Chuyên đề Hình học 9: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và Parabol

Nội dung text: Chuyên đề Hình học 9: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và Parabol

1. A. PHẦN MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề: 1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: 2. Ý nghĩa của giải pháp mới: 3. Phạm vi nghiên cứu. II. Phương pháp tiến hành. 1. Cơ sở lý luận. 2. Cơ sở thực tiễn. 3. Các biện pháp tiến hành. 3.1. Nghiên cứu lí thuyết: 3.2. Điều tra và thực nghiệm sư phạm: 4. Thời gian thực hiện. B. PHẦN NỘI DUNG I. Mục tiêu. - Nâng cao được chất lượng dạy và học bộ môn Toán 9. - Đề tài đưa ra một số kiến thức cơ bản cần sử dụng để giải các bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng và Parabol. - Phân loại và đưa ra các bài toán phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS. - Thông qua đề tài trang bị cho học sinh những phương pháp cơ bản giải các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol để học sinh vận dụng làm bài tập tương tự. - Chọn lọc có hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội dung phương pháp. - Học sinh vận dụng phân loại được các bài toán theo như sự phân loại của đề tài và có kỹ năng giải các bài tập đó thành thạo. - Lĩnh hội tri thức trong các hoạt động học tập một cách tích cực, chủ động, sáng tạo, theo phương pháp khoa học, say mê, hứng thú, khát khao tìm tòi khám phá. II. Phương pháp tiến hành 0
2. 1. Giải pháp của đề tài. Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, phân loại các dạng toán, nêu phương pháp giải cho từng dạng toán đó, sau đó cho học sinh phân tích vận dụng định hướng giải bài tập. Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể. KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1) Hàm số bậc nhất: y = ax + b (a,b R) + Tập xác định: x R + Tính chất: Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R. Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R. b + Đồ thị: Là một đường thẳng cắt trục tung tại (0;b); cắt trục hoành tại( ;0) a Nếu b = 0 đường thẳng có dạng :y = ax. Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc O(0;0) Nếu b 0 đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng y = ax. Đồ thị đi qua điểm (xo; yo) yo= axo + b 2) Vị trí tương đối của hai đường thẳng (d):y= ax + b và (d’):y = a’x + b’ + (d) cắt (d’) a a’ a a' + (d)//(d’) b b' a a' + (d) trùng (d’) b b' + (d) vuông góc (d’) a. a’ = -1 + (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ (d) đi qua ( ;0) + (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ (d) đi qua (0; ) b = y ax b + Toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là nghiệm của hệ phương trình (I) y a'x b' + (d) cắt (d’) tại một điểm trên trục tung (d) và (d’) cùng đi qua (0;yo) + (d) cắt (d’) tại một điểm trên trục hoành (d) và (d’) cùng đi qua (xo;0) + (d) cắt (d’) tại một điểm có hoành độ (d) và (d’) cùng đi qua ( ;yo) + (d) cắt (d’) tại một điểm có tung độ (d) và (d’) cùng đi qua (xo; ) + (d) cắt (d’) tại một điểm có toạ độ nguyên (điểm nguyên) 1
3. x Z Hệ phương trình (I) có nghiệm thoả mãn y Z 3) Hàm số và đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 (a 0). a. Định nghĩa - Hàm số có dạng y = ax2 (a 0) a là số cho trước. b. Tính chất - Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của x thuộc R: + Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 + Nếu a 0 c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax 2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 2
4. b b x x 1 2a 2 2a b Công thức nghiệm thu gọn (dùng khi b chẵn; b' ) 2 + Tìm ’=b’2- ac Nếu ’ 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: b' ' b ' x ; x 1 a 2 a - Hệ thức Vi-et về quan hệ hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 (1) + Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thì: b c Tổng và tích hai nghiệm là: S = x1+ x2=- và P = x1. x2= a a + Trường hợp nhẩm nghiệm: Phương trình ax2+ bx + c = 0 (1) c Nếu a + b + c = 0 Phương trình (1) có hai nghiệm là x =1 và x = 1 2 a c Nếu a – b + c = 0 Phương trình (1) có hai nghiệm là x =- 1 và x = 1 2 a 5) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và Parabol Sự tương giao giữa đường thẳng (d): y= bx+c và Parabol (P): y= ax2 trong cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy - Toạ độ điểm chung của đường thẳng (d): y = bx + c và Parabol (P): y = ax 2 là y bx c nghiệm của hệ phương trình: 2 y ax - Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình ax2 = bx+c (1) + (d) không giao nhau với (P) Phương trình (1) vô nghiệm + (d) tiếp xúc (P) Phương trình (1) có một nghiệm kép + (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 3
5. + Khi (d) tiếp xúc với(P) ta nói (d) là tiếp tuyến của (P) Phân loại các dạng toán. Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d):y=bx+c và Parabol (P):y=ax2 Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để (d ): y= bx+c và (P) : y= ax2 cắt nhau; tiếp xúc nhau; không giao nhau: Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (P):y= ax2 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d): y = bx+c cắt parabol (P): y = ax2 tại hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. Dạng 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) và tiếp xúc với parabol (P): y= ax2 Những bài toán cụ thể và hướng dẫn học sinh giải. Dạng 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = bx + c và Parabol (P): y= ax2 *) Phương pháp giải: Cách 1: Vẽ đồ thị các hàm số y=bx+c và y= ax2 trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định giao điểm của (d) và (P) trên đồ thị, từ các giao điểm đó hạ các đường vuông góc với trục hoành và trục tung từ đó ta tìm được tọa độ các giao điểm nếu có. Sau đó phải thử lại các tọa độ vừa tìm được có chính xác không. Giáo viên lưu ý tính bất cập ở cách 1 khi toạ độ các giao điểm mà giá trị hoành độ, tung độ là các số vô tỷ thường dẫn đến việc thiếu chính xác khi tìm chúng trên hệ toạ độ. Từ đó giáo viên hướng dẫn học sinh dùng phương pháp đại số từ mối quan hệ giữa (d) và (P) từ đó tính toạ độ các giao điểm. Cách 2 (Phương pháp đại số) Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : ax2 = bx +c ax2 - bx - c = 0 (1) Giải phương trình (1) Bước 2: Thay nghiệm vừa tìm được (nếu có) vào một trong hai công thức y=bx+c hoặc y= ax2 để tìm tung độ giao điểm. Từ đó tìm được tọa độ giao điểm. 4
6. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P). Giáo viên lưu ý học sinh nên dùng cách thứ hai này. Trong đề tài này tôi chỉ tập trung hướng dẫn học sinh dùng cách 2. *) Các ví dụ minh họa. x2 x Ví dụ 1: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y và đường thẳng (D): y = 2 trên 4 2 cùng một hệ trục tọa độ. b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu tên bằng phép tính. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Hồ Chí Minh năm học 2016-2017) Hướng dẫn:b) Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình x2 x 2 4 2 x2 +2x-8= 0 x = - 4 hoặc x = 2 Với x = -4 thì y = -4; x = 2 thì y = -1 Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (D) là (2; -1); (-4;-4) Ví dụ 2. Cho hai hàm số y = 1 x2 và y = x – 1 2 2 1) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Đồng Nai năm học 2016-2017) Hướng dẫn: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là : 1 1 2 1 x2 = x – x 2x 1 0 Giải phương trình ta được : x 1 y 2 2 . 2 1 Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 1; 2 Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2 Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d): y = -x – 2 và (P). Tìm toạ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M. (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên tỉnh Khánh Hòa năm học 2015-2016) 5
7. Hướng dẫn: Viết phương trình đường trung trực (d’) của AB, tìm giao điểm của (d’) và (P), ta tìm được hai điểm M: Hoành độ các giao điểm A, B của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: – x2 = – x – 2 x2 – x – 2 =0 x= -1 hoặc x = 2 + Với x = -1, thay vào (P), ta có: y = –(-1)2 = -1, ta có: A(-1; -1) + Với x = 2, thay vào (P), ta có: y = –(2)2 = -4, ta có: B(2; -4) 1 2 1 ( 4) 1 5 Suy ra trung điểm I của AB là: I( ; ) hay I( ; ) 2 2 2 2 Đường thẳng (d’) vuông góc với (d) có dạng: y = x + b; 5 1 Vì (d’): y = x + b đi qua I nên: b b 3 2 2 Vậy (d’): y = x -3 1 13 Phương trình hoành độ của (d’) và (P) là: x2 + x - 3 = 0 x 2 2 1 13 1 13 7 13 + Với x y 2 2 2 2 1 13 1 13 7 13 + Với x y 2 2 2 1 13 7 13 1 13 7 13 Vậy có hai điểm M cần tìm là: ; và ; 2 2 2 2 Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y x 2 . 1. Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ. 2. Bằng phép tính, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (P) và (d). 3. Tìm tọa độ điểm M trên cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Tiền Giang năm học 2015-2016) Hướng dẫn: 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 x 2 x2 x 2 0 Ta có: a b c 1 1 2 0 c 2 Phương trình có hai nghiệm: x 1; x 2 1 2 a 1 6
8. Với x 1 y 1 2 1 x 2 y 2 2 4 Vậy: Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là: A(1;1) và B(–2;4) 2 3. Tìm tọa độ điểm M: (P) : y x (d ) : y x 2 Để AMB có diện tích lớn nhất thì điểm M là tiếp điểm của tiếp tuyến (d’) song song với (d) và tiếp xúc (P) tại M. Phương trình đường thẳng có dạng: d ' : y ax b Ta có: d ' / / d a 1 (d ') : y x b Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d’) là: x2 x b x2 x b 0 (1) (d’) tiếp xúc (P) (1) có nghiệm kép 1 12 4.1. b 1 4b 0 1 4b 0 b 4 1 Phương trình đường thẳng (d ') : y x 4 2 1 1 1 1 1 Hoành độ tiếp điểm là: x1 x2 Với x y 2.1 2 2 2 4 1 1 Vậy: M ; thì tam giác AMB có diện tích lớn nhất. 2 4 *) Bài tập tương tự: 1 Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho parabol (P): y = x2. 4 2 1 Tìm tọa độ các giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = x . 3 3 1 Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P) là đồ thị của hàm số y x2 2 3 a) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d1): y 2x 2 7 b) Cho đường thẳng (d2): y m 1 x 2m . Tìm m để (d2) tiếp xúc với (P). 2 7
9. (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên tỉnh Long An năm học 2016-2017) Bài 3 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y= x 2 và đường thẳng (D) : y= x +2 trên cùng một hệ trục tọa độ. b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính (Đề thi tuyển sinh vào THPT Hồ Chí Minh năm học 2015-2016) Bài 4: Tìm tọa độ các giao của (P): y = x2 và đường thẳng (d): y =2x +3 (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu năm học 2015-2016) Bài 5: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2 và đường thẳng (D): y 2x 3 trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Hồ Chí Minh năm học 2014-2015) Bài 6: Vẽ đồ thị các hàm số y 2x2; y x 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2014-2015) Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y x 2 . a) Hãy vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy . b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) . c) Viết phương trình đường thẳng (d1) : y ax b . Biết rằng (d1) song song với (d) và cắt (P) tại điểm A có hoành độ là 2 . (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Long An năm học 2014-2015) Bài 8: Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) : y 2x2 và đường thẳng d : y 3x 1 (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Nam Định năm học 2014-2015) Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y = x + 2. a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng phép tính. c) Tính độ dài đoạn thẳng AB. 8
10. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Tiền Giang năm học 2014-2015) Bài 10: Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = 2x + 3 có đồ thị là (d). a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên các trục bằng nhau). b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính. c) Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc tọa độ O) . (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bến Tre năm học 2013-2014) Bài 11: Cho đường thẳng (d): y 4x 3 và parabol (P): y x2 . Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) bằng phép toán. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Hải Phòng năm học 2013-2014) Bài 12: Cho các hàm số (P): y 2x2 và (d):y x 3 . Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Long An năm học 2013-2014) Bài 13: Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y = 2x – 3. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Tiền Giang năm học 2013-2014) Bài 14:Cho hai hàm số : y = –2x2 có đồ thị là ( P ) , y = x – 1 có đồ thị là ( d ) . Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ) đã cho . (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Đồng Nai năm học 2013-2014) Tóm lại: Đối với loại bài tập xác định giao điểm của một đường thẳng và một Parabol trong cùng một hệ toạ độ ta có hai cách xác định : bằng phương pháp đồ thị và bằng phương pháp đại số. Nhưng nếu bài toán không bắt buộc dùng phương pháp đồ thị thì ta nên dùng phương pháp đại số để tránh khó khăn trong việc xác định toạ độ giao điểm đối với số vô tỷ. Để làm tốt dạng này học sinh phải được rèn kỹ năng lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P), kỹ năng giải phương trình bậc hai một ẩn. Biết thay 9
11. nghiệm tìm được vào phương trình đường thẳng hoặc parabol để tìm tiếp tung độ, từ đó xác định đươch tọa độ các giao điểm. Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để (d ): y= bx+c và (P): y= ax 2 cắt nhau; tiếp xúc nhau; không giao nhau. *) Phương pháp giải : Giáo viên lưu ý học sinh đối với dạng toán này không thể dùng phương pháp đồ thị, chỉ có thể dùng phương pháp đại số bằng cách sử dụng kiến thức về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol: Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : ax2 - bx - c = 0 (1) +) (d) và (P) cắt nhau phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0 +) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (1) có nghiệm kép 0 +) (d) và (P) không giao nhau phương trình (1) vô nghiệm 0 *) Ví dụ minh họa x 2 Ví dụ 1: Cho Parabol (P) y= và đường thẳng (d): y=mx- m -1(m là tham số ) 2 2 a.Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b.Với giá trị nào của m thì (d) là tiếp tuyến của (P) viết phương trình tiếp tuyến và tìm toạ độ tiếp điểm. c. Viết các phương trình đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến của (P) tại các tiếp điểm. Nêu sự tương giao của hai đường thẳng đó với (P) 10
12. Hướng dẫn: a. Hoành độ các giao điểm (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x 2 m = mx - - 1 x2- 2mx + m + 2 = 0 (1) 2 2 Xét ’=(- m)2- (m + 2)= m2- m - 2 Do đó (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ’>0 m2 – m –2 > 0 (m+1)(m-2) > 0 m > 2 hoặc m 2 hoặc m< - 1 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt m x 2 b. (d): y= mx - -1 là tiếp tuyến (P) : y= khi phương trình: 2 2 x2- 2mx + m+2= 0 (1) có một nghiệm kép . ’= 0 m2 – m – 2 = 0 (m+1)(m-2) = 0 m =2 hoặc m =-1 Vậy với m =-1 hoặc m=2 thì (d) là tiếp tuyến của (P) . 1 + Với m=-1 ta có phương trình tiếp tuyến (d ): y= - x - 1 2 Phương trình (1) có nghiệm kép là x1 x2 m 1 1 1 Khi x= -1 ta có y= nên toạ độ tiếp điểm là (-1; ) 2 2 + Với m = 2 phương trình tiếp tuyến (d2): y = 2x – 2 Phương trình (1) có nghiệm kép là x1 x2 m 2 Với x=2 ta có y=2 nên toạ độ tiếp điểm thứ là (2;2) c. Gọi (q1) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến (d 1) của (P). Phương trình đường thẳng (q1) có dạng y =ax +b 1 Do (q ) vuông góc với (d ) y=- x- nên a(-1)=-1 a=1 1 1 2 11
13. 1 1 3 Do (q ) đi qua tiếp điểm (-1; ) nên ta có : =1(-1) +b b = 1 2 2 2 3 Vậy phương trình (q ) có dạng: y = x + 1 2 Hoành độ giao điểm của (q1) với (P) là nghiệm của phương trình x 2 = x + 3 x 2- 2x – 3 = 0 2 2 Do các hệ số 1;-3 trái dấu nên phương trình x 2 –2x –3 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt vì vậy đường thẳng (q1) cắt (P) tại hai điểm phân biệt - Gọi (q 2) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến (d 2) . Phương trình đường thẳng (q2) có dạng: y= ax + b 1 Vì (q ) vuông góc với (d ) nên a. 2 =-1 a=- 2 2 2 1 Vì (q2) đi qua tiếp điểm (2;2) nên: 2 =- .2 + b b = 3 2 1 Vậy phương trình (q2) có dạng: y = - x + 3. 2 x 2 1 Hoành độ giao điểm của (q2) với (P) là nghiệm của phương trình = - x + 3 2 2 x2 +x –6 =0 2 Có hệ số 1 ;-6 trái dấu nên phương trình x + x- 6 =0 luôn có hai nghiệm phân biệt do đó đường thẳng (q2) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt Ví dụ 2: Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d ) : y 4x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm học 2016-2017) Hướng dẫn:Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 4x m x2 4x m 0 (*) 16 4m (d) và (P) có đúng một điểm chung 0 m 4 . 12
14. Vậy khi m = -4 thì (d) và (P) có đúng một điểm chung. Ví dụ 3 : Cho parabol (P) : y = x2 Xác định m để đường thẳng ( d) : y = mx – 4 tiếp xúc với (P) (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Vĩnh Long năm học 2014-2015) Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ( và ( d ): x2 mx 4 x2 mx 4 0 ( 1 ) = b2 – 4ac = (–m )2 – 4. 1.4 = m2 – 16 Để( P ( và ( d )tiếp xúc thì PT ( 1) phải có nghiệm kép 0 m2 – 16 = 0 m2 = 16 m = 4 Ví dụ 4: Cho parapol (P)y=2x2 và đường thẳng (d): y = x – m +1 ( m là tham số) a. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) và (P) có đúng một điểm chung. b. Tìm toạ độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm học 2014-2015) Hướng dẫn: a.Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 2x2 – x + m – 1 = 0 (*) Ta có (P) và (d) có đúng một điểm chung (P) và (d) tiếp xúc nhau phương trình (*) có nghiệm kép 9 9 8m 0 m 8 Vậy m = 9 thì (P) và (d) có đúng một điểm chung. 8 1 b. Goi các điểm M(xM;yM) (P) thỏa mãn xM = 2yM hay y x M 2 M xM 0 2 1 2 Từ y = 2x xM 2xM xM 4xM 1 0 1 2 x M 4 Với xM = 0 yM = 0 = > M1( 0;0) ; 1 1 1 1 Với xM = yM = => M2(;) 4 8 4 8 13
15. 1 Ví dụ 5: Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) có phương trình: 4 2 y m 1 x m 3 (với m là tham số). Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Đắk Nông năm học 2013-2014) Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 1 x2 m 1 x m2 3 0 x2 4 m 1 x 4m2 12 0(1) 4 Ta có (P) và (d) không có điểm chung phương trình (1) vô nghiệm ' 0 8m 8 0 m 1 Vậy để (P) và (d) không có điểm chung khi và chỉ khi m 1 *) Bài tập tương tự: Bài 1: Cho parabol (P): y=3 x2 và đường thẳng (d): y= x + m (với m là tham số) 4 1) Vẽ parabol (P) 2) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu năm học 2013-2014) x2 Bài 2: 1) Vẽ đồ thị (P) hàm số y 4 2) Xác định a, b để đường thẳng y ax b đi qua gốc tọa độ và cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng –3. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bình Dương năm học 2015-2016) Bài 3: Cho parabol(P): y = x2 Xác định hệ số n để đường thẳng y=2x+n tiếp xúc (P). Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = mx - 2. a). Vẽ đồ thị (P). b) Xác định giá trị của m sao cho (d) và (P) có một điểm chung duy nhất. Tìm tọa độ điểm chung này. (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên tỉnh Khánh Hòa năm học 2016-2017) Bài 5. Cho Parabol (P) y=x2 và đường thẳng (d) : y= x+ m (m là tham số) 14
16. a.Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt b.Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với(d) và tiếp xúc với (P) Bài 6. Cho đường thẳng (d):y=mx–2m–1 (m là tham số) và Parabol(P) :y=-1 x2 4 a.Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt b.Tìm m để (d) là tiếp tuyến của (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm c.Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(2;-1) Bài 7: Tìm m để các đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ các tiếp điểm đó: a) (P) y=x2 và (d) y=(m+3)x-3m-4 b) (P) y = (m+3)x2 và (d) y= mx - m c) (P) y = mx2 và (d) y= 2(m + 2)x - 9 Bài 8: Tìm m để các đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung a. (P) y = 5x2 và (d) y= 2x- m b. (P) y= mx2 và (d) y= 2(m-1)x-m-1 c. (P) y= 3x2 và (d) y= 2x-m d. (P) y= 5x2 và (d) y= -18x-m Bài 9: Tìm m để các đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt a. (P) y = 2x2 và (d) y= 6x-m-7 b. (P) y = 10x2 và (d) y= -40x-m c. (P) y = mx2 và (d) y= 2(m-1)x-(m+1) d. (P) y = mx2 và (d) y= 6x-1 Tóm lại: Đối với loại bài tập tìm giá trị của tham số thoả mãn vị trí đã định cho đường thẳng và Parabol ta cần sử dụng tổng hợp các kiến thức kỹ năng về quan hệ của đường thẳng và Parabol với số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Vì vậy học sinh phải có kỹ năng tìm điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hoặc vô nghiệm, từ đó tìm được điều kiện của 15
17. tham số để parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau hay không giao nhau. Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (P): y= ax2 *) Phương pháp giải : Bước 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng : y = bx + c (d) Bước 2: Dựa vào các giả thiết của đề bài xác định hệ số góc của đường thẳng, từ đó suy ra b = k Bước 3: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ax2 = kx + c (1) Bước 4: (d) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 (*) Giải (*) tìm c Bước 5: Kết luận: Thay giá trị tìm được của c vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập. *) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d):y =2x+1 và Parabol (P):y=x2 a. Tìm phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và tiếp xúc với (P) b. Tìm phương trình đường thẳng (d2) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) Hướng dẫn Giáo viên cần yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức về mối quan hệ giữa hai đường thẳng để từ đó tìm được hệ số góc của đường thẳng cần lập và sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol. 16
18. Học sinh phải nắm vững: Dạng của phương trình đường thẳng cần tìm Điều kiện để hai đường thẳng song song với nhau Điều kiện để (d1) và (P) tiếp xúc với nhau. a. Phương trình đường thẳng (d1) có dạng: y = ax + b Đường thẳng (d1) song song với đường thẳng (d): y= 2x + 1 a = 2 và b 1 2 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (P): x = 2x + b x –2x - b = 0 (1) Đường thẳng (d1) tiếp xúc với Parabol (P) khi phương trình (1) có nghiệm kép ’= 0 1+ b = 0 b = -1 Vậy phương trình đường thẳng(d1) có dạng y =2x- 1 b. Phương trình đường thẳng (d2) có dạng: y = ax + b Đường thẳng (d2) vuông góc với đường thẳng (d): y= 2x + 1 1 a.2= -1 a= 2 1 2 Đường thẳng (d2):y= x + b tiếp xúc với(P):y=x khi phương trình: 2 1 x2= x + b 2x2 + x – 2b = 0 (2) có một nghiệm kép 2 1 = 1+ 16b= 0 b = 16 1 1 Vậy phương trình đường thẳng (d2) cần tìm có dạng:y= x 2 16 Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) y=2x+1 và tiếp xúc với parabol y = -x2 Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b (d1) (d1) song song (d) a = 2. 2 (d1) tiếp xúc với parabol y = -x nên phương trình : -x2 = 2x + b = 0 x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép ’ = 1 – b = 0 1 – b = 0 b = 1 17
19. Vậy phương trình đường thẳng cần lập là (d1): y = 2x + 1 Ví dụ 3: Cho hàm số y x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng có phương trình y 2x 3 a. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng b. Viết phương trình của đường thẳng (d) biết rằng (d) song song với và tiếp xúc với (P). (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên tỉnh Gia Lai năm học 2014-2015) Hướng dẫn: a. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng là 2 2 x 1 x 2x 3 x 2x 3 0 x 3 Với x 1 y 1 ; x 3 y 9 Vậy (P) cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt N( 1;1) và M(3;9) b. Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b (d) song song với a=2 và b 3 (d): y 2x b Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) phương trình x 2 2x b có nghiệm kép Ta có 4 4b ; 0 4 4b 0 b 1 Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là y 2x 1 *) Bài tập tương tự. Bài 1: Cho Parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = 3x + 2 Viết phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với đường thẳng (d) và tiếp xúc với (P) (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bình Phước năm học 2014-2015) 3 Bài 2: Cho đường thẳng (d): 3x + 2y =- 12 và Parabol (P): y= x2 4 a. Chứng tỏ rằng (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm. b. Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và là tiếp tuyến của (P) c.Viết phương trình đường thẳng (d2) là tiếp tuyến của (P) và vuông góc với (d) 18
20. Bài 3: Cho hàm số (P): y = 1 x2 và (d): y = 1 x + m với m là tham số 3 2 a) Tìm m để hai đồ thị hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt b) Tìm phương trình của đường thẳng (d1) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) 1 Bài 4 : Cho hàm số y x2 2 a) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phương trình đường thẳng MN. b) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và tiếp xúc với (P). Bài 5. Cho đường thẳng (d): y=1 x +1 và Parabol (P) y =1 x2 2 2 a. Chứng tỏ rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .Tìm toạ độ các giao điểm b. Viết phương trình đường thẳng (d 1) song song với (d) và tiếp xúc với (P) tìm toạ độ tiếp điểm c. Viết phương trình đường thẳng (d2) vuông góc với (d1) và tiếp xúc với(P) Bài 6. Cho Parabol (P): y= -2x2 a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm E (2;0) và điểm F(0;-4) . Chứng tỏ rằng (d) cắt(P) tại hai điểm A,B. Tìm toạ độ của A,B b. Tìm phương trình đường thẳng(d1) song song với(d) và tiếp xúc với (P) Bài 7. Cho Parabol :y= -1 x2 2 a. Chứng minh rằng(d):y = 2x- 2 tiếp xúc với Parabol tại một điểm . Tìm toạ độ tiếp điểm b. Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2.Tìm toạ độ điểm thứ 2 của (d1) với (P) c. Viết phương trình đường thẳng (d2) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) Tóm lại: Việc tìm phương trình đường thẳng dạng y = ax+b tiếp xúc với một Parabol cho trước ta cần xét từng mối quan hệ để tìm các hệ số a,b của phương 19
21. trình đường thẳng y=ax+b . Khi đã xác định đựơc phương hướng giải thì trình bày bài giải phải lập luận chặt chẽ logic, đảm bảo tính chính xác trong toán học. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d): y = bx+c cắt parabol (P): y = ax2 tại hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. *) Phương pháp giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : ax2 - bx - c = 0 (1) Nếu hệ thức điều kiện cho trước đối xứng: - Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là D ³ 0 - Theo hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2 và P = x1 x2 - Biến đổi biểu thức điều kiện đã cho để sử dụng bước 2. Từ đó giải ra m. - So sánh m với điều kiện và kết luận. Nếu hệ thức điều kiện cho trước không đối xứng: - Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là D ³ 0 - Theo hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2 và P = x1 x2 - Kết hợp biểu thức điều kiện và S = x1 + x2 Từ đó giải ra x1; x2 theo m - Thay x1; x2 vào P = x1 x2 để tìm ra m. - So sánh m với điều kiện và kết luận. Chú ý: - Trong một số trường hợp có thể giải ra nghiệm rồi thay vào biểu thức điều kiện để tìm m. - Nhiều khi không nên giải điều kiện D ³ 0 mà cứ làm các bước để tìm ra m rồi thử lại điều kiện này sau. *) Ví dụ minh họa 20
22. Ví dụ 1: Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + m2 + 2m (m là tham số, m R). a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm I(1; 3). b) Chứng minh rằng parapol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt 2 2 A, B. Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm A, B, Tìm m sao cho: x1 +x2 +6x1x2>2016 .(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thái Bình năm học 2016-2017) Hướng dẫn: a) Đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + m2 + 2m đi qua điểm I(1; 3) 3 = 2(m - 1).1 + m2 + 2m m2 +4m -5 = 0 Ta có : a + b + c = 1 + 4 – 5 = 0 nên phương trình trên có hai nghiệm : m1 1; m2 5 Vậy m = 1 hoặc m = -5 thì đường thẳng (d) đi qua điểm I(1; 3). b) Phương trình hoành dộ giao điểm của parapol (P) và đường thẳng (d) là : x2 = 2(m - 1)x + m2 + 2m x2 2(m 1)x m2 2m = 0 (*) Phương trình (*) có : ' m 1 2 1( m2 2m) 2m2 1 > 0 với mọi m . Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Do đó parapol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm A, B thì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*) x1 x2 2m 2 Theo hệ thức Vi –ét ta có : 2 x1.x2 m 2m 2 2 Theo giả thiết , ta có : x1 +x2 + 6x1x2 > 2016 2 (x1 x 2 ) 4x1x 2 2016 (2m 2)2 4(-m2 2m) 2016 4m2 8m 4 4m2 8m 2016 16m 2012 503 m 4 503 Vậy m là giá trị cần tìm. 4 21
23. P : y x2 d : y 2x m2 1 Ví dụ 2: Cho parapol và đường thẳng (m là tham số). 1) Chứng minh rằng với mọi m, d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A và B. 2) Ký hiệu xA ; xB là hoành độ của điểm A và điểm B. 2 2 Tìm m sao cho xA xB 14 . (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015) Hướng dẫn: 1) Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: 2 2 x 2x m 1 x2 2x m2 1 0 Ta có ac m2 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m. 2) Ký hiệu xA ; xB là hoành độ của điểm A và điểm B thì xA ; xB là nghiệm của phương trình x2 2x m2 1 0 . Cách 1: Giải phương trình x2 2x m2 1 0 . ' 1 m2 1 m2 2 0 ' m2 2 2 2 Phương trình có hai nghiệm là xA 1 m 2; xB 1 m 2 . 2 2 x 2 x 2 14 1 m2 2 1 m2 2 14 Do đó: A B 1 2 m2 2 m2 2 1 2 m2 2 m2 2 14 2m2 6 14 2m2 8 m2 4 m 2 S xA xB 2 Cách 2: Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 2 P xA .xB m 1 2 2 Do đó: xA xB 14 2 2 2 xA xB 2xA.xB 14 2 2 m 1 14 4 2m2 2 14 m 2 22
24. 1 1 Ví dụ 3: Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y mx m2 m 1 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B của ( d) và ( P) b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2 sao cho: x1 x2 2 (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thái Bình năm học 2014-2015) Hướng dẫn: 3 a) Khi m = 1 ta có (d): y x 2 1 2 3 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x x x2 2x 3 0 2 2 Ta có a-b+c=1+2-3=0 phương trình có hai nghiệm: x1 = - 1 và x2 = 3 Xác định được tọa giao điểm là : ( -1 ; ½ ) và ( 3 ; 9/2 ) b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 1 1 x2 mx m2 m 1 x2 2mx m2 2m 2 0 (*) 2 2 Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt x1 , x2 thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó ' m2 m2 2m 2 0 m 1 2 Khi: m > -1, từ (*) ta có: x1 x2 2m; x1.x2 m 2m 2 (định lý Vi-et) 2 2 Nên: x1 x2 2 x1 x2 2x1x 2 4 2 (x1 x2 ) 4x1x 2 4 4m2 4(m2 2m 2) 4 1 8m 4 m 2 Ví dụ 4: Cho Parabol (P):y x2 và đường thẳng (d):y (m 1)x m 4 (tham số m) 1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Nguyễn Trãi năm học 2014-2015) Hướng dẫn: 23
25. 1) Với m = 2, ta có phương trình đường thẳng (d) là: y = x + 6 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình 2 2 x 2 x x 6 x x 6 0 x 3 * x 2 y 4 * x 3 y 9 Vậy m = 2 thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm A 2;4 và B 3;9 2) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình x2 m 1 x m 4 x2 m 1 x m 4 0 (*) (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu 1. m 4 4 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – a + 1 và 1 parabol (P): y = x2 . 2 1.Tìm a để đường thẳng a đi qua điểm A (-1;3) 2.Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1 ) và (x2 ; y2 ) thỏa mãn điều kiện x1x2 (y1 y2 ) 48 0 (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2016-2017) Hướng dẫn: 1) Vì (d) đi qua điểm A(-1;3) nên thay x 1; y 3 vào hàm số: y 2x a 1 ta có: 2 1 a 1 3 a 4 . 2) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: 1 x2 2x a 1 x 2 4x 2a 2 0 (1). 2 Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt ' 0 6 2a 0 a 3 . 24
26. Vì (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nên x 1; x2 là nghiệm của phương trình (1) và y1 2x1 a 1 , y2 2x2 a 1 . x1 x2 4 Theo hệ thức Vi-et ta có: . x1x2 2a 2 Thay y1,y2 vào x1x2 y1 y2 48 0 ta có: x1x2 2x1 2x2 2a 2 48 0 2a 2 10 2a 48 0 a 2 6a 7 0 a 1(thỏa mãn a 3 ) hoặc a 7 (không thỏa mãn a 3 ) Vậy a 1 thỏa mãn đề bài Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d): y = mx + 1 2 luôn cắt parabol (P): y = x tại hai điểm phân biệt. Khi đó tìm m để y1 y2 y1.y2 7 , với y1, y2 là tung độ của các giao điểm. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bình Thuận năm học 2013-2014) Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao diểm của (P) và (d) là:mx 1 x2 x2 mx 1 0 (1) ( m)2 4.( 1) m2 4 0m Phương trình (1) luôn có 2 ghiệm phân biệt với mọi giá trị của m => Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Ta có x1 x2 m; x1x2 1 2 2 2 2 2 2 y1 y2 y 1 y2 x1 x2 x1 .x2 x1 x2 2x1x2 x1x2 7 2 2 2 m 2.( 1) ( 1) 7 m 4 m1 2,m2 2 Vậy m= 2 là giá trị cần tìm *) Bài tập tương tự: Bài 1: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có pt: y = 2(m+1)x - 3m + 2 a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m = 3. b) C/m rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m. 2 2 c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ của A;B . Tìm m để x1 + x2 = 20. 25
27. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Phú Thọ năm học 2015-2016) Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2 m 1 x 5 2m (m là tham số) Biết đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi hoành độ 2 2 giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là x1, x2. Tìm m để x1 x 2 6 (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Vĩnh Long năm học 2015-2016) 1 Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (P): y = x2 2 Gọi A(x1, y1) và B(x2;y2) là hoành độ giao điểm của (P) và (d): y = x – 4. Chứng minh: y1 y2 5(x1 x2 ) 0 (Đề thi tuyển sinh vào THPT trường ĐHSP Hồ Chí Minh năm học 2015-2016) Bài 4 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình y =x 2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2x + m ( với m là tham số). a) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2. b) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa 2 2 2 2 mãn hệ thức x1 + x2 = 6 x1 x2 (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Hà Nam năm học 2014-2015) Bài 5: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m (m là tham số) 1.Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 3. 2.Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn: 2 2 x1 x2 x1 x2 2014. (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thái Bình năm học 2014-2015) Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2ax + 1 và Parabol (P): y = -2x2. a. Tìm a để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 5). b. Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 2 2 lần lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 x2 4 x1 x2 4 0 . (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2013-2014) 26
28. Bài 7: Gọi đồ thị hàm số y x2 là parabol (P), đồ thị hàm số y m 4 x 2m 5 là đường thẳng (d). a. Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b. Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là x1 ; x2 . 3 3 Tìm các giá trị của m sao cho x1 x2 0 . (Đề thi tuyển sinh vào THPT Lê Qúy Đôn Bình Định năm học 2014-2015) Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng ( ): = 3 + 2 ―1 và parabol (푃): = 2. a) Chứng minh ( ) luôn cắt (푃) tại hai điểm phân biệt với mọi . b) Gọi 1; x2 là hoành độ giao điểm của ( ) và (푃).Tìm để ( 1 + 1)(x2 + 1) = 1. (Đề thi tuyển sinh vào THPT Hà Nội năm học 2016-2017) 1 1 Bài 9:Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (D): y x m2 (m là tham số). 4 2 a. Cho m 2 . Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của chúng bằng phép toán. b. Tìm m để (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2 ; y2 ) sao cho 3 y y x2 x2 9 1 2 1 2 2 (Đề tuyển sinh vào THPT trường ĐHSP Hồ Chí Minh năm học 2015-2016) Bài 10:Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y= (2m-3)x-m(m-3) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 2x1- x2=4 Bài 11 : Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m-2)x + 3m2 -2 (x là ẩn, m là tham số ) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1(2-x2) +x2(2-x1) = -2 Bài 12: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x - m + 3 (với m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x 1, x thỏa mãn điều kiện: x3x x x3 6 2 1 2 1 2 27
29. Bài 13: Cho parabol(P):y = x 2 (1) và đường thẳng (d): y = 5x m 1 (m là tham số).Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 2 thỏa mãn điều kiện: (x1 x2 - 1) = 20(x1 + x2 ) Bài 14: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x - 1 + m Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa 1 1 mãn điều kiện: 5 x1x2 4 0 . x1 x2 Bài 15: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m + 2)x -m2 -7 ,(m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1x2 – 2(x1 + x2) = 4 Tóm lại: Để làm tốt dạng toán này học sinh nắm vững kiến thức về sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol, về phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Hiểu được số giao điểm của đường thẳng và Parabol chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (phương trình bậc hai một ẩn). Học sinh cần có kĩ năng tìm điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm và vận dụng linh hoạt hệ thức Vi-ét trong giải toán. Dạng 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0; y0) và tiếp xúc với (P): y= ax2 *) Phương pháp giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng cần lập: y = bx + c (d) + (d) đi qua M (x0; y0) nên y0 = b.x0 + c (1) + (d) tiếp xúc với y = ax2 nên phương trình : ax2 = bx + c có nghiệm kép = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm b, c phương trình đường thẳng cần lập *) Ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2. Hướng dẫn: Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b. (d) 28
30. (d) đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1) (d) tiếp xúc với (P): y = 2x2 nên phương trình : 2x2 = ax + b có nghiệm kép 2x2 – ax – b = 0 có nghiệm kép = a2 + 8b =0 a2 + 8b = 0 (2) a b 2 1 Từ (1) và (2) ta có hệ: 2 a 8b 0 2 Từ (1) b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được : a2 + 8a + 16 = 0 (a + 4)2 = 0 a = - 4 Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y=2x2 (P) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;-2) và tiếp xúc với (P). Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b. (d) (d) đi qua A (0; -2) nên ta có: -2 = a.0 + b b = -2 y = ax -2 (d) (d) tiếp xúc với (P): y = 2x2 nên phương trình : 2x2= ax -2 có nghiệm kép 2x2 – ax +2 = 0 có nghiệm kép =a2-4.2.2 = 0 a2-16 =0 a = 4 Lập được hai phương trình là : y = 4x – 2 và y = -4x -2 2 Ví dụ 3: Cho Parabol (P):y= -2x . Trên (P) lấy hai điểm A; B có hoành độ xA=-1 và xB=2 . a. Viết phương trình đường thẳng AB . b. Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) tại A và B Hướng dẫn: 2 a. Điểm A thuộc (P): y =- 2x và có hoành độ xA=- 1 nên yA=- 2 do đó A(-1;-2) 2 Điểm B thuộc (P): y=- 2x và có hoành độ xB= 2 nên yA=- 8 do đó B(2;-8) Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b . 29
31. a b 2 a 2 Đường thẳng đi qua A và B nên ta có hệ phương trình: 2a b 8 b 4 Vậy phương trình đường thẳng AB có dạng y= - 2x- 4 b. Phương trình tiếp tuyến (d1) của (P) tại A(-1;-2) có dạng y = ax + b 2 2 Do (d1) tiếp xúc với (P): y= -2x tại điểm A nên phương trình :- 2x = ax + b 2 2x +ax+ b = 0 có một nghiệm kép là xA= -1 . a a Phương trình có nghiệm kép là: x1= x2= - . Do đó - =-1 a = 4. 4 4 Khi xA= -1 thì yA= -2 nên ta có – 2 = 4(-1) + b b = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến (d1) của (P) tại A(-1;-2) là: y = 4x + 2 +) Phương trình tiếp tuyến (d2) của (P) tại B(2;-8) có dạng y = ax +b 2 Vì (d2 ) tiếp xúc với (P) y= -2x nên phương trình: 2 a 2x +ax +b = 0 có một nghiệm kép xB = 2 do đó ta có - =2 a = - 8 4 Khi xB=2 thì yB=- 8 nên :- 8=(- 8).2+ b b = 8 Vậy tiếp tuyến (d2) của (P) tại B(2;-8) là: y= - 8x + 8 *) Bài tập tương tự: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = 1 x2 2 a) Vẽ đồ thị Parabol (P). b)Tìm a và b để đường thẳng (d): y=ax+b đi qua điểm 0; 1 và tiếp xúc với (P). (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Vĩnh Long năm học 2016-2017) Bài 2 : Cho hàm số y = -1 x2 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). x 2 Bài 3 .Cho (P) y = và đường thẳng y =mx+n. 4 Xác định các hệ số m, n để đường thẳng đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với parabol. 30
32. Bài 4: a) Cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phương trình đường thẳng thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B. b) Cho (P) y=x2. lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P). 1 Bài 5: Cho hàm số y = x2 (P). Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với 2 (P) và đi qua A (1; -4). Tìm toạ độ tiếp điểm. Tóm lại: Với dạng toán này học sinh cần xét xem điểm cho trước có thuộc parabol không. Nếu điểm cho trước thuộc parabol thì hoành độ của điểm đó chính là nghiệm kép của phương trình hoành độ giao điểm từ đó có cách giải hợp lý và ngắn gọn. Nếu điểm không thuộc parabol thì cần nêu dạng của đường thẳng, thay tọa độ của điểm đó và phương trình đường thẳng để được một hệ thức đồng thời tìm điều liện để phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép, từ đó có hệ phương trình. Học sinh cần được rèn kỹ năng giải hệ phương trình 2. Phạm vi áp dụng đề tài 3. Hiệu quả áp dụng. 4. Kết quả thực hiện . C. PHẦN KẾT LUẬN 1. Nhận định chung 2. Điều kiện áp dụng 3. Triển vọng vận dụng và phát triển 4. Những kiến nghị, đề xuất. 31