Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 8

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 8

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 QUẬN 1. TP HỒ CHÍ MINH * Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 90 phút Bài 1 : (3 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x2 + 6x + 5 b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12 Bài 2 : (4 điểm) a) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz. b) Rút gọn phân thức : Bài 3 : (4 điểm) Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giác. A = . Chứng minh A > 0. Bài 4 : (3 điểm) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức : Bài 5 : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh AE = AB. b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 QUẬN 1. TP HỒ CHÍ MINH * Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 90 phút Bài 1 : (3 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x2 + 6x + 5 b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12 Bài 2 : (4 điểm) a) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz. b) Rút gọn phân thức : Bài 3 : (4 điểm) Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giác. A = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2. Chứng minh A > 0. Bài 4 : (3 điểm) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức : (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x2 + 8x + 12. Bài 5 : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh AE = AB. b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM Năm học 2005-2006 Bài 1: Cho biểu thức a, Rút gọn Q. b, Tìm số nguyên a để Q là số nguyên. Bài 2:a, Cho x,y thỏa mãn:
2. Tính b, Cho thỏa mãn CMR: Bài 3:a, Giải phương trình: b, Tìm số tự nhiên n để và là số chính phương. Bài 4: Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD,BC lần lượt tại M và N. a, CMR: b, c, Gọi K là trung điểm của CD, vẽ đường thẳng qua M song song với AK, cắt DC,AC lần lượt tại H và E. CMR: . Tính theo a,b biết Bài 5: CMR: Đề thi HSG lớp 8 huyện Quế Võ- Bắc Ninh 2006-2007 Bài 1: 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, b, 2. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Bài 2: Cho biểu thức: a, Rút gọn A. b, Tính giá trị của A với c, Tìm x để d, Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên. Bài 3: Giải các phương trình: 1. 2, Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Trên tia HC lấy . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a, CMR: b, Gọi M là trung điểm BE. Tính góc AHM? Bài 5: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18. Trong đó BC là cạnh lớn nhất. Đường phân giác góc B cắt AC ở M sao cho Đường phân giác góc C cắt AB ở N sao cho . Tính các cạnh của tam giác ABC. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2006- 2007 MÔN TOÁN-LỚP 8 Thời gian:120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2đ): Tìm GTLN của biểu thức: Bài 2 (2đ): Cho 4 số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a.b.c.d=1. Tính:
3. Bài 3 (2đ): Giải phương trình: Bài 4 (4đ): Cho (AB c thì < Đề thi HSG huyện Quế Võ- Bắc Ninh 2004-2005 (ít đề thi quá, lỡ sau này cần lấy thì có đâu ra) Bài 1: a, Thực hiện phép tính: b, Tìm các số nguyên x biết : Bài 2: 1. Cho a, Tính a? b, A có chia hết cho không? c, A có bao nhiêu ước tự nhiên? Bao nhiêu ước nguyên? 2. Tìm số nguyên tố để đều là các số nguyên tố. Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia cho được số dư theo thứ tự là Bài 4: Cho tam giác ABC có . Điểm M thuộc tia đối của CB sao cho . a, Tính độ dài BM. b, biết , tính ? c, Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết . Bài 5: Cho a, N có bao nhiêu chữ số? b, Tính tổng các chữ số của N. c, N có là số chính phương không? §¸p ¸n:
4. Bài 1 a,M=5 ( ) = 5 b. -3 3 suy ra p chia 3 dư 1 hoặc 2 + p chia 3 dư 1 thì p+14 3 nên p+14 ko là SNT + p chia 3 dư 2 thì p+12 3 nên p+10 ko là SNT Vậy chỉ có duy nhất p=3 thỏa mãn. Bài 3 Ta thấy a+1 Mặt khác a nhỏ nhất nên a+1 là =105 Vậy a=104Bài 4: a) b) c) Xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: K thuộc tia đối tia Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Lớp 7 - TP Bắc Ninh- 2004-2005 Đề thi HSG thành phố Bắc Ninh năm học 2004-2005 Bài 1: 1, Biết: Tính 2, Cho và Tính x,y,z? Bài 2: 1, Cho a, Tìm x để M=1 b, Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? 2, Cho .Tìm x để biểu thức : đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Bài 3: Cho 3 đa thức: 1, Tính đa thức 2, Tìm cặp số nguyên âm (x;y) lớn nhất thỏa mãn D=0 Bài 4: Cho tam giác ABC có . Tia phân giác góc B và C của tam giác ABC cắt AC và AB lần lượt tại M và N. Gọi I là giao điểm của BM và CN. a, CMR BN+CM=BC b, Vẽ ; , CMR Bài 5: 1, Cho x=2005. Tính
5. 2, Cho thỏa mãn: . Tính giá trị của biểu thức Năm học 2005-2006 Bài 1: Tìm số nguyên x biết: a, b, Bài 2: a, Cho là hai số thỏa mãn ; Tính giá trị biểu thức: b, Tìm biết: và Bài 3: 1. cho CMR: 2. Tìm các số biết: Bài 4: a, Tìm các số nguyên thỏa mãn b, Tìm x nguyên dương. Biết: và đều viết được dưới dạng lũy thừa của 3. Bài 5: Cho vuông tại A có . Vẽ tia phân giác Ax của cắt BC tại D; Gọi M là trung điểm BC, từ M vẽ MH vuông góc với . Đường thẳng MH cắt AB,AC tại E và F. Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt EF và AM lần lượt tại N và K. a, CMR và tính BN. b, CMR , tính KM. c, vẽ . CMR ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀN KIẾM, HÀ NỘI 2003 – 2004 Môn toán lớp 7 (Thời gian : 120 phút) Bài 1 : (4 điểm) Giải phương trình Bài 2 : (4 điểm) Cho các số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng : Bài 3 : (4 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : Bài 4 : (3 điểm) Ba bạn A, B, C chơi một cỗ bài gồm 3 quân. Trên mỗi quân bài có viết một số tự nhiên (các số khác nhau và lớn hơn 0). Mỗi người được phát một quân bài và được nhận số kẹo bằng đúng số đã viết trên quân bài ấy. Sau đó các quân bài được thu lại, xáo trộn và phát lại. Sau hơn hai lần chơi, A nhận được 20 cái kẹo, B nhận được 10 cái kẹo, C nhận được 9 cái kẹo. Hỏi số đã được ghi trên mỗi quân bài ? Biết số lớn nhất được viết trên các quân bài lớn hơn 9. Bài 5 : (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, Từ B và C kẻ các đường thẳng cắt các cạnh đối diện tương ứng ở D và E sao cho và Tính góc BDE Bài 1: Phương trình trên tương đương Do đó phương trình có tập nghiệm ( cái thừa số kia luôn dương) Bài 2:
