›
›
›

Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 7 (Có đáp án)

docx 130 trang Thái Huy 14/09/2023 8154
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 7 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbo_35_de_thi_toan_nang_cao_lop_7_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 7 (Có đáp án)

  1. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
  2. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Mụn : Toỏn Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) Cõu 1 (4,0 điểm): 3 3 3 1 1 1 a) Tớnh A= 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 4 11 13 4 6 8 b) Chứng minh rằng với n nguyờn dương thỡ 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10. Cõu 2 (4,0 điểm): a) Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x,y) thỏa món: x + 2y = 3xy + 3 1 1 1 1 1 2 3 2015 2016 b) Cho A= ; B = . 2 3 4 2017 2016 2015 2014 2 1 Tớnh A B Cõu 3 (3,0 điểm): a) Cho x 2 y 1 (x y z 2)2016 0 . Tớnh giỏ trị của : A= 5 x2y2016z2017 a c b) Cho cỏc số dương a,b,c,d; c d và . CMR b d 2017 2016 a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 2017 2016 c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 Cõu 4(3,0 điểm): 1 1 1 1 1 a) Cho a + b + c + d = 2000 và a b c b c d c d a d a b 40 a b c d Tớnh giỏ trị của : S = b c d c d a d a b a b c 2016 2017 b) Xỏc định tổng cỏc hệ số của đa thức f(x) = 5 6x x2 . 5 6x x2 Cõu 5 (6,0 điểm): Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. c) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. Hết Họ và tờn thớ sinh:: SBD DeThi.edu.vn
  3. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HƯỚNG DẪN CHẤM TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH HUYỆN KIM THÀNH GIỎI Mụn : Toỏn lớp 7 Cõu í Nội dung Điể m 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3. 4 11 13 0,75 A = 4 11 13 2 3 4 = 5 5 5 5 5 5 1 1 1 5. 4 11 13 4 6 8 4 11 13 1 1 1 0,75 1 a 2 3 4 (4,0 (2,0 5 1 1 1 . ) ) 2 2 3 4 0,5 3 1 3 2 A = = . 5 5 5 5 2 5 A= 1. Vậy A = 1 5 Ta cú 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n b = ( 3n+2 + 3n ) – (2n+2 +2n ) 0,5 (2,0 = 3n .( 32 + 1 ) – 2n-1 . ( 23 + 2 ) 0,5 ) = 3n .10 - 2n-1.10 0,5 = ( 3n - 2n-1 ).10 10. Vậy 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n  10 0,5 Ta cú x + 2y = 3xy + 3 3x + 6y = 9xy + 9 ( 3x – 9xy ) + ( 6y -2 ) = 7 0,25 3x.( 1 - 3y ) -2.( 1-3y ) = 7 ( 3x – 2 ). ( 1 – 3y ) = 0,25 7 Vỡ x, y Z nờn 3x – 2 ; 1-3y là cỏc số nguyờn. 0,5 Mà ( 3x - 2 ).( 1 – 3y ) = 7 3x – 2 ; 1-3y là ước của 0,25 a 7. (2,0 Ta lại cú Ư(7) = 1; 7 3x – 2 ; 1-3y 1; 7 2 ) Bảng giỏ trị (4,0 3x-2 -7 -1 1 7 ) 1-3y -1 -7 7 1 x -5/3 1/3 1 3 0,5 y 2/3 8/3 -2 0 0,25 KTM KTM TM TM Vậy (x,y) 1; 2 ; 3;0  DeThi.edu.vn
  4. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 2 3 2015 2016 B = B= 2016 2015 2014 2 1 1 2 3 2015 1 1 1 1 1 2016 2015 2014 2 0,75 b 2017 2017 2017 2017 2017 (2,0 B = 2016 2015 2014 2 2017 ) 1 1 1 1 B = 2017. 2 3 4 2017 0,75 Do đú A = 1 B 2017 0,5 Vỡ x 2 0 với x; y 1 0 với x ;( x+y-z-2)2016 0 với 0,25  x,y,z Do đú x 2 y 1 (x y z 2)2016 0 khi a x 2 0 x 2 0 x 2 0,5 (1,5 ) y 1 0 y 1 0 y 1 2016 x y z 2 0 z 1 0,5 x y z 2 0 3 0,25 Do đú A = 5. 22 .12016 .12017 = 5.4.1.1 = 20 (3,0 Vậy A = 20 ) a c Vỡ a,b,c,d là cỏc số dương và c d, mà nờn b d 0,25 a b c d 2017 2017 a 2016 b 2016 a 2016 b 2016 a 2016 a 2016 b 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 c d c d c c d 0,25 2017 a 2016.2017 a 2016 b 2016 hay 2016.2017 2017 (1) b c c 2016 d 2016 2016 2016 (1,5 a 2017 b 2017 a 2017 b 2017 a 2017 a 2017 b 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 ) c d c d c c d 0,25 2016 a 2017.2016 a 2017 b 2017 hay 2017.2016 2016 (2) c c 2017 d 2017 2017 2016 0,5 a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 Từ (1) và (2) 2017 2016 c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 0,25 2017 2016 a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 Vậy 2017 2016 c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 a b c d Ta cú S = 4 a b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d a b c d a b c d (3,0 (1,5 S + 4 = 0,25 ) ) b c d c d a d a b a b c 0,25 DeThi.edu.vn
  5. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn S + 4 = (a + b + c+ d ). 1 1 1 1 b c d c d a d a b a b c 0,5 1 0,5 Do đú S = - 4 + 2000. 40 = -4 + 50 = 46 . Vậy S = 46 Vỡ tổng cỏc hệ số của đa thức f(x) bằng f(1). Mà đa thức 0,5 2016 2017 b f(x) = 5 6x x2 . 5 6x x2 0,5 (1,5 cú f(1) = ( 5-6.1+12 )2016. ( 5+6.1+12 )2016 0,25 ) = 0.(5+6.1+12 )2016 = 0 0,25 Vậy đa thức đó cho cú tổng cỏc hệ số bằng 0 E A D a 0,5 (2,0 K ) I C B Ta cú: AD = AB; Dã AC = Bã DE và AC = AE 0,75 Suy ra ADC = ABE (c.g.c). Vậy ADC = ABE 0,75 Từ ADC = ABE (cõu a) => ãABE = ãADC 0,25 mà Bã KC = ãAKD (đối đỉnh). 5 ã ã 0 (6,0 Khi đú xột BIK và DAK suy ra BIK = DAK = 60 (đ 0,5 ) pcm) E A b D (2,0 J N ) K M I C B 0,25 Từ ADC = ABE (cõu a) CM = EN và ãACM = ãAEN ã ã ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM = EAN 0,5 Mã AN =Cã AE = 600 Do đú AMN đều. 0,5 Vậy AMN đều. DeThi.edu.vn
  6. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Trờn tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều 0,5 BJ = BI và Jã BI Dã BA 0 0,5 c = = 60 suy ra IãBA Jã BD , kết hợp BA = BD (2,0 = 0,5 ) IBA = JBD (c.g.c)=> ãAIB = Dã JB = 1200 mà Bã ID = 600 => Dã IA = 600 0,5 Từ đú suy ra IA là phõn giỏc của gúc : Dã IE Chỳ ý: Nếu học sinh làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. DeThi.edu.vn
  7. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 TRƯỜNG THCS NGUYẾN KHUYẾN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MễN TOÁN 7 Bài 1. (1 điểm) Khụng sử dụng mỏy tớnh hóy so sỏnh: A 2.1 2.3 2.5 2.99 và B 2.2 2.4 2.6 2.98 100 Bài 2. (2,5 điểm) a) Tỡm x biết: x2 2 x 3 x 6 39 15 b) Tỡm x biết: 3x2 2 2 Bài 3. (2 điểm) Cho 4 số a,b,c,d biết a 3b 4c 5d và ab c2 d 2 831.Tớnh b c Bài 4. (1,5 điểm) Tỡm số tự nhiờn n.Biết rằng nếu gạch bỏ đi một chữ số của n thỡ được số mới nhỏ hơn số n là 2012 đơn vị. Bài 5. (3 điểm) Cho gúc nhọn xOy và tia phõn giỏc Ot.Trờn tia Oy lấy điểm A.Đường trung trực của OAcắt tia Ox tại F. Trờn tia Ay lấy điểm B sao cho AB AF.BF cắt Ot tại E. a) Chứng minh E thuộc đường trung trực của FA b) So sỏnh EF và EB DeThi.edu.vn
  8. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. B 2.2 2.4 2.6 2.98 100 A 2.1 2.3 2.5 2.99 B A 2 2 2 2 2 2(50 99) 2.49 2.( 49) 0 A B Bài 2. 2 2 x 0 a)x 2 x 3 x 6 x 3x 0 x 3 39 15 b) 3x2 3x2 12 x2 4 x 2 2 2 39 15 3x2 3x2 27 x2 9 x 3 2 2 Bài 3. a 3b 4c 5d a b c d ab c2 d 2 ab c2 d 2 60 20 15 12 1200 225 144 1200 225 144 d 2 831 d 12 b 20,c 15 b c 5 144 831 d 12 b 20;c 15 b c 5 Bài 4. Gọi chữ số bị gạch đi là x,và số mới là m.Nếu x khụng phải là chữ số tận cựng của n thỡ số m và n cú cựng chữ số tận cựng. Do đú n m tận cựng là 0 n m chia hết cho 10 mà 2012 khụng chia hết cho 10. Vậy x là chữ số tận cựng của n Ta cú: n Ax Ax A 2012 9A x 2012 2012 10 9A 2012 Mà Alà số tự nhiờn nờn A 223 x 5. Vậy n 2235. DeThi.edu.vn
  9. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 5. x z F E O A B y a) F thuộc đường trung trực của FA FO FA OFAcõn tại F Fã OA Fã AO 2.Eã OB 2.Fã OE AF AB FABcõn tại A ãAFB ãABF Fã AO 2Fã BA Vậy Eã OB Eã BO OE EB OFE BAE OF AB,OE EB,Fã OE Eã BO EF EA E thuộc đường trung trực của FA. b) Fã OA 900 Fã OE 450 OFE cú Oã FE 1800 3Fã OE 3 600 Fã OE 3 600 450 450 Fã OE DeThi.edu.vn
  10. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 PHềNG GD&ĐT SƠN TỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MễN: TOÁN 7 Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC: Bài 1: (3,0 điểm) 0 1 2 2007 1 1 1 1 a/ Tính tổng: S 7 7 7 7 b/ Thực hiện phộp tớnh: M = 1 1 1 1 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 16) 2 3 4 16 Bài 2: (3,0 điểm) 3 a b c a b c a a/ Cho: . Chứng minh: . b c d b c d d x 3 y 3 z 3 b/ Tìm x, y, z biết: và x2 + y2 + z2 = 14 8 64 216 Bài 3: (4,0 điểm) a/ Tìm x, biết: 4x 3 - x = 15. 2008 2008 2 b/ Tỡm x, y, z biết: 2x 1 y x y z 0 5 c/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 2x 2013 Bài 4: (3,0 điểm) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1/2 quãng đường AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đường AB. Bài 5: (5,0 điểm) Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng: a/ BH = AK b/ MBH = MAK DeThi.edu.vn
  11. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn c/ MHK là tam giác vuông cân Bài 6: (2,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú B = C = 500. Gọi K là điểm trong tam giỏc sao cho KBC = 100 , KCB = 300. Chứng minh BA = BK. Hết ( Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm ) PHềNG GD&ĐT SƠN TỊNH ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MễN: TOÁN 7 Bài Đỏp ỏn Điểm Bài 1 a/ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3,0điểm) S 1 ; 7S 7 1 7 7 2 73 7 4 7 2007 7 7 2 73 7 2006 (1,0điểm) 1 7 1 2007 . 8S 7 S 7 7 2007 8 (0,5điểm) b/ 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 2 3 4 5 17 M = 1 . . . 2 2 3 2 4 2 16 2 2 2 2 2 2 1 1 17.18 1 2 3 17 1 1 76 (1,5điểm) 2 2 2 a b c a a b c a b c Bài 2 a/ Ta có . . . (1) Ta lại có . (2) (3,0điểm) b c d d b c d b c a (1,0điểm) 3 a b c a Từ (1) và(2) => . (đpcm) b c d d (0,5điểm) b/ x = 1, y = 2, z = 3 hay x = -1, y = -2, z = -3 (1,5điểm) Bài 3 a/ 4x 3 - x = 15 4x 3 = x + 15 (4,0điểm) 3 Trường hợp 1: x - , ta có: 4x + 3 = x + 15 4 (0,75điểm ) x = 4 ( TMĐK). Trường hợp 2: x < - 3 , ta có: 4x + 3 = - ( x + 15) 4 18 x = - ( TMĐK). (0,75điểm 5 ) DeThi.edu.vn
  12. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy: x = 4 hoặc x = - 18 . 5 1 2 9 b/ x ; y ; z 2 5 10 (1,0điểm) c/ Ta cú: A 2x 2 2x 2013 2x 2 2013 2x 2x 2 2013 2x 2011 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2011 (1,0điểm) 2013 Dấu “=” xảy ra khi (2x 2)(2013 2x) 0 1 x 2 (0,5điểm) 18 3 Bài 4 18 phút = (h) (3,0điểm) 60 10 - Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đường trước là v1; t1, vận tốc và thời gian đã đi nửa quãng đường sau là v2; t2. - Cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là 2 đại lượng TLN do đó: v2 v1 v2 v1 100 3 v1t1 = v2t2 t1 (giờ) thời (2,0điểm) t1 t2 t1 t2 3 2 gian dự định đi cả quãng đường AB là 3 giờ - Quãng đường AB dài 40 . 3 = 120 (km) (1,0điểm) Bài 5 (5,0điểm) - Vẽ hỡnh đỳng B (0,5điểm) M a/ HAB = KCA (CH – GN) K BH = AK (1,5điểm) E H A C DeThi.edu.vn
