Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Có đáp án)

1. KỲ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Ngày thi: tháng .năm 2019 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm:) x x 3 x 2 x 2 Cho hai biểu thức: A 1 ; B với x 0; x 4; x 9 . x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 64 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Cho P . Tìm x để 2P 2 x 9 B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Để hoàn thành một công việc theo dự định cần một số công nhân làm trong một số ngày nhất định. Nếu bớt đi 2 công nhân thì phải mất thêm 4 ngày mới hoàn thành công việc. Nếu tăng thêm 3 công nhân thì công việc hoàn thành sớm được 4 ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu công nhân và làm bao nhiêu ngày? Bài III (2,0 điểm) 12 21 5 | x 3 | x y 2 1) Giải hệ phương trình 1 7 | x 3 | x y 4 2) Cho phương trình (m + 1)x2 + 4mx + m – 5 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Giả sử x 1, x2 là hai nghiệm của phương trình, hãy tìm một hệ thức giữa x 1, x2 độc lập với tham số m. Bài IV ( 3,5 điểm) Cho (O;R) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB, dây AM cắt CD, CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình vuông. b) Chứng minh: IB.IC = IA.IM. c) Chứng tỏ JI // PD và JI là phân giác của góc CJM. d) Gọi E là giao điểm của IJ và DB, F là điểm dối xứng với I qua M. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cung nhỏ BC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF đi qua hai điểm cố định. Bài V ( 0,5 điểm) Bài 5 (0,5 điểm): Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y + 2 = 4xy. 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y x y .Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
2. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm Ta thấy x = 64 thỏa mãn ĐKXĐ. Thay x = 64 vào A ta có : 1 64 1 A 1 0,5 (0,5đ) 64 1 9 I. KL : (2,0đ) 2a 1 B 0,75 0,75đ x 2 2b x 2 P .Để 2P 2 x 9 thì x = 25 0,75 0,75đ x 1 Gọi số công nhân theo dự định là x ( người, x > 2, x N * ) 0,25 Số ngày theo dự định là y (ngày, y > 3, y). N * II. (x 2).(y 4) xy (2,0đ) Ta có hệ phương trình: 1 (2,0đ) (x 3).(y 4) xy Nghiệm của hệ phương trình là : x = 12 (TM) , y = 20(TM) 0,5 KL: 0,25 ĐKXĐ: x + y ≠ 0 0,25 1 (1đ) Nghiệm của hệ phương trình (x,y) là: III. (4,5; -0,5) và (1,5; 2,5) 0,75 (2đ) 2 a) C/m được phương trình luôn có nghiệm 0,5 (1đ) b) Tìm được hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m 0,5 0,25 a. IV. (1đ) (3,5đ) a) Tứ giác ACBD là hình chữ nhật 0,75 mặt khác AB  CD nên tứ giác ACBD là hình vuông (đpcm) b. b) IAC IBM (g.g) IB.IC IA.IM (đpcm) 1 (1đ) c)Tứ giác IMBJ nội tiếp IMB IJB 1800 c. IJB 900 IJ  AB IJ / /DB (đpcm) 1 (1đ) Tứ giác ACIJ nội tiếp CAI CJI
3. Tứ giác IMBJ nội tiếp IJM IBM Mà CAI IBM CJI IJM JI là phân giác góc CJM (đpcm) d) BIF cân tại B BFI BIF Mà BIF CIA;CIA CJA,CJA AJD;AJD AED d. BFI AED 0,5 (0,5đ) Tứ giác AEBF nội tiếp mà A, B cố định nên đường tròn ngoại tiếp BEF luôn đi qua hai điểm A,B cố định khi M di chuyển trên cung nhỏ BC (đpcm) Từ điều kiện đầu bài x, y > 0 và x + y + 2 = 4xy Ta có (x +y)2 ≥ 4xy => (x +y)2 –(x+y) ≥ 4xy – (x+y) = 2 (x +y)2 –(x+y) – 2 ≥ 0 (x+y+1)(x+y - 2)≥ 0  x + y ≥2 1 3 1 1 Ta có: x y (x y) (x y) x y 4 4 x y V. 0,5 (0,5đ) (0,5đ) 1 3 1 1 1 5 x y .2 2. (x y).  x y x y 4 4 x y x y 2 1 1 dấu ‘=’ xảy ra khi x = y và (x y) hay x = y = 1 4 x y 1 5 Vậy GTNN của biểu thức x y khi x = y = 1 x y 2 Hết KỲ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Ngày thi: tháng .năm 2018 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm:)