6. Ta có Tương tự Do đó Và Tương tự Do đó Từ và suy ra đpcm. Kỳ thi HSG lớp 9 tỉnh TT-Huế các năm Vòng 1 - 150 phút (1997 - 1998) Bài 1: Rút gọn biểu thức sau (với ) Bài 2: Giải phương trình a) b) Bài 3: Thực hiện khai phương số tự nhiên có ba chữ số ta được hai chữ số đầu của số căn bậc hai phải tìm là và số dư là . Chứng minh: Bài 4: Cho có ba góc nhọn. Dựng ngoài các tam giác và sao cho: Dựng trong tam giác sao cho: Chứng minh P luôn thuộc một đường thẳng cố định Vòng 2 - 150 phút (1997 - 1998) Bài 1: a) Chứng minh là số vô tỷ b) Tìm các số hữu tỷ sao cho: Bài 2: Chứng minh rằng a) chia hết cho với mọi số nguyên b) Đa thức có giá trị nguyên khi là số nguyên Bài 3: Tìm tất cả các giá trị để phương trình có đúng ba nghiệm Bài 4: Cho là hai số thực thỏa mãn các điều kiện sau: Tìm GTNN của Bài 5: Cho có ba góc nhọn, là trực tâm, là ba đường cao. Chứng minh rằng:
7. a) Nếu diện tích của các tam giác bằng nhau thì là tam giác đều b) (1997 - 1998) Bài 1: Rút gọn biểu thức Bài 2: Cho biểu thức Tính giá trị của khi và Bài 3: Giải các phương trình sau a) b) Bài 4: Cho hai đường tròn và . là các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( và thuộc đường tròn tâm , và thuộc đường tròn tâm ) a) Chứng minh rằng các đường thẳng đồng qui. b) Tứ giác là hình gì? c) Xác định tâm của đường tròn đi qua các điểm . Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 2002-2003 Bài 1: Cho phương trình a, Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng b, Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây: a, b, Bài 3: a, Cho . CMR: b, Cho . CMR: Bài 4: Từ điểm A ở ngoài đường tròn , kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và ẠC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn , tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K. CMR bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: Cho hai đường tròn và cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ hai đường thẳng và , đường thẳng cắt tại C và cắt tại D, đường thẳng cắt tại M và cắt tại N sao cho AB là phân giác của CMR:
8. ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH NGHỆ AN Năm học 2006-2007 Câu 1:Chứng minh rằng: a.Với mọi số tự nhiên n>1 thì số không thể là số chính phương b.Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của 2 số chính phương Câu 2:a.Hãy xác định giá trị x,y để có đẳng thức: b.Cho hai số thực x,y thỏa mãn phương trình: T“m giá trị nhỏ nhất của tổng Câu 3:Giải phương trình: Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn (AB 1 thì số không thể là số chính phương b.Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của 2 số chính phương Câu 2:a.Hãy xác định giá trị x,y để có đẳng thức: b.Cho hai số thực x,y thỏa mãn phương trình: T“m giá trị nhỏ nhất của tổng Câu 3:Giải phương trình: Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC),kẻ đường phân giác AD của góc BAC và đường trung tuyến AM ( ).Vẽ hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác ADM,hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là I,đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB,AC theo thứ tự tại E và F.Tia AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại J a.Chứng minh:3 điểm I,M,J thẳng hàng b.Gọi K là trung điểm của EF,tia MK cắt AC và tia BA theo thứ tự tại P và Q.Chứng minh tam giác PAQ cânĐề thi HSG tỉnh Bình Thuận 2006-2007 Bài 1: (2 điểm) Cho 3 số dương thỏa CMR : Bài 2 : ( 2 điểm )
9. Cho thỏa CMR : Bài 3 ( 2 điểm) Có 7 cai bánh giống nhau chia đều cho 12 em . CHia như thế nào dể ko chia bất cứ cái bánh nào thành 12 phần bằng nhau . Bài 4 ( 3 điểm ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( với ) Bài 5. (3 điểm) 1/ Tính tổng 2/ Áp dụng tính Bài 6. (4 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A , . Trên đường phân giác trong AM của góc A lấy điểm D sao cho , đặt 1/ Tìm biểu thức liên hệ giữa và 2/ Tính góc khi = Bài 7 Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB , AC. Gọi P là giao điểm của EF với tia phân giác trong của góc B. CMR tam giác BPC là tam giác vuông. thành phố Đà Lạt năm học 2005-2006 Bài 1: 1) cho số a) Cm rằng A là hợp số(1.5đ) b) A có phải là số chính phương ko vì sao(1.5) 2) Cm rằng vơí mọi số tự nhiên n ta có (2đ) Bài 2: 1)(3đ) ko dùng máy tính hãy so sánh GT hai biểu thức sau: 2)(4.5 đ) trên quãng đường AB, một xe máy khởi hành từ A đi về phía B, đi được 90 phút thì một môtô khởi hành từ B đi ngược về phía A. hai xe gặp nhau tại C và tiếp tục đi theo hướng của mình. nửa giờ sau khi gặp nhau thì môtô về đến A và 2 giờ sau khi gặp nhau thì xe máy về đến B. tính thời gian mỗi xe đi hết quãng đường AB( biết vận tốc của 2 xe ko đổi trong suốt hành trình) Bài 3: cho tam giác ABC cân tại A( .kẻ BK vuông góc với AC tại K. a) Cm : sinA=2sin cos b) cho .tính sinA Bài 4: cho hình bình hành ABCD. từ điểm P thuộc miền trong hình bình hành vẽ đường thằng song song với AB cắt AD tại N và từ P vẽ đường thằng song song với AD cắt AB tại M. gọi Q là giao điểm của NB và MD. chứng minh ba điểm Q,P,C thẳng hàng. Đề thi HSG Bình Định 2006-2007 1.CMR: nếu n là số tự nhiên sao cho là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì n biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 2 số nguyên liên tiếp. 2.Giải PTNN:
10. 3/Tìm min với 4/cho ABCD là tứ giác nội tiếp được và M<N,P,Q htuộc AB,BC,CD,DA sao cho: .CMR: MP vuông góc với NQ HSG lớp 9-TP Hồ Chí Minh Năm học 1990-1991( vòng 1) Bài 1:Cho n số nguyên có tổng chia hết cho 6, chứng tỏ rằng tổng cũng chia hết cho 6. Bài 2: 1, Rút gọn 2, Tính Bài 3: Cho hàm số a, Vẽ đồ thị hàm số. b, tìm GTNN của y và các giá trị của x tương ứng. c, Với giá trị nào của x thì ? Bài 4: Cho đường tròn có AB là dây cung cố định không qua tâm A, C là điểm di động trên cung lớn AB (C không trùng với A và B) 1. Gọi là tiếp tuyến tại C của đường tròn và M,N lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ A và B đến . Tìm vị trí của C để khoảng cách MN dài nhất, ngắn nhất. 2. Gọi AD và BE là hai đường cao của tam giác ABC, G và F lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ E và D đến , khi C di động hãy tìm tỉ số 3. Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác ABC khi C di động. Đề thi HSG lớp 9 TP.HCM Năm học 2005-2006 Bài 1: Cho hai phương trình : (1) và (2) . Biết rằng là các nghiệm của phương trình (2) và là các nghiệm của phương trình (1) . Chứng minh rằng : . Bài 2: Biết rằng phương trình : có nghiệm lớn hơn 0,nghiệm còn lại âm . Chứng minh rằng phương trình có nghiệm dương và . Bài 3: Chứng minh rằng nếu có và thì . Bài 4: Tìm số có 2 chữ số sao cho bình phương của số đó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Bài 5: Cho hình bình hành . Đường tròn ngoại tiếp cắt tại điểm nằm giữa và . Chứng minh là tiếp tuyến của các đường tròn ngoại tiếp và . Bài 6:
11. Cho đều và một điểm nằm trên cạnh . Từ kẻ song song với và song song với ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH VĨNH PHÚC, NĂM HỌC 2003 - 2004 Môn : Toán (Thời gian : 150 phút) Câu 1 : (3 điểm) Cho hệ phương trình với tham số a : a) Giải hệ phương trình khi a = -2. b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình có đúng hai nghiệm. Câu 2 : (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB và CD có cùng độ dài) nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r thì Câu 3 : (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình có nghiệm nguyên. Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông (AC ^ BC). Đường tròn (O) đường kính CD cắt hai cạnh AC và BC lần lượt tại E và F (D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng BE với đường tròn (O), hai đường thẳng AC và MF cắt nhau tại K, giao điểm của đường thẳng EF và BK là P. a) Chứng minh bốn điểm B, M, F và P cùng thuộc một đường tròn. b) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng. Tính số đo góc của tam giác ABC. c) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh rằng CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP Đề thi học sinh giỏi lớp 9, thành phố Hà Đông, Hà Tây. 2002-2003 Bài 1: Cho a,b,c là các số dương. 1\ Cho và , hãy chứng minh: a, . b, với khác . 2\ Rút gọn biểu thức: Bài 2: Giả sử hai phương trình bậc 2 ẩn : và có nghiệm chung. Chứng minh rằng: . Bài 3:
12. Với giá trị nào của m thì một trong các nghiệm của phương trình sẽ gấp đôi một nghiệm nào đó của phương trình . Bài 4: Cho đường tròn tâm , một dây cố định, là một điểm chuyển động trên cung nhỏ . Gọi là trung điểm của dây , từ vẽ vuông góc với tia . a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. b) Tùm tập hợp điểm của. Bài 5: Cho đường tròn nội tiếp tam giác , tiếp xúc với các canh lần lượt ở và . a) Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác , tính . b) Các đường phân giác trong của và cắt đường thẳng lần lượt tại và . Chứng minh tứ giác nội tiếp. c) Chưng minh : .Lớp 9- Bắc Giang(2006-2007) Bài 1 4điểm ) a) với (-1) x 1 Rút gọn A và tính góc nhọn biết cos là giá trị của A tại x = b) Cho a, b , c là các số dương khác 1 ; x ,y , z là các số nguyên dương thỏa mãn : = bc ; =cz ; = ab. chứng minh rằng xyz- x- y- z = 2 Bài 2( 4 điểm ) a) Cho 2 số a,b thỏa mãn a+ b 2 Chứng minh rằng PT( + 2 bx+ )( + 2a x+ ) = 0 luôn có nghiệm b) Giải hệ phương trình [tex]\left{\begin(x+y)^4- 6x^2y^2+215 =0}\\{xy(x^2+ y^2 =-78}[tex] Bài 3( 4 điểm ) a) Cho x,y ,z là 3 số ko âm thỏa mãn điều kiện x+ y+ z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + + b) trong hệ tọa độ Oxy , cho Prabol(P) và đường thẳng (d) lần lượt có PT là y = . và y = x+ 2. Gọi A, B là 2 giao điểm của( P ) và(d). Tìm vị trí của N trên trục Ox sao cho AB+BN ngắn nhất. Bài 4( 6 điểm ) Cho A là 1 điểm cố định nằm ngoài đường( o ;R). Kẻ tiếp tuyến AB , AC với đường tròn( O)( B,C là tiếp điểm ).Đường thảng d thay đổi nhưng luôn đi qua A , cắt đường tròn(O) tại 2 điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của dây DE , M là giao điểm thức 2 của tia CI với đường tròn(O) a)Chứng minh 4 điểm A , B , I , C cùng thuộc 1 đường tròn cố định b)Chứng minh rằng tứ giác DEMB là hình thang cân c) Xác định vị trí đưởng thảng(d) để diện tích tam giác AME lớn nhất Bài 5( 2 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên(x,y) thỏa mãn PT . - - 8 = 2xy Bài 1 4điểm ) a) với Rút gọn A và tính góc nhọn biết là giá trị của A tại b) Cho a, b , c là các số dương khác 1 ; x ,y , z là các số nguyên dương thỏa mãn : . chứng minh rằng Bài 2( 4 điểm ) a) Cho 2 số a,b thỏa mãn
13. Chứng minh rằng PT luôn có nghiệm . b) Giải hệ phương trình [tex] \left{ \begin (x+y)^4- 6x^2y^2+215 =0} \\ {xy(x^2+ y^2 =-78}[tex] Bài 3( 4 điểm ) a) Cho x,y ,z là 3 số ko âm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b) trong hệ tọa độ Oxy , cho Prabol(P) và đường thẳng (d) lần lượt có PT là: và . Gọi là 2 giao điểm của và . Tìm vị trí của trên trục sao cho ngắn nhất. Bài 4( 6 điểm ) Cho là 1 điểm cố định nằm ngoài đường . Kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm ).Đường thảng thay đổi nhưng luôn đi qua , cắt đường tròn tại 2 điểm và ( nằm giữa và ). Gọi là trung điểm của dây , là giao điểm thức 2 của tia với đường tròn a)Chứng minh 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn cố định b)Chứng minh rằng tứ giác DEMB là hình thang cân c) Xác định vị trí đưởng thảng để diện tích tam giác lớn nhất Bài 5( 2 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn PT: Đề thi HSG lớp 9 quận BA ĐÌNH ngày 4/1/2007 thời gian làm bài 150' Bài 1 cho biểu thức a)rút gọc P b)tìm p Min Bài 2 tìm x;y;z thuộc R thỏa và Bài 3 : CHo (O) bán kính 3cm ; và (O') bán kính 4cm ; đoạn OO'=5 ; dây chung AB cắt đường nối tâm tại H. Đường OO' cắt (O) tại M;N (đ' N nằm giữa 2 điểm M và O') 1/CMR tam giác OAO' vuông 2/CMR : HM.O'N=HN.O'M 3/tính tgAMN 4/đường AM cắt (O') tại P ;tính MP Bài 4 : tìm tất cả các số chính phương có 7cs mà tận cùng là 1444 Lớp 9 - Tỉnh Hà Tĩnh - 2004-2005 Bài 1:a) Tính tổng biết với n=1,2,3, ,2005 b)cho
