Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán: Chỉnh hợp, tổ hợp

Nội dung text: Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán: Chỉnh hợp, tổ hợp

1. SIÊU KHUYẾN MẠI Chỉ với 100.000 đ, bạn có ngay bộ tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia (có đáp án chi tiết) Liên hệ: 0915718478 (Mr Minh), Zalo:0974489486 Các chuyên đề bao gồm: 1. Tính đơn điệu của hàm số 2. Cực trị của hàm số 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số 5. Phân tích đồ thị hàm số 6. Tương giao đồ thị 7. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 8. Dãy số 9. Đạo hàm 10. Giới hạn 11. Mũ và lôgarit 12. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit 13. Bài toán thực tiễn về hàm số mũ và lôgarit 14. Thể tích đa diện 15. Hình học không gian (lớp 11) 16. Phương trình đường thẳng
2. 17. Phương trình mặt cầu 18. Phương trình mặt phẳng 19. Xác định tọa độ điểm 20. Lượng giác 21. Mặt nón, mặt cầu, mặt trụ 22. Bài toán thực tiễn về hình trụ, hình nón 23. Phương trình, bất phương trình chứa tham số 24. Các phép toán số phức 25. Biểu diễn hình học số phức 26. Phương trình trên tập số phức 27. Bài toán min, max trong số phức 28. Nguyên hàm 29. Tích phân 30. Tích phân nâng cao 31. Ứng dụng của tích phân 32. Câu hỏi thực tiễn tích phân 33. Xác suất 34. Tổ hợp, chỉnh hợp 35. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 36. Hình không gian Oxyz
3. CHUYÊN ĐỀ CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 1. Bài toán lập số Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 151200 B. 846000C. 786240D. 907200 Câu 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3? A. 36 sốB. sốC. sốD.10 8 số 228 144 Câu 3. Có bao nhiêu số có 10 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3 sao cho bất kì 2 chữ số nào đứng cạnh nhau cũng hơn kém nhau 1 đơn vị? A. 32B. 16C. 80D. 64 Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 số sao cho trong mỗi số tự nhiên đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước nó. A. 60480B. 84C. 151200D. 210 Câu 5. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và tho mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2? A. 720 số B. 360 số C. 288 số D. 240 số Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải và chữ số 6 luôn đứng trước chữ số 5 A. 544320.B. 3888.C. 22680.D. 630.
4. Câu 7. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9. Tính tổng tất các số thuộc tập S. A. 9333420 B. 4C.6 666200 D. 933 3240 46666240 2. Bài toán tổ hợp Câu 8. Trên mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên 4 4 2 2 A. 2017.2018B. C C.201 7D. C2018 C2017 .C2018 2017 2018 Câu 9. Cho ABC có 4 đường thẳng song song với BC, 5 đường thẳng song song với AC, 6 đường thẳng song song với AB. Hỏi 15 đường thẳng đó tạo thành bao nhiêu hình thang (không kể hình bình hành). A. 360B. 2700C. 720D. Kết quả khác Câu 10. Trên mặt phẳng cho hình 7 cạnh lồi. Xét tất cả các tam giác có đỉnh là các đỉnh của hình đa giác này. Hỏi trong số các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đểu không phải là cạnh của hình 7 cạnh đã cho ở trên? A. 7B. 9C. 11D. 13 Câu 11. Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô? A. 360B. 480C. 600D. 630 Câu 12. Biển số xe ở thành phố X có cấu tạo như sau: Phần đầu là hai chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh (có 26 chữ cái) Phần đuôi là 5 chữ số lấy từ 0;1;2; ;9. Ví dụ HA 135.67 Hỏi có thể tạo được bao nhiêu biển số xe theo cấu tạo như trên A. 262.104 B. C. D. 26.105 262.105 262.102
5. Câu 13. Cho tập hợp A có n phần tử n 4 . Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử nhiều gấp 26lần số tập con của A có 4 phần tử. Hãy tìm k 1,2,3, , n sao cho số tập con gồm k phần tử của A là nhiều nhất. A. k 20 B. C. D. k 11 k 14 k 10 Câu 14. Xét bảng ô vuông gồm 4 4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc 1 sao cho tổng các số trong mỗi hang và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 . Hỏi có bao nhiêu cách? A. 72 B. C. D. 90 80 144 3. Đẳng thức tổ hợp 1009 1010 1011 2018 k Câu 15. Tính tổng S=C2018 C2018 C2018 C2018 (trong tổng đó, các số hạng có dạng C2018 với k nguyên dương nhận giá trị lien tục từ 1009 đến 2018) 1 A. S=22018 C1009 B. S= 22017 C1009 2018 2 2018 1 C. S 22017 C1009 D. S 22017 C1009 2 2018 2018 1 1 2 2 2 2 2017 2017 2 2018 2018 2 Câu 16. Tính tổng S C2018 C2018 C2018 C2018 2018 2017 2 1 1 1 2018 2018 A. B.S C. D. C 2018 S C 2018 S C1009 S C 2018 2018 4036 2018 4036 2019 2018 2019 4036 2 5 8 2018 Câu 17. Rút gọn tổng sau S C2018 C2018 C2018 C2018 22018 1 22019 1 22019 1 22018 1 A. S B. C. D. S S S 3 3 3 3 n C1 2C2 3C3 1 nCn Câu 18. Cho số nguyên dương n, tính tổng S n n n n 2.3 3.4 4.5 n 1 n 2 n 2n n 2n A. B. C. D. n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 1 2 2017 Câu 19. Cho tổng S C2017 C2017 C2017 . Giá trị tổng S bằng: A. 22018 B. C. D. 22017 22017 1 22016
6. Câu 20. Tìm tất cả số tự nhiên n thỏa mãn C0 C1 C2 Cn 2100 n 3 n n n n 1.2 2.3 3.4 n 1 n 2 n 1 n 2 A. n 100 B. C. D. n 98 n 99 n 101 Câu 21. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho S 2 C0 C0 C0 C1 C1 C1 Cn 1 Cn 1 Cn là một số có 1000 chữ số. 1 2 n 1 2 n n 1 n n A. 3 B. C. D. 1 0 2 A4 3A3 Câu 22. Tính giá trị của biểu thức M n 1 n , biết rằng n 1 ! 2 2 2 2 Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149 3 4 15 17 A. M B. C. M D. M M 4 3 9 25 1 0 1 1 1 2 1 3 n 1 n 1 Câu 23. Tìm n Z sao cho Cn Cn Cn Cn ( 1) Cn 1 2 4 6 8 2n 2 A2018 A. n 2008 .B. .nC. 1008 .D. n .2006 n 1006 1 1 1 1 1 1 Câu 24. Tính tổng S C0 C1 C2 C3 C18 C19 2 19 3 19 4 19 5 19 20 19 21 19 1 1 1 1 A. S .B. .C. S .D. . S S 420 240 440 244 1 1 1 Câu 25. Tính tổng S C0 C1 C2 C2017 2017 2 2017 3 2017 2018 2017 22017 1 22018 1 22018 1 22017 1 A. B. C. D. 2017 2018 2017 2018 22 1 23 1 24 1 2n 1 1 Câu 26. Tính tổng S=C0 C1 C2 C3 Cn n 2 n 3 n 4 n n 1 n