4. x 1 1) Cho biểu thức: Avới x . Tính0; x giá9 trị biểu thức A khi x = 64 x 3 x 2 x 1 x 1 2) Cho biểu thức: P với x ≥ 0 và x ≠ 1 x x 1 x x 1 x 1 a. Rút gọn biểu thức P b.Tìm x để P đạt giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian đã định. Sau khi làm xong một nửa công việc, người đó tăng năng suất, mỗi giờ đã làm thêm được 3 sản phẩm so với dự kiến. Nhờ vậy công việc được hoàn thành sớm dự định là 1 giờ. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó. Bài III (2,0 điểm) 7 4 5 1) Giải hệ phương trình x 7 y 6 3 5 3 13 x 7 y 6 6 2) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1 < 2 < x2 Bài IV ( 3,5 điểm) Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt B,C (O không thuộc (d), B nằm giữa A và C). Gọi H là trung điểm của BC. a) Chứng minh các điểm O, H, M, A, N cùng nằm trên một đường tròn, b) Chứng minh HA là tia phân giác của M· HN . c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh HE //CM d) Chứng minh: Khi (d) quay quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC thuộc một đường thẳng cố định. Bài V ( 0,5 điểm) Cho a + b = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a2 + b2) .Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm Ta thấy x = 64 thỏa mãn ĐKXĐ. Thay x = 64 vào A ta có : I. 1 64 1 8 1 9 A = 0,5 (2,0đ) (0,5đ) 64 3 8 3 5 KL :
5. 2a x P 0,75 0,75đ x x 1 2b 0 P 1. Để P nguyên thì P = 0. Khi đó x = 0(TM). KL: . 0,75 0,75đ Gọi số sp người đó phải làm trong một giờ theo dự kiến là x(sp) 0,25 (x N * ) II. 120 60 60 (2,0đ) Ta có phương trình: ( ) 1 1 (2,0đ) x x x 3 Nghiệm của phương trình là : x = 12 (TM) , hoặc x = - 15(loại) 0,5 KL: Vậy theo dự kiến, mỗi giờ người đó phải làm 12 sp 0,25 ĐKXĐ: x > - 7 ; y > 6 0,25 1 1 a(a 0) a 1 x 7 3 x 7 3 x 2(TM ) Đặt (1đ) 1 1 y 42(TM ) b(b 0) b y 6 6 0,75 y 6 6 Nghiệm của hệ phương trình là : (x,y) = (2; 42) III. Xét PT hoành độ giao điểm của (d) và (P): (2đ) x2 – 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0 (1) , (m 2)2 1 0 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 2 x1 x2 2(m 1) 1 (1đ) Theo hệ thức Vi-et ta có: x1.x2 2m 4 Theo đề bài ta có: x1 0 (x1 – 2).( x2 – 2 ) 2 M E H C B A O 0,25 N a. (1đ) IV. (3,5đ) a) Theo tính chất tiếp tuyến căt nhau ta có : ·AMO ·ANO 900 Do H là trung điểm của BC nên ta có: 0,75 ·AHO 900 Do đó 5 điểm A, M, H, N, O thuộc đường tròn đường kính AO b. b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AM = AN 1 (1đ) Do 5 điểm A, M, H, O, N cùng thuộc một đường tròn nên:
6. ·AHM ·AHN (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Do đó HA là tia phân giác của M· HN c) Theo giả thiết AM//BE nên M· AC E·BH ( đồng vị) (1) Do 5 điểm A, M, H, O, N cùng thuộc một đường tròn nên: M· AH M· NH (góc nội tiếp chắn cung MH) (2) Từ (1) và (2) suy ra E·NH E·BH c. Suy ra tứ giác EBNH nội tiếp 1 (1đ) Suy ra E·HB E·NB Mà E·NB M· CB (góc nội tiếp chắn cung MB) Suy ra: E·HB M· CB Suy ra EH//MC. d) Gọi K là trung điểm của AO, suy ra K cố định, HK = 1/2 AO không đổi.Kẻ GI // HK, I thuộc MK. MI IG MG 2 MK KH MH 3 d. 0,5 Mà M,K cố định, suy ra I cố định và (0,5đ) 2 2 1 1 IG KH . AO AO không đổi. 3 3 2 3 1 Vậy G (I, AO) cố định.(đpcm) 3 A = ab.(a2 + b2) = ab.[(a+b)2 -2ab] = ab. (4 – ab) 2 2 Đặt ab = t ta có: A = t.(4 – 2t) = - 2t + 4t = -2(t – 1) + 2 2 Dấu bằng xảy ra khi t = 1 V. ab 1 0,5 (0,5đ) (0,5đ) Mà a + b = 2 a b 1 Vậy Max A = 2 khi a = b = 1 Hết KỲ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Ngày thi: tháng .năm 2017 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm:) x 1 1) Cho biểu thức: Avới x . Tính0; x giá9 trị biểu thức A khi x = 64 x 3
