ [( ) − . + ( ) ] 푣 4 푣 4 4 4 4 2 2 1 2 2 1 2 2 = ∬( + 2 푣 + 13푣 ) 푣 = ∫ ∫( + 2 푣 + 13푣 ) 푣 64 푣 64 1 0 2 1 2 104 17 = ∫ (2 + 4 + ) = 64 1 3 24 Câu 5: Tính tích phân sau: 1 1 1 5 ∫ 4∫ 0 √ + 1 Giải: Miền 40 ≤ ≤ 1 : { √ ≤ ≤ 1 DeThi.edu.vn
  15. lOMoARcPSD|9783286 Đổi thứ tự lấy tích phân, miền 4 0 ≤ ≤ : { 0 ≤ ≤ 1 4 1 1 1 1 1 4 5 5 1 1 1 ( ) ln( + 1) 1 ln 2 ∫ ∫ 5 = ∫ ∫ 5 = ∫ 5 = ∫ 5 = | = 4 + 1 + 1 + 1 5 + 1 5 5 0 √ 0 0 0 0 0 Câu 6: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt và 2 2 2 2 Giải: = + 2 = 3 − 2 − Miền 2 2 2 2 Giao tuy : ến c+ủa 2 mặt≤ ≤ 3 − 2 và− 2 2 2 2 = + 2 = 3 − 2 − 2 2 2 2 2 2 ⇒Hình chi+ 2 ếu củ=a 3 −lên 2 − là ⇔ + = 1 2 2 Đặt : + ≤ 1 = cos 휑 0 ≤ ≤ 1 { , 퐽 = ⇒ : { Thể tích = vậ t sinthể 휑 là: 0 ≤ 휑 ≤ 2 DeThi.edu.vn
  16. lOMoARcPSD|9783286 2 2 2 2 =∭ = ∬[(3 − 2 − ) − ( + 2 )] 2 1 2 2 2 3 = ∬[3 − 3( + )] = ∫ 휑 ∫(3 − 3 ) = (đvtt) 0 0 2 Câu 7: Tính tích phân bội ba trong đó là miền xác định bởi 2 ∭ (3 − 4 ) Gi1ả ≤i: ≤ 2, 0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 2 Cách 1: Đổi biến số: Đặt = −1 0 1 0 {푣 = ⇒ 퐽 = | 0| = − ⇒ 퐽 = −1/ = −1/ 푤 = 0 0 1 Miền mới trong hệ tọa độ mới là 1 ≤ ≤ 2 푣푤 푣푤 : {0 ≤ 푣 ≤ 2 0 ≤ 푤 ≤ 2 2 2 2 2 1 4푣푤 ∭(3 − 4 ) = ∭(3 푣 − 4푣푤). 푣 푤 = ∫ 푤 ∫ 푣 ∫ (3푣 − ) 푣푤 0 0 1 2 2 2 = ∫ 푤 ∫(3푣 − 4 ln 2 . 푣푤) 푣 = ∫(6 − 8 ln 2 . 푤) 푤 = 12 − 16 ln 2 Cách0 2: Tính0 thông thường: 0 Hình chiếu của miền giới hạn bởi = 1, = 2 { = 2/ 0 ≤ ≤ 2 2 0 ≤ ≤ 2 ⇒ Hình chiếu : { ⇒ Miền : {0 ≤ ≤ 1 ≤ ≤ 2 1 ≤ ≤ 2 2 2 2 2 2 ∭(3 − 4 ) = ∫ ∫ ∫(3 − 4 ) = 12 − 16 ln 2 1 0 0 DeThi.edu.vn
  17. lOMoARcPSD|9783286 Câu 8: Tính tích phân bội ba trong đó là miền giới hạn bởi các mặt 2 2 2 ∭ ( + + ) 2 2 Giải: = √ + 4 , = 2. Hình chiếu của miền lên là 2 2 : + 4 ≤ 4 cos 휑 2 = cos 휑 = 2 Đặt { = sin 휑 ⇔ { , 퐽 = = sin 휑 2 = = 2 2 ≤ ≤ 2 √ + 4 ≤ ≤ 2 : { 2 2 ⇔ {0 ≤ 휑 ≤ 2 : + 4 ≤ 4 0 ≤ ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∭( + + ) = ∫ 휑 ∫ ∫ ( sin 휑 + + cos 휑) . 0 0 4 2 2 2 2 3 2 3 2 3 sin 휑 cos 휑 8 4 2 1 2 = ∫ 휑 ∫ [( + ) (2 − ) + − ] = ∫ ( sin 휑 + cos 휑 + 4) 휑 2 8 3 3 5 5 0 0 0 4 1 = + + 8 = 9 5 5 Câu 9: Tính tích phân +∞ 2 2 − − 푒 − 푒 ∫ với , > 0 0 Giải: 2 − 푒 Đặt 퐹( , ) = 2 2 − − 2 2 푒 − 푒 ′ − − = 퐹( , ) − 퐹( , ) = ∫ 퐹 ( , ) = ∫ − 푒 = ∫ 푒 +∞ 2 2 +∞ +∞ − − 2 2 푒 − 푒 − − ∫ = ∫ (∫ 푒 ) = ∫ (∫ 푒 ) 0 0 0 DeThi.edu.vn
  18. lOMoARcPSD|9783286 +∞ 2 2 1 − 2 1 −1 − +∞ = ∫ ( ∫ 푒 ( )) = ∫ ( . 푒 | ) 2 2 0 0 1 1 = ∫ = ln *Kiểm tra điều kiện khả tích: 2 2 2 − Đặt− Hàm ( , ) = 푒 liên tục trên miền − Tích phân hội tụ đều trên ( , ) 2 [0; +∞) × [ ; ] +∞ − ( ) = ∫0 푒 [ , ] ( , > 0) 2 2 − − 0 0 +∞ 푒+∞ ≤ 푒 với ≥ > 0 2 2 − Do − 0 1 ⇒ ∫ 푒 hội tụ đều trên [ ; ] ∫ 푒 = hội tụ 0 2 0 Vậy{ điều0 kiện đổi thứ tự lấy tích phân thỏa mãn. ❖ Mẹo: Trong các bài tập sử dụng phương pháp đổi thứ tự lấy tích phân và phương pháp đạo hàm đạo hàm qua dấu tích phân, chúng ta sẽ “tiền trảm hậu tấu”, tức là cứ áp dụng hai phương pháp trên để tính tích phân, khi ra kết quả rồi mới kiểm tra điều kiện khả vi, khả tích, giống lời giải tham khảo trên. Khi làm như vậy, nếu không đủ thời gian chứng minh điều kiện khả vi, khả tích, chúng ta vẫn được 0.5đ nếu tính toán đúng tích phân. DeThi.edu.vn
  19. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ S Ố 3 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20172 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong tại điểm 2 = 4 sin 푡 , = Câu4 cos 2푡: ,( 1đ=).2 Tìmsin 푡hình+ 1 bao của họ đườ(1; ng−2 th√3ẳng; 2 ) với là tham số. 3 Câu 3: (1đ). Tính độ cong của đường cong 3 − − = 0, tại điểm ứng với = sin 푡 + 푡 cos 푡 , = cos 푡 + 푡 sin 푡 Câu푡 4=: ( 2đ). Tính các tích phân kép sau: 2 a) ∬ 2 , là miền giới hạn bởi = và = 2 − 2 2 2 2 2 b) ∬ √ + , vớ푖 = {( , ) ∈ 푅 : + ≤ } Câu 5: (1đ). Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 Câu 6: (1đ). Tính tích phân sau: = 9 + và = 9 1 1 1 2 ∫ ∫ ∫2 푒 0 0 Câu 7: (1đ). Tính với Câu 8: (1đ). : Tính∬ tích (4 phân + b 3 ội )ba : 1 ≤ trong ≤ đó 4, ≤là mi ≤ền 9 . xác định bởi ∭ 2 2 2 2 2 Câu 9: (1đ). Tính tích phân + + ≤ , ≤ √ + +∞ 3 3 − − 푒 − 푒 ∫ với , > 0 0 DeThi.edu.vn
  20. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20172 Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong tại điểm 2 = 4 sin 푡 , = 4 cos 푡, Gi ả =i: 2 sin 푡 + 1 (1; −2√3; 2) Tại ta có: 2 1 = 4 sin 푡 (1; −2√3; 2), {−2√3 = 4 cos 푡 ⇔ 푡 = 5 /6 2 = 2 sin 푡 + 1 ′ 5 2 ′ ( ) = −2√3 (푡) = 8 sin 푡 cos 푡 6 = 4 sin 푡 ′ 5 ′ 5 { = 4 cos 푡 ⇒ { (푡) = −4 sin 푡 . Tại 푡 = , ta có: ( ) = −2 ′ 6 6 = 2 sin 푡 + 1 (푡) = 2 cos 푡 ′ 5 ( ) = −√3 Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại là:{ 6 (1; −2√3; 2) − 1 + 2√3 − 2 = = Phương trình pháp diện của đường −2cong√3 tại −2 −√ là:3 (1; −2√3; 2) −2√3( − 1) − 2( + 2√3) − √3( − 2) = 0 ⇔ −2√3 − 2 − √3 = 0 Câu 2: Tìm hình bao của họ đường thẳng với là tham số. 3 Giải: 3 − − = 0, Đặt với là tham số. 3 Xét 퐹( , , ) = 3 − − Vô nghi m H m kì d . ′ ệ ọ đường cong không có điể ị 퐹 ( , , ) = 0 3 = 0 { ′ ⇔ { ⇒ ⇒ 퐹 ( , , ) = 0 −1 = 0 3 2 3 3 3 퐹( , , ) = 0 ′ 3 − −2 = 0 3 . − −2 = 0 = 2 2 = Xét { ⇔ { ⇔ { ⇔ { ⇔ {2 퐹 ( , , ) = 0 3 − 3 = 0 = = 2 = 2 3 2 3 ⇒ − ( ) = 0 ⇔ = 4 2 2 3 Vậy hình bao của họ đường cong là đường = 4 DeThi.edu.vn
  21. lOMoARcPSD|9783286 Câu 3: Tính độ cong của đường cong tại điểm ứng với = sin 푡 + 푡 cos 푡 , = cos 푡 + 푡 sin 푡 Gi푡ả =i: ′ ′′ = sin 푡 + 푡 cos 푡 (푡) = 2 cos 푡 − 푡 sin 푡 (푡) = −3 sin 푡 − 푡 cos 푡 { ⇒ { ′ ⇒ { ′′ T ại = cos 푡 ta + có: 푡 sin 푡 (푡) = 푡 cos 푡 (푡) = cos 푡 − 푡 sin 푡 ′ ′′ ( ) = −2, ( ) = 푡 = , { ′ ′′ Độ cong của đường (cong ) = tại − , điểm ứ(ng ) v=ới −1 là: 푡 = ′ ′′ ′′ 2 | . − . ′| |(−2). (−1) − . (− )| 2 + (푡 = ) = 3 = 3 = 3 ′2 ′2 2 2 2 2 2 ( + ) (4 + ) (4 + ) Câu 4: Tính các tích phân kép sau: 2 a) ∬ 2 , là miền giới hạn bởi = và = 2 − 2 2 2 2 2 b) ∬ √ + , vớ푖 = {( , ) ∈ 푅 : + ≤ } Giải: 2 a) ∬ 2 , là miền giới hạn bởi = và = 2 − Miền −2 ≤ ≤ 1 : { 2 ≤ ≤ 2 − 1 2− ∬ 2 = ∫ ∫2 2 −2 1 2 = ∫ 2 (2 − − ) −2 −9 = 2 DeThi.edu.vn
  22. lOMoARcPSD|9783286 2 2 2 2 2 b) ∬ √ + , vớ푖 = {( , ) ∈ 푅 : + ≤ } Đăt = cos 휑 { , 퐽 = Miền = sin 휑 0 ≤ ≤ sin 휑 { 0 ≤ 휑 ≤ sin 휑 2 2 2 ∬ √ + = ∫ 휑 ∫ sin 휑 √ 0 0 1 4 −1 2 2 = ∫ sin 휑 . sin 휑 휑 = ∫(1 − cos 휑) (cos 휑) 4 0 4 0 −1 −1 2 2 −1 −16 4 = ∫ (1 − ) = . = 4 1 4 15 15 Câu 5: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 Giải: = 9 + và = 9 Xét giao tuyến của và 2 2 = 9 + = 9 2 2 2 2 2 Hình chiếu của lên là 9 + = 9 ⇔ ( 3 ) + = 3 2 2 2 : (3 ) + ≤ 3 DeThi.edu.vn
  23. lOMoARcPSD|9783286 Thể tích vật thể là: 2 2 =∭ = ∬[9 − (9 + )] 3 = cos 휑 = cos 휑 0 ≤ ≤ 3 Đặt { ⇔ { , 퐽 = ⇒ : { = sin 휑 3 0 ≤ 휑 ≤ 2 = sin 휑 3 2 3 2 2 2 27 27 ⇒ = ∬[9 − (9 + )] = ∫ 휑 ∫(9 − ). = 2 . = (đvtt) 0 0 3 4 2 Câu 6: Tính tích phân sau: 1 1 1 2 ∫ ∫ ∫2 푒 0 0 Giải: Miền .Đổi thứ tự lấy tích phân: miền trở thanh 0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ √ : { 0 ≤ ≤ 1 : { 0 ≤ ≤ 1 2 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 1 Hình vẽ minh họa trên mặt phẳng khi đổi thứ tự cận và DeThi.edu.vn
  24. lOMoARcPSD|9783286 1 1 √ 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 ⇒ ∫ ∫ ∫ 푒 = ∫ ∫ 푒 = ∫ ∫ 푒 ( ) 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 1 1 1 2 1 2 1 1 = ∫ ∫ 푒 ( ) = ∫(푒 − 1) = (푒 − 2) 4 0 0 4 0 4 Câu 7: Tính với Giải: ∬ (4 + 3 ) : 1 ≤ ≤ 4, ≤ ≤ 9 . Miền : 1 ≤ ≤4, ≤ ≤9 ⇔1≤ ≤ 4, 1 ≤ ≤ 9 ′ ′ = −1 2 1 1 Đặ푡 { ⇒ 퐽 = | ′ ′ | = |− 1| = ⇒ 퐽 = . = 푣 = 푣 푣 2 2 2푣 Miền trong hệ tọa độ mới là 1 ≤ ≤ 4 푣 푣 : { 1 ≤ 푣 ≤ 9 9 4 1 2 3 ∬(4 + 3 ) = ∬(4 + 3√ 푣) 푣 = ∫ 푣 ∫ ( + √ ) = 30 ln 3 + 28 푣 2푣 1 1 푣 2 푣 Câu 8: Tính tích phân bội ba trong đó là miền xác định bởi 2 2 2 ∭ + + ≤ 2 2 Gi ả ≤i: √ + DeThi.edu.vn
  25. lOMoARcPSD|9783286 Cách 1: Tọa độ trụ: 2 2 2 2 2 2 1 1 + + ≤ + + ( − ) ≤ Miền : { 2 2 ⇔ { 2 4 ≤ √ + 2 2 ≤ √ + 2 ≤ 2 2 1 1 + + ( − ) ≤ : Dấu thể hiện miền nằm trong mặt cầu. 2 ≤ 4 2 2 ≤ √ + : Dấu thể hiện miền nằm dưới mặt nón. 1 1 2 2 2 2 ⇒ : − √ − ( + ) ≤ ≤ √ + 2 4 Xét giao tuy n c a hai m t ế ủ ặ 2 2 2 + + = { 2 2 = √ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ( + ) + ( + ) = √ + ⇔ 2( + ) − √ + = 0 2 2 1 2 2 1 ⇒ √ + = ⇔ + = 2 4 2 2 1 Hình chiếu của lên là : + ≤ 4 1 1 2 2 2 2 − √ − ( + ) ≤ ≤ √ + Miền V: 2 4 2 2 1 : + ≤ { 4 1 1 2 − √ − ≤ ≤ = cos 휑 2 4 Đặt { = sin 휑 , 퐽 = ⇒ : 1 = 0 ≤ ≤ 2 { 0 ≤ 휑 ≤ 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ∭ = ∫ 휑 ∫ ∫ . = ∫ 휑 ∫ [ − ( − √ − ) ] 0 0 1 1 2 2 0 0 2 4 −√ − 2 4 1 2 2 1 3 1 2 1 2 = ∫ 휑 ∫ [ − + √ − − ( − )] 2 0 0 4 4 4 DeThi.edu.vn
  26. lOMoARcPSD|9783286 1 1 1 2 2 4 1 2 1 1 2 2 1 1 1 ∫ √ − = ∫ √ − ( ) = ∫ √ − = 0 4 2 0 4 2 0 4 24 1 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 −1 1 ⇒ ∫ 휑 ∫ [ − + √ − − ( − )] = ∫ ( + ) 휑 = 2 0 0 4 4 4 2 0 32 24 96 Cách 2: Tọa độ cầu: Đặt = cos 휑 sin 휃 2 0 ≤ ≤ cos 휃 { = sin 휑 sin 휃 , |퐽| = sin 휃 ⇒ Miền : { /4 ≤ 휃 ≤ /2 = cos 휃 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 2 cos 휃 2 2 2 1 4 ∭ = ∫ 휑 ∫ 휃 ∫ cos 휃 . sin 휃 = ∫ 휑 ∫ cos 휃 cos 휃 sin 휃 휃 0 0 4 0 4 4 2 2 2 0 −1 5 −1 5 = ∫ 휑 ∫ cos 휃 (cos 휃) = ∫ 휑 ∫ = 4 0 4 0 √2 96 4 2 Câu 9: Tính tích phân +∞ 3 3 − − 푒 − 푒 ∫ với , > 0 0 Giải: 3 − 푒 Đặt 퐹( , ) = 3 3 − − 3 3 푒 − 푒 ′ 2 − 2 − = 퐹( , ) − 퐹( , ) = ∫ 퐹 ( , ) = ∫ − 푒 = ∫ 푒 +∞ 3 3 +∞ +∞ − − 3 3 푒 − 푒 2 − 2 − ∫ = ∫ (∫ 푒 ) = ∫ (∫ 푒 ) 0 0 0 DeThi.edu.vn
  27. lOMoARcPSD|9783286 +∞ 3 3 1 − 3 1 −1 − +∞ = ∫ ( ∫ 푒 ( )) = ∫ ( . 푒 | ) 3 3 0 0 1 1 = ∫ = ln *Kiểm tra điều kiện khả tích: 3 3 3 2 − Đặt− Hàm ( , ) = liên푒 tục trên miền − Tích phân hội tụ đều trên ( , ) 3[0; +∞) × [ ; ] +∞ 2 − ( ) = ∫0 푒 [ , ] ( , > 0) 3 3 2 − 2 − 0 0 +∞ 푒+∞ ≤ 푒 với ≥ > 0 3 3 2 − Do 2 − 0 1 ⇒ ∫ 푒 hội tụ đều trên [ ; ] ∫ 푒 = hội tụ 0 3 0 Vậy{ điều0 kiện đổi thứ tự lấy tích phân thỏa mãn. ❖ Mẹo: Trong các bài tập sử dụng phương pháp đổi thứ tự lấy tích phân và phương pháp đạo hàm đạo hàm qua dấu tích phân, chúng ta sẽ “tiền trảm hậu tấu”, tức là cứ áp dụng hai phương pháp trên để tính tích phân, khi ra kết quả rồi mới kiểm tra điều kiện khả vi, khả tích, giống lời giải tham khảo trên. Khi làm như vậy, nếu không đủ thời gian chứng minh điều kiện khả vi, khả tích, chúng ta vẫn được 0.5đ nếu tính toán đúng tích phân. DeThi.edu.vn
  28. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 4 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20173 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Tính độ cong tại của đường −푡 =푒 −sin푡 푡=0 { −푡 Câu 2: (1đ). Lập phương trình pháp tuyến và tiếp di=ệ푒n tại− cos 푡 của mặt Câu 3: (1đ). Cho hàm vecto và ( 1,1,0) = ln. (Tính3 − 2 ) −푡 2 ′ i th t l y tích ⃗(푡 phân) = ( sin 2푡, cos 2푡,푒 ) ⃗(푡) = (푡 +1) ⃗(푡) ⃗⃗⃗⃗(0) Câu 4: (1đ). Đổ ứ ự ấ 2 2 2− Câu 5: (1đ). Tính = ∫gi−1ớ i hạ∫n− bởi: ( , ) ∬ (3 + 2 ) , Câu 6: (1đ). Tính =0, =0, + =1 giới hạn bởi 2 ∬ ( + )( − 2 − 1) , + =0, + =3, − Câu2 =1, −2 =2 7: (1đ). Tính giới hạn bởi 2 2 2 2 ∭ √ + , + = 1, = 0, = 2 Câu 8: (1đ). Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 Câu 9: (1đ). Tính = √ + , = √1 − − 2 2 2 3 − + + 1 ∭ 2 2 2 Với là nửa khối cầu + + + 1 2 2 2 Câu 10: (1đ) Tìm giới hạn+ + ≤ 1, ≥ 0 cos arctan( + ) →0lim ∫ 2 2 sin 1 + + DeThi.edu.vn
  29. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20173 Câu 1: Tính độ cong tại của đường −푡 = 푒 − sin 푡 푡 = 0 { −푡 Giải: = 푒 − cos 푡 −푡 ′ −푡 ′′ −푡 = 푒 − sin 푡 (푡) = −푒 − cos 푡 , (푡) = 푒 + sin 푡 { −푡 ⇒ { ′ −푡 ′′ −푡 V ới = 푒 − cos 푡 (푡) = −푒 + sin 푡 , (푡) = 푒 + cos 푡 ′ ′′ (0) = −2, (0) = 1 푡 = 0 ⇒ { ′ ′′ Độ cong của đườ (ng0) cong= −1, tại (0) =là: 2 푡 = 0 ′ ′′ ′′ ′ | . − . | |(−2). 2 − 1. (−1)| 3 3 3 (푡 = 0) = = 2 2 = ′2 ′2 2 2 5√5 ( + ) (2 + 1 ) Câu 2: Lập phương trình pháp tuyến và tiếp diện tại của mặt Giải: (1,1,0) = ln(3 − 2 ) ′ −3 ′ 2 ′ Đặt 퐹( , , ) = − ln(3 − 2 ) ⇒ 퐹 = , 퐹 = , 퐹 = 1 Tại 3 − 2 3 − 2 ′ ′ ′ Phương (1,1,0 trình) ⇒pháp 퐹 (tuyế ) =n c −3,ủa m 퐹 ặ(t cong) = 2,tại 퐹 ( ) = 1 là: (1,1,0) − 1 − 1 p di n c a m t cong t i = là: = Phương trình tiế ệ ủ ặ ạ −3 2 1 (1,1,0) −3( − 1) + 2( − 1) + =0⇔−3 +2 + +1=0 Câu 3: Cho hàm vecto và . Tính −푡 2 ′ Giải: ⃗(푡) = (sin 2푡 , cos 2푡 , 푒 ) ⃗(푡) = (푡 + 1) ⃗(푡) ⃗⃗⃗⃗(0) 2 ′ 2 ′ 2 ′ 2 ′ ⃗(푡) = (푡 + 1) ⃗(푡) ⇒⃗ ⃗⃗⃗(푡) = [(푡 + 1) ⃗(푡)] = (푡 + 1) ⃗(푡) + (푡 + 1) ⃗⃗⃗⃗(푡) −푡 2 푡 = 2푡. (sin 2푡 , cos 2푡 , 푒 ) + (푡 + 1)(2 cos 2푡 , −2 sin 2푡 , −푒 ) ′ −0 0 ⇒⃗ ⃗⃗⃗(0) = 2.0. (sin 0 , cos 0 , 푒 ) + 1. (2 cos 0 , −2 sin 0 , −푒 ) = (2,0, −1) DeThi.edu.vn
  30. lOMoARcPSD|9783286 Câu 4: i th t l y tích phân Đổ ứ ự ấ 2 2 2− −1 − Giải: = ∫ ∫ ( , ) Miền −1 ≤ ≤ 2 ( ): { 2 Đổi thứ− tự ≤lấy tích ≤ 2 phân. − Chia miền thành 2 phần và( ) −√2 − ≤ ≤ √2 − − ≤ ≤ √2 − ( 1): { ( 2):{ 1 ≤ ≤ 2 −2 ≤ ≤ 1 1 √2− 2 √2− ⇒ = ∫ ∫ ( , ) + ∫ ∫ ( , ) −2 − 1 −√2− Câu 5: Tính giới hạn bởi: ∬ (3 + 2 ) , Giải: =0, =0, + =1 Miền 0 ≤ ≤ 1 ( ): { 0 ≤ ≤ 1 − 1 1− ∬(3 + 2 ) = ∫ ∫ (3 + 2 ) 0 0 1 2 5 = ∫[3 (1 − ) + (1 − ) ] = 0 6 DeThi.edu.vn
  31. lOMoARcPSD|9783286 Câu 6: Tính giới hạn bởi 2 ∬ ( + )( − 2 − 1) , + =0, + =3, −2 =1, Gi ả −i: 2 = 2 Đặt + = −1 11 { ⇒ 퐽 = | | = −3 ⇒ |퐽| = 1/3 Miền − 2 mớ =i 푣trong hệ tọa 1độ m −2ới là ′ ′ 0 ≤ ≤ 3 ( ) 푣 ( ): { 1 ≤ 푣 ≤ 2 3 2 2 1 2 1 2 1 ⇒ ∬( + )( − 2 − 1) = ∬′ (푣 − 1) 푣 = ∫ ∫ (푣 − 1) 푣 = 3 3 0 1 2 Câu 7: Tính giới hạn bởi 2 2 2 2 Giải: ∭ √ + , + = 1, = 0, = 2 Hình chiếu của lên là 2 2 : + ≤ 1 Đặt . Miền = cos 휑 0 ≤ < 1 { = sin 휑 퐽 = ( ):{ 0 ≤ 휑 ≤ 2 = Miền trong tọa độ trụ: 0 ≤ ≤ 1 ⇒ ( ) {0 ≤ 휑 ≤ 2 0 ≤ ≤ 2 2 1 2 2 2 ⇒∭ √ + = ∫ 휑 ∫ ∫ . . 0 0 0 2 1 2 4 = 2 ∫ 휑 ∫ = 0 0 3 Câu 8: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 = √ + , = √1 − − DeThi.edu.vn
