›
›
›

Các Chuyên đề Toán ôn thi vào 10 - Nhóm Toán THCS

docx 208 trang thaodu 4900
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các Chuyên đề Toán ôn thi vào 10 - Nhóm Toán THCS", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxcac_chuyen_de_toan_on_thi_vao_10_nhom_toan_thcs.docx

Nội dung text: Các Chuyên đề Toán ôn thi vào 10 - Nhóm Toán THCS

  1. 1/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ A. LÝ THUYẾT 1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC 2 A neu A  0 1. A A A neu A < 0 2. AB A B (Với A  0; B  0 ) A A 3. (Với A  0; B 0 ) B B 4. A2 B A B (Với B  0 ) 5. A B A2 B (Với A  0; B  0 ) 6. A B A2 B (Với A 0; B  0 ) A 1 7. AB (Với A  0; B 0 ) B B A A B 8. (Với B 0 ) B B C C A  B 2 9 (Với A  0;A  B ) A  B A B2 C C A  B 10 (Với A  0; B  0;A  B ) A  B A B 3 11 3 A 3 A3 A 2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ 1. A ĐKXĐ: A  0 Ví dụ: x 2018 ĐKXĐ: x  2018 Nhóm Toán THCS:
  2. 2/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê A x 2 2. ĐKXĐ: B  0 Ví dụ: ĐKXĐ: x  3 B x 3 A x 2 3. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 A x x  0 4. ĐKXĐ: A  0; B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 x 3  A 0  x 1 0   A  B 0 x 1  x 2 0 x 2 5. ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ:  B  A  0 x 2  x 1 0 x 1    B 0  x 2 0 Cho a > 0 ta có:   2 x a 6. 2 x a Ví dụ: x 1  x a  x a x a Cho a > 0 ta có: 7. x2 4 2 x 2 x2 a a x a Ví dụ: Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Dạng tổng quát 1: A(x) k A(x) k (k  0) với k là hằng số 2. Dạng tổng quát 2: A(x) B(x) A(x) B(x) 3. Dạng tổng quát 3: A(x) B(x) A(x)  0 A(x) B(x) Trường hợp 1 Nếu thì phương trình trở thành A(x) 0 A(x) B(x) Trường hợp 2 Nếu thì phương trình trở thành Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Nhóm Toán THCS:
  3. 3/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Dạng tổng quát 1: f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) 1. Đặc biệt với hằng số k 0 thì f (x) k k f (x) k Dạng tổng quát 2:  f (x) g(x) f (x) g(x)   f (x) g(x) 2.  f (x) k Đặc biệt với hằng số k 0 thì f (x) k   f (x) k 3. Dạng tổng quát 3: f (x) g(x) f (x) 2 g(x) 2 Trường hợp 1 f (x) g(x) f (x) 2 g(x) 2 Trường hợp 2 Chú ý 3:Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b không âm ta có: a b  2 ab Dấu “ = ” xảy ra a b 1 Ví dụ: chox  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x x Hướng dẫn 1 1 Vì x 1 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có A x  2 x. 2 x x 1 Dấu “ = ” xảy ra x x 1 x Vậy Amin 2 x 1 1 Ví dụ: chox  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B x x Hướng dẫn 1 1 Cách giải sai: Vì x  2 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có B x  2 x. 2 x x Nhóm Toán THCS:
  4. 4/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 Dấu “ = ” xảy ra x x 1 (không thỏa mãn vì x  2 ) x Vậy Bmin 2 x 1 Gợi ý cách giải đúng: 1 1 nx Dự đoán Bmin đạt được tại mức x 2 ta có B nx x nx . Dấu “ = ” xảy ra x x x 2 3x x 1 Do đó ta có B Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có 4 4 x 4 1 x 1 1  2 . 2. 1 x x 4 x 2 x 1 Dấu “ = ” xảy ra x 2 (vì x  2 ) 4 x 5 Vậy B x 2 min 2 1 Ví dụ: chox  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x x Hướng dẫn 1 8x x 1 10 Tương tự: Vì x  3 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có C x  x 9 9 x 3 Dấu “ = ” xảy ra x 3 x 12 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D với x  0 x 2 Hướng dẫn 16 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có D x 2 4  4 x 2 Dấu “ = ” xảy ra x 4 Nhóm Toán THCS:
  5. 5/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3. CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn x 2 x 2 x 1 Ví dụ: Rút gọn biểu thức A . x 1 x 2 x 1 x 1 x Hướng dẫn x 0 Điều kiện: x  1 x 2 x 2 x 1 A . x 1 x 2 x 1 x 1 x   x 2 x 2 x 1 x x A  .  2  x 1 x 1 x 1 x     x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 A  .  2 2  x 1 x 1 x 1 x 1 x   2 x x 1 A 2 . x 1 x 1 x 2 A x 1 Nhóm Toán THCS:
  6. 6/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức. a) A 6 2 5 b) B 4 12 c) C 19 8 3 d) D 5 2 6 Hướng dẫn 2 a) A 6 2 5 5 1 5 1 5 1 2 b) B 4 12 4 2 3 3 1 3 1 2 c) C 19 8 3 4 3 4 3 4 3 2 d) D 5 2 6 3 2 3 2 3 2 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức. a) A 4 2 3 b) B 8 2 15 c) C 9 4 5 d) D 7 13 7 13 Hướng dẫn 2 a) A 4 2 3 3 1 3 1 2 b) B 8 2 15 15 1 15 1 2 c) C 9 4 5 2 5 5 2 1 D 7 13 7 13 14 2 13 14 2 13 2 d) 1  2 2   13 1 13 1  2 2   Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức. Nhóm Toán THCS:
  7. 7/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 4 1 6 2 5 5 2 6 B a) A b) 5 1 3 2 5 2 6 2 6 5 1 1 1 1 c) C 1 2 2 3 3 4 99 100 d) D 3 5 2 7 3 5 2 7 Hướng dẫn 6 2 5 5 2 6 5 1 3 2 a) A 2 5 1 3 2 5 1 3 2 3 4 1 3 5 2 4 6 2 B 6 5 b) 5 2 6 2 6 5 3 4 5 2 6 2 6 5 2 6 1 1 1 1 C c) 1 2 2 3 3 4 99 100 2 1 3 2 4 3 100 99 9 5 2 7 5 2 7 D 3 5 2 7 3 5 2 7 2 2 2 d) 3 5 2 7 3 5 2 7 5 2 7 3 5 2 7 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức. a) A 3 2 2 6 4 2 b) B 9 4 5 9 4 5 3 3 5 2 10 c) C 14 6 5 21 d) D 6 2 5 Hướng dẫn a) A 3 2 2 6 4 2 2 1 2 2 2 2 3 b) B 9 4 5 9 4 5 5 2 5 2 2 2 c) C 14 6 5 21 7 3 . 10 2 21 7 3 . 7 3 4 Nhóm Toán THCS:
  8. 8/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 3 5 2 10 5 1 3 2 3 2 5 1 d) D 2 6 2 5 5 1 4 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức. a) A 4 2 3 4 2 3 c)C 3 5 2 7 3 5 2 7 D 3 2 5 3 2 5 b) B 5 3 29 12 5 d) Hướng dẫn a) A 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 2 3 b) B 5 3 29 12 5 5 6 2 5 5 5 1 1 14 C 3 5 2 7 3 5 2 7 2 2 2 c) 3 5 2 7 3 5 2 7 5 2 7 3 5 2 7 4 d) D 3 2 5 3 2 5 1 2 2 3 2 5 3 2 5 2 5 3 2 5 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức. a) A 7 4 3 7 4 3 b) B 5 13 4 3 3 13 4 3 c) C 3 20 14 2 3 20 14 2 d) D 3 9 4 5 3 9 4 5 Hướng dẫn a) A 7 4 3 7 4 3 2 3 2 3 2 3 b) B 5 13 4 3 3 13 4 3 5 2 3 1 3 2 3 1 5 2 3 1 3 2 3 1 2 3 c) C 3 20 14 2 3 20 14 2 40 4 2 2 3 20 14 2 3 20 14 2 20 14 2 3 20 14 2 Nhóm Toán THCS:
  9. 9/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 18 d) D 3 9 4 5 3 9 4 5 3 2 2 3 9 4 5 3 9 4 5 9 4 5 3 9 4 5 Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức. a) A 11 6 2 11 6 2 b) B 41 12 5 41 12 5 c)C 3 2 2 6 4 2 d) D 5 3 29 12 5 Hướng dẫn a) A 11 6 2 11 6 2 3 2 3 2 6 b) B 41 12 5 41 12 5 6 5 6 5 2 5 c) C 3 2 2 6 4 2 2 1 2 2 2 2 3 d) D 5 3 29 12 5 5 3 2 5 3 5 5 1 1 Các bài toán rút gọn chứa ẩn và bài toán phụ Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI x x0. Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức đã cho rồi thay vào biểu thức đã cho rồi tính kết quả. Ví dụ: Cho biểu thức A 2x x 4 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x 3. Hướng dẫn 2x x 4 khi x  4 3x 4 khi x  4 a) Ta có A 2x x 4 2x x 4 khi x < 4 x 4 khi x < 4 b) Khi x 3 ta có: A 3 4 7. x 1 2 x 2 5 x Ví dụ: Cho biểu thức A x 2 x 2 4 x Nhóm Toán THCS:
  10. 10/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Rút gọn biểu thức A. 2 b) Tính giá trị của A khi x . 2 3 Hướng dẫn x 1 2 x 2 5 x 2x x 1 x 2 2 x x 2 2 5 x 2x a) A x 2 x 2 4 x 2 x 2 x x 4 x 4 2 x với ĐKXĐ: x  0; x  2. 2 x 2 x 2 x 2 2 b) Ta có: x 2 2 3 3 1 x 3 1 2 3 2 2 3 1 1 3 3 2 3 Khi x . Ta có: A . 2 3 2 3 1 3 3 3 x 2 x 2 4x Ví dụ: Cho biểu thức A : 2 x 1 x 2 x 1 x 1 a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết x 5 4. Hướng dẫn 2 x 2 x 2 4x x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 A : . a) 2 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 4x 2 2 x x 1 x 1 2 . với ĐKXĐ: x 0; x  1. x 1 x 1 4x 2 x 3 1 2 b) Khi x 5 4 x 5 4 x 9 x 3 . Ta có A 6 3 2 xy x y 2 x A . Ví dụ: Cho biểu thức x y 2 x 2 y x y Nhóm Toán THCS:
  11. 11/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Rút gọn A. x 4 b) Tính giá trị của A biết . y 9 Hướng dẫn 2 xy x y 2 x 4 xy x 2 xy y 2 x a) A . . x y 2 x 2 y x y 2 x y x y x y 2 x y 2 x x . 2 x y x y x y x y 1 x y y b) Ta có 1 A x x x 4 y 3 1 3 5 2 Khi . Ta có 1 A y 9 x 2 A 2 2 5 x2 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức A 2 3 2 . 1 2 . 2x 8 x 2x 4x 8 x x a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết x 4 2 3. Hướng dẫn 2 2 x 2x x 2 4x x2 x 2 x3 4x x 1 x 2 x 1 a) A . 2 . 2 2 x 2 x 2x 2 x 4 x 2 2 x 4 x 2 với ĐKXĐ: x  0; x  2. 3 1 1 3 3 b) Khi x 4 2 3 3 1 . Ta có A 2 3 2 5 x x 1 1 Ví dụ: Cho biểu thức A . x 9 x 3 x 3 Nhóm Toán THCS:
  12. 12/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết x 11 6 2 . 1 1 c) Tính giá trị của A biết x . 3 1 3 1 2 2 d) Tính giá trị của A biết x 2 . 3 1 3 1 Hướng dẫn x x x 3 x 3 x 2 a) A với ĐKXĐ: x  0; x  9. x 3 x 3 x 3 2 5 2 28 2 b) Khi x 11 6 2 3 2 x 3 2 . Ta có: A . 6 2 34 1 1 3 c) Khi x 1 x 1 . Ta có: A . 3 1 3 1 4 2 2 2 3 1 3 1 d) Khi x 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 4 (Loại) 3 1 3 1 Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: • Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A−k = 0 tính kết quả, kết hợp với điều kiện để kết luận. • Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A > k (≥,≤, 0 với điều kiện của đề bài để tìm x. 2 x 1 Ví dụ: Cho biểu thức Avới xTìm 0 , x để4 . x A . 2 x 2 Hướng dẫn Nhóm Toán THCS:
  13. 13/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 2 x 1 ĐểA 2 x 4 x 2 x 6 x 36. (thỏa mãn điều kiện) 2 2 x 2 1 2 2 1 Ví dụ: Cho biểu thức A : . x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 0. Hướng dẫn x 2 2 2 x 2 x x 2 x 2 2 x A : . a) 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 với ĐKXĐ: x 0, x  4. 2 x b) Để A 0 0 x 2 x 4. (không thỏa mãn điều kiện) x 2 x x x 2 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức P và Q với x  0; x  4. x 2 x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn P. b) Tìm x sao cho P= 2. Hướng dẫn x x 2 x x 2 x 2 x x a) P . x 2 x 2 x 2 x b) Để P 2 2 x 4 x 16. (TMĐK) x 2 1 Ví dụ: Cho biểu thức A với x  0, x  9. Tìm x để A > 1. x 3 Hướng dẫn 1 1 x 4 Để A 1 1 1 0 0 x 3 x 3 x 3 Nhóm Toán THCS:
  14. 14/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê  x 4 0  x 16    x 3 0  x 9  9 x 16 (TMĐK)  x 16  x 4 0    x 9  x 3 0  3 x 5 3 Ví dụ: Cho biểu thức Avới Tìm x để 0 . x A . 2 x 1 2 Hướng dẫn 3 3 x 5 3 13 Cách 1: Để A 0 (luôn đúng) 2 2 x 1 2 2 2 x 1 3 13 Cách 2: Xét hiệu A 1. Hướng dẫn x 3 x 3 x 3 x 3 1 a) A : . với x 0, x  9. x x 3 x 3 x x 3 x 3 1 x 2 b) Để A 1 1 0 0 4 x 9. (TMĐK) x 3 x 3 x2 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức A 2 3 2 . 1 2 . 2x 8 x 2x 4x 8 x x a) Rút gọn A. 1 b) Giải bất phương trình A . 3 Nhóm Toán THCS:
  15. 15/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Hướng dẫn 2 2 x 2x x 2 4x x2 x 2 x3 4x x 1 x 2 x 1 a) A . 2 . 2 2 x 2 x 2x 2 x 4 x 2 2 x 4 x 2 với ĐKXĐ: x  0, x  2. 1 x 3 x 3 b) Để A 0  (TMĐK) 3 6x x 0 x x x 2 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức P và Q với x  0; x  4. x 2 x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn P. 1 b) Tìm M = P : Q. Tìm giá trị của x để M 2 . 4 Hướng dẫn x x 2 x x 2 x 2 x x a) P . x 2 x 2 x 2 x b) M P :Q x 2 1 1 x 1 x 2 Để M 2 0 M 0 x 2 x 4. 4 2 x 2 2 2 x 2 Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x 4. x 1 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức A và B với x  0, x  1, x  4. x 2 x x 2 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 27 10 2 18 8 2 8 B b) Rút gọn biểu thức P . A 3 c) Tìm giá trị nguyên của x để P x  . 2 Hướng dẫn Nhóm Toán THCS:
  16. 16/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Khi x 5 2 4 2 8 9 x 3 . Ta có A 2 B x x 2 x 2 x x 2 b) P . A x 1 x 2 x 1 x 1 3 x x x 2 x 3 2x x 2x 4 x 3x 3 c) Để P x   0  0 2 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 1 3 x 3 x 3 Ví dụ: Cho biểu thức: A : x 3 x x 9 x x 3 x 3 x a) Rút gọn. b) Tìm x để A 1 Hướng dẫn: ĐK: x 0; x  9 1 3 x 3 x 3 A : x 3 x x 9 x x 3 x 3 x 1 3 x 3 x 3 A : x 3 x( x 3)( x 3) x 3 x( x 3) x 3 x 3 x 3 x 3 A : x( x 3)( x 3) x( x 3) x 3 x 3 x( x 3) A . x( x 3)( x 3) x 3 x 3 1 A x 3 Nhóm Toán THCS:
  17. 17/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 1 x 3 1 0 x 3 x 3 4 x b) Với x 0; x  9 để A 1 thì 0 x 3  4 x 0  x 16    x 3 0  x 9  9 x 16  x 16  4 x 0    x 9  x 3 0  Với x 0; x  9 để A 1 thì 9 x 16 x2 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A 2 3 2 : 1 2 2x 8 x 2x 4x 8 x x a) Rút gọn. 1 b) Giải bất phương trình A 3 HDG: ĐKXĐ: x  0; x  2 x2 2x 2x2 1 2 A 2 3 2 . 1 2 2x 8 x 2x 4x 8 x x x2 2x 2x2 x2 x 2 A 2 2 . 2 2(x 4) (x 4)(x 2) x x3 2x2 2x2 4x 4x2 x2 x 2 A . 2(x2 4)(x 2) x2 x(x2 4) x2 x 2 A . 2(x2 4)(x 2) x2 (x 1)(x 2) x 1 A 2x(x 2) 2x Nhóm Toán THCS:
  18. 18/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 1 1 3x 3 2x x 3 0 0 2x 3 6x 6x 1  x 3 0  x 3 b) Với x  0; x  2 để A thì   3  x 0  x 0 x 0   x 3 0  x 3 x 3    x 0  x 0 x x x 2 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: P và Q với x  0; x  4 x 2 x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn P 1 b) Biết M P :Q Tìm giá trị của x để M 2 4 HDG: a) Với x  0; x  4 ta có: x x x 2 x x x x( x 2) P x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x P x 2 x x 2 x M P :Q : b) x 2 x 2 x 2 1 1 1 M 2 (M )(M ) 0 4 2 2 x 1 x 1 0 x 2 2 x 2 2 x 1 x 1 Để Do 0 0 x 2 2 x 2 2 x 2 0 x 2 0 2( x 2) x 4 2 1 Với x  0; x  4 M thì 0 x 4 để 4 Nhóm Toán THCS:
  19. 19/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 1 x x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B với x 0; x  1; x  4 x 2 x x 2 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 27 10 2 18 8 2 8 B b) Rút gọn biểu thức P A 3 c) Tìm giá trị nguyên của x để P x  2 HDG: 2 2 x 27 10 2 18 8 2 8 5 2 3 2 8 a)Ta có: x 5 2 3 2 8 10 0 x 10(TM ) A Thay vào biểu thức ta có: 10 1 ( 10 1)( 10 2) 9 10 2 A 10 2 10 4 6 x x 2 x x 2 B b) x x 2 ( x 1)( x 2) B x x 2 x 1 x x 2 P : Có: A ( x 1)( x 2) x 2 x 1 DẠNG 3: SO SÁNH BIỂU THỨC A VỚI k HOẶC BIỂU THỨC B (k là hằng số) Phương pháp: Nếu đề bài yêu cầu so sánh biểu thức A với hằng số A hay biểu thức khác là A thì ta đi xét hiệu A và xét dấu biểu thức này rồi kết luận. 2 x x 9 x x 5 x Ví dụ: Cho biểu thức: A và B với x  0; x  9; x  25 x 3 x 9 x 25 a) Rút gọn A A b) Hãy so sánh P với 1 B Hướng dẫn: Nhóm Toán THCS:
  20. 20/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x a) A x 3 A x x 5 x x 5 b)Ta có: P : B x 3 x 25 x 3 x 5 8 Xét hiệu: P 1 1 0 với x  0; x  9; x  25 x 3 x 3 2 x 9 x 3 2 x 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A với x  0; x  9; x  4 x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A 1 b) Hãy so sánh với 1 A HDG: a) với x  0; x  9; x  4 2 x 9 x 3 2 x 1 2 x 9 x 9 2x 3 x 2 A x 5 x 6 x 2 3 x ( x 2)( x 3) x x 2 x 1 A ( x 2)( x 3) x 3 1 x 3 x 3 x 1 4 1 1 0 b) Xét hiệu: A x 1 x 1 x 1 1 1 1 0 1 Vậy A A 3x 9x 3 x 1 x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A với x  0; x  1 x x 2 x 2 1 x a) Rút gọn A 1 b) Hãy so sánh A với 2 HDG: Với x  0; x  1 Nhóm Toán THCS:
  21. 21/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3x 9x 3 x 1 x 2 3x 3 x 3 x 1 x 4 A x x 2 x 2 1 x x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 A x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1 2 x x x 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A : với x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 x  0; x  1 a) Rút gọn A b) Hãy so sánh A với 1 1 2 x x x 1 A : x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 1 2 x x( x 1) 1 A : x 1 ( x 1)(x 1 ( x 1)(x 1) x 1 ( x 1)2 x 1 x 1 x 1 x 1 A : . ( x 1)(x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 A 1 1 0 x 1 3( x 1) 3 x 1 Xét hiệu A 1 x 1 6 x 1 x Ví dụ: Cho biểu thức: A 2 : 2 x 3 (2 x 3)( x 1) x 1 a) Rút gọn A 3 b) Hãy so sánh A với 2 x 1 6 x 1 x A 2 : 2 x 3 (2 x 3)( x 1) x 1 4 x 6 x 1 6 x 1 2x 3 x A : 2 x 3 ( x 1)(2 x 3) 3 x 5 ( x 1)(2 x 3) 3 x 5 A . 2 x 3 2x 3 x 1 2 x 1 Nhóm Toán THCS:
  22. 22/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 3 x 5 3 6 x 10 6 x 3 13 A 0 2 2 x 1 2 2(2 x 1) 2(2 x 1) 3 3 Xét hiệu: A 0 A 2 2 DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA ĐỂx BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dưới dạng phân thức có tử là số nguyên, lí luận chặt chẽ để rồi chỉ ra mẫu phải thuộc ước của tử và kết luận. 1 5 6 6 Ví dụ: Cho biểu thức: A : x 1 x 3 9 x x 2 a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên Hướng dẫn: a) Điều kiện: x  0; x  9 1 5 6 6 x 3 5( x 3) 6 x 2 A : . x 1 x 3 9 x x 2 ( x 3)( x 3) 6 6 x 18 x 2 x 2 A . ( x 3)( x 3) 6 x 3 x 2 x 3 5 5 b) Ta có: A 1 x 3 x 3 x 3 5 A có giá trị nguyên có giá trị nguyên x 3 U (5) x 3 { 1;1; 3;3} x 3 Ta biết rằng khi x là số nguyên thì x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính 5 phương)hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương) Để là số nguyên thì x x 3 không thể là số vô tỉ, do đó x là số nguyên, suy ra x 3 là ước tự nhiên của 5 Ta bảng sau: x 3 1 1 5 5 x 4 2 8 2 x 16 4 64  Nhóm Toán THCS:
  23. 23/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 x 1 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A x . x x x 1 x 1 a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. HDG: a) ĐK: x 0 1 x 1 1 ( x 1)(x x 1) x 1 x x 1 A x . . x x x 1 x 1 x ( x 1)(x x 1) x 2 A x x 2 2 b) Ta có: A 1 x x 2 A có giá trị nguyên có giá trị nguyên x U (2) x { 1;1; 2;2} x Mà x 0 nên x {1;2} Ta có: x 1 x 1 (TM ) x 2 x 4 (TM ) Vậy x 1;4 3 x x 1 1 x Ví dụ: Cho biểu thức: A . x x x x x 1 x x 1 a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị của x để A 10 c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. HDG: a) ĐK: x 0; x  1 Nhóm Toán THCS:
  24. 24/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 x x 1 1 x 3 x x 1 1 x A . . x x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 3 x 1 x 3 x x 1 x A 1 . . x x x x 1 x x x x 1 3 A 1 x 3 3 1 1 3 x 1 10  9  3  0 x x x x b) Với x 0; x  1để A 10 thì 1 Do x 0 1 3 x  0 3 x 1 x 9 1 Vậy với x 0; x  1để A 10 0 x thì 9 3 c) A 1 x 3 A có giá trị nguyên có giá trị nguyên x U (3) x { 1;1; 3;3} x Mà x 0 nên x {1;3} Ta có: x 1 x 1 (TM ) x 3 x 9 (TM ) Vậy x 1;9 x 2 x 1 x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A vàB : với x  0; x  4 x 2 x 4 x 2 x 4 a) Rút gọn B b) Tìm các giá trị nguyên của x để P A(B 2) có giá trị nguyên HDG: Với x  0; x  4 x 1 x 2 x x 2 x 4 2 x 2 B : . x 4 x 2 x 4 x 4 x 2 x 2 Nhóm Toán THCS:
  25. 25/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 4 P A(B 2) . 2 . x 2 x 2 x 2 x 2 b)Ta có: x 2 2 2 P . x 2 x 2 x 2 2 P có giá trị nguyên có giá trị nguyên x 2 U (2) x 2 { 1;1; 2;2} x 2 Ta biết rằng khi x là số nguyên thì x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính 2 phương)hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương) Để là số nguyên thì x x 2 không thể là số vô tỉ, do đó x là số nguyên, suy ra x 2 là ước tự nhiên của 2 x 2 1 1 2 2 x 3 1 4 0 x 9 1 16 0 Vậy x 0;1;9;16 DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ CỦA ĐỂx BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Cách 1: Dựa vào điều đánh giá biểu thức để tìm ra khoảng biểu thức nằm trong, biện luận biểu thức nguyên nên ta chỉ được các giá trị nguyên thuộc khoảng đó, với mỗi gía trị của biểu thức ta sẽ tìm ra dược các nghiệm của biến tương ứng. Cách 2: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, biến đổi suy ra một vế chỉ còn chứa căn thức bậc hai, dựa vào căn thức để giải bất phương trình để tương ứng, tìm khoảng tham số nằm trong rồi giải với các tham số tương ứng để tìm ra các nghiệm của biến tương ứng. 7 Ví dụ: A với x  0 . Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên. x 3 A 0 Cách 1:Với x  0 ta có 7 7 *)A x 3 3 Mà A Z A{1;2} Nhóm Toán THCS:
  26. 26/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Với A 1 x 16( thỏa mãn) 1 Với A 2 x ( thỏa mãn) 4 7 Cách 2: Đặt A n(n Z) x 3 7 7 3n A n x x 3 n 7 3n 7 Vì x  0 nên  0 0 n n 3 Mà n Z n {1;2} Với n 1 x 16( thỏa mãn) 1 Với n 2 x ( thỏa mãn) 4 1 Vậy với x 16; x thì biểu thức A có giá trị nguyên. 4 7 x 2 x 3 x 3 36 Ví dụ: Cho biểu thức: A vàB với x  0; x  9 2 x 1 x 3 x 3 x 9 a) Rút gọn B và tìm tất cả các giá trị của x để A B b) Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên Hướng dẫn: x 3 x 3 36 ( x 3)2 ( x 3)2 36 12 x 36 B x 3 x 3 x 9 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) a) 12 B x 3 7 x 2 12 A B (7 x 2)( x 3) 12(2 x 1) 2 x 1 x 3 Để 7x 5 x 18 0  x 2  9 x 4  x (KTM )  7 Nhóm Toán THCS:
  27. 27/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê vậy để A B thì x 4 7 11 7 (2 x 1) (2 x 1) 7 x 2 7 b A 2 2 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 7 7 A 0 A .A nguyên A 1;2;3 2 mà nhận giá trị nguyên dương 2 3 9 A 1 x x Với 5 25 4 16 A 2 x x Với 3 9 Với A 3 x 5 x 25 9 16 A x ; ;25 Vậy để nhận giá trị nguyên dương thì 25 9 x 2 x 24 7 Ví dụ: Cho biểu thức: A vàB với x  0; x  9 x 3 x 9 x 8 a) Tính giá trị của biểu thức B khi x 36 a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị của x để P A.B có giá trị nguyên Hướng dẫn: x 8 b) A x 3 7 c) Ta có đánh giá 0 P 3 Với P 1 x 16( thỏa mãn) 1 Với P 2 x ( thỏa mãn) 4 1 x 15 x 2 x 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A vàB : với x  0; x  25 1 x x 25 x 5 x 5 a) Rút gọn B Nhóm Toán THCS:
  28. 28/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b) Tìm các giá trị của x để P B A có giá trị nguyên. HDG: a) Với x  0; x  25 15 x 2 x 1 15 x 2 x 10 x 5 B : . x 25 x 5 x 5 ( x 5)( x 5) x 1 1 B x 1 1 1 x x 1 b) Ta có: P B A 1 x 1 1 x x 1 x 1 Có x  0 P  0 1 1 Có 0 1 1 x 1 x 1 Nên 0 P 1 mà P nguyên nên P 0 1 Vói P 0 1 0 x 1 1 x 0 (TM ) x 1 Vậy x 0 thì P B A có giá trị nguyên. 1 1 x 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A . với x  0; x  4 x 2 x 2 x a) Rút gọn A 7A b) Tìm x để có giá trị nguyên. thực 3 HDG: a)Với x  0; x  4 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 A . . x 2 x 2 x ( x 2)( x 2) x 2 A x 2 Nhóm Toán THCS:
  29. 29/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 7A 7 7 2 A . 3 3 3 b) x 2 7 x 0 A 0 Có 3 2 7 2 7 x  0 x 2  2 1 . x 2 3 x 2 3 7 7 0 A 3 3 Nên 7 7 A A 1;2 3 3 Mà nguyên nên 7 7 2 64 A 1 . 1 3 x 6 14 x 3 3 9 Có x 2 7 7 2 1 A 2 . 2 3 x 6 7 x 3 3 9 Có x 2 64 1 7 x ;  thì A có giá trị nguyên. 9 9 3 Vậy  DẠNG 6:TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT. Phương pháp: Cách 1: Thêm bớt rồi dùng định lí Cô si hoặc đánh giá dựa vào điều kiện. Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị. Chú ý: + Biểu thức A có giá trị lớn nhất là a , kí hiệu là Amax =a nếu A a với mọi giá trị của biến và tồn tại sao cho ít nhất một giá trị của biến dấu " "xảy ra. + Biểu thức A có giá trị lớn nhất là b , kí hiệu là Amin =b nếu A  b với mọi giá trị của biến và tồn tại sao cho ít nhất một giá trị của biến dấu " "xảy ra. x x 26 x 19 2 x x 3 Ví dụ: Cho biểu thức: A với x  0; x  1 x 2 x 3 x 1 x 3 Nhóm Toán THCS:
  30. 30/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Hướng dẫn: x 16 a) A x 3 b) Cách 1: Thêm bớt rồi dùng Cô- si hoặc đánh giá dựa vào ĐKXĐ. x 16 x 9 25 25 A x 3 x 3 x 3 x 3 25 25 x 3 6  2 ( x 3). 6 x 3 x 3 2.5 6 4 25 x 3 x 4 x 3 Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi A  4 Amin 4khix 4 Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị. x 16 2 A x A x 16 3A 0 x 3 A  4 Để phương trình có nghiệm thì  0  min A 4 A 16 A Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi x 2 x 4 (thỏa mãn) 2 x 1 x Ví dụ: Cho biểu thức: A : x x x x 1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của A Hướng dẫn: a) ĐK: x 0 Nhóm Toán THCS:
  31. 31/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 1 x x x 1 x A : : x x x x 1 x( x 1) x( x 1) x x( x 1) x A . x( x 1) x x 1 x x 1 x 1 b) Ta có: A 1 x x 1 1 x x 1 1 Xét biểu thức ở mẫu: 1 x  2 x. 1 3 (áp dụng Cô - si) x x 1 1 1 Ta có: A Do đó maxA= khi x x 1 3 3 x x x 6 x x 36 x Ví dụ: Cho biểu thức: A . x 36 x 6 x 2( x 3)(x 2 x 3) a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của A Hướng dẫn: 6 a) A với ĐK x 0; x  9; x  36 x 2 x 3 6 6 6 2 A 3 x 1  0 max A 3khix 1 b) 2 vì x 2 x 3 ( x 1) 2 2 2 x 3 3 x 2 15 x 11 Ví dụ: Cho biểu thức: A với x  0; x  1 x 3 x 1 x 2 x 3 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Hướng dẫn: 5 x 2 A x  0; x  1 a) x 3 với ĐK: Nhóm Toán THCS:
  32. 32/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 5 x 2 5 x 15 17 17 17 A 5  5 x 3 x 3 x 3 3 2 A  ( x  0) b) 3 2 min A khix 0 3 MÌNH sửa đề bài biểu thức B đẻ đc kết quả như bài toán yêu cầu. x x 4 3x x 2 x 1 x 1 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B với x 0; x  4 x 2 x 2 x x 2 x x 1 a) Chứng minh: B x 2 b) Tính giá trị của A khi x x 1 (2 5 1) x 3x 2 x 4 3 A c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P B HDG: Với x 0; x  4 3x x 2 x 1 x 1 3x x 2 x 1 x 1 B x 2 x x 2 x x x 2 x x 2 3x x 2 ( x 1)( x 2) x( x 1) B x( x 2) 3x x 2 x x 2 x x x x x 1 B x( x 2) x( x 2) x 2 x x 1 (2 5 1) x 3x 2 x 4 3 3x 2 x 4 3 x x 1 2 5x x 0 2x 2 x 4 2 5x 2 0 x 4 2 x 4 1 x 2 5x 5 0 b) Ta có: 2 2 x 4 1 x 5 0  x 4 1 0 x 4 1   x 5  x 5 0 x 5 Nhóm Toán THCS:
  33. 33/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 5 A Thay vào biểu thức ta có: 5 5 4 9 5 (9 5)( 5 2) A 9 5 18 5 2 5 5 2 5 2 5 4 A 23 11 5 A x x 4 x 1 x x 4 4 P : x B x 2 x 2 x 1 x 1 4 c) P x 1 1 x 1 4 Có: x 0 x 1; là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1 4 4 x 1  2 x 1 . x 1 x 1 4 x 1 1 2.2 1 x 1 4 x 1 1 3 x 1 4 Vậymin P 3 Dấu " "xảy ra khi x 1 x 1 2 x 1 x 1 DẠNG 7: CHỨNG MINH BIỂU THỨC LUÔN LUÔN ÂM HOẶC LUÔN LUÔN DƯƠNG VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA ẨN. Phương pháp: 2 A A 1 k k + Để chứng minh biểu thức A 0 ta chỉ ra với ( là hằng số dương) 2 + A 0 A A 1 k k Để chứng minh biểu thức ta chỉ ra với ( là hằng số dương) 1 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức: A . với x  0; x  4 x 1 x x 1 x a) Rút gọn A b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn âm với mọi giá trị của x làm A xác định. Hướng dẫn: a) Điều kiện x 0 Nhóm Toán THCS:
  34. 34/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x x 1 (x 2) 2 A : ( x 1)(x x 1) x ( x 1) x x A . . ( x 1)(x x 1) 2 2(x x 1) 1 3 b) Ta có: x > 0 nên x 0; x x 1 ( x )2 0 2 4 Do đó A 0. 1 1 x x x Ví dụ: Cho biểu thức A . x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn âm với mọi giá trị của x làm A xác định. Hướng dẫn a) Điều kiện x 1 . Khi đó ta có A x 2 x 1. b) Ta có: A x 2 x 1 ( x 1 1)2  0. Vậy A không âm với mọi x 1 . Dạng 8: CHỨNG MINH BIỂU THỨC THỎA MÃN VỚI ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. x 2 x 1 7 x 9 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B ( Với x 0, x  9 ). x x 3 x 9 a) Rút gọn biểu thức B. 1 1 b) Tính giá trị của A khi x . 2 1 2 1 A c) Cho biểu thức P . Hãy tìm các giá trị của m để x thỏa mãn P = m B Hướng dẫn Nhóm Toán THCS:
  35. 35/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 2 a) B . x 3 1 1 2 1 2 1 2 2 b)x 2 Thay vào A . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A x 3 c)P Với điều kiện x 0, x  4, x  9. B x P m (m 1) x 3 (1) Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô ghiệm. 3 Nếu m  1 thì từ (1) x . m 1 Do x 0, x  4, x  9 x 0, x  2, x  3. 3 0 m 1 m 1 3 5 Để có x thỏa mãn P = m  2 m  m 1 2 3 m  2  3 m 1 5 Vậy m 1,m  ,m  2 ( Thỏa mãn yêu cầu bài toán) 2 x 2 x 1 7 x 9 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B ( Với x 0, x  9 ). x x 3 x 9 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 4 2 3. A c) Tìm x để biểu thưc 1 . B A d) Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn m. B x2 x 2x x 2(x 1) Ví dụ: Cho biểu thức: A . x x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Nhóm Toán THCS:
  36. 36/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 2 x c) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị là số nguyên. A x 3 3 x 2 x 3 2 x Ví dụ: Cho biểu thức: A ( ) : ( ) x 2 2 x x 4 x 2 2 x x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 9 4 5 . c) Tìm x sao cho A.(x 1) 3 x. 7 x 3 2 x x 1 x 7 Ví dụ: Cho biểu thức: A và B (DK XD : x 0, x  9). 9 x x 3 x 3 3 x 3 x a) Chứng minh rằng A . x 3 b) So sánh A với 3. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B. x 2 x x 1 1 2x 2 x Ví dụ: Cho biểu thức A ( Với x 0, x  1 ) x x 1 x x x x x2 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn x 2 a) A . x x 1 b) Cách 1: Với x 0, x  1 x x 1 x 1 1. x 2 x 2 1 Vậy 0 A 1 2. x x 1 x 1 x 1 x 2 Vì A nguyên nên A = 1 1 x 1 ( Không thỏa mãn). x x 1 Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên. Cách 2: Dùng miền giá trị x 2 A Ax+(A-1) x A 2 0 x x 1 Trường hợp 1: A 0 x 2 x  Nhóm Toán THCS:
  37. 37/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 Trường hợp 2: A  0  (A 1)2 4A(A 2) 3A2 6A 1 0 A2 2A 0 3 4 4 A2 2A 1 (A 1)2 A 1;2doA Z, A 0 3 3 Với A = 1 => x = 1 ( loại) x 2 Với A = 2 2 x 0 ( loại). x x 1 x 1 1 x x x Ví dụ: Cho biểu thức A và B ( ). ( Với x  0, x  1 ). x 1 x 1 x 1 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của A khi x 5 2 6 . c) Với x N và x  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B. C. LUYỆN TẬP BÀI TẬP GỒM NHIỀU Ý HỎI Bài I: Cho biểu thức: x 1 2 2 x x 2 2 A ( ) : ( ) với x  0, x  1 x 1 x x x x 1 x x 2 x 1 x 1 1. Chứng minh: A . x 1 2. Tính giá trị của A khi: a) x 6 4 2 1 b) x ( 9 80 9 80 ). 4 c) x 3 10 6 3 3 10 6 3. 1 1 1 d) x . 1 3 3 5 79 81 e) x là nghiệm của phương trình 2x2 3x 5 x 1. f) x là nghiệm của phương trình 2x 6 3x 1. g) x là giá trị của biểu thức M x(1 x) đạt giá trị lớn nhất. 3. Tìm x để: 1 a)A ; b) A A ; c) A2 A 0. 6 4. So sánh: Nhóm Toán THCS:
  38. 38/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 3 a) A với 1 b) A với biểu thức N . 2 x 2 5. Tìm x nguyên dương để biểu thức nhận giá trị nguyên . A 6. Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên. 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a)P A(x x 2). A b)Q ;0 x 4. x 3 x 2 x c)R ; x 1. A 8. Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức: a) B = 2 - A; A b)C với x > 1. x 7 9. Tìm x thỏa mãn A( x 1) (2 6 1) x 2x 2 x 5 1 . Bài II. Cho biểu thức: 2x 1 x 1 x x 2 2 x B ( ).( x) với x 0, x  1 x x 1 x x 1 1 x x x 3 x 2 1. Chứng minh: B . x 2. Tính giá trị của B khi: a) x 7 48 b) x 11 6 2 11 6 2 ). c) x 3 5 2 7 3 5 2 7. 1 1 1 d) x . 1 4 4 7 97 100 e) x là nghiệm của phương trình x2 x 2 x. f) x là nghiệm của phương trình x 1 2x 5 g) x là giá trị của biểu thức P x 4 x 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Tìm x để: 3 x 4 a) B = 0; b) B 0. x 4. So sánh: Nhóm Toán THCS:
  39. 39/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 3x a) B với -2 b) B với biểu thức C . x 5. Tìm x để B nhận giá trị nguyên . 6. Xét dấu biểu thức T B( x 1) . 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) B. b) D B x. B c) E . x 8. Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức: a) G = -3 - B; b) Q 1 B x. 9. Tìm x thỏa mãn B x (2 3 3) x 3x 4 x 1 10. . Bài III. Cho biểu thức: x 2 x 2x x 1 2 x 2 C ( ) : ( ) với x 0, x  4, x  9 x 4 x 4 4 x x 2 x x x x 1. Chứng minh: C . x 3 2. Tính giá trị của C khi: a) x 6 2 8 b) x 11 3 8 11 3 8 ). c) x 3 14 2 20 3 14 2 20 1. 1 1 1 d) x . 1 5 5 9 77 81 e) x là nghiệm của phương trình x2 x x 1. f) x là nghiệm của phương trình x 3 3 g) x là giá trị của biểu thức M x 3 x 5 đạt giá trị lớn nhất. 3. Tìm x để: a)C 2 0; b) C C; 4. So sánh C với biểu thức D x khi x > 9. 2C 5. Tìm x để biểu thức E nhận giá trị nguyên . x 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Nhóm Toán THCS:
  40. 40/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê C a) Biểu thức C với x > 9. b) I với 0 x 9, x  4. x x C 7. Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức: N . x 1 C 8. Tìm x thỏa mãn (2 2 C) x 3C 3x 2 x 1 2. . D. MỘT SỐ CÂU VỀ RÚT GỌN VÀ CÂU HỎI PHỤ TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 – 2013) x 4 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x  0;x  16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B A –1 là số nguyên. Giải: 36 4 10 5 1) Với x = 36, ta có : A = 36 2 8 4 2) Với x  0;x  16 ta có : x( x 4) 4( x 4) x 2 (x 16)( x 2) x 2 B = = x 16 x 16 x 16 (x 16)(x 16) x 16 x 2 x 4 x 2 2 2 B A 1 . 1 . 3) Ta có: . x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2, mà Ư(2) =1;2 Ta có bảng giá trị tương ứng: x 16 1 1 2 2 Nhóm Toán THCS:
  41. 41/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x  0, x  16 , để B(A 1) nguyên thì x 14; 15; 17; 18 . Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 – 2014) 2 x x 1 2 x 1 Với x > 0, cho hai biểu thức A và B . x x x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3 3) Tìm x để . B 2 Giải: 2 64 2 8 5 1) Với x = 64 ta có A 64 8 4 ( x 1).(x x) (2 x 1). x x x 2x 1 x 2 2) B = 1 x.(x x) x x x x +1 x 1 3) Với x > 0 ta có : A 3 2 x 2 x 3 x 1 3 : B 2 x x 1 2 x 2 2 x 2 3 x x 2 0 x 4.( Do x 0) Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 – 2015) x 1 1) Tính giá trị biểu thức : A khi x = 9. x 1 x 2 1 x 1 2) Cho biểu thức P . với x > 0; x  1 . x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chứng minh P . x b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x 5 . Giải: Nhóm Toán THCS:
  42. 42/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 1 4 1) Với x = 9 thì x 9 3 A 2 3 1 2 x 1 2) a) Chứng minh P . x x 2 x x 1 x x 2 x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 1 P . . . x( x 2) x( x 2) x 1 x( x 2) x 1 x( x 2) x 1 x 2 x 1 3) - Để 2P = 2 x 5 nên 2 x 5 x - Đưa về được phương trình 2x 3 x 2 0  x 2(L)  1 - Tính được 1 x thỏa mãn điều kiện x > 0; x  1  x 4  2 1 - Vậy với x = thì 2P = 2 x 5 4 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) x 3 x 1 5 x 2 Cho hai biểu thức A và B với x 0;x  4. x 2 x 2 x 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt GTNN. B Giải: 9 3 1) Thay x 9 TMDK vào biểu thức A ta có: A 12 3 2 2) x 1 5 x 2 x 1 5 x 2 x 1 x 2 5 x 2 x 2 x x B x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 A x 3 3 3) P x B x x Nhóm Toán THCS:
  43. 43/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 Theo BĐT Cosi, ta có: x  2 3 x 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x x 3 TM x Vậy GTNN của P là 2 3 , đạt được khi x 3. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 – 2017) 7 x 2 x 24 Cho hai biểu thức A và B với x  0;x  9. x 8 x 3 x 9 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25. x 8 2) Chứng minh B . x 3 3) Tìm x để biểu thức P A.B có giá trị là số nguyên. Giải: 7 7 1) Thay x 25 TMDK vào biểu thức A ta có: A 5 8 13 2) x 2 x 24 x 2 x 24 x 3 x 2 x 24 x 5 x 24 B x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 8 x 8 x 3 x 3 x 3 7 3) P A.B x 3 +) Ta có: x  0 nên P 0. 7 7 +) x  0 x 3  3 x 3 3 7 Nên 0 P . Để P P 1;2 3  TH1: P 1 x 16 TM Nhóm Toán THCS:
  44. 44/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 TH2: P 2 x TM 4 1  Vậy để biểu thức P A.B có giá trị là số nguyên thì x ;16 . 4  Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 – 2018) x 2 3 20 2 x Cho hai biểu thức A và B với x  0;x  25. x 5 x 5 x 25 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. 1 2) Chứng minh B . x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B x 4 . Giải: 3 2 5 1) Thay x 9 TMDK vào biểu thức A ta có: A 3 5 2 2) 3 20 2 x 3 20 2 x 3 x 15 20 2 x x 5 1 B x 5 x 25 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 3) A B x 4 x 2 1 x 4 x 5 x 5 x 2 x 4 1 TH1: Nếu x  4, x  25 thì (1) trở thành:  x 3 x 9 TM x 2 x 4 x x 6 0 x 2 x 3 0   x 2 KTM TH1: Nếu 0 x 4 thì (1) trở thành:  x 1 x 1 TM x 2 x 4 x x 2 0 x 2 x 1 0   x 2 KTM Nhóm Toán THCS:
  45. 45/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Vậy để A B x 4 thì x 1;9 . Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 – 2019) x 4 3 x 1 2 Cho hai biểu thức A và B với x  0;x  1. x 1 x 2 x 3 x 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. 1 2) Chứng minh B . x 1 A x 3) Tìm tất cả các giá trị của x để  5. B 4 Giải: 3 4 7 1) Thay x 9 TMDK vào biểu thức A ta có: A . 3 1 2 2) 3 x 1 2 3 x 1 2 3 x 1 2 x 2 x 3 1 B x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 A x x 2 3)  5 x 4  5 x 4 x 4 0 x 2 0 x 2 0 vì B 4 4 2 x 2  0 x  0 x 2 x 4 TM A x Vậy để  5 thì x 4. B 4 CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT 1. Hệ phương trình cơ bản ax by c Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn I a'x b' y c' Nhóm Toán THCS:
  46. 46/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Cặp số x0 ; y0 là một nghiệm của hệ (I) nếu hai phương trình của hệ có chung một nghiệm x0 ; y0 . Nếu hệ (I) không có nghiệm thì ta kết luận hệ (I) vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng d1 :ax by c và d2 :a'x b'y c' . Khi đó: +) Nếu d1 cắt d2 thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất. +) Nếu d1 // d2 thì hệ (I) vô nghiệm. +) Nếu d1 trùng d2 thì hệ (I) có vô số nghiệm. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Giải hệ phương trình không cơ bản Phương pháp đặt ẩn phụ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có. Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt. Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm. 3. Giải và biện luận hệ phương trình cơ bản Phương pháp Từ một phương trình rút y theo x rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình ax b. Biện luận: b +) Nếu a  0 thì x thay vào biểu thức để tìm y , khi đó hệ có duy nhất nghiệm. a +) Nếu a 0 thì ta có 0.x b Nếu b 0 thì hệ có vô số nghiệm. Nếu b  0 thì hệ vô nghiệm. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Nhóm Toán THCS:
  47. 47/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Dạng 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp: Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn. Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Chú ý: Ở bước 1 ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế x 2y 1 2x 3y 5 Hướng dẫn x 2y 1 1 . Từ phương trình 1 x y 1 thế vào phương trình 2 2x 3y 5 2 Ta được 2 y 1 3y 5 y 1 x 1. x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y 1 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế x y 3 5x 3 y 2 2 2x y 7 1) 2) 3) 3x 4y 4 x 4y 10 x 6 y 2 2 x 2 3y 1 2x 3y 4 x 2y 3 4) 5) 6) 6x 9y 1 2x 4y 6 x 3y 2 5x 4y 3 3x 2y 1 x 2y 1 7) 8) 9) 7x 9y 8 2 2x 3y 0 2x 3y 4 Đáp số: 1)x 8; y 5 8 2 10 2 2 50 3 2 7 7 3 2 2 28 2)x ; y 3)x ; y 1 20 3 1 20 3 3 2 3 2 1 5) 6) 4)x 1; y HPT VN HPT VSN 6 3 5 19 3 5 3 4 2 2 4 7)x ; y 8)x ; y 9)x ; y 17 17 7 7 5 5 Nhóm Toán THCS:
  48. 48/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số x y 2 x 2y 6 a) b) 2x y 1 2x 3y 5 Hướng dẫn a) Cộng từng vế của hai phương trình của hệ ta có: 3x 3 x 1 x 1 2x y 1 2x y 1 y 1 x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y 1 x 2y 6 2x 4y 12 7y 7 y 1 y 1 b) 2x 3y 5 2x 3y 5 2x 3y 5 2x 3y 5 x 4 x 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y 1 Ví dụ:Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số x y 2 2x 3y 2 4x y 12 1) 2) 3) 2x y 4 x 2y 3 x y 2 x 2 3y 1 2x 3y 4 x 2y 3 4) 5) 6) 6x 9y 1 2x 4y 6 x 3y 2 5x 4y 3 3x 2y 1 x 2y 1 7) 8) 9) 7x 9y 8 2 2x 3y 0 2x 3y 4 Đáp án: 1)x 2; y 0 2)x 5; y 4 10 4 3)x ; y 3 3 1 5) 6) 4)x 1; y HPT VN HPT VSN 6 3 5 19 3 5 3 4 2 2 4 7)x ; y 8)x ; y 9)x ; y 17 17 7 7 5 5 Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: x y y x y 0,1 2 3 2 5 2x y 7 1) 2) 3) x 8 9 y x y x y 2 0,1 y 4 4 5 2 Đáp án: 8 12 10 3 1)x ; y 2)x ; y 3)x 3; y 1 19 19 41 41 Nhóm Toán THCS:
  49. 49/208 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Dạng 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CƠ BẢN Phương pháp: Đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có. Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt. Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 x 1 y 2 3 x 2018 2 y 2020 13 a) b) 3 2 7 3 x 2018 3 y 2020 9 x 1 y 2 Hướng dẫn a) Điều kiện: x  1; y  2. 1 1 a b 1 Đặt a; b. Khi đó hệ trên trở thành . Giải hệ phương trình cơ x 1 y 2 3a 2b 7 a 1 bản này ta được . b 2 1 1 x 0 x 1 Trở lại ẩn x; y ta có: 1 1 y 2 2 y 2 x 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 . y 2 b) Điều kiện: x  2018. 3a 2b 13 Đặt x 2018 a; y 2020 b . Khi đó hệ trên trở thành . Giải hệ phương 5a 3b 9 a 3 trình cơ bản này ta được . b 2 Nhóm Toán THCS: