Chuyên đề Toán Lớp 12: Tổ Hợp – Xác suất - Lê Kỳ Hội

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12: Tổ Hợp – Xác suất - Lê Kỳ Hội

1. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i Chuyên đ: T H p – Xác su t A. Lý thuy t c ơ b n : I. Qui t c đm : 1. Qui t c c ng : Mt cơng vi c nào đĩ cĩ th th c hi n m t trong hai ph ươ ng án A ho c B. N u ph ươ ng án A cĩ m cách t c hi n, ph ươ ng án B cĩ n cách th c hi n và khơng trùng v i b t k ỳ cách nào trong ph ươ ng án A thì cơng vi c đĩ cĩ m + n cách th c hi n. 2. Qui t c nhân : Mt cơng vi c nào đĩ cĩ th bao g m hai cơng đon A và B. N u cơng đon A cĩ m cách th c hi n và ng v i m i cách đĩ cĩ n cách th c hi n cơng đon B thì cơng vi c đĩ cĩ m.n cách th c hi n II .Hốn v : 1. Giai th a : + n! = 1.2.3 n = (n -1)!n. + Qui ưc : 0! = 1. n! + =()()p +1 p + 2 n (V i n> P ). P! n! + =()()np −+1 . np −+ 2 n (V i n> P ). ()n− p ! 2. Hốn v Khơng l p : Mt t p hp g m n ph n t (n ≥1) . M i cách s p x p n ph n t này theo m t th t nào đĩ đưc g i là mt hốn v c a n ph n t . = S các hốn v c a n ph n t là : Pn n !. 3. Hốn v l p : Cho k ph n t khác nhau : a1, a 2 , , a k . M t cách s p x p n ph n t trong đĩ g m n1 ph n t a1 , n2 Trang 1
2. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i + + + = ph n t a2 , , nk ph n t ak (v i nn1 2 nnk ) theo m t th t nào đĩ đưc g i là m t hốn v ( ) lp c p n và ki u n1, n 2 , , n k c a k ph n t . ( ) S các hốn v l p c p n, ki u n1, n 2 , , n k c a k ph n t là : () = n! Pnnn1, 2 , , n k n1! n 2 ! n k ! 4. Hốn v vịng quanh : Cho t p h p A g m n ph n t . M t cách s p x p n ph n t c a t p A thành m t dãy kín đưc g i là m t hốn v vịng quanh c a n ph n t . =( − ) S các hốn v vịng quanh c a n ph n t là : Qn n 1 ! . III. Ch nh h p: 1. Ch nh h p khơng l p : Cho t p h p A g m n ph n t . M i cách s p x p k ph n t c a A (1≤k ≤ n ) theo m t th t nào đĩ đưc g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t c a A. n! S ch nh h p ch p k c a n ph n t là : Ak = nn()() −1 nk −+= 1 n ()n− k ! Chú ý : + Cơng th c trên c ũng đúng cho tr ưng h p k = 0 ho c k = n. n = = + Khi k = n thì An P n n !. 2. Ch nh h p l p : Cho t p A g m n ph n t . M t dãy g m k ph n t c a A, trong đĩ m i ph n t cĩ th đưc l p l i nhi u ln, đưc s p x p theo m t th t nh t đnh đưc g i là m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t c a A. k= k S ch nh h p l p ch p k c a n ph n t c a A là : An n . IV. T h p: Trang 2
3. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i 1. T h p khơng l p : Cho t p h p A g m n ph n t . M i t p con g m k (1≤k ≤ n ) ph n t c a A đưc g i là m t t h p ch p k c a n ph n t . n! S các t h p ch p k c a n ph n t là : C k = . n k!() n− k ! 0 = + Qui ưc : Cn 1. Tính ch t : 0 =n = + Cn C n 1. k= n− k + Cn C n . k= k−1 + k + Cn C n−1 C n − 1 . n− k + 1 − + Ck= C k 1 . nk n 2. T h p l p : = { } Cho t p A aa1, 2 , , a n và s t nhiên k b t k ỳ. M t t h p l p ch p k c a n ph n t là m t t p h p gm k ph n t , trong đĩ m i ph n t là m t trong n ph n t c a A. k= k S t h p l p ch p k c a n ph n t là : Cn C n+ k − 1 . 3. Phân bi t t h p và ch nh h p : k= k + Ch nh h p và t h p liên h nhau b i cơng th c : An k! C n . + Ch nh h p : Cĩ th t T h p : khơng cĩ th t . ⇒ Nh ng bài tốn mà k t qu ph thu c vào v trí các ph n t → ch nh h p. Ng ưc l i là t h p. + Cách l y k ph n t t t p n ph n t (k≤ n ). k - Khơng th t , khơng hồn l i : Cn . k - Cĩ th t , khơng hồn l i : An . Trang 3
4. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i k - Cĩ th t , cĩ hồn l i : An . V. Các d ng bài t p c ơ b n trong nguyên lý đm : 1. Ph ươ ng pháp chung gi i bài tốn v c u t o s : Gi s m, n là các s nguyên d ươ ng v i m≤ n thì : m a. S cách vi t m trong n ch s khác nhau vào m v trí đnh tr ưc là An . m − b. S cách vi t m ch s khác nhau trong n v trí đnh tr ưc là An ( n m v trí cịn l i khơng thay đi ch s ). n− m= m c. S cách vi t m ch s giơng nhau trong n v trí đnh tr ưc là Cn C n . d. Cho t p h p g m n ch s , trong đĩ cĩ ch s 0, s các s cĩ m ch s t o thành t chúng là ( − ) m−1 n1 A n−1 . 2. Các d ng tốn th ưng g p : Dng 1 : S t o thành ch a các s đnh tr ưc Cho t p h p g m n ch s , trong đĩ cĩ ch s 0, t chúng vi t đưc bao nhiêu s cĩ m ch s khác nhau sao cho trong đĩ cĩ k ch s đnh tr ưc (thu c n ch s nĩi trên) v i k< m ≤ n . Cách gi i : S t o thành g m m v trí a1 a 2 a m . G i t p h p k ch s đnh tr ưc là X . Ta xét hai bài tốn nh theo các kh n ăng c a gi thi t v t p h p X và ch s 0 nh ư sau : a. Trong X ch a ch s 0. + Ta cĩ (m −1) cách ch n v trí cho ch s 0. ( − ) ( − ) m− k + S cách ch n k 1 ch s khác 0 thu c X trong m 1 v trí cịn l i là Am−1 . =( − ) k−1 m − k + Theo quy t c nhân, ta đưc s các s đĩ là S m1 Am−1 . A n − k . b. Trong X khơng ch a ch s 0. Trang 4
5. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i Bưc 1 : Tính các s t o thành ch a ch s 0. + L n l ưt cĩ (m −1) cách ch n v trí cho ch s 0. ( − ) k + S cách vi t k ch s thu c X vào m 1 v trí cịn l i là Am−1 . + S cách ch n (m− k − 1) trong s (n− k − 1) ch s khác 0 mà khơng thu c X vào (m− k − 1) v trí m− k − 1 cịn l i là An− k − 1 . =( − ) k m− k − 1 + Theo quy t c nhân, ta đưc s các s đĩ là S1 m1 AAm− 1 . n − k − 1 . Bưc 2: Tính s các s t o thành khơng ch a ch s 0. k + S cách vi t k ch s thu c X trong m v trí là Am . + S cách ch n (m− k ) trong s (n− k − 1) ch s khác 0 mà khơng thu c X vào (m− k ) v trí cịn l i m− k = k m− k là An− k − 1 . Theo quy t c nhân, ta đưc các s đĩ là S2 Am. A n− k − 1 . = + Bưc 3: Theo quy t c c ng, ta đưc s các s t o thành th a mãn bài tốn là : S S1 S 2 . Ví d : T các s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ th l p đưc bao nhiêu s g m 6 ch s khác nhau sao cho trong các ch s đĩ cĩ m t ch s 0 và 1. ∈ { } ≠ Gi i : Gi s c n tìm cĩ d ng a1 a 2 a 6 , v i a1, a 2 , , a 6 0,1,2, ,9 và a1 0 . + Cĩ 5 cách ch n v trí cho ch s 0. 4 + V i m i cách ch n trên l i cĩ 5 cách ch n v trí cho ch s 1 và cĩ A8 cách ch n v trí cho 4 trong 8 ch s cịn l i. 8 = + V y cĩ t t c 5.5.A4 42000 s g m 6 ch s khác nhau và trong các ch s đĩ cĩ m t ch s 0 và 1. Dng 2: S t o thành khơng ch a hai ch s đnh tr ưc c nh nhau. Cho t p h p g m n ch s , t chúng vi t đưc bao nhiêu s cĩ m (m≤ n ) ch s khác nhau sao cho trong đĩ cĩ 2 ch s đnh tr ưc nào đĩ khơng đng c nh nhau. Cách gi i : Trang 5
6. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i S t o thành cĩ d ng a1 a 2 a m và 2 ch s đnh tr ưc là x, y (thu c n ch s đã cho). Ta xét 3 bài tốn nh theo các kh n ăng c a gi thi t v 2 ch s x, y và ch s 0 nh ư sau : a. Nu n ch s đã cho ch a ch s 0 và hai ch s đnh tr ưc x, y khác 0. Bưc 1 : Tính s các s t o thành m t cách b t kì. − m−1 + Cĩ n 1 cách ch n v trí cho ch s 0, Ch n các ch s cịn l i đt vào các v trí cịn l i cĩ An−1 . =( − ) m−1 + V y, cĩ t t c là S1 n1 A n− 1 s cĩ d ng nh ư th . Bưc 2: Tính s các s cĩ 2 ch s x, y c nh nhua theo th t xy và yx . = ( − ) ( − ) + TH 1 : a1 a 2 xy . Khi đĩ m i s a3 a m ng v i m t ch nh h p ch p m 2 c a n 2 ch s khác = m−2 x, y . S các s đĩ là : S2 A n− 2 . ≠ ( − ) ≠ ( − ) + TH 2 : a1 a 2 xy . L n l ưt ta cĩ n 3 cách ch n ch s cho a1 0, x , y . m 2 cách ch n v trí ( − ) ( − ) ( − ) cho xy . S cách ch n m 3 trong n 3 ch s cịn l i khác a1, x , y cho m 3 v trí cịn l i là m−3 =( −)( − ) m−3 An−3 . Theo quy t c nhân, s các s đĩ là : S3 n3 m 2 A n− 3 . + T hai tr ưng h p trên, ta đưc s các s cĩ ch a xy là S2 S 3 . + Tươ ng t c ũng cĩ S2 S 3 s ch a yx . = −( + ) Bưc 3: Vy s các s th a mãn bài tốn là : SS12 S 2 S 3 . b. Nu n ch s đã cho ch a ch s 0 và m t trong hai ch s đnh tr ưc bng 0. Bưc 1 : Tính s các s t o thành b t k ỳ. − =( − ) m−1 Cĩ n 1 cách ch n v trí cho ch s 0 và khi đĩ s các s đĩ là : S1 n1 A n− 1 . =( − ) m−2 − Bưc 2: Tính s các s cĩ hai ch s x và 0 c nh nhau : S22 m 3 A n− 2 . (Cĩ m 1 cách vi t x0 và cĩ m − 2 cách vi t 0x vào m v trí) = − Bưc 3: Vy s các s th a mãn bài tốn là : S S1 S 2 . Trang 6
7. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i =m −( − ) m −2 c. Nu n ch s đã khơng ch a ch s 0 : SAn2 m 1 A n −2 . Ví d : T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ th l p đưc bao nhiêu ch s cĩ 6 ch s khác nhau. Trong đĩ cĩ bao nhiêu s mà ch s 1 và ch s 6 khơng đng c nh nhau. Gi i : + Bưc 1: Tính s các s t o thành b t k ỳ. 5 5 Cĩ 6 cách ch n ch s đu tiên khác 0 và cĩ A6 cách ch n 5 trong 6 s vào 5 v trí cịn l i. V y cĩ 6. A6 s cĩ 6 ch s t o thành t các s trên. + Bưc 2: Tính s các s cĩ 2 ch s 1, 6 c nh nhau theo t t 16 và 61. 4 - TH 1: Nu 2 ch s đu tiên là 1, 6. Khi đĩ cĩ 2! Cách đo v trí 2 s này. Cĩ A5 cách ch n 4 trong 5 4 s vào 4 v trí cịn l i. V y cĩ 2!. A5 s cĩ 6 ch s t o thành t các ch s trên và cĩ hai s đu tiên là 1 và 6. - TH 2: Nu s đu tiên khác 1 và 6, khi đĩ cĩ 4 cách ch n đ s này khác 0. Cĩ 4 cách ch n v trí cho 2 3 s 1 và 6 c nh nhau. Cĩ A4 cách ch n 3 trong 4 s vào 3 v trí cịn l i. M t khác ta cĩ 2! Cách đo v trí 3 2 s 1 và 6 c nh nhau. V y cĩ 4.4. A4 .2! s cĩ 6 ch s cĩ 2 s 1 và 6 đng c nh nhau và khơng đng đu tiên. =−5 4 + 3 = + Bưc 3: V y s các s th a mãn bài tốn là : SA6.6 2( A 5 4.4. A 4 ) 3312 s . Dng 3: S t o thành ch a ch s l p l i Ví d : Cĩ bao nhiêu s t nhiên cĩ 6 ch s sao cho trong đĩ cĩ m t ch s xu t hi n 3 l n, m t ch s khác xu t hi n 2 l n và m t ch s khác hai ch s trên xu t hi n 1 l n. Gi i : + N u k c tr ưng h p ch s 0 đng đu, l n l ưt là : 3 - Cĩ 10 cách ch n ch s xu t hi n 3 l n và cĩ C6 cách ch n 3 trong 6 v trí cho ch s đĩ. Trang 7
8. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i 2 - Cĩ 9 cách ch n ch s xu t hi n 2 l n và cĩ C3 cách ch n 2 trong 3 v trí cịn l i cho ch s đĩ. - Cĩ 8 cách ch n ch s cho v trí cịn l i cu i cùng. =32 = 32 Vy ta đưc s các s đĩ là : S10. CC63 .9. .8 720. CC 63 . . + Do vai trị c a 10 ch s 0, 1, 2, , 9 là nh ư nhau nên s các s cĩ ch s đng đu khác 0 th a mãn 9 bài tốn là : S= 648. C3 . C 2 s . 10 6 3 Bài tốn t ng quát : Cho t p h p g m n ch s , t chúng vi t đưc bao nhiêu s cĩ m ch s sao cho trong đĩ cĩ m t ch s xu t hi n k l n, m t ch s q l n v i k + q = m. Cách gi i : Ta xét hai bài tốn nh sau đây. a. Nu n ch s đã cho cĩ ch a ch s 0. Bưc 1 : Nu k c ch s 0 đng đu, ta th y : k + Cĩ n cách ch n ch s xu t hi n k l n và cĩ Cm cách ch n k trong m v trí cho ch s đĩ. + Sau đĩ cĩ (n -1 ) cách ch n ch s xu t hi n q l n cho q v trí cịn l i. =( − ) k + Theo qui t c nhân ta tính đưc s các s đĩ là : S nn. 1 . C m s . Bưc 2: Vai trị c a n ch s nh ư nhau nên s các s cĩ ch s đng đu khác 0 th a mãn bài tốn là : n −1 .S n =( − ) k b. N u n ch s đã cho khơng ch a ch s 0 : S nn. 1 . C m s. 3. Các d ng bài tốn s h c tích h p s v t, hi n t ưng . Dng 1 : Bài tốn ch n v t. a. ðc tr ưng c a bài tốn : Ch n m t t p h p g m k ph n t t n ph n t khác nhau, k ph n t khơng cĩ tính ch t gì thay đi n u nh ư hốn v k v trí c a nĩ. ðây chính là đc đim đ nh n d ng s d ng cơng th c t h p. b. Ph ươ ng pháp : Trang 8
9. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i Bưc 1 : Li t kê các tính ch t cĩ th cĩ c a t p con c n ch n. Bưc 2: Phân chia tr ưng h p (n u cĩ). k Bưc 3: Tính s cách ch n b ng cách d a vào cơng th c Cn . Bưc 4: Dùng qui t c nhân và qui t c c ng suy ra k t qu . Ví d : Mt h p đng 7 viên bi xanh, 5 viên bi đ và 4 viên bi vàng. a. Cĩ bao nhiêu cách l y ra 7 viên bi đ 3 màu, trong đĩ cĩ 3 viên bi xanh và nhi u nh t 2 viên bi đ. b. Cĩ nhiêu cách l y ra 8 viên bi cĩ đ 3 màu. Gi i : a. Xét 2 tr ưng h p sau : + TH 1: Cĩ 1 viên bi đ : 1 3 3 - Khi đĩ cĩ C5 cách l y 1 viên bi đ, cĩ C7 cách l y ra 3 viên bi xanh và cĩ C4 cách l y ra 3 viên bi 1 3 3 vàng. V y cĩ C5 . C7 . C4 cách l y ra 7 viên bi trong đĩ cĩ 3 viên bi xanh, 1 bi đ và 3 bi vàng. + TH 2: Cĩ 2 viên bi đ : 2 3 2 - Khi đĩ cĩ C5 cách l y 2 viên bi đ, cĩ C7 cách l y ra 3 viên bi xanh và cĩ C4 cách l y ra 2 viên bi vàng. 2 3 2 Vy cĩ C5 . C7 . C4 cách l y ra trong đĩ cĩ 2 bi đ, 3 bi xanh và 2 bi vàng. 1 3 3 2 3 2 Vy cĩ t t c C5 . C7 . C4 + C5 . C7 . C4 = 2800 cách. 8 b. - S cách l y ra 8 viên bi b t k ỳ cĩ C16 cách. - S cách l y ra 8 viên bi khơng cĩ màu vàng mà ch cĩ màu đ và màu xanh là 71+ 62 + 53 + 44 + 35 = CC75. CC 75 . CC 75 . CC 75 . CC 75 .495 cách. - S cách l y ra 8 viên bi khơng cĩ màu đ mà ch cĩ màu vàng và màu xanh là 71+ 62 + 53 + 44 = CC74. CC 74 . CC 74 . CC 74 . 165 cách. - S cách l y ra 8 viên bi khơng cĩ màu xanh mà ch cĩ màu vàng và màu đ là Trang 9
10. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i 53+ 44 = CC54. CC 54 . 9 cách. 8 −( + +=) Vy cĩ t t c C16 495 165 9 12201 cách. Dng 2: Bài tốn ch n ng ưi Ví d : Lp 11A c a Tu n cĩ 11 h c sinh nam và 18 h c sinh n . a. Cĩ bao nhiêu cách ch n ra m t đi v ăn ngh g m 10 ng ưi cĩ nam và cĩ n . b. Ch n ra m t t tr c nh t g m 13 ng ưi, trong đĩ cĩ m t t tr ưng. H i cĩ bao nhiêu cách ch n n u Tu n luơn cĩ m t trong t và ch là thành viên. Gi i : 10 a. - Ch n 10 ng ưi trong 29 ng ưi c nam và n cĩ C29 cách. 10 - Ch n 10 ng ưi đu là nam cĩ C11 cách. 10 - Chn 10 ng ưi đu là n cĩ C18 cách. 10− 10 − 10 = Vy cĩ C29 C 11 C 18 19986241 cách ch n. b. - Do Tu n luơn cĩ m t trong t nên ch ch n 12 ng ưi trong 28 ng ưi cịn l i. 1 - Ch n m t t tr ưng cĩ C28 cách. 11 - Ch n 11 thành viên cịn l i trong 27 ng ưi cĩ C27 cách. 1 11 Vy cĩ t t c C28 . C27 = 216332480 cách ch n. Dng 3: Bài tốn s p x p v t. Ví d : Ti cu c thi Theo Dịng L ch S , ban t ch c s d ng 7 th vàng và 7 th đ, đánh d u m i lo i theo các s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. H i cĩ bao nhiêu cách x p t t c các th này thành m t hàng sao cho hai th cùng màu khơng n m c nh nhau. Gi i : - Nu các th vàng n m v trí l thì các th đ n m v trí ch n, ta cĩ 7!.7! cách x p khác nhau. - N u các th đ n m v trí l thì các th vàng n m v trí ch n, ta cĩ 7!.7! cách x p khác nhau. Trang 10
11. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i Vy cĩ t t c 7!.7! + 7!.7! = 50803200 cách. Dng 4: Bài tốn s p x p ng ưi. Ví d : Mt t cĩ 8 h c sinh g m 5 n và 3 nam. H i cĩ bao nhiêu cách s p x p các h c sinh trong t đng thành m t hàng d c vào l p sao cho. a. Các b n n đng chung v i nhau. b. Nam n khơng đng chung nhau. Gi i : a. Các b n n đng chung v i nhau xem nh ư m t nhĩm đồn k t nên ta cĩ 4! Cách. Và cĩ 5! Hốn v các b n n v i nhau. V y cĩ 4!.5! = 2880 cách. b. Các b n nam đng riêng cĩ 3! Cách. Các b n n đng riêng ta cĩ 5! Cách. Cĩ 2! Cách đi ch 2 nhĩm nam và n nên cĩ t t c 2!.3!.5! = 1440 cách. Dng 5: Bài tốn đm trong hình h c. Ví d : Cho 15 đim trong m t ph ng, trong đĩ khơng cĩ 3 đim nào th ng hàng. Xét t p h p các đưng th ng đi qua hai đim c a 15 đim đã cho. S giao đim khác 15 đim đã cho do các đưng th ng này to thành nhi u nh t là bao nhiêu. Gi i : 2 = - Vì c 2 đim cĩ m t đưng th ng nên s đưng th ng t 15 đim là C15 105 đưng. 2 - Nu c 2 đưng th ng cho 1 giao đim thì s cĩ C105 giao đim. 2 - Nh ưng m i đim đã cho cĩ 14 đưng th ng đi qua nên đim này ph i là giao c a C14 c p đưng th ng. 2 2 Nh ư v y v i 15 đim đã cho s cĩ 15. C14 giao đim trong C105 giao đim nĩi trên. Suy ra s giao đim 2 2 cn ti m là C105 - 15. C14 = 4095 giao đim. Dng 6: Bài tốn phân chia t p h p. Cho t p A cĩ n ph n t khác nhau. Chia t p A thành các t p con A1, A 2 , , A k , trong đĩ m i t p Trang 11
12. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i = = con Ai ( i 1, k ) cĩ ni ( i 1, k ) ph n t . Khi đĩ vi c ch n ni ph n t trong n ph n t là phép ch n và lo i tr d n các ph n t đã đưc ch n. Ví d : Cn ph i phát 6 đ thi khác nhau cho 4 h c sinh. H i cĩ bao nhiêu cách phát đ thi n u m i em hc sinh đu làm ít nh t 1 bài thi. Gi i : TH 1: M i em đu làm m t bài thi 4 = - Cĩ C6 15 cách ch n đ thi. - Ch n 4 đ thi phát cho 4 h c sinh cĩ 4! cách phát. Vy cĩ t t c 4!.15 = 360 cách phát đ thi mà m i em làm 1 bài. TH 2: Cĩ m t em nào đĩ làm 2 bài thi. 2 2 - Cĩ C6 cách ch n 2 bài thi trong 6 bài thi và cĩ 4. C6 cách phát 2 bài thi cho 1 trong 4 h c sinh. 3 - V i 4 bài thi cịn l i s cĩ A4 cách chia cho 3 thí sinh. 2 3 Vy cĩ 4. C6 . A4 = 1440 cách phát đ thi mà trong đĩ cĩ 1 em làm 2 bài thi. TH 3: Cĩ hai em nào đĩ làm 2 bài thi. 2 2 - Cĩ C6 cách ch n 2 bài thi trong 6 bài thi và cĩ 4. C6 cách phát 2 bài thi cho 1 trong 4 h c sinh. 2 2 - Cĩ C4 cách ch n 2 bài thi trong 4 bài thi cịn l i và cĩ 3. C4 cách phát 2 bài thi cho 1 trong 3 thí sinh cịn l i. - V i 2 bài thi cịn l i s cĩ 2! cách phát cho 2 thí sinh cịn l i. 2 2 Vy cĩ t t c 4. C6 .3. C4 .2! = 2160 cách phát đ thi mà trong đĩ cĩ 2 em làm hai bài thi. TH 4: Cĩ m t em nào đĩ làm 3 bài thi. 3 3 - Cĩ C6 cách ch n 3 bài thi trong 6 bài thi và cĩ 4. C6 cách phát 3 bài thi cho 1 trong 4 h c sinh. - V i 3 bài thi cịn l i cĩ 3! Cách phát cho 3 thí sinh cịn l i. Trang 12
13. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i 3 Vy cĩ 4. C6 .3! = 480 cách phát đ thi mà trong đĩ cĩ 1 em làm 3 bài thi. Vy s cách phát đ thi theo yêu c u bài tốn là 360 + 1440 + 2160 + 480 = 4440 cách. B. Bài t p : I. Dng Quy t c đm : Bài 1 : T thành ph A đn thành ph B cĩ 3 con đưng, t thành ph A đn thành ph C cĩ 2 con đưng, t thành ph C đn thành ph D cĩ 3 con đưng. Khơng cĩ con đưng nào n i thành ph B v i thành ph C. H i cĩ bao nhiêu đưng đi t thành ph A đn thành ph D. ðS : 12 cách. Bài 2: Cĩ bao nhiêu s t nhiên khác nhau nh h ơn 2.10 8 , chia h t cho 3, cĩ th đưc vi t b i các ch s 0, 1, 2. ðS : 2.37 − 1 = 4373 s . Bài 3: Vi các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ th l p đưc bao nhiêu s t nhiên th a 1. Gm 6 ch s . 2. Gm 6 ch s khác nhau. 3. Gm 6 ch s khác nhau và chia h t cho 2. ðS : a. 66 b. 6! c. 3.5!. Bài 4: Cĩ 25 đi bĩng tham gia tranh cúp. C 2 đi ph i đu v i nhau 2 tr n. H i cĩ bao nhiêu tr n đu. ðS : 25.24 = 600 tr n. Bài 5: Mt bĩ hoa g m cĩ 5 bơng h ng tr ng, 6 bơng h ng đ và 7 bơng h ng vàng. H i cĩ m y cách ch n ra 5 bơng h ng cĩ đ 3 màu. Bài 6: T các s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ th l p đưc bao nhiêu s th a 1. S t nhiên cĩ 5 ch s khác nhau. 2. S t nhiên ch n cĩ 3 ch s khác nhau. 3. S t nhiên cĩ 5 ch s khác nhau và chia h t cho 5. 4. S l cĩ 3 ch s khác nhau và nh h ơn 400. Trang 13
14. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i Bài 7: Mt đi v ăn ngh chu n b đưc 2 v k ch, 3 điu múa và 6 bài hát. T i h i di n, m i đi ch đưc trình di n 1 v k ch, 1 điu múa và 1 bài hát. H i đi v ăn ngh trên cĩ bao nhiêu cách ch n ch ươ ng trình bi u di n, bi t r ng ch t l ưng các v k ch, điu múa và bài hát là nh ư nhau. ðS : 36 cách. Bài 8: Mt ng ưi cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo tr ng và 5 cái cà v t trong đĩ cĩ 2 cái màu vàng. H i ng ưi đĩ cĩ bao nhiêu cách ch n áo – cà v t n u : 1. Ch n áo nào, cà v t nào c ũng đưc. 2. ðã ch n áo tr ng thì khơng ch n cà v t màu vàng. ðS : a. 35 b. 29. Bài 9: Cĩ bao nhiêu cách s p x p 3 ng ưi đàn ơng và 2 ng ưi ph n ng i trên m t chi c gh dài sao cho hai ng ưi cùng phái ph i ng i g n nhau. Bài 10 : Mt đi v ăn ngh cĩ 15 ng ưi g m 10 nam và 5 n . H i cĩ bao nhiêu cách l p 1 đi v ăn ngh cĩ 8 ng ưi sao cho cĩ ít nh t 3 n . Bài 11 : Cĩ bao nhiêu s t nhiên cĩ 3 ch s khác nhau và khác 0, bi t r ng t ng c a 3 ch s này b ng 9. ðS : 18. Bài 12 : Vi các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ th l p đưc bao nhiêu s cĩ 8 ch s , trong đĩ ch s 1 cĩ m t đúng 3 l n, ch s 2 cĩ m t đúng 2 l n và m i ch s cịn l i cĩ m t đúng m t l n. ðS : 3360. Bài 13 : T 0, 1, 2, ,9 cĩ th l p đưc bao nhiêu s t nhiên cĩ 5 ch s th a. 1. Các ch s khác nhau. 2. Hai ch s k nhau ph i khác nhau. 3. Khác nhau và b t đu b ng 345 4 5 ðS : a. 9A9 . b. 9 c . 6. Trang 14
15. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i Bài 14 : Tính t ng t t c các s t nhiên g m 5 ch s khác nhau đơi m t đưc t o thành t 6 ch s 1, 3, 4, 5, 7, 8. ðS : 37332960. Bài 15 : T 5 bơng h ng vàng, 3 bơng h ng tr ng và 4 bơng h ng đ, ng ưi ta mu n ch n ra m t bĩ hoa gm 7 bơng. H i cĩ bao nhiêu cách ch n bĩ hoa trong đĩ 1. Cĩ đúng 1 bơng h ng đ. 2. Cĩ ít nh t 3 bơng h ng vàng và ít nh t 3 bơng h ng đ. ðS : a. 112 b. 150. II. Dng Rút g n bi u th c : Bài 1: Rút g n cá bi u th c sau 6! 1 (m+1!) m( m − 1!)  1. A =  . −  (V i m ≥ 5 ). ()()mmmmm−−+−−2 3()() 1 4() 5!5!12() m − 4!3!  7!4! 8! 9!  2. B = −  . 10! 3!5! 2!7!  5! (m +1) ! 3. C = . . m() m+1() m − 1 !3! A2 A 5 4. D =5 + 10 . P27 P 5 =1 + 2 + 3 + 4 − 5. E PA12 PA 23 PA 34 PA 45 PPPP 1234 . = n n n 6. F CCn.2 n . C 3 n . C2 Ck C n =+1 n ++ n ++ n 7. GCn 21 kk− 1 n n − 1 . Cn C n C n P C8+2 CC 9 + 10 =n+2 + 15 15 15 8. H k 10 . An. P n− k C 17 Trang 15
16. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i III. Dng Ch ng minh : Bài 1: Ch ng minh r ng − =( − ) 1. PPn n−1 n1 P n − 1 . =−( ) +−( ) ++++ 2. PnPn1 n−1 nP 2 n − 2 2 PP 21 1 . 111 1 3. 1++ + ++ < 3 . 1! 2! 3!n ! n2 1 1 4. = + . n!() n− 1!() n − 2! Bài 2: Ch ng minh r ng − 11+ ++ 1 = n 1 ∈ℕ ≥ 1. 2 2 2 v i n, n 2 . AA2 3 An n n+2+ n + 1 = 2 n 2. Ank+ A nk + kA. nk + . k pk− = pk ≤ ≤ 3. CCnnk.− CC n . p v i k p n . rn r −1 4. C= C − . V i r≤ n . nr n 1 m+1+ m − 1 + mm = + 1 ≤ 5. Cn C n2 CC nn +2 . V i m n . kk+−1 + k − 2 + k − 3 = k ≤ ≤ 6. CCnn3 3 C n C n C n +3 v i 3 k n . ( −) k =( − ) k −2 < < 7. kk1 Cn nn 1 C n −2 v i 2 k n . 0p+ 11 p− ++ p 0 = p ≤ ≤ 8. CCrq. CC rq . CC rq . C rq+ v i p r q + HD : S d ng khai tri n ()()()1+xr .1 + x q =+ 1 x rq . So sánh h s x p 2 v . 02+ 1 2 ++n 2 = n 9. (CCnn) ( ) ( CC nn) 2 . HD : S d ng câu 8 v i p= q = r = n . 024+ + ++ 2135p = + + + 21p − 10. CCC222ppp CCCC 2222 pppp C 2 p Trang 16
17. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i HD : S d ng ()x+ y 2 p và ()x− y 2 p . IV. Dng gi i ph ươ ng trình – H ph ươ ng trình – B t ph ươ ng trình : Bài 1: Gi i các ph ươ ng trình và b t ph ươ ng trình sau. x!−( x − 1) ! 1 1. = . ()x +1 ! 6 ( +) ( − )  1 5 n1!− n . n 1! ≤ 2. .  5 . nnn−+−2 1() 3!4!12()() nn −− 3. 4!2!  2 − = 3. Px2. Px 3 . 8 . P− P 1 4. x x −1 = . Px+1 6 Bài 2: Gi i các ph ươ ng trình và b t phươ ng trình sau. 3+ 2 =( + ) 1. An5 A n 2 n 15 . 2− 2 + = 2. 3An A 2 n 420 . P n+2 = 3. n−4 210 . An−1. P 3 2+ = 2 + 4. PAxx. 726( AP xx 2 ). A4 15 5. n+4 < . ()n+2!() n − 1! A4 143 6. n+2 − < 0 . Pn+24 P n − 1 Bài 3: Gi i các ph ươ ng trình và b t ph ươ ng trình sau. A4 24 1. n = . 3− n− 4 An+1 C n 23 1− 1 = 1 2. x x x . C4 C 5 C 6 Trang 17
18. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i xxx−−−1+ 2 + 3 ++ x − 10 = 3. CCCxxx C x 1023 . 2−x + 2 1 = 4. x Cx4. CC 3 . 3 0 . 1+ 2 + 3 = 2 − 5. Cx6 C x 6 C x 9 x 14 . C n−3 n−1 < 1 6. 4 . An+114 P 3 Pn+5 k+2 7. ≤ 60 A + . ()n− k ! n 3 4 35 2 8. C−− C − − A − < 0 . n1 n 14 n 2 Bài 4: Gi i các h ph ươ ng trình và h b t ph ươ ng trình sau.  Ax y +y− x =  y− y +1 =  Cy 126 Cx C x 0 1.  P + 2.  x 1 4Cy− 5 C y −1 = 0  =  x x Px+1 720  x x = 1  y+ y = Cy: C y +2 2Ax 5 C x 90  3 3.  4.  y y 5A+ 2 C = 80 x x 1  x x C: A =  y y 24 VI. Nh th c newton : 1. Cơng th c khai tri n nh th c newton : Vi m i n ∈ ℕ và v i m c p s a, b ta cĩ : n ()+n = k nk− k ab∑ Cabn . k =0 2. Tính ch t : + S các s h ng trong khai tri n b ng n + 1. + T ng các s m ũ c a a và b trong khai tri n b ng n. = k nk− k = + S hng t ng quát (th k + 1) cĩ d ng : Tk+1 Ca n b v i k0, n . k= n− k + Các h s c a các c p s h ng cách đu s h ng đu và s h ng cu i thì b ng nhau : Cn C n . Trang 18
19. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i 0 =n = k−1 + n = k + Cn C n 1 và Cn C n C n +1 . 3. Nh n xét : Nu trong khai tri n nh th c newton, ta gán cho a và b nh ng giá tr đc bi t thì ta s thu đưc nh ng cơng th c đc bi t, ch ng h n : ()+=n 011nn +− ++ n 01+ ++ nn = + 1xCxCxnn C n ⇒ CC nn C n 2 ()()()−n =011n − n− ++− n n 01− ++−n n = + 1xCxCxnn 1 C nnn ⇒ CC 1 C n 0 . VII. Các d ng bài t p th ưng g p : 1. Dng 1 : Xác đnh các h s trong khai tri n nh th c newton. Bài 1: Tìm s h ng khơng ch a x trong khai tri n c a nh th c. 1  10 1  12 1. x +  . 2. x2 +  . x4  x4  1  5 1  6 3. x3 −  . 4. x2 −  . x2  x  Bài 2: 1. Tìm h s c a x12 y 13 trong khai tri n ()2x+ 3 y 25 . 15 2. Tìm các s h ng gi a c a hai tri n (x3 − xy ) . Bài 3: Trong khai tri n và thu g n các đơ n th c đng d ng đa th c : ()()()()=+9 ++ 10 +++ 14 ( ) =+ +2 ++ 14 Px1 x 1 x 1 x ta s thu đưc đa th c Px a0 axax 1 2 ax 14 . Hãy xác đnh h s a9 . Bài 4: Cho đa th c Pxx()()()()=++1 2 1 + x2 ++ 20 1 + x 20 đưc vi t d ưi d ng ( ) =+ +2 ++ 20 Px a0 axax 1 2 ax 20 . Tìm h s a15 . ()()=−80 =+ ++ 80 Bài 5: Khai tri n Px x2 aax0 1 ax 80 . Tìm h s a78 . ()()=+50 =+ ++ 50 Bài 6: Khai tri n Px3 x aax0 1 ax 50 . Trang 19
20. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i 1. Tìm h s a46 . = + + + 2. Tính t ng Saa0 1 a 50 . Bài 7: 5 1. Tìm s h ng khơng ch a c ăn th c trong khai tri n c a nh th c ( 3 3+ 2 ) . n 1  2. Tìm s m ũ n c a bi u th c b +  . Bi t t s gi a các h s c a s h ng th 5 và th 3 3 12  trong khai tri n c a nh th c đĩ là 7 : 2 . Tìm s h ng th 6. 21 a b  Bài 8: Trong khai tri n c a nh th c 3 +  , tìm các s h ng ch a a, b v i l ũy th a gi ng nhau. 3  b a  Bài 9: 1  n 1. Trong khai tri n a a +  cho bi t hi u s gi a h s c a h ng t th 3 và th 2 là 44. Tìm n. a4  1  n 2. Cho bi t trong khai tri n x2 +  , t ng các h s c a các h ng t th nh t, th 2 và th 3 b ng x  46. Tìm h ng t khơng ch a x. = T34 T 5 n  3. Trong khai tri n ()1+ x theo l ũy th a t ăng c a x , cho bi t  . Tìm n và x. = 40 T4 T 6  3 1 2  10 4. Cho khai tri n nh th c +x  =+++ a ax ax9 + ax 10 . Hãy tìm s h ng a l n nh t. 3 3  0 1 9 10 k 2. Dng 2 : Áp d ng khai tri n nh th c newton đ ch ng minh h th c và tính t ng t h p. Ph ươ ng pháp : k k ()+ n + a C n liên quan đn 1 a . k i ()()()+n + m =+ nm+ + Cn. C m liên quan đn so sánh h s c a 1x .1 x 1 x . Trang 20
21. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i k ()+ n ( − ) k 2 k + kC n liên quan đn đo hàm c a 1 x . ( N u cĩ dng k k1 C n ho c k C n thì ta tính đn đo hàm cp 2). 1 1 n + C k ho c C k liên quan đn tích phân c a ()1+ x . k +1 n ()()k+1 k + 2 n Bài 1: Tính các t ng sau. =0 + 1 ++ n 1. SCC1 n n C n . =0 + 2 + 4 + 2. S2 Cn C n C n =1 + 3 + 5 + 3. S3 Cn C n C n =+0 1 + 22 ++kk ++ nn 4. SCCC4 nnn2 2 2 C n 2 C n . =+0 22 + 44 + 5. SC5 n2 C n 2 C n n Bài 2: Bi t t ng t t c các h s trong khai tri n nh th c (x2 +1) b ng 1024, hãy tìm h s a (a là s t nhiên) c a s h ng ax12 trong khai tri n đĩ. Bài 3: Tính các t ng sau. =6 + 7 + 8 ++ 9 10 + 11 1. SCC1 11 11 C 11 C 11 C 11 C 11 . =16 0 − 15 1 + 14 2 −+ 16 2. S23 C 16 3 C 16 3 C 16 C 16 . Bài 4: Cho fx()()()=+1 xn 2 ≤≤ n ℤ . 1. Tính f ''( 1 ). 2+ 3 ++−( ) n =( − ) n −2 2. Ch ng minh r ng : 2.1Cn 3.2 C n n 1 nCnn n 1 2 . Bài 5: Ch ng minh r ng 2n 111 1− 21− 1. CCC1+ 3 + 5 ++ C 21n = . 246222nnn 2n 2 n 21n + Trang 21
22. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i n 1 1()−1 + 1 n 2. 22CCC02132− + 2 ++ 2n 1 C n = 11 +−()  . nnn23n+ 1 n n + 1   123+ +++−( ) n− 1 + n = n − 1 3. Cnnn2 CC nC 1 nn nCn .2 . 2+ 3 ++−( ) n =( − ) n −2 4. 2.1Cn 3.2 C n nn 1 Cnn n . 1 2 . VIII. Xác su t : 1. Bi n c và xác su t : a. Bi n c : + Khơng gian m u Ω : Là t p các k t qu cĩ th x y ra c a m t phép th . + Bi n c A : Là t p các k t qu c a phép th làm x y ra A và A ⊂ Ω . + Bi n c khơng : φ + Bi n c ch c ch n : Ω . + Bi n c đi c a A : A= Ω \ A . + Giao hai bi n c : A∩ B . + H p hai bi n c : A∪ B . + Hai bi n c xung kh c : A∩ B = φ . + Hai bi n c đc l p : N u vi c x y ra bi n c này khơng làm nh h ưng đn vi c x y ra bi n c kia. b. Xác xu t. n( A ) +Xác su t c a bi n c : P() A = . n()Ω + 0≤PA( ) ≤ 1, P( Ω=) 1, P (φ ) = 0 . + Quy t c c ng : Nu A∩ B = φ thì PA( ∪ B) = PA( ) + PB( ) . M r ng : A, B b t kì thì PA( ∪= B) PA( ) + PB( ) − PAB( . ) . + PA( ) =1 − PA() . Trang 22
23. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i + Qui t c nhân : N u A, B đc l p thì PAB( .) = PAPB( ) . ( ) . 2. Bài t p : Bài 1: Gieo m t con súc s c cân đi đng ch t 2 l n. Tính xác su t c a bi n c . 1. Tng hai m t xu t hi n b ng 8. 2. Tích hai m t xu t hi n là s l . 3. Tích hai m t xu t hi n là s ch n. 5 1 3 ðS : a. . b. c. . 36 4 4 Bài 2: Mt l p h c cĩ 25 h c sinh, trong đĩ cĩ 15 h c sinh khá mơn tốn, 16 em h c khá mơn v ăn. 1. Tính xác su t đ ch n đưc 2 em h c khá c 2 mơn. 2. Tính xác su t đ ch n đưc 3 em h c khá mơn tốn nh ưng khơng h c khá mơn v ăn. C 2 ðS : a. nABnAnBnAB()()()()()∩= + − ∪=+−=15 15 25 17 ⇒ PAB∩ = 7 25 C3 b. 8 . 25 Bài 3: Gieo hai con súc s c cân đi đng ch t. Tính xác su t c a bi n c : 1. Tng hai m t xu t hi n b ng 7. 2. Các m t xu t hi n cĩ s ch m b ng nhau. 1 1 ðS : a. b. . 6 6 Bài 4: Mt bình đng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đ ch khác nhau v màu. L y ng u nhiên m t viên bi, ri l y ti p m t viên n a. Tính xác su t c a bi n c l n th hai l y ra đưc viên bi xanh. 5 ðS : . 8 Bài 5: Mt l p cĩ 30 h c sinh, trong đĩ cĩ 8 em gi i, 15 em khá và 7 em trung bình. Ch n ng u nhiên 3 em đi d đi h i, tính xác xu t đ. Trang 23
24. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i 1. C 3 em đu là h c sinh gi i. 2. Cĩ ít nh t m t h c sinh gi i. 3. Khơng cĩ h c sinh trung bình. 3. Bi n ng u nhiên và r i r c. a. Bi n ng u nhiên r i r c. = { } + X xx1, 2 , , x n . ( =) = + + + = + PX xk P k . P1 P 2 P 1 1 . b. Kì v ng (Giá tr trung bình) n µ =() = + EX∑ xPi i . i=1 c. Ph ươ ng sai và đ lêch chu n. n n ()()= −µ2 =2 − µ 2 + VX∑ xi P i ∑ xP ii . i=1 i = 1 + σ ()()X= V X . Bài 6: Hai c u th bĩng đá sút ph t đn. M i ng ưi đá m t l n v i xác su t làm bàn c a ng ưi th nh t là 0,8. Tính xác su t làm bàn c a ng ưi th hai, bi t r ng xác su t đ c hai ng ưi cùng làm bàn 0,56 và xác su t đ b th ng l ưi ít nh t m t l n là 0,94. Bài 7: Mt h p đng 5 viên bi đ và 3 viên bi xanh. L y ng u nhiên 3 viên. G i X là s bi đ l y ra. Tính kỳ v ng, ph ươ ng sai và đ lêch chu n c a X. Bài 8: Hai x th đc l p cùng b n vào m t bia. M i ng ưi b n m t viên đn. Xác su t đ x th th nh t bn trúng bia là 0,7. Xác su t đ x th th hai b n trúng bia là 0,8. G i X là s đn b n trúng bia. Tính k ỳ v ng và ph ươ ng sai c a X. Trang 24
25. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i IX. Các bài tốn trong nh ng k ỳ thi đi h c : Bài 1: Cho khai tri n nh th c : − − x−1−x n  x − 1n x − 1 n 1 −x x − 1  − xn1 − x n 2+=+3 0 2 1 2 3 ++n−1 2 3 + n 3 22CCnn 2 2  2 C n  22  C n 2     3= 1 (n nguyên d ươ ng). Bi t r ng trong khai tri n đĩ Cn5 C n và s h ng th t ư b ng 20n, tìm n và x. (Kh i A – 2002) ≥ ( ) Bài 2: Cho đa giác đu A1 A 2 A 2 n ( n 2 , n nguyên) n i ti p đưng trịn O . Bi t r ng s tam giác cĩ các đnh là 3 trong 2n đim A1 A 2 A 2 n nhi u g p 20 l n s hình ch nh t cĩ các đnh là 4 trong 2n đim A1 A 2 A 2 n . Tìm n. (Kh i B – 2002) 0+ 1 + 2 ++n n = Bài 3: Tìm s nguyên d ươ ng n sao cho CCCnnn2 4 2 C n 243 . (Kh i D – 2002) 1  n Bài 4: Tìm h s c a s h ng ch a x8 trong khai tri n nh th c niuton c a + x5  , bi t r ng x3  n+1 − n =( + ) > Cn+4 C n + 3 7 n 3 và (n là s nguyên d ươ ng, x 0 ). (Kh i A – 2003) 212− 21 3 − 21n+ 1 − Bài 5: Cho n là s nguyên d ươ ng, tính t ng CCC0+ 1 + 2 ++ C n . nnn2 3n + 1 n (Kh i B – 2003) 3n− 3 Bài 6: Vi n là s nguyên d ươ ng, g i a3n− 3 là h s c a x trong khai tri n thành đa th c c a 2 +n () + n = (x1) x 2 . Tìm n đ a3n− 3 26 n . (Kh i D – 2003) 8 2 8 Bài 7: Tìm h s c a x trong khai tri n thành đa th c c a 1+x() 1 − x  . (Kh i A – 2004). Bài 8: Trong m t mơn h c, th y giáo cĩ 30 câu h i khác nhau g m 5 câu h i khĩ, 10 câu h i trung bình, 15 câu h i d . T 30 câu h i đĩ ccos th l p đưc bao nhiêu đ ki m tra, m i đ g m 5 câu h i khác nhau, sao cho trong m i đ nh t thi t ph i cĩ đ 3 lo i câu h i (khĩ, trung bình ,d ) và s câu h i d Trang 25
26. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i khơng ít h ơn 2. (Kh i B – 2004) 7 1  Bài 9: Tìm các s h ng khơng ch a x trong khai tri n nh th c niuton c a 3 x +  v i x > 0 . 4 x  (Kh i D – 2004) Bài 10 : Tìm s nguyên d ươ ng n sao cho 1− 2 + 23 − 34 +++( ) 221n n + = CC21nnnn++++2.2 21 3.2 C 21 4.2 C 21 2 nC 1.2 21 n + 2005 (Kh i A – 2005). Bài 11 : Mt đi thanh niên tình nguy n cĩ 15 ng ưi, g m 12 nam và 3 n . h i cĩ bao nhiêu cách phân cơng đi thanh niên tình nguy n đĩ v giúp đ 3 t nh mi n núi, sao cho m i t nh cĩ 4 nam và 1 n . (Kh i B – 2005) 4+ 3 An+1 3 A n 2 2 2 2 Bài 12 : Tính giá tr bi u th c M = , bi t r ng C++2 C + + 2 C + + C + = 149 v i n là s ()n +1 ! n1 n 2 n 3 n 4 nguyên d ươ ng (Kh i D – 2005) 1  n Bài 13 : Tìm h s c a s h ng x26 trong khai tri n nh th c niuton c a + x7  , bi t r ng x4  1+ 2 ++n =− 20 C21n+ C 21 n + C 21 n + 2 1 v i n nguyên d ươ ng. (Kh i A – 2006). Bài 14 : Cho t p h p A g m n ph n t (n ≥ 4) . Bi t r ng, s t p con g m 4 ph n t c a A b ng 20 làn s t p con g m 2 ph n t c a A. Tìm k∈{1,2, , n } sao cho s t p con g m k ph n t c a A là l n nh t. (Kh i B – 2006) Bài 15 : ði thanh niên xung kích c a m t tr ưng ph thơng cĩ 12 h c sinh, g m 5 h c sinh l p A, 4 h c sinh l p B, 3 h c sinh l p C. C n chn 4 h c sinh đi làm nhi m v , sao cho 4 h c sinh này thu c khơng quá 2 trong 3 l p trên. H i cĩ bao nhiêu cách ch n nh ư v y. (Kh i D – 2006) 2n 111 1− 21− Bài 16 : Ch ng minh r ng CCC1+ 3 + 5 ++ C 21n = v i n là s nguyên d ươ ng. 246222nnn 2n 2 n 21 n + (Kh i A – 2007). Trang 26
27. Chuyên đ t h p – xác su t Biên so n : Lê K ỳ H i Bài 17 : Tìm h s c a s h ng ch a x10 trong khai tri n nh th c niuton ()2 + x n , bi t nnnn0−− 11 + − 22 − − 33 ++−()n n = 3CCCCnnnn 3 3 3 1 C n 2048 v i n nguyên d ươ ng. (Kh i B – 2007) Bài 18 : Tìm h s c a x5 trong khai tri n x()()12− xx5 +2 13 + x 10 . (Kh i D – 2007) ()+n =++2 ++ n ∈ℕ* Bài 19 : Cho khai tri n 1 2x a0 axax 1 2 axn trong đĩ n và các h s a0, a 1 , , a n th a a a a mãn h th c a +1 +3 ++ n = 4096 . Tìm s l n nh t trong các h s a, a , , a . 0 2 22 2 n 0 1 n (Kh i A – 2008). n +11 1  1 Bài 20 : Ch ng minh r ng +  = v i n, k là các s nguyên d ươ ng và k≤ n . + k k+1 k n2  Cn+1 C n + 1  C n (Kh i B – 2008) 1+ 3 ++ 21n− = Bài 21 : Tìm s nguyên d ươ ng n th a mãn h th c C2n C 2 n C 2 n 2048 . (Kh i D – 2008) === HT === Trang 27