Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án)

265 trang Thái Huy 14/09/2023 1735

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_51_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_9_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP 9 T2 MÔN: Toán 9 Thời gian làm bài:150 phút ( Đề này gồm 5 câu1 trang) Câu1.(2điểm): 2x 1 x 2x x x x 1 x x x 1 Cho A = 1- với x 0; x 1; x 1 x x x 1 2 x 1 4 a, Rút gọn A b, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 2.(2điểm):Giải các phương trình sau: a) 4x2 4x 5 12x2 12x 19 6 3 b)3x4 4x3 1 x2 1. Câu 3.(2điểm): a) Đa thức f(x) khi chia cho x+2 thì dư 5 khi chia cho x2 2 thì dư x+1.Tìm dư của phép chia f(x) cho x2 2 . x 2 . b) Cho hai số nguyên dương a và b thoả mãn 2a2 a 3b2 b .Chứng minh rằng 5a 5b 3 là hợp số. Câu 4.(3điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên đường tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MA, BI cắt đường tròn ở K, tia MK cắt đường tròn ở C. Chứng minh rằng: a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM. b, BC song song với MA. c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đường tròn cố định. Câu 5.(1điểm) Cho đường tròn (O, R) và dây BC < 2R. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC, điểm D chuyển động trên cung nhỏ BC. Xác định vị trí của điểm 1 1 1 A và D sao cho đạt DA DB DC giá trị nhỏ nhất. DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSGLỚP 9 TRƯỜNG THCS BÌNH MINH MÔN: TOÁN T-01-HSG9-BM-PGDHD (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Câu Đáp án Biểu điểm Câu a) A = 1 - 1 (2 x 1)( x 1) (2x x)( x 1) 1 x x x (2 đ) ( x 1)(x x 1) 2 x 1 ` (1 x)(1 x) 0,25 (2 x 1) (2x x) 1 x x x A = 1 - (1 x) (x x 1) 2 x 1 A = 1 - (2 x 1)(1 x)(x x) x(2 x 1)(1 x)(x x) 0,25 (1 x)(2 x 1) (x x 1)(2 x 1) (x x) x(1 x)(x x) A = 1 - 1 (x x 1) 0,25 x x 1 x2 x x x x x x x 2x x x x2 A = x x 1 1 A = 0,25 x x 1 1 3 3 b) Do 1 x x ( x )2 nên 2 4 4 1 4 0 A = 1 0,25 1- x + x = 1 x( x 1) 0 0,25 (0,25®iÓm) x = 0 hoặc x = 1 Do điểu kiện x 1 nên A = 1 khi x = 0. 0,25 Câu a) 4x2 4x 5 12x2 12x 19 6 2 4x2 – 4x + 5 = (2x – 1)2 + 4 4 (2 đ) x 2 1 0,25 12x2 – 12x + 19 =12 x + 16 16 2 x ĐKXĐ: x DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ cách phân tích trên ta có: 4x2 4x 5 2 x (1) 0,25 12x2 12x 19 4 x (2) Từ (1) và (2) => 4x2 4x 5 12x2 12x 19 6 x 0,25 => 4x2 4x 5 12x2 12x 19 6 2x – 1 = 0 và 1 x 0 2 x = 1 0,25 2 1 KL: Tập nghiệm của phương trình là: S =  2 b) 3 3x4 4x3 1 x2 1 (1) 3 3x4 4x3 1 1 x2 3x4 4x3 1 1 x2 2 x2 1 x2 2 2 2 x 2 x 1 x 0,25 x2 3x2 4x 1 1 x2 2 x2 1 x2 x2 3x2 4x 0 2 1 1 x 2 x2 1 x2 NhËn thÊy 3x2 4x 1 1 x2 2 2 2 2 0,25 2 x 1 1 5x 2 = 3 x 0 víi mäi x 3 6 1 1 x2 Do ®ã (1) x2 = 0 x = 0. 0,25 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x = 0. 0,25 Câu 3 Ta có: f(x)=(x2+2)(x+2).q(x) + ax2 + bx + c (1) (2 đ) =(x2+2)(x+2).q(x) + a(x2 + 2) + bx + c -2a =(x2+2){(x+2).q(x) + a}+ bx + c -2a 0,25 f(x) chia cho (x2+2) dư bx + c-2a DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b 1 0,25 bx+c-2a = x+1 với mọi x c 2a 1 L¹i cã f(x) chia cho x+2 dư 5 f(-2) = 5 (2) Tõ (1) vµ (2) 4a – 2b + c =5 b 1 b 1 0,25 Gi¶i hÖ c 2a 1 ta có a 1 4a 2b c 5 c 3 0,25 VËy d cÇn t×m lµ x2+x+3 Ta có: 2a2 a 3b2 b 2a2 2b2 a b b2 a b 2a 2b 1 b2 (1) 0,25 Gọi d là ƯCLN của a b và 2a 2b 1 4b 1 d và b2  d 2 1 d d 1 a b và 2a 2b 1nguyên tố cùng nhau, kết hợp với (1) suy ra a b và 2a 2b 1 là các số chính phương Lại có: 2a2 a 3b2 b 3a2 3b2 a b a2 a b 3a 3b 1 b2 0,25 Suy ra 3a 3b 1 là số chính phương 2a 2b 1 m2 m;n N * Đặt 2 3a 3b 1 n 0,25 5a 5b 3 4m2 n2 2m n 2m n dễ thấy 5a 5b 3 13 2m n 2m n 1 Nếu 2m n 1 5a 5b 3 2m n 2n 1 2 0,25 kết hợp với 3a 3b 1 n2 n 1 2a 2b 0 (vô lí) Như vậy 2m n 2m n 1 do đó 5a 5b 3 lµ hîp sè.(đpcm) Câu 4 ( 3 đ) DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x M K I B A O C a) Chứng minh được IAK đồng dạng với IBA(g.g) 0.25 IA2 = IK.IB , mà I là trung điểm của AM nên IM2 = IK.IB 0.25 Chứng minh được MIK đồng dạng với BIM (c.g.c) 0.5 b) Từ câu a  IMK =  MBI , lại có  MBI =  BCK 0.5  IMK =  BCK BC // MA 0.5 c) H là trực tâm của MAB tứ giác AOBH là hình thoi. 0.5 AH = AO =R H (A;R) cố định. 0.5 Câu 5 F (1 đ) A O K H B C E D DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Víi AD bÊt k× th× AD 2R víi mçi ®iÓm D trªn cung nhá BC lu«n chän ®îc A trªn cung nhá BC sao cho AD 2R ®Ó 1 1 lµ nhá nhÊt. AD 2R 0.25 KÎ DH  BC t¹i H, ®êng kÝnh EF  BC t¹i K khi ®ã E, F, K cè ®Þnh. Do A· BD C· HD 900 ,D· AB D· CB (cïng ch¾n cung BD) nªn ABD : CHD gg DB DH DB.DC 2R.DH DA DC 0.25 ta có DH OK OD OE EK OK DH EK Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 0.25 1 1 1 2 2 2 DB DC DB.DC 2R.DH 2R.EK 1 1 1 1 2 1 2 Do vËy const DA DB DC 2R 2R.EK 2R BE 1 1 1 DÊu b»ng khi AD trïng EF. VËy nhá nhÊt khi DA DB DC 0.25 AD trïng EF, DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP 9 T3 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề này gồm 5 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho x, y, z là ba số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau: x2 y2 z2 S là một số nguyên. (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) xy y2 x b) Tính giá trị của biểu thức P với x, y thỏa mãn đẳng thức: y y 4x2 9y2 16xy Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình x6 (x 1)3 2 2 (x2 x 1 2)3 x2 2xy 3y2 0 b) Giải hệ phương trình 2 xy 3y x 0 Câu 3 (2,0 điểm) a)Tìm tất cả các số tự nhiên a để a + 1, 4a2 8a 5 và 6a2 12a 7 đồng thời là các số nguyên tố. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 + 5y2 + 6xy - 20 x - 20 y + 24 =0 Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O), bán kính R, A là một điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), lấy điểm M tùy ý trên tiếp tuyến Ax, từ M kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O), B là tiếp điểm. I là trung điểm của MA, BI cắt đường (O) tại K, tia MK cắt (O) tại C. a) Chứng minh MIK BIM; b) Chứng minh BC  AO; c) Xác định vị trí của M trên Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành. Câu 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng xy 4 3z yz 4 3x xz 4 3y x3 y3 z3 , 4 với 1 x, y, z 3 Hết PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mã: T-Phạm Hữu Tuân-TP-TPHD MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Hướng dẫn chấm gồm 7 trang) + Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho đủ điểm thành phần tương ứng Câu Đáp án Điểm a. (1,00 điểm) x2 y2 z2 Đặt A (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) x y z A .x .y .z (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) x y z 0,25 A x y z (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) x(y z) y(x z) z(x y) (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) x y z A x y z (x y)(z x) (x y)(y z) (z x)(y z) x(y z) y(x z) z(x y) (x y)(z x) (x y)(y z) (z x)(y z) 0,25 x(y z) y(z x) z(x y) A x y z (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) 1 x(y z)(y z) y(x z)(z x) z(x y)(x y) (2 điểm) (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) xy xz yz xy zx zy xy2 xz2 yz2 x2y z(x y)(x y) A (x y z) (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) xy(x y) z2 (x y) z(x y)(x y) (x y)(xy z2 xz yz) A 0 (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) 0,25 (x y)[x(y z) z(y z)] (x y)(y z)(x z) A 1 (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) Do đó S A 1. Vậy giá trị của biểu thức S là một số nguyên. 0,25 b. (1,00 điểm) xy y2 x P ĐKXĐ: xy 0; y 0 y y Trường hợp 1: x 0, y > 0 0,25 xy y2 x x. y y. y x P = = y y y. y y DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn y( x y) x x y x x x P = = = 1 = 1 y y y y y y y Vậy P = 1. xy y2 x Trường hợp 2: Khi x 0, y < 0 ta có: P = = y y x. y y. y x y. y y 0,25 y( x y) x x y x x x P = = = 1 y y y y y y y x = 1 2 (1) y Từ 4x2 9y2 16xy và y 0 , chia 2 vế cho y2 0 ta được: 2 x x 4 16 9 0 y y x Đặt t t 0 (vì xy 0 ) ta có 4t2 – 16t + 9 = 0 y 0,25 8 28 8 2 7 4 7 ' = 64 – 4.9 = 28 t 0 (thỏa mãn) 1 4 4 2 8 28 8 2 7 4 7 t 0 (thỏa mãn) 2 4 4 2 x 4 7 Thay vào (1) ta có: y 2 4 7 P 1 2 1 8 2 7 1 1 7 2 7 2 x 4 7 0,25 Thay vào (1) ta có: y 2 4 7 P 1 2 1 8 2 7 1 7 1 7 2 Vậy P = 1; P = 2 7 ; P = 7 . a. (1,00 điểm) Lời giải x6 (x 1)3 2 2 (x2 x 1 2)3 2 2 3 2 3 3 3 (x x 1 2) (x ) (x 1) ( 2) 0 (1) (2 điểm) 2 Đặt: x = a; x + 1 = b; 2 = c 0,25 (1) a b c 3 a3 b3 c3 0 DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b c 3 (a b)3 3ab(a b) c3 0 a b c 3 a b c 3 3c a b a b c 3ab a b 0 3 a b c a b c ab 0 3 a b a b c c b c 0 0,25 3 a b b c a c 0. (*) Thay a = x2; b = x + 1; c = 2 vào (*) 3(x2 + x +1)(x + 1 + 2 )(x2 + 2 ) = 0 ( ) Vì x2 + x + 1 = 0; x2 + 2 = 0 vô nghiệm. 0,25 Nên ( ) x + 1 + 2 = 0 x = -1 - 2 Vậy nghiệm của phương trình là: x = -1 - 2 . 0,25 x2 2xy 3y2 0 Giải hệ phương trình 2 1,00 xy 3y x 0 *Ta thấy x = 0, y = 0 là một nghiệm của hệ. x2 2xy 3y2 0 (1) 2 xy 3y x 9 (2) 0,25 *Nếu x 0, y 0 chia cả hai vế của (1) cho y2 ta được: 2 x x x x 2 3 0 1 hoặc 3 . y y y y x Với 1 x = - y, thay vào (2) ta có: -y2 + 3y2 – y = 0 y 1 2y2 – y = 0 y(2y – 1) = 0 y = 0 hoặc y 2 0,25 Với y = 0 x = 0. 1 1 Với y x . 2 2 x Với 3 x = 3y, thay vào (2) ta có: y 3y2 + 3y2 + 3y = 0 6y2 + 3y = 0 3y(2y+1) = 0 1 y = 0 hoặc y 0,25 2 Với y = 0 x = 0 1 3 Với y x 2 2 1 1 3 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 0 ; 0 ) ( ; ) ( ; ) 0,25 2 2 2 2 a. (1,00 điểm) Đặt a 1 p . 3 2 2 2 4a 8a 5 4 a 1 1 4 p 1 và 0,25 (2 điểm) 6a2 12a 7 6 a 1 2 1 6p2 1 DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do p là số nguyên tố nên 4 p2 1 5và 6p2 1 5 Ta có 4 p2 1 5p2 p 1 p 1 và 6 p2 1 5p2 5 p 2 p 2 0,25 Nếu p chia 5 dư 1 hoặc 4 thì p 1 p 1  5 4 p2 1là không số nguyên tố Nếu p chia cho 5 dư 2 hoặc 3 thì p 2 p 2  5 0,25 6p2 1 không là số nguyên tố Vậy để 4 p2 1và 6p2 1 là nguyên tố thì p  5 Mà p là số nguyên tố nên p = 5 a 4 Thử lại với a = 4 thì a + 1 = 5 nguyên tố; 4a2 + 8a + 5 = 101 0,25 nguyên tố; 6a2 + 12a + 7 = 151 nguyên tố. Vậy a = 4 là giá trị cần tìm. b. (1,00 điểm) 5(x + y)2 - 4xy – 20(x + y) + 24 = 0 Đặt x + y = a, xy = b ta có: 5a2 – 4b – 20a + 24 = 0 0,25 5a 2 20a 24 b (1) 4 a2 Mặt khác (x – y)2 0 (x + y)2 – 4xy 0 a2 4b hay b 4 (2) Từ (1) và (2) 0,25 5a 2 20a 24 a2 5a 2 20a 24 a2 a2 5a 6 0 4 4 a 2 a 3 0 2 a 3 Vì a nguyên nên a = 2, a = 3. x y 2 x 1 Với a = 2 b = 1 ta có xy 1 y 1 0,25 9 Với a = 3 b = không nguyên nên loại. 4 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x ; y) là (1 ;1). 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn M B K I O A D C a. (1,00 điểm) Xét AIK và BIA có: ·AIK ·AIB(K IB) 0,25 I·AK I·BA (cùng chắn cung AK) 4 Do đó AIK BIA (g.g) IA IK IM IK (3 điểm) , mà IA = IM (gt) 0,25 IB IA IB IM Xét MIK và BIM có: IM IK (cmt) IB IM 0,25 M· IK M· IB(K IB) Do đó MIK BIM (c.g.c) 0,25 b. (1,00 điểm) · · Ta có MIK BIM (chứng minh câu a) IMK IBM (góc 0,25 tương ứng) Mặt khác I·BM B· CK (cùng chắng cung BK) 0,25 Suy ra I·MK B· CK 0,25 · · Mà IMK và BCK là hai góc ở vị trí so le trong. 