14. Chứng minh tồn tại 2 số bằng nhau Bài 2:Giải phương trình: Bài 3:Cho tam thức bâc hai với a,c Z lal 2. Bài 2: a/ Giải phương trình: . b/ Tìm các bộ số nguyên không âm (x,y,z) sao cho x<y<z và thỏa mãn phương trình: x+y+z+xy+yz+zx+xyz = 29. Bài 3: Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: Chứng minh rằng: . Bài 4: a/ Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC. b/ Cho nửa đường tròn đường kính AB và 1 điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A,B). Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Đường thằng qua M, vuông góc với MC, lần lượt cắt các tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF khi M di chuyển trên nửa đường tròn. Đề thi tỉnh khánh hòa 2006-2007 Vòng 1 Bài 1: (2đ) a/giải pt: b/giải pt:
15. Bài 2: (1đ) cho tam giác ABC cân tại đỉnh A.Vẽ các đường cao AH và BK(K thuộc cạnh AC)CM: Bài 3: (1,5đ) cho x,y,z là các số dương thỏa điều kiện CM: Bài 4: (2đ) Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm M(1;4).Viết pt đường thẳng đi qua M cắt hai nửa trục dương Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho OA+OB nhỏ nhất. Bài 5: (3,5đ) Cho nửa đường tròn tâm O,đường kính BC và 1 điểm A trên nửa đường(A khác B và C).Kẻ đường cao AH(H thuộc BC).Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A,ta vẽ nửa đường tròn(0’;R1) đường kính HB và nửa đường tròn (O’’,R2) đường kính HC và chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.Các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) vẽ từ A và B cắt nhau tại M. a/CM BEFC nội tiếp b/CM 3 đường thẳng MC,AH,EF đồng qui c/Gọi (I;r) là đường tròn tiếp xúc ngoài với các đường tròn (O’) và (O’’) và tiếp xúc với EF tại điểm D(D thuộc EF).Cm Vòng 2 Bài 1: (2đ) trong mặt phẳng tọa độ cho 2 đường thẳng có pt sau: (d1): (m-1)x+y=3m-4 (d2): x+(m-1)y=m a/tìm giá trị nguyên của m để giao điểm M của 2 đường thẳng đó có tọa độ là cặp số nguyên. b/tìm m để giao điểm M của 2 đường thẳng đó thuộc Bài 2: (1,5đ) Cho tam giác ABC vuông tại A,AB=7 cm,AC=8 cm.Tính bán kính đường tròn đi qua các điểm B,C và trung điểm M của AC. Bài 3: (2đ) cho biểu thức a/Với giá trị nào của x thì f(x) có nghĩa. b/tìm x để f(x)=0 Bài 4: (1,5đ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biết rằng: với mọi cặp số thực x và y ko âm. Bài 5: (3đ) Cho tam giác ABC cân tại A, ,đường cao AE(E thuộc cạnh BC).Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F. a/Cm BF là tiếp tuyến cuả đường tròn ngoại tiếp tứ giác OECF. b/Gọi M là giao điểm của BF với đường tròn (O).Cm BMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn. Bài 1: Rút gọn: Bài 2: Chứng minh : Bài 3: 1) Cho phương trình . Tìm số hữu tỉ p để phương trình có nghiệm nguyên 2) Giải hệ: Bài 4: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại 1) Lấy một điểm bất kì trên , từ kẻ tiếp tuyến với ( là tiếp điểm).
16. CM: không phụ thuộc vào vị trí của 2)Kéo dài về phía lấy điểm . Từ kẻ hai tiếp tuyến với ( là các tiếp điểm, ) thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa . cắt tại . CM: thẳng hàng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2004-2005 THỜI GIAN 150 PHÚT Câu 1(4 điểm) a)Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà chữ só hàng đơn vị là 4 b)có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn hàng đơn vị là 4 và chia hết cho 3 Câu 2(4 điểm) Cho các số thỏa mãn .Tìm giấ trị nhỏ nhất của tổng Câu 3(4 điểm) Cho phương trình a)Tìm để là nghiệm của phương trình đã cho b)Tìm để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và xác định các nghiệm đó Câu 4(4 điểm) Cho số nguyên dương phân biêt có tỏng khong lớn hơn .Chứng minh rằng luon tìm được số trong số đã cho thỏa mãn:trong số này luon tìm được cặp số mà mõi cặp đều có tỏng chia hết cho Câu 5(4 điểm) Cho tam giác vuông đỉnh ,nội tiếp đường tròn tâm . là một điểm tùy ý thuộc đuyường tròn(M khác với ba đỉnh ).Gọi là trung điểm của đoạn và H là hình chiếu của lên đường thẳng . Xác đinh vị tri sao cho tam giác có diện tích lớn nhất Đề thi HSG lớp 9 TP. Hà NộiNăm học 2005-2006 Câu 1: a.Cho 5 chữ số 1,3,5,7,9. Hỏi có bao nhiều số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được lâp thành từ 5 chữ số đã cho? b. CM tồn tại số tự nhiên n khác không thỏa mãn ( )chia hết cho Câu 2: Cho pt a.CM rằng PT có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm max của A= b.Tìm các giá trị m sao cho hai nghiệm của PT đều nguyên Câu 3: Giải PT: Câu 4: Trong mỗi ô vuông của bảng 3*3 ta điền các dấu + hoặc - để được bảngt như hình 1 Ta thực hiện phép biến đổi: " đổi ngược dấu tất cả các ô trong cùng một dòng hoặc cột" HỎi sau môt số hữu hạn lầm phép biến đổi như trên ta có thể thu được bảng như hình 2 ko (Tuiko biết vẽ hình)
17. Hình 1 là; + - + - + + + - - CÒn hình 2 là: - + - + - + - + + Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm O. đường ính AB=2R và C là điểm chính giữa của cung AB. Gọi M là điểm tùy ý trên cung BC(M khác B,C). Kẻ dây BK song song với CM. Đường tròn đường kính KM cắt tia Bm tại điểm thứ hai là S. Xác định vị trí diểm M sao cho hoảng cách từ điểm S đến AB là lớn nhất và tính khoảng cách lớn nhất đó Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thành phố Hà Nội, Năm học 2003-2004 Câu 1 a, Chứng minh rằng là số tự nhiên. b, Cho tổng: So sánh với Câu 2 Cho bốn số dương có tổng bằng .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Câu 3 Giải phương trình : Câu 4 Cho điểm phân biệt và một đường tròn cố định bán kính Chứng minh rằng tồn tại một đa giác đỉnh nội tiếp đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ mỗi đỉnh của đa giác đó đến điểm đã cho đều không nhỏ hơn Câu 5 Cho nửa đường tròn tâm đường kính một dây cung di chuyển trên nửa đường tròn. Qua kẻ đường thẳng song song với , đường thằng này cắt đường thằng tại .Qua kẻ đường thằng song song với , đường thằng này cắt đường thằng tại a, Chứng minh hai tam giác và đồng dạng. b, Gọi I là giáo điểm của và .Hãy xác định vị trí của dây để tam giác MIN có chu vi lớn nhất. Đề thi HSG lớp 9 TP Hà Nội(02-03) Bài 1 a)Nếu viết liên tiếp 9999 số 2003 ta được số mới A=20032003 2003. Hãy tìm số dư trong phép chia số A cho 9999. b)Cho a,b là các số tụe nhiên khác 0 và (a^2+b^2) chia hết cho ab.hãy tính giá trị của biểu thức:
18. Bài 2 a)Giải phương trình: b)Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : Hãy tính nghiệm của phương trình trong trường hợp có nghiệm. Bài 3 Cho Hãy tìm giái trị nhỏ nhất của biểu thcs: Bài 4 Cho 10 điểm phân biệt, không co ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong một tam giác đều có cạnh là 2 cm. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 diểm trong 10 điểm đă cho, 3 điểm này lập thành một tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : Là tam giác có diện tích không vượt quá và có ít nhất một góc nhỏ hơn hoặc bằng 45 độ Bài 5 Cho đường tròn (O;R) và một dây AB cố định, . Gọi P là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Đường thẳng d quay quanh P nhưng luôn cắt đoạn AB tại điểm N(N khác A,B)và cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Gọi I là điểm nằm trên đoạn BM sao cho BI= a)CMR AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN b)Hãy dựng đường thẳng d sao cho tổng các khoảng cách từ điểm I đến hai đường thẳng AO và Ap là nhỏ nhất ĐỀ Thi Hsg TỈnh BẮc Ninh 2006-2007 Bài 1: Cho phương trình: (*) 1, Với , phương trình(*) có một nghiệm . Tìm các nghiệm còn lại. 2. Cho a,b,c là các số nguyên lẻ. CMR phương trình (*) không có nghiệm hữu tỉ. Bài 2: Giải các hệ phương trình: 1. 2. Bài 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, bán kính đường tròn ngoại tiếp là r. Gọi lần lượt là khoảng cách từ O đến . 1. CMR 2. Giả sử tam giác ABC nhọn. CMR (*) 3. BĐT(*) còn đúng không khi tam giác ABC có góc A tù? Vì sao? Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình Bài 5: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác BB' và CC' bằng nhau. CMR tam giác ABC cân. Đề thi chọn HSGTP buôn ma thuột Câu 1: a) Giải bất phương trình b) Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) = cho đa thức
19. . Biết với x=0 thì số dư là -2449 Câu 2 : Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của A để P=12 c) Tính giá trị nhỏ nhất của P d) Với mọi x >1 tính hiệu của P với Giá trị tuyệt đối của P Câu 3: Cho hệ phương trình x + my = m + 1 mx + y = 3m -1 (m là tham số) a) Giải hệ phương trình theo tham số m b) Tính m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao chpo B=xy đạt GTNN Câu 4: Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD , M là một điểm bất kì trên BC. E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC . I là trung điểm của AM. ID cắt EF tại K a) Tính diện tích tứ giác EIDF biết Am = 8cm b) C/minh M,H,K thẳng hàng Câu 5: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Đường phân giác trong và ngoài của A cắt BC theo thứ tự tại D và E. Giả sử AD=AE Tính ( theo tôi hiểu thì theo R) Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Bắc Giang Năm học 2005-2006 Bài 1 : (4đ) 1) Cho nguyên dương thỏa mãn phương trình 2) Cho a,b,c là 3 số thực dương không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng : Bài 4 :(6 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. góc BAC bằng 30 độ. O là 1 điểm nằm trên đường trung tuyến AD sao cho AO=OC. Các đường BO,CO lần lượt cắt các đoạn AC,AB tại các điểm tương ứng E,F. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BO,OF,BF,CE. 1)Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp 2)Chứng minh tam giác MNQ đều 3)Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H,O,A thẳng hàng. Bài 5 : (2 điểm) Cho đa giác lồi 2006 cạnh, các đỉnh của nó được đánh số theo thứ tự từ 1,2, đến 2006. Người ta lại dùng đúng các số 1,2, ,2006 để đánh số lại các đỉnh theo quy tắc :đỉnh được đánh số 1 (lần đầu) được đánh số 2005, các đỉnh còn lại đánh tùy ý sao cho mõi một đỉnh được đánh đúng 1 số trong tập hợp các số {1,2, ,2004,2006}. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu số giữa số mới và số đánh ban đầu tại mỗi đỉnh của đa giác đó. Xét tính chẵn,lẻ của S. Đề thi HSG lớp 9 cấp thị xã Quảng Trị Bài 1:
20. a,Tìm nghiệm nguyên dương của PT Bài 2: a,Rút gọn thõa mãn: Bài 4: Cho các số a,b,c thõa mãn: . O là giao điểm của 2 đường chéo. qua O kẻ đường thẳng song song với , nó cắt lần lượt tại. a,chứng minh rằng lần lượt là diện tích của tam giác . Tính theo Lớp 9-Chương Mỹ -Hà Tây-06-07-vòng 1 Bài 1:Cho biểu thức: a)Rg P b)CMR nếu 0 0 c)Tìm max P Bài 2:1)Cho a;b là các số thỏa mãn a>b>0 và ab=1.CM: 2)Rút gọn biểu thức Bài 3:a)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng có pt: ; ; Tìm k để 3 đt đã cho đồng quy b)Giải hpt: Bài 4:Tìm một số có 5 chữ số .Biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ được số mới bằng căn bậc ba số ban đầu. Bài 5:Cho (O;R),điểm A nằm bên ngoài ĐTR.Qua A vẽ các tiếp tuyến AM và AN với (O;R).B là 1 điểm nằm giữa A và M,từ B vẽ tiếp tuyến ME với (O;R) , ).BE cắt AN tại C. a)Tính chu vi và diện tích nếu OA=2R và giả sử ,hãy tính góc BOC theo b)MN cắt OB và OC theo thứ tự tại P và Q.CMR: ~ ; ~ c)CMR các đường thẳng OE;BQ;CP đồng quy d)CMR: Câu 1 (6 điểm): a.Giải pt: b.Cho đa thức bậc bốn P(x) với các hệ số nguyên thỏa mãn P(x) chia hết cho 7 với mọi x thuộc Z (Z là tập số nguyên).Chứng minh các hệ số của P(x) chia hết cho 7 Câu 2 (5 điểm): a.Giải hệ pt:
21. b.Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: Chứng minh: Câu 3 (2 điểm) Trong một hình chữ nhật có diện tích bằng 5 chứa 9 hình chữ nhật nhỏ,mỗi hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng 1.Chứng minh rằng tồn tại 2 hình chữ nhật nhỏ có diện tích phần chung ko nhỏ hơn Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AN và CK.Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt đường tròn (O) tại điểm M (M khác B).Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC a.Chứng minh EK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN b.Chứng minh EM vuông góc với MB Câu 5 (2 điểm) Biết rằng một tứ giác lồi có tổng hai cạnh đối và một đường chéo không lớn hơn .Tính độ dài đường chéo còn lại theo S Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau đây: a) b) Bài 2: a) Cho các dãy số thỏa mãn với mọi .Chứng minh rằng : b) Cho với n = 1,2,3, Biết rằng . Tính các giái trị của a,b Bài 3: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn Bài 4: Cho 3 điểm thẳng hàng theo thứ tự ấy . Gọi là một đường tròn thay đổi luôn đi qua B và C . Kẻ từ A các tiếp tuyến đến (T). Gọi là tâm của đường tròn I là trung điểm của là trung điểm của . a) Chứng minh rằng và F nằm trên 1 đườn cố định khi (T) thay đổi b) Đường thẳng FI cắt đường tròn (T) tại E'. Chứng minh EE' song song với AB c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định khi ( T) thay đổi. Bài 5: Cho các số thỏa mãn Tìm min,max của biểu thức Câu 1:Cho phương trình : ( có ẩn số là x) a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
