›
›
›

Các chuyên đề bài tập luyện thi THPT môn Toán Lớp 12

doc 55 trang thaodu 5660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các chuyên đề bài tập luyện thi THPT môn Toán Lớp 12", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccac_chuyen_de_bai_tap_luyen_thi_thpt_mon_toan_lop_12.doc

Nội dung text: Các chuyên đề bài tập luyện thi THPT môn Toán Lớp 12

  1. CHUYÊN ĐỀ 1. Các phép toán trên tập số phức DẠNG 1. Thực hiện các phép toán 2 2 Câu 1. [2D4-1.1-3] Cho số phức z x yi; x, y ¢ thỏa mãn z3 18 26i . Tính T z 2 4 z . A. 2. B. 4.C. 0. D. 1. Lời giải Đáp án C Ta có: z3 18 26i x3 3x2 yi 3xy2 y3i 18 26i x3 3xy2 3x2 y y3 i 18 26i 2 3 2 1 3t 9 3 2 3 2 2 x 1 3t 18 x 3xy 18 x 3xt x 18 3 y tx,t ¤ 3t t 13 2 3 2 3 3 3 3 3x y y 26 3x tx t x 26 x 3t t 26 3 2 x 1 3t 18 (x 0; y 0 không là nghiệm) 2 2 2 2 2 1 3t 9 9t 39t 27t 13 0 9t 39t 27t 13 0 3 3t t 13 x3 1 3t 2 18 x3 1 3t 2 18 3 2 x 1 3t 18 1 t 3 2 2 x 3 do x; y ¢ z 3 i T (1 i) (1 i) 1 2i 1 1 2i 1 0 . y 1 Câu 2. [2D4-1.1-3] Cho hai số phức z 1 ai a ¡ và z 1 i . Tìm điều kiện của a để zz là một số ảo. A. .a 1 B. .C. a 1 a 1. D. .a 1 Lời giải Đáp án C zz 1 ai 1 i 1 i ai a 1 a a 1 i . Theo yêu cầu bài toán : 1 a 0 a 1 . Câu 3. [2D4-1.1-3] Cho số phức z m2 3m 3 m 2 i , với m R . Tính giá trị của biểu thức P z2016 2.z2017 3.z2018 , biết z là một số thực. A. .PB. 6.22016 P 6 . C. .P 0 D. . P 17.22016 Lời giải. Đáp án B Vì số phức z m2 3m 3 m 2 i là một số thực nên: m 2 0 m 2 z 22 3.2 3 1 Khi đó: P z2016 2.z2017 3.z2018 12016 2.12017 3.12018 6 z 1 Câu 4. [2D4-1.1-3] Cho số phức z x yi 1 x, y ¡ . Tìm phần ảo của số phức w . z 1 2x x y 2 y xy A. . B. .C. . D. . x 1 2 y2 x 1 2 y2 x 1 2 y2 x 1 2 y2 Lời giải Đáp án C 2 z 1 x yi 1 x yi 1 x yi 1 x 1 yi x2 1 yi Ta có w z 1 x yi 1 x 1 yi x 1 2 y2 x 1 2 y2 x2 y2 1 2 yi x2 y2 1 2 yi . x 1 2 y2 x 1 2 y2 x 1 2 y2 2 y Vậy phần ảo của số phức z là x 1 2 y2
  2. DẠNG 2. Tìm phần thực, phần ảo Câu 5. [2D4-1.2-3] Tìm phần ảo của số phức z 1 i i2 i3 i2016 i2017 . A. i. B. 1. C. 1. D. 0. Lời giải Đáp án B Ta có z. i i i2 i3 i2017 i2018 z 1 i2018 2 1009 1009 1 i2018 1 i 1 1 1 1 2 1 i z i 1 i2018 1 z 1 i. 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i2 Do đó z có phần ảo bằng 1. Câu 6. [2D4-1.2-3] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1 và 1+ z1z2 ¹ 0 . Tìm phần ảo của số phức z + z w = 1 2 . 1+ z1z2 A. Phần ảo bằng 1. B. Phần ảo bằng - 1. C. Phần ảo bằng 0. D. Phần ảo là một số thực dương lớn hơn 1. Lời giải Đáp án C ïì 1 ï = z ï 1 ï z1 Do z = z = 1 ¾ ¾® í . 1 2 ï 1 ï = z ï 2 îï z2 1 1 + z + z z z z + z Ta có w = 1 2 = 1 2 = 1 2 = w . 1+ . 1 z z + 1 z1 z2 1+ 1 2 z1z2 Vì w = w nên w là số thực hay phần ảo của w bằng 0 . Câu 7. [2D4-1.2-3] Cho số phức z x yi x, y ¡ . Khi đó phần thực a và phần ảo b của số phức z i  là: iz 2 x 2y 1 y2 y x2 2 x 2y 1 y2 y x2 2 A. a , b .B. a , b . y 2 2 x2 y 2 2 x2 y 2 2 x2 y 2 2 x2 x 2y 1 y2 y x2 2 x 2y 1 y2 y x2 2 C. a , b . D. a , b . y 2 2 x2 y 2 2 x2 y 2 2 x2 y 2 2 x2 Lời giải Đáp án B z i x yi i x i y 1 x i y 1 2 y xi Ta có:  iz 2 i x yi 2 y 2 xi y 2 2 x2 x 2y 1 y2 y x2 2 w i y 2 2 x2 y 2 2 x2 1 Câu 8. [2D4-1.2-3] Nếu số phức z thỏa mãn z = 1 và z ¹ 1 thì phần thực của bằng: 1- z 1 1 A. . B. C.- D 2. 1. 2 2 Lời giải. Đáp án A Đặt z = a + bi (a,b Î ¡ ) . Từ z = 1 ¾ ¾® a2 + b2 = 1. 1 1 1 1- a + bi 1- a + bi 1- a bi Ta có = = = = 2 = 2 + 2 . 1- z 1- (a + bi) 1- a - bi (1- a - bi)(1- a + bi) (1- a) + b2 (1- a) + b2 (1- a) + b2
  3. 1 1- a Suy ra phần thực của bằng 2 . 1- z (1- a) + b2 1- a 1- a 1- a 1 Ta có 2 = 2 2 = = . (1- a) + b2 1- 2a + a + 1- a 2(1- a) 2 1 Cách 2. Gọi A là phần thực của . 1- z 1 1 1 1 2- z - z 2- z - z 1 Ta có 2A = + = + = = = 1 ¾ ¾® A = . 1- z 1- z 1- z 1- z 1- z - z + z.z 1- z - z + 1 2 DẠNG 4. Tính môđun của số phức Câu 9. [2D4-1.4-3] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z 3(1 i)z 1 9i. Tìm môđun của z. A. 1 3. B. C. 82. 13. D. 5. Đáp án C Gọi z a bi z a bi 2z 3(1 i)z 1 9i 2(a bi) (3 3i)(a bi) 1 9i 2a 2bi 3a 3bi 3ai 3b 1 9i 5a 3b 1 a 2 2 2 (5a 3b) ( 3a b)i 1 9i | z | 2 3 13. 3a b 9 b 3 Câu 10. [2D4-1.4-3] Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 1 . Tính z1 z2 3 A. 3 . B. 1 . C. 2 3. D. . 2 Lời giải Đáp án A 2 2 2 2 Áp dụng z z z z 2 z z . Khi đó z z 2 2 1 1 1 3 z z 3 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (5 + 3i ) Câu 11. [2D4-1.4-3] Cho số phức z có phần thực dương và thỏa z - - 1 = 0 . Khi đó z A. . z = 2 B. . z = 3 C. .D. z = 4 z = 7 . Lời giải. Đáp án D 5 + 3i ( ) 2 Ta có z - - 1 = 0 Û z - 5 + 3i = z . z ( ) Đặt z = a + bi, a,b Î ¡ , a > 0 . Ta có. ïì éa = - 1 ïì a2 + b2 - 5 = a ïì a2 - a - 2 = 0 ï ê 2 2 ï ï ï êa = 2 a + b - 5 - 3i = a + bi Û í Û í Û í ëê . ï - 3 = b ï b = - 3 ï îï îï ï b = - 3 îï z = 2 - 3i . z 7 z1 z2 1 z1 z2 3 z1 z2 Câu 12. [2D4-1.4-3] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa , . Tính . A. 2 . B. 1. C. 3 . D. .4 Lời giải Đáp án B 1 3 1 3 Ta chọn: z i , z i . 1 2 2 1 2 2 Khi đó: z1 z2 1 ,z1 z2 3 .
  4. z1 z2 1 0i 1. Cách 2: z z 2 z z 2 2 z 2 z 2 Ta có 1 2 1 2 1 2 ( đẳng thức hình bình hành) z1 z2 1 . Cách 3 z1 z2 z1 z2 1 1. z2 z1 z1 z2 z1 z2 3 z1 z2 3 z1 3 z2 1 1 3 . z2 z1 z1 z2 , có điểm biểu diễn là hai điểm chung của hai đường tròn tâm O 0;0 ,R1 1 và đường tròn z2 z1 tâm I 1;0 , R2 3 . 1 2 2 x x y 1 2 z 1 3 z 1 3 Xét hệ 1 i 1 1 i x 1 2 y2 3 3 z 2 2 z 2 2 y 2 2 2 z1 1 1 z1 z2 z1 1. z2 z1 z2 Câu 13. [2D4-1.4-3] Cho hai số phức và thỏa mãn z1 z2 z1 z2 1. Tính z1 z2 . 3 A. 3. B. 1. C. 2 3. D. . 2 Lời giải Đáp án A 2 2 2 Cách 1. Ta có z1 z2 z1 z2 . z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 . z1.z2 z1.z2 1 2 2 2 z1 z2 z1 z2 . z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 3. Từ đó suy ra z1 z2 3. Cách 2. Giả sửz1 được biểu diễn bởi điểm M1 trong mặt phẳng Oxy . Giả sửz2 được biểu diễn bởi điểm M 2 trong mặt phẳng Oxy . Gọi I là trung điểm của M1M 2 . Ta có 1 z1 z2 z1 z2 OM1 OM 2 M1M 2 1 , suy ra OM1M 2 đều có cạnh bằng 1 .    3 Khi đó z z OM OM 2 OI 2OI 2 3 . Vậy z z 3. 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 Cách 3: Sử dụng đẳng thức z1 + z2 + z1 - z2 = 2( z1 + z2 ) với mọi số phức z1 , z2 , ta suy ra 2 2 2 2 phương trình z1 + z2 + 1 = 2(1 + 1 ) . Từ đó z1 z2 3. Câu 14. [2D4-1.4-3] Cho số phức z thỏa mãn 7 1 2i z 2 3i z i . Tính môđun của z. A. z 2 5. B. z 3 5. C. Dz. 5. z 5. Lời giải Đáp án D Đặt z x yi x, y ¡ suy ra z x yi và z x2 y2 .
