›
›
›

Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án)

docx 133 trang Thái Huy 14/09/2023 8595
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbo_32_de_thi_toan_nang_cao_lop_8_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án)

  1. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
  2. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái huyÖn ®øc thä gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay §Ò thi chÝnh thøc Líp 8 THCS Thêi gian lµm bµi: 90 phót. Chó ý: - §Ò thi gåm 03 trang - ThÝ sinh lµm trùc tiÕp vµo b¶n ®Ò thi nµy - PhÇn thËp ph©n ë kÕt qu¶ (nÕu cã) lÊy theo yªu cÇu cña tõng c©u - ThÝ sinh chØ ®­îc sö dông c¸c lo¹i m¸y tÝnh sau: Fx 500 ES; Fx 570 ES. Casio: Fx 500 MS; Fx 570 MS. Viacal: 500 MS; 570 MS Sè ph¸ch §iÓm toµn bµi thi Hä, Tªn vµ ch÷ kÝ cña c¸c gi¸m kh¶o (Do Chñ tÞch H§ thi ghi) B»ng sè B»ng ch÷ GK1 GK2 Bµi 1: a) TÝnh gi¸ trÞ chÝnh x¸c cña A = 10384713 b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc B víi x = 3,33 ( chÝnh x¸c ®Õn ch÷ sè thËp ph©n thø t­ ) 1 1 1 1 1 1 B x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 KÕt qu¶ A = B = Bµi 2: a) T×m sè d­ cña phÐp chia 1234567890987654321 cho 123456 b) T×m d­ cña phÐp chia P(x) = x3 + 2,1x2 – 3,2x + 2009 cho (2x - 1) KÕt qu¶ a) Sè d­ lµ: b) PhÇn d­ lµ: Bµi 3: Cho x670 y670 6,912 vµ x1340 y1340 33,76244 . TÝnh S = x2010 y2010 Lêi gi¶i tãm t¾t DeThi.edu.vn
  3. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 4: Cho dãy sè u1 1; u2 2 ; ; un 1 2009un 2010un 1 (víi n = 2, 3, 4, ) a) TÝnh u5 b) LËp quy tr×nh Ên phÝm ®Ó tÝnh un 1 a) U5 = b) ViÕt quy tr×nh Ên phÝm 4x Bµi 5: Cho ®a thøc P(x) . H·y tÝnh tæng sau: 4x 2 1 2 3 2010 S P P P P 2011 2011 2011 2011 Lêi gi¶i tãm t¾t DeThi.edu.vn
  4. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 6: TÝnh chÝnh x¸c tæng S = 1 1! 2 2! 3 3! 16 16! KÕt qu¶ Bµi 7: Theo B¸o c¸o cña ChÝnh phñ d©n sè ViÖt Nam tÝnh ®Õn th¸ng 12 n¨m 2005 lµ 83,12 triÖu ng­êi, nÕu tØ lÖ t¨ng trung b×nh hµng n¨m lµ 1,33%. Hái d©n sè ViÖt Nam vµo th¸ng 12 n¨m 2010 sÏ lµ bao nhiªu ? Lêi gi¶i tãm t¾t Bµi 8: Cho h×nh thang ABCD (AD // BC) cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau ë O. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOD lµ 196 cm2. KÕt qu¶ HÕt DeThi.edu.vn
  5. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn H­íng dÉn chÊm thi gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay Líp 8 Bµi 1: (4 ®iÓm). A cho 2 ®; B cho 2 ® KÕt qu¶ A = 1119909991289361111 B = 0,1931 Bµi 2: (2 ®iÓm) Mçi c©u cho 1 ® KÕt qu¶ a) Sè d­ lµ: 8817 b) PhÇn d­ lµ: 2008,05 Bµi 3: (2 ®iÓm) Lêi gi¶i tãm t¾t §Æt a = x670 , b = y670. Theo bµi ra ta cã: a + b = 6,912 vµ a2 + b2 = 33,76244. 2 2 2 3 3 a b a b Khi ®ã a3 b3 a b 3ab a b a b 3 a b 2 TÝnh to¸n ®­îc a3 + b3 = 184,9360067 VËy x2010 + y2010 = 184,9360067 Bµi 4: (2 ®iÓm). Mçi c©u cho 1 ® a) U5 = 24349688728 b) ViÕt quy tr×nh Ên phÝm: (500 MS hoÆc 570MS) 2 SHIFT STO A 2009 1 2010 SHIFT STO B 2009 ALPHA A 2010 SHIFT STO A 2009 ALPHA B 2010 SHIFT STO B DeThi.edu.vn
  6. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 5: (2 ®iÓm) Lêi gi¶i tãm t¾t 4a 4b 4a b 2.4a 4a b 2.4b NÕu a + b = 1 th× ta cã P(a) + P(b) = 1 4a 2 4b 2 4a b 2.4a 2.4b 4 1 2010 2 2009 1005 1006 Do ®ã S P P P P P P = 1005 2011 2011 2011 2011 2011 2011 VËy S = 1005 Bµi 6: (2 ®iÓm) KÕt qu¶ 355687428095999 Bµi 7: (2 ®iÓm) Lêi gi¶i tãm t¾t Gäi sè d©n ban ®Çu lµ a vµ møc t¨ng d©n sè hµng n¨m lµ m% Sau 1 n¨m tæng sè d©n sÏ lµ: a + am = a(1 + m) Sau 2 n¨m tæng sè d©n sÏ lµ: a(1 + m) + a(1 + m)m = a(1 + m)2 Sau 3 n¨m tæng sè d©n sÏ lµ: a(1 + m)2 + a(1 + m)2m = a(1 + m)3 n Sau n n¨m tæng sè d©n sÏ lµ: An = a(1 + m) 5 Thay a = 83,12 triÖu ng­êi; m = 1,33% ta cã A5 = 83,12(1 + 1,33%) = 88,7964795 VËy d©n sè ViÖt Nam vµo th¸ng 12 n¨m 2010 lµ 88,7964795 triÖu ng­êi Bµi 8: (2 ®iÓm) KÕt qu¶ DiÖn tÝch tam gi¸c ABO lµ: 182 cm2 Bµi 9: (2 ®iÓm) x = 2 3 3 3 3 x 2 3 = x3 3x2 2 6x 2 2 3x2 2 2 x3 6x 3 2 9x4 12x2 4 x6 36x2 9 12x4 6x3 36x x6 – 6x4 – 6x3 + 12x2 – 36x + 1 = 0 P = x2004(x6 – 6x4 – 6x3 + 12x2 – 36x + 1) + 2010 = 2010 Chó ý: Mäi c¸ch gi¶i kh¸c ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a DeThi.edu.vn
  7. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN TOÁN 8 (Đề có 1 trang) Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. (3 điểm) a)Phân tích đa thức a 2 (b c) b2 (c a) c 2 (a b) thành nhân tử. b)Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: (a b c)2 a2 b2 c2 . a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P= . a2 2bc b2 2ac c2 2ab c)Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). Bài 2. (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương. 2 2 1 1 25 b) Cho a, b > 0 thỏa mãn a b 1. Chứng minh a b . b a 2 Bài 3. (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo góc EAF. Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm a) Chứng minh BC’.BA + CB’.CA=BC2 HB.HC HA.HB HC.HA b) Chứng minh rằng 1 AB.AC BC.AC BC.AB c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN. Bài 5. (1 điểm) Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông 2 này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít nhất 505 đường 3 thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy. Hết Giám thị số 1 Giám thị số 2 DeThi.edu.vn
  8. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn UBND HUYỆN VĨNH BẢO GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 8 (Đề có 1 trang) Điểm Bài 1 Lời giải sơ lược chi Cộng tiết Bài 1 a) a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) = a2 (b c) b2 (a c) c2 (a b) 0,25 ( 3 điểm) = a2 (b c) b2 (a b) (b c) c2 (a b) 0,25 = (a2 b2 )(b c) (c2 b2 )(a b) = 1,0 (a b)(a b(b c) (b c)(b c)(a b) 0,25 = (a b)(b c)(a b b c)= (a b)(b c)(a c) 0,25 b) (a+b+c)2= a2 b2 c2 ab ac bc 0 a2 a2 a2 0,25 a2 2bc a2 ab ac bc (a b)(a c) b2 b2 c2 c2 Tương tự: ; 0,25 b2 2ac (b a)(b c) c2 2ac (c a)c b) a2 b2 c2 1,0 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 0,25 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) 1 0,25 (a b)(a c)(b c) c) Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z (x + y)3 = –z3 0,25 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 Do đó : 3xyz(x + y + z ) = (x + y + z )(x + y + z ) 0,25 = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 2 2 2 2 Mà x + y = (x + y) – 2xy = z – 2xy (vì x + y = –z). 1,0 Tương tự:y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. 2 2 2 Vì vậy : 3xyz(x + y + z ) 0,25 = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 0,25 Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2 Bài 3 a) Để n 18 và n 41 là hai số chính phương n 18 p2 và n 41 q2 p,q N 0,25 p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 1,0 0,25 0,25 DeThi.edu.vn
  9. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn p q 1 p 30 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 0,25 Từ n 18 p2 302 900 suy ra n 882 Thay vào n 41, ta được 882 41 841 292 q2 . Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phương. b) Có: a b 2 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (*) 0,25 (Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b) 2 1 25 1 Áp dụng (*), có: a 5 a b 4 b 2 1 25 1 b 5 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 1,0 2 2 1 1 25 1 1 0,25 a b 5 5. ( Vì a+b = 1) b a 2 a b 1 1 4 Với a, b dương, chứng minh 4 (Vì a+b = 1) a b a b 0,25 (Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b) 2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 0,25 a b Dấu đẳng thức xảy ra: a b b a 2 2 Bài 3 A D C B F E DeThi.edu.vn
  10. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Chứng minh được ·ABE E· CF 0,25 Chứng minh được ABE FCE(c g c) 0,25 =>AE=EF Tương tự AF=EF 0,25 1,0 =>AE=EE=AF =>Tam giác AEF đều 0,25 => E· AF 60o Bài 4 (3 điểm) A B' N C' H M B A' D C a)Chứng minh BHC'đồng dạng với BAB ' BH BC ' 0,25 => => BH.BB' BC'.BA (1) AB BB ' Chứng minh BHA'đồng dạng với BCB' BH BA' 0,25 => BH.BB' BC.BA' (2) 1,0 BC BB ' Từ (1) và (2) => BC'.BA BA'.BC 0,25 Tương tựCB'.CA CA'.BC => BC '.BA CB '.CA BA'.BC CA'.BC (BA' CA').BC BC 2 0,25 BH BC ' BH.CH BC '.CH S b) Có => BHC AB BB ' AB.AC BB '.AC S ABC 0,25 AH.BH S AH.CH S Tương tự AHB và AHC CB.CA S CB.AB S ABC ABC 1,0 0,25 HB.HC HA.HB HC.HA SABC => 1 0,5 AB.AC AC.BC BC.AB SABC DeThi.edu.vn
  11. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn c) Chứng minh được AHM đồng dạng với CDH (g-g) HM AH 0,25 => (3) HD CD Chứng minh được AHN đồng dạng với BDH (g-g) 0,25 AH HN => (4) 1,0 BD HD Mà CD=BD (gt) (5) HM HN Từ (3), (4), (5) => => HM=HN 0,25 HD HD =>H là trung điểm của MN 0,25 Bài 5 (1 điểm) Gọi E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC và AD. Lấy các điêrm I, G trên EF và K, H trên PQ thỏa mãn: 0,25 IE HP GF KQ 2 IF HQ GE KP 3 1,0 Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai AD, BC, EFlần lượt tại M, N, G’. Ta có AB(BM AN) S 2 2 EG ' 2 ABMN 2 G  G ' CD(CM DN) SCDNM 3 3 G 'F 3 2 0,25 hay d qua G Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi qua một trong 4 điểm G, H, I, K. Do có 2018 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm G, H, I, K, theo 2018 0,25 nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít nhất 1 505 đường 4 thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên. Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy. 0,25 DeThi.edu.vn