7. 3n 2 2n 2 3n 1 2n 1 3n 2 2n 2 3n 1 2n 1 A. B.S C. D. S S S n 2 n 1 n 2 n 1 4. Nhị thức Niu tơn 6 6 Câu 27. Hệ số của x3y3 trong khai triển 1 x 1 y là A. 20B. 800C. 36D. 400 10 Câu 28. Tìm hệ số của x5 trong khai triển 1 x x2 x3 A. 252B. 582C. 1902D. 7752 2 m n 2 3 2m n Câu 29. Khi triển A 1 x 1 2x a0 a1x a 2x a3x a 2m n x . Biết rằng a0 a1 a 2 a 2m n 512, a10 30150 . Hỏi a19 bằng: A. – 33265 B. – 34526 C. – 6464D. – 8364 n 26 1 7 Câu 30.Tìm hệ số của x trong khai triển 4 x biết n thỏa mãn biểu thức sau x 1 2 n 20 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 1. A. 210 B. C. D. 126 462 924 m 2x 16 32 Câu 31. Trong khai triển nhị thức , cho số hạng thứ tư trừ số hạng thứ sáu bằng 16 x 8 2 56, hệ số của số hạng thứ ba trừ hệ số của số hạng thứ 2 bằng 20. Giá trị của x là A. 1 B. 2C. 1D. 2
8. n Câu 32. Trong khai triển 2x 2 2x , tổng hệ số của số hạng thứ hai và số hạng thứ ba là 36, số hạng thứ 3 lớn gấp 7 lần số hạng thứ hai. Tìm x? 1 1 1 1 A. x B. x C. D. x x 3 2 2 3 2n 2n 1 Câu 33. Đa thức P x x 1 x x 1 n ¥ ,n 3 viết lại thành 2 2n P x a0 a1x a 2x a 2n x . Đặt T a0 a 2 a 4 a 2n , cho biết T 768 . Hãy tính giá trị của a3 . A. B.a3 C. 0D. a3 1 a3 2 a3 3 2 2017 2 4034 Câu 34. Cho khai triển 1 3x 2x a0 a1x a2 x a4034 x . Tìma2 . A. 9136578B. 16269122C. 8132544D. 18302258 n Câu 35. Cho khai triển 1 x x2 a a x a x2 a x2n , với n 2 và a , a , a , , a 0 1 2 2n 0 1 2 2n a a là các hệ số. Biết rằng 3 4 khi đó tổng S a a a a bằng 14 41 0 1 2 2n A. S 310. B. S 311. C. S 312. D. S 313. 8 9 10 11 12 Câu 36. Cho đa thức p x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta 2 12 được đa thức: P x a0 a1x a2 x a12 x . Tính tổng các hệ số ai ,i 0,1,2, ,12 A. 5B. 7936C. 0D. 7920 2017 Câu 37. Cho khai triển P x 1 x 1 2x 1 2017x a0 a1x a2017 x Tính giá trị 1 2 2 2 biểu thức T a2 1 2 2017 . 2 2 2 2 2 2016.2017 2017.2018 1 2016.2017 1 2017.2018 A. B. C. D. . . 2 2 2 2 2 2 1000 Câu 38. Cho đa thức P x 2x 1 . Khai triển và rút gọn ta được 1000 999 P x a1000x a999x a1x a0. Đẳng thức nào sau đây đúng
9. 1000 A. a1000 a999 a1 0 B. a1000 a999 a1 2 1 1000 C. D.a10 00 a999 a1 1 a1000 a999 a1 2 n Câu 39. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức Niu Tơn 2 x , biết rằng 0 n 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n Cn .3 Cn .3 Cn .3 Cn .3 1 Cn 2048 A. 12B. 21C. 22D. 23 2 14 15 2 210 Câu 40. Cho khai triÓn 1 x x x a0 a1x a2 x a210 x . Chøng minh r»ng: 0 1 2 15 C15a15 C15a14 C15a13 C15 a0 15. n n Câu 41. Cho n ¥ * và 1 x a0 a1x an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k 1 k n 1 a a a sao cho k 1 k k 1 . Tính n ? 2 9 24 A. 10B. 11C. 20D. 22 n Câu 42. Cho khai triển x x2 a a x a x2 a x2n với v n và a a a a 1 0 1 2 2n 2 0, 1, 2, , 2n a a là các hệ số. Tính tổng S a a a a biết 3 4 0 1 2 2n 14 41 A. S 310 B. C. S 31 2D. S 210 S 212 9 10 14 Câu 43. Hệ số của x9 sau khi khai triển và rút gọn đa thức f x 1 x 1 x 1 x là: A. 2901B. 3001C. 3010D. 3003
10. ĐÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 2. Bài toán lập số Câu 1. Đáp án A Lời giải: Gọi số có 8 chữ số thỏa mãn đề bài là a1a2 a8 + Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí a2 đến a8: Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ số khác 0, nên ta chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0, sau đó thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa ⇒ Số cách 3 chọn là C5 10 . 5 + Chọn các số còn lại: Ta chọn bộ 5 chữ số (có thứ tự) trong 9 chữ số từ 1 đến 9, có A9 15120 cách chọn Vậy số các số cần tìm là 10.15120 = 151200 (số) Câu 2. Đáp án B Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ các số trên có: 3.4.4.3 144 số Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ 4 số trên và không có mặt chữ số 3 có: 2.3.3.2 36 số Do đó có 144 36 108 thỏa mãn. Câu 3. Đáp án D 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 Chọn 5 vị trí cho số 2, có 2 cách là _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2
11. Và 5 vị trí trống còn lại có thể là số 1 hoặc 3 có 25 cách Vậy có tất cả 2.25 64 số cần tìm Câu 4. Đáp án B. a 0 Số đang xét có dạng abcdef , a,b,c,d,e,f 1;2;3; ;9 a b c d e f Mỗi bộ gồm 6 chữ số khác nhau lấy trong tập 1;2;3; ;9 chỉ cho ta một số thỏa mãn điều kiện trên. Do 6 đó số các số tìm được là C9 84 Câu 5. Đáp án D Gọi abcdef là số cần lập. Suy ra f 2;4;6,c 3;4;5;6 . Ta có TH1: f 2 có 1.4.4.3.2.1 96 cách chọn TH2: f 6 có 1.3.4.3.2.1 72 cách chọn TH3: f 6 có 1.3.4.3.2.1 72 cách chọn. Suy ra 96 72 72 240 số thỏa mãn đề bài Câu 6. Đáp án C Gỉa sử số cần tìm có 10 chữ số khác nhau tương ứng với 10 vị t r í . Vì chữ ố 0 không đứng vị tríi đầu tiên nên có 9 cách xếp vị trí cho chữ số 0 . 3 Có A9 cách xếp các chữ số 7; 8 ;9 vào 9 vị trí còn lại . Vì chữ số 6 đứng trước chữ số 5 nên có 5 cách xếp vị trí cho chữ số 6 và 1 cách xếp cho các chữ số 3 1;2;3;4;5 theo thứ tự tăng dần. Theo quy tắc nhân 9.5.A9 22680 số thoảmãn. Câu 7. Đáp án C Số phần tử của tập S là 5! 120 số. Mỗi số 5,6,7,8,9 có vai trò như nhau và xuất hiện ở hàng đơn vị 4! 24 lần
12. Tổng các chữ số xuất hiện ở hàng đơn vị là 4!. 5 6 7 8 9 840 Tương tự với các chữ số hàng chục, hàng tram, hàng nghìn và hàng chục nghìn. Vậy tổng tất cả các số thuộc tập S là 840. 104 103 102 10 1 9333240. 2. Bài toán tổ hợp Câu 8. Đáp án Muốn thành một hình bình hành thì cần lấy 2 đường thẳng của nhóm 2017 cắt với 2 đường thẳng của 2 nhóm 2018. Chọn 2 đường thẳng trong nhóm 2017 có C2017 cách chọn. Chọn 2 đường thẳng trong nhóm 2 2 2 2018 có C2018 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân có C2017 .C2018 cách chọn (Dethithpt.com) Câu 9. Đáp án C Gọi D1, D4 là 4 đường thẳng song song với BC. Gọi 1, 5 là 5 đường thẳng song song với AC. Gọi d1, d6 là 6 đường thẳng song song với AB. Cứ 2 đường thẳng song song và hai đường thẳng không song song tạo thành một hình thang. 2 1 1 2 1 2 1 1 Vậy số hình thành là C4.C5.C6.C5 .C4.C6.C4.C5 720 Câu 10. Đáp án A 3 Số tam giác tạo bởi các đỉnh của đa giác là C7 35 Số tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác là 7 Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác là 7.3 21