7. x 2 x 1 x 1 2) Cho biểu thức: P với x ≥ 0 và x ≠ 1 x x 1 x x 1 x 1 a. Rút gọn biểu thức P b.Tìm x để P đạt giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm 1 sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó. Biết mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm. Bài III (2,0 điểm) 7 4 5 1) Giải hệ phương trình x 7 y 6 3 5 3 13 x 7 y 6 6 2) Cho phương trình: x4 – 2(m+3)x2 + 2m + 5 = 0. (ẩn x) Tìm m để phương đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Bài IV ( 3,5 điểm) Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt B,C (O không thuộc (d), B nằm giữa A và C). Gọi H là trung điểm của BC. c) Chứng minh các điểm O, H, M, A, N cùng nằm trên một đường tròn, d) Chứng minh HA là tia phân giác của M· HN . c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh HE //CM d) Chứng minh: Khi (d) quay quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC thuộc một đường thẳng cố định. Bài V ( 0,5 điểm) Cho a + b = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a2 + b2) .Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm Ta thấy x = 64 thỏa mãn ĐKXĐ. Thay x = 64 vào A ta có : I. 1 64 1 8 1 9 A = 0,5 (2,0đ) (0,5đ) 64 3 8 3 5 KL :
8. 2a x P 0,75 0,75đ x x 1 2b 0 P 1. Để P nguyên thì P = 0. Khi đó x = 0(TM). KL: . 0,75 0,75đ Gọi số sp người đó phải làm trong một giờ theo dự kiến là x(sp) 0,25 (x N * ; x - 7 ; y > 6 0,25 1 1 a(a 0) a 1 x 7 3 x 7 3 x 2(TM ) Đặt (1đ) 1 1 y 42(TM ) b(b 0) b y 6 6 0,5 y 6 6 Nghiệm của hệ phương trình là : (x,y) = (2; 42) III. Xét PT: x2 – 2(m + 3)x + 2m + 5 = 0 (1) (2đ) Đặt x2 = t (t 0 ). Ta có phương trình: t2 – 2(m + 3)t + 2m + 5 = 0 (2) Ta có: a + b + c = 1 – 2(m + 3) + 2m + 5 = 0, suy ra pt (2) có hai nghiệm : t1 = 1(TM); t2 = 2m + 5 2 Để PT(1) có 4 nghiệm phân biệt thì PT(2) phải có hai nghiệm phân 1 (1đ) biệt cùng dương. 5 2m 5 0 m 2 2m 5 1 m 2 KL: M E H C B A O 0,25 N IV. a. (3,5đ) (1đ) a) Theo tính chất tiếp tuyến căt nhau ta có : ·AMO ·ANO 900 Do H là trung điểm của BC nên ta có: 0,75 ·AHO 900 Do đó 5 điểm A, M, H, N, O thuộc đường tròn đường kính AO
9. b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AM = AN b. Do 5 điểm A, M, H, O, N cùng thuộc một đường tròn nên: 1 (1đ) ·AHM ·AHN (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Do đó HA là tia phân giác của M· HN c) Theo giả thiết AM//BE nên M· AC E·BH ( đồng vị) (1) Do 5 điểm A, M, H, O, N cùng thuộc một đường tròn nên: M· AH M· NH (góc nội tiếp chắn cung MH) (2) Từ (1) và (2) suy ra E·NH E·BH c. Suy ra tứ giác EBNH nội tiếp 1 (1đ) Suy ra E·HB E·NB Mà E·NB M· CB (góc nội tiếp chắn cung MB) Suy ra: E·HB M· CB Suy ra EH//MC. d) Gọi K là trung điểm của AO, suy ra K cố định, HK = 1/2 AO không đổi.Kẻ GI // HK, I thuộc MK. MI IG MG 2 MK KH MH 3 d. 0,5 Mà M,K cố định, suy ra I cố định và (0,5đ) 2 2 1 1 IG KH . AO AO không đổi. 3 3 2 3 1 Vậy G (I, AO) cố định.(đpcm) 3 A = ab.(a2 + b2) = ab.[(a+b)2 -2ab] = ab. (4 – ab) 2 2 Đặt ab = t ta có: A = t.(4 – 2t) = - 2t + 4t = -2(t – 1) + 2 2 Dấu bằng xảy ra khi t = 1 V. ab 1 0,5 (0,5đ) (0,5đ) Mà a + b = 2 a b 1 Vậy Max A = 2 khi a = b = 1 Hết KỲ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Ngày thi: tháng .năm 2017 Thời gian làm bài: 100 phút