  32. lOMoARcPSD|9783286 Giải: Hình minh họa miền được vẽ lại theo quy tắc tam diện thuận Đặt . Miền = sin 휃 cos 휑 2 0 ≤ ≤ 1 { = sin 휃 sin 휑 |퐽| = sin 휃 ( ):{0 ≤ 휃 ≤ /4 Thể tích mi =ền cos là:휃 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 4 1 2 4 2 1 2 √2 ( ) =∭ = ∫ 휑 ∫ 휃 ∫ sin 휃 = ∫ 휑 ∫ sin 휃 휃 = (1 − ) (đvtt) 0 0 0 3 0 0 3 2 Câu 9: Tính 2 2 2 3 − + + 1 Với là nửa khối cầu ∭ 2 2 2 + + + 1 2 2 2 Giải: + + ≤ 1, ≥ 0 DeThi.edu.vn
  33. lOMoARcPSD|9783286 Khi đổi vai trò của và cho nhau thì miền không thay đổi 2 2 2 2 2 2 3 − + + 1 3 − + + 1 ⇒ = ∭ 2 2 2 = ∭ 2 2 2 + + + 1 + + + 1 2 2 2 2 2 2 3 − + + 1 3 − + + 1 ⇒ 2 = ∭ 2 2 2 + ∭ 2 2 2 =2∭ + + + 1 + + + 1 1 4 2 ⇒ =∭ = . = 2 3 3 Câu 10: Tìm giới hạn cos arctan( + ) →0lim ∫ 2 2 sin 1 + + Giải: cos cos x , sin y liên tục ∀y ∈ 푅 arctan(x + y) {arctan(x + y) 2 ⇒ ( ) = ∫ 2 2 liên tục trên 푅 2 2 liên tục trên 푅 1 + x + y 1 + x + y sin cos cos 0 1 arctan(x + y) arctan( + 0) arctan( ) ⇒ →0 lim ∫ 2 2 = ∫ 2 2 = ∫ 2 sin 1 + x + y sin 0 1 + + 0 0 1 + 1 4 2 = ∫ arctan( ) (arctan( )) = ∫ 푡 푡 = 0 0 32 DeThi.edu.vn
  34. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20182 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong tại điểm 2 2 + −푒 −2 =0 (1,0,0). Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong sau: 2 2 Câu 3: (1đ). ( + ) + ( −2 ) =5. và trục 2 Tính tích phân kép ∬ ( − 4 ) với giới hạn bởi parabol = − 1 Câu 4: .(1đ). Tính tích phân lặp: 2 1 1 − cos ∫ ∫ 2 Câu 5: (1đ). Tính diện tích phần hình1 tròn√ −1 nằm ngoài đường tròn 2 2 2 2 Câu 6: (3đ). Tính các tích phân bội ba sau: + = 2 + = 1 2 2 ) ∭(3 + 2 ) , trong đó miền xác định bởi 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ ) ∭( − + 2 ) , trong đó được giới hạn bởi các mặt − =0, − =2, + =0, + =1, =0, =1 2 2 2 2 ) ∭ 2 2 , trong đó V là miền xác định bởi + + ≤ 4 , ≥ 0 Câu 7: (1đ).√4 −Tính −độ cong tại điểm của đường cong là giao của mặt trụ và mặt phẳng 2 2 (−1,0, −1) 4 + Câu= 8: 4 (1đ). Chứng minh − 3 rằng = hàm 2. số khả vi trên +∞ − 1−cos( ) ( ) = ∫0 푒 푅. DeThi.edu.vn
  35. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ GIỮA KỲ 20182 (ĐỀ 2) Câu 1: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong tại điểm 2 2 + − 푒 − 2 = 0 Giải: (1,0,0). t ′ Đặ 2 2 퐹′ = 2 − 2 퐹( , , ) = + − 푒 − 2 ⇒ { 퐹′ = 2 − 2 Tại ta có: 퐹 = −푒 − 2 ′ ′ ′ Phương (1,0,0 trình) ,tiếp diệ퐹n (c ủa) m=ặt 2, cong 퐹 ( tạ)i = 0, 퐹 ( là:) = −1 (1,0,0) 2( − 1) + 0( − 0) − ( − 0) =0⇔2 − −2=0 Phương trình pháp tuyến của mặt cong tại là: = 1 + 2푡 (1,0,0) { = 0 = −푡 Câu 2: Tìm hình bao của họ đường cong sau: 2 2 Giải: ( + ) + ( − 2 ) = 5. Đặt 2 2 Xét 퐹( , , ) = ( + ) + ( − 2 ) − 5 ′ 퐹 = 0 2( + ) = 0 = − { ′ ⇔ { ⇔ { Điểm퐹 = 0 không2( −thu 2 ộ)c =họ 0đường tròn = 2 2 2 Họ( đường− , 2 )tròn không có điểm kì dị. ( + ) + ( − 2 ) = 5 Xét⇒ 2 2 2 2 퐹 = 0 ( + ) + ( − 2 ) − 5 = 0 ( + ) + ( − 2 ) − 5 = 0 { ′ ⇔ { ⇔ { 퐹 = 0 2( + ) − 4( − 2 ) = 0 + = 2( − 2 ) 2 2 2 = 1 + 2 (2 − 4 ) + ( − 2 ) = 5 ( − 2 ) = 1 [ ⇔ { ⇔ { ⇔ { = −1 + 2 + = 2( − 2 ) = 2( − 2 ) − = 2( − 2 ) − − + 2 = = 2 − { − 1 − 1 { = 1 + 2 = + − 2 = 0 + 2 − 5 = 0 ⇔ [ ⇔ 2 ⇒ [ 2 ⇔ [ = −2 − − − 2 = + 1 + 2 + 5 = 0 { = −1 + 2 { + 1 + + 2 = 0 V y hình bao c a h ng tròn =là: 2 và ậ ủ ọ đườ[ 2 = −2 + 5 = −2 − 5 DeThi.edu.vn
  36. lOMoARcPSD|9783286 2 vàCâu tr ụ3:c Tính tích phân kép ∬( − 4 ) trong đó giới hạn bởi parabol = − 1 Giải: . Miền −1 ≤ ≤ 1 : { 2 − 1 ≤ ≤ 0 1 0 ∬( − 4 ) = ∫ 2∫ ( − 4 ) −1 −1 1 2 1 2 2 32 = ∫ [ (1 − ) + 4. ( − 1) ] = −1 2 15 Câu 4: Tính tích phân lặp: 2 1 1 − cos ∫ ∫ 2 Giải: 1 √ −1 DeThi.edu.vn
  37. lOMoARcPSD|9783286 Đổi thứ tự lấy tích phân, miền 2 1 ≤ ≤ + 1 : { 0 ≤ ≤ 1 2 2 1 1 +1 1 1 − cos 1 − cos 2 1 − cos ⇒ ∫ ∫ 2 = ∫ ∫ 2 = ∫ ( . 2 ) 1 √ −1 0 1 0 1 = ∫(1 − cos ) = 1 0 Câu 5: Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài đường tròn 2 2 2 2 Giải: + = 2 + = 1 Gọi miền cần tính diện tích là Đặt . Miề .n = cos 휑 1 ≤ ≤ 2 sin 휑 { , |퐽| = : { Diện tích = mi sinền 휑 là: /6 ≤ 휑 ≤ 5 /6 DeThi.edu.vn
  38. lOMoARcPSD|9783286 5 5 5 6 2 sin 휑 6 6 1 2 2(1 − cos 2 ) 1 푆 = ∬ = ∫ 휑 ∫ = ∫ (4sin 휑 − 1) 휑 = ∫ ( − ) 휑 1 2 2 2 6 6 6 √3 ⇒ 푆 = + (đvdt) 3 2 Câu 6: Tính các tích phân bội ba sau: 2 2 ) ∭(3 + 2 ) , trong đó miền xác định bởi 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ Giải: 2 1 1 2 2 2 2 ∭(3 + 2 ) = ∫ ∫ ∫ (3 + 2 ) = ∫ ∫ (3 + 2 ) 0 0 0 0 0 1 5 2 2 7 = ∫(3 + . ) = 0 10 ) ∭( − + 2 ) , trong đó được giới hạn bởi các mặt Giải: − =0, − =2, + =0, + =1, =0, =1 Đặt ′ ′ ′ = − −1 ′ ′ ′ 1 −1 0 {푣 = + ⇒ 퐽 = |푣 ′ 푣 ′ 푣 ′| = |1 1 0| = 2 ⇒ 퐽 = 1/2 푤 = 푤 푤 푤 0 0 1 Miền trong tọa độ mới là 0 ≤ ≤ 2 푣푤 푣푤 : {0 ≤ 푣 ≤ 1 0 ≤ 푤 ≤ 1 2 1 1 1 1 ⇒ ∭( − + 2 ) = ∭ ( + 2푤) 푣 푤 = ∫ ∫ 푣 ∫( + 2푤) 푤 푣푤 2 2 0 0 0 2 1 2 1 1 = ∫ ∫( + 1) 푣 = ∫( + 1) = 2 2 0 0 2 0 DeThi.edu.vn
  39. lOMoARcPSD|9783286 2 2 2 2 ) ∭ 2 2 , trong đó V là miền xác định bởi + + ≤ 4 , ≥ 0 √4 − − Miền 2 2 2 2 2 2 + + ≤ 4 ≤ − − + 4 2 2 : { ⇔ { ⇔ 0 ≤ ≤ √4 − [ + ( − 2) ] Hình chiếu của lên ≥ 0 là ≥ 0 2 2 : + ( − 2) ≤ 4 Đặt = cos 휑 { = 2 + sin 휑 , 퐽 = = 2 2 2 √ 0 ≤ ≤ √4 − [ + ( − 2) ] 0 ≤ ≤ 4 − : { 2 2 ⇔ { 0 ≤ ≤ 2 : + ( − 2) ≤ 4 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 2 2 √4− 2 2 . ∭ 2 2 = ∫ 휑 ∫ ∫ 2 √4 − [ + ( − 2) ] 0 0 0 √4 − 2 2 2 (4 − ) 8 = ∫ 휑 ∫ = 0 0 3 3 DeThi.edu.vn
  40. lOMoARcPSD|9783286 Câu 7: Tính độ cong tại điểm của đường cong là giao của mặt trụ và mặt phẳng 2 2 (−1,0, −1) 4 + = 4 Giải: − 3 = 2. Tham số hóa (do Đường có dạng = cos 푡 = cos 푡 2 2 =cos sin푡−2 푡 { = 2 sin 푡 + /4 = 1) ⇒ 퐿 { = 3 ′ ′′ ′ ′′ ′ = − sin 푡 , ′′ = − cos 푡 ′( ) = 0, ′′( ) = 1 = 2 cos 푡, = −2 sin 푡 ( ) = 2, ( ) = 0 ⇒ { . Tại (−1,0, −1) ⇔ 푡 = ⇒ { ′ − sin 푡 ′′ − cos 푡 ′ ′′ 1 Áp d ng công= th , = cong: ( ) = 0, ( ) = ụ 3ức tính độ 3 3 ′ ′ 2 ′ ′ 2 ′ ′ 2 0 0 0 0 0 0 ′′(푡 ) ′′(푡 ) ′′(푡 ) ′′(푡 ) ′′(푡 ) ′′(푡 ) √| 0 0 | + | 0 0 | + | 0 0 | (푡 ) (푡 ) (푡 ) (푡 ) (푡 ) (푡 ) √10 ( ) = 3 = ′2 ′2 ′2 2 12 ( + + ) Câu 8: Chứng minh rằng hàm số khả vi trên +∞ − 1−cos( ) ( ) = 0 푒 푅. Giải: ∫ − 1 − cos( ) HàmĐặt ( , ) = 푒 nh t i không xác đị ạ nhưng ( , ) = 0 2 2 − − − 2 + − 1 − cos( ) →0lim ( , ) = →0 lim ( , ) = →0 lim 푒 = →0 lim 푒 = →0 lim 푒 = 0 − 1 − cos( ) ′ − 2 푒 , ≠ 0 Ta có: ( , ) = { , = 푒 sin( ) liên tục trên 푅 0 , = 0 − − +∞ +∞ |푒 sin( )| ≤ 푒 , ∀ ∈ 푅 − { − − +∞ ⇒ ∫ 푒 sin( ) hội tụ đều trên 푅 Mà ∫ 푒 = −푒 | = 0 − (−1) = 1 hội tụ 0 0 0 (theo tiêu chuẩn Weierstrass) DeThi.edu.vn
  41. lOMoARcPSD|9783286 +∞ 1 +∞ − 1 − cos( ) − 1 − cos( ) − 1 − cos( ) ( ) = ∫ 푒 = ∫ 푒 + ∫ 푒 0 0 1 − 푒 cos( ) − | | ≤ 푒 , ∀ ∈ 푅 1 +∞ − 1 − cos( ) − − +∞ ∫ 푒 hội tụ 1 0 ∫ 푒 = −푒 | = hội tụ +∞ 1 푒 ⇒ ⇒ ( ) hội tụ 1 1 − 1 − cos( ) ∫ 푒 hội tụ − 1 1 ∫ 푒 = 1 − hội tụ { 푒 {Vậy 0 khả vi trên ( ) 푅 DeThi.edu.vn
