Chuyên đề Toán Lớp 12: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình - Phương trình mũ logarit - Lê Thị Ngọc

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình - Phương trình mũ logarit - Lê Thị Ngọc

1. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ y=a x; TXĐ D=R Bảng biến thiên a>1 0 1 0 0, -b5>0; m, n R ta có: -5 a n 1 1 anam =an+-m6; a n m ;( =a m ; a0=1;- 6a 1= ); a m a n a -7 -7 -8 -8 Lª ThÞ Ngäc-9 -9 1 -10 -10 -11 -11 -12 -12 -13 -13 -14 -14 -15 -15
2. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit n n m a a n m (an)m =anm ;(ab)n=anbn;;. a n a b b m c 2. Công thức logarit: logab=c a =b (0 0) Với 0 0; R ta có: x loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga 1 = logax1 logax2; x2 loga x a x ; logax = logax; 1 x logb x 1 log a x log a x ;(logaa =x); logax= ;(logab= ) logb a logb a log x log a logba.logax=logbx;a b =x b . IV. Phương trình và bất phương trình mũ logarit 1. Phương trình mũ logarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0 0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3 ), (7 4 3 ), Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x. f(x) g(x) Phương pháp logarit hóa: a =b f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0 ag(x) ;  a f(x) ag(x) . a 1  f x g x  0 a 1  f x g x  0 Đặt biệt: * Nếu a>1 thì:a f(x)>ag(x) f(x)>g(x); af(x) ag(x) f(x) g(x). * Nếu 0 ag(x) f(x) g(x); af(x) ag(x) f(x) g(x). b. Bất phương trình logarit: 0 a 1 0 a 1 logaf(x)>logag(x) ; f logx 0, g x 0 af(x) logag(x) f x 0, g x 0 . a 1  f x g x 0 a 1  f x g x 0 Đặt biệt: f x g x + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ; g x 0 Lª ThÞ Ngäc 2
3. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit f x g x + Nếu 0 logag(x) . f x 0 * * * MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích 2 2 2 Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x x 4.2x x 22x 4 0 2x x 1 . 22x 4 0 . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải 2 phân tích thành tích: 2x x 1 . 22x 4 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 log9 x log3 x.log3 2x 1 1 . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log x 2log 2x 1 1 .log x 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. 3 3 3 Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x 2(x 2)3x 2x 5 0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: t 2 2 x 2 t 2x 5 0 t 1,t 5 2x . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi là số chính phương. 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: log3 x 1 x 5 log3 x 1 2x 6 0 . Đặt t = log3(x+1), ta có: t 2 x 5 t 2x 6 0 t 2,t 3 x x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f (u) f v u v . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) F b F a thì c a;b :F' c . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì b a c a;b : F ' c 0 F ' x 0 có nghiệm thuộc (a;b). Lª ThÞ Ngäc 3
4. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2.3log2 x 3 . Hướng dẫn: x 2.3log2 x 3 2.3log2 x 3 x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x 2x 5x 3x . Phương trình tương đương 6x 5x 3x 2x , giả sử phương trình có nghiêm . Khi đó: 6 5 3 2 . Xét hàm số f t t 1 t , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c 2;5 sao cho: f ' c 0 c 1 1 c 1 0 0, 1 , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x x 2x 1 (x 1)2 . Viết lại phương trình dưới dạng 2 2x 1 x 1 2x x x2 x , xét hàm số f t 2t t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng: f x 1 f x2 x x 1 x2 x x 1 . Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x 2x 3x 2 . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số f x 3x 2x 3x 2 f '' x 3x ln2 3 2x ln2 2 0 Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. x y e 2007 y2 1 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y x e y 2007 2 x 1 > 0. x HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f x ex 2007 . x2 1 Nếu x 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) 0 x Suy ra f’(x) 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a b 0 ta có f (a) f b (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: t Ví dụ: Giải phương trình log7 x log3 ( x 2) . Đặt t = log7 x x 7 Khi đó phương trình trở t t t t t 7 1 thành: t log3 ( 7 2) 3 7 2 1 2. . 3 3 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp 2 2 Ví dụ 1: Giải phương trình log 4 6 (x 2x 2) 2log 5 x 2x 3 . 2 Đặt t = x – 2x – 3 ta có log6 t 1 log5 t . Lª ThÞ Ngäc 4
5. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit log6 x Ví dụ 2: Giải phương trình log2 x 3 log6 x . Đặt t log6 x , phương trình tương t t t t t 3 đương 6 3 2 3 1 . 2 3. Dạng 3: alogb x c x ( Điều kiện: b = a + c ) log7 x 3 t Ví dụ 1: Giải phương trình 4 x . Đặt t log7 x 3 7 x 3 , phương trình t t t t 4 1 tương đương 4 7 3 3. 1 . 7 7 log x 5 Ví dụ 2: Giải phương trình 2 3 x 4 . Đặt t = x+4 phương trình tương đương log t 1 2 3 t Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3 x 1 x 1 2log3 x 1 x 0 . ax b 4. Dạng 4: s c logs dx e x  , với d ac ,e bc  Phương pháp: Đặt ay b logs (dx e) rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: sax b acx say b acy . Xét f t sat b act . x 1 Ví dụ: Giải phương trình 7 6log7 (6x 5) 1. Đặt y 1 log7 6x 5 . Khi đó chuyển thành hệ x 1 x 1 7 6 y 1 1 7 6y 5 7x 1 6x 7 y 1 6y . Xét hàm số f t 7t 1 6t suy ra x=y, y 1 y 1 log7 6x 5 7 6x 5 Khi đó: 7x 1 6x 5 0 . Xét hàm số g x 7 x 1 6x 5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. 8 2x 18 Ví dụ: Giải phương trình 2x 1 1 2x 2 2x 1 21 x 2 8 1 18 HD: Viết phương trình dưới dạng , đặt 2x 1 1 21 x 2 2x 1 21 x 2 u 2x 1 1,v 21 x 1.u,v 0 . 8 1 18 Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: u v u v u.v u v Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: x x a. 2 3 2 3 4 0 x x b. 2 3 2 3 4 x x c. 7 4 3 3 2 3 2 0 x x d. 3 5 16 3 5 2x 3 x x e. 2 1 2 1 2 2 0 (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x= 1. f. 3.8x+4.12x 18x 2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. 2 2 g. 2x x 4.2x x 22x 4 0 (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. 2 2 k. 2x x 22 x x 3 (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x= 1, x=2. i. 3.16x 2.8x 5.32x 1 1 1 j. 2.4x 6x 9x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: Lª ThÞ Ngäc 5
6. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit x y x y 4 128 5 125 a. b. 3x 2y 3 (x y)2 1 5 1 4 1 2x 2y 12 c. x y 5 2 2 log2 x y 1 log2 xy d. (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), ( 2; 2) x2 xy y2 3 81 x 1 2 y 1 e. (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). 3log 9x2 log y3 3 9 3 1 log 1 y x log4 1 f. 4 y (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) 2 2 x y 25 23x 5y2 4y g. 4x 2x 1 (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). y 2x 2 Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a . m 2 .2x m.2 x m 0 . b . m.3x m.3 x 8 . 2 2 Bài 4: Cho phương trình log3 x log3 x 1 2m 1 0 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) a. Giải phương trình khi m=2. 1;3 3 b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn . ĐS: a. x 3 3 , b. 0 m 2 16 Bài 5: Cho bất phương trình 4x 1 m. 2x 1 0 a. Giải bất phương trình khi m= . 9 b. Định m để bất phương trình thỏa.x R Bài 6: Giải các phương trình sau: a. log5 x log5 x 6 log5 x 2 b. log5 x log25 x log0,2 3 x 3 c. log 2x2 5x 4 2 d. lg(x2 2x 3) lg 0 x x 1 2 2 e. log2x 1(2x +x 1)+logx+1(2x 1) =4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. 2 f. log2 x 1 6log2 x 1 2 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. x x 1 g. log2 4 15.2 27 2log2 0 (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23. 4.2x 3 Bài 7: Giải bất phương trình: a. 2 log3 (4x 3) log1 2x 3 2 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 x 3. 3 x2 x b. log0,7 log6 0 (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4 8. x 4 x x 2 c. log5 4 144 4log5 2 1 log5 2 1 (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. x2 3x 2 d. log 1 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: 2 x 2 2;1  2; 2 2 . Lª ThÞ Ngäc 6