›
›
›

Chuyên đề Toán học lớp 11 - Lượng giác luyện thi THPT quốc gia

doc 51 trang xuanha23 09/01/2023 3204
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Toán học lớp 11 - Lượng giác luyện thi THPT quốc gia", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_toan_hoc_lop_11_luong_giac_luyen_thi_thpt_quoc_gia.doc

Nội dung text: Chuyên đề Toán học lớp 11 - Lượng giác luyện thi THPT quốc gia

  1. CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 1 CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (3 Tiết) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho (OA,OM) . Giả sử M(x; y) . cos x OH sin y OK sin tan AT k cos 2 cos cot BS k sin Nhận xét: •  , 1 cos 1; 1 sin 1 • tan xác định khi k ,k Z • cot xác định khi k ,k Z 2 • sin( k2 ) sin • tan( k ) tan cos( k2 ) cos cot( k ) cot 2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + – 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
  2. 2 3 3 0 2 6 4 3 2 3 4 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 1 sin 0 2 3 1 3 2 0 –1 0 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 cos 1 0 –1 0 1 2 2 2 2 2 3 tan 0 1 3 3 –1 0 0 3 3 3 cot 3 1 0 –1 0 3 3 4. Hệ thức cơ bản: 1 1 sin2 cos2 1; tan .cot 1; 1 tan2 ; 1 cot2 cos2 sin2 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2
  3. Góc hơn kém Góc hơn kém 2 sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng sin(a b) sin a.cosb sin b.cosa tan a tan b tan(a b) 1 tan a.tan b sin(a b) sin a.cosb sin b.cosa tan a tan b cos(a b) cosa.cosb sin a.sin b tan(a b) 1 tan a.tan b cos(a b) cosa.cosb sin a.sin b 2. Công thức nhân đôi sin 2 2sin .c1o s tan 1 tan Hệ quả: tan , tan 4 1 tan 4 1 tan cos2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2 2 tan cot2 1 tan 2 ; cot 2 1 tan2 2 cot 1 cos2 3 sin2 sin3 3sin 4sin 2 cos3 4 cos3 3cos 2 1 cos2 cos 3tan tan3 2 tan3 1 cos2 2 tan2 1 3tan 1 cos2 3. Công thức biến đổi tổng thành tích
  4. a b a b sin(a b) cosa cosb 2 cos .cos tan a tan b 2 2 cosa.cosb a b a b sin(a b) cosa cosb 2sin .sin tan a tan b 2 2 cosa.cosb a b a b sin(a b) sin a sin b 2sin .cos cot a cot b 2 2 sin a.sin b a b a b sin(b a) sin a sin b 2 cos .sin cot a cot b 2 2 sin a.sin b sin cos 2.sin 2.cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 4. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cosa.cosb cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.cosb sin(a b) sin(a b) 2 B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung: + Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng. + Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của cung và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục nằm (Ox) là trục cosin; khi thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; -/+= - 2. Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung: + Nếu biết trước sin thì dùng công thức: sin2 cos2 1 để tìm cos , lưu ý:xác sin cos định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. tan ; cot hoặc cos sin 1 cot tan + Nếu biết trước cos thì tương tự như trên.
  5. 1 + Nếu biết trước tan thì dùng công thức: 1 tan2 để tìm cos , lưu ý: cos2 1 xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. sin tan .cos , cot tan 3. Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác: Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7 hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành vế kia. biến đổi một vế thành vế kia) 2 2 sin cos 1 a b 2 a2 2ab b2 3 tan .cot 1 k ,k ¢ a b a3 3a2b 3ab2 b3 2 a3 b3 a b a2 ab b2 2 1 1 tan 2 k ,k ¢ cos 2 a3 b3 a b a2 ab b2 1 1 cot2 k ,k ¢ a2 b2 a b a b sin2 sin cos tan ; cot cos sin 4. Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác: + Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai ” + Chú ý: Với k ¢ ta có: sin k2 sin cos k2 cos tan k tan cot k cot C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1: Bài tập 1.1: Cho . Xác định dấu của các giá trị lượng giác: 2 3 a) sin b) cos c) tan d) cot 2 2 2 Giải 3 3 a) vậy sin 0 2 2 2 2 2
  6. Dạng 2: Bài tập 2.1: Tính các giá trị lượng giác của góc biết: 3 13 a) sin với g) tan ,0 5 2 8 2 4 19 b) cos ,0 h) cot , 13 2 7 2 4 3 1 3 c) tan , 2 i) cos , 5 2 4 2 3 2 d) cot 3, 2 j) sin , 2 3 2 2 7 e) sin ,0 k) tan ,0 5 2 3 2 3 4 3 f) cos 0,8 với 2 l) cot , 2 2 19 2 Giải a) Do nên cos 0, tan 0,cot 0 2 4 cos loai 2 2 2 2 16 5 sin cos 1 cos 1 sin 25 4 cos nhan 5 sin 3 4 tan ; cot cos 4 3 3 c) Do 2 nên sin 0,cos 0,cot 0 2 5 cos nhan 1 25 41 1 tan2 cos2 cos2 41 5 cos loai 41 4 1 41 sin cos .tan ; cot 41 tan 4 Các bài tập còn lại làm tương tự. 1 Bài tập 2.2: Biết sin a và a . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc: 2 ; 3 2 2 2 2 a) Do a nên cos a 0 cos a 2 3
  7. 4 2 sin 2a 2sin a cos a 9 7 cos2a cos2a sin2 a 9 4 2 7 tan 2a ;cot a 7 4 2 b) a cos 0,sin 0 2 4 2 2 2 2 a 1 cos a a 1 cos a 3 2 2 sin2 sin 2 2 2 2 6 a 1 cos a 3 2 2 cos 2 2 6 a a t an 3 2 2;cot 3 2 2 2 2 Bài tập 2.3: Tính cos2a,sin 2a, tan 2a biết: 5 3 5 4 a) cos a , a ; cos a , a ; cos a , a 0 13 2 13 2 5 2 3 3 b) sin a , a 5 2 1 3 c) sin a cos a và a 2 4 Hướng dẫn: a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi. 12 120 119 sin a ; sin 2a ; cos2a cos2a sin2 a hoặc cos2a 2cos2 a 1; 13 169 169 120 tan 2a 169 1 2 1 1 3 c) sin a cos a sin a cos a 1 sin 2a sin 2a 2 4 4 4 3 3 7 a 2a 2 cos2a 0; cos2a 1 sin2 2a 4 2 4 3 tan 2a 7
  8. 5 Bài tập 2.4: Cho sin 2a và a . Tính sina, cosa 9 2 + Vì a nên sin a 0,cos a 0 2 + a 2a 2 nên cos2a có thể dương và có thể âm 2 2 14 cos2a 1 sin2 2a 9 2 14 TH1: cos2a 9 1 cos2a 2 14 1 cos2a 14 2 cos a ;sin a 2 6 2 6 2 14 TH2: cos2a 9 1 cos2a 14 2 1 cos2a 2 14 cos a ;sin a 2 2 2 6 Dạng 3: Bài tập 3.1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác: sin3 a cos3a a) 1 sin a cos a Biến đổi: sin a cos a sin3 a cos3a sin a cos a sin2a sin a cos a cos2a sin2 a cos2a tan a 1 b) Biến đổi: sin2 a cos2a sin a cos a sin a cos a , chia tử và 1 2sin a cos a t ana 1 mẫu cho cos a c) sin4 a cos4a sin6 a cos6a sin2 a cos2 a Biến đổi: sin6 a cos6a sin2 a cos2 a sin4 a sin2 a cos2 a cos4a t ana tan b 1 1 d) tan a tan b Biến đổi: cot b cot a cot b cot a t anb t ana e) 2 sin6a cos6a 1 3 sin4a cos4a
  9. VT sin6 a cos6a 2 sin2a cos2a sin4 a sin2 a cos2 a cos4a 1 2 2 sin4 a cos4a 1 2sin2 a cos2 a 2 sin4 a cos4a sin2 a cos2a 2sin2 a cos2 a VP f) 3 sin4 x cos4 x 2 sin6 x cos6 x 1 2 Sử dụng a2 b2 a b 2ab và a3 b3 g) tan2 a sin2 a tan2 a.sin2 a 2 sin a 2 2 2 VT 2 sin a sin a 1 tan a 1 VP cos a sin a 1 cos a 2 h) 1 cos a sin a sin a 2 sin2 a 1 cos a sin2 a 1 2cos a cos2a VT VP sin a 1 cos a sin a 1 cos a i) cos4a sin4 a 2cos2 a 1 Sử dụng a2 b2 1 sin2 a j) 1 2 tan2 a ( nếu sin a 1) 1 sin2 a 1 sin2 a 1 sin2 a VP VT cos2a cos2a cos2a sin2 a cos2a 1 cot a k) 1 2sin a cos a 1 cot a sin a cos a sin a cos a sin a cos a VT sin a VP sin a cos a 2 sin a cos a sin a l) cot2 a cos2a cot2 a cos2 a 2 2 cos2a cos a 1 sin a VT cos2a VP sin2 a sin2 a m) tan2 a sin2 a tan2 a sin2 a t ana sin a n) cos a sin a cot a 1 sin2 a o) 1 2 tan2 a 1 sin2 a
  10. cos2a sin2 a p) sin2 a.cos2a cot2 a tan2 a Bài tập 3.2: Chứng minh các đẳng thức sau: 1 3 1 a) sin4 a cos4a 1 sin2 2a cos4a 2 4 4 2 2 1 sin4 a cos4a sin2 a cos2a 2sin2 a cos2 a 1 2. sin a cos a 1 sin2 2a 1 2 1 2 1 1 cos4a 1 1 3 1 1 sin 2a 1 1 cos4a cos4a 2 2 2 2 4 4 4 4 Từ (1) và (2) suy ra đpcm 5 3 b) sin6 a cos6a cos4a 8 8 Hướng dẫn: x3 y3 x y x2 xy y2 sau đó áp dụng x2 y2 x y 2 2xy 1 c) sin a cos5 a cos asin5 a sin 4a 4 sin a cos5 a cos asin5 a sin a cos a cos4a sin4 a sin a cos a cos2a sin2 a cos2a sin2 a 1 d) cos8a sin8 a cos2a sin 4asin 2a 4 2 Sử dụng a2 b2 a b a b sau đó sử dụng a2 b2 a b 2ab cos2a cos a sin a e) 1 sin 2a cos a sin a cos2a sin2 a cos2a sin2 a VT 1 2sin a cos a sin a cos a 2 2 f) cot x t anx sin 2x cos x sinx cos2 x sin2 x Hướng dẫn: sinx cos x sin x cos x g) cot x t anx 2cot 2x phân tích như trên sin 2x 2sin x cos x h) t anx Hướng dẫn: VT 1 cos2x cos2 x
  11. 1 cos2x 2sin2 x i) tan2 x Hướng dẫn: VT 1 cos2x 2cos2 x 1 j) cos3a sin a sin3 a cos a sin 4a 4 Hướng dẫn: Tương tự như câu c sin3 a cos3a sin 2a k) 1 Sử dụng hằng đẳng thức a3 b3 sin a cos a 2 cos a sin a cos a sin a l) 2 tan 2a cos a sin a cos a sin a Hướng dẫn: Quy đồng mẫu sin 2a 2sin a a m) tan2 sin 2a 2sin a 2 a Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng 1 cos a 2sin2 2 1 sin a 2 a n) cot 1 sin a 4 2 2 a 1 cos a 2cos 2 4 2 VT VP 2 a 1 cos a 2sin 2 4 2 sin 2a sin a 0) t ana 1 cos2a cos a 2sin a cos a Hướng dẫn: VT 2cos2 a cos a 4sin2 a p) a a 1 cos2 16cos2 2 2 a a 4.4sin cos Hướng dẫn: VT 2 2 VP a sin2 2 tan 2a q) cos4a tan 4a tan 2a
  12. tan 2a 1 tan2 2a VT 2 tan 2a 2 tan 2a 1 tan 2a 1 tan2 2a 3 4cos 2a cos4a r) tan4 a 3 4cos 2a cos4a HD: cos4a 2cos2 2a 1 sau đó sử dụng cos2a 1 2sin2 a sin a sin 3a sin 5a s) tan 3a cos a cos3a cos5a sin 5a sin a sin 3a VT cos5a cosa +cos3a 1 cos a a t) tan2 cos2a sin2 a 1 cos a 2 a Sử dụng công thức hạ bậc 1 cos a 2cos2 2 Bài tập 3.3: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a a) A 2 sin6 a cos6a 3 sin4 a cos4a Sử dụng a3 b3 A 1 b) B 4 sin4 a cos4a cos4a 2 Sử dụng a2 b2 a b 2ab và cos2a 1 2sin2 a B 3 1 c) 4cos4 a 2cos 2a cos4a 2 3 Sử dụng cos2a=2cos2a 1 C 2 Dạng 4: Bài tập 4.1: Đơn giản các biểu thức sau: a) A 1 sin2 a cot2 a 1 cot2 a cos2a A cot2 a sin2 a.cot2 a 1 cot2 a 1 sin2 a sin2 a sin2 a
  13. 2cos2 a 1 b) B sin a cos a cos2a sin2 a B cos a sin a sin a cos a c) C 1 cot a sin3 a 1 t ana cos3a cos a 3 sin a 3 2 2 C 1 sin a 1 cos a sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin2 a tan2 a d) D cos2a cot2 a 2 2 1 2 1 cos a sin a 1 2 sin a 4 2 cos a 2 sin a sin a D cos a . tan6 a 2 4 2 2 1 2 1 sin a cos a cos a cos a 1 2 cos a sin a sin2 a sin a cos a 2 1 e) E cot a sin a cos a sin2 a 2sin a cos a cos2a 1 2sin a cos a.sin a E 2 tan2 a 1 cos a.cos2 a cos a sin a sin a 1 sin2 a cos2 a f) F sin2 a sin2 a 1 2 2 1 2 2 2 2 F 2 cos a sin a 2 cos a sin a 1 cot a 1 cot a sin a sin a 2cos2 a 1 g) G sin a cos a 2 2 2 2cos a sin a cos a cos2a sin2 a G cos a sin a sin a cos a sin a cos a h) H sin2 a 1 cot a cos2a 1 t ana cos a sin a H sin2 a 1 cot a cos2a 1 t ana sin2 a sin2 a cos2a cos2a. sin a cos a sin2 a 2sin a cos a cos2a sin a cos a 2 i) I cos2a cos2a.cot2 a I= cot2 a j) J sin2 a sin2 a.tan2 a J= tan2 a
  14. 2cos2 a 1 k) K K= cos a sin a sin a cos a Bài tập 4.2: Đơn giản các biểu thức: 2 2 a) A sin sin cos sin A=1 2 2 3 b) B sin2 sin2 cos2 B=sin2 8 8 3 3 Hướng dẫn: sin cos cos 8 2 8 8 5 c) C sin x cos x tan x tan x C=-2cosx 2 2 2 Hướng dẫn: sin x sin x sin x cos x ; 2 2 2 cos x cos x 5 tan x tan 2 x tan x cot x 2 2 2 tan x cot x 2 17 9 d) D sin x cos x tan 5 x cot x D=-2sinx 2 2 17 Hướng dẫn: cos x cos x 8x sinx 2 2 9 9 9 cot x cot x cot x cot x 4 cot x t anx 2 2 2 2 2 3 e) E sin a có a cot 2 a tan a E=-2sina 2 2 3 Hướng dẫn: tan a tan x tan x cot a 2 2 2 Bài tập 4.3: Tính: a) A sin2 100 sin2 200 sin2 300 sin2 800 ( 8 số hạng) A sin2 100 sin2 800 sin2 200 sin2 700 sin2 300 sin2 600 sin2 400 sin2 500
  15. sin2 100 cos2100 sin2 200 cos2 200 sin2 300 cos2 300 sin2 400 cos2 400 4 b) B cos100 cos200 cos300 cos1800 (18 số hạng) B cos100 cos1700 cos200 cos1600 cos900 cos1800 cos100 cos100 cos200 cos200 0 1 1 25 9 4 19 c) C sin cos tan cot 4 4 3 6 C sin 6 cos 2 tan cot 3 sin cos tan cot 2 4 4 3 6 4 4 3 6 d) D tan100.tan 200 tan 700 , tan800 D t an100.tan800 tan 200.tan 700 t an 300.tan 600 tan 400.tan 500 tan100.cot100 1 e) E cos200 cos400 cos600 cos1800 E cos200 cos1600 cos400 cos1400 cos1800 1 ( cos1600 cos 1800 200 cos200 ; tương tự những phần còn lại nên cos200 cos1600 0 ) D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 1. Nhận biết: Câu 1: Góc có số đo 1200 được đổi sang số đo rad là : 3 2 A. 120 B. C. 12 D. 2 3 Câu 2: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? o o o o o o A. cos45 sin135 . B.cos120o sin60o. C. cos45 sin 45 . D. cos30 sin120 . Câu 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ;  ta có: A. cos( + )=cos +cos C. tan(  ) tan tan  tan tan  B. cos( - )=cos cos -sin sin . D. tan ( -  ) = 1 tan .tan  Câu 4: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ;  ta có: sin 4 1 tan A. tan 2 C. tan cos2 1 tan 4
  16. B. cos( + )=cos cos -sin sin D. sin(  ) sin cos -cos sin 3 Câu 5: sin là: 10 4 cos B. cos C. 1 cos cos A. 5 5 5 D. 5 2. Thông hiểu: 3 Câu 6: Biểu thức A sin( x) cos( x) cot( x ) tan( x) có biểu thức rút gọn 2 2 là: A. A 2 sin x . B. A 2sinx C. A 0. D. A 2 cot x . Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: A. (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx B. (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx C. sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x D. sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x Câu 8: Tính giá trị của biểu thức P tan tan sin 2 nếu cho 4 3 cos (   ) 5 2 12 1 A. B. 3 C. D. 1 15 3 2 Câu 9: Cho cos x x 0 thì sin x có giá trị bằng : 5 2 3 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 5 3 Câu 10: Biết sin a ; cosb ( a ; 0 b ) Hãy tính sin(a b) . 13 5 2 2 63 A. 0 B. C. 56 D. 33 65 65 65 Câu 11: Với mọi số nguyên k, khẳng định nào sau đây là sai? k A. cos(k ) ( 1) k B. tan( ) ( 1) k 4 2 k 2 C. sin( ) ( 1) k D. sin( k ) ( 1) k 4 2 2 2
  17. Câu 12: Giá trị cos[ (2k 1) ] bằng : 3 3 1 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 13: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5cm (lấy 3,1416 ) A. 22054cm B. 22043cm C. 22055cm D. 22042cm Câu 14: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm .Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là: A. 2,77cm . B. 2,78cm . C. 2,76cm . D. 2,8cm . 5 Câu 15: Cho sin a cos a . Khi đó sina.cosa có giá trị bằng : 4 9 3 5 A. 1 B. C. D. 32 16 4 3. Vận dụng thấp: sin x Câu 16: Đơn giản biểu thức E cot x ta được 1 cos x A. 1 B. cosx C. sinx D. 1 sin x cos x 2 4 6 Câu 17: Cho cot a .Tính K sin sin sin 14 7 7 7 a a a A. a B. C. D. 2 2 4 cos x tan x Câu 18: Đơn giản biểu thức F cot x cos x sin 2x A. 1 B. 1 C.cosx D. sinx sin x cos x Câu 19: Đơn giản biểu thức G (1 sin 2 x)cot 2 x 1 cot 2 x A. 1 B. 1 C.cosx D. sin2x sin x cos x Câu 20: Tính M tan10 tan 20 tan30 tan890
  18. 1 A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 4. Vận dụng cao: 1 3 3 Câu 21:Cho sin x cos x và gọi M sin x cos x. Giá trị của M là: 2 1 11 7 11 A. M . B. M . C. M . D. M . 8 16 16 16 2sin 3cos Câu 22: Cho tan 3 . Khi đó có giá trị bằng : 4sin 5cos 7 7 9 9 A. . B. .C. . D. . 9 9 7 7 Câu 23: Cho tan cot m Tính giá trị biểu thức cot3 tan3 . A. m3 3m B. m3 3m C. 3m3 m D. 3m3 m Câu 24: Với giá trị nào của n thì đẳng thức sau luôn đúng 1 1 1 1 1 1 x cos x cos , 0 x . 2 2 2 2 2 2 n 2 A. 4. B. 2. C. 8. D. 6. 1 1 1 1 Câu 25: Biết + + + = 6 . Khi đó giá trị của cos2x bằng sin2 x cos2 x tan2 x cot2 x A. 2. B. 2 . C. 1. D. 0 .
  19. CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ( 2 tiết) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hµm sè y = sin x. */ TËp x¸c ®Þnh: D = ¡ ; */ x ¡ ta lu«n cã: 1 sin x 1; */ Hµm sè y = sin x lµ mét hµm sè lÎ trªn ¡ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú 2 . */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π -1 2. Hµm sè y = cos x. */ TËp x¸c ®Þnh: D = ¡ ; */ x ¡ ta lu«n cã: 1 cos x 1; */ Hµm sè y = cos x lµ mét hµm sè ch½n trªn ¡ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú 2 . */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π -1 3. Hµm sè y = tan x.  */ TËp x¸c ®Þnh: D ¡ \ k ,k ¢  ; 2 
  20. */ Hµm sè y = tan x lµ mét hµm sè lÎ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú ; */ §å thÞ: y 1 x -3π/2 -π -π/2 -π/4 π/4 π/2 π 3π/2 -1 4. Hµm sè y = cot x. */ TËp x¸c ®Þnh: D ¡ \ k ,k ¢ ; */ Hµm sè y = cot x lµ mét hµm sè lÎ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú ; */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 π 3π/2 2π -1 B. CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 1.1 Kĩ năng cơ bản a. D được gọi là TXĐ của hs y f (x) D { x ¡ | f (x) có nghĩa} A A b. có nghĩa khi B 0 ; A có nghĩa khi A 0 ; có nghĩa khi B 0 B B c. 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 1 sinx 0 &1 cos x 0
  21. d. Các giá trị đặc biệt : •sin x 0 x k ,k ¢ •cosx 0 x k ,k ¢ 2 •sinx 1 x k2 ,k ¢ •cosx 1 x k2 ,k ¢ 2 •sinx -1 x k2 ,k ¢ •cosx -1 x k2 ,k ¢ 2 e. Hàm số y = tanx xác định khi x k ,k ¢ 2 f. Hàm số y = cotx xác định khi x k ,k ¢ 1.2 Bài tập luyện tập Bài 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè: 1/ y cos2x 2/ y sin 3x 1 3/ y sin 4/ y cos x2 4 x Gi¶i. 1/ Do 2x ¡ , x ¡ nªn hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ D ¡ . 2/ Hµm sè y sin 3x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 3x 0 x 0 . VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D 0; . 1 1 3/ Hµm sè y sin x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi ¡ x 0. VËy tËp x¸c ®Þnh cña x x hµm sè ®· cho lµ D ¡ \ 0. 2 2 x 2 4/ Hµm sè y cos x 4 x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi x 4 0 . VËy tËp x 2 x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D ; 2 2; . Bài 2: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè: 1 cos x 1/ y ; 2/ y 2 cos3x ; sin x
  22. 3/ y cot x ; 4/ y tan 2x . 3 6 Gi¶i. 1 cos x 1/ Hµm sè y x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi sin x 0 x k , k ¢ . VËy sin x tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D ¡ \ k , k ¢ . 2/ Hµm sè y 2 cos3x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 2 cos3x 0. Mµ 2 cos3x 0 x ¡ . VËy hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ D ¡ . 3/ Hµm sè y cot x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 3 sin x 0 x k x k , k ¢ . VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm 3 3 3  sè ®· cho lµ D ¡ \ k ,k ¢ . 3  4/ Hµm sè y tan 2x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 6 2 cos 2x 0 2x k 2x k x k , k ¢ . VËy 6 6 2 3 3 2  tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D ¡ \ k , k ¢ . 3 2  Dạng 2: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác 2.1. Kĩ năng cơ bản Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra x D x D, x Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng +) Nếu f(-x) = f(x) thì f(x) là hàm số chẵn. +) Nếu f(-x) = - f(x) thì f(x) là hàm số lẻ.
  23. +) Nếu f(-x) - f(x) f(x) thì f(x) là hàm số không chẵn không lẻ. Lưu ý: Một số nhận xét nhanh để xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác + Tổng hoặc hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn + Tích của hai hàm chẳn là hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là hàm chẵn + Tích của một hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ + Bình phương hoặc trị tuyệt đối của hàm lẻ là hàm chẵn (Áp dụng điều này chúng ta có thể xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác một cách nhanh chóng để làm trắc nghiệm nhanh chóng hơn nhiều). 2.2 Bài tập luyện tập Bài tập: X¸c ®Þnh tÝnh ch½n, lÎ cña c¸c hµm sè: 1/ y = x2sin 3x 2/ y = cosx + sin2x 3/ y = tanx.cos2x 4/ y = 2cosx – 3sinx. Gi¶i. 1/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = x2sin 3x lµ D ¡ . x D ta cã: */ x D ; */ f(-x) = (-x)2sin(-3x) = - x2sin3x = - f(x). VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè lÎ trªn ¡ . 2/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = cosx + sin2x lµ D ¡ . x D ta cã: */ x D ; */ f(-x) = cos(- x) + sin2(- x) = cosx + sin2x = f(x). VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè ch½n trªn ¡ .  3/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = tanx.cos2x lµ D ¡ \ k ,k ¢  . 2  x D ta cã: */ x D ;
  24. */ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x). VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè lÎ trªn D. 4/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = 2cosx – 3sinx lµ D ¡ . 5 2 2 Ta cã f , mÆt kh¸c f nªn f f . 4 2 4 2 4 4 VËy hµm sè ®· cho kh«ng ph¶i lµ hµm sè ch½n vµ còng kh«ng ph¶i lµ hµm sè lÎ. Dạng 3: Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 3.1 Kĩ năng cơ bản Sử dụng các t/c sau : • 1 sinx 1 ; -1 cosx 1; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B • 1 sinx 1, 1 cosx 1;0 cos2 x 1 • Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn a;b thì max f (x) f (b) ; min f (x) f (a) a;b a;b • Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn a;b thì max f (x) f (a) ; min f (x) f (b) a;b a;b • a2 b2 asin x bcos x a2 b2 3.2 Bài tập luyện tập Bài tập: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c hµm sè: 1/ y 2cos x 1 2/ y 1 sin x 3 3 Gi¶i: 1/ Ta cã x ¡ : 1 cos x 1 2 2cos x 2 3 y 1. VËy 3 3 gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ 1, x¶y ra khi cos x 1 x k2 x k2 ,k ¢ . 3 3 3
  25. Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y lµ -3 ®¹t ®­îc khi 4 cos x 1 x k2 x k2 , k ¢ . 3 3 3 2/ Ta cã x ¡ ,0 1 sin x 2 0 1 sin x 2 3 y 2 3. VËy, gi¸ trÞ lín nhÊt cña y lµ 2 3, khi sin x 1 x k2 , k ¢ ; gi¸ trÞ 2 nhá nhÊt cña y lµ -3, khi sin x = -1 x k2 , k ¢ . 2 Dạng 4.Tìm chu kỳ của hàm sốlượng giác Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng: 1) Hàm số y sinx , y cosx có chu kỳ T 2 . 2) Hàm số y tanx , y cotx có chu kỳ T . 2 3) Hàm số y sin(ax+b) , y cos(ax+b), với a 0 có chu kỳ T . a 4) Hàm số y tan(ax+b) , y cot(ax+b), với a 0 có chu kỳ T . a 5) Hàm số f1 có chu kỳ là T1 , hàm số f2 có chu kỳ là T2 thì hàm số f1 f2 có chu kỳ T BCNN(T1,T2 ) . Bài tập: Bài 1. Tìm chu kỳ của hàm số y 1 cos 3x 5 2 Giải: Chu kỳ T 3 Bài 2. Tìm chu kỳ của hàm số y 2cot 4x 3 Giải: Chu kỳ T 4 4 Bài 3. Tìm chu kỳ của hàm số y cos2 x tan(2x ) 1 cos 2x 2 Giải: ta có: cos2 x T 2 1 2
  26. tan(2x ) T 2 2 Vậy chu kỳ của hàm số là: T BCNN ; 2 Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số y sin x cos3x Giải: 1 1 Ta có : y sin x cos3x sin 2x sin 4x 2 2 1 2 +) Hàm số y sin 2x có chu kỳ T 2 1 2 1 2 +) Hàm số y sin 4x có chu kỳ T 2 2 4 2 Vậy chu kỳ của hàm số là: T BCNN ; 2 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 1. Nhận biết 1 Câu 1. Tập xác định của hàm số y là? 2 sin x  A. D ¡ \ k  B. D ¡ . C. D ¡ \ 0 D. D ¡ \ k  2  Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y cos x . B. y sin x C. y tan x D. y cot x Câu 3. Khẳng định nào sau đây là SAI? A. Hàm số y cot x có tập giá trị là 0; . B. Hàm số y sin x có tập giá trị là 1;1. C. Hàm số y cos x có tập giá trị là  1;1. D. Hàm số y tan x có tập giá trị là ¡ . Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số y 3sin 2x 5 là: A. 2. B. 8. C. 5 . D. 3. Câu 5. Hàm số y sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ A. . B. 2 . C. 3 . A. 4 .
  27. 2. Thông hiểu Câu 6. Tập xác định của hàm số y = tan 2x là p p p p p p A. x ¹ + k B. x ¹ + kp C. x ¹ + kp D. x ¹ + k 4 2 2 4 8 2 sin x Câu 7. Tập xác định của hàm số y là 1 cos x  A. D ¡ \ k2 | k ¢  B. D ¡ \ k2 | k ¢  2   C. D ¡ \ k | k ¢  D. D ¡ \ k | k ¢  2  1 Câu 8. Tập xác định của hàm số y là? 2 cos x  A. R . B. R \ k2 ,k Z C. R \ k2 ,k Z D. R \ 2 2  Câu 9. Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D. Khẳng định nào sai? A. f[sin(– x)] = – f(sinx). B. f[cos(– x)] = f(cosx). C. sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ]. D. cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ]. Câu 10. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó? sin x sin2 x cos x tan x A. y . B. y . C. y = . D. y . 1 sin x 1 cos x x x2 1 sin2 x Câu 11. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 7 2cos(x ) lần lượt là: 4 A. 2 và 7 . B. 2 và 2 . C. 5 và 9 . D. 4 và 7 . Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin2 x 4sin x 2 là: A. 20 . B. 1. C. 0 . D. 9 . Câu 13. Giá trị lớn nhất của hàm số y 4 2cos x cos2 x là: A. 2 . B. 5 . C. 0 . D. 3 . Câu 14. Tập giá trị của hàm sô y tan(x 2) là A. ¡ \ 0 B. ¡ \ 1 C. ¡ \ 1,1 D. ¡
  28. Câu 15. Hàm số y tan 4 x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 A. . B. . C. . A. . 4 2 2 4 3. Vân dụng Câu 16. Tập xác định của hàm số y tan2 x 1 là:   A. D ¡ \ k  B. D ¡ \ k  C. D ¡ D. D ¡ \ k  2 2 2   Câu17. Tập xác định của hàm số y 1 cos x là?  A. R . B. R \ k2 ,k Z C. R \ k2 ,k Z D. R \ k ,k Z 2  Câu 18. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R? cos x tan x A. y = x.cos2x. B. y = (x2 + 1).sinx. C. y = . D. y . 1 x2 1 x2 Câu 19. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 4 sin x 3 1 lần lượt là: A. 2 và 2 . B. 2 và 4 . C. 4 2 và 8 . D. 4 2 1 và 7 . Câu 20. Hàm số y sin 2x cos3x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ A. . B. 2 . C. 3 . A. 4 . Câu 21. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 3 1 cos x bằng: A. 6 2 . B. 4 2 . C. 4 2 . D. 2 2 . 4. Vân dụng cao Câu 22. Tất cả các giá trị của m để hàm số y 2m 1 cos x xác định trên R là A. m 0 . B. m 1 C. m 1 D. m 1 sin2 x 3 Câu 23. Gọi S là tập giá trị của hàm số y 3 cos 2x . Khi đó tổng các giá trị 2 4 nguyên của S là: A. 3. B. 4. C. 6 . D. 7. 2 Câu 24. Với các giá trị nào của m thì hàm số y tan x 2(m 1)sin x là hàm số lẻ? 2
  29. 1 A. m 2 . B. m 1 C. m 2 D. m 2 1 2x Câu 25. Hàm số y cos(2x 1) sin( 3),m ¥ * là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 3 thì 2 m giá trị của m bằng A. 1. B. 3. C. 6 . A. 2 .
  30. CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ( 5 tiết) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh sin x m (1) B­íc1: NÕu |m|>1 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm B­íc 2: NÕu |m| 1 ,ta xÐt 2 kh¶ n¨ng - Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®­îc biÓu diÔn qua sin cña gãc ®Æc biÖt ,gi¶ sö khi ®ã ph­¬ng tr×nh sÏ cã d¹ng ®Æc biÖt. x k2 sin x sin ,k ¢ x k2 - Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®­îc qua sin cña gãc ®Æc biÖt khi ®ã ta cã: x arcsinm k2 sin x m ,k ¢ x arcsinm k2 - Các trường hợp đặc biệt: +) sin x 1 x k2 , k ¢ ; 2 +) sin x 0 x k , k ¢ ; +) sin x 1 x k2 , k ¢ ; 2 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c cos x m (b) B­íc 1: NÕu m 1ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm . B­íc 2: NÕu m 1 ta xÐt 2 kh¶ n¨ng:
  31. - Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®­îc biÓu diÔn qua cos cña gãc ®Æc biÖt, gi¶ sö gãc . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng x k2 cos x cos ,k ¢ x k2 - Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®­îc qua cos cña gãc ®Æc biÖt khi ®ã x arccos m k2 Ta cã: cos x m ,k ¢ x arccos m k2 - Các trường hợp đặc biệt: +) cos x 1 x k2 , k ¢ ; +) cos x 0 x k , k ¢ ; 2 +) cos x 1 x k2 , k ¢ ; 3. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c tan x m (c) B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cos x 0 x k ,k ¢ 2 B­íc 2: XÐt 2 kh¶ n¨ng - Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®­îc biÓu diÔn qua tan cña gãc ®Æc biÖt , gi¶ sö khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng tan x tan x k ,k ¢ - Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®­îc qua tan cña gãc ®Æc biÖt , khi ®ã ta ®­îc tan x m x arctan m k ,k ¢ NhËn xÐt: Nh­ vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm 4. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c cot x m (d) B­íc1: §Æt ®iÒu kiÖn sin x 0 x k k ¢ B­íc 2: XÐt 2 kh¶ n¨ng
  32. -Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®­îc biÓu diÔn qua cot cña gãc ®Æc biÖt , gi¶ sö khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng cot x cot x k ,k ¢ -Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®­îc qua cot cña gãc ®Æc biÖt , khi ®ã ta ®­îc cot x m x arccot m k ,k ¢ NhËn xÐt: Nh­ vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph­¬ng tr×nh (d) lu«n cã nghiÖm. B. KỸ NĂNG CƠ BẢN I. C¸c ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c c¬ b¶n. Bài 1: Giải các phương trình sau: 1 2 a)sin x sin b)sin 2x sin 360 c)sin 3x d)sin x 12 2 3 Giải x k2 x k2 12 12 a)sin x sin k ¢ 12 11 x k2 x k2 12 12 b)sin 2x sin 360 sin 2x sin 360 2x 360 k3600 0 0 0 2x 180 36 k360 2x 360 k3600 0 0 2x 216 k360 x 180 k1800 k ¢ 0 0 x 108 k180 2 3x k2 x k 1 6 18 3 c)sin 3x sin 3x sin k ¢ 2 6 5 5 2 3x k2 x k 6 18 3 2 x arcsin k2 2 3 d)sin x k ¢ 3 2 x arcsin k2 3
  33. Bài tập 2:Giải các phương trình sau: 2 2 3 a)cos x cos b)cos x 450 c)cos4x ; d)cos x 4 2 2 4 Giải a)cos x cos x k2 k ¢ 4 4 2 x 450 450 k3600 x 450 k3600 b)cos x 450 cos x 450 cos450 k ¢ 0 0 0 0 0 2 x 45 45 k360 x 90 k360 2 3 3 3 c)cos4x cos4x cos 4x k2 x k , k ¢ 2 4 4 16 2 3 3 d)cos x x arccos k2 ,k ¢ 4 4 Bài 3: Giải các phương trình sau: 1 a) tan x tan b) tan 4x c) tan 4x 200 3 3 3 Giải a) tan x tan x k , k ¢ 3 3 1 1 1 1 b) tan 4x 4x arctan k x arctan k , k ¢ 3 3 4 3 4 c) tan 4x 200 3 tan 4x 200 tan 600 4x 200 600 k1800 4x 800 k1800 x 200 k450 , k ¢ Bài 4: Giải các phương trình sau: 3 1 a)cot 3x cot b)cot 4x 3 c)cot 2x 7 6 3 Giải
  34. 3 3 a)cot 3x cot 3x k x k , k ¢ 7 7 7 3 1 b)cot 4x 3 4x arctan 3 k x arctan 3 k , k ¢ 4 4 1 c)cot 2x cot 2x cot 2x k 2x k x k , k ¢ 6 3 6 6 6 6 3 6 2 II. Mét sè ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c th­êng gÆp. 2.1- Ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c D¹ng 1: asin2 x bsin x c 0 (a 0;a,b,c ¡ ) (1) C¸ch gi¶i: §Æt t sin x , ®iÒu kiÖn | t | 1 §­a ph­¬ng tr×nh (1) vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t chó ý kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn råi gi¶i t×m x D¹ng 2: acos2 x bcos x c 0 (a 0;a,b,c ¡ ) (2) C¸ch gi¶i: §Æt t cos x ®iÒu kiÖn | t | 1 ta còng ®­a ph­¬ng tr×nh (2) vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t råi t×m x D¹ng 3: a tan2 x btan x c 0 (a 0;a,b,c ¡ ) (3) C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn cos x 0 x k ,k ¢ 2 §Æt t tan x t ¡ ta ®­a ph­¬ng tr×nh (3) vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo t , chó ý khi t×m ®­îc nghiÖm x cÇn thay vµo ®iÒu kiÖn xem tho¶ m·n hay kh«ng D¹ng 4: acot2 x bcot x c 0 (a 0;a,b,c ¡ ) (4) C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn sin x 0 x k k ¢ §Æt t cot x (t ¡ ) . Ta còng ®­a ph­¬ng tr×nh (4) vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo Èn t. Bài tập minh họa: Bài tập 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2cos2 x 3cos x 1 0 (1)
  35. cos x 1 x k2 Gi¶i: Ph­¬ng tr×nh (1) 1 ,k ¢ cos x x k2 2 3 VËy ph­¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm. 2 VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cot x tan x 4sin 2x (2) sin 2x k Gi¶i: §iÒu kiÖn sin 2x 0 x ,k ¢ 2 Ta cã: cos x sin x 2 cos2 x sin2 x 2 (2) 4sin 2x 4sin 2x sin x cos x sin 2x sin x.cos x sin 2x cos2x 1 2cos2x 2 2 2 4sin 2x cos2x 2sin 2x 1 2cos 2x cos2x 1 0 1 * sin 2x sin 2x cos2x 2 Ta thÊy cos2x 1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. Do ®ã (*) 1 2 cos2x 2x k2 x k k ¢ VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm. 2 3 3 2.2- Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin x,cos x a) §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh asin x bcos x c (1) trong ®ã a, b, c ¡ vµ a2 b2 0 ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin x,cos x b) C¸ch gi¶i. Ta cã thÓ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b­íc B­íc 1: KiÓm tra -NÕu a2 b2 <c2 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm -NÕu a2 b2 c2 khi ®ã ®Ó t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ta thùc hiÖn tiÕp b­íc 2 B­íc 2: Chia c¶ 2 vÕ ph­¬ng tr×nh (1) cho a2 b2 , ta ®­îc a b c a 2 b 2 sin x cos x V× ( ) ( ) 1 nªn tån t¹i gãc sao a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b cho cos , sin a2 b2 a2 b2
  36. c c Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ngsin x.cos sin .cos x sin(x ) a2 b2 a2 b2 §©y lµ ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cña sin mµ ta ®· biÕt c¸ch gi¶i C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c b­íc x B­íc 1: Víi cos 0 x k2 (k ¢ ) thö vµo ph­¬ng tr×nh (1) xem cã lµ nghiÖm hay 2 kh«ng? x B­íc 2: Víi cos 0 x k2 (k Z) 2 x 2t 1 t 2 §Æt t tan suy ra sin x , cos x 2 1 t 2 1 t 2 2t 1 t 2 Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ng a b c (c b)t 2 2at c b 0 (2) 1 t 2 1 t 2 B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (2) theo t , sau ®ã gi¶i t×m x. * D¹ng ®Æc biÖt: . sin x cos x 0 x k (k ¢ ) 4 . sin x cos x 0 x k (k ¢ ) . 4 Chó ý: Tõ c¸ch 1 ta cã kÕt qu¶ sau a2 b2 asin x bcos x a2 b2 tõ kÕt qu¶ ®ã ta cã thÓ ¸p dông t×m GTLN vµ GTNN cña asin x bcos x c¸c hµm sè cã d¹ng y asin x bcos x , y vµ ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ cho mét sè csin x d cos x ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c . VÝ Dô minh ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sin 2x 3cos2x 3 (1) Gi¶i :C¸ch 1: Chia c¶ hai vÕ ph­¬ng tr×nh (1) cho 12 32 10 ta ®­îc 1 3 3 sin 2x cos2x 10 10 10
  37. 3 1 §Æt sin , cos . Lóc ®ã ph­¬ng tr×nh (1) viÕt ®­îc d­íi d¹ng 10 10 cos sin 2x sin cos2x sin sin(2x ) sin x x k k ¢ 2x k2 2x k2 x k 2 VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm C¸ch 2:-Ta nhËn thÊy cos x 0 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 2t 1 t 2 -Víi cos x 0 x k ,k ¢ . §Æt t tan x ,lóc ®ã sin 2x , cos2x 2 1 t 2 1 t 2 2t 1 t 2 Ph­¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng 3 3 2t 3(1 t 2 ) 3(1 t 2 ) t 3 1 t 2 1 t 2 Hay tan x 3 tan x k ,k ¢ VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm C¸ch 3: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng sin 2x 3(1 cos2x) 2sin x.cos x 6cos2 x x k cos x 0 tan x 3 tan ,k ¢ (sin x 3cos x)cos x 0 x k sin x 3cos x 0 cos x 0 2 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Chó ý: Khi lµm bµi to¸n d¹ng nµy chóng ta nªn kiÓm tra ®iÒu kiÖn tr­íc khi b¾t tay vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh bëi cã mét sè bµi to¸n ®· cè t×nh t¹o ra nh÷ng ph­¬ng tr×nh kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. Ta xÐt vÝ dô sau: VÝ Dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 2(sin x cos x)cos x 3 cos2x 2 Gi¶i: Ta biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh (2) 2 sin 2x 2(1 cos2x) 3 cos2x 2 sin 2x ( 2 1)cos2x 3 2 a 2 ; b 2 1 ; c 3 2a2 b2 2 ( 2 1)2 5 2 2 c2 (3 2)2 11 6 2
  38. Suy ra a2 b2 <c2 VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm . Ngoµi ra chóng ta cÇn l­u ý r»ng viÖc biÕn ®æi l­îng gi¸c cho phï hîp víi tõng bµi to¸n sÏ biÓu diÔn ch½n c¸c hä nghiÖm . Ta xÐt vÝ dô sau VÝ Dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cos7x sin5x 3(cos5x sin7x) (4) Gi¶i: 1 3 3 1 (4) cos7x 3sin7x 3cos5x sin5x cos7x sin7x cos5x sin5x 2 2 2 2 cos cos7x sin sin7x cos cos5x sin sin5x cos(7x ) cos(5x ) 3 3 6 6 3 6 7x 5x k2 2x k2 x k 3 6 6 12 k Z 3 k 7x (5x ) k2 12x k2 x 3 6 2 8 6 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm. 2.3- Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai ®èi víi sin x vµ cos x . a) §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai ®èi víi sin x ,cosx lµ ph­¬ng tr×nh. asin2 x bsin x.cos x ccos2 x d (1) trong ®ã a, b, c, d ¡ b) C¸ch gi¶i : Chia tõng vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1) cho mét trong ba h¹ng tö sin2 x,cos2 x hoÆc sin x.cos x . Ch¼ng h¹n nÕu chia cho cos2 x ta lµm theo c¸c b­íc sau: B­íc 1: KiÓm tra: cos x 0 x k ,k ¢ xem nã cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh(1) hay kh«ng? 2 B­íc 2: Víi cosx 0 chia c¶ hai vÕ cho cos2 x lóc ®ã ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh a tan2 x btan x c d(1 tan2 x) (a d)tan2 x btan x c d 0 §©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo tan ta ®· biÕt c¸ch gi¶i. 1 cos2x 1 cos2x sin 2x C¸ch 2: Dïng c«ng thøc h¹ bËc sin2 x ; cos2 x ; sin x.cos x 2 2 2
  39. ®­a ph­¬ng tr×nh ®· cho vÒ ph­¬ng tr×nh bsin 2x (c a)cos2x d c a §©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin vµ cos ta ®· biÕt c¸ch gi¶i *Chó ý: §èi víi ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc n (n 3) víi d¹ng tæng qu¸t A(sinn x,cosn x,sink xcosh x) 0 trong ®ã k h n; k,h,n ¥ Khi ®ã ta còng lµm theo 2 b­íc : B­íc 1: KiÓm tra xem cos x 0 cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh hay kh«ng? B­íc 2: NÕu cos x 0.Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh trªn cho cosn x ta sÏ ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc n theo tan . Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ban ®Çu. VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 2 3cos2 x 6sin x.cos x 3 3 (1) Gi¶i: C¸ch 1: Ph­¬ng tr×nh (1) 3(1 cos2x) 3sin 2x 3 3 cos2x 3sin 2x 3 1 3 3 3 2x k2 x k2 cos2x sin 2x cos(2x ) 3 6 4 k ¢ 2 2 2 3 2 x k2 x k2 3 6 12 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm. C¸ch 2: +) Thö víi cos x 0 x k2 k ¢ vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta cã 0 3 3 2 v« lÝ.VËy x k2 k ¢ kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ngtr×nh. 2 +)Víi cos x 0 Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho cos2 x ta ®­îc 2 3 6tan x (3 3)(1 tan2 x) (3 3)tan2 x 6tan x 3 3 0 tan x 1 x k 3 3 4 k ¢ tan x tan 3 3 x k VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm * Chó ý: Kh«ng ph¶i ph­¬ng tr×nh nµo còng ë d¹ng thuÇn nhÊt ta ph¶i thùc hiÖn
  40. mét sè phÐp biÕn ®æi thÝch hîp VÝ Dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sin3 (x ) 2 sin x (2) 4 Gi¶i :Ta nhËn thÊy sin(x ) cã thÓ biÓu diÔn ®­îc qua sin x cos x . Luü thõa bËc ba biÓu thøc 4 sin x cos x ta sÏ ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng thuÇn nhÊt ®· biÕt c¸ch gi¶i 3 Ph­¬ng tr×nh (2) 2 2 sin3 (x ) 4sin x 2 sin(x ) 4sin x 4 4 (sin x cos x)3 4sin x +) XÐt víi cos x 0 x k2 k ¢ . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng 2 sin3 ( k ) 4sin( k ) m©u thuÉn VËy ph­¬ng tr×nh kh«ng nhËn x k2 lµm 2 2 2 nghiÖm +) Víi cos x 0. Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (2) cho cos3 x ta ®­îc : (tan x 1)3 4(1 tan2 x)tan x 3tan3 x 3tan2 x tan x 1 0 . §Æt t tan x ph­¬ng tr×nh cã ®­îc ®­a vÒ d¹ng: 3t3 3t 2 t 1 0 (t 1)(3t 2 1) 0 t 1 x k k ¢ 4 Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph­¬ng tr×nh .VËy ph­¬ng tr×nh cã duy nhÊt 1 hä nghiÖm *Chó ý: Ngoµi ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt ®· nªu ë trªn cã nh÷ng ph­¬ng tr×nh cã thÓ gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p kh¸c tuú thuéc vµo tõng bµi to¸n ®Ó gi¶i sao cho c¸ch gi¶i nhanh nhÊt ,khoa häc nhÊt. 1 tan x VÝ Dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 1 sin 2x (3) 1 tan x Gi¶i :
  41. x k §iÒu kiÖn cos x 0 2 k ¢ tan x 1 x k 4 cos x sin x 2 cos x sin x C¸ch 1: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng : cos x sin x cos x sin x cos x sin x 3 Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (3) cho cos3 x 0 ta ®­îc : 1 tan2 x 1 tan2 x tan x 1 tan x 3 tan3 x tan2 x 2tan x 0 tan2 x tan x 2 tan x 0 (*) (do tan2 x tan x 2 0 v« nghiÖm) nªn: Ph­¬ng tr×nh (*) tan x 0 x k k Z VËy ph­¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm C¸ch 2: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng cos x cos x sin x 2 4 2 2 cos x sin x 2sin x cot(x ) cos x sin x 4 4 2 sin x 1 cot (x ) 4 4 §Æt t cot(x ) ta ®­îc : 4 2 3 2 t 2 t t 2 0 t 1 t t 2 0 t 1hay cot(x ) 1 1 t 4 x k x k (k ¢ ) 4 4 VËy ph­¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm 2.4-Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sin x vµ cos x . a) §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sin x vµ cosx lµ ph­¬ng tr×nh d¹ng a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 trong ®ã a,b,c ¡ (1) b) C¸ch gi¶i: C¸ch 1: Do a(sin x cosx)2 1 sin xcos x nªn ta ®Æt t sin x cos x 2 sin(x ) 2 cos( x) . §iÒu kiÖn | t | 2 4 4
  42. t 2 1 Suy ra sin xcos x vµ ph­¬ng tr×nh (1) ®­îc viÕt l¹i: bt 2 2at (b 2c) 0 2 §ã lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i C¸ch 2: §Æt t x th× sin x cos x 2 cos( x) 2 cost 4 4 1 1 1 1 sin xcos x sin 2x cos( 2x) cos2t cos2 t nªn ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh 2 2 2 2 2 b bcos2 x 2 cos x c 0 . §©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i 2 *Chó ý: Hai c¸ch gi¶i trªn cã thÓ ¸p dông cho ph­¬ng tr×nh a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 1 t 2 b»ng c¸ch ®Æt t sin x cos x sin xcos x 2 VÝ Dô Minh Ho¹ : VÝ Dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sin x cos x 2sin xcos x 1 0 (1) Gi¶i: t 2 1 C¸ch 1: §Æt sin x cos x t ®iÒu kiÖn | t | 2 . Lóc ®ã sin xcos x 2 2 t 1 2 t 1 Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng t 2( ) 1 0 t t 2 0 (*) 2 t 2 Víi t 2 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªn (*) t 1 sin x cos x 1 1 x k2 2 sin(x ) 1 sin(x ) 2 k ¢ 4 4 2 x k2 C¸ch 2: §Æt z x . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng 4 2 cos( x) sin 2x 1 0 2 cos z sin 2( z) 1 0 4 4
  43. 2 cos z sin( z) 1 0 2 cos z cos2z 2 0 2 cos z 2 2 2 (*’) 2 cos z (2cos z 1) 1 0 2cos z 2 cos z 1 0 2 cos z 2 Ta thÊy cos z 2 kh«ng tho¶ m·n 3 3 z k2 x k2 2 4 4 4 x k2 Do ®ã (*’) cos z 2 k ¢ 2 3 3 z k2 x k2 x k2 4 4 4 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ Dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh tan x 3cot x sin x 3cos x 1 3 0 (3) k Gi¶i:§iÒu kiÖn sin 2x 0 x k ¢ 2 (3) tan x sin x 3(cot x cos x) 1 3 0 1 3 (sin x sin xcos x cos x) (sin x sin x.cos x cos x) 0 cos x sin x 1 3 1 3 ( )(sin x sin x.cos x cos x) 0 0 (4) cos x sin x cos x sin x sin x sin x.cos x cos x 0 5 Gi¶i (4) tan x 3 x k k ¢ 3 t 2 1 Gi¶i (5): §Æt t sin x cos x 2 cos( x) | t | 2 (*)Suy ra sin x. cos x . 4 2 2 t 1 2 t 1 2 Ph­¬ng tr×nh (5) trë thµnh t 0 t t 1 0 2 t 1 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× t 1 2 bÞ lo¹i 1 2 Víi t 1 2 ta cã 2 cos( x) 1 2 cos( x) cos 4 4 2
  44. x l2 x l2 ¡ , l ¢ 4 4 C¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (4) vµ (5) ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph­¬ng tr×nh sin6 x cos6 x VÝ Dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 8 tan2 x cot2 x (2) sin 2x 3 sin2 x cos2 x Gi¶i: §iÒu kiÖn: sin 2x 0 . Ph­¬ng tr×nh (2) 8(1 sin2 2x) 2sin 2x( ) 4 cos2 x sin2 x 1 1 sin2 2x 8 6sin2 2x 4sin 2x. 2 sin2 2x (8 6sin2 2x)sin 2x 4 2sin2 2x 3sin3 2x sin2 2x 4sin 2x 2 0 sin 2x 1 0 (sin 2x 1)(3sin2 2x 2sin 2x 2) 0 2 3sin 2x 2sin 2x 2 0 sin 2x 1 x k 4 1 7 (lo¹i) sin 2x x k k ¢ 3 x k 7 1 sin 2x sin 3 C¸c nghiÖm ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sin 2x 0 D. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN  Câu 1. x k ,k Z là tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 6  1 3 A. cos 2x B. tan x 1 C. sin x D. cot x 3 2 2 Câu 2. Phương trình tan x tan 3x có các nghiệm là: 4 k k A. x k ,k Z B. x k ,k Z C. x ,k Z D. x ,k Z 4 4 8 2 8 2 2x 0 Câu 3: Phương trình: sin 60 0 có nhghiệm là: 3
  45. 5 k3 k3 A. x B. x k C. x k D. x 2 2 3 2 2 Câu 4: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là: x k2 x k2 4 A. x k2 B. C. x k2 D. x k2 4 2 x k2 4 x Câu 5: Giải phương trình lượng giác: 2cos 3 0 có nghiệm là: 2 5 5 5 5 A. x k2 B. x k2 C. x k4 D. x k4 3 6 6 3 Câu 6: Điều kiện để phương trình 3sin x mcos x 5 vô nghiệm là m 4 A. B. m 4 C. m 4 D. 4 m 4 m 4 Câu7: Phương trình lượng giác: cos x 3 sin x 0 có nghiệm là: A. x k2 B. Vô nghiệmC. x k2 D. x k 6 6 2 Câu 8: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 có nghiệm là: m 4 A. m 4 B. 4 m 4 C. m 34 D. m 4 Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3x cos x 0 là: k k k x k ,k Z x ,k Z x ,k Z x ,k Z 8 8 2 8 2 8 2 A. B. C. D. x l ,l Z x l ,l Z x l ,l Z x l ,l Z 4 4 4 4 Câu 10. Nghiệm của phương trình sin cos x 1 là: A. x k2 ,k Z B. x k ,k Z C. x k2 ,k Z D. 6 4 3 x k ,k Z 2 Câu 11. Các nghiệm của phương trình sin x cos 2x 2 0 là: 2 A. k2 ,k Z B. k2 ,k Z C. k2 ,k Z D. k2 ,k Z 2 2 3