  12. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng HSg to¸n 8 Bµi 1 (3®): 1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) 2x4 - 7x3 - 2x2 + 13x + 6 b) a10 + a5 + 1 c) (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) - 24 2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: a,(x2 + x + 1)2 + (x2 + x + 1) = 12 b,y2 + 4x + 2y - 2x+1 + 2 = 0 Bµi 2 (2®): 2x2 3x 3 1, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn 2x 1 2, Cho a3+b3+c3 =3abc (a,b,c kh¸c o) tÝnh p = (1 + a )(1 + b )(1 + c ) b c a Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC ) 1) KÎ ®­êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a) ABM ®ång d¹ng ACN b) gãc AMN b»ng gãc ABC 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK. Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC. Bµi 4 (1®): T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: x 2 2x 2007 A , ( x kh¸c 0) 2007x 2 DeThi.edu.vn
  13. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n Bµi 2 (2®): 2x 2 3x 3 (2x 2 x) (4x 2) 5 5 P = x 2 (0,5®) 2x 1 2x 1 2x 1 x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th× 5 ph¶i nguyªn hay 2x - 1 lµ ­íc nguyªn cña 5 (0,5®) 2x 1 => * 2x - 1 = 1 => x = 1 * 2x - 1 = -1 => x = 0 * 2x - 1 = 5 => x = 3 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®) VËy x = 1;0;3; 2 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Khi ®ã c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña P lµ: x = 1 => P = 8 x = 0 => P = -3 x = 3 => P = 6 x = -2 => P = -1 (0,5®) Bµi 3 (4®): 1) a) chøng minh ABM ®ång d¹ng CAN (1®) AB AM b) Tõ c©u a suy ra: AMN ®ång d¹ng ABC AC AN  AMN =  ABC ( hai gãc t­¬ng øng) (1,25®) 2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®)  BAH =  CHA ( so le trong, AB // CH) mµ  CAH =  BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®) Suy ra:  CHA =  CAH nªn CAH c©n t¹i C do ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®) BK = CA VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c KHA. Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm) (0,5®) DeThi.edu.vn
  14. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 4 (1®): 2007x 2 2x.2007 2007 2 x 2 2x.2007 2007 2 2006x 2 A = = + 2007x 2 2007x 2 2007x 2 (x 2007) 2 2006 2006 = 2007x 2 2007 2007 A +7+ min = 2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®) 2007 DeThi.edu.vn
  15. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 PHÒNG GD&ĐT KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8 ĐỀ THI CHÍNH Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1.(5 điểm) Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Bài 4.( 8 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. a) Chứng minh CE = CF; b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC; d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Bài 5. (3 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1 b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2. Hết (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: DeThi.edu.vn
  16. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Nội dung Biểu điểm a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A. y x y 2 2x 2 y x 2 A : 2 2 2 2 2 2 xy x y x y y x y x y 2 x y 2 2x 2 y x 2 x 2 y 2 : xy x y 2 x y 2 3(điểm) y x y 2 .1 2x 2 y x 2 x y Bài : 1 xy x y 2 .1 y x y 2 x 2 x y y x y 2 x 2 y x x y 2 x y 2 : : xy x y 2 xy x y 2 xy y 2 x 2 xy x - y 2 x y 2 1 b) A 4 4 0 (vì x > 0; y 3 nên p không chia hết cho 3. (*) 3 pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau. Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pn. Như vậy tổng các chữ số 2(điểm) của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 90M3 nên pn M3 Điều này mâu thuẫn (*). Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Bài a) Chứng minh được E 4 CDE = CBF (g.c.g) M CE = CF. A B F N 2(điểm) D C DeThi.edu.vn
  17. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 b) Chỉ ra AM MC EF M thuộc đường trung trực BD của đoạn 2 2(điểm) AC. Vậy B, D, M thẳng hàng. c) Chỉ ra ACE = BCM EAC ~ MBC (g.g). 2(điểm) Chỉ ra CAE = CBM d) Đặt BN = x AN = a – x. 1 1 2 *)Tính SAEFC = SACE + SECF = DC.AE CE 2 2 - Tính AE: Lý luận để có AE AN AE AN AE a x AE.a AE(a x) a(a x) ED DC AE AD DC AE a a a(a x) AE x - Tính CE2: Lý luận để có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a + AE)2 2 4 2(điểm) a a x a CE 2 a 2 a a 2 x x 2 a 3 a x Do đó SAEFC = 2x 2 2 *) Tính SABCD = a . Lý luận với SAEFC = 3SABCD để có a 6x2 – ax – a2 = 0 (2x – a)(3x + a) = 0 x (vì a, x > 0). 2 KL: N là trung điểm của AB thì SAEFC = 3SABCD. Bài a) 3x – y3 = 1 3x = y3 + 1 (1) 5 - Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1). - Nếu x 0 thì 3x M3 (1) 3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1) (y + 1)3 M3 nên y + 1 M3 Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta 1.5(điểm) được: 3x = (3k – 1)3 + 1 = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + 1 là ước của 2 1 1 3x mà 3k2 – 3k + 1 M3 và 3k2 – 3k + 1= 3 k 0 2 4 nên 3k2 – 3k + 1 = 1 3k(3k – 1) = 0 k = 0 hoặc k = 1. Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3x = 0 phương trình vô nghiệm. Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3x = 9 nên x = 2. Vậy các cặp số nguyên (x, y) {(0; 0), (2; 2)}. DeThi.edu.vn
  18. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3) 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a2 + b2 + c2 1.5(điểm) ( a + b + c)2 ≥ 4 + a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ≤ 5 (vì a + b + c = 3) Dấu đẳng thức xảy ra (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. Vậy P có GTLN nhất là 5 (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25. - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. DeThi.edu.vn
  19. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút x 3 3x x 4 Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức A x 1 x2 x 1 x3 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của Aluôn dương với mọi x 1 Câu 2. (3 điểm) a) Chứng minh rằng: Với mọi x ¤ thì giá trị của đa thức : M x 2 x 4 x 6 x 8 16là bình phương của một số hữu tỉ b) Giải phương trình : x 1 x x 1 Câu 3. (1,5 điểm) Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) 0; P(3) 0;P(5) 0. Hãy tính giá trị của biểu thức Q P 2 7P 6 Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng a) DE song song với AC b) DE DF; AE AF Câu 5. (1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 với a b c 0 a b b c c a 2 DeThi.edu.vn
  20. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) 2 x 3 3x x 4 x x x 1 x 1 3 3x x 4 A x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 2 x3 2x2 2x 1 x 1 x x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 1 3 2 x x x 1 2 4 b) Với mọi x 1thì A 2 2 x x 1 1 3 x 2 4 2 2 1 3 1 3 Vì x 0; x 0,x 1 A 0,x 1 2 4 2 4 Câu 2. a) Ta có: M x2 10x 16 x2 10x 24 16 Đặt a x2 10x 16 Suy ra M a a 8 16 a2 8a 16 a 4 2 2 Vậy M x2 10x 20 (dpcm) b / x 1 x x 1 x x 1 x 1 0 x . x 1 x 1 0 x 1. x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 Câu 3. Ta có: P(x)M(x 1), x 3 , x 5 Nên P x có dạng P x x 1 x 3 x 5 x a Khi đó: P( 2) 7.P(6) 3 . 5 . 7 . 2 a 7.5.3.1. 6 a 105. 2 a 105. 6 a 105. 2 a 6 a 840 Câu 4. DeThi.edu.vn
  21. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A M N F E 2 1 C B Q D P BE BQ BQ AB BD a) Chứng minh được DE / /NC hay EN QP MQ AC DC DE / /AC DE BD BD b) Do DE / / AC DE .CN (1) CN BC BC CD Tương tự: DF .BM (2) BC DE BD CN Từ (1) và (2) suy ra . DF CD BM BD AB CN AC DE Mà và nên 1 DE DF CD AC BM AB DF µ · · ¶ Ta có: D1 DAC DAB D2 ADE ADF AE AF DeThi.edu.vn
  22. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. Gọi vế trái là A,ta có: 3 a 1 b 1 c 1 A 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b b a a c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b 1 1 a c 1 1 . . 2 a b b c 2 b c c a a b c a a c a b . . 2 a b b c 2 b c . c a a b a c 1 1 . 2 b c a b c a a b a c b c 0(Do a b c 0) 2 b c a b c a 3 Vậy A 2 DeThi.edu.vn
  23. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 ®Ò kh¶o s¸t häc sinh giái M«n To¸n líp 8 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2®) a, Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 b, Cho x Z chøng minh r»ng x200 + x100 +1 M x4 + x2 + 1 C©u 2: (1.5®) 1 1 1 Cho x,y,z 0 tho¶ m·n x+ y +Z = xyz vµ + + = 3 x y z 1 1 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x 2 y 2 z 2 C©u 3: (2®) T×m x biÕt a, 3x 2 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x y z P = y z z x x y C©u 5: (2.5®) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A ; BC = a ; AC = b . VÏ c¸c ®­êng ph©n gi¸c BD, CE a, Chøng minh r»ng DE // BC 1 1 1 b, TÝnh DE tõ ®ã suy ra DE a b C©u 6: T×m c¸c sè nguyªn d­¬ng x, y tho¶ m·n x2 = y2 + 2y +13 HÕt Hä tªn ThÝ sinh: DeThi.edu.vn
  24. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn H­íng dÉn chÊm hsg to¸n 8 C©u1(2®) a,®Æt a = x2 -2x th× x2 -2x -1 = a-1 0.5® A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) 0.5® b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) 0.5® +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) dÔ thÊy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) Mx4 + x2 + 1 A Mx4 + x2 + 1 0.5® Cau 2 :(1.5®) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cã ( )2 = + 2( ) x y z x 2 y 2 z 2 xy xz yz 0.5® z y x ( 3)2 = p + 2 ; 3 = p+2 ( v× x +y+z=xyz) 0.5® xyz suy ra P = 1 0.5® C©u 3: (2®) a, gi¶i 4-5x 3 0.5® b, Céng 1 vµo mçi ph©n thøc råi ®Æt nh©n tö chung 0.5® 1 1 1 1 (x+100)( ) = 0 S = 100 57 54 51 48 0.5® DeThi.edu.vn
  25. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u 4: a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) (1.5®) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) 0.5® §Æt B= n3+3n2+3n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thÊy n(n+1)(n+2) M3 ( v× tÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp ) 3(n+1) M3 B M3 A =3B =3.3K =9K M9 0.25® b, §Æt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = a b c 2 x = a b c ; y = a b c ; z= a b c 2 2 2 a b c a b c a b c 0.25® P = = 2a 2b 2c 1 b c a c a b ( 1 1 1 ) = 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 3 ( 3 ( ) ( ) ( )) Min P = ( Khi vµ chØ khi 2 a b a c c b 2 2 0.5® a=b=c x=y=z C©u 5: AD BA b 0.25® a, Bµ Bµ (1) (2®) 1 2 DC BC a AE CA b 0.25® Cµ Cµ (2) 1 2 EB CB a AD AE Tõ (1) vµ (2) suy ra DE//BC 0.25® DC EB b, DEC c©n ®Æt DE = BC = x th× AD = b-x 0.25® DE AD ¸p dông hÖ qu¶ cña ®Þnh lý ta lÐt ta cã hay BC AC x b x a b ab 0.5® ; ax +bx =ab ; x = = DE a b 1 a b 1 1 Suy ra 0.5® DE ab a b A E x D x 1 1 B 2 2 C DeThi.edu.vn
