Các dạng Toán Lớp 11 thường gặp: Khoảng cách

Nội dung text: Các dạng Toán Lớp 11 thường gặp: Khoảng cách

1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TOÁN 11 KHOẢNG CÁCH 1H3-5 Contents A. CÂU HỎI 1 DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1 DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG 2 Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên 2 Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng 6 DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 11 B. LỜI GIẢI 17 DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 17 DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG 22 Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên 22 Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng 34 DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 54 1
2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A. CÂU HỎI DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a 2 và tam giác SAC đều. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. A. .2 a B. . a 2 C. . a 3 D. . a Câu 2. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABC D có AC 3a, BD 4a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vuông góc BD . Tính MN . 5a 7a a 7 a 5 A. .M N B. . C.M N. D. . MN MN 2 2 2 2 Câu 3. (Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho hình chóp S. AcóB Cđáy là tam giác đều cạnh a , SA  ABC , góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là 60 . Độ dài cạnh SA bằng 3a a a A. . B. . C. . a 3 D. . 2 2 3 Câu 4. (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng A B C là trung điểm của B C . Tính theo akhoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC.A B C . a a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 2
3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AD 2a , CD a , AA' a 2 . Đường chéo AC ' có độ dài bằng A. .a 5 B. . a 7 C. . a 6D. . a 3 Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AD 2a , CD a , AA a 2 . Đường chéo AC có độ dài bằng: A. .a 5 B. . a 7 C. . a 6 D. . a 3 Câu 7. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh bằng 2 , tam giác ABC vuông tại B , BC 3 . Biết khoảng cách giữa hai đường 11 thẳng chéo nhau AB và CD bằng . Khi đó độ dài cạnh CD là 2 A. . 2 B. . 2 C. . 1 D. . 3 Câu 8. Cho hình bình hành ABCD . Qua A, B,C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By,Cz, Dt cùng phía so với ABCD song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng  lần lượt cắt các nửa đường thẳng Ax, By,Cz, Dt tại A , B ,C , D thỏa mãn AA 2, BB 3,CC 4 . Hãy tính DD . A. 3. B. 7. C. 2. D. 5. Câu 9. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABC cóD tam giác AB đềuD cạnh bằng , tam2 giác ABC vuông tại B , BC 3 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD 11 bằng . Khi đó độ dài cạnh CD là 2 A. . 2 B. . 2 C. . 1 D. . 3 Câu 10. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' B ' Ccó' độ dài cạnh đáy bằng 4 3 và cạnh bên bằng 12 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AA' và BC , gọi P và Q là hai điểm chạy trên đáy A' B 'C ' sao cho PQ 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T MP NQ bằng A. .8 3 B. . 3 37 C. . 3 6D.1 . 6 29 Câu 11. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , SA 2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC . a 2 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3 Câu 12. Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên. 3
4. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a . a 5 a 5 a 5 A. . B. . C. . D. . a 5 2 4 3 DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên Câu 13. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp S.AB C có SA ^(ABC , ) SA = AB = 2a , tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng A. .a 3 B. . a C. . 2a D. . a 2 Câu 14. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho hình chóp SAB cóC đáy là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a 57 2a 57 2a 3 2a 38 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Câu 15. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , 2SA AC 2a và SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là 2a 6 4a 3 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 16. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp S.AB Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SB 3a, AB 4a, BC 2a . Khoảng cách từB đến mặt phẳng (SAC) bằng 12 61a 3 14a 4a 12 29a A. . B. . C. . D. . 61 14 5 29 Câu 17. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5 4