13. Vậy số tam giác tạo bởi đỉnh của đa giác và không có cạnh trùng với cạnh của đa giác là 35 7 21 7 tam giác.(Dethithpt.com) Câu 11. Đáp án D Chú ý 4 cạnh khác nhau 4 Có C6 cách chọn 4 màu khác nhau. Từ mỗi bộ 4 màu thì có 4! 24 cách tô màu khác nhau 3 Có C6 cách chọn 3 màu khác nhau. Từ mỗi bộ 3 màu, có 4.3 12 cách tô 2 Có C6 cách chọn 2 màu khác nhau khi đó có: 2.1 2 cách tô(Dethithpt.com) 4 3 2 Tổng cộng: 24.C6 4.3C6 2.C6 630 cách Câu 12. Đáp án C Để tạo một biển số xe ta thực hiện các bước sau: + Chọn hai chữ cái cho phần đầu có 262 (mỗi chữ có 26 cách chọn) + Chọn 5 chữ số cho phần đuôi có 105 (mỗi chữ số có 10 cách chọn) Vậy có thể tạo ra được 262.105 biển số xe Câu 13. Đáp án D Ta có: n! n! C8 26C4 26 n 7 n 6 n 5 n 4 13.14.15.16 n n 8! n 8 ! 4! n 4 n 7 13 n 20 k k Số tập con gồm k phần tử của A là: C20 k 10 thì C20 nhỏ nhất. Câu 14. Đáp án A Xét 1 hàng (hay 1 cột bất kì). Giả sử trên hàng đó có x số 1 và y số -1. Ta có tổng các chữ số trên hàng đó là x y . Theo đề bài có x y 0 x y . Lần lượt xếp các số vào các hàng ta có số cách sắp xếp là 3!.3!.2.1 =72 (Cách)
14. 3. Đẳng thức tổ hợp Câu 15. Đáp án B k n k 0 1 2 n Áp dụng công thức: Cn Cn , Cn Cn Cn Cn 2n 1009 1010 1011 2018 Ta có: S C2018 C2018 C2018 C2018 0 1 2 1009 Xét S' C2018 C2018 C2018 C2018 2009 0 1 2009 2010 2018 2018 2009 Lấy S S' C2018 C2018 C2018 C2019 C2018 C2018 2 C2019 1 2009 0 1 2009 2009 2010 2018 Lấy S S' C2018 C2018 C2018 C2019 C2018 C2018 C2018 0 2 C2009 Lấy 1 2 vế theo vế ta được: 2S 22018 C2009 S 22017 2018 2018 2 Câu 16. Đáp án D 2 k 2 k n! n 1 ! Ta có C k C k . C k .C k 1 n n n n 1 n n k! n k ! k 1 ! n k ! 0 1 1 2 2017 2018 Do đó C2018.C2018 C2018.C2018 C2018 .C2018 2018 4036 Xét khai triển 1 x . x 1 1 x 2017 2018 0 1 1 2 2017 2018 Hệ số chứa x trong khai triển 1 x . x 1 là C2018.C2018 C2018.C2018 C2018 .C2018 S 4036 Hệ số chứa x2017 trong khai triển 1 x là 4036! 4036! 2018 2018 C 2017 . C 2018 4036 2017!.2019! 2018!.2018! 2019 2019 4036 2018 Vậy S C 2018 2019 4036 Câu 17. Đáp án A
15. 0 3 2016 A2018 C2018 C2018 C2018 1 4 2017 B2018 C2018 C2018 C2018 2 5 2018 C2018 C2018 C2018 C2018 Ta có kết quả sau A2018 C2018 B2018 1 (Có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, tổng quát A6k 2 C6k 2 B6k 2 1;A6k 5 C6k 5 B6k 2 5 1) Mặt khác ta có 0 1 2018 A2018 B2018 C2018 C2018 C2018 C2018 1 1 2018 22018 22018 1 S S 1 S 22018 S 3 Câu 18. Đáp án A 1 Giải trắc nghiệm: n 2 S nên đáp án B và Csai. 6 1 1 Với n 2 thay vào A được thay vào D được . 6 3 Câu 19. Đáp án C n 0 1 2 2 n n Xét khai triển 1 x Cn x.Cn x .Cn x .Cn * x 1 2017 0 1 2 2017 2017 Thay vào (*), ta được 2 C2017 C2017 C2017 C2017 S 2 1. n 2017 Câu 20. Đáp án B 0 1 n 0 1 n 0 1 n Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Ta có 1.2 2.3 n 1 n 2 1 2 n 1 2 3 n 2 1 1 n n n n 1 n C C C 2 1 Ta có 1 x dx C n C n x C n xn dx 0 1 n 0 1 n 0 0 1 2 n 1 n 1