  13. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn b/ MHB = MKA (c.g.c) (1,5điểm) c/ MHK cân vì MH = MK (1) (0,5điểm) Có MHA = MKC (c.c.c) AMH = CMK từ đó HMK = 900 (2) Từ (1) và (2) MHK vuông cân tại M (1,0điểm) Bài 6 A (2,0điểm) Vẽ tia phõn giỏc gúc ABK cắt đường thẳng CK ở I. I Ta cú: IBC cõn nờn IB = IC. BIA= CIA (c-c-c) K (2,0điểm) 0 C nờn Bã IA Cã IA 120 . B Do đú: BIA = BIK (g-c-g) BA=BK * Lưu ý: Học sinh giải cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. DeThi.edu.vn
  14. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 Phòng giáo dục Yên định Trường Thcs yên thái đề thi học sinh giỏi huyện Môn thi: Toán lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút không tính thời gian chép đề Giáo viên ra đề: Trịnh Thu Hương Bài1( 3 điểm) 1 1 176 12 10 10 (26 ) ( 1,75) a, Tính: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 91 0,25). 1 11 b, Tính nhanh.: ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310 . 6 ) : ( 1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bài 2: ( 2điểm). Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các nghịc đảo của chúng bằng 2 Bài 3: (2 điểm) Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234 trang. Bài 4: ( 3 điểm) Cho ABC vuông tại B, đường cao BE Tìm số đo các góc nhọn của tam giác , biết EC – EA = AB. DeThi.edu.vn
  15. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Trường thcs yên thái Đáp án đề thi học sinh giỏi huyện môn toán lớp 7 Bài 1: 3 điểm 31 183 176 12 10 175 31 12 475 ( ) ( .1 . a, Tính: A = 3 7 7 11 3 100 3 11 300 5 1 60 71 60 ( ). . 1 91 4 11 1 364 11 31 19 341 57 284 1001 284284 = 3 11 33 . 1056 1001 55 33 55 1815 1001 1001 1001 b, 1,5 điểm Ta có: +) 1 + 4 +7 + + 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) + .+ ( 49+ 52) 34 cặp = 101 . 34 = 1434 +) 1434 – 410 = 1024 + ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 . 5869 = 105642 Vậy A = 105642 : 1024 103,17 Bài 2: 2 Điểm Giọi số cần tìm là x, y, z. Số nhỏ là x , số lớn nhất là z. Ta có: x y z (1) 1 1 1 Theo giả thiết: 2 (2) x y z 1 1 1 3 Do (1) nên z = x y z x 1 1 2 Vậy: x = 1. Thay vào (2) , được: 1 y z y Vậy y = 2. Từ đó z = 2. Ba số cần tìm là 1; 2; 2. Bài 3: 2 Điểm Có 9 trang có 1 chữ số. Số trang có 2 chữ số là từ 10 đến 99 nên có tất cả 90 trang. Trang có 3 chữ số của cuốn sách là từ 100 đến 234, có tất cả 135 trang. Suy ra số các chữ số trong tất cả các trang là: 9 + 2 . 90 + 3. 135 = 9 + 180 + 405 = 594 Bài 4 : 3 Điểm Trên tia EC lấy điểm D sao cho ED = EA. Hai tam giác vuông ABE = DBE ( EA = ED, BE chung) Suy ra BD = BA ; BAD = BDA. Theo giả thiết: EC – EA = A B DeThi.edu.vn
  16. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Từ (1) và (2) Suy ra: DC = BD. Vẽ tia ID là phân giác của góc CBD ( I BC ). Hai tam giác: CID và BID có : ID là cạnh chung, CD = BD ( Chứng minh trên). CID = IDB ( vì DI là phân giác của góc CDB ) Vậy CID = BID ( c . g . c) C = IBD Gọi c là BDA = C + IBD = 2 C = 2 ( góc ngoài của BCD) mà A = D ( Chứng minh trên) nên A = 2 Ta lại có A + C 2 = 900 = 300 . Do đó ; C = 300 và A = 600 DeThi.edu.vn
  17. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Cõu 1. (2đ) 3 4 5 100 a) Tớnh A 1 23 24 25 2100 b) Tỡm n  sao cho 2n 3n 1 Cõu 2. (2đ) a) Tỡm x biết: 3x 2x 1 2 b) Tỡm x, y, z biết: 3 x 1 2 y 2 ;4 y 2 3 z 3 và 2x 3y z 50. Cõu 3. (2đ) 213 Ba phõn số cú tổng bằng , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3,4,5, cỏc mẫu của 70 chỳng tỉ lệ với 5;1;2.Tỡm ba phõn số đú. Cõu 4.(2đ) Cho tam giỏc ABC cõn đỉnh A.Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn tia đối của tia CAlấy điểm E sao cho BD CE.Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B,I,C thẳng hàng 1 1 Cõu 5. (1 điểm) Tỡm x, y  biết: 2x 7 y DeThi.edu.vn
  18. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Cõu 1. 1 100 102 a)A 2 2 299 2100 2100 b)2n 3n 1 5n 1 n 1 U (5) 1; 5 n 6; 2;0;4 Cõu 2. 1 a) Nếu x 3x 2x 1 2 x 3(tm) 2 1 1 Nếu x 3x 2x 1 2 x (ktm) 2 5 Vậy x 3 x 1 y 2 z 3 b) và 2x 3y z 50 x 11; y 17; z 23. 2 3 4 Cõu 3. 213 Cỏc phõn số cần tỡm là a,b,cta cú: a b c và 70 3 4 5 a :b : c : : 6: 40: 25 5 1 2 9 12 15 a ,b ,c 35 7 14 DeThi.edu.vn
  19. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Cõu 4. A D C B F I E Kẻ DF / / AC F AC DF BD CE IDF IFC(c.g.c) Dã IF Eã IC F,I,C thẳng hàng B,I,C thẳng hàng. Cõu 5. 7.2x 1 1 Đề y 14x 1 7 x; y 0;7 7 y DeThi.edu.vn
  20. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TẠO MễN THI : TOÁN THÁI BèNH Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (3 điểm) Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất a để khi ghộp nú vào bờn phải số 2004 thỡ được một số tự nhiờn chia hết cho 2003. Bài 2 (5 điểm) Cho hai hàm số : f(x) = |x – 1| + 1 và g(x) = |x – 2| + 2. 1. Tỡm x để f(x) – 2g(x) = -3 ; 2. Tỡm x để f(x) = g(f(2)). Bài 3 (3 điểm) Chứng minh rằng khụng thể tỡm được cỏc số nguyờn x, y, z thoả món : |x – y| + |y – z| + |z – x| = 2005. Bài 4 (3 điểm) Tỡm x biết : 3x2 4 2004x2 1 3 4x2 Bài 5 (6 điểm) Cho ∆ABC cú À 500 và Bà 200. Trờn tia phõn giỏc BE (E thuộc AC) của à BC lấy điểm F sao cho sao cho Fã AB 200. Gọi I là trung điểm của AF, EI cắt AB ở K. 1. Chứng minh : EK  AF. 2. Chứng minh : BE  CK. Họ và tờn : SBD : Trường THCS : DeThi.edu.vn
  21. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (3 điểm) * Đặt a a1a 2 a n (n ∈ N , a1,a 2 , ,a n là cỏc chữ số, a1 0 ) Số tự nhiờn cần tỡm cú dạng : 2004a1a 2 a n n Theo giả thiết, ta cú : 2004a1a 2 a n ⋮ 2003 2004.10 + a1a 2 a n ⋮ 2003 n n n 2003.10 + 10 + a1a 2 a n ⋮ 2003 10 + a1a 2 a n ⋮ 2003 (vỡ 2003.10n ⋮ 2003) Xột cỏc trường hợp : - Với n = 1, ta được 10 + a1 ⋮ 2003 khụng tỡm được a1 vỡ 10 < 10 + a1 < 20. - Với n = 2, ta được 100 + a1a 2 ⋮ 2003 khụng tỡm được a1a 2 vỡ 100 < 100 + a1a 2 < 200. - Với n = 3, ta được 1000 + a1a 2a3 ⋮ 2003 khụng tỡm được a1a 2a3 vỡ 1000 < 1000 + a1a 2a3 < 2000. - Với n = 4, ta được 10000 + a1a 2a3a 4 ⋮ 2003 10000 + a1a 2a3a 4 - 5.2003 ⋮ 2003 Hay a1a 2a3a 4 - 15 ⋮ 2003 (1) Nhận xột : 999 < a1a 2a3a 4 < 10000 984 < a1a 2a3a 4 - 15 < 9985 (2) Vỡ a a1a 2a3a 4 phải là số tự nhiờn nhỏ nhất nờn từ (1) và (2) suy ra : a1a 2a3a 4 - 15 = 2003 a1a 2a3a 4 = 2018 DeThi.edu.vn
  22. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy số tự nhiờn a nhỏ nhất cần tỡm là a = 2018. Bài 2 (5 điểm) 1. f(x) – 2g(x) = -3 |x – 1| + 1 – 2(|x – 2| + 2) = -3 |x – 1| - 2|x – 2| = 1 (1) Xột cỏc trường hợp : - Nếu x 0 và x – 2 0 |x – 1| = x – 1, |x – 2| = x - 2 (2) trở thành : x – 1 – 2(x – 2) = 1 x – 1 – 2x + 4 = 1 -x = -2 x = 2 (thoả món x 2) Vậy giỏ trị của x cần tỡm là x = 2. 2. f(2) = |2 – 1| + 1 = 2 g(f(2)) = g(2) = |2 – 2| + 2 = 2. x 1 1 Do đú f(x) = g(f(2)) |x – 1| + 1 = 2 |x – 1| = 1 x 1 1 x 2 x 0 Vậy với x ∈ {0 ; 2} thỡ f(x) = g(f(2)) Bài 3 (3 điểm) Khụng giảm tổng quỏt cú thể giả sử x y z. Khi đú x – y 0, y – z 0, z – x 0 |x – y| + |y – z| + |z – x| = 2005 x – y + y – z + x – z = 2005 2(x – z) = 2005 (*) Vỡ x, z ∈ Z nờn vế trỏi (*) là số nguyờn chẵn, cũn 2005 là số lẻ nờn khụng tỡm được x, z thoả món (*). DeThi.edu.vn
  23. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy khụng thể tồn tại cỏc số nguyờn x, y, z thoả món điều kiện đề bài. Bài 4 (3 điểm) Vỡ x2 0 x 3x2 + 4 4, 2004x2 + 1 1 3x2 1 2, 2004x2 1 1 3x2 4 2004x2 1 3 (dấu bằng xảy ra x = 0) (1) Mặt khỏc, 3 – 4x2 3 (dấu bằng xảy ra x = 0) (2) Từ (1) và (2) suy ra 3x2 4 2004x2 1 3 4x2 3x2 4 2004x2 1 3 4x2 3 x = 0. Vậy x = 0. Bài 5 (6 điểm) C E 3 1 2 F 1 1 I 1 2 2 A K B ã 0 ABC 20 0 1. Vỡ BE là tia phõn giỏc của à BC nờn Bà 1 Bà 2 10 2 2 0 0 0 Xột AEF cú : À 1 Bã AC À 2 50 20 30  0 0 0  F1 À 2 Bà 2 20 10 30 (vỡ F1 là gúc ngoài của FAB). Suy ra AEF cõn tại E EI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao EI  AF Hay EK  AF. 0 0 0 2. Vỡ Eà 3 là gúc ngoài của AEB nờn Eà 3 Bã AE Bà 2 50 10 60 AEF cõn tại E nờn đường trung tuyến EI đồng thời là đường phõn giỏc của à EF . ã 0 à 0 0 AEF 180 2A1 180 2.30 0 Suy ra Eà 1 Eà 2 60 2 2 2 DeThi.edu.vn
  24. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Xột BCE và BKE cú : 0 Eà 2 Eà 3 60 BE là cạnh chung 0 Bà 1 Bà 2 10 Nờn BCE = BKE (g.c.g) BC = BK và EC = EK. Suy ra B và E cựng thuộc đường trung trực của CK. Do đú BE  CK. DeThi.edu.vn
  25. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HUYỆN YấN Mễ MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (ĐỀ CHÍNH THỨC) (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1: (6,0 điểm) 1. Thực hiện phộp tớnh 5 14 12 2 11 212.35 46.92 510.73 255.492 a) A= + - + + b) B = 15 25 9 7 25 (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 2. Tỡm x, y, z biết 9 19 2 4 x y y z a) 3 x 2 : 1 1 b) , và 2x 3y z 6 10 10 5 5 3 4 3 5 Cõu 2: (3,0 điểm) a) Tỡm x, y nguyờn thoả món 3xy – 5 = x2 + 2y b) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n thỡ: 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Cõu 3: (3,0 điểm) 1. Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100 . a) Chứng minh rằng x= -1 là nghiệm của A(x) b) Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1 2 Cõu 4: (6,0 điểm) Cho ABC ( AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc Bã AC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (giao điểm của đường thẳng đú với tia phõn giỏc goch BAC là H). Chứng minh rằng: a) EH = HF b) 2Bã ME ãACB Bà . FE 2 c) AH 2 AE 2 . 4 d) BE = CF Cõu 5: (2,0 điểm) Giải bằng mỏy tớnh cầm tay a) Tớnh giỏ trị của đa thức P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x10 tại x = 2,13 (kết quả ghi dưới dạng số thập phõn lấy trờn màn hỡnh). DeThi.edu.vn
  26. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn b)Tỡm 2 chữ số cuối của: A= 22010 + 22011 + 22012 + 22013 + 22014 + 22015+ 22016 Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2: DeThi.edu.vn
  27. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn PHềNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MễN: TOÁN 7 Cõu ý Túm tắt lời giải Điểm A= 5 + 14 - 12 + 2 + 11 15 25 9 7 25 0,5 1a. 3 25 2 2 = = 1 1 + 1,0 đ 3 25 7 7 0,5 = 0 + 2 = 2 7 7 10 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 212.36 212.35 59.73 59.23.73 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 12 5 9 3 3 1b. 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 1,5đ 212.34.2 510.73. 6 0,5 212.35.4 59.73.9 1 10 7 0,5 6 3 2 Cõu Ta cú 9 19 2 4 1 3 x 2 : 1 1 (6đ) 10 10 5 5 0,25 30 9 19 10 4 4 x 2 : 1 10 10 10 10 10 5 0,25 21 5 1 x 2 : 2.a 10 10 5 0,25 1,5 đ 21 1 5 1 x 2 . 10 5 10 10 21 1 0,25 x 2 2 10 10 x 2 2; 2 0,25 x 4; 0 Vậy x = 0; -4 0,25 x y x y Từ giả thiết: (1) 3 4 9 12 y z y z 2.b (2) 0,5 2,0 đ 3 5 12 20 x y z Từ (1) và (2) suy ra: (*) 0,5 9 12 20 DeThi.edu.vn