10. x 1 1 x x Câu I (2điểm): Cho hai biểu thức A= và B = : 1 x 1 x 1 x 1 x 1 với x 0 ; x 1 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 16 2) Rút gọn biểu thức B. 3 3) Tìm x để B = 2 4)Tìm giá trị nhỏ nhất của B. Câu II (2 điểm):Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình: Một người đi xe máy từ A đến B quãng đường dài 100 km với vận tốc dự định. Lúc đầu xe đi với vận tốc đó. Đi được 1/3 quãng đường không may xe bị hỏng nên phải dừng lại sửa trong 30 phút. Vì sợ muộn nên người đó tăng vận tốc lên 10 km/h trên quãng đường còn lại nhưng vẫn đến B chậm hơn 10 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy. Câu III (2 điểm): 1 3 2 x 2y 1 1) Giải hệ phương trình: 2 4 3 x 2y 1 x my m 1 2) Cho hệ phương trình: mx y 3m 1 a) Giải hệ phương trình khi m = 2. b) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất mà x nguyên, y nguyên. Câu IV (3,5 điểm): Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cốđịnh, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I. a) Chứng minh rằng M· BC B·AC . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE. c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng. d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất. 3 3 Câu V (0,5điểm): Giải phương trình: x 2 2x 1 1 0 .Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họvà tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm I. 1 Ta thấy x = 16 thỏa mãn ĐKXĐ. Thay x = 16 vào A ta có : 0,5 (2,0đ) (0,5đ)
11. 16 1 4 1 3 A = 16 1 4 1 5 2 2 x 1 B 0,5 0,5đ x 1 3 Không có giá trị của x để B = 3/2 0,5 0,5đ 4 MinB = 1 khi x = 0 0,5 0,5đ Gọi số sp tổ phải làm trong một ngày theo quy định là x(sp) 0,25 (x N * ; x< 600) II. 600 400 200 (2,0đ) Ta có phương trình: 1 1 (2,0đ) x x x 10 Nghiệm của phương trình là : x = 40(TM) , hoặc x = -50(loại) 0,5 KL: Vậy theo quy định, mỗi ngày tổ phải làm 40 sp 0,25 1 ĐKXĐ: x 0; y 0,25 1 2 (0,75đ) Nghiệm của hệ phương trình là : (x,y) = (2;1/2) 0,5 III. a) Khi m = 2 PT có 2 nghiệm pb: x1= 3/2; x2=1 0,5 (2đ) b) (2m 3)2 0 1,25đ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0,75 3 (2m 3)2 0 m 2 0,25 a. IV. (1đ) (3,5đ) Theo tính chất tiếp tuyến D·CO 90 Ta có: MA = MB(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau). OA = OB(=R) MO là đường trung trực của AB 0,75 MO  AB D· IO 90. Do đó D·CO D· IO 180 Suy ra tứ giác OIDC nội tiếp. b. ABC ACD(g g) AB.AD AC 2 4R2 0,75 (0,75đ) Tứ giác AOBE là hình thoi AE = EB = BO = OA = R. c. · 0 AOE đều nên AOE 60 1 (1đ) AM = AO.tan 600 = R3
12. AM AO AMO CAD(g g) AC CD d. AM CO 0,75 Mà AO = CO = R nên (0,75đ) AC CD tan ·ACM tan O·DC ·ACM O·DC O·DC M· CD 900 OD  CM Đặt 3 2x 1 y y3 2x 1 3 Ta có hệ phương trình: x 2y 1 0 Trừ theo từng vế của hai phương trình (2) và (1) ta được: x3 – y3 + 2x – 2y = 0 (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0 V. x y 0 0,5 (0,5đ) (0,5đ) 2 2 x xy y 2 0 *Với x – y = 0 x y .Thay vào (1) ta được x3 – 2x + 1 = 0 1 5 (x – 1)(x2 + x – 1) = 0. x 1; x 2 2 y 3 2 * Với x2 + xy + y2 + 2 = 0 x y 2 0 2 4 Phương trình vô nghiệm. Hết