  26. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u 6: 1® -HS biÕn ®æi ®­îc x2 = y2 + 2y +13 x2 = (y + 1)2 + 12 0.25® (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 V× (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 vµ x, y N* nªn (x + y + 1) > (x - y - 1) V× vËy (x + y + 1) vµ (x - y - 1) lµ hai 0.25® sè nguyªn d­¬ng ch½n. Mµ 12 = 2.6 ChØ x¶y ra mét tr­êng hîp (x + y + 1) = 6 vµ (x - y - 1) = 2 x = 4 vµ y = 1 0.5® Trªn ®©y chØ lµ gîi ý chÊm .Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng v©n cho ®iÓm tèi ®a DeThi.edu.vn
  27. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI Bài 1. (6 điểm) Cho biểu thức: 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình: 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bài 3. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó. Bài 4. (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của Cqua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì ? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh EF / / AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, .Tính các cạnh của hình chữ PB 16 nhật ABCD. Bài 5. (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 20092008 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy DeThi.edu.vn
  28. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 1 5 3 7 ĐKXĐ: x ; x ; x ; x ; x 4 2 2 2 4 2x 3 a) Rút gọn P 2x 5 1 x 1 2 b) x 2 1 x 2 1 1 1 2 )x P ; )x P 2 2 2 3 2x 3 2 c) P 1 ¢ x 5 U (2) 2; 1;1;2 2x 5 x 5 x 5 2 x 3(tm) x 5 1 x 4(ktm) x 5 1 x 6(tm) x 5 2 x 7(tm) Kết luận: x 3;6;7thì P nhận giá trị nguyên 2x 3 2 d) P 1 2x 5 x 5 Ta có: 1 0 2 Để P 0 thì 0 x 5 0 x 5 x 5 Với x 5thì P 0 Bài 2. a) 15x 1 1 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12. DK : x 4; x 1 x 4 x 1 x 4 3 x 1 DeThi.edu.vn
  29. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4 3x 0 x 0 (TM ) 3x x 4 0 x 4 0 x 4(KTM ) S 0 b) 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 123 x 0 x 123 25 23 21 19 S 123 c) x 2 3 5 Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 Phương trình được viết dưới dạng: x 2 3 5 x 2 5 3 x 2 2 x 2 2 x 4 x 2 2 x 0 Vậy S 0;4 Bài 3. Gọi khoảng cách giữa A và B là x(km) (x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là: (km / h) 3h20' 3 (h) 1 3 10 3 3 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h là: 5(km / h) 10 3x Theo đề bài ta có phương trình: 5 .3 x x 150(tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150km 3.150 Vận tốc dự định là: 45(km / h) 10 Bài 4. DeThi.edu.vn
  30. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn D C P M F I E A B a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD PO là đường trung bình tam giác CAM AM / /PO AMDB là hình thang b) Do AM / /BD nên O· BA M· AE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên O· BA O· AB Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì AIE cân ở I nên I·AE I·EA Từ chứng minh trên : có F· EA O· AB, do đó: EF / / AC (1) Mặt khác IP là đường trung bình của MAC nên IP / / AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E,F,P thẳng hàng MF AD c) MAF : DBA(g.g) Không đổi FA AB PD 9 PD PB d) Nếu k PD 9k,PB 16k PB 16 9 16 CP PB Nếu CP  BD thì CBD : DCP(g.g) PD CP Do đó: CP2 PB.PD hay 2,4 2 9.16k 2 k 0,2 PD 9k 1,8(cm); PB 16k 3,2(cm) BD 5(cm) Chứng minh BC 2 BP.BD 16, do đó: BC 4cm, CD 3cm. Bài 5. a) Ta có: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 2010. chia hết cho 2010 (1) Vì 20112010 1 2011 1 20112009 2010. chia hết cho 2010 (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. DeThi.edu.vn
  31. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 2 b) (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x(y x) y(x y) 0 1 x2 1 xy 1 y2 (1 xy) y x 2 . xy 1 0 (2) 1 x2 1 y2 (1 xy) Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x y DeThi.edu.vn
  32. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (2,5 điểm) a. Phân tích đa thức thành nhân tử x2 2xy 3x 3y y2 10 b. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a, b, c khác 0 a b b c a c Tính giá trị biểu thức M . . b c a c. Xác định các số a và b sao cho 2x3 + ax + b chia cho x+1 dư -6; chia cho x-2 dư 21 Câu 2 (2 điểm) Cho biểu thức a3 1 a3 1 a 2 A 2 2 : a a a a a 2 a. Rút gọn biểu thức A b. Tìm giá trị nguyên của A để biểu thức A có giá trị nguyên c. Tìm giá trị của a để biểu thức A có giá trị lớn hơn 2 Câu 3 (1,5 điểm) Giải các phương trình sau a. x(x 1)(x 1)(x 2) 24 b. x 1 x 1 Câu 4 (3 điểm). Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC=2AB a. Vẽ trung tuyến BE của tam giác ABO. Chứng minh AD= 2BE b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh DE= DM c. Kẻ Bx vuông góc với BD cắt CA tại F. Chứng minh EO.FC= OC.EF Câu 5 (1 điểm) 1 Cho a b c 1 Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 Hết DeThi.edu.vn
  33. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN Câu Đáp án Điểm a. (0,5 điểm) x2 2xy 3x 3y y2 10 (x2 2xy y2 ) 3(x y) 10 0,25 (x y)2 3(x y) 10 a2 3a 10 ( Với a x y) 0,25 = a 2 a 5 x y 2 x y 5 b. (1 điểm) c/m: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac) 0,25 3 3 3 a b c 0 - Vì a b c 3abc 2 2 2 a b c ab ac bc 0 0,25 Câu1 - Nếu a+b+c=0 thì M 1 0,25 (2,5 - Nếu (a2 b2 c2 ab bc ac) 0 thì M 8 0,25 điểm) c. (1 điểm) Đặt f (x) 2x3 ax b Vì f (x) chia cho x 1 dư -6 0,25 2x3 ax b (x 1).p(x) 6 (1) Vì f (x) chia cho x -2 dư 21 0,25 2x3 ax b (x 2).q(x) 21 (2) Từ (1) Với x 1 2 a b 6 (3) 0,25 Từ (2) Với x 2 16 2a b 21 (4) Từ (3) và (4) suy ra a 3; b 1 0,25 Vậy với a 3; b 1 thì f (x) thỏa mãn điều kiện của bài a. (0,75 điểm) a3 1 a3 1 a 2 A 2 2 : a a a a a 2 0,25 (a 1)(a2 a 1) (a 1)(a2 a 1) a 2 A : a(a 1) a(a 1) a 2 Điều kiện: a 0;a 1;a 2 0,25 Câu 2 a2 a 1 a2 a 1 a 2 (2 điểm) A . a a a 2 0,25 2(a 2) A a 2 b. (0,75 điểm) 2(a 2) 8 8 A 2 0,25 a 2 a 2 Để A có trị số nguyên với a nguyên a 2 Ư(8) 0,25 DeThi.edu.vn
  34. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hay a 2 1; 2; 4; 8  a 3; 4; 6;6; 10  thỏa mãn điều kiện 0,25 Vậy với a 3; 4; 6;6; 10  thì A có giá trị nguyên c.( 0,5 điểm) Để A có giá trị lớn hơn 2 2a 4 2a 4 2(a 2) 2 0 a 2 a 2 a 2 0,25 8 0 a 2 8 Vì -8>0 0 khi a+2 >0 a >-2 a 2 Đối chiếu với điều kiện suy ra với a>-2 và a 0,25 0;a 1;a 1;a 2;a 2 thì biểu thức A có giá trị lớn hơn 2. a.(0,75 điểm) x x 1 x 1 x 2 24 x2 x x2 x 2 24 0,25 Đặt x2 x 1 a.Ta được a 1 a 1 24 a 5 hoặc a 5 2 Với a=5 ta có x +x-1=5 x1= 2; x2= -3 0,25 Với a 5 ta có x2 x 1 5 x2 x 4 0( PT vô nghiệm) 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S= 2; 3  b.(0,75 điểm) Câu 3 (1,5 x 1 x 1 * điểm) * với x 0 phương trình có dạng x 1 x 1 (1) Nếu x 1 0 x 1 phương trình (1) có dạng x 1 x 1 x  0,25 Nếu 0 x 1thì phương trình (1) có dạng x 1 x 1 x 0 (TM ĐK) * Với x 0 x x phương trình * có dạng x 1 x 1 (2) 0,25 x 1 x 1 x 1 Kết hợp điều kiện suy ra 1 x 0 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình là S x / 1 x 0 Câu 4 (2 điểm) DeThi.edu.vn
  35. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vẽ hình đúng x F 0,25 A D E O y B M C a. (1 điểm) 1 Ta có AO AC (ABCD là hình bình hành) 2 1 AE AO (BE là trung tuyến của ABO ) 2 0,25 1 AB AC ( GT) 2 AO AB Xét AEB và ABC có AE AB 1 B· AC chung; 0,5 AB AC 2 AEB : ABC (c-g-c) BE 1 hay BC 2BE BC 2 0,25 Mà AD BC (ABCD là hình bình hành) AD 2BE b. 1 điểm 1 AEB : ABC theo tỷ số k (CM trên) 2 0,25 AE 1 1 EO AB (vì EO=AE) AB 2 2 BE 1 1 BE BC hay BE=BM B thuộc trung trực của BC 2 2 0,25 EM 1 OM là đường trung bình của CAB OM AB EO 2 0,25 O thuộc đường trung trực của EM BO là đường trung trực của EM 0,25 DeThi.edu.vn
  36. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mà B; O; D thẳng hàng D thuộc trung trực của EM DE=DM c. (1 điểm) BEM cân tại B (BE= BM) BD là trung trực đồng thời là phân giác của EBC 0,25 BE EO (1) BC OC F· BE E· BO 900 (Bx  BD) F· By C· BO 900 (·yBC 1800 ) Mà E· BO C· BO ( BD là phân giác E· BC) F· By F· BE 0,5 BF là phân giác ngoài của EBC BE FE (2) BC FC EO FE Từ (1) và (2) hay EO.FC= OC.FE 0,25 OC FC 1 1 1 a x;b y;c z Đặt 3 3 3 0,25 Do a+ b+ c=1. Nên x+ y+z= 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Ta có a b c x y z Câu 5 3 3 3 0,25 (1 điểm) 1 2 2 1 2 2 1 2 2 = x x y y z z 9 3 9 3 9 3 1 2 1 1 = (x y z) x2 y2 z2 x2 y2 z2 > = 0,25 3 3 3 3 1 Đẳng thức xảy ra x y z 0 a b c 0,25 3 DeThi.edu.vn
  37. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc: x a x 10 1 phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4 3x3 ax b chia heát cho ña thöùc B(x) x2 3x 4 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng 1 1 1 1 P 1 22 32 44 1002 DeThi.edu.vn
  38. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đáp án và biểu điểm Caâu Ñaùp aùn Bieåu ñieåm 1 A a 1 a 3 a 5 a 7 15 2 ñ a2 8a 7 a2 8a 15 15 0,5 ñ 0,5 ñ 2 a2 8a 22 a2 8a 120 0,5 ñ 2 0,5 ñ a2 8a 11 1 a2 8a 12 a2 8a 10 a 2 a 6 a2 8a 10 2 Giaû söû: x a x 10 1 x m x n ;(m,n Z) 0,25 ñ 2 ñ x2 a 10 x 10a 1 x2 m n x mn 0,25 ñ 0,25 ñ m n a 10 m.n 10a 1 Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1 0,25 ñ mn 10m 10n 100 1 0,25 ñ m(n 10) 10n 10) 1 0,25 ñ m 10 1 m 10 1 0,25 ñ vì m,n nguyeân ta coù: n 10 1 v n 10 1 0,25 ñ suy ra a = 12 hoaëc a =8 3 Ta coù: 1 ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ a 3 0 a 3 0,5 ñ Ñeå A(x)MB(x) thì b 4 0 b 4 4 3 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 0,25 ñ A· HB A· HC Hx laø phaân giaùc cuûa goùc ; Hy phaân giaùc cuûa goùc maø 0,25 ñ · · AHB vaø AHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc 0,25 ñ Hay D· HE = 900 maët khaùc A· DH A· EH = 900 0,5 ñ Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) 0,5 ñ DeThi.edu.vn
