Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Toán 8: Chia hết

Nội dung text: Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Toán 8: Chia hết

1. CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A. LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: 2. Tính chất: - Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c - Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p - Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n n 1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau - Trong n sốn nguyên1 liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n - Nếu a;b d thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d n n n 1 n 1 n n - Ta có: a b a b a b a b  a b n n n 1 n 1 n n - Ta có: a b a b a b a b  a b với n là số tự nhiên lẻ B. LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp : 3 Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n 5n6 . HD: Ta có: n3 5n n3 n 6n , như vậy ta cần chứng minh 3 n n6 n n 1 n 1 6 . Do n n 1 n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 3 Bài 2: Chứng minh rằng : n 11n6,n Z HD : Ta có: n3 11n n3 n 12n n n2 1 12n n n 1 n 1 12n Vì n n 1 n 1 là ba số nguyên liên tiếp n n 1 n 1 6 và 3 12n6 n 11n6 Bài 3: Chứng minh rằng: A n n 1 2n 1 6,n N HD:
2.   Ta có: A n n 1  n 1 n 2  n 1 n n 1 n n 1 n 2 6 3 2 Bài 4: Chứng minh rằng: m 3m m 348,m lẻ HD: Vì m là số lẻ, Đặt m 2k 1, k N Khi đó ta có : A m3 3m2 m 3 m 3 m2 1 m 1 m 1 m 3 Thay m 2k 1 vào A ta được : A 8 k 2 k 1 k Vì k k 1 k 2 là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên  6 Vậy A48 4 3 2 Bài 5: Chứng minh rằng: n 4n 4n 16n384,n chẵn HD: Vì n chẵn, Đặt n 2k, k N , Khi đó ta có: A n4 4n3 4n2 16n n n 4 n2 4 , Thay n 2k vào A ta được: A 16 k 2 k 1 k k 1 , Vì k 2 k 1 k k 1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp Nên chia hết cho cả 3 và 8 5 3 Bài 6: Chứng minh rằng: B n 5n 4n120, n N HD: 4 2 2 2 Ta có: B n n 5n 4 n n 1 n 4 n n 1 n 1 n 2 n 2 120 4 3 2 Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh A n 14n 71n 154n 12024 HD: Ta cần chứng minh A3 và A8 , ta có : A n4 14n3 71n2 154n 120 n3 n 2 12n2 n 2 47n n 2 60 n 2  2    A n 2 n n 3 9n n 3 20 n 3  n 2 n 3 n n 3 5 n 4  A n 2 n 3 n 4 n 5 , Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp => A3 Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số  2 và 1 số  4 Vậy A  8 4 3 2 Bài 8: Chứng minh rằng: n 6n 11n 6n24 HD: Ta có: A n4 6n3 11n2 6n n n 1 n 2 n 3 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A3 Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4, Nên A8
3. Bài 2: CMR: n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi n Z HD : 4 3 2 2 Ta có: n 2n n 2n n n n 2 n 2  n n 1 n 1 n 2 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3 a a2 a3 Bài 9: Chứng minh rằng: là một số nguyên với mọi a nguyên 3 2 6 HD: a a2 a3 a a 1 a 2 Ta có: . Vì a a 1 a 2 là tích của 3 số nguyên 3 2 6 6 liên tiếp => 6 5 Bài 10: Chứng minh rằng: n n30,n HD: Ta có: A n5 n n 1 n n 1 n2 1 , là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Mặt khác: A n5 n n 1 n n 1 n2 4 5 n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 Thấy n 2 n 1 n n 1 n 2 là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A5 3 Bài 11: Chứng minh rằng: n 1964n48,n chẵn HD: Vì n là số chẵn, Đặt n 2k, k N Khi đó ta có : n3 1964n 8 k 1 k k 1 3888k Vì k 1 k k 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 4 3 Bài 12: Chứng minh rằng: n 7 7 2n 64,n lẻ HD: 2 Vì n lẻ, Đặt n 2k 1, k N , Khi đó ta có: A n4 7 7 2n2 n2 7 , 2 2 2 Thay n 2k 1 vào ta được: A 16 k k 2 , Vì k k 2 k k 1 22 2 2 k k 2 4 A64 4 2 Bài 13: Chứng minh rằng: n 6n 764,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt: n 2k 1, k N , Khi đó: A n4 6n2 7 n2 1 n2 7 , Thay n 2k 1 vào ta được: A 16k k 1 k 2 k 2
4. 2 Bài 14: Chứng minh rằng: A n 4n 38,n lẻ. HD: Ta có: A n 1 n 3 , Vì n là số lẻ, Đặt n 2k 1, k N A 2k 2 2k 4 8 Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 HD: Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n 1;n;n 1, n Z Gọi 3 3 A n 1 n3 n 1 3n3 3n 18n 9n2 9 3 n 1 n n 1 9 n2 1 18n Thấy: n 1 n n 1 3 3 n 1 n n 1 9 Vậy A9 3 3 3 Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : a b c 6 khi và chỉ khi a b c6 HD : Xét A a3 b3 c3 a b c a3 a b3 b c3 c Mà a3 a a a 1 a 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a a 1 a 1 6 3 3 3 Như vậy A 6 => a b c 6 a b c6 12 8 4 Bài 17: Chứng minh rằng: n n n 1512,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt n 2k 1, k N , Khi đó: 2 A n12 n8 n4 1 n4 1 n8 1  n2 1 n2 1  n4 1   2 2   2 4 Thay n 2k 1 vào A ta được: A 64 k k 1  2k 2k 1 n 1 Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho: n 5 n 6 6n HD: Ta có: A n 5 n 6 n2 11n 30 12n n2 n 30 2 2 n n 6 n n 1 3 (1) Vì 12n 6n cần chứng minh n n 30 6n    (2) 306n 30n Từ (1) n 3k hoặc n 3k 1, k N Từ (2) n 1;2;3;5;6;10;15;30 n 1;3;10;30 là thỏa mãn. Bài 20: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.
5. HD: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n,n 1,n 2, ,n 1989 (1) Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n,n 1,n 2, ,n 999 phải có 1 số chia hết cho 1000, giả sử là n0 , Khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 Giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0 ,n0 9,n0 19, ,n0 899 Có tổng các chữ số lần lượt là: s,s 1,s 2, ,s 26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27. Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab a b 1 chia hết cho 48 ta có: ab a b 1 a 1 b 1 , HD : Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: 2 2 a 2n 1 ;b 2n 3 với n Z ab a b 1 (a 1)(b 1)  2n 1 2 1  2n 3 2 1 16n n 1 2 n 2 Nên     Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
6. Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A n 2n 7 7n 7 6 . HD : Ta có : n hoặc 7n 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A2 Lấy n chia cho 3 ta được : n 3k r k N,0 r 2 Với r 0 n 3k A3 Với r 1 n 3k 1 2n 7 6k 93 A3 Với r 2 n 3k 2 7n 1 21k 153 A3 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : 2 A 4a 3a 56 HD : Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : a 6m 1, m Z 2 2 Với a 6m 1 A 4 6m 1 3 6m 1 5 6 24m 11m 2 6 2 2 Với a 6m 1 A 4 6m 1 3 6m 1 5 6 24m 5m 1 6 2 Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n 9n 211 HD: 2 2 2 2 Ta có: n 9n 211 n 2n 211 4 n 2n 2 11 4n 8n 111 2n 1 2n 3 11 , Khi đó: 2n 111 hoặc 2n 311 n 11m 6 hoặc n 11m 7, m N 2 Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 4n 15 và chia hết cho 13 HD: Đặt n 65k r, k N,0 r 64 Chọn r sao cho 4r2 1 65 r 4 , Vậy với mọi số n 65k 4 đều thỏa mãn. 2n n Bài 5: Chứng minh rằng nếu n 3 thì A 3 3 113,n N HD: Vì n 3 n 3k r, k N,1 r 2 Khi đó: A 32 3k r 33k r 1 32r 36k 1 3r 33k 1 32r 3r 1 2k 6k 3 3 3k 3 Thấy: 3 1 3 1 3 1 .M 26M13 và 3 1 3 1 .N 26N13 2r r 2 Với r 1 3 3 1 3 3 113 A13 2r n 4 2 Với r 2 3 3 1 3 3 1 9113 A13 n Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2 17
7. HD: Lấy n chia cho 3 ta có: n 3k r, k N,0 r 2 n 3k k Với r 0 n 3k 2 1 2 1 8 1 8 1 .M 7M7 Với r 1 n 3k 1 2n 1 28k 1 1 2.23k 1 2 23k 1 1 , n Mà 2 k 17 2 1 chia 7 dư 1 Với r 2 n 3k 2 2n 1 23k 2 1 4 23k 1 3 3k n Mà 2 17 2 1 chia 7 dư 3 n Vậy với n 3k, k N thì 2 17 2 2 Bài 7: Chứng minh rằng: A n n 1 n 4 5, n Z HD: Lấy n chia cho 5 ta được: n 5q r, q,r Z,0 r 4 Với r 0 n5 A5 2 Với r 1,4 n 45 A5 2 Với r 2,3 n 15 A5 A a a a B a5 a5 a5 A B Bài 8: Cho 1 2 n và 1 2 n , Chứng minh rằng: 30 HD: 5 5 Ta có: B A a1 a1 an an a5 a a a4 a a a a2 Xét 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 30 2 Bài 9: Chứng minh rằng nếu n;6 1 thì n 124,n Z HD: Vì n;6 1 n 6k r, k,r N,r 1 2 Với r 1 n 124 2n n Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 2 2 17 HD: Xét n 3k r, k,r N,0 r 2 Ta có: 22n 2n 1 22r 26k 1 2r 23k 1 22n 2n 1 2n n Xét các TH cụ thể ta được: 2 2 17 4 2 Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m 1 n , Chứng minh rằng: mn5 HD: Ta có: 24m4 1 n2 25m4 m4 1 25m4 m 1 m 1 m2 1 Nếu m5 mn5 ĐPCM 5 4 2 Nếu m 5 m;5 1 => m m m m 1 m m 1 m 1 m 1
8. 2 m m 1 m 1 m 4 5 m 2 m 1 m m 1 m 2 5m m 1 m 1 5 4 2 Nên m 15 n 5 n5 mn5 , ĐPCM. 3 2 2 Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : x 8x 2xx 1 HD : 3 2 2 2 2 2 Ta có : x 8x 2x x x 1 8 x 1 x 8x 1 x 8x 1 Nếu x 8 0 x 8 thỏa mãn Nếu x 8 x 8 x2 1 x 0 1; 2 x 0;2 2 2 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a 15ab b 49 3a b7 HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 5a 15ab b 49 5a 15ab b 7 9a 6ab b 7 3a b 7 3a b7 2 2 Mặt khác: 3a b7 3a b 7k k Z b 7k 3a 5a 15ab b 2 2 2 5a 15a 7k 3a 7k 3a 49 3ak a 49
9. Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a2 b2 chia hết cho tích a.b a2 b2 Tính giá trị của biểu thức: A ab HD: a da1 2 2 2 2 Gọi d a;b , a1;b1 1 , ta có: a b d a1 b1 và ab d a1b1 b db1 a2 b2 ab a2 b2 a b a2 b2 a b a2 b b2 a Vì  1 1  1 1 1 1  1 và 1 1  1 và 1  1 a b a b b a a b Vì 1; 1 1 1 1 và 1 1 1 1 1 d 2 a2 b2 2 2 1 1 2.d a1 Vậy A 2 2 2 2 d a1b1 d a1 Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số A m n và B m2 n2 HD : Gọi d UCLN A;B , Vì m;n 1 A,B cùng tính chẵn lẻ. khi đó : 2 2 2 2mn A Bd và 2mn 2n 2nAd 2n d (1) Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) => 2d d 2 2 2 Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ 1 n d , tương tự : m d Vì m;n 1 d 1 Bài 17: Cho số tự nhiên n 3 , Chứng minh rằng: nếu 2n 10a b, 0 b 10 thì ab6 HD: n Ta có: 2 10a b b2 ab2 , ta cần chứng minh ab3 Mặt khác : 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b Đặt n 4k r, k,r N,0 r 3 2n 16k.2r n k Nếu r 0 2 16 có tận cùng là 6 b 6 ab6 n x r k n r r Nếu 1 r 3 2 2 2 16 1 10 2 tận cùng là 2 b 2 n x r k 10a 2 2 2 16 1 3 a3 ab6 Bài 18: Cho số tự nhiên n 1 , Chứng minh rằng: 5 5 5 5 S 1 2 3 n  1 2 3 n HD: Đặt: 2A 2 1 2 3 n n n 1 n n * Mặt khác, với n lẻ ta có: a b a b,(a,b N )
10. 5 Nên 2S 15 n5 25 n 1  n5 1 n 1    5 5 5 2S  15 n 1 25 n 2 n 1 1  2n5 n    Mà n;n 1 1 2Sn n 1 2A S A p 1 1 1 Bài 19: Cho 1 , p,q Z . Chứng minh rằng p 1979 q 2 3 1319  HD: p 1 1 1 1 1 Ta có: 1 2 q 2 1319 2 4 1318 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1319 2 3 659 660 1319 2.p 1 1 1 1 1 1 1979.A 2p.B q q 660 1319 661 1318 1319 660 B 1979.A Mà B 1979 p1979 * Bài 20: Cho a1,a2 ,a3, an 1; 1, n N , thỏa mãn: a1a2 a2a3 a3a4 ana1 0 , Chứng minh rằng: n4 HD: Đặt x1 a1a2 , x2 a2a3, , xn ana1 x1, x2 , x3 1; 1 , Hơn nữa x1 x2 xn 0 Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1 (m N *) m 2 n 2m và x1x2 x3 xn 1 và x1x2 x3 xn a1a2 an 1 Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4. 7 7 7 7 Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab a b  7 và a b a b 7 HD: 7 2 Ta có: a b a7 b7 7ab a b a2 ab b2 2 2 3 Vì ab a b  7 a ab b 7 Chọn b 1 a2 a 1 73 a
11. Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG 2 Bài 1: Chứng minh rằng : S n 3n 38 49,n N HD: 2 Giả sử tồn tại số tự nhiên n để S n 3n 3849 Khi đó: S n2 3n 38 7 n 6 n2 4n 4 , 2 Mà S49 S7 n 2 7 n 27 n 7t 2 , thay vào S ta được: 2 S 49 t t 28 S  49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n 2 Bài 2: Chứng minh: n n 215,n Z HD: 2 2 Giả sử: n n 215 n n 23 n n 1 23 (1) n 3k 1 Từ (1) n 3  ,k Z n 3k 1 2 n 1 n 1 n 1 3 2 2 2 Lại có: n n 2 n 1 n 3 3 mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n n 215 2 Bài 3: Chứng minh rằng: n 3n 5121,n N HD: Giả sử: 2 2 2 2 2 n 3n 5121 n 3n 511 4n 12n 2011 4n 12n 9 1111 2n 3 1111 2 Nhưng A n 3n 511 nhưng A121 vì 11121 n2 4 Bài 4: Xét phân số A Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ n 5 1 đến 2002 sao cho phân số A chưa tối giản. HD: Giả sử A chưa tối giản. Đặt d n2 4;n 5 d 1 2 2 Ta có: n 5 n 4 d 10n 21d 10 n 5 29d 29d d 29 . Ngược lại: * 2 2 Nếu n 529 n 5 29k, k N n 4 29 29m 5k 1 29 A chứ tối giản Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho n 5 29k, k N * 1 n 2002 1 m 69 Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản.
