›
›
›

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án)

doc 233 trang Thái Huy 14/09/2023 3713
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbo_30_de_thi_toan_nang_cao_lop_12_co_dap_an.doc

Nội dung text: Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án)

  1. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
  2. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 §Ò xuÊt ®Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n - B¶ng A Thêi gian lµm bµi: 180 phót Bµi 1: Cho ph­¬ng tr×nh: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn víi m=1. 5 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng 8 nghiÖm ph©n biÖt x ; 2 2 Bµi 2: 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (Sin )x + (tg )x = ( )x (víi x lµ tham sè, 0 16039 Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD 1) Gäi i (i= 1, 2, , 6) lµ ®é lín c¸c gãc nhÞ diÖn cã c¹nh lÇn l­ît lµ c¸c c¹nh cña tø diÖn DeThi.edu.vn
  3. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 6 Chøng minh: Cos i 2 . i 1 2) Gäi G lµ träng t©m cña tø diÖn; mÆt ph¼ng ( ) quay quanh AG, c¾t DB t¹i M vµ c¾t DC t¹i N. Gäi V, V1 lÇn l­ît lµ thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD vµ DAMN. Chøng minh: 4 V 1 1 9 V 2 3) Gäi diÖn tÝch c¸c mÆt ®èi diÖn víi c¸c ®Ønh A, B, C, D cña tø diÖn lÇn l­ît lµ: Sa, Sb, Sc, Sd. I lµ t©m h×nh cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD. Chøng minh:     Sa .IA Sb .IB Sc .IC Sd .ID 0 DeThi.edu.vn
  4. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n. B¶ng A C©u Néi dung §iÓm Bµi 1 5 1 3 Cosx 0 1 Víi m =1; Ph­¬ng tr×nh 2 4Cos x 2Cosx 2 0 x= k Cosx 0 2 Cosx 1 x k2 1 2 Cosx x k2 2 3 2 2 2 Cosx 0 Ph­¬ng tr×nh 2 4Cos x 2Cosx m 3 0 3 * Cosx =0 Cã 2 nghiÖm: x ; x= 0,5 2 2 * Ycbt 4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0 Cosx t (-1 t 1) 2 f (t) 4t 2t m 3 0,5 1 t1 0 t2 1: (a) Cã 2 nghiÖm t1, t2 tháa m·n: 0<t<1=t2 (b) * Tr­êng hîp (b) lo¹i (v× nÕu t2=1 th× t1<0) 0,5 f ( 1). f (0) 0 * Tr­êng hîp (a) 1< m < 3 f (0). f (1) 0 VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m: 1< m < 3 0,5 Bµi 2 4 1 2 DeThi.edu.vn
  5. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x x Sin tg Ph­¬ng tr×nh 1 0,5 0,5 Chøng minh: u 0, cã Sinu VP Khi ®ã x >0: VT > VP  VËy ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm 0,5 x VP  2 2 §Æt Sina -1 =m (-2 m 0) 2 x 4x 6 2 ta lu«n cã: x R th×: nªn TX§ cña ph­¬ng tr×nh lµ R 0,5 2 x-m 2 2 2 x m 2 x2 4 x 6 2 Ta cã ph­¬ng tr×nh ( 3) .log (x 4x 6) 3 log (2 x m 2) 0,25 t XÐt hµm sè: f(t) = 3 log (t) : 2; + lµ hµm sè ®ång biÕn víi x [2; + ) 0,5 nªn ph­¬ng tr×nh x2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*) x2 2x 2m 4 0 : (1) 2 x 6x 4 2m 0 : (2) Theo yªu cÇu bµi to¸n (*) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt 0,25 (1) cã nghiÖm kÐp x0 ;(2) cã 2 nghiÖm x0 (2) cã nghiÖm kÐp x0 ;(1) cã 2 nghiÖm x1 (1), (2) cã 1 nghiÖm chung; 2 nghiÖm cßn l¹i kh¸c nhau 0,25 0,25 DeThi.edu.vn
  6. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 m 2 5 m 2 (lo¹i) m 2 VËy theo yªu cÇu bµi to¸n: a=- k2 6 3 Sina 1 5 2 a - k '2 6 0,25 Sina 1 2 a - k "2 2 Cã 3 hä gi¸ trÞ cña a cÇn t×m Bµi 3 2 A C A C 0,5 Mäi ABC cã 0 Cos 1 (1) 4 4 4 4 3 1 mµ: 0 k. B B 3B 3 4 3 4 2 3 0,5 nªn: Cosk. B Cos B 0 (2) 3 4 3 Ta cã: 1 A C B C A C A C 2B C os C os C os .Cos 2 2 2 4 4 A C 3B A C 3 C os Cos C os Cos B Cosk. B Cosk B : (a) 4 4 4 4 3 3 3 0,5 Chøng minh t­¬ng tù cã: 1 B C C A C os C os Cosk C : (b) 2 2 2 3 1 C A A B vµ C os C os Cosk A : (c) 2 2 2 3 Tõ (a), (b), (c) suy ra (®pcm) DÊu "=" khi A=B = C= ABC ®Òu 3 DeThi.edu.vn
  7. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0,5 Bµi 4 2 Ta cã Si = (ai + bi) (i=1,2,3 .) Th× 2 2 1 1 Si+1 = (ai+1+ bi+1 ) = ai bi : (i=1,2, ) ai bi 2 2 1 1 1 1 = ai bi +2 ai bi ai bi ai bi 2 0,5 2 1 1 2 ai bi 8 ai bi 8 ai bi 0,5 2 nªn ta cã: (a1 + b1) > 0 2 (a2 +b2) > 0 2 2 (a2 +b2) > (a1 + b1) + 8 . 2 2 (a2006 +b2006) > (a2005 + b2005) + 8 Céng c¸c b®t trªn, ta cã: 0,5 2 (a2006 +b2006) > 8 . 2005 = 16040 > 16039 0,5 Bµi 5 7 DeThi.edu.vn
  8. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A D1 I B D A1 M C H¹ IA1  (BCD); ID1  (ABC) IB1  (ACD); IC1  (ABD) D1M  BC Dùng A1M  BC IM  BC nªn ·A MD (T­¬ng tù víi ) 1 1 1 2 6 1,0     2 IA1 IB1 IC1 ID1 0     4r 2 2 IA .IB IC .ID 0 1 1 1 1 1,0 Ta cã: 2 2 4r 2r (Cos 1 Cos 2 Cos 6 ) 0 6 Cos i 2 : (dpcm) i=1 1,0 2 2 DeThi.edu.vn
  9. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A G D M B A' O N C DeThi.edu.vn
  10. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A' lµ träng t©m BCD Gäi: O lµ trung ®iÓm BC DM DN §Æt: x vµ y DB DC V DM DN DA Ta cã: DAM N . . xy (1) VABCD DB DC DA dt(DM A') DM DA ' 2dt(DM A ') 2 Cã: . x : (a) dt(DBO) DB DO dt(DBC ) 3 0,5 2dt(DN A ') 2 T­ong tù y : (b) dt(DBC ) 3 dt(DM N ) x y Tõ (a), (b) suy ra: dt(DBC ) 3 dt(DM N ) DM DN m µ . xy x+y=3xy dt(DBC ) DB DC 1 x y(3x-1) =x: (x ) y= 3 3x-1 1 x 0 va x 3 1 0,5 vµ 0 y 1 x 1 1 2 x 2 1 T­ong tù, suy ra: x; y 1 2 2 V1 x 1 VËy: xy f ( x ) : ;1 V 3 x 1 2 3x 2 2 x 2 Cã: f'(x) = =0 x= 0,5 (3 x 1) 3 vµ: x 1 2 1 2 3 f'(x) - 0 + f(x) 1 4 1 2 9 2 4 V 1 1 9 V 2 DeThi.edu.vn
  11. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0,5 3 2 D P' M' N' I C A N M P B M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI) Gäi N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI) P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI) v× I ë trong tø diÖn, nªn: M, M', . thuéc c¸c c¹nh cña tø diÖn. Do: (DAM) lµ mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña nhÞ diÖn c¹nh AD nªn: d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)] MB dt( AMB) V dt( DAB) S DAMB c MC dt( AMC) VDAMC dt( DAC) Sb  S  ®iÓm M ®o¹n BC; nªn: MB c .MC 0,5 Sb       Sb .MB Sc .MC 0 Sb (IB IM) Sc (IC IM) 0    0,5 Sb .IB Sc .IC (Sb Sc ).IM : (1) Chøng minh t­¬ng tù:    Sd .ID Sa .IA (Sd Sa ).IM : (2) MÆt kh¸c: I MM' = (AMD)  (BCM')    nªn c¸c vecto IM;IM ';MM '; song song DeThi.edu.vn
  12. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn VËy gäi vecto:     v (Sa .IA Sb IB Sc .IC Sd .ID) th×    0,5 v (Sa Sb )IM (Sc Sd ).IM ') song song víi MM '   Chøng minh t­¬ng tù: v // NN ' vµ v // PP'    Nh­ng MM ' ; NN' ; PP'; kh«ng ®ång ph¼ng 0,5 nªn: v 0 (®pcm) Chó ý: 1)§iÓm toµn bµi lµ ®iÓm tæng céng sau khi ®· lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (vÝ dô: 5,25 lµm trßn 5,5) 2) NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c mµ ®óng chÝnh x¸c th× cho ®iÓm tèi ®a cña c©u ®ã. DeThi.edu.vn
  13. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 Đề Nâng Cao – Thời gian làm bài : 90 phút Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A 1;2;3 , B 3;4;4 .Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2x y mz 1 0 bằng độ dài đoạn thẳng AB. A. m 2 B. C. m 2D. m 3 m 2 Câu 2: Hàm số y x4 4x2 4 đạt cực tiểu tại những điểm nào? A. x 2, x 0 B. C. D.x 2 x 2, x 0 x 2 x2 3x 4 Câu 3: Cho hàm số f x với x 4. Để hàm số f x liên tục tại x 4 thì giá trị f ( 4) x 4 là A. 0B. 3C. 5D. 5 Câu 4: Cho cấp số cộng (un ) có công sai d,u6 6 và u12 18 thì A. u1 4,d 2 B. C. D. u1 4,d 2 u1 4,d 2 u1 4,d 2 Câu 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SB  ABC , AB a, A· CB 30, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là 60 . Tính thể tích V của khối chóp theo a. 3a3 A. V 3a3 B. C. D. V a3 V 2a3 V 2 b a b Câu 6: Cho f x dx 10; f x dx 5. Tính f x dx a c c A. 15B. C. D. 5 15 5 Câu 7: Cho log3 5 a,log3 6 b,log3 22 c. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 270 270 A. log3 a 3b 2c B. log3 a 3b 2c 121 121 270 270 C. D.log 3 a 3b 2c log3 a 3b 2c 121 121 1 Câu 8: Tính tích phân I 3x dx 0 2 1 3 A. I B. C. I D. I 2 I ln 3 4 ln 3 DeThi.edu.vn
  14. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 9: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau, biết a  P ,b  Q , và (P) / /(Q). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng Q B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ một điểm A tùy ý thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng Q C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b không bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của chúng Câu 10: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB a, AC b, AD c. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD theo a, b, c abc abc abc A. V B. C.V D. V V abc 2 6 3 Câu 11: Ông Quang cho Ông Tèo vay 1 tỷ đồng với lãi suất hàng tháng là 0,5% theo hình thức tiền lãi hàng tháng được cộng vào tiền gốc cho tháng kế tiếp. Sau 2 năm, ông Tèo trả cho ông Quang cả gốc lẫn lãi. Hỏi số tiền ông Tèo cần trả là bao nhiêu đồng? (Lấy làm tròn đến hàng nghìn) A. 3.225.100.000.B. 1.121.552.000. C. 1.127.160.000D. 1.120.000.000. 2x 1 3x 1 Câu 12: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y x2 x A. 0B. 2C. 1D. 3 Câu 13: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA  ABCD , AB 3a, AD 2a, SB 5a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a A. V 8a 2 B. C.V 24a3 D. V 10a3 V 8a3 x Câu 14: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y trục, Ox và đường thẳng x 1. 4 x2 Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox. 4 1 4 3 4 A. V ln B. C. D. V ln V ln V ln 2 3 2 3 2 4 3 Câu 15: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? DeThi.edu.vn
  15. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 1 2 A. B.y y x 2 x C. y log2 x D. y 2 Câu 16: Cho loga x 2;logb x 3 với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính P log a x b2 1 1 A. 6B. C. D. 6 6 6 x 1 Câu 17: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y x 1 A. 0B. 1C. 2D. 3 1 Câu 18: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f tan x cos4x,x ¡ . Tính I f x dx 0 2 2 A. B. 1C. D. 8 4 4 Câu 19: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều nội tiếp hình trụ đã cho. 3a 2h 3 3a 2h A. V B. V 4 4 2 2 2 2 2 4a h a 3 3 a h C. D.V h V 3 3 4 3 4 Câu 20: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x3 3x2 4 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là A. y 9x 9 B. và y 9x 9 y 0 C. y 9x 9 và D.y 0 y 9x 9 Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Trong các tam giác sau, tam giác nào không phải là tam giác vuông? A. SAB B. C. SBD D. SCD SBC 2 2 2 Câu 22: Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 2 0. Tính z1 z2 11 8 2 4 A. B. C. D. 9 3 3 3 Câu 23: Cho các số dương a, x, y;a 1;e;10 và x 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? DeThi.edu.vn