  39. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ·AHB 900 ·AHD 450 2 2 0,25 ñ · 0 0,25 ñ AHC 90 0 Do ·AHE 45 0,25 ñ 2 2 ·AHD ·AHE Hay HA laø phaân giaùc D· HE (2) Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 5 1 1 1 1 P 2 ñ 22 32 44 1002 1 1 1 1 0,5 ñ 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 0,5 ñ 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 0,5 ñ 1 2 2 3 99 100 1 99 0,5 ñ 1 1 100 100 DeThi.edu.vn
  40. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x y z 3 x3 y3 z3 b) x4 2014x2 2013x 2014 Câu 2 2 2 2013 x 2013 x x 2014 x 2014 19 a) Tìm x, biết: 2013 x 2 2013 x x 2014 x 2014 2 49 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có B a5 a chia hết cho 30. Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4 Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được một số chính phương. Câu 5 Cho a, b dương và a2012 b2012 a2013 b2013 a2014 b2014 . Tính a2015 b2015 Câu 6. DeThi.edu.vn
  41. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x y z 3 x3 y3 z3 b) x4 2014x2 2013x 2014 Hướng dẫn a) x y z 3 x3 y3 z3 x y z 3 x3 y3 z3 y z x y z 2 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 y z 3x2 3xy 3yz 3xz 3 y z x x y z x y 3 y z x y x z b) x4 2014x2 2013x 2014 x4 x 2014x2 2014x 2014 x x3 1 2014 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 2014 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2014 Câu 2 (2 điểm). 2 2 2013 x 2013 x x 2014 x 2014 19 a) Tìm x, biết: . 2013 x 2 2013 x x 2014 x 2014 2 49 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: B a5 a chia hết cho 30. Hướng dẫn a) ĐKXĐ: x 2013; x 2014 Đặt x 2014 a a 0 Ta có: 2 a 1 a 1 a a2 19 a 1 2 a 1 a a2 49 a2 a 1 19 3a2 3a 1 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 2a 3 2a 5 0 3 a 2 5 a 2 DeThi.edu.vn
  42. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4031 4023 x hoặc x . 2 2 b) Ta có: B a5 a B a a4 1 B a a2 1 a2 1 B a a2 1 a2 4 5 B a a2 1 a2 4 5a a2 1 B a 2 a 1 a a 1 a 2 5a a2 1 Vì a 2 a 1 a a 1 a 2 là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 5, do đó a 2 a 1 a a 1 a 2 M5 (1) 5a a2 1 M5 (2) Từ (1) và (2) suy ra BM5 Câu 3 (2 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn C D F A E B a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì Eµ Aµ F 90o ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B· AC . b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC. Câu 4 (2 điểm). Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ DeThi.edu.vn
  43. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Hướng dẫn Gọi số phải tìm là abcd với a,b,c,d ¥ ,0 a,b,c,d 9,a 0 Theo đề bài ta có: 2 abcd k 2 a 1 b 3 c 5 d 3 m Suy ra: abcd k 2 với k,m ¥ ,31 k m 100 2 abcd 1353 m Do đó m2 k 2 1353 m k m k 123.11 41.33 Vì k,m ¥ nên m k m k . Do đó: m k 123 m 67 m k 41 m 37 hoặc m k 11 k 56 m k 33 k 4 Kết luận đúng abcd = 3136 Câu 5 (2 điểm) Cho a, b dương và a2012 b2012 a2013 b2013 a2014 b2014 . Tính a2015 b2015 . Hướng dẫn Ta có: a2012 b2012 a2013 b2013 a2014 b2014 a b a2012 b2012 a2011 b2011 .ab a2014 b2014 a b ab 1 (vì a2012 b2012 a2013 b2013 a2014 b2014 ) a 1 b 1 0 a 1 b 1 Với a = 1 thì b2012 b2013 b 1 hoặc b 0 (loại) Với b = 1 thì a2012 a2013 a 1 hoặc a 0 (loại) Vậy a = 1, b = 1 Do đó a2015 b2015 2. DeThi.edu.vn
  44. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 1 1 1 1 Câu 1. Giải phương trình: x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 x y z a b c x2 y2 z2 Câu 2. Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 1 1 1 Câu 3. Cho a, b, c khác nhau đôi một và 0 . Rút gọn biểu thức: a b c 1 1 1 M a2 2bc b2 2ac c2 2ab 1 1 1 1 Câu 4. Cho a, b, c là 3 số khác 0 thoả mãn a + b + c = 2014 và . a b c 2014 Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau. 3x2 8x 6 Câu 5. Tìm GTNN của A x2 2x 1 Bài tập tương tự 1 1 1 Bài 1. Cho a, b, c khác nhau đôi một và 0 . Rút gọn các biểu thức: a b c bc ca ab a, N a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 b, P a2 2bc b2 2ac c2 2ab Bài 2. Tìm x; y Z thoả mãn: a) x2 y2 x y 8 b) x2 4y2 115 2x Bài 3. x x a) Tìm GTNN của A b) Tìm GTNN của A x 10 2 x 100 2 x2 4x 1 x c) Tìm GTNN của A d) Tìm GTNN của A x2 x 2004 2 Bài 4. 1996x 1497 a) Tìm GTNN của A x2 1 2010x 2680 b) Tìm GTNN của B x2 1 DeThi.edu.vn
  45. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN 1 1 1 1 Câu 1. Giải phương trình: x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 5 x 6 x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Giải phương trình: 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 2 0 x 13 x 2 x y z a b c x2 y2 z2 Câu 2. Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Hướng dẫn a b c ayz bxz cxy Từ 0 0 x y z xyz ayz bxz cxy 0 Ta có: x y z x y z 1 ( )2 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc DeThi.edu.vn
  46. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 y2 z2 1 a2 b2 c2 1 1 1 Câu 3. Cho a, b, c khác nhau đôi một và 0 . Rút gọn biểu thức: a b c 1 1 1 M a2 2bc b2 2ac c2 2ab Hướng dẫn Theo đề bài ta có: 1 1 1 0 a b c bc ac ab 0 abc ab ac bc 0 bc ab ac Ta có: a2 2bc a2 bc bc a2 bc ac ab a a c b a c a c a b Tương tự ta có: b2 2ac= b a b c c2 2ab= c a c b 1 1 1 Vậy M a2 2bc b2 2ac c2 2ab 1 1 1 M a c a b b a b c c a c b 1 1 1 M a c a b a b b c a c b c b c a c a b M a b a c b c 0 M 0 a b a c b c DeThi.edu.vn
  47. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 Câu 4. Cho a, b, c là 3 số khác 0 thoả mãn a + b + c = 2014 và . a b c 2014 Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau. Hướng dẫn Theo đề bài ta có: 1 1 1 1 a b c 2014 bc ac ab 1 abc 2014 bc ac ab 1 (vì a + b + c = 2014 ) abc a b c ab ac bc a b c abc a2b ab2 abc a2c abc ac2 abc b2c bc2 abc a2b ab2 abc a2c abc ac2 b2c bc2 0 a2 b c ab b c ac b c bc b c 0 b c a2 ab ac bc 0 b c a a c b a c 0 b c a c a b 0 a b b c c a Vậy trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau. 3x2 8x 6 Câu 5. Tìm GTNN của A x2 2x 1 Hướng dẫn Đặt x 1 y x y 1. Ta có: 2 3 y 1 8 y 1 6 3y2 2y 1 A y 1 2 2 y 1 1 y2 2 1 A 3 y y2 1 Đặt z A 3 2z z2 y A z2 2z 1 2 DeThi.edu.vn
  48. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A z 1 2 2 2 Vậy min A 2 z 1 y 1 x 2 . DeThi.edu.vn
  49. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 Bài 1. Tìm n Z để n 26 và n 11 đều là lập phương của một số tự nhiên. Giải n 26 a3 Đặt a3 b3 37 3 n 11 b Ta có: a3 b3 37 a b a2 ab b2 37 a b 1 1 a2 ab b2 37 Suy ra a b 1 2 2 2 a ab b 37 a b 1 a b 1 Từ (1) ta có: 2 2 2 2 a ab b 37 b 1 b b 1 b 37 a b 1 a b 1 2 b 3 b b 12 0 b 4 a 4 Do đó a 3 Với a 4 n 38 Với a 3 n 53 a2 ab b2 37 Từ (2) ta có (Loại) a b 1 Bài 2. Cho biểu thức A x2 xy y2 3x 3y 2016 . Tìm giá trị của x, y để A đạt giá trị nhỏ nhất. Giải Cách 1 Ta có: A x2 xy y2 3x 3y 2016 A x2 2x 1 y2 2y 1 xy x y 2014 A x 1 2 y 1 2 x y 1 y 1 2013 A x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 2013 2 2 2 y 1 y 1 3 y 1 A x 1 2 x 1 . 2013 2 4 4 2 2 y 1 3 y 1 A x 1 2013 2 4 DeThi.edu.vn
  50. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 y 1 2 0 4 y 1 A 2013 Do đó min 2 y 1 x 1 x 1 0 2 Cách 2 Ta có: 4A 4x2 4xy 4y2 12x 12y 8064 4A 2x 2 2.2x.y 2.2x.3 2.y.3 y2 32 3y2 6y 3 8052 4A 2x y 3 2 3 y 1 2 8052 2 2x y 3 0 x 1 Do đó 4A 8052 2 y 1 3 y 1 0 x 1 Vậy Amin 2013 y 1 2 Bài 3. Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 Giải Ta có: 2 x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 2 2 x2 4 y2 27 17 x4 y2 7 2 2 x4 8x2 y2 27 16 y2 27 17x4 17 y2 27 2 16x4 8x2 y2 27 y2 27 0 2 2 2 4x y 27 0 4x2 y2 27 0 4x2 y2 27 2x y 2x y 27 2x y 27 x 7 2x y 1 y 13 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A x2 2y2 2xy 2x 10y với x, y R . b) B x2 6y2 14z2 8yz 6xz 4xy . c) C x2 2y2 3z2 2xy 2xz 2x 2y 8z 2000 . DeThi.edu.vn
  51. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 n4 3n3 2n2 6n 2 Bài 1. a) Tìm n để B có giá trị là một số nguyên. n2 2 b) Tìm n để D n5 n 2 là số chính phương n 2 . Hướng dẫn n4 3n3 2n2 6n 2 2 a) B n2 3n n2 2 n2 2 B có giá trị nguyên khi 2Mn2 2 n2 2 là ước tự nhiên của 2. n2 2 1 không có giá trị nào thỏa mãn. n2 2 2 n 0 thì B nhận giá trị nguyên. b) D n5 n 2 D n n2 1 n2 1 2 D n n 1 n 1 n2 1 2 D 5n n 1 n 1 n n 1 n 1 n2 4 2 D 5n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 2 n 2 2 Vì 5n n 1 n 1 M5 và n n 1 n 1 n 2 n 2 M5 Vậy D chia 5 dư 2 Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải số chính phương. Bài 2. Giải phương trình: a) x2 3x 2 x 1 0 . 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 . x x x x Hướng dẫn a) x2 3x 2 x 1 0 (1) + Nếu x 1: (1) x 1 2 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1) + Nếu x 1: (1) x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1; x 3 (cả hai đều không thảo mãn) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1. 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x ĐKXĐ: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 (2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x x 0 hay x 8 và x 0 . DeThi.edu.vn
  52. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8 Bài 3. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 3 và a22 b12 c1994 a b c ab ac bc 6 . Tính giá trị của biểu thức: A . a22 b12 c2013 Hướng dẫn: Ta có: 2 a2 b2 c2 6 Suy ra: 2 a2 b2 c2 a b c ab ac bc 2a2 2b2 2c2 a b c ab ac bc 2a2 2b2 2c2 a b c ab ac bc 0 4a2 4b2 4c2 2a 2b 2c 2ab 2ac 2bc 0 3a2 3b2 3c2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac c2 a2 b2 c2 0 3a2 3b2 3c2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac c2 3 0 (vì a2 b2 c2 3) a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2c 1 a2 2ab b2 b2 2bc c2 a2 2ac c2 0 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a b 2 a c 2 a c 2 0 a b c 1 122 112 11994 Vậy A 1. 122 112 12013 Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ đường thẳng tùy ý cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh: a) AE 2 EK.EG . 1 1 1 b) . AE AK AG c) Khi đường thẳng d thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi. Hướng dẫn: A B E K D C G AE DE a) Ta có AD // BK nên (1) EK EB EG DE AB // CD nên (2) AE EB AE EG Từ (1) và (2) suy ra AE 2 EK.EG . EK AE AE BE AE BE b) Ta có (3) EK DE AK BD AE DE AE DE Tương tự ta có: (4) EG EB AK BD Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có: DeThi.edu.vn