  5. Khi đó 7 1 2i z 2 3i z i 7 1 2i x yi 2 3i x yi i 7 x yi 2xi 2y 2x 2yi 3xi 3y i x 5y 7 x 3y 1 i 0 x 5y 7 0 x 2 z 2 i z 5. x 3y 1 0 y 1 2 Câu 15. [2D4-1.4-3] Cho số phức z a bi a,b ¡ với b 0 và thỏa mãn z z 0 . Tính môđun của số phức w 2z 1. A. w 7. B. w 5. C. w 3. D. w 2. Lời giải Đáp án A 2 Với z a bi a,b ¡ suy ra z a bi và z2 a bi a2 b2 2abi. Khi đó z2 z 0 a2 b2 2abi a bi 0 a2 b2 a 2ab b i 0 2 2 2 2 1 a b a 0 a b a 0 a 2a 1 0 2 2ab b 0 b 2a 1 0 . b a2 a 3 b 0 b 0 b 2 2 Vậy số phức w 2z 1 2 i 3 w 22 3 7. z Câu 16. [2D4-1.4-3] Cho số phức z ¹ 0 sao cho z không phải là số thực và w = là số thực. Tính giá trị 1+ z 2 z của biểu thức P = 2 . 1+ z 1 1 1 A. BP.= . P = . C. P = 2. D. P = . 5 2 3 Lời giải Đáp án B Đặt z = a + bi (a;b Î ¡ ) . Do z Ï ¡ Þ b ¹ 0. Suy ra z 2 = a - b2 + 2abi. 2 2 z a + bi (a + bi)(1+ a - b - 2abi) Khi đó = = 2 2 2 2 2 1+ z 1+ a - b + 2abi (1+ a2 - b2 ) + (2ab) a3 + ab2 + a b3 + a2b - b = - .i Î ¡ Û b3 + a2b - b = 0 2 2 2 2 (1+ a2 - b2 ) + (2ab) (1+ a2 - b2 ) + (2ab) éb = 0(loaïi) Û ê Û a2 + b2 = 1. ê 2 2 ëê1- b - a = 0 z 1 1 Vậy P = 2 = = . 1+ z 1+ 1 2 1 1 2 Câu 17. [2D4-1.4-3] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 ¹ 0, z2 ¹ 0, z1 + z2 ¹ 0 và = + . Tính giá trị z1 + z2 z1 z2 z biểu thức P = 1 . z2 2 3 2 A. P = 2 3. B. P = . C. DP.= . P = . 3 2 2 Lời giải Đáp án D 1 1 2 1 z + 2z Từ giả thiết = + ¬ ¾® = 2 1 z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 z1z2
  6. z æz öæ z ö ¬ ¾® z z = (z + z ).(z + 2z )¬ ¾® 1 = ç 1 + 1÷ç1+ 2 1 ÷. 1 2 1 2 2 1 ç ÷ç ÷ z2 èz2 øè z2 ø z Đặt t = 1 , ta được phương trình t = (t + 1)(1+ 2t) z2 é 1 1 êt = + i 2 ê 2 2 2 Û 2t + 2t + 1 = 0 Û ê Þ t = . ê 1 1 2 êt = - i ëê 2 2 2z z2 Câu 18. [2D4-1.4-3] Cho số phức z 1 i , môđun số phức z bằng. 0 zz 2z A. 3 . B. . 2 C. .D. 1 2 1. Lời giải Đáp án D 2 2 1 i 1 i 2 4i 2 4i 4 2i 4 3 Ta có z i . 0 1 i 1 i 2 1 i 4 2i 4 2i 4 2i 5 5 2 2 4 3 z0 1. 5 5 Câu 19. [2D4-1.4-3] Cho số phức z thỏa mãn 3 i z 1 2 i z 3i 1 i . Tính môđun của số phức i z w . 1 z 82 2 82 82 3 82 A. w . B. Cw. . w . D. w . 4 9 8 5 Lời giải Đáp án C Cách 1: Gọi z a bi; a;b ¡ . Từ giả thiết, ta có 3 i a bi 1 2 i a bi 3i 1 i 6 5a 1 a 1 6 5a 2a b 5 i 1 i z 1 8i. 2a b 5 1 b 8 i z 9 1 82 Suy ra: w i w . 1 z 8 8 8 Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình biểu thức 3 i X 1 2 i Conjg X 3i 1 i . Nhập giá trị X 10000 100i. Màn hình hiện: 50005 19894i. 50005 5a 5 Phân tích: . Từ đây ta đoán với mọi số phức X = a + b ithì biểu thức trên đều 19894 2a b 6 cho ra kết quả 5a 5 2a b 6 i . 5a 5 0 a 1 Vậy, để biểu thức có giá trị bằng 0 , ta phải có z 1 8i. 2a b 6 0 b 8 i z Nhấn q J z (Tổ hợp phím gán SHIFT STO A) w . 1 z Nhấn q c a 1 p Q z R Q 1+q22Q z)=
  7. Kết quả: DẠNG 5. Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z) Câu 20. [2D4-1.5-3]Cho số phức z a bi , trong đó a,b ¡ thỏa mãn 3 4i z z 4 i . Tính S a b . 2 2 A. .S B. .C. S 4 S . D. .S 1 3 3 Lời giải Đáp án C Ta có z a bi 3 4i a bi a bi 4 i 3a 4b 3b 4a i a bi 4 i 1 a 4a 4b 4 6 2 4a 4b 4a 2b 4 i S a b . 4a 2b 1 5 3 b 6 Câu 21. [2D4-1.5-3] Tìm các số phức z thỏa 2iz 3z 1 4i . A. z 1 2i . B. .z 1 2i C. . zD. 1 2i . z 1 2i Lời giải: Đáp án A Đặt z x yi, x, y ¡ z x yi Ta có: 2iz 3z 1 4i 2i x yi 3 x yi 1 4i 3x 2y 2x 3y i 1 4i 3x 2y 1 x 1 z 1 2i 2x 3y 4 y 2 Câu 22. [2D4-1.5-3] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 4z 7 7i . Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu? A. . z 3 B. .C. z 5 z 5 . D. .z 3 Lời giải Đáp án C Giã sử z a bi a, b ¡ . 1 i z 4z 7 7i 1 i a bi 4 a bi 7 7i 5a b 7 a 1 a bi ai b 4a 4bi 7 7i z 1 2i a 3b 7 b 2 Vậy z 5 . Câu 23. [2D4-1.5-3] Tính tổng S của các phần thực của tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z 3z2. 3 2 3 3 A. SB. 3. S . C. S . D. S . 6 3 3 Lời giải Đáp án B Đặt z a bi, a,b ¡ a bi 3 a bi 2 a bi 3 a2 b2 2abi 2 2 3 a b a 1 32ab b 2
  8. b 0 b 0 2 3 3.2a 1 a 6 a 0 Với b 0 3 a 3 3 1 a b 6 2 3 3 3 S . 3 6 6 3 3 1 3 1 Có tất cả 4 số phức z là 0 , , i , i 3 6 2 6 2 3 3 3 Vậy tổng các phần thục là S 0 0 3 6 6 Câu 24. [2D4-1.5-3] Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn z 2z 2 i 3 1 i . A. 13. B. 9.C. 13. D. 9. Lời giải Đáp án C Ta có z 2z 2 i 3 1 i z 2z 9 13i. 3a 9 a 3 Đặt z a bi a, b ¡ . Khi đó a bi 2 a bi 9 13i . b 13 b 13 2 Câu 25. [2D4-1.5-3] Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 4i z 2 z i 1 . Giá trị của T 4 z 18 z là số nào sau đây? A. BT. 10. T 17. C. T 15. D. T 1. Lời giải Đáp án B Ta có z 4i z 2 z i 1 z z 1 2 z 4 i 2 2 z z 1 2 z 4 . z 2 z 2 2 z 1 4 z 2 16 z 16 T 17. Câu 26. [2D4-1.5-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z z 2 và z 2 ? A. .2 B. . 4 C. .D. 3 1. Lời giải Đáp án D Đặt z x yi x, y ¡ , ta có: 2 2 2 z.z z 2 x y x yi 2 4 x yi 2 4 x y2 4 2 2 2 2 2 2 z 2 x y 2 x y 4 x y 4 8x 16 0 x 2 2 2 . Vậy có đúng một số phức z thỏa đề. x y 4 y 0 _ _ 2 Câu 27. [2D4-1.5-3] Cho số phức z thỏa mãn 1 z z i iz 1 2 và z có phần thực dương. Tính môđun của số phức z A. .B3. 5 . C. 2. D. . 2
  9. Lời giải Đáp án B _ _ 2 1 z z i iz 1 2 1 x yi x2 y 1 2 x2 2xyi y2 2xi 2y 1 x 2y2 4y 1 2x y 2xy 0 x 2y2 4y 1 2 x 2y 4y 1 y 2 2 2 2 2y 4y 1 y 2 2y 4y 1 y 0 1 y 2 y 2 x 1 (N) 1 1 y x (L) 2 2 z 5 Câu 28. [2D4-1.5-3] Cho số phức z a bi; (a,b ¡ ) thỏa mãn 2z 1 i z 9 5i. Tính a b . A. .aB . b 1 a b 1. C. .a b 4 D. a b 5. Lời giải Đáp án B 2z 1 i z 9 5i 2 a ib 1 i a ib 9 5i 3a b i b a 9 5i 3a b 9 a 2 a b 1. a b 5 b 3 Câu 29. [2D4-1.6-3] Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn z1 = z2 = 1 và z1 - z2 = 3 . Tính 1 1 P = z + z . 3 1 3 2 1 1 3 A. P = . B. .P = 0 C. . K = D. . K = 3 9 3 Lời giải Đáp án A - 1 3 - 1 3 Cách 1: Chọn z = + i, z = - i thõa z = z = 1 và z - z = 3 . Khi đó 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 æ- 1 3 ö æ- 1 3 ö 1 1 ç ÷ ç ÷ P = z1 + z2 = ç + i÷+ ç - i÷= - 1 = . 3 3 èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ 3 3 3 Lý giải cách chọn: Vì z1 = z2 = 1 nên z1 ,z2 là nghiệm của phương trình z = 1. Giải phương trình - 1 3 - 1 3 này ta được 3 nghiệm z = 1, z = + i, z = - i . Các nghiệm z , z được chọn phù 2 2 2 2 1 2 hợp từ 2 trong 3 nghiệm trên.
  10. Cách 2: Gọi z1 = x1+ y1i, z2 = x2 + y2i . Ta có ì 2 2 2 2 ï x + y = 1 ïì x + y = 1 ïì z = z = 1 ï 1 1 ï 1 1 ï 1 2 ï 2 2 ï 2 2 íï Û íï x + y = 1 Û í x + y = 1 ï - = 3 ï 2 2 ï 2 2 îï z1 z2 ï 2 2 ï ï - + - = 3 ï 2(x1x2 + y1y2 ) = - 1 îï (x1 x2 ) (y1 y2 ) îï 1 1 2 2 1 2 2 2 2 P = z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) = (x1 + y1 )+ (x2 + y2 )+ 2(x1x2 + y1y2 ) Từ đó 3 3 3 1 1 = 1+ 1- 1 = 3 3 Câu 30. [2D4-1.6-3] Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn: z 2 , z z z 0 . A. .z 1 3i B. .C. z 2 2i z 1 3i . D. .z 2 2i Lời giải Đáp án C  Gọi z x yi với x, y ¡ . Khi đó:  z 2 x2 y2 4 1 .  z z z 0 x yi x yi x2 y2 0 2x x2 y2 0 2 .  Thế 1 vào 2 ta được 2x 2 0 x 1 . Thế x 1 vào 2 tìm được y 3 .  Vậy .z 1 3i 2 10 1 Câu 31. [2D4-1.6-3] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 1 i. Hỏi phần thực của số phức w z 2 z bằng bao nhiêu? 1 1 1 3 A. . B. .C. . D. . 2 2 4 2 Lời giải Đáp án C Ta tìm giá trị z bằng hai cách: CÁCH 1: 2 10 Giả sử z a bi a,b ¡ . Ta có 1 i z 1 i (1) z 2 10 2 10 1 i z 1 i 1 i a2 b2 1 i z a bi 2 10 a bi 2 10a 2 10bi 1 i a2 b2 1 i a2 b2 i a2 b2 1 i a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 2 2 10a a b 1 2 2 2 2 2 2 a b 2 2 2 2 40a 40b 40 a b 1 a b 1 2 2 2 2 2 10b a2 b2 a2 b2 a b a2 b2 1 a2 b2 (2) 2 2 40 40 Đặt c a2 b2 0 , ta có: 2 c 1 c 1 2c2 2 c4 c2 20 0 c2 c2 c2 4 c 2 c 2 a2 b2 2 hay z 2 2 c 5 CÁCH 2:
  11. 2 10 2 10 2 10 1 i z 1 i 1 i z 1 i 1 i z 1 i z z z 2 10 2 10 20 2 20 1 i z i 2 z i z i z 1 z z z z 2 20 4 2 2 z 1 z z 20 0 z 4 z 2 z 2 2 10 2 10 3 10 10 Từ (1) ta suy ra: 2 2i 1 i 3 i z i z z 5 5 1 1 1 3 10 Do đó: w i . 2 z 3 10 10 4 4 2 i 5 5 z1 z2 z3 z1 z2 z3 0 Câu 32. [2D4-1.6-3] Cho ba số phức , , thỏa mãn và z1 z2 z3 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2 A. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 . B. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 . 2 2 2 2 2 2 C. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 . D. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 . Lời giải. Đáp án A Do z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1 nên các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy là A, B,C đều thuộc đường tròn đơn vị và ABC tạo thành tam giác đều. Do các phép toán cộng và nhân số phức phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm biểu diễn nên ta 1 3 1 3 có thể cho: z 1 , z i , z i . 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 Thay vào ta được z1 z2 z3 0 và z1z2 z2 z3 z3 z1 0 . 1 1 Câu 33. [2D4-1.6-3] Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tính giá trị của biểu thức T z2017 . z z2017 A. .T 2017 B. . TC. .D.2017 T 1 T 1. Lời giải Đáp án D Điều kiện: z 0 . 1 1 3 1 3 Khi đó z 1 z2 z 1 0 z i và z i . z 2 2 2 2 1 Nhận xét z 1 là số phức không thỏa mãn z 1 . z 1 Nên z 1 z 1 z2 z 1 0 z3 1 . z 2017 1 3 672 1 672 1 1 z 2017 z .z 672 1 .z 672 z 1. 3 z z .z 1 .z z Câu 34. [2D4-1.6-3] Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn z1 z2 3 , z1 z2 1 . Tính z1 z2 z1z2 . A. .zB1 .z 2 z1z2 0 z1 z2 z1z2 1 . C. .z 1 z2 zD.1z2 . 2 z1 z2 z1z2 1 Lời giải Đáp án B 2 2 2 Ta có z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1z2
  12. 2 2 2 3 1 1 z1 z2 z1z2 z1 z2 z1z2 1. Câu 35. [2D4-1.6-3] Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 2i 3 8i.z 16 15i. Giá trị biểu thức S a 3b bằng: A. S 4. B. S 3. C. DS. 6. S 5. Lời giải Đáp án D Đặt z a bi a,b ¡ z a bi . Khi đó giả thiết tương đương với a bi 2i 3 8i a bi 16 15i 3a 2b 2a 3b i 8ai 8b 16 15i 3a 10b 16 0 a 2 S a 3b 5. 3a 10b 16 6a 3b 15 i 0. 6a 3b 15 0 b 1 Câu 36. [2D4-1.6-3] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z1 - z2 = 1 .Tính giá trị của biểu 2 2 æz ö æz ö thức P = ç 1 ÷ + ç 2 ÷ . ç ÷ ç ÷ èz2 ø èz1 ø A. P = 1+ i. B. P = - 1- i. C. DP.= 1- i. P = - 1. Lời giải Đáp án D æ ö2 æ ö2 æ ö2 z1 ÷ z2 ÷ z1 z2 ÷ Ta có P = ç ÷ + ç ÷ = ç + ÷ - 2. (1) ç ÷ ç ÷ ç ÷ èz2 ø èz1 ø èz2 z1 ø z z z z z z Mà 1 + 2 = 1 2 + 2 1 = z z + z z . (2) z z 2 2 1 2 2 1 2 1 z2 z1 2 Theo giả thiết: 1 = z1 - z2 = (z1 - z2 ).(z1 - z2 )= (z1 - z2 ).(z1 - z2 ) 2 2 = z1 + z2 - (z1 z2 + z2 z1 )Þ z1 z2 + z2 z1 = 1. (3) Từ (1) , (2) và (3) suy ra P = - 1. Cách 2. Chuẩn hóa Chọn z1 = 1 , còn z2 chọn sao cho thỏa mãn z2 = 1 và z1 - z2 = 1 . Ta chọn như sau: Đặt z2 = a + bi . 2 2 ● z2 = 1 ¾ ¾® a + b = 1 . 2 2 ● z1 - z2 = 1¬ ¾® z2 - 1 = 1¬ ¾® (a - 1)+ bi = 1¬ ¾® (a - 1) + b = 1. ïì 1 ï a = ï 2 1 3 Từ đó giải hệ ¾ ¾® í ¾ ¾® z2 = + i . ï 3 2 2 ï b = îï 2 1 3 Thay z = 1 và z = + i vào P và bấm máy. 1 2 2 2 1 3 1 3 Hoặc ta cũng có thể chọn z = - + i và z = + i . 1 2 2 2 2 2 Câu 37. [2D4-1.6-3] Số nào sau đây là số đối của số phức z , biết z có phần thực dương thỏa mãn z = 2 và thuộc đường thẳng y - 3x = 0 : A. .1 + 3i B. .C. 1- 3i - 1- 3i . D. .- 1+ 3i Lời giải Đáp án C Gọi z = x + yi (x, y Î ¡ ) . ì ï x > 0 ïì x > 0 ï ï ì = 1 ï 2 2 ï 2 2 ï x Ta có íï x + y = 2 Û íï x + y = 4 Û íï Þ - z = - 1- 3i . ï ï ï y = 3 ï ï îï îï y - 3x = 0 îï y = 3x
  13. 24 Câu 38. [2D4-1.6-3] Giá trị của biểu thức z 1 i 7 4 3 bằng 224 224 226 226 A. 12 . B. . 12 C. . D. . 12 12 2 3 2 3 2 3 2 3 Lời giải Đáp án A 24 24 2 24 z 1 i 7 4 3 1 i 2 3 1 i 2 3 . 2 1 i 2 3 có môđun bằng 12 2 3 1 4 3 2 3 2 2 3 , có một acgument là 1 2 3 sao cho cos , sin . Lấy thì 2 2 3 2 2 3 12 24 24 1 i 2 3 2 2 3 cos isin 1 i 2 3 2 2 3 cos isin 12 12 12 12 24 24 12 224 2 2 3 cos 24. isin 24. 2 2 3 224 2 3 . 12 12 12 2 3 2 2 z1 z2 Câu 39. [2D4-1.6-3] Với z1 , z2 là hai số phức bất kỳ, giá trị của biểu thức a 2 2 bằng z1 z2 z1 z2 1 3 A. .aB. 2 a . C. .a 1 D. . a 2 2 Lời giải Đáp án B Gọi z1 a1 b1i , z2 a2 b2i 2 2 2 2 2 2 * Ta có z1 z2 a1 b1 a2 b2 ; 2 2 2 2 2 2 2 z1 z2 a1 a2 b1 b2 = a1 2a1a2 a2 b1 2b1b2 b2 2 2 2 2 2 2 2 z1 z2 a1 a2 b1 b2 = a1 2a1a2 a2 b1 2b1b2 b2 2 2 2 2 2 2 * Suy ra z1 z2 z1 z2 2 a1 b1 a2 b2 1 Vậy biểu thức a 2 i m 1 Câu 40. [2D4-1.6-3] Cho số phức z . Với giá trị nào sau đây của m thì z i . 1 m m 2i 4 1 1 1 A. .0B . m m . C. . 15D. .m 15 15 m 0 15 15 15 Lời giải Đáp án B i m i m 1 m i z . 1 m m 2i m i 2 m i m2 1 1 m m2 1 m2 m4 1 z i 2 2 i 2 2 4 m 1 m 1 4 m2 1 m2 1 16 2 1 1 1 16 m4 m2 m2 1 15m4 14m2 1 0 0 m2 m 15 15 15
  14. Câu 41. [2D4-1.6-3] Với các số phức z, z1, z2 tùy ý, khẳng định nào sau đây sai? 2 A. z.z z . B. z1.z2 z1 . z2 . C. z1 z2 z1 z2 . D. z z . Lời giải Đáp án C Gọi z a bi, a,b ¡ , ta có: z a bi, z.z a bi a bi a2 b2 z 2 . Suy ra phương án A đúng. Gọi z1 a bi, z2 c di , ta có : z1.z2 a bi c di ac bd ad bc i , 2 2 2 2 2 2 z1.z2 ac bc ad bc i ac bc ad bc ac bc ad bc = 2 2 2 2 a b . c d z1 . z1 . Suy ra phương án B đúng. Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng phức. lúc đó :     1 2 z1 z2 OM ON OM ON z1 z2 . Suy ra phương án C sai. 2 Gọi z a bi, a,b ¡ , ta có: z a2 b2 a2 b z . Suy ra phương án D đúng. z 2 Câu 42. [2D4-1.6-3] Tìm phần thực của số phức z biết: z 10 . z A. . B5. 5 . C. . 10 D. . 10 Lời giải Đáp án B z 2 Ta có z 10 , điều kiện z 0 z Đặt z a bi a,b R . Khi đó z 2 z 10 z2 10z z 2 0 a2 b2 2abi 10 a bi a2 b2 0 z a 0 a 0 Loai 2 2a 10a 0 a 5 b 0 . 2ab 10b 0 b 0 a 5 a 5 b 0 Vậy z 5 0.i suy ra phần thực của số phức z là 5. Câu 43. [2D4-1.6-3] Cho số phức z bất kỳ, xét các số phức z2 z , 2  z.z i z z . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ,  là các số thực. B. là số ảo,  là số thực. C. ,  là các số ảo. D. là số thực,  là số ảo. Lời giải Đáp án A Gọi z x yi, x, y ¡ . z2 z 2 x yi 2 x yi 2 2 x2 y2 .  z.z i z z x yi x yi i x yi x yi x2 y2 i 2yi x2 y2 .