  16. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn log e log x log x log a A. ln x a B. C. D. ln x a ln x a ln x x loga 10 log e loga e log a Câu 24: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoa mãn z 2 i 3 A. Đường tròn tâm I(2; 1), bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I( 2;1), bán kính R 3 C. Đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R 3 D. Đường tròn tâm I( 2;1), bán kính R 3 Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 2 y 3 2 z 5 2 9 và tam giác ABC với A 5;0;0 ,B 0;3;0 , C 4;5;0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu S sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất. A. M 0;0;3 B. M C. 2 ;3;2 D. M 2;3; 8 M 0;0; 3 z 2 i Câu 26: Cho số phức z thỏa 2. Tìm z z 1 i min A. z 3 10 B. C. D.z 3 10 z 3 10 z 3 10 min min min min Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để trên đồ thị hàm số y x3 2m 1 x2 m 1 x m 2 có hai điểm A, B phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ 1 1 1 A. m 1 B. C. m 2 D.m ;  1; m 2 2 2 2 1 1 Câu 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y khi x 0 x3 x 2 3 1 2 3 A. B. C. 0D. 9 4 9 1 Câu 29: Một vật được thả rơi tự do ở độ cao 147m có phương trình chuyển động S t gt2 ,trong đó 2 g 9,8m / s2 và t tính bằng giây (s). Tính vận tốc của vật tại thời điểm vật tiếp đất. 49 30 49 15 A. 30m / s B. C. 30m / s D. m / s m / s 5 5 Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : mx 2y z 1 0(m là tham số). Mặt phẳng P cắt mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z2 9 theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m DeThi.edu.vn
  17. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A. m 1 B. m C. 2 5 D. m 6 2 5 m 4 Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0và cho mặt phẳng P : 2x 2y z 18 0. Tìm phương trình mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P đồng thời mặt phẳng Q tiếp xúc với mặt cầu S . A. Q : 2x 2y z 22 0 B. Q : 2x 2y z 28 0 C. D. Q : 2x 2y z 18 0 Q : 2x 2y z 12 0 Câu 32: Cho lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy là hình bình hành. Các đường chéo DB và AC lần lượt tạo ra với đáy góc 60 và 45, Biết góc BAD bằng 45, chiều cao hình lăng trụ bằng 2. Tính thể tích khối lăng trụ 4 4 2 4 2 A. B. C. D. 3 3 3 2 3 343 Câu 33: Từ một khúc gỗ dạng khối nón tròn xoay có thể tích bằng cm3 và chu vi đường tròn đáy bằng 3 14 cm . Trong sản xuất, người ta muốn tạo ra một vật thể có hình dạng khối cầu S từ khối gỗ trên. Gọi S là diện tích mặt cầu S . Tính giá trị lớn nhất của diện tích S A. 196 3 2 2 cm2 B. 196 6 4 2 cm2 C. 196 cm2 D. 196 2 cm2 Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng có phương trình. 2x 2y z 8 0. Xét mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y z m 0, với m là tham số thực. Biết mặt phẳng cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn C có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên. 21 27 A. m 18 B. C. m D. m m 11 4 2 1 1 Câu 35: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y , x , x 2 và trục hoành. Đường thẳng x 2 1 x k, k 2 chia H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả giá 2 trị thực của k để S1 3S2 DeThi.edu.vn
  18. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 7 A. k 2 B. C. k D.1 k k 3 5 Câu 36: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 5 x 2 x 5m 0 có nghiệm thực 4 4 4 A. 0;5 5 B. C.5 5; D. 0; 0;5 5 Câu 37: Cho số thực x. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. log x2 x 2 0 B. log 10 97 0 x2 2 x2 2 C. D.log 2017 log 2018 log x2 x 2 log x2 x 2 x2 2 x2 2 x2 2 2 1 1 a Câu 38: Biết rằng I e 3x 1dx e2 với a, b là các số thực thỏa mãn a b 2. Tính tổng S a b 0 b A. S 10 B. C. S D.5 S 4 S 7 Câu 39: Cho a b, là độ dài hai cạnh góc vuông c, là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông và c b 1,c b 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. logc b a logc b a logc b a.logc b a B. logc b a logc b a 2logc b a.logc b a C. logc b a logc b a logc b c b D. logc b a logc b a logc b 2a .logc b 2b 1 Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z 2m, trong đó m là số thực dương tùy ý. Biết rằng với mỗi m, m2 tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 2i 1 i z 5 3i là một đường tròn bán kính r. Tìm giá trị nhỏ nhất của r DeThi.edu.vn
  19. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A. 3 2 B. C. D.2 3 3 5 5 3 Câu 41: Tổng các nghiệm của phương trình x 1 2 .2x 2x x2 1 4 2x 1 x2 bằng A. 4B. 5C. 2D. 3 Câu 42: Hỏi phương trình 2log3 cot x log2 cos x có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;2017 A. 1009 nghiệmB. 1008 nghiệmC. 2017 nghiệmD. 2018 nghiệm Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ) sao cho OA a, OB b, OC c. Giả sử M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC và có khoảng cách đến các mặt OBC , OCA , OAB lần lượt là 1, 2, 3. Tính tổng S a b c khi thể tích của khối chóp O.ABC đạt giá trị nhỏ nhất A. S 18 B. C. S D.9 S 6 S 24 Câu 44: Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm Hỏi3. nếu cho đầy lương cát vào phân trên thì chảy hết xuống dưới, khi đó tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ vào thể tích phần phía dưới là bao nhiêu? 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 3 8 64 27 Câu 45: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho 2 điểm A(2;1; 3); B(2;4;1). Gọi d là đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABO sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A, B, O đến đường thẳng d là lớn nhất. Trong các véc tơ sau, véc tơ nào là một véc tơ chỉ phương của d ? A. u 13;8;6 B. C. D. u 13;8;6 u 13;8; 6 u 13;8; 6 Câu 46: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3 2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y DeThi.edu.vn
  20. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ngày và cho số tiền lãi là 326y 27y2(triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho tổng tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày) A. 6B. 5C. 4D. 7 Câu 47: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích là m km3 (k 0). Chi phí mỗi m2 đáy là 600 nghìn đồng, mỗi m2 nắp là 200 nghìn đồng và mỗi m 2mặt bên là 400 nghìn đồng. Hỏi An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất? (Biết bề dày vỏ inốc không đáng kể) k 2 k k A. 3 B. C. D. 3 3 3 k 2 2 Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 1 0 Một. phần tử chuyển động thẳng với vận tốc không đổi từ A(1;-3;0) đến gặp mặt phẳng P tại M , sau đó phần tử đó tiếp tục chuyển động thẳng từ M đến B(2;1; 6) cùng với vận tốc như lúc trước. Tìm hoành độ của M sao cho thời gian phần tử chuyển động từ A qua M đến B là ít nhất 4 5 1 A. B. C. D. 1 3 3 3 Câu 49: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm: x 5 4 x m A. ;3 B. C. ;3 2 D. 3 2 ; ;3 2 Câu 50: Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài trục lớn và trục bé lần lượt là 100m và 80m. Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ một đỉnh của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (bề rộng không đáng kể). Phần rộng hơn anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống. Biết lãi nuôi cá lấy thịt và lãi nuôi cá giống trong 1 năm lần lượt là 20.000 đồng /m2. và 40.000 đồng /Hỏim2. trong một năm anh Toàn có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên (lấy làm tròn đến hàng nghìn). A. 176.350.000 đồngB. 105.664.000 đồng C. 137.080.000 đồngD. 139.043.000 đồng DeThi.edu.vn
  21. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đáp án 1-A 2-C 3-D 4-C 5-B 6-B 7-A 8-A 9-C 10-B 11-C 12-B 13-D 14-A 15-D 16-B 17-D 18-A 19-B 20-B 21-B 22-D 23-C 24-D 25-C 26-C 27-D 28-A 29-C 30-C 31-D 32-A 33-A 34-D 35-A 36-A 37-B 38-A 39-B 40-C 41-A 42-A 43-A 44-B 45-D 46-A 47-C 48-C 49-B 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A  AB 2;2;1 AB 3 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng : 2x y mz 1 0 bằng AB nên 2x y mz 1 3m 3 d A; A A A AB 3 3 3 m 1 3 m2 5 22 12 m2 m2 5 m 1 2 m2 5 m 2 Câu 2: Đáp án C y' 4x3 8x y'' 12x2 8 x 0 3 y' 0 4x 8x 0 x 2 Vẽ bảng biến thiên dễ dàng suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 2 Câu 3: Đáp án D x2 3x 4 f 4 lim f x lim lim x 1 5 x 4 x 4 x 4 x 4 Câu 4: Đáp án C DeThi.edu.vn
  22. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn u12 18 u1 11d u1 4 u6 6 u1 5d d 2 Câu 5: Đáp án B AB Ta có AC a 3;BC 2a tan A· CB 1 3 S AB.AC a 2 ABC 2 2 Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là 60 S· CB 60;SB SC.tanS· CB 2a 3 1 1 3 V SB.S 2a 3 a 2 a3 S.ABC 3 ABC 2 2 Câu 6: Đáp án D b a b f x dx f x dx f x dx 5 10 5 c c a Câu 7: Đáp án A 270 5.6.9 5.6.36 log3 log3 2 log3 2 log3 5 3log3 6 2log3 22 a 3b 2c 121 11 22 Câu 8: Đáp án A 1 1 3x 2 I 3x dx 0 ln 3 0 ln 3 Câu 9: Đáp án C DeThi.edu.vn
  23. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu C sai vì chúng bằng nhau Câu 10: Đáp án B 1 1 abc V AD.S AB.AC.AD A.BCD 3 ABC 6 6 Câu 11: Đáp án C Theo công thức lãi kép suy ra T A 1 r 2 1. 1 0,5% 24 1.127.160.000 đồng Câu 12: Đáp án B Tập xác định D ¡ \ 0;1. 1 x Xét tử thức bằng 0 2x 1 3x 1 2 x 0 2 4x x 0 Do đó chỉ xét lim y ; lim y x 1 là tiệm cận đứng x 1 x 1 1 3 1 2 1 2 Xét lim y lim . x x x 0 y 0 là tiệm cận ngang x x 1 x 1 x Câu 13: Đáp án D Ta có SA SB2 AB2 4a 1 1 Khi đó V SA.S .4a.6a 2 8a3 S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 14: Đáp án A x Phương trình hoành độ giao điểm 0 x 0 4 x2 DeThi.edu.vn
  24. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 1 x 1 d 4 x 1 4 Khi đó V dx ln 4 x2 ln 2 2 0 4 x 2 0 4 x 2 0 2 3 Câu 15: Đáp án D Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có tập xác định là ¡ và đồng biến trên ¡ Do đó chỉ có đáp án D thỏa mãn Câu 16: Đáp án B 1 1 1 1 Ta có P log x 6 a a 1 2 1 2 b2 logx a 2logx b logx 2 b loga x logb x 2 3 Câu 17: Đáp án D x 1 x 1 lim f x lim lim 0 y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x x x 1 x x 1 x 1 limf x lim x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 lim f x lim 0; lim f x lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận Câu 18: Đáp án A 2 2 1 1 Ta có f tan x cos x 2 f x 2 1 tan2 x 1 x2 1 dx 2 Vậy I casio I 2 2 8 0 1 x Câu 19: Đáp án B Xét khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ AA ' h x 3 Đặt AB x suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R 3 x 3 Khi đó a x a 3 3 2 a 3 3 3 3a 2h Thể tích cần tìm là V hS h 4 4 DeThi.edu.vn
  25. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 20: Đáp án B Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f x với trục Ox: 3 2 x 1 x 3x 4 0 x 2 Đồng thời cũng có f ' x 3x2 6x. Phương trình tiếp tuyến tại các điểm x 1 và x 2 là: y f ' 1 x 1 f 1 y 9x 9 y f ' 2 x 2 f 2 y 0 Câu 21: Đáp án B Vì SA  ABCD  AB SA  AB SAB vuông tại A Vì SA  CD  AD CD  SAD CD  SD SCD vuông tại D Vì SA  BC  AB BC  SAB BC  SB SBC vuông tại B Còn SBD vẫn chưa chắc chắn được Câu 22: Đáp án D 1 i 23 2 z2 z 2 0 z z z 6 1 2 3 2 2 4 Khi đó z z 1 2 3 Câu 23: Đáp án C loga x ln x loge x với a, x, y;a 1;e;10 và x 1. loga e Câu 24: Đáp án D 2 2 2 2 Đặt z x yi x; y ¡ khi đó x 2 y 1 3 x 2 y 1 9 Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm I( 2;1), bán kính R 3 DeThi.edu.vn
