Chuyên đề Toán 11 - Giới hạn

Nội dung text: Chuyên đề Toán 11 - Giới hạn

1. I. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: k 1 1 lim n lim n (k ¢ ) lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) n n n n n k n n n lim q (q 1) lim q 0 ( q 1) ; lim C C n n n 2. Định lí: 2. Định lí : 1 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì a)Nếu lim u thì lim 0 n u lim (un + vn) = a + b n lim (un – vn) = a – b un b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0 lim (un.vn) = a.b vn un a lim (nếu b 0) c) Nếu lim un =a 0, lim vn = 0 v b n u nếu a.v 0 thì lim n = n b) Nếu u n 0, n và lim un= a thì a 0 và lim nếu a.v 0 vn n u a n d) Nếu lim un = + , lim vn = a nếu a 0 c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim(u .v ) = n n nếu a 0 thì lim un = 0 0 d) Nếu lim un = a thì lim un a * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: , 3. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn 0 u 2 1 , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định. S = u1 + u1q + u1q + = q 1 1 q Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.VD: Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng 0. Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng). Bài 1: Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung) 2 1) lim(n n + 1). ĐS: + n2 1 2) lim( n2 + n + 1). ĐS: - 10) lĐS:im 0 n4 n 2 2 1 3) 2n 3n 8 ĐS: + 2 lim n 1 3 3 11)lim ĐS: 0 4) lim 1 2n n ĐS: - 2n4 n 1 5) lim(2n + cosn). ĐS: + 2n2 n 3 1 2 12) lĐS:im 2/3 6) lim( n 3sin2n + 5). ĐS: + 2 2 3n 2n 1 3n 1 3n3 2n2 n 7) un = . ĐS: + 13) lim ĐS: 3 2n 1 n3 4 n n 8)u n = 2 3 . ĐS: - n4 2n 1 14) lim ĐS: 1 9) lim ĐS: 0 (n 1)(2 n)(n2 1) 3 2 n 4n 3 – n2 + n – 1 15)lim ĐS: -1/2 2n2 – 1
2. 4n – 1 3n3 2n2 n 16)lim ĐS: 2 19) lim ĐS: - n + 1 4 n2 2n 3 17)lim ĐS: 2 4n2 2n 5 3 3 20) lim ĐS: - n 2n 1 3n 1 2n4 n2 3 18) lĐS:im + 3n3 2n2 1 Bài 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa cĩ cơ số lớn nhất) 1 3n 2n 5n 1 1) lim ĐS: 1 4) lim ĐS: 5 4 3n 1 5n 4.3n 7n 1 1 2.3n 7n 2) lim ĐS: 7 5) lim ĐS: -1/2 2.5n 7n 5n 2.7n 4n 1 6n 2 1 2.3n 6n 3) lim ĐS: 0 6)lim ĐS: 1/3 5n 8n 2n (3n 1 5) Bài 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vơ cùng ±vơ cùng; Mẫu ở dạng vơ cùng + vơ cùng ;bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất;) k k Chú ý: nk cĩ mũ ; 3 nk cĩ mũ 2 3 4n2 1 2n 1 4n2 1 2n 1) lim ĐS: 2 4) ĐS:lim 2 n2 4n 1 n n2 4n 1 n n2 3 n 4 (2n n 1)( n 3) 2) ĐS:lim 0 5) ĐS:lim 2 (n 1)(n 2) n2 2 n 2 2 3 n 4n 4n 1 n2 1 n6 6) lim ĐS: -1/( 3 1) 3) lim ĐS: 0 3n2 1 n n4 1 n2 Bài 4: Tính các giới hạn sau: Nếu bài tốn cĩ dạng: + Vơ cùng – vơ cùng khơng cĩ mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau). + Cả tử và mẫu ở dạng: Vơ cùng- vơ cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống nhau) Thì ta nhân liên hợp cĩ căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa cĩ số mũ cao nhất Nếu bài tốn ở dạng vơ cùng + vơ cùng thì kq là vơ cùng ta đặt nhân tử chung cĩ mũ cao nhất rồi tính giới hạn. Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung. 2 2 4 1) ĐS:lim (+ n 3n n) 9) ĐS:lim 1 1 n n 3n 1 2) ĐS:lim (2012n2 2n n 2013) n2 4n 4n2 1 10) lĐS:im -1/( 3 1) 3) ĐS:lim -1/2 n2 n n 3n2 1 n 4) lim( n2 1 n 5) ĐS: 5 1 11) lĐS:im - 5) ĐS:lim (5 n2 2013 n 5) n2 2 n2 4 2 2 6) lim n 2n n 1 ĐS: 0 4n 1 2n 1 12) lĐS:im -1/2 n2 4n 1 n 2 2 7) lim n n n 2 ĐS: 1/2 n2 3 1 n6 13) lim ĐS: 0 3 3 4 2 8) lim 2n n n 1 ĐS: -1 n 1 n Bài 5: Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn) 1 1 1 1) lim ĐS: 1/2 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
3. 1 1 1 2) lim ĐS: 1 1.2 2.3 n(n 1) Bài 6: Tổng Dãy là cấp số nhân lùi vơ hạn: 1 1 1 1 ( 1)n a. S = 1 + + + b. S = 1 + ĐS: a. 2 b.12/11 2 4 10 102 10n 1 1 a a2 an Bài 7: L = lim , với a, b < 1. ĐS: (1-b)/(1-a) n 1 b b2 bn II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; k k nếu k chẵn x x lim x ; lim x 0 x x nếu k lẻ lim c c (c: hằng số) x x c 0 lim c c ; lim 0 2. Định lí: x x xk lim f (x) L 1 1 x x0 lim ; lim a) Nếu lim g(x) M x 0 x x 0 x x x 0 1 1 lim lim thì: * lim  f (x) g(x) L M x 0 x x 0 x x x 0 2. Định lí: * lim  f (x) g(x) L M x x lim f (x) L 0 0 x x a) Nếu 0 thì: * * lim  f (x).g(x) L.M lim g(x) x x x x0 0 f (x) L nếu L. lim g(x) 0 * lim (nếu M 0) x x lim f(x)g(x) 0 x x0 g(x) M x x nếuL. lim g(x) 0 0 x x f(x) 0 0 b) Nếu lim f (x) L thì f (x) * lim 0 x x0 x x0 g(x) * L 0 * lim f (x) L lim f (x) L 0 x x0 x x b) Nếu 0 thì: c) Nếu lim f (x) L thì lim g(x) 0 x x x x0 0 lim f (x) L f (x) nếu L.g(x) 0 x x lim 0 x x nếu L.g(x) 0 0 g(x) 3. Giới hạn một bên: 0 lim f (x) L Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: , , – , x x0 0 lim f (x) lim f (x) L 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định. x x0 x x0 Một số phương pháp khử dạng vơ định: 0 1. Dạng 0 a) L = với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0 P ( x ) l i m x x 0 Q ( x ) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. P(x) b)L=lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x x0 Q(x) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. P(x) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn khơng đồng bậc x x0 Q(x)
4. m n m n Giả sử: P(x) = u(x) v(x) với u(x0 ) v(x0 ) a . Ta phân tích P(x) = m u(x) a a n v(x) . P(x) 2. Dạng : L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. x Q(x) – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. 3. Dạng – : Giới hạn này thường cĩ chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 4. Dạng 0. : Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. Bài 1: Tìm các giới hạn sau: 1) lim (x2 + x). ĐS: 12 x 1 x 3 6) lim ĐS:-2/3 x x 1 x4 x 3 2) lim ĐS: ± x 1 x 1 x2 x 1 1 x x2 x3 7) lim ĐS: 3 3) ĐS:lim 1 x 2 x 1 x 0 1 x x2 2x 3 3x2 1 x 8) lim ĐS: 2 / 2 4) lim ĐS: -3/2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 8 3 9) lim ĐS: 0 sin x x 1 x 2 4 5) lim ĐS: 2 / 3 2 3x 4 3x 2 x x 10) lim ĐS: 0 2 x 2 x 1 1 11) lim x2 sin ĐS: 0 x 0 2 Bài 2: Tìm các giới hạn sau: x2 1 1 x x2 x3 1) lim ĐS: 2 9) lim ĐS: 2 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 3 5x 2 3x 9 2) lim x 2 ĐS: -1 10) lim ĐS: 0 x 0 x 4 2 x 3 x 8x 9 x3 8 5 3) lim . ĐS: 3 x 1 x 2 x2 4 11) lim ĐS: 5/3 x 1 x3 1 3x2 4x 1 4) lim ĐS: 2 x 5x5 4x6 x 1 x 1 12) lim ĐS: 10 2 2x 2 3x 2 x 1 (1 x) 5) lim ĐS: 5 6 5 x 2 x 2 4x 5x x 13) lim 2 ĐS: 0 x4 16 x 1 x 1 6) lim ĐS: -8 x 2 3 2 2 1 x 2x 14) lim 2 ĐS: -1/2 x 1 x 1 x 1 x3 x2 x 1 7) lim ĐS: 0 1 3 2 x 1 x 3x 2 15) lim 3 ĐS: -1 x 1 1 x 1 x x 3 3x 2 5x 3 8) lim ĐS:1 x 1 x 2 1 Bài 3: Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2) 4x 1 3 2 1)lim ĐS:1/6 1 x 1 x 2 2 2) lim ĐS:0 x 4 x 0 x
5. x 5 3 2x 7 x 4 3) lim ĐS: -1/6 6) lim ĐS: -4/15 x 4 4 x x 1 x 3 4x 2 3 x 3 x 3 3x 2 4) lim 2 ĐS:-1/54 7) lim ĐS: 9/4 x 9 9x x x 1 x 2 1 2 x 3 2 3 5) lim ĐS: -1/56 x 3 x 3x x 7 2 8) lim ĐS:1/2 x 49 x 1 x 1 Bài 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2) 1 x 1 x x 2 1 x 1 1) lim ĐS: 1 10) lim ĐS: 2 x 0 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 2) lim ĐS:2 11) lim ĐS:-3/4 x 1 x 3 2 x 0 3 2x 9 x 2 x x 2 2x 3) lim ĐS:-3/4 12) lim ĐS:-1/4 x 2 4x 1 3 x 2 x 1 3 x x 2 2 x2 1 1 4) lim ĐS:3/2 13) lim ĐS:4 x 2 x 7 3 x 0 x2 16 4 2x 7 3 5) lim ĐS:-4/3 x 3 2x x 1 2 x 3 14) lim ĐS:-2/9 x 3 x2 3x x 2 x 6) lim ĐS:3 x 9 x 16 7 x 1 x 1 15) lim ĐS: 7/24 x 0 x 3 5 x 7) lim ĐS:-1/3 x a x a x 4 1 5 x 16) lim , với a> 0. ĐS: 1/ 2a x a x2 a2 2x 2 3x 1 8) lim ĐS:-1/4 x 1 x 1 x 1 17) lim ĐS:2 2x 3 x 2 x 1 2 3 9) lim ĐS:1/6 x 3 x 3x x 1 3x 3 Bài 5: Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3) 3 4x 2 3 1 x 2 1 1) lim ĐS :1/3 5) lim ĐS:1/3 x 2 x 2 x 0 x 2 3 2x 1 1 3 x 1 2) lim ĐS:2/3 6) lim ĐS:1 x 1 x 1 3 x 1 4x 4 2 x 3) lim ĐS:3 5 5x 1 1 x 0 3 1 x 1 7) lim ĐS:1 x 0 x x 5 x 3 2 4) lim ĐS:24 x 1 3 x 1 Bài 6: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn khác bậc) 1 x 3 1 x 1) lim ĐS :1/6 x 0 x 3 x 1 3 x 1 2) lim ĐS:4/3 x 0 2x 1 x 1 1 x 1 3) lim ĐS:3/2 x 0 3 1 x 1 2 1 x 3 8 x 4) lim ĐS:13/12 x 0 x sinx ta n x Bài 7: Tìm các giới hạn sau: ( lim 1; lim =1) x 0 x x 0 x
6. sin x 1) lim ĐS: 2/ 1 x x 7) lim ĐS:0 2 x cos x tan x 1 2 2) lim ĐS:1 sin(x 1) x 0 cos x 8) lim ĐS:-1/2 x 1 x 2 4x 3 1 cos2 2x 3) lim ĐS:4 x 0 xsin x sin x 4 sin 2x sin x 9) lim ĐS:1 4) . lim ĐS:1 x 1 2 sin x x 0 3sin x 4 sin2x tan3x 2sin x 1 5) lim ĐS:5 10) lim ĐS:-1/2 x 0 2 x x 4 cos x 3 sin x 6 6) lim 6 ĐS:1/ 3 x 1 2sin x 6 Bài 8: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân tử, dấu giá trị tuyệt đối) 1) lim (3x3 5x2 + 7) ĐS: - x x 18) lim x 5 ĐS:1 x x3 1 2) lim (2x 3 3x) ĐS:+ x 2x2 7x 12 3 19) lim ĐS: 2 / 3 3) lim (2x 3x) ĐS:± x 3| x | 17 x 4 4) lim 2x4 3x 12 .ĐS:+ x 4 x 20) lim ĐS:- x x 4 2 5) x x 4 2 lim 3 4 ĐS:± 2x x 1 x 21) lim ĐS:- x3 5 x 1 2x 6) lim ĐS:+ x 2 x 2 x 1 22) lim ĐS:-1;1 2x3 x x x2 2 7) lim 2 ĐS:+ x x 2 3 x3 2x2 x 2x 1 23) lim ĐS:1 8) lim ĐS:2 x 2x 2 x x 1 x 2 2x 4 5 16) ĐS: ± 3x 2x lim 2 9) lim ĐS:+ x 2 x 4x 4 x 5x4 x 4 2 2x 1 2 24) lim . ĐS:- x 1 2 10) x 1 (x 1) 2x 3 lim 2 ĐS:-1/5 x 1 3x 5x 5 2 25) lim ĐS:- 3x(2x 1) x 1 (x 1)(x2 3x 2) 11) lim ĐS:6/5 x (5x 1)(x 2 2x) 1 1 26) lim 2 . ĐS:- x 0 x x x x 1 12) lim ĐS:0 4 2 x 1 x x x 1 27) lim ĐS: + 3 2 4x2 1 x 1 x 2x x 13) lim ĐS:-2/3; 2/3 1 1 x 3x 1 28) lim ĐS:- 2 x 2 x 2 x 4 x4 x 14) lim ĐS:+ x2 1 x 1 2x 29) lim ĐS:1/2 2 x x2 x x 2x x 1 15) lim ĐS:-2 2 x x 10 2x x 1 30) lim ĐS:- ;+ x2 3x 2x x x 2 16) lim ĐS:1/3 2 x 3x 1 2x 1 31) lim ĐS:0 x 2 x 2 3x 1 x x3 3x2 2 17) lim ĐS:4; -2/3 2 x 2 x 2x 3 4x 1 4x 1 1 x 32) lim ĐS:-1;5 x 4x2 1 2 x
7. 2 2x2 x 10 4x 2x 1 2 x 37) lim ĐS:0 33) lim ĐS:3;1/5 x 9 3x3 x 9x2 3x 2x x 4 x3 11 2 38) lim ĐS:+ (2x 1) x 3 x 2x 7 34) lim ĐS:2/5 2 2 x 2 (1 x)(1 x) (3 x) x 5x 39) lim ĐS:1 x (2 x)(3 x)2 (4 x)2 x2 2x 3x 35) lim ĐS:4 x6 4x2 x 2 x 2 40) lim ĐS:1 x x 3 2 4 1 2 x (x 2) x2 5x 2 36) lim ĐS:+ x 2 x 1 Bài 9: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp) 2 1 1) lim x x x ĐS:1/2 9) lim ĐS:2 x x x2 x 1 x 2) lim ( x 2 x x) ĐS:+ 10) lim 2x2 1 x ĐS:+ x x 2 3) lim ( x 2 3x 2 x) ĐS:-3/2 11) lim x( x 5 x)ĐS:-1/2; + x x 2 12) lim x2 1 x 1 ĐS:-1 4) lim ( x 3x 2 x) ĐS:+ x x 2 2 5) lim x2 1 x ĐS:0 13) Cho f(x) = x 2x 4 - x 2x 4 . x Tính các giới hạn lim f(x) và lim f(x), từ đĩ nhận x x 6) lim ( x2 2x 4 x) ĐS:+ ;-1 x xét về sự tồn tại của giới hạn lim f(x).ĐS :-2 ;2 x 7) lim ( x 2 x 2) ĐS:0 2 x 14) lim (3x 2 9x 12x 3) ĐS:- ;0 x 8) lim ( x 2 4x 3 x 2 3x 2) ĐS:1/2;-1/2 x Bài 10: Tìm các giới hạn sau: x x 1 x x 1 a. lim x 1 . b. lim ( 5 x 2x) c. lim . d. lim . e. lim x 1 x 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 x3 ĐS:a. 0 b. 10 c.+ d. - e. 0 | 3x 6 | | 3x 6 | | 3x 6 | Bài 11: Tìm các giới hạn sau nếu cĩ a. lim . b. lim . c. lim . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ĐS: a. 3 b. -3 c.Ko xđ Bài 12: Tìm các giới hạn sau: (Để ý đến dấu các biểu thức tử và mẫu khi tính giới hạn này) x 15 x 15 1 3x 2x2 1) lim ĐS:- 2) lim ĐS:+ 3) lim ĐS:- x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x2 4 2 x 2 x 4) lim ĐS:+ 5) lim ĐS:1/3 6) lim ĐS:-1/3 x 2 x 2 x 2 2x2 5x 2 x 2 2x2 5x 2 x2 2x 3x 1 x 1 x 1 7) lim ĐS:0 8) lim ĐS:5/2 9) lim ĐS:1 10) lim ĐS:-1 x 2 3x 1 x 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 3 2x x 2 3x 3 11) lim ĐS:1/2 12) lim ĐS:-1;1 13) lim ĐS:- x 0 2x x 0 4x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 3x 3 x 3 14) lim ĐS:+ 15) lim ĐS:- ;+ x 2 x 2 x 4 x 4 Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: (Giới hạn một bên tiến tới 1 số)
8. 9 x2 khi x 3 1) f (x) x 3 tại x 3 ĐS:-6;-2; ko xđ 1 x khi x 3 x2 2x khi x 2 3 2) f (x) 8 x tại x 2ĐS:-1/6; 32; K xđ x4 16 khi x 2 x 2 x2 3x 2 khi x 1 2 3) f (x) x 1 tại x 1ĐS:-1/2; -1/2; -1/2 x khi x 1 2 1 x 1 khi x 0 3 4) f (x) 1 x 1 tại x 0 ĐS:3/2;3/2;3/2 3 khi x 0 2 Bài 13: Tìm giá trị của m để các hàm số sau cĩ giới hạn tại điểm được chỉ ra: x3 1 khi x 1 1) f (x) x 1 tại x 1ĐS:m=1 mx 2 khi x 1 x m khi x 0 f (x) x2 100x 3 tại x 0 ĐS:m=1 khi x 0 2) x 3 x 3m khi x 1 f (x) tại x 1 x2 x m 3 khi x 1 3) III. Hàm số liên tục 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 lim f (x) f (x0 ) x x0 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) ) x x 0 x x0 x x0 B3: So sánh lim f (x) với f(x0) và rút ra kết luận. x x0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và lim f (x) f (a), lim f (x) f (b) x a x b 4. Hàm số đa thức liên tục trên R. Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đĩ: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f (x) Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) 0. g(x) 6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0. Nĩi cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng:
9. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f (x) ,M = max f (x) Khi đĩ với mọi T (m; M) luơn tồn tại a;b a;b ít nhất một số c (a; b) sao cho f(c) = T. Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: x 3 x 2 3x 4 khi x 1 khi x 1) f (x) 1 tại x 1ĐS: LT 6) f(x) = tại xo = 1ĐS:K Lt x 1 2x 3 khi x 1 1 khi x 1 x 3 2 4 x2 khi x 1 khi x 2 2) f (x) x 1 tại x 1ĐS:Lt 7) f(x) = x 2 tại xo = 2 ĐS:K Lt 1 khi x 1 1 2x khix 2 4 3 x 3 x 6 x khi x 0 2 khi x 2 2 3) f(x) = x x 2 tại x = 2 ĐS: Lt 8) f(x) = tại xo = 0 ĐS: Lt o x 1 1 11 khi x 0 khi x 2 3 3 1 x 1 1 2x 3 x 5 khi x 2 khi x 5 4) f(x) = 2 x tại xo = 2 ĐS:Lt 9) f (x) 2x 1 3 tại x 5ĐS:Lt 2 1 khi x 2 (x 5) 3 khi x 5 2 7x 5x2 x3 1 cos x khi x 0 khix 2 10) f (x) tại x 0 ĐS:K Lt 5) f(x) 2 tại x 2 ĐS:Lt x 1 khi x 0 x 3x 2 1 khi x 2 x 1 khi x 1 11) f (x) 2 x 1 tại x 1 ĐS:Lt 2x khi x 1 Bài 2: Tìm m, n,a để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 3 2 3x2 2x 1 khi x 1 x x 2x 2 4) f(x) = tại x = 1ĐS:a=2 1)khi x 1 ĐS:m=0 0 f(x) x 1 tại x 1 2x a khi x 1 3x m khi x 1 x 3 2x 3 khi x 1 1 x 1 x 2) f(x) = 2 tại x0 = 1 ĐS:a=5/2 khi x 0 x 1 x 5) f(x)= tại xo= 0 ĐS:a=-3 a khi x 1 4 x a khi x 0 x2 khi x 1 x 2 3) f (x) tại x 1 ĐS:m=2 2mx 3 khi x 1 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 6) f(x)= tại x0 = 2 ĐS:a=0 1 ax + khi x 2 4 Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: x 2 3x 7 khi x 2 x2 4 1) f(x) = Lt / R 4) f (x) khi x 2 ĐS:Lt/ R 1 x khi x 2 x 2 4 khi x 2 2 x 3x 4 khi x 2 x2 2 2)f (x) 5 khi x 2 ĐS:K Lt tại x=2 khi x 2 2x 1 khi x 2 5) f (x) x 2 ĐS: Lt / R 2 2 khi x 2 x3 x 2 khi x 1 3 3) f (x) x 1 ĐS:Lt/ R 4 khi x 1 3
10. x 2 3x 10 khi x 2 x 2 4 2x 3 6) f(x)= khi 2 x 5 ĐS:K Lt tại x=5 x 2 3x 4 khi x 5 Bài 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: x2 x 2 x3 x2 2x 2 khi x 2 khi x 1 1) f (x) x 2 ĐS:m=3 3) f (x) x 1 ĐS:m=0 m khi x 2 3x m khi x 1 x2 x khi x 1 x2 khi x 1 4) f (x) ĐS: m=2 2) f (x) 2 khi x 1 ĐS: m=1 2mx 3 khi x 1 mx 1 khi x 1 Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm: a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 e) x5 + 9x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0 h)x5 x 1 0 i)x4 x3 3x2 x 1 0 Bài 6: Chứng minh rằng phương trình a) x3 – 3x2 + 3 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – 3 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – 4 = 0 cĩ 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (0;5) g) x5 5x3 4x 1 0 cĩ 5 nghiệm trên (–2; 3). Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt: 1) x3 3x 1 0 2)x3 6x2 9x 1 0 3)2x 63 1 x 3 Bài 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số: 1) m(x 1)3(x 2) 2x 3 0 2) x4 mx2 2mx 2 0 3) cos x m cos2x 0 4) m(2 cos x 2) 2sin 5x 1 5) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 6) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0