  15. z 1 1 iz Câu 44. [2D4-1.6-4] Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn phương trình i. Tính 1 z z a2 b2. A. 3 2 2. B. 2 2 2. C. 3 2 2. D. .4 Lời giải: Đáp án A z 1 1 iz z 1 1 iz z z 1 1 iz z Ta có i i i ,1 . 1 2 z z.z 1 z 1 z Điều kiện : z 2 1 0 a2 b2 1 . 1 1 iz z i z 1 z i z 2 i z 1 a bi i a2 b2 a2 b2 1 i a a2 b2 b i a2 b2 1 i a 0 a 0 2 2 2 2 2 a b b a b 1 b b b 1, 2 b 1 2 Với b 0 suy ra 2 b2 2b 1 0 b 1 2 . b 1 2 Với b 0 suy ra 2 b2 1 loại vì a2 b2 1 . 2 Vậy a2 b2 1 2 3 2 2 . CHUYÊN ĐỀ 2. Phương trình bậc hai hệ số thực DẠNG 1. Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai Câu 45. [2D4-2.1-3]Tìm hai số phức z1 , z2 biết tổng của chúng là 2 và tích của chúng bẳng 5 (số phức z1 có phần ảo âm). A. z1 1 2i; z2 1 2i . B. z1 1 2i; z2 1 2i . C. z1 1 2i; z2 1 2i . D. .z1 1 2i; z2 1 2i Lời giải Đáp án C z1 z2 2 2 Ta có z1; z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 z1z2 5 z 1 2 4 4i2 z 1 2i. Mà z1 có phần ảo âm nên z1 1 2i, z2 1 2i. 2 Câu 46. [2D4-2.1-3] Gọi z1 ,z2 là các nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Tính giá trị biểu thức 2017 2017 P (z1 1) (z2 1) . A. .P 0 B. .C. P 2 P 21009 . D. .P 21008 Lời giải Đáp án C Ta có z1 2 i, z2 2 i . Do đó
  16. P (1 i )2017 (1 i)2017 (1 i)2016(1 i) (1 i)2016(1 i) ((1 i)2 )1008(1 i) ((1 i)2 )1008(1 i) ( 2 )1008 i1008(1 i) 21008 i1008(1 i) . 21008 i1008 21008 i1008 i 21008 i1008 21008 i1008 i 252 21009 i4 21009. 2 2017 2017 Câu 47. [2D4-2.1-3] Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 2 0 . Tính z1 z2 . A. 21009 . B. . 21009 i C. . 21009 i D. . 21009 Lời giải Đáp án A 2 Giải phương trình z 2z 2 0 ta được z1 1 i, z2 1 i . 252 1 i 2017 1 i 2016 1 i 2i 1008 1 i 21008 i4 1 i 21008 1 i 252 1 i 2017 1 i 2016 1 i 2i 1008 1 i 21008 i4 1 i 21008 1 i 2017 2017 1009 Do đó z1 z2 2 . DẠNG 3. Tìm nghiệm phức của phương trình bậc cao Câu 48. [2D4-2.3-2]Số nghiệm của phương trình z4 2z2 3 0 trên tập hợp số phức là A. 1. B. 2 . C. 4 . D. .0 Lời giải Đáp án C z2 1 z 1 Giải PT z4 2z2 3 0 . Vậy PT có 4 nghiệm 2 z 3 z 3i 2 Câu 49. [2D4-2.3-2] Gọi z1, z2 , z3 là ba nghiệm phức của phương trình (z 1)z (3z 2)(z 1) ,0 giá trị 3 3 3 của tổng z1 z2 z3 là: A. .1 2 2 B. .C. 2 2 1 4 2 . D. 4 2 Lời giải Đáp án C Ta có (x2 1)x (3x 2)(x 1) 0 (x 1)(x2 x 3x 2) 0 x 1 (x 1)(x2 2x 2) 0 x 1 i Vậy z3 z3 z3 1 2 2 2 2 1 4 2 ( Sử dụng máy 1 2 3 x 1 i tính bấm). Câu 50. [2D4-2.3-2] Cho số phức z thỏa mãn z3 4z 0 . Khi đó, A. . z 1;2 B. .C. z 0 z 0;2 . D. .z 0;1 Lời giải Đáp án C z 0 z 0 z 0 z3 4z 0 z z2 4 0 z 2i z 2 Ta có 2 z 4 0 z 2i z 2 Do đó, z 0;2 . 4 2 Câu 51. [2D4-2.3-2] Gọi z1 ,z2 ,z3 ,z4 là các nghiệm phức của phương trình 2z 3z 2 0 . Tính tổng S z1 z2 z3 z4 .
  17. A. .SB. 2 S 3 2 . C. .S 5 D. . S 5 2 Lời giải Đáp án B z 2 2 z 2 z 2 Phương trình 1 . 2 1 z i z 2 2 1 z i 2 1 1 Nên S 2 2 i i 3 2 . 2 2 Câu 52. [2D4-2.3-2] Giả sử số phức z 1 i i2 i3 i4 i5 i99 i100 i101 . Lúc đó tổng phần thực và phần ảo của z là: A. .2 B. .C . 1 0 . D. .1 Lời giải. Đáp án C Nhận xét: tổng 4 số hạng liên tiếp i4m 2 i4m 3 i4m 4 i4m 5 1 i 1 i 0 nên z 1 i . Câu 53. [2D4-2.3-2] Gọi S là tập hợp các nghiệm của phương trình z4 z2 6 0 trên tập số phức. Tìm S . A. .S  2; 2 B. . S  3;2 C. .SD.  3; 2; 3; 2 S  i 3;i 3; 2; 2 . Lời giải. Đáp án D Xét phương trình z4 z2 6 0 . 2 2 2 t 2 z 2 z 2 Đặt z t . Phương trình đã cho trở thành t t 6 0 . t 3 2 z 3 z i 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  i 3;i 3; 2; 2 . Câu 54. [2D4-2.3-2] Giải phương trình iz 1 z 3i z 2 3i 0 trên tập số phức. z i z i z i z 2i A. z 3i . B. z 3i . C. z 3i . D. z 3i . z 2 3i z 2 3i z 2 3i z 2 3i Lời giải Đáp án A iz 1 0 z i Ta có iz 1 z 3i z 2 3i 0 z 3i 0 z 3i . z 2 3i 0 z 2 3i n Câu 55. [2D4-2.3-2] Cho số phức z 1 i , biết n ¥ và thỏa mãn log4 n 3 log4 n 9 3 . Tìm phần thực của số phức z . A. a 7. B. Ca. 0. a 8. D. a 8. Lời giải Đáp án C 3 2 n 7 Đk: n 3 pt n 3 n 9 4 n 6n 91 0 n 7. n 13 z i 1 7 8 8i. Phần thực của z là 8 .
  18. Câu 56. [2D4-2.3-2] Số phức z nào sau đây không là nghiệm của phương trình z4 z2 6 0 ? A. 2. B. 3i. C. D . 2. 3. Lời giải Đáp án D 2 2 t 2 Cách 1: Đặt t z , ta được t t 6 0 . t 3 z2 2 z 2 Suy ra: 2 z 3 z 3i Đối chiếu các đáp án, suy ra 3 không là nghiệm của phương trình. Cách 2:  Bấm w2  Nhập vào màn hình z4 z2 6  Bấm r, thay lần lượt các đáp án. Đáp án nào hiển thị kết quả khác 0 thì ta chọn đáp án đó. 3 Câu 57. [2D4-2.3-2] Cho hai số phức z1 = 4 - 3i + (1- i) và z2 = 7 + i . Phần thực của số phức w = 2z1z2 bằng: A. .9B. .C. 2 18 .D. . - 74 Lời giải Đáp án C 2 3 Ta có z1 = 4 - 3i + (1- 3i + 3i - i )= 4 - 3i + (1- 3i - 3+ i)= 2- 5i . Suy ra z1.z2 = (2 + 5i)(7 + i)= 9 + 37i ¾ ¾® z1.z2 = 9- 37i. Do đó w = 2(9- 37i)= 18- 74i . Câu 58. [2D4-2.3-3] Trong £ , tìm tập nghiệm của phương trình z3 8 0. A.  2; 1B. i 3. C. 2;1 D.i 3 . 2; 1 i 3. {2}. Đáp án C z 2 0 z 2 z3 8 0 z3 23 0 (z 2) z2 2z 4 0 2 z 2z 4 0 z 1 3i Câu 59. [2D4-2.3-3] Gọi z1, z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình sau trên £ 2 2 2 2 2 2 z 2z 2 z 2z 3 . Tổng z1 z2 z3 z4 bằng: A. 4 . B.4 4 2i . C. 4 4 2 4 2i D. . 4 4 2i Lời giải Đáp án A z2 2z 2 z2 2z 3(1) Đặt t z2 2z t 1 z2 2z 1 z 1 2 (1) t 2 t 3 . 2 t 3 z 2z 3 z 1 2i Câu 60. [2D4-2.3-3] Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa điều kiện z 2 z 2i 1 là số thực: 8 4 8 4 8 4 8 4 A. z i B. z i . C. .zD. i z i . 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải Đáp án D Gọi z x yi Ta có: z 2 z 2i 1 x yi 2 x yi 2i 1 x 2 x 1 y 2 y x 2 2 y x 1 y i
  19. * z 2 z 2i 1 là số thực khi và chỉ khi x 2 2 y x 1 y 0 2x 4 y 0 y 4 2x 2 2 2 2 2 2 8 16 4 5 * z x y x 4 2x 5x 16x 16 5 x 5 5 5 4 5 8 4 8 4 z x y z i . min 5 5 5 5 5 Câu 61. [2D4-2.3-3] Trên tập số phức, tính tổng các bình phương môđun các nghiệm của phương trình x2 3 2x4 3x2 1 0. A. 9. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải Đáp án A x2 3 0 Ta có: x2 3 2x4 3x2 1 0 4 2 2x 3x 1 0 2 2 2 ) x 3 0 x1,2 3 x1 x2 6. 2 x 1 x3,4 i 2 2 2 2 1 1 ) 2x4 3x2 1 0 x x x x 1 1 3. 2 1 2 3 4 5 6 x x i 2 2 2 5,6 2 Vậy tổng các bình phương môđun của 6 nghiệm là 3 6 9. 4 z 1 Câu 62. [2D4-2.3-3] Gọi z1, z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình 1 . Tính giá trị của 2z i 2 2 2 2 biểu thức P z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 . 1 15 17 A. . B. C. . . D. 425. 2 9 9 Lời giải. Đáp án C 4 z 1 4 4 4 4 Ta có 1 z 1 2z i 2z i z 1 0. 2z i 4 4 Đặt f z 2z i z 1  f z 15 z z1 z z2 z z3 z z4 . 2 2 2 2 2 f i f i 5 85 17 Do z1 1 z1 i z1 i nên z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 . . . 15 15 15 15 9 æ2 + 6i öm Câu 63. [2D4-2.3-3] Cho số phức z = ç ÷ với m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m Î [1;50] để z là số èç 3- i ø÷ thuần ảo? A. B24. . 25. C. 26. D. .50 Lời giải Đáp án B m 2 + 6i æ2 + 6i ö m m Ta có = 2i ¾ ¾® z = ç ÷ = 2 .i . 3- i èç 3- i ø÷ ● 2m Î ¡ với mọi m nguyên dương. ● i m Î ¡ khi m chẵn, i m Ï ¡ khi m lẻ. Mà đoạn [1;50] có 25 giá trị nguyên lẻ. Câu 64. [2D4-2.4-3] Trong £ , cho phương trình z3 az2 bz c 0 (a,b,c ¡ ) có nghiệm là 1 và 2 i . Tìm c.