  26. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 25: Đáp án C Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 , bán kinh R 3. Dễ thấy các điểm A, B, C nằm ngoài S Ta có zA zB zC 0 ABC : z 0 SABCd M; ABC SABC d I; ABC R V MABC 3 3 Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của mặt cầu S và đường thẳng qua tâm I vuông góc ABC và xa mặt phẳng ABC hơn M 2;3;8 Câu 26: Đáp án C z 2 i Giả thiết 2 z 2 i 2 z 1 i z 2 i 1 i z 1 i z 1 i z 2 i 1 i z 1 i 1 i 1 i z 2 * Đặt z x yi x; y ¡ z x yi, khi đó * x 2 y 1 i 1 i x yi 2 x 2 y 1 i x y 2 x y i x 2 2 y 1 2 x y 2 2 x y 2 x2 y2 4x 2y 5 2x2 2y2 4x 4y 4 x2 y2 6y 1 0 x2 y 3 2 10 Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm I 0; 3 , bán kính R 10 2 2 z OM OMmin OI R 0 3 10 3 10 Câu 27: Đáp án D Gọi A x; y ,B x; y là 2 điểm đối xứng qua gốc tọa độ 3 2 y x 2m 1 x m 1 x m 2 Do 2 điểm thuộc đồ thị nên ta có 3 2 y x 2m 1 x m 1 x m 2 m 2 Cộng vế theo vế ta được 2m 1 x2 m 2 0 x2 2m 1 m 2 1 Tồn tại 2 điểm phân biệt A, B khi x2 0, tức là 0 m 2 2m 1 2 Câu 28: Đáp án A 1 1 x2 3 Xét hàm số f x y trên 0; , có f ' x ,x 0 x3 x x4 DeThi.edu.vn
  27. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 0 x 0 Phương trình f ' x 0 x 3 2 x 3 x 3 0 x 3 0 2 3 Tính f 3 ;limf x . lim f x 9 x 0 x 2 3 Vậy min f x 0; 9 Câu 29: Đáp án C Ta có S' t gt v t Giả sử vật chạm đất tại thời điểm t t0 1 49 30 Khi chạm đất 147 gt2 t 30 v t m / s 2 0 0 0 5 Câu 30: Đáp án C Xét mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z2 9 I 2;1;0 ;R 3 2m 3 Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là d I; P m2 5 Theo giả thiết, Mặt phẳng P cắt mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z2 9 theo một đường tròn có bán kính bằng r 2 2m 3 2 Suy ra d2 r2 R 2 22 32 m2 12m 16 0 m 6 2 5 m2 5 Câu 31: Đáp án D S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0 mặt cầu S có tâm I 1;2;3 ;R 5 Vì Q / / P phương trình mặt phẳng Q có dạng Q : 2x 2y z m 0 với m 18 2.1 2.2 3 m Mà Q tiếp xúc với mặt cầu S d I; Q R 5 m 12 22 22 1 2 Câu 32: Đáp án A DeThi.edu.vn
  28. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BB' 2 ·DB', ABCD B· DB' 60 BD 3 3 ·AC', ABCD C· AC' 60 AC CC' 2 Áp dụng định lí Cosi ta có AB2 AD2 2AB.ADcos B· AD BD2 2 2 · 2 AB AD 2AB.ADcos ABC AC 2 2 4 AB AD 2AB.AD 2 3 2 2 AB AD 2AB.AD 2 4 2 2 2 4 AB.AD V 2S AB.AD.sin B· AD V S .AA ' 3 S.ABCD ABD 3 ABCD.A'B'C'D' ABCD 3 Câu 33: Đáp án A Chu vi đường tròn C 2 r 2 r 14cm r 7cm 1 343 Xét khối món có thể tích V r2h cm3 h 7cm 3 3 Khối cầu được almf từ khối nón có bán kính mặt cầu lớn nhất khi khối cầu nội tiếp khối nón r.h Khi đó bán kính khối cầu S là R S 7 1 2 cm r r2 h2 Vậy diện tích lớn nhất cần tính là S 4 R 2 196 3 2 2 cm2 Câu 34: Đáp án D 2 2 2 1 21 1 2 21 S : x 1 y 2 z m I 1; 2; ;R m 2 4 2 4 1 2 4 8 2 2 7 2 2 7 Do đó d d I; P R 2 m 11 3 2 2 Câu 35: Đáp án A DeThi.edu.vn
  29. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 1 2 Diện tích hình thang cong H là S dx ln x 1 ln 4 1 x 2 2 2 S ln 4 1 2 2 2 Vì S 3S S ln 4 4 dx ln x ln 4 4 k 2 1 2 2 k 4 4 k x k k Câu 36: Đáp án A Điều kiện x 2 Đặt t x 2 t 0 x t2 2 2 2 Khi đó phương trình tương đương 5 t t 2 5m 0 m 5 t t 1 2 Xét hàm số f t 5 t t 1;t 0. 2 1 Ta có f ' t 2t 1 5 t t 1;f ' t 0 t 2 Từ bảng biến thiên ra suy ra phương trình có nghiệm thì 0 m 5 4 5 Câu 37: Đáp án B 2 2 2 1 3 log 2 x x 2 0 x x 2 1 x 0 A đúng x 2 2 4 log 10 97 0 10 97 1 B sai x2 2 Rõ ràng C đúng Lại có D x2 2 2 1 D đúng Câu 38: Đáp án A 2 2 2 2 2 2 t t 1 2 t 2 t 2 t 2 t I e d t.e dt td e t.e e dt 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 4 2 2 2 2 a 2 e2 e et e2 3 3 3 1 3 b 3 a 4 Mà a b 2 S 10 b 6 Câu 39: Đáp án B Từ giả thiết ta có a 2 b2 c2 DeThi.edu.vn
  30. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn log c2 b2 1 1 loga c b loga c b a logc b a logc b a loga c b loga c b loga c b loga c b loga c b loga c b 2 loga a 2 2logc b a.logc b a loga c b loga c b loga c b loga c b Câu 40: Đáp án C Ta có w 2i 1 i z 5 3i 2i2 i 2i 1 z 5 3i 7 4i 2i 1 z 1 w 7 4i 2i 1 z w 7 4i 2i 1 z w 7 4i 5 z 5 z 5 2 2m theo bất m 1 1 1 đẳng thức AM-GM, ta có 2m m m 33 .m.m 3 r 3 5 m2 m2 m2 min Câu 41: Đáp án A Phương trình đã cho tương đương x 1 2 .2x 2x3 2x 2.2x 4x2 x2 2x 1 2x 2x x2 2x 1 x2 2x 1 0 x x 2 1 2 x x 2 2x 2 2x 0 * Đặt f x 2x 2x;x 0; Ta có f ' x 2x ln 2 2 f '' x 2x ln 2 2 0;x 0; f ' x 0 có nhiều nhất 1 nghiệm f ' x 0 có nhiều nhất 2 nghiệm x 0 Mà f 1 f 2 0 là nghiệm của phương trình x 2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 4 Câu 42: Đáp án A t t 2 4 t 2 3 cot x t 4 t log3 cot x log2 cos x t 1 1 4 1 4 f t t 3 2 cos x Dễ thấy f t là hàm số đồng biến trên TXD và f 1 1 nên t 1 là nghiệm duy nhất của phương trình f t 1 1 cos x 2 x k2 0;2017 0 k 2018. 3 cos x 0 DeThi.edu.vn
  31. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy có 1009 nghiệm Câu 43: Đáp án A Dễ dàng suy ra A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c ,a,b,c 0 vì d M; OBC d M; Oyz xM 1, tương tự ta có được M 1;2;3 1 2 3 1.2.3 abc M ABC 33 V 27 a b c a.b.c 6 O.ABC 1 2 3 1 Dấu bằng xảy ra khi a 3;b 6;c 9 a b c 18 a b c 3 Câu 44: Đáp án B Gọi r,h,r ',h ' lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón lớn và nhỏ Phân tích dữ kiện +) Chiều cao của đồng hồ là 30 cm h h ' 30 cm +) Tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm3 r2h r '2 h ' V V 1000 r2h r '2 h ' 3000 l n 3 h h ' +) Đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 3 r r ' 3 3 h h ' 3 r r ' 3 r r ' 9000 r r ' Ta có hệ 3 2 2 3 3 3 3 r3 r '3 r h r ' h ' 3 r r ' 3000 3 r r ' 3000 r 1 2r '2 5rr ' 2r2 0 vì 0 r ' r r ' 2 2 3 Vn r ' h ' r ' 1 Theo đó tỉ lệ cần tính là 2 Vl r h r 8 Câu 45: Đáp án D 2 5 2 Điểm A(2;1; 3), B(2;4;1),O 0;0;0 suy ra G là trọng tâm tam giác ABO là G ; ; 3 3 3 Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuống góc cuả A, B, O trên đường thẳng d Khi đó, khoảng cách dA d AM;dB d BN;dO d OP AM AG Mặt khác BN BG dA d dB d dO d AG BG OG const OP OG DeThi.edu.vn
  32. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng d vuông góc mặt phẳng ABO tại G  OA 2;1; 3  Ta có  n ABO 13; 8;6 véc tơ chỉ phương của d là u 13;8; 6 OB 2;4;1 Câu 46: Đáp án A Từ giả thiết ta có x y 10 và tổng tiền lãi nhận được là T x3 2x 326y 7y2 Khi đó T x3 2x 326 10 x 7 10 x 2 x3 27x2 216x 560 Xét hàm số f x x3 27x2 216x 560 với x 0;10 , có f ' x 3x2 54x 216 0 x 10 Phương trình f ' x 0 x 6 max f x f 6 2 x 18x 72 0 Câu 47: Đáp án C Gọi r là bán kính đường tròn của hình trụ 2 Thể tích khối trụ là V r2h 2 h với thể tích k 2 m3 r2 2 Chi phí để làm diện tích đáy hình trụ là Td 6Sd 6 r trăm nghìn đồng 2 Chi phí để làm diện tích nắp hình trụ là Tn 2Sn 2 r trăm nghìn đồng Chi phí để làm diện tích mặt bên hình trụ là Tb 4Sb 8 rh trăm nghìn đồng 2 2 2 2 1 1 Vậy tổng chi phí là T 8 r 8 rh 8 r 8 r r r r 1 1 1 1 Áp dụng công thức Cosi, ta có r2 33 r2. . 3 T 24 T 24 r r r r min 1 k k Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi r2 r 3 r 2 r 2 Câu 48: Đáp án C Xét mặt phẳng P : x y z 1 0. Đặt f x; y;z x y z 1 Ta có f A 1;f B 2 suy ra f A .f B 0 A,B cùng phía so với P Gọi C là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng P AC  P x 1 y 3 z Phương trình đường thẳng AC có u 1;1;1 và đi qua A là 1 1 1 1 4 8 1 Điểm C AC C t 1;t 3;t P t 1 t 3 t 1 0 t C ; ; 3 3 3 3 DeThi.edu.vn
  33. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Lại có AM BM CM BM CM BM B,C.M thẳng hàng min x 2 y 1 z 6 Phương trình đường thẳng BC là 2 11 19 Điểm M BC M 2m 2;11m 1; 19m 6 1 Mặt khác M BC  P 2m 2 11m 1 19m 6 1 0 m 3 Câu 49: Đáp án B x 5 0 Điều kiện 5 x 4 4 x 0 Xét hàm số f x x 5 4 x;x  5;4 1 1 1 Ta có f ' x ;f ' x 0 4 x x 5 x 2 x 5 2 4 x 2 1 Tính các giá trị f 5 3;f 4 3;f 3 2 2 1 max f x f 3 2  5;4 2 Vậy để phương trình m f x có nghiệm m max f x m 3 2  5;4 Câu 50: Đáp án C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên Độ dài trục lớn 2a 100 a 50m Độ dài trục bé 2b 80 b 40m DeThi.edu.vn
  34. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 y2 x2 Phương trình chính tắc của Elip là E : 1 y 40 1 2500 1600 2500 Phương trình đường thẳng đi qua 2 đỉnh là 4x 5y 200 0 2 Diện tích hình E là S E ab 2000 m Diện tích phần tô màu xanh chính là phần nuôi giống được giới hạn bởi đồ thị hàm số x2 4 y 40 1 ; y x 40 và 2 đường thẳng x 50;x 0 2500 5 0 x2 4 Khi đó S 40 1 x 40dx 570,8m2 1 50 2500 5 2 Suy ra diện tích phần nuôi cá lấy thịt là S2 S E S1 5712,4m Vậy tổng tiền lãi anh Toàn nhận được là T 40000S1 20000S2 137.080.000 đồng DeThi.edu.vn
  35. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 ®Ò thi hsg m«n to¸n 12 (thêi gian :180 phót) 1 x 1 x 1 x C©u 1 (2.0®) TÝnh tæng sau Sn = tg tg tg 2 2 22 22 2n 2n C©u 2 (2.0 ®) TÝnh tÝch ph©n sau 2 sin xcox dx (Víi a 0;b 0) 2 2 2 2 0 a cos x b sin x x my m (2.0 ®) Cho hÖ ph­¬ng tr×nh C©u 3 2 2 x y x 1/ BiÖn luËn sè nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh theo m 2 2 2/ Khi hÖ cã hai nghiÖm (x1;y1);(x2;y2) t×m m ®Ó S = (x2-x1) +(y2-y1) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt C©u 4 (2.0 ®) Gi¶i ph­¬ng tr×nh 3( 2x 2 1 1) x(1 3x 8 2x 2 1 C©u 5 (2.0® ) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm 2 2 2 2sin x 3cos x m3sin x 1 sin m n p x C©u 6 (2.0 ® ) T×m giíi h¹n sau L Lim m n p x 3 2 (1 sin x)(1 sin x)(1 sin x) (víi m ,n ,p lµ ba sè nguyªn d­¬ng cho tr­íc ) C©u7 (2.0®) Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh sau 1 5cos 4 3x log 2 cos 2 4 1 sin x m sin 2x C©u 8 ( 2.0 ® ) Cho tø diÖn OABC cã OA ,OB ,OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. VÏ ®­êng cao OH cña tø diÖn . §Æt DeThi.edu.vn
  36. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A CAB; B ABC ;C BCA AOH ;  BOH ; COH sin 2 sin 2  sin 2  Chøng minh r»ng sin 2A sin 2B sin 2C C©u 9 (4.0® ) Cho h×nh chãp tam gi¸c SABC .BiÕt r»ng tån t¹i h×nh cÇu t©m O, b¸n kÝnh R ( O n»m trªn ®­êng cao h×nh chãp) tiÕp xóc víi c¶ 6 c¹nh h×nh chãp. 1/ Chøng minh r»ng SABC lµ h×nh chãp ®Òu. 2/ Cho SC =R3 . TÝnh chiÒu cao h×nh chãp. DeThi.edu.vn
  37. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n (®Ò thi hsg m«n to¸n 12) u x 1 x C©u 1 Ap dông : lnu / co (ln cos ) / tg u / 2n 2 2n x x x Do ®ã nÕu ®Æt P cos .cos cos S (ln P ) / n 2 22 2n n n cã 1 x x x x 1 1 P sin cos .cos cos . sin x n x 2n 2n 2n 1 2 x 2n sin sin 2n 2n / 1 1 1 x do ®ã S ln . sin x cot gx cot g n x 2n 2n 2n sin 2n C©u 2 §Æt I lµ tÝch ph©n ®· cho.XÐt 2 tr­êng hîp sau: 1 2 1 TH : a b I . sin xd(sin x) : 1 a 0 2 a TH 2 : a b Víi t a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x dt  2a 2 cos xsin x 2b 2 sin x cos xdx 2(b 2 a 2 )sin x cos xdx b2 1 dt 1 b2 1 I t 2 2 2 2 2 /a 2 b a a2 t b a b a 1 Kl : I a b C©u 3 x m.y m 0 1 HÖ pt 1 1 (x ) 2 y 2 2 2 4 NhËn xÐt : (1) lµ pt d­êng th¼ng Dm: x+(y-1).m =0 ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A(0;1) (2) lµ pt ®­êng trßn ( C) cã t©m I(1/2;0), b¸n kÝnh R=1/2 do ®ã sè nghiÖm cña pt chÝnh lµ sè giao ®iÓm cña Dmvµ (C) TiÕp tuyÕn cña (C) xuÊt ph¸t tõ A chÝnh lµ OA, (x=0) vµ d­êng th¼ng AB DeThi.edu.vn
