›
›
›

Chuyên đề: Cực trị số phức - Mẫn Ngọc Quang

docx 55 trang thaodu 4060
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề: Cực trị số phức - Mẫn Ngọc Quang", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxchuyen_de_cuc_tri_so_phuc_man_ngoc_quang.docx

Nội dung text: Chuyên đề: Cực trị số phức - Mẫn Ngọc Quang

  1. Sử dụng cho số phức. Câu 1: Cho z1 3 i, z2 2 i . Tính z1 z1z2 Giải: 2 2 z1 z1z2 3 i 3 i 2 i 10 10 0i z1 z1z2 10 0 10 Dùng Casio như sau: Bấm mode 2: để chuyển sang chế độ số phức. Muốn bấm chữ i ta bấm Nhập biểu thức: z1 z1z2 3 i (3 i)(2 i) Vậy modun = 10 z1 z2 3 Câu 2: Cho z1 2 3i, z2 1 i . Tính ; z1 3z2 z2 Giải: z1 z2 3 4i 3 4i 1 i 7 i z1 z2 49 1 5 2 +) 2 z2 1 i 1 i 2 z2 4 4 2 2 3i 1 i Dùng casio: 1 i Tính modun. Ta bấm lưu kết quả số phức trên bằng cách bấm Shift Sto A. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 1
  2. Để tính được modun ta phải bấm Shift hyp ta được kết quả như sau: 3 Câu 3: Cho z1 2 3i, z2 1 i . Tính z1 3z2 Giải: 3 2 3 3 z1 3z2 8 36i 54i 27i 3 3i 49 6i z1 3z2 2437 Bấm tương tự bên trên ta được màn hình hiện ra như sau: Ta lưu vào A được như sau: Tính môdun CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 2
  3. Bài 4 : Cho z1 3 i , z2 2 i . Tính z1 z1z2 A. 9 B. 10 C. 7 D. 6 Giải: Ấn MODE 2 (chuyển sang chế độ số phức) Nhập vào máy tính: 3 + ENG SHIFT STO A 2 - ENG SHIFT STO B Bấm SHIFT hyp rồi nhập như hình: Bài tập tự luyện: Cho z1 2 3i , z2 1 i : a) Tính z1 3z2 A. 29 B. 41 C. 61 D. 13 z1 z2 b) Tính z2 5 3 5 2 A. B. C. 5 2 D. 5 3 2 2 3 c) Tính z1 3z2 A. 2437 B. 2354 C. 7 46 D. 2134 Bài 5 : Cho số phức z a bi , a,b ¡ thỏa mãnz2 60 32i . Tính giá trị biểu thức A a b : A. A = 5 hoặc A = 4 B. A = 4 hoặc A = 1 C. A = 10 hoặc A = -10 D. A = 2 hoặc A = -2 Giải: Lưu 60 32i vào A bằng cách SHIFT STO A. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 3
  4. Và bấm như hình: Cách bấm: bấm SHIFT hyp,  bấm SHIFT (-), Arg bấm SHIFT 2 1 (2 8i)2 a b 10 Suy ra 60 32i ( 2 8i)2 a b 10 CÔNG THỨC 2 2 2 2 1. z z z z 2 z z 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2. z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 2 2 2 2 2 2 3. z z z z z z z z z z z z 4 z z z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4. z1 z2 z1 z2 z1 z2 5. z1 z2 z1 z2 z1 z2 6. z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 7. z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 1 1 1 8. Khi k k k với * thì z1 z2 zn 0 k,n ¥ k k k 0 z1 z2 zn 2 9. Khi z1 z2 z3 R thì z1 z2 z2 z3 z2 z3 z3 z1 z3 z1 z1 z2 9R 10. Cho số phức z thỏa mãn z1z z2 r1 . Tính Min, Max của z z3 . z2 r1 r1 z2 Max z3 ; Min z3 z1 z1 z1 z1 1 k2 4 k k2 4 k 11. Cho z £ * thõa mãn z k thì Max z , Min z z 2 2 12. Dạng: z1z z2 z1z z2 k với z1 a bi; z2 c di; z x yi k2 4 c2 d2 k Ta có: Min z và Max z 2 2 4 a b 2 z1 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 4
  5. 1 2 a 13. Cho z a 1 thì z2 a2 2 TÍNH MODUL LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2i 5 . Tìm giá trị lớn nhất của z : A.2 5 B.2 5 C.3 5 D. 4 5 Câu 2: Với các số phức z thỏa mãn 1 i z 1 7i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của z A.max z 4 B.max z 3 C.max z 7 D. max z 6 Câu 3: Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 3i 3 , gọi z0 là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó z0 là: A. 3B. 4C. 5D. 8 Câu 4: Trong các số phức z thỏa z + 3+ 4i = 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức.zB.0 . z0 = 2 C D.z0 .= 7 z0 = 3 Câu 5: Biết rằng số phức z thỏa mãn u z 3 i z 1 3i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z 2 A. 8 B.2 C.2 2 D. 2 Câu 6: Cho số phức thỏa mãnz i 1 z 2i .Giá trị nhỏ nhất của z là: 1 1 A. z B.z C.z 2 D. z 2 2 2 Câu 7:Biết rằng số phức z thỏa mãn:  z 3 i z 1 3i là một số thực.Tìm số phức z để z đạt giá trị nhỏ nhất. A. .z 2 2i B. . C.z . 2 2i D. . z 2 2i z 2 2i CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 5
  6. z 2 i Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn 2 . Tìm trung bình cộng giá trị nhỏ nhất và lớn z 1 i nhất của z . A.3 B.10 3 C.2 10 D. 10 Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z i 1 z 2i .Tìm giá trị nhỏ nhất của z ? 1 2 1 A. . B C D. . 2 2 2 2 Câu 10: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z - 2- 4i = z - 2i .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. z = - 1+ i B. z = - 2 + 2i C. z = 2 + 2i D. z = 3 + 2i Câu 11: Số phức z nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa | z | | z 3 4i | : 7 3 3 A.z 3 i B. z = -3 – 4i C. z 2i D. z 2i 8 2 2 Câu 12: Số phức Z có mô đun nhỏ nhất sao cho :z z 3 4i là: 3 3 3 3 A. z 2i B.z 2i C.z 2i D. z 2i 2 2 2 2 Câu 13: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A.z 1 i B.z 2 2i C.z 2 2i D. z 3 2i Câu 14: Cho các số phức z, w thỏa mãnz 2 2i z 4i , w iz 1 . Giá trị nhỏ nhất của w là: 2 3 2 A. B. 2 C. D. 2 2 2 2 Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 2 z 1 A.Max T 2 5. B.Max T 2 10. C.Max T 3 5. D. Max T 3 2. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 6
  7. Câu 16: Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 3i 3 , gọi z0 là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó z0 là: A.3B.4C.5D.6 Câu 17: Cho số phức z thỏa mãnz2 2z 5 z 1 2i z 3i 1 . Tính min w , với w z 2 2i . 3 1 A.min w B.min w 2 C.min w 1 D. min w 2 2 Câu 18: Cho số phức z thỏa mãnz 4 z 4 10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củaz lần lượt là: A.10 và 4B.5 và 4C.4 và 3D.5 và 3 Câu 19 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa): Cho số phức z a bi a,b ¡ ;a 0, b 0 . Đặt đa thức f x ax2 bx 2 . Biết 1 5 f 1 0, f . Tìm giá trị lớn nhất của z 4 4 A.max z 2 5 B.max z 3 2 C.max z 5 D. max z 2 6 Câu 20: Cho z là số phức thay đổi nhưng luôn thỏa mãn z 1 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn M nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 z 1 z z2 . Tính giá trị biểu thức T 4m2 1 1 13 A.T 13 B.T C.T D. T 1 4 4 2 3i Câu 21: Cho số phức z, tìm giá trị lớn nhất của z biết z thỏa mãn điều kiện z 1 1. 3 2i A. 3.B. 2.C. 1.D. 2. Câu 22: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. z 1 i B. z 2 2i C. z 2 2i D. z 3 2i CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 7
  8. Câu 23: Tìm số phức z có z 1 và z i đạt giá trị lớn nhất. A. 1 B. -1 C. i D. –i Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 2 z 1 là: A.maxT 2 5 B.maxT 2 10 C.maxT 3 5 D. maxT 3 2 Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của z và z . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OAB. 3 A.3 B. 2C. 1D. 2 Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Giá trị lớn nhất của z 1 i là A.13 2 B. 4C. 6D. 13 1 Câu 27: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãnz1 z2 8 6i và z1 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhấtcủa P z1 z2 ? A.P 4 6 B.P 5 3 5 C.P 2 26 D. P 34 3 2 Câu 28: Biết số phứcz x yi x, y ¡ thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i có môđunnhỏ nhất. TínhM 2x2 y2 . A.M 4 B.M 4 C.M 8 D. M 2 Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn :z m2 2m 5 , với m là tham số thực thuộc ¡ . Biết rằngtập hợp các điểm biểu diễn các số phức w 3 4i z 2i là một đường tròn.Tính bán kính r nhỏnhất của đường tròn đó. A.r 20 B.r 4 C.r 22 D. r 5 Câu 30: Cho số phức z thỏa mãnz 1 , đồng thời z có phần thực dương, phần ảo âm. Đặt 2z i A . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 iz A.A 1 B.A 1 C.A 1 D. A 1 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 8
  9. 1 Câu 31: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn iz 2 và z iz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 2 1 thức z1 z2 1 1 1 1 A.2 B.2 C.2 D. 2 2 2 2 2 Câu 32: Cho số phức z và số phức liên hợp của nó z có điểm biểu diễn là M, M’. Số phức z. 4 3i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N’.Biết rằng 4 điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z 4i 5 . 5 2 1 4 A. B. C. D. 34 5 2 13 Câu 33: Cho số phức z có môđun z 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 3 1 z là A.3 10 B.2 10 C.6D. 4 2 Câu 34: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện 2 3i z z i . 3 6 6 3 9 9 A. i B. i C. D. 5 5 5 5 5 5 Câu 35: Cho số phức zthỏa mãn z 2 3i . 1Giá trị lớn nhất của z 1 ilà A B.1.3C. .D.2 . 4 6 13 1 Câu 36: Cho số phức z 0 thỏa mãn z 2 . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i biểu thức P . z A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 37: Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i 3 và z 1 5 . Gọi z1;z2 T lần lượt là các số phức có môdun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức z1 2z2 A.12 2i B. 2 12i C.6 4i D.12 4i CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 9
  10. Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z2 z 1 . Tính giá trị của M.n 13 3 39 13 A. B. C. 3 3 D. 4 4 4 Câu 39: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i 3 và z 2 2i 5 . Kí hiệu z1 ,z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P z2 2z1 . A.P 2 6 C. P 33 B.P 3 2 D. P 8 Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 2 2 nhất của biểu thức P z 2 z i . Tính module số phức w M mi . A.w 2 314 B. w 1258 C. w 3 137 D. w 2 309 Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 2 z 1 . A.Pmax 2 5 B. Pmax 2 10 C. Pmax 3 5 D. Pmax 3 2 Câu 42: Cho số phức z x yi x, y R thỏa mãn z 2 4i z 2i và m min z . Tính module số phức w m x y i . A.w 2 3 B. w 3 2 C. w 5 D. w 2 6 Câu 43: Cho số phức z x yi x, y R thỏa mãn z i 1 z 2i . Tìm môđun nhỏ nhất của z. 1 A.min z 2 B. min z 1 C. min z 0 D. min z 2 Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z3 3z z z z . Tính M m 7 3 15 A. B. 13 C. D. 4 4 4 4 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 10
  11. 3 3 2i Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 . Gọi M và n lần lượt là giá trị lớn 1 2 2i nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 3i . Tính M .m A)M.n 25 B) M.n 20 C) M.n 24 D) M.n 30 Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 1 4 . Gọi m min z và M max z , khi đó M .n bằng: 2 3 A.2 B. 2 3 C. 3 3 2 2 Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn iz iz 4 . Gọi m min z và M max z , 1 i 1 i khi đó M .n bằng: A.2 B. 2 2 C. 2 3 D. 1 1 3 Câu 48: Cho các số phức z ,z ,z thỏa mãn z z z i . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 thức P z1 z2 z3 . A.Pmin 1 C. Pmin 3 1 B.P D. P 2 min 3 min z 3 Câu 49: Cho số phức z x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn 1 và biểu z 1 2i 2 2 2 2 thức P z z i z z z 1 i z 1 i . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là: A. 0 và 1 C. 3 và 0 B. 3 và 1 D. 2 và 0 Câu 50: Cho các số phức z thỏa mãn z 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 z 1 z2 1 z3 . CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 11
  12. A.Pmin 1 C. Pmin 3 B.Pmin 4 D. Pmin 2 6z i Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z . 2 3iz 1 1 A.max z C. max z 2 3 3 B.max z D. max z 1 4 Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Gọi M max z 1 i , m min z 1 i . Tính giá trị của biểu thức M 2 n2 . A.M 2 m2 28 C. M 2 m2 26 B.M 2 m2 24 D. M 2 m2 20 1 1 Câu 53: Cho số thức z £ * thỏa mãn z3 2 và M max z . Khẳng định nào sau đây z3 z đúng? 7 A. 1 M 2 C. 2 M 2 5 B.1 M D. M 3 M 2 M 3 2 Câu 54: Cho ba số phức z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức P . z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z3 z2 3 1 A.P C. P min 4 min 2 5 B.P 1 D. P min min 2 2z i Câu 55: Cho ba số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P : 2 iz CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 12
  13. 3 A.P 1 C. P max max 4 1 B.P D. P 2 max 2 max Câu 56: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn z 1 i 2z z 5 3i sao cho biểu thức P z 2 2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó. 8 7 4 6 A.(z) C. (z) 2 2 8 2 12 2 B.(z) D. (z) 2 2 2 Câu 57: Cho ba số phức z ,z ,z thỏa mãn z z z và z z z 0 . Tính giá trị 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 lớn nhất của biểu thức P z1 z2 2 z2 z3 2 z3 z1 . 7 2 3 6 A.P C. P max 3 max 2 4 5 10 2 B.P D. P max 5 max 3 Câu 58: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i z 2 i . Tính môđun của số phức w M mi . A.w 2 6 C. w 3 5 B.w 4 2 D. w 4 3 4 Câu 59: Cho hai số phức z ,z thỏa mãn z z i , z z 3 và biểu thức 1 2 1 2 5 5 1 2 3 3 P 4 z1 4 z2 3 z1 3 z2 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z1 z2 . A.1 C. 2 3 B. D. 3 4 LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 13
  14. Câu 1: Đáp án B. 2 Đặt z x yi x, y ¡ , ta có z 2i 5 x y 2 i 5 x2 y 2 5 Khi đó z x2 y2 4y 1 . Mặt khác x2 y 2 2 5 x2 5 y 2 2 0 y 2 5 . Suy ra z 4y 1 4. 2 5 1 9 4 5 2 5 . Vậy z 2 5 . max Câu 2: Đáp án D. – Phương pháp: + Đặt z a bi a,b ¡ + Biến đổi điều kiện đề bài, sử dụng các bất đẳng thức cần thiết để đánh giá |z| – Cách giải Đặt z a bi a,b ¡ . Điều kiện đề bài tương đương với 1 i a bi 1 7i 2 a b 1 a b 7 i 2 a b 1 2 a b 7 2 2 a2 b2 2 3a 4b 24 0 * Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 3a 4b 2 32 42 a2 b2 3a 4b 5 a2 b2 * 0 a2 b2 10 a2 b2 24 4 a2 b2 6 z 6 18 24 Dấu “=” xảy ra z i 5 5 Câu 3: Đáp án D. Cách giải: gọi z x yi; Khi đó z 4 3i x 4 y 3 i khi đó z 4 3i y 4 y 3 i 3 x 4 2 y 3 2 9 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 14
  15. Vậy quỹ tích các điểm z thuộc đường tròn tâm I 4; 3 ;R 3 y 3sin t 4 2 2 Đặt x2 y2 3sin t 4 3cos t 3 y 3cos t 3 9sin2 t 9cos2 t 24sin t 18cos t 25 24sin t 18cos t 34 24sin t 18cos t 242 182 sin2 t cos2 t 30 (theo bunhiacopxki) x2 y2 30 34 64 x2 y2 8 z 8 . Cách khác. 2 2 Giả sử z x yi x, y ¡ ta có z 4 3i 3 x yi 4 3i 3 x 4 y 3 9 x2 y2 8x 6y 16 0 x2 y2 16 8x 6y Ta có 8x 6y 2 82 6 2 x2 y2 100 x2 y2 8x 6y 10 x2 y2 x2 y2 16 10 x2 y2 z 2 16 10 z z 2 10 z 16 0 2 z 8 Do đó suy ra z0 8. Câu 4: Đáp án D. Cách 1: Đặt z = a + bi (a,b Î ¡ ) . Khi đó z + 3+ 4i = 2 Û (a + 3)2 + (b + 4)2 = 4 . Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn C tâm I 3; 4 và bán kính R 5 . Gọi M z là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: M z C . z OM OI R 3. Vậy z bé nhất bằng 3 khi M z C  IM . CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 15
  16. Cách khác. 2 2 Giả sử z x yi x, y ¡ ta có z 3 4i 2 x yi 3 4i 2 x 3 y 4 4 x2 y2 6x 8y 21 0 x2 y2 21 6x 8y Ta có 6x 8y 2 6 2 8 2 x2 y2 100 x2 y2 6x 8y 10 x2 y2 x2 y2 21 10 x2 y2 z 2 21 10 z z 2 10 z 21 0 3 z 7. Do đó suy ra z0 3. Câu 5: Đáp án C. Giả sử z x yi x, y R , ta có: 2 2 u z 3 i z 1 3i x 3 y 1 i x 1 y 3 i x y 4x 4y 6 2 x y 4 i Theo giả thiết u ¡ x y 4 0 Cách 1: z min  z 2 min z 2 x2 y2 y 4 2 y2 2y2 8y 16 2 y 2 2 8 8 Dấu “=” xảy ra khi y 2 x 2 Vậy z min  z 2 2i z 2 2 min Cách 2: Giả sử M x; y là điểm biểu diễn của z thì z OM OM  d min min Ta tìm được M 2; 2 z 2 2i z 2 2 min Câu 6: Đáp án B. Gọi số phức cần tìm là z a bi(a,b ¡ ) . Khi đó trừ giả thiết ta có CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 16
  17. a bi i 1 a bi 2i (a 1)2 (b 1)2 a2 (b 2)2 2a 2b 2 0 a b 1 1 a2 b2 (b 1)2 2b2 2b 1 2 1 1 1 z a ;b 2 2 2 Câu 7: Đáp án C. Ta có: z a bi với a,b ¡  a bi 3 i a bi 1 3i a 3 i b 1 a 1 i 3 b a 2 4a b2 4b 6 i 2a 2b 8 ¡ 2a 2b 8 0 a b 4 2 2 2 2 2 b 2 z a b b 4 b 2 b 2 8 2 2 . Dấu bằng khi a 2 Câu 8: Đáp án D. Phân tích: Giả sử z x yi(x, y ¡ ) . Từ giả thiết suy ra: z 2 i 2 x 2 (y 1)i 2 x 1 (y 1)i z 1 i (x 2)2 (y 1)2 2(x 1)2 2(y 1)2 x2 (y 3)2 10 Tập hợp biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0; 3) , bán kính R 10 Gọi M là điểm biểu diễn của z. Ta có: IM IO OM IM OI 10 3 OM 10 3 z OM 10 3 min min z OM 10 3 max max z z ( 10 3) 10 3) min max 10 2 2 Câu 9: Đáp án C. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 17
  18. Gọi z x yi z x yi z i 1 z 2i x yi i 1 x yi 2i x 1 y 1 i x y 2 i x 1 2 y 1 2 x2 y 2 2 x 1 2 y 1 2 x2 y 2 2 x y 1 0 y x 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z x (x 1) x x 2x 1 2x 2x 1 2 x 2 2 2 1 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x . Vậy Min|z| = 2 2 Câu 10: Đáp án C. Gọi z = x + iy (x,y Î ¡ ) Ta có z - 2- 4i = z - 2i Û x - 2 + (y - 4)i = x + (y - 2)i Û x + y = 4 £ 1+ 1 x2 + y2 Suy ra z = x2 + y2 ³ 2 2 Þ z = 2 2 khi z = 2 + 2i min Câu 11: Đáp án C. Gọi z a bi z a bi ; | z | | z 3 4i |-6a + 8b + 25 = 0(*) Trong các đáp án, có đáp án A và C thỏa (*). Ở đáp án A: |z| = 25/8 ; Ở đáp án C: |z| = 5/2. Cách khác. Giả sử z x yi x, y ¡ ta có z z 3 4i x yi x yi 3 4i x2 y2 x 3 2 y 4 2 6x 8y 25 Ta có 6x 8y 2 62 82 x2 y2 100 x2 y2 6x 8y 10 x2 y2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 18
  19. 5 3 25 10 x2 y2 25 10 z z xảy ra khi z 2i. Chọn C. 2 2 Câu 12: Đáp án C. Đặt z x yi ; x, y ¡ khi đó : z z 3 4i x yi x yi 3 4i 25 6x x yi x 3 4 y i 6x 8y 25 0 y 8 2 2 25 6x 1 2 1 2 5 Ta có : Z x 100x 300x 625 10x 15 400 8 8 8 2 3 Số phức z có mô đun nhỏ nhất đạt được khi x ; y 2 2 3 Vậy z 2i 2 Câu 13: Đáp án C. Đặt z a bi với a,b ¡ Ta có: z 2 4i z 2i a 2 b 4 i a b 2 i a 2 2 b 4 2 a2 b 2 2 a b 4 b 4 a Suy ra z a2 b2 a2 4 a 2 2a2 8a 16 2 a 2 2 8 2 2 Vậy z a 2 b 2 z 2 2i Chọn C min Câu 14: Đáp án A. Đặt z a bi a,b ¡ , khi đó z 2 2i a 2 b 2 i và z 4i a b 4 i Nên ta có a 2 2 b 2 2 a2 b 4 2 a b 2 b 2 a Khi đó w iz 1 a bi i 1 1 b ai w a2 b 1 2 a2 a 1 2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 19
  20. 2 2 2 2 1 1 1 1 2 Ta có a a 1 2a 2a 1 2 a w 2 2 2 2 2 Câu 15: Đáp án A. T z 1 2 z 1 1 22 z 1 2 z 1 2 5.2 z 2 1 2 5 (BĐT Cauchy - Swart) 2 2 2 Chú ý: z 1 z 1 2x2 2y2 2 2 z 1 với z = x + yi Cách 2: Đặt z = x + yi ta có: T x yi 1 2 x yi 1 x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 Lại có x2 y2 1 T 2x 2 2 2x 2 f x 1 2 6 Ta có: f ' x 0 x T 2 5 2x 2 2 2x 10 max Câu 16: Đáp án D. Gọi z x yi, x, y ¡ Ta có: z 4 3i 3 x 4 y 3 i 3 x 4 2 y 3 2 9 Ta được z 2 x2 y2 8x 6y 16 8 x 4 6 y 3 34 Ta thấy 8 x 4 6 y 3 82 62 x 4 2 y 3 2 30 Ta được: 2 z 8 . Câu 17: Đáp án C. Ta có: z2 2z 5 z 1 2i z 3i 1 z 1 2 4 z 1 2i z 3i 1 z 1 2i 0 1 z 1 2i z 1 2i z 1 2i z 3i 1 z 1 2i z 3i 1 2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 20
  21. Từ 1 z 1 2i w 1 w 1 . Xét (2). Gọi z x yi Khi đó z 1 2i z 3i 1 x 1 y 2 i x 1 y 3 i . 2 2 2 2 1 Ta được x 1 y 2 x 1 y 3 y 2 2 3 2 3 3 Suy ra w x 2 i w x 2 1 2 2 2 Câu 18: Đáp án D. Cách 1: Gọiz x yi, x, y ¡ điểm biểu điễn số phức z là M x; y Gọi F1 4;0 , F2 4;0 , ta thấy: 2 2 2 2 MF1 MF2 x 4 y x 4 y z 4 z 4 10 Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện z 4 z 4 10 là đường Elip, với x2 y2 9 2a 10,b a2 b2 3. Có phương trình 1 y2 25 x2 25 9 25 2 9 16 Có T z x2 y2 x2 25 x2 x2 9 25 25 Vì M x; y thuộc Elip nên 5 x 0 9 T 25 3 z 5 Cách 2: z 4 z 4 x 4 2 y2 x 4 2 y2 10 Áp dụng bất đẳng thức vec to ta có: x 4 2 y2 x 4 2 y2 x 4 x 4 2 y y 2 4x2 4y2 x2 y2 25 z 25 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Swarz ta có: CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 21
  22. x 4 2 y2 x 4 2 y2 1 1 x 4 2 y2 x 4 2 y2 2 2x2 2y2 32 x2 y2 9 z 3 Câu 19 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa): Đáp án A. f 1 0 a b 2 0 a b 2 a b 2 Theo giả thiết, ta có 1 5 a b 5 12 a f 2 a 4b 12 b 4 4 16 4 4 4 2 12 a 20 a 2 12 a Khi đó a b 2 2 a 4 . Vậy z a2 b2 a2 4 4 16 2 12 Xét hàm số f a 16a2 12 a 17a2 24a 144 với a 0;4 , có f ' a 0 a 17 12 2304 Tính các giá trị f 0 144, f 4 320, f suy ra max f a 320 17 17 0;4 Vậy giá trị lớn nhất của z là z a2 b2 42 22 2 5 max Câu 20: Đáp án B. 2 Gọi Re z là phần thực của số phức z, Im (z) là phần ảo của số phức z z 1 z.z 1 Đặt t 1 z , ta có 0 z 1 z 1 z 1 2 t 0;2 . Khi đó t2 1 z 1 z 1 z.z z z 2 z z z z t2 2 z2 z 1 z2 z z.z z . z 1 z t2 3 13 2 M 1 Xét hàm số f t t t 3 trên đoạn 0;2 , ta được 4 T 4 m 3 Câu 21: Đáp án B. 2 3i 2 Ta có: z 1 1 iz 1 1z x yi y 1 x2 1. 3 2i Khi đó: zmax OI R 1 1 2. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 22
  23. Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z a bi R tìm modun lớn nhất và nhỏ nhất của số phức z . Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn x a 2 y b 2 R 2. Khi đó: z OI R a 2 b2 R; z OI R a 2 b2 R max min Câu 22: Đáp án C. Gọi z = x + yi (x,y Î R) z - 2- 4i = z - 2i Û x + y = 4 Þ z = x2 + y2 = 2(x - 2)2 + 8 ³ 2 2 Þ z = 2 + 2i Câu 23: Đáp án C. Đặt z a bi thì z a2 b2 ; z i a2 b 1 2 Khi đó ta có: z 1 a2 b2 1 b 1 z i a2 b 1 2 a2 b2 2b 1 2b 2 2.1 2 2 Do đó, giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi: a 0;b 1 và z i Câu 24: Đáp án A. Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: T z 1 2 z 1 12 22 z 1 2 z 1 2 5.2 z 2 1 2 5 Vậy maxT 2 5 . Cách 2: Đặt z x yi z 1 x2 y2 1 Ta có: T z 1 2 z 1 x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 2x 2 2 2x 2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 23
  24. Xét hàm f x 2x 2 2 2x 2 , với 1 x 1 1 2 3 Có f ' x 0 x . Bảng giá trị 2x 1 2x 2 5 Vậy maxT 2 5 . Câu 25: Đáp án B. Giả sử z a bi a,b ¡ 1 1 1 a 2 b2 4 và A a;b ,B a; b S OA.OBsin A· OB OA.OB .2.2 2 OAB 2 2 2 Câu 26: Đáp án D. 2 2 Đặt z a bi;a,b ¡ z 2 3i 1 a 2 b 3 i 1 a 2 b 3 1 Đặt a 2 sin t;b 3 cos t. Khi đó z 1 i a 1 1 b i a 1 2 1 b 2 Ta có a 1 2 1 b 2 sin t 3 2 cos t 2 2 14 6sin t 4cos t 14 62 42 14 2 13 . Do đó z 1 i 1 13 Câu 27: Đáp án C. Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2 . Ta có OA z1 ,OB z2 . Gọi M là trung điểm của đoạn AB, 1 OM z1 z2 5 ta có 2 AB z1 z2 2 2 2 2 OA OB AB 2 2 Theo công thức tính độ dài trung tuyếnOM 2 z z 52 2 1 1 2 Bây giờ sử dụng đánh giá Cauchy z z 2 z 2 z 2 2 26 1 2 1 2 Cách khác. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 24
  25. z z 2 z z 2 2 z 2 z 2 z 2 z 2 52 Ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 2 z z 2 z 2 z 2 104 z z 2 26 Ta có 1 2 1 2 1 2 Câu 28: Đáp án A. Từ giả thiết z 2 4i z 2i suy rax y 4 do đó để z x2 y2 nhỏ nhất thì x y 2 và do đó M 2x2 y2 4 . Câu 29: Đáp án A. • Trước hết ta chứng minh được, với hai số z1.z2 z1 . z2 • Theo giả thiết w 3 4i z 2i w 2i 3 4i z w 2i 5 z 5 m 1 2 4 20 Câu 30: Đáp án A. Đặt z a bi, a,b ¡ . Do z 1 nên a2 b2 1 . 2 2z i 2a 2b 1 i 4a2 2b 1 Ta có: A 2 iz 2 b ai 2 b 2 a2 4a2 2b 1 2 Ta chứng minh 1 2 b 2 a2 2 2 4a 2b 1 2 2 Thật vậy, ta có: 1 4a2 2b 1 2 b a2 a2 b2 1 2 b 2 a2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a2 b2 1 Vậy A 1 Câu 31: Đáp án A. 1 1 i(x y i) 2 ix y 2 1 1 2 1 1 2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 25
  26. 2 2 1 x (y 2) . Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z1 là đường tròn (C) có tâm 1 1 4 1 I(0; 2) và bán kính R . 2 Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z2 thì việc tìm GTNN của z1 z2 là việc tìm GTNN của MN. Theo đề thì z2 iz1 y1 x1i N y1;x1 là điểm biểu diễn z2. Ta nhận thấy rõ ràng   2 2 2 2 OM.ON x1y1 x1y1 0 x1 y1 . Dễ nhận thấy OM=ON= x1 y1 Ta có hình vẽ sau: Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN=OM2 , do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M≡M’ (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như hình vẽ). Tức là 1 1 1 M 0; 2 . Khi đó MN OM 2 2 2 2 2 2 2 Câu 32: Đáp án C. * Giả sử x a bi a,b ¡ . Ta có: M a;b và M ' a; b * Khi đó: z 4 3i 4a 3b 3aq 4b i . Suy ra N 4a 3b;3a 4b và N ' 4a 3b; 3a 3b * Do 4 điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình thang cân nhận Ox làm trục đối xứng nên 4 điểm đó lập a b 2 thành hình chữ nhật MM ' NN ' 4b2 4 3a 4b 8 . a b 3 * Với a b , ta có: 2 2 2 9 1 1 z 4i 5 b 5 b 4 2 b 2 2 2 9 9 Dấu bằng xảy ra khi a ,b . 2 2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 26
  27. 8 * Với a , ta có: 3 2 8 2 73 2 104 289 1 z 4i 5 b 5 b 4 b b 41 3 9 3 73 2 1 Vậy min z 4i 5 2 Câu 33: Đáp án B. Đặt z x yi x, y ¡ . Ta có: z 1 x2 y2 1 x, y  1;1 A 2 1 x 3 2 1 x MaxA 2 10 Câu 34: Đáp án A. Gọi z a bi a,b ¡ Ta có 2 3i z z i a 2 b 3 i a b 1 i a 2 2 b 3 2 a2 b 1 2 a 2b 3 Ta cần tìm z sao cho a2 b2 đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có 2 2 2 2 2 6 9 9 a b 2b 3 b 5 b 5 5 5 Do đó 9 6 3 3 6 3 6 min a b2 b  a z i Vậy z i . 5 5 5 5 5 5 5 M2 Câu 35: Đáp án D. M1 I Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i x 2 y 3 i . H CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 27
  28. 2 2 Theo giả thiết x 2 y 3 1 nên điểm Mbiểu diễn cho số phức nằmz trên đường tròn tâm I 2;3 bán kính R 1 . Ta có z 1 i x yi 1 i x 1 1 y i x 1 2 y 1 2 . 2 Gọi M x; y và H 1;1 thì HM x 1 2 y 1 . Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn. x 2 3t Phương trình HI : , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y 3 2t 2 2 1 3 2 3 2 9t 4t 1 t nên M 2 ;3 ,M 2 ;3 . 13 13 13 13 13 Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1 . Câu 36: Đáp án B. i i i 1 i 1 1 1 Ta có: 1 1 1 1 1 1 . Mặt khác z 2 suy ra z z z z z z z 2 1 3 3 1 P . Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là , . Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị 2 2 2 2 nhỏ nhất của biểu thức P là 2. Câu 37: Đáp án A. Do z 1 3 và z 1 5 nên tập hợp điểm M là các điểm nằm ngoài đường tròn I 1 0;1 ;R1 3 và nằm trong đường tròn I2 1;0 ;R 2 5 Dựa vào hình vẽ ta chứng minh được OM1 z OM OM2 Khi đó z1 2i;z 2 6 z1 2z2 2i 12 Câu 38: Đáp án A. Cách 1: Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z 1 z.z 1 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 28
  29. Đặt t z 1 , ta có: 0 z 1 z 1 z 1 2 t 0;2 t2 2 t2 1 z 1 z 1 z.z z z 2 2Re(z) Re(z) 2 z2 z 1 z2 z z.z z z 1 z t2 3 2 Xét hàm số: f t t t 3 ,t 0; 2 . Xét 2 TH: 13 13 3 Maxf t ; Minf t 3 M.n 4 4 Câu 39: Đáp án C. Giải: 3 z i z 1 z 2 2 x2 y 1 9 Dấu “=” xảy ra khi: z1 2i 2 2 x y 4 z 2 2 z 2 2i 5 z 5 2 2 2 2 x 2 y 2 25 4 5 2 4 5 2 Dấu “=” xảy ra khi: z2 i 2 2 2 2 x y 33 20 2 4 5 2 4 5 2 P i 4i 33 2 2 Câu 40: Đáp án B. Cách 1: P 4x 3 P 4x 2y 3 y 2 2 2 2 2 P 4x 3 z 3 4i 5 x 3 y 4 5 x 3 4 5 f x 2 f ' x 8 x 3 8 P 4x 11 0 x 0,2P 1,6 y 0,1P 1,7 f x 2 2 P 33 Thay vào ta được: 0,2P 1,6 3 0,1P 1,7 4 5 0 P 13  Cách 2: z 3 4i 5 x 3 2 y 4 2 5: C CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 29
  30. ( ) : 4x 2y 3 P 0 Tìm P sao cho đường thẳng và đường tròn C có điểm chung d I; R 23 P 10 13 P 33 Vậy MaxP 33 ; MinP 13 w 33 13i w 1258 Câu 41: Đáp án A. Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki: 2 2 2  P z 1 2 z 1 12 22 z 1 z 1 10 z 1 2 5 Câu 42: Đáp án D. Cách 1: z 2 4i z 2i x y 4 2 x y 42 z x2 y2 2 2 2 2 min z 2 2 x y 4 x 2 , Dấu “=” xảy ra khi w 2 2 4i w 2 6 x y y 2 x y 2 Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x2 y2 2 Dấu “=” xảy ra khi x y z 2 4i z 2i y 4 x z x2 y2 x2 4 x 2 2 x 2 2 8 2 2 min z 2 2 x y 4 x 2 . Dấu “=” xảy ra khi w 2 2 4i w 2 6 x 2 y 2 Câu 43: Đáp án D. Cách 1: CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 30
  31. z i 1 z 2i x y 1 2 x y 1 x2 y2 2 2 1 1 z x2 y2 2 2 x y 2 Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x2 y2 2  Cách 2: z i 1 z 2i y x 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 z x y x x 1 2 x 2 2 2 2 1 min z Vậy 2 Câu 44: Đáp án D. Cách 1: Ta có z 2 1 z.z 1 2 2 Đặt t z z 0;2 t 2 z z z z z2 2z.z z 2 z2 z 2 z3 3z z z z2 3 z t 2 1 t 2 1 2 2 1 3 3 P t t 1 t 2 4 4 3 Vậy minP ; maxP 3 khi t 2 4 15 M n 4 Cách khác. Theo giả thiết, ta có z cos x isin x và khi đó P cos3x isin3x 3 cos x isin x cos x isin x 2 cos x CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 31
  32. cos3x 4cos x i sin3x 2sin x 2 cos x cos3x 4cos x 2 sin3x 2sin x 2 2 cos x 2 2 4cos3 x cos x sin2 x 4cos2 x 1 2 cos x 4cos2 x 1 2 cos x 2 2 1 3 1 3 3 3 4 cos x 2 cos x 2 cos x m 4 4 2 4 4 4 2 2 1 3 1 3 15 Mặt khác P 2 cos x 2 3 M 3 M n 2 4 2 4 4 Câu 45: Đáp án C. Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1z z2 r . Tính Min, Max của z z3 . Ta có z2 r r z2 Max z3 ; Min z3 z1 z1 z1 z1 3 3 2i  Áp dụng Công thức trên với z1 ; z2 1 2i,z3 3 3i;r 3 ta được 1 2 2i Max 6; Min 4 Câu 46: Đáp án B. Giải: Dạng Tổng quát: vớiz1z z2 z1z z2 k z1 a bi; z2 c di; z x yi 2 k2 4 z k Ta có: Min z 2 và Max z 2 z1 2 z1 42 4 m 3 2 ADCT trên ta có: z1 1; z2 1; k 4 4 M 2 2 Câu 47: Đáp án B. 2 m 2  ta có: z1 i; z2 ; k 4 1 i M 2 Câu 48: Đáp án C. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 32
  33. Giải: 2 2 2 3 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P 3 z1 . z2 . z3 1 3 z1z2 z3 i z1z2 z3 1 z1 z2 z3 1 Mặc Khác: 2 2 Suy ra P 3 . Dấu “=” xảy ra khi z1 z2 z3 1 Câu 49: Đáp án A. Giải: z 3 1 z 3 z 1 2i x y 1 z 1 2i 2 P 16x2 y2 8xy t xy x y 1 , Đặt 0 t 2 4 2 1 P 16t 8t,t 0; MaxP 0; MinP 1 4 Câu 50: Đáp án D. Giải:  Ta có: z 1 z 1  P 1 z 1 z2 1 z3 1 z z 1 z2 1 z3 1 z z 1 z2 1 z3 2 Câu 51: Đáp án C. Giải: 6z i 2 2 1 6z i 2 3iz 6z i 2 3iz 2 3iz 6z i 6z i 2 3iz 2 3iz 6z i 6z i 2 3iz 2 3iz 1 2 1 1 z.z z z 9 9 3 Câu 52: Đáp án A. Giải: CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 33
  34. 2 2 z 2 3i 1 x 2 y 3 1 (1) 2 2 Đặt P z 1 i x 1 y 1 P2 (2) với P 0 P2 10 6x Lấy (1)-(2) ta được: y . Thay vào (1) : 4 2 2 2 P 10 6x x 2 3 1 52x2 40 12P2 x P4 4P2 52 0 (*) 4 Để PT (*) có nghiệm thì: 2 40 12P2 4.52. P4 4P2 52 0 14 2 13 P 14 2 13 Vậy M 14 2 13 ,m 14 2 13 M 2 m2 28 Câu 53: Đáp án B. Giải: 3 3 1 3 1 1 3 1 1 1 z z 3 z z z 3 z z z3 z z3 z z 3 3 3 1 1 1 1 1 o z z 3 z z 3 z 2 z3 z z z z 3 3 1 1 1 1 Mặt khác: z 3 z z 3 z z z z z 3 1 1 1 Suy ra: z 3 z 2 , đặt t z 0 , ta được: z z z 2 1 t3 3t 2 0 t 2 t 1 0 t 2 z 2 M 2 z Câu 54: Đáp án B. Giải: 2 2 2  z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z1 z2 z2 z3 z2 z3 z3 z1 z3 z1 9 z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 9 z1 z2 z3 Theo BĐT Cauchy- Schwarz: CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 34
  35. 9 9 9 o P z z z z z z z z z z z z 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 9 z1 z2 z3 9 2 Do đó: P 1 (do z z z 0 ) 9 1 2 3 Câu 55: Đáp án A. z 1 Giải: Chuẩn hóa z 1 z 0 2 i z 1 P 1 do đó loại B, C 2 i i 1 z 0 P do đó loại D, chọn đáp án A 2 2 Câu 56: Đáp án C. Giải: 2 z 1 i 2z z 5 3i y x 2 2 2 2 2 3 7 7 P x 2 y 2 y y 2 y 2 4 4 3 y 4 6 3 Dấu “=” xảy ra khi: 2 z i 2 2 2 y x 2 Câu 57: Đáp án C. Giải: 2 2 2 2 2 2 2 3 z z z z z z z z z z z z 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 2 Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 2 2 2 2 3 6 P z1 z2 2 z2 z3 2 z3 z1 1 2 2 z1 z2 z2 z3 z3 z1 2 Câu 58: Đáp án A. Giải: CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 35
  36. 2 z 1 2 x 1 y2 2 vecto 2 2 2 2 2 P x2 y 1 2 x 1 y x 2 x y 1 1 y 2 2 bunhiacopxki 2 2 2 2 P x2 y 1 2 x 1 y 2.2 x 1 y2 2 4 w 4 2 2i 2 6 Câu 59: Đáp án A. Giải: Ta có: z1 z2 1; 3 z1 z2 z1 z2 2 2 2 2 2 2 2 z1 z2 z z z z 2 z z 2 z z 3 z z 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 3 3 P 4 z z 3 z z 5 z z 3 z z 5 1 2 1 2 1 2 1 2 t 1 Xét hàm số: 3 2 f t t 3t 5,t 3; 2 ; f ' t 3t 3 0 t 1 Do đó minf t 3 minP 3 Dấu “=” xảy ra khi z1 z2 1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.D 4.D 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.C 11.C 12.C 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.D 19.A 20.B 21.B 22.C 23.C 24.A 25.B 26.D 27.C 28.A 29.A 30.A 31.A 32.C 33.B 34.A 35.D 36.B 37.A 38.A 39.C 40.B 41.A 42.D 43.D 44.D 45.C 46.B 47.B 48.C 49.A 50.D 51.C 52.A 53.B 54.B 55.A 56.C 57.C 58.A 59.A BÀI TOÁN SỬ DỤNG KỸ THUẬT CHUẨN HÓA PHƯƠNG PHÁP CHUẨN HÓA TRONG SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 36
  37. z Câu 1: Cho số phức z a bi 0 sao cho z không phải là số thực và w là số thực. 1 z3 2 z Tính . 2 1 z 1 1 A. C. 2a 1 3a 2 2 1 B. D. a 2 2a 2 Câu 2: Cho hai số phức z, w khác 0 và thỏa mãn z w 2 z w . Gọi a, b lần lượt là phần z thực và phần ảo của số phức u . Tính a2 b2 ? w 1 1 A. C. 2 8 7 1 B. D. 2 4 Câu 3: Cho hai số phức z, w khác 0 và thỏa mãn z w 5 z w . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức u z.w . Tính a2 b2 ? 1 1 A. C. 50 100 1 1 B. D. 25 10 Câu 5: Choz1 ,z2 ,z3 là các số phức thoả mãnz1 z2 z3 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. z1 z2 z3 z1z2 z2z3 z3z1 B. z1 z2 z3 z1z2 z2z3 z3z1 C. z1 z2 z3 z1z2 z2z3 z3z1 D. z1 z2 z3 z1z2 z2z3 z3z1 Câu 6: Cho ba số phức z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 và z1 z2 z3 0 . Tính giá trị của 2 2 2 biểu thức P z1 z2 z3 . A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 Câu 7: Cho các số phức z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1 z2 z3 1999 và z1z2 z2 z3 z3z1 z1 z2 z3 0 . Tính P . z1 z2 z3 A.P 1999 C. P 999,5 B.P 19992 D. P 5997 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 37
  38. 2 Câu 8: Cho các số phức a,b,c,z thỏa az bz c 0 a 0 . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 P z1 z2 z1 z2 2 z1 z1 c c A.P 2 C. P 4 a a c 1 c B.P D. P . a 2 a 1 Câu 9: Nếu z không phải là số thực đồng thời có phần thực bằng 4 thì môđun của z là? z z 1 1 A. C. 8 12 1 1 B. D. 6 16 z1 z2 Câu 10: Nếu hai số thức z1 ,z2 thỏa mãn z1 z2 1 và z1.z2 1 thì số phức w có 1 z1z2 phần ảo bằng? A.0 C. 1 B. 1 D. Lớn hơn 1 Câu 11: Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn điều kiện z2 4 2 z . Đặt P 8 b2 a2 12 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 2 A.P z 2 C. P z 2 2 2 2 B.P z 4 D. P z 4 2 1 1 Câu 12: Cho các số phức z1 ,z2 0 a,b ¡ thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị z1 z2 z1 z2 z z của biểu thức P 1 2 . z2 z1 2 A. C. 3 2 3 2 B.2 D. 2 z Câu 13: Cho số phức z a bi 0 sao cho z không phải là số thực và w là số thực. 1 z2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 38
  39. z Tính . 2 1 z 1 1 A. C. 5 2 1 B. D. 1 3 Câu 14: Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn điều kiện z1 z2 z1 z2 1 . Tính giá trị của biểu 2 2 z z thức P 1 2 z2 z1 A. 1 C. 2 B. 1 i D. 1 i Câu 15: Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn điều kiện z1 z2 2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 z z z z biểu thức P 1 2 1 2 2 2 2017 z1z2 2017 z1z2 1 2 A. C. 2017 20172 B. 2 D. 1 2017 20172 Câu 16: Cho ba số phức z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 và z1 z2 z3 0 . Tính giá trị của 2 2 2 biểu thức P z1 z2 z3 . A.P 1 C. P 1 B.P 0 D. P 1 i Câu 17: Cho hai số phức z,w khác 0 và thỏa mãn z w 2 z w . Gọi a, b lần lượt là phần z thực và phần ảo của số phức u . Tính a2 b2 ? w 1 1 C. C. 2 8 7 1 D. D. 2 4 Câu 18: Cho hai số phức z,w khác 0 và thỏa mãn z w 5 z w . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức u z.w . Tính a2 b2 ? CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 39
  40. 1 1 B. C. 50 100 1 1 E. D. 25 10 Câu 19: Cho z1, z2 , z3 là các số phức thỏa z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1 . Khẳng định nào dưới đây là sai? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A.z1 z2 z3 z1 z2 z3 B. z1 z2 z3 z1 z2 z3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C.z1 z2 z3 z1 z2 z3 D. z1 z2 z3 z1 z2 z3 Câu 20: Choz1, z2 , z3 là các số phức thỏa mãnz1 z2 z3 1 . Khẳng định nào sau đây làđúng? A.z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 B. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 C.z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 D. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 Câu 21: Cho 3 số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 A.z1 z2 z2 z3 z3 z1 là số thuần ảo 2 2 2 B.z1 z2 z2 z3 z3 z1 là số nguyên tố 2 2 2 C.z1 z2 z2 z3 z3 z1 là số thực âm 2 2 2 D.z1 z2 z2 z3 z3 z1 là số 1 Câu 22: Cho các số phức z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1 z2 z3 1999 và z1z2 z2 z3 z3z1 z1 z2 z3 0 . Tính P . z1 z2 z3 C. P 1999 P 999,5 D. P 19992 P 5997 2 42 Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn 1 5i z 3i 15 . Mệnh đề nào dưới đây đúng: z 1 5 A. z 2 C. z 4 2 2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 40
  41. 3 B. z 3 D. 3 z 5 2 Câu 24:Cho ba số phức z,z1 ,z2 thỏa mãn 2z i 2 iz và z1 z2 1 . Tính giá trị của biểu thức P z1 z2 . 3 A.P C. P 2 2 2 B.P 3 D. P 2 z Câu 25: Cho số phức z a bi 0 sao cho z không phải là số thực và w là số thực. 1 z3 2 z Tính . 2 1 z 1 1 C. C. 3a 1 3a 2 2 1 D. D. a 2 2a 1 Câu 26: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w i và 2w 1 là hai nghiệm của phương trình z2 az b 0 . Tính a b ? 5 5 A. C. 9 9 1 1 B. D. 9 9 Câu 27: Choz a bi, a,b ¡ thỏa z2 4 2 z và P 8 b2 a2 12 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 2 A.P z 2 C. P z 2 2 2 2 B.P z 4 D. P z 4 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 41
  42. Câu 28: Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1 z2 8 6i và z1 z2 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P z1 z2 . A.Pmax 5 3 5 C. Pmax 4 6 B.Pmax 2 26 D. Pmax 34 3 2 2 2 Câu 29: Cho 3 số phức z , z , z thỏa mãn z z z 0 và z z z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 A. z z z z z z 1 2 2 3 3 1 3 2 2 2 8 B. z z z z z z 1 2 2 3 3 1 3 2 2 2 C. z1 z2 z2 z3 z3 z1 2 2 2 2 2 D. z1 z2 z2 z3 z3 z1 1 Câu 30: Cho 2 số phức zthỏa1, z2 mãn z1 z2 1, z1 z2 . Tính3 z1 . z2 A.1B.2C.3D.4 Câu 31: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 3, z2 4, z1 z2 37 . Xét số phức z z 1 a b . Tìm b z2 3 3 39 3 3 A.b B.b C.b D. b 8 8 8 8 z Câu 32: Cho số phức z, w khác 0 sao cho z w 2 z w . Phần thực của số phức u là: w 1 1 1 A.a B.a C.a 1 D. a 8 4 8 1 1 Câu 33: Cho z ,z là các số phức thỏa mãn z z 1 và z z 3 . Tính P z z 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 1 1 3 A.P B.P 0 C.P D. P 3 9 3 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 42
  43. Câu 34: Cho số phức z thoả mãn z 3 4i 5 . Gọi M và m lần lượt là gia trị lớn nhất và giá 2 2 trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z i . Tính modun của số phức w M mi A.w 2 314 B.w 2 309 C.w 1258 D. w 3 137 Câu 35: Cho số phức w, biết rằng z1 w 2i và z2 2w 4 là hai nghiệm của phương trình 2 z az b 0 với a,blà các số thực. TínhT z1 z2 . 8 10 2 3 2 37 A.T B.T C.T 5 D. T 3 3 3 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – NINH THUẬN z1 z2 z3 0 Câu 36: Cho ba số phức z1,z2 ,z3 thỏa mãn .Mệnh đề nào dưới đây đúng? | z1 | | z2 | | z3 | 1 2 2 2 2 2 2 A.| z1 z2 z3 | | z1z2 z2z3 z3z1 | B.| z1 z2 z3 | | z1z2 z2z3 z3z1 | 2 2 2 2 2 2 C.| z1 z2 z3 | | z1z2 z2z3 z3z1 | D.3 | z1 z2 z3 |.| z1z2 z2z3 z3z1 | Câu 37: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2 A. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 . B. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 . 2 2 2 2 2 2 C. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 . D. z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 . Câu 38: Cho ba số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 vàz1 z2 z3 0 . Tính 2 2 2 A z1 z2 z3 . A.A 1 i B.A 0 C.A 1 D. A 1 Câu 39: Cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho các số phức z1, z2 , z3 . Biết z1 z2 z3 và z1 z2 0. Khi đó tam giác ABC là tam giác gì? A.Tam giác ABC vuông tại C.B.Tam giác ABCđều. C.Tam giác ABC vuông cân tại C.D.Tam giác ABC cân tại C. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 43
  44. Câu 40: Tính tích mô đun của tất cả các số phức z thỏa mãn 2z 1 z 1 i , đồng thời điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn có tâm I 1;1 và bán kính R 5. A.1. B.3 5. C.5. D.3. Câu 41: Xét ba điểm A, B, C theo thứ tự trong mặt phẳng phức biểu diễn ba số phức phân biệt z1,z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 . Biết z1 z2 z3 0 , khi đó tam giác ABC có tính chất gì? A.TùB.VuôngC.CânD.Đều Câu 42: Cho hai số thực b và c c 0 . Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z2 2bz c 0 . Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (Olà gốc tọa độ) A.b2 2c B.c 2b2 C.b c D.b2 c Câu 43: Tính tích mô đun của tất cả các số phức z thỏa mãn2z 1 z 1 i , đồng thời điểmbiểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường trònI 1;1 , bán kính R 5 . A.5 B.3 5 C.1D.3 Câu 44: Cho H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 2z 3z 5 và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H. 5 3 A. B.3 C. D.5 2 2 LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1: Đáp án A. Lời giải: z Chuẩn hóa: : Vì w là số thực nên tachọn w 1 1 z 0,6624 0,5623i 1 z3 2 2 z 1 0,6624 0,5623i 1 Suy ra 2 2 0 1 z 2a 1 1 0,6624 0,5623i 2.0,6624 1 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 44
  45. Câu 2: Đáp án D. Lời giải: Chuẩn hóa: w 1 . Theo đề ta có: 2 2 2 2 z 1 2 z x 1 y 4 x y 1 1 4 x2 y2 y2 x2 z 1 1 2 2 4 x 1 y 1 2 1 Thay vào PT2 ta được: x 1 x2 1 . Dùng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE ta dò 4 1 15 1 15 1 15 được x y z i u i 8 8 8 8 8 8 Câu 3: Đáp án B. Lời giải: Chuẩn hóa: w 1 . Theo đề ta có: 2 2 2 2 z 1 5 z x 1 y 25 x y 1 3 11 1 3 11 1 z i u i a2 b2 z 1 1 2 2 50 50 50 50 25 x 1 y 1 Câu 4: Đáp án A. Lời giải: Chuẩn hóa: n 1,z1 1,z2 i,z3 i Câu 5: Đáp án A. Lời giải: Chuẩn hóa: z1 i,z2 i,z3 1 Câu 6: Đáp án A. Lời giải: 1 3 1 3 Chuẩn hóa: z i,z i,z 1 Suy ra P 0 1 2 2 2 2 2 3 Câu 7: Đáp án A. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 45
  46. Lời giải: 2 Chuẩn hóa: z1 1999; z2 1999; z3 1 i 1999 1 suy ra P 1999 Câu 8: Đáp án C. Lời giải: 1 3 z i 1 2 2 Chuẩn hóa: a b c 1 P 4 . Đáp án C thỏa P 4 1 3 z i 2 2 2 Câu 9: Đáp án A. Lời giải:  Thử đáp án:  Đáp án A: 1 1 17 1 17 Với z , chọn x y , do đó z i 8 9 72 9 72 1 Thay z vào ta được 4 4 17i ( thỏa yêu cầu đề bài có phần thưc bằng 4 ) z z Câu 10: Đáp án A. Lời giải: i 1 Chuẩn hóa: z i ; z 1 do đó w 1 suy ra phần ảo của w bằng 0 1 2 1 i.1 Câu 11: Đáp án C. Lời giải: 2 Ta có: z2 4 2 z a2 b2 4 4a2b2 4 a2 b2 2 a 1 Chọn b 0 a2 4 4a2 a 1 i 3 suy ra z 1 i 3 . Thay a, b vào P ta b 3 được P 4 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 46
  47. Thay z 1 i 3 vào đáp án C ta được kết quả là 4. Câu 12: Đáp án D. Lời giải: 1 1 Chuẩn hóa: z1 1 2 z2 0,5 0,5i z2 z2 1 1 0,5 0,5i 3 2 P 0,5 0,5i 1 2 Câu 13: Đáp án C. Lời giải: z Chuẩn hóa: Vì w là số thực nên ta chọn w 1 1 z 0,5 0,5 3i 1 z2 z 0,5 0,5 3i 1 Suy ra 2 2 1 z 1 0,5 0,5 3i 2 Câu 14: Đáp án A. Lời giải: 1 3 z i 1 2 2 Chuẩn hóa: P 1 1 3 z i 2 2 2 Câu 15: Câu 16: Đáp án B. 1 3 1 3 Giải: Chuẩn hóaz i,z i,z 1 Suy ra P 0 1 2 2 2 2 2 3 Câu 17: Đáp án D. Giải: CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 47
  48.  Chuẩn hóa: w 1 . Theo đề ta có: 2 2 2 2 z 1 2 z x 1 y 4 x y 1 15 1 15 1 z i u i a2 b2 z 1 1 2 2 8 8 8 8 4 x 1 y 1 Câu 18: Đáp án B. Giải: Chuẩn hóa: w 1 . Theo đề ta có: 2 2 2 2 z 1 5 z x 1 y 25 x y 1 3 11 1 3 11 1 z i u i a2 b2 z 1 1 2 2 50 50 50 50 25 x 1 y 1 Câu 19: Đáp án D. 1 3 1 3 Lấy ví dụ z 1, z i , z i 1 2 2 2 3 2 2 Câu 20: Đáp án A. Chọn z1 1, z2 i, z3 i 1 32 3 •VB.OAO' O ' B.SOAO' cm 3 3 Câu 21: Đáp án B. Chứng minh công thức: 2 2 2 2 2 2 2  z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 2  Ta có: z z.z và z1 z2 zn z1 z2 zn . Áp dụng tính chất này ta có vế trái: z1 z2 z1 z2 z2 z3 z2 z3 z3 z1 z3 z1 z1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z2 z2 z1 z2 z3 z3 z2 z3 z1 z1 z3 2 2 2 z1 z2 z3 z1 z1 z2 z3 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z2 z3 2 2 2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 2 2 2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Câu 22: Đáp án A.  Giải CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 48
  49. z z z z z z z .z z .z z .z  P2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 z z z 1 2 3 z1 z2 z3 19992 z1 z1 2 2 1999  Mặc khác: z1 z2 z3 1999 z1 z1 z2 z2 z3 z3 1999 z2 z2 19992 z3 z3 19992 19992 19992 19992 19992 19992 . . . z z z z z z z z z z z z  Suy ra P2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 19992 z z z 19992 19992 19992 1 2 3 z1 z2 z3  P 1999 Câu 23: Đáp án B. Giải: 2 42 1 5i z 3i 15 z 2 42 1 5i z 3i 1 5i z  2 42 2 42 1 5i z 3i 1 5i z 3i z z 2 2 42 2 2 6. z 3 6 z 3 . z 4.42 0 z 2 z Câu 24: Đáp án B. Giải:  Đặt z x yi , 2z i 2 iz x2 y2 1  Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 ,z2 .     Ta có z1 z2 OA OB AB 1  Suy ra AB OA OB hay tam giác OAB đều.    3  P z z OA OB 2OM 2. 3 1 2 2 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 49
  50. Câu 25: Đáp án D. Giải: b 0(Loai) z z 2  Theo đề: 0 z z 1 z z z 0 3 3 2 1 1 z z 1 z 2a 2 1 z 1 2a  2 1 z 2a 1 2a 1 2a Câu 26: Đáp án C. Giải: 3w i 1 a 1 i a 2 2i 2a  Theo định lý Viet ta có: i 1 b w i 2w 1 b 3 3 2a2 a 1 2 b a 2 2a a 1 2 4 9 9 3 5 a i b 13 a b 9 9 3 9 9 2 4 b 9 a 0 9 9 9 Câu 27: Đáp án A. Giải: 2 2  z2 4 2 z a2 b2 4 2ab 4 a2 b2 0  Chuẩn hóa b 0 a4 4a2 16 0 a 1 i 3 z 1 i 3 P 4 2 2  Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P 1 i 3 2 4 Nhận Câu 28: Đáp án B. Giải:  Ta có: z1 z2 8 6i z1 z2 10 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 50
  51. 2 2 2 2 2 2 2 z1 z2  z z z z 2 z z 52 z z z z 2.52 2 26 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Câu 29: Đáp án B. 2 2 2 2 2 2 2 8 Giải: z z z z z z z z z z z z 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 3 Câu 30: Đáp án A. Gọi M, N, K lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1, z2 , z1 z2 trong mặt phẳngphức. OMK cân tại M và K· MO 1200 . OMN là tam giác đều. z1 z2 MN 1 Câu 31: Đáp án A. 2 2 Đặt z1 x yi, z2 c di x, y,c,d ¡ . Ta có: z1 3 x y 9 2 2 z2 4 c d 16 2 2 2 2 2 2 z1 z2 37 x c y d 37 x y c d 2xc 2yd 37 xc yd 6 z1 x yi x yi c di xc yd yc xd i xd yd yc xd Lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 i a bi z2 c di c d c d c d c d 3 bi 8 2 z1 z1 3 2 2 2 2 9 2 9 3 27 3 3 Mà a b a b b b z2 z2 4 16 16 8 64 8 3 3 Vậy: b 8 Câu 32: Đáp án A. Giả sử u a bi với a,b ¡ . Từ giả thiết đầu bài z w 2 z w . Ta có hệ sau: CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 51
  52. z 1 u 2 2 1 w 2 a b 2 2 3 1 4 a 1 a 2a 1 a z w 2 4 8 u 1 a 1 b2 1 w Câu 33: Đáp án A. z z 2 z z 2 2 z 2 z 2 Sử dụng công thức quen thuộc 1 2 1 2 1 2 (*( z z 1 2 1 2 2 2 2 Áp dụng (*) với z1 z2 2 1 1 3 1 z1 z2 1 z1 z 2 3 1 1 1 1 z z 1 Mặt khác P z z z z . z z 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 3 Câu 34: Đáp án C. 2 2 Đặt z x yi . Ta có P x 2 y2 x2 y 1 4x 2y 3 Mặt khác z 3 4i 5 x 3 2 y 4 2 5 x 3 5 sin t; y 4 5 cos t Suy ra P 4 5 sin t 2 5 cos t 23 10 4 5 sin t 2 5 cos t 10 Do đó 13 P 33 w 1258 Câu 35: Đáp án A. Đặt w x yi . Theo Viet ta có: z1 z2 a 3w 2i 4 3x 4 3y 2 i là số thực nên 2 2 4 y . Lại có z1z2 b x i 2i 2x i 4 là số thực. 3 3 3 4 4 4 16 Suy ra x i 2x 4 i x 2x 4 i x 4 là số thực suy ra x 4 3 3 3 9 2 4 4 8 10 Do đó z 4 i 2i 4 i;z 4 i T 1 3 3 2 3 3 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – NINH THUẬN Câu 36: Đáp án A. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 52
  53. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 (z1 z2 z3 ) z1 z2 z3 2(z1z2 z2z3 z3z1) z1 z2 z3 2(z1z2 z2z3 z3z1) 2 Mặt khác | z1 | 1 | z1 | 1 z1.z1 1 , tương tự z2.z2 1 ,z3.z3 1 nên 1 1 1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Khi đó 2 1 1 1 z1 z2 z3 2z1 z2z3 2z1 z2z3 (z1 z2 z3 ) 2z1 z2z3 (z1 z2 z3 ) 0 z1 z2 z3 2 2 2 Vậy | z1 z2 z3 | | z1z2 z2z3 z3z1 | Câu 37: Đáp án A. Do z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1 nên các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy là A,B,C đều thuộc đường tròn đơn vị và ABC tạo thành tam giác đều. Do các phép toán cộng và nhân số phức phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm biểu diễn 1 3 1 3 nên ta có thể cho: z =1 , z = - + i , z = - - i . 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 Thay vào ta được z1 z2 z3 0 và z1z2 z2 z3 z3 z1 0 . Câu 38: Đáp án B. 1 1 1 Do z1 z2 z3 1 nênz1 ; z2 ; z3 . Từ đó: z1 z2 z3 1 1 1 z1z2 z2 z3 z3 z1 0 0 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1z2 z3 Suy ra :z1z2 z2 z3 z3 z1 0 . Do đó: 2 2 2 2 A z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 z1z2 z2 z3 z3 z1 0 Câu 39: Đáp án A. Giả sử z1 z2 z3 R . Khi đó A,B,Cnằm trên đường tròn tâm O 0;0 bán kính R. Do z1 z2 0 nên hai điểm A và B đối xứng nhau qua O. Như CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 53
  54. vậy điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB hay tam giác ABC vuông tại C. Câu 40: Đáp án C. Đặt z x yi x, y ¡ . Khi đó: 2z 1 z 1 i 2x 1 2yi x 1 1 y i 2x 1 2 4y2 x 1 2 1 y 2 3x2 3y2 6x 2y 1 0 1 2 2 Mà điểm biểu diễn Mz C : x 1 y 1 5 2 x 0; y 1 Từ (1), (2) suy ra: z1 z2 5. x 2; y 1 Câu 41: Đáp án D. Ta sẽ chỉ ra z1 z2 z2 z3 z1 z3 , z z 2 z z 2 2 z 2 z 2 z z 2 3 z 2 ta có 1 2 2 1 1 2 1 2 3 Làm tương tự ta có điều phải chứng minh, khi đó ABC là tam giác đều. Câu 42: Đáp án B. Phương trìnhz4 2bz c 0 có hai nghiệm phức nên ' b2 c 0 2 2 Với điều kiện b c 0 , phương trình có 2 nghiệm z1 b ' b i c b và 2 z2 b ' b i c b OAB cóO 0;0 ; A b; c b2 ; B b; c b2 Suy raOA OB b2 c b2 c; AB 2 c b2 Do OAB cân tại O nên giả sử OAB thì vuông tại O, suy ra : AB OA 2 2 c b2 2c 4c 4b2 2c 2c 4b2 c 2b2 Câu 43: Đáp án A. Gọi z x yi với x, y ¡ . Ta có: 2z 1 z 1 i 2x 1 2yi x 1 1 y i CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 54
  55. 2x 1 2 4y2 x 1 2 1 y 2 3x2 3y2 6x 2y 1 0 1 Mặt khác điểm biểu diễn của z thuộc đường tròn đã cho nên x 1 2 y 1 2 5 2 Giải (1) và (2) ta được: x; y 0; 1 , 2; 1 z i, z 2 i Do đó tích các môđun là 0 1 4 1 5 . Câu 44: Đáp án A. x2 Gọi z x yi x, y ¡ . Từ giả thiết suy ra y2 1, y 0 . Khi đó H là một nửacủa hình Elip 25 5 x2 5 có trục lớn bằng 10, trục bé bằng 2 vàS 2 1 dx . H 0 25 2 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.B 4.A 5.A 6.A 7.A 8.C 9.A 10.A 11.C 12.D 13.C 14.A 15. 16.B 17.D 18.B 19.D 20.A 21.B 22.A 23.B 24.B 25.D 26.C 27.A 28.B 29.B 30.A 31.A 32.A 33.A 34.C 35.A 36.A 37.A 38.B 39.A 40.C 41.D 42.B 43.A 44.A CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC – MẪN NGỌC QUANG SƯU TẬP 55