›
›
›

Các dạng toán trắc nghiệm Toán Lớp 11 - Đường thẳng song song với mặt phẳng (Có lời giải)

docx 35 trang Hàn Vy 03/03/2023 4253
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các dạng toán trắc nghiệm Toán Lớp 11 - Đường thẳng song song với mặt phẳng (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxcac_dang_toan_trac_nghiem_toan_lop_11_duong_thang_song_song.docx

Nội dung text: Các dạng toán trắc nghiệm Toán Lớp 11 - Đường thẳng song song với mặt phẳng (Có lời giải)

  1. CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM BÀI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Cho đường thẳng d và mặt phẳng , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:  d và cắt nhau tại điểm M , kí hiêu M d  hoặc để đơn giản ta kí hiệu M d  (h1)  d song song với , kí hiệu d P hoặc Pd ( h2)  d nằm trong , kí hiệu d  (h3) d d M d α α α h1 h2 h3 2. Các định lí và tính chất.  Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và d song song với đường thẳng d ' nằm trong thì d song song với . d d  Vậy d Pd ' d P d '  d' α h3  Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng  đi qua d và cắt theo giao tuyến d ' thì d ' Pd . d P β d Vậy d   d ' Pd .   d ' d' α  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. β d α d'
  2. Pd Vậy  Pd d ' Pd .   d ' Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. m l α d DẠNG 1 LÝ THUYẾT Câu 1. Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C.
  3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng là Đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Đường thẳng song song với mặt phẳng. Đường thẳng cắt mặt phẳng. Câu 2. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song vớib ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn B. Theo định lý 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Câu 3. Cho hai đường thẳng song song a và b . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ? A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. Lời giải Chọn D. Theo tính chất: Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Câu 4. Cho mặt phẳng và đường thẳng d  . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu d / / thì trong tồn tại đường thẳng a sao cho a / /d . B. Nếu d / / và đường thẳng b  thì b / /d . C. Nếu d / /c  thì d / / . D. Nếu d  A và đường thẳng d  thì d và d hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. Lời giải Chọn B. d b Khi d / / và đường thẳng b  thì ngoài trường hợp b / / d còn có trường hợp b và d chéo nhau. Câu 5. Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với mp P . Khẳng định nào sau đây không sai? A. a / /b . B. a và b cắt nhau. C. a và b chéo nhau.
  4. D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b . Lời giải Chọn D. Cho mp P qua A, B,C không thẳng hàng. Giả sử a,b,c phân biệt là các đường thẳng nằm ngoài mp P thỏa a / / AB,b / / AB,c / /BC. Trong trường hợp này a / /b. Nếu a và c đồng phẳng thì a cắt c. Nếu a và c không đồng phẳng thì a và c chéo nhau. Câu 6. Khẳng định nào sau đây đúng? A.Đường thẳng a  mp P và mp P / / đường thẳng a / / . B. / /mp P Tồn tại đường thẳng '  mp P : '/ / . C.Nếu đường thẳng song song với mp P và P cắt đường thẳng a thì cắt đường thẳng a. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì 2 đường thẳng đó song song nhau. Lời giải Chọn D. / / '  Ta có  / / P . '  P  Câu 7. Cho mp P và hai đường thẳng song song a và b. 1. Nếu mp P song song với a thì P / /b 2. Nếu mp P song song với a thì P chứa b 3. Nếu mp P song song với a thì P / /b hoặc chứa b 4. Nếu mp P cắt a thì cũng cắt b 5. Nếu mp P cắt a thì P có thể song song với b 6. Nếu mp P chứa a thì P có thể song song với b
  5. Có bao nhiêu nhận xét đúng? A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C. 1. sai 2. sai 3. đúng a / /b   b / / P  b  P . a / / P  P 4. đúng Chọn D. a cắt P suy ra b không song song P mà P cũng không chứa b , vậy b cắt P . 5. sai a  P  6. đúng: a / /b  b / / P . b  P  Câu 8. Cho đường thẳng a nằm trong mp và đường thẳng b  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu b / / thì b / /a. B. Nếu b cắt thì b cắt a. C. Nếu b / /a thì b / / . D. Nếu b cắt và mp  chứa b thì giao tuyến của và  là đường thẳng cắt cả a và b . Lời giải Chọn C. a   b   b / / . a / /b  Câu 9. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ? A. 0. B.1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn B. Gọi là mp chứa a và song song b.    có vtpt n u ;u a b
  6. Đồng thời qua A với A a. Do đó xác định duy nhất. DẠNG 2 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp là dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) .  Bước 1: Quan sát và quản lí giả thiết tìm đường thẳng ưu việt  ( ) và chứng minh d P .  Bước 2: Kết luận d P( ) .