  53. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AE AE BE DE 1 1 1 1 . AK AG BD BD AE AK AG c) Ta có: BK AB KC GC và nhân từng vế của đẳng thức trên ta được KC CG AD DG BK AB BK.DG AD.AD không đổi AD DG DeThi.edu.vn
  54. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 1 3 x2 1 Bài 1. Cho biểu thức A 2 : 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A 1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2 n4 3n3 2n2 6n 2 a) Tìm n để B có giá trị là một số nguyên. n2 2 b) Tìm n để D n5 n 2 là số chính phương n 2 . 1 1 1 Bài 3. Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0. x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A . x2 2yz y2 2xz z2 2xy Bài 4. Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các đường thẳng kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: a) EF // AB. b) AB2 EF.CD . c) Gọi S1, S2 , S3 và S4 theo thứ tự là diện tích các tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Chứng minh S1.S2 S3.S4 . Bài 5. Tìm dư của phép chia đa thức x99 x55 x11 x 7 cho x2 1. DeThi.edu.vn
  55. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Giải A B K O F E H B C D 1 1 C a) Ta có: OF OA AF // BC OB OC (1) BE // AD OE OB OA OD OB OA Vì AB // CD nên (2) OD OC OF OE Từ (1) và (2) suy ra EF // AB . OB OA b) Ta có các tứ giác ABB1D , ABCC1 là hình bình hành nên AB DB1 CC1 . EF AB Vì EF // AB / CD nên AB2 EF.CD . AB CD 1 1 1 1 c) S OB.AH , S OD.CK , S OD.AH , S OB.KC 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 OB.AH OD.KC S AH S KC 1 2 ; 2 2 S 1 CK S 1 AH 4 OB.KC 3 OD.AH 2 2 S4 KC S2 S1.S2 S3.S4 . S1 AH S3 DeThi.edu.vn
  56. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 Câu 1 (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức A 2 1 22 1 24 1 2256 1 1. b) Cho x2 y2 z2 . Chứng minh rằng 5x 3y 4z 5x 3y 4z 3x 5y 2 Câu 2 (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a10 a5 1. x y 2 x y b) Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng 0 . y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Câu 3 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh: 1 1 1 a) . OI AB CD 2 1 1 b) . IJ AB CD Câu 4 (1 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB, biết diện tích tam giác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2 . Câu 5 (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau x2 y xy y 1 DeThi.edu.vn
  57. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức A 2 1 22 1 24 1 2256 1 1. b) Cho x2 y2 z2 . Chứng minh rằng 5x 3y 4z 5x 3y 4z 3x 5y 2 Hướng dẫn a) Ta có: A 1. 2 1 22 1 24 1 2256 1 1 A 2 1 2 1 22 1 24 1 2256 1 1 A 22 1 22 1 24 1 2256 1 1 A 24 1 24 1 2256 1 1 A 2256 1 2256 1 1 2512 1 1 2512 . b) Ta có: 5x 3y 4z 5x 3y 4z 5x 3y 2 16z2 25x2 30xy 9y2 16z2 25x2 30xy 9y2 16 x2 y2 (vì x2 y2 z2 ) 25x2 30xy 9y2 16x2 16y2 9x2 30xy 25y2 3x 5y 2 . Câu 2 (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a10 a5 1. x y 2 x y b) Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng 0 . y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Hướng dẫn a) a10 a5 1 a10 a9 a8 a9 a8 a7 a7 a6 a5 a6 1 a8 a2 a 1 a7 a2 a 1 a5 a2 a 1 a3 1 a3 1 a8 a2 a 1 a7 a2 a 1 a5 a2 a 1 a 1 a2 a 1 a3 1 a2 a 1 a8 a7 a5 a4 a3 a 1 . b) Ta có: x y y3 1 x3 1 4 4 2 2 x4 x y4 y x y x y x y x y x y x y y3 1 x3 1 y3 1 x3 1 y 1 y2 y 1 x 1 x2 x 1 Vì x y 1 y 1 x và x 1 y , do đó ta có: DeThi.edu.vn
  58. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x y x y x2 y2 x y xy y2 y 1 x2 x 1 x y x2 y2 x y (vì x y 1) xy x2 y2 y2 x y2 yx2 xy y x2 x 1 x y x2 y2 1 x y x2 x y2 y xy x2 y2 xy x y x2 y2 xy 2 xy x2 y2 x y 2 2 x y x x 1 y y 1 x y x y y x 2 2 2 2 xy x y 3 xy x y 3 x y 2xy 2 x y 2 2 2 2 xy x y 3 x y 3 x y 2 x y Do đó 0 . y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Câu 3 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh: 1 1 1 a) . OI AB CD 2 1 1 b) . IJ AB CD Hướng dẫn A B J I O D C a) Ta có: OI CI OI // AB, xét tam giác OIC ta có: (1). AB CB OI BI OI // CD, xét tam giác BDC ta có: (2). CD BC Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: OI OI CI BI BC 1 1 1 1 (3). AB CD BC BC BC OI AB CD 1 1 1 b) Chứng minh tương tự ta có (4). OJ AB CD 1 1 1 1 Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có: 2 OI OJ AB CD DeThi.edu.vn
  59. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn OJ DO OI 2 1 1 Lại có OJ OI , do đó ta có: . AB DB AB IJ AB CD Câu 4 (1 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB, biết diện tích tam giác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2 . Hướng dẫn A D O B C Ta chứng minh được SAOD .SBOC SAOB .SOCD mà SAOB SDOC 2 2 2 Do đó S AOB 169.196 182 SAOB 182cm Câu 5 (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau x2 y xy y 1 Hướng dẫn x2 y xy y 1 2 2 2 1 3 y x x 1 1 vì x x 1 x 0 với mọi x nên phương trình có 2 4 nghiệm nguyên dương khi: y 1 y 1 2 x x 1 1 x 1 DeThi.edu.vn
  60. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 Câu 1 (2 điểm) a2 3a+2 a2 a 1 1 Cho M 2 . a a 2 a 1 a 1 a 1 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M. 1 a 1 1 b) Tìm a sao cho . M 8 4 Câu 2 (2 điểm) a) Giải phương trình 2x 8x 1 2 4x 1 9 . b) Với mọi n ¥ thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Câu 3 (3 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F. a) Chứng minh SAOD SBOC . 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF. Câu 4 (2 điểm) x2 y2 1 Cho x4 y4 1 a b a b x2014 y2014 2 Chứng minh rằng . a1007 b1007 a b 1007 Câu 5 (1 điểm) x 4 x 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B với x 0 . x DeThi.edu.vn
  61. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm) a2 3a+2 a2 a 1 1 Cho M 2 . a a 2 a 1 a 1 a 1 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M. 1 a 1 1 b) Tìm a sao cho . M 8 4 Hướng dẫn a2 a 2 0 a 1 a) ĐKXĐ a 1 0 a 1 a 1 0 a2 3a+2 a2 a 1 1 Ta có M 2 . a a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a2 a a 1 a 1 M . a 1 a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a2 a 2a M . a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2a M . a 1 a 1 a 1 2a 2a M a 1 1 a 1 a 1 1 b) Ta có a 0 M 8 4 1 a 1 1 2a 8 4 1 a 1 a a 1 1 2a 8 4 4 4a a2 a 1 8a 4 a2 5a 4 1 8a 4 4a2 20a 16 8a 4a2 12a 16 0 4 a2 3a 4 0 a2 3a 4 0 a 1 a 4 0 4 a 1 vì a 1,a 0 nên 4 a 0,0 a 1 Câu 2 (2 điểm) DeThi.edu.vn
  62. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Giải phương trình 2x 8x 1 2 4x 1 9 . b) Với mọi n ¥ thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Hướng dân a) 2x 8x 1 2 4x 1 0 8x 1 2 8x2 2x 9 16x2 16x 1 64x2 16x 72 Đặt 64x2 16x t , ta có: t 8 t t 1 72 , do đó t 9 Từ đó tìm được các giá trị của x. b) Xét hiệu: n5 n n n4 1 n n2 1 n2 1 n 1 n n 1 n2 4 5 Vậy n 1 n n 1 n2 4 5 M2 (1) n 1 n n 1 n2 4 5 n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 Vì n 2 n 1 n n 1 n 2 chia hết cho 5, 5 n 1 n n 1 chia hết cho 5. Vậy n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 M5 (2) Từ (1) và (2) suy ra n5 n chia hết cho 2, 5 mà 2,5 1 n5 nM10 Vậy n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Câu 3 (3 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F. a) Chứng minh SAOD SBOC . 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF. Hướng dẫn DeThi.edu.vn
  63. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A B K E F O I M N D C a) Ta có SADB SABC vì có cùng chiều cao hạ từ D và C xuống AB (do AB // CD) và cạnh đáy AB. SABD SAOB SABC SAOB hay SAOD SBOC . EO AO AB AO b) V× EO // DC . MÆt kh¸c AB // CD . DC AC DC OC AB AO AB AO EO AB AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 . 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dụng trung tuyến EM M DF . Dựng EN // MK N DF , nối K với N. KN là đường thẳng phải dựng. Chứng minh Ta có SEDM SEMF (1). Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE SIMN (chứng minh phần a). Từ (1) và (2) suy ra SEDNI SIMN SKIMF SIKE SEDNI SIKE SKIMF SIMN Vậy SEDNK SKNF . Câu 4 (2 điểm) x2 y2 1 Cho x4 y4 1 a b a b x2014 y2014 2 Chứng minh rằng . a1007 b1007 a b 1007 Hướng dẫn Ta có: 2 2 2 x4 y4 1 x4 y4 x y (vì x2 y2 1) a b a b a b a b a b bx4 ay4 ab x4 2x2 y2 y4 abx4 a2 y4 b2 x4 aby4 abx4 2abx2 y2 aby4 a2 y4 2abx2 y2 b2 x4 0 2 ay2 bx2 0 DeThi.edu.vn
  64. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 y2 ay2 bx2 a b Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x2 y2 x2 y2 1 a b a b a b x2 1 y2 1 , a a b b a b 1007 1007 1007 1007 x2014 y2014 x2 y2 1 1 2 Vậy 1007 1007 1007 . a b a b a b a b a b Câu 5 (1 điểm) x 4 x 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B với x 0 . x Hướng dẫn Ta có: x 16 x 9 x2 25x 144 144 C x 25 x x x 144 Vì x và là các số dương có tích không đổi nên có tổng nhỏ nhất x 144 x x 12 x Vậy min C 49 x 12 . DeThi.edu.vn
  65. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 Câu 1. (2,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013. x2 2x 2x2 1 2 b) Rút gọn biểu thức sau A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình sau: (2x2 x 2013)2 4(x2 5x 2012)2 4(2x2 x 2013)(x2 5x 2012) b) Chứng minh với mọi m, n, p, q ta đều có m2 n2 p2 q2 1 m n p q 1 Câu 3. (2,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng AC 2EF . 1 1 1 d) Chứng minh rằng . AD2 AM 2 AN 2 Câu 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng không có các số dương thỏa mãn cả ba bất đẳng thức sau: 4a 1 b 1; 4b 1 c 1; 4c 1 a 1 Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 . a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. DeThi.edu.vn