  46. Câu 12. Nghiệm của phương trình cos(3x ) 1 trên khoảng ; là: 2 2 A. B. C. D. 6 3 4 3 Câu 11. Phương trình 3 2sin xsin 3x 3cos 2x là: A. k2 ,k Z B. k ,k Z C. k ,k Z D. k2 ,k Z 3 2 4 1 Câu 12. Các nghiệm của phương trình 2 sin x cos x cos 2x là: 2 3 2 A. k2 ,k Z B. k ,k Z C. k2 ,k Z D. k ,k Z 2 3 6 4 Câu 13: Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin2 x 5sin x 3 0 là: 3 5 A. x B. x C. x D. x 6 2 2 6 Câu 14: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin2 x 3sin x 1 0 thõa điều kiện 0 x là: 2 5 A. x B. x C. x D. x 3 2 6 6 Câu 15: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A. 3 sin 2x cos 2x 2 B. 3sin x 4cos x 5 C. sin x cos D. 3 sin x cos x 3 4 Câu 16. Số nghiệm của phương trình sin x 1 thuộc đoạn  ;2  là: 4 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Câu 17: Số nghiệm của phương trình: sin x 1 với x 5 là: 4 A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Câu 18: Số nghiệm của phương trình: 2 cos x 1 với 0 x 2 là: 3 A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Câu 19: Nghiệm của phương trình lượng giác: cos2 x cos x 0 thỏa điều kiện 0 x là:
  47. A. x B. x = 0 C. x D. x 2 2 Câu 20: Phương trình: 3.sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: 1 1 1 A. sin 3x B. sin 3x C. sin 3x D. sin 3x 6 2 6 6 6 2 6 2 m Câu 21: Tìm m để pt sin2x + cos2x = có nghiệm là: 2 A. 1 5 m 1 5 B. 1 3 m 1 3 C. 1 2 m 1 2 D. 0 m 2 Câu 22: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: 5 A. x B. x C. x D. 6 6 12 Câu 23: Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: 4 4 4 4 A. 0 < m < B. 0 m C. m 0;m D. m < 0 ; m 3 3 3 3 sin 3x Câu 24. Số nghiệm của phương trình 0 thuộc đoạn 2 ;4  là: cos x 1 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 25: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: 2 A. x ; x B. x ; x 18 6 18 9 C. x ; x D. x ; x 18 2 18 3
  48. KIỂM TRA CUỐI CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC Mức độ nhận thức Vận Vận CHỦ ĐỀ Nhận Thông TỔNG dụng dụng biết hiểu thấp cao Cung và góc lượng giác. Số câu 2 3 2 1 8 Giá trị lượng giác của Số một cung. Công thức 0.8 1.2 0.8 0.4 3.2 lượng giác (3) điểm Số câu 2 1 1 1 5 Hàm số lượng giác (2) Số 0.8 0.4 0.4 0.4 2 điểm Số câu 4 3 3 2 12 Phương trình lượng giác Số cơ bản và thường gặp (4) 1.6 1.2 1.2 0.8 4.8 điểm Số câu 8 7 6 4 25 CỘNG Số 3.2 2.8 2.4 1.6 10 điểm Câu 1: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo 42000. A. 1300. B. 1200. C. 1200. D. 4200. 2 2 2 2 2 Câu 2: Biểu thức sin x.tan x 4sin x tan x 3cos x không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng : A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. Câu 3: Trên đường tròn định hướng góc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ ¼AM 300 k450 ,k Z ? A. 6 B. 4 C. 8 D. 10 2 sin tan Câu 4: Kết quả rút gọn của biểu thức 1 bằng: cos +1 A. 2 B. 1 + tan C. 1 D. 1 cos2 sin2 Câu 5: Giả sử A tan x.tan( x)tan( x) được rút gọn thành A tan nx. Khi đó n 3 3 bằng :
  49. A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. 1 5cos Câu 6: Tính B , biết tan 2 . 3 2cos 2 2 20 2 10 A. B. C. D. 21 9 21 21 a 1 b Câu 7: Ta có sin4 x cos2x cos4x với a,b ¤ . Khi đó tổng a b bằng : 8 2 8 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 8: Nếu tan và tan là hai nghiệm của phương trình x2–px+q=0 và cot và cot là hai nghiệm của phương trình x2–rx+s=0 thì rs bằng: 1 p q A. pq B. C. D. pq q2 p2 1 Câu 9. Tập xác định của hàm số y là? 2 sin x  A. D ¡ \ k  B. D ¡ . C. D ¡ \ 0 D. D ¡ \ k  2  Câu 10. Khẳng định nào sau đây là SAI? A. Hàm số y cot x có tập giá trị là 0; . B. Hàm số y sin x có tập giá trị là 1;1. C. Hàm số y cos x có tập giá trị là  1;1. D. Hàm số y tan x có tập giá trị là ¡ . sin x Câu 11. Tập xác định của hàm số y là 1 cos x  A. D ¡ \ k2 | k ¢  B. D ¡ \ k2 | k ¢  2   C. D ¡ \ k | k ¢  D. D ¡ \ k | k ¢  2  Câu 12. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R? cos x tan x A. y = x.cos2x. B. y = (x2 + 1).sinx. C. y = . D. y . 1 x2 1 x2 Câu 13. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 4 sin x 3 1 lần lượt là: A. 2 và 2 . B. 2 và 4 . C. 4 2 và 8 . D. 4 2 1 và 7 .
  50. sin2 x 3 Câu 14. Gọi S là tập giá trị của hàm số y 3 cos 2x . Khi đó tổng các giá trị 2 4 nguyên của S là: A. 3. B. 4. C. 6 . D. 7. Câu 15. Cho biết x k2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3 A) 2sin x 3 0 B) 2sin x 3 0 C) 2cos x 3 0 D) 2cos x 3 0 Câu 16. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm A. 3sinx – 5 = 0 B. 2cos3x – 1 = 0 C. 2cosx + 5 = 0 D . sin3x + 2 = 0 Câu 17. Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2sin2 x 5sin x 3 0 là : 3 5 A. x B. x C. x D. x 6 2 2 6 Câu 18. Phương trình sin x 3cos x 2 có nghiệm là: 5 5 A. x k2 B. x k C. x k2 D. x k2 6 6 6 6 Câu 19. Phương trình 2sin2 x 2sin xcos x cos2 x 1 có nghiệm là: A. x k2  x k B. x k  x k2 6 C. x k  x k D. Đáp án khác. 8 2 3 Câu 20. Phương trình 3tan x 3 có nghiệm là: cos2x A. x k , x k B. x k2 , x k 2 6 2 6 C. x k , x k D. x k , x k 3 2 3 Câu 21. Phương trình cos2x – 7cosx - 3 = 0 có nghiệm là
  51. 5 2 A). x k2 , x k2 B). x k2 6 6 3 C). x k2 D). x k2 6 3 Câu 22. Phương trình 6sin2 x 7 3sin 2x 8cos2 x 6 có các nghiệm là: 3 x k x k x k x k 2 4 8 4 A. B. C. D. 2 x k x k x k x k 6 3 12 3 Câu 23. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x - 1. A) x k2 B) x k2 C) x k D) x k 2 2 Câu 24. Phương trình sin8x cos6x 3 sin6x cos8x có các họ nghiệm là: x k x k x k x k 4 3 5 8 A. B. C. D. x k x k x k x k 12 7 6 2 7 2 9 3 Câu 25. Cho phương trình cos5xcos x cos4xcos2x 3cos2 x 1. Các nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình là: 2 2 A. , B. , C. , D. , 3 3 3 3 2 4 2 2