Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chuyên đề 1: Ứng dụng vectơ để giải toán hình học

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chuyên đề 1: Ứng dụng vectơ để giải toán hình học

1. CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Phương pháp chung Để giải một bài toán tổng hợp bằng phương pháp vectơ ta thường thực hiện theo các bước sau Bước 1: Chuyển giả thiết và kết luận của bài toán sang ngôn ngữ của vectơ, chuyển bài toán tổng hợp về bài toán vectơ. Bước 2: Sử dụng các kiến thức vectơ để giải quyết bài toán đó. Bước 3: Chuyển kết quả bài toán vectơ sang kết quả bài toán tổng hợp. Sau đây là một số dạng toán thường gặp I. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH. 1. Phương pháp giải. uuur uuur • Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ AB và AC cùng phương, tức là tồn uuur uuur tại số thực k sao cho: AB = kAC . • Để chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H là một điểm cố định. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi có hai số thực a , uuur uuur uuur b có tổng bằng 1 sao cho: OM = aOA + bOB . Lời giải uuuur uuur uuur uuur uuur uuur * Nếu A, B, M thẳng hàng Þ AM = kAB Û AO + OM = k(AO + OB) uuur uuur uuur Þ OM = (1- k)OA + kOB . Đặt a = 1- k ; b = k Þ a + b = 1 và uuur uuur uuur OM = aOA + bOB . uuur uuur uuur * Nếu OM = aOA + bOB với a + b = 1 Þ b = 1- a uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Þ OM = aOA + (1- a)OB Þ OM - OB = a(OA - OB) Þ BM = aBA Suy ra M, A, B thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho góc xOy . Các điểm A, B thay đổi lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho OA + 2OB = 3. Chứng minh rằng trung điểm I của AB thuộc một đường thẳng cố định. uur 1 uuur 1 uuur Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I là OI = OA + OB (*) 2 2 uur uuur uuur Từ ví dụ 1 ta cần xác định hai điểm cố định A', B' sao cho OI = aOA ' + bOB ' với a + b = 1. Do đó từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' lần lượt trên Ox, Oy uur OA uuur OB uuur OA OB Ta có (* ) Û OI = OA ' + OB ' . từ đó ta cần chọn các điểm đó sao cho + = 1. Kết 2OA ' 2OB ' 2OA ' 2OB ' 3 3 hợp với giả thiết OA + 2OB = 3 ta chọn được điểm A' và B' sao cho OA ' = , OB ' = . 2 4 Lời giải
2. 3 3 Trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A', B' sao cho OA ' = , OB ' = . 2 4 uur 1 uuur 1 uuur OA uuur OB uuur Do I là trung điểm của AB nên OI = OA + OB = OA ' + OB ' 2 2 2OA ' 2OB ' OA OB OA OB 1 Ta có + = + = (OA + 2OB ) = 1 2OA ' 2OB ' 3 3 3 2. 2. 2 4 Do đó điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD , I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AE 2 = . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng. AC 3 Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho uuur uur uuur uur uuur uuur DE = kDI , muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ DE, DI qua hai vectơ không cùng phương AB và AD và sử r r r r r dụng nhận xét " ma + nb = 0 Û m = n = 0 với a, b là hai vectơ không cùng phương " từ đó tìm được 2 k = . 3 Lời giải (hình 1.35) uur uuur uur uuur 1 uuur uuur 1 uuur Ta có DI = DC + CI = DC + CB = AB - AD (1) 2 2 uuur 2 uuur Mặt khác theo giả thiết ta có AE = AC suy ra 3 A B uuur uuur uuur uuur 2 uuur DE = DA + AE = DA + AC 3 I E uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 1 D = - AD + (AB + AD ) = AB - AD (2) C 3 3 3 Hình 1.35 uuur 2 uur Từ (1) và (2) suy ra DE = DI 3 Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng. Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn thẳng cố định BC và BD (M ¹ B, N ¹ B ) sao cho BC BD 2 + 3 = 10 BM BN Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải BC uuur BD uur r Dễ thấy luôn tồn tại điểm I thuộc MN sao cho 2 IM + 3 IN = 0 (1). BM BN uuur uuur r Gọi H là điểm thỏa mãn 2HC + 3HD = 0 (2) do đó H cố định.