  66. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Hướng dẫn giải Điể Câu m (2.0 Câu 1 điểm ) Ta có x4 2013x2 2012x 2013 0,25 x4 x 2013x2 2013x 2013 1 2 2 0.25 (1.0 x x 1 x x 1 2013 x x 1 điểm) x2 x 1 x2 x 2013 0.25 Kết luận x4 2013x2 2012x 2013 x2 x 1 x2 x 2013 0.25 x 0 ĐK: 0.25 x 2 x2 2x 2x2 1 2 Ta có A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 2 2 2 0.25 2 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x (1.0 điểm) x2 2x 2x2 (x 1)(x 2) x(x 2)2 4x2 (x 1)(x 2) 0.25 2 2 2 2 2 2(x 4) (x 4)(2 x) x 2(x 2)(x 4) x x3 4x2 4x 4x2 x 1 x(x2 4)(x 1) x 1 . 0.25 2(x2 4) x2 2x2 (x2 4) 2x x 1 x 0 Vậy A với . 2x x 2 (2.0 Câu 2 điểm ) a 2x2 x 2013 Đặt: 0.25 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: 1 0.25 (1.0 a2 4b2 4ab (a 2b)2 0 a 2b 0 a 2b điểm) Khi đó, ta có: 0.25 2x2 x 2013 2(x2 5x 2012) 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x . 0.25 11 DeThi.edu.vn
  67. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x . 11 2 3 3 2 3 7 Ta có y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 0.25 4 8 2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 0.25 2 4 16 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + (1.0 0.25 điểm) 1 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: 0.25 (-1 ; 0) (2,0 Câu 3 điểm ) Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư là ax b . 0.25 Khi đó: f (x) (x2 4).( 5x) ax+b Theo đề bài, ta có: 1 7 f (2) 24 2a b 24 a 0.25 (1.0 2 f ( 2) 10 2a b 10 điểm) b 17 7 Do đó: f (x) (x2 4).( 5x) x+17 0.25 2 47 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f (x) 5x3 x 17. 0.25 2 Ta có: a(b c)(b c a)2 c(a b)(a b c)2 b(a c)(a c b)2 0 (1) x z a 2 a b c x 0.25 x y Đặt: b c a y b 2 a c b z y z 2 c 2 (1.0 điểm) Khi đó, ta có: 0.25 x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 VT(1) .y .x (x y)(x y).z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 (x2 y2 )z2 0.25 2 2 2 2 4 1 1 1 (x2 z2 ).y2 (z2 y2 ).x2 (x2 y2 ).z2 0.25 4 4 4 DeThi.edu.vn
  68. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 2 2 2 1 2 2 2 (x y ).z (x y ).z 0 VP(1) (đpcm) 0.25 4 4 (3,0 Câu 4 điểm ) E A B H F C D M N 1 (1.0 điểm) Ta có D· AM = A· BF (cùng phụ B· AH ) AB = AD ( gt) 0.5 B· AF = A· DM = 900 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên. AE = DM 0.25 Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác. D· AE = 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH 0.25 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH · · · 2 Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH ) 0.25 (1.0 ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) 2 2 điểm) SΔCBH BC SΔCBH BC 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = SΔEAH AE SΔEAH AE (2AE)2 0.25 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD DeThi.edu.vn
  69. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN 0.25 = = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC 0.25 3 = = hay = (1.0 AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 điểm) AD AD CN CM CN2 + CM2 MN2 + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN 0.25 (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0.25 AM AN AM AN AD Câu 5 1,0 điểm Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta có 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 2 a2 b2 a b ( ) x y x y 2 2 2 0.50 a y b x x y xy a b Câu 2 5: bx ay 0 (luôn đúng) 1.0 a b Dấu “=” xảy ra điểm x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta có 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z DeThi.edu.vn
  70. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.25 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 a b c abc 1) 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0.25 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy (đpcm) a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Điểm toàn bài (10,0 điểm) Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. DeThi.edu.vn
  71. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 Câu 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) x2 2014x 2013 2) x(x 2)(x2 2x 2) 1 Câu 2 (4 điểm) 1 2a 3b 7 3a 1) Tìm a, b biết 15 23 7a 20 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 Câu 3 (4 điểm) 2014 1) Cho a1,a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 . 3 3 3 Chứng minh rằng: B a1 a2 a2013 chia hết cho 3. 2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2 a 3b2 b . Chứng minh rằng: a b và 3a 3b 1 là các số chính phương. Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N. 1) Gọi O là trung điểm của AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng. 2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D. Chứng minh rằng MH + NK = AD. 3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC. Câu 5 (2 điểm) Cho a b c d và x (a b)(c d), y (a c)(b d), z (a d)(b c) . Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của x, y, z . Hết Họ và tên thí sinh: , Số báo danh: DeThi.edu.vn
  72. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết. HS giải bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm từng phần tương ứng. Câu Ý Nội Dung Điểm x2 2014x 2013 x2 2013x x 2013 0.5 1 x(x 2013) (x 2013) 1 (x 1)(x 2013) 0.5 1 x(x 2)(x2 2x 2) 1 (x2 2x)(x2 2x 2) 1 0.5 (x2 2x)2 2(x2 2x) 1 0.5 2 (x2 2x 1)2 0.5 (x 1)4 0.5 1 2a 7 3a Từ có 20(1 2a) 15(7 3a) 0.5 15 20 a 1 0.5 1 2a 3b 1 Thay a 1 vào tỉ lệ thức ta được 15 23 7a 1 2.1 3b 0.5 . Suy ra b 2 15 23 7.1 Vậy a 1, b 2 . 0.5 2 Ta có A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 0.5 x2 2x(y 1) y2 2y 1 y2 6y 9 2003 (x y 1)2 (y 3)2 2003 0.5 2 Nhận thấy với mọi x,y ta có (x y 1)2 0;(y 3)2 0 . 0.5 Suy ra A 2003 Dấu “=” xảy ra khi x 4, y 3 Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003 đạt được khi x 4, y 3 0.5 Dễ thấy a3 a a(a 1)(a 1) là tích của ba số tự nhiên liên 0.5 tiếp nên chia hết cho 3 Xét hiệu 3 3 3 1 B (a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) 0.5 3 3 3 (a1 a1) (a2 a2 ) (a2013 a2013 ) chia hết cho 3 2014 3 Mà a1,a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 M3. 0.5 Do vậy B chia hết cho 3. 0.5 Từ 2a 2 a 3b2 b có (a b)(3a 3b 1) a2 0.5 Cũng có (a b)(2a 2b 1) b2 . Suy ra 2 0.5 (a b)2 (2a 2b 1)(3a 3b 1) (ab)2 Gọi (2a 2b 1,3a 3b 1) d . Chứng minh được d=1 0.5 DeThi.edu.vn
  73. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3a 3b 1 là số chính phương a b là số chính phương 0.5 (đpcm) A M O N B H D E I K C 4 Ta có IM//AC, IN//AB AMIN là hình bình hành 1 MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường . Mà O là trung 0.5 1 điểm AI M, O, N thẳng hàng (đpcm) 0.5 Kẻ OE vuông góc với BC. Chứng minh MHKN là hình thang 0.5 vuông. Ta có O là trung điểm MN mà OE//MH//NK. Suy ra OE là 2 đường trung bình của hình thang vuông MNKH nên MH + 0.5 NK = 2OE (1) Xét ΔADI có O là trung điểm của AI và OE//AD. Suy ra OE 0.5 là đường trung bình của ΔADI nên AD = 2OE (2) Từ (1) và (2) ta có MH + NK = AD (đpcm). 0.5 Ta có MN // BC khi và chỉ khi MN là đường trung bình của 0.5 ABC(Do O là trung điểm AI) 3 I là trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) 1 Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC 0.5 Xét hiệu x y (a b)(c d) (a c)(b d) (d a)(b c) 0.5 Vì d a,b c nên (d a)(b c) 0 . Suy ra x y (1) 0.5 5 Xét hiệu y z (a c)(b d) (a d)(b c) (a b)(d c) 0.5 Vì b a,c d nên (a a)(d c) 0 . Suy ra y z (2) 0.5 Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z y x DeThi.edu.vn
  74. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI CHỌN HSG ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 TRƯỜNG THCS NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO a4 a3 a2 2a 2 Bài 1. Cho Q a4 2a3 a2 4a 2 a) Rút gọn M b) Xác định a để Qmin Bài 2. a) Phân tích đa thức thành nhân tử A x4 2007x2 2006x 2007 a b c b) Cho x , y , z .Tính A yz zx xy 2xyz b c a c a b x2 y2 z2 x y z Bài 3. Cho x, y, z 0.CMR: y z x z x y 2 k(x 1) Bài 4. Tìm k để phương trình sau có nghiệm dương: k 1 2x 1 Bài 5. Hình vuông ABCD có E và F thuộc tia đối CB và DC sao cho DF BE. Từ E kẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác AFIE là hình gì ? DeThi.edu.vn
  75. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 2 2 a4 a3 a2 2a 2 a4 a3 a2 2a2 2a 2 a 2 a a 1 Q a) a4 2a3 a2 4a 2 a4 2a3 a2 2a2 4a 2 a2 2 a 1 2 DKXD : a 2,a 1 a2 a 1 Khi đó: Q a 1 2 b) Ta có: a2 a 1 a2 2a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 3 Q 1 a 1 2 a2 2a 1 a 1 a 1 2 4 a 1 a 1 2 4 2 3 1 1 3 4 a 1 2 4 2 1 1 1 1 Dấu " "xảy ra 0 a 1 a 1 2 a 1 2 3 Vậy GTNN của Q a 1 4 Bài 2. a) A x4 2007x2 2006x 2007 x4 x 2007x2 2007x 2007 x2 x 1 x2 x 2007 b) Ta có: ab(a b) bc(b c) ca(c a) a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 2abc Nên A 1 a b b c c a DeThi.edu.vn
  76. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 3. Ta có: x2 y z x2 y z z2 x y x; x; z y z 4 y z 4 x y 4 Cộng lại ta có điều phải chứng minh Bài 4. Ta có phương trình tương đương: 2k 1 k(x 1) (k 1)(2x 1) kx k 2xk k 2x 1 x k 2 Vậy x 0thì k phải thỏa mãn 2 điều kiện sau: *)k(x 1) (k 1)(2x 1) kx k 2xk k 2x 1 2k 1 x và k 2 0 hoặc 2k 1 0 và k 2 0 k 2 1 *)k 0 (vì x ) 2 1 Vậy x 0 k 2 hoặc k và k 0 2 DeThi.edu.vn
  77. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 5. A B F D C E I Ta có AE song song với FI (gt); AF song song với EI (gt) AFEI là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song ) (1) Chứng minh ADF ABE(c.g.c) F· AD B· AE Mà B· AE D· AE 900 (gt) F· AD D· AE 900 (2) Từ (1) và (2) suy ra AFIE là hình chữ nhật Ta lại có : AF AE (vì hai tam giác bằng nhau theo cmt) nên AFIE là hình vuông. DeThi.edu.vn