0,25 Do vậy BC//MA mà MA  AO BC  AO c. (1,00 điểm) Gọi giao điểm của BC và AO là D. 0,25 Để tứ giác AMBC là hình hình hành thì MA = BC MA = 2BD Đặt AM = 2x BD = x. Ta có ·ADB M· AO 900 (1) Và O· AB O· BA ( OAB cân tại O) mà O· BA O· MA (cùng chắn cung AO của tứ giác AMBO nội tiếp) D· AB O· AB O· MA (2) 0,25 Từ (1) và (2) ABD MOA (g.g) AD BD 2x2 Suy ra AD= (3) MA OA R Mặt khác OD2 = OC2 – DC2= R2 – x2 (4) 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta lại có AD = AO + OD 2x2 R R2 x2 2x2 R2 R R2 x2 (5) R Đặt R2 x2 t(t 0) . Từ (5) 2t2 +Rt – R2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn t. R 3R = 9R2 t R (loại) 1 4 R 3R R R2 3R 2 3 t R2 x2 x2 x R 2 4 2 4 4 2 0,25 3 Vậy M trên tia tiếp tuyến Ax sao cho AM = R thì AMBC là hình 2 bình hành. 1,00 4 Vì 1 x, y, z nên ta có : 4 3z 1 xy 4 3z xy ; 3 4 3x 1 yz 4 3x yz ; 4 3y 1 xz 4 3y xz. 0,25 Do đó xy 4 3z yz 4 3x xz 4 3y xy yz zx (1) Ta có xy yz xz x2 y2 z2 (2) , 0,25 5 vì (2) x y 2 y z 2 z x 2 0 (luôn đúng) (1 điểm) Ta lại có x2 y2 z2 x3 y3 z3 (3) , 0,25 vì (3) x2 x 1 y2 y 1 z2 z 1 0 (đúng với x, y, z 1) Từ (1), (2), (3) ta có: xy 4 3z yz 4 3x xz 4 3y x3 y3 z3 0,25 Dấu “=” xảy ra x y z 1. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP 9 T5 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: *) a3 8a 5a2 48 ) a3 8a 5a2 48 a3 8a a2 16 a2 9 5a2 48 b) Rút gọn biểu thức M a3 8a a2 16 a2 9 5a2 48 Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3 4 4x x2 x x(6 x2 ) 3x 12 2 x b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 4 Èn sau: x y 3 xz yt 4 2 2 xz yt 6 3 3 xz yt 10 Câu 3 (2,0 điểm) n n 5 29 5 29 S a) Cho n (với n là số tự nhiên). 2 2 Chứng minh rằng S2014 và S2015 là hai số nguyên và nguyên tố cùng nhau. b) Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài các cạnh là các số tự nhiên, hai trong ba số đó là các số nguyên tố và hiệu của chúng là 50. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC? Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC không đi qua O. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh AH = 2.MO b) Chứng minh khi A di chuyển trên cung lớn BC thì H di chuyển trên một cung tròn cố định, hãy chỉ ra tâm và bán kính của cung tròn đó. AE.FH FA.HE c) Cho biết BC = R. 2 . Hãy tính giá trị biểu thức . OM.BC Câu 5 (1,0 điểm) Cho ab bc ca 3 5.abc với a, b, c > 0. 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M a 2b c 2a b c a b 2c DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hết DeThi.edu.vn
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU MÔN TOÁN T-01-HSG9-VTS-PGDHD (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) a3 8a 5a2 48 a3 3a2 8a2 24a 16a 48 0,25 a2 (a 3) 8a(a 3) 16(a 3) (a 3)(a 4)2 0,5 a3 8a 5a2 48 a3 3a2 8a2 24a 16a 48 a2 (a 3) 8a(a 3) 16(a 3) 0,25 (a 3)(a 4)2 0,5 1 b) (1,0 điểm) (2,5điểm) Áp dụng kết quả phần a) ta có (a 4)2 (a 3) (a 4)(a 4) (a 3)(a 3) M 2 (a 4) (a 3) (a 4)(a 4) (a 3)(a 3) 0,25 a 3 a 4 a 3 ĐKXĐ của M là a 4 a 3 a 3;a 4 (a 3)(a 3) 0 a 3 0,25 (a 4) a 3[(a 4) a 3 (a 4) a 3] (a 4) a 3 Khi a >3 M (a 4) a 3[(a 4) a 3 (a 4) a 3] (a 4) a 3 0,25 Khi a -3, a - 4 (a 4) a 3[ (a 4) a 3 (a 4) 3 a] (4 a) a 3 M (a 4) 3 a[ (a 4) 3 a (a 4) a 3] (a 4) 3 a 0,25 a) (1,0 điểm) x(6 x2 ) 0 x( 6 x)( 6 x) 0 x( 6 x) 0 x 6 ĐK x 2 x 2 x 2 0 x 2 0,25 Ta lần lượt xét các trường hợp: 2 Trường hợp 1: x 6 . Khi đó x x(6 x2 ) 3x 0 vµ 3x 0. (2,0điểm) Suy ra 3 4 4x x2 x x(6 x2 ) 3x 3 4 4x x2 3 8 (x 2)2 3 8 12 2 x 0,25 Do đó phương trình (1) vô nghiệm. Trường hợp 2: 0 x 2 17
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm ta có x (6 x)2 2 x(6 x2 ). Chó ý 0 x 2 0,25 x x(6 x2 ) 2 x(6 x2 ) x 6 x2 (2) vµ 3 8 (x 2)2 3 8 2 (3) Do đó vế trái của (1) không lớn hơn. 2 x 6 x2 3x 8 4x x2 12 (x 2)2 12 (4) mµ 12 2 x 12 (5) Nên từ (1) suy ra xảy đẳng thức ở các bất đẳng thức (2); (3); (4) và (5). Để có đẳng thức, điều kiện cần và đủ là x = 2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. 0,25 b) (1,0 điểm) Theo bµi ra: x y 3 (1) xz yt 4 (2) 2 2 xz yt 6 (3) 3 3 xz yt 10 (4) 0,25 Nh©n (2) víi ( z + t) ta ®îc 6 + 3zt = 4.( z + t) Nh©n (3) víi ( z + t) ta ®îc 10 + 4zt = 6.( z + t ) 0,25 4(z t) 3zt 6 z t 3 Tõ ®ã ta cã hÖ: 0,25 6(z t) 4zt 10 zt 2 Tõ ®ã: +) z = 1, t = 2, x = 2, y = 1 0,25 +) z = 2, t = 1, x = 1, y = 2 a) (1,0 điểm) 5 29 5 29 x1 x2 5 Đặt x1 ; x2 2 2 x1x2 1 0 0 1 1 Có S0 x1 x2 2 ¢ ;S1 x1 x2 5 ¢ Giả sử Sn ;Sn 1 ¢ ta sẽ chứng minh Sn 2 ¢ . Thật vậy có n 2 n 2 1 1 n 1 n 1 n n Sn 2 x1 x2 (x1 x2 )(x1 x2 ) x1 x2 (x1 x2 ) n 1 n 1 n n 3 5(x1 x2 ) (x1 x2 ) 5.Sn 1 Sn Sn 2 ¢ n n (2,0điểm) Theo quy nạp toán học suy ra Sn x1 x2 có giá trị nguyên với mọi số tự nhiên n (đ.p.c.m) Đặt d (S2014 , S2015 ) S2014 d, S2015 d mà ta có Sn 2 5Sn 1 Sn S2013 S2015 5S2014 S2013 d Có S2014 d, S2013 d S2012 d S1 d S0 d 5d;2d suy ra d = 1. Vậy S2014 và S2015 là hai số nguyên và nguyên tố cùng nhau b) 1,0 điểm 18
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đặt AB = c; BC = a; AC = b. Theo bài ra ta có a;b;c ¥ * và a > b; c Theo Pi Ta Go có: a2 b2 c2 (*) *) Nếu b = c và cùng là số nguyên tố thì từ (*) suy ra a b 2 ¥ (loại) 0,25 *) Nếu b khác c và cả hai số cùng là số nguyên tố, không mất tính tổng quát giả sử b > c khi đó từ (*) suy ra b2 a2 c2 (a c)(a c) Mà a, b, c là các số tự nhiên khác 0 và a > b > c nên a + c > a – c > 1 Do đó b không là số nguyên tố (loại) vì vậy b và c không thể cùng là số 0,25 nguyên tố Mà trong ba số a, b, c có hai số nguyên tố nên a phải là số nguyên tố. Không mất tính tổng quát giả sử số nguyên tố còn lại là c theo đề bài suy ra a – c = 50 do đó a và c cùng tính chẵn lẻ. Do a > 50 mà a là số nguyên tố nên a là số lẻ suy ra c cũng là số lẻ. Có b2 a2 c2 (a c)(a c) 50(a c) 50(c 50 c) 100(c 25) b2 102 (c 25) b 10 c 25 ( ) . Chu vi tam giác ABC là 2c 50 10 c 25 , do đó chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi c nhỏ nhất. 0,25 Từ ( ) suy ra c + 25 là số chính phương nên c 25 36 c 11 mà c là số nguyên tố nên suy ra c nhỏ nhất là 11 khi đó 2c 50 10 c 25 132 Khi c = 11, ta có b 60 , còn a = 61, thoả mãn c, a là số nguyên tố. 0,25 Vậy GTNN của chu vi tam giác ABC là 132 đạt được khi các cạnh của tam giác ABC là 11; 60; 61 a) (1,0 điểm) A K E Vẽ đúng hình phần a) F N H 0,25 4 O (3,5điểm) B C D M I Kẻ BN là đường kính của (O) chứng minh được tam giác BCN vuông tại C, Tam giác BAN vuông tại A. 0,25 Chứng minh được AH // CN; AN // CH suy ra AHCN là hình bình hành suy ra AH = CN (1) 0,25 Xét tam giác BCN có OM là đường trung bình suy ra CN = 2.MO (2) Từ (1) và (2) suy ra AH = 2.MO (đ.p.c.m) 0,25 19
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) (1,0 điểm) Lấy I đối xứng với O qua M suy ra OI = 2.MO = AH. 0,25 Lại có OI // AH (cùng // NC) suy ra AHIO là hình bình hành. 0,25 Suy ra IH = AO = R không đổi. 0,25 Do O, M cố định nên I cố định. Do đó H di chuyển trên đường tròn (I; R) *) Giới hạn: H di chuyển trên cung BC của đường tròn (I; R) thuộc nửa 0,25 mặt phẳng bờ BC chứa điểm A.(trừ hai đầu mút B, C) c) (1,0 điểm) Phần d) học sinh có thể làm theo các cách khác nhau: Cách thứ nhất: BF BH BF BE Chứng minh được BEA BFH (g.g) suy ra BE BA BH BA BF BE Xét BHA và BFE có chung góc B và BH BA suy ra BHA BFE (c.g.c) suy ra B· AH F· EB F· AH F· EH (1) Trên AH lấy điểm K sao cho K· FA H· FE (2) KF FA Từ (1) và (2) suy ra FKA FHE (g.g) suy ra HF FE KA FA và FA.HE KA.FE (3) HE FE 0,25 Chứng minh được ·AFE K· FH suy ra FKH FAE (c.g.c) HF FE suy ra HK.FE HF.AE (4) HK AE Từ (3) và (4) suy ra FA.HE FH.AE AH.FE (5) 0,25 AE AB AE AF Chứng minh được ABE ACF (g.g) suy ra AF AC AB AC FE AE Suy ra AFE ACB (c.g.c) suy ra cos B· AC BC AB Suy ra FE BC.cos B· AC 0,25 Có BC R. 2 suy ra tam giác BOC vuông cân tại O từ đó tính được 1 BC 2 B· AC B· OC 45 FE BC.cos45 (6) 2 2 Lại có AH = 2.MO (7) BC 2 Từ (5), (6), (7) suy ra FA.HE FH.AE FE.AH 2.MO MO.BC 2 2 AE.FH FA.HE Suy ra 2 OM.BC 0,25 Cách thứ hai: Xét tam giác BOC có BC R. 2 nên tam giác BOC vuông cân tại O suy ra B· OC 90 . 0,25 20
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Có OA = OB = OC suy ra các tam giác BOC, AOB, AOC cân tại O nên ta có 2.O· BC 2.O· AB 2.O· AC 180 2.O· BC 2.B· AC 180 B· AC 45 Xét tam giác ABE vuông tại E , B· AE 45 suy ra AB 2 AE AB.CosA AB.Cos45 2 AC 2 tương tự có AF AC.CosA AC.Cos45 2 2 Suy ra AE.FH FA.HE AB.FH AC.HE . (1) 2 0,25 Lại có AB.FH AC.HE 2.S(AHB) 2.S(AHC) AH.BD AH.CD AH.BC (2) 0,25 2 Từ (1) và (2) suy ra AE.FH FA.HE AH.BC. 2 Mà AH = 2.OM nên AE.FH FA.HE AE.FH FA.HE OM.BC. 2 2 OM.BC 0,25 (1,0 điểm) 1 1 1 Có ab bc ca 3 5.abc 3 5 a b c 1 1 1 1 Chứng minh được với mọi x; y > 0 ta có (*) 0,25 x y 4 x y 5 5 5 Ta có M. 5 a 2b c 2a b c a b 2c Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có: 5 5 1 5 1 2. . a 2b c 4 a 2b c 4 a 2b c Lại áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 5 1 1 1 1 1 1 2 1 (1,0điểm) a 2b c 4 a b c b 16 a b c 5 5 1 1 2 1 Suy ra (1) 0,25 a 2b c 4 16 a b c Chứng minh tương tự có: 5 5 1 2 1 1 5 5 1 1 1 2 (2); (3) 2a b c 4 16 a b c a b 2c 4 16 a b c Cộng từng vế các bđt (1); (2); (3) ta có 3 5 1 1 1 1 3 5 3 5 3 5 3 5 M. 5 . M 0,25 4 4 a b c 4 4 2 2 1 1 1 3 5 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c a b c 5 0,25 a b c 21
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 5 1 Vậy giá trị lớn nhất của M là đạt được khi a b c 2 5 Hết 22
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 PHÒNG GD & ĐT TP HẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 DƯƠNG MÔN TOÁN T6 Thời gian làm bài 150 phút (Đề này gồm 5 câu, 1 trang) Câu 1 (2điểm) 5 x 2 x 5 a) Cho biểu thức M = . Tìm các giá trị nguyên dương của x để x M nhận giá trị nguyên. b) Cho ba số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện y z 3 1 x3 + z x 3 1 y3 + x y 3 1 z3 = 0 Chứng minh rằng: 1 x3 1 y3 1 z3 = 1 xyz 3 Câu 2 (2điểm) a) Giải phương trình 2 x2 2x 3 = 5 x3 3x2 3x 2 2 2 x 2 x y 3 y 5 b) Giải hệ phương trình 2 2 x 2 x y 3 y 2 Câu 3 (2đ) a) Anh Nam đi từ A và đã đến B gặp bạn đúng giờ hẹn. Anh nói với bạn rằng: nếu tôi đi với vận tốc ít hơn vận tốc đã đi 16 km/h thì đến B sau giờ hẹn 2 giờ, còn nếu tôi đi với vận tốc nhiều hơn vận tốc đã đi 20 km/h thì đến B trước giờ hẹn 1 giờ. Tính thời gian anh Nam đã đi quãng đường AB và chiều dài quãng đường đó. b) Cho x và y là các số hữu tỉ dương và thoả mãn đẳng thức x3 y3 2x 2 y2 . 1 Chứng minh rằng 1 là một số hữu tỉ xy Câu 4 (3đ) 4.1) Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC (AB< AC). Gọi E, D, F là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, BC, CA. Kẻ đường kính DM của (O) cắt AC tại N. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt các cạnh AC tại Q a) Chứng minh FQ.CN = FC.QN b) Kẻ DH vuông góc với EF. Chứng minh HD là phân giác của góc BHC 4.2) Cho hình vuông ABCD, các điểm M, N trên BC và CD sao cho M· AN = 450. Hãy tìm vị trí của M, N để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (1đ) Cho các số a1, a 2 , . . . , a 2014 được xác định theo công thức sau: 2 a với n = 1, 2, , 2014. n (2n 1)( n n 1) 1007 Chứng minh rằng: S2014 = a + a + . . . + a 1 2 2014 1008 23