3. uuur uuur uuur r Ta có (2) Û 5HB + 2BC + 3BD = 0 2BC uuur 3BD uuur uuur Û BM + BN = 5BH BM BN 2BC uur uuur 3BD uur uur uuur Û BI + IM + BI + IN = 5BH BM ( ) BN ( ) æ BC BD öuur uuur Û ç2 + 3 ÷BI = 5BH (theo (1)) èç BM BN ø÷ uur uuur uur 1 uuur Û 10BI = 5BH Û BI = BH (3) 2 Do các điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định bởi hệ thức (3)) Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song AA1,BB1,CC1 của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC1,BCA1,CAB1 nằm trên một đường thẳng. Lời giải Gọi H 1,H 2,H 3 lần lượt là trực tâm của các tam giácABC1,BCA1,CAB1 uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur Ta có: OH 1 = OA + OB + OC1 , OH 2 = OB + OC + OA1 uuuur uuur uuur uuur và OH 3 = OC + OA + OB1 uuuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Suy ra H H = OH - OH = OC - OC + OA - OA = C C + AA uuuuur u1uu2ur uuuur2 uuur1 uuuur uuur1 uuur 1 uuur uu1ur 1 H 1H 3 = OH 3 - OH 1 = OC - OC1 + OB1 - OB = C1C + BB1 Vì các dây cung AA1,BB1,CC1 song song với nhau uuur uuur uuur Nên ba vectơ AA1,BB1,CC1 có cùng phương uuuuur uuuuur Do đó hai vectơ H 1H 2 và H 1H 3 cùng phương hay ba điểm H 1,H 2,H 3 thẳng hàng. 3. Bài tập luyện tập. 2 Bài 1.101: Cho tam giác ABC và các điểm M là trung điểm AB, N thuộc cạnh AC sao cho AN = AC , P là 3 điểm đối xứng với B qua C. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Bài 1.102: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho 1 3 AM = AB, AN = AC . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E . Đặt 3 4 uuur uuur BE = xBC . Tìm x để A, O, E thẳng hàng. uur uur uur uur r Bài 1.103: Cho DABC lấy các điểm I, J thoả mãn IA = 2IB , 3JA + 2JC = 0. Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của DABC . uuuur uuur uuur uuur Bài 1.104: Cho tam giác ABC . Hai điểm M, N di động thỏa mãn MN = MA + MB + MC
4. a) Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định. b) P là trung điểm của AN. Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định. uuur uuur uuur uuur Bài 1.105: Cho hai điểm M,P là hai điểm di động thỏa mãn MP = aMA + bMB + cMC . Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định. Bài 1.106. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF. Bài 1.107: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 ; A2.B2,C2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC1 . Gọi G,G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A1B1C1 , A2B2C2 . GG1 Chứng minh rằng G,G1,G2 thẳng hàng và tính . GG2 Bài 1.108. Cho tam giác ABC .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho uuur uuur uuur uuur uuur uuur MB = aMC, NC = bNA, PA = gPB . Tìm điều kiện của , ,  để M, N, P thẳng hàng. Bài 1.109: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng trung điểm hai đường chéo AC, BD và tâm O thẳng hàng. Bài 1.110: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn AB = CD = EF . Về phía ngoài lục giác dựng các tam giác AMB, BNC, CPD, DQE, ERF, FSA đồng dạng và cân tại M, N, P, Q, R, S. Gọi O1, O2 lần lượt là trọng tâm tam giác MPR và NQS . Chứng minh rằng ba điểm O, O1, O2 thẳng hàng. uuuur 2 uuur Bài 1.101: Ta chứng minh MN = - MP Û M, N, P thẳng hàng. 3 uuur 1 uuur 1 uuur Bài 1.102: Ta có: AO = AB + AC 9 4 uuur uuur uuur AE = (1- x)AB + xAC uuur uuur A, E, O thẳng hàng Û AE = kAO uuur uuur k uuur k uuur 36 9 Û (1- x)AB + xAC = AB + AC Û k = ; x = 9 4 13 13 9 Vậy x = là giá trị cần tìm. 13 uur uur uur uur r Bài 1.103: IA = 2IB Û IA - 2IB = 0. uur uur r uur uur uur 3JA + 2JC = 0 Û 3IA + 2IC = 5IJ. uur uur uur uur suu uur Suy ra 2(IA + IB + IC) = 5IJ Û 6IG = 5IJ Û I, J, G thẳng hàng. Bài 1.104: a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur MN = MA + MB + MC Û MN = GA + GB + GC + 3MG = 3MG