  78. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Bài 1. (2 điểm) Tìm x biết : 2 1 a) x 3 3 b) 3x 6561 c) 2x 1 2012 2x 1 2010 Bài 2. (2 điểm) 2012 a) Số tự nhiên A 1 23 là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2x2 y2 2xy 8x 2028 c) Tìm x, y, z biết: 10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0 Bài 3. (1,5 điểm) 2 3 Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển 3 4 4 Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn 5 tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ? Bài 4. (1,5 điểm). Cho x(m n) y(n p) z( p m) trong đó x, y, z la các số m n n p p m khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng: x(y z) y z x z x y Bài 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI AM. a) Chứng minh rằng: CM  BI b) Trên BC lấy điểm P sao cho BP 2CP.Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia Pxsao cho x· PB 600.Tia Pxcắt tia CA tại D. Tính số đo C· BD DeThi.edu.vn
  79. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 2 1 1 2 1 1 a) x x x 1 3 3 3 3 3 3 b) 3x 6561hay 3x 38 x 8 c) 2x 1 2012 2x 1 2010 2x 1 2012 2x 1 2010 0 2x 1 2010 . 1 2x 1 2 0 2x 1 2010 . 1 2x 1 1 2x 1 0 1 x 2x 1 0 2 2 2x 0 x 1 2x 0 x 0 Bài 2. a) 32012 M3nên có thể viết 32012 3n ¥ 2012 3 2 A 1 23 13 23n 13 2n 1 2n 1 2n 2n A là hợp số b)B 2x2 y2 2xy 8x 2028 x2 2xy y2 x2 8x 16 2012 x y 2 x 4 2 2012 2012 x y 0 x 4 Đẳng thức xảy ra x 4 0 y 4 x 4 Giá trị nhỏ nhất của B là 2012 y 4 c)10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0 9x2 6x 1 y2 4y 4 4z2 4xz x2 0 3x 1 2 y 2 2 2z x 2 0 DeThi.edu.vn
  80. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 x 3x 1 0 3 y 2 0 y 2 2z x 0 1 z 6 Bài 3. Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh, Văn thứ tự là x, y, z x, y, z ¥ 2 3 4 x y z x y z 38 Ta có: x y z 2 3 4 5 18 16 15 18 16 15 19 Tính đúng x 36; y 32; z 30 và kết luận Bài 4. Vì xyz 0nên: x(m n) y(n p) z( p m) x m n y n p z p m xyz xyz xyz m n n p p m hay : yz xz xy p m n p m n p m n p m n xy yz yz xy xz yz m n n p p m x y z y z x z x y Bài 5. a) I A M C B H Tia IM cắt BC tại H ABC vuông cân tại A nên Cµ 450 , IAM vuông cân tại M nên I 450 IHC có Cµ I 900 Hµ 900 IH  BC Chứng minh được M là trực tâm IBC CM  BI DeThi.edu.vn
  81. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) y D E x A K C B P Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD EP PB 2PC BPE cân tại P nên đường trung trực của PD cũng là phân giác B· PD D· PE 600 E· PC 600 Chứng minh được EPC vuông tại C Chứng minh được CD là phân giác của PCE Chứng minh được ED là phân giác ngoài tại đỉnh E của PCE Chứng minh được ·yEP 1500 D· EP 750 Chứng minh được P· BD 750 hay C· BD 750 DeThi.edu.vn
  82. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1. (2,0 điểm) x3 y3 z3 3xyz Rút gọn biểu thức B x y 2 y z 2 x z 2 Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm số dư trong phép chia đa thức x 1 x 3 x 5 x 7 9 cho x2 8x 12. b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x3 2x2 7x 7 chia hết cho x2 3 Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình: 3 3 1 3 3 a) x 3 x 4 1 x 0 4 4 3 x 3 x b) x x 2 x 1 x 1 Câu 4. (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A 3x 1 x 2 4x 3 14x2 8x 9 b) B 3x2 6x 9 Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. M ,D tương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng a) MHD : CMD b) E là trực tâm ABN Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho B· NM 900.Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh rằng FB  AC. DeThi.edu.vn
  83. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. Ta có: x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y z3 3xyz x y z 3 3 x y z x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3xz 3yz 3xy x y z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 3xz 3yz 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz xz *) x y 2 y z 2 x z 2 x2 2xy y2 y2 2yz z2 x2 2xz z2 2 x2 y2 z2 xy yz xz 2 2 2 x y z x y z xy yz xz x y z Vậy B 2 x2 y2 z2 xy yz xz 2 Câu 2. a) Đặt f x x 1 x 3 x 5 x 7 9 Ta có: A x 1 x 7 x 3 x 5 9 x2 8x 7 x2 8x 15 9 2 2 x 8x 7 x 8x 12 3 9 x2 8x 7 x2 8x 12 3 x2 8x 7 9 x2 8x 7 x2 8x 12 3 x2 8x 12 9 15 x2 8x 12 x2 8x 10 6 Vậy số dư trong phép chia f x cho x2 8x 12 là 6 b) Thực hiện phép chia đa thức B x3 2x2 7x 7 cho C x2 3, ta được: Đa thức thương: x 2;đa thức dư: 4x 1 Suy ra : x3 2x2 7x 7 x2 3 x 2 4x 1 Do đó BM x2 3 4x 1 M 3x2 3 (1) Vì 4x 1 vs 4x 1 nên: 1 4x 1 4x 1 Mx2 3 16x2 1 M x2 3 16 x2 3 49M(x2 3) 49M(x2 3) DeThi.edu.vn
  84. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vì x2 3 3nên xảy ra một tong hai trường hợp sau: x2 3 49, không có giá trị nào thỏa mãn 2 2 x 2(tm) x 3 7 x 4 x 2(ktm) Vậy x 2 Câu 3. 1 3 a) Đặt a x 3;b x 4 a b x 1 1 x a b 4 4 Ta có (pt đề) a3 b3 a b 3 0 a3 b3 a3 b3 3ab a b 0 3ab a b 0 1 x 3 0 4 x 12 a 0 3 16 b 0 x 4 0 x 4 3 a b 0 x 1 0 x 1 16  Vậy S 12; ;1 3  b) ĐKXĐ: x 1 3 x 3 x 3x x2 x2 x 3 x x x 2 . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 3x x2 x2 3 2 x 1 2 3x3 9x x4 3x2 2x2 4x 2 x4 3x3 5x2 5x 2 0 x 1 2 . x2 x 2 0 x 1 0 x 1(tm) 2 x x 2 0 VN Vậy S 1 Câu 4. a) Áp dụng tính chất a a,dấu " "xảy ra a 0,ta có: A 3x 1 x 2 4x 3 3x 1 x 2 4x 3 6 A 6 DeThi.edu.vn
  85. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 Dấu “=” xảy ra 3x 1 0 và x 2 0 x và x 2 x 3 3 1 Vậy min A 6 x 3 2 14x2 8x 9 2 b) Ta có B 3 3x2 6x 9 3 2 2 2 14x 8x 9 2 x 2x 3 12x2 12x 3 2x 1 3 x2 2x 3 3 x2 2x 3 x 1 2 2 Với mọi x,ta có: 3 2x 1 2 0, x 1 2 2 2 0 2 2x 1 2 2 1 0 B 0 B x x 1 2 2 3 3 2 Câu 5. A D H E C N B M a) Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của ABC Mà ABC cân tại A (gt) nên AM là đường cao của ABC Xét MHD và CMD có: M· HD C· MD 900;M· DH C· DM MHD : CMD g.g b) MHD : CMD (câu a) HD HM HD HM (Vi MD AD,CM BM ) MD CM AD BM Mặt khác ta có: ·ADH 900 D· MH B· MH Suy ra HDA : HMB(c.g.c) DeThi.edu.vn
  86. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do đó: ·AHD B· HM ·AHB D· HM 900 BH  AN Kết hợp với AM  BC E là trực tâm ABN. Câu 6. B E C I M F N A D Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E Ta có: F đối xứng với A qua N (gt) N là trung điểm của AF Mà I là trung điểm của BF nên NI là đường trung bình ABF 1 NI / / AB, NI AB 2 Mặt khác AB / /CD; AB CD (ABCD là hình chữ nhật và M là trung điểm của CD) CD AB  BC;CM suy ra NI  BC; NI / /CM và NI CM 2 Tứ giác CINM là hình bình hành CI / /MN Mà MN  BN B· NM 900 CK  BN tại K Do đó I là trực tâm BCN BF  AC. DeThi.edu.vn
  87. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 12x3 16x2 5x 3 2 b) x2 x 1 5x x2 x 1 4x2 Câu 2. (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu x2 y2 z2 xy yz zx thì x y z a2 b2 c2 a c b b) Cho ba số a,b,ckhác 0thỏa mãn : b2 c2 a2 c b a Chứng minh rằng a b c Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình: 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 a) 2x 1 2x 5 4(1) b) 6 2 0 x 2 x 2 x 4 Câu 4. (4,0 điểm) a) Cho x, y 0 thỏa mãn x y 2.Chứng minh rằng : 2 2 1 1 x y 8 x y 2015 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A , với x là số nguyên. x 3 Câu 5. (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD, AB CD .Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng: a) DK CI b) EF / /CD c) AB2 CD.EF DeThi.edu.vn
  88. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) 12x3 16x2 5x 3 12x3 6x2 22x2 11x 6x 3 6x2 2x 1 11x 2x 1 3 2x 1 2x 1 6x2 11x 3 2x 1 6x2 9x 2x 3 2x 1 3x 2x 3 2x 3 2x 1 3x 1 2x 3 2 b) A= x2 x 1 5x x2 x 1 4x2 Đặt x2 x 1 y , ta có: A 4x2 5xy y2 4x y x y 4x x2 x 1 x x2 x 1 x2 5x 1 x2 2x 1 x 1 2 x2 5x 1 2 5 21 5 21 x 1 x x 2 2 Câu 2. a) Ta có: x2 y2 z2 xy yz zx 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx x2 2xy y2 y2 2yz z2 z2 2zx x2 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 (1) Ta có: x y 2 0, y z 2 0, z x 2 0 x y 0 Do đó 1 y z 0 x y z z x 0 DeThi.edu.vn
  89. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 b2 c2 a c b b) Ta có: b2 c2 a2 c b a a4c2 b4a2 c4b2 abc a2c c2a b2c Đặt x a2c, y b2a, z c2b.Ta được: x2 y2 z2 xy yz zx Áp dụng kết quả câu a ta được: x y 2 y z 2 z x 2 0 x y z a2c b2a c2b ac b2;bc a2;ab c2 a b c(dfcm) Câu 3. a) 2x 1 2x 5 4 1 Ta có: 1 2x 1 5 2x 2x 1 5 2x 2x 1 5 2x 0 (Áp dụng tính chất: a b a b ab 0 ) 1 5 x 2 2 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 b) 6 2 0 (1) x 2 x 2 x 4 ĐKXĐ: x 2 1 x 3 2 x 2 2 6 x 3 2 x 2 2 7 x2 9 x2 4 0 x2 6x 9 x2 4x 4 6x2 36x 54 x2 4x 4 7x2 63 x2 4 0 50x3 350x2 300x 0 x3 7x2 6x 0 x 0 (tm) x 1 (tm) x 6 (tm) Câu 4. DeThi.edu.vn
  90. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 2 a) Bài toán phụ : Chứng minh rằng a2 b2 a b (1) 2 Chứng minh 1 2a2 2b2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0 Áp dụng bài toán phụ (1) ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 x y x y (2) x y 2 x y 2 2 2 1 1 x y 2 Mà x y 2 2 (vì x y 2) x y xy xy 2 x y 2 2 Với x, y 0 ta có: 0 xy (vì x y 0 x y 4xy) 4 1 4 2 8 xy x y 2 xy x y 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16(Vi x y 2) 2 xy x y 2 1 1 x y 16 (3) x y 2 2 1 1 Từ (2) và (3) suy ra : x y 8 x y 2015 b) B với x là số nguyên x 5 Xét x 3 x 3 0 B 0 Xét x 3thì do x ¢ nên x 0;1;2 +Khi x 0 B 403 +Khi x 1 x 1 B 503,75 +Khi x 2 x 2 B 2015 Vậy min B 2015 x 2 Câu 5. DeThi.edu.vn
  91. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A B E F C D I K a) Tứ giác ABCK có: AB / /CK AB / /CD,K CD ; AK / /BC gt ABCK là hình bình hành CK AB DK CD CK CD AB (1) Chứng minh tương tự , ta có: DI AB IC CD DI CD AB (2) Từ (1) và (2) suy ra DK IC AE AB b) DEK có AB / /DK , theo hệ quả định lý ta let ta có: (3) EK DK AF AB FIC có AB / /IC , theo hệ quả định lý Ta let ta có : (4) FC IC Mà DK IC (câu a) (5) AE AF Từ (3) (4) (5) suy ra EK FC AE AF AKC có EF / /KC (Định lý Ta let đảo) EF / /CD EK FC AB CK c) Ta có: (vì AB CK) (6) CD CD CK BE BCD có EK / /BC, theo định lý Ta let ta có: (7) CD BD BE EF BDI có EF / /DI , theo định lý Ta let mà DI = AB BD DI BE EF Suy ra (8) BD AB AB EF Từ (6), (7), (8) AB2 CD.EF CD AB DeThi.edu.vn
