Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 - Môn Toán - Phần I: Số học - Trần Trung Chính

160 trang thaodu 3291

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 - Môn Toán - Phần I: Số học - Trần Trung Chính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_luyen_thi_vao_lop_10_mon_toan_phan_i_so_hoc_tran_t.pdf

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 - Môn Toán - Phần I: Số học - Trần Trung Chính

Leonhard Euler (1707-1783)
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com CHỦ ĐỀ 1 SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1. Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Số nguyên A đƣợc gọi là số chính phƣơng nếu tồn tại số nguyên dƣơng a sao cho: A = a2 Phát biểu: Số chính phƣơng là số bằng bình phƣơng của một số tự nhiên. Lƣu ý: Mƣời số chính phƣơng đầu tiên là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, Tính chất: Số chính phƣơng cĩ chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Số chính phƣơng chia cho 3 chỉ cĩ thể dƣ 0 hoặc 1. Kí hiệu: 3n và 3n + 1, (n N) Số chính phƣơng chia cho 4 chỉ cĩ thể dƣ 0 hoặc 1. Kí hiệu: 4n và 4n + 1, (n N) Vận dụng tính chất: Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau cĩ tích là một số chính phƣơng thì mỗi số a, b cũng là một số chính phƣơng. Khi phân tích một số chính phƣơng ra thừa số nguyên tố ta đƣợc các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẳn. Ví dụ: 3600 = 602 = 24.32.52 Một số cách nhận biết số khơng chính phương N: (1) Chứng minh N cĩ chữ số tận cùng là 2,3,7,8. (2) Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ. (3) Xét số dƣ khi N cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5 cho 8. (4) Chứng minh N nằm giữa hai số chính phƣơng liên tiếp. (5) N chia cho 3 dƣ 2; N chia cho 4; 5 cĩ số dƣ là 2; 3. (6) Một số tính chất về số dƣ khi chia cho 5, 6, 7, các bạn cĩ thể tự suy ra bằng cách đặt số ban đầu là nk + q (Ví dụ: 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, ). Lưu ý: Khi Giải các bài tốn về số chính phƣơng ta cĩ thể áp dụng "phƣơng pháp modun (mod)", nghĩa là xét số dƣ của các số chính phƣơng khi chia cho 1 số nguyên nào đĩ. Ví dụ 1: Tìm k để 4k + 3 = a2 Giải Giả sử: 4k + 3 = a2. Khi đĩ: a2  3 (mod 4) (1) Ta lại cĩ, nếu a là số chính phƣơng thì a2  0, 1 (mod 4) (2) Từ (1) và (2) thì vơ lý. Vậy khơng cĩ số k thỏa mãn 4k + 3 là số chính phƣơng. Ví dụ 2: Tìm a N* để phƣơng trình sau cĩ nghiệm nguyên: x2 + 2ax - 3a = 0 Giải Xét ' = a2 + 3a. Để phƣơng trình trên cĩ nghiệm nguyên thì a2 + 3a phải là số chính phƣơng. a2 < a2 + 3a < a2 + 4a + 4 a2 <VIETMATHS.NET a2 + 3a < (a + 2)2 Do đĩ: a2 + 3a = a2 + 2a + 1 a = 1. Với a = 1 thì phƣơng trình cĩ nghiệm nguyên là x = 1 hay x = -3. 2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phƣơng: a. n2 + 2n + 12 b. n (n+3) c. n2 + n + 1589 Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 1
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phƣơng nên đặt: n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k - n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dƣơng, nên ta cĩ thể viết k + n +1 = 11 k = 6 (k + n + 1)(k - n - 1) = 11.1 k - n -1 = 1 n = 4 Vậy n = 4. Bài tập 2: Cho A là số chính phƣơng gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta đƣợc số chính phƣơng B. Hãy tìm các số A và B. Giải Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta cĩ số B = (a +1)(b +1)(c +1)(d +1) = m2, với k, m N và 32 < k < m < 100; a, b, c, d N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9 m2 – k2 = 1111 (m - k)(m + k) = 1111. Xét các trƣờng hợp, kết quả: A = 2025 , B = 3136 . Bài tập 3: Tìm a để 17a + 8 là số chính phƣơng. Giải Giả sử luơn tồn tại y N sao cho: 17a + 8 = y2. Khi đĩ: 17(a - 1) = y2 - 25 17(a - 1) = (y + 5(y - 5) y - 5 17 y + 5 17 y = 17n 5 a = 17n2 10n + 1. Bài tập 4: Chứng minh 3n + 63 khơng chính phƣơng, (n N, n ≠ 0, 4) Giải Xét n lẻ. Đặt: n = 2k + 1, (k N) Ta cĩ: 32k+1  (-1)2k+1(mod 4)  -1 (mod 4). 63  3 (mod 4) 32k+1 + 63  2 (mod 4) 3n + 63 khơng chính phƣơng. Xét n chẵn. Đặt n = 2k, (k ≠ 0). Vì y  3 nên ta đặt: y = 3t, (t N) Khi đĩ, ta cĩ: 32k + 63 = 9t2. 32k-2 + 7 = t2 t2 - (3k-1)2 = 7 (t - 3k-1)(t + 3k+1) = 7 k-1 t - 3 = 1 k+1 t + 3 = 7 2. 3k-1 = 6 3k-1 = 3 k = 2 n= 4 (trái với giả thiết đề bài) Vậy 3n + 63 khơng là số chính phƣơng với (n ≠ 0, 4). Biên soạn: Trần Trung Chính 2
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Bài tập 5: Chứng minh rằng phƣơng trình x2 + y2 + 1 = z2 cĩ vơ số nghiệm nguyên. Giải n N*, ta chọn x = 2n2; y = 2n; z = 2n2 + 1. Ta cĩ: x2 + y2 + 1 = (2n2)2 + (2n)2 + 1 = (2n2 + 1)2 = z2. Do đĩ phƣơng trình cĩ vơ số nghiệm. Bài tập 6: Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1). Chứng minh rằng p - 1 khơng phải là số chính phƣơng. Giải Giả sử p - 1 là số chính phƣơng. Do p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1 ). Suy ra: p3 . Do đĩ p - 1  -1 (mod 3) Đặt: p - 1 = 3k - 1. Một số chính phƣơng khơng cĩ dạng 3k - 1. Từ đây ta cĩ điều mâu thuẫn. Bài tập 7: Chứng minh n7 + 34n + 5 khơng chính phƣơng. Giải Bổ đề x2  i (mod 7); i {0; 1; 2; 4} Theo định lý Fermat, ta cĩ: n7  n (mod 7) n7 + 34n + 5  35n + 5 (mod 7) n7 + 34n + 5  6 (mod 7) Giả sử n7 + 34n + 5 = x2, x N. Suy ra: x2  5 (mod 7) (vơ lý) Do đĩ n7 + 34n + 5 khơng phải là số chính phƣơng. Bài tập 8: Cho k1 < k2 < k3 < là những số nguyên dƣơng, khơng cĩ hai số nào liên tiếp và đặt Sn = k1 + k2 + + kn, n = 1, 2, Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng, khoảng [Sn, Sn+1) chứa ít nhất một số chính phƣơng. Giải Nhận xét: Khoảng [S , S ) cĩ ít nhất một số chính phƣơng khi và chỉ khi khoảng S,S cĩ n n+1 n n+1 ít nhất một số nguyên dƣơng, tức là: Sn 1 S n 1. Ta cĩ: Sn 1 S n 1 2 Sn 1 S n 1 2 Sn k n 1 S n 1 kn 1 2 S n 1 Theo đề bài, ta thấy: k k 2,  n N* n 1 n Sn nk n 1 n n 1 Ta cần chứng minh: kn 1 2 nk n 1 n n 1 1 k2 2k 1 4nk 4n n 1 n 1 n 1 n 1 2 2 kn 1 2 2n 1 k n 1 2n 1VIETMATHS.NET 0 2 kn1 2n 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng là đúng. Do đĩ với mọi số nguyên dƣơng n, khoảng [Sn, Sn+1) chứa ít nhất một số chính phƣơng. Bài tập 9: Chứng minh rằng với mọi số k N thì số: A = 1 + 92k + 772k + 19772k Khơng phải là số chính phƣơng. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 3
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Bất kỳ số chính phƣơng nào cũng cĩ dạng 3t hoặc 3t + 1, với t N. Ta cĩ: A = 1 + 92k + 772k + 19772k cĩ dạng 3l + 2 với l N. Do đĩ A khơng phải là số chính phƣơng. Bài tập 10: Chứng minh rằng với mọi số m N thì số: A = 1 + 92m + 802m + 19802m Cĩ phải là số chính phƣơng khơng? Giải Bất kỳ số chính phƣơng nào cũng cĩ dạng 4n hoặc 4n+1, n N Ta cĩ: A = 1 + 92m + 802m + 19802k Cĩ dạng 4q + 2, với q N. Suy ra A khơng là số chính phƣơng. Bài tập 11: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp, của hai số chẵn liên tiếp hoặc 2 số lẻ liên tiếp cĩ thẻ là số chính phƣơng khơng? Giải Ta chứng minh với hai số tự nhiên liên tiếp: Ta cĩ: n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, n N Do đĩ n(n + 1) khơng chính phƣơng. Ta chứng minh với hai số chẵn liên tiếp: Gọi a = 2k(2k + 2), với k N. Nhận xét rằng: 4k2 < a < (2k + 1)2 Suy ra a khơng là số chính phƣơng. Ta chứng minh với hai số lẻ liên tiếp: Đặt: b = (2k + 1)(2k + 3), k N. (2k + 1)2 < (2k + 1)(2k + 3) < (2k + 3)2 Suy ra b khơng là số chính phƣơng. Bài tập 12: Chứng minh rằng tổng bình phƣơng của hai số lẻ bất kỳ khơng phải là số chính phƣơng. Giải a và b là hai số lẻ nên a2 = 4l + 1 và b2 = 4m + 1m với l , m N. Suy ra: a2 + b2 = 4t + 2, t N. Do đĩ: a2 + b2 khơng thể là số chính phƣơng. Bài tập 13: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là 1 số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2. Đây là một số chính phƣơng. (Đpcm) Bài tập 14: Tổng bình phƣơng của 5 số tự nhiên liên tiếp cĩ phải là số chính phƣơng khơng? Giải Gọi A = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2 + (n + 4)2 A = 5n2 + 20n + 30 = 5(n2 + 4n + 6) Giả sử A là một số chính phƣơng. Suy ra: n2 + 4n + 6 = 5t2 (n + 2)2 + 2 = 5t2 (n + 2)2 = 5t2 - 2 (n + 2)2 = 5q + 3 Điều này vơ lý. Vậy tổng bình phƣơng 5 số tự nhiện liên tiếp khơng thể là một số chính phƣơng. Bài tập 15: Các số: abab, abba, abcabc Cĩ phải là những số chính phƣơng khơng? Biên soạn: Trần Trung Chính 4
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Giải Ta cĩ: abab 101ab Do đĩ abab khơng thể là số chính phƣơng. abcabc 1001abc Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 16: Cĩ số chính phƣơng nào chia hết cho 55 cĩ dạng abca khơng? Giải Giả sử tồn tại số chính phƣơng k2 cĩ dạng abca và chia hết cho 55. Suy ra: k2  5 và k2 11 Mà (5, 11) = 1 nên k2 55. Khi đĩ: k2 = 55t, t N. Ta cĩ: 1000 (55t)2 = 55m 9999 1000 3025t2 9999 1 t2 3. t2 = 1 t = 1. k2 = 3025 abca Vậy khơng tồn tại số chính phƣơng cĩ dạng và chia hết cho 55. Bài tập 17: Tìm số chính phƣơng cĩ dạng 22ab Giải Ta cĩ: 2116 < < 2304 462 < < 482 Do đĩ: Nếu là một số chính phƣơng thì = 472 = 2209. Vậy số chính phƣơng phải tìm là 2209. Bài tập 18: Tìm số chính phƣơng cĩ 4 chữ số sao cho 3 chữ số đầu hoặc cuối giống nhau. Giải 1) Giả sử abbb là số chính phƣơng. Nếu chữ số hàng đơn vị là số lẻ thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn, do đĩ b khơng thể lẻ. Mặt khác chính phƣơng thì b chỉ cĩ thể là 0, 1, 4, 6, 9 Do đĩ b = 0, 4, 6 Nếu b = 0 thì a000 khơng chính phƣơng. Nếu b = 4 thì a444 chính phƣơng khi a = 1. Nếu b = 6 thì a666 thì khơng chính phƣơng. Ta cĩ 1444 là số chính phƣơng. 2) Khơng cĩ số chính phƣơng nào cĩ dạng aaab . Bài tập 19: Nghiên cứu các số chính phƣơng cĩ các chữ số giống nhau. Giải VIETMATHS.NET Xem số A = aa aa (n chữ số a) Suy ra: A = a.11 11 (n chữ số 1) Khơng cĩ số chính phƣơng nào tận cùng bởi một trong các chữ số: 2, 3, 7, 8 Suy ra: a 2, 3, 7, 8 Nếu chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ thì chữ số hàng chục phải là chữ số chẵn. Suy ra a 1, 3, 5, 7, 9 Nếu chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 thì chữ số hàng chục phải là chữ số lẻ. Biên soạn: Trần Trung Chính 5
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Suy ra a 4, 6 Dĩ nhiên a 0. Vậy khơng cĩ số chính phƣơng nào mà tất cả các chữ số đều giống nhau. Bài tập 20: Cho số A = n4 + 14n3 + 71n2 + 154n + 120, với n N. a) Phân tích A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng A khơng thể là một số chính phƣơng. (Đề thi vào lớp 10 chuyên tốn Lê Quý Đơn Nha Trang năm học 1996 - 1997) Giải a) Ta cĩ: A = n4 + 14n3 + 71n2 + 154n + 120 = (n4 + 14n3 + 49n2) + (22n2 + 154n) + 120 = (n2 + 7n)2 + 22(n2 + 7n) + 120) = (n2 + 7n + 10)(n2 + 7n + 12) = (n + 2)(n + 5)(n + 3)(n + 4) Vậy A = (n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) b) Các bạn làm tƣơng tự bài 11. Bài tập 21: Cho a và b là 2 số tự nhiên, a2 - b2 cĩ thể là một số chính phƣơng khơng? Giải Ta cĩ: a2 - b2 = (a - b)(a + b) Giả sử a > 0 Muốn cho a2 - b2 là một số chính phƣơng, ta chỉ cần chọn: a b du2 2 a b dv , u > v d u22 v a 2 d u22 v b 2 Trong đĩ hoặc d chẵn hoặc u và v cùng tính chất chẵn, lẻ (u > v). Lúc đĩ, ta cĩ: a2 - b2 = c2 a2 = b2 + c2. Các nghiệm của phƣơng trình là: a d u2 v 2 , b d u 2 v 2 Vậy a2 - b2 cĩ thể là một số chính phƣơng. Bài tập 22: 1) Tìm số cĩ hai chữ số ab sao cho số n ab ba là một số chính phƣơng. 2) Tìm số cĩ hai chữ số sao cho số m ab ba là một số chính phƣơng. Giải 1) Ta cĩ: = k2, k N*, với a, b, k N và a 0, b 9, a 0. 9(a - b) = k2 Do đĩ (a - b) là một số chính phƣơng. Mặt khác, ta cĩ: a - b 9. Do đĩ ta cĩ: a - b = 1 v a - b = 4 v a - b = 9. Xét trƣờng hợp a - b = 1 a = b + 1. Cĩ 9 số thỏa: 10; 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98. Xét trƣờng hợp a - b = 4 a = b + 4 cĩ 6 số thỏa: 40; 51; 62; 73; 84; 95. Xét trƣờng hợp a - b = 9 a = b + 9 cĩ một số duy nhất thỏa là 90. Vậy cĩ 16 số thảo mãn yêu cầu. 2) Ta cĩ: = q2, q N* 11(a + b) = q2 Do đĩ, ta cĩ: a + b = 11t2, t N* Biên soạn: Trần Trung Chính 6