  38. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn _ ___ ___ ___ 2.tg 4 §Æt OAI OB OA.tg2 OA. do tg 1 1 tg 2 3 ___ ___ MÆt kh¸c ,OB lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña Dm vµ Ox nªn OB =m BiÖn luËn ./ m=0 hoÆc m=4/3 ,hpt cã nghiÖm duy nhÊt. ./ o 4/3, hpt v« nghiÖm . ___ __ 2 1 1 2/ S =M1M2 do ®ã diÖn tÝch S ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi vµ chØ khi M1M2 ®i qua I OB OI m 2 2 C©u 4 §Æt t 2x 2 1 1 thay vµo pt ®­îc t =x/3 hoÆc t= 1-3x Gi¶i ra ®­îc x=0 KL : Pt cã nghiÖm x = 0 C©u 5 sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2sin x 3cos x m.3sin x 3cos x sin x m (1) 3 sin 2 x 2 cos2 x sin 2 x XÐt hµm sè f x 3 ,(x R) 3 V× sin 2 x 2 sin 2 x 0 x 1 3 2 2 cos 2 x sin 2 x cos 2x 1 3cos x sin x 3 do ®ã f x 4 x R . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = k ( k Z) KÕt luËn :Bpt cã nghiÖm víi m 4 . C©u 6 §Æt y= sin x ( khi x y 1) . Ta cã 2 DeThi.edu.vn
  39. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 y m n p (1 y) 1 y y 2 y m n p 1 L Lim Lim y 1 3 1 y m 1 y n 1 y p y 1 1 y 3 (1 y y m 1 ) 1 y y n 1 1 y y p 1 1 y y 2 y m n p 1 Lim y 1 3 (1 y y m 1 ) 1 y y n 1 1 y y p 1 m n p 3 m.n.p C©u 7 1 5 cos 4 3x  0 §iÒu kiÖn : 1 sin 2x 0 Bpt ®Çu cña hÖ t­¬ng ®­¬ng víi 2 1 5cos 4 3x 2 : Log Log 2 2 2 2 2 2 4 1 5cos 3x 1 4 cos 3x 0 cos3x 0 x k (k Z) 2 2 6 3 x k2 6 Do ®/k (1) chØ cÇn xÐt 5 x k2 6 1 sin x XÐt bÊt pt thø hai cña hÖ, ®Æt f do f cã chu kú2 nªn ta chØ cÇn tÝnh x sin 2x x 3 3 f 3 ; f ; f 5 3; f 5 3 3 2 6 6 6 Kl : ./ m 3 x  3 5 ./ 3 m x k2 3 6 3 3 5 ./ m x k2 ; x k2 3 3 6 6 3 5 ./ m 3 x k2 ; x k2 3 6 6 5 / m 3 x  k2 ; x k2 6 6 DeThi.edu.vn
  40. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u 8 DÔ thÊy H lµ trùc t©m ABC vµ ABC lµ tam gi¸c nhän,AH kÐo dµi c¾t BC t¹i A1,do ®ã AA1  BC. V× 2 2 AH OA (OBC) nªn theo ®/l ba ®­êng vu«ng gãc ,cã OA1  BC. Ta cã sin 1 OA2 2 2 AH XÐt tam gi¸c vu«ng OAA1 ®Ønh O, cã OA = AH. AA1, tõ (1) cã sin AA1 VÏ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC ,gäi I lµ t©m cña nã ,gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, khi ®ã H, G, I th¼ng hµng (®­êng th¼ng ¥le) vµ HG =2 .IG suy ra AH = 2 .IM vµ ¢= BM IM BC AH BC.AH CAB BIM sin 2A 2.sin A.cos A 2. . 2. . 2 IB IB 2.IB 2.IB R 2 ( víi R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngäµi tiÕp tam gi¸c ABC) sin 2 2R 2 R 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã : sin 2A BC.AA1. S ABC sin 2  sin 2  R 2 C/m t­¬ng tù còng cã sin 2B sin 2C S ABC Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. C©u 9 Gäi M,N, P lµ c¸c tiÕp ®iÓm cña h×nh cÇu víi c¸c c¹nh AB, BC , CA.Gäi SH lµ ®­êng cao h×nh chãp ,O lµ t©m h×nh cÇu ®· cho, khi ®ã O thuéc SH.Theo ®Þnh lý ba ®­êng vu«ng gãc , cã HM AB(v× OM  AB,do h×nh DeThi.edu.vn
  41. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn cÇu tiÕp xóc AB t¹i M) T­¬ng tù HN BC, HP AC. V× OM =ON =OP =R nªn HM =HN =HP do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC. Gäi K, E lµ tiÕp ®iÓm h×nh cµu Víi SA vµ SC .Ta cã SK SE (hai tiÕp tuyÕn cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®iÓm),do ®ã KSO= SOE KSO OSE SAH SCH SA SC LËp luËn t­¬ng tù ®­îc SA=SB hay SA=SB=SC do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC ,suy ra tam gi¸c ABC ®Òu,vËy h×nh chãp SABC ®Òu. 2/ OK R 3 AH §Æt ASH sin AS 3.AH OS R 3 3 AS §Æt SH=h ;HN=x do ®ã AH =x XÐt tam gi¸c vu«ng SAH, cã : SA2=SH2+ AH2 nªn h2= 8 x2 tõ ®ã R2= h2 –2.h .R 3 3R 2 x 2 1 Thay h2 =8.x2 vµo (1) ®­îc : 9.h2 –16 3.h.R 16.R 2 0 2 4 3.R 4 3.R 4 3.R Tõ (2) h hoÆc h (lo¹i, v× h=SH >SO R. 3  ) 3 9 9 4 3.R VËy SH= 3 H­íng dÉn chÊm m«n to¸n 12 C©u 1 (2,0®) ./ HS biÕt sö dông c«ng thøc (lnu)/=u’/u (1,0 ®) 1 1 . / ViÕt ®­îc P =. .sin x (0,5®) n x n sin 2 2n 1 x . / Kl :S cot gx .cot g (0,5 ®) n 2n 2n C©u 2 ( 2,0 ®) 1 Th1 : I (0.5 ®) 2 a Th2: §Æt DeThi.edu.vn
  42. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn t a2.cos2 x b2.sin 2 x dt 2.(b2 a2 ).sin x.cos x 1 (1.5 ®) I a b C©u 3 (2,0 ®) 1/ . / NhËn xÐt ®­îc sè nghiÖm cña pt lµ sè giao ®iÓm cña Dm vµ (C) (1.0 ®) . / Kl ®óng (0.5 ®) 2 / m = 1 / 2 (0.5 ®) C©u 4 (2.0 ®) x t ./ §Æt t=2x2 1 3 (1.0 ®) t 1 3x . / Gi¶i ®­îc x = 0 (1.0 ®) C©u 5 (2.0 ®) sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x . / §­a ®­îc f x 3 m (1.0 ®) 3 sin 2 x 2 2 2 . / Nx : 1 ; 3cos x sin x 3 (0.5 ®) 3 . / Kl : m 4 (0.5 ®) C©u 6 (2.0 ®) . / §Æt y = sinx ; (x y 1) (0.5 ®) 2 1 y ym n p . / l = Lim (1.0 ®) 3 ( ) . / Kl : (0.5 ®) C©u 7 (2.0 ®) . / ® / k (0.5 ®) . / Bpt (1 ) x k. (0.5 ®) 6 3 x k.2 6 . / Tõ ® / k (0.5 ®) 5 x k.2 6 DeThi.edu.vn
  43. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn . / Kl ®óng (0.5 ®) C©u 8 ( 4,0 ®) C©u 9 (2.0 ®) . / Nx : O SH ( 0,5 ® ) . / H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp ( 0.5 ®) ./ H lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp (0,5 ®) . / Kl (0,5 ®) DeThi.edu.vn
  44. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề) mx 2 + (m 2 +1)x + 4m3 + m Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y = x + m 1. Với m = -1. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,0đ). b, Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất (2đ). 2. Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng toạ độ (2,0đ). Câu 2: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: Sin3x + Cos3x = 2 - Sin4x (1,0đ) 2. Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến của ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đó: 9R CMR: k + l + m ≤ (2,0đ). 2 x 2 y 2 Câu 3: (3,0 điểm): Cho (E): + = 1 a 2 b 2 Hình chữ nhật Q gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp với E nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc với E. Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp với E. Hãy xác định: 1. Hình chữ nhật có Smin (1,0đ). 2. Hình chữ nhật có Smax (1,0đ). Câu 4: (4,0 điểm) 1. Cho a, b là hai số dương khác nhau. người ta lập 2 dãy số {u n} và {vn}, bằng cách đặt: u + v u = a; v = b ; u = n n v = u .v 1 1 n+1 2 n+1 n n (n = 1, 2, 3, ) C/m Limn + Un = Limn + Vn (2,0đ) a b c 2. Cho m > 0 a, b, c thoả mãn: + + = 0 m + 2 m +1 m CMR phương trình: ax2 + bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm x (0,1) (2,0đ). Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là một điểm di động trong không gian sao cho M nhìn AB và AD dưới một góc vuông, gọi O là tâm của hình vuông. DeThi.edu.vn
  45. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1. Chứng minh M luôn luôn di động trên một đường tròn  cố định (1,0đ). 2. là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kéo dài DM cắt tại N. CM góc ANB vuông (1,0đ). 3. Đặt DM = x. Tính MN theo a và x. Tìm miền biến thiên của x, từ đó suy ra điều kiện của hằng số k để tồn tại x thoả mãn MN = k (1,0đ). 4. Tìm giá trị lớn nhất của VABND (1,0đ). -Hết- DeThi.edu.vn
  46. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi khối 12 Câu Nội dung Điểm Câu 1 6,00đ 1. Với m = 1 a. Khảo sát, vẽ đồ thị (2,0đ). Trình bày đầy đủ, đúng các các bước và có nhận xét. Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng 2.00đ Thiếu một bước trừ từ 1/4 đến 1/2 điểm tuỳ lỗi nặng nhẹ b. Nhận xét x1 0 0.25đ 4 4 y = - - ; y = - - 1 α 2 β 0.25đ 4 d2 = M M 2 = ( + )2 [ 1+ (1+ ) ] 0.25đ 1 2 αβ +  2 αβ =  8 0.25đ d2 8[ +  + 4] αβ 0.25đ M (1 - 4 8 ; 4 8 + 2 4 2 ); M (1 + 4 8 ; - 4 8 - 2 4 2 ) 1 2 0.25đ 2. Viết được hàm số có 2 điểm cự trị nên phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 y Điểm CT (II). Điểm CĐ (IV) Đồ thị không cắt ox 0.25đ δ pt y = 0 vô nghiệm ( ) 0.25đ δ 0.25đ Ta có dấu y’ như sau hệ số bậc hai DeThi.edu.vn
  47. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn của (x) là m < 0 ( ) 5 Từ (*), ( ), ( ) m < 5 0.25đ 0.25đ Câu 2 3,00đ a. Nhận xét: Sin3x + Cos3x ≤ Sin2 + Cos2x = 1 2 - Sin4x 1 0.25đ Sin3x + Cos3x =1 0.25đ pt đã cho Sin4x =1 0.25đ π x = + 2k 2 0.25đ b. Giả sử: k, l, m là các trung tuyến kẻ từ A, B, C thì 3 k2 + l2 + m2 = (a2 + b2 + c2) 4 1,0đ a 2 (vì: 2k2 + = b2 + c2 tương tự) 2 Mặt khác: a2 + b2 + c2 = 4R2(Sin2A + Sin2B + Sin2C) 0,25đ mà: 4(Sin2A + Sin2B + Sin2C) = 2(1 - Cos2A + 1- Cos2B) + 4(1 - Cos2C). 0,25đ = 8 + 4CosCCos(A-B) - 4Cos2C = 8 - Cos2(A-B) - [2CosC - Cos(A-B)] 9 k 2 + l 2 + m 2 9R 2 0,50đ đpcm 3 4 0,25đ Câu 3 3,00đ Đường thẳng Ax + By + C tiếp xúc với E A2a2 + B2b2 = C2 0,25đ 2 cạnh của Q có pt: Ax + By C = 0 (A2a2 + B2b2 = C2) 0,25đ 2 C Khoảng cánh giữa chúng là: d = 1 2 0,25đ A 2 + B 2 cạnh còn lại của Q có pt: Bx - Ay D = 0 (A2a2 + B2b2 = D2) 0,25đ 2 D Khoảng cánh giữa chúng là: d2 = 2 A 2 + B DeThi.edu.vn
  48. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 CD 0,25đ SQ = 2 A 2 + B 0,25đ S2 Đặt: T = S T 16 min max min max (A 2 a 2 + B 2 b 2 )(a 2 B 2 + b 2 A ) T = (A 2 + B 2 ) 2 Theo Côsi (A2a2 + B2b2)(a2B2 + b2A2) A 2 a 2 + B 2 b 2 + a 2 B 2 + B 2 A ) (A 2 + B 2 )(a 2 + b 2 ) = 2 4 2 2 2 (a + b ) 0,25đ T = S Q là vuông min 4 min Lại có: theo Bunlia Copxki cho 2 dãy (Aa,Bb); (bA,aB) 0,50đ (A2a2 + B2b2)(b2A2 + a2B2) (A2ab + B2ab)2 = a2b2(A2+B2)2 a 2 b 2 (A 2 + B 2 ) 2 T = a2b2 (A 2 + B 2 ) 2 0,25đ A = 0 2 2 Tmin = a b Q có các cạnh | | ox, oy B = 0 0,50đ Câu 4 4,00đ a. Coi 0<b<a bằng qui nạp C/m n: Vn< Vn+1 < Un+1 < Un 0,50đ b = V1<V2<V3< <Vn <Un<Un-1<Un-2< <U2<U1=a 0,50đ 2 U + V ( U n - Vn ) Lại có: U -V = n n - U V = n+1 n+1 2 n n 2 2 ( U n - Vn ) ( U n - Vn )( U n + Vn ) U -V = < n+1 n+1 2 2 U n - Vn 0,50đ Hay 0 < U -V < (*) n+1 n+1 2 Lại có Un giảm bị chặn dưới DeThi.edu.vn
  49. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vn tăng bị chặn trên  limUn và limVn Từ (*) LimUn = LimVn 0,50đ a - b (Giả sử LimU =a, LimV =b a-b = a=b) n n 2 b. Đặt f(x) = ax2+bx+c. Xét hai trường hợp a=0 f(X) = bx+c b=0 c=0 f(x)=0 x R x (0,1) 0,50đ c m b 0 c 0 x = - = (0,1) b m +1 0,50đ m +1 c a 0 f(0) = c f ( ) = - m + 2 m(m + 2) 0,50đ m +1 c 2 f (0)f ( ) = - 0 m + 2 m(m + 2) m +1 c 0  x (0, ) < (0,1) m + 2 0,25đ b m +1 c=0 thì f(x) = ax2 + bx có nghiệm x = - = (0,1) a m + 2 0,25đ Tóm lại: a, b, c thoả mã (*) pt có nghiệm x (0,1) Câu 5 4,00đ 1.a. MA  MB và MA  MD MA  (BMD) 0,25đ MA  MO và MA  BD 0,25đ Lại có: AC  BD (ABCD vuông) BD  (MAC) M . cố định nằm trong 0,25đ mf  BD tại O, đường kính AO. 0,25đ 2. MA  (BMD) MA  BN 0,50đ AO  AB và ( )  (ABCD) AD  ( ) AD  BN 0,25đ BN  (MAD) BN  AN DeThi.edu.vn
  50. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3. Tam giác vuông AMD có AM = a 2 - x 2 0,25đ Tam giác vuông DAN có: AM  ND 0,25đ AM 2 AM2 = MN.MD MN = MD 2 2 a - x 0,25đ MN = vì M  x a 2 0 0: a - x = kx (1) 0,25đ a 2 x <a (2) 2 0,25đ (1) f(x) = x2 + kx - a2 = 0 (*) có nghiệm thoả mẵn (2) pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt: vì ac < 0 (x1 < 0 < x2) a 2 a δ k f( ) = (k 2 -a) = - < 0 2 2 2 2 1 a 2 a 2 4. V = BN S AN = a -1 BN = a 2 - 0,25đ 3 DAN x 2 x 2 1 a 2 a 2 V = a 3 (2 - )( -1) 0,25đ 6 x 2 x 2 0,25đ a 2 a 2 [ 2 - + -1 ] 1 x 2 x 2 a 3 V a 3 = 6 2 12 a 6 dấu “=” x = 3 0,25đ DeThi.edu.vn