  7. d Phương pháp 2 Cơ sở của phương pháp là dùng định lý phương giao tuyến song song.  Bước 1: Chứng minh d ( )  ( ) ( )  ( ) a mà ( )  ( ) b a Pb  Bước 2: Kết luận d P( ) . d   Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. d qua S và song song với BC . B. d qua S và song song với DC . C. d qua S và song song với AB . D. d qua S và song song với BD . Lời giải Chọn A.
  8. S d B C A D AD  SAD BC  SAC Ta có d //BC (Theo hệ quả của định lý 2 (Giao tuyến của ba mặt phẳng)). d SAD  SAC AD//BC Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD B. là đường thẳng đi qua S C. là điểm S D. là mặt phẳng (SAD) Lời giải Chọn A S d A B D C AB  SAB CD  SCD Ta có AB PCD S SAB  SCD SAB  SCD d P AB PCD, S d .
  9. Câu 12. Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng ABCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây? A. AB .B. AC .C. BC . D. SA . Lời giải Chọn A. S x A B D C AB//CD Xét SAB và SCD có S là điềm chung AB  SAB CD  SCD SAB  SCD Sx//AB//CD Các bạn muốn tải đầy đủ 38 chuyên đề ôn thi 12 file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 12 file word thì liên hệ Câu 13. Cho tứ diện ABCD . I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC , G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng GIJ và BCD là đường thẳng : A. qua I và song song với AB. B. qua J và song song với BD. C. qua G và song song vớiCD. D. qua G và song song với BC. Lời giải Chọn C. A I J D B G C Gọi d là giao tuyến của GIJ và BCD . Ta có G GIJ  BCD , IJ //CD , IJ  GIJ , CD  BCD .
  10. Suy ra d đi qua G và song song với CD . Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC . Khẳng định nào sau đây SAI? A. IO// mp SAB . B. IO // mp SAD . C. mp IBD cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác. D. IBD  SAC IO . Lời giải Chọn C. S I A D O B C OI //SA  Ta có:  OI // SAB nên A đúng. OI  SAB  OI //SA  Ta có:  OI // SAD nên B đúng. OI  SAD  Ta có: IBD cắt hình chóp theo thiết diện là tam giác IBD nên Chọn C. Ta có: IBD  SAC IO nên D đúng. Câu 15. Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD . Chọn Câu sai : A. G1G2 // ABD . B. G1G2 // ABC . 2 C. BG , AG và CD đồng qui D. G G AB . 1 2 1 2 3 Lời giải Chọn D.
  11. A G2 B D G1 M C G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD nên BG1 , AG2 và CD đồng qui tại M (là trung điểm của CD ) . Vì G1G2 / / AB nên G1G2 / / ABD và G1G2 / / ABC . 1 Lại có G G AB nên chọn đáp án D. 1 2 3 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua BD và song song với SA , mặt phẳng cắt SC tại K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 1 A. SK 2KC. B. SK 3KC. C. SK KC. D. SK KC. 2 Lời giải Chọn C. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Do mặt phẳng qua BD nên O . Trong tam giác SAC , kẻ OK song song SA K SC . PSA Do OK PSA OK  SC  K. O OK PSA Trong tam giác SAC ta có OK là đường trung bình của SAC. OA OC Vậy SK KC.