  42. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 6 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20182 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong tại điểm 2푡 =sin 푡, = cosCâu푡 2,: (=1đ푒). Tính độ cong ( 0c,ủa1,1 đườ). ng tại điểm ứng với 2 Câu 3: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân =푡 , =푡 ln 푡,푡>0 푡=푒 1 1 ∫ ∫3 ( , ) Câu 4: (2đ). Tính các tích phân sau: 0 2 2 2 2 ) ∬ √ + , trong đó : 1 ≤ + ≤ 4, + ≥ 0 ) ∬|cos( + )| , trong đó = [0; ] × [0; ] Câu 5: (1đ). Tính tích phân: 2 2 1 1− 2 ∫ ∫ ∫( + ) Câu 6: (1đ). Tính thể tích của miền 0giới h0ạn bởi 0hai parabol và 2 2 2 2 Câu 7: (1đ). Cho hàm vecto khả vi Ký hiệ u = 1 + là độ+ dài của = 2( Chứ+ng ) minh: 3 ⃗⃗⃗(⃗⃗⃗푡⃗⃗)⃗: 푅 → 푅 \{0⃗⃗}. | ⃗(푡)| ⃗(푡). (| ⃗(푡)|) 1 ′ = ⃗(푡). ⃗⃗⃗⃗(푡). Câu 8: (1đ). Tính tích phân 푡 | ⃗(푡)| trong đó là hình cầu 2 2 2 2 Câu 9: (1đ). Chứng minh rằng∭ hàm(2 số − ) khả vi trên + + ≤ 1 +∞ − sin( ) ( ) = ∫0 푒 푅. DeThi.edu.vn
  43. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20182 Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong tại điểm 2푡 = sin 푡 , = cos 푡 , = 푒 Giải: (0,1,1). Tại 0 = sin 푡 (0,1,1) ⇒ {1 = cos2푡푡 ⇔ 푡 = 0 1 = 푒 Ta có: ′ . Tại ′ ′ (푡) = cos 푡 ′(0) = 1 { (′푡) = − sin2푡 푡 푡 = 0 ⇒ { ′(0) = 0 Tại (푡) phương= 2푒 trình tiếp tuyến của ( đườ0) =ng 2 cong là: (0,1,1), = 푡 { = 1 T i n c ng cong là: ạ phương trình pháp diệ ủa đườ = 1 + 2푡 (0,1,1), 퐿 + 0. ( − 1) + 2( − 1) =0⇔ +2 −2=0 Câu 2: Tính độ cong của đường tại điểm ứng với 2 Giải: = 푡 , = 푡 ln 푡 , 푡 > 0 푡 = 푒 Ta có 2 ′ ′′ = 푡 = 2푡 , = 2 { ⇒ { ′ ′′ Tại = 푡 ln 푡 = ln 푡 + 1, = 1/푡 ′ ′′ (푒) = 2푒 , (푒) = 2 푡 = 푒 ⇒ { ′ ′′ Độ cong của đườ (ng푒) cong= 2 , t ại (푒) = là: 1/푒 푡 = 푒 1 |2푒. − 2.2| 2 (푡 = 푒) = 푒 3 = 3 2 2 2 2 2 2 (4푒 + 2 ) (4푒 + 2 ) Câu 3: Đổi thứ tự lấy tích phân 1 1 ∫ ∫3 ( , ) 0 DeThi.edu.vn
  44. lOMoARcPSD|9783286 Giải: Miền 0 ≤ ≤ 1 : { 3 Thay đổi th ứ t≤ự lấy ≤ tích 1 phân Miền 3 0 ≤ ≤ √ : { 0 ≤ ≤ 1 3 1 1 1 √ ⇒ ∫ ∫3 ( , ) = ∫ ∫ ( , ) 0 0 0 Câu 4: Tính các tích phân sau: 2 2 2 2 ) ∬ √ + , trong đó : 1 ≤ + ≤ 4, + ≥ 0 ) ∬|cos( + )| , trong đó = [0; ] × [0; ] 2 2 Giải: 2 2 2 2 ) ∬ √ + , trong đó : 1 ≤ + ≤ 4, + ≥ 0 Đặt = cos 휑 { = sin 휑 , 퐽 = 1 ≤ ≤ 2 Miền : {− 3 ≤ 휑 ≤ 4 4 2 2 2 2 2 14 ∬ √ + = ∫ 휑 ∫ √ . = 0 1 3 DeThi.edu.vn
  45. lOMoARcPSD|9783286 ) ∬|cos( + )| , trong đó = [0; ] × [0; ] 2 2 − − |cos( + )| = cos( + ) khi ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − 2 2 2 2 Ta có: { 3 3 |cos( + )| = −cos( + ) khi ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − 2 2 2 2 퐾ế푡 ℎợ ù푛 푖ề푛 = [0; ] × [0; ], 푡 ó: 2 2 0 ≤ ≤ − 2 |cos( + )| = cos( + ) khi { 0 ≤ ≤ 2 − ≤ ≤ 2 2 |cos( + )| = − cos( + ) khi { 0 ≤ ≤ Chia miền thành: 2 0 ≤ ≤ − − ≤ ≤ + 2 − 2 2 : { và : { 0 ≤ ≤ 0 ≤ ≤ 2 2 ∬|cos( + )| = ∬+ cos( + ) + ∬− −cos( + ) DeThi.edu.vn
  46. lOMoARcPSD|9783286 − 2 2 2 2 = ∫ ∫ cos( + ) − ∫ ∫ cos( + ) 0 0 0 − 2 2 2 = ∫ (sin − sin ) − ∫ [sin ( + ) − sin ] = − 1 + − 1 = − 2 0 2 0 2 2 2 2 Câu 5: Tính tích phân: 1 1− 2 ∫ ∫ ∫( + ) 0 0 0 Giải: 1 1− 2 1 2 1− 1 2 1 2 1 − ∫ ∫ ∫( + ) = ∫ ∫ ∫ ( + ) = ∫ ∫ [( + ) | ] 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 = ∫ ∫ [ (1 − ) + (1 − ) ] 0 0 2 1 2 4 = ∫[2(1 − ) + (1 − ) ] = 0 3 Câu 6: Tính thể tích của miền giới hạn bởi hai parabol và 2 2 2 2 Giải: = 1 + + = 2( + ) Xét giao tuyến của và 2 2 2 2 = 1 + + = 2( + ) 2 2 2 2 2 2 Hình chiếu1 c +ủa lên+ = 2là( + ) ⇔ + = 1 2 2 Đặt : + ≤ 1 = cos 휑 0 ≤ ≤ 1 { , 퐽 = ⇒ : { Thể tích = v ậtsin thể 휑 là: 0 ≤ 휑 ≤ 2 DeThi.edu.vn
  47. lOMoARcPSD|9783286 2 2 2 2 =∭ = ∬[(1 + + ) − 2( + )] 2 1 2 2 2 = ∬(1 − − ) = ∫ 휑 ∫(1 − ) = (đvtt) 0 0 2 Câu 7: Cho hàm vecto khả vi Ký hiệu là độ dài của Chứng minh: 3 ⃗⃗⃗(⃗⃗⃗푡⃗⃗)⃗: 푅 → 푅 \{0⃗⃗}. | ⃗(푡)| ⃗(푡). (| ⃗(푡)|) 1 ′ = ⃗(푡). ⃗⃗⃗⃗(푡). Giải: 푡 | ⃗(푡)| Đặt 2 2 2 | ⃗(푡)| = √ (푡) + (푡) + (푡) ⃗(푡) = ( (푡), (푡), (푡)) ⇒ { ′ ′ ′ Biến đổi tương đương ′⃗⃗⃗(푡) = ( (푡), (푡), (푡)) (| ⃗(푡)|) 1 ′ = ⃗(푡). ⃗⃗⃗⃗(푡) 푡 | ⃗(푡)| ′ ′ ′ 2 2 2 (푡). (푡) + (푡). (푡) + (푡). (푡) ⇔ (√ (푡) + (푡) + (푡)) = 2 2 2 푡 √ (푡) + (푡) + (푡) ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2 (푡). (푡) + 2 (푡). (푡) + 2 (푡). (푡) (푡). (푡) + (푡). (푡) + (푡). (푡) ⇔ 2 2 2 = 2 2 2 2√ (푡) + (푡) + (푡) √ (푡) + (푡) + (푡) ′ ′ ′ ′ ′ ′ (푡). (푡) + (푡). (푡) + (푡). (푡) (푡). (푡) + (푡). (푡) + (푡). (푡) ⇔ 2 2 2 = 2 2 2 Điều ph√ ải ch(푡ứ)ng+ minh. (푡) + (푡) √ (푡) + (푡) + (푡) ⇒ Câu 8: Tính tích phân trong đó là hình cầu 2 2 2 2 Giải: ∭ (2 − ) + + ≤ 1 2 2 2 2 ∭(4 − 4 + ) = ∭(4 + ) + ∭(−4 ) DeThi.edu.vn
  48. lOMoARcPSD|9783286 ( , , ) = −4 là hàm lẻ với biến { ⇒ ∭(−4 ) = 0 Miền đối xứng qua Đặt = sin 휃 cos 휑 2 { = sin 휃 sin 휑 , 퐽 = − sin 휃 = cos 휃 Miền trong tọa độ cầu là 0 ≤ ≤ 1 : { 0 ≤ 휃 ≤ 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 1 2 2 2 2 2 ∭(4 + ) = ∫ 휑 ∫ 휃 ∫[4( sin 휃 sin 휑) + ( cos 휃) ] sin 휃 0 0 0 2 2 4 2 1 2 16 2 2 4 = ∫ 휑 ∫ [ (sin 휃 sin 휑) + (cos 휃) ] sin 휃 휃 = ∫ [ (sin 휑) + ] 휑 = 0 0 5 5 0 15 15 3 Câu 9: Chứng minh rằng hàm số khả vi trên +∞ − sin( ) ( ) 0 Giải: = ∫ 푒 푅. − sin( ) HàmĐặt ( , ) = 푒 nh t i không xác đị ạ nhưng ( , ) = 0 − − − + − sin( ) →0lim ( , ) = →0 lim ( , ) = →0 lim 푒 = →0 lim 푒 = →0 lim 푒 = − sin( ) ′ − 2 푒 , ≠ 0 Ta có: ( , ) = { , = 푒 cos( ) liên tục trên 푅 , = 0 − − +∞ +∞ |푒 cos( )| ≤ 푒 , ∀ ∈ 푅 − { − − +∞ ⇒ ∫ 푒 cos( ) hội tụ đều trên 푅 Mà ∫ 푒 = −푒 | = 0 − (−1) = 1 hội tụ 0 0 0 (theo tiêu chuẩn Weierstrass) +∞ 1 +∞ − sin( ) − sin( ) − sin( ) ( ) = ∫ 푒 = ∫ 푒 + ∫ 푒 0 0 1 DeThi.edu.vn
  49. lOMoARcPSD|9783286 − 푒 sin( ) − | | ≤ 푒 , ∀ ∈ 푅 +∞ 1 +∞ − − +∞ 1 ∫ 푒 = −푒 | = hội tụ − sin( ) − sin( ) 1 푒 ⇒ ( ) = ∫ 푒 + ∫ 푒 hội tụ 1 1 0 1 − 1 ∫ 푒 = 1 − hội tụ 푒 {Vậy 0 khả vi trên ( ) 푅 DeThi.edu.vn
  50. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 7 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20183 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng 3 Câu 2: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuy− ế n +củ a tại= điể0 m của mặt sin 2 Câu 3: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân: (1;0;1) = 푒 2 1 ∫ ∫ ( , ) Câu 4: (1đ). Tính 0 − với là miền: 2 2 ∬ sin( + 2 ) , 2 2 Tính + 2 ≤ , ≥ 0 Câu 5: (1đ). 2 + + 2 ∭ Với xác định bởi ( + 1)( + 1) Câu 6: (1đ). Tính th0≤ ≤1,1≤ ≤2,1≤ ≤푒ể tích miền giới hạn bởi các mặt và 2 2 Câu 7: (1đ). Tìm giới hạn = −( + ) = −1 cos Câu 8: (1đ). Tìm điểm có độ →0lim cong∫sin nharctanỏ nhất (c ủa − đườ ) ng 2 2 Câu 9: (1đ). Tính + 4 = 4 2 ( + 1) ∭ 2 2 2 Với xác định bởi + + + 3 2 2 2 Câu 10: (1đ). Cho hàm + số + ≤ 1 Tính ln(1+ ) ′ 2 ( ) = ∫0 1+ . (1) DeThi.edu.vn