  28. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 Ta cú: 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2 0,5 x Do đú: 3 x 27 9 y 3 y 36 12 z 3 z 60 0,5 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 Theo đề ta cú 3xy – 2y = x2 + 5 y(3x – 2) = x2 + 5 (1) 0,25 Do x, y nguyờn nờn suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2 9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 0,25 a. chia hết cho 3x – 2 (1,0đ) 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2 0,25 49 chia hết cho 3x – 2 3x – 2 49; 7; 1;1; 7; 49 3x 47; 5;1; 3; 9; 51 x 1; 3;17 0,25 Cõu Thay x lần lượt vào (1) ta được y 6; 2; 6 2 Vậy cỏc cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6) (3,0đ) n 2 n 2 n n n 2 n n 2 n 3 2 3 2 = 3 3 2 2 0,5 =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5 = 0,5 b. n n n n 1 0,5 (2,0đ) 3 10 2 5 3 10 2 10 = 10( 3n -2n-1) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyờn dương. A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 0,5 = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0 1.a (1,0đ) ( vì có 50 số -1 và 50 số 1) 0,5 Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x) 0,5 Cõu 1.b + Với x= 1 thì giá trị của đa thức A = 3 (2,0đ) 2 (3đ) 1 1 1 1 1 1 2 22 23 298 299 2100 0,5 1 1 1 1 1 1 2.A 2 ( ) = 0,5 2 22 23 298 299 2100 1 1 1 1 1 1 0,5 2 22 23 298 299 DeThi.edu.vn
  29. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1 2 A =( ) +1 - 2 22 23 298 299 2100 2100 1 2A A 1 2100 1 A 1 2100 Vẽ hỡnh viết gt+ Kl A đỳng cho 0,5đ E (0,5đ) 1 B M 0,5 C H Cõu D 4 F (6đ) a C/m được AEH AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm) 1,0 (1,0) à à 1,5 Từ AEH AFH Suy ra E1 F Xét CMF có ãACB là góc ngoài suy ra Cã MF ãACB Fà b BME có Eà là góc ngoài suy ra Bã ME Eà Bà (1,5đ) 1 1 ã ã ã à à à vậy CMF BME (ACB F) (E1 B) hay 2Bã ME ãACB Bà (đpcm). áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 1,5 c FE 2 (1,5đ) ta có HF2 + HA2 = AF2 hay AH 2 AE 2 (đpcm) 4 à à 0,25 C/m AHE AHF(g c g) Suy ra AE = AF và E1 F Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) 0,5 C/m được BME CMD(g c g) BE CD (1) d và có Eà Cã DF (cặp góc đồng vị) 0,25 (1,5đ) 1 do do đó Cã DF Fà CDF cân CF = CD ( 2) 0, 5 Từ (1) và (2) suy ra BE = CF Cõu Cỏch 1: Ta cú thức P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x10 = a. 5 11 (1,0đ) x - 1 (2đ) x - 1 DeThi.edu.vn
  30. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2,1311- 1 Thay x = 2,13 ta được kết quả P(2,13) = 2,13 - 1 3622,355813. 10 Cỏch 2: Nhập vào mỏy:  2,13X ta được kết quả x=0 P(2,13) 3622,355813. HD: A = 22000(210 + 211 + 212 + 213 + 214 + 215+ 216) = (220)100 x 130048 0,5 mà 220 = (210)2 =10242 = 1048576 b. Ta nhận thấy bất kỳ một số cú đuụi là 76 thỡ lũy (1,0đ) thừa luụn luụn cú đuụi là 76 (dựng mỏy để kiểm tra) Do đú: A = 130048 x ( 76) = 48. Vậy 2 số 0,5 cuối của A cú giỏ trị là 48 Ghi chỳ: - Bài hỡnh học nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc hỡnh sai cơ bản thỡ khụng chấm. - Mọi cỏch giải khỏc, nếu đỳng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. Hết DeThi.edu.vn
  31. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 Bài 1. (4 điểm) 212.35 46.92 510.73 255.492 a) Thực hiện phộp tớnh A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng: Với moi số nguyờn dương n thỡ: 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2. (4 điểm) Tỡm x biết: 1 4 2 a) x 3,2 3 5 5 b) x 7 x 1 x 7 x 11 0 Bài 3. (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng cỏc bỡnh 5 4 6 phương của ba số đú bằng 24309.Tỡm số A. a c a2 c2 a b) Cho .Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4. (4 điểm) Cho tam giỏc ABC,M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME MA.Chứng minh rằng: a)AC EB và AC / /BE b) Gọi I là một điểm trờn AC,K là một điểm trờn EB sao cho AI EK . Chứng minh ba điểm I,M ,K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC .Biết Hã BE 500;Mã EB 250.Tớnh Hã EM và Bã ME Bài 5. (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại Acú àA 200 , vẽ tam giỏc đều DBC(D nằm trong tam giỏc ABC.Tia phõn giỏc của ãABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phõn giỏc của Bã AC b) AM BC. DeThi.edu.vn
  32. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 510.74 a)A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 2 5. 6 1 10 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 3.4 9 6 3 2 b) Với mọi số nguyờn dương n ta cú: 3n 2 2n 2 3n 2n 3n 2 3n 2n 2 2n 3n. 32 1 2n 1 23 2 10. 3n 2n 1 10 Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n 10với mọi n là số nguyờn dương. Bài 2. 1 4 2 1 4 14 1 a) x 3,2 x x 2 3 5 5 3 5 5 3 1 7 x 2 x 3 3 1 5 x 2 x 3 3 b) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 x 7 0 x 7 10 x 7 1 x 8 1 x 7 0 Bài 3. a) Gọi a,b,clà ba số được chia ra từ số A 2 3 1 Theo đề bài ta cú: a :b : c : : (1)và a2 b2 c2 24309 (2) 5 4 6 a b c 2 3 k Từ (1) k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 2 4 9 1 k 180 Do đú, 2 k . 24309 25 16 36 k 180 DeThi.edu.vn
  33. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Với k 180 a 72,b 135,c 30 A a b c 237 Với k 180 A 72 ( 135) ( 30) 237 a c a2 c2 a2 ab a b) Từ c2 ab c b b2 c2 b2 ab b Bài 4. A I C B M H K E a) Xột AMC và EMB cú: AM EM (gt); ãAMC Eã MB (đối đỉnh) ;BM MC(gt) Nờn AMC EMB(c.g.c) AC EB Vỡ AMC EMB Mã AC Mã EB , 2 gúc ở vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC,EB cắt đường thẳng AE) AC / /BE b) Xột AMI và EMK cú: AM EM (gt);Mã AI Mã EK(do AMC EMB); AI EK(gt) AMI EMK(c.g.c) ãAMI Eã MK DeThi.edu.vn
  34. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Mà ãAMI IãME 1800 (Kề bự) Eã MK IãME 1800 ba điểm I,M ,K thẳng hàng. c) Trong tam giỏc vuụng BHE(Hà 900 ) cú Hã BE 500 Hã EB 400 Hã EM Hã EB Mã EB 400 250 150 Bã ME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM nờn Bã ME Hã EM Mã HE 150 900 1050 (định lý gúc ngoài của tam giỏc) Bài 5. D M B C a) Chứng minh ADB ADC(c.c.c) Dã AB Dã AC , do đú 200 Dã AB 100 2 b) ABC cõn tại A, mà àA 200 (gt) ãABC 1800 200 : 2 800 ABC đều nờn Dã BC 600 ,tia BD nằm giữa hai tia BA,BC ãABD 800 600 200 Tia BM là phõn giỏc của ãABD ãABM 100 Xột ABM và BAD cú AB cạnh chung; Bã AM ãABD 200; ãABM Dã AB 100 Vậy ABM BAD g.c.g AM BD , mà BD BC(gt) AM BC. DeThi.edu.vn
  35. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 PHềNG GD&ĐT Đề thi khảo sát hsg lớp 7 Môn : Toán Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề) Ngày: ./ Bài 1: (1,5 điểm) a/ (0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n thỡ: 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10 1 1 1 1 1 b/ (1 điểm) Cho: A = 2 3 4 2007 2008 2007 2006 2005 2 1 B = 1 2 3 2006 2007 Tớnh: B A Bài 2: (1,5 điểm) a/ (0,75 điểm) Tỡm x và y, biết rằng: x 2005 x 2006 y 2007 x 2008 3 a 2 3 b/ (0,75 điểm) Tỡm a Z sao cho M = nhận giỏ trị nguyờn a 1 Bài 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25. Tớnh f (100) b/ (1 điểm) Cho hai đa thức f(x) = (x – 2)2008 + (2x – 3)2007 + 2006x và g(y) = y2009 – 2007y2008 + 2005y2007 Giả sử f(1) là s. Hóy tớnh giỏ trị của g(s) Bài 4: (2 điểm) Tỡm một số cú ba chữ số, biết rằng số đú chia hết cho 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ với 1: 2: 3. Bài 5: (3 điểm) DeThi.edu.vn
  36. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Cho tam giỏc ABC vuụng cõn với đỏy BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ NH  CM tại H. Kẻ HE  AB tại E. Chứng minh rằng: a/ Tam giỏc ABH cõn b/ HM là phõn giỏc của gúc BHE DeThi.edu.vn
  37. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP 7 Bài 1: (1,5 đ) a/ (0,5 đ) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = (3n+2 + 3n) – (2n+2 + 2n) = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1) = 3n . 10 – 2n. 5 (0,25 đ) 3n.10  10 ; 2n. 5  10 => 3n .10 – 2n. 5  10 Vậy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n  10 (0,25 đ) b/ (1 đ) Tỏch 2007 bằng tổng của 2007 số 1 và biến đổi như sau: 2007 2006 2005 2 1 2006 2005 1 1 1 2 3 2006 2007 2 3 B = 2 1 1 1 1 2006 2007 (0,25 đ) 2008 2008 2008 2008 2008 = 2 3 2006 2007 2008 (0,25 đ) 1 1 1 1 1 = 2008 2008.A 2 3 2006 2007 2008 (0,25 đ) B => 2008 A (0,25 đ) Bài 2: (1,5 đ) a/ (0,75 đ) Ta cú A A A với A tựy ý x 2005 x 2008 x 2005 2008 x x 2005 2008 x 3 (1) (0,25 đ) Từ đú và theo giả thiết đề bài ta cú: x 2006 y 2007 0 (2) (0,25 đ) Từ (1) và (2) => x 2005 x 2006 y 2007 x 2008 3 khi x 2006 0 và y 2007 0 (0,25đ) Vậy x = 2006 và y = 2007 b/ (0,75 đ) DeThi.edu.vn
  38. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a 2 3 a 2 a a 1 4 a(a 1) a 1 4 a 1 a 1 a 1 (0,25 đ) 4 4 a 1 Z Z a 1 a 1 (0,25 đ) a – 1 là ước của 4 a – 1 = {-4; -2; -1; 1; 2; 4} (0,25 đ) a = {-3; -1; 0; 2; 3; 5} Bài 3: 2 điểm a/ (1 đ) f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25 = x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 + + 100x2 + x2 – 100x – x +25 (0,25 đ) f(x) = x7(x - 100) – x6(x - 100) + x5(x – 100) - + x(x-100) – (x - 25) (0,25 đ) f(100) = 1007.(100 -100) – 1006(100 -100) + + 100.(100-100) – (100-25) (0,25 đ) f(100) = -75 (0,25 đ) b/ (1 đ) Tổng cỏc hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chớnh là giỏ trị của đa thức f(x) tại x = 1. Ta cú s = f(1) = (1 – 2)2008 + (2.1 – 3)2007 + 2006.1 (0,25 đ) = (-1)2008 + (-1)2007 + 2006 = 1 – 1 + 2006 = 2006 (0,25 đ) Thay s + 1 = 2007; s – 1 = 2005 ta được g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + (s -1).s2007 (0,25 đ) = s2009 – s2009 – s2008 + s2008 - s2007 = - s2007 = -20062007 (0,25 đ) Vậy s = 2006 và g(s) = -20062007 Bài 4: (2 điểm) Gọi cỏc số cần tỡm là a; b; c (a; b; c N* và 1 a;b;c 9) (0,25 đ) Vỡ số cần tỡm chia hết cho 18 => số đú chia hết 9 và 2 => (a + b + c)  9 và số cần tỡm là số chẵn (0,25 đ) Vỡ 1 a;b;c 9 => 3 a b c 27 (0,25 đ) DeThi.edu.vn
  39. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Từ 3 đến 27 cú cỏc số 9; 18; 27  9 Vậy a + b +c = {9; 18; 27} (1) (0,25 đ) a b c a b c a b c Theo bài ra ta cú: 1 2 3 1 2 3 6 (0,25 đ) Vỡ a; b; c N* => a + b + c  6 (2) Từ (1) và (2) => a + b +c = 18 (0,25 đ) a b c 18 3 1 2 3 6  a = 3; b = 6; c =9 (0,25 đ) Số cần tỡm chia hết cho 2 nờn chữ số hàng đơn vị là số chẵn. Vậy số cần tỡm là: 396 và 936 (0,25 đ) Bài 5: (3 điểm) B Vẽ hỡnh đỳng 0,5 đ M K H E A C N Q a/ Từ A kẻ AK  MC tại K và AQ  HN tại Q Xột vuụng MAK và vuụng NCH cú: 1 MA = NC (= AB),  MAK =  NCH (cựng phụ với gúc AMC) (0,5 đ) 2 => MAK = NCH (cạnh huyền –gúc nhọn) => AK = HC (1) DeThi.edu.vn
