Chuyên đề Hình học Lớp 10: Các kiến thức cần nhớ đối với đường thẳng

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 10: Các kiến thức cần nhớ đối với đường thẳng

1. Các kiến thức cần nhớ đối với đường thẳng A. Lý Thuyết 1. Phương trình tham số của đường thẳng: di qua M 0 (x0 ; y0 ) x x0 u1t có phương trình tham số có dạng (t ¡ ) y y u t VTCPu (u1;u2 ) 0 2 x x y y Hoặc : 0 0 gọi là phương trình chính tắc u1 u2 Như vậy: Muốn viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần tìm được điểm đi qua M0(x0; y0) (điểm thuộc đường thẳng) và vecto chỉ phương u = (u1; u2) của nó 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng: 2 2 Phương trình dạng: ax + by + c = 0 (a + b 0) (*) Được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận n = (a; b) làm vecto pháp tuyến di qua M 0 (x0 ; y0 ) phương trình tổng quát có dạng a(x – x0) + b(y – y0) = 0 VTPT n (a;b) Nhân phân phối và rút gọn ta được phương trình dạng (*) Như vậy: Muốn viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần tìm được điểm đi qua M0(x0; y0) (điểm thuộc đường thẳng) và vecto pháp tuyến n = (a; b) của nó Chú ý: Sự liên hệ giữa VTCP u (u1;u2 ) và hệ số góc k của đường thẳng u Nếu có VTCP u (u ;u ) thì k = 2 1 2 u 1 Nếu có hệ số góc k thì VTCP u (1;k) di qua M 0 (x0 ; y0 ) phương trình tổng quát có dạng y = k(x – x0) + y0 hsg k 3. Phương trình đoạn chắn của đường thẳng Nếu đường thẳng cắt trục Ox tại A(a; 0) cắt Oy tại B(0; b) x y có phương trình là 1 với a.b 0 a b 4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a1x + b1y + c1 = 0 2 : a2x + b2y + c2 = 0 a1 b1 c1 1 // 2 a2 b2 c2 a1 b1 c1 1 trùng 2 a2 b2 c2 a1 b1 1 cắt 2 Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ a2 b2 a1x b1y c1 0 a 2x b2y c2 0 1
2. Chú ý: 1  2 a1a2 + b1b2 = 0 5. Góc của hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng 1 : có vecto pháp tuyến n1 = (a1; b1) và 2 : có vecto pháp tuyến n2 = (a2; b2). · Góc của hai đường thẳng kí hiệu ( 1, 2 )     n .n a a b b Ta có cos( · , ) cos(n ,n )  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 n1 . n2 a1 b1 . a2 b2 Công thức này vẫn đúng cho hai VTCP 6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 2 2 Cho đường thẳng : ax + by + c = 0 (a + b 0) và điểm M0 (x0; y0). Khoảng cách từ M0 đến kí hiệu d(M0; ) ax0 by0 c Ta có d(M0, ) = a2 b2 Chú ý: d(M0, ) = đoạn vuông góc từ điểm M0 đến đường thẳng cũng là đoạn ngắn nhất 7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Cho hai đường thẳng song song 1: ax + by + c1 = 0 2: ax + by + c2 = 0 c1 c2 Ta có d( 1 , 2 ) = a2 b2 II. Dạng bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng Cho ba điểm A, B, C Tìm tọa độ giao điểm (hoặc điểm) 1) Cạnh AB đi qua hai điểm A và B 1) Tọa độ giao điểm của hai đường nào là nghiệm Qua A của hệ hai phương trình của hai đường đó Nên AB:  VTCPu AB CTPT n 2) Trục tâm của tam giác là giao điểm của hai 2) Đường cao AH đi qua A và vuông góc với BC đường cao nên Qua A Tọa độ trực tâm là là nghiệm của hệ hai phương Nên AH:  VTPT n BC trình hai đường cao 3) Đường trung tuyến AM đi qua hai điểm A và trung điểm M của BC 3)Trọng tâm là giao điểm của hai đường trung Ta phải tìm tọa độ trung điểm M của BC tuyến nên Tọa độ trọng tâm là là nghiệm của hệ hai phương Qua A Nên AM:  trình hai đường trung tuyến VTCPu AM CTPT n (Ta nên sử dụng công thức tính tọa độ trọng tam 6 4) Gọi là đường trung trực đoạn BC đi qua bằng lấy tọa độ 3 đỉnh cộng lại chia cho 3) trung điểm I của BC và vuông góc với BC Ta phải tìm tọa độ trung điểm I của BC 4)Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của hai Qua I đường trung trực của hai cạnh nên Nên :  Tọa độ trực tâm là là nghiệm của hệ hai phương VTPT n BC trình hai đường trung trực 5) Đường thẳng đi qua A và song song với BC Qua A Như vậy: Ta cần tìm phương trình tổng quát hai :  VTCPu BC CTPT n đường thích hợp với đề bài sau đó tìm giao điểm 2