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hết PHÒNG GD & ĐT TP HẢI HƯỚNG DẪN CHẤM DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Mã: T-Trần Văn Chung-BH-TPHD MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Câu Ý Đáp án Điểm -Với x nguyên dương thì x là số nguyên dương hoặc số vô tỉ 0,25 - Khi x là số nguyên dương, ta có 5 x + 23 nguyên 10 M = 5 x - + 23 x có giá trị nguyên thì x là các ước dương của 10 x 10; 5; 2; 1 hay x 100; 25; 4; 1 0,5 5 x 2 - Khi x là số vô tỉ, ta có M = 23, để M có giá trị a) x 1đ 5 x 2 nguyên thì a nguyên. Hay 5(x - 2) = a x (*) x +) Nếu a = 0 thì x = 2, M = 23 thỏa mãn 5 x 2 +) Nếu a 0, từ (*) x có vế trái là số vô tỉ, vế a 1 phải là số hữu tỉ mâu thuẫn. 2đ - Vậy có 5 giá trị x nguyên dương thỏa mãn yêu cầu là 100; 25; 4; 2; 1 0,25 - Ta có nếu a + b + c = 0 thì a3 b3 c3 3abc (1) Thật vậy : . . . 0, 25 - Đặt a = y z 3 1 x3 , b = z x 3 1 y3 , c = x y 3 1 z3 Thì a + b + c = 0 (theo gt) Do đó, áp dụng (1) được 3 3 3 3 3 3 b) y z 1 x + z x 1 y + x y 1 z 1đ = 3(x - y)(y - z)(z - x). 3 1 x3 1 y3 1 z3 (2) 0,25 - Biến đổi vế trái của (2) bằng 3(1 - xyz)(x - y)(y - z)(z - x) (3) 0,25 Vì x, y, z đôi một khác nhau nên từ (2) và (3) suy ra 1 xyz 3 1 x3 1 y3 1 z3 hay 3 1 xyz 1 x3 1 y3 1 z3 0,25 3 a) - Đặt t = x + 1, pt trở thành 2(t2 + 2) = 5 t 1 2 1đ 2 2 2đ 2(t + 2) = 5 (t 1)(t t 1) (1) 0,25 - Vì t3 + 1 0 nên t -1 24
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn - Đặt a = t 1 , b = t2 t 1 (với a, b 0) a2 b2 t2 2 Pt (1) trở thành 2(a2 + b2) = 5ab a 2b 2a b a 2b 0 0,25 b 2a +) Với a = 2b ta có: t 1 = 2 t2 t 1 4t2 - 5t +3 = 0 vô nghiệm 0,25 +) Với b = 2a ta có : t2 t 1 = 2 t 1 t2 - 5t - 3 = 0 5 37 Giải ra ta được t = (t/m) 2 3 37 Từ đó, tìm được x = 2 0,25 Đặt a= x2 2 x ; b = y2 3 y thì hệ đã cho trở thành a b 5 2 3 2 a b a 2 b 3 a 5 b 5 Giải hệ trên 2 3 a 2 2 5 b b 5 b 2 - Với a = 2 ta có x2 2 x = 2 b) x 2 1đ x 2 1 x 2 2 1 x 2 4 4x x x 2 2 Với b = 3 ta có y2 3 y = 3 y 3 y 3 2 2 y= 1 y 3 9 6y y y 1 1 Vậy hệ có nghiệm ( ; 1) 2 5 17 13 - Với a = b = , giải ra có x = , y = 2 20 20 1 17 13  Kết luận: hệ có nghiệm là x;y ;1 , ;  2 20 20  3 a) Gọi vận tốc và thời gian anh Nam đã đi quãng đường AB lần 2đ 1đ lượt là v (km/h) và t (h), v >0, t >0 25
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vận tốc và thời gian đi trong trường hợp thứ nhất và trường hợp thứ hai theo thứ tự là v1, v2 (km/h) và t1, t2 (h), v1, v2, t1, t2 > 0 - Ta có : vt = v1t1 = v2t2 v - v1 = 16, t1 - t = 2 v2 - v = 20, t - t2 = 1 0,25 Từ vt = v1t1 suy ra vt = v1(t + 2) Nên vt = v1t + 2v1 do đó 2v1 = (v - v1)t = 16t (1) Từ vt = v2t2 suy ra vt = v2(t - 1) nên vt = v2t - v2 Do đó v2 = (v2 - v)t = 20t (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2v2 - 2v1 = 40t - 16t v2 - v1 = 12t Ta lại có : v2 - v1 = (v2 - v) + (v - v1) = 20 + 16 = 36 nên t = 3 0,25 1 Với t = 3 thì v = vt. 3 1 1 1 t2 = t - 1 = 3 - 1 = 2 nên v2 = vt. Suy ra : v2 - v = vt 2 2 3 1 Nghĩa là 20 = vt vt = 120 6 Vậy anh Nam đi quãng đường AB là 120 km và thời gian đi hết 0,25 3 giờ Ta có x3 y3 2x2 y2 3 3 2 3 3 4 4 3 3 Hay x y 4x y 4x y 4x y 0,25 b) 3 3 2 4 4 1 0,25 x y 4x y 1 vì x, y dương 1đ xy 2 3 3 1 x3 y3 1 x y Vậy 1 2 2 1 2 2 là hữu tỉ xy 2x y xy 2x y 0,5 A N M Q K F H E 4 I 3đ O B D C Có OQ là phân giác của trong của NOF QF OF a) (1) 1đ QN ON 0,25 Chứng minh được OC  OQ OC là phân giác ngoài NOF 26
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CF OC (2) CN ON 0,25 QF CF Từ (1) và (2) QF.CN QN.CF QN CN 0,25 BD IH Kẻ BI, CK vuông góc EF BI // DH // CK (3) CD KH 0,25 Mặt khác BD = BE, CD =CF (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) IH BE KH CF BI BE b) Chứng minh được IBE # KCF (4) 1đ CK CF 0,25 IH KI Từ (3) và (4) KH CK 0,25 Từ đó chứng minh được BIH # CKH B· HI C· HK Lại có B· HI B· HD C· HK C· HD B· HD C· HD 0,25 Vậy HD là phân giác của góc BHC A B M E D N C Đặt AB = a. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm E sao cho DE = BM. Ta có ADE ABM (c-g-c) AE = AM và E· AD M· AB . Từ đó E· AN E· AD D· AN M· AB D· AN c) 0 · 0 1đ = 90 - MAN = 45 Ta có EAN MAN (c-g-c) 0,25 MN = EN = ED + DN = BM + DN = 2a - CM - CN (1) Mặt khác, từ tam giác vuông CMN ta lại có MN = CM2 CN2 kết hợp (1) 2a = CM+CN+ CM2 CN2 (2). Áp dụng bđt Côsi cho hai số không âm được CM + CN 2 CM.CN và CM2 CN2 2.CM.CN 0,25 Cả hai dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi CM = CN. 0,25 27
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2a Từ đó (2) CM.CN hay 2 2 2 1 2a 2 0,25 SCMN =(3 - 2 2 )a 2 2 2 SCMN đạt GTLN khi và chỉ khi CM = CN, khi đó DN = a - CN = a - CM = BM và ta có AND ABM (c-g-c) hay B· AM D· AN 22030' . · 0 Vậy vị trí của M, N để SAMN đạt GTLN là BAM 22 30' 2 2 n 1 n Ta có a = 0,25 n (2n 1)( n n 1) 2n 1 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n = < = = 4n2 4n 1 4n2 4n 2 n(n 1) 1 1 = 0,25 5 n n 1 1đ 1 Sn = a + a + . . . + a 1 - = 1 2 n n 1 2 2 2 n 1 1 = 1- 4n 4 n2 4n 4 n 2 n 2 0,25 2014 1007 Từ đó S2014 = a + a + . . . + a 1 2 2014 2016 1008 0,25 Mọi cách làm khác mà kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa 28
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP 9 T8 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề này gồm 5 câu, 1 trang) Câu 1 (2 điểm) 2015 a) Cho hàm số f(x)= (x3 + 6x - 7) . Tính f(a) với a = 3 3 + 17 + 3 3- 17 . b)Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. æ y ö ç x z ÷ Tính giá trị của biểu thức P = (1+ x)(1+ y)(1+ z)ç + + ÷ èç1+ x 1+ y 1+ zø÷ Câu 2 (2 điểm) 2 x 2 x a) Giải phương trình : 2 2 2 x 2 2 x b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. ab bc ca 1 Chứng minh : . c 1 a 1 b 1 4 Câu 3 (2 điểm) a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. b)Chứng minh biểu thức P n3 (n2 7)2 36n chia hết cho 210 với mọi số nguyên n. Câu 4 (3 điểm) Cho D ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. 1. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành 2. Kẻ OM ^ BC tại M. Gọi G là trọng tâm của D ABC. Chứng minh SAHG = 2SAGO AD BE CF 3. Chứng minh + + ³ 9 HD HE HF Câu 5 (1 điểm) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2015. a2 b2 c2 1 2015 Chứng minh rằng: . b c c a a b 2 2 29
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hết Hướng dẫn chấm PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG Mã: T-Nguyễn Tuấn Anh- VH - LỚP 9 TPHD MÔN: TOÁN (hướng dẫn chấm gồm 6 .trang) Câu Đáp án Điểm a. (1 điểm) a = 3 3 + 17 + 3 3- 17 3 3 Û a3 = (3 3 + 17 ) + (3 3- 17 ) + 3.3 (3 + 17)(3- 17)(3 3 + 17 + 3 3- 17 ) 0.5 = 6 - 6a Û a3 + 6a - 7 = - 1 đ 2015 2015 Vậy f (a)= (a3 + 6a - 7) = (- 1) = - 1 0,5 đ b. (1 điểm) 2 b) Từ xy + yz + zx = 1 Þ 1+ x = xy + yz + zx + ( x) 1 = x x + y + z x + y = x + z x + y . 0.25 (2 ( ) ( ) ( )( ) điểm) Tương tự ta có :1+ y = y + x y + z ; 1+ z = z + x z + y ( )( ) ( )( ) 0.25 Thay vào P ta được: 2 2 2 P = ( x + y) ( y + z) ( z + x) . æ ö ç ÷ ç x y z ÷ ç + + ÷ ç ÷ èç( x + y)( x + z) ( y + x)( y + z) ( z + x)( z + y)÷ø é ù x ( y + z)+ y ( x + z)+ z ( x + y) = ê( x + y)( y + z)( z + x )ú. 0.25 ëê ûú ( x + y)( y + z)( z + x) = 2( xy + yz + zx)= 2 0.25 2 a) (1 điểm) điều kiện : 0 x 4 30
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (2 2 x 2 x 2 x 2 x điểm) 2 2 (1) 2 2 x 2 2 x 2 4 2 x 2 4 2 x 0.25 Đặt 4 2 x = a ; 4 2 x = b ( a ; b 0) . a 2 b 2 8 T a có : a 2 b 2 2 0.25 2 a 2 b 2 2 2 2 a b 8 a b 8 2 2 2 a b ab a b 8 4 a b 2ab a b ab 4 2 ab 4 0 2 2 a b 8 (I) 0.25 a b 2 ab 4 0 Vì ab + 4 > 0 nên : 2 2 b 2 b 2 a b 2ab 8 ab 2 a b a I a a b 2 2 a 1 3 a b 2 a 2 a 2 2a 2 0 a a 1 3 (loai vì a 0) a 3 1 4 2 x 3 1 x 3 0.25 b 3 1 4 2 x 3 1 b)(1 điểm) 2 1 1 4 1 1 1 1 0.25 Ta có với x, y > 0 thì: (x+y) 4xy (*) x y x y x y 4 x y dấu bằng xảy ra khi x = y. Áp dụng bất đẳng thức (*) và do a+b+c = 1 nên ta có: ab ab ab 1 1 0.25 ; c 1 (c a) (c b) 4 c a c b bc bc 1 1 ; a 1 4 a b a c 0.25 Tương tự ta có: ca ca 1 1 . b 1 4 b a b c ab bc ca 1 ab bc ab ca bc ca 1 1 a b c c 1 a 1 b 1 4 c a b c a b 4 4 ab bc ca 1 1 . Dấu bằng xảy ra a b c 0.25 c 1 a 1 b 1 4 3 Câu Đáp án Điểm a. 1 đ 3 (2 + Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả điểm) sử 1 a b c . 31
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a 2 b2 c2 (1) 0.25 Ta có hệ phương trình : đ ab 2(a b c) (2) 2 2 2 2 Từ (1) c = (a + b) − 2ab c = (a + b) − 4(a + b + c) (theo (2)) (a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c (a + b)2 − 4(a + b) + 4 = c2 + 4c + 4. (a + b − 2)2 = (c + 2)2 a + b − 2 = c + 2 (do a + b 2) 0.25 c = a + b − 4. đ Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4) ab −4a−4b + 8 = 0 b(a −4) −4(a−4) = 8 (a −4)(b−4) = 0.25 8 đ Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có: a 4 1 a - 4 = 2 a = 5 a = 6 hoÆc hoÆc b 4 8 b - 4 = 4 b = 12 b = 8 Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5 ; 12 ; 13) và (6 ; 0.25 8 ; 10) thỏa mãn yêu cầu của bài toán. đ b. (1 điểm) 2 + P n n3 7n 36 n n3 7n 6 n3 7n 6 3 2 2 3 n n n (n n) 6(n 1) n n 6(n 1) = (n 3)(n 2)(n 1)n(n 1)(n 2)(n 3) 0.5 đ Ta có: P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,6,7 mà 5,6,7 là các số nguyên tố cùng nhau đôi một nên P chia hết cho 5.6.7 = 210 . 0.5 đ 32
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 A (3 điểm) E F G H O B D M C K a/ (1 điểm) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành + VìD ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK nên D ACK vuông tại C 0.5 đ + Suy ra KC ^ AC Ta có BE ^ AC (gt) + Suy ra KC // BE hay KC // BH + Chứng minh tương tự ta có KB // CH 0.5 đ + Kết luận tứ giác BHCK là hình bình hành b/ (1 điểm) 0.5 đ Chứng minh 3 điểm H, M, K thẳng hàng + Chứng minh M là trung điểm của BC + Ta có tứ giác BHCK là hình bình hành (cmt). Suy ra 2 đường chéo BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà M là trung điểm của BC (cmt) Suy ra M cũng là trung điểm của HK + Suy ra 3 điểm H, M, K thẳng hàng Chứng minh SAHG = 2SAGO 0.5 đ + Vì M là trung điểm của BC (cmt). Suy ra AM là đường trung tuyến của D ABC + D ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm (gt) Suy ra G thuộc đoạn AM, AG = 2 AM 3 33
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn + Vì M là trung điểm của HK (cmt) Suy ra D AHK có AM là đường trung tuyến. Mà G thuộc 2 đoạn AM, AG = AM (cmt). Suy ra G là trọng tâm của D 3 AHK + Chứng minh HO đi qua G, HG = 2GO + D AHG và D AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO, HG = 2GO Do đó SAHG = 2SAGO c/(1 điểm) AD BE CF Chứng minh + + ³ 9 HD HF HF 1 1 1 HD.BC HE.AC HF.AB HD HE HF Ta có: + + = 2 + 2 + 2 1 1 1 AD BE CF AD.BC BE.BC CE.AB 2 2 2 S S S = HBC + HAC + HAB SABC SABC SABC 0.5 đ S + S + S S = HBC HAC HAB = ABC = 1 SABC SABC + Chứng minh bài toán phụ: Cho x > 0, y > 0, z > 0. Chứng minh rằng 0.25 æ1 1 1ö đ (x + y + z)ç + + ÷³ 9 èçx y zø÷ Ta có: æ ö æ ö æ ö ç1 1 1÷ çx y÷ æx z ö çz y÷ (x + y + z)ç + + ÷= 3+ ç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷ èçx y zø÷ èçy xø÷ èçz xø÷ èçy z ø÷ x2 + y2 x2 + z2 z2 + y2 = 3+ + + xy xz zy (x - y)2 + 2xy (z- x)2 + 2xz (z- y)2 + 2yz = 3+ + + xy zx yz (x - y)2 (z- x)2 (z- y)2 = 3+ 2+ 2+ 2+ + + ³ 9 xy zx yz (Vì với x > 0, y > 0, z > 0 thì (x - y)2 (z- x)2 (z- y)2 ³ 0; ³ 0; ³ 0 ) xy zx yz 34