  40. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Xột BAK và ACH cú: AB = AC (gt);  BAK =  ACH; AK = HC (cm trờn) (0,25 đ) => BAK = ACH (c-g-c) =>  BKA =  AHC Xột vuụng AQN và vuụng CHN cú: AN = NC;  ANQ =  CNH (đối đỉnh) (0,25 đ) => AQN = CHN (cạnh huyền – gúc nhọn) => AQ = CH (2) Từ (1) và (2) => AK = AQ (0,25 đ) => HA là tia phõn giỏc của gúc KHQ =>  AHQ = 450 =>  AHC =1350 =>  BKA = 1350 (0,25 đ) Từ  BKA +  BKH +  AKH = 3600 =>  BKH = 1350 AKH cú  KHA = 450 nờn nú vuụng cõn tại K => KA =KH (0,25 đ) Xột BKA và BKH cú: BK: chung ;  BKA =  BKH = 1350; KA =KH (0,25 đ) => BKA = BKH (c-g-c) => BA =BH hay tam giỏc ABH cõn tại B b/ Ta cú BKA = BKH =>  BAK =  BHK hay  BAK =  BHM Mà HE // CA (cựng vuụng gúc AB) =>  MHE =  HCA (đồng vị) Vỡ  BAK =  HCA nờn  BHM =  MHE (0,5 đ) hay HM là tia phõn giỏc của gúc BHE DeThi.edu.vn
  41. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 PHềNG GD&ĐT Đề thi khảo sát hsg lớp 7 Môn : Toán Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề) Ngày: ./ Bài 1: Tính 2 3 3 3 2 1 3 1 a) A = 5 2 : 5 4 4 2 0 2010 2009 4 1 7 1 82 b) B =  2 2 : 4 11 25 22 2 4 Bài 2: Tìm x biết 1 1 a) 1 : x 4 5 5 b) 2x 1 x 4 Bài 3: a) Tìm a, b, c. Biết: 3a = 2b; 4b = 5c và - a - b + c = - 52 . 2 2x 5x 3 3 b) Tính giá trị của biểu thức: C = tại x 2x 1 2 Bài 4: Bốn con Ngựa ăn hết một xe cỏ trong một ngày, một con Dê ăn hết một xe cỏ trong sáu ngày, hai con Cừu trong 24 ngày ăn hết hai xe cỏ. Hỏi chỉ ba con (Ngựa, Dê và Cừu) ăn hết hai xe cỏ trong mấy ngày? Bài 5: Cho tam giác ABC (AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A tại M cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh : a) EH = HF b) 2Bã ME ãACB Bà . FE 2 c) AH 2 AE 2 . 4 d) BE = CF . DeThi.edu.vn
  42. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án (Hướng dẫn chấm này gồm hai trang) Câu ý Nội dung Điểm 3 3 3 2 9 3 1 2 9 4 1 1 A 3 : 3  9 27 0, 5 a 4 4 2 4 3 2 2 (0,75) 35 1 0,25 (1,5đ) 2 2010 2009 b 4 7 1 28 = 2  6 1 1 0 0,75 (0,75) 11 11 2 2 1 6 1 26 1 a : x 4 : x x (0,5) 5 5 5 5 26 0,5 2x 1 4 x (1) 0,25 2 * Với 2x – 1 0 từ (1) ta có 2x – 1 = x + 4 (1,5đ) 0,25 b x = 5 thoả mãn điều kiện 2x – 1 0 (1,0) * Với 2x – 1 < 0 thì từ (1) ta có 1 – 2x = x + 4 0,25 x = - 1 thoả mãn điều kiện 2x – 1 < 0 Đáp số : x1 = 5 ; x2 = -1 0,25 a b a b Giải : Từ 3a = 2b . 2 3 10 15 0,25 b c b c a Từ 4b = 5c 5 4 15 12 (0,75) a b c c a b 52 4 0,25 10 15 12 12 10 15 13 a = 40 ; b = 60 ; c = 48 0,25 2x2 5x 3 3 Biểu thức C = tại x 2x 1 2 3 3 3 Vì x x ; x 0,25 2 1 2 3 2 2 Thay x1= -3/2 vào biểu thức C ta được (1,5đ) 2 3 3 2 5 3 2 2 15 0,25 C =  b 3 4 (0,75) 2 1 2 Thay x2 = 3/2 vào biểu thức C ta được 2 3 3 2 5 3 2 2 0,25 C =  0 3 2 1 2 Vậy khi x1 = -3/2 thì C = -15/4 DeThi.edu.vn
  43. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn khi x2 = 3/2 thì C = 0 Vì bốn con ngựa cùng ăn hết xe cỏ trong 1 ngày, do đó một con ngựa ăn hết một xe cỏ trong 4 4 ngày. (2đ) 0,5 Một con dê ăn hết một xe cỏ trong 6 ngày. Hai con cừu ăn hết hai xe cỏ trong 24 ngày nên một con cừu ăn hết một xe cỏ trong 12 ngày. Trong một ngày : một con ngựa ăn hết 1 (xe cỏ) 4 1 một con dê ăn hết (xe cỏ) 0,5 6 Một con cừu ăn hết 1 (xe cỏ) 12 1 1 1 1 Cả ba con ăn hết : (xe 4 6 12 2 0,5 cỏ) . Cả ba con ăn hết 1 xe cỏ trong 2 ngày nên ăn hết 0,5 2 xe cỏ trong 4 ngày Vẽ hình đúng A (0,5) E 0,5 1 B M C H D F 5 a C/m được AEH AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (3,5đ) 0,75 (0,75) (đpcm) à à Từ AEH AFH Suy ra E1 F Xét CMF có ãACB là góc ngoài suy ra b Cã MF ãACB Fà à ã à à 0,75 (0,75) BME có E1 là góc ngoài suy ra BME E1 B ã ã ã à à à vậy CMF BME (ACB F) (E1 B) hay 2Bã ME ãACB Bà (đpcm). áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : c FE 2 0,5 (0,5) ta có HF2 + HA2 = AF2 hay AH 2 AE 2 (đpcm) 4 DeThi.edu.vn
  44. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn C/m AHE AHF(g c g) Suy ra AE = AF và 0,25 Eà Fà 1 0,25 Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) d C/m được BME CMD(g c g) BE CD (1) 0,25 (1,0) à ã và có E1 CDF (cặp góc đồng vị) do do đó Cã DF Fà CDF cân CF = CD 0,25 ( 2) Từ (1) và (2) suy ra BE = CF DeThi.edu.vn
  45. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 PHềNG GD&ĐT TÂN ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HSG KỲ Mụn thi: Toỏn 7 Đề chớnh thức Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Bài 1: (6 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 a, Tớnh : A 3 18 54 108 180 270 378 b, Tỡm cỏc số nguyờn tố x, y sao cho : 51x+26y=2000 c, Tỡm số tự nhiờn n, biết: (214:1024).2n=128 Bài 2 ( 4,0 điểm ) Diện tớch mảnh vườn hỡnh chữ nhật là 108 m. Tớnh chiều dài, chiều rộng mảnh vườn đú biết chỳng lần lượt tỉ lệ với 4 và 3 Bài 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng: (a 2011b)2 a = (Biết rằng cỏc tỉ số đều cú nghĩa) c (b 2011c)2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho gúc vuụng xAy. C là một điểm thuộc tia phõn giỏc Az của gúc xAy. D là hỡnh chiếu của C trờn Ax, B là hỡnh chiếu của C trờn Ay. Trờn cỏc đoạn thẳng AD, AB lần lượt lấy cỏc điểm P, Q sao cho chu vi tam giỏc APQ bằng AD+AB. Trờn tia Dx lấy điểm E sao cho DE=QB. Chứng minh rằng: a, CDE= CBQ b, PC là tia phõn giỏc của gúc DPQ. c, Gúc PCQ cú số đo bằng 450. Bài 5: (2,0 điểm) Cho đa thức f(x)= ax2+bx+c với a, b, c là cỏc số thực thỏa món 13a+b+2c=0. Chứng tỏ rằng: f(-2).f(3) 0 Hết./. DeThi.edu.vn
  46. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Cõu Nội dung cấn đạt Điềm 1 1 1 1 1 1 1 Bài a, A 1 3 18 54 108 180 270 378 1 1 1 1 1 1 1 0,5đ A ( ) 3 18 54 108 180 270 378 2,0đ 1 1 1 1 1 1 1 0,5đ A ( ) 3 3.6 6.9 9.12 12.15 15.18 18.21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5đ A ( ) 3 3 3 6 6 9 9 18 21 1 1 1 1 1 1 6 1 2 5 0,5đ A ( ) . 3 3 3 21 3 3 21 3 21 21 b, Ta cú: 51x+26y=2000; 26x 2; 2000 2 suy ra 51x 2 0,5đ mà 51 và 2 là hai số nguyờn tố cựng nhau nờn x 2. 0,5đ 6,0đ 2,0đ Mặt khỏc x là số nguyờn tố nờn x=2 0,5đ Do đú, ta cú: 51.2+26y=2000=>y=73 là số nguyờn tố Vậy x=2; y=73 0,5đ c, (214:1024).2n=128 (214:210).2n=128 0,5đ 0,5đ 24.2n=27 2,0đ 24+n=27 0,5đ 4+n=7 0,25đ n=3 0,25đ Bài 2 Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ta cú: 1,0đ a b k =>a=4k; b=3k 4,0 điểm 4 3 1,0đ Diờn tớch mảnh vườn là: a.b=4k.3k=12k2=108 1,0đ => k2=9=>k=3 1,0đ =>a=12;b=9 b a a b 2011b a b a 2011b Bài 3 b2 = ac=> 0,75đ c b b c 2011c b c b 2011c 2 a b a 2011b a 2011b a a 2011b . . 2,0điểm b c b 2011c b 2011c c b 2011c 1,0đ (a 2011b)2 Do đú: a = c (b 2011c)2 0,25đ DeThi.edu.vn
  47. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 4 6,0 đ 0,25đ a, a, Xột CDE và CBQ, cú: DC=CB(T/c điểm thuộc tia phõn giỏc) Dà Bà 900 1,75 DE=QB(gt) Do đú CDE= CBQ(c.g.c) 1,75đ b, b, Ta cú : AP+PQ+AQ=AD+AB(GT)(1) EP+AP+AQ=DP+AP+AQ+QB=AD+AB(2) Từ (1)(2)=>EP=PQ 0,5đ Xột CEP và CQP, cú: CP chung 2,0 CE=CQ(Cạnh tương ứng của hai tg bằng nhau CDE= CBQ) EP=PQ(c/m trờn) 1,0đ Vậy, CEP= CQP(c.c.c) 0,5đ => Eã PC Cã PQ =>PC là tia phõn giỏc của gúc DPQ c, c, Kẻ CI  PQ Chứng minh được cỏc cặp tam giỏc bằng nhau: CDP= CIP(Cạnh huyền-gúc nhọn); CBQ= 1,0đ 2,0 CIQ(Cạnh huyền-Cạnh gúc vuụng) Từ đú chứng minh được CP,CQ lần lượt là tia phõn giỏc của cỏc gúc DCI, ICB 0,5đ 1 1 Chứng minh được Pã CQ Dã CB .900 450 2 2 0,5đ Bài 5 Ta cú: f(-2)=a.(-2)2+b(-2)+c=4a-2b+c;f(3)=a.32+b.3+c 0,75đ 2,0điểm =9a+3b+c 0,75đ =>f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0=>f(-2)=-f(3) 0,5đ =>f(-2).f(3)=-[f(3)]2 0 DeThi.edu.vn
  48. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Lưu ý: +, Bài 4: Nếu học sinh khụng vẽ hỡnh thi khụng chấm điểm +, Học sinh giải theo cỏch khỏc đỳng, phự hợp với chương trỡnh thỡ vẫn cho điểm tối đa DeThi.edu.vn
  49. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS Trường THCS Nguyễn Khuyến MễN TOÁN 7 x3 x2 3y 1 Bài 1. (1,5 điểm) Cho A biết x ; y là số nguyờn õm lớn nhất x2 y 2 x 16 y 25 z 9 9 x 11 x Bài 2. (2 điểm). Cho và 2.Tỡm x y z 9 16 25 7 9 Bài 3. (1,5 điểm). Tỡm x, y  biết 2xy 3x 4 Bài 4. (2 điểm) Cho đa thức P 3x3 4x2 8x 1 a) Chứng minh rằng x 1là nghiệm của đa thức b) Tớnh giỏ trị của P biết x2 x 3 0 Bài 5. (3 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A AB AC , trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AB.Tia phõn giỏc của Bã AC cắt đường trung trực của CE tại F. a) Chứng minh tam giỏc BFCcõn b) Biết gúc ãACB 300.Chứng minh tam giỏc BFE đều DeThi.edu.vn
  50. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 1 Tỡm được : x ; y 1 2 1 17 Với x , y 1 A 2 50 1 27 Với x , y 1 A 2 50 Bài 2. 9 x 11 x 1 1 Từ 2 2 x 0 x 2 7 9 7 9 x 16 y 25 z 9 2 16 Thay x 2 2 9 16 50 9 x y z 100 Bài 3. Biến đổi: x 2y 3 4 Chỉ ra được x, y  x Ư(4) và 2y 3lẻ x 4 2 1 1 2 4 2y 3 1 2 4 4 2 1 y 2 Loại Loại Loại Loại -1 Vậy x; y 4; 2 ; 4; 1  Bài 4. a) Tớnh được P 1 0 dfcm b) Rỳt được x2 x 3 P 3x3 3x2 x2 x 9x 1 3x x2 x x2 x 9x 1 9x 3 9x 1 4 DeThi.edu.vn
  51. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 5. K F B C A E H a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 đường trung trực của BEC F trung trực BC BFC cõn b) Tớnh được: Eã BC 150 Hạ FK  AB FKB FHC(ch gn) BFC vuụng cõn Fã BC 450 BFE đều DeThi.edu.vn
  52. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 PHềNG GD & ĐT DUY XUYấN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC MễN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phỳt Cõu 1: (2đ) Thực hiện phộp tớnh sau một cỏch hợp lớ: 1 1 1 3 3 3 3 5 3 7 13 . 4 16 64 256 1/ A = 2 2 2 1 1 1 1 8 3 7 13 4 16 64 2.522 9.521 5.(3.715 19.714 ) : 2/ B = 2510 716 3.715 Cõu 2: (3đ) a/ Tớnh giỏ trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16 1 b/ Tỡm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + y - 10 đạt giỏ trị nhỏ nhất. 5 c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xỏc định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị Cõu 3: (1,5đ) Cho 4 số nguyờn dương a, b, c, d trong đú b là trung bỡnh cộng của a và c 1 1 1 1 a c đồng thời . Chứng minh c 2 b d b d Cõu 4: (2,5đ) Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuụng gúc với đường phõn giỏc trong của gúc A, nú cắt cỏc đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E. a/ Chứng minh AMN và BME là những tam giỏc cõn. b/ Chứng minh BM = CN c/ Tớnh AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c. Cõu 5: (1,0đ) Cho một điểm M bất kỡ trong hỡnh chữ nhật ABCD. Chứng minh: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* DeThi.edu.vn
