Các chủ đề Toán Lớp 11 năm 2019 - Võ Văn Nghiệp

163 trang thaodu 3020

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các chủ đề Toán Lớp 11 năm 2019 - Võ Văn Nghiệp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

cac_chu_de_toan_lop_11_nam_2019_vo_van_nghiep.pdf

Nội dung text: Các chủ đề Toán Lớp 11 năm 2019 - Võ Văn Nghiệp

Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác của cung . Trên đường trịn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM cĩ sđ AM : Hình 1.1 Gọi M x; y với tung độ của M là y OK , hồnh độ là x OH thì ta cĩ: sin OK cos OH sin cos tan ; cos 0 cot ; sin 0 cos sin Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Các hệ quả cần nắm vững 1. Các giá trị ; xác định với mọi . Và ta cĩ: sin kk 2 sin ,  ; cos kk 2 cos ,  . 2. 1 sin 1; 1 cos 1 3. tan xác định với mọi kk, . 2 4. cot xác định với mọi kk, . Dấu của các giá trị lượng giác của cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM trên đường trịn lượng giác (hình 1.2). Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 1
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Hình 1.2 Ta cĩ bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau Gĩc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos + - - + sin + + - - tan + - + - cot + - + - Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác 2. Cơng thức lượng giác Cơng thức cơ bản Cung đối nhau sin22xx cos 1 sin xx sin 1 tan2 x 1 cos xx cos cos2 x 1 cot2 x 1 tan xx tan sin2 x Cơng thức cộng Cung bù nhau sin x y sin x cos y cos x sin y sinxx sin cos x y cos x cos y sin x sin y cosxx cos tanxy tan tan xy tanxx tan 1 tanxy tan Cơng thức đặc biệt sinx cos x 2 sin x 2 cos x 44 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 2
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 sinx cos x 2 sin x 2 cos x 44 Gĩc nhân đơi Gĩc chia đơi 1 sin 2x 2sin x cos x sin2 xx 1 cos2 2 1 cos2x 2cos2 x 1 1 2sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos2 xx 1 cos2 2 Gĩc nhân ba Gĩc chia ba 1 sin3x 3sin x 4sin3 x sin3 x 3sin x sin3 x 4 1 cos3x 4cos3 x 3cos x cos3 x 3cos x cos3 x 4 3tanxx tan3 tan3x 1 3tan2 x Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích 1 x y x y cosx cos y cos x y cos x y cosxy cos 2cos cos 2 22 1 x y x y sinx sin y cos x y cos x y cosxy cos 2sin sin 2 22 1 x y x y sinx cos y sin x y sin x y sinxy sin 2sin cos 2 22 x y x y sinxy sin 2cos sin 22 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt (độ) 0 30 45 60 90 180 0 (radian) 6 4 3 2 sin 0 1 2 3 1 0 2 2 2 cos 1 0 1 tan 0 3 1 3 Khơng xác 0 3 định Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 3
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT Đồ thị hàm số: Hàm số y sinx : - Cĩ tập xác định là . - Cĩ tập giá trị là 1;1 . - Là hàm số lẻ. - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. - Cĩ đồ thị là một đường hình sin. - Tuần hồn với chu kì 2 . - Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k . 22 3 - Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k . 22 Hàm số y cosx Đồ thị hàm số y cosx : - Cĩ tập xác định là . - Là hàm số chẵn. - Là một đường hình sin. - Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ;k2 ,k . - Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k . Hàm số yx tan : Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 4
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019  - Cĩ tập xác định D1 \  k k - Là hàm số lẻ 2 - Là hàm số tuần hồn với chu kì - Cĩ tập giá trị là - Đồng biến trên mỗi khoảng k ;, k k 22 - Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k làm một đường tiệm cận 2 Hàm số yx cot : - Cĩ tập xác định: D2 \kk  - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì - Cĩ tập giá trị là - Đồng biến trên mỗi khoảng k ;, k k - Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k làm một đường tiệm cận. Các dạng tốn liên quan đến hàm số lượng giác Bài tốn tìm tập xác định của hàm số lượng giác Cách 1 Cách 2 Tìm tập D của x để fx cĩ nghĩa, tức Tìm tập E của để khơng cĩ là tìm D x f x  . nghĩa, khi đĩ tập xác định của hàm số là D \ E . CHÚ Ý A. Với hàm số fx cho bởi biểu thức đại số thì ta cĩ: fx1 1. fx , điều kiện: * fx1 cĩ nghĩa fx2 * fx2 cĩ nghĩa và fx2 0 . 2m 2. f x f1 x , m , điều kiện: cĩ nghĩa và fx1 0 . fx1 3. f x , m , điều kiện: f12 x , f x cĩ nghĩa và fx2 0 . 2m fx2 B. Hàm số y sin x ; y cos x xác định trên , như vậy y sin u x ; y cos u x xác định khi và chỉ khi ux xác định. * y tan u x cĩ nghĩa khi và chỉ khi xác định và u x k ; k . 2 * y cot u x cĩ nghĩa khi và chỉ khi xác định và u x k ; k . Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số 1 Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số y là: 2cosx 1  5  A. D \  k 2 , k 2 k . B. D \2  kk . 33 3 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 5
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019  5 5 C. D  k2 , k 2 k . D. D \2  kk . 33 3 cot x Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số y là: sinx 1   A. D \2  kk . B. D \ kk . 3 2   C. D \  kk 2 ; . D. D \2  kk . 2 2 Ví dụ 3. Tập hợp \kk  khơng phải là tập xác định của hàm số nào? 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x A. y . B. y . C. y . D. y . sin x 2sin x sin 2x sin x 1 Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số yx sin 2 x A. D  2;2 . B. D  1;1 \ 0 . C. D . D. D \0 . 2017 Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số yx 2016tan 2 là   A. D \  k k . B. D \  k k . 2 2  C. . D. D \  k k . 42 2017 Ví dụ 6. Tập xác định của hàm số yx 2016cot 2 là A. . B. . C. . D. . Ví dụ 7. Tập xác định của hàm số yx 1 cos2017 là A. D \ k k  . B. D .   C. D \;  k k k . D. D \2  k k . 42 2 2 Ví dụ 8. Tập xác định của hàm số y là 2 sin 6x A. D \| k k  . B. D .   C. D \|  k k . D. D \  k 2 | k . 4 4 Ví dụ 9. Để tìm tập xác định của hàm số y tan x cos x , một học sinh đã giải theo các bước sau: sinx 0 Bước 1: Điều kiện để hàm số cĩ nghĩa là . cosx 0 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 6
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 xk Bước 2: 2 ; k . xk  Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D \  k ; k | k . 2 Bài giải của bạn đĩ đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3. 1 Ví dụ 10. Hàm số y xác định khi và chỉ khi sinx 1  A. x \  k 2 | k . B. x . 2 C. x k , k . D. x k2, k . 2 2 44 Ví dụ 1. Cho hàm số h x sin x cos x 2 m sin x .cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên tồn trục số) là 11 1 1 1 A. m . B. 0 m . C. m 0 . D. m . 22 2 2 2 3x Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y xác định trên . 2sin2 x m sin x 1 A. . B. . m 2 2;2 2 m 2 2;2 2 C. m ; 2 2  2 2; . D. m  2 2;2 2. Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác. Định Nghĩa. Cho hàm số y f x xác định trên tập D . a, Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D , ta cĩ xD và f x f x . b, Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi thuộc , ta cĩ và f x f x . Phương pháp chung: Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đĩ Nếu là tập đối xứng (tức x D x D ), thì ta thực hiện tiếp bước 2. Nếu khơng phải tập đối xứng(tức là  xD mà xD) thì ta kết luận hàm số khơng chẵn khơng lẻ. Bước 2: Xác định fx : Nếu f x f x ,  x D thì kết luận hàm số là hàm số chẵn. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 7
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Nếu f x f x ,  x D thì kết luận hàm số là hàm số lẻ. Nếu khơng thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số khơng chẵn khơng lẻ. Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. yx 2cos . B. yx 2sin . C. yx 2sin . D. yxx sin cos . sin 2x Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y thì y f x là 2cosx 3 A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Khơng chẵn khơng lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ. Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y f x cos 2 x sin 2 x , ta được y f x là: 44 A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Khơng chẵn khơng lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ. 1 Ví dụ 4. Cho hai hàm số f x 3sin2 x và g x sin 1 x . Kết luận nào sau đây đúng về x 3 tính chẵn lẻ của hai hàm số này? A. Hai hàm số f x ; g x là hai hàm số lẻ. B. Hàm số fx là hàm số chẵn; hàm số fx là hàm số lẻ. C. Hàm số fx là hàm số lẻ; hàm số gx là hàm số khơng chẵn khơng lẻ. D. Cả hai hàm số đều là hàm số khơng chẵn khơng lẻ. Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f x sin2007 x cos nx , với n . Hàm số y f x là: A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Khơng chẵn khơng lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ. sin2004n x 2004 Ví dụ 6. Cho hàm số fx , với . Xét các biểu thức sau: cos x 1, Hàm số đã cho xác định trên D . 2, Đồ thị hàm số đã cho cĩ trục đối xứng. 3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn. 4, Đồ thị hàm số đã cho cĩ tâm đối xứng. 5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ. 6, Hàm số đã cho là hàm số khơng chẵn khơng lẻ. Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Ví dụ 7. Cho hàm số f x xsin x . Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho? A. Hàm số đã cho cĩ tập xác định D \.0 B. Đồ thị hàm số đã cho cĩ tâm đối xứng. C. Đồ thị hàm số đã cho cĩ trục xứng. D. Hàm số cĩ tập giá trị là 11;. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 8
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Ví dụ 8. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x 3 m sin4x cos 2x là hàm chẵn. A. m 0. B. m 1. C. m 0. D. m 2. Dạng 3. Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác Phương pháp chung: Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng: 1. Hàm số yx sin : * Đồng biến trên các khoảng k22 ;,. k k 22  * Nghịch biến trên các khoảng k22 ;,. k k 22 2. Hàm số yx cos : * Đồng biến trên các khoảng k22 ;,. k k * Nghịch biến trên các khoảng k22 ;,. k k 3. Hàm số yx tan đồng biến trên các khoảng k ;,. k k 22 4. Hàm số yx cot nghịch biến trên các khoảng k ;,. k k Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nĩ ta sử dụng định nghĩa. Ví dụ 1. Xét hàm số yx sin trên đoạn ;.0 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên các khoảng  và ;.0 2 2 B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; nghịch biến trên khoảng ;.0 2 2 C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; đồng biến trên khoảng D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và Ví dụ 2. Xét hàm số yx cos trên đoạn ;. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0 và 0;. B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0 và nghịch biến trên khoảng 0;. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng D. Hàm số luơn đồng biến trên các khoảng và Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số yx tan2 trên một chu kì tuần hồn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  và ;. 4 42 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 9
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  và nghịch biến trên khoảng ;. 4 42 C. Hàm số đã cho luơn đồng biến trên khoảng 0;. 2 D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số yx 1 sin trên một chu kì tuần hồn của nĩ. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;.0 2 B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;. 2 C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;. 2  D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  . 22 Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số y sin x cos x . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;. 44 3  B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;. 44 C. Hàm số đã cho cĩ tập giá trị là 11;.  D. Hàm số đã cho luơn nghịch biến trên khoảng ;. 44 Ví dụ 6. Chọn câu đúng? A. Hàm số yx tan luơn luơn tăng. B. Hàm số luơn luơn tăng trên từng khoảng xác định. C. Hàm số tăng trong các khoảng k  ;,.22 k k D. Hàm số tăng trong các khoảng k ;,. k2 k Ví dụ 7. Xét hai mệnh đề sau: 3 1 (I) x; : Hàm số y giảm. 2 sinx 3 1 (II) x; : Hàm số y giảm. 2 cos x Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là: A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả 2 sai . D. Cả 2 đúng . Ví dụ 8. Khẳng định nào sau đây là đúng ? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 10