  51. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn điều kiện f (xy) f (x y) f (x y), x, y ¡ Hãy chỉ ra một hàm số không phải là hàm hằng và thỏa mãn bất đẳng thức trên. Chứng minh rằng f (x) 0 với mọi số thực x. Câu 2 (2 điểm). Cho dãy các số dương a thỏa mãn n n 1 k ak 2ak 1 ak 2 0, a j 1 k 1. j 1 2 Chứng minh rằng 0 a a k 1. k k 1 k 2 Câu 3 (2điểm). Cho ba đường tròn O1 , O2 , O3 đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Xét ba đường kính    A1 A2 của O1 , B1B2 của O2 , C1C2 của O3 sao cho các vectơ A1 A2 , B1B2 ,C1C2 cùng hướng. Chứng minh rằng các đường thẳng A1B2 , B1C2 ,C1 A2 đồng quy. k k Câu 4 (2 điểm). Cho hai số nguyên dương a,b : a;b 1. Gọi p là một ước nguyên tố lẻ của a2 b2 (k nguyên dương nào đó). Chứng minh rằng p 1 mod 2k 1 . Câu 5 (2 điểm). Cho số nguyên n 2 . Chứng minh rằng trong mọi họ gồm ít nhất 2n 1 1tập hợp con không rỗng phân biệt của tập hợp {1,2,,n} đều tìm được ba tập hợp mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.  Hết  Họ và tên thí sinh . SBD . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi. HƯỚNG DẪN CHẤM Chú ý. Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một cách giải, nếu học sinh có lời giải đúng và khác với lời giải trong HDC, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó. Câu 3 (Hình học) không vẽ hình hoặc vẽ hình sai, không cho điểm. Hướng dẫn chấm này có 4 trang. DeThi.edu.vn
  52. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 1 (2 điểm) Ý Nội dung trình bày Điểm Xét hàm số f (x) x2 4, x ¡ . Ta có f (xy) x2 y2 4, 0.5 f (x y) (x y)2 4 x2 y2 2xy 4, f (x y) (x y)2 4 x2 y2 2xy 4. 1(1điểm) Suy ra f (xy) f (x y) f (x y) x2 y2 4 x2 y2 2xy 4 x2 y2 2xy 4 0.25 xy 2 4xy 4 0 xy 2 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi x, y ¡ . Suy ra hàm số f (x) x2 4 với 0.25 x ¡ là một hàm số khác hằng số thỏa mãn bất phương trình hàm đã cho. x Với x 1, ta chọn x, y sao cho xy x y (tức là y ) 0.25 x 1 Từ giả thiết suy ra 0.25 f xy f x y f x y f xy f x y f xy f x y 0 2(1điểm) x x2 2x Thay y vào ta được f 0, x 1. (1) 0.25 x 1 x 1 x2 2x  Để ý rằng : x ¡ \ 1  ¡ , từ (1) suy ra f x 0 x ¡ . 0.25 x 1  Câu 2 (2 điểm). Nội dung trình bày Điểm Từ điều kiện thứ nhất suy ra dãy bk , với bk ak ak 1 , là dãy số giảm. 0.25 Từ đó, nếu ak ak 1 d 0 thì ak ak m ak ak 1 ak 1 ak 2  ak m 1 ak m md 0 Suy ra ak m ak md và do đó với k đủ lớn thì ak m 1, mâu thuẫn với điều kiện thứ hai. 0.5 Vậy ak ak 1 0. (1) 2 2 Giả sử tồn tại k sao cho ak ak 1 . Khi đó với mọi i k đều có ai ai 1 ak ak 1 (do dãy k 2 k 2 0.25 bk giảm) k 2 2 k 1 i Do đó a a a a k 1 i a i 1,2,,k. i k 1  j j 1 2  i 2  0.5 j i k k DeThi.edu.vn
  53. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn k 2 4 2k k k 1 k 1 1 a  1 1, Nhưng khi đó  i 2 2 2 2 mâu thuẫn với điều kiện 2. i 1 k k k k k k 2 0.5 Do đó a a . (2) k k 1 k 2 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Câu 3 (2điểm). Nội dung trình bày Điểm R3 Gọi các điểm như hình vẽ. Do V A; : O2 O3 nên B2 , A,C1 thẳng hàng và B1,C2 , A thẳng R2 0.5 hàng. Tương tự, cũng được C1, A2 , B thẳng hàng; C2 , A1, B thẳng hàng; A1, B2 ,C thẳng hàng và A2 , B1,C thẳng hàng. Gọi D là giao điểm của các đường thẳng A2C1, A1B2 , t là tiếp tuyến chung tại A của O2 , O3 . Ta có DB; DC DC ; DB C D;C B B C ; B D 1 2 1 1 2 2 1 2 0.5 AB;t t; AC AB; AC mod Suy ra A, B,C, D cùng nằm trên một đường tròn. Bằng lập luận tương tự, cũng được các đường thẳng C A , B C cắt nhau tại D ABC và các đường 1 2 1 2 0.5 thẳng A1B2 , B1C2 cắt nhau tại điểm D nằm trên đường tròn này. Từ đó, do một đường thẳng và một đường tròn có không quá hai điểm chung nên D  D  D hay 0.5 A1B2 , B1C2 ,C1 A2 đồng quy. A2 O1 B2 C D A1 O2 B1 B A C t 2 O3 C1 Câu 4 (2điểm). Nội dung trình bày Điểm k 1 k 1 k k k k Từ giả thiết suy ra p|a2 b2 a2 b2 a2 b2 và p|a p 1 b p 1 (do định lý Fermat) 0.5 DeThi.edu.vn
  54. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Gọi h là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ah  bh mod p thế thì h 2k 1 và 0.5 h| 2k 1; p 1 h : 2s Giả sử s k, ta có s s s 1 s 1 k k 0.5 a2  b2 mod p a2  b2 mod p a2  b2 mod p 2k 2k 2k 2k p|2a Do p lÎ p|a Từ đó, do p|a b suy ra  b 2k p|22 p|b 0.5 Mâu thuẫn với a;b 1. Vậy h 2k 1 p 1 mod 2k 1 . Câu 5 (2điểm). Nội dung trình bày Điểm Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp. Với n 2 thì tập hợp {1,2} chỉ có đúng ba tập con không rỗng {1},{2},{1;2} và {1;2} {1}{2} 0.5 Với n 2 . Giả sử có 2n 1 tập con không rỗng của tập hợp {1,2,3,,n 1}. n 1 Nếu ít nhất trong 2 1 tập hợp trong chúng không chứa phần tử n 1, thì sử dụng giả thiết quy nạp, 0.5 được điều phải chứng minh. Nếu ít nhất 2n 1 2 tập hợp chứa n 1, thì loại bỏ n 1 khỏi những tập này, ta thu được ít nhất 2n 1 1 tập con không rỗng, phân biệt của S và một tập con . Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp, có ngay {n 1} 0.5 điều phải chứng minh. Nếu có đúng 2n 1 tập con không chứa n 1, thì có đúng 2n 1 tập con chứa n 1 (số phần tử lớn hơn 1) và tập con {n 1}. 0.5 Loại bỏ n 1 trong những tập con này, ta được 2n tập con không rỗng của {1,2,,n}, và do đó trong chúng phải có hai tập hợp trùng nhau, gọi tập đó là A . Khi đó rõ ràng A{n 1} B  {1,2,,n 1} (ĐPCM) Hết DeThi.edu.vn
  55. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 ®Ò thi häc sinh giái khèi 12 M«n: to¸n (Thêi gian 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1: (4 ®iÓm) 4 x 2 5 Cho hµm sè: y 3x (C) vµ ®iÓm M (C) cã hoµnh ®é x = a. Víi gi¸ trÞ nµo cña 2 2 M a th× tiÕp tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t (C) 2 ®iÓm ph©n biÖt kh¸c M. 2. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 2m +1 =0 Cã nghiÖm tho· m·n: x2 +6x + 7 0 C©u 2: (4 ®iÓm) 1.T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè f(x) trªn ®o¹n [-1; 2] biÕt f(0) = 1 (1) vµ f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2) sin 3 x.sin 3x cos3 x.cos3x 1 2. tg(x 6 )tg(x 3 ) 8 C©u 3: (4 ®iÓm) log (x 2 2x 2) log (x 2 2x 3) 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 2 2 3 2 3 x 2 x 3 2. T×m: lim x 2 ( 3 ) x x x C©u 4: (4 ®iÓm) 1. Cho h×nh chãp S.ABC, ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A AB = a, c¸c c¹nh bªn SA = SB = SC = a vµ cïng t¹o víi ®¸y mét gãc . X¸c ®Þnh cos ®Ó thÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt. 2. TÝnh c¸c gãc cña ABC biÕt 3A A C A B 3 sin sin sin 2 2 2 2 C©u 5: (4 ®iÓm) 2 I ln (1 tg x )e x dx 1. TÝnh:  2  0 DeThi.edu.vn
  56. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 2 2. Trªn trôc to¹ ®é Oxy: Cho parabol (P): y vµ ®­êng th¼ng ( ) : 3x – 4y + 19 = 0. 16 ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn cã t©m I thuéc ®­êng th¼ng ( ) cã b¸n kÝnh nhá nhÊt vµ tiÕp xóc víi parabol (P) hÕt Hä tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: DeThi.edu.vn
  57. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN C©u 1: (4 ®iÓm) 4 a 2 5 1> §iÓm M (C) , xM = a > y 3a ta cã Pt tiÕp tuyÕn víi (C) cã M 2 2 0,5® d¹ng ( ) : y y ' (x x ) y víi y ' 2a 3 6a xM M M M a 4 5 => ( ) y (2a 3 6a)(x a) 3a 2 2 2 Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ( ) vµ (C) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x 4 5 a 4 5 0,5® 3x 2 (2a 3 6a)(x a) 3a 2 (x a) 2 (x 2 2ax 3a 3 6) 0 2 2 2 2 x a 2 2 g(x) x 2ax 3a 6 0 0,5® Bµi to¸n trë thµnh t×m a ®Ó g(x)=0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c a ' 2 2 2 g (x) a (3a 6) 0 a 3 0 a 3 2 2 g(a) 6a 6 0 a 1 a 1 0,5® a 3 VËy gi¸ trÞ a cÇn t×m a 1 2> pt (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 2m – 1 (x2 + 6x +5)(x2 + 6x + 8) = 2m – 1 0,5® §Æt t = x2 + 6x +5 = (x + 3)2 – 4 -4 Do x2 + 6x +7 0 x2 + 6x +5 -2 => t -2 0,5® Bµi to¸n trë thµnh t×m m ®Ó pt: f(t) = t(t+3) = 2m-1 cã nghiÖm t  4; 2 f(t) 0,5® sè giao ®iÓm cña ®å thÞ f(t) = t2 + 3t vµ ®­êng y= 2m - 1 y = 2m – 1 vÏ trªn ®o¹n [-4; -2] 4 2 2m 1 4 1 5 m -2 o t 2 2 -4 -2 DeThi.edu.vn
  58. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 5 0,5 ® VËy ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm th× m 2 2 C©u 2: (4 ®iÓm) 0,5®  f (x)3 1> Tõ (2): f2(x)f’(x) = 1 + 2x + 3x2 x x 2 x 3 c (c lµ h»ng 3 sè) 1 + Tõ (1) : f(0) = 1 => c = , do ®ã hµm sè f (x) 3 3x 3 3x 2 3x 1 3 0,5® XÐt g(x) = 3x3 + 3x2 + 3x + 1 víi x [-1; 2] x 1 g’(x) = 9x2 + 6x + 3 = 0 1 [ 1;2] lµ c¸c ®iÓm tíi h¹n x 3 1 2 g(-1) = 2, g(2) = 40, g(- ) = => max(g(x)) = 40, min(g(x)) = - 2 0,5® 3 9 Do ®ã GTLN cña f(x) lµ 3 40 vµ GTLN cña f(x) lµ 3 2 0,5® 2> §K: cos(x ) 0,cos(x ) 0;tg(x ) 0;tg(x 0) 6 3 6 3 0,5® Do tg(x ) cot g (x ) cot g(x ) tg(x ).tg(x 1) 3 2 3 6 6 3 0,5® Ta ®­îc ph­¬ng tr×nh 1 1 sin 3 x.sin 3x cos3 x.cos3x (3sin x sin 3x)sin 3x (3cos x cos3x)cos3x 8 2 1 1 3(sin xsin 3x cos x cos s3x) cos 2 3x sin 2 3x 3cos 2x cos6x 2 2 0,5® 1 1 4cos3 2x cos 2x x k (k Z) 2 2 6 0,5® NghiÖm x k (lo¹i v× tg(x ) 0 ) 6 6 NghiÖm x k (k Z) t/m c¸c ®k bµi to¸n 6 C©u 3: (4 ®iÓm) DeThi.edu.vn
  59. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 2 2x 2 0 x 3 1> §K: x 2 2x 3 0 2 x 2x 3 0 x 1 pt log (x 2 2x 2) log (x 2 2x 3) 8 4 3 7 4 3 x 2 2x 2 (8 4 3) y log (x 2 2x 2) log (x 2 2x 3) y 8 4 3 7 4 3 2 y x 2x 3 (7 4 3) 0,5® 2 x 2x 3 t 0 t 1 (a 1) y ®Æt ®­a vÒ hÖ (a 1) y a y 1 y 0,5® 7 4 3 a 1 t a y y a 1 a 1 1 f (y) (*) v× 0 1) Nªn hµm sè f(y) nghÞch biÕn a 1 vµ f(1) = 1 nªn y = 1 lµ nghiÖm duy 0,5® nhÊt cña pt (*) => x2 – 2x – 3 = a1 = 7 + 4 3 x1 1 11 4 3 3 (t/m) Gi¶i ra vËy pt ®· cho cã 2 nghiÖm x1 , x2 x2 1 11 4 3 1 (t/m) 0,5® 1 2> ®Æt x khi x th× y 0 y 0,5® 1 2y 3 1 3y 1 2y (1 y) 3 1 3y (1 y) I lim 2 lim 2 2 y 0 y y 0 y y 1,0® DeThi.edu.vn
  60. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn y 2 y 2 (y 3) lim y 0 2 2 3 2 2 y 1 2y (1 y) y ( (1 3y) (1 y)3 1 3y (1 y) ) 1 y 3 lim y 0 2 3 2 1 y 1 2y (1 y) (1 y)3 1 3y (1 3y) 1 1 1 2 2 1 VËy I 2 0,5® OA OB OC C©u 4: (4 ®iÓm) Gäi O lµ trung ®iÓm cña BC => => SO lµ SA SB SC 0 trôc ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC => SO lµ ®­êng cao cña h×nh chãp S.ABC vµ gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y, gãc SBO = gãc SAO = SCO = S + SO =asin , AC = a 4cos 2 1 1 ( cos ) a 2 2 1 a 2 S ABC AB.AC 4cos 1 2 2 O C B 0,5® a A 3 a 2 + VS.ABC = sin 4cos 1 6 ¸p dông B§T c« si cho 2 sè d­¬ng 4sin 2 vµ 4cos 2 -1 > 0 a 3 a 3 4sin 2 4cos 2 1 a 3 V = 4sin 2 . 4cos 2 1 . 12 12 2 8 0,5® 5 1 DÊu “=” x¶y ra 4sin 2 4cos 2 1 cos 2 2 2 5 VËy cos h×nh chãp cã thÓ tÝch lín nhÊt 2 2 0,5® 3A 3A 0,5® 2. Do sin cos( ) nªn gt bµi to¸n trë thµnh 2 2 2 DeThi.edu.vn
  61. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3A A B C B C 3 0,5® cos( ) 2sin( )cos 2 2 2 4 4 2 3A 3A B C 3 1 2sin 2 ( ) 2sin( )cos 4 4 4 4 4 2 3A 3A B C 1 B C 1 B C 2 sin 2 ( ) sin( )cos cos 2 (1 cos 2 ) 0 4 4 4 4 4 4 4 2 4 2 3A 1 B C 1 B C 2 sin( ) cos sin 2 0 (*) 4 4 2 4 2 4 2 3A 1 B C 2 B C 0,5® Do sin( ) cos 0;sin 0 nªn VT cña (*) kh«ng ©m 4 4 2 4 4 B C sin 0 4 Khi ®ã (*) dÊu “=” xÉy ra 3A 1 B C sin( ) cos 0 4 4 2 4 A 1000 0,5® Gi¶i hÖ trªn ta ®­îc: 0 B C 40 0,5® C©u 5: (4 ®iÓm) 2 x 2 1 2 1> Ta cã I ln(1 tg )dx xdx x 2 2 I I 0 1 1 0 2 0 2 8 0,5® 2 x x t I ln(1 tg )dx x t dx dt TÝnh 1 ®Æt 0 2 2 2 4 2 §æi cËn: x = 0 => t ; x => t = 0 2 2 t 0 2 1 tg 2 t 2 I ln 1 tg( ) dt ln(1 2 )dt ln dt 1 t t 4 2 0 0 2 1 tg 1 tg 2 2 0,5® 2 2 2 t ln 2dt ln(1 tg )dt tln 2 2 I ln 2 I I ln 2 I ln 2 0 1 1 1 0 0 2 2 4 8 4 2 VËy I ln 2 8 4 DeThi.edu.vn
