Các bài tập Hình học Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Các bài tập Hình học Lớp 9 (Có đáp án)

1. Bài 5. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây BC = R. Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn. Tia AC cắt Bx tại M. Gọi E là trung điểm của AC. 1. Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn. 2. Gọi I là giao điểm của BE với OM. Chứng minh: IB.IE = IM.IO. B O A I E C M x a) Ta có E là trung điểm của AC OE  AC hay O·EM = 900. Ta có Bx  AB A· Bx =900. nên tứ giác CBME nội tiếp. b) Vì tứ giác OEMB nội tiếp O·MB = O· EB (cung chắn O»B ), E·OM = E·BM (cùng chắn cung EM) EIO ~ MIB (g.g) IB.IE = M.IO Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kiính AB = 2R. Điểm M thuộc đường tròn sao cho MA < MB. Tiếp tuyến tại B và M cắt nhau ở N, MN cắt AB tại K, tia MO cắt tia NB tại H. 1. Tứ giác OAMN là hình gì ? 2. Chứng minh KH // MB. n m k b a o h a) A·MB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) AM  MB (1) MN = BN (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau), OM = OB ON là đường trung trực của đoạn thẳng MB ON  MB (2)
2. Từ (1) và (2) AM // ON OAMN là hình thang. b) ∆ NHK có HM  NK; KB  NH. suy ra O là trực tâm ∆NHK ON  KH (3) Từ (2) và (3) KH // MB Bài 5. Cho đường tròn tâm (O) và dây AB, điểm M chuyển động trên đường tròn. Từ M kẻ MH vuông góc với AB (H AB). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB tại D. 1) Chứng minh đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn. MA2 AH AD 2) Chứng minh: =  . MB2 BD BH M F O E A H D B 1) Tứ giác MEHF nội tiếpvì M· EH + M· FH = 1800 A·MB = 1800 - E·HF = E·HA + F·HB (1) Ta có M· HF = M· EF (góc nội tiếp chắn M»F ) Lại có M· HF + F·HB = 900 = M· EF + E·MD F·HB = E·MD (2) Từ (1) và (2) E·HA = D·MB , Gọi N là giao điểm của MD với đường tròn (O) ta có D·MB = N· AB (góc nội tiếp chắn N»B ) E·HA = N· AB do đó AN // EH mà HE  MA nên NA  MA. hay M· AN = 900 AN là đường kính của đường tròn. Vậy MD đi qua O cố định. 2) Kẻ DI  MA, DK  MB, ta có AH S AM . HE AD S AM . DI = MAD = ; = MAD = BD SMBD BM . DK BH SMBH BM . HF AH AD MA2 HE . DI Vậy . = . (1) BD BH MB2 DK . HF Ta có H·MB = F·HB (cùng phụ với M· HF ) mà F·HB = E·MD (CMT) E·FH = D· IK và E·HF = D·MH . Tứ giác MEHF nội tiếp nên A·MH = E·FH vµ E·HF = 1800 - A·MB Tứ giác MIDK nội tiếp nên D·MB = D· IK vµ I·DK = 1800 - A·MB E·FH = D· IK vµ E·HF = I·DK DIK HFE (g.g) do đó
3. ID DK HE.DI suy ra = ID . HE = DK . HF = 1 (2) HF HE DK.HF MA2 AH AD Từ (1), (2) = . . MB2 BD BH