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Mặt khác, ta cĩ: 1 a + b 18 t2 = 1 a + b = 11. Cĩ 8 số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92. Bài tập 23: Tìm số a N sao cho các số sau là những số chính phƣơng: a) a2 + a + 1589 b) 13a + 3 c) a(a + 3) d) a2 + 81 e) a2 + a + 43 f) 3a + 72 Giải a) Đặt: a2 + a + 1589 = k2, k N. Suy ra: (2a + 1)2 + 6355 = 4k2 (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 6355 Nhận xét rằng: 2k + 2a + 1 và 2k - 2a - 1 lẻ và 2k + 2a + 1 > 2k - 2a - 1 > 0 Do đĩ ta viết: (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.42 Suy ra a cĩ thể cĩ các giá trị sau: 1588, 316, 42, 28. b) Đặt: 13a + 3 = y2, y N. 13(a - 1) = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) (y + 4)(y - 4)  13, (13 là số nguyên tố) y + 4 13 hoặc y - 4 13 y = 13n 4, n nguyên tố, khơng âm. 13(a - 1) = (13n 4)2 - 16 = 13n(13n 8) a = 13n2 8n + 1 c) Đặt: a(a + 3) = y2, y N. (2a + 3)2 = 4y2 + 9 (2a + 2y + 3)(2a - 2y + 3) = 9 2a + 2y + 3 2a - 2y + 3 > 0 và 2a + 2y + 3, 2a - 2y + 3 nguyên. Do đĩ: 2a 2y 3 9 a1 2a 2y 3 1 y2 d) Đặt: a2 + 81 = z2, z N. z2 - a2 = 81 (z + a)(z - a) = 81 Ta cĩ: z + a z - a > 0 Và z + a, z - a N. Do đĩ, ta cĩ các khả năng sau: z a 81 a 40 z a 27 a 21 z a 9 a 0 và và z a 1 z 41 z a 3 z 15 z a 9 z 9 e) Đặt: a2 + a + 43 = k2, k N. 4a2 + 4a + 172 = 4k2 (2a + 1)2 + 171 = 4k2 4k2 - (2a + 1)2 = 171 (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 171 = 3. 57 = 9.19 Các bạn tự giải tiếp. Bài tập 24: Tìm a N sao cho (23 - a)(a - 3) là số chính phƣơng. Giải VIETMATHS.NET Đặt: (23 - a)(a - 3) = b2, b N. Suy ra: (a - 13)2 = 100 - b2 (a - 13)2 + b2 = 102 Đây là bộ ba số "Pitago" nên ta cĩ: b = 0; 6; 8; 10. Do đĩ: a = 23; 21; 19; 13; 3; 5; 7 Vậy cĩ 7 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài tốn: a= 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23. Bài tập 25: Tìm tất cả các số tự nhiên n khác 0 sao cho số: q = n4 + n3 + 1 Biên soạn: Trần Trung Chính 7
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. là một số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: n4 + n3 + 1 > (n2)2 Do đĩ: n4 + n3 + 1 = (n2 + k)2, k N*. n2(n - 2k) = k2 - 1 (*) k2 - 1  n2. Suy ra: k2 - 1 = 0 v k2 - 1 = n2 Với k2 - 1 = 0, k N* k = 1 n = 2 q = 52 (thỏa mãn) Xét k N*, k > 1. Ta cĩ: n2 k2 - 1 q 2 n 65 q p2 - q2 = 89 (p + q)(p - q) = 89 Ta cĩ: p, q N và p > q p + q, p - q N và p + q > p - q > 0 Do đĩ, ta cĩ: p q 89 p 45 n 2001 p q 1 q 44 Vậy số tự nhiên phải tìm là n = 2001. Bài tập 27: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phƣơng. (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học KHTN - ĐHQG Hà Nội năm học 2002 - 2003) Giải Giả sử n2 + 2002 là một số chính phƣơng. n2 + 2002 = m2, với n, m Z. (m + n)(m - n) = 2002 m + n và m - n là hai số chẵn. (m + n)(m - n)  4 2004 4, vơ lý. Vậy khơng tồn tại số nguyên n để n2 + 2002 là một số chính phƣơng. Bài tập 28: Thay các dấu (*) bằng các chữ số sao cho số sau là một số tự nhiên: A 6 4 Giải Ta cĩ: A 6 4 A6 4 A6 cĩ chữ số đầu tiên bên trái là 4. 10000 A6 100000 100 A3 317 4 < A < 7 A là một số tự nhiên A = 5 hoặc A = 6. Với A = 5 A6 = 15625, khơng thỏa Với A = 6 A6 = 46 656, Vậy số phải tìm là: A 6 46656 Biên soạn: Trần Trung Chính 8
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Bài tập 29: Tìm số chính phƣơng gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đĩ cĩ tổng các chữ số là một số chính phƣơng. Giải Gọi số phải tìm là abcd , với a, b, c, d nguyên và 1 a 9, 0 b, c, d 9 chính phƣơng d = 0, 1, 4, 5, 6, 9 d nguyên tố d = 5. Đặt: abcd = k2 < 10000 32 k 100. k là một số cĩ 2 chữ số mà d = 5 nên k tận cùng bằng 5. Tổng các chữ số của k là một số chính phƣơng. Do đĩ: k = 45 và = 2025 Vậy số phải tìm là 2025. Bài tập 30: Tìm một hình vuơng cĩ số đo diện tích là một số tự nhiên gồm 4 chữ số mà 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Giải So đo diện tích của hình vuơng phải tìm cĩ dạng aabb , với a, b N và 1 a 9, 0 b 9. = k2 , k N, 32 k < 100 (k là cạnh hình vuơng) 11(100a + b) = k2 Do đĩ: k2  11 k k = 11t 100a + b = 11t2 với 3 t 9 (1) a + b 11 (2) Với a, b N, 1 a 9, 0 b 9, ta cĩ: 1 a + b 18 (3) Từ (2) và (3), suy ra: a + b = 11 Từ (1), suy ra: 9a + 1 = t2 t2 - 1 = 9a2 (4) Suy ra: t2 - 1 9 (t + 1)(t - 1) 3 Vì (t + 1) - (t - 1) = 2 Nên t + 1 và t - 1 khơng đồng thời chia hết cho 3. a) Nếu t + 1 3 thì (4) t + 1 9 mà 3 t 9 t + 1 = 9 t = 8 a = 7 b = 4. Suy ra aabb = 7744 = 882 b) Nếu t - 1 3 thì (4) t - 1 9 (loại). Vậy hình vuơng phải tìm cĩ cạnh đo đƣợc 88 đơn vị. Bài tập 31: Tìm một số tự nhiên sao cho: a) Nếu thêm 64 hoặc bớt đi 35 ta đều đƣợc một số chính phƣơng. b) Nếu thêm 51 hoặc bớt đi 38 ta đều đƣợc một số chính phƣơng. Giải a) Đặt: A - 35 = k2 và A + 64 = t2, với k, t N. Suy ra: (t + k)(t - k) = 99 Do đĩ: t 50 t 18 tVIETMATHS.NET 10 VV k 49 k 15 k 1 Ta tìm đƣợc A = 2436; 260; 36. b) Các bạn giải tƣơng tự câu a. Bài tập 32: Cho A là một số chính phƣơng gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta đƣợc số chính phƣơng B. Hãy tìm các số A và B. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 9
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Theo đề bài, ta cĩ: 2 abcd k k, m N 2 a 1 b 1 c 1 d 1 m Với a, b, c, d N và 1 a 9 và 0 b, c, d 9 abcd k2 2 abcd 1111 m Với k, m N và 32 k < m < 100 m2 - k2 = 1111 (m + k)(m - k) = 1111 = 101.111 Ta cĩ: 0 < m - k < m + k < 200 Do đĩ: m k 101 m 56 m k 11 k 45 A 2025 Vậy B 3136 Bài tập 33: Tìm một số chính phƣơng gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị. Giải Đặt: abcd k2 , k N . Ta cĩ: ab cd 1 và 32 k < 100 Suy ra: 101 cd = k2 - 100 = (k + 10)(k - 10) (k + 10)101 hoặc (k - 10) 101 Mà (k - 10, 101) = 1 k + 10 101 42 k + 10 < 110 k 1 101 Do đĩ: cd 81, k=91 k 10 cd Vậy abcd 8281 912 Số phải tìm là 8281. Bài tập 34: Tìm một số chính phƣơng cĩ 3 chữ số và chia hết cho 56. Giải Gọi số phải tìm là abc , với a, b, c N và 1 a 9, 0 b, c 9. Theo giả thiết ta cĩ: abc k2 , k N abc 56l, l N k2 = 56l = 4.14l (1) l = 14q2, q N Mặt khác, ta lại cĩ: 100 56l 999 2 l 17 (2) Từ (1) và (2), ta cĩ: q = 1; l = 14. Vậy số chính phƣơng phải tìm là 784. Bài tập 35: Cho a và b là 2 số chính phƣơng lẻ liên tiếp, chứng minh: ab - a - b + 1  192 Giải Đặt: a = (2n - 1)2 và b = (2n + 1)2 với n N. Suy ra: A = 4n(n - 1) + 1 và b = 4n(n + 1) + 1. (a - 1)(b - 1) = 16n2(n - 1)(n + 1) Biên soạn: Trần Trung Chính 10
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com (n - 1)n và (n + 1)n đều chia hết cho 2 và (n + 1)(n - 1)n 3 Do đĩ: (a - 1)(b - 1) 192 (đpcm) Bài tập 36: Chứng minh rằng một số chính phƣơng cĩ ƣớc số lẻ và đảo lại. Giải 1  2  n Giả sử: A 1 . 2 n , với i là số tự nhiên và i là số nguyên tố và i  1,2, ,n Ta cĩ: 1 1  2 1  n 1 là số lẻ Rõ ràng là 1 1,  2 1, ,  n 1 đều là số lẻ nên chẵn. Vậy A là số chính phƣơng. Đảo lại: A là số chính phƣơng. 2k1 2k 2 2k n Suy ra: A 1 . 2 n , với i nguyên tố, kNi và i {1, 2, , n} Số ƣớc của A là (2k1 + 1)(2k2 + 1) (2kn + 1) lẻ Suy ra đpcm. Bài tập 37: Cho một số tự nhiên n sao cho 2n = a2 + b2. Chứng tỏ a và b cùng tính chất và n cũng là tổng của 2 bình phƣơng. Giải a2 + b2 = 2n a2 + b22 a2 và b2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Hay a và b cùng tính chất chẵn lẻ. Suy ra: a + b và a - b đều chẵn (giả sử a > b > 0) Đặt: a + b = 2x a - b = 2y, với x, y Z. Suy ra: a = x + y và b = x - y Do đĩ: 2n = 2(x2 + y2) Vậy n = x2 + y2, (đpcm) Bài tập 38: Tìm những số tự nhiên A sao cho A chia hết cho 359 thì cĩ số dƣ bằng số thƣơng. a) Tìm số nhỏ nhất chia hết cho 35. b) Cĩ số A nào là số chính phƣơng nhỏ nhất khơng? Cĩ bao nhiêu số A chính phƣơng? Giải Đặt: A = 359q + r, (q, r N, q = r < 359), q 0. Vì q = r nên A = 360q a) A 35 360q 35 q 7, q 0. Vì A nhỏ nhất nên q = 7. Ta cĩ: A = 2520. b) A = n2, (n N) 360q = n2 q = 10m2, (m Z) q = 10 (A nhỏ nhất) Ta cĩ: A = 360. A = 360q = e2 q = 10t2, (t N) Suy ra cĩ 5 số nhƣ vậy (vì q < 359) 3600, 14400, 32400, 57600, 90000) Bài tập 39: Tìm một số cĩ 4 chữ số biết rằng số đĩ cĩ 4 ƣớc số, gấp 2 lần ƣớc số đĩ là một số chính phƣơng và chia hết cho 7 thì dƣ 4. Giải VIETMATHS.NET 2.abcd chính phƣơng nên abcd 22m 1 t 2n , t nguyên tố và m , n N. Ta cĩ: 2m(2n + 1) = 6 m = 1, n = 1 abcd 2t2 Ta lại cĩ: abcd 4 7 t2 7k 2 t 7l 3 Hoặc t = 7l + 4, k, l N Biên soạn: Trần Trung Chính 11
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. 1000 abcd < 10000 23 t 70, t nguyên tố và cĩ dạng 7l + 3 hoặc 7l + 4. Suy ra: t = 31, 53, 59, 67. Suy ra: abcd = 1992, 5618, 6962, 8978 Vậy cĩ 4 số thỏa yêu cầu: 1992, 5618, 6962, 8978. Bài tập 40: Cho A là một số tự nhiên gồm 100 chữ số, trong đĩ 99 chữ số 5 và một chữ số khác 5. Chứng minh rằng A khơng thể là số chính phƣơng. Giải Giả sử A = k2, với k N A chỉ cĩ thể tận cùng 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nếu A tận cùng bằng 5 k = 5l, l N A lẻ, suy ra k lẻ l = 2m + 1 k = 5(2m + 1), m N. A = k2 = 25(2m + 1)2 = 100m2 + 100m + 25. Suy ra A tận cùng bởi 25 A = 555 500 + 25 m(m + 1), vơ lý Lần lƣợt chứng minh A khơng thể tận cùng bằng 0, 1, 4, 6, 9. Do đĩ A khơng phải là một số chính phƣơng. Bài tập 41: Một số gồm 4 chữ số, đọc ngƣợc lại khơng đổi chai hết cho 5, cĩ thể là một số chính phƣơng khơng? Giải Giả sử A là số chính phƣơng. A5 nên A tận cùng là 5 hoặc 0. Loại số 0. Theo giả thiết, ta cĩ: A 5aa5 Vì A là số chính phƣơng nên a = 2 nhƣng số 5225 khơng phải là số chính phƣơng. Vậy A khơng chính phƣơng. Bài tập 42: Tìm số dƣ của phép chia của một số chính phƣơng lẻ cho 8. Áp dụng: Nếu một số chẵn là tổng của hai số bình phƣơng, số dƣ của phép chia của số ấy cho 8 bằng bao nhiêu? Nếu một số lẻ là tổng của bình phƣơng, số dƣ của phép chia của số ấy cho 4 bằng bao nhiêu? Giải 1) x2 lẻ nên x lẻ Đặt: x = 2n + 1, n N. Suy ra: x2 = 4n(n + 1) + 1 x2 = 8t + 1, t N Do đĩ số chính phƣơng lẻ chia cho 8 dƣ 1. 2) Cho z = 2n = x2 + y2 x và y cùng tính chất. a) x và y cũng chẵn. x = 2m, y = 2m' z = 4(m2 + m'2) - Nếu m và m' cùng chẵn. m= 2k và m' = 2k' 16(k2 + k'2) = 16p = 8q đpcm. - Nếu m và m' đều trái tính chất, giả sử: m = 2k và m' = 2k' + 1 z = 4[4k2 + 4k'(k' + 1) + 1] = 16p' + 4 = 8q' + 4 đpcm. b) Trƣờng hợp x và y cùng lẻ" z = 8l + 2 đpcm. 3) Cho b = 2a + 1 = x2 + y2= x và y cùng trái tính chất chẵn, lẻ. Biên soạn: Trần Trung Chính 12
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Giả sử x = 2m, y = 2m' + 1 b = 4m2 + 4m'(m' + 1) + 1 b = 4z + 1 đpcm. Bài tập 43: Tìm số cĩ hai chữ số mà bình phƣơng của số ấy bằng lập phƣơng của tổng các chữ số của nĩ. Giải Số phải tìm cĩ dạng ab , với a, b N và 1 a 9, 0 b 9 Theo giả thiết, ta cĩ: 2 3 2 3 ab a b 10a b a b (1) Hệ thức (1) chứng tỏ ab là một số lập phƣơng. = t3, t N Và (a + b) là một số chính phƣơng. a + b = l2, l N. 10 99 = 27 hoặc = 64 = 27 a + b = 9 = 64 a + b = 10 l2 (loại) Vậy số phải tìm là = 27. Bài tập 44: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phƣơng là một số cĩ 4 chữ số giống nhau. Giải Cách 1: A = (2n - 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3) = 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111a, (vì a lẻ và 1 a 9) 11(101a - 1) = 12n(n + 1) 101a - 1  3 Mà 1 2a - 1 17 và 2a - 1 lẻ nên 2a - 1 = 3, 9, 15 Vì a lẻ do đĩ: a = 5 n = 21. Vậy 3 số phải tìm là 41, 43, 45. Cách 2: A = x2 + (x + 2)2 + (x + 4)2 = 3x2 + 12x + 20 = aaaa = 1111a, a lẻ 3(x + 2) = 1111a - 8 1111a - 8 3 a - 2 3 a = 5, 8 Mà a lẻ nên a = 5 x = 41 Suy ra 3 số phải tìm là 41, 43, 45. Bài tập 45: Cho x2 + 2y là một số chính phƣơng với x, y N. Chứng minh x2 + y bằng tổng của 2 số chính phƣơng. Giải VIETMATHS.NET Vì x, y N nên x2 + 2y > x Do x2 + 2y là số chính phƣơng, ta cĩ: x2 + 2y = (x + t)2, với t N. 2 2y = t + x t = 2k, k Z+ Do đĩ: 2y = 4k2 + 4kx y = 2k2 + 2kx, x2 + y = (x + k)2 + k2, đpcm. Bài tập 46: Tìm những số nhỏ hơn một triệu chia hết cho 61 và 5 sao cho phần cịn lại khi tìm căn Biên soạn: Trần Trung Chính 13