5. Suy ra M , N , G thẳng hàng hay MN đi qua điểm cố định G. uuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuur uuur b) P là trung điểm AM Þ MP = MA + MN = 2MA + MB + MC 2( ) 2( ) uur uur uur r Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm AI suy ra 2JA + JB + JC = 0 uuur uuur Do đó MP = 2MJ suy ra MP đi qua điểm cố định J. uur uur uur r Bài 1.105: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC suy ra aIA + bIB + cIC = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do đó MP = aMA + bMB + cMC Û MP = (a + b + c)MI Vậy MP đi qua điểm cố định I. uuur 5 uuur 3 uuur uuur 5 uuur 3 uuur Bài 1.106: Ta có: EF = AD + AB , EK = AD + AB 2 2 4 4 uuur uuur Þ EF = 2EK . Vì vậy K là trung điểm EF uuuur uuur uuur uuuur Bài 1.107: Vì G, G1 là trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 suy ra 3GG1 = GA1 + GB1 + GC1 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Û 3GG1 = GA + GB + GC + AA1 + BB1 + CC1 uuuur uuur uuur uuur Û 3GG1 = AA1 + BB1 + CC1 uuuur uuur uuur uuuur Tương tự G, G2 là trọng tâm tam giác ABC, A2B2C2 suy ra 3GG1 = GA1 + GB1 + GC1 uuuur uuur uuuur uuuur Û 3GG2 = AA2 + BB2 + CC2 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur Mặt khác AA2 + BB2 + CC2 = AA1 + BB1 + CC1 + A1A2 + B1B2 + C1C2 Mà A2.B2,C2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC1 uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra 3(A1A2 + B1B2 + C1C2 )= 3(A1B + A1C + B1C + B1A + C1A + C1B ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur = 3(A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA + C1C + CA + C1C + CB ) uuur uuur uuur Do đó = 6(AA1 + BB1 + CC1 ) uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur AA2 + BB2 + CC2 = 3(AA1 + BB1 + CC1 ) uuuur uuur uuur uuur Þ GG2 = AA1 + BB1 + CC1 uuuur uuuur Vậy GG2 = 3GG1 uuur a uuur uuur 1 uuur Bài 1.108: Ta có: MB = BC; BP = AB 1- a g - 1 uuur uuur uuur b uuur BC = (1- a)MC;CN = AC; 1- b
6. uuuur 1 uuur 1 b uuur Ta có: MN = - AB + ( + )AC Và 1- a 1- a 1- b uuur a 1 uuur a uuur MP = (- - )AB + AC 1- a 1- g 1- a Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có a 1 - - a 1- a 1- g = 1- a Û abg = 1. 1 1 b - + 1- a 1- a 1- b Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S lần lượt là các tiếp điểm của các đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đối với đường tròn tâm O. Đặt SA = AP = a, BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d . Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác ABCD ta có: uuur uuur uuur uur r (a + b)OP + (b + c)OQ + (c + d )OR + (d + a)OS = 0 æ b uuur a uuur ö æ c uuur b uuur ö Û (a + b)ç OA + OB ÷+ (b + c)ç OB + OC ÷ èça + b a + b ø÷ èçb + c b + c ø÷ æ d uuur c uuur ö æ a uuur d uuur ö + c + d ç OC + OD ÷+ d + a ç OD + OA ÷ ( )ç ÷ ( )ç ÷ ècu+uurd uuur c + d ø uuur uuur èd +ra d + a ø Û (b + d ) OA + OC + (a + c) OB + OD = 0 (uuur ) uuur r( ) Û (b + d )OM + (a + c)ON = 0 Suy ra O, M, N thẳng hàng (đpcm) Bài 1.110: Gọi M 1,N 1,P1,Q1,R1,S1 lần lượt là hình chiếu của M ,N,P,Q, R,S lên AB,BC,CD,DE,EF,FA . Suy ra M 1,N 1,P1,Q1,R1,S1 lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DE,EF,FA uuur uuur uuur uuuuur uuuur uuur uuur Ta có MS + RQ + PN = MM + M A + AS + S S + ( 1 1 1 1 ) uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur + RR + R E + EQ + Q Q + PP + PC + CN + N N ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) uuuuur uuur uuur = 2 MM + PP + RR ( 1 1 1 ) uuuuur uuur uuur uuuur uuur uuur r ( Vì theo định lí con nhím thì MM 1 + PP1 + RR1 + N 1N + Q1Q + S1S = 0) MM RR PP 1 Mặt khác AB = CD = EF suy ra 1 = 1 = 1 = OM 1 OR1 OP1 k uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do đó MS + RQ + PN = k (OM + OP + OR ) uur uuur uuur uuur uuur uuur Û OS + OQ + ON = (k + 1) OM + OP + OR uuuur uuuur ( ) Û OO2 = (k + 1)OO1 Hay ba điểm O, O1, O2 thẳng hàng.