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. y tan x đồng biến trong ; . 22  B. y tanx là hàm số chẵn trên D R \  k | k Z . 2 C. cĩ đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. D. luơn nghịch biến trong ; . 22 Dạng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác. 10 Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: yx 2017cos(8 ) 2016. 2017 A. miny 1;maxy 4033. B. miny 1;maxy 4033. C. miny 1;maxy 4022. D. minyy 1;max 4022. Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 2cos2 x 2 3sin xcos x 1 A. miny 0;maxy 4 B. miny 1 3;maxy 3 3. C. miny 4;maxy 0. D. miny 1 3;maxy 3 3 . sinx 2cosx 3 Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 2 cos x 2 2 A. miny ;maxy 2 . B. miny ;maxy 2 3 3 13 13 B. miny ;maxy D. miny ;maxy 22 22 Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 sinx cos x . A. miny 1;maxy 1. B. miny 0;maxy 1 C. miny 1;maxy 0 . D. miny 1;maxy khơng tồn tại. Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P cot4 a cot 4 b 2tan 2 a .tan 2 b 2 A. miny 2. B. miny 6 . C. miny 4. D. Khơng tồn tại GTLN. Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2cos2 x 2 3sin x .cos x 1 trên đoạn 7 0, lần lượt là 12 A. minyy 2;max 3. B. minyy 0;max 2 . 77 77 0, 0, 0, 0, 12 12 12 12 C. minyy 0;max 4 . D. minyy 0;max 3. 77 77 0, 0, 0, 0, 12 12 12 12 2 Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y sin x sin x 2 . 7 7 A. minyy ;max 4. B. minyy ;max 2. 4 4 1 C. minyy 1;max 1. D. minyy ;max 2. 2 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 11
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 1.Bất đẳng thức AM – GM. a. Với hai số: ab Cho hai số thực ab, là hai số dương, ta cĩ ab dấu bằng xảy ra khi ab . 2 b. Với n số: * Cho hai số thực x1; x 2 ; x 3 ; ; xn là các số dương nN , ta cĩ x1 x 2 x 3 xn n x. x . x x dấu bằng xảy ra khi x1 x 2 x 3 xn . n 1 2 3 n 2. Bất đẳng thức Bunyakovsky a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thơng thường. 2 ab a2 b 2 c 2 d 2 ac bd . Dấu bằng xảy ra khi cd b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số Với hai bộ số a12; a ; ; an và b12; b ; ; bn ta cĩ 2 2 2 2 2 2 2 aa1 2 abbn 1 2 b n abab 1 1 2 2 ab n n c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta cĩ a2 b 2 c 2 d 2 4 abcd 11 Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 1 c os22 x 5 2sin x 22 5 22 11 A. 1 . B. . C. . D. 15 . 2 2 2 11 Ví dụ 9. Cho hàm số y với x 0; . Kết luận nào sau đây là đúng? 2 cosxx 1 cos 2 4 2 A. min y khi x k , k T B. min y khi x 3 3 3 3 0; 0; 2 2 2 4 C. min y khi x k2, k D. min y khi x . 3 3 3 3 0; 0; 2 2 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ 1 cos x Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số y . sin x A. D R\| k k Z . B. D R\| k k Z . C. D R\ k 2 | k Z . D. D R\ k 2 | k Z. Câu 2. Tập xác định của hàm số y sin5 x tan 2 x là:   k A. R\,.  k k Z B. R\,.  k Z 2 42  C. R\  k 1 , k Z . D. R. 2 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 12
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 1 cos3 x Câu 3. Tập xác định D của hàm số yx tan là 1 sin3 x   A. R\  k 2 | k Z . B. R\  k | k Z . 2 2  k k C. R\  | k Z . D. R\  | k Z . 22 2 Câu 4. Tập xác định của hàm số yx tan 2 là 3   A. R\  k | k Z . B. R\  k | k Z . 2 6   k C. R\  k | k Z . D. R\  | k Z . 12 12 2 Câu 5. Xét bốn mệnh đề sau (1) Hàm số yx sin cĩ tập xác định là R. (2) Hàm số yx cos cĩ tập xác định là R. (3) Hàm số yx tan cĩ tập xác định là R\ k | k Z .  (4) Hàm số yx cot cĩ tập xác định là R\  k | k Z . 2 Số mệnh đề đúng là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 6. Tập xác định của hàm số yx cos là A. D 0;2  . B. D 0; . C. DR . D. DR \ 0 . 11 Câu 7. Tập xác định của hàm số y là sinxx cos A. R\ k | k Z . B. R\ k 2 | k Z .   C. R\  k | k Z . D. R\  k | k Z . 2 2 Câu 8. Tìm tập xác định của hàm số y 3tan x 2cot x x .   A. D R\  k | k Z . B. D R\  k | k Z . 2 2  C. D R\  k | k Z . D. DR . 42 1 Câu 9. Tìm tập xác định của hàm số y . sin22xx cos Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 13
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019   A. R\  k | k Z . B. R\  k | k Z . 2 2  C. R. D. R\  k | k Z . 42 2017 tan 2x Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số y . sin22xx cos   A. R\  k | k Z . B. R \.  2 2  C. R. D. R\  k | k Z . 42 sin x Câu 11. Tập xác định của hàm số y . sinxx cos   A. D R\  k | k Z . B. D R\  k | k Z . 4 4   C. D R\  k ; k | k Z . D. D R\  k | k Z . 42 4 sin x Câu 12. Tìm tập xác định của hàm số y . sinxx cos   A. D R\  k 2 | k Z . B. D R\  k | k Z . 4 4 C. D. Câu 13. Tập xác định của hàm số yx sin 2 1 là A. D R\ k | k Z . B. DR .  C. D. D R\  k 2 | k Z . 2 tan x Câu 14. Tìm tập xác định của hàm số y . 15 14cos13x A. D R\ k | k Z . B. DR .   C. D R\  k | k Z . D. D R\|  k k Z . 2 4 cot 2x Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số: y . 2017 2016sin 2015x A. . B. .  C. D. D R\  k | k Z . 2 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 14
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 20 19cos18x Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số: y . 1 sinx A. D R\ k | k Z . B. D R\ k 2 | k Z .   C. D R\  k 2 | k Z . D. D R\  k | k Z . 2 2 Câu 17. Hàm số nào sau đây cĩ tập xác định là R ? 1 A. yx 2cos . B. y cos . x tan 2x sin 2x 3 C. y . D. y . sin2 x 1 cos4x 5 Câu 18. Hàm số nào sau đây cĩ tập xác định khác với các hàm số cịn lại? sinxx cos A. yx tan . B. y . cos x tan 2017x 2018 1 C. y . D. y . cos x 1 sin2 x Câu 19. Hàm số y cos x 1 1 cos2 x chỉ xác định khi: A. x k , k Z . B. x 0. 2 C. x k , k Z . D. x k2, k Z . Câu 20. Hàm số y 1 sin 2 x 1 sin 2 x cĩ tập xác định là: A.  . B. R . 5 13 C. k2 ; k 2 , k Z . D. k2 ; k 2 , k Z . 63 66 Câu 21. Chọn khẳng định đúng: A. Hàm số yx sin cĩ tập xác định là các đoạn k2 ; k 2 , k Z . 22 B. Hàm số yx cos cĩ tập xác định là các đoạn k2 ; k 2  , k Z . C. Hàm số y sin x cos x cĩ tập xác định là các đoạn k2 ; k 2 , k Z . 2 1 D. Hàm số y cĩ tập xác định là các đoạn . sin x Câu 22. Xét hai mệnh đề: 1 (I): Các hàm số y và yx cot cĩ chung tập xác định là R\ x | x k , k Z. sin x 1 (II): Các hàm số y và yx tan cĩ chung tập xác định là cos x  R\  x | x k , k Z . 2 A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 15
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 23. Cho hàm số y f( x ) sin x cos x với 02 x . Tập xác định của hàm số là: 3 A. 0;  . B. ; . C. 0; . D. 0; . 22 2 2 tanx 1 Câu 24. Cho hàm số y f( x ) , 0 x . Tập xác định: tanx 1   A. 0; . B. ; . C. 0; \  . D. 0; \  ; . 2 2 2 42 2 x Câu 25. Tập xác định của hàm số y 3tan là: 24  A. R . B. R\,  k k Z . 2 3  C. R\  k 2 , k Z . D. R\  k 2 , k Z . 2 2 Câu 26. Tập xác định của hàm số yx 2cot 2 là: 3 2 k  A. R\,  k Z . B. R\,  k k Z . 32 6  5 k C. R\  k 2 , k Z . D. R\,  k Z . 6 12 2 cos2x Câu 27. Cho hàm số y . Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số khơng xác định ()kZ 1 tan x 3 A. kk2 ; 2 . B. kk2 ; 2 . 24 22 33 3 C. kk2 ; 2 . D. kk2 ; 2 . 42 2 Câu 28. Xét hai câu sau: (I): Các hàm số yx sin và y cosx cĩ chung tập xác định là R. (II): Các hàm số yx tan và yx cot cĩ chung tập xác định là   R\ x | x k   x | x k  , k Z .  2 A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng. cos3x Câu 29. Tập xác định của hàm số y là: cosx .cos x .cos x 33  k 5 5 A. R\  ; k ; k , k Z . B. R\;,  k k k Z . 6 3 6 6 66  5  5 k C. R\  k ; k ; k , k Z . D. R\;,  k k Z . 2 6 6 2 6 2 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 16
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 5sin 2xx 3 cos2 5 Câu 30. Tập xác định của hàm số fx() là: 12sinx cos x k A. D R\ k 2 | k Z. B. D R\|  k Z . 2  C. D R\ k | k Z . D. D R\|  k k Z . 2 Câu 31. Tập xác định của hàm số 1 cos x là: 2sinx 1  7 7 A. D R\  k 2 ; k 2 | k Z . B. D R\|  k k Z . 66 6   7 C. D R\  k | k Z . D. D R\  k ; k | k Z . 6 66 5 3cos 2x Câu 32. Tập xác định của hàm số là: 1 sin 2x 2 A. D R\| k k Z . B. DR . k C. D R\|  k Z . D. D R\ k 2 | k Z. 2 1 cos x Câu 33. Tập xác định của hàm số yx cot là: 6 1 cos x  7 A. D R\  k 2 | k Z . B. D R\  k ,k 2 | k Z . 6 6  C. D R\ k 2 | k Z . D. D R\|  k k Z . 6 1 Câu 34. Tập xác định của hàm số yx 2 sin là: tan2 x 1  k A. D R\  k ; k | k Z . B. D R\|  k Z . 42 2   C. D R\  k | k Z . D. D R\|  k k Z . 4 4 1 tan 2x 3 Câu 35. Hàm số y cĩ tập xác định là: cot2 x 1   A. D R\  k ,k | k Z . B. D R\  k ,k | k Z . 62 12 2   C. D R\  k ;k | k Z . D. D R\  k ;k | k Z . 12 12 2 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 17
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác Câu 36. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. yx 2cos . B. yx 2sin . C. yx 2sin( ) . D. yxx sin cos . Câu 37. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? 2 A. . B. . C. yx 2sin 2. D. yx 2cos 2 . Câu 38. Hàm số y sin x .cos2 x tan x là: A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ C. Vừa chẵn vừa lẻ. D. Khơng chẵn khơng lẻ. 1 sin2 2x Câu 39. Xét tính chẳn lẻ của hàm số y ta kết luận hàm số đã cho là: 1 cos3x A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ . C. Vừa chẵn vừa lẻ D. Khơng chẵn khơng lẻ Câu 40. Xét các câu sau: I.Hàm số yx sinx sin là hàm số lẻ. II.Hàm số yx cosx cos là hàm số chẵn. III.Hàm số yx sinx cos là hàm số lẻ. Trong các câu trên, câu nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III) . D. Cả 3 câu . Câu 41. Hãy chỉ ra hàm số nào là hàm số lẻ: A. yx sin . B. yx sin2 . cot x tan x C. y . D. y . cos x sin x tan 2x Câu 42. Hàm số y cĩ tính chất nào sau đây? sin3 x A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ. C. Hàm khơng chẵn khơng lẻ. D. Tập xác định DR . Câu 43. Hãy chỉ ra hàm số khơng cĩ tính chẵn lẻ 1 A. y sinx tanx . B. yx tan . sin x 44 C. yx 2 sin . D. y cos x sin x . 4 Câu 44. Hàm số nào cĩ đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? 1 A. yx 2 sin . B. y . 4 sin2013 x C. yx cos . D. yx 1 sin 2012 . 4 Câu 45. Hàm số nào cĩ đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 18
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 1 A. yx sin 2017 . B. y . C. yx cos . D. yx sin 2 . sin x Câu 46. Hãy chỉ ra hàm nào là hàm số chẵn: 2016 cot x A. yx sin .cosx . B. y . tan2 x 1 3 C. y sinx.cos6x . D. y cos x .sin x . Câu 47. Xét hai mệnh đề: (I)Hàm số y f( x ) tanx cotx là hàm số lẻ (II) Hàm số y f( x ) tanx cotx là hàm số lẻ Trong các câu trên, câu nào đúng? A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. Câu 48. Xét hai mệnh đề: (I)Hàm số y f( x ) tanx cosx là hàm số lẻ (II) Hàm số y f( x ) tanx sinx là hàm số lẻ Trong các câu trên, câu nào đúng? A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. Câu 49. Hàm số yx 1 sin2 là: A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ. C. Hàm khơng chẵn khơng lẻ. D.Hàm số khơng tuần hồn. Câu 50. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. yx sin 2 . B. yx .cosx . tanx C. y cos x .cot x . D. y . sin x Câu 51. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. yx sin . B. yx 2 .sinx . x C. y . D. y xsin x . cos x Câu 52. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? 1 A. yx sin .cos2x . B. yx 2cos2 . 2 x C. y . D. yx 1 tan . sin x Câu 53. Khẳng định nào sau đây là sai? A. y sinx cĩ đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ . B. yx cos cĩ đồ thị đối xứng qua trục Oy . C. yx tan cĩ đồ thị đối xứng qua trục . D. yx cot cĩ đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Câu 54. Cho hàm số yx cos xét trên ; . Khẳng định nào sau đây là đúng? 22 A. Hàm khơng chẳn khơng lẻ. B. Hàm lẻ. C. Hàm chẳn. D. Cĩ đồ thị đối xứng qua trục hồnh. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 19