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 Cách 2: Sử dụng x y z 33 xyz ta có + + ³ 33 suy x y z xyz æ1 1 1ö ra (x + y + z)ç + + ÷³ 9 . èçx y zø÷ + Áp dụng kết quả bài toán trên ta có 0.25 æHD HE HFöæAD BE CFö HD HE HF đ ç + + ÷.ç + + ÷³ 9 . Mà + + = 1 èçAD BE CFø÷èçHD HE HFø÷ AD BE CF (cmt) AD BE CF Do đó + + ³ 9 HD HF HF Đáp án Điểm (1 điểm) Ta có 2(a2 b2 ) (a b)2 . 0.25 đ Suyra a2 b2 c2 a2 b2 c2 b c c a a b 2 b2 c2 2 c2 a2 2 c2 a2 Đặt x b2 c2 , y c2 a2 , z a2 b2 , y2 z2 x2 z2 x2 y2 x2 y2 z2 suy ra VT 2 2x 2 2y 2 2z 1 (y z)2 (z x)2 (x y)2 5 x y z 0.25 đ (1 điểm) 2 2 2x 2y 2z 1 (y z)2 (z x)2 (x y)2 2x 3x 2y 3y 2z 3z 2 2 2x 2y 2z 0.25 đ 1 2(y z) 3x 2(z x) 3y 2(x y 3z 2 2 1 1 2015 Suy ra VT (x y z) 0.25 2 2 2 2 đ Hết 35
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP 9 T10 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút ( Đề này gồm 05 câu, 01trang) Câu 1 ( 2,0 điểm) 1 2 3 2015 a) Tính tổng: S 14 12 1 24 22 1 34 32 1 20154 20152 1 1 1 1 1 b) Cho biểu thức S . n 1 2 3 n Tìm các số nguyên dương n sao cho: [Sn] = 2. Câu 2 ( 2,0 điểm) a) Giải phương trình: 4x2 3x 4x x 3 2 2x 1 3 . xy x y 3 b) Giải hệ phương trình: 1 1 2  2 2 x 2x y 2y 3 Câu 3 ( 2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x 2 1 2x 2y 2 1 1 x 3 y 3 . b) Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn 2 3 3 3x 3 y 3 . Câu 4 ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 60o. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N. a) Chứng minh: Các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp. b) Gọi J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: A, K, J thẳng hàng. c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r Câu 5: (1.0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 =2014 x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + y z z x x y 36
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hết PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 Mã: T-Nguyễn Văn Minh-TB-TPHD MÔN: TOÁN (hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) 2 Ta có: n 4 n 2 1 n 2 1 n 2 n 2 n 1 n 2 n 1 0,25 đ n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 1 1 1 Do đó: . . n 4 n 2 1 2 n 2 n 1 n 2 n 1 2 n 2 n 1 n 2 n 1 0,25đ (*) Áp dụng (*) với n = 1; 2; 3; ; 2015 ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 S . 1 2 3 3 7 7 13 4058221 4062241 0,25đ 2031120 0,25đ Vậy S = 4062241 b. (1,0 điểm) . Câu 1 Trước hết ta chứng minh: (2 điểm) 1 * 2 n 1 n 2 n n 1 với n N , n≥2. n 0,25đ Thật vậy: 1 2 2 * 2 n 1 n với mọi n N . n n n n 1 n 1 2 2 * 2 n n 1 với mọi n N . n n n n 1 n 0,25đ Khi đó 2 n 1 2 Sn 2 n 1. Để [Sn] = 2 thì Sn 2 n 1 3 n 4 Với n = 1; 2 thì Sn =1, [Sn] = 1. 0,25đ Với n = 3; 4 thì , [Sn] = 2. Vậy n = 3; 4 là các giá trị cần tìm. 0,25đ 2 1 (2,0điểm) a) Điều kiện: x 2 0,25đ PT 4x2 3x 3 4x x 3 2 2x 1 4x2 4x x 3 x 3 1 2 2x 1 2x 1 0 2 2 2x x 3 1 2x 1 0 0,25đ 2 2x x 3 4x x 3 x 1 (tmđk) 0,25đ 1 2x 1 1 2x 1 37
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy PT có nghiệm là x = 1 0,25đ x 1 (y 1) 4 b) Hệ PT 1 1 2 2 2 (x 1) 1 y 1 1 3 Đặt u x 1, v y 1 uv 4 u 1 0,25đ Hệ đã cho trở thành 1 1 2 , ĐK : (*) v 1 u2 1 v2 1 3 uv 4 uv 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 u v 2 2 u v u v 1 u v 8 uv 4 u v 2 0,25đ ( TM(*)) u v 4 u v 2 x 1 x 3 Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: ; . 0,5đ y 1 y 3 a) 2y 2x 2 1 2x 2y 2 1 1 x 3 y 3 (1) Ta có: (1) 4xy x y 2 x y 1 x 3 y 3 . a x y 0,25đ Đặt (a, b là các số nguyên) b xy b3 1 Khi đó pt trở thành: 4ab 2a 1 b3 2a 2b 1 7 (vì b nguyên nên 2b 1 0) 16a 4b 2 2b 1 2b 1 3 Vì a, b nguyên nên 2b 1 phải là ước của 7 (2,0điểm) b 1 a 0 0,25đ 2b 1 1 1 b 0 a (L) 2b 1 1 2 2b 1 7 9 b 4 a (L) 2b 1 7 2 b 3 a 2 a 0 x y 0 • Với x y 1 b 1 xy 1 0,25đ a 2 x y 2 y x 2 • Với (VN) b 3 xy 3 x 2 2x 3 0 0,25đ KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là: x y 1, x y 1 b) Xét 2 3 3 3x 3 y 3 (1) ĐK: x 0, y 0 (1) 2 3 3 3x 3 y 3 6 xy 3x y 2 3 6 xy 3 (2) 2 0,25đ 2 12xy 3 3x y 2 3x y 2 .3 36xy 36 xy 9 xy (3) 12 38
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do x, y là các số hữu tỉ nên từ (3) suy ra xy là số hữu tỉ. 0,25đ 6 xy 3 • Nếu 3x y 2 0 , từ (2) 3 (mâu thuẫn vì VT là số vô tỉ, 3x y 2 VP là số hữu tỉ) 3x y 2 0,25đ 3x y 2 0 • Nêu 3x y 2 0 , kết hợp với (2) ta có: 1 6 xy 3 0 xy 4 1 x 1 6 Giải hệ trên ta có: x y hoặc 2 3 0,25đ y 2 1 Thử lại vào (1) ta thấy x y thỏa mãn. 2 - Vẽ hình đúng 0,25đ A E M K N F I C B D J a) Ta có : MN // BC (gt), ID  BC ((I) tiếp xúc với BC tại D) ID  MN IK  MN I·KM I·KN 900 0,25đ Câu 4 I·FM I·KM 900 900 1800 Tứ giác IFMK nội tiếp. (3điểm) 0 0,25đ Mặt khác : I·KN I·EN 90 Tứ giác IKEN nội tiếp. Ta có : I·MF I·KF (Tứ giác IFMK nội tiếp) ; I·KF A· NI (Tứ giác IKEN nội tiếp) I·MF A· NI Tứ giác IMAN nội tiếp. 0,25đ · · IMK IFK Tö ù giaùc IFMK noäi tieáp b)Ta có : I·N K I·EK Tö ù giaùc IKEN noäi tieáp 0,25đ Mặt khác : IE = IF (= r) IEF cân tại I. IMN cân tại I có IK là đường cao. IK là đường trung tuyến của IMN K là trung điểm của MN MN 2.MK MN 2.MK MK Mà BC = 2.BJ (J là trung điểm của BC). Do đó: BC 2.BJ BJ 0,25đ AM MN Mặt khác: ABC có MN // BC (Hệ quả của định lý Thales) AB BC AM MK MN Ta có: AB BJ BC 39
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn · · 0,25đ AMK ABJ hai goùc ñoàng vò Xét AMK và ABJ , ta có: AM MK AB BJ AMK : ABJ c g c M· AK B· AJ Hai tia AK, AJ trùng nhau. 0,25đ Vậy ba điểm A, K, J thẳng hàng. c) AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (I) AE = AF và AI là tia phân giác của E· AF 0,25đ Xét AEF cân tại A có E· AF 600 (gt) AEF đều. EF = AE = AF. AEF đều có AI là đường phân giác. AI là đường cao của AEF 1 AI  EF S AI.EF 2 · · 0,25đ Xét IAE vuông tại E AE = IE.cot IAE ;IE = AI.sin IAE r 0,25đ AE r.cot 300 3.r;AI 2r EF = AE = 3.r sin300 1 1 Vậy S .AI.EF .2r. 3.r 3.r2 (ñvdt) 0,25đ 2 2 Đặt: a = x2 y2 ; b = y2 z2 ; c = z2 x2 (*) a + b + c = 2014 (1) a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Từ (*) =>x2 = ; y2 = ; z2 = 0,25đ 2 2 2 Áp dụng BĐT Cauchy ta có: y + z 2(y2 z2 ) = b 2 ; z + x 2(z2 x2 ) =c 2 ; x + y 2(x2 y2 ) = a 2 2 2 2 x y z 1 a2 b2 c2 2 2 2 Từ đó ta có:T = + + ( + a b c + y z z x x y 2 2 b c 2 2 2 a b c ) Câu 5 a (1điểm) 0,25đ 1 a2 c2 a2 b2 b2 c2 T ( + + + + + - a – b – c ) (2) 2 2 b b c c a a Áp dụng BĐT Cauchy ta lại có: a2 c2 a2 b2 b2 c2 +b 2a; +b 2c; +c 2a; +c 2b; +a 2b; +a 2c b b c c a a 0,25đ a2 c2 a2 b2 b2 c2 => + + + + + 4(a +b+c)–2(a + b+ c) =2(a+b+ c)(3) b b c c a a 1 Từ (2) và (3) => T ( a + b + c) (4) ; 2 2 1 Từ (1) và (4) => T . 2014. 0,25đ 2 2 40
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn = 2014 2014 Vậy TMin , khi x = y = z = . 2 2 3 2 Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa./. 41
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIỚI THIỆU CHO PHÒNG GD Vận dụng Cấp độ Nhận Thôn Cấp độ Tổng Chủ đề biết g hiểu Cấp độ cao thấp 1. Biến đổi Vận dụng các phép tính và các phép biểu thức chứa biến đổi đơn giản CBH để tính giá trị căn thức bậc biểu thức hai. Số câu 2 2 Số điểm 2đ 2đ Tỉ lệ % 20% 20% 2. Cực trị đại Vận dụng bất đẳng thức Cô-si tìm số, phương GTLN,GTNN, giải phương trình vô tỉ trình vô tỉ Số câu 2 2 Số điểm 2đ 2đ Tỉ lệ % 20% 20% 3. Chứng Vận dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng minh bất đẳng thức thức. Số câu 1 1 Số điểm 1đ 1đ Tỉ lệ % 10% 10% 4. Hàm số và Chứng minh đường thẳng luôn đi qua đồ thị hàm số một điểm cố định ; tìm khoảng cách bậc nhất. lớn nhất từ một điểm đến đường thẳng Số câu 2 2 Số điểm 2đ 2đ Tỉ lệ % 20% 20% Chứng Vận dụng tính chất 3 đường cao trong minh tam giác và đường trung bình trong hai tam 5. Hình học tam giác để chứng minh trung điểm giác của đoạn thẳng. đồng Hệ thức lượng, cực trị hình học dạng Số câu 1 2 3 Số điểm 1đ 2đ 3đ Tỉ lệ % 10% 20% 30% Tổng 42
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Số câu 1 9 10 Số điểm 1đ 9đ 10đ Tỉ lệ % 10% 90% 100% UBND HUYỆN THANH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIƠI LỚP 9 TRƯỜNG THCS HỢP MÔN: TOÁN ĐỨC Thời gian làm bài : 150 phút ( Đề này gồm 5 câu, 02 trang) Số phách Người ra đề Xác nhận của Ban giám (Do Trưởng phòng (Ký và ghi rõ họ tên) hiệu GD&ĐT ghi) (Ký tên, đóng dấu) Phần phách Số phách (Do Trưởng phòng GD&ĐT ghi) ĐỀ BÀI C©u I (1,0 ®iÓm). 2 + 3 2 - 3 TÝnh : m = 2 2 3 2 2 3 C©u II (2,0®). Trªn mÆt ph¼ng Oxy cho ®êng th¼ng (d): y = (2m + 1)x - 4m - 1 vµ ®iÓm A(-2;3). 43
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m th× ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. b) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn ®êng th¼ng (d) lµ lín nhÊt. C©u III (2,0 ®iÓm). a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x 1 17 2x x 4 8x3 17x 2 8x 22 b) Cho x, y lµ c¸c sè tho¶ m·n: x2 3 x y2 3 y 3 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x2017 y2017 2017 C©u IV (2,0®). 2 1 a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A với 0 < x < 1 1 x x (x y)2 x y b) Víi x,y kh«ng ©m. Chøng minh : x y y x 2 4 C©u V (3,0®). Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH (H BC); BC = 2a. Gäi M,N theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña H trªn c¹nh AB,AC. §o¹n th¼ng AH c¾t MN t¹i O. Gäi P,Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BH vµ HC, ®êng cao PI cña tam gi¸c APQ c¾t OH t¹i E. Chøng minh r»ng: a) PH.HQ = AH.EH 44
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) E lµ trung ®iÓm cña OH BH CH c) 2 2.a cosB cosC - - - Hết - - - Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: UBND HUYỆN THANH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP HÀ 9 TRƯỜNG THCS HỢP MÔN: TOÁN ĐỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Số phách Người ra đề Xác nhận của Ban giám hiệu (Do Trưởng phòng (Ký và ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) GD&ĐT ghi) Phần phách Số phách (Do Trưởng phòng GD&ĐT ghi) 45
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u PhÇn Néi dung §iÓm m 2 + 3 2 3 2 2 4 2 3 2 4 2 3 m 2 + 3 2 3 2 2 ( 3 1)2 2 ( 3 1)2 0,25® C©u I m 2 + 3 2 3 (1,0®) 2 2 3 1 2 3 1 0,25® m 2 + 3 2 3 (2 + 3)(3 3) (2 3)(3 3) 0,25® 2 3 3 3 3 9 3 m 6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 3 1 M 2 0,25® 2 6 Gäi M(x0;y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua víi mäi m. Ta cã : y0 = (2m + 1)x0 - 4m - 1 víi mäi m 0,25® a) (2x0 - 4)m + x0 - 1 - y0 = 0 víi mäi m 0,25® 1,0® 2x0 4 0 x0 2 0,25® C©u II x 1 y 0 y 1 (2,0®) 0 0 0 VËy ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M(2;1) víi mäi m 0,25® Ta thÊy A (d). KÎ AH  (d) (H d) ta cã AH AM= 2 5 0,25® b) (bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c vu«ng) 1,0® Do ®ã AH lín nhÊt b»ng AM H  M . Khi ®ã AM (d) 0,25® Phần phách C©u PhÇn Néi dung §iÓm 1 0,25® ViÕt ®îc ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AM : y x 2 2 46