7. II. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY. 1. Phương pháp giải. uuur uuur • Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta đi chứng minh AB = kCD và điểm A không thuộc đường thẳng CD. • Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh theo hai hướng sau: + Chứng minh mỗi đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định. + Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. M B Chứng minh rằng IJ song song với AE A Lời giải (hình 1.36) N I uur uur uur uuur uuur uur uuur C Ta có 2IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN J P uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur E = MQ + PN = AE + BD + DB Q 2( ) 2 D uuur 1 Hình 1.36 = AE 2 Suy ra IJ song song với AE Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn a + b + g ¹ 0 , uuur uuur uuur uuur uuur uuur r bMB + gMC = gNC + aNA = aPA + bPB = 0 thì AM, BN, CP đồng quy tại O, với O là điểm được uuur uuur uuur r xác định bởi aOA + bOB + gOC = 0 Lời giải uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r Ta có bMB + gMC = 0 Û b (MO + OB ) + g(MO + OC ) = 0 uuur uuur uuur uuur uuur Û aOA + bOB + gOC + (b + g)MO = aOA uuur uuur Û (b + g)MO = aOA Suy ra M, O, A thẳng hàng hay AM đi qua điểm cố định O Tương tự ta có BN, CP đi qua O Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy Ví dụ 3: Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi D là một tam giác có ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và D ' là tam giác có ba đỉnh còn lại. Chứng minh rằng với các cách chọn D khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D ' đồng quy. Định hướng. Giả sử sáu điểm đó là A, B, C, D, E, F. Ta cần chứng minh tồn tại một điểm H cố định sao cho với các cách chọn D khác nhau thì H thuộc các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D ' . Nếu D là tam giác ABC thì D ' là tam giác DEF. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF. uuur uuuur H thuộc đường thẳng GG ' khi có số thực k sao cho HG = kHG '
8. 1 uuur uuur uuur k uuur uuur uuur Û (HA + HB + HC) = (HD + HE + HF ) 3 3 1 uuur 1 uuur 1 uuur k uuur k uuur k uuur r Û HA + HB + HC - HD - HE - HF = 0 3 3 3 3 3 3 k 1 Vì vai trò của các điểm A, B, C, D, E, F trong bài toán bình đẳng nên chọn k sao cho - = Û k = - 1 khi 3 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r đó HA + HB + HC + HD + HE + HF = 0 Lời giải Gọi H là trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F khi đó uuur uuur uuur uuur uuur uuur r HA + HB + HC + HD + HE + HF = 0 (* ) Giả sử G, G ' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC, DEF suy ra uuur uuur uuur r uuuur uuuur uuuur r GA + GB + GC = 0, G 'D + G 'E + G 'F = 0 Suy ra uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur (* ) Û 3HG + GA + GB + GC = 3HG ' + G 'D + G 'E + G 'F uuur uuuur Û HG = HG ' Do đó GG' đi qua điểm cố định H do đó các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D ' đồng quy. 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.111: Cho tứ giác ABCD , gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng KL và AD song song với nhau Bài 1.112: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm A1,B1,C1 sao cho A1B B1C C1A = = = k (k > 0). Trên các cạnh B1C1,C1AB1,A1B1 lần lượt lấy các điểm A2,B2,C2 sao cho A1C B1A C1B A2B1 B2C1 C2A1 1 = = = . Chứng minh rằng tam giác A2B2C2 có các cạnh tương ứng song song với các cạnh A2C1 B2A1 C2B1 k của tam giác ABC . Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua trọng tâm của ba trong năm điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm còn lại. Chứng minh rằng mười đường thẳng nhận được cắt nhau tại một điểm. Bài 1.114. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Kẻ MM', NN', PP', QQ' lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC. Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy tại một điểm. Nhận xét về điểm đồng quy và hai điểm I, O (I là giao điểm của MP và NQ). Bài 1.115: Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi D là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng q . Chứng minh rằng với các cách chọn D khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm tam giác D và trung điểm đoạn thẳng q luôn đi qua một điểm cố định. Bài 1.116: Cho tam giác ABC . Ba đường thẳng x, y, z lần lượt đi qua A, B, C và chúng chia đôi chu vi tam giác ABC . Chứng minh rằng x, y, z đồng quy .