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. bậc hai của chúng lại bằng nửa giá trị của căn bậc hai đĩ. Giải Gọi số phải tìm là abcdef , với a, b, c, d, e, f là những số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 9, ít nhất một trong các chữ số a, b, c, d, e, f khác 0. Theo giả thiết, ta cĩ: 2 pqr pqr 2pqr 1 abcdef = pqr 22 pqr là căn bậc hai thiếu chƣa tới 1 của abcdef Theo giả thiết, ta suy r chẵn pqr 5 abcdef 5 2pqr 1 5 Do đĩ r = 0 hoặc r = 2 abcdef 61 pqr 61 Hoặc 2pqr 1 61 Xét: pqr 61 100 pqr 61t 1000, t N 2 t 16 Vì r = 0 nên t tận cùng bằng 0 t = 10. Nếu r = 2 thì t tận cùng bằng 2 t = 2 hoặc t = 12 Do đĩ: pqr = 122, 610, 732 Suy ra số phải tìm: Xét:2pqr 1 61 2pqr 1 61k, k N và 1 k 32 pqr tận cùng là 0 hoặc 2 nên 2 + 1 tận cùng bằng 1 hoặc 5. Do đĩ: K = 1, 5, 11, 15, 21, 25, 31 = 30, 152, 335, 457, 640, 762, 945 Mặt khác: r = 0, 2 = 30, 152, 640, 762 Suy ra số phải tìm. Vậy các số phải tìm là 915, 14945, 23180, 372405, 409920, 536190, 581025. Bài tập 47: Tìm số chính phƣơng cĩ 4 chữ số chia hết cho 33. Giải Đặt: abcd A2 A2 33 A 2  3, A 2  11 Suy ra A3 và A 11 Do đĩ: A2 9 và A2 121 (121, 9) = 1 nên A2 1089 Hay A2 1089t2, t N Mặ khác 1000 abcd 9999 1 t2 9 abcd = 1089, 4356, 9801 Vậy cĩ ba số thỏa mãn yêu cầu là 1089, 4356, 9801. Bài tập 48: Tìm số cĩ 4 chữ số vừa là một số chính phƣơng vừa là một số lập phƣơng. Giải abcd = x2 = y3, x, y N Do đĩ y cũng là một số chính phƣơng. 1000 abcd 9999 Biên soạn: Trần Trung Chính 14
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com 10 y 21 Do y chính phƣơng, suy ra y = 16 abcd = 4096. Vậy cĩ duy nhất một số thỏa yêu cầu là 4096. Bài tập 49: Tìm 2 số tự nhiên a và b sao cho tích của chứng là một số chính phƣơng và hiệu của chúng là một số nguyên tố p. Giải Gọi d = (a, b) a da' a,b 1 b db' ab = k2 d2a'b' = k2 (*) k2  d2 k d k = dk' Từ (*) a'b' = k'2 Vì (a', b') = 1, a'b' = k'2 Nên a' và b' đều là số chính phƣơng. a' = u2, b' = v2 với (u, v) = 1 a = du2, b = dv2 Mặt khác, ta cĩ: p a - b = p a' - b' = d Bài tập 50: Cho S1 = 1.2.3; S2 = 2.3.4; S3 = 3.4.5, , Sn = n(n + 1)(n + 2). Đặt: S= S1 + S2 + + Sn. Chứng minh 4S + 1 là một số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: 4S= 4(S1 + S2 + + Sn) = 4(1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2)) = 1.2.3(4 - 0) + 2.3.4(5 - 1) + + n(n + 1)(n + 2)((n + 3) - (n - 1)) = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3)-(n-1)n(n+1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Suy ra: 4S + 1 = (n2 + 3n + 1)2 Vậy 4S + 1 là một số chính phƣơng. Bài tập 51: Tìm một số cĩ hai chữ số biết rằng nĩ bằng lập phƣơng của một số tự nhiên và tổng các chữ số của nĩ bằng bình phƣơng của một số tự nhiên đĩ. Giải Theo giả thiết, ta cĩ: ab t3 và a + b = t2, với t N. 1 a + b 18 1 t2 18 1 t 4 ab 10 t3 10 t 3 t 3 v t = 4 (loại) Vậy ab 27 . Bài tập 52: Tìm một số cĩ 2 chữ số biết rằng số đĩ bằng bình phƣơng tổng các chữ số của nĩ. Giải Gọi số phải tìm là: ab , với a, b N và 1 a 9, 0 b 9 Theo giả thiết, ta cĩ: VIETMATHS.NET = (a + b)2 Một số học sinh nhận xét rằng ab là một số chính phƣơng cĩ 2 chữ số. Do đĩ chỉ cĩ thể là một trong các số: 16, 25, 36, 49, 64, 81 Thử thì thấy chỉ cĩ số 81 là thích hợp. Do đĩ số phải tìm là số 81. Suy nghĩ nhƣ vậy thì đơn giản quá. Cần phải tìm những cách Giải hay hơn. Biên soạn: Trần Trung Chính 15
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Bài tập 53: Tìm 3 số sao cho tổng bình phƣơng các số gấp 2 lần tổng các tích của các số đĩ lấy từng đơi một. Giải x2 + y2 + z2 = 2(xy + yz + zx) 4xy = (x + y - z)2 Chọn x = ha2 y = kb2, với a, b, k N. Giả sử a > b Ta cĩ: z = k(a b)2 Vậy 3 số phải tìm là ka2, kb2, k(a b)2, với k, a, b N và a > b. Bài tập 54: Tìm số cĩ hai chữ số sao cho tích của số đĩ với tổng các chữ số của nĩ bằng tổng lập phƣơng các chữ số của số đĩ. Giải ab (a + b) = a3 + b3 10a + b = a2 - ab + b2 = (a + b)2 - 3ab 3a(3 + b) = (a + b)(a + b - 1) a + b và a + b - 1 nguyên tố cùng nhau. a b 3a a b 3 b Do đĩ: hoặc a b 1 3 b a b 1 3a Suy ra: a = 4, b = 8 hoặc a = 3, b = 7. Suy ra: = 48 hoặc = 37 Vậy cĩ 2 số thỏa mãn yêu cầu của bài tốn là 37; 48. Bài tập 55: Tìm một số chính phƣơng cĩ 4 chữ số sao cho số gồm 2 chữ số cuối chia hết cho số gồm 2 chữ số đầu. Giải Gọi số chính phƣơng phải tìm là A2 = abcd , với a, b, c, d N và 1 a 9; 0 b, c, d 9. Theo giả thiết, ta cĩ: cd k . do đĩ: c 1, với k N và 1 k 9 Ta suy ra: A2 = 100 + cd = (100 + k) Vì < 100 nên 100 + k khơng thể là số nguyên tố 101 100 + k 109 k 1, 3, 7, 9 Ta xét lần lƣợt k = 2, 4, 5, 6, 8 Với k = 2. Ta cĩ: A2 = 102.ab = 2.3.17. = 2.3.17t2, t N Điều này vơ lý. Ta xét tƣơng tự với các số cịn lại. Số phải tìm là abcd = 1296 = 362, (ứng với k = 8) Bài tập 56: Tìm số chính phƣơng cĩ 4 chữ số chia hết cho 147 và tận cùng là 9. Giải Gọi số phải tìm là A A147 A 3 A chính phƣơng, 3 nguyên tố nên A 9 A 441 Đặt A = 441k, k chính phƣơng. Vì 1000 441k 10000 Biên soạn: Trần Trung Chính 16
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com 3 k 22 Vì A tận cùng là 9 nên k tận cùng là 9, k chính phƣơng, do đĩ k = 9 Suy ra A = 3969. Vậy số phải tìm là 3969. Bài tập 57: Tìm những số chính phƣơng gồm 4 chữ số tận cùng bởi 2 chữ số bằng nhau và khác 0. Giải Khơng cĩ số chính phƣơng nào tận cùng bởi một trong các chữ số 2, 3, 7, 8. Do đĩ ta chỉ xét xem cĩ những số chính phƣơng nào tận cùng bởi 11, 44, 55, 66, 99 Xem số ab = 10a + b ab 2 = 100a2 + 10.2ab + b2 Ta suy ra: 2 - Chữ số hàng đơn vị của số ab chính là chữ số hàng đơn vị của số b2. - Chữ số hàng chục của số bằng chữ số hàng đơn vị của số 2ab cộng với chữ số hang chục của số b2. Do đĩ: - Nếu b lẻ thì chữ số hàng chục của là số chẵn. b chỉ cĩ là số chẵn. Số phải tìm là 1444 = 382; 7744 = 882. Bài tập 58: Tìm các số chính phƣơng cĩ 5 chữ số và chia hết cho 54. Giải A254 A2 2 và A2 27 A2 2 A2 4 A2 27 A2 81 A2 324 A2 324t2, t N Mà 10000 A2 9999 6 t 17 Suy ra: A2. Bài tập 59: Chứng minh rằng nếu một số chính phƣơng cĩ chữ số hàng đơn vị là chữ số 5 thì chữ số hàng trăm của nĩ là một chữ số chẵn. Giải 2 Số đã cho cĩ dạng A5 Ta cĩ: = (10A + 5)2 = 100A2 + 100A + 25 = 200A(A + 1) + 25 Chữ số hàng trăm của số chính là chữ số hành đơn vị của số A(A + 1) nghĩa là một số chẵn. Vậy số cĩ chữ số hàng trăm là một số chẵn. Bài tập 60: Cho số tự nhiên a, chia [(a - 1)2 + a2]2 cho 4a2. Chứng minh rằng thƣơng và số dƣ của phép chia là những số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: [(a - 1)2 + a2] = 4a2(a - 1)2 + (2a - 1)2 Nếu chia [(a - 1)2 + a2] cho 4a2, rõ ràng thƣơng số là (a - 1)2 và số dƣ là (2a - 1)2 vì (2a-1)2 < 4a2 Suy ra đpcm. Bài tập 61: Chứng minh rằng 4nVIETMATHS.NET + 3 khơng phải là một số chính phƣơng. Suy ra rằng phƣơng trình x2 + y2 = 4n + 3 khơng cĩ nghiệm nguyên. Giải Số chính phƣơng nào cũng cĩ dạng 4a hoặc 4n + 1 Do đĩ 4n + 3 khơng phải là số chính phƣơng. Nếu x và y là 2 số tự nhiên bất kỳ thì x2 + y2 chỉ cĩ thể cĩ một trong ba dạng 4k, 4k+1 hoặc 4k + 2. Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 62: Cho các số: Biên soạn: Trần Trung Chính 17
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. A = 11 11 (2m chữ số 1) B = 11 11 [(2m + 1) chữ số 1] C = 66 66 (m chữ số 6) Chứng minh rằng A + B + C + 8 là một số chính phƣơng. Giải 102m 1 A 11 11 102m 1 10 2m 2 10 1 9 10m1 1 B 11 11 10m 10 m 1 10 1 9 10m 1 C 66 66 6.11 11 6. 9 2 2m m 1 m m 10 10 6.10 64 10 8 2 Suy ra: A + B + C = = (33 336) [(m - 1) chữ số 3) đpcm. 93 Bài tập 63: Cho A, B là 2 hợp số: A = 11 11 (2m chữ số 1) và B = 44 44 (m chữ số 4) Chứng minh A + B + 1 là số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: 102m 1 A = 11 11 2n ch÷ sè 1 9 10m 1 B = 44 44 4. m ch÷ sè 4 9 2 2m m m 10 4.10 4 10 2 2 A + B + 1 = = 33.334 (cĩ (m - 1) chữ số 3) 93 Vậy A + B + 1 là số chính phƣơng. Bài tập 64: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, a 0 sao cho a chia hết cho 6 và 1000a là số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: a6, a 0 a=6k, k N* Suy ra: 1000a = 6000k = 202.15k 1000a là số chính phƣơng khi và chỉ khi K = 15p2, p N a = 90p2, p N Do đĩ số tự nhiên a nhỏ nhất phải tìm là a = 90. Bài tập 65: Tìm số tự nhiên b nhỏ nhất sao cho số (b - 1) khơng chia hết cho 9, b chia hết cho tích bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002.b là số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: 2002 = 2.7.11.13 2002.b là số chính phƣơng nên ta cĩ: b = 2002k2, k N* b chia hết cho bốn số nguyên tố liên tiếp mà b đã chứa ba thừa số nguyên tố liên tiếp là 7, 11 và 13 nên thừa số nguyên tố thứ tƣ là 5 hoặc 17, b nhỏ nhất nên ta chọn thừa số nguyên tố là 5. b = 2002.25t2, t N Nếu t2 = 1 b = 50049 b - 1 = 500499 (khơng thỏa yêu cầu) Nếu t2 = 4 b = 200200 b - 1 = 200199  9 (thỏa yêu cầu bài tốn) Vậy số b phải tìm là b = 200200. Bài tập 66: Tìm số nguyên m và n để cho đa thức: p(x) = x4 + mx3 + 29x2 + nx + 4, x Z là số chính phƣơng. Giải p(x) là một đa thức bậc 4 và hệ số của x4 là 1 nên p(x) chỉ cĩ thể là bình phƣơng đúng của một tam Biên soạn: Trần Trung Chính 18
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com thức bậc 2 cĩ dạng: (x) = x2 + px + q Do đĩ, ta cĩ: x4 + mx3 + 29x2 + nx + 4 = (x2 + px + q)2 Sử dụng đồng nhất hệ số ở hai vế ta cĩ: q = 2; p = 5; m = 10; n = 20. Vậy (m, n) = (10, 20); (-10, -20) Bài tập 67: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 26 và n - 11 đều bằng lập phƣơng đúng của một số tự nhiên. Giải Theo đề bài, ta cĩ: n 26 p3 , với p, q N và p > q 3 n 11 q p3 - q3 = 37 (p - q)(p2 + pq + q2) = 37 Ta cĩ: p, q N, p > q p - q, p2 + pq + q2 N* Do đĩ, ta cĩ: p q 1 p q 1 2 2 2 p pqq 37 q q120 q N q = 3 p = 4 n = 38. Vậy số tự nhiên n phải tìm là n = 38. Bài tập 68: Chứng minh rằng cĩ vơ số bộ 3 số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a2b2 + b2c2 + c2a2 là một số chính phƣơng. Giải Chọn 3 số tự nhiên a, b, c nguyên tố cùng nhau và thỏa tính chất. a = b + c Ta cĩ: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n = a b + b c + c a = (b + c) (b + c ) + b c = b4 + c4 + 3b2c2 + 2b3c + 2bc3 = (b2 + c2 + bc)2 Do đĩ n là một số chính phƣơng. Cĩ vơ số bộ ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau mà một trong 3 số bằng tổng hai số kia. Thí dụ: (2, 3, 5) = 1 và 5 = 2 + 3 n = 62 + 152 + 102 = 192. Bài tập 69: Cho dãy số: a1 = 14 a2 = 144 a3 = 1444 an 1444 44 n ch÷ sè 4 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho an là số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: a1 = 14, khơng phải là số chính phƣơng. 2 a2 = 144 = 12 2 VIETMATHS.NET a3 = 1444 = 38 Ta hãy xét an, với n 4 Giả sử an là một số chính phƣơng 2 * an = k , k N an tận cùng là 4444 Số dƣ của phép chia an cho 16 bằng số dƣ của phép chia 4444 cho 16 an = 16q + 12, q N Biên soạn: Trần Trung Chính 19
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. k2 = 16q + 12 (*) Suy ra: k2 và k 4 k = 2(2t + 1) = 4t + 2 k2 = 16t2 + 16t + 4 = 16h + 4, mâu thuẫn (*) Ta suy ra: an, với n 4, khơng phải là số chính phƣơng. Bài tập 70: Cĩ tồn tại hay khơng một số tự nhiên n sao cho số: k n 1 n 1 là một số hữu tỉ. Giải Giả sử tồn tại n N* sao cho: là một số hữu tỉ. 2 n 1 n 1 k Do đĩ, ta cĩ: 12 n 1 k 2k 12 n 1 k 2k Ta suy ra (n + 1) và (n - 1) là hai số chính phƣơng. n 1 p2 với p, q N* 2 n 1 q p2 - q2 = 2 (*) (p + q) và (p - q) cùng tính chất chẵn lẻ. (*) (p + q)(p - q)4 2 4, vơ lý. Do đĩ khơng cĩ số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu cảu bài tốn. Bài tập 71: Ta nĩi số tự nhiên A là một số "Pitago" nếu A là tổng bình phƣơng của hai số tự nhiên nào đĩ. a) Cho P và Q là hai số "Pitago", chứng minh P.Q và 2n.P cũng là các số "Pitago". b) Tìm các chữ số "Pitago" M và N sao cho tổng và hiệu của chúng khơng phải là các số "Pitago". (Đề thi vào lớp 10 Đại học Tổng hợp TP. HCM hệ PTTH Chuyên Tốn - Tin học năm 1993 - 1994). Giải a) Xem hai số "Pitago" phân biệt P và Q P = a2 + b2 Q = c2 + d2 Với a, b, c, d N và a c và b d Ta cĩ: P.Q = (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd) + (|ad - bc|)2 Ta suy ra: PQ là một số "pitago" Xem số T = 2n.P, n N Xét hai khả năng: (i) Trƣờng hợp n chẵn: n = 2k, k N Ta cĩ: T = 2n.P = 2k(a2 + b2) = (a.2k)2 + (b.2k)2 Suy ra: T là một số "Pitago" (ii) Trƣờng hợp n lẻ: n = 2k + 1, k N Ta cĩ: T = 2k+1.P = 2.22k.P = (12 + 12).22k.P Suy ra: T là một số "Pitago" b) Cĩ vơ số cặp số "Pitago" M và N mà tổng và hiệu của chúng khơng phải các số "Pitago" Thí dụ: M = 32 + 52 = 34 N = 22 + 72 + 53 Suy ra: N + M = 87 và N - M = 19. Biên soạn: Trần Trung Chính 20