  20. A. c 5. B. c 3.C. cD. 3 . c 5. Đáp án A Phương trình z3 az2 bz c 0 có nghiệm là 1 và 2 i 1 a b c 0 a b c 1 3 2 (2 i) a(2 i) b(2 i) c 0 2 11i a(3 4i) b(2 i) c 0 a b c 1 a 5 a b c 1 3a 2b c 2 b 9 . (2 3a 2b c) ( 11 4a b)i 0 4a b 11 c 5 1 Câu 65. [2D4-2.4-3] Tính môđun của số phức z biết z ¹ z và có phần thực bằng 4. z - z 1 1 1 A. Bz .= . z = . C. z = . D. z = 4. 16 8 4 Lời giải Đáp án B Giả sử z = a + bi (a, b Î ¡ ) . 1 1 a2 + b2 - a + bi a2 + b2 - a b Ta có = = = + i. 2 2 2 2 2 z - z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b - a - bi ( a + b - a) + b ( a + b - a) + b ( a + b - a) + b 1 a2 + b2 - a Theo giả thiết: có phần thực bằng 4 nên 2 = 4 z - z 2 2 2 ( a + b - a) + b a2 + b2 - a a2 + b2 - a Û = 4 Û = 4 2(a2 + b2 )- 2a a2 + b2 2 a2 + b2 ( a2 + b2 - a) 1 1 1 Û = 4 Û a2 + b2 = ¾ ¾® z = . 2 a2 + b2 8 8 Cách 2. Nếu z = a + bi thì z + z = 2a . 1 1 1 Áp dụng: có phần thực bằng 4 ¾ ¾® + = 8 z - z z - z z - z 1 1 2 z - z - z 2 z - z - z « + = 8 « 2 = 8 « 2 2 = 8 z - z z - z z - z (z + z )+ z.z z - z (z + z )+ z 2 z - z - z 2 z - z - z 1 1 « 2 = 8 « = 8 « = 8 « z = . 2 z - z (z + z ) z (2 z - z - z ) z 8 2 Câu 66. [2D4-2.4-3]Biết z1 2 i là một nghiệm phức của phương trình z bz c 0 (b, c ¡ ) , gọi nghiệm còn lại là z2 . Tìm số phức w bz1 cz2 A. .w 18 i B. . wC. .1D8. i w 2 9i w 2 9i . Lời giải Đáp án D 2 Do z1 2 i là một nghiệm phức của phương trình z bz c 0 (b, c ¡ ) nên z2 2 i và 2 3 2b c 0 c 5 2 i b 2 i c 0 3 2b c (4 b)i 0 4 b 0 b 4 Do đó: w bz1 cz2 4 2 i 5 2 i 2 9i Câu 67. [2D4-2.4-3]Tìm số phức z thỏa mãn điểu kiện z 5 và phần thực nhỏ hơn phần ảo 3 đơn vị. A. .z 1 4i, z 2 5i B. . z 1 2i, z 2 i C. .zD . 4 i, z 5 2i z 2 i, z 1 2i . Lời giải Đáp án D
  21. Giả sử z a bi a, b ¡ z a2 b2 5 a2 b2 5. 2 2 2 a 1 Bài ra ta có b a 3 b a 3 a a 3 5 2a 6a 4 0 a 2 + Với a 1 b 2 z 1 2i. + Với a 2 b 1 z 2 i. Câu 68. [2D4-2.4-3] Cho hai số thực b và c c 0 . Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z2 2bz c 0. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông. A. c 2b2. B. b2 c. C. b c. D. b2 2c. Lời giải Đáp án A z1 z2 2b Theo định lí Viet, ta có z1.z2 c 2 2 2 2 2 2 Tam giác OAB vuông tại O nên OA OB AB z1 z2 z1 z2 z z 2 z z 2 1 2 1 2 z z 2 z z 2 z z 2 z z 2 z z 2 4z z 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 b2 b2 c 4b2 4b2 4c c 2b2 0 . 2 2 b c b z 1 z i 1 1? Câu 69. [2D4-2.4-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa i z và 2 z A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4. Lời giải Đáp án A z x yi Xét số phức z thỏa mãn x, y ¡ . z i; z 2 z 1 3 1 x i z z 1 i z x y 2 3 3 Ta có z i. z i z i 2 z 4x 2y 3 3 2 2 1 y 2 z 2 Vậy có 1 số phức thỏa điều kiện đề bài. Câu 70. [2D4-2.4-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z i 2 và z2 là số thuần ảo: A.3. B.C1 4. D. 2. Lời giải Đáp án C Gọi z a bi z i a b 1 i, z2 a2 b2 2abi Để z i 2 và z2 là số thuần ảo a b 1 3 2 2 2 2 a b a b 1 2 a a 1 2 2 a2 b2 0 a b 1 3 a b 2 2 2 a a 1 2 Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu đề bài.
  22. Câu 71. [2D4-2.4-4] Cho phương trình 4z 4 + mz 2 + 4 = 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z1, z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để 2 2 2 2 (z1 + 4)(z2 + 4)(z3 + 4)(z4 + 4)= 324 . A. mhoặc= 1 m = . - 35 B. hoặc m = - 1 . m = - 35 C. m = - 1 hoặc m = 35 . D. mhoặc= 1 m . = 35 Lời giải Đáp án C 2 2 Đặt t = z , phương trình trở thành 4t + mt + 4 = 0 có hai nghiệm t1, t2 . ì ï m ï t1 + t2 = - 2 2 2 2 Ta có í 4 . Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có z1 = z2 = t1 , z3 = z4 = t2 . ï îï t1.t2 = 1 2 Û + 2 + 2 = Û é + + + ù = Yêu cầu bài toán (t1 4) (t2 4) 324 ët1t2 4(t1 t2 ) 16û 324 2 é- m + 17 = 18 ém = - 1 Û - m + 17 = 182 Û ê Û ê . ( ) ê ê ë- m + 17 = - 18 ëm = 35 Cách 2. Đặt f (z)= 4(z - z1 )(z - z2 )(z - z3 )(z - z4 ) . 2 2 2 2 2 f (2i) f (- 2i) Do z1 + 4 = (z1 + 2i)(z1 - 2i) nên (z1 + 4)(z2 + 4)(z3 + 4)(z4 + 4)= . .(*) 4 4 4 2 Mà f (2i)= f (- 2i)= 4(2i) + m(2i) + 4 = 68- 4m . 2 (68- 4m) ém = - 1 Vậy * Û 324 = Û ê . ( ) ê 4.4 ëm = 35 CHUYÊN ĐỀ 3. Tập hợp điểm DẠNG 1. Biểu diễn một số phức Câu 72. [2D4-3.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z 2 z 2 8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là? x2 y2 x2 y2 A. E : 1. B. . E : 1 16 12 12 16 C. . C : x 2 2 y D.2 . 2 64 C : x 2 2 y 2 2 8 Lời giải Đáp án A 2 2 2 2 Gọi M x; y , F1( 2;0) , F2 (2;0) . Ta có z 2 z 2 8 x (y 2) x (y 2) 8 MF1 MF2 8 . Do đó điểm M x; y nằm trên elip E có 2a 8 a 4, ta có 2 2 2 F1F2 2c 4 2c c 2. Ta có b a c 16 4 12. Vậy tập hợp các điểm M là elip x2 y2 E : 1. 16 12 2 Câu 73. [2D4-3.1-3] Kí hiệu z1, z2 là các nghiệm của phức của phương trình z 4z 5 0 và A, B lần lượt · là các điểm biểu diễn của z1, z2 . Tính cos AOB 3 2 4 A. . B. . C. . 1 D. . 5 3 5 Lời giải Đáp án A 2 z1 2 i Phương trình z 4z 5 0 có hai nghiệm phức là: z2 2 i Vậy tọa độ hai điểm biểu diễn z1; z2 là : A 2;1 ; B 2; 1   OA.OB 2.2 1.1 3 Ta có: cos·AOB   OA . OB 5. 5 5
  23. 2 6i Câu 74. [2D4-3.1-3] Cho ba số phức z 1 2i , z 1 i 1 2i và z . Gọi A , B , C lần lượt là 1 2 3 3 i các điểm biểu diễn của 3 số phức đó. Tính diện tích S của tam giác ABC . 1 5 1 2 A. .S B. S .C. S . D. .S 3 6 2 2 Lời giải Đáp án C Ta có: 2 6i z 1 2i A 1;2 , z 1 i 1 2i 3 i B 3;1 và z 2i C 0;2 . 1 2 3 3 i   4.1 1 .0 4 Khi đó: AB 4; 1 và AC 1;0 .cos B· AC 42 1 2 . 12 02 17 1 sin B· AC 1 cos2 B· AC 4 1 1 1 1 Nên S AB.AC.sin·BAC . 17.1. . 2 2 17 2 1 Câu 75. [2D4-3.1-3] Cho số phức z có điểm biểu diễn là M . Biết rằng số phức w được biểu diễn bởi z một trong bốn điểm P , Q , R , S như hình vẽ bên. Hỏi điểm biểu diễn của w là điểm nào? A. .SB. Q . C. .P D. . R Lời giải Đáp án B Cách 1: (Trắc nghiệm) . 1 Ta có: z a bi theo hình vẽ có a 1 , 0 b 1 nên ta chọn z 1 i . 2 1 4 2 Suy ra: w i có điểm biểu diễn chính là điểm Q . z 5 5 Cách 2: (Tự luận) Ta có: z a bi theo hình vẽ có a 1 , 0 b 1 . 1 1 a b Ta có:w i có phần thực dương bé hơn 1 , phần ảo âm lớn hơn 1 nên z a bi a2 b2 a2 b2 ta chọn điểm Q là điểm biểu diễn số phức w . Câu 76. [2D4-3.1-4] Cho z có điểm biểu diễn là M và w 2z a bi a,b ¡ có điểm biểu diễn là N (hình vẽ bên) .
  24. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 0 , b 0 . B. a 0 , b 0 . C. a 0 , b 0 . D. a 0 , b 0 . Lời giải Đáp án B Gọi z x yi x 0, y 0 . Ta có w 2z a bi 2 x yi a bi 2x a 2y b . Suy ra M x; y ; N 2x a;2y b .   Theo hình vẽ ON kOM , với 1 k 2 . 2x a kx a k 2 x 0 . 2y b ky b k 2 y 0 DẠNG 2. Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng Câu 77. [2D4-3.2-3] Cho các số phức z thỏa mãn z - 1 = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (1+ 3i)z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. Br .= 2. r = 4. C. r = 8. D. r = 16. Lời giải. Đáp án B w - 2 w - 3- 3i Từ w = (1+ 3i)z + 2 ¾ ¾® z = ¾ ¾® z - 1 = . 1+ 3i 1+ 3i w - 3- 3i w - 3- 3i w - 3- 3i Suy ra z - 1 = = ¬ ¾® 2 = ¬ ¾® w - 3- 3i = 4. 1+ 3i 1+ 3i 2 Cách 2. (Nên làm theo cách này nhanh hơn) Ta có w = (1+ 3i)z + 2¬ ¾® w = (1+ 3i)(z - 1)+ 3+ 3i ¬ ¾® w - (3+ 3i)= (1+ 3i)(z - 1). Lấy môđun hai vế, ta được w - (3+ 3i) = 1+ 3i . z - 1 = 2.2 = 4 . 14424443 { 2 2 DẠNG 3. Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn, hình tròn Câu 78. [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn z 1 2;w (1 3i)z 2 . Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn, tính bán kính đường tròn đó A. .R 3 B. .C. R 2 R 4 . D. .R 5 Lời giải Đáp án C w (1 3i)z 2 w 3 3i (1 3i) z 1 w 3 3i 1 3i z 1 1 3i z 1 4 Do đó, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn có bán kính bằng 4. Câu 79. [2D4-3.3-3] Cho số phức z có z 4 . Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w z 3i là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
  25. 4 A. 4 . B. . C. . 3 D. . 4 2 3 Lời giải Đáp án A Theo giả thiết ta có : w 3i z w 3i z . Do đó : w 3i 4 . Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức w là đường tròn có bán kính bằng 4 . Câu 80. [2D4-3.3-3] Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức thoả mãn điều kiện 2 z i z là số thực. A. Đường thẳng x y 2 0 . 1 5 B. Đường tròn tâm I 1; , bán kính R . 2 2 C. Đường tròn x2 y2 2x y 0 . D. Đường thẳng x 2y 2 0 . Lời giải Đáp án D Đặt z x yi x, y ¡ được biểu diễn bởi điểm M x;y trong mặt phẳng Oxy z x yi . 2 z i z 2 x yi i x yi x2 y2 y 2x x 2y 2 i Để 2 z i z là số thực thì x 2y 2 0 Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng x 2y 2 0 . Câu 81. [2D4-3.3-3] Tập hợp các số phức w 1 i z 1 với z là số phức thỏa mãn z 1 1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó. A. 4 . B. 2 . C. .3 D. . Lời giải. Đáp án B Gọi w x yi; x; y R . w 1 Ta có w 1 i z 1 z . 1 i w 1 w 2 i x 2 y 1 i Do đó z 1 1 1 1 1 1 1 i 1 i 1 i x 2 y 1 i 2 2 1 x 2 y 1 2 . 1 i Vậy diện tích hình tròn đó là S R2 2 . Câu 82. [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức w 3 2i 2 i z là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó. A.B3. 2. 3 5. C.3 3. D.3 7. Lời giải Đáp án B Đặt w x iy; x, y ¡ w 3 2i x iy 3 2i w 3 2i 2 i z z 2 i 2 i Thay vào z 3 ta được : 2 2 x iy 3 2i x 3 y 2 3 3 2 i 22 1
  26. x 3 2 y 2 2 45 Vậy R 3 5. Câu 83. [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w (3 4i)z 1 2i là đường tròn tâm I , bán kính R . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó A. .I 1B.;2 .; R C.5 D. I 1; 2 ; R 5 I 1;2 ; R 5 I 1;2 ; R 5. Lời giải Đáp án D w 1 2i Ta có w (3 4i)z 1 2i z . 3 4i w 1 2i w 1 2i z w 1 2i 5 . 3 4i 3 4i Vậy tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R 5 . Câu 84. [2D4-3.3-3] Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z m 1 3i 4 . Tìm tất cả các số thực m sao cho tập hợp các điểm M là đường tròn tiếp xúc với trục Oy . A. .m 5 B. .C. m 3 m 5; m 3 . D. .m 5; m 3 Lời giải Đáp án C Đặt z x yi , x, y ¡ . Khi đó z m 1 3i 4 x yi m 1 3i 4 2 x m 1 y 3 i 4 x m 1 2 y 3 4 2 x m 1 2 y 3 16 . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức zlà đường tròn tâm I 1 m; 3 và bán kính 1 m 4 m 3 R 4 . Để đường tròn này tiếp xúc với trục Oy thì 1 m 4 1 m 4 m 5 Vậy m 5; m 3 . Câu 85. [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 2i là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng 5 5 A. .5B . . C. . D. . 25 4 2 Lời giải. Đáp án B Đặt z x yi x, y ¡ , ta có: x yi 1 x yi 2i x2 y2 2y x 2x y 2 i Do z 1 z 2i là một số thuần ảo nên có phần thực bằng 0 hay x2 y2 2y x 0 2 1 2 5 5 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn x y 1 có bán kính . 2 4 2 2 5 5 Do đó, diện tích hình tròn là . 2 4 Câu 86. [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn z i 1 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z 2i là đường tròn. Tâm của đường tròn đó là:
  27. A. I 0; 3 . B. .I 0;3 C. . I 0;1 D. . I 0; 1 Lời giải. Đáp án A Đặt z x yi x, y ¡ . Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z . 2 2 Ta có: z i 1 x yi i 1 x y 1 1 x2 y 1 1 x2 y 1 1. Đây là phương trình đường tròn có tâm I 0; 1 . w z 2i x y 2 i biến mỗi điểm M x; y thành M x; y 2 . Lúc đó tâm I 0; 1 thành I 0; 3 . Câu 87. [2D4-3.3-3] Cho các số phức z thỏa mãn z 1 3 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w với 3 2i w iz 2 là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó. 8 1 3 A. I ; , r . B. I 2;3 , r 13. 13 13 13 4 7 3 2 1 C. I ; , r . D. I ; , r 3. 13 13 13 3 2 Lời giải. Đáp án C i 2 2 3 6 4 Ta có 3 2i w iz 2 w z w i z i 3 2i 3 2i 13 13 13 13 2 3 4 7 4 7 2 3 w i z 1 i w i i z 1 . 13 13 13 13 13 13 13 13 4 7 2 3 3 Lấy môđun, hai vế ta được w i i . z 1 . 13 13 13 13  13  3 1 13 4 7 3 Vậy tập hợp các số phức w thuộc đường tròn tâm I ; , bán kính r . 13 13 13 Nhận xét. Bài này có rất nhiều cách giải tự luận nhưng cách này là tối ưu nhất. Quý thầy cô nên nghiên cứu kỹ phương pháp giải này để truyền đạt cho học sinh. 2 Câu 88. [2D4-3.3-3] Cho các số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 4z2 16 20i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức  là một đường tròn C , trong đó  thỏa mãn phương trình 2  z1 z2  0 * và phương trình * có hai nghiệm ,  thỏa  2 7 . Bán kính r của C bằng: A. 7 . B. 7 C. 2 . D. 2 . Lời giải Đáp án B  z1 2 2 Xét phương trình * , ta có    4   z2  2 2 z1 4 z2  z1 4z2 4 16 20i 4 . Theo đề thì  2 7  2 28 16 20i 4 28 4 5i  7 hay  4 5i 7 .