12. 3 2 Bài 5: Chứng minh rằng: 9n 9n 3n 16 343,n N HD: 2 Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho n n 249 không HD: Giả sử tông tại số tự nhiên n để 2 2 2 2 n n 249 4n 4n 849 2n 1 749 2n 1 7 2 Vì 7 là số nguyên tố 2n 17 2n 1 749 từ đó 749 ( vô lý) 2 * Bài 7: Chứng minh rằng: n n 19,n N HD: 2 Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho n n 19 n 2 n 1 39 Vì 3 là số nguyên tố nên n 2 3 hoặc n 1 3 Nếu n 2 3 n 2 n 1 33 nhưng không chia hết cho 9 Nếu n 1 3 n 2 n 1 3 nhưng không chia hết cho 9 2 Bài 8: Chứng minh rằng: 4n 4n 18289,n N HD: Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 2 2 2 4n 4n 18289 2n 1 1717 2n 1 17 2 Vì 17 là số nguyên tố nên 2n 1 17 2n 1 289 Khi đó: 2 2n 1 17 289 2 2 Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a;b sao cho: a b  a b 1 HD: 2 2 * 2 2 2 Gỉả sử a b a b 1 k N : a b k a b 1 a k b ka b Đặt m ka2 b, m Z a k mb , Do a,b,k N * m N * , khi đó ta có: m 1 b 1 mb m b 1 a k ka2 1 a 1 k ka 1 , Vì m,b N * m 1 b 1 0 1 k a 1 , Do k,a N * a 1 0 ta có : TH1 : k a 1 0 a 1 thay vào đẳng thức ta được : m 1 b 1 a 1 k ka 1 m 1 1 m 2 Ta được: m 1 b 1 2 b 1 2 b 3
13. TH2: k a 1 1 k a 1 1 k 1 và a 2 , Thay k 1,a 2 vào đẳng thức ta được: m 1 b 1 a 1 k ka 1 ta được: m 1 b 1 0 m b 1 Nếu m 1 thì từ a k mb b 3 Vậy các cặp số a;b 1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3
14. n n Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: A B  A B ,n LẺ n n n n Bài 1: Chứng minh rằng A 2005 60 1897 168 2004,n N HD: Ta có: 2004 12.167 , ta cần chứng minh A12, A167 Ta có : A 2005n 1897n 168n 60n n n Áp dụng tính chất : a b  a b , với mọi n tự nhiên và a b 0 n n n n Khi đó : 2005 1897  2005 1897 và 168 60  168 60 => Vậy A 12 n n n n Tương tự : A 2005 168 1897 60 Khi đó A167 n n n n n Bài 2: Cho n N , CMR : A 5 5 1 6 3 2 91 HD: Ta cần chứng minh A7 và A13 Ta có : A 25n 5n 18n 12n 25n 18n 12n 5n n n Áp dụng tính chất : a b  a b A7 n n n n Tương tự : A 25 12 18 5 A13 2n n n 1 Bài 3: Cho n N , Chứng minh rằng: 6 19 2 17 HD: Ta có: A 62n 19n 2n 1 36n 19n 2.2n 36n 2n 19n 2n n n n n Vì 36 2  36 2 34 và 19 2 17 3 3 3 3 3 Bài 4: Chứng minh rằng: 1 3 5 7 2 HD : 3 3 3 3 3 3 3 3 Ta có: A 1 3 5 7 1 7 3 5 8N 8M8 8n 6n n n Bài 5: Chứng minh rằng: 2 .5 1980 441 11979,n N HD: Ta có: A 28n.56n 1980n 441 1 46n 441n 1980n 1n 6n n n n n n Vì 4 441 4000000 441 3999559 và 1980 1 1979 6n 6n Bài 6: Chứng minh rằng: 3 2 35,n N HD: n n 6n 6n 6 6 6 6 3 3 3 3 Ta có: 3 2 3 2 3 2 .M 3 2 3 2 .M 35.19M35 n 2 n 2n 1 Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : 5 26.5 8 59
15. HD : n 2 n 2n 1 n n n n n n n Ta có:5 26.5 8 59 = 51.5 8.64 59 8 .5 8.64 59.5 8 64 5 n 2 Vì 64 5  64 5 nên ta có đpcm 2n Bài 8: Chứng minh rằng: 9 1415 HD: 2n 2n n Ta có: 9 14 9 1 15 81 1 15 80n 155 n n n Bài 9: Chứng minh rằng: A 20 16 3 1232,n N HD: Tách 232 17.19 . Khi đó: A 20n 3n 16n 1 n n n Lại có: 20 3 20 3 .M 17M17 , và 16 1 16 1 .N 17N17 Khi đó: A17 Mặt khác: A 20n 1 16n 3n , n n n Mà 20 1 20 1 .P 19.P19 và 16 3 16 3 .Q 19.Q19 A19 n 2 2 Bài 10: Chứng minh rằng: n n n 1 n 1 ,n 1 HD: n 2 2 Với n 2 n n n 1 1 n 1 1 Với n 2 A nn n2 n 1 nn n2 n 1 n2 nn 2 1 n 1 n2 n 1 nn 3 nn 4 1 n 1 n 1 nn 1 nn 2 n2 1 n 1  nn 1 1 n2 1 n 1    2 2 n 1 .M n 1 2n 1 2n 2 Bài 11: Chứng minh rằng: 3 2 7,n N HD: 2n 1 2n 2 2n n n n n n n Ta có: 3 2 3.3 2.2 3.9 4.2 3. 7 2 4.2 7.M 7.2 7 4 4 Bài 12: Chứng minh rằng: mn m n 30,m,n N HD: 4 4 2 2 2 2 Ta có: mn m n mn m 1 m 1 mn n 1 n 1 30
16. n Bài 13: Chứng minh rằng: A 3 6372,n N,n 2 và n là số chẵn HD: n 2k 2k k Đặt n 2k, k N 3 63 3 63 3 1 64 9 1 648 hay A8 n Mặt khác: n 2 3 9 và 639 A9 n n n Bài 14: Tìm giá trị của n để: A 20 16 3 1323 HD: Ta có: 323 17.19 2n 3 4n 1 Bài 15: Tìm số tự nhiên n để A 3 2 25 HD: Ta có: A 32n 3 24n 1 32n.27 24n.2 32n.25 32n.2 24n.2 32n.25 2 9n 16n Bài 16: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a a 1 b 1 192 HD: 2 2 Đặt a 2k 1 ,b 2k 1 , k N , Khi đó ta có: a 1 b 1 16k k 1 k 1 64 và  3 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 , Chứng minh rằng: abc60 HD : Ta có : 60=3.4.5, đặt M abc Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 a2 ,b2 ,c2 chia hết cho 3 dư 1 2 2 2 a b c , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M3 Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 a2 ,b2 ,c2 chia 5 dư 1 hoặc 4 b2 c2 chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3 a2 b2 c2 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M 5 Nếu a, b, c là các số lẻ b2 ,c2 chia 4 dư 1 b2 c2  mod 4 a2 b2 c2 Do đó 1 trong hai số a, b phải là số chẵn. Giả sử b là số chẵn: + Nếu c là số chẵn =>M 4 + Nếu c là số lẻ, mà a2 b2 c2 a là số lẻ b2 a c a b 2 b a c a c b chẵn b4 M4 2 2 2 2 Vậy M abc3.4.5 2 Bài 18: Chứng minh rằng: 36n 60n 2424 HD : Ta có: 36n2 60n 24 12n 3n 5 24 ,
17. Thấy n;3n 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ n 3n 5 2 => ĐPCM Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP n * Bài 1: Chứng minh A 16 15n 1225,n N HD: Với n 1 A 0225 đúng k Giả sử n k 1 và A 16 15k 1225 k 1 Ta cần chứng minh với n k 1 thì 16 15 k 1 1225 Thật vậy: 16k 1 15 k 1 1 16.16k 15k 16 16k 15k 1 15.16k 15 k n * 16 15k 1 15.15.M A 225.M225 Vậy A 16 15n 1225,n N 3n 3 Bài 2: Chứng minh rằng: 3 26n 2729,n 1 HD: 2n 2 * Bài 3: Chứng minh rằng: 4 115,n N