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 0,25® Dùa vµo §K hai ®êng th¼ng vu«ng gãc t×m ®îc: m = vµ tr¶ 2 lêi 1 17 §KX§: x (*) 0,25® 2 2 ¸p dông b®t Bunhiak«pski ta cã: 2x 1 17 2x 2. 2x 1 17 2x 36 6 . 0,25® a) 1,0® DÊu “=” x¶y ra 2x+1 = 17 - 2x x = 4 Ta l¹i cã: x 4 8x3 17x 2 8x 22 =(x2 - 4x)2+(x - 4)2+6 6 víix. 0,25® DÊu “=” x¶y ra x= 4 Suy ra 2x 1 17 2x x 4 8x3 17x 2 8x 22 x = 4 0,25® Víi x = 4 tho¶ m·n §K (*).VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 4 C©u III Ta cã : x2 3 x y2 3 y 3 ( ) (2,0®) Tõ( ) x2 3 x x2 3 x y2 3 y 3 x2 3 x x2 3 x2 y2 3 y 3 x2 3 x 3 y2 3 y 3 x2 3 x b) 0,25® 1,0® y2 3 y x2 3 x (1) 0,25® T¬ng tù ta cã : x2 3 x y2 3 y (2) 0,25® LÊy (1) céng víi (2) ta cã : x = -y Suy ra A x2017 y2017 2017 x2017 x2017 2017 2017 0,25® VËy A = 2017 Víi 0 0 (C«-si) (2) 0,25® Nh©n tõng vÕ 2 bÊt ®¼ng thøc (1) vµ (2) ta cã 47
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 (x y) (x y) 2 xy( x y) 2 x y (x y)2 2(x y y x) 2 0,25® (x y)2 x y x y y x (®pcm) 2 4 - VÏ h×nh ®óng A N 0,5® O M I E B P H Q C a) - C/m ®îc PHE ®ång d¹ng víi AHQ (g.g) 0,5® 0,75® - Suy ra: PH.HQ = AH.EH 0,25® C©u V - C/m tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt O lµ trung ®iÓm cña AH 0,25® (3,0®) Suy ra PO lµ ®êng trung b×nh cña ABH PO//AB mµ AB AC 0,25® b) PO AC PO lµ ®êng cao trong APC. 1,0® Do ®ã O lµ trùc t©m cña APC CO AP (1) 0,25® L¹i cã E lµ trùc t©m cña APQ QE AP (2) Tõ (1) vµ (2) QE//CO mµ Q lµ trung ®iÓm cña HC (gt) suy ra E 0,25® lµ trung ®iÓm cña OH (®pcm) BH CH BH CH Ta cã : AB AC ( V × cosB = ; cosC = ) 0,25® cosB cosC AB AC Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki c) (AB + AC)2 2(AB2 + AC2) = 2BC2 = 2.(2a)2 = 8a2 0,25® 0,75® AB + AC 8a2 2 2a BH CH VËy 2 2a 0,25® cosB cosC - - - HÕt - - - 48
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 ĐẾN 18 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN (LUYÊN TẬP CHO HS) Đề số 8 Bài 1 : ( 1,5 điểm ) Rút gọn biểu thức a)A = 4 3 2 2 57 40 2 b) B = 5 3 29 6 20 x5 x 3 2x Bài 2 : ( 2,0 điểm ) a) CMR biểu thức M = luôn nhận giá trị nguyên với mọi x Z 30 6 15 b) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phương ; chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố . 2 a b a 2 b 2 Bài 3:(1,5điểm) Với mọi a , b R . Chứng minh:a) b) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b 2 2 Bài 4 : ( 2,0 điểm ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = x 2 x b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 ) Bài 5(1,5điểm) Cho hình bình hành ABCD , trên cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M , K sao cho AM = CK . Lấy điểm P nằm trên cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ). Nối PB , PC cắt MK tại E , F . Chứng minh S S S PEF BME CKF Bài 6 : ( 1,5 điểm ) Cho hình thoi ABCD có BAˆ D 1200 . Tia Ax tạo với tia AB một góc BAˆ x 150 và cắt 4 3 3 cạnh BC tại M , cắt đường thẳng CD tại N . Chứng minh AB 2 AM 2 AN 2 Đề số 9 Bài 1: (6 điểm) x y xy a) Cho P x y 1 y x y x 1 x 1 1 y 1. Tìm điều kiện của x,y để biểu thức P xác định và rút gọn P 2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = 2 b) Chứng minh rằng: Với mọi n N thì n 2 + n +1 không chia hết cho 9 2 Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình : 17 x2 3 x a) Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a 100 + b 100 = a 101 + b 101 = a 102 + b 102 . Tính giá trị biểu thức: P = a 2015 + b 2015 Bài 3: (3 điểm)a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 3y2 4x 19 3 ab bc ca a b c b/ Cho a,b,c > 0. Chứng minh : 28 a2 b2 c2 abc Bài 4: (6 điểm)Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với MPB suy ra K là trung điểm của MP 49
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên ,dương của phương trình: xy+yz+zx=xyz+2 Đề số 10 Câu 1. a) Tính: 5 2 2 9 4 2 b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc 4 . Tính giá trị của biểu thức: A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc Câu 2. Giải các phương trình sau: a) x x 1 x 4 x 9 0 b) 2(x2 + 2) = 5 x3 1 x y 2013 Câu 3. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y; z thỏa mãn là số hữu tỉ, đồng thời y z 2013 x2 y2 z2 là số nguyên tố. Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D. a) Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn. b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 5. a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương. a2 b2 c2 (a b c)2 Chứng minh : x y z x y z b) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. 1 x2 1 y2 1 z2 Chứng minh : 2 1 y z2 1 z x2 1 x y2 Câu 6. Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu? Đề số 11 Bµi 1 ( 2 ®iÓm ): Cho ®a thøc: f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x 1/ Ph©n tÝch f(x) thµnh nh©n tö. 2/ CMR víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× f(x) + 1 lu«n cã gi¸ trÞ lµ sè chÝnh ph¬ng. Bµi 2 ( 1,5 ®iÓm ): Cho ph¬ng tr×nh Èn x: 4x 7 a b ; víi x 1; x 2. x 2 3x 2 x 1 x 2 T×m a vµ b ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ bÊt kú sè thùc nµo kh¸c 1 vµ 2. Bµi 3 ( 2 ®iÓm ): T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x + y + z; biÕt r»ng x; y; z lµ c¸c 3x 2 sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn y2 + yz + z2 = 1 - . 2 Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ): Cho h×nh vu«ng ABCD ( AB = a ), M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC. Tia Ax vu«ng gãc víi AM c¾t ®êng th¼ng CD t¹i K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MK. Tia AI c¾t ®êng th¼ng CD t¹i E. §êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AI t¹i N. 1/ Tø gi¸c MNKE lµ h×nh g× ? Chøng minh. 2/ Chøng minh: AK2 = KC . KE. 50
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3/ Chøng minh r»ng khi ®iÓm M di chuyÓn trªn c¹nh BC th× tam gi¸c CME lu«n cã chu vi kh«ng ®æi. 1 1 4/ Tia AM c¾t ®êng th¼ng CD ë G. cmr kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. AM 2 AG 2 Bµi 5 ( 1 ®iÓm ): Cho a; b; c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: abc = 2008. Chøng minh r»ng: 2008a b c 1 ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c 1 §Ò thi chän ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 9 Đề số 12 Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau 20082 2014 . 20082 4016 3 .2009 P = 2009 2 2008 2009 2 2008 Q = 2005.2007.2010.2011 10a2 3b2 ab 0 2a b 5b a 9 Bµi 2: BiÕt . Chøng minh r»ng: b a 0 3a b 3a b 5 Bµi 3: Chøng minh r»ng víi 0. Chøng minh r»ng: + + 3(a + b + c) ab + 5b2 cb + 5c2 ac + 5a2 Đề số 13 x 2 1 4 x Bµi 1: (6®) a. Cho biÓu thøc: P . x x 1 x 1 3 8 1.Rót gon P 2.T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P= 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 9 P 1 1 1 1 1 b. Chøng minh r»ng A= 4 1 2 3 4 5 6 7 8 79 80 4 Bµi 2:(4®) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 x 6 x2 x 2 x x b)Chøng minh r»ng : n2 + 7n + 2014 kh«ng chia hÕt cho 9 víi mäi sè tù nhiªn n. Bµi 3:(3®) a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 1 + x + x2 + x3 = y3 b)Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng vµ a+b+c=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= a 3 b3 c 3 Bµi 4:(6®) Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, tõ mét ®iÓm S ë ngoµi ®êng trßn vÏ c¸c tiÕp tuyÕn SA.SB ( A, B lµ c¸c tiÕp ®iÓm). KÎ ®êng kÝnh AC cña (O) c¾t AB t¹i E. Chøng minh: a) Bèn ®iÓm A,O,S,B thuéc cïng mét ®êng trßn. b) AC2 = AB.AE b) SO // CB c) OE vu«ng gãc víi SC Bµi 5: (1®) T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn d¬ng sao cho: a + b2 chia hÕt cho a2b-1 51
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đề số 14 x y x y x y 2xy Câu 1: (6điểm) Cho P = : 1 1 xy 1 xy 1 xy 2 a, Rút gọn P b, Tính giá trị của P với x= c, Tìm giá trị lớn nhất của P 2 3 C©u 2: (4 điểm) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x 6 x - (3 x)(6 x) =3 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y. x y z a b c x2 y2 z2 Câu 3: ( 4 điểm) a) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 1 1 1 a b c b) Cho a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . CMR P= + + a 2 bc b 2 ac c 2 ab 2abc C©u 4: (5đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P . 1. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. 2. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 3. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất. C©u 5:(1đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn : 1 1 1 1 6 (x ) 3(y ) 2(z ) xyz . y z x xyz Đề số 15 1 x x 1 Bài 1 : (2,5đ) a) Rút gọn biểu thức P ( x) : 1 x (1 x) 2 1 Tính giá trị biểu thức P khi x 2 1 64 b) Đặt a 3 2 3 3 2 3 .Chứng minh rằng 3a là số nguyên. (a 2 3)3 Bài 2 (2,5đ) a) Giải phương trình 2 5 x x 5 b) Giải hệ phương trình xy 6 3x 2y 2 2 x y 2x 4y 3 Bài 3 (2đ)Trên mp toạ độ Oxy , cho Parabol (P) y = - x2 và đường thẳng (d) : y = -x – 2 a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) : y = mx – m +1 cắt đường thẳng (d) tại các điểm nằm trên Parabol (P) Bài 4 (3đ) Cho nửa đường tròn (C) tâm O đường kính AB . Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn ( C ) và D là điểm chính giữa cung AC . Gọi E là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường thẳng BC và F là giao điểm của AE với nửa đường tròn ( C ) . Tia BF cắt DE tại M. Chứng minh : a) Hai tam giác MDF và MBD đồng dạng . b) M là trung điểm của đoạn DE . Đề số 16 x 3 x 2 x 2 x Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức A : 1 ; x 2 3 x x 5 x 6 x 1 Với x 0; x 4; x 9 ; a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi x 6 2 5 . 52
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? A Câu 2(3 điểm):a) C/m : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. x - 2012 1 y - 2013 1 z - 2014 1 3 b) Giải phương trình: x - 2012 y - 2013 z - 2014 4 Câu 3 (4 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2. b) T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho a56b chia hết cho 45 Câu 4: (7 điểm) 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a. Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. 2. Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt 1 1 1 đường thẳng DC ở I. Chứng minh rằng: . AM2 AI2 a 2 Câu 5(2điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR 1 1 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 Đề số 17 3 3 x 3 Bài 1(6đ) 1) Cho biểu thức Q 1 2 3 x x 3 3 x 27 3 x a/ Tìm điều kiện của Q và rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi x 4 7 4 7 2) Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + + 100 Bài 2: (4đ) 1) x 2013 4x 8052 3 1 1 1 2) Cho abc = 1.Tính S = 1 a ab 1 b bc 1 c ac Bài 3: (3đ) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 a2 b2 2) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 Chứng minh : 2 2 a b Bài 4: (6,0 đ) Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh tam giác ABC vuông b)Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 c) Xác định tam giác ABC sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính d/ tích lớn nhất đó theo R. Bài 5: (1đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2(x y) 16 3xy Đề số 18 x2 1 y2 1 Bµi 1. (3 ®iÓm) Cho x, y lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 1 tháa m·n lµ sè nguyªn. y 1 x 1 Chøng minh r»ng x2y22 1 chia hÕt cho x + 1. 3 5 Bµi 2. (3 ®iÓm) T×m ®a thøc bËc 7 cã c¸c hÖ sè lµ sè nguyªn nhËn x = 7 7 lµ mét nghiÖm. 5 3 53