  53. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1a/ 1 1 1 3 1 1 1 1 1,5đ 4 4 16 64 5 A = 3 7 13 . 1 1 1 1 1 1 8 0,5đ 2 1 3 7 13 4 16 64 1 3 5 . 1 2 4 8 0,5đ 1b/ 521 2.5 9 5.714 3.7 19 B = 10 : 15 1,5đ 52 7 7 3 0,5đ 1 = 5: 35 0,5đ 7 2a/ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 0,25đ 1,0đ = 4xy – 2(x + y) + 1 0,25đ M = 45 0,5đ 2b/ 1 0,25đ Lớ luận (x + 2)2010 ≥ 0; y 0 1,0đ 5 N ≥ -10. GTNN của N là -10 0,25đ Tỡm được x = -2; y = 1/5 0,5đ 2c/ Ta cú f(-2) = 0 4a – 2b + c = 0 1,0đ f(2) = 0 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 0,25đ 4b = 0 b = 0 0,25đ Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 a = 3/5 ; c = -12/5 0,5đ 3/ Vỡ b là trung bỡnh cộng của a và c b = (a + c)/2 2b = a + 0,25đ 1,5đ c 1 1 1 1 1 1 b d 0,5đ Từ . 2bd c(b d) c 2 b d c 2 bd 0,25đ Thay 2b = a + c, ta cú (a + c)d = c(b + d) a c 0,5đ ad = bc b d 4/ AMN cõn (đ/c vừa là p/g) 0,25đ A 2,5đ BE // AC Bã EM ãANM Bã ME ãANM ( AMN cõn tại A) 0,5đ Bã EM Bã ME BME cõn tại B N B C D E M 4b/ BED = CND (g.c.g) BE = NC 0,5đ 0,75đ BM = NC (= BE) 0,25đ DeThi.edu.vn
  54. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 4c/ Ta cú AB + BM = AM = AN = AC – NC 1,0đ AB + BM = AC – BM 2BM = AC – AB BM = (b – 0,5đ c):2 0,5đ AM = AB + BM AM = (b + c):2 5/ Qua M kẻ HK // BC (H AB; K CD) A H B 1,0đ MA2 = MH2 + HA2 MC2 = MK2 + KC2 MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 M 0,25đ MB2 = MH2 + HB2 2 2 2 MD = MK + DK D C MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 K 0,25đ Ta cú AH = DK; HB = KC 0,25đ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,25đ DeThi.edu.vn
  55. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 PHềNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TIỀN HẢI MễN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phỳt) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tớnh A. b) Tỡm chữ số tận cựng của A. c) A cú là số chớnh phương khụng? Vỡ sao? Bài 2 (4,0 điểm) a) Tỡm x, biết: x 1 2 3 1 b) Tỡm 3 phõn số cú tổng của chỳng bằng 1 , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3; 70 4; 5 và cỏc mẫu tương ứng của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2. Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tỡm a. b) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x). Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D. a) Chứng minh: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN. d) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN. Bài 5 (2,0 điểm) Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b sao cho: 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Phũng DeThi.edu.vn
  56. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TẠO ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TIỀN HẢI mÔN: TOÁN 7 (Đỏp ỏn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tớnh A. b) Tỡm chữ số tận cựng của A. c) A cú là số chớnh phương khụng? Vỡ sao? Cõu Nội dung Điểm Ta cú: A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016 0,5 3A = 32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 a/ Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + 0,5 (1,5 đ) + 32015 + 32016) 32017 3 A = . 0,5 2 Ta cú: A = (3 + 32 + 33 + 34) + +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) 0,75 b/ = 3(1 + 3 + 32 + 33) + + 32013(1 + 3 + 32 + 33) (1,5 đ) = 3.40 + + 32013.40 = 40.(3 + 35 + + 32013) 0,5 Suy ra A cú chữ số tận cựng là 0 0,25 Lập luận được A chia hết cho 3 0,25 c/ Lập luận được A khụng chia hết cho 32 0,25 (1,0 đ) Mà 3 là số nguyờn tố nờn suy ra A khụng là số chớnh phương 0,5 Bài 2 (4,0 điểm) a) Tỡm x, biết: x 1 2 3 1 b) Tỡm 3 phõn số cú tổng của chỳng bằng 1 , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3; 70 4; 5 và cỏc mẫu tương ứng của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2. Cõu Nội dung Điểm Lập luận được x 1 2 > 0. 0,5 a/ x 1 2 3 (2,0 đ) Nờn x 1 2 = 3 x 1 1 0,75 x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 x = 2 hoặc x = 0. 0,5 Vậy x = 2 ; x = 0 0,25 a b c Gọi 3 phõn số cần tỡm lần lượt là ; ; thỡ ta cú b/ x y z 0,5 (2,0 đ) a b c 1 a b c x y z 1 và ; x y z 70 3 4 5 5 1 2 DeThi.edu.vn
  57. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a b c a x b y c z y : : : x z 0,75 3 5 4 1 5 2 3 4 5 5 1 2 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: a b c a b c 1 1 y x y z 1 x z = 70 = 3 4 5 3 4 5 71 7 0,5 5 1 2 5 1 2 10 a 3 b 4 c 5 ; ; x 35 y 7 z 14 3 4 5 Vậy 3 phõn số cần tỡm là ; ; . 0,25 35 7 14 Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tỡm a. b) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x). Cõu Nội dung Điểm Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nờn cú: 0,5 a/ a2- a = a(a+1) +4. (1,5đ) a2 - a = a2 +a + 4 a = -2. 0,75 Vậy a = -2 thỡ đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). 0,25 Với a = -2 ta cú hàm số y = f(x) = -2x + 4 0,5 f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2. b/ 1 Do đú: f(3x- 1) = f(1- 3x) -6x + 6 = 6x + 2 x = . 0,75 (1,5đ) 3 1 Vậy khi x = thỡ f(3x- 1) = f(1- 3x). 0,25 3 Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D. a) Chứng minh: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN. d) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN. Cõu Nội dung Điểm DeThi.edu.vn
  58. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn N M A E F D B C a/ C/minh được Mã AC Bã AN (Cựng bằng 900 +Bã AC ). 0,75 (2,0đ) MA = AB ( MAB vuụng cõn tại A) 0,75 AC = AN ( tam giỏc NAC vuụng cõn tại A) AMC = ABN(c-g-c) 0,5 Gọi giao điểm của BN với AC là F. 0,5 Chỉ ra được à FN Dã FC( vỡ AMC = ABN) b/ ã ã 0,5 (2,0đ) ANF = FCD ( vỡ AMC = ABN ) Từ đú suy ra FãDC = FãAN = 900 1,0 Do đú: BN  CM. Áp dụng định lý Pi-ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng MDN, c/ BDC, MDB, NDC để C/m được hệ thức MN2 = MB2 + 1,0 (1,5đ) NC2 – BC2. Tớnh được MN = 21 cm 0,5 Trờn tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD 0,5 CM AMD = ABE (c-g-c) Suy ra AD = AE ADE cõn tại A (1) d/ AMD = ABE Mã AD Bã AE Dã AE Mã AB 900 0,75 (1,5đ) ADE vuụng tại A (2) 1 Từ (1) và (2) à DE 450 à DE Mã DN 2 0,25 DA là phõn giỏc của Mã DN Bài 5 ( 2,0 điểm) Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b sao cho: 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 Cõu Nội dung Điểm Vỡ 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015 0.25 ị 2016a + 13b – 1 và 2016a + 2016a + b là 2 số lẻ (*) * Nếu a 0 ị 2016a + 2016a là số chẵn 0.5 DeThi.edu.vn
  59. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vỡ 2016a + 2016a + b lẻ ị b lẻ Với b lẻ ị 13b – 1 chẵn do đú 2016a + 13b – 1 chẵn (khụng t/m (*)) * Nếu a = 0 ị (13b – 1)(b + 1) = 2015 = 1.5.13.31 Vỡ b N ị (13b – 1)(b + 1) = 5.403 = 13.155 = 31.65 0,25 và 13b – 1 > b + 1 +) Nếu b + 1 = 5 ị b = 4 ị 13b – 1 = 51 (loại) +) Nếu b + 1 = 13 ị b = 12 ị 13b – 1 = 155 (t/m) 0.75 +) Nếu b + 1 = 31 ị b = 30 ị 13b – 1 = 389 (loại) Vậy (a; b) = (0; 12) 0.25 *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. DeThi.edu.vn
  60. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 Toỏn 7 Kỳ thi chọn thi HSG Thời gian : 12o phỳt . Thời gian làm bài: 120 phút Bài1( 3 điểm) 1 1 176 12 10 10 (26 ) ( 1,75) a, Tính: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 91 0,25). 1 11 b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bài 2: (2đ).Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 2. Bài 3 : ( 3đ ) Tìm x, biết: a. 3x 2 - x > 1. b. 3x 2 +5x = 4x-10 Bài 4 (4 điểm). Cho A x 5 2 x. a.Viết biểu thức A dưới dạng không có dấu giá trị tuyệt đối. b.Tìm giá trị nhỏ nhất của A. c, Với giá trị nào của x thì biểu thức : P = -x2 – 8x +5 . Có giá trị lớn nhất . Tìm giá trị lớn nhất đó ? Bài 5: (2 đ). Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234 trang Bài 6: ( 3 điểm) Cho ABC vuông tại B, đường cao BE Tìm số đo các góc nhọn của tam giác , biết EC – EA = AB. Câu 7: (3 điểm ) . Cho tam giác cân ABC, có ãABC =1000. Kẻ phân giác trong của góc CAB cắt AB tại D. Chứng minh rằng: AD + DC =AB hết DeThi.edu.vn
  61. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Lời giải Bài 1: 3 điểm 31 183 176 12 10 175 31 12 475 ( ) ( .1 . a, Tính: A = 3 7 7 11 3 100 3 11 300 5 1 60 71 60 ( ). . 1 91 4 11 1 364 11 31 19 341 57 284 1001 284284 = 3 11 33 . 1056 1001 55 33 55 1815 1001 1001 1001 b, 1,5 điểm Ta có: +) 1 + 4 +7 + + 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) + .+ ( 49+ 52) = 101 . 34 = 1434 34 cặp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 . 5869 = 105642 Vậy A = 105642 : 1024 103,17 Bài 2: 2 Điểm Giọi số cần tìm là x, y, z. Số nhỏ là x , số lớn nhất là z. Ta có: x y z (1) 1 1 1 1 1 1 3 Theo giả thiết: 2 (2). Do (1) nên z = x y z x y z x 1 1 2 Vậy: x = 1. Thay vào (2) , được: 1 y z y Vậy y = 2. Từ đó z = 2. Ba số cần tìm là 1; 2; 2. Bài 3 : a/. 4x 3 - x = 15. b/. 3x 2 - x > 1. 4x 3 = x + 15 3x 2 > x + 1 3 2 * Trường hợp 1: x - , ta có: * Trường hợp 1: x , ta 4 3 có: 4x + 3 = x + 15 3x - 2 > x + 1 3 x = 4 ( TMĐK). x > ( TMĐK). 2 * Trường hợp 2: x < - 3 , ta có: * Trường hợp 2: x < 2 , ta 4 3 có: 4x + 3 = - ( x + 15) 3x – 2 < - ( x + 1) DeThi.edu.vn
  62. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 18 1 x = - ( TMĐK). x 3 hoặc x 7. Vậy : Amin = 7 khi x 5 . c, Ta có P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; Do –( x+ 4)2 0 với mọi x nên –( x +4)2 +21 21 với mọi x . Dấu (=) xảy ra khi x = -4 , Khi đó P có giá trị lớn nhất là 21. Bài 6 : 3 Điểm Trên tia EC lấy điểm D sao cho ED = EA. Hai tam giác vuông ABE = DBE ( EA = ED, BE chung) Suy ra BD = BA ; Bã AD Bã DA . Theo giả thiết: EC – EA = A B Vậy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Từ (1) và (2) Suy ra: DC = BD. Vẽ tia ID là phân giác của góc CBD ( I BC ). Hai tam giác: CID và BID có : ID là cạnh chung, CD = BD ( Chứng minh trên). Cã ID = IãDB ( vì DI là phân giác của góc CDB ) Vậy CID = BID ( c . g . c) Cà = ãIBD . Gọi Cà là Bã DA = Cà + IãBD = 2 Cà = 2 ( góc ngoài của BCD) mà À = Dà ( Chứng minh trên) nên À = 2 2 = 900 = 300 . Do đó ; Cà = 300 và À = 600 Câu 7-(3 điểm) ABC cân, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trên AB lấy AE =AD. Cần chứng minh AE+DC=AB (hoặc EB=DC) DeThi.edu.vn
  63. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn AED cân, DAE = 400: 2 =200. => ADE =AED = 800 =400+EDB (góc ngoài của EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trên AB lấy C’ sao cho AC’ = AC. C CAD = C’AD ( c.g.c) D  AC’D = 1000 và DC’E = 800. Vậy DC’E cân => DC’ =ED (2) Từ (1) và (2) có EB=DC’. A C E B Mà DC’ =DC. Vậy AD +DC =AB. DeThi.edu.vn