  28. Câu 89. [2D4-3.3-3] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3i 2 10 là A. Đường thẳng 2x 3y 100 . B. Đường thẳng 3x 2y 100 . 2 2 C. Đường tròn x 3 y 2 100 .D. Đường tròn x 2 2 y 3 2 100 . Lời giải Đáp án D Giả sử: z x yi x; y ¡ . x yi 3i 2 10 x 2 y 3 i 10 . 2 2 x 2 y 3 10 x 2 2 y 3 2 100 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường tròn x 2 2 y 3 2 100. Câu 90. [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 và w 2z 1 i . Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I , bán kính R là A. I 7; 9 , R 4 . B. .I 7; C.9 ,. R 16D. . I 7;9 , R 4 I 7;9 , R 16 Lời giải Đáp án A w 1 i Từ giả thiết w 2z 1 i z , thế z vào đẳng thức z 3 4i 2 , ta được: 2 w 1 i w 7 9i 3 4i 2 2 w 7 9i 4 . 2 2 Giả sử w x yi x, y R và M là điểm biểu diễn cho w trong mặt phẳng phức M x; y . 2 2 w 7 9i 4 x 7 y 9 4 x 7 2 y 9 2 16. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 7; 9 , bán kính R 4 . Câu 91. [2D4-3.3-4] Cho các số phức z thỏa mãn z = m2 + 2m + 5 , với m là tham số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3- 4i)z - 2 i là một đường tròn. Bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó bằng: A. 4 . B. 5 . C. 20 . D. .22 Lời giải Đáp án C Gọi w = x + yi . x + (y + 2)i 3x - 4 y - 8 4x + 3y + 6 Từ giả thiết, ta có x + yi = (3- 4i)z - 2i ¾ ¾® z = = + .i 3- 4i 25 25 2 2 (3x - 4 y - 8) + (4x + 3y + 6) ¾ ¾® z = . 25 2 2 Mà z = m2 + 2m + 5¬ ¾® (3x - 4 y - 8) + (4x + 3y + 6) = 252 (m2 + 2m + 25) 2 2 2 2 2 Û x 2 + y2 + 4 y + 4 = 25 é(m + 1) + 4ù Û x 2 + (y + 2) = 25 é(m + 1) + 4ù ³ 400 = 202. ëê ûú ëê ûú Dấu '' = '' xảy ra khi m = - 1 . Cách 2. Từ giả thiết, ta có w + 2i = (3- 4i)z . 2 Lấy môđun hai vế, ta được w + 2i = 3- 4i . z = 5. m2 + 2m + 5 = 5 é(m + 1) + 4ù³ 20. ( ) ëê ûú Câu 92. [2D4-3.3-4] Cho số phức z thỏa mãn z 4 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w 3 4i z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. .r 4 B. . r 5 C. .D. r 22 z 20 . Lời giải Đáp án D
  29. Gọi z a bi , vói a,b ¡ . Ta có z 4 a2 b2 4 a2 b2 16 1 Lúc đó w 3 4i z i 3 4i (a bi) i 3a 4b (4a 3b 1)i . 2 2 x 3a 4b x 3a 4b Giả sử w x yi , khi đó y 4a 3b 1 2 2 y 1 4a 3b x2 y 1 2 25(a2 b2 ) 400 x2 y 1 2 202 . Vậy r 20 . DẠNG 4. Tập hợp điểm biểu diễn là một miền Câu 93. [2D4-3.4-3] Cho số phức z x yi, x, y ¡ thỏa điều kiện nào của x, y sau đây để tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn C1 , C2 kể cả hai đường tròn C1 , C2 ? x2 y2 1 A. 1 x2 y2 2. B. . C. D1 . x2 y2 4. 1 x2 y2 4. 2 2 x y 2 Lời giải Đáp án D 2 2 Phương trình đường tròn (C1): x + y = 1 . 2 2 Phương trình đường tròn (C2 ): x + y = 4 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn (C1),(C2 ) kể cả hai 2 2 đường tròn (C1),(C2 ) nên ta chọn 1 x y 4. Câu 94. [2D4-3.4-3] Cho số phức z a bi , với a và b là hai số thực. Để điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy nằm hẳn bên trong hình tròn tâm O bán kính R 2 như hình bên thì điều kiện cần và đủ của a và b là 2 2 2 2 A. .aB. b 2 a b 4 . C. .a b 2 D. . a b 4 y Lời giải 2 Đáp án B Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phần bên trong hình tròn tâm O bán kính R 2 có dạng: x2 y2 4 mà điểm biểu diễn của z a bi là M a;b nằm bên trong đường tròn nên a2 b2 4 . 2 O 2 x DẠNG 5. Tập hợp điểm biểu diễn là một cônic 2 Câu 95. [2D4-3.5-4] Xét số phức z thỏa mãn 2 z 1 3 z i 2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 1 1 3 A. . z 2 B. . z 2C. .D. z z . 2 2 2 2 Lời giải Đáp án D Giả sử z x yi có điểm biểu diễn là M x; y . z 1có điểm biểu diễn A x 1; y . z i có điểm biểu diễn B x; y 1 . Tacó 2 z 1 3 z i 2 2 2 x 1 2 y2 3 x2 y 1 2 2 2 2OA 3OB 2AB (1) Mà 2OA 3OB 2OA 2OB OB 2AB OB (2) . x 0 Từ (1) và(2) suy ra 2AB OB 2AB OB 0 B  O . Khi đó z i z 1 y 1 DẠNG 6. Tập hợp điểm biểu diễn là tập hợp khác Câu 96. [2D4-3.6-3]Xác định tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z sao cho 2 z2 z
  30. A. .B .x ;0 , x ¡   x;0 , x ¡  0;y , y ¡ . C. . x; y , x y 0 D. .  0; y , y ¡  Lời giải Đáp án B Gọi z x yi; x, y ¡ z x yi 2 z2 z x yi 2 x yi 2 x2 y2 2xyi x2 y2 2xyi 4xyi 0 x 0 4xy 0 . y 0 Vậy tập hợp những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là  x;0 , x ¡  0;y , y ¡ . Câu 97. [2D4-3.6-3] Cho các số phức z1, z2 , z3 có biểu diễn trên mặt phẳng phức là ba đỉnh của tam giác đều 2 2 có phương trình đường tròn ngoại tiếp là (x + 2017) + (y - 2018) = 1. Tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z2 + z3 bằng: A. - 1. B. C. 1. 3. D. - 3. Lời giải Đáp án C Đường tròn đã cho có tâm I biểu diễn số phức z = - 2017 + 2018i . Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z , z . uur uur uuur uuur uur 1 2 3 Ta có OA + OB + OC = 3OG = 3OI (do tam giác ABC đều nên G º I ) . Suy ra z1 + z2 + z3 = 3(- 2017 + 2018i)= - 6051+ 6054i . Câu 98. [2D4-3.6-3] Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z i 5và z là2 số thuần ảo? A. .2 B. .C3. 4 . D. .0 Lời giải Đáp án C Đặt z x iy , x, y ¡ . 2 z i 5 x iy i 5 x2 y 1 5 x2 y 1 2 25 z2 là số thuần ảo hay x iy 2 là số thuần ảo x2 2ixy y2 là số thuần ảo x2 y2 0 x y 2 2 x2 y 1 25 x2 y 1 25 Vậy ta có hệ phương trình: hoặc x y x y 2 2 y2 y 1 25 y2 y 1 25 hoặc x y x y y2 y 12 0 y2 y 12 0 hoặc x y x y y 4 y 3 y 4 y 3 hoặc hoặc hoặc x 4 x 3 x 4 x 3 Vậy ta có 4 số phức thỏa mãn điều kiện trên. Câu 99. [2D4-3.6-3] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , tìm tập hợp T các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa z 10 và phần ảo của z bằng 6 . A. T là đường tròn tâm O bán kính R 10 .B. T  8;6 , 8;6  . C. T là đường tròn tâm O bán kính R 6 . D. T  6;8 , 6; 8  .
  31. Lời giải: Đáp án B Đặt T x yi, x, y ¡ ì ì 2 2 2 2 2 ï z = 10 ï x + y = 10 ïì x + y = 100 ïì x = 64 ïì x = ± 8 í Û í Û íï Û íï Û íï ï ï ï ï ï y = 6 îï Im(z)= 6 îï y = 6 îï y = 6 îï y = 6 îï T 8;6 hoặc T 8;6 . Câu 100. [2D4-3.6-3] Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn z1 z2 3 , z1 z2 1 . Tính z1 z2 z1z2 . A. .zB1 .z 2 z1z2 0 z1 z2 z1z2 1 . C. .z 1 z2 zD.1z2 . 2 z1 z2 z1z2 1 Lời giải Đáp án B 2 2 2 Ta có z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1z2 2 2 2 3 1 1 z1 z2 z1z2 z1 z2 z1z2 1. Câu 101. [2D4-3.6-3] Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ: i Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức w ? z Lời giải. Đáp án C Gọi z a bi;a,b ¡ . Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm ở góc phần tư thứ nhất nên a,b 0 . i i i a bi b a Ta có w i z a bi a2 b2 a2 b2 a2 b2 b 0 a2 b2 Do a,b 0 nên điểm biểu diễn số phức w nằm ở góc phần tư thứ hai. a 0 a2 b2 z z 1 Câu 102. [2D4-3.6-3] Gọi M là điểm biểu diễn số phức w , trong đó z là số phức thỏa mãn z2   1 i z 2i 2 i 3z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON 2 , trong đó
  32.    Ox,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ I . B. Góc phần tư thứ IV . C. Góc phần tư thứ III . D. Góc phần tư thứ II . Lời giải Đáp án C 2 i 2i 1 i 3 6 Ta có: 1 i z 2i 2 i 3z z i , 2 i 5 5 z z 1 11 56 w i . z2 15 45   Ta có: Ox,ON 2 2arg w 118O N ở góc phần tư thứ III . Câu 103. [2D4-3.6-3] Cho số phức z = a + bi (a,b Î ¡ ) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là điểm M nằm trên đường thẳng 3x - 4y + 5 = 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 . æ ö ç 3 4÷ B. M ç- ; ÷ là điểm biểu diễn số phức z mà có mô đun nhỏ nhất. èç 5 5ø÷ C. z + z có điểm biểu diễn trên 0x . 1 D. z có mô đun nhỏ nhất bằng . y 2 3x-4y+5=0 Lời giải Đáp án D Mô đun của số phức z là độ dài đoạn OM suy ra z có mô đun nhỏ nhất khi M 3.0 - 4.0 + 5 1 OM ^ d Û z = OM = d (O,d) = = 1 O x 9 + 16 Vậy mệnh đề D sai. Phần tự luận 1 1 æ ö æ ö 1 ç- 2x + 5÷ ç 7 ÷ Bài 1. I = ç ÷dx = ç- 2 + ÷dx = (- 2x + 7ln x + 1) = - 2 + 7ln 2 . òç x + 1 ÷ òç x + 1÷ 0 0 è ø 0 è ø éx = 0 Bài 2. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x 2 - x = - x 2 + 3x Û ê . êx = 2 ëê 2 8 Diện tích hình phẳng cần tìm là S = 2x 2 - 4x dx = . ò 3 0 uuur Bài 3:H Î d Þ H (6 - 4t;- 2 - t;- 1+ 2t ) Þ AH = (5 - 4t;- 3 - t;- 2 + 2t ) uuur uur AH ^ d Û AH.ud = 0 Û t = 1 Þ H (2;- 3;1). 2 - 3 - 1 1 Bài 4: Ta có = = ¹ Þ (a)/ / (b) . - 4 6 2 1 3 14 Chọn M (0;0;1)Î (a) . Khi đó d (a),(b) = d M ,(b) = ( ) ( ) 28 ì ï z - 3- 6i = 5 Câu 104. [2D4-3.6-3] Có bao nhiêu số phứcz thỏa mãn íï ? ï îï (1+ 2i)z - 1- 12i = 15 A. Không có.B. 1. C. 2. D. Vô số.
  33. Lời giải. Đáp án B Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , do M thỏa mãn phương trình z - 3- 6i = 5 nên M thuộc đường tròn tâm A(3;6) , bán kính R = 5 . 1+ 12i 15 Ta có (1+ 2i)z - 1- 12i = 15 Û z - = Û z - 5- 2i = 3 5 1+ 2i 1+ 2i ¾ ¾® M thuộc đường tròn tâm B(5;2) , bán kính R ' = 3 5 . 2 2 Nhận thấy AB = (5- 3) + (2- 6) = 2 5 = R '- R. Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong tại M , hay chỉ có một số phức z . Nhận xét. Bài toán không quá khó nhưng cách suy luận rất hay. Câu 105. [2D4-3.6-3] Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ 0xy sao cho 2z z 3 , và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H . 3 3 A. .3B. . C. . D. . 6 4 2 Lời giải Đáp án B Gọi z x yi, x, y ¡ . x2 y2 Ta có 2 x yi x yi 3 x2 9y2 3 x2 9y2 9 1 . 9 1 x2 y2 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong của Elip 1 . 9 1 1 Ta có a 3, b 1 , nên diện tích hình H cần tìm bằng diện tích Elip. 4 1 3 Vậy S . .a.b . 4 4 2 Câu 106. [2D4-3.6-3] Gọi Alần, B lượt, C là điểm biểu diễn của các số phức z1 1 i, z2 1 i , 2 z3 a i a ¡ . Biết tam giác ABC vuông tại B . Tính P a 2a . A. .P 3 B. . P 18 C. .D. P 9 P 15. Lời giải Đáp án D Ta có: z 1 i A 1;1 , z 1 i 2 2i B 0;2 , z a i C a; 1 .  1  2 3 AB 1;1 , BC a; 3     Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB 1;1  BC a; 3 AB.BC a 3 0 a 3 Vậy P a2 2a 9 6 15. Câu 107. [2D4-3.6-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: vàz 2 2 2 i z 2 có phần ảo bằng 2 ? A. .3B. 2 . C. .1 D. . 4 Lời giải Đáp án B Đặt z x yi x, y ¡ z x yi . Ta có z 2 2 x 2 2 y2 4 x2 y2 4x 0 1 .