  51. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KỲ 20183 Câu 1: Tìm hình bao của họ đường thẳng 3 Giải: − + = 0 3 XétĐặt 퐹( , , ) = − + Vô nghi m H m kì d . ′ ệ ọ đường cong không có điể ị 퐹 ( , , ) = 0 1 = 0 { ′ ⇔ { ⇒ ⇒ 퐹 ( , , ) = 0 − = 0 3 3 2 3 3 = 퐹( , , ) = 0 − + = 0 − . 3 + = 0 = 2 Xét { ′ ⇔ { 2 ⇔ { 2 ⇔ { 2 ⇔ {2 ( ) 2 퐹 , , = 0 − + 3 = 0 = 3 = 3 = 3 2 3 3 27 2 ⇒ ( ) − ( ) = 0 ⇔ = 2 3 4 3 27 2 Vậy hình bao của họ đường cong là đường = 4 Câu 2: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của tại điểm của mặt sin 2 Giải: (1; 0; 1) = 푒 t ′ sin 2 Đặ sin 2 ′ 퐹 = −푒 sin 2 ( ) 퐹 , , = − 푒 ⇒ {퐹 = −2 ′ cos 푒 퐹 = 1 T i ta có: ′ ạ 퐹′( ) = −1 ( ) (1; 0; 1), {퐹 ′ = −2 Phương trình tiếp diện c퐹ủ a( m)ặt= cong 1 tại là: (1; 0; 1) Phương trình pháp−1. tuyế( −n c 1ủ)a −m 2.ặt (cong − 0tạ)i + 1. ( − 1 là:) =0⇔− −2 + =0 (1; 0; 1) − 1 − 1 = = −1 −2 1 DeThi.edu.vn
  52. lOMoARcPSD|9783286 Câu 3: Đổi thứ tự lấy tích phân: 2 1 ∫ ∫ ( , ) 0 − Giải: Miền 0 ≤ ≤ 1 : { 2 − ≤ ≤ Đổi thứ tự lấy tích phân, chia thanh hai miền và − ≤ ≤ 1 √ ≤ ≤ 1 1 : { 2 : { −1 ≤ ≤ 0 0 ≤ ≤ 1 2 1 0 1 1 1 ⇒ ∫ ∫ ( , ) = ∫ ∫ ( , ) + ∫ ∫ ( , ) 0 − −1 − 0 √ Câu 4: Tính với là miền: 2 2 ∬ sin( + 2 ) , 2 2 + 2 ≤ , ≥ 0 Giải: 2 = cos 휑 = cos 휑 1 Đặt { ⇔ { , 퐽 = √2 = sin 휑 = sin 휑 √2 √2 DeThi.edu.vn
  53. lOMoARcPSD|9783286 0 ≤ ≤ √ Miền trong tọa độ cực suy rộng : { 2 0 ≤ 휑 ≤ √ √ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ∬ sin( + 2 ) = ∫ 휑 ∫ sin( ) . = ∫ 휑 ∫ sin( ) ( ) 0 0 √2 2√2 0 0 2 1 1 = ∫ 휑 ∫ sin = ∫ 휑 = 2√2 0 0 2√2 0 2√2 Câu 5: Tính + + 2 Với xác định bởi ∭ ( + 1)( + 1) Giải: 0≤ ≤1,1≤ ≤2,1≤ ≤푒 1 2 푒 + + 2 + + 2 ∭ = ∫ ∫ ∫ ( + 1)( + 1) 0 1 1 ( + 1)( + 1) 1 2 1 2 + + 2 푒 + + 2 = ∫ ∫ [ ln ] | = ∫ ∫ 0 1 ( + 1)( + 1) 1 0 1 ( + 1)( + 1) 1 2 1 2 1 2 ( + 1) + ( + 1) 1 1 = ∫ ∫ = ∫ ∫ + ∫ ∫ 0 1 ( + 1)( + 1) 0 1 + 1 0 1 + 1 DeThi.edu.vn
  54. lOMoARcPSD|9783286 1 1 1 = ∫(ln 3 − ln 2) + ∫ = (ln 3 − ln 2) + ln 2 = ln 3 0 0 + 1 Câu 6: Tính thể tích miền giới hạn bởi các mặt và 2 2 Giải: = −( + ) = −1 Xét giao tuyến của hai mặt và 2 2 = −( + ) = −1 2 2 2 2 ⇒Hình −( chi ế+u củ)a =mi −1ền ⇔ lên + là = 1 2 2 Thể tích miền là: : + ≤ 1 2 2 =∭ = ∬[1 − ( + )] Đặt = cos 휑 0 ≤ ≤ 1 { , 퐽 = ⇒ : { = sin 휑 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 1 2 2 2 ⇒ =∭ = ∬[1 − ( + )] = ∫ 휑 ∫(1 − ). = (đvtt) 0 0 2 Câu 7: Tìm giới hạn cos →0lim ∫sin arctan( − ) Giải: cos Đặt ( ) = ∫ arctan( − ) sin Ta có: 2 liên tục trên ( , ) = arctan( − ) liên tục với ( , ) ∈ 푅 { cos liên tục với y ∈ R ⇒ ( ) 푅 sin liên tục với y ∈ R cos 1 ⇒ →0 lim ∫ arctan( − ) = (0) = ∫ arctan sin 0 1 = arctan 2 Đặt { ⇒ { = 푣 = 1 + 푣 = DeThi.edu.vn
  55. lOMoARcPSD|9783286 1 1 1 1 1 1 2 ln 2 ∫ arctan = . arctan | − ∫ 2 = − ∫ 2 ( ) = − 1 + 4 2 1 + 4 2 0 0 0 0 cos ln 2 Vậy →0 lim ∫ arctan( − ) = − sin 4 2 Câu 8: Tìm điểm có độ cong nhỏ nhất của đường 2 2 Giải: + 4 = 4 2 2 2 2 2 ( − 2) 2 Ta có: + 4 = 4 ⇔ ( − 2) + 4 = 4 ⇔ + = 1 4 ′ ′′ = 2 + 2 cos 푡 = −2 sin 푡 , = −2 cos 푡 Đặ푡 { ⇒ { ′ ′′ Độ cong củ =a đư sinờng 푡 cong tại một= điểcosm푡 ứ ,ng v=ới− sinbất 푡kỳ là: 푡 ′ ′′ ′′ ′ −3/2 | − . | 2 5 3 3/2 3/2 = ′2 ′2 = = 2. ( − cos 2푡) ( + ) 5 3 2 2 (2 − 2 cos 2푡) −5/2 ′ −3 3 5 3 −9 sin 2푡 −18 sin 푡 . cos 푡 Xét (푡) = 2. . . 2. sin 2푡 . ( − cos 2푡) = 5/2 = 5/2 2 2 2 2 5 3 5 3 (2 − 2 cos 2푡) (2 − 2 cos 2푡) 푡 = 0 ′ sin 푡 = 0 (푡) = 0 ⇔ [ ⇔ [ 푡 = cos 푡 = 0 bài toan b t ph c t p, ch 푡 xét = ±giá tr c a trong m ng giác) (Để ớ ứ ạ ỉ 2 ị ủ ột vòng lượ 푡 푡 −2 0 − 0 00 0 0 ′ 2 2 (푡) + − + − + − (푡) Từ bảng biến thiên đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm làm cho ⇒ (푡) cos 푡 = 1 − (푡 = , , ) 2 2 DeThi.edu.vn
  56. lOMoARcPSD|9783286 Với = 2, = −1 cos 푡 = 0 ⇔ sin 푡 = ±1 ⇒ [ Vậy đường cong có độ cong nhỏ nh ấ =t tại 2, điể =m 1 hoặc (2, −1) (2,1) Câu 9: Tính 2 ( + 1) V i nh b i ∭ 2 2 2 ớ xác đị ở + + + 3 2 2 2 Giải: + + ≤ 1 2 ( − 1) Đặ푡 = ∭ 2 2 2 + + + 3 2 2 + 2 + 1 + 1 2 = ∭ 2 2 2 = ∭ 2 2 2 + ∭ 2 2 2 + + + 3 + + + 3 + + + 3 2 2 2 2 lẻ với biến 2 { + + + 3 ⇒ ∭ 2 2 2 = 0 + + + 3 Miền đối xứng qua 2 + 1 ⇒ = ∭ 2 2 2 (1) + + + 3 DeThi.edu.vn
  57. lOMoARcPSD|9783286 Đổi vai trò của miền không thay đổi , 2 + 1 ⇒ = ∭ 2 2 2 (2) Đổi vai trò c ủa + mi+ề n + không 3 thay đổi , 2 + 1 ⇒ = ∭ 2 2 2 (3) + + + 3 2 2 2 + + + 3 4 4 (1) + (2) + (3) ⇒ 3 = ∭ 2 2 2 = ∭ = ⇒ = + + + 3 3 9 Câu 10: Cho hàm số Tính ln(1+ ) ′ 2 ( ) = 0 1+ . (1) Giải: ∫ ln(1 + ) ′ Đặt ( , ) = 2 ⇒ ( , ) = 2 1 + (1 + )(1 + ) Ta có: khả vi với ( ,′ ) liên tục, khả vi trên [0; 2] × [0; 2] { ( , ) liên tục trên [0; 2] × [0; 2] ⇒ ( ) ∈ [0; 2] 2 = liên tục, khả vi trên [0; 2] 2( ) ′ ′ ′ ′ ( ) = ( 2( ), ). 2( ) − ( 1( ), ). 1( ) +∫ ( , ) 1(1) 2 ′ ln(1 + ) ln 1 ⇒ ( ) = 2 − . 0 + ∫ 2 1 + 1 0 (1 + )(1 + ) 1 ′ ln 2 ⇒ (1) = + ∫ 2 2 0 (1 + )(1 + ) 1 1 1 −1 + 1 ln 2 ln 2 1 ∫ 2 = ∫ + ∫ 2 = − + + . arctan 1 0 (1 + )(1 + ) 0 2(1 + ) 0 2(1 + ) 2 4 2 ′ ln 2 ⇒ (1) = + 4 8 DeThi.edu.vn
  58. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 8 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20192 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại điểm 3 3 + =9 (4,2) Câu 2: (1đ). Tính độ cong của đường tại điểm ứng với = 2(푡 − sin 푡) { 푡 = /2 Câu 3: (1đ). Tìm hình bao của họ đường =cong 2( 1 − cos 푡) là tham số 2 2 2 Câu 4: (1đ). Tìm giới hạ2 n − 4 + 2 + = 0, , ≠ 0 2 2 2 →0lim ∫ cos( + 3 + ) Câu 5: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân:0 2 1 √2− ∫ ∫2 ( , ) Với xác định bởi 0 Câu 6: (1đ). Tính di0≤ ≤1,1≤ ≤2,1≤ ≤푒ện tích phần mặt nằm trong mặt 2 2 2 2 Câu 7: (1đ). Tính thể tích của miền gi ới = hạ n b+ởi các+ m 2ặt cong + = 9 và mặt 2 2 2 = , = , = Câu . 8: (1đ). Tính với là miền xác định bởi 2 ∬ (2 + 3) , 2 2 Câu 9: (1đ). Tính với xác+ đị( nh − b 1ở)i ≤ 1 ∭ 2 2 2 2 Câu 10: (1đ). Tính tích phân b+ội ba ≤ 1, + ≤ trong 4, đó ≥ 0 2 ∭ 푒 , :0≤ ≤1, ≤ ≤1,≤ ≤ + 2 DeThi.edu.vn
  59. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20192 Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại điểm 3 3 + = 9 Gi(4,2ải: ) Đặt 3 3 ′ 2 ′ 2 Tại 퐹( , tai) = có + − 9 ⇒ 퐹 = 3 − 9 , 퐹 = 3 − 9 ′ ′ Phương(4,2 )trình, tiếp퐹 tuy(4,2ến) c=ủa30 đườ, 퐹 ng= cong −24 tại là: (4,2) Phương trình pháp tuy30ến( của − đườ 4) −ng24 cong( − tạ 2i ) = 0 ⇔là: 30 − 24 − 72 = 0 (4,2) − 4 − 2 = 30 −24 Câu 2: Tính độ cong của đường tại điểm ứng với = 2(푡 − sin 푡) { 푡 = /2 Giải: = 2(1 − cos 푡) Ta có ′ ′′ = 2(푡 − sin 푡) (푡) = 2 − 2 cos 푡 (푡) = 2 sin 푡 { ⇒ { ′ ⇒ { ′′ = 2(1 − cos 푡) (푡) = 2 sin 푡 (푡) = 2 cos 푡 ′ ′′ ( ) = 2 , ( ) = 2 2 2 Tại 푡 = /2 ⇒ { ′ ′′ ( ) = 2 , ( ) = 0 Độ cong của tại 2 là: 2 퐿 푡 = /2 2 |2.0 − 2.2| 2 √2 (푡 = 0) = 3 = 9 = 2 2 2 2 8 (2 + 2 ) 2 Câu 3: Tìm hình bao của họ đường cong là tham số 2 2 2 Giải: 2 − 4 + 2 + = 0, , ≠ 0 2 2 2 Đặt 퐹( , , ) = 2 − 4 + 2 + với ≠ 0 DeThi.edu.vn