  12. Câu 17. Cho tứ diện ABCD với M , N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD , ACD Xét các khẳng định sau: (I) MN / / mp ABC . (II) MN //mp BCD . (III) MN //mp ACD . (IV)) MN //mp CDA . Các mệnh đề nào đúng? A. I, II. B. II, III. C. III, IV. D. I, IV. Lời giải Chọn A. A I M N B D C Gọi I là trung điểm của AD . IM IN 1 Do M , N là trọng tâm tam giác ABD, ACD nên IB IC 3 Theo định lý Talet có MN //BC . Mà BC  BCD , BC  ABC . Vậy MN // BCD , MN // ABC . Câu 18. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, AC,C B, AD. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ACD . Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DIJ ) và (DBC) . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? A. d P(IHK) . B. d P(JHK) . C. d P(AEF) . D. d P(DIJ ) . Lời giải Chọn C.
  13. A I J E K F B C H d D Ta có IJ là đường trung bình của tam giác ABC , suy ra BC PIJ. D (DIJ )  (DBC) Như vậy IJ PBC suy ra giao tuyến d của 2 mặt phẳng (DIJ ) và (DBC) là đường thẳng IJ  (DIJ ), BC  (DBC) qua D và song song với IJ, BC . DE DF 2 E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ACD nên IJ PEF vì DI DJ 3 d PEF Do đó d P(AEF) . EF  (AEF) Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G, E lần lượt là trọng tâm của SAD và SCD . Lấy M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Xét các mệnh đề sau: (1) Đường thẳng MN song song với GAC . (2) Đường thẳng MN song song với DAC . (3) Đường thẳng GE song song với AMN . (4) Đường thẳng GE và đường thẳng MN trùng nhau. (5) Đường thẳng GE và đường thẳng MN song song. Số mệnh đề sai là: A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn A.
  14. Hai mệnh đề sai là (2) và (4). (2) sai vì MN  DAC . (4) sai vì GE PMN . DẠNG 3
  15. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG. Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại Pd này ta sử dụng tính chất: d     d ' Pd, M d ' M   Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và IJG . A. là đường thẳng song song với AB B. là đường thẳng song song vơi CD C. là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD D. Cả A, B, C đều đúng b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của IJG và hình chóp là một hình bình hành. 2 3 A. AB CD B. AB CD C. AB CD D. AB 3CD 3 2 Lời giải S M G N A B E I J D C a) Chọn D. Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD, BC nên IJ / / AB . G SAB  IJG AB  SAB Vậy IJ  IJG AB PIJ
  16. SAB  IJG MN PIJ P AB với M SA, N SB . b) Chọn D. Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI . MN SG 2 Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN P AB nên AB SE 3 ( E là trung điểm của AB ). 2 MN AB . 3 1 Lại có IJ AB CD . Vì MN PIJ nên MNIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình bình hành khi 2 MN IJ 2 1 AB AB CD AB 3CD . 3 2 Vậy thết diện là hình bình hành khi AB 3CD . Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD//BC , AD 2.BC , M là trung điểm SA . Mặt phẳng MBC cắt hình chóp theo thiết diện là A. tam giác. B. hình bình hành. C. hình thang vuông. D. hình chữ nhật. Lời giải Chọn B. S M N A B C D Sử dụng định lý ba đường giao tuyến ta có giao tuyến của MBC với SAD là MN sao cho MN //BC Ta có: MN //BC//AD nên thiết diện AMND là hình thang. Lại có MN //BC và M là trung điểm SA 1 MN là đường trung bình, MN AD BC 2 Vậy thiết diện MNCB là hình bình hành. Câu 22. Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC . Mặt phẳng qua và M song song với AB và CD . Thiết diện của tứ diện cắt bởi là A. hình bình hành.B. hình chữ nhật. C. hình thang.D. hình thoi. Lời giải
  17. Chọn A. A Q M B P D N C Trên ABC kẻ MN //AB; N BC Trên BCD kẻ NP//CD; P BD Ta có chính là mặt phẳng MNP Sử dụng đính lý ba giao tuyến ta có MNP  AD Q với MQ//CD//NP Ta có MQ//NP//CD  thiết diện MNPQ là hình bình hành. MN //PQ//AB  Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng tuỳ ý với hình chóp không thể là: A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác. Lời giải Chọn A. S M A B N D C Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp. Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến. Hình chóp tứ giác S.ABCD có 5 mặt nên thiết diện của với S.ABCD có không qua 5 cạnh, không thể là hình lục giác 6 cạnh. Sử dụng định lý ba đường giao tuyến ta có giao tuyến của ADM với SBC là MN sao cho MN //BC Ta có: MN //BC//AD nên thiết diện AMND là hình thang.