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Bài tập 72: Chứng minh rằng khơng tồn tại một số n N để cho ta cĩ thể phân tập hợp. E = {n , n + 1, n+ 2, n + 3, n + 4, n + 5} thành 2 tập con cách biệt sao cho tích các phân tử của tập con này bằng tích các phần tử của tập con kia. Giải Giả sử tồn tại n N để cho ta cĩ thể phân tập hợp. E = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5} thành hai tập con cách biệt sao cho tích các phân tử của tập con này bằng tích các phần tử của tập con kia nghĩa là: n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) = k2, với k Z (1) E chứa nhiều nhất một số chia hết cho 7, do đĩ (1) khơng đƣợc nghiệm đúng. Vậy E khơng chứa một số nào chia hết cho 7. Ta giả sử: n = bs7 + 1 n + 1 = bs7 + 2 n + 5 = bs7 + 6 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) = bs7 + 6 Nhƣng khơng cĩ số chính phƣơng nào cĩ dạng 7k + 6 Vậy khơng tồn tại n N thỏa mãn yêu cầu bài tốn 3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phƣơng là một số cĩ 4 chữ số giống nhau. Bài tập 2: Tìm số cĩ 2 chữ số sao cho tích của số đĩ với tổng các chữ số của nĩ bằng tổng lập phƣơng các chữ số của số đĩ. ab22 ab22 Bài tập 3: Nếu a, b Z và Z thì Z là số chính phƣơng. 1 ab 1 ab Bài tập 4: Tìm tất cả bộ số nguyên dƣơng (x, y, z) sao cho x2 + y2 + z2 + 2xy + 2x(z - 1) + 2y(z + 1) là số chính phƣơng. Bài tập 5: Tìm a để 19a + 7 là số chính phƣơng. Bài tập 6: Chứng minh rằng 192n + 5n + 2000, (n N*) khơng phải là số chính phƣơng. Bài tập 7: Tìm n để tổng bình phƣơng các số từ 1 đến n là số chính phƣơng. Bài tập 8: Với mọi số nguyên dƣơng n, hãy xác định (phụ thuộc theo n) số tất cả các cặp thứ tự hai số nguyên dƣơng (x, y) sao cho x2 - y2 = 102.302n. Ngồi ra chứng minh số các cặp này khơng phải là số chính phƣơng. aan 1 n 1 * Bài tập 9: Cho dãy {al}n 0 là dãy số mà a0 = a1 = 5 và a ,  n N . Chứng minh rằng n 98 a1 n là số chính phƣơng với  nN* . 6 Bài tập 10: Cho các số: A = 11 11 (2m chữ số 1) B = 11 11 (m + 1 chữ số 1) C = 66 66 (m chữ số 6) Theo các bạn A + B + C cĩ phải là số chính phƣơng hay khơng? Bài tập 11: Một số cĩ tổng các chữ số là 2000 cĩ thể là số chính phƣơng hau khơng? Bài tập 12: Số 1 + 5m + 8n, với VIETMATHS.NETm, n N cĩ thể là số chính phƣơng khơng? Bài tập 13: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp khơng thể là một số chính phƣơng. Biên soạn: Trần Trung Chính 21
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. CHỦ ĐỀ 2 SỐ NGUYÊN TỐ 1. Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Số nguyên tố là những số tự nhiên chỉ cĩ 2 ƣớc là 1 và chính nĩ. VD: Các số: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, là những số nguyên tố. Các số cĩ từ 3 ƣớc số trở lên gọi là hợp số. Một hợp số cĩ ít nhất 2 ƣớc số. Bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn 1 cũng cĩ ít nhất một ƣớc số nguyên tố. Một số định lý cơ bản: Dãy số nguyên tố là dãy số vơ hạn (khơng cĩ số nguyên tố nào là lớn nhất) Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q hoặc số nguyên tố q chia hết cho số nguyên tố p thì p = q. Nếu số nguyên tố p chia hết tích abc thì p chia hết ít nhất một thừa của tích abc: p nguyên tố | abc p|a hoặc p|b hoặc p|c Nếu số nguyên tố p khơng chia hết a và b thì p khơng chia hết tích ab. Cách nhận biết một số nguyên tố: (i) Chia số đĩ lần lƣợt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn Nếu cĩ một phép chia hết thì số đĩ khơng nguyên tố. Nếu chia đến lúc thƣơng nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn cĩ số dƣ thì số đĩ là số nguyên tố. (ii) Một số cĩ hai ƣớc số lớn hơn 2 thì số đĩ khơng phải là số nguyên tố. Phân tích một số tự nhiên thành thừa số nguyên tố - dạng tiêu chuẩn: A a .b  c  a, b, c là những số nguyên tố. , ,  N và , ,  1 Số các ước số và tổng các ước số của một số: Giả sử , với a, b, c là những số nguyên tố. , ,  N và , ,  1. (i) Tập các ƣớc của A là U(A) = {d N|d = a ''' .b  c  } Với ', ', ' N và ',  ',  ' Số các ƣớc của A là số phần tử của tập hợp U(A). (ii) Tổng các ƣớc của A: a 1 1 b  1 1 c  1 1  A d / A .  a 1 b 1 c 1 Số nguyên tố cùng nhau: Hai số nguyên tố đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng cĩ một ƣớc số chung duy nhất là 1, nghĩa là chúng cĩ ƣớc số chung lớn nhất bằng 1. a, b nguyên tố cùng nhau (a, b) = 1 Hai số tự nhiên liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau. Hai số nguyên tố thì luơn luơn nguyên tố cùng nhau. Các số abc nguyên tố cùng nhau (a, b, c) = 1 a, b, c nguyên tố sánh đơi khi chúng đơi một nguyên tố cùng nhau. (a, b) = (b, c) = (c, a) = 1 Chú ý: 3 số nguyên tố sánh đơi thì chúng nguyên tố cùng nhau: (a, b) = (b, c) = (c, a) = 1 (a, b, c) = 1 Đảo lại khơng đúng. Ba số a, b, c nguyên tố cùng nhau thì chƣa chắc cúng nguyên tố sánh đơi. Dạng tổng quát của số nguyên tố: Hiện nay chƣa cĩ: Nhà tốn học Fermat (Fecma) cho rằng số: n 212 là số nguyên tố, n N Biên soạn: Trần Trung Chính 22
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Nhƣng Euler (Ơle) chỉ ra rằng số: 5 22 1 4 294 967 297, (với n = 5 là một hợp số) 5 22 1 641.6 700 471 Trong phạm vi từ 1 đến 10 000 000, cĩ 664 580 số nguyên tố. (D.N Lême) Trong khoảng từ 1 đến 1 000 000 000, cĩ 50 847 479 số nguyên tố. (Craisit) Số nguyên tố Mecxen: Số nguyên tố cĩ dạng: 2p - 1: Mp = 2p - 1 Số nguyên tố Mecxen lớn nhất tìm ra năm 1978 do hai học sinh Mỹ là Nickel và Noll là số: 21701 M21701 = 2 - 1 gồm 6533 chữ số. Năm 1992: AEA technology's Harwell Laboratory phát hiện số nguyên tố gồm cĩ 227832 chữ số. Năm 1994: Cra Research loan báo phát hiện số nguyên tố 859 433 M859 433 = 2 - 1 gồm 258 716 chữ số, cần đến 8 trang báo mới in hết. - Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều cĩ dạng 4n + 1 hoặc 4n + 3, với n N. - Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều cĩ dạng 6n + 1 hoặc 6n + 5, với n N. Một số định lý đặc biệt: (1) Định lý Drichlet: Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì tồn tại vơ số nguyên tố p cĩ dạng: p = an + b, n N (2) Định lý Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n, cĩ ít nhất một số nguyên tố. (3) Định lý Vinogradov: 15 Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố. 2 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho a + b = p, p là một số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau. Giải Giả sử a và b khơng nguyên tố cùng nhau. Ta suy ra a và b cĩ ít nhất một ƣớc số d > 1. ad và bd a + b d p d, d > 1 Điều này vơ lý, vì p là một số nguyên tố (a, b) = 1. Bài tập 2: Nếu a2 - b2 là một số nguyên tố thì a2 - b2 = a + b. Giải Ta cĩ: a2 - b2 = (a + b)(a - b) Nếu a - b > 1 thì a + b > 1 a2 - b2 là một hợp số, trái với giả thiết. Do đĩ, ta cĩ: a - b 1 (1) Mặt khác: a2 - b2 là số nguyên tố. a > b a - b > 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra: a - b = 1 Vậy a2 - b2 = a + b. Bài tập 3: Chứng minh tổng bình phƣơng của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 khơng thể là một số nguyên tố. Giải VIETMATHS.NET Số nguyên tố lớn hơn 3 cĩ dạng: 6k 1, k N và k 1 nên bình phƣơng của chúng cĩ dạng: 6m + 1, m N. Do đĩ tổng bình phƣơng của 3 số nguyên tố là: 6n + 33, n > 1 Điều này chứng tỏ tổng bình phƣơng của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 là một hợp số (đpcm). Bài tập 4: Một số nguyên tố lớn hơn 3 cĩ một trong các dạng 6n + 1 hoặc 6n - 1. Chứng minh rằng cĩ vơ số nguyên tố cĩ dạng thứ hai. Biên soạn: Trần Trung Chính 23
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Giải Gọi p là 1 số nguyên tố cĩ dạng 6n - 1. Ta chứng minh cĩ 1 số nguyên tố p' cĩ dạng này và p' > p. Gọi p là tích các số nguyên tố đầu tiên từ 2 đến p. P = 2, 3, , p P6 P = 6n Đặt: A = P - 1 A > p và A cĩ dạng 6n - 1, n tự nhiên. Nếu A là số nguyên tố: Bài tốn đã Giải xong. Nếu A là hợp số thì A cĩ 1 ƣớc nguyên tố p' > p vì nếu p' p thì p' sẽ là một thừa của p. p'|p p'|1 Vơ lý. Mặt khác p' cĩ dạng 6n - 1. Thật vậy, nếu A khơng cĩ một ƣớc nguyên tố dạng 6n - 1 thì mọi ƣớc nguyên tố của A đều cĩ dạng 6n + 1 và nhƣ vậy A cĩ dạng 6n + 1, vơ lí vì trái với điều ta đã biết là A cĩ dạng 6n - 1. Do đĩ p' là số nguyên tố cĩ dạng 6n - 1 và lớn hơn p. Vậy cĩ vơ số nguyên tố cĩ dạng 6n - 1. Bài tập 5: Cho 2 số nguyên tố phân biệt a và b, với a < b. Chứng minh rằng tồn tại vơ hạn các số tự nhiên n sao cho các số a + n và b + n nguyên tố cùng nhau. Giải a Chọn một số tự nhiên: k ba nk = (b - a)k - a + 1 sẽ là một số tự nhiên lớn hơn 1. Xem các số: A = a + nk = (b - a)k + 1 B = b + nk = (b - a)(k + 1) + 1 Nếu d = (A, B) d|B - A d|b - a và d|A - (b - a)k = d = 1 Do đĩ (A, B) = 1 a Ta cho k các giá trị k0, k0 + 1, k0 + 2, , trong đĩ k0 N và k , ta cĩ vơ hạn số tự nhiên n 0 ba cĩ dạng nk sao cho: (a, b) = 1 (a + n, b + n) = 1. Bài tập 6: Cho số tự nhiên n 2. Gọi p1, p2, , pn là những số nguyên tố sao cho pn n + 1. Đặt: A = p1p2 pn a) Chứng minh rằng trong các dãy số các số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A+3, , A + (n + 1) khơng chứa một số nguyên tố nào. b) Chứng minh rằng cĩ vơ số dãy số gồm n số tự nhiên liên tiếp khơng cĩ số nào là số nguyên tố. Hãy viết số hạng đầu và số hạng cuối của hai dãy số nhƣ vậy, mỗi dãy cĩ 10 số hạng. Giải a) Ta hãy xem số hạng A + m, với m N và 2 m n + 1, của dãy số đã cho. Nếu m là số nguyên tố thì m chia hết tích p1p2 pn = A. A + mm (A + m) khơng nguyên tố Nếu m là hợp số thì m ắt cĩ ít nhất 1 ƣớc nguyên tố d: d|m d|A d|A + m (A + m) khơng nguyên tố. Vậy trong dãy số đã cho, khơng cĩ số hạng nào là số nguyên tố cả. b) Dãy số đã cho: A +2, A + 3, , A+ (n + 1) gồm n số tự nhiên liên tiếp khơng nguyên tố. Ta suy ra cĩ vơ số dãy số gồm n số tự nhiên liên tiếp khơng nguyên tố, cĩ dạng: kA + 2, kA + 3, , kA + (n + 1), với k N, tùy ý. Với n = 10. A = 2.3.5.7.11 = 2.310 Dãy số 2310k + 2, 2310k + 3, , 2310k + 11, với k N, tùy ý và k 0 Chọn k = 1 và k = 2, ta cĩ: * 2312, , 2321 Biên soạn: Trần Trung Chính 24
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com * 4622, , 4631 Suy ra đpcm. Bài tập 7: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng. Giải Gọi 3 số nguyên tố đĩ là a, b, c Ta cĩ: abc = 5(a + b + c) 5|abc a, b và c bình đẳng. Giả sử 5|a và a là số nguyên tố nên a = 5. Suy ra: bc = 5 + bc (b - 1)(c - 1) = 6 Do đĩ: b 1 1 b 1 2 b 2 b 3 b2 v v (loại) c 1 6 c 1 3 c 7 c 4 c7 Vậy 3 số nguyên tố phải tìm là 2, 5, 7. Bài tập 8: Chứng minh điều kiện cần và đủ để p và 8p2 + 1 nguyên tố là p = 3. Giải Điều kiện đủ: p = 3 8p2 + 1 = 73, nguyên tố. Điều kiện cần: Nếu p = 3n 1 8p2 + 1 = 3k3 khơng phải là số nguyên tố nên p = 3h và p nguyên tố p = 3. Vậy ta cĩ điều phải chứng minh: p = 3. Bài tập 9: Cho m và m2 + 2 là hai số nguyên tố. Chứng minh rằng m3 + 2 cũng là một số nguyên tố. Giải m và m2 + 2 nguyên tố m = 3 m2 + 2 = 11, nguyên tố. Ta cĩ: m3 + 2 = 29, nguyên tố. Vậy m, m2 + 2 nguyên tố m3 + 2 nguyên tố. Bài tập 10: Chứng minh rằng cĩ vơ số số nguyên dƣơng a sao cho z = n4 + a khơng phải là số nguyên tố, với n N. Giải Chọn a = 4b2, với b N. Ta cĩ: z = n4 + 4b4 z = n4 + 4b4 + 4n2b2 - 4n2b2 = [(n + b)2 + b2][(n - b)2 + b2] Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 11: Cho 2n + 1 là một số nguyên tố. Chứng minh n là một lũy thừa của 2. Giải Nếu n cĩ một ƣớc nguyên tố khác 2 thì ƣớc số ấy lẻ và cĩ dạng 2k + 1, k N. Do đĩ: n = p(2k + 1) Ta cĩ: kk n p 2k+1 p pi pi 1 2 + 1 = (2 ) = (2 + 1) 22 , khơng nguyên tố, vơ lý. i 1 i 1 Do đĩ n khơng cĩ một ƣớc nguyên tố nào khác 2. Vậy n là một lũy thừa của 2. Chú ý điều ngƣợc lại khơng đúng, khi n = 25 thì 5 22 1 2 32 1VIETMATHS.NET 4 294 967 297 = 641. 6 700 417 khơng nguyên tố. Bài tập 12: Cho p nguyên tố cùng nhau với 5. Chứng minh: A = p8n + 3p4n - 4 5 Giải p nguyên tố cùng nhau với 5, do đĩ p cĩ dạng 5k + 1 hoặc 5k 2, k N, k > 1, Nếu p = 5k + 1 thì p2 = 5t + 1, t N, t > 0 A = p8n + 3p4n - 4 = (p2)4n + 3(p2)2n - 4 = 5l + 1 + 5l' + 3 - 4 = 5q 5 Với l, l', q N Biên soạn: Trần Trung Chính 25