  60. lOMoARcPSD|9783286 Xét ′ 퐹 ( , , ) = 0 4 − 4 = 0 = { ′ ⇔ { ⇔ { Điểm퐹 ( , , không ) = 0thuộc họ4 đườ =ng 0 cong = 0 2 2 2 Họ( đường , 0) cong không có điểm kì dị. 2 − 4 + 2 + = 0 ⇒ 2 2 2 2 2 2 퐹( , , ) = 0 Xét { ′ ⇔ {2 − 4 + 2 + = 0 ⇔ {2 − 4 + 2 + = 0 퐹 ( , , ) = 0 −4 + 2 = 0 = 2 2 2 2 2 2 Do⇒ 2 − 4 .nên2 + 2 và + (2 ) = 0 ⇔ − + = 0 ⇔ = ± ≠ 0 ≠ 0 ≠ 0 Vậy hình bao của họ đường cong là đường = ± trừ (0,0) Câu 4: Tìm giới hạn 2 2 2 →0lim ∫ cos( + 3 + ) 0 Giải: Ta có: là hàm số liên tục trên 2 2 ( , ) = cos( + 3 + ) [0; /2] × 푅 2 2 2 ⇒ ( ) = ∫ cos( + 3 + ) là hàm số liên tục trên 푅. 0 2 2 2 2 −1 ⇒ →0 lim ∫ cos( + 3 + ) = (0) = ∫ cos(3 ) = 0 0 3 Câu 5: Đổi thứ tự lấy tích phân: 2 1 √2− ∫ ∫2 ( , ) 0 Giải: Miền 0 ≤ ≤ 1 : { 2 2 Đổi thứ tự lấy≤ tích ≤phân √2 − DeThi.edu.vn
  61. lOMoARcPSD|9783286 Chia miền thành hai miền 2 0 ≤ ≤ √ 0 ≤ ≤ √2 − 1 : { , 2 : { 0 ≤ ≤ 1 1 ≤ ≤ √2 2 2 1 √2− 1 √ √2 √2− ⇒ ∫ ∫2 ( , ) = ∫ ∫ ( , ) + ∫ ∫ ( , ) 0 0 0 1 0 Câu 6: Tính diện tích phần mặt nằm trong mặt 2 2 2 2 Giải: = + + 2 + = 9 Hình chiếu của phần mặt nằm trong mặt trụ lên là: 2 2 2 2 = + + 2 + = 9 2 2 Ta có: : + ≤ 9 ′ ′ Diện tích c=ần 2 , tính là:= 2 2 ′ 2 ′ 2 2 푆 = ∬ √1 + ( ) + ( ) = ∬ √1 + 4 + 4 Đặt = cos 휑 0 ≤ ≤ 3 { , 퐽 = ⇒ : { = sin 휑 0 ≤ 휑 ≤ 2 DeThi.edu.vn
  62. lOMoARcPSD|9783286 2 3 2 3 2 1 2 2 ⇒ 푆 = ∫ 휑 ∫ √1 + 4 . = ∫ 휑 ∫ √1 + 4 ( ) 0 0 2 0 0 2 9 1 1 1 (37√37 − 1) = ∫ 휑 ∫ √1 + 4 = . 2 . (37√37 − 1 ) = (đvdt) 2 0 0 2 6 6 Câu 7: Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt cong và mặt 2 2 2 Giải: = , = , = Gọi miền cần tính thể tích là Hình chiếu của lên là .miền giới hạn bởi 2 = { 2 = 2 ⇒ : { ≤ ≤ √ 0 ≤ ≤ 1 Miền 2 0 ≤ ≤ : { 20 ≤ ≤ 1 Thể tích mi ền ≤ là: ≤ √ 1 √ 1 2 2 2 2 3 =∭ = ∬ = ∫ ∫2 = ∫ (√ − ) = (đvtt) 0 0 35 Câu 8: Tính với là miền xác định bởi 2 ∬ (2 + 3) , 2 2 Giải: + ( − 1) ≤ 1 Đặt = cos 휑 { , 퐽 = Miền = 1 + sin 휑 0 ≤ ≤ 1 : { 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 2 ∬(2 + 3) = 2 ∬ + 3. 푆 DeThi.edu.vn
  63. lOMoARcPSD|9783286 2 1 2 2 2 1 2 1 2 = 2 ∫ 휑 ∫(1 + sin 휑) . + 3. . 1 = 2 ∫ ( + sin 휑 + sin 휑) 휑 + 3 0 0 0 2 3 4 2 11 = 2 ( + ) + 3 = 2 4 2 Câu 9: Tính với xác định bởi ∭ Gi i: 2 2 2 2 ả + ≤ 1, + ≤ 4, ≥ 0 Hình chiếu của lên là 2 2 : + ≤ 1 Miền 2 0 ≤ ≤ √4 − : { 2 2 : + ≤ 1 2 √4− 1 2 ⇒ =∭ = ∬ ∫ = ∬(4 − ) 0 2 Đặt = cos 휑 0 ≤ ≤ 1 { , 퐽 = ⇒ : { = sin 휑 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 15 15 ⇒ = ∫ 휑 ∫[4 − ( sin 휑) ]. = ∫ [2 − (sin 휑) ] 휑 = . = 2 0 0 2 0 4 2 4 8 Hình vẽ minh họa DeThi.edu.vn
  64. lOMoARcPSD|9783286 Câu 10: Tính tích phân bội ba trong đó 2 ∭ 푒 , Giải: :0≤ ≤1, ≤ ≤1,≤ ≤ + 2 Miền 0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ : { ≤ ≤ 1 ⇔ { 0 ≤ ≤ 1 (Đổi thứ tự lấy tích phân và ) 1 ≤ ≤ + 2 1 ≤ ≤ + 2 1 +2 1 2 2 +2 ⇒ = ∫ ∫ ∫ 푒 = ∫ ∫ (푒 − 푒) 0 0 1 0 0 2 +2 2 +2 2 +2 3 ∫ (푒 − 1) = ∫ 푒 − ∫ = ∫ 푒 ( + 2) − 푒. 0 0 0 0 2 +2 3 +2 2 3 = 푒 | − 푒. = 푒 − 푒 − 푒. 0 1 1 1 2 2 2 2 +2 +2 2 3 1 +2 2 푒 푒 ⇒ ∫ ∫ (푒 − 1) = ∫( 푒 − 푒 − ) = ∫ 푒 ( ) − − 2 2 4 0 0 0 0 1 3 2 푒 = 푒 − 푒 − 2 4 DeThi.edu.vn
  65. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 9 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20192 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của đường cong tại = 2(푡 − sin 푡) { = 2(1 − cos 푡) 푡Câu = /22: (1đ). Tính độ cong của đường cong tại 2 Câu 3: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong = 푒 (0,1) 3 4 Câu 4: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân = 4 + , với là tham số 2 1 √2− ( ) ∫0 ∫√ , Câu 5: (1đ). Tính với là miền xác định bởi: ∬ 4 , 2 2 Câu 6: (1đ). Tính thể tích miền giớ+i h ạn ≤1,bởi mặt + và ≥mặ 1t 2 2 Câu 7: (1đ). Tính = + − 4 2 2 2 ∭ √ + + Với xác định bởi 2 2 2 2 2 Câu 8: (1đ). Tính + + ≤vớ 1,i √3 xác( đị+nh bở)i ≤ 2 2 2 2 2 Câu 9: (1đ). Tính di∭ệ n tích của mi, ền gi ới hạn bởi + + ≤ 6, ≥ + 2 2 2 Câu 10: (1đ). Cho hàm số ( + ) = 4 Tính 1 2 2 ′ ( ) = ∫ sin( + + ) . (0) DeThi.edu.vn
  66. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20192 Câu 1: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của đường cong tại = 2(푡 − sin 푡) { 푡 = 2 Gi ải: = 2(1 − cos 푡) . ′ = 2(푡 − sin 푡) (푡) = 2 − 2 cos 푡 { ⇒ { ′ = 2(1 − cos 푡) (푡) = 2 sin 푡 ′ ( ) = 2, ( ) = − 2 2 2 Tại 푡 = ⇒ { ′ 2 ( ) = 2, ( ) = 2 2 2 − + 2 − 2 phương trình tiếp tuyến: = ⇔ = − + 4 Tại 푡 = ⇒ { 2 2 2 − + 2 − 2 phương trình pháp tuyến: = − ⇔ = − 2 2 Câu 2: Tính độ cong của đường cong tại 2 Giải: = 푒 (0,1) . Tại 2 ′ 2 ′′ 2 ′ ′′ Độ = cong 푒 c⇒ủa đườ( )ng= cong 2푒 t,ại điể( m) = 4푒 là: (0,1) ⇒ (0) = 2, (0) = 4 (0,1) ′′ | (0)| 4 ( ) = 3 = ′ 2 2 (1 + (0) ) 5√5 Câu 3: Tìm hình bao của họ đường cong 3 4 Giải: = 4 + , với c là tham số Đặt 3 4 Xét 퐹( , , ) = − 4 − Vô nghi m H m kì d . ′ ệ ọ đường cong không có điể ị 2 퐹′ = 0 −12 = 0 { ⇔ { ⇒ ⇒ Xét 퐹 = 0 1 = 0 3 4 3 4 퐹′ = 0 − 4 − = 0 − 4 − = 0 { ⇔ { 3 3 ⇔ { 퐹 = 0 −4 − 4 = 0 − = DeThi.edu.vn
  67. lOMoARcPSD|9783286 3 4 4 Vậ⇒y hình − 4bao(− củ)a h—ọ đườ 4ng = 0cong ⇔ là + 4 − = 0 4 = −3 Câu 4: Đổi thứ tự lấy tích phân 2 1 √2− ( ) ∫0 ∫√ , Giải: Miền lấy tích phân 2 ≤ ≤ √2 − ( ): {√ Đổi thứ tự lấy tích phân, chia mi0ề ≤n ≤ thành 1 2 phần: và ( ) 0 ≤ ≤ 1 1 ≤ ≤ √2 ( 1):{ 2 ( 2):{ 2 0 ≤ ≤ 0 ≤ ≤ √2 − 2 2 1 √2 √2− ⇒ = ∫ ∫ ( , ) + ∫ ∫ ( , ) 0 0 1 0 DeThi.edu.vn
  68. lOMoARcPSD|9783286 Câu 5: Tính với là miền xác định bởi: ∬ 4 , 2 2 Giải: + ≤1, + ≥ 1 Miền 2 : {1 − ≤ ≤ √1 − 0 ≤ ≤ 1 2 √ 1 1− 1 2 2 √1 − ∬ 4 = ∫ ∫4 = ∫ (2 | ) 0 1− 0 1 − 1 2 2 2 = 2 ∫[(1 − ) − (1 − ) ] = 0 3 Câu 6: Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt và mặt 2 2 Giải: = + − 4 Miền 2 2 Hình chi( )ế:u củ+a −lên 4 ≤ ≤là:0 2 2 Đặt ( ) . Miền ( ): + ≤ 4 = cos 휑 0 ≤ ≤ 2 { 퐽 = ( ):{ = sin 휑 0 ≤ 휑 ≤ 2 Miền trong tọa độ trụ là: 0 ≤ ≤ 2 ( ) ( ): { 20 ≤ 휑 ≤ 2 Thể tích miền là: − 4 ≤ ≤ 0 2 2 0 2 1 2 ( ) =∭ = ∫ 휑 ∫ 2∫ = ∫ 휑 ∫ (− + 4) = 8 (đvtt) 0 0 −4 0 0 DeThi.edu.vn
  69. lOMoARcPSD|9783286 Câu 7: Tính 2 2 2 V i nh b i ∭ √ + + ớ xác đị ở 2 2 2 2 2 Giải: + + ≤ 1, √3( + ) ≤ Miền 2 2 2 2 : √3( + ) ≤ ≤ √1 − ( + ) Đặt = sin 휃 cos 휑 2 { = sin 휃 sin 휑 |퐽| = sin 휃 = cos 휃 Miền 0 ≤ ≤ 1 ( ): {0 ≤ 휃 ≤ /6 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 6 1 2 2 2 3 2 − √3 ∭ √ + + = ∫ 휑 ∫ 휃 ∫ . sin 휃 = 0 0 0 4 Câu 8: Tính với xác định bởi 2 2 2 2 2 Giải: ∭ , + + ≤ 6, ≥ + Miền xác định bởi 2 2 2 + + ≤ 6 ( ) { 2 2 Hình chiếu của lên là: ≥ + 2 2 ( ) ( ): + ≤ 2 Đặt Miền = cos 휑 { = sin 휑 퐽 = ⇒ = 0 ≤ ≤ √2 ( ):{ 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 2 ≤ ≤ √6 − 2 2 √2 √6− 2 √2 1 2 4 11 ∭ = ∫ 휑 ∫ ∫2 . = ∫ 휑 ∫ (6 − − ). = 0 0 2 0 0 3 DeThi.edu.vn
  70. lOMoARcPSD|9783286 Câu 9: Tính diện tích của miền giới hạn bởi 2 2 2 Giải: ( + ) = 4 Miền giới hạn bởi 2 2 2 Đặt ( ) ( Mi+ ền) = đượ 4 c giới hạn bởi đường = cos 휑 { = sin 휑 퐽 = ⇒ ( ) = √2 sin 2휑 Ta có: sin 휑 ≥ 0 { cos 휑 ≥ 0 0 ≤ 휑 ≤ /2 sin 2휑 ≥ 0 ⇔ sin 휑 cos 휑 ≥ 0 ⇔ [ ⇔ [ sin 휑 ≤ 0 ≤ 휑 ≤ 3 /2 { cos 휑 ≤ 0 Miền được chia thành 2 phần và 0 ≤ ≤ √2 sin 2휑 0 ≤ ≤ √2 sin 2휑 ⇒ ( ) ( 1):{ ( 2):{ 0 ≤ 휑 ≤ /2 ≤ 휑 ≤ 3 /2 2 √2 sin 2휑 2 1 푆( 1) = ∬ = ∫ 휑 ∫ = ∫ 2 sin 2휑 휑 = 1 1 0 0 2 0 3 3 2 √2 sin 2휑 2 1 푆( 2) = ∬ = ∫ 휑 ∫ = ∫ 2 sin 2휑 휑 = 1 2 0 2 ⇒ 푆( ) = 푆( 1) + 푆( 2) = 2 DeThi.edu.vn
  71. lOMoARcPSD|9783286 Câu 10: Cho hàm số Tính 1 2 2 ′ ( ) = sin( + + ) . (0) Giải: ∫ Đặt 2 2 ′ 2 2 ( , ) = sin( + + ) ⇒ = ( + 2 ) cos( + + ) Ta có: Hàm khả vi trên ( , ) liên tục, khả vi trên [−1,1] × [−1,1] { ( ) =′ , ( ) = 1 liên tục, khả vi trên [−1,1] ⇒ ( ) [−1,1] ( , ) liên tục trên [−1,1] × [−1,1] ( ) ′ ′ ′ ′ ( ) = ( ( ), ). ( ) − ( ( ), ). ( ) + ∫ ( , ) ( ) 1 ′ 2 2 ⇒ ( ) = (1, ). 0 − ( , ). 1 + ∫( + 2 ) cos( + + ) 1 1 ′ 2 1 2 2 sin 1 ⇒ (0) = (1,0). 0 − (0,0). 1 + ∫ cos( ) = ∫ cos( ) ( ) = 0 2 0 2 DeThi.edu.vn
  72. lOMoARcPSD|9783286 ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20193 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Xác định độ cong tại đường cong tại điểm Câu 2: (1đ). Viết phương trình pháp tuyến và ti ếp= di√ệ4n củ+a 1mặt cong (3,1) tại điểm 2 2 2 =3( + ) Câu(√2, 3:,1 ()1đ). Tìm hình bao của họ đường cong: 4 Câu 4: (1đ). = (2 +3 ) 2 2 2 Tính ∬ √ + , với D là miền phía trên parabol = và nằm phía 2 2 Câutrong 5: đư (1đ).ờng tròn + = 2 2 2 2 2 2 2 Câu 6: (1đ). Tính di∭ện tích√6 mi −ền gi−ới hạn− b ởi hai đường với cong : + và+ ≤ 6 2 2 Câu 7: (1đ). Tính thể tích miền giới hạn bởi các mặt cong = và = nằm trong phần không gian có không âm. 2 2 2 2 2 = + + + = 2 Câu 8: (1đ). Tính diện tích mặt cong nằm trong hình trụ 2 2 2 2 Câu 9: (1đ). = 2 − 2 + = 1 1 2 3 Câu 10: (1đ).Tính Khả o →0 lim sát∫ tính0 ( liên + 3 tụ)c√ và kh+ả vi +củ 1a hàm số: 1 ( ) = ∫ 2 2 0 + DeThi.edu.vn
  73. lOMoARcPSD|9783286 LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ GIỮA KÌ 20193 Câu 1: Xác định độ cong tại đường cong tại điểm Giải: = √4 + 1 (3,1) 2 ( − 1) = √4 + 1 ⇔ √4 = − 1 ⇔ = ( ≥ 1) 4 ′ − 1 ′′ 1 ⇒ ( ) = , ( ) = 2 2 ′ ′′ 1 Tại cong(3,1) c⇒ =ng 1, cong = t i là: Độ ủa đườ ạ2 (3,1) | ′′| √2 (3,1) = 3 = 2 2 8 (1 + ′ ) Câu 2: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong tại điểm 2 2 2 = 3( + ) Gi(√ải:2, 3,1) t ′ Đặ 2 2 2 퐹 ′= −6 퐹( , , ) = − 3( + ) ⇒ { 퐹′ = 2 Tại ta có: 퐹 = −6 ′ ′ ′ Phương(√2 ,trình 3,1), pháp tuyế퐹 n= c −6ủa m√2ặt, cong 퐹 = t 6,ại 퐹 = −6 là: (√2, 3,1) − √2 − 3 − 1 − √2 − 3 − 1 = = ⇔ = = Phương trình tiếp diện−6 củ√a 2mặt cong6 tại −6 là:− √2 1 −1 (√2, 3,1) −6√2( − √2) + 6( − 3) − 6( − 1) = 0 ⇔ −√2 + − = 0 Câu 3: Tìm hình bao của họ đường cong: 4 Giải: = (2 + 3 ) 4 Đặt 퐹( , , ) = − (2 + 3 ) DeThi.edu.vn
  74. lOMoARcPSD|9783286 Xét Vô nghi m ′ ệ 3 퐹′( , , ) = 0 −8(2 + 3 ) = 0 { ⇔ { ⇒ Họ퐹 đường( , , cong) = 0không có điểm1 =kì 0dị. ⇒ 4 4 4 = (2 + 3 ) 3.2 퐹′( , , ) = 0 = (2 + 3 3 ) Xét { ⇔ { ⇔ { −2 ⇒ = (2 − ) = 0 퐹 ( , , ) = 0 −12(2 + 3 ) = 0 = 3 3 Vậy hình bao của họ đường cong là đường = 0 2 2 2 퐂â퐮 ퟒ: Tính ∬ √ + , với D là miền phía trên parabol = và nằm phía 2 2 Giảtrongi: đường tròn + = 2 Đặt = cos 휑 Chia{ =thành sin hai 휑 mi |퐽ề|n:= sin 휑 0 ≤ ≤ 2 (cos 휑) 0 ≤ ≤ √2 1: và 2:{ 3 3 ≤ 휑 ≤ 휑 ∈ [0; ] ∪ [ ; ] 4 4 { 4 4 DeThi.edu.vn
  75. lOMoARcPSD|9783286 sin 휑 sin 휑 2 2 3 4 (cos 휑) (cos 휑) 4 √2 2 2 ⇒ ∬ √ + = ∫ 휑 ∫ . + ∫ 휑 ∫ . + ∫ 휑 ∫ . 0 0 3 0 0 4 4 4 3 3 1 (sin 휑) 1 (sin 휑) √2 = ∫ 6 휑 + ∫ 6 휑 + 3 0 (cos 휑) 3 3 (cos 휑) 3 4 4 2 2 −1 (sin 휑) 1 (sin 휑) √2 = ∫ 6 (cos 휑) − ∫ 6 (cos 휑) + 3 0 (cos 휑) 3 3 (cos 휑) 3 4 √2 2 −1 2 2 −1 1 − 1 1 − √2 4 + 4√2 √2 = ∫ 6 − ∫ 6 + = + 3 1 3 √2 3 45 3 − 2 2 2 2 2 2 2 퐂â퐮 : Tính ∭ √6 − − − với : + + ≤ 6 Giải: Miền 2 2 2 2 2 2 : + + ≤ 6 ⇔ + ( − 3) + ≤ 9 Đặt = sin 휃 cos 휑 2 { = 3 + sin 휃 sin 휑 , 퐽 = − sin 휃 = cos 휃 Miền trong tọa độ cầu suy rộng là 0 ≤ ≤ 3 : { 0 ≤ 휃 ≤ 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 2 2 ⇒ = ∭ √9 − − ( − 6 + 9) − 2 2 2 = ∭ √9 − [ + ( − 3) + ] DeThi.edu.vn
  76. lOMoARcPSD|9783286 2 3 2 2 = ∫ 휑 ∫ 휃 ∫ √9 − . sin 휃 0 0 0 Đặt = 3 sin 푡 ⇒ = 3 cos 푡 푡 3 0 푡 0 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ∫ √9 − . = ∫ √9 − 9(sin 푡) . 9(sin 푡) . 3 cos 푡 푡 = ∫ 3 cos 푡 . 9(sin 푡) . 3 cos 푡 푡 0 0 0 2 2 2 2 2 2 sin 2푡 81 2 81 1 − cos 4푡 81 = 81 ∫(sin 푡 cos 푡) 푡 = 81 ∫ ( ) 푡 = ∫(sin 2푡) 푡 = ∫ 푡 = 0 0 2 4 0 4 0 2 16 2 81 81 2 ⇒ = ∫ 휑 ∫ sin 휃 휃 = 16 0 0 4 Câu 6: Tính diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong và 2 2 Giải: = = Miền 0 ≤ ≤ 1 : { 2 Diện tích mi ề≤n là: ≤ √ 1 √ 1 2 1 푆 = ∬ = ∫ ∫2 = ∫(√ − ) = (đvdt) 0 0 3 DeThi.edu.vn
  77. lOMoARcPSD|9783286 Câu 7: Tính thể tích miền giới hạn bởi các mặt cong và nằm trong phần không gian có không âm. 2 2 2 2 2 = + + + = 2 Giải: Xét giao tuyến của hai mặt 2 2 2 2 2 + + = 2, = + 2 2 2 2 2 2 2 Hình⇒ ( chi+ếu c)ủa+ ( lên+ ) là = 2 ⇒ + = 1 2 2 : + ≤ 1 Đặt = cos 휑 { = sin 휑 , 퐽 = Miền = 2 2 2 2 + ≤ ≤ √2 − ( + ) : { 2 2 : + ≤ 1 2 2 ≤ ≤ √2 − ⇒ Miền trong tọa độ trụ là : { 0 ≤ ≤ 1 : { Thể tích miền là: 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 2 1 √2− 2 1 2 2 =∭ = ∫ 휑 ∫ ∫2 = ∫ 휑 ∫ (√2 − − ) 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 1 2 2 1 −7 + 8√2 ∫ (√2 − − ) = ∫ √2 − − ∫ = ∫ √2 − ( ) − = 0 0 0 2 0 4 12 2 1 2 2 −7 + 8√2 ⇒ = ∫ 휑 ∫ (√2 − − ) = (đvtt) 0 0 6 Câu 8: Tính diện tích mặt cong nằm trong hình trụ 2 2 2 2 Giải: = 2 − 2 + = 1 Hình chiếu của phần mặt nằm trong mặt trụ lên là: 2 2 2 2 2 2 Ta có: 2 − 2 + = 1 : + ≤ 1 ′ ′ Diện tích c=ần 4 , tính là:= 4 DeThi.edu.vn
  78. lOMoARcPSD|9783286 2 ′ 2 ′ 2 2 푆 = ∬ √1 + ( ) + ( ) = ∬ √1 + 16 + 16 Đặt = cos 휑 0 ≤ ≤ 1 { , 퐽 = ⇒ : { = sin 휑 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ⇒ 푆 = ∫ 휑 ∫ √1 + 16 . = ∫ 휑 ∫ √1 + 16 ( ) = ∫ 휑 ∫ √1 + 16 0 0 2 0 0 2 0 0 1 1 (17√17 − 1) = . 2 . (17√17 − 1 ) = (đvdt) 2 24 24 1 2 3 퐂â퐮 : Tính →0 lim ∫( + 3 )√ + + 1 0 Giải: Ta có: liên tục trên miền 2 3 ( + 3 )√ + + 1 [0,1] × [−1,1] 1 2 3 ⇒ ( ) = ∫( + 3 )√ + + 1 liên tục trên [−1,1] chứa = 0 0 1 2 3 ⇒ ( ) = ∫( + 3 )√ + + 1 liên tục tại = 0 0 1 1 1 2 3 2 1 2 2 −1 + 2√2 →0lim ∫( + 3 )√ + + 1 = (0) = ∫ √ + 1 = ∫ √ + 1 ( ) = 0 0 2 0 3 Câu 10: Khảo sát tính liên tục và khả vi của hàm số: 1 ( ) = ∫ 2 2 0 + Giải: 1 Đặt ( , ) = 2 2 *Khảo sát tính liên+ tụ c: DeThi.edu.vn
  79. lOMoARcPSD|9783286 Xét hàm số tại ( ) ≠ 0 1 1 1 1 1 ( ) = ∫ 2 2 = arctan | = arctan + 0 0 Xét hàm số tại ( ) = 0 1 −1 1 (0) = ∫ 2 = | = −∞ không xác định tại 0 0 ⇒Vậ y (hàm ) số liên tục vớ i = 0 *Khảo sát tính ( kh )ả vi: ≠ 0 Xét hàm số tại ( ) ≠ 0 Vớ푖 ∈ 푅\{0}, ( , ) là hàm số liên tục trên [0; 1] { ′ −2 = 2 2 2 là hàm số liên tục trên [0; 1] × (−∞; 0) và [0; 1] × (0; +∞) ( là hàm+ s)ố khả vi với ⇒Xét hàm( ) số tại ≠ 0 ( ) ≠ 0 1 1 Với = 0 ⇒ ( , ) = 2 2 = 2 bị gián đoạn tại = 0 + ⇒ Với không = 0 thì kh ả( vi , tạ)i không liên tục trên [0; 1] ⇒Vậ y (hàm ) số khả vi v ớ =i 0 ( ) ≠ 0 DeThi.edu.vn