  64. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP ĐÀO TẠO HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Mụn : Toỏn Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) Cõu 1 (4,0 điểm): 3 3 3 1 1 1 a) Tớnh A = 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 4 11 13 4 6 8 b) Chứng minh rằng với n nguyờn dương thỡ 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10. Cõu 2 (4,0 điểm): a) Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x,y) thỏa món: x + 2y = 3xy + 3 1 1 1 1 1 2 3 2015 2016 b) Cho A= ; B = . 2 3 4 2017 2016 2015 2014 2 1 Tớnh A B Cõu 3 (3,0 điểm): a) Cho x 2 y 1 (x y z 2)2016 0 . Tớnh giỏ trị của : A = 5 x2y2016z2017 a c b) Cho cỏc số dương a,b,c,d; c d và . CMR b d 2017 2016 a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 2017 2016 c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 Cõu 4 (3,0 điểm): 1 1 1 1 1 a) Cho a + b + c + d = 2000 và a b c b c d c d a d a b 40 a b c d Tớnh giỏ trị của : S = b c d c d a d a b a b c 2016 2017 b) Xỏc định tổng cỏc hệ số của đa thức f(x) = 5 6x x2 . 5 6x x2 Cõu 5 (6,0 điểm): Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. c) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. DeThi.edu.vn
  65. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN KIM THÀNH KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mụn : Toỏn lớp 7 Cõu í Nội dung Điể m 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3. 4 11 13 0,75 A = 4 11 13 2 3 4 = 5 5 5 5 5 5 1 1 1 5. 4 11 13 4 6 8 4 11 13 1 1 1 0,75 1 a 2 3 4 (4,0 (2,0 5 1 1 1 . ) ) 2 2 3 4 0,5 3 1 3 2 A = = . 5 5 5 5 2 5 A= 1. Vậy A = 1 5 Ta cú 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n b = ( 3n+2 + 3n ) – (2n+2 +2n ) 0,5 (2,0 = 3n .( 32 + 1 ) – 2n-1 . ( 23 + 2 ) 0,5 ) = 3n .10 - 2n-1.10 0,5 = ( 3n - 2n-1 ).10 10. Vậy 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n  10 0,5 Ta cú x + 2y = 3xy + 3 3x + 6y = 9xy + 9 ( 3x – 9xy ) + ( 6y -2 ) = 7 0,25 3x.( 1 - 3y ) -2.( 1-3y ) = 7 ( 3x – 2 ). ( 1 – 3y ) = 0,25 7 Vỡ x, y Z nờn 3x – 2 ; 1-3y là cỏc số nguyờn. 0,5 Mà ( 3x - 2 ).( 1 – 3y ) = 7 3x – 2 ; 1-3y là ước của 0,25 a 7. (2,0 Ta lại cú Ư(7) = 1; 7 3x – 2 ; 1-3y 1; 7 2 ) Bảng giỏ trị (4,0 3x-2 -7 -1 1 7 ) 1-3y -1 -7 7 1 x -5/3 1/3 1 3 0,5 y 2/3 8/3 -2 0 0,25 KTM KTM TM TM Vậy (x,y) 1; 2 ; 3;0  DeThi.edu.vn
  66. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 2 3 2015 2016 B = B= 2016 2015 2014 2 1 1 2 3 2015 1 1 1 1 1 2016 2015 2014 2 0,75 b 2017 2017 2017 2017 2017 (2,0 B = 2016 2015 2014 2 2017 ) 1 1 1 1 B = 2017. 2 3 4 2017 0,75 Do đú A = 1 B 2017 0,5 Vỡ x 2 0 với x; y 1 0 với x ;( x+y-z-2)2016 0 với 0,25  x,y,z Do đú x 2 y 1 (x y z 2)2016 0 khi a x 2 0 x 2 0 x 2 (1,5 0,5 ) y 1 0 y 1 0 y 1 2016 x y z 2 0 z 1 x y z 2 0 0,5 3 Do đú A = 5. 22 .12016 .12017 = 5.4.1.1 = 20 0,25 (3,0 Vậy A = 20 ) a c Vỡ a,b,c,d là cỏc số dương và c d, mà nờn b d 0,25 a b c d 2017 2017 a 2016 b 2016 a 2016 b 2016 a 2016 a 2016 b 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 c d c d c c d 0,25 2017 a 2016.2017 a 2016 b 2016 hay 2016.2017 2017 (1) b c c 2016 d 2016 2016 2016 (1,5 a 2017 b 2017 a 2017 b 2017 a 2017 a 2017 b 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 ) c d c d c c d 0,25 2016 a 2017.2016 a 2017 b 2017 hay (2) c 2017.2016 2017 2017 2016 c d 0,5 2017 2016 a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 Từ (1) và (2) 2017 2016 c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 0,25 2017 2016 a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 Vậy 2017 2016 c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 a b c d Ta cú S = 4 a b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d a b c d a b c d (3,0 (1,5 S + 4 = 0,25 ) ) b c d c d a d a b a b c 0,25 DeThi.edu.vn
  67. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn S + 4 = (a + b + c+ d ). 1 1 1 1 b c d c d a d a b a b c 0,5 1 0,5 Do đú S = - 4 + 2000. 40 = -4 + 50 = 46 . Vậy S = 46 Vỡ tổng cỏc hệ số của đa thức f(x) bằng f(1). Mà đa thức 0,5 2016 2017 b f(x) = 5 6x x2 . 5 6x x2 0,5 (1,5 cú f(1) = ( 5-6.1+12 )2016. ( 5+6.1+12 )2016 0,25 ) = 0.(5+6.1+12 )2016 = 0 0,25 Vậy đa thức đó cho cú tổng cỏc hệ số bằng 0 E A D a 0,5 (2,0 K ) I C B Ta cú: AD = AB; Dã AC = Bã DE và AC = AE 0,75 Suy ra ADC = ABE (c.g.c). Vậy ADC = ABE 0,75 Từ ADC = ABE (cõu a) => ãABE = ãADC 0,25 mà Bã KC = ãAKD (đối đỉnh). 5 ã ã 0 (6,0 Khi đú xột BIK và DAK suy ra BIK = DAK = 60 (đ 0,5 ) pcm) E A b D (2,0 J N ) K M I C B 0,25 Từ ADC = ABE (cõu a) CM = EN và ãACM = ãAEN ã ã ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM = EAN 0,5 Mã AN =Cã AE = 600 Do đú AMN đều. 0,5 Vậy AMN đều. DeThi.edu.vn
  68. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Trờn tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều 0,5 BJ = BI và Jã BI Dã BA 0 0,5 c = = 60 suy ra IãBA Jã BD , kết hợp BA = BD (2,0 = 0,5 ) IBA = JBD (c.g.c) => ãAIB = Dã JB = 1200 mà Bã ID = 600 => Dã IA = 600 0,5 Từ đú suy ra IA là phõn giỏc của gúc : Dã IE Chỳ ý: Nếu học sinh làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. DeThi.edu.vn
  69. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO HUYỆN HUYỆN ĐễNG HƯNG Mụn : Toỏn Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) Cõu 1: ( 4 điểm). Tớnh: 5.415.99 4.320.89 a) A = ; 5.210.619 7.229.276 1 2 2 0 1 1 3 b) B = 0,1 . . 22 : 25 7 49 Cõu 2: ( 4 điểm) a) Tỡm cỏc số a, b, c biết: 2a = 3b, 5b = 7c và 3a - 7b + 5c = -30 a c 5a 3b 5c 3d b) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng : b d 5a 3b 5c 3d Cõu 3: ( 4 điểm) Tỡm số x thỏa món: a) x 2012 x 2013 2014 x 3 2 2 b) 3 2 24 4 (2 1) Cõu 4: (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC // BE b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết Hã BE = 50o ; Mã EB =25o . Tớnh Hã EM và Bã ME Cõu 5: (2,0 điểm) Tỡm x, y nguyờn biết: xy + 3x - y = 6 Hết DeThi.edu.vn
  70. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN ĐễNG HƯNG KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mụn : Toỏn lớp 7 Cõu Đỏp ỏn Điểm 5.415.99 4.320.89 5.22.15.32.9 22.320.23.9 1 a) A = 5.210.619 7.229.276 5.210.219.319 7.229.33.6 1 229.318 5.2 32 (4đ) 229.318 5.3 7 0,5 10 9 1 = 15 7 8 0,5 1 6 5 1 b) B = 1 + 49. . 2 : 2 49 1 = 1 + 2 = 3. a b a b a) Vỡ 2a = 3b (1) 0,5 3 2 21 14 b c b c 5b = 7c (2) 0,5 7 5 14 10 Từ (1) và (2) suy ra: a b c 3a 7b 5c 3a 7b 5c 21 14 10 63 98 50 63 98 50 0,5 a b c 30 2 2 21 14 10 15 0,5 (4đ) a 42,b 28,c 20 a c b) Đặt k a = kb, c = kd . 0,5 b d 5a 3b b(5k 3) 5k 3 Suy ra : và 0,5 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3 0,5 5a 3b 5c 3d Vậy 5a 3b 5c 3d 0,5 3 a) Nếu x 2012 từ (1) suy ra : 2012 – x + 2013 – x = 2014 0,5 2011 (4đ) x = ( thỏa món điều kiện) 2 0,5 Nếu 2012 x < 2013 từ (1) suy ra : x – 2012 + 2013 – x = 2014 hay 1 = 2014 (loại) 0,5 DeThi.edu.vn
  71. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Nếu x 2013 từ (1) suy ra : x – 2012 + x – 2013 = 2014 x = 6039 ( thỏa món điều kiện) 0,5 2 Vậy giỏ trị x là : 2011 hoặc 6039 2 2 b)3 + 2x-3 = 24 - [16 - (4 - 1)] 3 + 2x-3 = 24 - [16 - 3 ] 0,5 3 + 2x-3 = 24 - 13 3 + 2x-3 = 11 0,5 2x-3 = 8 = 23 0,5 x - 3 = 3 x = 6. Vậy x = 6 0,5 Vẽ hỡnh A I B M C H K E a) Xột AMC và EMB cú : AM = EM (gt ) 0,25 ãAMC = Eã MB (đối đỉnh ) 0,25 BM = MC (gt ) 0,25 Nờn : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 Mã AC = Mã EB 0,5 Suy ra AC // BE (cú 2 gúc cú vị trớ so le trong bằng nhau) 0,25 4 b)Xột AMI và EMK cú : AM = EM (gt ) 0,25 (6đ) Mã AI = Mã EK ( vỡ AMC EMB ) 0,25 AI = EK (gt ) 0,25 Nờn AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 Suy ra ãAMI = Eã MK Mà ãAMI + IãME = 180o ( hai gúc kề 0,5 bự ) 0,25 Eã MK + IãME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c) Trong tam giỏc vuụng BHE ( Hà = 90o ) cú Hã BE = 50o Hã EB = 90o - Hã BE = 90o - 50o =40o 0,5 0,5 0,5 Hã EM = Hã EB - Mã EB = 40o - 25o = 15o 0,5 DeThi.edu.vn
  72. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bã ME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM Nờn Bã ME = Hã EM + Mã HE = 15o + 90o = 105o ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) 5 x( y + 3) – ( y +3) = 3 0,5 (2đ) (x -1)( y + 3) = 3 0,5 x 1 1 x 1 3 ; y 3 3 y 3 1 0,5 Cỏc cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4) 0,5 DeThi.edu.vn
  73. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TẠO Mụn : Toỏn Lớp 7 HUYỆN HOÀI NHƠN Thời gian làm bài 120 phỳt (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (4 điểm): a) So sỏnh hai số: (– 5)39 và (– 2)91 b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N Bài 2 (4 điểm): 2012 2013 a) Tỡm tất cả cỏc cặp số (x; y) thỏa món: 2x y 7 x 3 0 b) Tỡm số tự nhiờn n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 . . . n aaa 1 Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K cú tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học 3 1 1 sinh của lớp 7A1, số học sinh của lớp 7A 2 và số học sinh của lớp 7A 3 đi thi 4 5 học sinh giỏi cấp huyện thỡ số học sinh cũn lại của ba lớp bằng nhau. Tớnh tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giỏc ABC cú Aˆ 3Bˆ 6Cˆ . a) Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc ABC. b) Kẻ AD vuụng gúc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD. Bài 5 (4 điểm): Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Trờn cạnh AB lấy điểm M, trờn tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB. a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của MN và tia phõn giỏc của gúc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC  AC. Ghi chỳ: Thớ sinh khụng được phộp sử dụng cỏc loại mỏy tớnh cầm tay. DeThi.edu.vn
  74. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. Bài Đỏp ỏn Điểm a) So sỏnh hai số: (– 5)39 và (– 2)91 2,0đ Ta cú: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 0,75đ (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 0,75đ Ta thấy: 12513 – 12813 (– 5)39 > (– 2)91 0,5đ b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N 2,0đ Ta cú: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n 1 n n n n n 4 điểm = (133 – 12).11 + 12.144 = 133.11 – 12.11 + 12.144 1,0đ = 133.11n + 12.(144n – 11n) Ta thấy: 133.11n  133 0,5đ (144n – 11n)  (144 – 11) = 133 12.(144n – 11n)  133 Do đú suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133 0,5đ Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N a) Tỡm tất cả cỏc cặp số (x; y): 2,0đ Ta cú: 2012 là số tự nhiờn chẵn (2x – y + 7)2012 0 2013 0,5đ và x 3 0 x 3 0 2012 2013 Do đú, từ 2x y 7 x 3 0 0,5đ suy ra: (2x – y + 7)2012 = 0 và x 3 2013 0 2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2) 0,5đ Từ (2) x = 3 Từ (1) y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13 0,5đ Vậy cặp số (x; y) cần tỡm là (3; 13) b) Tỡm số tự nhiờn n và chữ số a 2,0đ n n 1 2 Ta cú: 1 2 3 . . . n và aaa a.111 a.3.37 0,5đ 4 điểm 2 Do đú, từ 1 2 3 . . . n aaa n n 1 2.3.37.a n(n + 1) chia hết cho số nguyờn tố 37 0,5đ n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1) n n 1 Mặt khỏc: aaa 999 n(n + 1) 1998 n < 45 (2) 2 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37 37.38 - Với n = 37 thỡ aaa 703 (khụng thỏa) 2 36.37 0,5đ - Với n + 1 = 37 thỡ aaa 666 (thỏa món) 2 Vậy n = 36 và a = 6. Tớnh tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ 3 Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,c N*) 4 điểm 1 1 1 1,0đ Theo bài ra ta cú : a a b b c c (*) và a + b + c =147 3 4 5 DeThi.edu.vn