  92. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 23 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUAN SƠN CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán; Lớp: 8 Số báo danh Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang, gồm 06 câu) Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 16 x x 3 2x 2 3x x 1 x : A = 2 3 2 x 4 2 x x 2 x 4x 4x a) Rút gọn A. b) Tìm x để A 0. Câu 2: (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 3 (x 2 - 7) 2 - 36x b) Chứng minh rằng: B = n 7 - 14n 5 + 49n 3 - 36n luôn chia hết cho 210 với mọi n Z Câu 3 : (4 điểm) 3 2 4 9 a) Giải phương trình sau : x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 b) Cho ba số x,y,z≠ 0 thỏa mãn + + = 0.Tính giá trị của biểu thức: 2013 xy yz zx 2 P = 2 2 2 z x y Câu 4 : (4 điểm) Cho ABC đều,H là trực tâm, đường cao AD. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM; ID cắt EF tại K. a)Chứng minh: DEIF là hình thoi. b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng. Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AN = CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM. CMR: KD là tia phân giác của góc ·AKC Câu 6 (3 điểm) a) Cho x > 0 ;y> 0.CMR: + b) Cho 2 số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = + + + DeThi.edu.vn
  93. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hết Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm DeThi.edu.vn
  94. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM Toán 8 Câu ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm ĐKXĐ: x≠ 2; x≠ 0 ;x ≠ 1 0.25đ 16x x2 3 2x x 2 2 3x x 2 x 1 A= x : 2 0.5đ x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 2 = x . 0,5đ a x 2 x 2 x 1 (2đ) x x 2 0,25đ = x x 1 3x 3x = 0,25đ x 1 1 x Vậy A = 3x 0,25đ 1 x A 0 0 1 0.25đ 3x 0 1 - x > 0 { 0.25đ 3x 0 [{1 - x 1 0 x < 1 [vônghiệm 0,25đ Kết hợp với đk x ≠ 0 thì với 0 < x < 1 thì A 0 0,25đ Có thể xét dấu 0,25đ 0,25đ 2 x3 x2 7 36x 2 0.5đ xx2 x2 7 36 xx x2 7 6.x x2 7 6 x x3 7x 6 . x3 7x 6 0.5đ a 2 3 3 (2đ) x x x 6x 6 x x 6x 6 x x 1 x x 1 6 x 1 x x 1 6 2 2 x x 1 x x 6 x 1 x x 6 0.5đ x x 1 (x 2)(x 3)(x 1)(x 2)(x 3) 0.5đ DeThi.edu.vn
  95. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có: B= n 7 - 14n 5 + 49n 3 - 36n = n 3 (n 2 - 7) 2 - 36n 0.25đ Theo câu a ta có: 2 B = n3 n2 7 36n n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3 0.25đ Do đó: B là tích của 7 số nguyên liên tiếp 0.25đ b BM2; BM3 ; BM5 ;BM7 Mà các số 2;3;5;7 đôi một nguyên tố cùng nhau (1đ) 0.25đ BM(2.3.5.7) hay B M 210 Với mọi n Z ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3 0,25đ 3 2 4 9 0,25đ x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 1 1 1 4 1 1 0,25đ x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 4 1 0,25đ a x 1 3 x 3 3 3 x 3 4 x 1 x 3 3 x 1 (2đ) 0,25đ 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 4x2 8x 0 0,25đ 4x x 2 0 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện) 0,25đ 0,25đ Vậy tập nghiệm của phương trình: S = { 0;2 } DeThi.edu.vn
  96. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 0 0.25đ x y z x y z 3 3 1 1 1 0.25đ x y z 1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 x y xy x y z 1 1 1 1 1 3 x3 y3 xy z z3 0.25đ 1 1 1 3 x3 y3 z3 xyz 0,25đ yz xz xy b 2 2 2 3 (2đ) x y z P 3 2 2013 12013 1 Ta có: 0.5đ 2013 xy yz zx P 2 2 2 2 z x y 0,25đ 2013 1 1 1 xyz 2 0,25đ 3 3 3 x y z 2013 3 xyz. 2 xyz 12013 1 EMA vuông tại E có EI là đường trung tuyến EI=IM=IA= AM 0.25đ IAE cân tại I EIM = 2 EAI (Góc ngoài của tam giác) 0.25đ Tương tự: MID = 2 IAD và DI = AM 0.5đ a 4 (2đ) DeThi.edu.vn
  97. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A N 0.25đ I 0.25đ H F K 0.25đ E 0,25đ B C M D Suy ra: EI = DI và EID = 600 IED đều EI=ED=ID CMTT ta có: IDF đều ID=DF=IF DEIF hình thoi Vì DEIF hình thoi K là trung điểm của EF và ID 0.25đ Gọi N là trung điểm của AH 0,25đ b Do ABC đều có H là trực tâm H là trọng tâm AN=NH=HD (2đ) 0.25đ CM : NI //MH 0.5đ và NI // KH theo tiên đề Ơclit 0.5đ MH  KH hay: M,H,K thẳng hàng 0,25đ A M l K B J 5 (2đ) D N C Kẻ DI AK ; DJ  CK 0.25đ Ta có: S = AN.DI = S (1) AND ABCD 0.5đ (do chung đáy AD,cùng đườngcao hạ từ N ) SCDM = CM.DJ = SABCD (2) (do chung đáy CD,cùng đườngcao hạ từ M ) 0.5đ DeThi.edu.vn
  98. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ (1) và (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ DI = DJ (do AN = CM) CM: DIK = DJK IKD = JKD 0.25đ KD là tia phân giác của AKC 0.25đ 0,25đ Ta có: + (*) 0,25đ (x+y) 2 4xy (vì x > 0 ; y > 0,25đ a 0) 0,25đ (1đ) (x-y) 2 0 (Đúng) Vậy + 0,25đ Từ (*) 0,5đ 6 Với a,b >0 nên ta áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có: 1 1 1 1 M ab a2 ab b2 ab a2 b2 1 1 1 1 1 2ab a2 b2 a2 ab b2 ab 2ab 0,5đ 4 4 2 10 10 b 2 2 2 2 a b a b a b a b 0,5đ (2đ) 1 Dấu bằng xảy ra a b 2 0,25đ 1 Vậy Min M = 10 a b 2 0,25đ Chú ý:- HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình học mà học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hinh đó. ĐỀ SỐ 24 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Đề chính thức DeThi.edu.vn
  99. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 2/05/2019 Bài 1. (6,0 điểm) a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3 2019x2 2019x 2018 b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 c. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 Bài 2. (4,0 điểm) a. Chứng minh a 2 b 2 c 2 2 a b b c c a với mọi số thực a, b, c. b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. Bài 3 (3.0 điểm): 1 1 1 1 1 Cho biểu thức: P x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. Bài 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AC  AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. Bài 5 (2.0 điểm): Cho tam giác ABC có Aˆ Bˆ . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HAˆC ABˆC . Đường phân giác của góc BAˆH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF // AE. ___Hết___ \ ĐÁP ÁN DeThi.edu.vn
  100. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 1: a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3 2019x2 2019x 2018 A = x3 2019x2 2019x 2018 A = x3 1 2019(x2 x 2019) A = (x - 1)(x2 x 1) 2019(x2 x 1) A = x2 x 1 (x 1 2019) A = (x2 + x + 1 )(x 2018) b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 x2 y2 4x 2y 5 0 (x2 4x 4) (y2 2y 1) 0 (x 2)2 (y 1)2 0 x 2 và y 1 c. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) 59.5n M 59 vaø 8(64n – 5n) M(64 – 5) = 59 vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 Câu 2: a. Chứng minh a 2 b 2 c 2 2 a b b c c a với mọi số thực a, b, c. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: 0 a b c a2 ab ca ; 0 b c a b2 bc ab 0 c a b c2 ca bc Do đó, suy ra: a2 b2 c2 2(ab bc ca) b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. Ta có: P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. P (x 5)(x 11)(x 7)(x 9) + 16. P (x2 16x 55)(x2 16x 63)+ 16. P (x2 16x 55)2 8(x2 16x 55)+ 16. P (x2 16x 55)2 2(x2 16x 55).4+ 42. P (x2 16x 59)2.Vơi x là số nguyên thì P là một số CP. Bài 4 (3.0 điểm): 1 1 1 1 1 Cho biểu thức: P x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. a) Tìm điều kiện đúng: x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 b) Rút gọn đúng: DeThi.edu.vn
  101. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 P x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = x 1 x x 2 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 1 1 5 x 5 x x x 5 I K 1 B H Q 1 P S Câu 4 A C Chứng minh: ABC KPC ( G.G) b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. PB Ta có: AQ KQ (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác 2 vuông). Lại có: HK HA (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK. S 5 Ta có: CEˆA Bˆ BAˆE HAˆC EAˆH CAˆE 0,5đ (2đ) CAE cân ở C CA = CE (1) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có: BE MB MA FA (2) 0,5đ EH KH KH FH BE AB 0,25 AE là phân giác của ABH (3) EH AH đ AB CA CE CAH và CBA đồng dạng (theo (1)) 0,25 AH CH CH đ (4) DeThi.edu.vn
  102. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn FA CE AH EH Từ (2), (3), (4) hay AE PCF (đpcm) 0,5đ FH CH FH CH DeThi.edu.vn
  103. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 y2 5x 5y b) 2x2 5x 7 4x2 16 A Bài 2. Tìm đa thức A, biết rằng x2 2 x Bài 3. Cho phân thức 5x 5 2x2 2x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 x 2 1 2 Bài 4. a) Giải phương trình : x 2 x x x 2 b) Giải bất phương trình : x 3 x 3 x 2 2 3 Bài 5. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày Bài 6. Cho ABC vuông tại A, có AB 15 cm, AC 20cm.Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM a) Chứng minh ABC : HBA b) Tính BC; AH; BH; CH c) Tính diện tích AHM DeThi.edu.vn
  104. Bộ 32 Đề thi Toán nâng cao Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CẤP HUYỆN Bài 1. a) x2 y2 5x 5y x2 y2 5 x y x y x y 5 x y x y x y 5 b) 2x2 5x 7 2x2 2x 7x 7 2x2 2x 7x 7 2x x 1 7 x 1 x 1 2x 7 Bài 2. A 2 x 4x 16 x 2x 4 2x 4 4x(x 2)(x 2) 4x 8 x2 2x x(x 2) x(x 2) Bài 3. a) 2x2 2x 2x(x 1) 0 2x 0 va x 1 0 x 0 và x 1 b) Rút gọn 5x 5 5(x 1) 5 2x2 2x 2x(x 1) 2x 5 5 1 5 2x x (t / m) 2x 2 5 x 2 Bài 4. a) Điều kiện xác định x 0; x 2 x(x 2) (x 2) 2 x2 2x x 2 2 x(x 2) x(x 2) x 0(loai)vs x 1 Vậy S 1 b) x 3 x 3 x 2 2 3 x2 9 x2 4x 7 x2 x2 4x 7 9 4x 16 x 4 Vậy nghiệm của phương trình là x 4 Bài 5. - Gọi số ngày tổ dự đinh sản xuất là : x ngày ( x ¥ *, x 1) - Vậy số ngày tổ đã thực hiện x 1 (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là : 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực hiện là : 57.(x 1) (sản phẩm) Theo đề bài ta có phương trình : 57(x 1) 50x 13 57x 57 50x 13 7x 70 x 10 (thỏa mãn) DeThi.edu.vn