Bổ sung về kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân - Môn Toán Lớp 12 - Nguyễn Ngọc Ân

Nội dung text: Bổ sung về kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân - Môn Toán Lớp 12 - Nguyễn Ngọc Ân

1. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com BỔ SUNG VỀ KỸ THUẬT TÍNH THỂ TÍCH BẰNG TÍCH PHÂN Bài viết này bổ sung về kỹ thuật tính thể tích vật thể tròn xoay bằng tích phân theo công thức mở rộng. 1) Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay bằng tích phân : a) Công thức gốc: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b khi quay quanh trục Ox là: b 2 V f (x)dx (1) a b) Công thức mở rộng: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử f (x).g(x) 0, x [a;b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b khi quay quanh trục Ox có thể tính theo công thức sau: b 2 2 V f (x) g (x)dx (2) a Công thức (2) có thể suy ra từ công thức (1) bằng cách xét các trường hợp vị trí tương đối của hai đồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x) trên đoạn [a;b] rồi sử dụng phương pháp cộng, trừ thể tích. Ngược lại, (1) có thể xem là một trường hợp riêng của (2) khi g(x)=0 (trục Ox). Khi này điều kiện f (x).g(x) 0, x [a;b] hiển nhiên đúng. 2) Ví dụ áp dụng: Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x) = x2, g(x) = x+2 khi quay quanh trục Ox. Giải: Cách 1: Dùng công thức gốc (1). 2 2 x 1 Giải phương trình hoành độ giao điểm: x x 2 x x 2 0  . x 2 Đồ thị như sau: 1 Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân
2. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com Từ đồ thị, áp dụng công thức (1) bằng cách trừ thể tích, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 4 V V V 1 2 (x 2) dx (x ) dx x 4x 4 x dx 1 1 1 2 3 5 x 2 x 72 2 x 4 x 3 5 5 1 Cách 2: Dùng công thức mở rộng (2). 2 2 x 1 Giải phương trình hoành độ giao điểm: x x 2 x x 2 0  . x 2 Vì: f (x) x2 0 x [-1;2], g(x)=x+2 0 x [-1;2] f(x).g(x) 0 x [ 1;2] nên áp dụng công thức (2) ta có: 2 2 4 2 4 2 V x (x 2) dx x x 4x 4 dx 1 1 4 2 2 2 2 x 1 Mà x x 4x 4 0 (x x 2).(x x 2) 0 x x 2 0  x 2 2 2 5 3 Vậy: 4 2 x x 2 72 V (x x 4x 4)dx 2x 4x . 5 1 5 3 1 2 Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân
3. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com Lưu ý: Nếu thiếu điều kiện f (x).g(x) 0, x [a;b] thì công thức (2) không đúng. Chẳng hạn: Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x)=x, g(x)=-x và hai đường thẳng x=0, x= 3 khi quay quanh trục Ox. Ta thấy tình hình như sau: + Tính đúng: Từ đồ thị ta thấy hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x)=x, g(x)=-x và hai đường thẳng x=0, x= 3 nhận trục Ox làm trục đối xứng nên thể tích cần tìm chính là thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x)=x, trục Ox và hai đường thẳng x=0, x= 3 khi quay quanh trục Ox. 3 x 3 Vậy thể tích đúng cần tìm là: V x2dx 9 . 0 3 0 (đây chính là thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng 3) + Nếu tính máy móc theo công thức (2) ta có: 3 3 2 2 V x ( x) dx 0dx 0 (?!) 0 0 3) Kỹ thuật áp dụng công thức (2): 3 Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân
4. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com Để lấy tích phân (2), ta cần tìm nghiệm phương trình f2(x)-g2(x)=0 trên đoạn [a;b]. Phương trình này bao gồm phương trình hoành độ giao điểm f(x)-g(x)=0 nên nếu giải đầy đủ sẽ 2 2  f (x) g(x) 0 phức tạp hơn ( vì f (x) g (x) 0 [ f (x) g(x)][ f (x) g(x)] 0  ).  f (x) g(x) 0 Tuy nhiên ta thấy tình hình như sau đây sẽ được đơn giản hơn. Do f (x).g(x) 0, x [a;b] nên với mỗi x0 [a;b] , ta có:  f (x0 ) 0  (a)  g(x0 ) 0  f (x0 ) 0  (b)  g(x0 ) 0   f (x0 ).g(x0 ) 0  f (x0 ) 0 f (x0 ).g(x0 ) 0 (c)  f (x ).g(x ) 0  g(x ) 0  0 0  0  f (x0 ) 0  (d)  g(x0 ) 0  f (x0 ) 0  (e)  g(x0 ) 0 . Với mỗi trường hợp (a), (b), (c), (d) đều cho f (x0 ) g(x0 ) 0 . . (e) f (x0 ) g(x0 ) 0 và cũng có f (x0 ) g(x0 ) 0 Như vậy nếu x0 là nghiệm của phương trình f(x)+g(x)=0 thì x0 cũng là nghiệm của phương trình f(x)-g(x)=0. Mặt khác, f 2 (x) g 2 (x) 0 [ f (x) g(x)][ f (x) g(x)] 0 . Do đó để tìm nghiệm của phương trình f2(x)-g2(x)=0 trên đoạn [a;b], ta chỉ cần giải phương trình hoành độ giao điểm f(x)-g(x)=0. x c (a;b) Khi đó, giả sử: f (x) g(x) 0  , tương tự kỹ thuật tính diện tích hình phẳng x d (a;b) ta có: b c b 2 2 2 2 2 2 V f (x) g (x)dx f (x) g (x)dx f (x) g (x)dx a a c c b 2 2 2 2 [ f (x) g (x)]dx + [ f (x) g (x)]dx a c Ví dụ 1: Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x) = x(x-2)(x-4), g(x) = -2x+4 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 khi quay quanh trục Ox. 4 Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân
5. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com Giải: Xét dấu của f(x) và g(x) trên [1;3], suy ra: f (x).g(x) 0, x [1;3]. x 2 [1;3] 2  Ta có: f (x) g(x) 0 (x 2)(x 4x 2) 0 x 2 2 [1;3] .  x 2 2 [1;3] Do đó, áp dụng công thức (2) ta có thể tích cần tìm là: 3 V (x3 6x2 8x)2 (4 2x)2 dx 1 2 (x6 12x5 52x4 96x3 60x2 16x 16)dx 1 3 (x6 12x5 52x4 96x3 60x2 16x 16)dx 2 2 7 x 6 52 5 4 3 2 2x x 24x 20x 8x 16 7 5 1 3 7 x 6 52 5 4 3 2 178 2x x 24x 20x 8x 16 . 7 5 35 2 Thể hiện, minh họa qua đồ thị như sau: 5 Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân
6. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com Ví dụ 2: Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường f(x)=x+sinx, g(x)=x+1, x=0, x= khi quay quanh trục Ox. Giải: Ta có: f (x) 0, g(x) 0 x [0; ] f (x).g(x) 0, x [0; ]. Trên đoạn [0; ] , ta có: f (x) g(x) 0 x sin x x 1 x . 2 Do đó, áp dụng công thức (2) ta có thể tích cần tìm là: 6 Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân
7. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com V (x sin x)2 (x 1)2 dx 0 2 (sin2 x 2xsin x 2x 1)dx (sin2 x 2xsin x 2x 1)dx 0 2 2 1 cos2x 1 cos2x (2xsin x 2x )dx (2xsin x 2x )dx 0 2 2 2 2 2 x sin 2x 2 x sin 2x 2xcos x 2sin x x 2xcos x 2sin x x 2 4 0 2 4 2 3 2 ( ). 2 Thể hiện, minh họa qua đồ thị như sau: 7 Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân
8. Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com 4) Nhận xét: - Sử dụng công thức (2) giúp ta tránh được việc dùng đồ thị để tính thể tích (không phải lúc nào cũng vẽ được đồ thị chính xác). -Với nhận xét nghiệm của phương trình f(x)+g(x)=0 trên [a;b] cũng là nghiệm của phương trình f(x)-g(x)=0 trên [a;b], giúp ta tránh giải phương trình f2(x)-g2(x)=0 ( dẫn đến phải giải phương trình f(x)+g(x)=0 đôi khi gặp khó). Thay vào đó, ta chỉ cần giải phương trình hoành độ giao điểm f(x)-g(x)=0 trên [a;b] sẽ nhẹ nhàng hơn. 5) Bài tập: Áp dụng công thức (2), tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox: 1. f (x) 1 x, g(x)=1- x, x = -1, x =1, 2. f (x) 2x 1, g(x)= x+ 2, x = 3, 3. f (x) x2 1, g(x)= 3x - 5, 4. f (x) x2 1, g(x)= -2x2 +4, 5. f (x) x3, g(x)= x, 6. f (x) x3 3x, g(x)= -2x, 3 7. f (x) , g(x)= x, x = 0, x = 2, x 2 3x 3 8. f (x) , g(x)= x -1, x 1 9. f (x) ex , g(x)= -x+1, x = -1, x =1, 10. f (x) ln x, g(x)= x -1, x =1, x = e, 11. f (x) ex x, g(x)= x+ 2, x = 0, x = 3, 12. f (x) sin x, g(x)= cosx, x = 0, x = . 2 Người viết, Nguyễn Ngọc Ấn P/S: Nhờ các bạn góp ý, phản biện giùm. Cảm ơn! 8 Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân