Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức - Nguyễn Bá Thiện

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức - Nguyễn Bá Thiện

1. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A. Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: a b ab ; 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức: ac bd 2 a2 b2 c2 d 2 (BĐT: Bunhiacopxki); a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . c d + a b a b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nếu y a  f (x)2 thì min y = a khi f(x) = 0. Nếu y a  f (x)2 thì max y = a khi f(x) = 0. + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: a) A 4x2 4x 11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C x2 2x y2 4y 7 Giải: a) A 4x2 4x 11 4x2 4x 1 10 2x 1 2 10 10 1 Min A = 10 khi x . 2 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. c) C x2 2x y2 4y 7 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2 Min C = 2 khi x = 1; y = 2. Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức: a) A = 5 – 8x – x2 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 1
2. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21 Max A = 21 khi x = -4. b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7 = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 7 1 Max B = 7 khi x = 1, y . 2 Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) M x 1 x 2 x 3 x 4 b)N 2x 1 2 3 2x 1 2 Giải: a) M x 1 x 2 x 3 x 4 Ta có: x 1 x 4 x 1 4 x x 1 4 x 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay 1 x 4 x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay 2 x 3 Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3 . b) N 2x 1 2 3 2x 1 2 2x 1 2 3 2x 1 2 Đặt t 2x 1 thì t 0 1 1 Do đó N = t2 – 3t + 2 = (t 3 )2 N . 2 4 4 3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t 0 t 2 2 3 5 2x 1 x 1 3 3 2 4 Do đó N khi t 2x 1 4 2 2 3 1 2x 1 x 2 4 1 5 1 Vậy min N x hay x . 4 4 4 Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3. Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 2
3. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 x y x y 1 2 2 x y xy (x y ) 2 2 2 2 2 2 2 1 M (x2 y2 ) 2 Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1 => 2(x2 + y2) ≥ 1 1 1 1 Do đó x2 y2 và x2 y2 x y 2 2 2 1 1 1 1 1 Ta có: M (x2 y2 ) và (x2 y2 ) M . 2 2 2 2 4 1 1 Do đó M và dấu “=” xảy ra x y 4 2 1 1 Vậy GTNN của M x y 4 2 Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2. Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0 x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0 3 9 5 t 2 2. .t 0 2 4 4 2 3 5 3 5 t t 2 4 2 2 5 3 5 t 2 2 2 3 5 3 5 t 2 2 Vì t = x2 + y2 nên : Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 3
4. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức GTLN của x2 + y2 = 3 5 2 GTNN của x2 + y2 = 3 5 2 Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca. Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 a,b,c 1 ) Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0 Vậy GTNN của P = 0 Theo giả thiết ta có: 1 – a 0; 1 – b 0; 1 – c 0; (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc 0 P = a + b + c – ab – bc – ac 1 abc 1 Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý 0;1 Vậy GTLN của P = 1. Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x + y. Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = 1 (x + y)2 2 x y 2 2 x y 2 - Xét x y 2 x y 2 Dấu “=” xảy ra x y x y 2 2 - Xét x y 2 x y 2 Dấu “=” xảy ra x y x y 2 2 2 Vậy x + y đạt GTNN là 2 x y . 2 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 4
5. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 0 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx 0 2 2 2 2 2 2 2 (x + y + z) = x + y + z +2(xy + yz + zx) 3(x + y + z ) 81 x + y + z 9 (1) Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36. Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 A2 B (A 1)2 B 1 B 1 P A 2 2 2 2 B 1 Vì B 27 -14 P -14 2 x y z 1 Vậy min P = -14 khi 2 2 2 x y z 27 Hay x 13; y 13; z 1 . Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1 Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101 4 2 2 2 2 2 = (t – 8t + 16) + 10(t – 4t + 4) + 45 = (t – 4) + 10(t – 2) + 45 P 45 và dấu “=” xảy ra x + y = 10 và xy = 2. Vậy GTNN của P = 45 x + y = 10 và xy = 2. Bài toán 10: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2. Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 5
6. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Giải: Ta có: x + y = 2 y = 2 – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + 4 – 4x + x2 = 2x2 – 4x + 4 = 2( x2 – 2x) + 4 = 2(x – 1)2 + 2 2 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: 4x 3 Tìm GTLN và GTNN của: y . x2 1 Giải: * Cách 1: 4x 3 ax2 4x 3 a y a x2 1 x2 1 Ta cần tìm a để ax2 4x 3 a là bình phương của nhị thức. a 1 Ta phải có: ' 4 a(3 a) 0 a 4 - Với a = -1 ta có: 4x 3 x2 4x 4 (x 2)2 y 1 1 x 1 x2 1 x2 1 y 1. Dấu “=” xảy ra khi x = -2. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. - Với a = 4 ta có: 4x 3 -4x2 4x 1 (2x 1)2 y 4 4 4 x 1 x2 1 x2 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 . 2 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 . 2 * Cách 2: 4x 3 Vì x2 + 1 0 nên: y yx2 4x y 3 0 (1) x2 1 y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 6
7. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 3 - Nếu y = 0 thì (1) x 4 - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm ' 4 y(y 3) 0 (y 1)(y 4) 0 y 1 0 y 1 0 hoặc y 4 0 y 4 0 1 y 4 Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1 . 2 x2 x 1 Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: A . x2 x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: x2 x 1 a (1) x2 x 1 2 2 2 1 1 3 1 3 Do x + x + 1 = x + 2. .x + x 0 2 4 4 2 4 Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2) Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0. Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0 , tức là: (a 1)2 4(a 1)(a 1) 0 (a 1 2a 2)(a 1 2a 2) 0 1 (3a 1)(a 3) 0 a 3(a 1) 3 1 (a 1) a 1 Với a hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x 3 2(a 1) 2(1 a) 1 Với a thì x = 1 3 Với a = 3 thì x = -1 Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: 1 GTNN của A khi và chỉ khi x = 1 3 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 4 A (a b 1)(a2 b2 ) . a b Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 7
8. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 1 1 1 b) Cho m, n là các số nguyên thỏa . Tìm GTLN của B = mn. 2m n 3 Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 a2 b2 2 a2b2 2ab 2 (vì ab = 1) 4 4 4 A (a b 1)(a2 b2 ) 2(a b 1) 2 (a b ) (a b) a b a b a b Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4 . a b 4 4 Ta có: (a + b) + 2 (a b). 4 a b a b Mặt khác: a b 2 ab 2 4 Suy ra: A 2 (a b ) (a b) 2 4 2 8 a b Với a = b = 1 thì A = 8 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. 1 1 1 b) Vì nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong 2m n 3 hai số là âm thì B y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu x2 y2 thức: A . x y Giải: Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 8
9. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức x2 y2 x2 2xy y2 2xy (x y)2 2xy Ta có thể viết: A x y x y x y (x y)2 2xy 2 x y 2 x y Do x > y và xy = 1 nên: A x y x y x y 2 x y 2 Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: x y 2 x y A 2. . 2 x y 2 x y 2 Dấu “=” xảy ra (x y)2 4 (x y) 2 (Do x – y > 0) 2 x y 2 Từ đó: A 2 3 2 x y 2 Vậy GTNN của A là 3 xy 1 x 1 2 x 1 2 hay Thỏa điều kiện xy = 1 y 1 2 y 1 2 1 Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: y . x2 x 1 Giải: 1 1 Ta có thể viết: y 2 2 x x 1 1 3 x 2 4 2 1 3 3 4 1 Vì x . Do đó ta có: y . Dấu “=” xảy ra x . 2 4 4 3 2 4 1 Vậy: GTLN của y tại x 3 2 1 Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: f (t) t . 4t Giải: 1 4t 2 1 (2t 1)2 4t (2t 1)2 Ta có thể viết: f (t) t 1 4t 4t 4t 4t Vì t > 0 nên ta có: f (t) 1 1 Dấu “=” xảy ra 2t 1 0 t 2 1 Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại t . 2 t 2 1 Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: g(t) . t 2 1 Giải: t 2 1 2 Ta có thể viết: g(t) 1 t 2 1 t 2 1 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 9
10. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức g(t) đạt GTNN khi biểu thức 2 đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN t 2 1 Ta có: t2 + 1 1 min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 min g(t) = 1 – 2 = -1 Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0. Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của 1 1 1 biểu thức: E . x3 (y z) y3 (z x) z3 (x y) Giải: 1 1 1 1 Đặt a ;b ;c abc 1 x y z xyz 1 1 Do đó: a b x y (a b).xy x y c(a b) x y Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) 1 1 1 1 1 1 E . . . x3 (y z) y3 (z x) z3 (x y) 1 1 1 a2 b2 c2 a3. b3. c3. a(b c) b(c a) c(a b) b c c a a b a b c 3 Ta có: (1) b c c a a b 2 Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z x y z a b c 2 y z x z x y x y z a ;b ;c 2 2 2 a b c y z x z x y x y z Khi đó, VT b c c a a b 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 1 1 1 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2 Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có: a(a b c) b(a b c) c(a b c) 3 (a b c) b c c a a b 2 a2 b2 c2 a b c 33 abc 3 3 E b c c a a b 2 2 2 2 3 GTNN của E là khi a = b = c = 1. 2 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 10
11. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 (*). 2x 3y Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: a . 2x y 2 Giải: 2x 3y Từ a a(2x+y+z) = 2x+3y 2x y 2 2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] =>4a2 (a 1)2 (a 3)2 (vì 4x2+y2 = 1) Do đó ta có: 4a2 (a 1)2 (a 3)2 a2 2a 1 a2 6a 9 2a2 8a 10 0 a2 4a 5 0 a 5 0 (a 1)(a 5) 0 (Vì a + 5 > a – 1) 1 a 5 a 1 0 * Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2 y = 1 Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0 (x; y) = (0;1) * Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5) 6x 5 12x 8y 10 6x 4y 5 y 4 2 2 6x 5 Thay vào (*) ta được: 4x 1 4 2 3 4 3 4 100x 60x 9 0 x y (x; y) ; 10 5 10 5 Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1. 3 4 GTNN của a là -5 khi x ; y . 10 5 Bài toán 10: Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức: 2 2 1 1 M = x y x y Giải: Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 11
12. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 2 1 1 Ta có: M = x y x y 1 1 = x2 2 y2 2 x2 y2 2 2 2 2 x y 2 2 1 = 4 + x + y + 2 2 4 x y 1 2 2 x y x y Vì x, y > 0 nên ta có thể viết: 2 x y 0 x y 2 xy 1 1 Mà x + y = 1 nên 1 2 xy 2 16 (1) xy x2 y2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 2 Ngoài ra ta cũng có: (x y)2 0 x2 y2 2xy 2(x2 y2 ) 2xy x2 y2 2(x2 y2 ) (x y)2 2(x2 y2 ) 1 (vì x + y = 1) 1 x2 y2 (2) 2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 2 Từ (1) và (2) cho ta: 1 1 25 M 4 (x2 y2 )(1 ) 4 (1 16) x2 y2 2 2 25 Do đó: M 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi 1 x y 2 25 1 Vậy GTNN của M khi và chỉ khi x y . 2 2 * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC. Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y x 2 4 x . Giải: * Cách 1: x 2 0 Điều kiện: 2 x 4(*) 4 x 0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . c d Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 12
13. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Chọn a x 2;c 1;b 4 x;d 1 với 2 x 4 Ta có: 2 2 2 y2 x 2 4 x x 2 4 x . 12 12 2 y x 2 4 x .2 y2 4 y 2 Vì y > 0 nên ta có: 0 y 2 Dấu “=” xảy ra x 2 4 x x 2 4 x x 3 (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3. * Cách 2: Ta có: y x 2 4 x x 2 0 Điều kiện: 2 x 4 4 x 0 Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN. Ta có: y2 x 2 4 x 2 (x 2)(4 x) y2 2 2 (x 2)(4 x) x 2 0 Do 2 x 4 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm 4 x 0 cho ta: 2 (x 2)(4 x) (x 2) (4 x) 2 Do đó y2 2 2 4 Dấu “=” xảy ra x 2 4 x x 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3. Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 3 x 1 4 5 x(1 x 5) . Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số: (3; 4) và (( x 1; 5 x) ta có: 2 2 y2 (3. x 1 4. 5 x)2 (32 42 ). x 1 5 x 100 y2 100 => y 10 x 1 5 x x 1 5 x Dấu “=” xảy ra <= hay 3 4 9 16 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 13
14. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức => x = 61 (thỏa mãn điều kiện) 25 Vậy GTLN của y là10 khi x = 61 25 * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = 3 x 1 4 5 x 3 x 1 3 5 x 5 x = 3 x 1 5 x 5 x Đặt: A = x 1 5 x thì t2 = 4 + 2 x 1 5 x 4 => A 2 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5 Vậy y 3 . 2 + 0 = 6 Dấu “=” xảy ra khi x = 5 Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5 Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5 Tìm GTNN của biểu thức: M = x 1994 2 (x 1995)2 Giải: M = x 1994 2 (x 1995)2 = x 1994 x 1995 Áp dụng bất đẳng thức: a b a b ta có: M = x 1994 x 1995 x 1994 1995 x => M x 1994 1995 x 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x) 0 1994 x 1995 Vậy GTNN của M = 1  1994 x 1995 Bài toán 4: Tìm GTNN của B = 3a + 4 1 a2 với -1 a 1 Giải: 3 16 2 B = 3a + 4 1 a2 5 a 5  1 a 5 25 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta 2 3 2 16 2 a 1 a 3 16 2 5 5 a 5  1 a 5 5 25 5 25 2 2 9 25a2 41 25a2 => B 5 5 225 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 14
15. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức => Do đó B 5 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. 3 a 5 3 a = 16 5 1 a2 25 Vậy GTNN của B = 5 a = 3 5 Bài toán 5: Tìm GTNN của biểu thức: A = 3 2 2x x2 7 Giải: Điều kiện: 2x x2 7 0 x2 2x 1 8 0 -(x-1)2 + 8 0 x 1 2 8 2 2 x 1 2 2 1 2 2 x 2 2 1 Với điều kiện này ta viết: 2x x2 7 x 1 2 8 8 2x x2 7 8 2 2 => 2 + 2x x2 7 2 2 2 2 2 1 Do đó: 1 1 2 1 2 2x x2 7 2 2 1 2 2 1 Vậy A 3 và dấu “=” xảy ra x -1 = 0 2 x = 1 (thỏa mãn điều kiện) 3 Vậy GTNN của A = 2 1 x 1 2 Bài toán 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = 5 3x 1 x2 Giải: Điều kiện: 1 – x2 > 0 x2 - 1 A > 0 => GTNN của A  A2 đạt GTNN. Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 15
16. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 2 2 2 5 3x 25 30x 9x 3 5x Ta có: A = 2 2 2 16 16 1 x2 1 x 1 x 3 Vậy GTNN của A = 4 khi x 5 Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y 1 Tìm GTNN của biểu thức: A = x  1 x2 Giải: Điều kiện: 1 – x2 0 1 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 0 và 1 – x2 0 Ta có: x2 + 1 – x2 2 x2 1 x2 1 2 x  1 x2 1 1 2 A A 2 1 2 2 Vậy GTLN của A = khi x =  hay x = 2 2 2 Bài toán 8: Tìm GTLN của biểu thức: y = x 1996 1998 x Giải: Biểu thức có nghĩa khi 1996 x 1998 Vì y 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 x 1998 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 2 x 1996 1998 x (x 1996) (1998 x) 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do đó y2 4 y 2 Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997 Bài toán 9: Cho 0 x 1 . Tìm GTLN của biểu thức y = x + 2 1 x Giải: 1 Ta có: y x 2 1 x = x + 2  1 x 2 Vì 0 x 1 nên 1 – x 0 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 16
17. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: 1 và (1 – x) cho ta: 2 1 1 3 y x 2 1 x x 1 x 2 2 2 1 1 Dấu “=” xảy ra 1 x x 2 2 Vậy GTLN của y là 3 tại x = 1 2 2 Bài toán 10: Cho M = a 3 4 a 1 a 15 8 a 1 Tìm TGNN của M Giải: M = a 3 4 a 1 a 15 8 a 1 = a 1 4 a 1 4 a 1 8 a 1 16 2 2 = a 1 2 a 1 4 Điều kiện để M xác định là a – 1 0 a 1 Ta có: M a 1 2 a 1 4 Đặt x = a 1 điều kiện x 0 Do đó: M = x 2 x 4 Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x 2 thì x 2 x 2 2 x Và x 4 x 4 4 x => M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x 6 2.2 2 Vậy x M = x 2 x 4 2x 6 24 6 2 Vậy x > 4 thì M 2 3) Khi 2 M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp này thì: 2 a 1 4 4 a 1 16 5 a 17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN của M = 2 tương ứng với: 5 a 17 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 17
18. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x 1 hoặc x 3 . Gợi ý: - Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1 - Kết luận: Min A = 2 x = 3 3 Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 7 . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = nhưng 2 giá trị không thỏa mãn x 1 , không thỏa mãn x 3 . Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7. Bài 2: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0 2 2 Tìm các giá trị của m để x1 x2 có giá trị nhỏ nhất Gợi ý: = 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2 2 2 2 2 x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 (2m 1) 2(m 2) 4m 6m 5 2 3 11 11 = 2m 2 4 4 2 2 11 3 => Min ( x1 x2 với m = 4 4 Bài toán 3: Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y và thế vào E Bài toán 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2 Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4 Gợi ý: Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 18
19. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Từ x2 + y2 – xy = 4 2x2 + 2y2 – 2xy = 8 A + (x – y)2 = 8 Max A = 8 khi x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy 3A = 8 + (x + y)2 8 8 8 => A min A = khi x = - y 3 3 Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y. Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 (x2 4y2 ) (12 + 12) = 50 x 2y 50 50 M 50 5 5 Vậy Max M = 50 khi x = ; y 2 2 2 5 5 Min M = -52 khi x = - ; y = - 2 2 2 Bài tóan 6: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức: x y A = x4 y2 x2 y4 Gợi ý: Từ (x2 – y)2 0 x4 y2 2x2 y x x 1 => x4 y2 2x2 y 2 y 1 Tương tự: y4 x2 2 x2 y 2 => A 1 => Max A = 1 khi y x x y 1 xy 1 Bài tóan 7: Tìm GTNN của biểu thức: A = x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 19
20. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Gợi ý: B = x 1 1 1 x 1 Min B = 2 khi - 1 x 0 Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước. Gợi ý: 2 2 a b c 2 2 2 a b c Biểu diễn B = 3. x a b c 3 3 a b c 2 => GTNN của B = (a2 + b2 + c2) - 3 Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4 Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7 Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3 Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2 => GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3 Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 2x 4y 5  z Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki  26 x 5 x y z y 52 Max P = 65 khi 2 4 5 5  13 5 z 5  Bài toán 12: Tìm GTNN của biểu thức sau: x2 1 a) A = Với x 0 x 2 b) B = 8 Với mọi x 3x2 2 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 20
21. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức x2 1 c) C = Với mọi x x2 1 Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: 5 A = (x + 2) + 4 2 5 4 x 2 8 1 1 b) B = 4 (vì ) 3x2 2 3x2 2 2 2x2 c) C = 1 1 Min C = - 1 khi x = 0 x2 1 Bài toán 13: x2 2x 2000 Tìm GTNN của biểu thức A = ;(x 0) x2 Gợi ý: 2000x2 22000x 20002 (x 2000)2 1999x2 A = 2000x2 2000x2 (x 2000)2 1999 1999 = 2000x2 2000 2000 Vậy Min A = 1999 Khi x = 2000 2000 Bài toán 14: Tìm GTNN của biểu thức: 4 3 2 P = 4x 16x 56x 80x 356 x2 2x 5 Gợi ý: 256 Biểu diễn P = 4(x2 2x 5) 64 (áp dụng BĐT Côsi) x2 2x 5 => Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3 Bài toán 15: 2 Tìm GTNN của A = x 4x 4 với x > 0 x 2 B = x với x > 1 x 1 2 C = x x 2 x2 x 1 1 D = (1 x) 1 với x > 0 x x 5 E = với 0 < x < 1 1 x x Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 21
22. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức x 2 F = với x > 1 2 x 1 Gợi ý: 4 4 A = x+ 4 2 x  4 8 (vì x > 0) x x => Min A = 8 khi x = 2 x2 1 1 1 B = 2 (x 1) 2 2 4 (vì x > 1) x 1 x 1 => Min B = 4 x = 2 (x2 x 1) 1 2 x2 x 1 C = 2 x2 x 1 x2 x 1 1 1 D = (1 + x) 1 2 x.2. 4 (vì x > 0) x x x 5 5x 5x x 5 1 x x 5 1 x E = 5 2  5 2 5 5 1 x x 1 x x 1 x x x 1 1 2 x 1 2 1 x 1 2 1 F = 2  2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 1 3 3 = 2 => Min F = khi x = 3. 2 2 2 Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 2 P = 8x 6xy x2 y2 Gợi ý: (y 3x)2 P = 9 - 1 1 x2 y2 (x 3y)2 P = 9 - 9 x2 y2 Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 1 Tìm GTNN của biểu thức S = x y x y 10 Gợi ý: S = 1 1 = x y xy x(10 x) S có GTNN x(10-x) có GTLN x = 5. => GTNN của S = 2 khi x = y = 5. 5 Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức: E = x2 x 1 x2 x 1 Gợi ý: Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 22
23. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Ta có E > 0 với mọi x Xét E2 = 2 (x2 + 1 + x4 x2 1) 4 => Min E = 2 khi x = 0 Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a 3 ; a + b 5 Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b 5 2a 2b 10 3a 2b 13 (vì a 3) => 132 3a 2b 2 13 a2 b2 => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0 Tìm m để cho x1 x2 đạt GTNN. Gợi ý: ' 2 (2m 1) 1 0 phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1; x2. Theo định lý vi-ét ta có: x1 x2 2m 2 x1.x2 3m 4m 2 2 Do đó x1 x2 4m 2 4 4 2 m R 1 GTNN của x x là 2 khi m = 1 2 2 Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = x 1 x 2 x 1998 Gợi ý: y = 1x 1 x 1998 x 2 x 1997 + + x 998 x 999 Ta có: x 1 x 1998 nhỏ nhất bằng 1997 khi x 1;1998 x 2 x 1997 nhỏ nhất bằng 1995 khi x 2;1997 x 998 x 1999 nhỏ nhất bằng 1 khi x 999;1000 Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + + 1997 Số các số hạng của 1 + 3 + + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 Vậy Min y = 9992 khi 999 x 1000 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 23
24. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t. Biết rằng: x2 y2 t 2 21 (1) 2 2 2 x 3y 4z 101 (2) Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 => 2M = 122 + t2 Do đó 2M 122 M 61 Vậy Min M = 61 khi t = 0 Từ (1) => x > y 0 x y x y 0 Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 101 y2 33 0 y 5 Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4 Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0 Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 (1) Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó: a) Đạt GTNN. b) Đạt gía trị lớn nhất. Gợi ý: Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + 1 = 0 (2) Viết (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a. a2 + 2 (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 0 Để tồn tại a thì ' 0 Giải điều kiện này được m4 - m2 0 m(m – 1) 0 0 m 1 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 24
25. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1 Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2 2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t = x 2x 2 x2 1 Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x 2 Đặt a = x 2x 2 => (a – 1) x2 – 2 x +a – 2 = 0 (1) x2 1 a là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm. - Nếu a = 1 thì (1) x = 1 2 - Nếu a 1 thì (1) có nghiệm ' 0 3 5 1 5 3+ 5 5 1 Min A = với x = ;Max A = với x = 2 2 2 2 Bài 25: 2 2 Tìm GTNN, GTLN của A = x xy y x2 xy y2 Gợi ý: Viết A dưới dạng sau với y 0 2 x x 1 2 y y a a 1 x (A 2 2 (đặt a ) x x a a 1 y 1 y y 1 Giải tương tự bài 24 được: A 3 3 Còn với y = 0 thì A = 1 Do đó: Min A = 1 với x = y ; max A = 3 với x = - y 3 Bài 26: Cho a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: Với Q dưới dạng Q = (a + b) a b 2 3ab ab = 1 – 2ab = 1 – 2a (1 – a) 1 => Q = 2a2 – 2a + 1 2 Do đó: Min Q = 1 khi a = b = 1 2 2 Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 25
26. Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 26