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 55. Tìm kết luận sai: A. Hàm số y x.sin3 x là hàm chẵn . sinx .cosx B. Hàm số y là hàm lẻ . tanxx cot sinxx tan C. Hàm số y là hàm chẵn. sinxx cot D. Hàm số y cos33 x sin x là hàm số khơng chẵn khơng lẻ. Câu 56. Nhận xét nào sau đây là sai? sinxx tan A. Đồ thị hàm số y nhận trục Oy làm trục đối xứng. 2sinxx 3cot x2 B. Đồ thị hàm số y nhận gĩc tọa độ làm tâm đối xứng. sinxx tan sin2008n x 2009 C. Đồ thị hàm số y , n Z nhận trục làm trục đối xứng. cos x D. Đồ thị hàm số y sin2009 x cos nx , n Z nhật gĩc tọa độ làm tâm đối xứng. Câu 57. Đồ thị của hàm số nào dưới đây cĩ trục đối xứng. cos2008n x 2003 A. y . B. y tan x cot x . 2012sin x cos x 1 C. y . D. y . 6x642 4 x 2 x 15 2sinx 1 cosxx 2 cot2 Câu 58. Cho hàm số y . Hàm số trên là hàm số. sin 4x A. Hàm lẻ. B. Hàm khơng tuần hồn. C. Hàm chẳn. D. Hàm khơng chẳn khơng lẻ. Câu 59. Hàm số y cos 2 x .sin x là 4 A. Hàm lẻ. B. Hàm khơng tuần hồn. C. Hàm chẳn. D. Hàm khơng chẳn khơng lẻ. Câu 60. Xác định tĩnh chẳn lẻ của hàm số: yx 1 22 cos3x A. Hàm lẻ. B. Hàm khơng tuần hồn. C. Hàm chẳn. D. Hàm khơng chẳn khơng lẻ. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 61. Trong khoảng 0; , hàm số yxx sin cos là hàm số: 2 A. Đồng biến. B. Nghịch biến. C. Khơng đổi. D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến. Câu 62. Hàm số yx sin 2 nghịch biến trên các khoảng nào sau đây kZ ? 3 A. kk2 ; 2 . B. kk ; . 44 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 20
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 3 C. kk2 ; 2 . D. kk ; . 22 44 Câu 63. Hàm số yx cos 2 nghịch biến trên khoảng kZ ? A. kk ; . B. kk ; . 2 2 3 C. kk2 ; 2 . D. kk2 ; 2 . 22 22 Câu 64. Xét các mệnh đề sau: 3 1 (I):  x ; :Hàm số y giảm. 2 sin x 1 (II): :Hàm số y giảm. cos x Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên: A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. Câu 65. Cho hàm số y 4sin x cos x sin 2 x . Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến 66 thiên của hàm số đã cho? 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 0; và ; . 4 4 B. Hàm số đã cho đồng biến trên 0; . 3 C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 4 D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng ; . 4 Câu 66. Với kZ , kết luận nào sau đây về hàm số yx tan 2 là sai? A. Hàm số yx tan 2 tuần hồn với chu kỳ T . 2 kk B. Hàm số luơn dống biến trên mỗi khoảng ; . 2 2 2 2 k C. Hàm số nhận đường thẳng x là một đường tiệm cận. 42 D. Hàm số là hàm số lẻ. Câu 67. Để hàm số y sin x cos x tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào? 3 3 A. kk2 ; 2 . B. kk ; . 44 44 C. kk2 ; 2 . D. k 2 ;2 k 2 . 22 Câu 68. Xét hai mệnh đề sau: Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 21
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 2 (I): x ; :Hàm số yx tan tăng. 22 2 (II): x ; :Hàm số yx sin tăng. 22 Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên: A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. Câu 69. Hãy chọn câu sai: Trong khoảng k2 ; k 2 , k Z thì: 2 A. Hàm số yx sin là hàm số nghịch biến . B. Hàm số yx cos là hàm số nghịch biến. C. Hàm số yx tan là hàm số đồng biến. D. Hàm số yx cot là hàm số đồng biến . 3 Câu 70. Bảng biến thiên của hàm số y f( x ) cos2 x trên đoạn ; là: 22 A. B. C. D. x Câu 71. Cho hàm số y cos . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn ;  là: 2 A. B. C. D. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 22
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 72. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số yx 4cos là: A. 0 và 4. B. 4 và 4. C. 0 và 1. D. 1 và 1. Câu 73. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số yx 1 cos2 2 là: A. 0 và 21 . B. 1 và 21 . C. 2 và 1 D. 1 và 1 Câu 74. Cho hàm số yx sin . Giá trị lớn nhất của hàm số là: 4 A. 1. B. 0 . C. 1. D. . 4 Câu 75. Giá trị lớn nhất của hàm số y sin66 x cos x là: 2 A. . B. 1. C. 2 . D. 2 . 2 sinx 1 Câu 76. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y là: cosx 2 2 A. 1 . B. . C. . D. 0 . 2 2 cosxx 2sin 3 Câu 77. Giá trị lớn nhất của hàm số là: y 2cosx sinx 4 A. 0 . B. 3 2 3. . C. 2 2 2 D. 1. . 1 Câu 78. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 3 sin22 x cos x là 5 A. 59 B. 14 C. 3 D. 29 20 5 10 Câu 79. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4sin x 2cos x là A. 25 B. 25 C. 0 D. 20 Câu 80. Hàm số y 4sin x 4cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất là A. 1 B. 4 C. 5 D. 5 4 3 1 tan2 x Câu 81. Hàm số yx 4cot2 2 đạt giá trị nhỏ nhất là tan x A. 0 B. 3 2 3 C. 2 2 2 D. 1 Câu 82. Hàm số y 2cos x sin x đạt giá trị lớn nhất là 4 A. 5 2 2 B. 5 2 2 C. 5 2 2 D. 5 2 2 Câu 83. Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin44 x cos x sin x cos x là A. 9 B. 5 C. 1 D. 4 8 4 3 Câu 84. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x cos x sin x là Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 23
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. 0 B. 2 C. 4 2 D. 6 Câu 85. Giá trị lớn nhất của hàm số y cos2 x 7sin 2 x sin 2 x 7cos 2 x là A. 17 B. 17 C. 4 D. 14 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 24
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN f x g x k2 a) sinf x sin g x k f x g x k2 f x g x k2 b) cosf x cos g x k f x g x k2 c) tanf x tan g x f x g x k , k d) cotf x cot g x f x g x k , k Khơng được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một cơng thức về nghiệm phương trình lượng giác. 2 Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận xk k làm nghiệm 63 A. sin 3xx sin 2 . B. cosxx sin 2 . 4 C. cos4xx cos6 . D. tan 2x tan . 4 Ví dụ 2. Phương trình sin 2x sin cĩ nghiệm dạng xk và 3 3 x  k k ,;  . Khi đĩ tích . bằng : 44 2 4 2 2 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9 II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Dạng sinxm , cosxm , tanxm , cotxm , ( m ) 1. Phương trình sin xm (1) - Nếu m 1 Phương trình (1) vơ nghiệm do sinxx 1  . - Nếu m 1: + Xác định sao cho m sin . xk 2 Vậy phương trình sinx m sin x sin k . xk 2 + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 22 thì ta viết arcsin m (đọc là sin m x arcsin m k 2 ac-sin-m). Khi đĩ sinx m k . x arcsin m k 2 Ví dụ 1. Trong các phương trình sau đây,phương trình nào cĩ tập nghiệm là Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 25
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 4 xk 2 và x k2 , ( k ). 3 3 2 1 3 2 A. sin x B. sin x . C.sinx . D. sin x 2 2 2 3 2. Phương trình cosxm 2 - Nếu m 1 Phương trình (2) vơ nghiệm (do cosxx 1,  ). - Nếu m 1: + Xác định sao cho cos m . xk 2 Vậy phương trình cosx m cos x cos k . xk 2 0 + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết arccos m(đọc là ac-cos- m). cos m x arccos m k 2 Khi đĩ cos x m k . x arccos m k 2 Ví dụ 1. Phương trình nào trong các phuương trình sau cĩ 2 nghiệm thuộc 0 ;180 ? 2 3 A. cos x . B. cos x 50  . 2 2 1 4 C. cos x 30  . D. cos x . 2 3 3 Ví dụ 2. Chọn đáp án sai: Nghiệm của phương trình cos x là: 2 3 A. x k2, k . B. . x arccos k 2 , k 6 2 5 C. x k2, k . D. x 150  k 360  , k . 6 3. Phương trình tanx m ,cot x m a) Phương trình tan xm Điều kiện: x k k 2 - Ta xác định sao cho m tan . Khi đĩ phương trình tanx m tan x tan x k k . + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 22 thì ta viết tan m arctan m (đọc là ac - tan - m). Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 26
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Khi đĩ phương trình tanx m x arctan m k k b) Phương trình cot xm Điều kiện: x k k - Ta xác định sao cho m cot . Khi đĩ phương trình cotx m cot x cot x k k . 0 + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết cot m arccot m (đọc là ac - cotang - m). Khi đĩ phương trình cotx m x arccot m k k . Ví dụ 1. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào cĩ nghiệm dương nhỏ nhất? A. tan 2x 1. B. tan x 3 . C. cotx 0. D. cotx 3 . 4 Ví dụ 2. Phương trình tan 3x 15  3 cĩ các nghiệm là: A. xk 60  180 . B. xk 75  180 . C. xk 75  60 . D. xk 25  60 . III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Cĩ dạng at b 0 với a, b , a 0 , t là một hàm số lượng giác Phương pháp giải b at b 0 t (đây là phương trình lượng giác cơ bản đã học) a Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào cĩ 2 nghiệm thuộc 0; ? A. 3 sinx 2 0 . B. 2cosx 1 0 . C. 3 tanx 1 0 . D. 2sinx 1 0. 7 Ví dụ 2. Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin66xx cos là: 16 A. 5 , B. . C. 7 . D. . 6 2 6 6 Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (HOẶC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2) ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Cĩ dạng: at2 bt c 0 với a, b , c ; a 0, t là một hàm số lượng giác. Phương pháp giải: - Bước 1: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 27
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 - Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ. - Bước 3: Từ nghiệm tìm được đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ 11. Các điểm AABB, ', , ' được biểu diễn trên đường trịn lượng giác thì các nghiệm của phương trình sin2 xx 4sin 3 0 là: A. sđ AB . B. sđ AA'. C. sđ AB ' . D. sđ và sđ AB ' . 3 Ví dụ 12. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3cotx 3 là: sin2 x 5 2 A. . B. . C. . D. . 2 6 6 3 xx Ví dụ 13. Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình sin44 cos 1 2sin x là: 22 A. 207046 . B. 206403 . C. 205761 . D. 204603 . Dạng 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX: abc,, Cĩ dạng a sinx b cos x c 1 trong đĩ 22 ab 0 Phương pháp giải: Chia 2 vế cho ab22 ta được: a b c 1 sinx cos x a2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a cos ab22 c Đặt 1 sinx.cos cosx .sin b 22 sin ab ab22 c sin x 2 . Đây là phương trình lượng giác cơ bản. ab22 c + Phương trình sin x cĩ nghiệm khi: ab22 2 cc2 2 2 11 22 a b c ab22 ab a sin ab22 + Bạn cĩ thể đặt: b cos ab22 cc 1 cos x.cos sinxx .sin cos a2 b 2 a 2 b 2 Việc đặt thế nào thì tùy từng bài để được lời giải hợp lý nhất. Ví dụ 1. Phương trình msin x cos x 1 với m là tham số vơ nghiệm khi: A. m 0; . B. m \0 . C. m . D. m 0. Ví dụ 2. Nghiệm của phương trình sinx 3 cosx 1 là: Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 28
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 xk 2 6 A. k . B. x k2 k . 6 xk 2 2 xk xk 2 6 C. k . D. k . xk 2 xk 3 2 Ví dụ 3. Gọi ab, lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình cosxx sin 2 3, ta cĩ: 2cos2 x sinx 1 11 2 11 2 2 A. ab 0 . B. ab . C. ab . D. ab . 6 6 36 3 Ví dụ 4. Phương trình 3sin3x 3 cos9 x 2cos x 4sin 3 x cĩ số nghiệm trên 0; là: 2 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Dạng 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Là phương trình dạng f sin x;cosx 0 trong đĩ lũy thừa của sinx và cos x cùng bậc chẵn hoặc lẻ. Phương pháp giải: - Bước 1: Xét cosx 0 Kết luận nghiệm n - Bước 2: Xét cosx 0,ta chia 2 vế của phương trình cho cosxn ( là bậc cao nhất) đưa về phương trình bậc cao của tanx. Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình 2sin22x 5sin x cos x cos x 2 1 là: 3 3 A. x arctan k k . B. x arctan k 2 k . 5 5 xk xk 2 2 2 C. k . D. k . 3 3 xk arctan xk arctan 2 5 5 Ví dụ 2. Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 4sin3 x sin x cos x 0 bằng: 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 Ví dụ 3. Phương trình 1 3tanxx 2sin 2 cĩ số điểm biểu diễn nghiệm trên đường trịn lượng giác là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 31 Ví dụ 4. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8sin x ở cung phần tư thứ I và cosxx sin thứ III của đường trịn lượng giác là: A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Ví dụ 14. Các nghiệm của phương trình tanx cot x 2sin 2 x cos2 x là: Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 29
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 xk xk 42 2 A. k . B. k . 11 11 x arccot k x arccot k 2 2 2 22 xk xk 42 42 C. k . D. k . 11 1 xk arctan xk arctan 2 2 2 42 Dạng 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX . abc,, Dạng: a sin x cos x b sin x cos x c (1) trong đĩ . ab.0 Phương pháp chung: Đặt t sin x cos x 2 sin x t 2; 2 (vì sin xx  1;1  ). 4 4 t 2 1 t2 sin 2 x cos 2 x 2sin x cos x 1 2sin x cos x sinxx cos . 2 t 2 1 Phương trình 1 at b c (là phương trình bậc 2 theo t ) 2 Ví dụ 1. Phương trình sinx cos x 1 2sin x cos x cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0;2  ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Ví dụ 2. Phương trình 1 sinx cos x sin 2 x 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0; ? 2 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình sinx cos x cos x sin x 1 trên 0;2 là: A. . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Ví dụ 4. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:sin 2x 2 sin x m 0 cĩ 4 nghiệm. A. 3. B. 4 . C. 5 . D. 6 . Ví dụ 5. Phương trình cos33 x sin x cos 2 x cĩ tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là: 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Dạng 6: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC Ví dụ 1. Sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích Phương trình 1 cosx cos2 x cos3 x 0 cĩ số điểm biểu diễn trên vịng trịn lượng giác là: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D.5 . Ví dụ 2. Sử dụng cơng thức hạ bậc Phương trình sin2 3x cos 2 4 x sin 2 5 x cos 2 6 x khơng phải là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây ? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 30
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. sinx 0 . B. cosx 0. C.sin9x 0. D. cos2x 0 . Ví dụ 3. Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng Cho phương trình cosx cos5 x cos2 x cos4 x số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác là: A. 3 . B. 4 . C. 6 . D.8 . Ví dụ 4. Sử dụng cơng thức nhân ba Cho phương trình cos3x 4cos2 x 3cos x 4 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0;14 ? A. . B. . C. 5 . D. 6 . Ví dụ 5. Sử dụng cơng thức các cung cĩ liên quan đặc biệt 57 Phương trình sin 2x 3cos x 1 2sin x cĩ bao nhiêu nghiệm thuộc ;3 ? 22 2 A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Ví dụ 6. Sử dụng cơng thức hạ bậc cao Cho các phương trình sau: 17 1 sin8x cos 8 x cos 2 2 x 16 17 2 sin88x cos x 32 97 3 sin88x cos x 128 1 4 sin88 2x cos 2 x 8 Phương trình khơng tương đương với một trong các phương trình cịn lại là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Ví dụ 7. Biểu diễn tổng của các đại lượng khơng âm Phương trình cos 2x cos6 x 4 3sin x 4sin3 x 1 0 cĩ phương trình tương đương là: A. cosx 0. B. sin3x 1 0. C. cosxx (sin3 1) 0. D. sinx 1 0 . Ví dụ 8. Đặt ẩn phụ - cơng thức nhân ba 3 xx 1 3 Phương trình sin sin cĩ tổng các nghiệm trên 0;2  là: 10 2 2 10 2 A. 9 . B. 9 . C. 10 . D. 10 . 5 15 3 6 Ví dụ 9. Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 42 xx Phương trình sin sin sinxx 3 sin 2 0 cĩ các nghiệm là: 22 A. x k2 ; k B. x k ;. k . C. x 2 k 1 ; k .D. x k;. k . 2 Ví dụ 10. Phương pháp đánh giá Với phương trình 3cos 4x cos 2 x sin x 2 7 (*) thì: A. trên đoạn 0;2  phương trình cĩ 1 nghiệm. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 31
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 B. trên đoạn 0;2  phương trình cĩ 2 nghiệm C. trên đoạn phương trình cĩ 3 nghiệm. D. trên đoạn phương trình cĩ 4nghiệm. Ví dụ 11. Phương pháp hàm số 22 Phương trình sinx 1 2 sin x cos x 1 (*) cĩ tổng các nghiệm trong khoảng 0; 4 2 A. 0 . B. . C. D. . 2 4 3 IV. Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích Ví dụ 1. Phương trình sinx 4cos x 2 sin 2 x cĩ số nghiệm trên 0;2 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Ví dụ 2. Phương trình 1 cosx sin x cos2 x sin 2 x 0 cĩ các nghiệm dạn xak1 2 , xbk 2 2 , xck 3 2 , xdk 4 2 . Với 0 a , b , c , d 2 thì a b c d là: A. 0 . B. 7 . C. 5 D. 9 . 2 4 2 Ví dụ 3. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos3 2x cos 2 2 x a sin 2 x 0 cĩ nghiệm x 0; ? 6 A. 0 . B. 1 . C. 2 D. 3 . 3 Ví dụ 4. Phương trình 2sinx 1 4cos 4 x 2sin x 4cos x 3 nhận các giá trị x arccos m k 2 ()k làm nghiệm thì giá trị m là: 1 1 1 1 A. m . B. . C. m D. m . 4 4 16 16 Ví dụ 5. Phương trình sin 2x 2cos x cos2 x sin x là phương trình hệ quả của phương trình: 1 1 1 A. sin(x ) B. sin 2x 0 C. sinxx cos D. sinxx cos 42 2 2 V. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA ĐIỀU KIỆN sin5x Ví dụ 1. Phương trình 1 cĩ số nghiệm là: 5sin x A. 0 B. 1 C. 2 D. vơ số Ví dụ 2. Phương trình 3cot22x 2 2 sin x (2 3 2)cos x cĩ các nghiệm dạng x k2 ; x  k 2 , k Z ,0 ,  thì . bằng: 2 2 7 2 A. B. - C. D. 12 12 122 1 1 1 Ví dụ 3. Phương trình cĩ tổng các nghiệm trên (0; ) là: cosx sin 2 x sin 4 x Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 32
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. B. C. 2 D. 6 3 sin 2x 2cos x sin x 1 Ví dụ 4. Phương trình 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ? tanx 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (1 sinx cos2 x )sin( x ) 1 Ví dụ 5. Phương trình 4 cos x cĩ các nghiệm dạng 1 tan x 2 22 x k2 ; x  k 2 ,  ; k Z , ,  thì  là: 2 35 2 13 2 15 2 A. B. C. D. 36 36 18 18 sin44 2xx cos 2 Ví dụ 6. Phương trình cos4 x 1 cĩ số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tan xx tan 44 trịn lượng giác là: A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 Bài tập rèn luyện kỹ năng 1 Câu 1. Phương trình sin(xx 100 ) (0 0 180 0 ) cĩ nghiệm là: 2 A. x 300 và x 1500 B. x 200 và x 1400 0 C. x 400 và x 1600 D. x 300 và x 140 Câu 2. Số nghiệm của phương trình 2cx os( ) 1 với02 x là: 4 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 3. Phương trình sin(5xm ) 2cĩ nghiệm khi: 2 A. m 1;3 B. m  1;1 C. mR D. m (1;3) Câu 4. Phương trình tan(3xm 6002 ) cĩ nghiệm khi: A. m  1;1 B. m 0;1 C. mR D. m  Câu 5. Phương trình cĩ nghiệm t an(x-1) 2là: A. x 1 arctan(2) k ( k Z ) B. x 1 arctan(2) k ( k Z ) C. x arctan(2) k 2 ( k Z ) D. x 1 arctan(2) k ( k Z ) 2 Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình t anx 1 trên khoảng (0;10) là: 15 3 7 A. B. C. D. 8 4 2 2 Câu 7. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình cosx 0? A. sinx 1 B. sinx 1 C. t anx 0 D. cotx 0 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 33
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 8. Phương trình cxos( ) sin Cĩ các nghiệm dạng xk 2 và xk  2 36 (0 ;  ) Khi đĩ  bằng 2 2 A. 0 B. C. D. 6 3 3 Câu 9. Phương trình cos2 x c os( x ) cĩ bao nhiêu nghiệm thuộc (0;10 ) 2 A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 x Câu 10. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình cotx tan( ) 22 2 4 A. B. C. D. 0 3 3 3 Câu 11. Trong các phương trình sau, phương trình nào vơ nghiệm? A. t anx 99 B. cot 2018x 2017 3 2 C. sin 2x D. cos(2x ) 4 23 Câu 12. Số nghiệm của phương trình 2sinx 3 0 Trên đoạn 0;2  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 13. Phương trình mxtan 3 0 Cĩ nghiệm khi 3 3 A. m 0 . mR C. 11 D. 11 m m 2 Câu 14. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2cosxm 1 0 Cĩ nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vơ số Tổng các nghiệm của phương trình 2sin(x 200 ) 1 0 trên khoảng (000 ,180 ) Câu 15. A. 2100 B. 2000 C. 1700 D. 1400 Câu 16. Phương trình sinx 3cosx 0 cĩ nghiệm dạng x ar c cot m k , k Z thì giá trị m là: 1 1 A. m B. m 3 C. m 3 D. m 3 3 Câu 17. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình: 2sin2 xx 7sin 4 0 là: 4 5 A. x B. C. D. 6 3 6 6 t anx 3 Câu 18. Nghiệm của phương trình 0 là: 2cosx 1   A. S  k , k Z B. S  (2 k 1) , k Z 3 3   C. S  k2, k Z D. S  k, k Z 3 32 3 Câu 19. Nghiệm của phương trình 2tan2 x 3 là: cos x Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 34
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. x k , k . B. x 2 k 1 , k . C. x k3, k . D. x k, k . 3 13 Câu 20: Phương trình cos6x sin 6 x cos 2 2 x cĩ bao nhiêu điểm biểu diễm trên đường trịn 8 lượng giác? A. 3 . B. 4 . C. 8 . D. 6 . Câu 21: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin2x m 2 3 sin x m 2 4 cĩ hai 3 nghiệm thuộc ;2 ? 2 A. 1. B. 2 . C. Vơ số. D. Khơng cĩ m . 3 Câu 22: Giá trị của m để phương trình cos2x 2 m 1 cos x m 1 0 cĩ nghiệm trên ; 22 là m  a; b thì ab là: A. 0 . B. 1. C. 1. D. 2 . 44 3 Câu 23: Phương trình cosx sin x cos x sin 3 x 0 cĩ tổng 2 nghiệm âm lớn 4 4 2 nhất liên tiếp là: 3 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 24: Phương trình sin66x cos x 3sin x cos x m 2 0 cĩ nghiệm khi m  a; b thì tích ab. bằng: A. 9 . B. 9 . C. 75 . D. 15 . 4 2 16 4 Câu 25: Phương trình tanxx 2cot 3 0 cĩ các nghiệm dạng xk 2 và x arctan m k ; 4 k thì: 1 A. m 1. B. m 2 . C. m . D. m 2. 2 Câu 26: Cho các phương trình sau:. 1 2sinx 5 0 . 2 sin2 2xx 5cos 2 7 0 . 5 3 sin88 3xx cos 3 . 4 Trong các phương trình trên, phương trình nào vơ nghiệm A. Chỉ phương trình (1) vơ nghiêm. B. Chỉ phương trình (2) vơ nghiệm. C. Chỉ phương trình (3) vơ nghiệm. D. Cả 3 phương trình vơ nghiệm. Câu 27: Phương trình sinx m cos x 10 cĩ nghiệm khi: Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 35
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 m 3 m 3 m 3 A. . B. . C. . D. 33 m . m 3 m 3 m 3 Câu 28: Phương trình sinxx 3 cos 1 cĩ các nghiệm dạng xk 2 và xk  2 , k với ,  thì . là: 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 6 2 12 12 Câu 29: Phương trình cos2x sin x 3 cos x sin 2 x cĩ các nghiệm là: 2 xk xk 18 3 4 A. k . B. k . 3 xk 2 xk 2 2 12 xk xk 2 12 12 C. k . D. k . xk xk 2 4 4 Câu 30: Phương trình sinx cos x .sin x 3cos 3 x 2 cos 4 x sin3 x cĩ tổng hai nghiệm dương nhỏ nhất liên tiếp là: A. . B. 13 . C. . D. . 42 42 3 2 2 xx Câu 31: Phương trình sin cos 3 cosx 2 cĩ nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm 22 lớn nhất là b thì ab là: A. . B. . C. . D. . 2 3 3 Câu 32: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình cos22x 3sin 2 x 1 sin x trên đường trịn lượng giác là: A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Câu 33: Cho phương trình 2cos22x 5sin x cos x 6sin x m 1 0 1 số giá trị m để phương trình 1 cĩ nghiệm là: A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Câu 34: Phương trình sinx cos x 4sin3 x 0 tương đương với phương trình: A. tanx 1. B. sinxx cos 0 . C. 2cos2 x 1 0 . D. 2sinx 1 0. 1 Câu 35: Phương trình 3sinxx cos cĩ bào nhiêu nghiệm trên 0;2 ? cos x A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 36: Số giá trị nguyên của m để phương trình 2sin22x sin x cos x mcos x 1 cĩ nghiệm trên ; là: 44 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 36
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 37: Phương trình sinx cos x 2sin2 x 0 cĩ số điểm biểu diễn trên đường trịn lượng giác là: A. . B. . C. . D. . Câu 38: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin 2x 2 sin x m 1 cĩ 4 nghiệm? A. . B. . C. . D. . Câu 39: Cho phương trình cotx tan x sin x cos x. Khi đặt t sin x cos x thì: A. t 12. B. t 21. C. t 0. D. t 12 . Câu 40: Phương trình tanx cot x t cĩ nghiệm khi: t 2 t 2 A. . B. . C.  t . D. t  2;2. t 2 t 2 Câu 41: Cho phương trình 3tan22x 4 tan x 4cot x 3cot x 2 0 1 . Đặt với t ; 2  2; thì phương trình 1 tương đương với phương trình: A. 3tt2 4 2 0. B. 3tt2 4 4 0 . C. 3tt2 4 4 0 . D. 3tt2 4 4 0 . Câu 42: Phương trình cosx cos3 x 2cos5 x 0 cĩ các nghiệm là xk và 2 1 x arccos m k . Giá trị của m là: 2 1 17 1 17 1 17 1 17 A. m . B. m . C. m . D. m . 8 16 8 16 Câu 43: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin3x sin x sin 2 x 0 trên đường trịn lượng giác là: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 44 1 Câu 44: Phương trình sinxx cos cĩ bao nghiêu nghiệm trên 2 ;3 ? 44 A. . B. . C. . D. . Câu 45: Phương trình cos3x .cos3 x sin 3 x .cos3 x sin 3 4 x cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0;2 ? A. 1. B. 24 . C. 12. D. 2 . x3 x x 3 x 1 Câu 46: Phương trình cosxx .cos .cos sin .sin .sin cĩ tích các nghiệm trên ;0 là: 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 A. . B. . C. . D. . 8 8 72 32 Câu 47: Phương trình sin5x .cos3 x sin7 x .cos5 x cĩ tập nghiệm là: xk xk 2 A. k . B. k . xk xk 20 10 20 10 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 37
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 xk xk 2 10 2 C. k . D. k . xk xk 20 10 20 5 1 1 7 Câu 48: Phương trình 4sin x cĩ tổng 3 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất sinx 3 4 sin x 2 là: 5 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 8 8 4 2 Câu 49: Số nghiệm của phương trình sin88xx cos trên 0;2  là: 3 A. 0 . B. Vơ số. C. 2 . D. 4 . Câu 50: Phương trình tan22x 2sin x 2tan x 2 2sin x 2 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0;2 ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 3 xx 1 3 Câu 51: Phương trình sin sin cĩ bao nhiêu nghiệm trên ? 10 2 2 10 2 A. . B. . C. . D. . Câu 52: Phương trình 2 sinx 2cos x 2 sin 2 x cĩ tập nghiệm là:  3 A. S  k2, k . B. S  k2, k . 4 4 3 5 C. S  k , k . D. S  k2, k . 4 4 cos2x 1 Câu 53: Phương trình cotx 1 sin2 x sin 2 x cĩ các nghiệm là: 1 tanx 2 A. x k2 k . B. x k k . 4 4 5 C. x k k . D. x k2 k . 42 4 2 Câu 54: Phương trình cotx tan x 4sin 2 x cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0;2 ? sin 2x A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Câu 55: Phương trình 2sin2 2x sin 7 x 1 sin x đưa về phương trình tích được phương trình tương đương là: A. cos 4xx 1 sin 3 0 . B. 2cos 4xx 1 sin 3 0 . C. cos 4xx 1 sin 3 0 . D. cos 2xx 1 sin 3 0 . Câu 56: Phương trình 2sinx 1 cos 2 x sin 2 x 1 2cos x là phương trình hệ quả của phương trình: Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 38
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. cos2x 0. B. 2cosx 1 0 . C. sin 2x 1 0. D. sin 2x 1 0 . 5sinxx .cos Câu 57: Phương trình 6sinxx 2cos3 cĩ số nghiệm trên 0;2 là: 2cos2x A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Câu 58: Phương trình sin 4xx tan cĩ nghiệm dạng xk và x marccos n k k thì mn bằng: 3 3 13 13 A. mn . B. mn . C. mn . D. mn . 2 2 2 2 cos23xx cos 1 Câu 59: Phương trình cos2xx tan2 cĩ bao nhiêu nghiệm trên 1;70 ? cos2 x A. 32 . B. 33 . C. 34 . D. 35 . Phương trình lượng giác chứa tham số. Câu 60: Phương trình 2sinx 1 sin x m 0 ( m là tham số) cĩ nghiệm trên 0; khi: A.  m . B. m . C. m 0;1. D. m 0;1 . Câu 61: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn 10 của m để phương trình 2cosx 1 2cos 2 x 2cos x m 3 4sin 2 x cĩ hai nghiệm thuộc ; ? 22 A. 7 . B. 6 . C. 2 . D. 3 . Câu 62: Các giá trị của m  a; b để phương trình cos2x sin2 x 3cos x m 5 cĩ nghiệm thì: A. ab 2 . B. ab 12 . C. ab.8 . D. ab.8 . m Câu 63: Cho phương trình msin x m 1 cos x . Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ cos x hơn 10 để phương trình cĩ nghiệm là: A. 8 . B. 9 . C. 10. D. 7 . Câu 64: Phương trình cos 2x 2 m 1 sin x m 1 0 cĩ nghiệm trên ; khi tất cả các giá 2 trị thỏa mãn: A. m . B. m . C. m  1;1. D. m 1;1 . Câu 65: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình 3 3tan2 x tan x cot x m cĩ nghiệm ? sin2 x A. 2000 . B. 2001. C. 2010 . D. 2011. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 39
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 BÀI TẬP ƠN TỰ LUẬN LƯỢNG GIÁC 11 1. Tìm tập xác định của các hàm số: 1 2cos x cot x a) y b) y c) yx tan 2 d) y = tanx + cotx sin x cosx 1 5 5 x tan x 2cosx 1 sin 2 x e) y f) y g) y h) y sin22xx cos 1 tan x 2cosx 1 cos2xx cos 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = 2 + 3cosx b) yx 3 2 sin c) y = 4cos2x – 4cosx + 2 x d) yx 2 1 cos 3 e) y 4sin2 sin x cos x f) y = 3 – 4sin2xcos2x 2 2 cos3xx sin3 1 1 3sinxx 2cos sinx cos x cos x g) y h) y i) y cos3x 2 2 sinxx cos sinxx cos 1 3. Giải các phương trình sau:(phương trình cơ bản) o 2 1 a) cos 2x 15 b) cos2 2x c)cos22 3xx sin 2 1 2 4 2 44 d) cosx 3sin x cos x 0 e) 3 cosxx sin 2 0 f) sin x sin x sin 4 x 2 g) cos7x .cos x cos5 x .cos3 x h) cos4x sin3 x .cos x sin x .cos3 x i)1 cosx cos2 x cos3 x 0 j)sin 2x sin5 x sin3 x sin 4 x k)sin2x sin 2 3 x 2sin 2 2 x 4. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; ) của phương trình 4cos3x cos2 x 2cos3 x 1 0 . 5. Giải các phương trình sau:(phương trình bậc hai) a) 2sin2 xx 5sin 3 0 b) 2cos2 xx 2 cos 2 0 c)cos2 xx sin 1 0 d) cos2xx cos 1 0 e)cos2xx 5sin 3 0 f) 5tanxx 2cot 3 0 x g) cosx 5sin 3 0 h) cos5x cos x cos4 x .cos2 x 3cos2 x 1 2 22 4sin 2x 6sin x 9 3cos2 x 2 x 5 7 1 i) 0 j) 2cos 2x cos 10cos x cos x cos x 2 2 2 2 11 k)cos2 xx cos l) 2 tanx sin x 3 cot x cos x 5 0 cos2 xx cos Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 40
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 6. Giải các phương trình sau:(phương trình bậc nhất đối với sin,cos) a) 3sinxx cos 1 b) 3cosxx 4sin 5 c) 2sin 2xx 2cos2 2 d) 2sin2 xx 3 sin 2 3 e) sin3x 3 cos3 x 2cos 4 x f) 2sin 2x cos 2 x 3 cos 4 x 2 0 g) cosx 3sin x 2cos x h) 3sin 2x cos 2 x 2 cos x 2 sin x 3 i) sin8x cos6 x 3 sin 6 x cos8 x j)3sin x 4sin x 5sin 5 x 0 3 6 6 35 k) 2sin xx 4sin l) 3 cos5x 2sin3 x cos2 x sin x 0 4 4 2 2 xx 31 m) sin cos 3 cosx 2 n)8cos 2x 22 sinxx cos 7. Giải các phương trình sau:(phương trình đẳng cấp, đối xứng) a)sin 2 x 2sin xcosx 3cos2 x 0 b) 6sin 2 x sin xcosx cos2 x 2 1 c)3sin 2 x 4sin xcosx 2cos2 x d) sin 2x 2sin 2 x 2cos2x 2 e) 2sin 3 x 4cos3 x 3sin x f) 4sin3x 3sin 2 xc osx sinx c os 3 x 0 g) (1 cosx)(1 sin x) 2 h) cot x tan x sin x cosx 1 1 10 i) 2sin x cot x 2sin 2x 1 i) 1 tanx 2 2sinx j)cosx sinx cosx sinx 3 8. Các phương trình khơng mẫu mực : Các phương pháp giải:  Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản  Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.  Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về pt mới hoặc hệ pt mới.  Phương pháp đối lập.  Phương pháp tổng bình phương. a) 3sin2x+cos2x=2cosx-1 b) sin 2x cos2 x 3sin x cos x 1 0 c) 2(cosx 3sin x )cos x cos x 3sin x 1 d) sin 2x cos 2 x cos x 2cos 2 x sin x 0 e)sin2x cos x sin x cos x cos2 x sin x cos x f) 2sinx (1 cos2 x ) sin 2 x 1 2cos x Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 41
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 1 sin2x cos s 2 x 1 1 7 g) 2 2sinxx sin2 h) 4sin x 1 cot x sinx 3 4 sin x 2 i) sin3x 3 cos 3 x sin x cos 2 x 3sin 2 x cos x j) cosx 2 cos22 x cos x 2 cos x 3 22 k)(1 sinx )cos x (1 cos x )sin x 1 sin 2 x l) 2sin2 2x sin 7 x 1 sin x 1 sinx cos 2 x sin x 4 1 x x22 x m) cos x n) 1 sin sinx cos sin x 2 c os 1 tan x 2 2 2 4 2 cos3xx sin 3 o) Tìm nghiệm x (0;2 ) của phương trình: 5 sinxx cos 2 3 . 1 2sin 2x 9. Các bài tốn chứa tham số (tìm m để các phương trình sau cĩ nghiệm) a)mcosx-2 = cosx+3m b) 2m 1 cos2 x 2 m sin2 x 3 m 2 0 c)3sinx m cos x 5 d) 3m sin x 2 m 1 cos x 3 m 1 2 e)2sin2x – sinx.cosx – cos2x = m f) 4cosx 2cos x m 1 0 g)Tìm m để pt (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x cĩ đúng hai nghiệm thuộc [0; ] h)Tìm m để pt sin2x + m = sinx + 2m.cosx cĩ đúng hai nghiệm thuộc [0; 3 /4] i)Tìm m để pt (cosx + 1)(cos2x – mcosx) = msin2x cĩ đúng hai nghiệm thuộc [0; 2 /3] 22 j)Tìm m để pt msin x m 3 sin 2 x m 2 cos x 0 cĩ nghiệm duy nhất thuộc 0, . 4 Bài Tập Làm Thêm 11 Câu 1: Hàm số y tan x cot x khơng xác định trong khoảng nào trong các sinxx cos khoảng sau đây? 3 A. kk2 ; 2 B. kk2 ; 2 2 2 B. C. kk2 ; 2 D. kk2 ;2 2 2 2 Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y 5 2cot x sinx cot x 2 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 42
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 k k A. Dk \,  B. Dk \,  2 2 C. D D. Dk \ k ,  Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào cĩ đồ thị đối xứng qua trục tung? 1 A. y 2 B. yx sin C. yx 2 cos D. yx sin 2 sin x 4 4 Câu 4: Số giờ cĩ ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một hàm số yt 4sin 60 10 , với t và 0 t 365 . Vào ngày nào trong năm thì 178 thành phố A cĩ nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?. A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Câu 5: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi cơng thức t h 3 cos 12 . Mực nước của kênh cao nhất khi: 84 A. t 13(giờ). B. t 14(giờ). C. t 15(giờ). D. t 16(giờ). 3 1 tan2 x Câu 6: Hàm số yx 4cot2 2 đạt giá trị nhỏ nhất là tan x A. 0. B. 3 2 3 . C. 2 2 2 D. -1 . Câu 7: Hàm số y 2 cosx sin x đạt giá trị lớn nhất là 4 A. 5 2 2 B. 5 2 2 C. 5 2 2 D. 5 2 2 Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin44 x cos x sin x cos x là 9 5 4 A. B. C. 1 D. 8 4 3 Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cosx cosx sin x là A. 0 B. 2 C. 4 2 D. 6 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 43
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 10: Cho x, y , z 0 và x y z . Tìm giá trị lớn nhất của 2 y 1 tan x .tan y 1 tany.tanz 1 tanz.tanx A. ymax 1 2 2 B. ymax 32 C. ymax 4 ymax 23 2 Câu 11: Phương trình tanxx tan 3 3 tương đương với phương trình. 3 A. cotx 3 B. cot3x 3 C. tanx 3 D. tan3x 3 Câu 12: Phương trình 2cot 2x 3cot3 x tan2 x cĩ nghiệm là: A. xk B. xk C. xk 2 D. Vơ nghiệm 3 4x Câu 13: Giải phương trình cos cos2 x 3 xk 3 xk A. xk 3 B. xk 4 4 5 5 xk 3 xk 4 4 xk 3 xk 3 C. D. 5 xk 3 xk 3 4 4 2sin 2x cos 2 x Câu 15: Hàm số y cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2x cos 2 x 3 A. 1 B. 2. C. 3. D. 4. cos2 x Câu 16: Phương trình cosx sin x cĩ nghiệm là: 1 sin 2x 3 5 xk 2 xk 2 xk 2 xk 4 4 4 4 3 A. xk B. xk C. xk 2 D. xk 8 2 2 8 xk xk 2 xk xk 2 4 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 44
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 11 Câu 17: Phương trình 2sin3x 2 cos 3 x cĩ nghiệm là: sin x cosx 3 3 A. xk B. xk C. xk D. xk 4 12 4 4 Câu 18: Để phương trình sin66x cos x a sin 2 x cĩ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 13 1 1 A. 0 a B. a C. a D. a 8 88 4 4 Câu 19: Cho phương trình: sinxcosx sin x cosx m 0 , trong đĩ m là tham số thực. Để phương trình cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:. 1 1 1 1 A. 22 m B. 21 m C. 12 m D. 21 m 2 2 2 2 4 4 6 6 2 Câu 20: Cho phương trình: 4 sinx cos x 8 sin x cos x 4sin 4 x m trong đĩ m là tham số. Để phương trình là vơ nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3 3 A. m 40 hay m B. m 1 C. 2 m D. m 20 hay m 2 2 sin66x cos x Câu 21: Cho phương trình: 2mx .tan 2 , trong đĩ m là tham số. Để phương trình cos22 x sin x cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của m là: 11 11 A. m hay m B. m hay m 88 22 11 C. m hay m D. m 11 hay m 88 1 4tan x Câu 22: Cho phương trình cos4 x m . Để phương trình vơ nghiệm, các giá trị của 2 1 tan2 x tham số m phải thỏa mãn điều kiện:. 5 3 53 A. m 0 B. 01 m C. 1 m D. m hay m 2 2 22 2 Câu 23: Để phương trình: 4sin x cos x a 3sin 2 x cos 2 x cĩ nghiệm, tham số 36 a phải thỏa điều kiện: Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 45
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 11 A. 11 a B. 22 a C. a D. 33 a 22 a2sin 2 x a 2 2 Câu 24: Để phương trình cĩ nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều 1 tan2 x cos2 x kiện: A. a 1 B. a 2 C. a 3 D. aa 1, 3 Câu 25: Tìm m để phương trình cosx 1 cos 2 x mcosx m sin2 x cĩ đúng 2 nghiệm 2 x 0; 3 1 1 1 A. 11 m B. 0 m C. 1 m D. m 1 2 2 2 Câu 26: Tìm m để phương trình cos2 x 2 m 1 cosx m 1 0 cĩ đúng 2 nghiệm x ; 22 A. 10 m B. 01 m C. 01 m D. 11 m Câu 27: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx 1 m cĩ nghiệm x ; 22 A. 31 m B. 26 m C. 13 m D. 13 m Câu 28: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos2 x 3sin2 x 3sin x cosx 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 0; B. x0 ; C. x0 ; D. x0 ; 2 12 6 63 32 2 Câu 29: Phương trình 2sin 3x 1 8sin 2 x . cos 2 x cĩ nghiệm là:. 4 xk xk 6 12 A. B. 5 5 xk xk 6 12 xk 2 xk 12 24 C. D. 7 5 xk 2 xk 12 24 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 46