5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 18. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 5a 3a 6a 3a A. . B. . C. . D. . 3 2 6 3 Câu 19. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C,BC a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2a a 3a A. . 2a B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 20. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a a 6 a 2 A. . B. . a C. . D. . 2 3 2 Câu 21. (HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng BDA . 3 6 2 A. .d B. . d C. . D. . d d 3 3 4 2 Câu 22. (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C có' đáy là tam giác ABC vuông tại A có BC 2a ,AB a 3 , (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ Ađến mặt phẳng (BCC 'B' ) là a 5 a 7 a 3 a 21 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 7 Câu 23. (Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách từ tâm O của đáy tới mp SCD bằng a a a a A. . B. . C. . D. . 2 2 6 3 Câu 24. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABC Dcó đáy là hình vuông tâm ,O SA vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai? A. d B, SCD 2d O, SCD . B. d A, SBD d B, SAC . 5
6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP C. d C, SAB d C, SAD . D. d S, ABCD SA. Câu 25. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S.AB cóC tam giác AB làC tam giác vuông tại A , AC a 3 , ABC 30 . Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến SBC bằng bao nhiêu? a 6 a 3 2a 3 3a A. . B. . C. . D. 35 35 35 5 Câu 103. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SC 10 5 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng cách d giữa BD và MN . A. .d 3 5 B. . d C.5 . D. d. 5 d 10 Câu 104. (Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC )trùng với trung điểm H của . AB Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 600 . Khoảng cách giữa AB và SC a 3 a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 4 4 2 Câu 105. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện đều ABC Dcó cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm AD và N trên cạnh BC sao cho BN 2NC . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và CD . 2 2 6 6 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 Câu 106. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh là 2a , A BC = 60°. Tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M AM 1 là điểm trên cạnh AB sao cho . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng AB = 3 30 30 3 3 A. a. B. a. C. a. D. a. 10 5 2 4 Câu 107. (HKI - SGD BẠC LIÊU_2017-2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích 84 cm2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là 3 21 2 21 21 6 21 A. . B.cm . C. cm D. . cm cm 7 7 7 7 Câu 108. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. M , N , P lần lượt là trung điểm .S TínhB, BC khoảng, SD cách giữa và AP MN 3a 3a 5 a 5 A. . B. . C. . 4D.a .15 15 10 5 6
7. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 109. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA SB SC 11, S AB 30o , S BC 60o và S CA 45o . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD . 22 A. .d 4 11 B. . C.d . 2 22 D. d d 22 2 Câu 110. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABC Dcó các mặt phẳng SA , B SA D cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B , có AD 2AB 2BC 2a , SA AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: a 3 a 15 a 3 a 10 A. . B. . C. . D. . 2 5 4 5 Câu 111. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau,OA a và OB OC 2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng 2a 2 5a 6a A. . B. . a C. . D. . 2 5 3 Câu 112. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a ( tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC bằng B C A D B' C' A' D' a 3 a 2 A. . B. . C. . a 3D. . a 2 3 2 Câu 113. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a , BC a 3 . Tam giác ASO cân tại S , mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SD và ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng 3a 3a 6a a 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 7 2 Câu 114. [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a . Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm của H của OA . Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 45 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . 7
8. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 3a 2 3a 2 A. .a 6 B. . a 2 C. . D. . 2 4 B. LỜI GIẢI DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1. Chọn A Hình chóp tứ giác đều S.ABCD nên ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2 nên AC 2a . Tam giác SAC đều nên cạnh bên SA AC 2a . Câu 2. Chọn A Gọi P là trung điểm AB AC // PN AC 3a BD Ta có PN  PM và PN ; PM 2a BD // PM 2 2 2 5a MN PM 2 PN 2 2 D M A C P N B Câu 3. Chọn A Gọi I là trung điểm BC , khi đó BC  AI 8
9. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Mặt khác BC  AI, BC  SA BC  SAI BC  SI Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là SIA . SA a 3 3a Tam giác SIA vuông tại A nên tan SIA SA IA.tan SIA . 3 . AI 2 2 Câu 4. Chọn A. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 nên AA H 30 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC.A B C bằng a AH AA .sin AA H AA .sin 30 . 2 Câu 5. Chọn B 2 AC ' AB2 AD2 +AA'2 a2 2a 2 + a 2 a 7 . Câu 6. Chọn B Ta có AC AD2 DC 2 a 5 . Nên AC AC 2 CC 2 5a2 2a2 a 7 . Câu 7. Chọn A Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi M , N lần lượt là trung điểm AB,CE , MH  DN tại H Ta có AB  DM AB  DMN CE  DMN MH  CE AB  MN MH  DN 11 MH  CDE tại H d AB,CD d M ; CDE  MH MH  CE 2 1 Tam giác DMN có DM MN 3 H là trung điểm DN , mà HN MN 2 MH 2 2 DN 1 Xét tam giác DNC vuông tại N CD DN 2 CN 2 2 . 9
10. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP D H A E M N C B Câu 8. Chọn C t x y z A' D' I' B' C' A D I B C Gọi I là giao của AC và BD . I là giao điểm của A C và B D . Khi đó II là đường trung bình của các hình thang ACC A và BDD B . Theo tính chất của hình thang ta có 2II BB DD AA CC 2 4 6 DD 3 . Câu 9. Chọn A Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi M , N lần lượt là trung điểm AB,CE , MH  DN tại H Ta có AB  DM AB  DMN CE  DMN MH  CE AB  MN 10
11. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP MH  DN 11 MH  CDE tại H d AB,CD d M ; CDE  MH MH  CE 2 1 Tam giác DMN có DM MN 3 H là trung điểm DN , mà HN MN 2 MH 2 2 DN 1 Xét tam giác DNC vuông tại N CD DN 2 CN 2 2 . Câu 10. Chọn B A' B' P Q H 12 M C' A B 4 3 N C 3 Chiều cao của tam giác đáy: AN A H 4 3. 6 . 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên B C . Đặt A P x, QH y . Ta có: A P PQ QH A H A P 3 QH 6 x y 3 . Dấu " " xảy ra khi P, Q nằm trên đoạn A H . Lại có: MP 62 x2 , NQ 122 y2 . Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki : 2 2 2 2 2 2 x, y, a, b a b x y (a x) (b y) . ay bx đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . ax by 0 Ta có : T MP NQ 62 x2 122 y2 6 12 2 x y 2 182 32 3 37 . x y 3 x 1 Dấu " " xảy ra khi: 6y 12x . y 2 6.12 xy 0 Vậy Tmin 3 37 . Câu 11. Chọn B 11
12. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Kẻ OH  SC d O, SC OH . AC a 2 OC ; SC SA2 AC 2 a 6 2 2 OH SA OC.SA a 2.2a a 3 OHC SAC OH OC SC SC 2a 6 3 Câu 12. Chọn D Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D cạnh' 2 ,a O là tâm của A' B 'C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A' B. 1 MN AA' 2a , OM A' D ' a . 2 AB  OM Lại có: AB  ON d O, AB ON OM 2 MN 2 a 5 . AB  MN DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên Câu 13. Lời giải Chọn D 12
13. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Gọi H là trung điểm cạnh SB . ìAH BC BC SAB ï ^ ( ^( )) í Þ AH ^(SBC). ïAH SB îï ^ SB 2a 2 Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là AH a 2 . ( ) = 2 = 2 = Câu 14. Chọn B Từ A kẻ AD  BC mà SA  ABC SA  BC BC  SAD SAD  SBC mà SAD  SBC SD Từ A kẻ AE  SD AE  SBC d A; SBC AE 1 1 1 4 Trong ABC vuông tại A ta có:  AD2 AB2 AC 2 3a2 1 1 1 19 2a 57 Trong SAD vuông tại A ta có: AE  AE 2 AS 2 AD2 12a2 19 Câu 15. Lờigiải Chọn C 13
14. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP S H A C B Kẻ AH  SB H SB . BC  AB Ta có: BC  SAB BC  AH  SAB . BC  SA SA  ABC AH  SB Vì AH  SBC . AH  BC Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là d AH . A, SBC AC Xét tam giác ABC vuông cân tại B , có AC 2a AB 2a . 2 1 1 1 1 1 3 Xét tam giác SAB vuông tại A , ta có: AH 2 SA2 AB2 a2 2a2 2a2 2a2 6a AH 2 AH . 3 3 6a Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là d AH . A, SBC 3 Câu 16. Chọn A S 3a H 2a B C I 4a A Từ B kẻ BI  AC nối S với I và kẻ BH  SI dễ thấy BH là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Ta có B.SAC là tam diện vuông tại B nên: 1 1 1 1 1 1 1 61 12 61a BH BH 2 BS 2 BC 2 BA2 9a2 4a2 16a2 144a2 61 14