  18. Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Lấy điểm I trên đoạn SO sao SI 2 cho , BI cắt SD tại M và DI cắt SB tại N . MNBD là hình gì ? SO 3 A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Tứ diện vì MN và BD chéo nhau. Lời giải Chọn A. S M N I A D O B C SI 2 I trên đoạn SO và nên I là trọng tâm tam giác SBD . Suy ra M là trung điểm SD; N là trung SO 3 điểm SB. 1 Do đó MN //BD và MN BD nên MNBD là hình thang. 2 Các bạn muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 11 file word ( 3042 trang) thì liên hệ Các bạn muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 9 file word ( 1062 trang) thì liên hệ Câu 25. Cho tứ diện ABCD . M là điểm nằm trong tam giác ABC,mp qua M và song song với AB và CD .Thiết diện của ABCD cắt bởi mp là: A.Tam giác.B. Hình chữ nhật.C. Hình vuông.D. Hình bình hành. Lời giải Chọn D. D G H F C A M E B / / AB nên giao tuyến và ABC là đường thẳng song song AB.
  19. Trong ABC . Qua M vẽ EF / / AB 1 E BC, F AC . Ta có  ABC MN. Tương tự trong mp BCD , qua E vẽ EH / /DC 2 H BD suy ra  BCD HE. Trong mp ABD , qua H vẽ HG / / AB 3 G AD , suy ra  ABD GH. Thiết diện của ABCD cắt bởi là tứ giác EFGH.  ADC FG  Ta có  FG / /DC 4 / /DC  EF / /GH Từ 1 , 2 , 3 , 4 EFGH là hình bình hành. EH / /GF Câu 26. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. MN / /mp ABCD . B. MN / /mp SAB . C. MN / /mp SCD . D. MN / /mp SBC . Lời giải Chọn A. S M N A D C B MN là đường trung bình của SAC nên MN / / AC. Ta có MN / / AC  AC  ABCD  MN / / ABCD . MN  ABCD  Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O . M là trung điểm của OC , Mặt phẳng qua M song song với SA và BD . Thiết diện của hình chóp vớimặt phẳng là: A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình ngũ giác. Lời giải Chọn A.
  20. Ta có: M  ABCD //BD  ABCD .  ABCD EF //BD M EF, E BC, F CD M  SAC Lại có:  SAC MN //SA N SC . //SA  SAC Vậy thiết diện cần tìm là tam giác NEF . Câu 28. Cho tứ diện ABCD có AB CD . Mặt phẳng qua trung điểm của AC và song song với AB , CD cắt ABCD theo thiết diện là A.hình tam giác.B.hình vuông.C.hình thoi.D.hình chữ nhật. Lời giải Chọn C. Gọi M là trung điểm của AC . M  ABC Ta có:  ABC MN //AB N BC , N là trung điểm BC . //AB  ABC
  21. N  BCD  BCD NP//CD P BD , P là trung điểm BD . //CD  BCD P  BDA  BDA PQ//AB Q AD , Q là trung điểm AD . //AB  BDA MQ  ADC QM //CD //CD  ADC Khi đó thiết diện là hình bình hành MNPQ . Lại có: AB CD suy ra MN NP . Vậy thiết diện cần tìm là hình thoi MNPQ . Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lấy trên cạnh SA ( M không trùng với S và A ). Mp qua ba điểm M , B,C cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là: A. Tam giác.B. Hình thang.C. Hình bình hành.D. Hình chữ nhật. Lời giải Chọn B. S M N A D B C Ta có : AD / /BC  MBC   AD / / MBC . AD  MBC  Ta có MBC / / AD nên MBC và SAD có giao tuyến song song AD. Trong SAD , vẽ MN / / AD N SD MN MBC  SAD . Thiết diện của S.ABCD cắt bởi MBC là tứ giác BCNM. Do MN / /BC (cùng song song AD ) nên BCNM là hình thang. Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. M là trung điểm CD. Mặt phẳng qua M song song với BC và SA. cắt AB, SB lần lượt tại N và P. Nói gì về thiết diện của mặt phẳng với khối chóp S.ABCD ? A. Là một hình bình hành. B. Là một hình thang có đáy lớn là MN. C. Là tam giác MNP. D. Là một hình thang có đáy lớn là NP.
  22. Lời giải Chọn B. Trong mặt phẳng ABCD , qua M kẻ đường thẳng MN PBC N BC . Khi đó, MN  . Trong mặt phẳng SAB , qua N kẻ đường thẳng NP PSA P SB . Khi đó, NP  . Vậy  MNP . MN  MNP BC  SBC Xét hai mặt phẳng MNP và SBC có hai mặt phẳng cắt nhau theo một MN PBC P MNP , P SBC giao tuyến đi qua điểm P và song song với BC. Trong mặt phẳng SBC kẻ PQ PBC Q SC . Khi đó, PQ là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng SBC . Vậy mặt phẳng cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác MNPQ. MN PBC Tứ giác MNBC có MNBC là hình bình hành. Từ đó suy ra MN BC. MC P NB Trong tam giác SBC có P thuộc đoạn SB , Q thuộc đoạn SC và PQ PBC nên PQ BC. MN PPQ Tứ giác MNPQ có MNPQ là hình thang có đáy lớn là MN. PQ MN Câu 31. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm nằm trong tam giácABC , là mặt phẳng đi qua M và song song với các đường thẳng AB vàCD . Thiết diện của tứ diện và mp là hình gì ? A. Hình bình hành. B. Hình tứ diện. C. Hình vuông. D. Hình thang. Lời giải Chọn A.
  23. Ta có:  ABC PQ,PQ //AB. P AC,Q BC 1  ACD PS,PS//CD. S AD 2  BCD QR,QR //CD. R B D 3  ABD RS, RS//AB 4 RS//PQ //AB 5 PS//RQ //CD 6 Từ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ta được thiết diện cần tìm là hình bình hành PQRS . Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O. Gọi M , N, P là ba điểm trên các cạnh AD, CD, SO. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP là hình gì? A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Hình thang. D. Hình bình hành. Lời giải Chọn A. S H R P T D C N K M O E A B Trong mp ABCD gọi E, K, F lần lượt là giao điểm của MN với DA, DB, DC. Trong mp SDB gọi H KP  SB Trong mp SAB gọi T EH  SA
  24. Trong mp SBC gọi R FH  SC E MN Ta có: EH  MNP H KP T SA T SA MNP T EH Lí luận tương tự ta có R SC  MNP Thiết diện là ngũ giác MNRHT. Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnha , gọi O là tâm của đáy. Tam giác SAB là tam giác đều. Gọi M là điểm trên cạnh BC . Mặt phẳng P đi qua M và song song với SA, SB cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? A. Hình vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình thang cân. D. Hình thang vuông. Lời giải Chọn C. Qua M kẻ một đường thẳng song song với SB , cắt SC tại Q . Qua Q kẻ một đường thẳng song song với SA , cắt AC tại O . Gọi M MO  AD.Qua N kẻ đường thẳng song song với SA , cắt SD tại P . Thiết diện tạo bởi P và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ . Do MQ / /SB;QO / /SA; NP / /SA nên CM CQ CO DP MN / /PQ(1) CB CS CA DS MQ CM Đặt BM x.Có MQ / /SB SB CB CM.SB (a x)a MQ a x CB a Tương tự, NP a x MQ NP(2) Từ (1) và (2) ta có thiết diện MNPQ là hình thang cân.
  25. Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. M là trung điểm CD. Mặt phẳng qua M song song với BC và SA. cắt AB, SB lần lượt tại N và P. Nói gì về thiết diện của mặt phẳng với khối chóp S.ABCD ? A. Là một hình bình hành. B. Là một hình thang có đáy lớn là MN. C. Là tam giác MNP. D. Là một hình thang có đáy lớn là NP. Lời giải Chọn B. Trong mặt phẳng ABCD , qua M kẻ đường thẳng MN PBC N BC . Khi đó, MN  . Trong mặt phẳng SAB , qua N kẻ đường thẳng NP PSA P SB . Khi đó, NP  . Vậy  MNP . MN  MNP BC  SBC Xét hai mặt phẳng MNP và SBC có hai mặt phẳng cắt nhau theo một MN PBC P MNP , P SBC giao tuyến đi qua điểm P và song song với BC. Trong mặt phẳng SBC kẻ PQ PBC Q SC . Khi đó, PQ là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng SBC . Vậy mặt phẳng cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác MNPQ. MN PBC Tứ giác MNBC có MNBC là hình bình hành. Từ đó suy ra MN BC. MC P NB Trong tam giác SBC có P thuộc đoạn SB , Q thuộc đoạn SC và PQ PBC nên PQ BC. MN PPQ Tứ giác MNPQ có MNPQ là hình thang có đáy lớn là MN. PQ MN
  26. Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD , M là một điểm trên cạnh AB , N là điểm trên cạnh CD . Mặt phẳng chứa MN và song song với SA . Thiếtdiện củahình chópcắt bởi là hình thang thì điều kiện là: A. AD 2CD . B. MN / /BC . C. BC / / AD . D. MN / / AD . Lời giải Chọn B. Do / / AB nên cắt SAB và SAC lần lượt theo các giao tuyến song song với SA . Trong SAB kẻ MP / /SA, P SB . Trong ABCD kẻ MN  AC O . Trong SAC kẻ OQ / /SA,Q SC . Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNQP . MP / /QN 1 Ta có MNQP là hình thang thì MN / /PQ 2 Xét (1) 1 SA / /QN vì SA / /MP . SA / / SCD : điều này vô lí. Xét (2) BC ABCD  SBC MN  ABCD Có: MN / /BC . PQ  SBC MN / /PQ PQ  SBC BC  SBC Đảo lại nếu có MN / /BC thì MN / /PQ vì MN  MN / /BC
  27. Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD cóđáy là hình thoi cạnh a , SA SB a , SC SD 3a . E là trung điểm của đoạn SA . M là một điểm trên cạnh BC . Đặt BM x 0 x a . Mặt phẳng chứa ME và song song với AB . Thiết diện của hình chóp cắt bởi có diện tích tính theo a, x là: 3a a A. 16x2 8ax 3a2 . B. 16x2 8ax 3a2 . 16 16 3a 3a C. 16x2 4ax 3a2 . D. 16x2 4ax 3a2 . 16 16 Lời giải Chọn A. Do / / AB nên cắt ABCD và SAB lần lượt theo các giao tuyến song song với AB . Trong ABCD kẻ MN / / AB, N AD (1). Trong SAB kẻ EF / / AB, F SB (2). Từ (1) và (2),suy ra MN / /FE nên tứ giác MNEF là hình thang. Hai tam giác SAD và SBC bằng nhau (c.c.c) nên S· AD S· BC . Hai tam giác EAN và FBM bằng nhau (c.g.c) nên EN FM . Vậy thiết diện MNEF là hình thang cân. Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cosin trong tam giác SBC ta có: SB2 BC 2 SC 2 a2 a2 3a2 1 cos S· BC . 2SB.BC 2a2 2 Tam giác FBM có 2 2 2 2 2 · a 2 a 1 a 2 ax FM BF BM 2BF.BM.cos SBC x 2. .x x 4 2 2 4 2 . a2 ax FM x2 . 4 2 1 SMNEF MN EF .FH 2 .