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 3. (3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x 3 . 4 x 12 x x 28 Bµi 4. (3 ®iÓm) Cho: xy+yz+zx=4/9 và x,y,z>0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: A x2 14y2 10z2 4 2y Bµi 5. (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän, ngo¹i tiÕp ®êng trßn t©m O. Chøng minh r»ng: OA2 OB2 OC2 1 AB.AC BA.BC CA.CB Bµi 6. (3 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC ®Òu, cã ®é dµi c¹nh lµ 1. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D kh«ng trïng víi B vµ C. Gäi r1 lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABD; r2 lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACD. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó r1.r2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 7. (2 ®iÓm)Cho 2009 ®iÓm kh¸c nhau n»m bªn trong h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 251cm vµ chiÒu réng 4cm. VÏ 2009 h×nh trßn nhËn c¸c ®iÓm trªn lµm t©m vµ cã cïng b¸n kÝnh lµ 2 cm. Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt 1 h×nh trßn trong sè chóng chøa Ýt nhÊt 3 ®iÓm trong 2009 ®iÓm nãi trªn. 54
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM (ĐỀ SỐ 8) MÔN TOÁN LỚP 9 – KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Bài 1 ( 1,5điểm) Rút gọn biểu thức A = 4 3 2 2 57 40 2 = 4 (1 2)2 (5 4 2)2 ( 0,25đ) = 4 1 2 5 4 2 ( 0,25đ) = 4 4 2 5 4 2 1 ( 0,25đ) B= 5 3 29 6 20 = 5 3 (2 5 3)2 (0,25đ) = 5 3 (2 5 3) = 5 6 2 5 = 5 5 1 = 1 Bài 2 (2,0điểm) Câu a : 1,0 điểm x5 x 3 2x x5 5x 3 4x x(x4 4x 2 x 2 4) M = = = (0,25đ) 30 6 15 30 30 x(x 2 4)(x 2 1) x(x 1)(x 1)(x 2)(x 2) = (0,25đ) 30 30 Hiểu và lập luận được x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 với mọi x Z , vậy M luôn nhận giá trị nguyên với mọi x (0,5đ) Câu b : 1.0 điểm */ Lập luận được d = 5 (0,25đ) ,thấy được 1002 > abcd suy ra abcd = x5 2(0,25đ) Vì abcd chia hết cho 9 => x5 2 chia hết cho 9 => x5 2 chia hết cho 3 (0,25đ) Suy ra x+5 = 6 ; 9 ; 12 => x = 1 ; 4 ; 7 . Kiểm tra 152, 452, 752 => kquả (0,25đ) 2 2 2 a b a b 2 Bài 3 (1,5điểm). Câu a (0.75đ) : a b 2a 2 2b 2 (0,25đ) 2 2 a b 2 0 ( đúng hiển nhiên – đpcm) (0,5đ) Câu b : (0,75điểm) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b a 2 b 2 1 ab a b 0 2a 2 2b 2 2 2ab 2a 2b 0 (0,25đ) a b 2 a 1 2 b 1 2 0 (0,5đ) Bài 4 (2,0điểm) Câu a (1,0đ) Điều kiện x ≤ 2 .Đặt 2 x y 0 ta có y2 = 2 – x (0,25đ) 1 9 9  N = 2 – y2 + y = (y )2 . (0,25đ) Max N = 9/4  y = 1/2 x = 7/4 (0,5đ) 2 4 4 Câu b (1,0đ) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 ) 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 +24x – 48y +72 = 0 (0,25đ) 4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = 0  ( 2x – 3y + 8 )2 + ( x – 4 )2 = 0 (0,5đ) suy ra x – 4 = 0 và 2x – 3y + 8 = 0 =>x =4 và y = 16/ 3. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên (0,25đ) Bài 5 (1,5điểm) lập luận diện tích tam giác PBC bằng nửa diện tích hbh ABCD (0,25đ) Lập luận diện tích tứ giác AMKD bằng diện tích tứ giác CKMB và A M B E bằng nửa diện tích hbh ABCD (0,5đ) P Suy ra diện tích tam giác PBC bằng diện tích CKMB (0,25đ) F Loại trừ đi diện tích phần chung , suy ra kết quả (0,5đ) D K C Bài 6 ( 1,5điểm) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ax , cắt cạnh DC tại K A B => DAˆ K 150 (0,25đ). Chứng minh hai tam giác DAK , BAM M bằng nhau => AK = AM (0,5đ) . Thấy được AH là đường cao 1 1 1 của AKN vuông tại A , suy ra (0,25đ) AH 2 AK 2 AN 2 D K H C N 3 mà AH= AD.Sin600 = AB. , thế vào, suy ra được kquả (0,5đ) 2 55
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Lưu ý : Nếu bài giải theo các cách khác mà đúng thì vẫn được điểm tối đa (dựa vào đáp án t/ phần) TRƯỜNG THCS CAO VIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (ĐỀ 9) Môn: Toán Bài Nội dung Điểm Bài 1 a) (6 đ ) 1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, y 0 ,y ≠ 1, x+y≠0 0,5đ. x x 1 y 1 y xy x y P 0,5đ. x y 1 y x 1 1,0đ. x y x y x xy y xy = x y 1 y x 1 0,5đ. = = x xy y 0,5đ. 2. P=2 x xy y =2 x 1 y y 1 1 1 y x 1 1 0,5đ Ta có 1 y 1 x 1 1 x 2 x 4 .Kết hợp với điều kiện x ≥ 0. 0,5đ Vậy 0 x 4 x {0,1,2,3,4}. Thay vào phương trình P=2 ta có: (x,y) {(4,0); (2,2)} b) giả sử tồn tại số tự nhiên n để n2 n 1  9 1,0đ. §Æt A n 2 n 1. V× A9 4A9 (1) 2 2 Ta cã: 4A 4(n n 1) (2n 1) 3 0,5đ. V× A9 4A3 (2n 1) 2 3 2n 13 (2n 1) 2 9 4A (2n 1) 2 3 kh«ng chia hÕt cho 9 4A kh«ng chia hÕt cho 9 (2) Ta thÊy (1) vµ (2) m©u thuÉn. VËy ®iÒu gi¶ sö lµ sai. 0,5đ. VËy víi n N th× n 2 n 1 kh«ng chia hÕt cho 9. Bài 2 1.(2đ) Tìm đúng điều kiện 0 x 17 0,25đ (4đ) 4 4 4 - Đặt t x (t 0) t u 3 x x 3 17 - t 17 - t = u 3 x u x2 t4 t + u = 3 t + u = 3 { { 0,5đ 4 4 u + t = 17 {t + u = 3 ut = 2 -Giải ra được đến ut = 16 { 0,5đ. * Với ut=2 t=1 hoặc t=2 - Với t=1 x=1 -Với t=2 x=4 * Với ut=6 Pt vô nghiệm 0,5đ -Kết luận nghiệm 0,25đ 2. (2đ) 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ 0,5đ. 56
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a102 b102 a101 b101 a b ab a100 b100 a102 b102 a102 b102 a b ab Ta có : a b ab 1 a,b 1;1 Tính ra P=2 Bài 3 1. Viết được (3đ) 2 x2 2x 1 3 7 y2 0,25đ. 0,25đ 2 x 1 2 3 7 y2 0,25đ. 0,25đ 3 7 y2 2 y là số nguyên lẻ 2 0,25đ Mà 2 x 1 0 7 y2 0 y2 =1 0,25đ. Thay y2 =1 vào tìm được x=2, x=-4 Thử lại : và trả lời .Có các nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(-4,1) ;(-4,-1) 2. Với x, y, z > 0 . Ta có: 0,25đ x y +) 2 (1). y x 1 1 1 9 0,25đ +) (2) x y z x y z x2 y2 z2 +) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx 1 (3) xy yz zx Xảy ra đẳng thức ở (1), (2), (3) x = y = z.Ta có: 0,5đ ab bc ca (a b c) P (a b c)2. a2 b2 c2 abc ab bc ca (a b c) (a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca). a2 b2 c2 abc Áp dụng các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ab bc ca 9 P (a2 b2 c2). 2.9 a2 b2 c2 ab bc ca 0,5đ ab bc ca a2 b2 c2 a2 b2 c2 8. 18 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca 2 8 18 28 a2 b2 c2 ab bc ca Dấu “ =” xảy ra a b c. ab bc ca Bài 4 I (6đ) M Q 0,25đ E K I B A O P x 57
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn . a) Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn(0) tại A AE AO OEA vuông ở A O,E,A đường tròn đường kính OE(1) 0,75đ. Vì ME là tiếp tuyến của đường tròn(0) tại M MEMO MOE vuông ở M M,O,E đường tròn đường kính OE(2) (1),(2) A,M,O,E cùng thuộc môt đường tròn *Tứ giác APMQ có 3 góc vuông : E· AO A· PM P· MQ 90o => Tứ giác APMQ là hình chữ nhật b) Ta có : I là giao điểm của 2 đường chéo AM và PQ của hình chữ nhật APMQ nên I 0,75đ. là trung điểm của AM. Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và tại A nên theo định lý ta có : O, I, E thẳng 1,5đ. hàng. c) hai tam giác AEO và PMB đồng dạng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 góc bằng nhau là A· OE A· BM , vì OE // BM 1,5đ. AO AE => (3) BP MP KP BP Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số (4) AE AB Từ (3) và (4) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP Vậy K là trung điểm của MP. d) Ta dễ dàng chứng minh được : 4 a b c d abcd (*) 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d MP = MO2 OP2 R 2 (x R)2 2Rx x2 2 3 1,5đ Ta có: S = SAPMQ = MP.AP x 2Rx x (2R x)x S đạt max (2R x)x3 đạt max x.x.x(2R – x) đạt max x x x . . (2R x) đạt max 3 3 3 x Áp dụng (*) với a = b = c = 3 4 x x x 1 x x x R 4 Ta có : . . (2R x) 4 (2R x) 3 3 3 4 3 3 3 16 x 3 Do đó S đạt max (2R x) x R . 3 2 R 3 Vậy khi MP= thì hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn nhất 2 Bài 5 Tìmnghiệm nguyên ,dương của phương trình: xy+yz+zx=xyz+2(1) (1đ) Do vai trò của x,y,z bình đẳng, nên không mất tính chất tông quát. Giả sử x y z 1,từ đó suy ra xy+yz+zx xy+xy+xy=3xy(2) 58
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (1),(2) 3xyz xyz+2 Hay 3xy xyz z 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab (2a-b)(a-2b)=0 2a=b hoặc a=2b Với a=2b x 1 =2 x2 x 1 4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm. Với b=2a x2 x 1 =2 x 1 59
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 5 37 x2-5x-3 = 0 x (thỏa mãn đk x -1.) 2 x y 2013 m Ta có m,n ¥ *, m,n 1 . y z 2013 n nx my 0 x y m 2 nx my mz ny 2013 xz y . mz ny 0 y z n Câu 3 2 2 x2 y2 z2 x z 2xz y2 x z y2 x y z x z y . x2 y2 z2 x y z Vì x y z 1 và x2 y2 z2 là số nguyên tố nên x y z 1 Từ đó suy ra x y z 1 (thỏa mãn). A E F G O H B M C Câu 4 D B·FC = B·EC = 900 ( cùng nhìn cạnh BC) Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC. Ta có A·CD = 900 DC  AC Mà HE  AC; suy ra BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD. GM 1 Do đó AM, HO trung tuyến của AHD G trọng tâm của AHD AM 3 GM 1 Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, AM 3 Suy ra G là trong tâm của ABC a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 ( ).(x y z) ( . x . y . z)2 = Câu 5 x y z x y z ( a b c )2 (a+b+c)2 đpcm 60
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) (1 điểm) Vế trái 2(1 x2 ) 2(1 y2 ) 2(1 z2 ) M 2(1 z2 ) (1 y2 ) 2(1 x2 ) (1 z2 ) 2(1 y2 ) (1 x2 ) Đặt 1 x2 a,1 y2 b,1 z2 c. với a, b,c >0 2a 2b 2c 2a2 2b2 2c2 Khi đó M = 2c b 2a c 2b a 2ac ab 2ab bc 2bc ac Sau đó áp dụng bđt ở phần a) và bđt (a b c)2 3(ab bc ca) M 2 . Từ đó có đpcm Gọi xi là số ô được tô đỏ ở dòng thứ i. 2 xi (xi 1) Ta có: S= x1 + x2 + + x13; ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là C xi = Vậy 2 x (x 1) x (x 1) x (x 1) tổng số các cặp ô đỏ là A= 1 1 2 2 13 13 2 2 2 Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình chiếu trùng nhau. 2 x1(x1 1) x2 (x2 1) x13 (x13 1) Vậy C 13=78 A= 2 2 2 13 13 2  xi  xi 156 i 1 i 1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 2 2 2 s ( xi ) 13( xi ) s 156 i 1 i 1 13 s2-13s-2028 0 S 52 Câu 6 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = x13 = 4 (mỗi dòng có 4 ô được tô đỏ). (Học sinh lập luận chỉ ra S 52 được 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x X x x x x x x x x x x x x x x x X x x x x x x X x x x X x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn nhất của S=52 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa./. 61