  34. Lại có 2 i z 2 2 i x yi 2 2x 2yi 4 xi y 2i 2x y 4 x 2y 2 i có phần ảo bằng 2 nên x 2y 0 x 2y 2 . Thay 2 vào 1 ta được: y 0 x 0 4y2 y2 8y 0 8 16 . Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán. y x 5 5 2 2 Câu 108. [2D4-3.6-4] Cho z1, z2 là hai số phức khác 0 thỏa z1 2z1z2 2z2 0 . Biết z1, z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M ,N . Tính góc O· MN A. .3 0o B. . 45o C. . 60o D. . 90o Lời giải Đáp án B 2 z 1 i z 2 2 z1 z1 1 2 z1 2z1z2 2z2 0 2 2 0 z z 2 2 z1 1 i z2 Gọi z1 a bi , z2 c di a,b,c,d R z1 ac bd bc ad ac bd 2 2 2 Ta có 2 2 2 2 i 1 i 2 2 1 ac bd c d z2 z2 c d c d c d z z Ta có 1 1 i 1 2 z z  2  2 OM a,b , NM a c,b d   a2 b2 ac bd cos O· MN cos OM , NM a2 b2 . a2 b2 c2 d 2 2 ac bd 2 2 2 z z z 1 1 2 2 2 2 2 z z 2 z1 z1 z2 2 2 Suy ra O· MN 45o . z 2i Câu 109. [2D4-3.6-4] Xét tập A gồm các số phức z thỏa là số thuần ảo và các giá trị m,n thỏa chỉ có z 2 duy nhất số phức z A thỏa z m ni 2 . Đặt M max m n , N min m n thì giá trị của tổng M N là: A. . 2 B. . 4 C. .D. 2 4 . Lời giải Đáp án D Đặt z x yi x, y ¡ z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i là số thuần ảo z 2i z 2 z 2i z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 2 2 2 2 2zz 2 z z 2i z z 0 x y 2x 2y 0 x 1 y 1 2 C1 . 2 2 z m ni 2 x m y n 2 C2 . Có duy nhất một số phức z thỏa z A và z m ni 2 C1 và C2 có duy nhất 1 điểm chung m 1 2 n 1 2 8 . 2 2 2 Ta có m 1 n 1 1 1 m n 2 hay 16 m n 2 2 2 m n 6 Vậy M 6 khi m n 3; N 2 khi m n 1 .
  35. Câu 110. [2D4-3.6-4] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = 3 , z2 = 2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần uuur uuur lượt là các điểm M , N . Biết góc tạo bởi giữa hai vectơ OM và ON bằng 300 . Tính giá trị của biểu thức z + z A = 1 2 . z1 - z2 7 3 1 A. BA. = 1. A = 13. C. A = . D. A = . 2 13 Lời giải Đáp án B y Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó P ïì + = N ï z1 z2 OP í . ï - = îï z1 z2 MN ì 2 2 ï + = + + 0 = ï z1 z2 z1 z2 2 z1 z2 cos30 13 Ta có íï ï 2 2 x ï z - z = z + z + 2 z z cos1500 = 1 M îï 1 2 1 2 1 2 O z + z z + z ¾ ¾® 1 2 = 1 2 = 13 . z1 - z2 z1 - z2 Nhận xét. Thầy cô nên giải thích rõ cho học sinh hiểu tại tại lại là góc 300 và góc 1500. uuur ì ïì M a ;b ïì OM = a ;b ï z1 = a1 + b1i ï ( 1 1 ) ï ( 1 1 ) Cách 2. Giả sử íï ¾ ¾® í ¾ ¾® íï uuur . ï ï ï z2 = a2 + b2i N (a2 ,b2 ) = îï ïî îï ON (a2 ;b2 ) ïì a2 + b2 = 3 uuur uuur ï 1 1 0 a1a2 + b1b2 Theo giả thiết, ta có í và cos(OM ,ON )= cos30 = Û a1a2 + b1b2 = 3. ï 2 + 2 = 4 2 2 2 2 îï a2 b2 a1 + b1 a2 + b2 2 2 z + z (a1 + a2 )+ (b1 + b2 )i (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) Ta có A = 1 2 = = 2 2 z1 - z2 (a1 - a2 )+ (b1 - b2 )i (a1 - a2 ) + (b1 - b2 ) 2 2 2 2 (a1 + b1 )+ (a2 + b2 )+ 2(a1a2 + b1b2 ) 3+ 4 + 2.3 = = = 13. 2 2 2 2 3+ 4 - 2.3 (a1 + b1 )+ (a2 + b2 )- 2(a1a2 + b1b2 ) CHUYÊN ĐỀ 4. Max-Min của môđun số phức DẠNG 1. Max-Min của môđun Câu 111. [2D4-4.1-2] Cho số phức z = m 1 + m 2 .i m R . Giá trị nào của m để z 5. m 3 m 6 A. . B3. m 0 0 m 3 . C. . D. . m 0 m 2 Lời giải Đáp án B z (m 1)2 (m 2)2 5 2m2 6m 5 5 m2 3m 0 0 m 3 Câu 112. [2D4-4.1-2] Cho số phức z a 1 a 3 i, a ¡ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A z 1 i . A. .2 B. . 2 2 C. .D. 2 5 2 . Lời giải Đáp án D 2 2 A a 2 a 4 i = a 2 a 4 =2a2 12a 20 =2 a2 6a 9 1 = 2 2 a 3 2 2 . Giá trị nhỏ nhất là A 2 khi a 3 Câu 113. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn 3 4i z 7 24i 10. Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 10. B. 3. C. 2. D. 7. Lời giải
  36. Đáp án D 3 4i z 7 24i 10 Ta có 3 4i z 7 24i 10 3 4i 3 4i 3 4i z 7 24i 10 7 24i 2 z 2 2 z 3 4i 3 4i 32 42 3 4i 2 3 4i z 3 4i 3 4i z 3 4i 3 4i z z 2 3 4i 2 32 42 7. Câu 114. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z 3i z 3i 10 . Gọi M1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M là trung điểm của M1M 2 , M a;b biểu diễn số phức w , tổng a b nhận giá trị nào sau đây? 7 9 A. .B. . C. .5 D. . 4 2 2 Lời giải Đáp án B Gọi z x yi , x, y ¡ . Theo giả thiết, ta có z 3i z 3i 10 . x y 3 i x y 3 i 10 x2 y 3 2 x2 y 3 2 10 . Gọi E x; y , F1 0; 3 và F2 0;3 . Khi đó MF1 MF2 10 F1F2 6 nên tập hợp các điểm E là đường elip E có hai tiêu điểm F1 và F2 . Và độ dài trục lớn bằng 10 . Ta có c 3 ; 2b 10 b 5 và a2 b2 c2 16 . x2 y2 Do đó, phương trình chính tắc của E là 1 . 16 25 Vậy max z OB OB 5 khi z 5i có điểm biểu diễn là M1 0; 5 . và min z OA OA 4 khi z 4 có điểm biểu diễn là M 2 4;0 . 5 Tọa độ trung điểm của M1M 2 là M 2; . 2 5 9 Vậy a b 2 . 2 2 Câu 115. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 1 i z . Đặtm z , tìm giá trị lớn nhất của m. A. 2 1 B. 2 1. C. 2. D. 1. Lời giải Đáp án A
  37. y I M 2 - 1 O x Đặt z x iy với x, y ¡ . Ta có z 1 1 i z z 1 1 i . z x 1 2 y2 2 x2 y2 x2 y2 2x 1 0 tập các điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I 1;0 và bán kính R 2 . Max z OM 2 OI R 1 2 . 1 Câu 116. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z 3 . Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z z là A. .3 B. .C. 5 13 . D. .5 Lời giải Đáp án C Trước hết ta có bài toán tổng quát: Cho a, b, c là các số thực dương và số phức z 0 thỏa mãn b c c2 4ab c c2 4ab az c . Chứng minh rằng z . z 2a 2a Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z là số thuần ảo. b Dựa vào dấu đẳng thức xảy ra ta chỉ cần tiến hành giải phương trình az rồic lấy trị tuyệt đối z mỗi nghiệm. Khi đó số dương nhỏ là minz số dương lớn là maxz . Áp dụng vào bài toán ban đầu như sau: 3 13 3 13 z M max z 1 2 2 2 z 3 z 3z 1 0 z 3 13 3 13 z m min z 2 2 Vậy M m 13 . Câu 117. [2D4-4.1-3]Cho số phức z x yi x, y R thỏa mãn z 6 8i 5 và có môđun nhỏ nhất. Tính x y A. .xB . y 3 x y 1. C. .x y 1 D. . x y 2 Lời giải Đáp án B Giả sử số phức cần tìm có dạng z x yi, x, y R Từ đẳng thức z 6 8i 5 , suy ra: x 6 2 y 8 2 25 * . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 6; 8 , bán kính R 5 . Mặt khác Môđul z là khoảng cách từ gốc O 0; 0 đến điểm M x; y tương ứng với số phức z .
  38. Suy ra z nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất Ta biết, OM lớn nhất hoặc nhỏ nhất khi M là giao điểm của đường tròn của đường thẳng OI 4 Ta có phương trình OI là y x 3 Do đó điểm tọa độ M thỏa mãn hệ thức: 4 4 y x y x 3 x 3 x 9 3 2  2 2 2 4 y 4 y 12 x 6 y 8 25 x 6 x 8 25 3 Suy ra: M 3; 4 , M 9; 12 Thử lại độ dài OM thì điểm M 3; 4 thỏa mãn OM nhỏ nhất Vậy x y 1 Câu 118. [2D4-4.1-3] Cho số phức thỏa mãn z 2 2i 1 . Giá trị lớn nhất của z là. A. .4B. 2 2 2 2 1. C. .2 2 D. 3 . 2 1 Lời giải Đáp án B Cách 1: Đặt z x yi khi đó ta có z 2 2i 1 x 2 2 y 2 2 1 x 2 2 y 2 2 1 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 2; 2 bán kính r 1 Phương trình đường thẳng OI : y x Hoành độ giao điểm của OI và đường tròn tâm I 2; 2 là nghiệm phương trình tương giao: 2 2 1 x 2 x 2 1 x 2 2 1 1 1 1 Ta có hai tọa độ giao điểm là M 2 ; 2 và M 2 ; 2 2 2 2 2 Ta thấy OM 2 2 1;OM 2 2 1 Vậy tại giá trị lớn nhất của z 2 2 1 . Cách 2: Casio Quy tắc tính đối với bài toán tổng quát như sau Cho số phức z thỏa mãn z z1 r . Tìm GTLN, GTNN của P z z2 Bước 1: Tính a z1 z2 Bước 2: GTLN của P a r , GTNN của P a r Áp dụng đối với bài này ta có r 1; z1 2 2i, z2 0 a z1 z2 2 2 Vậy GTLN của z 2 2 1 Cách 3: Xét z 2 2i 1 1 z 2 2i z 2 2i z 2 2 Vậy z 1 2 2 , GTLN của z 1 2 2 Câu 119. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa điều kiện z2 4 z z 2i . Giá trị nhỏ nhất của z i bằng A. 2.B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải Đáp án B Giã sử z x yi x, y ¡ .