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 2 Câu 30: Phương trình: 4sinx .sin x .sin x cos 3 x 1 cĩ các nghiệm là: 33 2 xk xk xk 2 63 4 xk 2 2 A. B. C. 3 D. 2 xk xk xk xk 3 3 4 sin10x cos 10 x sin 6 x cos 6 x Câu 31: Giải phương trình 4 4cos22 2 x sin 2 x k A. x k2 , x k 2 B. x 2 2 C. xk D. x k ,2 x k 2 2 sin3x cos 3 x 3 cos 2 x Câu 32: Cho phương trình: sin x . Các nghiệm của phương trình 1 2sin 2x 5 thuộc khoảng 0;2 là: 5 5 5 5 A. , B. , C. , D. , 12 12 66 44 33 CHỦ ĐỀ 2: TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHƯƠNG 2. TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON CHỦ ĐỀ 1. QUY TẮC ĐẾM I. Qui tắc đếm 1. Qui tắc cộng: Một cơng việc nào đĩ cĩ thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A cĩ m cách thực hiện, phương án B cĩ n cách thực hiện và khơng trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì cơng việc đĩ cĩ m + n cách thực hiện. 2. Qui tắc nhân: Một cơng việc nào đĩ cĩ thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A cĩ m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đĩ cĩ m.n cách thực hiện Bài tập: Câu 1) Từ thành phố A đến thành phố B cĩ 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C cĩ 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D cĩ 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D cĩ 3 con đường. Khơng cĩ con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 47
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 2) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm 6 chữ số. b) gồm 6 chữ số khác nhau. c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. Câu 3) Cĩ 25 đội bĩng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi cĩ bao nhiêu trận đấu? Câu 4) Cĩ bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nĩ khơng thay đổi). Câu 5) a/ Một bĩ hoa gồm cĩ: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng. Hỏi cĩ mấy cách chọn lấy 1 bơng hoa? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau cĩ những chữ số khác nhau? Câu 6) a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số? b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số? c/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? d/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số, trong đĩ các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? e/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số và chia hết cho 5? Câu 7) Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên cĩ bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau? Câu 8) Một người cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đĩ cĩ hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b/ Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng? Câu 9) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Cĩ bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng: a/ x A, y A b/ {,}x y A c/ x A,6 y A và x y . Câu 10) Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số: a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại? f/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại chia hết cho 5? Câu 11) Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số: a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lớn hơn 300? c/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chẵn? e/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lẻ? Câu 12) a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ cĩ 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500). Câu 13) Một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên tốn. Thành lập một đồn gồm hai người sao cho cĩ một học sinh chuyên tốn và một học sinh chuyên tin. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một đồn như trên? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 48
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 II. Hốn vị 1. Giai thừa: n! = 1.2.3 n Qui ước: 0! = 1 n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2) n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2) n (với n>p) (np )! 2. Hốn vị (khơng lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị của n phần tử. Số các hốn vị của n phần tử là: Pn = n! Bài tập: Câu 1: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Khơng bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Khơng bắt đầu bằng 345? Câu 2: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số: a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Khơng bắt đầu bởi chữ số 1? c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Khơng bắt đầu bởi 135? Câu 3: Với mỗi hốn vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên cĩ được từ các hốn vị của 7 phần tử trên? ĐS: Với mọi i, j 1,2,3,4,5,6,7, số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!. Tổng tất cả các số là: (6!1+ +6!7) + (6!1+ +6!7).10 + + (6!1+ +6!7).106 = 6! (1+2+ +7).(1+10+ +106) Câu 4: Trên một kệ sách cĩ 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng mơn? c) Theo từng mơn và sách Tốn nằm ở giữa? Câu 5: Cĩ 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn trịn. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 khơng ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ khơng ngồi cạnh nhau? Câu 6: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng một lần? 8! 7 ĐS: 3! 3! Câu 7: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9. Câu 8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số cĩ 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau? Câu 9: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho: Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 49
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 a/ Bạn C ngồi chính giữa? b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? Câu10: Một hội nghị bàn trịn cĩ phái đồn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? Câu 11: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a/ Cĩ 5 người trong nhĩm muốn ngồi kề nhau? b/ Cĩ 2 người trong nhĩm khơng muốn ngồi kề nhau? Câu 12: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ cĩ nữ ngồi kề nhau? Câu 13: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đĩ phải cĩ 5 em định trước đứng kề nhau? Câu 14: Cĩ 2 đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phịng thi cĩ 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau cĩ đề khác nhau, cịn các em ngồi nối đuơi nhau cĩ cùng một đề? Câu 15: Cĩ 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? Câu 16: Trên giá sách cĩ 30 tập sách. Cĩ thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để cĩ: a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? b/ Tập 5 và tập 6 khơng đứng cạnh nhau? Câu 17: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt đúng 3 lần, chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số cịn lại cĩ mặt đúng một lần? Câu 18: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần. Câu 19: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đĩ cĩ 5 chữ số 1 và 4 chữ số cịn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi cĩ bao nhiêu số như thế nếu: a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau? b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý? III. Chỉnh hợp 1. Chỉnh hợp (khơng lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 k n) theo một thứ tự nào đĩđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ak n( n 1)( n 2) ( n k 1) n (nk )! Cơng thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. n Khi k = n thì An = Pn = n! Bài tập: Câu 1: Một cuộc khiêu vũ cĩ 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn cĩ thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 50
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 2: Trong khơng gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – khơng. Hỏi cĩ thể cĩ được bao nhiêu vectơ? Câu 3: Một lớp học chỉ cĩ các bàn đơi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này cĩ bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ cĩ thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9, cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu: a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải cĩ mặt chữ số 5? Câu 6: Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9 cĩ thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)? Câu 7: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số với: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? Câu 8: Cĩ bao nhiêu số điện thoại cĩ 6 chữ số? Trong đĩ cĩ bao nhiêu số điện thoại cĩ 6 chữ số khác nhau? Câu 9: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, , Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, , 9. Hỏi: a) Cĩ bao nhiêu biển số xe trong đĩ cĩ ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đơi một khác nhau? b) Cĩ bao nhiêu biển số xe cĩ hai chữ cái khác nhau và cĩ đúng 2 chữ số lẻ giống nhau? Câu 10: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a/ Người đĩ cĩ 6 pho tượng khác nhau? b/ Người đĩ cĩ 4 pho tượng khác nhau? c/ Người đĩ cĩ 8 pho tượng khác nhau? Câu 11: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 5 chữ số khác nhau và thoả: a/ Số chẵn. b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345. d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đĩ suy ra các số khơng bắt đầu bằng số 1? Câu 12: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Cĩ thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đơi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau: a/ n là số chẵn? b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1? Câu 13: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đĩ cĩ mặt số 0 và số 1. c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đĩ nhất thiết phải cĩ mặt chữ số 4. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 51
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 IV. Tổ hợp 1. Tổ hợp (khơng lặp): Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n! Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Ck n k!( n k )! 0 Qui ước: Cn = 1 Tính chất: 0 n CCnn 1 k n k CCnn k k 1 k CCCn n 11 n nk 1 CCkk 1 nnk 2. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: kk Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi cơng thức: Ann k! C Chỉnh hợp: cĩ thứ tự. Tổ hợp: khơng cĩ thứ tự. Những bài tốn mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp. Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): k + Khơng thứ tự, khơng hồn lại: Cn k + Cĩ thứ tự, khơng hồn lại: An Dạng 1: Tìm số tổ hợp trong các bài tốn số học Câu 1: Cho 10 câu hỏi, trong đĩ cĩ 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đĩ nhất thiết phải cĩ ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi cĩ thể tạo ra bao nhiêu đề thi? Câu 2: Một lớp học cĩ 40 học sinh, trong đĩ gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Cĩ 1 nam và 3 nữ. c) Cĩ 2 nam và 2 nữ. d) Cĩ ít nhất 1 nam. e) Cĩ ít nhất 1 nam và 1 nữ. Câu 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi cĩ bao nhiêu vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Cĩ bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy? Câu 4: Cĩ 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đĩ ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi cĩ bao nhiêu cách làm như vậy? Câu 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đĩ, cĩ bao nhiêu cách lấy được: a/ 4 viên bi cùng màu? b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh? Câu 6: Từ 20 người, chọn ra một đồn đại biểu gồm 1 trưởng đồn, 1 phĩ đồn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi cĩ mấy cách chọn? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 52