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Nếu p = 5k 2 thì p2 = 5h + 4 p4 = 5i + 1, với h, i N. Suy ra: A = (p4)2n 3(p4)n - 4 = 5q'5, q' N Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 13: Cho một số x trong một hệ thống nào đĩ, gồm n chữ số 1. Chứng minh rằng nếu n khơng nguyên tố thì x khơng nguyên tố. Giải Gọi a là cơ số của hệ đếm, ta cĩ; n n 1 n 2 a1 x 11 11 a a 1 a1 n ch÷sè 1 Nếu n khơng nguyên tố, ta đặt: n = pq, với p, q N và p, q > 1 Ta cĩ: apq 1 a pq 1 a p 1 x. a 1a1p a 1 p a1 p q 1 p q 2 x a a 1 a1 x ap 1 a p 2 1 ap q 1 a p q 2 1 Các thừa đều nguyên và lớn hơn 1, do đĩ x khơng nguyên tố (đpcm). Bài tập 14: Chứng minh rằng nếu số abc nguyên tố thì b2 - 4ac khơng phải là một số chính phƣơng. Giải Giả sử b2 - 4ac là một số chính phƣơng: Đặt: b2 - 4ac = k2, với k N b > k Ta cĩ: 2 2 2 4a. = 400a + 40ab + 4ac = (20a + b) - (b - 4ac) = (20a + b + k)(20a + b - k) Do đĩ: (20a + b + k)(20a + b - k) abc Suy ra: 20a + b + k hoặc 20a + b - k (1) Mà abc = 100a + 10b + c > 20a + 2b + k > 20a + b + k > 20a + b - k, (vì b > k) Do đĩ (1) vơ lý. Vậy b2 - 4ac khơng phải là số chính phƣơng. Bài tập 15: Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố với p > 3. Chứng minh 4p + 1 là hợp số. Giải p nguyên tố và p > 3 nên p cĩ dạng 6n + 1 hoặc 6n - 1, n N và n 1. Nếu p = 6n + 1 thì 2p + 1 = 12n + 33 trái với giả thiết, do đĩ p 6n + 1 Suy ra p cĩ dạng 6n - 1 Ta cĩ: 2p + 1 = 12n - 1 4p + 1 = 24n - 3 3 Vậy 4p + 1 là hợp số. Bài tập 16: Cho số nguyên tố p. Cĩ bao nhiêu số nguyên tố cùng nhau với p3 mà nhỏ hơn p. Giải Số nguyên tố cùng nhau với p3 thì sẽ nguyên tố cùng nhau với p. Vì p là số nguyên tố nên cĩ (p - 1) số nguyên tố cùng nhau với p3 mà nhỏ hơn p là 2, 3, , (p - 1) Bài tập 17: Trong dãy số tự nhiên cĩ thể tìm đƣợc 2004 số liên tiếp nhau mà khơng cĩ số nguyên tố nào hay khơng? Giải Xét dãy số sau: a2 = 2005! + 2 a3 = 2005! + 3 a2005 = 2005! + 2005 Biên soạn: Trần Trung Chính 26
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Dãy số này gồm cĩ 2004 số hạng là những số tự nhiên liên tiếp nhau và đều là hợp số, là dãy số mà ta phải tìm. Bài tập 18: Tìm hai số nguyên tố p và q sao cho p2 = 8q + 1 Giải p2 = 8q + 1 (p + 1)(p - 1) = 8q 8q + 1 lẻ p2 lẻ p = 2k + 1 Do đĩ: k(k + 1) = 2q Suy ra p cĩ dạng 4t + 1 hoặc 4t - 1 và q cĩ dạng t(2t + 1) hoặc t(2t - 1) p và q nguyên tố p = 5, q = 3 Vậy p = 5; q = 3. Bài tập 19: Tìm số a nguyên tố sao cho a + 10, a + 14 đều là những số nguyên tố. Giải Bất kỳ số tự nhiên nào cũng cĩ 1 trong các dạng: 3k, 3k + 1 hoặc 3k + 2, k N. Nếu a = 3k + 1 thì a + 14 khơng nguyên tố, trái với giả thiết. Nếu a = 3k + 2 thì a + 10 khơng nguyên tố, trái với giả thiết. Do đĩ: a = 3k. Mà a nguyên tố nên a = 3. a + 10 = 13 nguyên tố và a + 14 = 17 nguyên tố. Vậy a = 3. Bài tập 20: Tìm số b nguyên tố sao cho b + 6, b + 14, b + 12 và b + 8 đều là số nguyên tố. Giải Bất kỳ số tự nhiên b nào cũng cĩ một trong các dạng: 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, với k N. Nếu b = 5k + 1 thì b + 14 = 5k + 155, khơng nguyên tố. Nếu b = 5k + 2 thì b + 8 = 5k + 10 5, khơng nguyên tố. Nếu b = 5k + 3 thì b + 12 = 5k + 15 5, khơng nguyên tố. Nếu b = 5k + 4 thì b + 6 = 5k + 10 5, khơng nguyên tố. Do đĩ b = 5k mà b nguyên tố b = 5. Ta suy ra: b + 6 = 11 b + 8 = 13 b + 12 = 17 b + 14 = 19 đều là số nguyên tố. Vậy b = 5. Bài tập 21: Chứng minh rằng: n a) Nếu a - 1 nguyên tố thì a = 2 (với n Z+ và n > 1) b) Nếu n là hợp số, an - 1 khơng nguyên tố, (a 2) c) Nếu p nguyên tố, 2p - 1 luơn luơn là một số nguyên tố hay khơng? Giải a) an - 1 = (a - 1)(an-1 + an-2 + + a + 1) an - 1 nguyên tố (a - 1) = 1 a = 2 b) n là hợp số n = pq, với p , q N và p, q >1 an - 1 = apq - 1 = (ap)q - 1 = (ap - 1)(ap(q-1) + + 1) a 2 ap > 2 ap - 1 > 1 Do đĩ: an - 1 khơng nguyên tố VIETMATHS.NET đpcm. c) Khơng: Khi p = 2, 3, 5, 7 thì 2p - 1 là số nguyên tố. Khi p = 257 thì 2p - 1 khơng nguyên tố. Bài tập 22: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì: (p|1806) (p - 1|1806) Giải Ta phân tích: 1806 = 42.43 = 2.3.301 p nguyên tố và chia hết 1806 thì p = 43, 7, 3. Biên soạn: Trần Trung Chính 27
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Suy ra: p - 1 = 42, 6, 2 Do đĩ: p - 1|1806. Bài tập 23: Số a4 + a2 + 1 cĩ thể là một số nguyên tố hay khơng? Giải Ta cĩ: a4 + a2 + 1 = (a2 + 1)2 - a2 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1) a2+ a + 1 > 1 với a 0 Do đĩ: a4 + a2 + 1 là một số nguyên tố khi và chỉ khi a2 a 1 1 a1 a N, a 0 Giá trị a = 1 thỏa mãn. Vậy a = 1. Bài tập 24: Chứng minh rừng (p - 1) chia hết cho p nếu p là hợp số và khơng chia hết cho p nếu p là nguyên tố. Giải Nếu p là hợp số thì (p - 1)! là tích các thừa số nguyên tố nhỏ hơn p và số mũ của các thừa số này cũng bằng số mũ của chính các thừa số ấy chứa trong (p - 1)! Do đĩ (p-1)! Chia hết cho p. Nếu p là số nguyên tố và vì p > p - 1 nên p nguyên tố cùng nhau với mọi thừa số của (p - 1)! Do đĩ (p - 1)! khơng chia hết cho p (đpcm). Bài tập 25: Tìm số nguyên tố a sao cho 2a + 1 là một lập phƣơng. Giải Giả sử: 2a + 1 = t3, với t N, t > 1. t2 + t + 1 > 2, a nguyên tố. Do đĩ: t - 1 = 2 Suy ra: t = 3 Vậy a = 13. Bài tập 26: Cho 2m - 1 là một số nguyên tố. Chứng minh rằng m nguyên tố. Giải Giả sử m là hợp số. m = pq, với p, q N và p, q > 1 Ta cĩ: 2m - 1 = (2p)q - 1 = (2p - 1)[2p(q-1) + + 1] Vì p > 1 2p - 1 > 1 Và 2p(q-1) + 2p(q-2) + + 1 > 1 Suy ra: 2m - 1 là một hợp số, mâu thuẫn với giả thiết. Khi m = 1 2m - 1 = 1, (loại) m là số nguyên tố. Vậy 2m - 1 nguyên tố m nguyên tố. Bài tập 27: Cho m N. Chứng minh m4 + 4 và m4 + m2 + 1 đều là hợp số (m > 1) Giải Ta cĩ: m4 + 4 = (m2 + 2m + 2)(m2 - 2m + 2), với m N, m > 1. = [(m + 1)2 + 1][(m - 1)2 + 1] Suy ra: m4 + 4 là hợp số. m4 + m + 1 là hợp số với m N và m > 1 (HS tự chứng minh) Bài tập 28: Chứng minh các số p + 1 và p - 1 khơng phải là số chính phƣơng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên. Giải Cách 1: Gọi p là tích của n số nguyên tố đầu tiên. p = p1p2 pn Trong đĩ pi là số nguyên tố thứ i (i = 1, 2, , n) và p1 =2, p2 = 3, Biên soạn: Trần Trung Chính 28
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Nếu p + 1 là số chính phƣơng. p + 1 = t2, t N p = t2 - 1 p chẵn nên t lẻ và t2 - 1 là tích của 2 số chẵn. Do đĩ: p4, vơ lí vì p chỉ chứa mộ thừa số chẵn duy nhất là 2 mà thơi. Vậy p + 1 khơng phải là một số chính phƣơng. Cách 2: p = 2.3.5 pn p2 và p  4 Do đĩ: p cĩ dạng 4k + 2, k N. Ta suy ra: p + 1 khơng phải số chính phƣơng. HS tự giải với trƣờng hợp (p - 1). Bài tập 29: Chứng minh rằng m2 - n2 nguyên tố thì m và n là 2 số tự nhiên liên tiếp. Giải Ta cĩ: m2 - n2 = (m - n)(m + n), với m, n N và m > n. Vì m2 - n2 là số nguyên tố và m + n > m - n Nên m - n = 1 Vậy m và n là hai số tự nhiên liên tiếp. Bài tập 30: Tổng của p (p 2) số lẻ liên tiếp cĩ phải là một số nguyên tố khơng? Giải Xem p số lẻ sau: 2n + 1, 2n + 3, , 2n + 2p - 1, n N. Tổng số của các số này là: S = (2n + 1) + (2n + 3) + + (2n + 2p - 1) S = p(2n + p), với p 2, S là một hợp số. Vậy tổng của p số lẻ liên tiếp, p 2 khơng phải là số nguyên tố. Bài tập 31: Cho 4 số tự nhiên a, b, a', b' và p nguyên tố cùng nhau với a. Chứng minh rằng nếu ab - a''b' và a - a' chia hết cho p thì b - b' chia hết cho p. Giải a - a' = a' = a + kp, k Z. ab - a'b' p ab - (a + kp)b' p Suy ra: a(b - b') p Mà (a, p) = 1 Do đĩ: b - b' p (đpcm) Bài tập 32:Cho A = m + n và B = m2 + n2, trong đĩ m và n là những số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tìm ƣớc số chung lớn nhất của A và B. Giải Gọi d = (A, B) d|A; d|B d|A2 - B2 = 2mn. Do đĩ d là ƣớc số chung của m + n và 2mn. Vì (m, n) = 1 nên (m + n, mn) = 1. Suy ra d là ƣớc số chung của (m + n) và 2 nên ta cĩ: d = 1 V d = 2 a) Nếu m và n cùng lẻ A, B cùng chẵn. (A, B) = 2 b) Nếu m, n trái tính chất. VIETMATHS.NET A, B cùng lẻ (A, B) = 1 Vậy: Khi m, n cùng lẻ (A, B) = 2 Khi m, n trái tính chất: (A, B) = 1. Bài tập 33: Tìm số cĩ 4 chữ số abcd biết rằng: 2 abcd 5c 1 Biên soạn: Trần Trung Chính 29
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Giải abcd = (5c + 1)2 = 25c2 + 10c + 1 a = 1 Do đĩ: 40 + 4b = c2 c2 = 4.1b chính phƣơng. b = 6; b = 8 Số phải tìm là 1681 1681 = 412 = (5.8 + 1)2 n n 1 Bài tập 34: Chứng minh 2n + 1 và nguyên tố cùng nhau. 2 Giải n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp và 2n + 1 là tổng của hai số đĩ. Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau nên tổng và tích của chúng cũng nguyên tố cùng nhau: (n, n + 1) = 1 (2n + 1, n(n + 1)) = 1 Do đĩ, ta cĩ: 2n + 1 và nguyên tố cùng nhau. Bài tập 35: Cho A = 2n + 3n, B = 2n+1 + 3n+1, C = 2n + 2 + 3n+2 a) Chứng minh A và B nguyên tố cùng nhau. b) Ƣớc số chung lớn nhất của A và C cĩ thể là bao nhiêu? Giải a) Ta cĩ: B - 2A = 3n Nếu A và B cĩ ƣớc số chung d 1 thì d chia hết cho 3n và 2n (vơ lí) Suy ra đpcm. b) Ta cĩ: C - 4A = 5.3n Điều này chứng tỏ USCLN(A, C) = 5 hoặc 1. Muốn cho (A, C) = 5 thì 5|A mà 5|A nếu n lẻ và 5|A nếu n chẵn. Suy ra đpcm. Bài tập 36: Nếu 2n - 1 cĩ thể phân tích thành tích ab thì a + 1 và b - 1 là những bội số lẻ của cùng một lũy thừa của 2. Giải Giả sử: 2n - 1 = ab, với n, a, b N và n , a, b > 1 2n - 1 lẻ a và b đều lẻ. a + 1 và b - 1 đều chẵn. Giả sử: a + 1 = .2p b - 1 = .2q (với ,  lẻ và p, q N) Ta cĩ: 2n - 1 = ( .2p - 1)(.2q + 1) 2n = .2p+q + .2p - .2q Do đĩ: p = q Vậy a + 1 và b - 1 là bội số lẻ của cùng một lũy thừa của 2. Bài tập 37: Cho a và b là hai số nguyên tố. Chứng minh rằng số dƣ của những phép chia (p - 1) bội số đầu tiên của a và b tạo thành dãy số (b - 1) số tự nhiên đầu tiên. Giải Xét dãy số gồm (b - 1) bội số đầu tiên của a: a, 2a, 3a, , (b - 1)a Ta đem chia tất cả các số này cho b. Khơng cĩ số nào chia hết cho b vì b nguyên tố cùng nhau với tất cả các số hạng của dãy. Khơng cĩ số nào chia cho b cĩ cùng số dƣ vì nếu cĩ ka và ha chia cho b cĩ cùng số dƣ thì: Biên soạn: Trần Trung Chính 30
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com (k - h)ab, với k, h N và 1 h < k b - 1 Điều này vơ lí. Suy ra (b - 1) số dƣ đều khác nhau. Mặt khác, các số dƣ đều nhỏ hơn hay bằng b - 1. Vậy (b - 1) số dƣ chính là (b - 1) số tự nhiên đầu tiên, đpcm. Bài tập 38: Định lý Fermat Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố khơng chia hết cho số a thì p chia hết số ap-1-1. Giải Xét dãy số gồm (p - 1) bội số đầu tiên của a: a, 2a, 3a, , (p - 1)a Ta cĩ: a = bsp + r1 2a = bsp + r2 3a = bsp + r3 (p - 1)a = bsp + rp-1 Trong đĩ, r1, r2, r3, , rp-1, theo một thứ tự nào đĩ, là (p - 1) số tự nhiên đầu tiên: r1.r2.r3 rp-1 = (p - 1)! Suy ra: ap-1.( p - 1)! = bsp + (p - 1)! Hay (ap-1 - 1).(p - 1)!p p nguyên tố, (p - 1)! và p nguyên tố cùng nhau. Vậy ap-1 - 1 p (Định lí Fermat) Bài tập 39: Cho p và q là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng: pq 1 q p 1 1 pq Giải Ta cĩ thể viết: pq 1 q p 1 1 p q 1 1 q p 1 Ta cĩ: pq1 1 q (Theo định lí Fermat) qqp1  Suy ra: pq 1 q p 1 1 q (1) Tƣơng tự: q 1 p 1 p q 1 p (2) Vì p và q nguyên tố phân biệt nên cùng nguyên tố cùng nhau. Do đĩ từ (1) và (2), ta suy ra: pq 1 q p 1 1 pq Bài tập 40: Chứng minh rằng x và y khơng chia hết cho một số nguyên tố p thì xp 1 y p 1 p . Giải Ta cĩ thể viết: xp 1 y p 1 x p 1 1 y p 1 1 p | x xp1 1 p (Định lí Fermat)VIETMATHS.NET p | y yp1 1 p (Định lí Fermat) Suy ra đpcm. Bài tập 41: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì tích số 2.3.4 (p - 3)(p - 2) là một bội số của p thêm 1. Giải Gọi a là một thừa số của tích Biên soạn: Trần Trung Chính 31
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. 2.3.4 (p - 2) Ta chứng minh rằng tồn tại một thừa số a' của tích sao cho: aa' = bsp + 1 Ta biết rằng phép chia các số hạng của dãy: a, 2a, 3a, , (p - 2)a cho p cĩ các số dƣ là (p - 1) số tự nhiên đầu tiên theo một thứ tự nào đĩ. Số dƣ 1 khơng phải là số dƣ của phép chia a, 2a, 3a, , (p - 2)a cho p. Suy ra rằng tồn tại a' thuộc tích (1) sao cho a' a và aa' = bsp + 1. Lý luận tƣơng tự: Nếu b là một thừa số thuộc tích (1) khác a và a' thì tồn tại b' thuộc tích đĩ để bb' = bsp + 1 Do đĩ: 2.3.4 (p -2) = bsp + 1. Bài tập 42: Định lý Wilson: Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì tích: 2.3.4 (p - 2).(p - 1) là một bội số của p bớt đi 1. Giải HS tự chứng minh. Bài tập 43: Chứng minh rằng nếu p chia hết (p - 1)! thì p nguyên tố. Giải Nếu p là hợp số thì p chia hết (p - 1)! và do đĩ chia hết cho 1, vơ lí. Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 44: Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố lẻ và k N, ta cĩ: S = 12k + 1 + 22k+1 + + (p - 1)2k+1p Giải p lẻ (p - 1) chẵn. Ta cĩ: 2k 1 2k 1 2k + 1 2k+1 2k+1 2k+1 p 1 p 1 2k 1 2S = 1 + (p - 1) + 2 + + (p - 2) + + p 1 1 22 = p[(p - 1)2k + + 1] + p[22k - 22k-1(p - 2) + + (p - 2)2k] + + 2k 2k 1 2k p 1 p 1 p 1 p 1 2k p p p 1 1 l p 2 2 2 2 Với l N 2S p Vậy p nguyên tố lẻ S p (đpcm) Bài tập 45: Chứng minh rằng a = pn + pn+1 khơng phải là số nguyên tố và cá ƣớc số nguyên tố của nĩ nhỏ hơn pn trong đĩ pn là số nguyên tố thứ n, pn > 2. Giải pn > 2 thì pn lẻ pn+1 lẻ, do đĩ a là hợp số. Ta cĩ: 2pn pn thì hoặc d = pn+1 hoặc d > pn+1. d = pn+1 thì d|pn, vơ lí Khi: d > pn+1 thì a > 2pn+1, vơ lì. Suy ra đpcm. Bài tập 46: Tìm số các ƣớc và tính tổng các ƣớc của số n = 360. Giải Ta cĩ: 360 = 23.32.5 Số các ƣớc là: 4.3.2 = 24 số Tổng các ƣớc là: 24 1 3 3 1 5 2 1 . . 15.13.6 = 1170 2 1 3 1 5 1 Biên soạn: Trần Trung Chính 32