9. Bài 1.117: Cho tam giác ABC, các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP cùng đi qua một điểm, xác định điểm đó. Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA uuur uuur uuur uuur r a) Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng GA + GB + GC + GD = 0 b) Gọi A1,B1,C1,D1 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy tại điểm G. Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là một điểm tùy ý. Gọi A1,B1,C1 lần lượt là các điểm đối xứng với M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng a) Các đường thẳng AA1,BB1,CC1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường MO 3 b) M, G, O thẳng hàng và = . MG 2 Bài 1.120: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC , CA, AB . Gọi Da là đường thẳng đi qua trung điểm PN và vuông góc với BC, Db là đường thẳng đi qua trung điểm PM và vuông góc với AC, Dc là đường thẳng đi qua trung điểm MN và vuông góc với AB. Chứng minh rằng Da , Db và Dc đồng quy. Bài 1.121: Cho hai hình bình hành ABCD và AB 'C 'D ' sắp xếp sao cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD. Chứng minh rằng các đường thẳng DB ', CC ', BD ' đồng quy. uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r Bài 1.111: Ta có KA + KB + KC = 0 và LB + LC + LD = 0 Trừ vế với vế ta được uuur uuur uuur r uuur uur uuur uuur r uuur uuur r KA - LD + 2KL = 0 Û (KL + LA )- LD + 2KL = 0 Û DA + 3KL = 0Suy ra KL//AD uuuur k2 - k + 1 uuur Bài 1.112: A C = AC , vì k2 - k + 1 > 0 và A Ï AC nên A C / / AC 2 2 2 2 2 2 (k + 1) Tương tự ta có B2C2 / / BC và A2B2 / / AB Bài 1.113: Giả sử năm điểm đó là A1, A2, A3, A4, A5, A6 nằm trên đường tròn (O). Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc mười đường thẳng đó. Gọi G là trọng tâm của tam giác A1A2A3 ; P là trung điểm của đoạn thẳng A4A5 .Vì OP ^ A4A5 (do OA4 = OA5 ) nên điểm H thuộc đường thẳng đi qua G và vuông góc với đường thẳng A4A5 khi có số thực k sao cho uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur HG = kOP . Mà OG = OA + OA + OA (vì G là trọng tâm của tam giác A A A ). 3( 1 2 3 ) 1 2 3 uuur 1 uuur uuur OP = OA + OA (vì P là trung điểm của đoạn thẳng A A ) 2( 4 5 ) 4 5 uuur uuur uuur uuur uuur Do đó HG = kOP Û OG - OH = kOP 1 uuur uuur uuur uuur k uuur uuur Hay OA + OA + OA - OH = OA + OA 3( 1 2 3 ) 2( 4 5 ) uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur k uuur k uuur Û OH = OA + OA + OA - OA - OA 3 1 3 2 3 3 2 4 2 5
10. Vì các điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k sao cho k 1 2 - = Û k = - 2 3 3 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur Khi đó OH = OA + OA + OA + OA + OA 3( 1 2 3 4 5 ) uuur 5 uuur Hay OH = OG (G là trọng tâm của hệ điểm {A ,A ,A ,A ,A } ). 3 1 2 3 4 5 Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ'. uuuur uuur Vì OP ^ CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' khi có số thực k sao cho HM = kOP . Mà M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD nên uuuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur HM = HA + HB ; OP = OC + OD 2( ) 2( ) uuuur uuur 1 uuur uuur k uuur uuur Do đó HM = kOP Hay HA + HB = OC + OD 2( ) 2( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Û HO + OA + HO + OB = k (OC + OD ) Û 2OH = OA + OB - kOC - kOD Vì các điểm A, B, C, D trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k = - 1 uuur uuur uuur uuur uuur Khi đó 2OH = OA + OB + OC + OD uuur uur uuur uur Hay 2OH = 4OI (Dễ thấy I là trọng tâm của tứ giác ABCD) Û OH = 2OI Vậy H là điểm đối xứng của O qua I. Bài 1.115: Gọi A, B, C là ba đỉnh của tam giác D và DE là đoạn thẳng q . Gọi G là trọng tâm tam giác D và M uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur là trung điểm của DE thì với