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n, biÓu ®iÓm m«n to¸n kú thi chän ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 9 - ĐỀ SỐ 11 ( Thêi gian lµm bµi: 120 phót - Vßng 2 ) Bµi 1: 2 ®iÓm; Mçi c©u 1 ®iÓm. C©u 1: LÇn lît ph©n tÝch ®Ó cã kÕt qu¶ f(x) = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) C©u 2: Tõ kÕt qu¶ cña c©u 1 ta cã: + A = f(x) + 1 = x( x + 3 )( x + 1 )( x + 2 ) + 1 = ( x2 + 3x )( x2 + 3x + 2 ) + 1 ( 0,25 ®iÓm ) + §Æt x2 + 3x = t; ta cã A = t( t + 2 ) = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 ( 0,25 ®iÓm ) + Do x Z nªn t = x2 + 3x x Z; do ®ã ( t + 1 )2 Z vµ ( t + 1 )2 lµ sè chÝnh ph¬ng. ( 0,25 ®iÓm ) + KL: ( 0,25 ®iÓm ) Bµi 2: 1,5 ®iÓm. + Víi x 1; x 2 ta cã: a b ax 2a bx b (a b)x (2a b) x 1 x 2 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) ( 0,25 ®iÓm ) 4x 7 a b + Do ®ã víi mäi x 1; x 2 x 2 3x 2 x 1 x 2 4x 7 (a b)x (2a b) víi mäi x 1; x 2 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) 4x – 7 = ( a + b )x – ( 2a + b ) víi mäi x 1; x 2 a b 4 2a b 7 ( 0,75 ®iÓm ) + Tõ ®ã tÝnh ®îc a = 3; b = 1. ( 0,25 ®iÓm ) + KL: ( 0,25 ®iÓm ) Bµi 3: 2 ®iÓm 3x 2 + Ta cã y2 + yz + z2 = 1 - 2 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 – 3x2 3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 ( 1 ) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = 2 ( x + y + z )2 + ( x – y )2 + ( x – z )2 = 2 ( 1,0 ®iÓm ) + Do ( x – y )2 0; ( x – z )2 0 nªn tõ ( * ) suy ra ( x + y + z )2 2 Hay - 2 x y z 2 ( 0,5 ®iÓm ) + DÊu “ = ” x¶y ra khi x – y = 0 vµ x – z = 0 hay x = y = z 2 2 Thay vµo ( 1 ) ®îc 9x2 = 2; x = ; x = - 3 3 ( 0,25 ®iÓm ) 2 + KL: Víi x = y = z = - th× min B = - 2 3 62
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 Víi x = y = z = th× max B = 2 3 ( 0,25 ®iÓm ) Bµi 4: 3,5 ®iÓm. A B N M I K D E C G C©u 1: 0, 75 ®iÓm. + Tõ MN // AB // CD vµ MI = IK ¸p dông ®Þnh lý Ta let ta cã NI = IE ( 0,25 ®iÓm ) + ChØ ra tam gi¸c AMK vu«ng c©n t¹i A ®Ó cã AE  KM ( 0,25 ®iÓm ) + Tø gi¸c MNKE lµ h×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau nªn MNKE lµ h×nh thoi. ( 0,25 ®iÓm ) C©u 2: 0, 75 ®iÓm. + Tõ tÝnh chÊt h×nh vu«ng cã  ACK = 45 0. ( 0,25 ®iÓm ) + Chøng minh hai tam gi¸c AKE vµ CKA ®ång d¹ng, suy ra §PCM. ( 0,5 ®iÓm ) C©u 3: 1, 0 ®iÓm. + Tõ hai tam gi¸c ABM vµ ADK b»ng nhau ta cã MB = DK nªn EK = MB + ED. ( 0,25 ®iÓm ) + Tam gi¸c AMK vu«ng c©n t¹i A cã MI = IK nªn AI lµ trung trùc cña MK do ®ã ME = EK. ( 0,25 ®iÓm ) + Tõ ®ã ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a. ( 0,25 ®iÓm ) + KL: ( 0,25 ®iÓm ) C©u 4: 1, 0 ®iÓm. + Tam gi¸c AMK vu«ng c©n t¹i A nªn AM = AK; do ®ã 1 1 1 1 = . ( 0,25 ®iÓm ) AM 2 AG 2 AK 2 AG 2 + Tam gi¸c AKG vu«ng t¹i A nªn AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do ®ã AK2 . AG2 = KG2 . AD2. ( 0,25 ®iÓm ) + MÆt kh¸c l¹i cã KG2 = AK2 + AG2 vµ AD = a nªn ta cã AK 2 AG 2 1 1 1 1 AK2 . AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay , suy ra = AK 2 .AG 2 a 2 AK 2 AG 2 a 2 ( 0,25 ®iÓm ) + KL: ( 0,25 ®iÓm ) Bµi 5: 1 ®iÓm. + §Æt vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ A. + Tõ abc = 2008 suy ra a; b; c kh¸c 0. ( 0,25 ®iÓm ) + ë ph©n thøc thø nhÊt ta thay 2008 bëi tÝch abc; gi÷ nguyªn ph©n thøc thø hai; nh©n c¶ tö vµ mÉu cña ph©n thøc thø ba víi b ta cã: 63
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2008 b bc bc b 2008 A = 1 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 ( 0,75 ®iÓm ) Híng dÉn chÊm (ĐỀ SỐ 12) Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau 2 2 P = 2009 2 2008 2009 2 2008 = 2008 1 2008 1 = 2 20082 2014 . 20082 4016 3 .2009 Q = . §Æt x = 2008, khi ®ã 2005.2007.2010.2011 x2 x 6 x2 2x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 Q = = = x + 1 = x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 2 x 3 2009 Bµi 2: Ta cã 10a2 - 3b2 + ab = 0 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0 2a - b = 0 b = 2a (2a - b)(5a + 3b) = 0 5a + 3b = 0 5a = -3b (loai) 2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a 9 Víi b = 2a 3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a 5 Bµi 3: XÐt ABC cã Aµ 900; Cµ= . KÎ trung tuyÕn AM, ®êng cao AH A·MH 2 a §Æt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = . A 2 c b h Ta cã sin = ; cos = ; sin2 = a a m c b 2bc 2ah 2h h Do ®ã 2sin . cos = 2 . 2 2 = sin2 a a a a a m B C M Bµi 4: H a/ §Æt AM = x (0 0,b > 0) 2 2 2 x + c - x c2 c ¸p dông, ta cã: x(c - x) = . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi: x = c - x x = . 2 4 2 a 3 c2 ac 3 ac 3 c Suy ra: S . = . VËy: S = khi x = hay M lµ trung ®iÓm cña c¹nh 2c 4 8 max 8 2 AB 64
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b/ Gi¶ sö ®· dùng ®îc h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC. Nèi BF, trªn ®o¹n BF lÊy ®iÓm F’. Dùng h×nh ch÷ nhËt E'F'G'H' (E' AB;G',H' BC) E'F' BE' BF' F'G' Ta cã: E'F'// EF vµ F'G'// FG, nªn: = = = EF BE BF FG E'F' = F'G' . Do ®ã E'F'G'H' lµ h×nh vu«ng + C¸ch dùng vµ chøng minh: Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E' tuú ý, dùng h×nh vu«ng E'F'G'H' (G', H' thuéc c¹nh BC). Dùng tia BF' c¾t AC t¹i F. Dùng h×nh ch÷ nhËt EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC. Chøng minh t¬ng tù trªn, ta cã EF = FG, suy ra EFGH lµ h×nh vu«ng BH' 1 + Ta cã: = cotg600 = ; E'H' 3 A BG' BH' + H'G' BH' 1 cotgF· 'BC = = +1 = +1 . F'G' F'G' E'H' 3 E F Suy ra: Tia BF' cè ®Þnh khi E' di ®éng trªn AB, c¾t AC t¹i mét ®iÓm F duy nhÊt. VËy bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh duy nhÊt E' EF AE ax F ' + §Æt AE = x . Ta cã = EF = ; BC AB c B C H' H G' G (c - x) 3 HE = c - x sinB = 2 ax (c - x) 3 c2 3 EFGH lµ h×nh vu«ng, nªn EF = EH = x = c 2 2a + c 3 2 2 2 3a c Suy ra diÖn tÝch h×nh vu«ng EFGH lµ: S = EF = 2 2a + c 3 Bµi 5: Ta cã a2 + b2 - ab ≥ ab (a + b)(a2 + b2 - ab) ab(a + b) a3 + b3 ab(a + b) a3 + 20b3 19b3 + ab(a + b) 20b3 - ab(a + b) 19b3 - a3 b(20b2 - ab - a2 ) 19b3 - a3 b(20b2 - 5ab + 4ab - a2 ) 19b3 - a3 b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b3 - a3 b(4b - a)(a + 5b) 19b3 - a3 (4b - a)(ab + 5b2 ) 19b3 - a3 19b3 - a3 4b - a ab + 5b2 19c3 - b3 19a3 - c3 T¬ng tù víi a, b, c > 0 th×: 4c - b; 4a - c cb + 5c2 ac + 5a2 Tõ ®ã ta cã B§T cÇn chøng minh. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c §¸p ¸n + biÓu ®iÓm (ĐỀ SỐ 13) Bµi 1: a) (4®) 1.(2®) T×m ®îc §K: x 0 0,25® 0,5® 65
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 2 1 4 x 0,5® . ( x 1)(x x 1) x 1 3 0,5® x 2 (x x 1) 4 x . ( x 1)(x x 1) 3 0,25® x 1 4 x . ( x 1)(x x 1) 3 4 x 3(x x 1) 2. (1®) 8 1 1® P= 2x 5 x 2 0 x 4; x (TM§K) 9 1 2 4 3.Víi x 0;3(x x 1) 0 P 0 , minP=0 khi x=0 0,5® 4 1 1 4 Víi x>0,P= v× x 2 nªn x 1 1. Do ®ã P . 0,25® 1 3( x 1) x x 3 x 0,25® 4 DÊu ”=” x¶y ra khi x=1. VËy maxP= khi x=1 3 1 1 1 1 b. A= 1 2 3 4 5 6 79 80 1 1 1 1 1® A> 2 3 4 5 6 7 80 81 1 1 1 1 1 1 2A > 1 2 2 3 3 4 4 5 79 80 80 81 1® 2A > 2 1 3 2 4 3 5 4 81 80 2A > 81 1 9 1 8 A 4 (®pcm) Bµi 2:(4®) a) (2®) §K: x>0 0,25® NhËn thÊy 2x2 x 6 x2 x 2 víi mäi x BiÕn ®æi: 4 2x2 x 6 x2 x 2 x x x2 4 x2 4 0,5® 0,25® 2x2 x 6 x2 x 2 x 0,5® 2x2 x 6 x2 x 2 x 4 2 x2 x 2 x x2 x 2 2 x4 x3 2x2 4 0 0,5® x (x 1)(x3 2x2 4x 4) 0 x 1(dox3 2x2 4x 4 0khix 0) 66
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b)(2®) Gi¶ sö n2 +7n +2014 9 n2 7n 20143 4n2 28n 80563 (2n 7)2 80073 0,5® v× 8007 3 (2n 7)2 3 (2n 7)2 9 0,5® mµ 8007 kh«ng chia hÕt cho 9. Nªn (2n+7)2+8007 kh«ng chia hªt cho 9 n2 7n 2014 kh«ng chia hÕt cho 9 m©u thuÉn víi gi¶ sö nªn ®iÒu gi¶ sö lµ sai. VËy 1® n2+7n +2014 kh«ng chia hÕt cho 9 (®pcm) Bµi 3: (3®iÓm) 1 3 a. (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+ )2 + >0 0,25® 2 4 0,25® 11 19 5x2+11x+7=5(x+ )2 >0 10 20 0,5® Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2) (x+1)3=1+x+x2+x3 x(x+1)=0 x 1 0,5® *x=0=>y=1 *x=-1=>y=0 Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0) 0,5® b) (1,5®) 1 1 1 1 a ta cã a>0 nªn a3 33 a3. . ( b®t c«si cho 3 sè d¬ng) 27 27 27 27 3 0,5® a 2 a3 3 27 b 2 c 2 t¬ng tù b3 ;c3 , 3 27 3 27 0,5® 1 2 1 2 1 a 3 b3 c 3 (a b c) 3 9 3 9 9 1 1 Do ®ã A . DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c= 9 3 1 1 VËy min A= a b c 9 3 Bµi 4:(6®) a. VÏ ®óng h×nh chøng minh ®îc 4 ®iÓm A,O,S,B cïng thuéc 1 ®êng trßn ®êng kÝnh SO 1,5® 1,5® A A A A O SS 1,5® B C 2 y b.Cm ®îc AC =AB.AE 1,5® c. Cm ®îc SO//CB E 67
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn EC AC EC AC d. Cm AEC®ång d¹ng SOA OCE ®ång d¹ng SAC OA SA OC SA tõ ®ã suy ra OE vu«ng gãc víi SC Bµi 5: (1®) x2 2xy 2 y(x2 2)xy 2 x(xy 2) 2(x y)xy 2 2(x y)xy 2 §Æt 2(x+y)=k(xy+2) víi k Z Nõu k=1 2x 2y xy 2 (x 2)(y 2) 2 1,0® T×m ®îc x=4 ; y=3 Nõu k 2 2(x y) 2(xy 2) x y xy 2 (x 1)(y 1) 1 0 v« lÝ (lo¹i) VËy x=4. y=3 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN 9 (ĐẾ SỐ 14) Câu 1: (6 điểm) x y x y x y 2xy Cho P= : 1 1 xy 1 xy 1 xy a, Rút gọn P (2 điểm) Điều kiện để P có nghĩa là : x 0 ; y 0 ; xy 1 (0,5 đ) Ta có : x y x y x y 2xy P= : 1 1 xy 1 xy 1 xy x y 1 xy x y 1 xy 1 xy x y 2xy =: (0,5đ) 1 xy 1 xy 1 xy x y x y y x x y x y y x x y xy 1 = : 1 xy 1 xy 2 x 2y x 1 xy = (0,5đ) 1 xy 1 x y 1 2 x 1 y 2 x = (0,5đ) 1 x 1 y 1 x 2 b, Tính giá trị của P với x= (1,5điểm) 2 3 2 Ta thấy x= thoả mãn điều kiện x 0 (0.25đ) 2 3 2 2 2 3 Ta có : x= = =4-23 =(3 -1)2 (0,5đ) 2 3 2 3 2 3 2 x Thay x vào P = , ta có: x 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 2 3 P= = (0,5đ) 4 2 3 1 5 2 3 5 2 3 5 2 3 2 5 3 6 5 2 3 2 3 3 1 2 3 3 1 =2 = = (0,25đ) 52 2 3 25 12 13 c, Tìm giá trị lớn nhất của P (2 điểm) 68
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Với mọi x 0, ta có: 2 x 1 0 (0,25đ) 2 x 2 x 1 0 x+1 2 x (0,5đ) 2 x 1 ( vì x+1>0) 0.25đ) 1 x 2 x 1 (0,25đ) 1 x P 1 2 Vậy giá trị lớn nhất của P =1 x 1 0 0.25đ x 1 0 x 1 x=1 (0,5đ) C©u 2: (4 điểm) a)(2 điểm) ĐK : -3 x 6 (0,25đ) Đặt 3 x 6 x =t >0 (0,25đ) t 2 9 Suy ra t2=3+x+6-x+2 (3 x)(6 x) (3 x)(6 x) = (0,25đ) 2 t 2 9 Ta có pt: t- =3 t2-2t-3=0 t=-1 (loại) hoặc t=3 (0,25đ) 2 t=3 suy ra 3 x 6 x =3 x=-3 hoặc x=6 (0,5đ) b) (2đ) x2 + y2 = xy + x + y (x - y)2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2. 0,5đ Vì x, y Z nên : 0,25đ x+y 0 0 0 0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0,25đ x-1 1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 0,25đ y-1 1 1 -1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 0,25đ (x;y) (2;2) (0;0) (1;0) (2;1) (1;2) (0;1) 0, 5đ Câu 3:(4đ) a) (2đ) 2 x y z x y z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz Từ 1 1 2 2 2 1 a b c a b c a b c ab ac bc x2 y2 z2 2cxy 2bxz 2ayz 1 (1) (1đ) a2 b2 c2 abc abc abc a b c ayz bxz cxy Từ 0 0 ayz+bxz+cxy=0 (2) (0,5đ) x y z xyz xyz xyz x2 y2 z2 Từ(1) và (2) 1 (0,5đ) a2 b2 c2 b)(2đ) Do a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a,b,c>0 (0,25đ) 69