  39. 2 2 2 z 2i 0 (1) z 4 z z 2i z 2i z z 2i z 2i z 2i z z 2i z 2i z (2) (1) z 2i . Suy ra z i 2i i i 1 . (2) x yi 2i x yi x2 y 2 2 x2 y2 x2 y2 4y 4 x2 y2 y 1. Suy 2 ra z i x yi i x2 y 1 x2 4 2 ,x ¡ . Vậy giá trị nhỏ nhất của z i bằng 1 . Câu 120. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 1 13. B. 13. C. 2 13. D. 13 1. Lời giải Đáp án A Đặt z x yi, x, y ¡ . Ta có: z 2 3i 1 x 2 2 (y 3)2 1 x 2 2 (y 3)2 1 x 2 sin t x 2 sin t Đặt: y 3 cost y 3 cost Ta được: z2 x2 y2 (2 sin t)2 (3 cost)2 4sin t 6cost 14 42 62 sin(t ) 14 2 13 sin(t ) 14 Suy ra: z 2 13 14 13 1 . Câu 121. [2D4-4.1-3] Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i 2 iz , biết z1 z2 1 . Tính giá trị của biểu thức P z1 z2 . 3 2 A. .P B. . P C.2 .D. P P 3 . 2 2 Lời giải Đáp án D Gọi z x yi x, y ¡ . Ta có 2z i 2 iz 2x 2y 1 2 y xi 2x 2 2y 1 2 2 y 2 x2 x2 y2 1. 1 3 1 3 Màz z 1 nên chọn z i , z i . 1 2 1 2 2 2 2 2 Do đó : P z1 z2 3i 3. Câu 122. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z.z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P z3 3z z z z . 15 3 13 A. B. C. D. 3 4 4 4 Lời giải Đáp án B Gọi z a bi , với a,b ¡ Ta có: z z 2a ; z.z 1 z 2 1 z 1 3 2 z Khi đó P z 3z z z z z z 3 z z z
  40. z 2 P z . z2 3 z z z2 2zz z 2 1 z z z 2 2 2 2 2 1 3 3 P z z 1 z z 4a 1 2 a 4a 1 2 a 2 a 2 4 4 với z z 2a 3 Vậy P min 4 Câu 123. [2D4-4.1-3] Cho các số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 - 4 = 1 và iz2 - 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 + 2z2 . A. BPm. in = 2 5 - 2. Pmin = 4 2 - 3. C. Pmin = 4 - 2. D. Pmin = 4 2 + 3. Lời giải Đáp án B Đặt z3 = - 2z2 ¾ ¾® P = z1 + 2z2 = z1 - (- 2z2 ) = z1 - z3 . 1 Từ z = - 2z ® z = - z , thay vào iz - 2 = 1 ta được 3 2 2 2 3 2 1 - iz - 2 = 1 « iz + 4 = 2 « z - 4i = 2. 2 3 3 3 Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1, z3. ● z1 - 4 = 1 ¾ ¾® A Î đường tròn tâm I (4;0), R1 = 1. ● z3 - 4i = 2 ¾ ¾® B Î đường tròn tâm J (0,4), R2 = 2. ïì = - - = 4 2 - 3 ï Pmin IJ R1 R2 Khi đó P = z1 - z3 = AC ¾ ¾® í . ï = + + = + îï Pmax IJ R1 R2 4 2 3 iz - 2 2 Cách 2. Biến đổi iz - 2 = 1¬ ¾® 2 = 1¬ ¾® z - = 1¬ ¾® z + 2i = 1 ¾ ¾® 2z + 4i = 2 . 2 i 2 i 2 2 Ta có P = z1 + 2z2 = (z1 - 4)+ (2z2 + 4i)+ (4 - 4i) ³ (2z2 + 4i)+ (4 - 4i) - z1 - 4 ³ 4 - 4i - 2z2 + 4i - z1 - 4 = 4 2 - 3. Câu 124. [2D4-4.1-3] Trong các số phức z thoả mãn z 2 4i 2 , gọi z và z là số phức có mô-đun lớn 1 2 nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2 bằng. A. .8 i B. . 4 C. .D. 8 8 . Lời giải Đáp án D Gọi z x yi, x, y ¡ và M x; y là điểm biểu diễn số phức z . Theo giả thiết z 2 4i 2 x yi 2 4i 2 x 2 2 y 4 2 4 Suy ra M C : x 2 2 y 4 2 4 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 4i 2 là đường tròn C có tâm I 2;4 bán kính R 2 . 10 2 5 20 4 5 y 2x C Đường OI có phương trình cắt đường tròn tại hai điểm A ; , 5 5
  41. 10 2 5 20 4 5 B ; . Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm 5 5 B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất. z z yi, x, y ¡ z 2 4i z 2i m min z Câu 125. [2D4-4.1-3] Cho số phức thỏa mãn và . Tính w m x y i module số phức . A. . w 5 B. .C. w 2 3 w 2 6 . D. .w 3 2 Lời giải. Đáp án C Ta có z 2 4i z 2i x yi 2 4i x yi 2i . 2 2 2 x 2 y 4 x2 y 2 x y 4 0 y 4 x . 2 Khi đó z x2 y2 x2 4 x 2x2 8x 16 2 x2 4x 4 8 . 2 x 2 0 x 2 2 x 2 8 2 2 suy ra min z m 2 2 khi và chỉ khi . y 4 x y 2 Khi dó w 2 2 4i w 8 16 2 6 . Câu 126. [2D4-4.1-3] Xác định số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 mà z đạt giá trị lớn nhất. A. Bz. 1 i. z 3 3i. C. z 3 i. D. z 1 3i. Lời giải Đáp án B Giả thiết z 2 2i 2 được biểu diễn bởi đường tròn S tâm I(2;2) , bán kính R 2 . Gọi M là điểm biểu diễn z . Ta có: z OM . OM max khiM là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn S . Phương trình đường thẳng OI : y x . x 3 y x y 3 Tọa độ M thỏa hệ: . Gọi M 1;1 , M 3;3 . 2 2 1 3 x 2 y 2 2 x 1 y 1 Do OM 3 OM1 nên z lớn nhất khi z có điểm biểu diễn là M 3 (3;3) . Số phức cần tìm là z 3 3i. Câu 127. [2D4-4.1-3] Gọi z x yi ; x, y R là số phức thỏa mãn hai điều kiện z 2 2 z 2 2 26 và 3 2 3 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy. 2 2
  42. 9 13 16 9 A. xy . B. xy . C. Dxy. . xy . 4 2 9 2 Lời giải Đáp án D Đặt z x iy x, y R . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2 y2 9. Cách 1: x 3cost , y 3sin t với t 0;2  . Thay vào điều kiện thứ hai, ta có: 2 2 3 3 3 3 P z i x y 2 2 2 2 x2 y2 9 3 2 x y 18 18sin t 6. 4 3 3 2 3 2 Dấu bằng xảy ra khi sin t 1 t z i. 4 4 2 2 Cách 2: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2 2 3 3 3 3 2 9 2 9 P z i x y 2 x 2 y 6 2 2 2 2 2 2 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = - (thỏa điều kiện x2 + y2 = 9 ) . 2 Cách 3: Giả sử z x yi , x, y ¡ được biểu diễn bởi điểm M x; y trong mặt phẳng Oxy Từ giả thiết ta có hệ thức x2 y2 9. 1 M x; y nằm trên đường tròn C tâm O 0;0 bán kính R 3 . 3 2 3 2 Theo YCBT, ta cần tìm z để z i lớn nhất, hay nói cách khác là độ dài đoạn MA lớn 2 2 3 2 3 2 nhất trong đó điểm A có tọa độ A ; . Điểm M thỏa yêu cầu này phải là 1 trong 2 giao 2 2 điểm của đường thẳng OA với đường tròn 1 . Vì phương trình đường thẳng OA là y x nên tọa độ M là nghiệm của hệ 3 3 M ; 2 2 x y 9 2 2 . y x 3 3 M ; 2 2 3 3 3 9 Để MA lớn nhất thì M ; .Vậy x = y = - .Suy ra xy . 2 2 2 2 Câu 128. [2D4-4.1-3] Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3i z 1 1. 3 2i A. .3 B. .C. 2 2 . D. .1 Lời giải Đáp án C
  43. Gọi z x yi x, y ¡ 2 3i 2 Ta có: z 1 1 iz 1 1 z i 1 x2 y 1 1 . 3 2i Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính R 1 . Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , ta có IM 1 . Ta có: z OM OI IM 2 . Câu 129. [2D4-4.1-3] Biết số phức z a bi, a,b ¡ thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i có mô đun nhỏ nhất. Tính M a2 b2 . A. M 8 . B. .M 10 C. . M 1D.6 . M 26 Lời giải Đáp án A Gọi z a bi, a,b ¡ . Ta có z 2 4i z 2i a bi 2 4i a bi 2i a 2 2 b 4 2 a2 b 2 2 a b 4 0 . z a2 b2 a2 4 a 2 2 a 2 2 8 2 2 Vậy z nhỏ nhất khi a 2, b 2 . Khi đó M a2 b2 8 . Câu 130. [2D4-4.1-3] Cho số phức z x yi (x, y ¡ ) thỏa mãn z 3 4i 4 và z có môđun lớn nhất. Tính x y. 4 9 9 1 A. .x y B. .C. x y x y . D. x y . 5 5 5 5 Lời giải Đáp án C Gọi M a;b là điểm biểu diễn hình học của số phức z. Gọi w 3 4i x, y ¡ ;M 3; 4 là điểm biểu diễn hình học của số phức w. z 3 4i 4 z 3 4i 4 x 3 2 y 4 2 16 C . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn hình học của z là đường tròn tâm M , bán kính R 4. 4 Gọi là đường thẳng đi qua O 0;0 và M 3; 4 : y x. 3 Vì z MO nên suy ra tọa độ M là giao điểm của và C . 2 2 3 4 x 3 y 4 16 x y z 1 5 5 Giải hệ phương trình . 4 27 36 y x x y z 9 3 5 5 27 36 9 Vậy z i x y . . 5 5 5 Câu 131. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z 1 i . A. . 13 2 B. .C. 4 13 1. D. .6 Lời giải Đáp án C Đặt w z 1 i . Ta có z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1 w 3 2i 1 Ta có : 1 w 3 2i w 3 2i 1 w 13 1 1 13 w 1 13 .
  44. Max z 1 i 1 13 . Câu 132. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z - 4 + z + 4 = 10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z bằng: A. 10 và 4. B. 5 và 4. C. 4 và 3.D. 5 và 3. Lời giải Đáp án D Giả sử z = x + yi (x; y Î ¡ ) . Ta có 10 = z - 4 + z + 4 ³ z - 4 + z + 4 = 2z ¾ ¾® z £ 5 . 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 100 = ( z - 4 .1+ z - 4 .1) £ é( z - 4 ) + ( z + 4 ) ù.2 ëê ûú 2 2 ¬ ¾® (a + 4) + b2 + (a - 4) + b2 ³ 50¬ ¾® (a2 + b2 )³ 9 ¾ ¾® z ³ 3 . Cách 2. Giả sử z = x + yi (x; y Î ¡ ) . 2 2 Từ giả thiết, ta có (x - 4) + y2 + (x + 4) + y2 = 10 . (*) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , gọi M (x; y) và F1 (- 4;0) , F2 (- 4;0) thì (*) có dạng MF1 + MF2 = 2.5 . Vậy tợp hợp điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là một Elip có độ dài trục lớn a = 5 , 2 2 tiêu cự F1F2 = 8 ¾ ¾® c = 4 . Suy ra độ dài trục bé b = a - c = 3 . Khi đó ta luôn có b £ OM £ a hay 3 £ z £ 5 . Câu 133. [2D4-4.1-3] Tìm số phức z có z 1 và z i đạt giá trị lớn nhất A. i. B. . 1 C. . i D. 1. Lời giải Đáp án A Đặt z a bi, a,b ¡ . Từ giả thiết. a2 b2 1 b2 1 1 b 1 z i a b 1 i a2 b 1 2 2 2b 4 2 . Dấu “=” xảy ra khi b 1 a 0 z i . Câu 134. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z 3 2 z và max z 1 2i a b 2 . Tính a b . 4 A. 4 . B. .4 2 C. . 3 D. . 3 Lời giải Đáp án A Gọi z x yi x, y ¡ . 2 Khi đó z 3 2 z x 3 yi 2 x yi x 3 y2 2 x2 y2 2 2 x 3 y2 4 x2 y2 3x2 3y2 6x 9 0 x2 y2 2x 3 0 x 1 y2 22 Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z chính là đường tròn tâm I 1;0 , R 2 Ta có z 1 2i z 1 2i MN, N 1; 2 . Dựa vào hình vẽ nhận thấy MN lớn nhất khi đi qua tâm. Khi đó MN NI IM 2 2 R 2 2 2 . Suy ra a 2, b 2. Do đó a b 2 2 4.
  45. Câu 135. [2D4-4.1-4] Cho các số phức z , z1 , z2 thỏa mãn 2 z1 2 z2 z1 z2 6 2 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z z1 z z2 . 9 A. .6 2 2 B. .C. 3 2 3 6 2 3 . D. . 2 3 2 Lời giải Đáp án C z z 6 1 1 OM 1 1 6 1 z2 z2 6 1 OM 2 1 6 z1 z2 z1 z2 6 2 2 M1M 2 2 6 P OM MM MM nhỏ nhất khi M là điểm Fermat. 6 1 2 · · · Khi đó M1MM 2 M1MO OMM 2 120 và MM1 MM 2 (vì tam giác M1OM 2 vuông cân tại O ) . Ta có: 6 3 2 6 2 x2 x2 2.x.x.cos120 x ; 1 x2 y2 2.x.y.cos120 y . 3 6 P 3 2 6 2 6 2 6 Suy ra Pmin 3 2 6 6 2 3 . 6 min 6 3 2 z Câu 136. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w là số thực. Giá trị lớn 2 z2 nhất của biểu thức P z 1 i là A. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. .8 Lời giải Đáp án A Cách 1. z z z w là số thực w w 2z z.z 2 2z zz2 2 z2 2 z2 2 z 2
  46. 2 z z z.z z z z z (loại do z không là số thực) hoặc 2 z.z z 2 . Suy ra: OM 2 với M là điểm biểu diễn của z , M thuộc đường tròn C tâm O , R 2 Ta có: P z 1 i MA , với A 1;1 . Ta có: A C nên MA lớn nhất bằng 2R 2 2 . Cách 2. Vì z không là số thực nên z 0 . Suy ra w 0 . Ta có: z 2 2 1 w 2 w 2 z z z z 2 0 * . 2 z w 1 * là phương trình bậc hai với hệ số thực ¡ nên có nghiệm 2 phức z1 , z2 liên hợp của w nhau. Theo Viet ta có: z1.z2 2 z1.z2 2 z1 z2 2 z1 z1 2 z 2 . Suy ra P z 1 i z 1 i 2 2 2 2 . Câu 137. [2D4-4.1-4] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 z1 4 z2 z 2và nếu gọi M , N là điểm biểu diễn z1; z2 trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác MON có diện tích là 8. Tìm giá trị lớn nhất của z1 z2 . A. .3 3 B. .C. 8 6 2 . D. .5 Lời giải Đáp án C y M P 1 x O N 2 2 Có z1 z1 4 z2 z2 z1 4 z2 z1 2 z2 . Thế vào điều kiện ban đầu ta có 2 z2 z1 4 z2 z2 z1 2z2 , vậy z1 z2 3 z2 Lấy đối xứng điểm N qua Ox được điểm P là điểm biểu diễn của số phức , zsuy2 ra O; P; M thẳng hàng. 1 1 S OM.ON.sin .2OP.OP.sin OP2.sin OMN 2 2 Mà S 8 nên OP2 sin 8 OP2 8 OP 2 2 z z 6 2 . OMN 1 2 max Câu 138. [2D4-4.1-4]Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Tìm số phức z có mô đun bé nhất. A. z 2 i . B. .zC . 3 i z 2 2i . D. z 1 3i Lời giải Đáp án C Giả sử z x yi được biểu diễn bởi điểmM x; y có z OM Ta có z 2 4i z 2i x y 4 0
  47. Bài toán trở thành tìm M x; y thuộc đường thẳng d : x y 4 0 sao cho z OM ngắn nhất: Dễ thấy OM ngắn nhất khi M là hình chiếu của O lên d, tức là M 2;2 i m Câu 139. [2D4-4.1-4]Cho số phức z , m R . Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn 1 m m 2i tại m để z 1 k . 5 1 5 1 A. k . B. k 0 . C. k . D. k 1 2 2 Lời giải Đáp án A i m i m 1 1 m i m2 2m 2 z 2 z 1 z 1 . 1 m m 2i i m m i m i m2 1 k 0 2 z 1 k 2 * Để tồn tại m thỏa mãn (*) thì k Minf m 2 m 2m 2 k 2 f m m 1 Lập bảng biến thiên 3 5 5 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của số thực k là k 2 k . 2 2 Câu 140. [2D4-4.1-4] Xét số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2 . Gọi m ,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M . 5 2 2 73 5 2 73 A. .PB. 13 73 P . C. .P 5D.2 . 2 73 P 2 2 Lời giải Đáp án B Cách 1. Gọi M x; y là điểm biểu diễn của z . Các điểm A 2;1 , B 4,7 , C 1; 1 . Ta có z 2 i z 4 7i 6 2 MA MB 6 2 , mà AB 6 2 MA MB AB . Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB . Phương trình đường thẳng AB : y x 3 , với x  2;4 . Ta có z 1 i MC z 1 i 2 MC 2 x 1 2 y 1 2 x 1 2 x 4 2 2x2 6x 17 Đặt f x 2x2 6x 17 , x  2;4 . 3 f x 4x 6 ,f x 0 x ( nhận ) 2 3 25 Ta có f 2 13 , f , f 4 73 . 2 2 3 25 Vậy f x f 4 73 , f x f . max min 2 2
  48. 5 2 5 2 2 73 M 73 , m P 2 2 Cách 2. Gọi M x; y là điểm biểu diễn của z . Các điểm A 2;1 , B 4,7 , C 1; 1 . Ta có z 2 i z 4 7i 6 2 MA MB 6 2 , mà AB 6 2 MA MB AB Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB . Phương trình đường thẳng AB : y x 3 , với x  2;4 . 5 CM d C; AB . min 2 CB 73;CA 13 CM max CB 73 . 5 2 73 5 2 Vậy P 73 . 2 2 Câu 141. [2D4-4.1-4]Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 1 2i z i , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất. 1 3 3 1 2 16 16 2 A. z i . B. z i . C. z i . D. .z i 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải Đáp án A Gọi z a bi , a,b ¡ . Ta có z 1 2i z i a 1 b 2 i a b 1 i a 1 2 b 2 2 a2 b 1 2 a2 2a 1 b2 4b 4 a2 b2 2b 1 2a 6b 4 a 3b 2 . 2 2 2 2 2 2 3 2 10 Do đó, z a b 3b 2 b 10b 12b 4 10 b . 5 5 5 3 1 Dấu " " xảy ra b a . 5 5 1 3 Vậy z i . 5 5 Câu 142. [2D4-4.1-4] Cho z là số phức thay đổi nhưng luôn thỏa z 1 Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 z 1 z z2 . Tính giá trị của biểu thức T . 4m2 1 3 13 A. .TB. 13 T . C. .T D. . T 1 13 4 Lời giải Đáp án B Đặt z x iy . Ta có x2 y2 1 . Khi đó: P x 1 2 y2 (1 x x2 y2 )2 y2 (2x 1)2 2x 2 2x 1 . 1 2x 2 2x 1 x 2 P 1 2x 2 2x 1 x 2
  49. 1 1 khi x : P 2x 2 2x 1; P 2 0 P luôn đồng biến nên M 3 m 3 . 2 2x 2 1 1 1 khi x P 2x 2 2x 1 P 2 0 x P luôn nghịch biến nên M 3 2 2x 2 2 m 3 . M 3 3 T 4m2 1 12 1 13 Câu 143. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z.z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P z3 3z z z z . 15 3 13 A. .B. . C. . D. . 3 4 4 4 Lời giải Đáp án B Gọi z a bi , với a,b ¡ 2 Ta có: z z 2a ; z.z 1 z 1 z 1 3 2 z Khi đó P z 3z z z z z z 3 z z z z 2 P z . z2 3 z z z2 2zz z 2 1 z z z 2 2 2 2 2 1 3 3 P z z 1 z z 4a 1 2 a 4a 1 2 a 2 a 2 4 4 3 Vậy P . min 4 Câu 144. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của M z 2 z 2 2i . A. .8 2 B. . 4 C. .D. 8 6 . Lời giải Đáp án D 2 Đặt z x yi x, y ¡ . Ta có z i 2 x2 y 1 4 1 . Bunhiacopski Lại có M z 2 z 2 2i 12 12 z 2 2 z 2 2i 2 2 2 2x2 2y2 4y 12 2 2 x2 y 1 10 2. 2.4 10 6 . Câu 145. [2D4-4.1-4] Trong các số phức zthỏa z + 3+ 4i = 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức.z 0 B. . z0 = 2 C. .Dz0. = 7 z0 = 3 . Lời giải. Đáp án D Cách 1: Đặt z = a + bi (a,b Î ¡ ) . Khi đó z + 3+ 4i = 2 Û (a + 3)2 + (b + 4)2 = 4 . Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn C tâm I 3; 4 và bán kính R 2 . Gọi M z là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: M z C .