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Đáp số: 1170. Bài tập 47: Tìm một số chia hết cho 35 và 6 ƣớc số. Giải Ta cĩ: a = 5 .7 là số phải tìm. Suy ra: ( + )( + 1) = 6 = 1,  = 2 hoặc = 2,  = 1 Do đĩ: a = 245 hoặc a = 175 Vậy cĩ 2 số thỏa mãn đề bài là 245 và 175. Bài tập 48: Tìm một số chia hết cho 105 và cĩ 30 ƣớc số. Giải Ta cĩ: A = 3 .5.7 là số phải tìm Suy ra: ( + 1)( + 1)( + 1) = 30 = 2.3.5 A cĩ thể cĩ một trong các giá trị sau: 108 075; 91 875; 108 045; 39 375; 19 845; 14 175. Vậy cĩ 6 số thỏa mãn yêu cầu của bài tốn. Bài tập 49: Cho số A = 2n.p trong đĩ n , p N và p nguyên tố. a) Viết mọi ƣớc của A, kể cả 1 và A. Tính tổng S các ƣớc. b) Tìm hệ thức giữa n và p để A = S - A c) A gọi là một số hồn chỉnh. Hãy viết 3 số hồn chỉnh nhỏ nhất. Giải a) Các ƣớc số của A = 2n.p là: 1, 2, 22, , 2n, p, 2p, , 2n.p Tổng các ƣớc: S = (A) = 1 + 2 + 22 + + 2n + p + 2p + + 2n.p = (1 + p)(2n+1 - 1) 2A A = 2n.p 2n1 p Do đĩ: 2A S = (p + 1) 1 p b) A = S - A 2A = p(p + 1) p = 2n+1 - 1 c) n = 1 A = 6 n = 2 A = 28 n = 3 A = 496 Vậy 3 số hồn chỉnh nhỏ nhất là 6; 28; 496. Bài tập 50: Tìm một số A gồm các thừa 2, 5, 7 biết rằng 5A cĩ hơn A 8 ƣớc và 8A cĩ hơn A 18 ƣớc. Giải A = 3 .5.7 T(A) = ( + 1)( + 1)( + 1) 5A = 3 .5+1.7 T(5A) = ( + 1)( + 2)( + 1) = ( + 1)( + 1)( + 1) + 8 8A = 3 +3.5+1.7 T(8A) = ( + 3)( + 2)( + 1) = ( + 1)( + 1)( + 1) + 18 1  1 8  1 8, 6   2 1 2 1  1  1 6 Do đĩ: 1 4 3  1 3  2 VIETMATHS.NET Vậy số phải tìm là A = 23.52.7 = 1 400. Bài tập 51: Tìm 2 số nguyên tố p và q sao cho tổng các ƣớc số của A = 25.pq bằng 3A. Giải 2622 1 p 1 q 1 A = 25.pq (A) = . . 63 p 1 q 1 2 1 p 1 q 1 Biên soạn: Trần Trung Chính 33
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. (A) = 3A 21( p + 1)(q + 1) = 32pq 32pq 21   pq 21 pq 21 21, 32 1 với p , q nguyên tố p3 p7 hoặc q7 q3 Vậy 2 số nguyên tố phải tìm là 3 và 7. Bài tập 52: Tìm số nhỏ nhất cĩ 9 ƣớc và 15 ƣớc. Giải Ta cĩ: 9 = 3.3 = 9.1 Số nhỏ nhất cĩ 9 ƣớc số là số nhỏ nhất trong các số: 22.32, 28 Đĩ là số 36 Tƣơng tự: 15 = 3.5 = 15.1 Số nhỏ nhất cĩ 15 ƣớc số là số 22.34 = 324. Bài tập 53: Chứng minh rằng nếu 2n+1 - 1 nguyên tố thì 2n(2n+1 - 1) là một sĩ hồn chỉnh. Giải Xem số a = 2n(2n+1 - 1), với n N. Trong đĩ p = 2n+1 - 1 là một số nguyên tố: Vì n N nên p > 2. Do đĩ a = 2n.p là dạng phân tích tiêu chuẩn của a. Ta cĩ: 2n 1 1 p 2 1 (A) = . 2n 1 1 p 1 2 n 1 2 n 1 1 2n , đpcm. 2 1 p 1 Bài tập 54: Tìm x và y để cho 2x.3y là một số hồn chỉnh. Giải 2x 1 1 3 y 1 1 (2x.3y) = . 2.2xy .3 2 x1y 3 2 x1 1 3 y1 1 2 x1y .3 2 1 3 1 Suy ra: x = 1, y = 1. Bài tập 55: Tìm số nguyên tố p sao cho 26.p hồn chỉnh. Giải (26.p) = (27 - 1)(p + 1)=27.p p = 27 - 1 p = 127 Bài tập 56: Tìm các số a biết a cĩ 2 ƣớc nguyên tố khác nhau, cĩ 6 ƣớc và tổng các ƣớc bằng 28. Giải Gọi a = p q, với p và q nguyên tố ( + 1)( + 1) = 6 = 1,  = 2 hoặc = 2,  = 1 p 11 1 q  1 . 28 p 1 q2 q 1 28 hoặc (p2 + p + 1)(q + 1) = 28 p 1 q 1 Suy ra: p = 3, q = 2 hoặc p = 2, q = 3. Do đĩ: a = 3.22 = 12 Vậy a = 12. Bài tập 57: Tìm tổng bình phƣơng các ƣớc số của 1 số. Giải Cho A = a .b l, với a, b, , l nguyên tố và , , ,  N. Các ƣớc của A là các số hạng của đa thức: (1 + a + a2 + + a )(1 + b + b2 + + b) (1 + l + l2 + + l) Suy ra tổng bình phƣơng các ƣớc của A là: (1 + a2 + a4 + + a2 )(1 + b2 + b4 + + b2) (1 + l2 + l4 + + l2) Biên soạn: Trần Trung Chính 34
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com a2 1 1 b 2  1 1l 2  1 1 = . a 1 b  1l  1 Bài tập 58: Tìm 2 số m và n cĩ 45 ƣớc số chung và m + n = 127 008 Giải Gọi D là ƣớc số chung lớn nhất của m và n. m Dm' với (m ', n') = 1 n Dn' Suy ra: D|127 008 Do đĩ: 2 .3 7 Ƣớc số chung của m và n cũng là ƣớc số của D. Suy ra ( + 1).( + 1).( + 1) = 45 Do đĩ: 2 2 4  2 v  4 v  2  4  2  2 Suy ra: D|86 436 (loại), 15876 hoặc 7056 Do đĩ: m' + n' = 8 hoặc m' + n' = 18 Suy ra: m = ? và n = ? HS tự giải. Bài tập 59: Chứng minh rằng nếu b > 3 và 10b + 1 là 2 số nguyên tố thì 5b + 1 6 Giải Ta cĩ: Nếu b nguyên tố và b > 3 nên b cĩ dạng 6k - 1, hoặc 6k + 1, k N và k 1. Nếu b = 6k - 1 thì 10b + 1 = 60k - 93, trái với giả thiết. Do đĩ b cĩ dạng 6k + 1. Ta suy ra: 5b + 1 = 30k + 66 (đpcm) Bài tập 60: Cho m và n là 2 số tự nhiên. Chứng minh rằng: A = n(2n + 1)(3n + 1) (mn + 1) Chia hết cho mọi số nguyên tố nhỏ hơn m. Giải Cho p là một số nguyên tố bất kỳ nhỏ hơn m. Ta chứng minh rằng: p|A - n(2n + 1)(3n + 1) (mn + 1) Xét dãy số gồm p số sau: 2n, 3n, , (p + 1)n Vì p < m p + 1 m Do đĩ: (p + 1)n + 1 mn + 1 Chia tất cả các số của dãy cho p: np Ap n  p (n , p) = 1 Ta đƣợc các số dƣ khác nhau vì nếu 2 số kn và hn của dãy với 2 h < k p + 1, với h, k N cĩ cùng số dƣ trong phép chia cho VIETMATHS.NETp thì (k - h)n p, vơ lí. Vì k - h < p và (p, n) = 1 Do đĩ các số dƣ theo một thứ tự nào đĩ là; 0, 1, 2, , p - 1 và nếu số qn thuộc dãy chia cho p cĩ số dƣ p - 1 thì qn + 1 p Với q p + 1 q n Do đĩ A p. Bài tập 61: Nếu am + bn nguyên tố lớn nhất của m và n khơng phải là một lũy thừa của 2. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 35
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Giả sử ƣớc số chung lớn nhất của m và n khơng phải là một lũy thừa của 2. Đặt: m = 2 .pq n = 2.pq' trong đĩ p, q, q' lẻ và ,  nguyên, khơng âm và < . Ta cĩ: am + bn = (a2 .q)p + (b2.q')p  2qp1 2qp2 2 q' 2q'p1 = (a2 .q + b2.q') a a b b Do am + bn là hợp số, trái gải thiết. Suy ra đpcm. Bài tập 62: Cho n N và n 2. Gọi p1, p2, , pn là các số nguyên tố nhỏ hơn hay bằng n + 1. Gọi p = p1.p2 pn. Chứng minh rằng dãy số p + 2, p + 3, , p + (n + 1) khơng chứa số nguyên tố nào. Giải Xem số a = p + q thuộc dãy số đã cho với q N và 2 q n + 1 Suy ra: q < p Nếu q là số nguyên tố thì q chính là một trong các số nguyên tố đã cho p1, p2, , pn. Do đĩ: q|p Suy ra: q|a Nếu q là hợp số thì q phân tích đƣợc thành tích các thừa số nguyên tố nhỏ hơn n + 1. Do đĩ: q|p Suy ra: q|a Vậy a là một hợp số. Do đĩ tất cả các số hạng của dãy: p + 2, p + 3, , p + (n + 1) đều là hợp số. Suy ra đpcm. Bài tập 63: Chứng minh rằng: a) Nếu p và 8p - 1 là 2 số nguyên tố thì 8p + 1 khơng nguyên tố. b) Nếu p và 8p2 + 1 là 2 số nguyên tố thì 8p2 - 1 là số nguyên tố. Giải a) Sơ tự nhiên p cĩ một trong các dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2, với k N. Nếu p = 3k + 2 thì 8p - 1 là hợp số, trái giả thiết: Do đĩ chỉ cĩ thể dạng 3k hoặc 3k + 1 p = 3k, p nguyên tố p = 3, 8p - 1 = 23 nguyên tố 8p + q hợp số. P = 3k + 1 8p + 1 = 3p, hợp số b) Nếu p = 3k 1, k N thì p2 = 3t + 1, t N. Suy ra 8p2 + 1 = 3l + 9, l N, hợp số. Trái giả thiết. Do đĩ: p = 3k mà p nguyên tố nên p = 3. Suy ra: 8p2 + 1 = 73, nguyên tố 8p2 - 1 = 71, nguyên tố. Bài tập 64: Chứng minh rằng nếu p, q, r là 3 số nguyên tố lớn hơn hay bằng 5 thì p2 + q2 + r2 là hợp số. Giải p nguyên tố lớn hơn hay bằng 5 nên p cĩ dạng 6k - 1 hoặc 6k + 1, k N và k 1. Suy ra: p2 = 6t + 1, t N và t 1 Tƣơng tự: q2 = 6s + 1, s N và s 1 r2 = 6l + 1, l N và l 1 Do đĩ: p2 + q2 + r2 = 6n + 3, n N và n 1. Biên soạn: Trần Trung Chính 36
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Suy ra đpcm. Bài tập 65: Cho bốn số tự nhiên a, b, c, d khác 0 sao cho tổng bình phƣơng của hai số này bằng tổng bình phƣơng hai số kia. Chứng minh rằng tổng của bốn số đã cho là một hợp số. Giải Giả sử a2 + b2 = c2 + d2, với a, b, c, d N* Suy ra: (a2 + b2 + c2 + d2) là một số chẵn. (*) Mặt khác, ta cĩ: a(a + 1) + b(b + 1) + c(c + 1) + d(d + 1) là một số chẵn Suy ra: (a2 + b2 + c2 + d2) + (a + b + c + d) chẵn. ( ) Từ (*) và ( ), ta cĩ: (a + b + c + d) chẵn. a, b, c, d N* a + b + c + d 4 Do đĩ, ta cĩ; (a + b + c + d) là một hợp số. Vậy a + b + c + d là hợp số. Bài tập 66: Chứng mình rằng nếu a và b nguyên tố cùng nhau, a2 - b2 là một số chính phƣơng nếu và chỉ nếu (a + b) và (a - b) là những số chính phƣơng hoặc gấp đơi số chính phƣơng. Giải Ta cĩ: a2 - b2 = (a + b)(a - b) Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì a + b và a - b nguyên tố cùng nhau khi a + b và a - b cùng lẻ và cĩ ƣớc số chung lớn nhất bằng 2 khi a + b và a - b cùng chẵn. Giả sử a2 - b2 = k2, k N. Suy ra: (a + b)(a - b) = k2 Nếu k lẻ thì bao giờ cũng phân tích đƣợc. k = (2n +1)(2m + 1), với m, n N Do đĩ (a + b) và (a - b) đều là những số chính phƣơng và ngƣợc lại. Nếu k chẵn thì k = 2tt', với t, t' N và t > t' k2 = 4t2t'2 Ta cĩ: (a + b)(a - b) = 4t2t'2 a b 2t2 2 a b 2t' Bài tập 67: Cho 7 số nguyên tố phân biệt a, b, c, a + b + c, a + b - c, c + a - b, b + c - a, biết hai trong ba số a, b, c cĩ tổng bằng 800. Gọi d là hiệu số giữa hai số nguyên tố lớn nhất và nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố đã cho. Hãy tìm giá trị lớn nhất cĩ thể cĩ của d. Giải Giả sử ta cĩ: a + b = 800 và a < b Nếu c 800 thì a + b - c 0 vơ lí c < 800 Số nguyên tố lớn nhất trong 7 số nguyên tố đã cho dĩ nhiên là số a + b + c. Ta cĩ: a + b + c < 1600 a + b + c 1597 Từ đề bài, ta suy ra 7 số nguyên tố đã cho là 7 số nguyên tố lẻ. Ta suy ra số nguyên tố nhỏ nhất cĩ thể là 3. Ta cĩ: d 1597 - 1 = 1594 Chọn a = 13, b = 787, c = 797, ta cĩ: a + b + c = 1597 a + b - c = 3 b + c - a = 1571 VIETMATHS.NET c + a - b = 23 đều là số nguyên tố. Giá trị lớn nhất cĩ thể cĩ của d là d = 1594. Bài tập 68: Các cạnh của một tam giác vuơng cĩ độ dài là các số tự nhiên. Hai trong các số đĩ là các số nguyên tố và hiệu của chúng là 50. Hãy tính giá trị nhỏ nhất cĩ thể cĩ đƣợc của cạnh thứ ba. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 37
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác vuơng đã cho. Ta cĩ: a2 = b2 + c2, với a, b, c N* Ta suy ra: Trong hai số a và c cĩ một số chẵn. b và c khơng thể đồng thời là một số nguyên tố. Do đĩ cạnh huyền a phải là một số nguyên tố. Ta cĩ thể giả sử b là một số nguyên tố c là một số chẵn. Ta cĩ: a - b = 50 a = b + 50 c2 = a2 - b2 = (a + b)(a - b) = 100(b + 25) b + 25 là một số chính phƣơng. c nhỏ nhất khi b + 25 là số chính phƣơng nhỏ nhất. b = 11 min c = 60. Vậy cạnh thứ ba cĩ độ dài nhỏ nhất là 60. Bài tập 69: Tìm một số tự nhiên gồm 9 chữ số, cĩ dạng ABA , B gồm 3 chữ số, thỏa các điều kiện sau: (1) B = 2A. (2) bằng bình phƣơng đúng của tích bốn số nguyên tố khác nhau. Giải Ta cĩ: n = = A.106 + B.103 + A = A.106 + 2A.103 + A = A(106 + 2.103 + 1) = A(103 + 1)2 = (7.11.13)2.A Từ đề bài ta suy ra A là bình phƣơng đúng của một số nguyên tố A = p2, với p 7, 11, 13 Ta cĩ: B < 1000 100 A < 500 100 p2 < 500 10 p 22 p là một số nguyên tố khác 11, 13 nên ta cĩ: p = 17 v p = 19. Vậy cĩ hai số thỏa yêu cầu của bài tốn: 2 n1 = (7.11.13.17) = 289 578 289 2 n2 = (7.11.13.19) = 361 722 361 Bài tập 70: Cho số nguyên tố p thỏa: 1 1 1 p a b Với a, b là hai số tự nhiên khác 0. Tìm tất cả các số nguyên tố p để a hoặc b là một số chính phƣơng. Giải 1 1 1 Ta cĩ: p(a + b) = ab p a b Suy ra: abp, với p nguyên tố ap v bp Giả sử: ap a = pc p(pc + b) = bc pc + b = bc Pc = b(c - 1) Suy ra: pc(c - 1) p(c - 1) p là một số nguyên tố. Do đĩ, ta cĩ: c - 1 = 1v c - 1 = p c = 2 v c = p + 1 Với c = 2, ta cĩ: b = 2p = a. A hoặc b chính phƣơng khi và chỉ khi (2p) là một số chính phƣơng. Ta suy ra: p = 2 a = b = 4. Biên soạn: Trần Trung Chính 38
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Trƣờng hợp c = p + 1, ta cĩ: b p 1 a p p 1 a khơng phải là một số chính phƣơng. b chính phƣơng: b = k2, k N*. Ta cĩ: p = k2 - 1 = (k + 1)(k - 1) k N* k + 1, k - 1 N và k + 1 > k - 1. Do đĩ, ta cĩ: k 1 p p 3, (thỏa mãn) k 1 1 Vậy số nguyên tố phải tìm là p = 2 v p = 3. Bài tập 71: Tìm các số nguyên tố p sao cho: 1 1 1 p ab22 Với a, b là các số tự nhiên khác 0. Giải Xem phƣơng trình: Với a, b N* và p nguyên tố. 1 1 1 a2 b 2 p a 2 b 2 22 p ab Suy ra: a2b2p, p nguyên tố. ab p a p v b p (*) a2b2 p2 a2 + b2 p ( ) Từ (*) và ( ), suy ra: a p  b p Suy ra: 11 p22 a pa22 11 p22 b pb22 2 1 1 1 p2 p2 a 2 b 2 p p là một số nguyên tố. Do đĩ p = 2. Vậy p = 2. Bài tập 72: Cho a, b, , n là những số tự nhiên đơi một khác nhau và các ƣớc số nguyên tố của chúng khơng lớn hơn 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a b n Giải VIETMATHS.NET 1 1 1 Theo đề bài, các số hạng: , , , a b n 1 đều cĩ dạng , với k, m N. 23km Giả sử: t = max(k, m) các số hạng của tổng S chứa trong khai triển của tích: Biên soạn: Trần Trung Chính 39