16. 1 1 x 1 x n dx x C n C n x C n xn dx 0 1 n 0 0 1 1 1 1 x n 1 dx 1 x n 1 dx C n x C n x2 C n xn 1 dx 0 1 n 0 0 0 n 2 n 1 1 x 1 x 0 C n x2 C n x3 C n xn 2 1 0 1 n 1 0 n 2 n 1 2 3 n 2 C n C n C n n2n 1 1 0 1 n 2 3 n 2 n 1 n 2 Như vậy 0 1 n 0 1 n 0 1 n Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn 1.2 2.3 n 1 n 2 1 2 n 1 2 3 n 2 2n 1 1 n2n 1 1 2n 2 n 3 2100 n 3 = n 98 n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 Câu 21. Đáp án A Phương pháp : +) Nhóm các tổ hợp có chỉ số dưới bằng nhau. n n k 0 1 2 n n +) Sử dụng tổng 1 n Cn Cn Cn Cn Cn 2 k 0 +) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân. +) Để S là số có 1000 chữ số thì 10999 S 101000 Cách giải: 0 0 0 1 1 1 n 1 n 1 n S 2 C1 C2 Cn C1 C2 Cn Cn 1 Cn Cn 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 n S 2 C1 C1 C2 C2 C2 C3 C3 C3 C3 Cn Cn Cn Cn n n k 0 1 2 n n Xét tổng 1 n Cn Cn Cn Cn Cn 2 k 0
17. 2 1 2n Từ đó ta có: S 2 21 22 23 2n 2 2 2 2n 1 2n 1 1 2 Để S là số có 1000 chữ số thì 999 n 1 1000 999 1000 10 2 10 log2 10 1 n log2 10 1 3317,6 n 3320,9 n là số nguyên dương n 3318;3319;3320 Câu 22. Đáp án A Từ đề bài ta có 2 2 2 2 Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149 n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 4 ! 149 2 n 1 ! n! n 1 ! 2 n 2 ! 6n2 24n 28 298 n 5 n 9 Vậy n=5 T Câu 23. Đáp án B n 0 1 2 2 n n n (1 x) Cn Cn x Cn x ( 1) Cn x Lấy tích phân 2 vế ta được: 1 1 (1 x)n dx (C 0 C1 x C 2 x2 ( 1)n C n xn )dx n n n n 0 0 (1 x)n 1 1 x2 x3 xn 1 1 (C 0.x C1 C 2 ( 1)n C n ) n 1 0 n n 2 n 3 n n 1 0 1 1 1 1 C 0 C1 C 2 ( 1)n C n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 1 1 1 1 1 C 0 C1 C 2 ( 1)n C n 2(n 1) 2 n 4 n 6 n 2n 2 n 1 1 1 2(n 1) 2018 n 1008 2(n 1) A2018
18. Câu 24. Đáp án A 19 0 1 2 2 3 3 18 18 19 19 1 x C19 C19 x C19 x C19 x C19 x C19 x 19 0 1 2 2 3 3 4 18 18 19 19 x 1 x C19 x C19 x C19 x C19 x C18 x C19 x 1 1 x 1 x 19 dx C 0 x C1 x2 C 2 x3 C3 x4 C18 x19 C19 x20 dx 19 19 19 19 19 19 0 0 1 C 0 C1 C 2 C3 C18 C19 C 0 x C1 x2 C 2 x3 C3 x4 C 20 x21 C 21x22 dx 21 21 21 21 19 19 21 21 21 21 21 21 0 2 3 4 5 20 21 1 0 19 1 x 1 x dx 1 t t19dt 0 1 420 1 1 1 1 1 1 1 Vậy S C0 C1 C2 C3 C18 C19 2 19 3 19 4 19 5 19 20 19 21 19 420 Câu 25. Chọn đáp án B 2017 0 1 2 2 2017 2017 Xét f (x) (1 x) C2017 C2017x C2017x C2017 x 1 1 (1 x)2017dx C0 C1 x C2 x2 C2017x2017 dx 2017 2017 2017 2017 0 0 1 1 (1 x)2018 1 1 1 C0 x C1 x2 C2 x3 C2017x2018 2018 2017 2 2017 3 2017 2018 2017 0 0 22018 1 S 2018 Câu 26. Đáp án là B a a n 1 1 n n n 1 x C x C x 1 x dx C 0 C1 x C n xn dx |a C 0 x n n |a n n n o n 0 0 0 n 1 2 n 1 C1 C n 2n 1 1 +) Cho a 1 ta có C 0 n n 1 n 2 n 1 n 1 C1 2 C n 2n 3n 1 1 +) Cho a 2 ta có C 0 2 n n 2 n 2 n 1 n 1 22 1 23 1 24 1 2n 1 1 3n 1 2n 1 Từ 1 , 2 S= C0 C1 C2 C3 Cn n 2 n 3 n 4 n n 1 n n 1
19. 4. Nhị thức Niu tơn Câu 27. Đáp án D 6 6 6 6 6 k k k k k 2 k k 1 x 1 y C6 x C6 y  C6 x y k 0 k 0 k 0 3 3 3 2 3 3 3 3 Số hạng chứa x y k 3 a3 C6 x y 400x y 10 10 10 2 3 2 2 Câu 28. 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x Áp dụng khai triển nhị thức Newton, ta có: 10 10 10 1 x2 1 x C k .x2k . C m .xm k,m  10  10 ¢ k 0 k 0 Để tìm hệ số của x5 ta cho 2k m 5 k;m  0;5 ; 1;3 ; 2;1  5 0 5 1 3 2 1 Vậy hệ số của x là : C10.C10 C10.C10 C10.C10 1902 Câu 29. Đáp án D n Cho x 1 2m. 1 29 m 9 và n chẵn 9 n 2 9 n k i i i 2k i Khai triển 1 x 1 2x C9 Cn 1 .2 .x k 0 i 0 9 n k i i i a10 C9 Cn 1 .2 với k i 10 k 0 i 0 Trong đó i m 10, i2 Nếu n 10 thì các cặp k;i thỏa 2k i 10 là 5;0 , 4;2 , 3;4 5 4 2 3 3 4 4 Và a10 C9 C9 .C10.2 C9.C10.2 305046 30150 (loại)
20. 5 4 2 3 3 4 4 Nếu n 8 thì a10 C9 C9 .C8 .2 C9.C8 .2 108318 30150 (loại) 5 4 2 3 3 4 4 2 6 6 Nếu n 6 thì a10 C9 C9 .C6.2 C9.C6.2 C9 .C6.2 30150 (nhận) 9 n 9 n 2 19 6 k i i i 2k i i i Do đó A 1 x 1 2x C9 Cn 1 .2 .x a19  1 .2 với 2k i 19 k 0 i 0 k 0 i 0 trong đó k,i N và i lẻ. Các cặp k;i 9;1 , 8;3 , 7;5 9 1 8 3 3 3 7 5 5 5 Vậy a19 C9C6. 1 .2 C9.C6. 1 .2 C9 .C6. 1 .2 8364 Câu 30. Đáp án A 0 1 2 20 Biểu thức đã cho viết thành C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 0 1 n 2n 1 2n 1 Mà C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 k 2n 1 k Do tính chất C2n 1 C2n 1 nên 0 1 n 2n 1 21 2n 1 2 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 2 2 n 10 4 7 k 4 10 k 7k Số hạng tổng quát trong khai triển x x là C10.x .x 26 k Hệ số của x trong khai triển là C10 với 4 10 k 7k 26 k 6 6 Hệ số đó là C10 210. [§­îc ph¸t hµnh bëi Dethithpt.com] Câu 31. Đáp án C 2 1 Theo giả thiết ta có Cm Cm 20
21. m m 1 m 20 m2 3m 40 0 m 8 2 5 3 3 3 2x 16 25 2x 16 25 3 5 C8 5 . 3 C8 3 . 3 56 16 3 2x 16 3 2x x 2 x 2 x x 2 x 1 2 2 2 1(loại)  2 2 (nhận) x 1 2 Câu 32. Đáp án D. C1 C2 36 1 n n Theo giả thiết ta có n 2 2 n 1 1 C2 2x . 2 2x 7C1 2x . 2 2x 2 n n n n 1 Phương trình (1) cho n 36 n2 n 72 0 . Giải ra n 8 2 1 Thay n 8 vào 2 : 22x 25x 1 x 3 Câu 33. Đáp án A 2n 1 Khi x 1 P 1 2 a0 a1 a 2 a 2n 2n x 1 P 1 2 a0 a1 a 2 a 2n 2n 1 Suy ra: 2 1 2 2 a0 a 2 a 4 a 2n 22n 1.3 2 x 768 22n 1 29 2n 1 9 n 5 2 3 4 5 Vậy P x a0 a1x a 2x a3x a 4x a5x 2 3 4 P ' x a1 2a 2x 3a3x 4a 4x 5a5x P '' x 2a 6a x 12a x2 20a x3 2 3 4 5 2 P ''' x 6a3 24a 4x 60a5x P ''' 0 6a3
22. 2n 2n 1 Mặt khác ta có: P x x 1 x x 1 P ' x 2n x 1 2n 1 x 1 2n 1 2n 1 x x 1 2n 2 2n 2 2n 2 2n 3 P '' 2n 2n 1 x 1 2 2n 1 x 1 2n 1 2n 2 x x 1 P ''' 2n 2n 1 2n 2 x 1 2n 3 3 2n 1 2n 2 x 1 2n 3 2n 1 2n 2 2n 3 x x 1 2n 4 Ta có: P ''' 0 6a3 a3 0 Câu 34. Đáp án D k 2 k k i 2 i k i Số hạng tổng quát của khai triển là C2017 2x 3x C2017Ck 2x . 3x k i i k i k 1 C2017 .Ck .2 . 3 .x 0 i k 2017 k 2;i 0 Cho k i 2 k 1;i 1 2 0 0 2 1 1 1 0 Vậy a2 C2017 .C2 .2 . 3 C2017 .C1 .2 . 3 18302258 Câu 35. Đáp án A n n n k n k Ta có 1 x x2 1 x 1 x C n xk 1 x C k xk C k xk  k  n  j k 0 k 0 j 0 æk ö Þ T = C n xk ç C k xk ÷ Ta tính các số hạng như sau: k+1 k çå j ÷ èç j= 0 ø÷ 1 2 1 1 2 2 0 2 2 1 3 2 2 4 T0 = 1 ; T1 = CnCn x + CnC1 x = nx;T2 = Cn Cn x + Cn C2 x + Cn C2 x , 2 1 3 0 2 2 3 1 4 0 Như vậy ta có: a3 = Cn C2 + CnC2 ;a4 = Cn C2 + CnC3 + Cn C4 Theo giả thiết a a C 2C1 + C3C 0 C 2C 2 + C3C1 + C 4C 0 3 = 4 Þ n 2 n 2 = n 2 n 3 n 4 14 41 14 41
23. n(n- 1) n(n- 1)(n- 2) n(n- 1) 3n(n- 1)(n- 2) n(n- 1)(n- 2)(n- 3) 2. + + + Û 2! 3! = 2! 3! 4! 14 41 Û 21n2 - 99n- 1110 = 0 Þ n = 10 10 Trong khai triển 1 x x2 a a x a x2 a x20 cho x = 1 ta được 0 1 2 20 10 S a0 a1 a2 a20 3 Câu 36. Đáp án B Phương pháp: n u1 q 1 Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân S n q 1 n 2 k k n k Áp dụng khai triển nhị thức Newton a b Cn a b k 0 n 2 k n Sử dụng tổng 1 1 Cn 2 k 0 Cách giải: p x 1 x 8 1 x 9 1 x 10 1 x 11 1 x 12 8 5 1 x 1 5 1 1 x 13 1 x 8 1 x 13 1 x 8 1 x 1 x x x 13 8 m m n n C13 x C8 x 13 8 m 0 n 0 m m 1 n n 1 C13 x C13 x x x m 0 n 0 1 1 2 2 8 8 9 13 a0 a1 a2 a12 C13 C8 C13 C8 C13 C8 C13 C13 13 8 a b C13 C8 a 1 b 1 n 13 2 k n a 8 0 8 Xét tổng 1 1 Cn 2 C13 2 C8 2 1 k 0 a 1
24. 13 8 a0 a1 a2 a12 2 1 2 1 7936 Câu 37. Đáp án D n n 1 2n 1 n n 1 Ta có 12 22 32 n2 và 1 2 3 n2 6 2 Xét 1 x 1 2x 1 nx Hệ số của x2 là a2 1. 2 3 n 2. 3 4 n n 1 n 1. 1 2 n 1 2. 1 2 n 1 2 n 1 . 1 2 n 1 2 n 1 n n n 1 k k 1 1 n 2 2  k  k n n k k k 1 2 2 2 k 1 2 2 2 2 2 2 1 n 1 n n n n n n 1 2n 1 n n n n 1 2n 1 n2 n k k 3 k 2 2  2 2 4 6 8 12 k 1 2 n2 n 2 2 n 2017 2017.2018 1 2017.2018 Vậy T  T 8 8 2 2 Câu 38. Đáp án A 1000 P 0 a0 2x 1 x 0 1. Ta có a a a 0. 1000 1000 999 1 P 1 a1000 a999 a1 a0 2x 1 x 1 1 Câu 39. Đáp án là C n n 0 n 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n Ta có 2 3 1 Cn .3 Cn .3 Cn .3 Cn .3 1 Cn 2048 n 11 11 k 11 k k 10 Số hạng tổng quát trong khai triển x 2 là Tk 1 C11x 2 vậy hệ số của x ứng với k=1 hệ số 1 cần tìm bằng 2C11 22 210 15 15 15 2 14 15 15 k k i k Câu 40. Ta cã 1 x 1 x x x 1 x  1 C15ai x i 0 k 0
25. 15 Suy ra hÖ sè cña x15 trong khai triÓn 1 x15 lµ k k 0 1 2 15  1 C15ai C15a15 C15a14 C15a13 C15 a0 i k 15 15 15 MÆt kh¸c 1 x15 1 15x15 x225 . Suy ra hÖ sè cña x15 trong khai triÓn 1 x15 lµ 15 . 0 1 2 15 VËy C15a15 C15a14 C15a13 C15 a0 15 (®pcm). Câu 41. Chọn đáp án A 1 n! 1 n! 2 k 1 ! n k 1 ! 9 n k !k! Ta có: a C k , suy ra hệ k n 1 n! 1 n! 9 n k !k! 24 n k 1 !(k 1)! 9k 2 n k 1 2n 11k 2 n 10,k 2 . 24 k 1 9 n k 9n 33k 24 Câu 42. Chọn đáp án A 2 n 2 2n + Theo giả thiết ta có P(x) (1 x x ) a0 a1x a2x a2n x n Thay x=1 ta được S a0 a1 a2 a2n P(1) 3 . Như vậy ta chỉ cần xác định được n n + Với 0 q p n thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức 1 x x2 là q T C pCq n p x p q x2 C pCq x p q p n p1 n p 3 p q 3 Hệ số của x ứng với (p;q)  3;0 , 2;1  0 q p n 3 0 2 1 3 2 Suy ra a3 CnC3 CnC2 Cn 2Cn 4 p q 4 Hệ số của x ứng với (p;q)  4;0 , 3;1 , 2;2  0 q p n
26. 4 0 3 1 2 2 4 3 2 Suy ra a4 CnC4 CnC3 CnC2 Cn 3Cn Cn a a 1 n(n 1)(n 4) 1 n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n n 1 3 4 14 41 14 6 41 24 2 2 1 n 4 1 n2 5n 6 n 1 7n2 33n 370 0 n 10 14 3 41 12 10 Vậy S a0 a1 a2 a2n 3 Câu 43. Đáp án D n n k k Phương pháp: Sử dụng khai triển 1 x Cn .x k 0 n n k k Cách giải: Ta có : 1 x Cn .x k 0 9 9 9 9 9 Do đó hệ số của x trong khai triển trên là C9 C10 C11 C14 3003 .