  28. MN EF a Ta có MH 2 4 a2 ax a2 ax 3a2 FH 2 FM 2 MH 2 x2 x2 4 2 16 2 16 . ax 3a2 FH x2 2 16 2 1 1 a 2 ax 3a 3a 2 2 Vậy SMNEF MN EF .FH a x 16x 8ax 3a . 2 2 2 2 16 16 Câu 37. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Điểm M là trung điểm của AB . Tính diện tích thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mp P đi qua M và song song với AD và AC . a2 3 a2 2 9a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 16 16 Lời giải Chọn D. Qua M kẻ 2 đường thẳng lần lượt song song với AD , AC cắt BD tại N và cắt BC tại P . Thiết diện tạo bởi P và tứ diện là tam giác đều MNP . a Có MN NP PM 2 Diện tích thiết diện 1 1 a2 3 a2 3 S MN.MP . . . MNP 2 2 4 2 16 Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD ,đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAB là tam giác đều.Cho SC SD a 3 .Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB .Gọi M là một điểm trên cạnh AD .Mặt phẳng HKM cắt BC tại N .Cho biết HKMN là hình thang cân.Đặt AM x 0 x a .Tìm x để diện tích HKMN là nhỏ nhất.
  29. a a a a A. x . B. x . C. x . D. x . 5 3 4 2 Lời giải Chọn C. S H H K K A D M M N B N C P 1 a Ta có ngay MN a và KH AB .Trong tam giác SAD ,ta có 2 2 SA2 AD2 SD2 a2 a2 3a2 1 cos S· AD 2.SA.AD 2a2 2 2 2 2 2 · a 2 a 1 Trong tam giác HAM ,ta có MH AH AM 2AH.AM.cos HAM x 2. .x. 4 2 2 1 MH 4x2 2ax a2 . 2 Trong hình thang cân MNKH ,gọi P là chân đường cao hạ từ H ,ta có 2 2 2 2 MN HK 1 2 2 HP MH MP MH 16x 8ax 3a .Suy ra 2 4 1 1 a 1 2 2 3a 2 2 SMNKH MN KH HP a . 16x 8ax 3a 16x 8ax 3a . 2 2 2 4 16 2 3a 3a 2 3a 2 Ta có biến đổi: S 16x2 8ax 3a2 4x a 2a2 . MNKH 16 16 16 3a2 2 a Vậy S đạt được khi x . MNKH min 16 4 Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C ' là điểm trên cạnh SC sao cho C 'S 1 , M là điểm trên cạnh SA . Mặt phẳng P qua C 'M và song song với BC . Xác định vị trí của C 'C 2 điểm M để P cắt hình chóp theo thiết diện là hình bình hành. MA A. M là trung điểm của SA . B. 2 . MS MA 1 MA 2 C. . D. . MS 2 MS 3 Lời giải Chọn B.
  30. d1 qua C ' P song song BC (P)  SBC d1 d1 / /BC d1  SB N;(P)  SAB MN d2 qua M (P) / /BC (P) / / AD (P)  SAD d2 d2  SD P. Khi đó P cắt hình chóp d2 / / AD S.ABCD theo thiết diện là tứ giác MNC ' P có C ' N / /MP nên thiết diện là hình thang. SC ' C ' N 1 1 Có C ' N / /BC C ' N BC. SC BC 3 3 1 1 MP 1 Tứ giác MNC ' P là hình bình hành khi MP NC ' BC AD . 3 3 AD 3 SM 1 MA MP / / AD 2. SA 3 MS Câu 40. Cho tứ diện ABCD trong đó AB  CD và AB AC CD a. M là một điểm trên cạnh AC với AM x 0 x a .Mặt phẳng P qua M , song song với AB vàCD . Tính diện tích thiết diện của P và tứ diện ABCD theo a và x . x(a x) a(a x) A. x(a x) . B. . C. a(a x) . D. . 2 2 Lời giải Chọn A.