3. 2. Cho điểm M (x0; y0) và đường thẳng : ax + by + c = 0 a) Phương trình đường thẳng ’// có dạng ax + by + m = 0 (m c) (*) Tìm m = - (ax0 + by0) thay vào (*) ta được phương trình cần tìm b) Phương trình đường thẳng ’ có dạng bx - ay + m = 0 (*) Tìm m = - (bx0 - ay0) thay vào (*) ta được phương trình cần tìm c) Viết phương trình đường thẳng ’ song song với và cách M (x0; y0) một khoảng bằng L b1: Do ’ song song với nên ’: ax + by + m = 0 (m c) (*) ax0 by0 m b2: ’ cách M (x0; y0) một khoảng bằng k nên d(M; ’) = L = L. Giải tìm m a2 b2 3. Viết phương trình đường thẳng sử dụng hệ số góc k a) Phương trình đường thẳng đi qua M (x0; y0) có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0 thay k, x0 ,y0 vào phương trình ta được phương trình đường thẳng b) Phương trình đường thẳng đi qua M (x0; y0) và cách A một đoạn bằng L Xét hai trường hợp TH1: : x = x0 hay x – x0 = 0 Tính d(M; ) = L ta kết luận x – x0 = 0 là đường thẳng cần tìm TH2: b1) Lập phương trình đường thẳng đi qua M (x0; y0) có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0 kx – y – kx0 + y0 = 0 b2) cách A một đoạn bằng L d(A; ) = L Giải tìm k, Thay k vào được phương trình Phương trình đường thẳng đi qua và tạo với đường thẳng d một góc bằng c)  M (x0; y0) b1: Tìm VTPT nd b : Lập phương trình đường thẳng đi qua có hệ số góc k là y = k(x – x ) + y 2 M (x0; y0) 0 0 kx – y – kx0 + y0 = 0 VTPT n = (k; - 1)   nd .n b3: Do tạo với đường thẳng d một góc bằng nên   = cos giải tìm k ( ta có 2 giá trị k) nd . n Nếu chỉ có 1 già trị k ta phải xét thêm TH: : x – x0 = 0 thỏa điều kiện không? Chú ý: Nếu góc giữa trục hoành Ox và là thì tan = k bằng hệ số góc của 4. Phương trình đường thẳng đi qua M (x0; y0) và cách đều hai điểm A, B cho trước Qua M TH1 đi qua M (x0; y0) và song song với AB Nên :  VTCPu AB CTPT n Qua M TH2: đi qua M (x0; y0) và trung điểm I của AB Nên :  VTCPu MI CTPT n 5. Tìm điểm hình chiếuA của điểm M đến đường thẳng (Điểm M và đường cho trước) (Tìm điểm A thuộc sao cho đoạn MA ngắn nhất) / Qua M B1: Viết phương trình đường thẳng Vuông góc / B2: A =  nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ / 3
4. 6. Tìm điểm hình chiếu M’của điểm M trên đường thẳng (Điểm M và đường cho trước) / Qua M B1: Viết phương trình đường thẳng Vuông góc / B2: A =  nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ / B3: Khi đó A là trung điểm của MM’ dùng công thức tính tạo độ trung điểm suy ra tọa độ điểm M’ 7. Tìm điểm A thuộc đường thẳng thỏa MA = L ( Độ dài L cho trước) (Điểm M và đường cho trước dạng TS) B : Gọi A suy ra tọa độ A( theo t ; theo t ) 1   B2: Tìm tọa độ MA ( ; ) tính độ dài MA = MA B3: Cho độ dài MA = L giải tìm t 8. Công thức tính diện tích của một  tam giác ABC Cách 1:Tìm tọa độ AB (a1;b1) , AC (a2 ;b2 ) 1 SABC = | a b a b | 2 1 2 2 1   Cách 2: Tìm BC BC = BC Viết phương trình TQ của đường thẳng BC Tính khoảng cách từ A đến BC ( d(A; BC) = AH) 1 SABC = AH.BC 2 Bài tập: Bài 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d biết: a) d đi qua A(2; 3) và có vectơ chỉ phương u (7; 2) . b) d đi qua B(4; -3) và có vectơ pháp tuyến n (7;3) . c) d đi qua C(-2; 5) và song song với đường thẳng d’: 4x - 5y +10 = 0. x 1 2t d) d đi qua điểm D(-5; 3) và vuông góc với đường thẳng d: . y 4 9t e) đi qua P(2; -5) và có hệ số góc k = 11. f) đi qua hai điểm E(-3; 3) và F(6; -1). Bài 2. Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5). a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác. c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC. e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của ABC. f) Tính diện tích tam giác ABC Bài 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; 1) và tạo với đường thẳng 3x 4y 12 0 một góc bằng 450 . 4