  50. z OM OI R 3. Vậy z bé nhất bằng 3 khi M z C  IM . Cách 2: ïì a + 3 = 2cosj ïì a = - 3+ 2cosj Đặt íï Û íï . îï b + 4 = 2sinj îï b = - 4+ 2sinj Þ z = a2 + b2 = (2cosj - 3)2 + (2sinj - 4)2 = 29- 12cosj - 16sinj . æ3 4 ö = 29- 20ç cosj + sinj ÷= 29- 20cos(a - j ) ³ 9 ç ÷ è5 5 ø . Þ z0 = 3 . Câu 146. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z 2 i . Tính T M 2 m2 . A. .T 50 B. .C. T 64 T 68 . D. .T 16 Lời giải. Đáp án C Với mọi số phức u và v ta có u v u v u v . Ta có z 2 i z 1 2i 3 3i Vậy z 1 2i 3 3i z 2 i z 1 2i 3 3i 4 18 z 2 1 4 18 Ta có z 2 i 4 18 khi z 1 2 2 2 2 2 i , z 2 i 4 18 khi z 1 2 2 2 2 2 i Suy ra m 18 4 , M 4 18 2 2 Vậy T M 2 m2 4 18 18 4 68 . Câu 147. [2D4-4.1-4] Tìm số phức z sao cho z 3 4i 5 và biểu thức P z 2 2 z i 2 đạt giá trị lớn nhất. A. .zB. 2 i z 5 5i . C. .z 2 2i D. . z 4 3i Lời giải Đáp án B Đặt z x yi x, y ¡ z 3 4i 5 x 3 2 y 4 2 5 x 3 5 sin t x 3 5 sin t Đặt y 4 5 cost y 4 5 cost P z 2 2 z i 2 4x 2y 3 4 3 5 sin t 2 4 5 cost 3 4 5 sin t 2 5 cost P 23 Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác 2 2 4 5 2 5 P 23 2 P2 46P 429 0 13 P 33 Vậy GTLN của P là 33 4x 2y 3 33 y 15 2x Ta có P 33 2 2 2 2 x y 5 x 3 y 4 4 x 3 15 2x 4 5
  51. z 5 5i . Cách khác: Đặt z x yi x, y ¡ z 3 4i 5 x 3 2 y 4 2 5. P z 2 2 z i 2 4x 2y 3 4 x 3 2 y 4 23 22 42 x 3 2 y 4 2 23 33 . 4x 2y 3 33 Dấu bằng xảy ra x 3 y 4 x y 5 z 5 5i . 4 2 z Câu 148. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w là số thực. Giá trị lớn 2 z2 nhất của biểu thức P z 1 i là A. .2 2 B. . 2 C. . 2 D. . 8 Lời giải Đáp án A 1 2 Cách 1. Xét z 0 suy ra z . Gọi z a bi,b 0 và M a;b là điểm biểu diển của z. w z 1 2 2a 2 Suy ra z 2 2 a b 2 2 1 i w z a b a b 1 2 b 0 Vì ¡ nên b 2 2 1 0 2 2 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt w a b a b 2 phẳng Oxy là đường tròn C : x2 y2 2 . Xét điểm A 1;1 là điểm biểu diễn số phức z0 1 i suy ra P MA max P OA r 2 2 . Với r là bán kính đường tròn C : x2 y2 2 . z 2 2 1 Cách 2. w 2 w 2 z z z z 2 0 * . * là phương trình bậc hai với hệ số 2 z w 1 thực ¡ . Vì z thỏa * nên z là nghiệm phương trình * . Gọi z1, z2 là hai nghiệm của * w suy ra z1.z2 2 z1.z2 2 z1 z2 2 z 2 . Suy ra P z 1 i z 1 i 2 2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi z = 1- i . Câu 149. [2D4-4.1-4] Cho các số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2 z 1 . Khi đó: A. M 3 5, m 2. B. CM. 3 5, m 4. M 2 5, m 2. D. M 2 10, m 2. Lời giải Đáp án C Đặt z x yi x; y ¡ . Ta có z 1 x2 y2 1. Suy ra x  1;1 Ta có P z 1 2 z 1 x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 2x 2 2 2x 2. Xét hàm f x 2x 2 2 2x 2 trên đoạn  1;1 , ta được 1 2 3 Ta có f x , f x 0 x 2x 2 2x 2 5 Bảng biến thiên:
  52. 3 Dựa vào BBT, ta suy ra: max f x f 2 5 và min f x f 1 2 .  1;1 5  1;1 Câu 150. [2D4-4.1-4] Cho các số phức z , w thỏa mãn z 1 2i z 5i , w iz 20 . Giá trị nhỏ nhất m của w là 3 10 10 A. m 7 10. B. m . C. m . D. m 2 10. 2 2 Lời giải Đáp án A Giả sử z x yi x, y ¡ . Ta có: z 1 2i z 5i x yi 1 2i x yi 5i x 1 2 y 2 2 x2 y 5 2 x 1 2 y 2 2 x2 y 5 2 x2 2x 1 y2 4y 4 x2 y2 10y 25 2x 6y 20 0 x 3y 10 (1) 2 Mặt khác w iz 20 i x yi 20 xi y 20 20 y x2 2 2 Thay (1) vào ta có w 20 y 3y 10 400 40y y2 9y2 60y 100 10y2 20y 500 10 y2 2y 1 490 10 y 1 2 490 7 10 Giá trị nhỏ nhất của w 7 10 khi và chỉ khi y 1 . Câu 151. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Giá trị lớn nhất của z 1 i là A B.1.3C. .D2 . 4 6 13 1. Lời giải Đáp án D Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i x 2 y 3 i . Theo giả thiết x 2 2 y 3 2 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I 2;3 bán kính R 1 . M2 Ta có z 1 i x yi 1 i x 1 1 y i x 1 2 y 1 2 . M1 I 2 2 Gọi M x; y và H 1;1 thì HM x 1 y 1 . H Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn. x 2 3t Phương trình HI : , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y 3 2t 2 2 1 3 2 3 2 9t 4t 1 t nên M 2 ;3 ,M 2 ;3 . 13 13 13 13 13 Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1 . Câu 152. [2D4-4.1-4] Tìm môđun lớn nhất của số phức trong các số phức thỏa mãn z 2 i 2 5. A. 3 5. B. 2 5. C. 5. D. 4 5.
  53. Lời giải Đáp án A 2 2 Giả sử z a bi a, b ¡ z 2 i a 2 b 1 i a 2 b 1 . 2 2 2 2 a 2 b 1 Bài ra z 2 i 2 5 a 2 b 1 20 1. 2 5 2 5 a 2 b 1 Tồn tại u sao cho sin u, cosu. 2 5 2 5 2 2 Khi đó z 2 a2 b2 2 5 sin u 2 2 5 cosu 1 20 sin2 u cos2 u 5 8 5 sin u 4 5 cos x 25 8 5 sin u 4 5 cos x 8 5 sin u 4 5 cos x 25 z 2 . 2 2 2 2 Cần có 8 5 4 5 25 z 2 25 z 2 400 20 z 2 25 20 5 z 2 45 5 z 3 5. Câu 153. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 2 z 1 A. maxT 2 5 . B. .m axT C.2 . 10 D. . maxT 3 5 maxT 3 2 Lời giải Đáp án A Gọi số phức z x yi x, y ¡ Ta có z 1 x2 y2 1 . Mà T z 1 2 z 1 x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 x2 2x 1 y2 2 x2 2x 1 y2 2x 2 2 2 2x ( do x2 y2 1 ) 2 Mà theo Bunhiacopxki ta có 2x 2 2 2 2x 1 22 2x 2 2 2x 20 Nên 0 T 2 5 nên Tmax 2 5 Câu 154. [2D4-4.1-4] Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z - i ³ 3 và z - 1 £ 5 . Gọi z1, z2 Î T lần lượt là các số phức có mođun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức z1 + 2z2 . A. .1 2- 2i B. . - 2 + 12iC. . 6D.- 4 .i 12 + 4i Lời giải Đáp án A Giả sử z = a + bi (a,b Î ¡ ) . 2 2 Ta có● z - 1 = (a - 1) + b2 £ 5 ® (a - 1) + b .2 £ 52 ¾ ¾® tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường tròn tâm A(1;0) bán kính R = 5 . 2 2 ● z - i = a2 + (b - 1) ³ 3 ® a2 + (b - 1) ³ 32 . ¾ ¾® tập hợp các cố phức nằm ngoài hoặc trên đường tròn tâm B(0;1) bán kính R ' = 3 . Dựa vào hình vẽ ta thấy ïì z = z = 0- 2i íï min 1 ¾ ¾® z + 2z = 12- 2i . ï 1 2 îï zmax = z2 = 6 + 0i Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức z1 - z2 £ z1 - z2 £ z1 + z2 . ì ì (1) (2) ï 3 £ z - i £ z + i ï 2 £ z Ta có í ¾ ¾® í ¬ ¾® 2 £ z £ 6. ï ï îï z - 1 £ z - 1 £ 5 îï z £ 6
  54. Dấu '' = '' thứ nhất xảy ra khi z1 - i = 3 , kết hợp với z - 1 £ 5 ta được hệ ïì - = ï z1 i 3 ï í z1 - 1 £ 5 ¾ ¾® z1 = - 2i . ï ï = îï z1 2 ïì - = ï z2 1 5 ï Tương tự cho dấu '' = '' thứ hai, ta được í z2 = 6 ¾ ¾® z2 = 6 ¾ ¾® z1 + 2z2 = 12- 2i . ï ï - ³ îï z2 i 3 Câu 155. [2D4-4.1-4] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 - 2i = 3 và z2 + 2 + 2i = z2 + 2 + 4i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 - z2 bằng: A. .PB=. 1 P = 2 . C. P = 3. D. P = 4. Lời giải. Đáp án B Đặt z1 = x1 + y1i và z2 = x2 + y2i với x1, x2 , y1, y2 Î ¡ . 2 2 2 2 ● tậpz1 - hợp2i = các3 Û sốx1 phức+ (y1 - 2 )là= đường9 ¾ ¾® tròn z1 . (C ): x + (y - 2) = 9 2 2 2 2 ● z2 + 2 + 2i = z2 + 2 + 4i Û (x2 + 2) + (y2 + 2) = (x2 + 2) + (y2 + 4) Û y2 + 3 = 0 ¾ ¾® tập hợp các số phức z2 là đường thẳng d : y = - 3 . 2 2 Ta có P = z1 - z2 = (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) đây chính là khoảng cách từ điểm B(x2 ; y2 )Î d đến điểm ; Î - Û . = 0;- 1 , 0;- 3 A(x1 y1 ) (C ). Do đó z2 z1 min ABmin Dựa vào hình vẽ ta tìm được ABmin 2 khi A( ) B( ) . Nhận xét. Ở bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình sẽ nhận ra ngay được hai điểm A &B , nếu không thì viết phương trình đường thẳng qua tâm C và vuông góc với d , sau đó tìm giao điểm với C và d rồi loại điểm. 5 3 Câu 156. [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 2i . Biết biểu thức 2 2 Q z 2 4i z 4 6i đạt giá trị nhỏ nhất tại z a bi a,b ¡ . Tính P a 4b. 1333 691 A. P 2. B. P . C. P 1. D. P . 272 272 Lời giải Đáp án A Giả sử z a bi a,b ¡ .
  55. y D 6 4 C A 2 d M x -2 O 2 4 -2 B E 5 3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M a;b , A ;2 , B ; 2 , C 2;4 , D 4;6 lần lượt là 2 2 5 3 điểm biểu diễn của các số phức z a bi , z 2i , z 2i , z 2 4i , z 4 6i . 1 2 2 2 3 4 5 3 Khi đó z 2i z 2i MA MB và Q z 2 4i z 4 6i MC MD . 2 2 Ta có MA MB nên M nằm trên d là đường trung trực của AB . Phương trình đường thẳng d : x 4y 2 0 . Dễ thấy C, D nằm cùng một phía đối với đường thẳng . 58 28 Gọi E là điểm đối xứng của N qua d . Khi đó E ; 17 17 Ta có MC MD ME MD nên MC MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M , E, D thẳng hàng hay d cắt DE tại M . Phương trình đường thẳng ED : 13x y 46 0 . 62 24 62 24 Suy ra M ; z i P a 4b 2. 17 17 17 17