  62. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0,5® NhËn thÊy ®­êng th¼ng ( ) kh«ng cã ®iÓm chung víi parabol (P) Gäi ( ' ) lµ ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi Parabol (P) vµ song song víi dt ( ) ' ( ) => pt ( ) lµ 3x – 4y - + m = 0 ( m 19) ( ' ) I1 2 H x 3x m (d) M1 16 4 4 hÖ pt: cã nghiÖm (I) I x 3 M0 8 4 x 6 (I) 0,5® m 9 9 pt ®t ( ' ) : 3x – 4y + 9 = 0. vµ to¹ ®é tiÕp ®iÓm M ( 6, ) 0 4 9 M 0 ( 6; ) ' + Gäi (d) lµ ®t qua ®iÓm M0 vµ vu«ng gãc vãi ( ) => (d) 4 nd (4;3) 123 => pt ®t (d) 4x + 3y + 0 4 0,5® I lµ giao ®iÎm cña (d) vµ ( ) => to¹ ®é I lµ nghiÖm cña hÖ 36 3x 4y 19 0 x 5 36 13 123 => I( ; ) M 0 I 2 4x 3y 0 13 5 20 4 y 20 0,5® Pt ®­êng trßn t©m I, bk R = IM0 cã d¹ng 36 13 (x ) 2 (y ) 2 4 5 20 Ta chøng minh: ®­êng trßn (C) cã ph­¬ng tr×nh trªn lµ ®­êng trßn cã bk nhá nhÊt so víi c¸c ®­êng trßn t/m ycbt. ThËt vËy: LÊy ®iÓm I1 bÊt k× trªn ( ) , M1 bÊt k× trªn parabol (P) ' H = I1M1  ( ) ta cã: I1M 1 I1H IM 0 => IM0 lµ nhá nhÊt 0,5® Do ®ã ®­êng trßn bk IM0 lµ ®­êng trßn bk nhá nhÊt 2 2 36 13 VËy ®­êng trßn cÇn t×m: x y 4 5 20 DeThi.edu.vn
  63. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 §Ò thi chän häc sinh giái líp 12 THPT M«n thi: To¸n (thêi gian lµm bµi: 180 phót) C©u 1: (2®) Kh«ng dïng b¶ng sè hoÆc mÊy tÝnh c¸ nh©n chøng minh: tg 550 > 1,4. C©u 2: (2 ® )   2 Cosn.dx 2 Sinn x.dx Chøng minh n n n n 0 Cos x Sin x 0 Cos x Sin x Vµ suy ra gi¸ trÞ cña chóng . C©u 3 ( 2 ® ) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm ccña ph­¬ng tr×nh x4 4x m 4 x4 4x m 6 C©u 4: ( 2 ® ) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: x4 – (2m + 3 ) x2 + m + 5 = 0 Cã c¸c nghiÖm tho¶ mÉn: - 2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 2. C©u 5: (2®) T×m nghiÖm trªn kho¶ng ( 0 :  ) cña ph­¬ng tr×nh x 3 4sin 2 3Cos2x 1 2Cos2 (x ) 2 4 C©u 6 (2®) Trong tam giÊc ABC cã c¸c gãc vµ c¸c c¹nh tho¶ m·n: 1 CosB 2a c (1) SinB 4a2 c2 Chøng minh tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n C©u 7: ( 2 ® ) m n T×m giíi h¹n E = Lim ( ) (m,n Z ) x 1 1 xm 1 xn C©u 8: (2®) 1 42x y 51 2x y 1 22x y 1(1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : 3 2 y 4x 1 ln(y 2x) 0(2) C©u 9 (2®) Cho 2 ®­êng trßn 2 2 (C1 ) : x + y – x – 6y + 8 = 0 2 2 (C2 ): x + y – 2mx – 1 = 0 T×m m ®Ó (C1 ) vµ ( C2 ) tiÕp xóc víi nhau Nãi râ lo¹i tiÕp xóc. C©u 10 (2®) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè nguyªn, n 1 th× DeThi.edu.vn
  64. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn n 1 n 1 1 1 > 1 n 1 n DeThi.edu.vn
  65. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tr­êng THPT Thä Xu©n 4 H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12 THPT M«n to¸n- b¶ng A C©u H­íng dÉn chÊm §iÓm 1 C©u 1: (0,5®)  0 1 tg 1 tg10 Ta cã: tg550 tg(450 100 ) 18 0  1 tg10 1 tg 18 1 x XÐt hµm sè : f(x) = ta cã: 1 x (0,5®) 2 f’(x) = 2 > 0 .VËy f(x) ®ång biÕn  x (- ;1) hoÆc  x (1;+ (1 x) (0,5®) ).   1 Theo (1) ta cã tg550=f(tg )> f( )>f( ) =1,4 (0,5®) 18 18 6 2  (0,5®) §Æt t= -x dt = - dx. 2   n  2 n 2 Cos ( t)dt Cos xdx Ta cã: = 2 = n n Cos x Sin x n  n  (0,25®) 0 0 Sin ( t)x Cos ( t) 2 2   2 Sinntdt 2 Sinn xdx = = (1) (0,5®) n n n n 0 Cos t Sin t 0 Cos x Sin x    2 Cosn xdx 2 Sinn xdx 2  MÆt kh¸c: + = dx = . (2) (0,5®) n n n n 0 Cos x Sin x 0 Cos x Sin x 0 2   2 Cosn xdx 2 Sinn xdx  Tõ(1) vµ (2): = = (0,25®) n n n n 0 Cos x Sin x 0 Cos x Sin x 4 3 x4 4x m 4 x4 4x m 6 (1) 4 4 §Æt t= x 4x m (t 0) (2) 0,25® t2 = x4 4x m 0,25® t 0 Ta cã: t=2. 2 0,25® t t 6 0 DeThi.edu.vn
  66. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tõ (2) 4 x4 4x m = 2 x4+4x+m=16. -x4-4x+16=m 0,25® §Æt: f(x)= -x4-4x+16 f’(x) = -4x3-4=-4(x3+1) f’(x)=0 x=-1vµ f(-1)=19 Lim = - 0,25® x B¶ng biÕn thiªn cña f(x) x - -1 + F’(x) + 0 - 19 F(x) - - 0,25® Tõ b¶ng biÕn thiªn ta cã b¶ng biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña (1) nh­ sau: m Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) + 0 19 1 - 2 0,5® 4 §©y lµ ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng §Æt t= x2 0; khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng: 0,25® t2 – (2m+3)t +m+5 = 0 (2). Ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm x1;x2;x3;x4 khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm d­¬ng t1 ; t2 d­¬ng.(0<t1<t) 0,25® Khi ®ã: x1 t2 , x2 t1 , x3 t1 vµ x4 t2 0,5® Do ®ã: - 2< x1 <-1 < x2 < 0 < x3 < 1< x4 < 2 2 t2 1 t1 0 t1 1 t2 2 4 t2 1 t1 0 0,5® af (1) 0 m 3 0 m 3 af (0) 0 m 5 0 m 5 9 af (4) 0 7m 9 0 m 7 0,5® (Kh«ng cã m tho¶ m·n ) 5 x 3 Ta cã: 4Sin2 3Cos2x 1 2Cos2 x 2 4 0,25® DeThi.edu.vn
  67. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 2(1 Cosx) 3Cos2x 1 1 Cos(2x ) 2 0,25® 2Cosx 3Cos2x Sin2x 0,25® 3Cos2x Sin2x 2Cosx  Cos 2x Cos( x) 0,25® 6  2x ( x) +k2  6 5 2 0,5® x k. (2) 18 3 7 x k2(3) 6 0,25® Do x 0; nªn ë hä ( 2 ) chØ lÊy ®­îc k = 0, k = 1 0,25® ë hä ( 3 ) chØ lÊy ®­îc k = 1 5 17 5 VËy c¸c nghiÖm (0;) lµ: x ; x ; x 1 8 2 18 3 6 6 1 CosB 2a c ( 1) SinB 4a2 c2 Ta cã: (1 CosB)2 2a c (1) 0,25® Sin2B 2a c 2 B 2Cos2 2a c 1 2 1 0,25® B B 2a c 2Sin .Cos 2 2 B 4a 1 cot g 2 2 2a c 1 4a B Sin2 2a c 2 B 2a c 4a.Sin2 2 0,5® B c 2a 1 2Sin2 2 0,25® 2a.CosB c 0,25® DeThi.edu.vn
  68. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4RSinACosB 2RSinC 2SinACosB SinC 2SinACosB Sin(A B) 0,5® Sin(A B) 0 A B 0 ( V× -  A B ) A B hay ABC lµ tam gi¸c c©n t¹i C. 7 Ta cã: m 1 n 1 E = lim m n = Ü 1 1 x 1 x 1 x 1 x (m (1 x x2 xm 1) (n (1 x x2 xn 1) = Lim x 1 m n 1 x 1 x (1 x) (1 x2 ) (1 xm 1) (1 x) (1 x2 ) (1 xn 1) 0,5® = Lim x 1 m n 1 x 1 x 1 (1 x) (1 x xm 2 ) 1 (1 x) (1 x xn 2 ) lim 2 m 1 2 n 1s x 1 1 x x x 1 x x x 0,5® 1 2 (m 1) 1 2 (n 1) E= m n 0,5® m(m 1) n(n 1) m 1 n 1 m n E= 2 2 m n 2 2 2 0,5® 8 §Æt t = 2x – y 0,25® 1 42x y 51 2x y 1 22x y 1(1) Khi ®ã hÖ (I): 3 2 y 4x 1 ln(y 2x) 0(2) Ta cã: 0,25® (1) 1 4t 5 t 1 1 2t 1 t t 1 4 0,25® 5 1 2.2t (3) 5 5 t t 1 4 0,25® §Æt f (t) 5 ; g(t) = 1+2. 2t 5 5 Ta cã: f(t) lµ hµm sè gi¶m, g(t) lµ hµm sè t¨ng Vµ f(1) = g (1) 0,25® DeThi.edu.vn
  69. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do ®ã: (3) t 1 2x y 1 2x y 1 0,25® VËy hÖ (I) 3 2 y 2y 3 ln(y y 1) 0 §Æt h(y) = y3 + 2y + 3 + ln ( y2+ y +1 ) 2y 1 Ta cã: h’(y) = 3y2 + 2 + y2 y 1 2y2 4y 3 = 3y2 y2 y 1 2(y 1)2 1 0,25® = 3y2 0 y2 y 1 h’(y) >0 h(y) lµ hµm sè t¨ngvµ h(-1) = 0 0,25® 2x y 1 x 0 VËy (I) y 1 y 1 9 Ph­¬ng tr×nh cña ( C1) vµ ( C2 ) cã d¹ng sau: 2 1 2 5 (C1): x (y 3) 2 4 2 2 2 0,25® (C2): (x-m) + y = m + 1 1 5 VËy ( C1) lµ ®­êng trßn víi t©m O1 ;3 vµ b¸n kÝnh R1 = ; (C2) lµ 2 2 2 0,25® ®­êng trßn víi t©m O2 (m,0) vµ b¸n kÝnh R2 = m 1 2 2 2 1 4m 4m 37 4m 4m 37 0,25® Ta cã: O1O2 = 9 m 2 4 2 a, ( C1) vµ ( C2) tiÕp xóc ngoµi nÕu R1+R2 = O1O2 5 4m2 4 4m2 4m 37 4m2 9 2 20m2 20 4m2 4m 37 5m2 5 7 m m 7 2 2 5m 5 49 14m m m 7 2 4m 14m 44 0 0,5® 11 m=2 hoÆc m = - 2 b, (C ) vµ (C ) tiÕp xóc trong nÕu R R O O 1 2 1 2 1 2 0,25® DeThi.edu.vn
  70. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 5 4m2 4 4m2 4m 37 (1) 1 +) nÕu m th× R2 > R1, do vËy tõ (1) ta cã 2 4m2 4 5 4m2 4m 37 0,25® 4m2 9 2 20m2 20 4m2 4m 37 m 7 5m2 5 0,25® m 7 2 (HÖ v« nghiÖm) 4m 14m 44 0 1 +) nÕu m th× R1 > R2 , lËp luËn t­¬ng tù trªn ta cã ®­îc hÖ v« 2 nghiÖm. KÕt luËn: §Ó (C1) vµ (C2) tiÕp xóc víi nhau th× m = 2 11 hoÆc m = - vµ khi ®ã mäi sù tiÕp xóc ®Òu lµ tiÕp xóc ngoµi 2 10 1 1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si 0,25® 1 1 1 cho n+1 sè gåm n sè 1+ n  n n sè h¹ng 1 1 1 1 1 vµ sè 1 ta cã: n 1 n n 1 n  n n thõa sè 0,5® n n 2 1 n 1 1 n 1 n 0,25® n 1 n 1 1 1 1 n 1 n 1 0,5® DÊu ®¼ng thøc kh«ng thÓ x¶y ra v× 1 1 n n 1 n 1 1 VËy 1 > 1 n 1 n 0,5® DeThi.edu.vn
  71. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
  72. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 §Ò thi häc sinh giái líp 12 THPT MÔN TOÁN (Thêi gian 180 phót kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò). Bµi 1: (4 ®iÓm) Cho hµm sè f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C). Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C). Tõ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®­êng th¼ng x=2 ta cã thÓ kÎ ®­îc bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®Õn (C). (§¹i häc ngo¹i th­¬ng khèi A n¨m 2000). Bµi 2: (4 ®iÓm). 3 TÝnh I= x3 2x2 x dx. 0 2 Cho f(x) = 2x + m + log2mx - 2(m – 2)x+ 2m-1. T×m m ®Ó f(x) cã tËp x¸c ®Þnh lµ R. Bµi 3: (4 ®iÓm). Gi¶i ph­¬ng tr×nh: ln(sinx+1) = esinx-1. Bµi 4: (2 ®iÓm). x y 1 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: y z 1 z x 1 Bµi 5: (4 ®iÓm). Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh b»ng a. LÊy M trong ®o¹n AD', N trong ®o¹n BD víi AM=DN=x, (0<x<a2 ). a 2 Chøng minh víi x= th× MN ng¾n nhÊt. 3 Khi MN ng¾n nhÊt chøng minh: MN lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña AD' vµ DB. Bµi 6: (2 ®iÓm). Cho x,y,z ; Chøng minh: 6 2 2 sin x sin y sin y sin z sin z sin x 1 1 sin z sin x sin y 2 DeThi.edu.vn
  73. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn §¸p ¸n §Ò thi Häc sinh giái líp 12 THPT Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u Néi dung §iÓm Bài Bµi1 1 TËp x¸c ®Þnh: x . (4®iÓm) (2®iÓm) ChiÒu biÕn thiªn: y'=3x2-12x+9 y'=0 x=1, x=3 0,5 Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x=1, y=3 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x=3, y=-1 TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn y''=6x-12 Hµm sè låi x ( ,2) Hµm sè lâm x (2,+ ) §iÓm uèn x=2, y=1 0,5 limy=+ ; limy=- x->+ x->- B¶ng biÕn thiªn x - 1 3 + y' + 0 - y'' 3 + 0,5 - -1 §å thÞ: x=0 =>y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 LÊy thªm ®iÓm phô: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1 VÏ ®å thÞ: Häc sinh vÏ chÝnh x¸c ®Ñp 0,5 DeThi.edu.vn
  74. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 XÐt A(2,a) trªn ®­êng x=2. TiÕp tuyÕn t¹i A cã ph­¬ng tr×nh lµ: 2 3 2 (2®iÓm) y=(3x0 -12x0+9)(x-x0)+x0 -6x0 +9x0-1 0,5 TiÕp tuyÕn nµy qua A khi vµ chØ khi 2 3 2 a=(3x0 -12x0+9)(2-x0)+x0 -6x0 +9x0-1 3 2  2x0 -12x0 +24x0-17+a=0 (1) 0,5 Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) chÝnh lµ sè tiÕp tuyÕn qua A XÐt g(x)= -2x3+12x2-24x+17 g'(x)=-6(x-2)2 0 x 0,5 g(x) lu«n nghÞch biÕn vµ cã tËp gi¸ trÞ lµ (- ,+ ) do ®ã ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã mét nghiÖm duy nhÊt VËy tõ mét ®iÓm bÊt kú trªn x=2 lu«n kÎ ®­îc ®óng mét tiÕp tuyÕn ®Õn (1) 0,5 Bµi 2 1 3 3 0,5 2 (4®iÓm) (2®iÓm) I= x(x 1) dx = x x 1 dx 0 0 1 3 = x 1 x dx + x x 1 dx 0,5 0 1 1 1 1 3 3 3 3 1 = x 2 dx - x 2 dx+ x 2 dx - x 2 dx 0,5 0 0 1 1 8 8 3 0,5 = + 15 5 2 Ta chØ cÇn mx2-2(m-2)x+2m-1>0 x R 0,5 (2®iÓm) m 0 Khi 0,5 ' 2 m 3m 4 0 m 0 0,5  m 4 =>m >1 m 1 0,5 VËy m>1 th× f(x) cã tËp x¸c ®Þnh R DeThi.edu.vn
  75. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 3 §iÒu kiÖn sinx -1, x - k2 (k Z) (4®iÓm) 2 0,5 §Æt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey esinx y 1(1) ta cã hÖ y 0,5 e sin x 1(2) LÊy (1) trõ (2) ta cã ph­¬ng tr×nh 0,5 esinx – ey = y-sinx sinx y NÕu sinx > y th× e > e Ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm 0,5 sinx y NÕu sinx x=k (k Z) 0,5 Bµi 4 x 1 y(1) (2®iÓm) 0,5 Ta cã y 1 z(2) ®iÒu kiÖn x,y,z 1 z 1 x(3) NÕu (x,y,z) lµ mét nghiÖm cña hÖ gäi x= min(x,y,z) th× x y,x z (4) 0,5 z 1+ y =x =>z x VËy z=x x y => x y =>1+ x 1+ z z y (5) 0,5 3 5 Tõ (4) vµ (5) ta cã x=y=z nªn x=1+ x => x=y=z= 2 0,5 DeThi.edu.vn