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. 1 1 1 1 1 1 2323tt 1 1 1 1 1 1t 2t1 33t1 1 S . 2 . 3 11 2t 2 11 23 Vậy S < 3. 3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Tìm số nguyên tố p sao cho: a) 4p +1 là số chính phƣơng. b) 2p2 +1 cũng là số nguyên tố. c) 4p2+ 1 và 6p2 + 1 cũng là số nguyên tố. Bài tập 2: Cho 4 số tự nhiên thỏa tính chất: Bình phƣơng của tổng hai số bất kỳ chia hết cho tích hai số cịn lại. Chứng minh rằng cĩ ít nhất ba trong bốn số đĩ phải bằng nhau. Bài tập 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 và n+15 đều là số nguyên tố. Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu p và 8p2 + 1 lẻ là số nguyên tố thì 8p2 + 2p + 1 là số nguyên tố Bài tập 5: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 11 cĩ đúng 6 ƣớc số nguyên dƣơng. Bài tập 6: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho hệ phƣơng trình p + 1 2x2, p2 + 1 = 2y2. Cĩ nghiệm nguyên. a a22 b Bài tập 7: Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a c thỏa mãn . c cb22 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 khơng thể là số nguyên tố. Bài tập 8: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p2 + 1 là số nguyên tố. Bài tập 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ để n, n + 10, n + 14 là số nguyên tố. Bài tập 10: Tìm tất cả các số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố. Bài tập 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n luơn tồn tại n số tự nhiên liên tiếp khơng là số nguyên tố. Bài tập 12: Chứng minh rằng khơng tơng tại n để 6n + 5 biểu diễn dƣới dạng tổng của 2 số nguyên tố. Biên soạn: Trần Trung Chính 40
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com CHỦ ĐỀ 3 TÌM NGHIỆM NGUYÊN 1. Kiến thức cơ bản: Phương pháp 1: Phương pháp đưa về dạng tổng. Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc dùng với những phƣơng trình cĩ các biểu thức chứa ẩn đƣợc viết dƣới dạng tổng các bình phƣơng. Biến đổi hai vế của phƣơng trình về dạng: Vế trái là tổng các bình phƣơng của các biểu thức chứa ẩn, vế phải là tổng các bình phƣơng của các số. Sau đĩ cho bằng nhau về số hạng. 2 2 2 222 A x,y, B x,y, C x,y, m n p Với m, n, p Z. Giải hệ tƣơng ứng: 22 2 22 2 Ax,y, m Ax,y, n Ax,y, p 22 2 Bx,y, n22 Bx,y, m B x,y, n2 22 2 22 2 Cx,y, p Cx,y, p C x,y, m Ví dụ: Tìm x, y Z thỏa mãn phƣơng trình sau: 5x2 - 4xy + y2 = 169 Giải Ta thấy: 5x2 - 4xy + y2 = 169 = 144 + 25 + 0 2 2 2x y x 144 25 1 2 2 2x y x 169 0 2 Từ phƣơng trình (1), ta cĩ: 2 2 2x y 12 22 x5 2 2x y 52 22 x 12 HS tự giải. Từ phƣơng trình (2), ta cĩ: 2 2 2x y 16 2 x0 2 2x y 0 22 x 16 HS tự giải. VIETMATHS.NET Phương pháp 2: Phương pháp đưa về dạng tích. Phƣơng pháp này đƣợc áp dụng với các phƣơng trình cĩ các biểu thức chứa ẩn phân tích đƣợc thành nhân tử. Biến đổi một vế thành tích của các biểu thức chứa ẩn, một vế là tích của các số nguyên. (lƣu ý với trƣờng hợp số nguyên tố). A x,y, . B x,y, . C x,y, m.n.p Biên soạn: Trần Trung Chính 41
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Với m, n, p Z. Giải hệ tƣơng ứng: Ax,y, m Ax,y, n Ax,y, p Bx,y, n Bx,y, m Bx,y,. n Cx,y, p Cx,y, p C x,y, m Ví dụ: Tìm x, y Z thỏa mãn phƣơng trình: x3 - y3 = 91. Giải Ta cĩ: x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2) = 91.1 = 13.7 (vì x2 + xy + y2 > 0). x y 1 22 x xy y 91 x y 91 22 22 x xy y 1 x y x xy y 91.1 13.7 x y 13 22 x xy y 7 x y 7 22 x xy y 13 Giải hệ trên, ta đƣợc nghiệm của phƣơng trình đã cho. Phương pháp 3: Phương pháp cực hạn (tính chất đối xứng của các ẩn). Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc sử dụng với các phƣơng trình đối xứng. Cách giải: Vì phƣơng trình đối xứng nên x, y, z cĩ vai trị bình đẳng nhƣ nhau. Do đĩ ta giả thiết: x y z. Tìm điều kiện của các nghiệm. Loại trừ dần các ẩn để cĩ nghiệm đơn giản. Giải phƣơng trình, dùng phép hốn vị để suy ra nghiệm của phƣơng tình đã cho . Ta thƣờng giả thiết: 1 x y z Ví dụ: Tìm x, y, z Z+ thỏa mãn phƣơng trình: x + y + z = xyz. (1) Giải Giả sử 1 x y z. Khi đĩ: (1) xyz = x + y + z 3z xy 3. (Vì x, y, z Z+) nên xy {1; 2; 3}. Nếu xy = 1 thì x = y = 1 2 + z = z (vơ lí) Nếu xy = 2 thì x = 1; y = 2; z = 3. Nếu xy = 3 thì x = 1; y = 3 z = 2 < y (vơ lý) Vậy các giá trị (x, y, z) cần tìm là hốn vị của (1, 2, 3). Phương pháp 4: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết. Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc sử dụng với các phƣơng trình cĩ dạng phân thức mà tử là một số nguyên. Thơng thƣờng đề bài hay ra ở dạng này là "iìm các giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá trị nguyên". Áp dụng tính chất chia hết để tìm tập giá trị của biểu thức dƣới mẫu. xx2 Ví dụ: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức: A nhận giá trị nguyên. x2 x 1 Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 42
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com x22 x x x 1 1 1 Ta cĩ: A1 . x2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 Khi đĩ: Để A nhận giá trị nguyên thì 1 x2 x 1 Do đĩ: x2 x 1 = 1 và = -1 Giải 2 phƣơng trình trên ta cĩ đƣợc giá trị x cần tìm. Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc sử dụng đối với phƣơng trình mà hai vế là những đa thức cĩ tính chất biến thiên khác nhau. Thơng thƣờng áp dụng 3 bất đẳng thức thƣờng gặp: (1) Bất đẳng thức Cauchy (Cơsi): (2) Bất đẳng thức Bunhiacovski (Bunhiacơpxki): (3) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Tìm các giá trị x, y Z+ thỏa mãn phƣơng trình: xy yz zx 3 z x y Giải (Ta cĩ thể dùng phƣơng pháp 3) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dƣơng ta cĩ: xy yz zx xy yz zx 3 33 . . 33 xyz z x y z x y Hay 3 xyz 1 x = y = z = 1. Vậy phƣơng trình cĩ nghiệm nguyên là (x, y, z) = (1, 1, 1). Phương pháp 6: Phương pháp lựa chọn. Phƣơng pháp này ta chỉ áp dụng đƣợc với các phƣơng trình cho ta nhẩm đƣợc một vài giá trị nghiệm. Trên cơ sở những giá trị nghiệm đã biết, áp dụng tính chất nhƣ chia hết, số dƣ, số chính phƣơng, số tận cùng, ta chứng tỏ rằng với các giá trị khác thì phƣơng trình vơ nghiệm. Ví dụ: Tìm x, y Z+ thỏa mãn phƣơng trình: x6 + 3x2 + 1 = y4. Giải Ta thấy x = 0 và y = 1, y = -1 thì phƣơng trình đã cho cĩ nghiệm đúng. Với x > 0 ta cĩ: x6 + 2x2 + 1 < x6 + 3x2 + 1 < x6 + 4x2 + 1 < x6 + 4x2 + 4 = (x3 + 2)2 (x3 + 1)2 < y4 < (x3 + 2)2. Vì (x3 + 1) và (x3 + 2) là hai số nguyên liên tiếp nên khơng cĩ số nguyên nào thỏa mãn. Vậy x = 0, y = 1 và y = -1 là nghiệm nguyên của phƣơng trình. Phương pháp 7: Phương pháp lùi vơ hạn. Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc sử dụng với các phƣơng trình cĩ (n - 1) ẩn, mà hệ số cĩ ƣớc chung khác 1. VIETMATHS.NET Dựa vào tính chất chia hết, ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm hạ (giảm bớt) hằng số tự do, để cĩ đƣợc phƣơng trình đơn giản hơn. Sử dụng linh hoạt các phƣơng pháp để giải phƣơng trình đĩ. Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: x3 - 3y3 - 9z3 = 0. Giải Nhận thấy x3 = 3(y3 + 3z3) nên x33 x 3 (vì 3 là số nguyên tố). Đặt: x = 3x1. Khi đĩ: Biên soạn: Trần Trung Chính 43
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. 0 = 3 3 3 3 3 3 3 nên 3 3 3 3. 27x11 3y 9z 3 9x y 3z  9x1 y 3z Suy ra: y3 3 y 3. Tƣơng tự nhƣ trên thì z 3. Tiếp tục sự biểu diễn trên và gọi x0, y0, z0 là nghiệm của (1) thì 3 U x0 ,y 0 ,z 0 Và 0 x0 y0 z0 9. Thực hiện thử, ta chọn đƣợc x0 = y0 = z0 = 0 thỏa mãn là nghiệm của phƣơng trình đã cho. Phương pháp 8: Phương pháp sử dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình bậc hai. Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc áp dụng với các phƣơng trình f(x, y) = 0, trong đĩ f(x, y) là các đa thức bậc hai. Ta biến đổi phƣơng trình về dạng phƣơng trình bậc hai, (một ẩn là ẩn của phƣơng trình, một ẩn là tham số). Biện luận theo điều kiện nghiệm của phƣơng trình bậc hai. Lƣu ý: Nên chọn ẩn số cĩ hệ số bằng 1. Ví dụ: Tìm x, y, z Z thỏa mãn phƣơng trình sau: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 Giải Ta cĩ: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = y2 + 2(2x + 1)y + 3x2 + 4x + 5 = 0. 2 Khi đĩ: ' = x - 4, ( ' 0) y1,2 2x 1 ' Do y nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên nên ' phải là số nguyên. ' x22 4 n , n N x 2 Áp dụng phƣơng pháp 2 (đƣa về dạng tích). Với x = - 2 y = - 5. Với x = 2 y = 3. Vậy các giá trị (x, y) thỏa mãn là (-2, -5) và (2, 3). Chú ý: Nếu a và c cĩ ƣớc chung lớn nhất là d: ƢCLN(a,c)= d thì đặt y = d.m. Nếu b và c cĩ ƣớc chung lớn nhất là d': ƢCLN(b,c)= d' thì đặt x = d'.t. 2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 3xy + x - y = 1. Giải 3xy + x - y = 1. (3y + 1)(3x - 1) = 2, (phƣơng trình ƣớc số) Vì x, y là các số nguyên nên 3x - 1, 3y + 1 là các số nguyên và là ƣớc của 2. Ta cĩ bảng sau: 3x - 1 -1 1 -2 2 3y + 1 -2 2 -2 1 x 0 / / 1 y -1 / / 0 Vậy nghiệm nguyên của phƣơng trình là : (0 ; -1), (1 ; 0). Bài tập 2: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: x + y = 2 Giải Đặt: x = t y = 2 - t Suy ra họ nghiệm nguyên là x t t Z y 2 t Bài tập 3: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 3x + 5y = 3 Biên soạn: Trần Trung Chính 44
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Giải Ta cĩ: 3x + 5y = 3 (3x + y) + 2y = 3 Đặt: t1 = x + y, (t Z) 3t1 + 2y = 3 2(t1 + y) + t1 = 3 Đặt: t2 = t1+ y, (t2 Z) 2t2 + t1 = 3 t1 = 3 - 2t2 y = t2 - t1 = 3t2 - 3 và x = t1 - y = t2 - 2(3t2 - 3) = 6- 5t2 Suy ra họ nghiệm nguyên cảu phƣơng trình là x 6 5t 2 t 2 Z y 3t 2 3 Bài tập 4: Cho phƣơng trình: x - 3y = 4 Tìm giá trị x nguyên dƣơng và y nguyên âm thoả mãn phƣơng trình. Giải Ta cĩ: x - 3y = 5 Đặt: y = t, (t Z) x = 4 - 3t x 0 t 0 4 để t 0 t 1 y 0 4 3t 0 3 x 1 Suy ra phƣơng trình cĩ nghiệm: y 1 Bài tập 5: Cho phƣơng trình: 2x + 3y = 4 Tìm giá trị x, y nguyên của phƣơng trình thoả mãn 0 x > y -3. Giải Ta cĩ: 2x + 3y = 4 Phƣơng trình cĩ họ nghiệm x 3t 4 y 4 2t để 5 > x > y - 3 x 3t 4 5 t 3VIETMATHS.NET t 2 3t 4 4 2t 3 t 1 x 2 Suy ra phƣơng trình cĩ nghiệm y 0 Bài tập 7: Cho phƣơng trình: x - y = 3 Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình thoả mãn x - 3. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 45
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Phƣơng trình cĩ họ nghiệm x t t Z y 3 t Để x - 3 t 2 0 t 2 t 1 t 0 x 1 Suy ra phƣơng trình cĩ nghiệm y 2 Bài tập 8: Cho phƣơng trình: mx + my = 1 Tìm giá trị m để phƣơng trình cĩ nghiệm nguyên (x, y). Giải Điều kiện cần: m phải là ƣớc của 1 Suy ra: m =1 và m = -1 Điều kiện đủ: với m = 1 và m = -1, ta cĩ: x + y = 1 và x + y = 2. Hai phƣơng trình này luơn luơn cĩ họ nghiệm nguyên. Bài tập 9: Cho phƣơng trình mx + 2 = m Tìm giá trị m nguyên (m 1) để x là số nguyên. Giải Đặt: m = t, (t Z) m - 2 = kt, (k Z) 2 t = 1 k Vì m 1 t 1 k -1 1 k 2 Mà (vì 1 - k là ƣớc của 2 1 k 1 k = {-1, 0, 2, 3} Suy ra: k = -1 thoả mãn m = 1 x = -1 Bài tập 10: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: mx + m = 1 Giải 1 Ta cĩ: m = x 1 Suy ra: x + 1 phải là ƣớc của 1 x = {0, -2} Bài tập 11: Cho phƣơng trình: x + y = 6 Tìm nghiệm nguyên thoả mãn 0 < x - y < 2 Giải Phƣơng trình cĩ họ nghiệm x t t Z y 6 t để 0 < x - y < 2 0 < 2t - 6< 2 3 < t < 4 Suy ra khơng tồn tại t. Bài tập12: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: x + 3y = 11 Giải Phƣơng trình cĩ họ nghiệm nguyên là Biên soạn: Trần Trung Chính 46
