Các loại toán hình học HSG Toán 8 thường gặp

Nội dung text: Các loại toán hình học HSG Toán 8 thường gặp

1. CÁC LOẠI TOÁN HèNH HỌC HSG TOÁN 8 THƯỜNG GẶP Bài 1: Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khỏc B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh : ∆OEM vuụng cõn. b) Chứng minh : ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. Bài 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ ? Hóy chứng minh điều đú ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2 Cõu 3. Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất. Bài 4: Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tớch); SCOD= 2009 (đơn vị diện tớch). Tớnh SABCD Bài 5:Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM 1
2. CÁC LOẠI TOÁN HèNH HỌC HSG TOÁN 8 THƯỜNG GẶP GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 4. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 5. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 6. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Bài 7: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF Bài 8: Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn cạnh AB lấy điểm E và trờn cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuụng gúc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. 1. Chứng minh rằng tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật. 2. Biết diện tớch tam giỏc BCH gấp bốn lần diện tớch tam giỏc AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 3. Chứng minh rằng: = + . AD2 AM2 AN2 Bài 9: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. 2
3. CÁC LOẠI TOÁN HèNH HỌC HSG TOÁN 8 THƯỜNG GẶP b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD+CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. c) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Bài 10: Cho tam giỏc ABC nhọn cú cỏc đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. HD HE HF a. Tớnh tổng: AD BE CF b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chứng minh: H cỏch đều ba cạnh tam giỏc DEF. d. Trờn cỏc đoạn HB,HC lấy cỏc điểm M,N tựy ý sao cho HM = CN. Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luụn đi qua một điểm cố định. Bài 11: Cho hỡnh vuụng ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trờn cạnh BC. Tia Ax vuụng gúc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N. 1/ Tứ giỏc MNKE là hỡnh gỡ ? Chứng minh. 2/ Chứng minh: AK2 = KC . KE. 3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh BC thỡ tam giỏc CME luụn cú chu vi khụng đổi. 1 1 4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng khụng phụ thuộc AM 2 AG 2 vào vị trớ của điểm M. Bài 13 : Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , trờn cạnh AB và CD lần lượt lấy cỏc điểm M , K sao cho AM = CK . Lấy điểm P nằm trờn cạnh AD (P ≠ A ; P ≠ D ). Nối PB , PC cắt MK tại E , F . Chứng minh S S S PEF BME CKF Bài 14: Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên cạnh DC (M D, M C) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho  MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN tại E và F. 1. Chứng minh:  ABF  AMC 3
4. CÁC LOẠI TOÁN HèNH HỌC HSG TOÁN 8 THƯỜNG GẶP 2.Chứng minh  AFM =  AEN = 90o 1 3. Chứng minh S AEF = S AMN 2 4. Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC 5. Gọi H là giao điểm của MF và NE . Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2 Bài 15:Cho tam giỏc ABC nhọn (AB AC. 4