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 7: Từ 5 bơng hồng vàng, 3 bơng hồng trắng và 4 bơng hồng đỏ (các bơng hoa xem như đơi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bĩ hĩa gồm 7 bơng, hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn bĩ hoa trong đĩ: a/ Cĩ đúng 1 bơng hồng đỏ? b/ Cĩ ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất 3 bơng hồng đỏ? Câu 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đĩ chữ số 6 cĩ mặt đúng 3 lần, chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần. Câu 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} cĩ thể lập được bao nhiêu số: a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2? b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi một sao cho 5 chữ số đĩ cĩ đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ? Câu 10: a/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đĩ cĩ mặt chữ số 0 nhưng khơng cĩ chữ số 1). b/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần, chữ số 3 cĩ mặt đúng 3 lần và các chữ số cịn lại cĩ mặt khơng quá một lần. Câu 11: Người ta viết các số cĩ 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết cĩ một chữ số xuất hiện hai lần cịn các chữ số cịn lại xuất hiện một lần. Hỏi cĩ bao nhiêu số như vậy? Câu 12: Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đĩ cĩ An và Bình, người ta muốn chọn một tổ cơng tác gồm cĩ 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a/ Trong tổ phải cĩ cả nam lẫn nữ? b/ Trong tổ cĩ 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình khơng đồng thời cĩ mặt trong tổ? Câu 13: Một đồn tàu cĩ 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga cĩ 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa cĩ ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: a/ Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa. b/ Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu cĩ 1 toa cĩ 3 trong 4 vị khách nĩi trên. Câu 14: Trong số 16 học sinh cĩ 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Cĩ bao nhiêu cách chia số học sinh đĩ thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều cĩ học sinh giỏi và mỗi tổ cĩ ít nhất hai học sinh khá. Dạng 2: Tìm số tổ hợp trong các bài tốn hình học Câu 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đơi một, nhưng khơng cĩ 3 đường nào đồng quy. Hỏi cĩ bao nhiêu giao điểm? Cĩ bao nhiêu tam giác được tạo thành? nn( 1) ĐS: Số giao điểm: C2 n 2 n( n 1)( n 2) Số tam giác: C3 n 6 Câu 2: Cho 10 điểm trong khơng gian, trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. a) Cĩ bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm? b) Cĩ bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm? c) Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đỉnh là 3 trong 10 điểm trên? d) Nếu trong 10 điểm trên khơng cĩ 4 điểm nào đồng phẳng, thì cĩ bao nhiêu tứ diện được tạo thành? 2 2 3 4 ĐS: a) C10 b) A10 c) C10 d) C10 Câu 3: Cho đa giác lồi cĩ n cạnh (n 4) a) Tìm n để đa giác cĩ số đường chéo bằng số cạnh? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 53
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì khơng đồng qui. Hãy tính số giao điểm (khơng phải là đỉnh) của các đường chéo ấy? 2 ĐS: a) Cn n n n = 5 b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (khơng phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nĩ là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm 4 bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: Cn Câu 4: Cho một đa giác lồi cĩ n-cạnh (nb , 3) . a/ Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác cĩ số cạnh bằng số đường chéo? b/ Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đỉnh trùng với đỉnh của đa giác? c/ Cĩ bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo? nn( 3) (n 2)( n 1) n n( n 1)( n 2)( n 3) ĐS: a/ ;n 5. b/ . c/ . 2 6 24 Câu 5: Tìm số giao điểm tối đa của: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường trịn phân biệt? c/ 10 đường thẳng và 10 đường trịn trên? Câu 6: Cĩ p điểm trong mặt phẳng trong đĩ cĩ q điểm thẳng hàng, số cịn lại khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đĩ lại với nhau. Hỏi: a/ Cĩ bao nhiêu đường thẳng? b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác? 1 1 ĐS: a/ p( p 1) q ( q 1) 2;. b/ p( p 1)( p 2) q ( q 1)( q 2) . 2 6 Câu 7: Cho p điểm trong khơng gian trong đĩ cĩ q điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng cĩ 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đĩ. Hỏi: a/ Cĩ bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện? 33 44 ĐS: a/ CCpq 1. b/ CCpq . Câu 8: Cho p điểm trong đĩ cĩ q điểm cùng nằm trên 1 đường trịn, ngồi ra khơng cĩ 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi cĩ bao nhiêu: a/ Đường trịn, mỗi đường đi qua ba điểm? b/ Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đĩ? 33 44 ĐS: a/ CCpq 1. b/ CCpq . V. Nhị thức Newton 1. Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n N và với mọi cặp số a, b ta cĩ: n n k n k k ()a b Cn a b k 0 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) cĩ dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, , n) k n k 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: CCnn 0 n k 1 k k 5) CCnn 1, CCCn n n 1 * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những cơng thức đặc biệt. Chẳng hạn: Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 54
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 n 0n 1 n 1 n 01 nn (1+x) = Cn x C n x C n CCCn n n 2 n 0n 1 n 1 n n 01 nn (x–1) = Cn x C n x ( 1) C n CCCn n ( 1) n 0 Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton Câu 1: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của nhị thức: 10 12 5 6 1 2 1 3 1 2 1 a) x b) x c) x d) x x4 x4 x2 x Câu 2: a/ Tìm hệ số của xy12 13 trong khai triển (2xy 3 )25 . b/ Tìm các số hạng giữa của khai triển ().x3 xy 15 Câu 3: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng đa thức: P( x ) (1 x )9 (1 x ) 10 (1 x ) 14 2 14 ta sẽ được đa thức: P( x ) a0 a 1 x a 2 x a 14 x . Hãy xác định hệ số a9? Câu 4: Cho đa thức P( x ) (1 x ) 2(1 x )2 3(1 x ) 3 20(1 x ) 20 2 20 được viết dưới dạng: P( x ) a0 a 1 x a 2 x a 20 x .Tìm hệ số a15? 80 2 80 Câu 5: Khai triển P( x ) ( x 2) a0 a 1 x a 2 x a 80 x . Tìm hệ số a78? 50 2 50 Câu 6: Khai triển P( x ) (3 x ) a0 a 1 x a 2 x a 50 x . a/ Tính hệ số a46? b/ Tính tổng S a0 a 1 a 2 a 50 . 5 Câu 7: a) Tìm số hạng khơng chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: 3 32 15 1 b/ Tìm số hạng thứ 6 của khai triển x . x 10 1 3 c/ Tìm số hạng giữa của khai triển x . 5 x 12 1 d/ Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của nhị thức: x . x 16 3 1 e/ Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển x . x n 3 1 Câu 8: a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển x . x2 b/ Cho biết tổng của 3 hệ số trên là 11. Tìm hệ số của x2. n 2 1 c/ Cho biết trong khai triển x , tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ x ba là 46. Tìm hạng tử khơn g chứa x. n 2 2 d/ Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển x là 97. Tìm hạng 3 tử của khai triển chứa x4. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 55
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 B. XÁC SUẤT I. Biến cố và xác suất 1. Biến cố Khơng gian mẫu : là tập các kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử. Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  . Biến cố khơng:  Biến cố chắc chắn:  Biến cố đối của A: AA  \ Hợp hai biến cố: A  B Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B) Hai biến cố xung khắc: A  B =  Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này khơng ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia. 2. Xác suất nA() Xác suất của biến cố: P(A) = n() 0 P(A) 1; P() = 1; P() = 0 Qui tắc cộng: Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B) P( A ) = 1 – P(A) Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) Bài tập: Câu 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8. b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. Câu 2: Một lớp học cĩ 25 học sinh, trong đĩ cĩ 15 em học khá mơn Tốn, 16 em học khá mơn Văn. a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 mơn. b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá mơn Tốn nhưng khơng khá mơn Văn. C2 C3 ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +15 – 25 = 17 P(AB) 7 b) 8 25 25 Câu 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. b) Các mặt xuất hiện cĩ số chấm bằng nhau. Câu 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh. Câu 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. Câu 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của 3 1 người thứ nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. 5 2 Câu 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 56
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm. c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. d) Khơng lần nào xuất hiện mặt 6 chấm. Câu 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. b) Cĩ đúng 3 đồng xu lật ngửa. c) Cĩ ít nhất hai đồng xu lật ngửa. Câu 9: Một hộp bĩng đèn cĩ 12 bĩng, trong đĩ cĩ 7 bĩng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bĩng.Tính xác suất để lấy được: a) ít nhất 2 bĩng tốt b) ít nhất 1 bĩng tốt. Câu 10: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đĩ cĩ 6 học sinh giỏi Tốn, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 mơn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đĩ là học sinh giỏi. Câu 11: Một hộp cĩ 20 quả cầu giống nhau, trong đĩ cĩ 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra cĩ ít nhất một quả màu đen. Câu 12: Một tổ cĩ 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đĩ khác phái. Câu 13: Một lớp cĩ 30 học sinh, trong đĩ cĩ 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Cĩ ít nhất 1 học sinh giỏi c) Khơng cĩ học sinh trung bình. Câu 14: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: a) Số đĩ là số lẻ. b) Số đĩ chia hết cho 5 c) Số đĩ chia hết cho 9. I. TRẮC NGHIỆM QUY TẮC ĐẾM, HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Câu 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số khác nhau. A. 510 B. 720 C. 120 D. 46656 Câu 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số. A. 4096 B. 3215 C. 720 D. 120 Câu 3: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 5 chữ số khác nhau A. 48 B. 120 C. 96 D. 360 Câu 4: Cho tập hợp X={1,2,3,4,5,6}. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 gồm cĩ 4 chữ số khác nhau từ các chữ số của tập X . A. 48 B. 60 C. 80 D. 720 Câu 5: Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau, trong đĩ bắt đầu bằng chữ số 1 và kết thúc là chữ số 2. A. 12 B. 16 C. 20 D. 6 Câu 6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số khác nhau. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 57
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. 12 B. 120 C. 96 D. 720 Câu 7: Từ tập hợp X 0; 1; 2; 3; 4; 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ cĩ 4 chữ số khác nhau A. 64 B. 144 C. 120 D. 210 Câu 8: Từ tập hợp cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 4 chữ số khác nhau A. 144 B. 156 C. 120 D. 300 Câu 9: Từ tập hợp X 1; 2; 3; 4; 5; 6 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ đúng 4 chữ số khác nhau, sao cho trong mỗi số đĩ, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước A. 720 B. 15 C. 1 D. 120 Câu 10: Từ tập hợp X 1;2;3;4;5;6;7 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 400.000? A. 720 B. 2880 C. 5040 D. 2160 Câu 11: Từ tập hợp X 1;2;3;4;5;6;7 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số khác nhau sao cho nĩ lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5 000? A. 3000 B. 360 C. 2160 D. 720 Câu 12: Từ tập hợp X 1; 2; 3; 4; 5 . Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 A. 12 B. 24 C. 20 D. 18 Câu 13: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một băng ghế cĩ 5 chỗ A. 120 B. 24 C. 36 D. 25 Câu 14: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một băng ghế cĩ 7 chỗ A. 120 B. 5040 C. 21 D. 2520 Câu 15: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 7 người vào một bàn trịn cĩ 7 chỗ ngồi A. 540 B. 70 C. 5040 D. 720 Câu 16: Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang cĩ 10 chỗ ngồi là: A. 6!4! B. 10! C. 6! 4! D. 6! 4! Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 58
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 17: Tại một cuộc họp của tổ chức Apec tổ chức tại Hà Nội vào tháng 12 năm 2006 cĩ 21 đại biểu là thành viên của các nước. Trước khi họp, các đại biểu chào hỏi và bắt tay nhau, mỗi đại biểu bắt tay một đại biểu khác một lần. Hỏi cĩ bao nhiêu cái bắt tay. A. 252 B. 420 C. 210 D. 42 Câu 18: Cho một đa giác 12 cạnh. Hỏi cĩ bao nhiêu vectơ (khác 0 ) cĩ điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của đa giác A. 132 B. 66 C. 144 D. 120 Câu 19: Cho 15 điểm nằm trên mặt phẳng khơng cĩ bất cứ 3 điểm nào khác thẳng hàng. Hỏi cĩ bao nhiêu tam giác cĩ 3 đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho A. 45 B. 2730 C. 455 D. 12 Câu 20: Một đa giác lồi 18 cạnh, cĩ bao nhiêu đường chéo ? A. 135 B. 153 C. 18 D. 36 Câu 21: Cho đa giác đều n đỉnh, n và n 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho cĩ 135 đường chéo. A. n 15 B. n 27 C. n 8 D. n 18 Câu 22: Một lớp cĩ 40 học sinh gồm 25 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Cĩ bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện phải cĩ cả nam và nữ. A. 25 B. 300 C. 40 D. 375 Câu 23: Một trường THPT cĩ 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11 và 8 học sinh giỏi lớp 12. Cần chọn ra 3 học sinh để tham gia đội tuyển thi “ Đố vui để học”. Cĩ bao nhiêu cách chọn nếu mỗi khối cĩ một học sinh? A. 240 B. 19 C. 1320 D. 33 Câu 24: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khĩ người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải cĩ 3 câu loại dễ, 2 câu loại trung bình và 2 câu loại khĩ. Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra A. 455 B. 252 C. 10584 D. 111 Câu 25: Một lớp cĩ 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Cĩ bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho cĩ đúng 3 học sinh nữ. A. 110790 B. 119700 C. 117900 D. 110970 Câu 26: Một nhĩm cĩ 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đĩ cĩ ít nhất 1 nữ. Cĩ bao nhiêu cách. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 59
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 A. 46 B. 45 C. 62 D. 25 Câu 27: Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đĩ sao cho cĩ đủ 3 màu. A. 720 B. 300 C. 240 D. 540 Câu 28: Hội đồng quản trị của một cơng ty gồm 12 người, trong đĩ cĩ 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đĩ người ta chọn ra 4 người để dự lễ tổng kết do tỉnh tổ chức. Hỏi cĩ mấy cách chọn sao cho trong 4 người được chọn phải cĩ nữ A. 455 B. 210 C. 175 D. 460 Câu 29: Một hộp cĩ 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 bi sao cho cĩ đủ ba màu. Số cách chọn là: A. 2163 B. 3843 C. 3003 D. 840 Câu 30: Một lớp gồm cĩ 20 học sinh. Cần chọn ra một lớp trưởng, một lớp phĩ và một thư ký. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn biết rằng học sinh nào cũng cĩ khả năng làm lớp trưởng, làm lớp phĩ và làm thư ký. A. 6840 B. 1140 C. 60 D. 542 Câu 31: Cần sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D, E thành một dãy hàng ngang. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai học sinh A và B luơn đứng ở đầu hàng? A. 48 B. 24 C. 12 D. 120 Câu 32: Cần sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D, E thành một dãy hàng ngang. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai học sinh A và B luơn đứng gần nhau? A. 48 B. 24 C. 12 D. 120 Câu 33: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang cĩ 10 chỗ ngồi. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luơn ngồi cạnh nhau? A. 34560 B. 17280 C. 120960 D. 744 Câu 34: Đội học sinh giỏi cấp trường mơn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 cĩ 5 học sinh, khối 11 cĩ 5 học sinh và khối 12 cĩ 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho cĩ học sinh cả ba khối và cĩ nhiều nhất 2 học sinh khối 10. A. 50 B. 500 C. 502 D. 501 Câu 35: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 60
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Ak A. An 1 B. C 0 1 C. C k n D. Pn! n n n k ! n 22 Câu 36: Giá trị của n thỏa mãn 3AAnn2 42 0 là: A. 9 B. 8 C. 6 D. 10 3 Câu 37: Nghiệm của phương trình Ann 20 là: A. n 6 B. n 5 C. n 8 D. khơng tồn tại 32 Câu 38: Tìm n biết Ann5 A 2( n 15). A. n 4 B. n 3 C. n 5 D. n 6 II. NHỊ THỨC NUITON 0 1 2 3 n Câu 39: Tổng T = Cn Cn Cn Cn Cn bằng: A. T = 2n B. T = 4n C. T = 2n + 1 D. T = 2n - 1 Câu 40: Hệ số của x6 trong khai triển (2-3x)10 là: 6 6 4 4 6 4 6 4 6 C .2 .( 3) C .2 .( 3) 6 4 6 C .2 .3 B. 10 C. 10 D. C .2 .3 A. 10 10 Câu 41: Hệ số của x5 trong khai triển (2x+3)8 là: C 3.2 3 .3 5 C 3.2 5 .3 3 C 5.2 5 .3 3 C 5.2 3 .3 5 A. 8 B. 8 C. 8 D. 8 Câu 42: Hệ số của x7 trong khai triển (x+2)10 là: C 372 C 3 C 332 C 732 A. 10 B. 10 C. 10 D. 10 10 Câu 43: Hệ số của x8 trong khai triển x2 2 là: C 642 C 6 C 4 C 662 A. 10 B. 10 C. 10 D. 10 10 Câu 44: Hệ số của x12 trong khai triển xx2 là: 8 C 2 10 B. C. C D. A. 10 10 Câu 45: Hệ số của x12 trong khai triển 2xx 2 là: C 28.2 C 2 C 282 A. B. 10 C. 10 D. 10 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 61
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 13 1 Câu 46: Hệ số của x7 trong khai triển x là: x C 4 C 4 C 3 C 3 A. 13 B. 13 C. 13 D. 13 9 1 Câu 47: Số hạng của x3 trong khai triển x là: 2x 1 1 .Cx33 .Cx33 8 9 8 9 33 33 A. B. C. Cx9 D. Cx9 8 3 1 Câu 48: Số hạng của x4 trong khai triển x là: x 54 54 34 Cx 44 Cx Cx 8 B. Cx C. 8 D. 8 A. 8 1 40 31 Câu 49: Số hạng của x trong khai triển x 2 là: x Cx37 31 Cx3 31 Cx2 31 Cx4 31 A. 40 B. 40 C. 40 D. 40 6 2 2 Câu 50: Số hạng khơng chứa x trong khai triển x là: x 242C 222C 244C 224C A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 10 1 Câu 51: Số hạng khơng chứa x trong khai triển x là: x C 4 C 5 C 5 C 4 A. 10 B. 10 C. 10 D. 10 58 Câu 52: Hệ số của xy trong khai triển xy 13 là: 5 8 5 5 A. C13 B. C13 C. C 8 D. C13 49 Câu 53: Hệ số của xy trong khai triển 2xy 13 là: 94 44 94 44 A. C13 2 B. C13 2 C. C13 2 D. C13 2 10 Câu 54: Hệ số của x8 trong khai triển 32x . Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 62
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 2 8 2 8 2 8 2 2 8 2 8 2 A. C10 32 B. C10 32 C. C10 32 D. C10 32 19 Câu 55: Hệ số của x9 trong khai triển 2 x . 9 10 10 9 9 10 10 9 A. C19 2 B. C19 2 C. C19 2 D. C19 2 27 1 25 Câu 56: Hệ số của x trong khai triển (x3 + ) là: x 12 8 8 10 A. C 25 B. C 25 C. C25 D. C 25 1 Câu 57: Số hạng khơng chứa x trong khai triển (x 3 + ) 8 là: x 6 4 6 2 A. C 8 B. C 8 C. C 8 D. C 8 4 Câu 58: Số hạng khơng chứa x trong khai triển (x 2 + ) 12 là: x 8 88 88 44 A. C12 B. C12 4 C. C12 4 D. C12 4 III. XÁC SUẤT Câu 59: Cơng thức nào sau đây dùng để tính xác suất của biến cố A: nA() n() nA() nA() A. PA( ) 1 B. PA() C. PA() D. PA() n() nA() nB() n() Câu 60: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì n() là bao nhiêu? A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 Câu 61: Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của khơng gian mẫu là? A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 Câu 62: Gieo một con súc sắc 2 lần. Số phần tử của khơng gian mẫu là? A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 Câu 63: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp” 1 3 7 1 A. PA() B. PA() C. PA() D. PA() 2 8 8 4 Câu 64: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ kết qủa của 3 lần gieo là như nhau” Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 63
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 1 1 PA() 3 7 PA() A. 2 B. PA() C. PA() D. 4 8 8 Câu 65: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ cĩ đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp” A. B. C. D. Câu 66: Một tổ học sinh cĩ 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. 1 7 8 1 A. B. C. D. 15 15 15 5 Câu 67: Một tổ học sinh cĩ 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn khơng cĩ nữ nào cả. A. B. C. D. Câu 68: Một tổ học sinh cĩ 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn cĩ ít nhất một nữ. 8 7 A. B. 15 C. 15 D. Câu 69: Một tổ học sinh cĩ 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn cĩ đúng một người nữ. B. B. C. D. Câu 70: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ. 1 1 1 143 A. B. C. D. 560 16 28 280 Câu 71: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi khơng đỏ. A. B. C. D. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 64
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 Câu 72: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ. 1 1 9 143 A. 560 B. 16 C. 40 D. 280 Câu 73: Trên giá sách cĩ 4 quyển sách tốn, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hĩa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 mơn khác nhau. 2 1 37 5 A. B. C. D. 7 21 42 42 Câu 74: Với phép thử gieo đồng xu 3 lần. Gọi A là biến cố “Cĩ đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”. giá trị của P(A) 3 5 1 1 A. B. C. D. 8 8 8 4 Câu 75: Với phép thử gieo đồng xu 3 lần. Gọi B là biến cố “ Cĩ ít nhất hai lần xuất hiện mặt ngửa”, giá trị của P(B) là. A. B. C. D. Câu 76: Gieo hai con súc sắc hai lần. Tính xác suất để Tích số chấm trong hai lần gieo là một số chẵn. 27 9 9 1 A. B. C. D. 64 32 64 2 Câu 77: Cĩ ba bà mẹ, mỗi bà sinh một con, gọi A là biến cố “ba đứa trẻ sinh ra cĩ một bé gái”. Giá trị của P(A) là: 1 1 3 A. B. C. D. 1 4 2 4 Câu 78: Cĩ ba bà mẹ, mỗi bà sinh một con, gọi B là biến cố “ba đứa trẻ sinh ra cĩ ít nhất một bé trai”. Giá trị của P(B) là: A. B. C. D. 1 Câu 79: Trong hộp kín gồm 10 quả cầu được đánh số từ 0 đến 9. Mơt người lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Gọi A là biến cố “ hai quả cầu được chọn cĩ tổng bằng 10 ”. Giá trị của P(A) là. Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 65
Các Chủ đề : Tốn Lớp 11 2019 2 1 1 1 A. B. C. D. 15 5 9 3 Câu 80: Một hộp chứa 10 viên bi, trong đĩ cĩ 5 bi đỏ và 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ: 7 2 23 A. B. C. D. 45 9 45 Câu 81: Một hộp chứa 10 viên bi, trong đĩ cĩ 5 bi đỏ và 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để trong hai bi lấy ra, cĩ một bi xanh và một bi vàng. A. B. C. D. Câu 82: Một hộp chứa 10 viên bi, trong đĩ cĩ 5 bi đỏ và 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để trong ba bi lấy ra cĩ nhiều nhất hai bi đỏ 11 53 81 7 A. B. C. D. 12 120 120 12 Câu 83: Lớp 11A cĩ 25 đồn viên trong đĩ cĩ 10 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai đồn viên trong chi đồn để tham dự Hội trại 26/3. Xác suất để hai đồn viên được chọn cĩ 1 nam và 1 nữ là 1 1 1 A. B. C. 1 D. 2 3 4 Câu 84: Một lớp cĩ 45 học sinh trong đĩ cĩ 25 nữ, Giáo viên kiểm tra bài cũ 2 học sinh. Xác suất để khơng cĩ học sinh nữ nào là: 13 19 191 5 A. B. C. D. 99 99 990 9 Câu 85: Một hộp chứa 12 viên bi, trong đĩ cĩ 5 bi đỏ và 4 bi xanh và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để trong ba bi lấy ra, cĩ ít nhất hai bi xanh 13 13 12 1 A. B. C. D. 220 55 55 5 Câu 86: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn trúng 1 viên là 0,7. Người đĩ bắn hai viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là: A. 0.42 B. 0.21 C. 1 D. 0.7 Võ Văn Nghiệp 0783878782 Page 66