  75. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c Từ (*) 1,0đ 3 4 5 18 16 15 18 16 15 Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau ta cú : a b c a b c 147 1,0đ = 3 . 18 16 15 18 16 15 49 Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45 1,0đ Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45. a) Tớnh số đo cỏc gúc của ABC: 2,0đ Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ 1800 Từ Aˆ 3Bˆ 6Cˆ 200 1,0đ 6 2 1 6 2 1 9 Aˆ 6.200 1200 Bˆ 2.200 400 Cˆ 1.200 200 1,0đ Vậy: Aˆ 1200; Bˆ 400; Cˆ 200 4 b) Chứng minh AD < BD < CD. 2,0đ 4 điểm - Trong ACD cú ADˆC 900 ; Cˆ 200 Aˆ 700 2 ˆ 0 1,0đ A1 50 ˆ 0 ˆ 0 - Xột ADB cú B 40 A1 50 AD BD (1) - Xột ABC cú Bˆ 400 Cˆ 200 AB AC AB2 AC 2 (*) - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giỏc vuụng ADB và ADC cú: 2 2 2 2 2 2 AB = AD + BD và AC = AD + CD 1,0đ Do đú, từ (*) AD2 + BD2 < AD2 + CD2 BD2 < CD2 BD < CD (2) Từ (1) và (2) AD < BD < CD a) Chứng minh rằng: BM = CN 1,0đ Theo giả thiết, ta cú: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN ABC cõn ở A AB = AC Do đú, từ AM + AN = 2AB BM = CN 5 4 điểm b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,5đ Qua M kẽ ME // AC (E BC) 0,75đ ABC cõn ở A BME cõn ở M EM = BM = CN MEI = NCI (g-c-g) IM = IN 0,75đ Vậy: BC đi qua trung điểm của MN. c) Chứng minh rằng: KC  AN. 1,5đ + K thuộc đường trung trực của MN KM = KN (1) + ABK = ACK (c-g-c) KB = KC (2); ABˆK ACˆK (*) 0,5đ + Kết quả cõu c/m cõu a) BM = CN (3) DeThi.edu.vn
  76. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn + Từ (1), (2) và (3) BMK = CNK (c-c-c) ABˆK NCˆK ( ) 0,5đ 1800 + Từ (*) và ( ) ACˆK NCˆK 900 KC  AN 0,5đ 2 * Ghi chỳ: Mọi cỏch giải khỏc mà đỳng và phự hợp đều ghi điểm tối đa. DeThi.edu.vn
  77. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Mụn : Toỏn Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) Cõu 1 (4 điểm) : Thực hiện phộp tớnh 10 5 5 3 3 155 0,9 a/ A 7 11 23 5 13 26 13 13 7 3 403 0,2 7 11 23 91 10 212.35 46.92 510.73 255.492 b/ A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 Cõu 2 (5 điểm) : a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n thỡ 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 b/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A 2014 x 2015 x 2016 x c/ Tỡm x, y thuộc Z biết : 25 y2 8 x 2015 2 Cõu 3 (4 điểm) : x 16 y 25 z 49 a/ Cho và 4x3 3 29 Tớnh x – 2y + 3z 9 16 25 b/ Cho f (x) ax3 4x x2 1 8 và g(x) x3 4x bx 1 c 3 Trong đú a, b, c là hằng số. Xỏc định a, b, c để f(x) = g(x) Cõu 4 (5 điểm) : Cho tam giỏc ABC cú (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với tia phõn giỏc của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F. Chứng minh rằng a/ BE = CF AB AC b/ AE 2 DeThi.edu.vn
  78. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Cõu 5 (2 điểm) : Cho tam giỏc ABC cú gúc B bằng 45o , gúc C bằng 120o. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tớnh gúc ADB LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 10 5 5 3 3 2 1 1 3 3 9 155 0,9 5 31 7 11 23 A 7 11 23 5 13 5 13 10 26 13 13 7 3 2 1 1 1 1 3 403 0,2 13 31 7 11 23 91 10 7 11 23 13 5 10 2.0 2 1 1 1 1 3 5 31 3 7 11 23 5 13 10 5 5 A 3 3 Cõu 2 1 1 1 1 3 13 13 13 31 1 7 11 23 5 13 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 510.74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 2.0 212.34 3 1 510.73 1 7 2 5. 6 1 10 21 7 A 212.35 3 1 59.73 1 23 3.4 9 6 3 6 2 a/ Ta cú : 3n 2 2n 2 3n 2n 3n.9 2n.4 3n 2n 3n.9 3n 2n.4 2n 1.5 = 3n 9 1 2n 4 1 3n.10 2n.5 3n.10 2n 1.10 10 3n 2n 1 chia hết cho 10 với n là số nguyờn dương (ĐPCM) b/ A 2014 x 2015 x 2016 x . 2.0 Cõu Cỏch 1 : Ta xột 4 trường hợp xảy ra 2 TH 1 : x 3 (Vỡ x 2 (Vỡ x < 2015)(2) TH 3 : 2015 ≤ x < 2016 DeThi.edu.vn
  79. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn A = x – 2014 + x – 2015 + 2016 – x = x - 2013 ≥ 2 (Vỡ x ≥ 2015)(3) TH 4 : x > 2016 A = x – 2014 + x – 2015 + x – 2016 = 3x – 6045 >3 (Vỡ x > 2016)(4) Từ 1,2,3,4 => A ≥ 2 . Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015 Cỏch 2 : Sử dụng BĐT A B A B , Dấu = xảy ra khi AB ≥ 0 Do 2015 x 0 => A 2014 x 2015 x 2016 x 2014 x 2016 x Dấu = xảy ra khi x = 2015 (1) Ta cú : 2014 x 2016 x x 2014 2016 x x 2014 2016 x 2 Dấu = xảy ra khi (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0 => 2014 ≤ x ≤ 2016 (2) Từ 1,2 => A ≥ 2. Dấu = xảy ra khi x = 2015 Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015 c/ Tỡm x, y thuộc Z biết : 25 y2 8 x 2015 2 1.5 Ta cú 25 – y2 ≤ 25 => 8 x 2015 2 ≤ 25 => x 2015 2 y = 5 ; y = -5 2 x 2015 1 x 2016 TH 2 : x 2015 1 x 2015 1 x 2014 Thay vào => y2 = 17 (loại) Vậy x = 2015, y = 5 và x = 2015, y = -5 x 16 y 25 z 49 a/ Cho và 4x3 3 29 Tớnh x – 2y + 3z 2.0 9 16 25 Ta cú : 4x3 3 29 => 4x3 32 x3 8 x 2 . Thay vào tỷ lệ thức 2 16 y 25 z 49 y 25 z 49 Cõu => 2 y 7, z 1 9 16 25 16 25 3 => x – 2y + 3z = 2 – 2.(-7) + 3.1 = 2 + 14 + 3 = 19 b/ Cho f (x) ax3 4x x2 1 8 và g(x) x3 4x bx 1 c 3 2.0 Trong đú a, b, c là hằng số. Xỏc định a, b, c để f(x) = g(x) DeThi.edu.vn
  80. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Ta cú : f (x) ax3 4x x2 1 8 ax3 4x3 4x 8 a 4 x3 4x 8 g(x) x3 4x bx 1 c 3 x3 4bx2 4x c 3 Do f(x) = g(x) => f(0) = g(0) => 8 = c – 3 => c = 11 => g(x) x3 4bx2 4x 8 => f(1) = g(1) => a + 4 – 4 + 8 = 1 – 4b – 4 + 8 => a + 4b = -3 (1) => f(-1) = g(-1)=> -a – 4 + 4 + 8 = -1 - 4b + 4 + 8 => - a + 4b = 3(2) Từ 1,2 => b = 0, a = -3 Vậy : a = -3 , b = 0 ; c = 11 A 2 1 F 1 B 2 1 C 1 M N Cõu 1 D 4 E a/ BE = CF Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME tại D. ả à 3.0 D1 F1(1) BD//AC => ả à D1 F1(2) Tam giỏc AEF cú AN vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao => Tam à à giỏc AEF cõn tại A => E F1 (3) à ả Từ (1) và (3) => E D1 BE BD(4) DeThi.edu.vn
  81. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ả ả Xột BDM và CFM cú : MB = MC (5), M1 M 2 (6) Từ 2,5,6 => BDM = CFM (g.c.g) => BD = CF (7) Từ 4,7 => BE = CF (ĐPCM) AB AC b/ AE 2 Tam giỏc AEF cõn tại A => AE = AF 2.0  2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF)  2AE = ( AB + AC ) + (BD – CF) = AB + AC ( Do BE = CF) AB AC  AE (ĐPCM) 2 Cõu Cho tam giỏc ABC cú gúc B bằng 45o , gúc C bằng 120o. Trờn tia đối của 5 tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tớnh gúc ADB B 2.0 2 1 15o 120o C 1 2 1 2 E 2 3 F 15o 1 2 1 A 2 D o Trờn CA lấy điểm E sao cho Bà 1 Eã CA 15 , Gọi F là trung điểm CD à o à o => B2 30 mà C1 120 => Tam giỏc CBE cõn tại C => CB = CE Mà CD = 2CB => CB = CE = CF = FD DeThi.edu.vn
  82. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn à o à o Do C1 120 => C 2 60 => Tam giỏc CEF đều => FE = CF = FD o o => Dà 1 Eà 3 mà Dà 1 Eà 3 Fà 2 60 ( CEF đều) => Dà 1 30 ã o ả ả 0 Xột tam giỏc CDE ta cú CED 180 C2 D1 90 (1) Ta cú : Dà 1 Bà 2 => EB = ED, àA1 Bà 1 => EA = EB => ED = ED (2) o Từ 1, 2 => Tam giỏc EDA vuụng cõn tại E => Dà 2 45 ã ả ả o o o Vậy ADB D1 D2 30 45 75 Học sinh làm cỏch khỏc đỳng vẫn đạt điểm tối đa DeThi.edu.vn
  83. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN QUỲNH PHỤ Mụn : Toỏn Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) Cõu 1: (4,5 điểm). 1. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 3 4 7 4 7 7 a) A = : : 7 11 11 7 11 11 212.35 46.92 b) B = (22.3)6 84.35 x y 5x2 3y2 2. Cho . Tớnh giỏ trị biểu thức: C = 3 5 10x2 3y2 Cõu 2: (4,5 điểm) 1. Tỡm cỏc số x, y, z, biết: x y y z a) ; và x + y + z = 92 2 3 5 7 b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 2. Tỡm x, y nguyờn biết: xy + 3x – y = 6 Cõu 3: (3,0 điểm) 1. Tỡm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 cú đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a). a) Tỡm a b) Với a vừa tỡm được, tỡm giỏ trị của x thỏa món: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Cõu 4: (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng: a) BE = CD b) BDE là tam giỏc cõn c) Eã IC 600 và IA là tia phõn giỏc của Dã IE Cõu 5: (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + .+ 3x+100 chia hết cho 120 ( với x Z) DeThi.edu.vn
  84. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN QUỲNH PHỤ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mụn : Toỏn lớp 7 Cõu 1: 1. 3 4 7 4 7 7 3 4 11 4 7 11 a) A = : : = . . 7 11 11 7 11 11 7 11 7 7 11 7 11 3 4 4 7 11 3 4 4 7 A = = = 7 7 11 7 11 7 7 7 11 11 11 11 ( 1) 1 .0 0 7 7 212.35 46.92 212.35 (22 )6.(32 )2 212.35 212.34 212.34 (3 1) b) B = = = (22.3)6 84.35 212.36 (23 )4.35 212.36 212.35 212.35 (3 1) 212.34.2 1 B = 212.35.4 6 x y x 3k 2. Đặt = k . Khi đú: 3 5 y 5k 5x2 3y2 5(3k)2 3(5k)2 45k2 75k2 120k2 C = = = 8 10x2 3y2 10(3k)2 3(5k)2 90k2 75k2 15k2 Cõu 2: 1. x y x y 2 3 10 15 x y z a) Ta cú: y z y z 10 15 21 5 7 15 21 Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được: x y z x y z 92 = 2 10 15 21 10 15 21 46 x 2 10 x 20 y 2 y 30 15 z 42 z 2 21 b ) Ta cú: (x – 1)2016 0  x (2y – 1)2016 0  y |x + 2y – z|2017 0  x, y, z DeThi.edu.vn
  85. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 0  x, y, z Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 nờn dấu "=" xảy ra x – 1 2016 0 2016 2y – 1 0 x 2y – z 2017 0 x 1 x 1 1 1 y y 2 2 1 z 2 1 2. – z 0 2 2. Ta cú: xy + 3x – y = 6 x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3 (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta cú bảng sau: x – 1 1 3 – 1 – 3 y + 3 3 1 – 3 – 1 x 2 4 0 – 2 y 0 – 2 – 6 – 4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Cõu 3: 1. Ta cú: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 2. a) Vỡ đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nờn: a2 + a = a(a – 1) + 2 a2 + a = a2 – a + 2 2a = 2 a = 1 b) Với a = 1 thỡ y = f(x) = x + 2 1 Ta cú: f(2x – 1) = f(1 – 2x) (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2 4x = 2 x = 2 Cõu 4: B ABC, À = 900, ABD và ACE đều GT I = BE  CD D 1 I 2 KL a) BE = CD 1 1 1 A 3 2 2 C DeThi.edu.vn 2 1 2 E
