Các câu hỏi chủ yếu trong đề thi vào Lớp 10 môn Toán

Nội dung text: Các câu hỏi chủ yếu trong đề thi vào Lớp 10 môn Toán

1. Các câu chủ yếu trong đề thi vào lớp 10 Bài 1 Cho phương trình x2 − mx − 2 = 0. 1) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 2 2 2) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho x1 + x2 − 3x1 x2 =14 . ( ĐS m = 2 ) Bài 2 Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + a ( a là tham số). a) Vẽ parabol (P) . b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung. ( a 0 nên ( 1 – m ) + 10 10 Vậy GTNN là 10 khi m = 1 ) b) Cho phương trình x2 − 2 (m −1) x + m2 − m −1= 0 (m là tham số). Khi phương trình trên có nghiệm x1 , x2 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 M = (x1 − 1) + (x2 −1 ) + m. ( Tương tự 3ª ; GTNN là 2 khi m = 2 ) c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x -m +1 và parabol (P): 1 y = x2 .Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x ; y ) và (x ; y ) sao cho 2 1 1 2 2 x1x2 y1 + y2 48 0 Bài 4 Cho phương trình: x2 – (2m +1)x + m2 + 2m = 0 a) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm là 1, tìm nghiệm còn lại. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 2 x1 + x2 = 8. Bài 5 Cho parabol (P) : y = 2x2 đường thẳng (d) : y = x − m +1 (m là tham số). a) Vẽ parabol (P) . b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) và (P) có đúng một điểm chung. c) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ. ĐS O 0;0 và A ( ¼ ; 1/8 ) Bài 6 Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 2m = 0 (1) . Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 = 7 ( ĐS m = – 10 và m < 9/4 ) Bài 7 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 4m – 11 = 0 (1) . Tìm các giá trị của m để phương 2 trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : 2(x1 – 1 ) + (6 – x2 )( x1 x2 + 11 ) = 72 ( ĐS m = 2 ; m = – 3 ) Bài 8 2 a) Tìm giá trị của tham số m đêt phương trình x − mx − 2 = 0 có hai nghiệm x1 , x2
2. thỏa mãn x1 x2 + 2x1 + 2x2 = 4 . 2 b) Cho phương trình: x 5 x 2 0 có hai nghiệm là x1 , x2 .Không giải phương trình, x 2 x 2 19 hãy tính giá trị của biểu thức : A = 1 2 (ĐS A = ) x2 x1 2 c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x -m +1 và parabol (P): 1 y = x2 .Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x ; y ) và (x ; y ) sao cho 2 1 1 2 2 x1x2 y1 + y2 48 0 1 d) Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = (2m + 1)x – 2 với m .Tìm m sao 2 cho khoảng cách từ gốc toạ độ đến (d) bằng 2 . Bài 9 Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2m – 8 = 0 (với m là tham số) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 = 17 ( ĐS m = ) 4 Bài 10 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1 )x – m – 3 = 0 (1) 1) Giải phương trình với m = – 3 2 2 2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thứcx 1 + x2 = 10. 3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m. Giải toán bằng cách lập pt hoặc hệ pt a) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 600 m2 , người ta đã cắt giảm chiều dài mảnh đất 10m nên phần còn lại của mảnh đất trở thành hình vuông. Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chử nhật ban đầu. ( ĐS D: 30m;R: 20m ) b) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 500 m2 . Nếu giảm chiều dài đi 5m và giảm chiều rộng đi 10m thì diện tích hình chữ nhật giảm đi so với ban đầu là 300m2 . Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất hình chữ nhật. ( ĐS D 25 m ; R 20 m ) c) Một hội đồng thi tuyển sinh có 1056 thí sinh đăng ký dự thi nhưng thực tế chỉ có 1012 thí sinh tham gia thi nên mỗi phòng thi xếp thêm 1 thí sinh thì số phòng giảm đi 4 phòng. Hỏi lúc đầu dự định hội đồng đó có bao nhiêu phòng thi? Biết rằng số thí sinh ở mỗi phòng thi là như nhau. ( ĐS 48 phòng thi ) d) Một đội xe dự định chở 280 tấn hàng. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng đã tăng thêm 6 tấn so vói dự định. Vì vậy phải bổ sung thêm 1 xe và mỗi xe chở ít hơn dự định 2 tấn hàng.Hỏi ban đầu có bao nhiêu xe, biết rằng các xe chở số tấn hàng bằng nhau? e) Hai lớp 91 và 92 có 72 học sinh , trong kỳ thi thử vừa rồi điểm trung bình bài thi môn toán của hai lớp là 7,5 . Tính số học sinh mỗi lớp , biết điểm trung bình bài thi môn toán của 91 và 92 thứ tự là 8,0 và 7,1 ( ĐS 91 có 32 HS; 92 có 40 HS )
3. f) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 2 giờ 6 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 4 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể? ( ĐS 3h ; 7 h ) Hình học Bài 1 Cho đường tròn O , từ một điểm M nằm ngoài đường tròn O kẻ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn ( A, B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BE của đường tròn O . Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn O . Đường thẳng AF cắt MO tại điểm N. Gọi H là giao điểm của MO và AB. a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh MN 2 NF . NA. c) Chứng minh MN NH. Bài 2 Cho đường tròn O. Từ A là một điểm nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AM và AN với (O) ( M; N là các tiếp điểm ). 1) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO. 2) Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại B và C (B nằm giữa A và C ). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh I cũng thuộc đường tròn đường kính AO. 3) Gọi K là giao điểm của MN và BC . Chứng minh rằng AK.AI = AM2, từ đó suy ra AK.AI = AB.AC. Bài 3 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B). 1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2) MA2 = MD.MB 3) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH. Bài 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. b) Gọi M là giao điểm của đường thẳng AH và BC. Chứng minh CM.CB CE.CA. c) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. Bài 5 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R; C (O) và CA<CB .M OB , đường thẳng qua M  AB cắt AC , BC tại D và H. a) Chứng minh ACHM nội tiếp , xác định tâm I và bán kính b) Chứng minh : MA.MB = MD.MH c) Gọi E là giao điểm của BD với (O) .Chứng minh E , H , A thẳng hàng Tìm GTNN ,GTLN
4. 2 1 Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = , với 0 0 ) 1 x x 1 x x (2 2x) 2x (1 x) x = 1 x 1 x x x 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 x = 2 + 1 = 2 + 1 + 3 2 . 3 2 2 1 x x 1 x x 1 x x Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 + 22 khi x = 2 -1. 2 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = x x 1 . x2 2x 2 x2 x 1 HD biến đổi y = y(x2 2x 2) (x2 x 1) 0 x2 2x 2  yx2 + 2xy + 2y – x2 – x – 1 =0 (y - 1)x2 + (2y - 1)x + (2y - 1) = 0 (1) Lập luận - Nếu y = 1 thì x = - 1 ( 1 ) - Nếu y 1 thì (1) là phương trình bậc hai đối với x. Để (1) có nghiệm thì phải có = (2y - 1)2 - 4 (y - 1)(2y-1) 0  ( 2y – 1 ) ( 2y – 1 – 4y + 4 ) 0 => ( 2 ) 1 1 (1) và (2) => y khi x = 0. Vậy GTNN y = 2 2 x 3 x 1 1 Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ; biết x 1 x 4 x 1 2 x 3 x 1 1 ( x 1 1)( x 1 2) ( x 1 2) 1 A = 1 x 4 x 1 2 ( x 1 1)( x 1 3) ( x 1 3) ( x 1 3) 1 Vì x 1, nên x – 1 0 => 1/3 ( x 1 3) ( GTNN là 2/3 khi x = 1 ) 3 Câu 4: Cho x,y > 0 và x.y =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x2 + y2 + x y 1 3 HD : Biến đổi B = ( x + y)2 – 2xy + ; đặt t = x + y x y 1 Vì x + y 2xy mà xy = 1 => x + y 2; do đó t 2 3 3 2 3t 3 t 3 3t 2 2t 2 t 6t 2 => M = t2 – 2 + = t t 2t 1 = t 1 t 1 t 1 3t 3 t 3 2t 2 3t 2 6t t 2 = = ( GTNN là 3 khi t = 2 hay x = y = 1 ) t 1