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com x 11 3t ( t Z) y t Bài tập 13: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 2x - 3y = 6 Giải Phƣơng trình cĩ họ nghiệm nguyên là x =13-3t (t Z) y = 6 - 2t 1 Bài tập 14: Cho phƣơng trình: x + 100y = m 1 Tìm giá trị m để phƣơng trình cĩ nghiệm nguyên (x, y). Giải Nhận thấy m + 1 phải là ƣớc của 1 m 1 1 m 0 m 1 1 m 2 Xét m = 0 Phƣơng trình viết lại là: x + 100y = 1 x 1 100t Phƣơng trình này luơn luơn cĩ họ nghiệm nguyên (t Z) y t Xét m = 2, phƣơng trình viết lại là: x + 100y = -1 x 1 100t Phƣơng trình này luơn luơn cĩ họ nghiệm nguyên (t Z) y t Suy ra phƣơng trình luơn luơn thoả mãn với m = 0 và m = 2 Bài tập 15: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 4x - 2y = 7 Giải Phƣơng trình cĩ họ nghiệm nguyên x = 7 - k (k Z) y =14 - 2k Bài tập 16: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 7x + 8y = 100 Giải (HS tự giải). Bài tập 17: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: x - 21000y = 0 Giải Ta cĩ: x - 21000y = 0 x = 21000y Phƣơng trình luơn luơn cĩ vơ số nghiệm nguyên x y Bài tập 18: Cho phƣơng trình: 0 m 1 m 1 Tìm giá trị m để phƣơng trình để phƣơng trình cĩ nghiệm nguyên (x, y). Giải Điều kiện cần: Nhận thấy m phải là ƣớc của 1 và m + 1 phải là ƣớc của 1. Suy ra: m = 0 Điều kiện đủ: Với m = 0. ta cĩ: y = x phƣơng trình này luơn luơn cĩ nghiệm nguyên. 2VIETMATHS.NETx 3y Bài tập 19: Cho phƣơng trình: 0 m m 1 Tìm giá trị m để phƣơng trình cĩ nghiệm nguyên (x , y). Giải Điều kiện cần: Ta cĩ: m phải là ƣớc của 2. m ={-2, -1, 1, 2} và m - 1 phải là ƣớc của 3. m = {4, -2, 0, 2} Biên soạn: Trần Trung Chính 47
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Suy ra: m = {-2, 2} Điều kiện đủ: Với m = -2, ta cĩ: x + y = 0 luơn luơn cĩ nghiệm nguyên. Với m = 2, ta cĩ: x + y = 0 luơn luơn cĩ nghiệm nguyên. 2x 3y Bài tập 20: Cho phƣơng trình: 5 4 m 2 m Tìm giá trị m để phƣơng trình cĩ nghiệm nguyên (x, y). Giải Điều kiện cần: Phƣơng trình cĩ nghiệm nguyên thì 4 - m phải là ƣớc của 2 m = {2, 3, 5, 6} và 2 - m phải là ƣớc của 3. m = {-1, 1, 3, 5} Suy ra giá trị m thoả mãn: m = {3, 5} Điều kiện đủ: Xét m = 5. Phƣơng trình viết lại là: 2x + 3y = 5 x 5 3t (t Z) y 5 2t Vậy m = 3 thoả mãn. Xét m = 5 Phƣơng trình viết lại là x k (k Z) y 5 2k Vậy m = 5 thoả mãn. Bài tập 21: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 2x - 111y = 114. Giải Phƣơng trình cĩ họ nghiệm nguyên là x 57 111t (t Z) y 2t Bài tập 22: Cho đƣờng thẳng D cĩ phƣơng trình: 5x + 7y - 50 = 0. a) Tìm tất cả các "điểm nguyên" của D. b) Tìm tất cả các điểm của D cĩ tọa độ là các số nguyên dƣơng. ("Điểm nguyên" là điểm cĩ các tọa độ nguyên) Giải a) Xem phƣơng trình: 5x + 7y - 50 = 0 (1) Ta cĩ: (1) 5x + 7y = 50 (2) Từ (2) 7y5 (5, 7) = 1 y5 y = 5t, (t Z) 5x + 35t = 50 x = 10 - 7t Vậy tập hợp các "điểm nguyên" của D là những điểm cĩ tọa độ là: x 10 7t với t Z. y 5t b) x và y nguyên dƣơng. Ta cĩ: 10 10 7t 0 t 7 với tZ 5t 0 t0 Biên soạn: Trần Trung Chính 48
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com 10 0 t , t Z 7 t1 Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 23: Cĩ 37 cây táo cĩ số trái bằng nhau, 17 trái hỏng, cịn lại chia đều cho 79 ngƣời. Hỏi mỗi cây cĩ ít nhất mấy trái. Giải Gọi a là số trái của mỗi cây táo và b là số trái táo của mỗi ngƣời. Ta cĩ phƣơng trình: 37a - 17 = 79b (1) Với a, b Z+. Ta cĩ: 79b 17 5b 17 1 a 2b 37 37 5b 17 2 c 1 a, b Z+ c Z b 7c 3 37 5 b, c Z+ 2(c - 1)  5 c = 5d + 1, d N Do đĩ, ta cĩ: a = 79d + 9 b = 37d + 4 a, b > 0 d 0 a 9 a đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi d = 0. Vậy số trái ít nhất của mỗi cây táo là 9 trái. Bài tập 24: Tìm số nguyên dƣơng nhỏ nhất chia cho 1000 dƣ 1 và chia cho 761 dƣ 8. Giải Gọi a là số cần tìm, a Z+. Theo giả thiết, ta cĩ: a = 1000x + 1 = 761y + 8, với x, y Z+. 1000x - 761y = 7 x = 847 -761t y =1113-1000t Với tZ , x > 0, y > 0 t 1. Ta cĩ: x + y = 1960 - 1761t (x + y) nhỏ nhất khi t lớn nhất. t = 1. Do đĩ: x = 86, y = 113. Vậy số nguyên dƣơng nhỏ nhất phải tìm là a = 86 001. Bài tập 25: Phân 100 ổ bánh mì cho 100 ngƣời. Thanh niên mỗi ngƣời 10 ổ, ơng già mỗi ngƣời 5 ổ, bà già mỗi ngƣời 2 ổ, trẻ con cứ 2 cháu một ổ. Hỏi cĩ mấy thanh niên, mấy ơng già, bà giá, trẻ con? Giải Gọi x, y, z, t theo thứ tự là số thành niên, ơn già, bà già, trẻ con đã đƣợc phân phối bánh mì. Với z, y, z, t Z+. Ta cĩ hệ phƣơng trình: VIETMATHS.NET Biên soạn: Trần Trung Chính 49
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. x y z t 1000 t 10x 5y 2z 100 2 x y z t 100 20x 10y 4z t 200 19x 9y 3z 100 x1 z 33 6x 3y 3 x1 u Z x 3u 1 3 z 33 63u 1 3y u 27 19u 3y Chọn y = v, v Z+, ta cĩ: z = 27 - 19u - 3v. z = 100 - x - y - z = 100 - (3u + 1) - v - (27 - 19u - 3v) t = 72 + 16u + 2v. Ta phải cĩ: x > 0, y > 0 u 0, v > 0 Ta lại cĩ: z > 0 27 - 19u - 3v > 0. 19u + 3v < 27 (*) u 0 u 1 *  v 9 v 2 (i) Với u = 0 x = 1 y = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 z = 24; 21; 18; 15; 12; 9; 6; 3 t = 74; 76; 78; 80; 82; 84; 86; 88 (ii) Với u = 1 x = 4. y = 1; 2 z = 5; 2 t = 90; 92 Cĩ tất cả 10 lời giải. (x, y, z, t) = (1, 1, 24, 74); (1, 2, 21, 76); (1, 3, 18, 78); (1, 4, 15, 80); (1, 5, 12, 82); (1, 6, 9, 78); (1, 8, 3, 88); (4, 1, 5, 90); (4, 2, 2, 92). Bài tập 26: Cho đƣờng thẳng (d) cĩ phƣơng trình: 5x + 7y = 11. a) Tìm trên (d) tất cả các điểm cĩ tọa độ là cặp số nguyên. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 5|m| - 3|n| Cho biết m Z, n Z và 5m + 7n = 11. (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đơn Nha Trang, vịng 2 năm học 2004 - 2005) Giải a) Xem phƣơng trình: 5x + 7y = 11, với x, y Z. Ta cĩ: 5x = 11 - 7y = (10 - 5y) + 1 - 2y 2y 1 x = 2 - y - 5 x và y nguyên = t, (với t là số nguyên). t1 2y = 5t + 1 y = 2t + 2 y và t nguyên = k nguyên. t = 2k - 1. Do đĩ, ta cĩ: x = - 7k + 5 và y = 5k - 2. Biên soạn: Trần Trung Chính 50
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Vậy Những điểm thuộc (d) phải tìm cĩ tọa độ là: x 7k 5 với kZ y 5k 2 b) Ta cĩ: m , n Z và 5m + 7n = 11 Theo câu (a), ta cĩ: m 7k 5 , n 5k 2 P = 5|m| - 3|n| = 5|-7k + 5| - 3|5k - 2| Xét k 0: Ta cĩ: P = 5(-7k + 5) - 3(2 - 5k) = 19 - 20k P 19. Dấu "=" xảy ra k = 0. Xét k 1: Dấu "=" xảy ra k = 1. Vậy, min P = 1 khi m = - 2, n = 3. Bài tập 27: Tìm tất cả các nghiệm dƣơng của phƣơng trình: ax = a + 10x Giải Ta cĩ: ax = a + 10x (1) (a - 10)x = a a Với a - 10 0 a 10. Phƣơng trình cĩ nghiệm duy nhất là: x . a 10 10 Ta cĩ thể viết x1 . a 10 10 x là số nguyên dƣơng khi và chỉ khi là một số tự nhiên. a 10 Do đĩ, ta cĩ: a - 10|10 a - 10 = 1, 2, 5, 10 a = 11, 12, 15, 20. Do đĩ ta cĩ nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình: ax = a + 10x là x = 11, 6, 3, 2. Các giá trị tƣơng ứng của a là a = 11, 12, 15, 20. Bài tập 28: Tìm các cặp số nguyên dƣơng (x, y) thỏa phƣơng trình: 6x2 + 5y2 = 74. Giải Ta cĩ: 6x2 + 5y2 = 74 (1) 6(x2 - 4) = 5(10 - y2) (2) Từ (2) 6(x2 - 4) 5 (6, 5) = 1 x2 - 45 x2 = 5t + 4, t N. Thay x2 - 4 = 5t vào (2), ta cĩ: y2 = 10 - 6t 4 t 2 2 5t 4 0 5 45 x > 0, y > 0 VIETMATHS.NET t , t N 10t 6 0 5 53 t 3 t = 0 v t = 1. Với t = 0: Khơng thỏa mãn yêu cầu bài tốn. x2 9 x 3 Với t = 1, ta cĩ: 2 y4 y2 Biên soạn: Trần Trung Chính 51
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. Vì x, y Z+ x = 3, y = 2. Cặp số nguyên dƣơng (x, y) phải tìm là (x, y) = (3, 2). Bài tập 29: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình: xy2 + 2xy - 243y + x = 0 Giải Ta cĩ: xy2 + 2xy - 243y + x = 0 x(y + 1)2 = 243y 243y Vì y + 1 0 nên ta cĩ: x 2 y1 (y, y + 1) = 1. Do đĩ muốn cho x nguyên thì: (y + 1)2|243 = 35 (y + 1)2 = 32 v (y + 1)2 = 34 (y + 1)2 = 32 y = 2, x = 54. (y + 1)2 = 34 y = 8, x = 24. Vậy nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình là: (x, y) = 54, 2); (24, 8). Bài tập 30: Hãy dựng một tam giác vuơng cĩ số đo 3 cạnh a, b, c là những số nguyên và cĩ một cạnh đo đƣợc 7 đơn vị. Giải Giả sử cạnh đo đƣợc 7 đơn vị là cạnh huyền: a = 7 b2 + c2 = 49 (1) Từ (1) b2 + c27 (2) 7 là số nguyên tố cĩ dạng 4k + 3, do đĩ: (2) b 7  c 7 (3) Nhƣng 0 b a + b > a - b > 0. Do đĩ, ta cĩ: a b 49 a 25 a b 1 b 24 Tam giác vuơng phải dựng cĩ số đo ba cạnh là 25, 24, 7. Bài tập 31: Tìm nghiệm nguyên tố của phƣơng trình: x2 - 2y2 = 1 Giải Ta cĩ: x2 - 2y2 = 1 x2 - 1 = 2y2 (x + 1)(x - 1) = 2y2 (x + 1)(x - 1) 2 (*) x + 1 và x - 1 cùng tính chất chẵn, lẻ, do đĩ: (*) x + 1 2 x - 1 2 2y2 4 y2 2 Mà 2 nguyên tố y 2. y lại là số nguyên tố y = 2. Từ (1) x = 3. Biên soạn: Trần Trung Chính 52
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com x = 3 Vậy nghiệm của (1) là . y = 2 Bài tập 32: Tìm tất cả cặp số nguyên dƣơng (x, y) thỏa phƣơng trình: x2 + x + 13 = y2. Giải Ta cĩ: x2 + x + 13 = y2 4x2 + 4x + 52 = 4y2 4y2 - (2x + 1)2 = 51 (2y + 2x + 1)(2y - 2x - 1) = 51. Ta cĩ: 2y + 2x + 1 và 2y - 2x - 1 nguyên dƣơng lẻ và 2y + 2x + 1 > 2y - 2x - 1. Do đĩ, ta cĩ các khả năng sau: 2y 2x 1 51 x 12 (i) 2y 2x 1 1 y 13 2y 2x 1 17 x 3 (ii) 2y 2x 1 3 y 5 x 12 x 3 Vậy phƣơng trình cĩ 2 cặp nghiệm nguyên dƣơng là: , y 13 y 5 Bài tập 33: Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa đẳng thức: (y + 2)x2 + 1 = y2. (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm học 2001 - 2002) Giải Ta cĩ: (y + 2)x2 + 1 = y2 (1), với x, y Z. y12 x2 , y -2 y2 3 Ta cĩ thể viết: x2 y 2 y2 x, y nguyên y + 2|3 y + 2 = 1, 3, -1, -3 y = -1, 1, -3, -5 Vì x2 0 nên (y2 - 1)(y + 2) 0, y - 2. -2 < y -1 v y 1 Do đĩ, ta cĩ: y = -1 v y = 1 x = 0. Vậy các giá trị x, y nguyên phải tìm là: (x, y) = (0, -1); (0, 1). Bài tập 34: Tìm tất cả các số cĩ 3 chữ số sao cho tích của chúng bằng tổng chúng. Giải Gọi số phải tìm là abc , với a, b, c N và 1 a 9, 0 b , c 9. Theo giả thiết, ta cĩ: abc = a + b + c (1) b 0, c 0. Đặt: a = m + 1; b = n + 1; c = p + 1, với m, n, p N. Ta cĩ: (1) m + n + p + 3 = (m + 1)(nVIETMATHS.NET + 1)(p + 1) = mnp + mn + mp + np + m + n + p + 1 mnp + mn + mp + np = 2. (2) Nếu cả 3 số m, n, p đều 1 thì vế trái (2) sẽ 3 vơ lí Vậy trong 3 số m, n, p cĩ ít nhất một số bằng 0. Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử m = 0. (2) np = 2 n = 1, p = 2 v n = 2, p = 1. Vậy các số phải tìm là 123, 132, 231, 213, 321, 312. 22 Bài tập 35: Tìm tất cả các số cĩ hai chữ số sao cho: ab ba 1980 . Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 53
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. 22 Ta cĩ: ab ba ab ba ab ba 1980 99(a + b)(a - b) = 1980 (a + b)(a - b) = 20 Ta cĩ: 18 a + b a - b > 0 Mặt khác: a + b và a - b cùng tính chất chẵn, lẻ. Do đĩ ta cĩ: a b 10 a 6 a b 2 b 4 Vậy số phải tìm là 64. Bài tập 36: Tìm tất cả những số tự nhiên cĩ 3 chữ số abc để tổng của 6 số cĩ 2 chữ số khác nhau đƣợc viết từ các chữ số a, b, c bằng abc . Giải Theo giả thiết, ta cĩ: ab ba bc cb ac ca abc 26a = 4b + 7c (1) Với a, b, c N và 1 a, b, c 9. Từ (1) c2 c 8. Do đĩ: 26a 92 a 3 a = 1, 2, 3. Với a = 1 (1) 7c 4, c 2 c 6. Nếu c = 8 78 4, vơ lí. Do đĩ: c = 6. b = 9. Ta cĩ: abc = 396. Vậy cĩ ba số thỏa mãn yêu cầu của bài tốn là 132, 264, 396. Bài tập 37: Chứng minh rằng phƣơng trình: x5 x 4 y 13x 3 y 2 13x 2 y 3 36xy 4 36y 5 1937 . khơng cĩ nghiệm nguyên. Giải Ta cĩ: n x5 xy 4 13xy 3 2 13xy 2 3 36xy 4 36y 5 =x4 x y 13x 2 y 2 x y 36y 4 x y = x y x4 13x 2 y 2 36y 4 = x y x2 4y 2 x 2 9y 2 x y x 2y x 2y x 3y x 3y Biên soạn: Trần Trung Chính 54
.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :. www.VNMATH.com Nhận xét: x y, x 0 và y 0. n phân tích thành 5 thừa số nguyên. 1937 là tích của hai nguyên tố là 13 và 149 nên phân tích đƣợc thành 4 thừa số nguyên tố mà thơi: 1937 = 1.13.(-1)(-149) = 1.149.(-1).(-13), , Do đĩ n khơng thể bằng 1937. n 1937, x, y Vậy phƣơng trình đã cho khơng thể cĩ nghiệm nguyên. 42 Bài tập 38: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình sau: x42 x 1 y y 1 Giải Ta cĩ: (1) 2x4 4x 3 6x 2 4x1 2y 2 2y1 x4 2x 3 3x 2 2x y 2 y 2 x22 x 1 y y 1 (2) Từ (2), ta suy ra (y2 + y + 1)2 là một số chính phƣơng. Xét y > 0, ta cĩ: y2 < y2 + y + 1 < (y + 1)2, vơ lý. y 0. Xét y < - 1, ta cĩ: (y + 1)2 < y2 + y + 1 < y2, vơ lí y - 1 Do đĩ, ta cĩ: -1 y 0, y Z y = - 1  y = 0. Với y = -1 (2) (x2 + x + 1)2 = 1 x2 + x = 0 (vì x2 + x 0) x = 0  x = -1. Với y = 0, kết quả tƣơng tự: Vậy nghiệm nguyên của phƣơng trình (1) là (x, y) = (0, 0); (0, - 1); (-1, 0); (-1, -1). Bài tập 39: Tìm số nguyên khơng âm x, y thỏa đẳng thức: x22 y y 1 Giải Xem phƣơng trình: x22 y y 1 , với x, y Z* Xét y = 0 x2 = 1, x Z* x = 1 Xét y 1 x 3. Ta cĩ: (x + y)2(x - y)2 = y + 1 Suy ra: (y + 1)(x + y), vơ lí x1 Do đĩ các số nguyên khơng âm phải tìm là y0 Bài tập 40: Tìm số nguyên x thỏaVIETMATHS.NET đẳng thức: x2 x 12 y 1 36 Giải Xem phƣơng trình: x2 x 12 y 1 36 Điều kiện: x Z và x -1 Ta cĩ: x2 + x = x(x + 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên khơng âm x2 + x 0 Dấu "=" xảy ra x = -1  x = 0, khơng thỏa mãn. Biên soạn: Trần Trung Chính 55