Các bài tập về Đường tròn trong chương trình Hình học Lớp 9

Nội dung text: Các bài tập về Đường tròn trong chương trình Hình học Lớp 9

1. Bài 5. Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R. Từ một điểm M ở ngoài đường trũn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường trũn (A, B là cỏc tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường trũn tại E (E khỏc A), đường thẳng ME cắt đường trũn tại F (F khỏc E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB. 1) Chứng minh: Tứ giỏc MAOB nội tiếp đường trũn. 2) Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH. HB2 EF 3) Chứng minh: 1 . HF2 MF A E 1 1 2 2 F 1 1 1 M O N H B Vỡ MA, MB là cỏc tiếp tuyến của (O) nờn: Mã AO Mã BO 900 Tứ giỏc MAOB cú Mã AO Mã BO 1800 Tứ giỏc MAOB nội tiếp đường trũn. à à à à 1 ằ Ta cú: M1 E1 (so le trong, AE // MO) và A1 E1 sđAF 2 à à M1 A1 ã à à NMF và NAM cú: MNA chung; M1 A1 NMF NAM (g.g) NM NF NM2 NF.NA NA NM Cú MA = MB (tớnh chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R MO là đường trung trực của AB AH  MO và HA = HB ã à à MAF và MEA cú: AME chung; A1 E1 MAF MEA (g.g) MA MF MA2 MF.ME ME MA Áp dụng hệ thức lượng vào tam giỏc vuụng MAO, cú: MA2 = MH.MO ME MO Do đú: ME.MF = MH.MO MH MF MFH MOE (c.g.c) à à H1 E2 Vỡ BãAE là gúc vuụng nội tiếp (O) nờn E, O, B thẳng hàng
2. à à 1 ằ E2 A2 = sđEB 2 à à H1 A2 à à à à 0 N1 H1 N1 A2 90 HF  NA Áp dụng hệ thức lượng vào vuụng NHA, cú: NH2 = NF.NA NM2 NH2 NM NH . Áp dụng hệ thức lượng vào tam giỏc vuụng NHA, cú: HA2 = FA.NA và HF2 = FA.FN Mà HA = HB HB2 HA2 FA.NA NA HF2 HF2 FA.FN NF EF FA Vỡ AE // MN nờn (hệ quả của định lớ Ta-lột) MF NF HB2 EF NA FA NF 1 HF2 MF NF NF NF Bài 5. Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R và điểm M nằm ngoài đường trũn (O). Kẻ cỏc tiếp tuyến MA, MB tới đường trũn (O) (A, B là cỏc tiếp điểm). Trờn đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khỏc A và C khỏc B). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là D. 1) Chứng minh rằng: KO2 – KM2 = R2. 2) Chứng minh rằng tứ giỏc BCDM là tứ giỏc nội tiếp. 3) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường trũn (O) và N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cựng thuộc một đường trũn. 1 A 1 I Q D M O K 1 C 1 B Gọi H, P lần lượt là giao điểm của OM với AB, IK. Ta cú: OA = OB = R và MA = MB (tớnh chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) OM là đường trung trực của AB OM  AB tại H MAC cú IM = IA và KM = KC IK là đường trung bỡnh của MAC IK // AC hay IP // AH
3. MAH cú IM = IA và IP // AH PM = PH Vỡ IK // AC và OM  AC OM  IK tại P Cỏc tam giỏc KPO, KPM vuụng tại P Áp dụng định lớ Py-ta-go, ta cú: KO2 KP2 PO2 và KM2 KP2 PM2 KO2 KM2 PO2 PM2 (PO PM)(PO PM) OM.(PH OH PM) OM.OH (do PM PH) OAM vuụng tại A (vỡ MA là tiếp tuyến tại A của (O)) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng, ta cú: OM.OH OA2 R 2 Mà KO2 KM2 OM.OH KO2 KM2 R 2 (đpcm). Vẽ tiếp tuyến KQ của (O) (Q và A nằm cựng phớa với MC) KQO vuụng tại Q KO2 KQ2 OQ2 KQ2 R 2 (định lớ Py-ta-go) Mà KO2 KM2 R 2 KO2 KM2 R 2 KQ2 KM2 KQ KM KC ã ã ã 1 ằ KQD và KAQ cú: QKA chung; KQD KAQ sđDQ 2 KQD KAQ (g.g) KQ KD KC KD (vỡ KQ KC) KA KQ KA KC KCD KAC (c.g.c) à à à à à à 1 ằ C1 A1 C1 B1 vỡ A1 B1 sđBD 2 Tứ giỏc BCDM là tứ giỏc nội tiếp (đpcm) Xột đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BCDM cú ã à DMC B2 (2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CD) à à 1 ằ ã à Mà B2 E1 sđAD DMC E1 2 Nhưng hai gúc ở vị trớ so le trong MK // AE AEKM là hỡnh thang Hỡnh thang AEKM (AE // MK) cú IA = IM và NE = NK IN là đường trung bỡnh của hỡnh thang AEKM IãNF Ã EF (2 gúc đồng vị) ã ã 1 ằ ã ã ã Mặt khỏc: IAF AEF sđAF IAF INF AEF 2 AIFN là tứ giỏc nội tiếp 4 điểm A, I, F, N cựng thuộc một đường trũn (đpcm). Bài 5. Cho đường trũn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường trũn. Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B là cỏc tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt đường trũn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường thẳng a khụng đi qua tõm O). 1. Chứng minh: SO  AB. 2. Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giỏc nội tiếp đường trũn.
4. 3. Chứng minh OI.OE = R2. E A N I M S H O B a) ∆SAB cõn tại S (vỡ SA = SB - theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) nờn tia phõn giỏc SO cũng là đường cao SO  AB b) SãHE = SảIE = 900 IHSE nội tiếp đường trũn đường kớnh SE. OI SO c) ∆SOI ~ ∆EOH (g.g) = OH OE OI . OE = OH . OS = R2 (hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng SOB) Bài 5. Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d khụng qua O cắt đường trũn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trờn tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường trũn (C, D là cỏc tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB. 1) Chứng minh rằng cỏc điểm M, D, O, H cựng nằm trờn một đường trũn. 2) Đoạn OM cắt đường trũn tại I. Chứng minh rằng I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc MCD. 3) Đường thẳng qua O, vuụng gúc với OM cắt cỏc tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tỡm vị trớ của điểm M trờn d sao cho diện tớch tam giỏc MPQ bộ nhất. P C A d H B O I M D Q 1) Vỡ H là trung điểm của AB nờn OH  AB hay OãHM 900 . Theo tớnh chất của tiếp tuyến ta lại cú OD  DM hay OãDM 900 . Suy ra cỏc điểm M, D, O, H cựng nằm trờn một đường trũn.
5. 2) Theo tớnh chất tiếp tuyến, ta cú MC = MD MCD cõn tại M MI là một đường phõn giỏc của CãMD . Mặt khỏc I là điểm chớnh giữa 1 1 cung nhỏ CằD nờn Dã CI sđ DằI = sđ CºI = Mã CI 2 2 CI là phõn giỏc của Mã CD . Vậy I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc MCD. 3) Ta cú tam giỏc MPQ cõn ở M, cú MO là đường cao nờn diện tớch 1 của nú được tớnh: S 2S 2. .OD.QM R(MD DQ) . Từ đú S nhỏ OQM 2 nhất MD + DQ nhỏ nhất. Mặt khỏc, theo hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng OMQ ta cú DM.DQ OD2 R2 khụng đổi nờn MD + DQ nhỏ nhất DM = DQ = R. Khi đú OM = R 2 hay M là giao điểm của d với đường trũn tõm O bỏn kớnh R 2 . Bài 5. Cho đường trũn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường trũn sao cho OA = R2 . Từ A vẽ cỏc tiếp tuyến AB, AC với đường trũn (B, C là cỏc tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giỏc ADE bằng 2R. 1. Chứng minh tứ giỏc ABOC là hỡnh vuụng. 2. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường trũn (O; R). 3. Tỡm giỏ trị lớn nhất của diện tớch ∆ADE. A y x E D M C B F R O ã ã a) Ta cú: ABO ACO 900 (tớnh chất tiếp tuyến) (1) AB = AC OA2 OB2 = R = OB = OC (2). Từ (1) và (2) suy ra ABOC là hỡnh vuụng. b) Theo bài ra ta cú: AD + DE + AE = 2R (3). Suy ra: DE = BD + CE (4). Vẽ OM  DE (M DE) (5) Trờn tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BD; suy ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c) OD = OF; lại cú DE = FE nờn
6. ∆ODE = ∆OFE (c-c-c) OM = OC = R (hai đường cao tương ứng) (6). Từ (5) và (6) suy ra DE là tiếp tuyến của đường trũn (O;R). 1 c) Đặt: AD = x; AE = y S xy (x, y > 0) ADE 2 Ta cú: DE AD2 AE2 x2 + y2 (định lớ Pitago). Vỡ AD + DE + AE = 2R x + y + x2 y2 = 2R (6) Áp dụng BĐT – Cụsi cho hai số khụng õm ta cú: x + y 2 xy và x2 + y2 2xy (7). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y. Từ (6) và (7) suy ra: 2 xy 2xy 2R xy 2 2 2R 2R 2R 2 xy xy SADE 2+ 2 3 2 2 2 R 2 SADE 3 - 2 2 R . 3 2 2 2 Vậy max SADE = 3 2 2 R x = y ∆ADE cõn tại A.