  76. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi5 1 Dùng MM'  AD; NN'  AD (4®iÓm) (2®iÓm) DNN' vu«ng c©n nªn AM'=MM' x 2 Ta cã AM2= x2=2MM'2 =>MM'=AM'= 2 x 2 0,5 V× N'DN  c©n => N'D=N'N= 2 =>  c©n MM'A =  c©n NN'D =>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x 2 x 2 M'N'=a - 2(a- )= x 2 - a 2 MM'N  t¹i M' nªn MN2 x2 x2 x2 =M'M2+M'N2= +(M'N'2+N'N2)= +(x 2 -a)2 + 0,5 2 2 2 =3x2 -2ax 2 +a2 §Æt f(x)=3x2 -2ax 2 +a2 xÐt trªn 0,a 2 a 2 f'(x)= 6x- 2a 2 =0 x= 0,5 3 a 2 VËy f(x) nhá nhÊt khi x= 3 2 a 2 a 2 2 2 MN =3 - 2a 2 +a 3 3 2a2 4a2 a2 a = - +a2 = => MN= 2 3 3 3 0,5 DeThi.edu.vn
  77. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 XÐt  MM'D: MD2=MM'2+M'D2 (2®iÓm) 2 2 1 a 2 a 2 2 a2 4a2 5a2 = + a = 2 3 3 2 9 9 9 a2 2a2 vµ MN2= DN2=x2= 3 9 0,5 5a2 =>MN2+DN2= 9 5a2 Ta l¹i cã MD2=MN2+DN2= 9 VËy MDN  t¹i N =>MN  DB 2 2 2 0,5 a 2 2 x 5a 2 2 2 XÐt  AN'N ta cã AN =AN' +N'N = a + = 3 2 2 9 a 2 a 5a2 0,5 AM=x= MN= nªn AM2+MN2= do ®ã 3 3 9 0,5 AN2=AM2+MN2 => AMN  t¹i M MN  AD VËy MN lµ ®­êng vu«ng gãc chung Bµi6 1 §Æt sinx=a; siny=b; sinz=c th× a,b,c ,1 (2 ®iÓm) 2 a b b c c a (a b)(b c)(c a) Ta cã c a b abc 2 (a b)(b c)(c a) 1 1 0,5 Ta chøng minh 1  a,b,c ,1 abc 2 2 a b 1 1 §Æt u= ; v= ; do a b c 1 th× u v 1 ta chøng minh: c c 2 2 2 0,5 (v u)(1 u)(1 v) 1 1 uv 2 1 1 0,5 (v )(1 )(1 v) (v u)(1 u)(1 v) ta cã: 2 2 1 uv v 2 2 1 1 1 1 1 = 1+ -v- 1 2 v = 1 2 2v 2 v 2 0,5 1 1 DÊu = khi u= ; v= hay x= ; y= ; z= 2 2 6 4 2 Tµi liÖu tham kh¶o: 1. §Ò thi §¹i häc cña Bé gi¸o dôc xuÊt b¶n n¨m 1996. 2. B¸o to¸n häc vµ tuái trÎ n¨m 2000 DeThi.edu.vn
  78. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 §Ò thi chän häc sinh giái tØnh m«n to¸n líp 12 (Thêi gian lµm bµi 180 phót) Bµi 1: (4 ®iÓm) 1) (§Ò 48 I2 trong 150 ®Ò tuyÓn sinh §¹i häc) x 2 T×m trªn ®å thÞ hµm sè y = hai ®iÓm A vµ B ®èi xøng nhau qua ®­êng th¼ng y = x -1 x 1 2) (Tù s¸ng t¸c) Cho a, b, c R víi a 0 vµ m N* tho¶ m·n: a b c 0 . m 4 m 2 m Chøng minh r»ng: §å thÞ hµm sè: y = ax4 + bx2 + c lu«n c¾t trôc ox t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm thuéc kho¶ng (0;1). Bµi 2: (5 ®iÓm) 1) (Tù s¸ng t¸c) T×m tæng tÊt c¶ c¸c nghiÖm x [1;100] cña ph­¬ng tr×nh: 3 3 Sin4x + Sin4 ( x + ) + Sin4 (x + ) sin 4 (x ) Sin 4 4x 4 2 4 2 2) ( To¸n häc tuæi trÎ n¨m 2003) Cho tam gi¸c ABC kh«ng cã gãc tï tho¶ m·n hÖ thøc: 1 1 5 (cos 3A cos 3B) (cos 2A cos 2B) cos A cos B 3 2 6 H·y tÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ®ã. Bµi 3: (4 ®iÓm) 1) (To¸n Båi d­ìng gi¶i tÝch tæ hîp cña Hµn Liªn H¶i - Phan Huy Kh¶i) x 5 T×m hä nguyªn hµm cña hµm sè f(x) = x 4 3x 2 2 2) (Tù s¸ng t¸c) 2 2 4x 2 6 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 3x + 1 + log2006 x x 6 x 2 1 Bµi 4: (4 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy 1) ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo §HXD - Hµ Néi n¨m häc 2000-2001) DeThi.edu.vn
  79. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho ®iÓm A(4;0) vµ ®­êng th¼ng : 4x - 9 = 0. Chøng minh r»ng tËp hîp c¸c ®iÓm M cã tû sè kho¶ng 4 c¸ch tõ ®ã ®Õn ®iÓm A vµ tõ ®ã ®Õn ®­êng th¼ng b»ng lµ mét Hypebol. H·y viÕt ph­¬ng tr×nh cña 3 Hypebol ®ã. 2) ( Chuyªn ®Ò vÒ h×nh häc gi¶i tÝch cña Cam Duy LÔ - TrÇn Kh¾c B¶o) Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) vµ ®­êng th¼ng d di ®éng nh­ng lu«n ®i qua tiªu ®iÓm F cña Parabol. Gäi M, N lµ c¸c giao ®iÓm cña parabol víi ®­êng th¼ng d. Chøng minh r»ng ®­êng trßn ®­êng kÝnh MN lu«n tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. Bµi 5: (3 ®iÓm) (500 Bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøccña Phan Huy Kh¶i -TËp II) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi K lµ trung ®iÓm cña SC. MÆt ph¼ng qua AK c¾t c¸c c¹nh SB, SD lÇn l­ît t¹i M vµ N. Gäi V 1, V thø tù lµ thÓ tÝch cña khèi chãp SAMKN vµ khèi chãp V SABCD. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña tû sè 1 . V DeThi.edu.vn
  80. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n - thang ®iÓm kú thi chän läc häc sinh giái tØnh - m«n to¸n LíP12 Néi dung §iÓm Bµi 1: (4 ®iÓm) 1) (2 ®iÓm) Hai ®iÓm A, B ®èi xøng nhau qua ®­êng th¼ng y = x -1 nªn ®­êng th¼ng AB cã pt: y = -x + m x 2 =>Hoµnh ®é c¸c ®iÓm A, B lµ xA, xB chÝnh lµ nghiÖm pt: =-x +m x m 0,5 ®iÓm g(x) = 2x2 - (m + 1)x + m = 0 x A xB m 1 3m 1 Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB ta cã xI = y x m 2 4 I I 4 3m 1 m 1 Ta ph¶i cã ®iÓm I thuéc ®­êng th¼ng y =x -1 => 1 4 4 0,5 ®iÓm m = -1 2 0,5 ®iÓm Khi ®ã g(x) = 2x2 - 1= 0 x = 2 2 2 2 2 Víi xA = - => yA = -xA-1 = -1+ ; Víi xB = => yB = -1- 2 2 2 2 0,5 ®iÓm 2 2 2 2 VËy hai ®iÓm cÇn t×m lµ A(- ; -1+ ) vµ B ( ; -1- ) 2 2 2 2 2) (2 ®iÓm) ax m 4 bx m 2 cx m XÐt hµm sè f(x) = víi a 0 vµ m N* m 4 m 2 m Lµ hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm lµ: m+3 m+1 m-1 0,5 ®iÓm f’(x) = ax + bx + cx víi x R a b c Ta tÝnh ®­îc f(0) = 0 vµ f(1) = 0 (do gi¶ thiÕt) m 4 m 2 m f (1) f (0) 0,5 ®iÓm Theo ®Þnh lý Lagr¨ng: tån t¹i x0 (0;1) sao cho f’(x0) = 0 1 0 m 3 m 1 x 1 => ax 0 b0 c0 = 0 m 1 4 2 4 2 0,5 ®iÓm => x 0 (ax0 b0 c) 0 => ax 0 + bx 0 + c = 0 4 2 Tøc lµ pt: ax + bx + c = 0 cã nghiÖm x0 (0;1) 0,5 ®iÓm Hay ®å thÞ hµm sè: y = ax4 + bx2 + c lu«n c¾t ox t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm thuéc (0;1) Bµi 2: (5 ®iÓm) 1) (3 ®iÓm) DeThi.edu.vn
  81. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tr­íc hÕt biÕn ®æi vÕ tr¸i cña pt: Sö dông c«ng thøc Sin ( + ) = cos 2 Ta ®­îc: VT = Sin4x + cos4x + Sin4 (x+ ) + Cos4 (x+ ) 4 4 = (Sin2x +Cos2x) - 2Sin2x Cos2x + 1 - 2Sin2 (x+ ).Cos(x+ ) 4 4 1 1 1 1 1 3 = 1- Sin22x +1 - Sin2(2x + ) = 2 - Sin22x - Cos22x = 2 - = 1 ®iÓm 2 2 2 2 2 2 2 3 3 Nªn pt ®· cho viÕt thµnh: Sin44x = Sin24x = 1 Cos 4x = 0 2 2 0,5 ®iÓm 4x = + k x = + k. víi k Z 2 8 4 §Ó x [1; 100] ta ph¶i cã: 1 + k. 100 8 (2k+1) 800 8 4 0,5 ®iÓm mµ k Z nªn k = 1, 2, 3 .,126 126 126 0,5 ®iÓm Nªn tæng c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: S =  (1 2k)  (2k 1) k 1 8 8 k 1 126 Ta cã  (2k 1) lµ tæng cña 126 sè h¹ng cña cÊp sè céng cã u1= 3 vµ u126 = 253 k 1 0,5 ®iÓm (3 253).126 VËy S = . 2016 8 2 2) (2 ®iÓm) 1 1 5 Ta cã (Cos 3A + Cos 3B) - (Cos 2A + Cos 2B) + Cos A +CosB = (1) 3 2 6 1 1 5 (4 Cos3A - 3 CosA + 4 Cos3B - 3CosB) - (2Cos2A-1+2Cos2B-1)+CosA+CosB = 3 2 6 4 4 1 0,5 ®iÓm ( Cos3A - Cos2A) + ( Cos3B - Cos2B) =- (2) 3 3 6 4 XÐt hµm sè f(t) = t3 - t2 víi t [0;1] ta cã: 3 f’(t) = 4t2 - 2t; f’(t) = 0 t = 0 1 1 t = . Ta cã b»ng biÕn thiªn; t 0 1 2 2 1 1 0,5 ®iÓm f’(t) 0 - 0 + => Víi t [0;1] th× f(t) f( ) = - 2 12 f(t) 1 12 DeThi.edu.vn
  82. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn V× ABC kh«ng cã gãc tï nªn 0 CosA VT (2) - (3) 3 12 6 1 Do ®ã (2) ®­îc tho¶ m·n (3) x¶y ra dÊu “=” => Cos A = 2 1 Cos B = 2 0,5 ®iÓm => A = 600 B = 600 => C = 600 Bµi 3: ( 4 ®iÓm) 1) (2 ®iÓm) x5 3x3 2x Ta cã: x v× x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2 ) (x2 + 1) x4 3x2 2 x4 3x2 2 0,5 ®iÓm 3x3 2x Ax b Cx D §Æt Víi x x4 3x2 2 x2 2 x2 1 3x3 + 2x = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + 2) Víi x Hay 3x3 + 2x = (A+C)x3 + (B + D)x2 + (A + 2C)x + B + 2D Víi x => A + C = 3 B = D = 0 3x3 2x 4x x B + D = 0 => C = -1 tøc lµ x4 3x2 2 x2 2 x2 1 A + 2C = 2 A = 4 B + 2D = 0 0,5 ®iÓm 4x x => f(x) = x - x2 2 x2 1 0,5 ®iÓm x2 4xdx xdx x2 d(x2 2) 1 d(x2 1) => f(x)dx = 2 2 x2 2 x2 1 2 x2 2 2 x2 1 x2 1 0,5 ®iÓm VËy f(x)dx = 2ln(x2 2) ln(x2 1) k víi k lµ h»ng sè 2 2 2) (2 ®iÓm) 2 4x 2 6 2 PT ®· cho viÕt thµnh: log2006 = x - 3x - 1 (1) x6 x2 1 DeThi.edu.vn
  83. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 u §Æt: u = 4x + 2 > 0 ta ®­îc pt: log2006 = v - u v 6 2 v = x + x + 1> 0 0,5 ®iÓm log2006u - log2006v = v- u (*) - NÕu u > v th× VT (*) > 0 > VP (*) nªn kh«ng tho¶ m·n. - NÕu u = ta cã t = x2 = 2 Cos . VËy pt ®· cho cã 2 nghiÖm x = 2Cos 9 9 9 Bµi 4: (4 ®iÓm) 1) (2 ®iÓm): Gi¶ sö ®iÓm M (x;y) khi ®ã AM = (x 4)2 y2 0,5 ®iÓm 4x 9 Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®­êng th¼ng : 4x - 9 = 0 lµ d(M; ) = 4 0.5 ®iÓm AM 4 Ta cã 3 (x 4)2 y2 4x 9 d(M ; ) 3 x2 y2 0,5 ®iÓm 7x2 - 9y2 = 63 1 9 7 0,5 ®iÓm DeThi.edu.vn
  84. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 y2 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ Hypebol cã ph­¬ng tr×nh 1 9 7 2)( 2 ®iÓm): Parabol y2 = 2px ®­êng p chuÈn lµ : x = - . §­êng trßn y d 2 ®­êng kÝnh MN cã t©m lµ trung N1 MN ®iÓm I cña MN vµ b¸n kÝnh R= 2 0,5 ®iÓm H I Gäi M1; N1, H thø tù lµ h×nh chiÕu O Cña c¸c ®iÓm M, N vµ I. F x Theo ®/n cña Parabol cã M 1 M MM = MF 1 0,5 ®iÓm NN1 = NF => MM1 + NN1 = MF + NF = MN. 0,5 ®iÓm MN Mµ trong h×nh thang vu«ng MM1N1N th× MM1 + NN1 = 2 IH. Do ®ã IH= 2 0,5 ®iÓm VËy ®­êng trßn ®­êng kÝnh MN lu«n tiÕp xóc víi ®­êng chuÈn cña Parabol Bµi 5: (3 ®iÓm): V× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh S 1 1 => VSABC = VSADC = VSABCD = V. 2 2 SM SN K §Æt x , y M SB SD VSAMK SM SK x.V P th× . V C V SB SC SAMK 4 B SABC N 0,5®iÓm V => V1 = VSAMK + VSANK = (x + y) (1) 4 A MÆt kh¸c V1 = VSAMN + VSMNK = D V V = x.y. + x.y. 2 4 3xy.V => V1 = (2). 4 x 0,5®iÓm Tõ (1) (2) => x + y = 3xy => y = (3) 3x 1 1 Do x > 0 vµ y > 0 nªn tõ (3) => x > 3 0,5 ®iÓm DeThi.edu.vn
  85. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SN x 1 1 Vµ y = 1 1 2x3 - 1 0 (v× 3x-1) 0 => x do ®ã x 1 SD 3x 1 2 2 0,5 ®iÓm V 1 3 3 x 3x2 Tõ (1) => 1 (x + y) = xy = x. V 4 4 4 3x 1 4(3x 1) 3x 2 1 3x(3x 2) XÐt hµm sè f(x) = víi x 1. Ta cã f’(x) = 4(3x 1) 2 4(3x 1)2 1 f’(x) = 0 x = 0 kh«ng thuéc ®o¹n [ ;1] 2 2 x = => B¶ng biÕn thiªn 3 1 2 x 1 2 3 f’(x) - 0 + f(x) 3/8 3/8 1 3 0,5 ®iÓm 1 3 1 1 V 3 Suy ra f(x) víi x [ ;1] hay 1 3 8 2 3 V 8 0,5 ®iÓm V 1 2 2 VËy Min ( 1 ) = khi x = hay SM = SB V 3 3 3 1 x M lµ trung ®iÓm cña SB V1 3 Vµ Max ( ) = khi 2 V 8 M  B x 1 DeThi.edu.vn
  86. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề) MÔN THI: TOÁN 1 Bài 1. ( 2 điểm) x2sin khi x 0 Cho hàm số f(x) = x 2 0 khi x=0 4 2 Chứng minh rằng 1 x sin xdx = f’(0). 4 Bài 2. ( 2 điểm) y=x2-6x+5 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền y=0 khi quay quanh trục oy. Bài 3. ( 2 điểm) Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2 0 có nghiệm x (1;2). Bài 4. ( 2 điểm) Giải và biện luận phương trình: 4x+1 +2(m-1) x-1 =(m+1)4x 2 3x 1 theo tham số m. Bài 5. ( 2 điểm) Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = - 1 2 Bài 6. ( 2 điểm) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: 1 1 1 3 cos A cos B cosC 2 3 thì đều. sin A sin B sin C 2 Bài 7. ( 2 điểm) 2 3x 1 Tìm giới hạn: lim x 0 sin 2 2x Bài 8. ( 2 điểm) Giải và biện luận theo m bất phương trình: 2 x (m 1)x m (x m)log 1 (x 3) 3 Bài 9. ( 2 điểm) x 2 Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): y 2 1 và đường tròn (C): x2+y2=9. 9 Viết phương trình tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1). DeThi.edu.vn
  87. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C). Bài 10. ( 2 điểm) x 2 Cho elip (E): y 2 1 và hai đường thẳng (d ): x-ky=0, (d ): kx+y=0. (d ) cắt 4 1 2 1 elip (E) tại A và C, (d2) cắt elip (E) tại B và D. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD. ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT MÔN THI : TOÁN Bài 1 2 điểm 1 x 2 sin 2 1 0,25 f’(0)= lim x lim xsin x 0 x x 0 x 2 1 0,25 vì - ∆x ∆x sin ∆x và lim (- ∆x )= lim ( ∆x )=0 x 2 x 0 x 0 1 lim xsin 0 f’(0)=0 (1) 0,50 x 0 x 2 4 0 4 Mặt khác: 1 x 2 sin xdx 1 x 2 sin xdx 1 x 2 sin xdx 0,25 0 4 4 Đặt x=-t thì dx=-dt , với x=- /4 thì t= /4, với x=0 thì t=0 0,25 4 0 4 1 x 2 sin xdx - 1 t 2 sin t dt + 1 x 2 sin xdx 0 4 4 4 4 4 4 = 1 t 2 sin tdt 1 x 2 sin xdx 1 x 2 sin xdx 1 x 2 sin xdx 0 (2) 0,25 0 0 0 0 Từ (1) và (2) suy ra diều phải chứng minh. 0,25 Bài 2 2 điểm y 1 3 5 x O A C 0,5 -4 B DeThi.edu.vn
  88. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5 Cung AB có phương trình x = y 4 3 Cung BC có phương trình x = y 4 3 0,5 0 0 2 V y 4 3 dy ( y 4 3) 2 dy 0,5 oy 4 4 0 3 0 12 y 4dy 8 (y 4) 2 = 64 0,5 4 4 Bài 3 2 điểm Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 thì bất phương trình có nghiệm x (1;2). 7 0,5 Bài 4 2 điểm x 1 2 Điều kiện 4x -3x-1 0 1 0,25 x 4 4x 1 4x 1 Phương trình - (m+1) +2(m-1) = 0 x 1 x 1 0,25 4x 1 t 0 Đặt t = điều kiện x 1 t 2 0,25 2 Phương trình trở thành t -(m-1)+2(m-1)=0 0,25 0 t 2 Giải ra ta được t1=2 t2=m-1 0,25 Nghiệm t thỏa mãn m 1 2 m 3 0,25 m 2 2m 2 Theo cách đặt ta tính được x = 0,25 m 2 2m 3 m<1 Kết luận: . thì PT vô nghiệm m=3 DeThi.edu.vn
  89. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn m 2 2m 2 0,25 . 1 m 3 thì PT có nghiệm duy nhất x = m 2 2m 3 Bài 5 2 điểm x Nhận thấy sin =0 x=k2 (k Z) không phải nghiệm của PT 0,25 2 x x x x x PT 2cosxsin +2cos2xsin +2cos3xsin +2cos4xsin =-sin 0,50 2 2 2 2 2 9x 9x 2t sin =0 =t x= (t Z). 2 2 9 2t KL: x= (t Z). 0,50 9 Bài 6 2 điểm 1 1 1 Ta có cosA+cosB+cosC+ sin A sin B sin C = A B C 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4sin sin sin 1 2 2 2 4 sin A sin B sin C 4 sin A sin B sin C 3 A B C 3 1 1 1 3 1 1 1 4 4 1+ 4 4sin sin sin . 1 1,0 2 2 2 4 sin A sin B sin C 4 sin A sin B sin C 3 3 3 1 1 1 1 4 1 4 A B C 4 A B C 16.8cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 4. 1 3 2 3 2 4 3 A B C 2 cos cos cos 0,5 2 2 2 A B C 3 3 3 4sin sin sin 2 2 2 4sin A 4sin B 4sin C 1 1 1 1 1 1 sin A sin B sin C A B C Dấu ‘=’ xảy ra khi cos cos cos 2 2 2 A B C 3 3 cos cos cos 2 2 2 8 DeThi.edu.vn
  90. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A=B=C ∆ABC đều. 0,5 Bài 7 2 điểm 2 2 3x 1 e x ln 3 1 x 2 ln3 Ta có : lim lim . x 0 2 x 0 2 2 2 1,5 sin 2x x ln3 sin x.4cos x 1 ln3 4 0,5 Bài 8 2 điểm Điều kiện x>-3 0,25 Bất PT (x-m) x-1+log3(x+3) 0 0,25 Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến trong (-3;+ ) 0,25 f(0)=0, nên x 0 f(x) f(0)=0 hay f(x) cùng dấu với x. 0,25 (x-m)x 0 Do đó BPT x>-3 Từ đó suy ra -3<x 0 Nếu m 0 thì nghiệm của BPT là: x m 0,25 -3<x m Nếu -3<m<0 thì nghiệm của BPT là: x 0 0,25 Nếu m=-3 thì nghiệm là x 0. 0,25 Nếu m<-3 thì nghiệm là x 0. 0,25 Bài 9 2 điểm 1. Phương trình đường thẳng qua M có dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b2 0). 0,25 9a2-b2=(3a+b)2 ax+by-3a-b=0 đường thẳng này tiếp xúc với (H) 0,25 3a+b 0 2b(b+3a)=0 b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến là : x-3=0 0,5 3a+b 0 2. Xét tiếp tuyến cùng phương với oy có PT : x-a=0. 0,25 9=a2 Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) thì a =3 a= 3 a 0 0,25 Có hai tiếp tuyến chung thỏa mãn bài toán là x-3=0 và x+3=0. Xét tiếp tuyến không cùng phương với oy có PT y=kx+b kx-y+b=0 0,25 Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) hệ sau có nghiệm: DeThi.edu.vn
  91. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 9k2-1=b2 2 2 2 9k =b +1 b =3 k 1 Hệ vô nghiệm. 9k2+9=b2 b 0 KL: có 2 tiếp tuyến chung là: x-3=0 và x+3=0. 0,25 Bài 10 2 điểm Tọa độ giao điểm của (d1) và (E) là nghiệm của hệ : x 2 x ky y 2 1 16(k 2 1) 4 2 AC2 = 0,50 y 4 k 2 x ky 4 k 2 Tọa độ giao điểm của (d2) và (E) là nghiệm của hệ : x 2 y kx y 2 1 16(k 2 1) 4 2 BD2 = 0,50 x 1 4k 2 y kx 1 4k 2 2 2 2 2 2 2 16 (1 k ) Vì (d1)  (d2) nên AC  BD 4S = AC .BD = (4 k 2 )(1 4k 2 ) 162 (1 x) 2 (x 1)(9x 9) Đặt x=k2 0, xét f(x)= , f’(x)= (4 x)(1 4x) (1 4x) 2 (x 4) 2 f’(0)=0 x=1. 1 Chú ý rằng: lim f (x) x 4 0,25 Bảng biến thiên: x 0 1 + f’(x) - 0 + 1 1 0,25 f(x) 4 4 4 25 1 Từ bảng biến thiên Max f (x) khi x=0 k=0 0; 4 4 Min f (x) khi x=1 k= 1 0; 25 16 Vậy Max SABCD=4 khi k=0, Min SABCD= khi k= 1. 0,50 5 DeThi.edu.vn
  92. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 ®Ò thi häc sinh giái khèi 12 (b¶ng a) m«n: to¸n thêi gian: 180' 1 1 Bµi 1:(4 ®iÓm). Cho hµm sè: y x 3 mx 2 2x 2m (cm) 3 3 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1. 5 2. T×m m (0; ) sao cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (Cm), vµ c¸c ®­êng th¼ng: x=0; x=2; y=0 cã diÖn 6 tÝch b»ng 4. Bµi 2: (4 ®iÓm). 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: 3 tgx 1 (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x). 2 x 2. gi¶i ph­¬ng tr×nh: log2 x + x.log7(x + 3)= log2x [ + 2.log7(x + 3)] 2 Bµi 3: ( 4 ®iÓm). 1. T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm. a a sin x = sin x 2. T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt. x 3 1 x 2 1 x 1 2(a 1) 4(1 a). 4a 6 0 x x x x Bµi 4( 4 ®iÓm). 1. Cho ABC nhän néi tiÕp trong ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. Gäi R1, R2, R3 lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c BOC, COA, AOB. Cho biÕt: R1+R2+R3 = 3R. TÝnh 3 gãc cña ABC 2. Cho (E): x2 + 4y2 = 4 . M lµ ®iÓm thay ®æi trªn ®­êng th¼ng y=2. Tõ M kÎ ®Õn (E) hai tiÕp tuyÕn. Gäi c¸c tiÕp ®iÓm lµ T1, T2. T×m vÞ trÝ cña M ®Ó ®­êng trßn t©m M tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng T1, T2 cã b¸n kÝnh nhá nhÊt. Bµi 5:( 4 ®iÓm). f '2 (x) 4 f ' (x). f (x) f 2 (x) 0 1. Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh vµ d­¬ng trªn R tháa m·n: f (0) 1 T×m hµm sè f(x). 2. Cho tø diÖn ABCD cã träng t©m lµ G. C¸c ®­êng th¼ng AG, BG, CG, DG kÐo dµi lÇn l­ît c¾t mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ë A1, B1, C1, D1 CMR: GA1 GB1 GC1 GD1 GA GB GC GD DeThi.edu.vn
  93. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn §¸p ¸n vµ thang ®iÓm §¸p ¸n Thang ®iÓm x 3 7 Bµi 1: 1.Khi m=1. y x 2 2x 3 3 TX§ : D = R x 1 3 + y ' x 2 2x 2 y ' 0 x 1 3 0,5 Hµm sè ®ång biÕn (-∞; -1- 3 )  (-1+ 3 ; +∞) Hµm sè nghÞch biÕn ( -1- 3 ;1+ 3 ) yC§ = y(-1- 3 ) = yCT = y(-1+ 3 ) = y '' 2x 2 ; y '' 0 x 1. §å thÞ hµm sè låi trªn (-∞; -1) §å thÞ hµm sè lâm trªn (-1;-∞) 0.5 7 NhËn I(-1, ) lµm ®iÓm uèn 3 + Limx y ; Limx y B¶ng biÕn thiªn x -∞ -1- 3 -1+ 3 +∞ 0,5 y’ + 0 - 0 + y C§ +∞ -∞ CT §å thÞ: 0.5 DeThi.edu.vn
  94. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 3 1 2. XÐt ph­¬ng tr×nh : mx 2 2x 2m 0 trªn [0; 2] 3 3 0.5 x 3 1 §Æt f (x) mx 2 2x 2m 0; f ' (x) x 2 2mx 2. 3 3 ' Ph­¬ng tr×nh: f (x) 0 lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu x1 0 +Ph­¬ng tr×nh ®· cho DeThi.edu.vn
  95. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2log 2 x x (1) (2log 2 x x)(log 2 x 2log 7 (x 3)) 0 log 2 x 2log 7 (x 3) (2) x 0 x 0 + Gi¶i (1) x ln x ln x x2 2 (1') x 2 ln x XÐt hµm sè: f (x) trªn (0;+∞) ; x ' 1 ln x ' f ( x ) ; f ( x ) 0 x e 0.5 x 2 B¶ng biÕn thiªn. x 0 e f’ - 0 + f 1 e Tõ b¶ng biÕn thiªn hÖ (1’) cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm: NhËn thÊy x=2; x=4 tháa m·n (1’). VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x=2; x=4. 0.5 4 3 + Gi¶i (2). §Æt: log x 2log (x 3) 2t 7t 4t 3 1 ( )t . (2') 2 7 7 7t 4 3 XÐt hµm sè: g(t) ( )t . lu«n nghÞch biÕn (2’) cã nghiÖm duy nhÊt t =1 7 7t VËy (2) cã nghiÖm x =2 + KL: Ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm: x = 2; x=4 0.5 Bµi 3: 0.5 0 t 1 1. + §Æt sinx = t cã ph­¬ng tr×nh ®· cho 2 a a t t + §Æt: a t y 0 hÖ trªn 0.5 y 0;0 t 1 y 0;0 t 1 y 0 ;0 t 1 2 2 a y t a y t t y 2 2 a t y (t y)(t y 1) 0 t t a + XÐt hµm sè: f(t)= t2 – t trªn [0;1]. 1 1 1 cã: f ' (t) 2t 1 ; f ' (t) 0 t f (0) f (1) 0 ; f ( ) 2 2 4 0.5 HÖ trªn cã nghiÖm khi ®­êng th¼ng y=a c¾t ®­êng cong y=f(t)= t2-t trªn [0;1] DeThi.edu.vn
  96. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 a 0 4 0.5 1 KÕt luËn: Ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi 4 0 4 2. §K : x>0. 0.5 1 + §Æt: x t (®k :t 2) víi t =2 cho gi¸ trÞ x=1 x (*) víi t>2 cho gi¸ trÞ x>0 0.5 t 2  x 1 t 2 + Ta cã : (1) 2 2 f (t) t 2at 1 0 (t 2)(t 2at 1) 0 t 2 + Do (*) nªn ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm ph©n biÖt th× PT (1) ph¶i cã ®óng 1 nghiÖm t>2 0.5 NhËn xÐt: TÝnh a.c =1 vËy ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã ®óng 1 nghiÖm t>2 th× (1) ph¶i cã nghiÖm c¸c tr­êng hîp sau: 0 a 2 VN t 2 t  VN 1 2 t1 2 t2 5 f (2) 0 a 0.5 4 5 KÕt luËn: §Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt th× : a< 4 Bµi 4: 0.5 1. Theo ®Þnh lý hµm sè sin cho BOC ta cã: a a 2Rsin A R 2R 2R R sin BOC sin 2A 1 sin 2A 1 1 2cos A R R T­¬ng tù cho COA, AOB : R2 ; R3 0.5 2cos B 2cosC. 1 1 1 + VËy cã: 6. (1) cos A cos B cosC 0.5 1 1 1 9 9 + DÔ cã : 6 (Do ABC cos A cos B cosC cos A cos B cosC 3 2 nhän). DeThi.edu.vn
  97. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 0.5 + ( Ph¶i chøng minh : cos A cos B cosC ) 2 + VËy (1) CosA CosB CosC A B C 60o 0.5 x 2 2. (E): y 2 1 M ®­êng th¼ng y 2 M(a;2) 4 + Gäi T1(x1,y1); T2(x2,y2) lµ c¸c tiÕp ®iÓm tiÕp tuyÕn t¹i T1, T2 lµ: x1 x 1: y.y 1 4 1 x2 x 0.5 2 : y.y 1 4 2 a.x 1 2y 1 4 1 Do 1; 2 ®i qua M(a, 2) a.x 2 2y 1 4 2 a.x NhËn xÐt : T1, T2 cã täa ®é tháa m¶n ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng : 2y 1 4 VËy ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng T1, T2 lµ; ax + 8y – 4 =0. a 2 12 R d(M ) T T 2 1 2 a 64 + §­êng trßn t©m M tiÕp xóc T1, T2 cã b¸n kÝnh lµ: a 2 12 R a 2 64 0.5 t 12 + Ta t×m a ®Ó R nhá nhÊt : §Æt a 2 t 0 R f (t) t 64 ' t 116 3 f (t) 0 t 0 R min f (0) 2 (t 64) 3 2 ®¹t ®­îc khi : t=0 a=0 0.5 + KÕt luËn: vËy ®iÓm M(0;2). Bµi 5 : 1. Tõ: 0.5 DeThi.edu.vn
  98. Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn f ' (x) ( 2 3) f (x) f '2 (x) 4 f ' (x) f 2 (x) 0 ' f (x) ( 2 3) f (x) f ' (x) 2 3 (1) f (x) (do f (x) 0) f ' (x) 0.5 2 3 (2) f (x) f ' (x) + XÐt (1) Cã: dx ( 2 3)dx ln f (x) ( 2 3)x C 1 f (x) 0.5 ( 2 3)x C1 C1 f (x) e do f (0) 1 e 1 C1 0 0.5 + VËy: f (x) e( 2 3)x + XÐt (2) t­¬ng tù : ta ®­îc kÕt qu¶ : f (x) e( 2 3)x. 0.5 §¸p sè: f (x) e( 2 3)x. hoÆc f (x) e( 2 3)x. 2. Gäi O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD Cã: OA OG GA OA2 OG 2 GA2 2OG.GA 0.5 T­¬ng tù ta cã: OB 2 OG 2 GB 2 2OG.GB OC 2 OG 2 GC 2 2OG.GC OD 2 OG 2 GD 2 2OG.GD + Tõ trªn : 4(R 2 OG 2 ) GA2 GB 2 GC 2 GD 2 2 2 + L¹i cã : GA.GA1= GB.GB1=GC.GC1=GD.GD1=R – OG 2 2 1 1 1 1 VËy : GA1 GB1 GC1 GD1 (R OG )( ) GA GB GC GD 0.5 1 1 1 1 1 (GA2 GB 2 GC 2 GD 2 ).( ) 4 GA GB GC GD + ¸p dông Bunhia vµ cosi cã: 0.5 1 1 1 1 1 GA GB GC GD (GA GB GC GD) 2 ( ) 1 1 1 1 16 GA GB GC GD GA GB GC GD DÊu b»ng x¶y ra GA GB GC GD Tø diÖn ABCD gÇn ®Òu hoÆc tø diÖn ABCD ®Òu DeThi.edu.vn