điểm O tùy ý ta có OA + OB + OC + OD + OE = 3OG + 2IM Do đó GM luôn đi qua điểm cố định O là trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E. Bài 1.116: Hướng dẫn : Đặt BC = a, CA = b, AB = c Giả sử đường thẳng x đi qua A cắt BC tại M khi đó ta có AB + BM = AC + MC Û c + BM = b + MC Þ c + 2BM = b + (BM + MC ) a + b - c a - b + c Suy ra BM = , CM = 2 2 uuur uuur r Do đó : (a + c - b)MB + (a + b - c)MC = 0 Tương tự ta có : uuur uuur uuur uuur r (a + b - c)NC + (b + c - a)NA = (b + c - a)PA + (a + c - b)PB = 0 Do đó x, y, z đồng quy tại I uur uur uur r được xác định bới (b + c - a)IA + (a + c - b)IB + (a + b - c)IC = 0 Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại M. Gọi B’,C’ là tiếp điểm của cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A
11. Khi đó AB ' = AC ' Û AB + BB ' = AC + CC ' Û c + BM = c + CM Đến đây tương tự bài 1.116. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 1.118: a) Ta có: GA + GB + GC + GD = 2GM + MA + MB + 2GP + PC + PD = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = 2(GM + GP) + (MA + MB) + (PC + PD) = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4 uuur b) 3AA = AB + AC + AD ; 4AG = AB + AC + AD Þ AA = AG 1 1 3 uuur uuur Þ AA1; AG cùng phương hay AA1 đi qua G Tương tự ta có BB1 đi qua G; CC1 đi qua G; DD1 đi qua G Vậy ta có AA1, BB1, CC1,DD1 đồng quy tại G Bài 1.119: a) Gọi O là trung điểm CC1 uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur AA1 = AM + MA1 = AM + MB + MC = AC + MB uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur 2AO = AC + AC1 = AC + MB (vì AC1BM hình bình hành) Þ AA1 = 2AO hay O là trung điểm AA1 uuur uuur Tương tự ta có BB1 = 2BO hay O là trung điểm BB1 Vậy AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường uuur uuur uuur uuur b) Ta có: 3MG = MA + MB + MC uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 2MO = MA + MA1 = MA + MB + MC Þ 2MO = 3MG MO 3 Þ M, G, O thẳng hàng và = MG 2 uuur ur uur ur uur ur Bài 1.120: Đặt IM = e1, IN = e2, IP = e3 Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của NP, PM, MN. uur ur ur ur O là điểm được xác định 2IO = e1 + e2 + e3 uuur uur uur 1 ur ur ur 1 ur ur 1 ur Suy ra OX = OI + IX = - e + e + e + e + e = - e 2( 1 2 3 ) 2( 2 3 ) 2 1 Suy ra OX ^ BC , tương tự ta có OY ^ AC , OZ ^ AB Suy ra Da , Db và Dc đồng quy tại O. AB¢ AD¢ Bài 1.121: Đặt = m, = n(0 < m,n < 1) . Gọi I là giao điểm BD' và DB' AB AD uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur Ta có AC = AB + AD; AC ¢= AB¢+ AD¢= mAB + nAD
12. uuur n uuur AD¢ uuur n uuuur uuuur BA - BD 1- n uuur uuur = n Þ D¢A = D¢D Þ BD¢= n - 1 = BB¢+ nBD AD n - 1 n 1- m 1- n - 1 1- n uuur uur r uuur n(m - 1) uur Þ IB¢+ nID = 0 Þ IB¢= ID Do đó 1- m 1- n uuuur n(m - 1) uuur ¢ uuur uuur uur AB + AD m(n - 1)AB + n(m - 1)AD Þ AI = n - 1 = n(m - 1) mn - 1 1+ n - 1 uur uuur uur 1 uuur uuur IC = AC - AI = (m - 1)AB + (n - 1)AD ; mn - 1( ) uuur uuur uuuur uuur uuur C ¢C = AC - AC ¢= (1- m)AB + (1- n)AD uur 1 uuuur Suy ra IC = C 'C mn - 1 Suy ra I, C', C thẳng hàng Þ đpcm III. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG. 1. Phương pháp. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương và sử dụng các kết quả sau: r r Cho a, b là hai vectơ không cùng phương khi đó r r r r • Với mọi vectơ x luôn tồn tại duy nhất các số thực m, n sao cho x = ma + nb r r r • ma + nb = 0 Û m = n = 0 r r r ur r r r ur m n • Nếu c = ma + nb, c ' = m 'a + n 'b, m '.n ' ¹ 0 và c, c ' là hai vectơ cùng phương thì = m ' n ' 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho 1 3 AM = AB, AN = AC . Gọi O là giao điểm của CM và BN. 3 4 ON OM Tính tỉ số và A OB OC Lời giải (hình 1.37) M uuur uuur uuur uuur N Giả sử ON = nBN ; OM = mCM O uuur uuuur uuur uuuur uuur B C Ta có AO = AM + MO = AM - mCM Hình 1.37 uuuur uuuur uuur 1 uuur uuur = AM - m(AM - AC) = (1- m)AB + mAC ; 3 uuur uuur uuur uuur uuur Và AO = AN + NO = AN - nBN
13. uuur uuur uuur 3 uuur uuur = AN - n(AN - AB) = (1- n)AC + nAB 4 uuur uuur uuur Vì AO chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua AB và AC suy ra ïì 1 ïì 2 ï (1- m) = n ï m = ï ï í 3 Û í 3 . ï 3 ï 1 ï (1- n) = m ï n = îï 4 îï 9 ON 1 OM 2 Vậy = và = . OB 9 OC 3 Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD . M thuộc đường chéo AC sao cho AM = kAC . Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm P, Q sao cho MP / / BC, MQ / / AB . Gọi N là giao điểm của AQ và CP. AN CN Tính tỉ số và theo k . AQ CP Lời giải (hình 1.38) uuur uuur uuur uuur Đặt AN = xAQ , CN = yCP , ta có: A P uuur uuur uuur uuur uuur B DN = DA + AN = DA + xAQ N uuur uuur uuur Q = DA + x(AB + BQ) M D uuur uuur BQ uuur C = DA + xDC + x BC Hình 1.38 BC uuur uuur BQ uuur = DA + xDC - x DA BC BQ AM uuur uuur uuur Vì MQ / / AB Þ = = k nên DN = (1- kx)DA + xDC (1) BC AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác DN = DC + CN = DC + yCP = DC + y(CB + BP) uuur uuur BP uuur = DC + yDA + y BA BA BP CM CA - AM Vì MP / / BC Þ = = = 1- k nên BA CA CA uuur uuur uuur uuur uuur uuur DN = DC + yDA - y(1- k)DC = yDA + (1 + ky - y)DC (2) ïì k ì ï x = ï y = 1- kx ï 2 Từ (1) và (2) ta suy ra: íï Þ íï k - k + 1. ï x = 1 + ky - y ï 1- k îï ï y = îï k2 - k + 1 AN k CN 1- k Do đó = và = AQ k2 - k + 1 CP k2 - k + 1
14. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm B’ và C’ . Gọi M' là giao AB AC AM điểm của B'C' và AM. Chứng minh: + = 2 . AB ' AC ' AM ' Lời giải (hình 1.39) uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur Đặt AB = xAB ' ; AC= yAC ' ; AM = zAM ' A uuuuur uuuuur Vì M ' Î B 'C ' Þ $k : B 'M ' = kB 'C ' B' uuuur uuuur uuuur uuuur C' Û (AM ' - AB ') = k(AC ' - AB ') M' uuuur uuuur uuuur Þ AM ' = (1- k)AB ' + kAC ' B M C 1 uuuur 1- k uuur k uuur Hình 1.39 Û AM = AB + AC z x y 1 1 uuur uuur 1- k uuur k uuur Û (AB + AC) = AB + AC z 2 x y 1 1- k k 1 Û = = = Þ x + y = 2z 2z x y x + y AB AC AM Hay + = 2 đpcm. AB ' AC ' AM ' 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.122. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho AM 2 BN 1 = ; = . Gọi I là giao điểm của AN và CM MB 5 NC 3 AI CI Tính tỉ số và AN IM Bài 1.123: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC. ED Tính GB Bài 1.124: Cho DABC có AB = 3, AC = 4 . Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến BM tại I. AD Tính AI Bài 1.125: Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: AM = 3MC , NC = 2NB , gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích DABC biết diện tích DOBN bằng 1. Bài 1.126: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là nằm trên cạnh AB, CD sao cho BI AB = 3AM , CD = 2CN , G là trọng tâm tam giác MNB và AG cắt BC tại I. Tính BC Bài 1.127: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng CN MO cắt CD tại N. Biết OA = 1,OB = 2, OC = 3, OD = 4 , tính . ND
15. Bài 1.128. Cho tam giác ABC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho SABC = 3SAMC . Một đường thẳng cắt các AB AC AM cạnh AB,AM ,AC lần lượt tại B ',M ',C ' phân biệt. Chứng minh rằng + 2 = 3 AB ' AC ' AM ' Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AM 2 AK AC tại K. Chứng minh rằng = CM 2 CK uur uuur uur uuur Bài 1.122: Đặt AI = xAN; CI = yCM uur uuur uuur uuur x uuur Ta có: AI = x(AB + BN ) = xAB + BC 4 uuur x uuur uuur 3x uuur x uuur 21x uuuur x uuur = xAB + (AC - AB) = AB + AC = AM + AC 4 4 4 8 4 21 x 8 AI 8 Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: x + = 1 Þ x = Þ = . 