22. b/ Gọi là hai nghiệm của phương trình .Tìm m để có Câu 2: a/ cho và .Chứng minh : b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Câu 3: Giải các hệ phương trình : a/ . b/ Câu 4:Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm : Câu 5:Cho đường tròn tâm đường kính . Gọi K là trung điểm của cung AB,M là điểm lưu động trên cung nhỏ AK( M khác điểm A và K).Lấy điểm trên đoạn sao cho . a/ Chứng minh b/ Chứng minh tam giác là tam giác vuông cân. c/ Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại D. Chứng minh là đường phân giác của góc d/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với tại luôn luôn đi qua một điểm cố định. Câu 6: Cho tam giác có và có là bán kính đường tròn ngoại tiếp thỏa hệ thức : Hãy định dạng tam giác MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp TOÁN ,TIN, LÝ, HÓA, SINH) Câu 1:Cho phương trình : a/ Giải phương trình khi b/ Chứng minh rằng phương trình trên không thể có ba nghiệm phân biệt . Câu 2: a/ Giải hệ phương trình : . b/ Giải hệ phương trình : Câu 3 : a/ Giải phương trình : b/ Cho các số thực a,b,c thỏa điều kiện .Chứng minh rằng : 2006-2007 Bài 1: Cho PT ẩn x: 1. Giải PT với 2. Tìm a để (*) có nhiều hơn 2 nghiệm dương phân biệt Bài 2: Cho dãy các số tự nhiên được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích k số nguyên tố đầu tiên (k=1,2 ). Biết rằng tồn tại 2 só hạng của dãy có hiệu là 30000, tìm 2 số hạng đó. Bài 3: Tìm các só nguyên x,y,z thỏa mãn:
23. Bài 4:Cho nửa đường tròn đừong kính AB+2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn. D là hình chiếu của C trên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại E, cắt phân giác góc ABC tại H 1. CM AE//BH 2. Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đưong kình AC ở F, cắt CE ở I. Tính S tam giác FID trong trường hợp nó đều 3. Trên BH lấy K sao cho HK= HD, gọi J là giao điểm AF và BH. Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ I,J,K đến AB max Bài 5:CMR trong 2007 số khác nhau tùy ý đựoc lấy ra từ tập hợp A={1;2; }, có ít nhất hai số x,y thỏa mãn: Câu 1: Giải pt + 2 = 2. Câu 2: Tính GTBT: P= - . Câu 3: Tính các GT của để 3 đường thẳng : : cùng đi qua 1 điểm Câu 4: Giải hệ: Câu 5: Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau tại M. Tia Mx cắt (O) và (O') lần lượt tại A và A', tia My cắt (O) và(O') lần lượt tại B và B'. CM . Câu 6: Với các Gt nào của a thì bất pt ko nhận là nghiệm. Câu 7: Cho Từ điểm ngoài vẽ 2 tiếp tuyến và hợp với nhau 1 góc . Tính diện tích phần hình tròn nằm trong tam giác MAB. Câu 8: Tìm GT của m để đường thẳng y = m cắt (P) y = tại 2 điểm A và B sao cho AB = 2. Câu 9: CMR nếu thì ít nhất 1 trong 2 pt: + 2ax + b = 0 và + 2bx + a = 0 có nghiệm. Câu 10: Cho có đỉnh cố định điểm và C di động trên đường thẳng cho trước sao cho cạnh có độ dài ko đổi. CMR khi thì có chu vi nhỏ nhất. Bài 1:(2d).Cho biểu thức với a)Rút gọn b)Tìm để Bài 2:(2d)Cho pt (1) a)Tìm để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt b)Tìm min với là nghiệm của pt (1) Bài 3:(2d) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể sau thì đầy bể.Nếu vọi thứ nhất chảy riêng trong và vòi thứ 2 chảy riêng trong thì được bể.Hỏi mỗi vòi chảy riêng thìcaanf bao nhiêu thoeif gian thì chảy đầy bể nước đó! Bài 4 (3d)Cho ,đường kính .Gọi là điểm di động trên nửa ĐTR đó( ).Dựng ĐTR tâm tiếp xúc với tại .Từ vẽ hai tiếp tuyến với a)Chứng minh các điểm cùng nằm trên tiếp tuyến của tại b)Giả sử ,hãy tính thể tích hình nón do quay tam giác vuông một vòng quanh cạnh góc vuông Bài 5:Tính tổng:
24. Bài 6 (1d):Cho tam giác có 3 góc đều nhọn.CMR: Vòng 2: Bài 1:Cho Parabol và đt đi qua có hệ số góc a)Chứng minh rằng với mọi đt luôn cắt tại 2 điểm phân biệt b)Với chứng minh rằng cắt tại 2 điểm phân biệt nhận làm trung điểm! Bài 2:Giải pt: Bài 3:Tìm nguyên dương thỏa mãn Bài 4:Cho .Tìm min: Hôm qua thi mình nhìn nhầm thành mới tức! Bài 5:Cho , là điểm nằm ngoài ĐTR.Từ kẻ 2 tiếp tuyến tới ĐTR là 2 tiếp điểm). tại .Một cát tuyến bất kì qua cắt ĐTR tại a)Chứng minh ~ b)Chứng minh là phân giác của c)Chứng minh các tiếp tuyến tại và đt đồng quy Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TP.HCM Năm học 2004-2005 Ngày thứ I: Bài 1: Cho phương trình : a) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt b) Định m sao cho tích của 4 nghiệm trên đạt giá trị lớn nhật Bài 2: Giải các phương trình: a) B) Bài 3: Cho là 2 số thực khác 0. Chứng minh : Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O,R). Vẽ tam giác đều ACD( D và B nằm trên 2 nửa mặt phẳng khác nhau có chung bờ AC). Gọi E là giao điểm của BD với đường tròn (O) , gọi M là giao điểm của BD với đường cao AH của tg ẠBC a) Chứng minh MADC nội tiếp . B) Tính ED theo R Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn tâm O . Trên cung AC không chứ điểm B lấy 2 điểm K và M theo thứ tự A, K , M , C5Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E , còn lại các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D . Chứng minh : ED // AC
25. Ngày thứ II: Bài 1: Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt và phương trình có 2 nghiệm . Chứng minh : Bài 2: Cho các số thỏa : khác 0 . Chứng minh : Bài 3: a) Tìm thỏa b) Cho các số dương thỏa . Chứng minh : Bài 4: Chứng minh rằng không thể có các số nguyên thỏa phương trình Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) (AB b) . Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E . Tính AE theo a và b. Chuyên toán-tin ĐHSP Hà Nội 1997-1998 Ngày thứ nhất Câu 1: CMR với mọi n nguyên dương đều có Câu 2: Cho x,y là hai số dương thay đổi luôn thỏa mãn xy=1. Tìm Max Câu 3: Giải PT: Câu 4: Xét một hình vuông và một hình tam giác . Nếu hai hình có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn? Câu 5: Cho tam giác ABC có ; BC=a, O là tâm đường tròn ngoại tiếp; B' và C' là chân các đường cao hạ từ B và C xuống AC và AB tương ứng. Gọi O' là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B'C'. 1. CMR A,B',O',C' cùng nằm trên một đường tròn. 2, Tính B'C' theo a. Ngày thứ hai: Câu 6: Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm duy nhất: Câu 7: Giải hệ phương trình 4 ẩn: Câu 8: Tìm các cặp số nguyên tố p,q thỏa mãn phương trình:
26. Câu 9: Trong tất cả tứ giác lồi với hai đường chéo có độ dài đã cho và góc giữa hai đường chéo có độ lớn đã cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất. Câu 10: Hãy xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai: Với mọi m,n nguyên dương đều có Chuyên toán-tin ĐHSP Hà Nội-2000 (ngày thứ nhất) Câu 1: Giải phương trình: Câu 2: Cho là ba số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện: CMR: . Đẳng thức có thể xảy ra không? Câu 3: Tìm tất cả các số nguyên tố P có dạng ; trong đó n là một số nguyên dương, biết rằng P có không nhiều hơn 19 chữ số. Câu 4: Giả sử P là một điểm bất kì nằm trong mặt phẳng của một tam giác đều ABC cho trước. Trên các đường thẳng lần lượt lấy các điểm sao cho theo thứ tự song song với AB,BC,CA. a. Tìm mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác A'B'C' với các khoảng cách từ P đến các đỉnh của tam giác đều ABC.CMR có một điểm P duy nhất sao cho tam giác A'B'C' là tam giác đều. b, CMR với mọi điểm P nằm trong tam giác ABC ta có: c, Tìm quỹ tích các điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho tam giác A'B'C' vuông ở A, hãy chỉ rõ cách dựng quỹ tích này. Đề chỉ dành cho chuyên toán: Câu 5: CMR: . Câu 6: Giải hệ phương trình: Câu 7: Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện sau: tích của hai số bất kì trong ba số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba. Câu 8: Tam giác có các đỉnh lần lượt nằm trên các cạnh của tam giác gọi là nội tiếp tam giác . a. Gọi Y' và Z' là các hình chiếu vuông góc của Y và Z trên cạnh BC, chứng minh rằng nếu tam giác đồng dạng với tam giác thì . 2. Trong số những tam giác nội tiếp tam giác theo nghĩa trên và đồng dạng với tam giác ABC, tìm tam giác có diện tích nhỏ nhất. Năm 2006-2007 Vòng 2 Câu 1: Giải PT: Câu 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên ko âm thỏa mãn:
27. Câu 3: Giả sử là hai số nguyên dương đã cho; a, b theo thứ tự là trung bình cộng và trung bình nhân của và . Biết rằng tỉ số là một số nguyên dương. CM Câu 4:Cho 2 đường tròn và cắt nhau tại A, B. Biết có tâm và bán kính (cm); có tâm và bán kính (cm); AB=1(cm) và hai điểm ở hai phía của AB. Xét (d) qua A, cắt và ở M, N sao cho A nằm trong đoạn MN. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại N ở E. 1. CM tứ giác nội tiếp 2. Tính độ dài các cạnh tam giác 3. CMR 4. Giả thiết thêm rằng 3 điểm thẳng. CMR (d) là đường phân giác ngoài Câu 5: Cho X là một tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn hơn 2006. CMR trong tập X luôn tìm được hai số x,y sao cho thuộc tập Năm 2006-2007 Vòng 1: Câu 1: Rút gọn với Câu 2: Tìm min với là các số dương thỏa mãn: Câu 3: Giải hệ Câu 4: Cho (O) đường kính AB. E thuộc OA, M thuộc EA. CD là dây cung vuông góc AB. DM giao (O) ở N. bán kính r là đường tròn tiếp xúc (O) ở J và tiếp xúc các đường thẳng DN, CM ở K, I. Cho AM=a, ME=b, BE=c. 1. CM tam giác đồng dạng tam giác MCE 2. Tính theo a,b,c,r 3. CM Câu 5: Tìm số gồm 5 chữ sô thỏa mãn: Năm 2007-2008 Vòng 1: Bài 1: Cho .Chứng minh đẳng thức: Bài 2:Cho các hàm số: 1.Xác định tọa độ các giao điểm của đồ thị những hàm số đã cho và tọa độ trung điểm của đoạn thẳng , biết rằng có hoành độ dương
28. 2.Xác định tọa độ của điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho tam giác cân tại Bài 3:Cho phương trình : , (a là tham số) 1.Với giá trị nào của thì phương trình có nghiệm 2.Gọi là nghiệm của phương trình.Hãy tìm giá trị của sao cho Bài 4:Cho tam giác cân tại A. có tâm nằm trong tam giác,tiếp xúc với lần lượt tại và cắt tại hai điểm,một trong hai điểm này được kí hiệu là .Gọi H là hình chiếu vuông góc của trên . Chứng minh rằng: 1.Các tứ giác nội tiếp. 2.HB,HC theo thứ tự đi qua trung điểm của . Bài 5:Giải phương trình: Vòng 2: Bài 1: Cho các biểu thức: Với 1.Rút gọn P 2.Với giá trị nào của thì đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 2: Cho các số x,y thỏa mãn các đẳng thức sau: Hãy tính giá trị của biểu thức: Bài 3: 1.Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho: 2.Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a,b,c thỏa mãn Chứng minh Bài 4: Cho đường tròn có tâm và điểm nằm bên ngoài đường tròn.Qua A kẻ hai đường thẳng cắt đường tròn tại các điểm và tương ứng (B nằm giữa A và nằm giữa A và E).Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn tại điểm thứ hai F.Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai .Hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm .Chứng minh : 1. 2. Bài 5: Sáu điểm phân biệt thuộc 1 HCN có độ dài các cạch là (các điểm này có thể nằm bên trong hay trên cạnh HCN).Chứng minh rằng luôn tồn tại trong 6 điểm này mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng Bài 1 1)Giải pt: 2)Giải hpt: Bài 2:
29. 1)Giả sử là 2 nghiệm của pt: Chứng minh rằng là 1 số nguyên 2)Với sao cho và chia hết cho .CMR Bài 3: Cho và 2 điểm cố định thuộc ĐTR đó( không phải là ĐK).Gọi là trung điểm cung nhỏ .Trên đoạn lấy 2 điểm phân biệt và không nằm trên ĐTR.Các đt cắt tại khác 1)CM 4 điểm nằm trên cùng 1 ĐTR 2)Gọi tương ứng là tâm các ĐTr ngoại tiếp tam giác .Chứng minh khi thay đổi trên đoạn các đt luôn cắt nhau tại điểm cố định Bài 5: Vòng 2: Bài 1: 1)Giải hpt: 2)Giả sử là các số thực dương thỏa mãn ĐK .Tìm min Bài 2: 1)Tìm nghiệm nguyên của pt: 2)Tìm tất cả các số nguyên tố mà cũng là số nguyên tố Bài 3: Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau tại .Về một phía của vẽ 2 ĐTR:ĐTR tiếp xúc với và tương ứng tại ;ĐTR tiếp xúc với và tương ứng tại . nằm về 2 phía của 1)Chứng minh là trực tâm tam giác 2)Đt tại khác ;đt cắt tại khác .CM là hình thang cân Bài 4: Trong các tứ giác lồi có độ dài 3 cạnh bằng nhau và bằng ( là số dương cho trước),hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất Bài 5: Cho dãy số được xác định bởi các công thức : với mọi số nguyên không âm .CMR:
30. Năm 2002-2003 Câu 1 : Giải hệ pt : Câu 2 : Gọi là 2 nghiệm của pt . Chứng minh số không phải là số chính phương nhưng có thể phân tích được thành tổng của 3 số chính phương liên tiếp Câu 3 : Trong tất cả các tam giác nhọn ABC nội tiếp trong 1 đường tròn bán kính 1, hãy t“m tam giác làm cho biểu thức : F = đạt GTNN Trong đó : lần lượt là độ dài các đường : Trung tuyến kẻ từ A; phân giác trong của góc B và đường cao hạ từ C Câu 4 : Cho với a,b,c,d :in R. Biết f(1) = 10 ; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính : Câu 5 : Cho các số nguyên x,y thỏa mãn : T“m max và min của biểu thức : Câu 6 : Cho các số thực a;b thỏa mãn : và Chứng minh rằng : Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Bắc Giang Năm học :2006-2007 Thời gian:150 phút Bài 1 : (2,0 điểm) Cho phương trình : , là tham số a) Tìm để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm để phương trình đã cho có 2 nghiệm và thỏa mãn . Bài 2 : (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A= + . b) Tìm tất cả các cặp số nguyên a và b sao cho la nghiệm của phương trình . Bài 3 : (1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực dương x và y thỏa mãn : Bài 4 : (3,5 điểm)
31. Cho tam giác vuông cân ABC (AB=AC).Điểm M nằm trên cạnh BC ( M khác B và C ).Đường tròn ( I ) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AB tại B, đường tròn ( J ) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳngAC tại C a) Nêu cách xác định tâm I của đường tròn ( I ) và tâm ( J ) của đường tròn ( J ). b) Các đường tròn ( I ) và ( J ) cắt nhau tại điểm thứ hai N.Chứng minh tứ giác BNCA nội tiếp đường tròn. c) Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn BC thì tổng các bán kính đường tròn ( I ) và ( J ) không đổi và đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài 5: (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: biết Câu 1Viết các số liên tiếp ta được số: CMR A chia hết cho 1998 Câu 2 Giải PT: Câu 3 Cho các số dương a,b,c có tổng =2, CMR: Câu 4 Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn tâm O. Phân giác góc A cắt đường tròn (O) ở D. Một đường tròn (L) thay đổi luôn đi qua A và D cắt hai đường thẳng AB và AC ở giao điểm thứ 2 là M và N (có thể trùng A) a. CMR MB=CN b. Tìm tập hợp trung điểm K của MN c. Xác định vị trí đường tròn (L) sao cho đoạn thẳng MN min Bài 5: HCN 3x4 được chia bởi các đường thẳng // với các cạnh thành 12 hình vuông đơn vị 1. CMR với 7 điểm bất kì nằm trong hcn ta có thể chọn ra 2 điểm khoảng cách ko vượt quá . CM kêt luận vẫn đúng khi số điểm là 6 và ko còn đúng khi số điểm là 5 NĂM HỌC 1995-1996 Bài 1.(2đ).Với giá trị nào của a thì hệ sau đây vô nghiệm? ax+y=2 x+ay=a+1 Bài 2.(2đ).Cho đa thức a,b là hai số nguyên khác nhau c/m:Đa thức không thể phân tích thành hai đa thức bậc nhất có hệ số là các số nguyên Bài 3.(2 đ).Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: Bài 4.(2đ).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại M và cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC tại N.Gọi P,Q lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC. Chứng minh diện tích hình ANPQ bằng diện tích tam giác ABC. Bài 5. (2đ).Cho hình bình hành ABCD góc BAD nhọn .O là giao điểm của các đường chéo .Kẻ các đường DM,DN,DP lần lượt vuông góc với AB,BC.AC. Chứng minh rằngM,N,P,O ở trên một đường tròn. NĂM HỌC 2005 - 2006 Bài 1.Cho biểu thức:
32. . a/Viết phương trình đường thẳng của parabol(P). b/Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng x+2y=1 và đi qua điểm B(0;m).với giá trị nào của m thì đường thẳng cắt parabol(P) tại hai điểm có hoành độ sao cho: Bài 3.Giải phương trình: Bài 4. 1 VĐv bắn súng bắn 20 phát súng két quả dc ghi lại trong bảng dưới đây( điểm số của từng phát) 8 9 6 8 9 9 9 6 8 10 9 8 10 7 10 10 7 8 9 8 a/Gọi X là điểm số đạt dc sau mỗi lần bắn.Lập bảng phân phối thực hiện từ đó tính điểm số trung bình phương sai và độ lệch tiêu chuẩn. b/Ý nghĩa của độ lệch tiêu chuẩn trong trường hợp này là gì? Bài 5. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC và cát tuyến AMN của đường tròn đó.Gọi I là trung điểm của dây MN,H là giao điểm của AO và BC. chứng minh: a/Năm điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đường tròn. b/ và Bài 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh AB=12cm và đường cao AH.Tính thể tích của hình tạo thành khi cho hình nửa vành khăn ( đường kính chứa AH) ở giữa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, quay một vòng quanh đường cao AH. NĂM HỌC 2006-2007 Bài 1: a) Tìm các số thực u, v biết b) Giải phương trình: Bài 3: a) Đặt . Chứng minh c) Phân chia 9 số từ 1 đến 9 thành 3 nhóm tùy ý, mỗi nhóm có 3 số. Gọi T1, T2, T3 lần lượt là tích của 3 nhóm đó. Tìm min(T1+T2+T3) Bài 4: Một thùng sắt đậy kín hình lập phương. Biết rằng trong thùng có 9 khối có dạng hình cầu có cùng bán kính, làm bằng chất liệu rắn. Chứng minh nếu mỗi cạnh của hình lập phương là a thì đường kính các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng Trường Quốc học Huế : 1. a. Tìm các số thực u, v biết và b. Giải phương trình :
33. 2. Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R , dây AC của O vuông góc với BD tại H . Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB . a. Chứng minh : b. Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp . c. Chứng minh : 3. a. Đặt . Chứng tỏ rằng : b. Chứng tỏ rằng : với mọi số thực x, y, z . Suy ra a, b, c là các số dương ta luôn có : c. Phân chia 9 số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành 3 nhóm tùy ý mỗi nhóm có 3 số .Gọi là tích của 3 số ở nhóm thứ nhất , lần lượt là tích 3 số ở nhóm thứ hai thứ ba . Hỏi tổng min = ? 4. Một thùng sắt đậy kín hình lập phương . Biết rằng trong thùng chứa 9 khối có dạng hình cầu cùng bán kính làm băng chất liệu rắn . Chứng minh rằng nếu cạnh của thùn hình lập phương là a thì đường kính của các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng 5. Chứng minh rằng :