  80. ĐỀ SÔ 11 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2013-2014 ————- ——oOo——- Môn thi: Giải tích 2 Mã môn học: MAT2402 Số tín chỉ: 5 Dành cho sinh viên khoá: K58 Ngành học: Máy tính và Khoa học máy tính Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2 điểm) Khảo sát sự hội tụ và sự hội tụ tuyệt đối của các chuỗi số sau: ∞ n ∞ n (−1) 1  n(n+1) 2 + n (a) √ tan √ , (b) (−1) 2 . ∑ ∑ n + 2 n=1 n + 1 n n=0 3 n Câu 2. (2 điểm) (a) Khảo sát sự hội tụ đều trên R của dãy hàm và chuỗi hàm sau: 1 ∞ (−1)n+1 (i) f (x) = , (ii) . n + ∑ + 2n sin x n=1 2n sin x ∞ x [ ] (b) Khảo sát sự hội tụ điểm và hội tụ đều trên 0, 1 của chuỗi hàm ∑ 2 2 . (Gợi ý: Hãy n=1 1 + n x 2n x ( ) > ( ) = chứng minh Sn 1/n 1/5 với Sn x ∑ 2 2 .) j=n 1 + j x Câu 3. (3 điểm) (a) Tìm một ví dụ về chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ bằng 0. Khi đó hãy xác định miền hội tụ của chuỗi. (b) Cho f : R → R là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π xác định bởi f (x)= x sin x, x ∈ [−π, π]. Khai triển chuỗi Fourier hàm f (x). Hỏi chuỗi Fourier đó tại x = 0 hội tụ đến đâu. Từ đó tính ∞ (−1)n . ∑ 2 − n=2 n 1 Câu 4. (4 điểm) Tính các tích phân sau. _ (a) R (x + y)dx +(z + x)dy +(y + z)dz với AB là nửa đường tròn, đường kính là đoạn AB, _ AB nối từ điểm A(1, 0, 3) đến B(3, 1, 1). (Gợi ý: dùng công thức Stokes chuyển tích phân trên _ nửa đường tròn AB sang tích phân trên đoạn thẳng AB) (b) RR xdydz + ydzdx + z2dxdy với S+ là phía ngoài mặt nón (1 − z)2 = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1. S+ (Gợi ý: ghép thêm đáy D = {z = 0, x2 + y2 ≤ 1} rồi sử dụng công thức Ostrogradskii.) 2 1 2 (c) R I(y)dy với I(y) = R ye−x dx. (Gợi ý: đổi thứ tự lấy tích phân.) 0 y/2 Câu 5. (3 điểm) Mặt paraboloid x2 + y2 = 2 + z chia mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4z thành ba phần có tỷ lệ diện tích như nào? (Gợi ý: xác định các đường ranh giới, dùng hệ tọa độ cầu.) Chú ý: Sinh viên không được dùng tài liệu. DeThi.edu.vn
  81. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: Giải tích 2 Mã môn học: MAT2402 Số tín chỉ: 5 Dành cho sinh viên khoá: K58 Ngành học: Máy tính và Khoa học máy tính Lời giải 1. [2 điểm] n 1 1  (a) Áp dụng Dirichlet với an =(−1) , bn = √ tan √ có 0.5 n + 1 n N • (dãy tổng riêng bị chặn) | ∑ (−1)n| ≤ 2, n=1 1 1 • (dãy đơn điệu giảm) các hàm √ , tan √  đơn điệu giảm theo n, n + 1 n 1 1 • (hội tụ về 0) lim √ tan √  = 0 n→∞ n + 1 n có chuỗi ban đầu hội tụ. ∞ 1 Có lim nbn = 1 mà chuỗi dương ∑ phân kỳ nên theo nguyên lý so sánh chuỗi ban 0.5 n→∞ n=1 n đầu không hội tụ tuyệt đối. (b) Có 0.5 2n + n 2n+1 0 < < , n ≥ 1 3n + n2 3n ∞ 2n mà chuỗi lũy thừa ∑ n hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối. n=0 3 Từ đó có ngay chuỗi ban đầu hội tụ. 0.5 Lời giải 2. [2 điểm] 1 1 1 (a) Có sup = nên dãy hàm fn(x) = hội tụ đều về 0 trên R. 0.5 x∈R 2n + sin x 2n − 1 2n + sin x n+1 Áp dụng Dirichlet cho un(x)=(−1) , vn(x) = fn(x) có 0.5 N • (dãy tổng riêng bị chặn đều) | ∑ (−1)n+1| ≤ 1, n=1 • (dãy hàm đơn điệu giảm) fn(x) ≥ fn+1(x) ∀x ∈ R, • (hội tụ đều về 0) theo câu trước có dãy fn(x) hội tụ đều về 0 trên R ∞ (−1)n+1 nên chuỗi hàm ∑ hội tụ đều trên R. n=1 2n + sin x DeThi.edu.vn
  82. x 1 (b) Dễ thấy chuỗi hàm đang xét hội tụ tại x = 0. Khi 0 = Có Sn 1/n ∑ 2 −2 1/5 nên theo Cauchy chuỗi hàm ban đầu không 0.5 j=n 1 + j n 1 + 4 hội tụ đều trên [0, 1]. Lời giải 3. [3 điểm] ∞ n n n 1/n (a) Chuỗi ∑ n x có bán kính hội tụ bằng 0 vì limn→∞(n ) = ∞. 0.5 n=1 Miền hội tụ của chuỗi này {0}. 0.5 (b) Do f (x) = x sin x là hàm chẵn nên hệ số Fourier-sine bn = 0 ∀n, hệ số Fourier-cosine 1 2 • a = R π x sin xdx = 2, 0 π 0 2 1 • a = R π x sin x cos xdx = − , 1 π 0 2 2 2(−1)n−1 • a = R π x sin x cos(nx)dx = , n ≥ 2. n π 0 n2 − 1 Khai triển Fourier của f (x) là 0.5 cos x ∞ 2(−1)n−1 − + ( ) 1 ∑ 2 cos nx . 2 n=2 n − 1 Tại x = 0 hàm f (x) liên tục nên chuỗi Fourier trên tại x = 0 hội tụ đến f (0) = 0. Từ đó 0.5 ∞ 2(−1)n 1 = ∑ 2 . n=2 n − 1 4 Lời giải 4. [4 điểm] _ (a) Áp dụng công thức Stokes cho đường cong kín gồm nửa đường tròn AB và đoạn 0.5 thẳng nối B với A bao quanh nửa hình tròn D với hướng dương phù hợp với hướng của đường cong kín cho P = x + y, Q = z + x, R = y + z có Z ZZ Pdx + Qdy + Rdz = (Ry − Qz)dydz +(Pz − Rx)dzdx +(Qx − Py)dxdy = 0. D _ AB∪BA nên tích phân cần tính bằng Z Pdx + Qdy + Rdz. AB DeThi.edu.vn
  83. Tham số hóa đoạn thẳng nối A(1, 0, 3) đến B(3, 1, 1): 0.5 x = t(3 − 1) + 1 = 2t + 1, y = t(1 − 0) = t, z = t(1 − 3) + 3 = −2t + 3 với t chạy từ 0 đến 1. Có Pdx = 2(3t + 1)dt, Qdy = 4dt, Rdz = −2(−t + 3)dt nên tích phân cần tính 0.5 Z 1 8tdt = 4. 0 (b) Mặt tròn D = {z = 0, x2 + y2 ≤ 1} với hướng dương quay xuống dưới n =(0, 0, −1). 0.5 p Có S+ ∪ D là mặt bao quanh hình nón V = {0 ≤ z ≤ 1 − x2 + y2} với hướng dương chỉ ra ngoài nón V nên áp dụng công thức Ostrogradskii ZZ ZZZ xdydz + ydzdx + z2dxdy = (2 + 2z)dxdydz. S+∪D V Như vậy tích phân cần tính bằng ZZZ ZZ (2 + 2z)dxdydz − (xdydz + ydzdx + z2dxdy). V D Do D = {z = 0, x2 + y2 ≤ 1} với hướng dương n =(0, 0, −1) nên 0.5 ZZ ZZ (xdydz + ydzdx + z2dxdy) = (x.0 + y.0 + 0.(−1))dxdy = 0. D x2+y2≤1 Đổi sang hệ tọa độ trụ 0.5 V = {0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 1 − r}, J = r nên ZZZ Z 2π Z 1 Z 1−r (2 + 2z)dxdydz = dϕ rdr (2 + 2z)dz = 5π/6. V 0 0 0 Vậy tích phân cần tính bẳng 5π/6. 2 (c) Do hàm ye−x liên tục trên toàn mặt phẳng R2 nên 1 Z 2 Z 2 Z 1 2 Z 1 Z 2x 2 I(y)dy = ( ye−x dx)dy = ( ye−x dy)dx 0 0 y/2 0 0 Khi đó tích phân cần tính Z 1 2 2 1 Z 1 2 Z 1 2 2x2e−x dx = −xe−x + e−x dx = e−x dx − e−1. 0 0 0 0 Lời giải 5. [3 điểm] DeThi.edu.vn
  84. Mặt paraboloid x2 + y2 = 2 + z cắt mặt cầu x2 + y2 +(z − 2)2 = 4 tại hai đường tròn 0.5 z = 1, x2 + y2 = 3 và z = 2, x2 + y2 = 4. Ba phần mặt cầu bị chia bởi mặt paraboloid 2 2 2 • S1 = {x + y +(z − 2) = 4, 0 ≤ z ≤ 1}, 2 2 2 • S2 = {x + y +(z − 2) = 4, 1 ≤ z ≤ 2}, 2 2 2 • S3 = {x + y +(z − 2) = 4, 2 ≤ z ≤ 4}. Chuyển sang hệ tọa độ cầu 0.5 x = 2 sin θ cos ϕ, y = 2 sin θ sin ϕ, z = 2 + 2 cos θ có vi phân mặt dS = 4 sin θdϕdθ. Khi đó 0.5 • S1 = {0 ≤ ϕ ≤ 2π, 2π/3 ≤ θ ≤ π}, • S2 = {0 ≤ ϕ ≤ 2π, π/2 ≤ θ ≤ 2π/3}, • S3 = {0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π/2}. 1 Z 2π Z π |S1| = dϕ 4 sin θdθ = 4π, 0 2π/3 Z 2π Z 2π/3 |S2| = dϕ 4 sin θdθ = 4π, 0 π/2 Z 2π Z π/2 |S3| = dϕ 4 sin θdθ = 8π. 0 0 Tỷ lệ diện tích 0.5 S1 : S2 : S3 = 1 : 1 : 2. DeThi.edu.vn
  85. ĐỀ SÔ 12 DeThi.edu.vn
  86. DeThi.edu.vn
  87. DeThi.edu.vn
  88. ĐỀ SÔ 13 DeThi.edu.vn
  89. DeThi.edu.vn
  90. DeThi.edu.vn
  91. ĐỀ SÔ 14 DeThi.edu.vn
  92. DeThi.edu.vn
  93. DeThi.edu.vn
  94. ĐỀ SÔ 15 DeThi.edu.vn
  95. DeThi.edu.vn
  96. DeThi.edu.vn
  97. ĐỀ SÔ 16 DeThi.edu.vn
  98. DeThi.edu.vn
  99. DeThi.edu.vn
  100. ĐỀ SÔ 17 DeThi.edu.vn
  101. DeThi.edu.vn
  102. DeThi.edu.vn
  103. ĐỀ SÔ 18 DeThi.edu.vn
  104. DeThi.edu.vn
  105. DeThi.edu.vn
  106. ĐỀ SÔ 19 DeThi.edu.vn
  107. DeThi.edu.vn
  108. DeThi.edu.vn