8 4 23 AN 23 IC 21 Tương tự: = . IM 2 r uur r uuur r uuur b uuur uur r Bài 1.123: Ta đặt: CA = a;CB = b .Khi đó CM = CE = kCA = ka . Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC nên 2 uuur uur r uuur uuur r có số k sao cho CE = kCA = ka , với 0 < k < 1. Khi đó CF = kCB = kb uuur uur uuur uuur uuur Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho: CD = xCA + (1- x)CM = yCE + (1- y)CF r 1- x r r r Hay xa + b = kya + k(1- y)b 2 r r 1- x Vì hai vectơ a,b không cùng phương nên x = ky và = k(1- y) . 2 uuur r r Suy rax = 2k - 1, do đó CD = (2k - 1)a + (1- k)b uuur uuur uuur r r uuur Ta có: ED = CD - CE = (1- k)(b - a) =(1- k)AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Chú ý rằng vì CF = kCB hay AB + BG = kAB suy ra (1- k)AB = GB ED Do đó = 1 GB IB AB 3 uur uuur r Bài 1.124: Ta có: = = Þ 2IB + 3IM = 0 IM AM 2 uuur uuuur uur Þ 2AB + 3AM = 5AI (1) DB AB 3 uuur uuur r uuur uuur uuur = = Þ 4DB + 3DC = 0 Þ 4AB + 3AC = 7AD (2) DC AC 4 Từ (1) và (2) suy ra
16. uuur uuuur uuur uur uuur uur r AD 10 3AC - 6AM = 7AD - 10AI Þ 7AD - 10AI = 0 Þ = AI 7 uuur uuur uuur Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: BO = xBA + (1- x )BN uuur uuuur uuur Tương tự: AO = yAM + (1- y )AB uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur r Þ AB = yAM + (x - y + 1)AB + (x - 1)BN hay (x - y)AB + yAM + (x - 1)BN = 0 (1) uuur ur uur r uuur r r uuuur 3 r uuur 1 r Đặt CB = a , CA = b , Ta có : AB = a - b; AM = - b; BN = - a 4 3 r r 3 r æ 1 r ö r Thay vào (1) ta có: (x - y ) a - b - yb + (x - y )ç- a÷= 0 ( ) 4 èç 3 ÷ø r r x - 1 r 3y r Û (x - y )a - (x - y )b = a - b 3 4 ïì x - 1 ïì 1 ï x - y = ï x = ï ï Từ đó ta có: í 3 Û í 10 ï 3 ï 2 ï y - x = y ï y = îï 4 îï 5 1 uuur 1 uuur 1 uuur Với x = Þ BO = BA + (1- )BN 10 10 10 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur NA Þ BO - BN = BA - BN hay NO = NA Þ = 10. 10( ) 10 NO Vì SONB = 1 Þ SNAB = 10 Þ SABC = 30 BI uur uuur Bài 1.126: Đặt = k, k > 0 Þ BI = kBC BC uur uuur uur uuur uuur uuur uuur Ta có AI = AB + BI = AB + kBC = AB + kAD Mặt khác G là trọng tâm tam giác MNB suy ra uuur uuuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur 3AG = AM + AN + AB = AB + AD + AC + AB 3 2( ) 1 uuur 1 uuur uuur uuur 11uuur uuur = AB + 2AD + AB + AB = AB + AD 3 2( ) 6 uuur uur 11 1 6 Vì AG, AI cùng phương nên = Þ k = 6 k 11 uuur uuur uuur uuur Bài 1.127: Ta có OC = - 3OA, OD = - 2OA uuur uuur uuur uuur uuur k uuur uuur Vì OM , ON cung phương nên có số thực k sao cho ON = kOM Þ ON = OA + OB 2( ) CN uuur 3 uuur 2k uuur Đặt = k, k > 0, ta có ON = - OA - OB ND 1+ k k + 1
17. 6 4k 3 Suy ra - = - Û k = k(1+ k ) k(k + 1) 2 uuur 2 uuur Bài 1.128: Ta có S = 3S Þ BC = 3MC Þ BM = BC ABC AMC 3 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur Đặt AB ' = xAB ; AC '= yAC ; AM ' = zAM uuuuur uuuur uuuur uuuur uuur Ta có B 'M ' = AM ' - AB ' = zAM - xAB uuur uuur uuur uuur 2z uuur = z AB + BM - xAB = (z - x )AB + BC ( ) 3 uuur 2z uuur uuur æz öuuur 2z uuur = (z - x )AB + AC - AB = ç - x ÷AB + AC 3 ( ) èç3 ø÷ 3 uuuuur uuuur uuuur uuur uuur B 'C ' = AC ' - AB ' = yAC - xAB z 2z - x uuuuur uuuuur 3 1 2 Mặt khác B 'M ' , B 'C ' cùng phương nên 3 = 3 Û = + - x y z x y AB AC AM Hay + 2 = 3 AB ' AC ' AM ' AK Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt = x > 0 CK C B uuuur 1 uuur x uuur M Ta có: MK = .MA + .MC (1) K 1 + x 1 + x S uuuur uuur A Do: MK ,MS cùng phương nên D uuuur uuur l uuur uuur MK = l.MS = MB + MD Hình 1.56 2( ) ïì uuur a uuur ï MB = - MA ï 2 Mặt khácMA.MB = MC.MD = a > 0 Þ í MA ï uuur a uuur ï MD = - MC îï MC 2 uuuur al uuur al uuur Suy ra MK = - MA - MC (2) 2MA2 2MC 2 ïì 1 al ï = - ï 2 MA2 AM 2 AK Từ (1) và (2) suy ra: Þ íï 1 + x 2MA Þ x = Þ = ï 1 al MC 2 CM 2 CK ï = - îï 1 + x 2MC 2