  86. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn b) VBDE là tam giỏc cõn c) Eã IC 600 và IA là tia phõn giỏc của Dã IE ã à 0 0 0 0 DAC A1 90 60 90 150 a) Ta cú: Dã AC Bã AE ã à 0 0 0 0 BAE A2 90 60 90 150 Xột VDAC và VBAE cú: DA = BA (GT) Dã AC Bã AE (CM trờn) AC = AE (GT) VDAC = VBAE (c – g – c) BE = CD (Hai cạnh tương ứng) 0 b) Ta cú: À 3 À 1 Bã AC À 2 360 0 0 0 0 À 3 60 90 60 360 0 À 3 150 0 À 3 = Dã AC = 150 Xột VDAE và VBAE cú: DA = BA (GT) À 3 = Dã AC (CM trờn) AE: Cạnh chung VDAE = VBAE (c – g – c) DE = BE (Hai cạnh tương ứng) VBDE là tam giỏc cõn tại E à à c) Ta cú: VDAC = VBAE (CM cõu a) E1 = C1 (Hai gúc tương ứng)  à ã 0 Lại cú: I1 E2 ICE 180 (Tổng 3 gúc trong VICE)  0 I1 (Ã EC Eà 1) (Cà 1 Cà 2 ) 180  0 0 0 I1 60 Eà 1 Cà 1 60 180  0 0 I1 120 180 (Vỡ Eà 1 = Cà 1 )  0 I1 60 à à Vỡ VDAE = VBAE (Cm cõu b) E1 = E2 (Hai gúc tương ứng) EA là tia phõn giỏc của Dã EI (1) DAC BAE à à Vỡ VDAC = VDAE D1 = D2 (Hai gúc tương ứng) DA DAE BAE là tia phõn giỏc của Eã DC (2) DeThi.edu.vn
  87. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Từ (1) và (2) A là giao điểm của 2 tia phõn giỏc trong VDIE IA là đường phõn giỏc thứ ba trong VDIE hay IA là tia phõn giỏc của Dã IE Cõu 5: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + .+ 3x+100 = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4 ) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8 ) + + (3x+97 + 3x+89 + 3x+99 + 3x+100) = 3x(3 + 32 + 33 + 34) + 3x+4(3 + 32 + 33 + 34 ) + + 3x+96 (3 + 32 + 33 + 34) = 3x.120 + 3x+4.120 + + 3x+96 .120 = 120.( 3x+ 3x+4 + + 3x+96 ) 120 (đpcm) DeThi.edu.vn
  88. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Mụn : Toỏn Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) Cõu 1. Tỡm x biết: a) 3x 1 5.3x 1 162 b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) 0) 2b 2c 2d 2a 2011a 2010b 2011b 2010c 2011c 2010d 2011d 2010a Tớnh A = c d a d a b b c Cõu 3. a) Tỡm cặp số nguyờn (x,y) thoả món x + y + xy =2. 27 2x b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyờn) 12 x Cõu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thỡ a và c là 2 số đối nhau. 2 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 2 y 3 2007 Cõu 5. Cho ABC vuụng tại A. M là trung điểm BC, trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ B và C xuống AD, N là chõn đường vuụng gúc hạ từ M xuống AC. a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN < MC. c) ABC thỏa món thờm điều kiện gỡ để AI = IM = MK = KD. d) Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng cỏc đường thẳng BI, DH, MN đồng quy. DeThi.edu.vn
  89. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 1 a) (1,5đ) 0,75 (4,5 đ) 3x 1 (1+5) = 162 3x 1 = 27 0,75 => x-1= 3 => x = 4 b) (1,5đ) 0,75 3x +x2 = 0  x(3 + x) = 0 0,75 x=0 hoặc x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) x-3 nờn 0,5 x 1 0 1,0 (x-1)(x-3) 0 => 0,5 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a 2 0,5 a+b+c+d >0) suy ra a = b = c= d 0,5 Thay vào tớnh được P = 2 Cõu 3 a) (1,5đ) (3,0 đ) Ta cú x + y + xy =2  x + 1 + y(x + 1) = 3  (x+1)(y+1)=3 0,75 Do x, y nguyờn nờn x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta cú: x+1 1 3 -1 -3 0,5 y+1 3 1 -3 -1 x 0 2 -2 -4 y 2 0 -4 -2 Vậy cỏc cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) 0,25 DeThi.edu.vn
  90. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM b) (1,5 đ) 27 2x 3 Q = = 2+ 0,25 12 x 12 x 3 0,25 A lớn nhất khi lớn nhất 12 x 0,25 3 * Xột x > 12 thỡ 0. Vỡ phõn số cú tử và mẫu là cỏc số dương, tử 0,25 12 x khụng đổi nờn phõn số cú giỏ trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 12-x 0 0,25 3 Vậy để lớn nhất thỡ x Z  x = 11 12 x 12-x nhỏ nhất 0,25 A cú giỏ trị lớn nhất là 5 khi x =11 Cõu 4 a) (2,0 đ) (4,0 đ) Ta cú: 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1) 0,75 -1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2) 0,75 Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c 0,5 Vậy a và c là hai số đối nhau. b) (2,0 đ) 2 Ta cú x 3 2 2 ,x => x 3 2 4 . Dấu "=" xảy ra  x = 3 0,5 y 3 0 , y . Dấu "=" xảy ra  y = -3 0,5 2 Vậy P = x 3 2 y 3 2007 4 + 2007 = 2011. 0,5 Dấu "=" xảy ra  x = 3 và y = -3 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P = 2011  x = 3 và y = -3 0,5 Cõu 5 (5,5 đ) B K D M H I A N C O' O a) (2,0 đ) 0,5 - Chứng minh IBM = KCM => IM= MK 1,0 - Chứng minh IMC = KMB 0,5 DeThi.edu.vn
  91. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM => CI = BK và gúc MKB = gúc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ ra được AM = MC => AMC cõn tại M => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC => N là trung điểm AC 1 0,5 AKC vuụng tại K cú KN là trung tuyến => KN = AC 0,25 2 1 Mặt khỏc MC = BC 0,25 2 1 1 Lại cú ABC vuụng tại A => BC > AC => BC > AC hay MC > 2 2 0,5 KN Vậy MC > KN (ĐPCM) c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD thỡ cần AI = IM Mặt khỏc BI  AM => khi đú BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM 0,5 => ABM cõn tại B (1) Mà ABC vuụng tại A, trung tuyến AM nờn ta cú ABM cõn tại M 0,5 (2) Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => gúc ABM = 600 Vậy vuụng ABC cần thờm điều kiện gúc ABM = 600 d) (1,0 đ) Xảy ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN. Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN 0,5 Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O  O’ Suy ra BI, DH, MN đồng quy. Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB 0,5 => BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1 Vậy BI, DH, MN đồng quy. (Học sinh cú thể sử dụng cỏc cỏch khỏc để CM: VD sử dụng tớnh chất đồng quy của 3 đường cao ) DeThi.edu.vn
  92. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. a. chứng tỏ rằng 12n 1 là phân số tối giản. 30n 2 b. Chứng minh rằng : 1 + 1 + 1 + + 1 <1 22 32 42 1002 Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán . Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. DeThi.edu.vn
  93. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án Câu1: a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12 12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ) do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ)  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) vậy n=1;2 (0,25đ) c. (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9  (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ) Câu2: a. Gọi dlà ước ching của 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó 12n 1 là phân số tối giản (0,5đ) 30n 2 b. Ta có 1 < 1 = 1 - 1 22 2.1 1 2 1 < 1 = 1 - 1 32 2.3 2 3 1 < 1 = 1 - 1 (0,5đ) 1002 99.100 99 100 Vậy 1 + 1 + + 1 < 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 22 32 1002 1 2 2 3 99 100 1 + 1 + + 1 <1- 1 = 99 <1 (0,5đ) 22 32 1002 100 100 Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là : DeThi.edu.vn
  94. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất . (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ) Số cam bác nông dân mang đi bán . (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ) . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) DeThi.edu.vn
  95. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 23 Thời gian làm bài 120 phút a3 2a2 1 Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức A a3 2a2 2a 1 a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc n2 1 và cba (n 2)2 Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm) a. Cho a, b, n N* Hãy so sánh a n và a b n b 1011 1 1010 1 b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. 1012 1 1011 1 Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. DeThi.edu.vn
  96. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án Câu 1: a3 2a2 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Ta có: A = a3 2a2 2a 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]  d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) 99(a-c) = 4 n – 5 4n – 5  99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100  n2-1  999 101  n2  1000 11 n31 39 4n – 5  119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26 Vậy: abc = 675 ( 0 , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm a a a Ta xét 3 trường hợp b 1 b 1 b 1 (0,5 điểm). a 1 a n a n a TH1: b a=b thì b n thì b n = b =1. (0 , vì ,5 điểm). a TH1: b 1 a>b a+m > b+n. a n a b Mà b n có phần thừa so với 1 là b n DeThi.edu.vn
  97. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a a b a b a b a n a b có phần thừa so với 1 là b , vì b n b (0,25 điểm). 1011 1 b) Cho A = ; 1012 1 a a n a rõ ràng A b A n) ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. DeThi.edu.vn
  98. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 24 Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. a. chứng tỏ rằng 12n 1 là phân số tối giản. 30n 2 b. Chứng minh rằng : 1 + 1 + 1 + + 1 <1 22 32 42 1002 Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán . Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. DeThi.edu.vn
  99. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án Câu1: a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12 12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ) do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ)  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) vậy n=1;2 (0,25đ) c. (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9  (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ) Câu2: a. Gọi dlà ước ching của 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó 12n 1 là phân số tối giản (0,5đ) 30n 2 b. Ta có 1 < 1 = 1 - 1 22 2.1 1 2 1 < 1 = 1 - 1 32 2.3 2 3 1 < 1 = 1 - 1 (0,5đ) 1002 99.100 99 100 Vậy 1 + 1 + + 1 < 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 22 32 1002 1 2 2 3 99 100 1 + 1 + + 1 <1- 1 = 99 <1 (0,5đ) 22 32 1002 100 100 Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là : DeThi.edu.vn
  100. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất . (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ) Số cam bác nông dân mang đi bán . (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ) . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) DeThi.edu.vn
  101. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 25 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2: (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 a 5 Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a. xã Oy xã Oz ãyOz b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. DeThi.edu.vn
  102. Bộ 35 Đề thi Toỏn nõng cao Lớp 7 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án Bài 1 (1,5đ) a).5x = 125  5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c). 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ a a = {0,1,2,3,4}. Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5 0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ).Ta có: xã 'Oy 600 , xã 'Oz 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên ãyOz ãyOx' xã 'Oz 1200 vậy xã Oy ãyOz zãOx Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và xã 'Oy xã 'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy. DeThi.edu.vn