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 Theo bÊt ®¼ng thøc COSI: a2+bc 2a bc (0,5đ) a 2 bc 2a bc 1 1 1 1 T¬ng tù: ; (0,5đ) b 2 ac 2b ac c 2 ab 2c ab 1 1 1 1 1 1 Suy ra + + + + (0,25đ) a 2 bc a 2 bc c 2 ab 2a bc 2b ac 2c ab 1 1 1 bc ac ab b c a c a b a b c + + a 2 bc a 2 bc c 2 ab 2abc 2.2abc 2abc (0,5đ) C©u 4: (5đ) a)Vẽ hình và chứng minh câu a 2đ E P D C M I O/ F a) Do P thuộc (O’) mà MD là đường kính suy ra góc MPD vuông hay MP vuông góc với ED. Tương tự CE vuông góc với ED. Từ đó PM//EC. (1) Vì EF là dây cung, CD là đường kính mà CD  E F nên I là trung điểm của E F. Lại có I là trung điểm của CM nên tứ giác CE M F là hình bình hành. Vậy FM//CE.(2). Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng. (2đ) 1. Ta có  EDC = EFP (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Do tam giác PO’D cân tại O’ nên  EDC =  O’PD. Lại có  EFP = IPF (do tam giácIPF cân) vậy  I PF= O’PD mà  FPD =1v, suy ra IPO’ =900 nên IP  O’P. Hay IP là tiếp tuyến của (O’). (2đ) 2. Vì O’M =1/2 MD và IM =1/2MC nên IO’ =1/2 CD vậyIO’ =R. áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi ) . Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S là diện tích của tam giác IO’P) . Vậy 1 4S2 Max hay S Max khi PI = PO’ =R mà DM =2 PO’ do đó 2 DM = 2 R , Vậy M cách D một khoảng bằng 2 R. (1đ ) Câu 5 :(1điểm) 1 k x y 6 1 1 1 1 1 k Đặt 6(x ) 3(y ) 2(z ) xyz k y 0.25đ y z x xyz z 3 1 k z x 2 70
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Xét tích : 1 1 1 k 3 k 3 1 1 1 1 (x )( y )(z ) xyz ( y ) (x ) (z ) y z x 36 36 xyz z y x k 3 k k k k 3 k 0 k 0 36 3 2 6 36 (xyz)2 1 xyz 1 x y z 1 xy yz zx 1 xy yz zx 1 x y z 1 0,5đ 0,5đ Vậy (x, y , z) = (1,1,1) =(-1,-1,-1) là cần tìm. 0,25đ Học sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa. HƯỚNG DẤN GIẢI ĐỀ SỐ 15 Bài 1 : a ) Rút gọn P = ( 1 – x )2 . Trục căn thức ở mẫu ta có x 2 1 Thay vào P= 2 b) a 3 2 3 3 2 3 a3 = 3a +4 a(a2 - 3 ) = 4 a2 - 3 = 4 : a (vì a>0) 64 thay vào và rút gọn ta có 3a = 4 Z (a 2 3)3 Bài 2 : a) 2 5 x x 5 Điều kiện x 5 do đó x 5 5 x Giải phương trình 2 5 x 5 x ta được x = 1 b) xy 6 3x 2y(1) 2 2 x y 2x 4y 3(2) Từ (1) ta có (y-3)(x-2) = 0 y = 3 hoặc x = 2 Thay y = 3 vào (2) ta được x1 = 0 ; x2 = 2 Thay x =2 vào (2) ta được y1 = 3 ; y2 = 1 Hệ phương trình có 3 nghiệm (x;y) là : ( 2;3 ) (2;1) (0;3) Bài 3 : a) Vẽ đồ thị và tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) là : (-1 ; -1) và ( 2 ; -4) b) Thay lần lượt toạ độ của 2 giao điểm trên vào phương trình đường thẳng ( )ta được m = 1 và m = - 5 c) Bài 4 : a) Vì D là điểm chính giữa cung AC nên OD  AC OD // BE ( cùng vuông góc BC) Mà BE  DE nên OD  DE DE là tiếp tuyến của (C) MDE  MBD ( g-g) b) Vì MDE  MBD MD2 = MF . MB (*) MEB có góc E = 900 và EF  MB ME 2 = MF . MB ( )( Hệ thức lượng ) Từ (*) và ( ) ta có M là trung điểm đoạn DE HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (ĐỀ SỐ 16) 71
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Môn: Toán 9 x 3 x 2 x 2 x Câu 1 (4 điểm):Cho biểu thức A : 1 ; x 2 3 x x 5 x 6 x 1 Với x 0; x 4; x 9 (*) a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của A khi x 6 2 5 ; 1 c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó? A Lời giải sơ lược Điểm a) Với điều kiện * ta có: x 3 x 2 x 2 x 1 x 0,50 A : x 2 x 3 x 2 x 3 x 1 x 1 x 9 x 4 x 2 1 : x 2 x 3 x 1 0,50 x 3 1 : 0,50 x 2 x 3 x 1 1 1 x 1 : . 0,50 x 2 x 1 x 2 2 2 b) Dễ thấy : x 6 2 5 5 1 thoả mãn điều kiện. Khi đó: x 5 1 5 1 0,50 . 5 1 1 5 0,25 Do vậy, giá trị của biểu thức A là: 5 1 2 5 3 3 5 5 0,25 . 4 1 3 1 3 c) Viết lại, =1 . Để có GTNN thì có GTLN, hay x 1 có GTNN. 0,25 A x 1 A x 1 Ta có: x 1 1, dấu "=" xảy ra khi x = 0. 0,75 1 3 Giá trị nhỏ nhất của là 1 1 3 2 , xảy ra khi x = 0. A 0 1 Câu 2(3 điểm): a) Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. x - 2012 1 y - 2013 1 z - 2014 1 3 b) Giải phương trình: x - 2012 y - 2013 z - 2014 4 Câu Ý Lời giải sơ lược Điểm 2 4đ a 1,5đ 72
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 0,5 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 0,5 2 Với n là số tự nhiên thì n + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương. 0,5 b 1,5đ 0,25 Đặt x - 2012 a; y - 2013 b; z - 2014 c (với a, b, c > 0). Khi đó phương trình đã cho trở thành: a - 1 b - 1 c - 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0,5 a b c 4 4 a a 4 b b 4 c c 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 a = b = c = 2 0,5 2 a 2 b 2 c Suy ra: x = 2016, y = 2017, z = 2018. 0,25 Câu 3 (4 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2. b) T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho a56b  45 Câu Ý Lời giải sơ lược Điểm 3 3đ a 2đ Ta có: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x = 38 – 6y2 4x2 + 8x + 4 = 42 – 6y2 2 2 2 2 0,5 2x 2 42 6y 2x 2 6 7 y (1) 2 Vì 2x 2 0 7 y2 0 y2 7 , mà y Z nên: 0,5 y = 0; 1; 2 73
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2x 2 6 x 2 + Với y = 1 , từ (1) 2x 2 36 2x 2 6 x 4 Trường hợp này phương trình có 2 nghiệm nguyên là: (2;1) và (-4;1). + Với y = -1 0,5 2 2x 2 6 x 2 Thì từ (1) 2x 2 36 2x 2 6 x 4 Trường hợp này pt có 2 nghiệm nguyên là: (2;-1) và (-4;-1). 2 2 + Với y 2 2x 2 18 4x 8x 14 0 2 0,25 2x 4x 7 pt này không có nghiêm nguyên vì VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2. 2x 2 2 42 4x2 8x 38 0 + Với y = 0, từ(1) 2x2 4x 19 0,25 PT này không có nghiệm nguyên vì VT chia hết cho 2; VP không chia hết cho 2. Vậy PT đã cho có các nghiệm nguyên là: (-4;1); (2;1);(-4;-1); (2;-1) b 2đ Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) = 1 ®Ó a56b  45 a56b  5 vµ 9 0,5 XÐt a56b  5 b {0 ; 5} 0,25 NÕu b = 0 ta cã sè a56b  9 a + 5 + 6 + 0  9 a + 11  9 a = 7 0,5 NÕu b = 5 ta cã sè a56b  9 a + 5 + 6 + 0  9 a + 16  9 a = 2 0,5 VËy: a = 7 vµ b = 0 ta cã sè 7560 a = 2 vµ b = 5 ta cã sè 2560 0,25 74
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4: (7 điểm) 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a. Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. 2. Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: . AM2 AI2 a 2 Câu Ý Lời giải sơ lược Điểm 4 7đ 1 4đ A E D C B H O 1 a) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật Suy ra AB . EB = HB2 AC . EH = AC . AD = AH2 => ĐPCM 1 AD2 AE 2 DE 2 AH 2 1 b) S(ADHE)= AD.AE 2 2 2 AH 2 AO2 R2 0,5 S(ADHE) 2 2 2 75
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn R2 0,5 Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE 2 Hay A là điểm chính giữa của cung AB 2 3đ A B M J D C I Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD tại J. Ta có AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 1 1 1 (1) AD2 AJ2 AI2 Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có: 0,5 AB = AD = a; D· AJ B· AM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) ADJ = ABM . 1 Suy ra: AJ = AM 1 1 1 1 Thay vào (1) ta được: (đpcm) 0,5 AD2 AM2 AI2 a 2 76
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5 ( 2điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. 1 1 1 Chứng minh rằng 1 x y 1 y z 1 z x 1 Sơ lược lời giải Điểm Đặt x=a3 y=b3 z=c3 ,a,b,c >0 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có 0,25 a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-ab ab 0,5 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 1 a3 b3 1 ab a b c 0,25 Tương tự ta có 1 1 1 1 , b3 c3 1 bc a b c c3 a3 1 ca a b c 0,5 Cộng theo vế ta có 1 1 1 1 1 1 = + + x y 1 y z 1 z x 1 a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1 0,5 1 1 1 1 1 = c a b 1 a b c ab bc ca a b c Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (Đề số 17) Bài Tóm tắt lời giải Điểm 1.a) ĐKXĐ: x 0; x 3 0,5 3 3 x 3 Q = 1 2 3 Bài 1 x x 3 3 x 27 3 x 0,5 Câu 1a 3 3 x 2 x 3 3 (2đ) Q = x 2 x 3 3 (x 3)(x 2 x 3 3) 3x 0,5 (x 3) 3 3 x 2 x 3 3 = 2 0,5 (x 3)(x x 3 3) 3x 77
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 x 3 1.b) Ta có: x 4 7 4 7 8 2 7 8 2 7 x 2 2 0,5 2 2 1 7 1 7 Bài 1 x 2 2 0,5 Câu 1b 1 7 7 1 (2 đ) x 2 2 0,5 x 2 0,5 Thay x = 2 vào Q ta có: 1 Q 2 3 2 3 2. Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101. 50 0,5 Bài 1 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 0,25 Câu 2 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) (2 đ) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 0,25 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) 0,25 Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) 0,25 Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B 0,25 0,25 0,25 Bài 2 x 2013 4x 8052 3;ÐK : x 2013 0,5 (1,5 đ) 1. 3 x 2013 3 x 2014(TMÐK) 1,0 1 2. Cho abc = 1. ab c 0.5 1 1 1 S = 1 a ab 1 b bc 1 c ac (2,5 đ) 1 1 1 0,5 = 1 1 a abc b bc 1 c ac c 0,5 c 1 1 = c ac 1 b ac 1 c 1 c ac 0,5 bc 1 b = b 1 c ac 0,5 78
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b c ac 1 = 1 b c ac 1 Bài 3 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (1,5đ) x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 (1) (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0 0,25 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0 0,25 (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2) 0,25 Vì - (x + y)2 0 với mọi x, y nên: (y - 1)(y + 4) 0 - 4 y 1 0,25 Vì y nguyên nên y 4; 3; 2; 1; 0; 1  0,25 Thay các giá trị nguyên của y vào (2) ta tìm được các cặp nghiệm nguyên (x; y) của PT đã cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1). 0,25 (1,5 đ) 2. - Vì a.b = 1 nên 2 a2 b2 a b 2ab a b a b 2 a b 2 2 0,25 a b a b a b - Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 0,25 2 2 Ta có : a b 2 a b  0,25 a b a b 0,5 a2 b2 Vậy 2 2 a b 0,25 Bài 4 6đ A 0,5 E D C B H O a) Chứng minh tam giác ABC vuông 0,25 Ta có: OA= OB = OC = R 0,25 => Tam giác ABC vuông tại A (theo đl đảo) 79
Bộ 51 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật AB . EB = HB2 0,5 AC . EH = AC . AD = AH2 0,5 Ta có: AB2 = AH2 + HB2 (định lý Pi ta go) 0,5 0,5 => Đpcm 0,5 AD2 AE 2 DE 2 AH 2 b) S(ADHE)= AD.AE 2 2 2 1,0 AH 2 AO2 R2 S(ADHE) 2 2 2 0,5 R2 0,5 Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE hay AB = AC 2 0,5 Tam giác ABC vuông cân tại A Bài 5 Ta có 2(x y) 16 3xy 3xy 2x 2y 16 (1,0đ) 2 4 0,25 y(3x 2) (3x 2) 16 (3x 2)(3y 2) 52 3 3 0,25 Giả sử: x y khi đó 1 3x 2 3y 2 và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các trường hợp sau: 0,25 3x 2 1 3x 2 2 3x 2 4 ; ; (loại) ; 3y 2 52 3y 2 26 3y 2 13 => nghiệm nguyên dương của PT là: ( 1; 18);( 18; 1); ( 2; 5); ( 5; 2) 0,25 Së Gi¸o dôc - §µo t¹o K× thi chän häc sinh giái Th¸i B×nh Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm M¤N to¸n (ĐỀ SỐ 18) Bµi Néi dung §iÓm x2 1 a Bµi 1 (3 ®) y 1 b §Æt a;b;c;d Z; (a;b) 1; (c;d) 1; b 0; d 0 y2 1 c 0,25 x 1 d x2 1 y2 1 a c ad bc XÐt k (k Z) y 1 x 1 b d bd 0,25 ad + bc = bdk ad + bc : b ad  b d  b (v× (a; b) = 1) (1) T¬ng tù cã b  d (2) 0,25 Tõ (1) (2) b = d (3) 0,25 a c x2 1 y2 1 XÐt   x 1 y 1 m (m Z v× x; y Z) 0,25 b d y 1 x 1 ac = mbd ac : b c  b (v× (a;b) = 1) (4) 0,25 Tõ (3) (4) c  d (5) 0,25 Vµ (c ; d) = 1 (6) 0,25 (5) (6) d = 1 (y2 - 1)  (x + 1) (7) 80