Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán: Phương pháp đồng nhất tìm nguyên hàm

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán: Phương pháp đồng nhất tìm nguyên hàm

1. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM Một số nguyên hàm, đặc biệt là trong nguyên hàm từng phần, do biết trước dạng tổng quát, ta có thể tìm được kết quả bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Sau đây là một số ví dụ. Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) x2 2x 3 ex (loại từng phần 2 lần). GIẢI. Vì đa thức trong F(x) có cùng bậc với đa thức trong f(x) nên ta có thể giả sử F(x) f (x)dx ax2 bx c ex C . Từ định nghĩa của nguyên hàm, ta có: F (x) f (x) ax2 bx c ex ax2 bx c ex x2 2x 3 ex 2ax b ex ax2 bx c ex x2 2x 3 ex 2 x 2 x ax (2a b)x (b c) e x 2x 3 e (x ) Đồng nhất hệ số, ta có: a 1 a 1 2a b 2 b 4 . b c 3 c 7 Vậy F(x) x2 4x 7 ex C . Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm F(x)  2x2 3x 2 sin xdx (loại từng phần 2 lần). GIẢI. Vì đa thức trong F(x) có cùng bậc với đa thức trong hàm số lấy nguyên hàm nên ta có thể giả sử F(x) ax2 bx c sin x a x2 b x c cos x C . Từ định nghĩa của nguyên hàm, ta có: F (x) f (x) 2ax b sin x ax2 bx c cos x 2a x b cos x a x2 b x c sin x 2x2 3x 2 sin x a x2 (2a b )x (b c ) sin x ax2 (2a b)x (c b ) cos x 2 2x 3x 2 sin x (x ) Đồng nhất hệ số, ta có: 1
2. a 2 a 2 2a b 3 b 4 b c 2 c 6 . a 0 a 0 b 2a 0 b 3 c b 0 c 3 Vậy F(x) 4x 3 sin x 2x2 3x 6 cos x C . NHẬN XÉT: + Ở hai ví dụ này, đa thức bậc càng cao thì hệ phương trình đồng nhất có số ẩn càng nhiều. + Ở Ví dụ 2, hệ phương trình đồng nhất khá cồng kềnh, lời giải dài, chưa chắc giải nhanh hơn cách tính trực tiếp. Ví dụ 3. Tính họ nguyên hàm F(x) (5sin x 3cos x)exdx (loại từng phần lặp). GIẢI. Giả sử F(x) a sin x bcos x ex C . Từ định nghĩa của nguyên hàm, ta có: a cos x bsin x a sin x bcos x ex 5sin x 3cos x ex x x (a b)cos x (a b)sin x e 5sin x 3cos x e (x ) a b 5 a 4 . a b 3 b 1 Vậy F(x) 4sin x cos x ex C . NHẬN XÉT: Ở ví dụ 3 này, dùng đồng nhất làm khá nhanh. Sau đây là một số ví dụ dạng khác. 2 Ví dụ 4. Tìm họ nguyên hàm F(x) (2x2 3x 2)ex x 1dx . GIẢI. Từ dạng của hàm số lấy nguyên hàm ta có dạng của F(x). 2 Giả sử F(x) ax b ex x 1 C . Ta có: 2 2 F (x) a (ax b)(2x 1) ex x 1 2ax2 (a 2b)x (a b) ex x 1 . Đồng nhất hệ số, ta có: 2a 2 a 1 a 2b 3 . b 1 a b 2 2 Vậy F(x) x 1 ex x 1 C. 2
3. Ví dụ 5. Tìm họ nguyên hàm F(x)  2sin(x2 3) (4x2 2x)cos(x2 3) dx . GIẢI. Vì hàm số cos có đa thức hệ số ở bậc 2 (cao nhất) và đa thức cung có bậc 2 nên ta có thể giả sử F(x) ax b sin x2 3 C . Khi đó: F (x) a sin x2 3 2x(ax b)cos x2 3 a sin x2 3 2ax2 2bx cos x2 3 . Đồng nhất hệ số, ta được: a 2 a 2 2a 4 . b 1 2b 2 Vậy F(x) 2x 1 sin x2 3 C . 1 Ví dụ 6. Tìm họ nguyên hàm F(x)  3x2 3x 1 e x dx . GIẢI. Từ dạng của hàm số lấy nguyên hàm ta có dạng tổng quát của F(x). 1 Giả sử F(x) ax3 bx2 e x C . Ta có: 1 1 1 2 3 2 x 2 x F (x) 3ax 2bx 2 ax bx e 3ax 2b a x b e . x Đồng nhất hệ số, ta có: 3a 3 a 1 2b a 3 . b 1 b 1 1 Vậy F(x) x3 x2 e x C . NHẬN XÉT: Ở các ví dụ 4, 5, 6 này, có ba vấn đề sau: 1. Nếu giải theo phương pháp truyền thống (thêm bớt, đổi biến, từng phần ) thì cũng không đơn giản lắm, đôi khi phải cần đến tính “khử tích phân” mới ra được kết quả 1 (các bạn thử tìm  2x 1 e x dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần hai lần). Phương pháp đồng nhất hệ số có thể giúp giải quyết bài toán được thoải mái hơn. 2. Việc chọn đặt hàm số F(x) ở Ví dụ 5 (và cả Ví dụ 2) như thế nào tùy thuộc vào dạng của hàm số f(x). Nếu đặt gọn thì làm nhanh, còn đặt hơi cồng kềnh thì làm hơi phức tạp một chút vẫn cho kết quả. 3. Trong hệ phương trình đồng nhất, số phương trình nhiều hơn số ẩn. Điều đó cho thấy, để ra đề dạng này, cần giải bài toán thuận trước hoặc có sự kiểm tra trước kết quả. 3
4. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Dùng phương pháp đồng nhất hệ số, tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) trong mỗi trường hợp sau: 1) f (x) 3x2 2x 5 e x ; 2) f (x) 4x2 8x 16 e2x 1; 3) f (x) x3 3x2 4x 1 ex ; 4) f (x) 2x2 3x 4 sinx; 5) f (x) x2 3x 2 cosx; 6) f (x) 4x2 4x 8 sin(2x 3); 7) f (x) 5sin x 3cos x ex ; 8) f (x) 3sin x 7cos x e x 2. Bài 2: Dùng phương pháp đồng nhất hệ số, tính: 1 1) F(x) (2x 1)e x dx; 1 2) F(x) (12x2 2x 1)e x dx;  2 3) F(x)  2x4 5x3 4x2 6x 1 ex x 1dx; 4) F(x)  2x 1 cos x2 3x 1 2x3 x2 3x 9 sin x2 3x 1 dx. ĐÁP SỐ: Bài 1: 1) F(x) 3x2 4x 9 e x C; 2) F(x) 2x2 6x 11 e2x 1 C; 3) F(x) x3 6x2 16x 17 ex C; 4) F(x) 4x 3 sinx 2x2 3x cosx C; 5) F(x) x2 3x 4 sinx (2x 3)cosx C; 6) F(x) 2x2 2x 3 cos(2x 3) (2x 1)sin(2x 3) C; 7) F(x) sin x 4cos x ex C; 8) F(x) 2sin x 5cos x e x 2 +C. 4
5. Bài 2: 1 1) F(x) x2 e x C; 1 2) F(x) 4x3 x2 e x C; 2 3) F(x) x3 3x2 2x 1 ex x 1 C; 4) F(x) x2 x 3 cos x2 3x 1 C. Thị xã Cai Lậy, ngày 02 tháng 06 năm 2017 Người viết, NGUYỄN NGỌC ẤN 5