  31. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB và CD cắt BC và AD lần lượt tại Q và N . Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD tại P . Suy ra thiết diện là tứ giác MNPQ có MN / /PQ;MQ / /NP;MP  MQ nên thiết diện MNPQ là hình chữ nhật. MN AM AM.DC Có MN x DC AC AC MQ MC a x MQ a x AB AC a SMNPQ MN.MQ x(a x) . Câu 41. Cho tứ diện ABCD trong đó AB  CD và AB AC CD a. M là một điểm trên cạnh AC . Mặt phẳng P qua , song song với AB vàCD . Diện tích thiết diện của mp P và tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? a2 a2 a2 A. a2 . B. . C. . D. . 16 2 4 Lời giải Chọn D.
  32. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB và CD cắt BC và AD lần lượt tại Q và N . Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD tại P . Suy ra thiết diện là tứ giác MNPQ có MN / /PQ;MQ / /NP;MP  MQ nên thiết diện MNPQ là hình chữ nhật. MN AM AM.DC Có MN x DC AC AC MQ MC a x MQ a x AB AC a SMNPQ MN.MQ x(a x) . 2 x a x a2 a Theo bất đẳng thức Cô-si: x(a x) khi x . 2 4 2 Câu 42. Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M song MA MB MC song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng SBC , SAC , SAB lần lượt tại A , B ,C . SA SB SC có giá trị không đổi bằng bao nhiêu khi M di động trong tam giác ABC ? 1 1 2 A. . B. . C. 1. D. . 3 2 3 Lời giải Chọn C.
  33. Do MA ∥ SA nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử E là giao điểm của mặt phẳng này với MA ME S BC . Khi đó A, M , E thẳng hàng và ta có: MBC . SA EA SABC MB S MC S MA MB MC Tương tự ta có: MAC , MAB . Vậy 1. SB SABC SC SABC SA SB SC Câu 43. Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M song MA MB MC song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng SBC , SAC , SAB lần lượt tại A , B ,C . . . nhận SA SB SC giá trị lớn nhất. Khi đó vị trí của M trong tam giác ABC là: A. Trực tâm ABC . B. Trọng tâm ABC . C. Tâm ngoại tiếp ABC . D. Tâm nội tiếp ABC . Lời giải Chọn B. Do MA ∥ SA nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử E là giao điểm của mặt phẳng này với MA ME S BC . Khi đó A, M , E thẳng hàng và ta có: MBC . SA EA SABC MB S MC S MA MB MC Tương tự ta có: MAC , MAB . Vậy 1. SB SABC SC SABC SA SB SC Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MA MB MC MA MB MC MA MB MC 1 33 . . . . . SA SB SC SA SB SC SA SB SC 27 MA MB MC Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: S S S . SA SB SC MAC MAB MBC
  34. Điều này chỉ xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC . Vậy đáp án đúng là B. Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với đáy AD và BC AD a BC b . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng BCI cắt SA, SD lần lượt tại P,Q . Gọi E là giao điểm của AM và PB , F là giao điểm của CQ và DN . Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai? 1) MN và PQ song song với nhau. 2) MN và EF song song với nhau. 2 3) EF a b . 5 1 4) EF a b 4 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B. Ta có I SAD , suy ra I SAD  BCI . SAD  BCI PQ Do AD  SAD , BC  BCI PQ∥ AD∥ BC . AD∥ BC Ta có: J SBC , suy ra J SBC  ADJ . SBC  ADJ MN Do BC  SBC , AD  ADJ MN∥ AD∥ BC . AD∥ BC Từ đó suy ra MN và PQ song song với nhau.
  35. EF ADNM  BCQP AD ADNM  ABCD Ta có: EF∥ AD . BC ABCD  BCQP AD∥ BC Suy ra EF∥ MN . Gọi K là giao điểm của CP với EF EF EK KF . SP 2 SM Do PM∥ AB . SA 3 SB PE 2 PE 2 Theo định lý Thalet ta có: . Do EK song song với BC nên theo định lý Thalet ta có : EB 3 PB 5 PE EK 2 2 EK b . PB BC 5 5 QF 2 QC 5 PQ 5 3 3 2 2 Tương tự ta cũng có: FK PQ . AD a . FC 3 FC 3 FK 3 5 5 3 5 2 Từ đây suy ra EF a b . 5