Chuyên đề Toán Lớp 6 - Chuyên đề 5: Lũy thừa với số mũ tự nhiên (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 6 - Chuyên đề 5: Lũy thừa với số mũ tự nhiên (Có lời giải chi tiết)

1. CHUYÊN ĐỀ 5: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a n a a{.a a ( n 0 ); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n thừa số a 2.Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số am.an am n 3.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số am : an am n a 0,m n Quy ước a0 1 a 0 n 4.Luỹ thừa của luỹ thừa am amn 5. Luỹ thừa mộttích a.b m am.bm 6. Một số luỹ thừa của 10: - Một nghìn: 1000 103 - Một vạn: 10000 104 - Một triệu: 1000000 106 - Một tỉ: 1000000000 109 Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n 1000 00 7. Thứ tự thực hiện phép tính: Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau: - Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải. - Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ. - Nếu biểu thức có dấu ngoặc ,  ,  ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI. Dạng 1. THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA I.Phương pháp giải. Sử dụng công thức: n 1) a a{.a a ( n 0 ); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. nthừa số a
2. 2) am.an am n 3) am : an am n a 0,m n Quy ước a0 1 a 0 n 4) am amn 5) a.b m am.bm II.Bài toán. Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng 1 luỹ thừa a) 5.5.5.5.5.5 b) 2.2.2.2.3.3.3.3 c) 100.10.2.5 Lời giải a) 5.5.5.5.5.5 56 b) 2.2.2.2.3.3.3.3 24.34 c)100.10.2.5 10.10.10.10 104 Bài 2.Tính giá trị của các biểu thức sau: 2 a) 34 :32 b) 24.22 c) 24 Lời giải 2 a) 34 :32 32 9 b) 24.22 16.4 64 c) 24 28 256 Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số: a) A 82.324 b) B 273.94.243 Lời giải a) A 82.324 26.220 226 b) B 273.94.243 322 Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa: a) 64 : 23 b) 243:34 c) 625:53 d) 75 :343 e)100000 :103 f) 115 :121 g) 243:33 :3 h) 48 : 64 :16 Lời giải a) 64 : 23 26 : 23 23 b) 243:34 35 :34 31 c) 625:53 54 :53 51 d) 75 :343 75 : 73 72 e) 100000 :103 105 :103 102 f) 115 :121 115 :112 113 g) 243:33 :3 35 :33 :3 31 h) 48 : 64 :16 48 : 43 : 4 44 Bài 5.Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n thảo mãn điều kiện: 25 3n 250 Lời giải
3. Ta có: 32 9,33 27 25,34 81,35 243 250 nhưng 36 243.3 729 250 Vậy với số mũ n 3,4,5 ta có 25 3n 250 Bài 6 : Thực hiện phép tính: a) 5.22 18:3 b) 17.85 15.17 23.3.5 2 c) 23.17 23.14 d) 20 30 5 1 e) 75 3.52 4.23 f) 2.52 3: 710 54 :33 g) 150 50 :5 2.32 h) 5.32 32 : 42 Lời giải a) 5.22 18:3 b) 17.85 15.17 23.3.5 5.4 18:3 17.85 15.17 120 20 6 17. 85 15 120 14 17.100 120 1700 120 1580 3 3 c) 2 .17 2 .14 d) 20 30 5 1 2 23 17 14 20 30 42 23.3 8.3 20 30 16 24 20 14 6 e) 75 3.52 4.23 f) 2.52 3: 710 54 :33 2.25 3:1 54 : 27 75 3.25 4.8 50 3 2 75 75 32 51 75 75 32 32 g) 150 50 :5 2.32 h) 5.32 32 : 42 150 10 2.9 5.9 32 :16 150 10 18 45 2 142 43 Bài 7: Thực hiện phép tính. 2 a) 27.75 25.27 2.3.5 b) 12 : 400 : 500 125 25.7  c)13.17 256 :16 14 : 7 20210 d) 2.32 :3 182 3. 51:17 e)15 52.23 : 100.2 f) 52.23 12.5 170 :17 8 Lời giải 2 a) 27.75 25.27 2.3.5 b) 12 : 400 : 500 125 25.7  27. 75 25 150 12 : 400 : 500 125 175  12 : 400 :500 300 27.100 150  12 : 400 : 200 2700 12 : 2 6
4. 0 2 c) 13.17 256 :16 14 : 7 2021 d) 2.3 :3 182 3. 51:17 221 16 2 1 6 182 3.3 206 6 182 9 197 2 3 2 3 e) 15 5 .2 : 100.2 f) 5 .2 12.5 170 :17 8 15 25.8: 200 1000 60 10 8 15 200 : 200 942 15 1 14 Bài 8: Thực hiện phép tính. 3 3 2 2 2 a) 2 5 :5 12.2 b) 5. 85 35: 7 :8 90 5 .2 c) 2. 7 33 :32 : 22 99 100 d) 27 : 22 54 :53.24 3.25 e) 35.37 :310 5.24 73 : 7 f) 32. 52 3 :11 24 2.103 g) 62007 62006 : 62006 h) 52001 52000 :52000 i) 72005 72004 : 72004 j) 57 75 . 68 86 . 24 42 k) 75 79 . 54 56 . 33.3 92 l) 52.23 72.2 : 2 .6 7.25 Lời giải 3 3 2 2 2 a) 2 5 :5 12.2 b) 5. 85 35: 7 :8 90 5 .2 8 5 12.4 5 85 5 :8 90 50 8 5 48 51 580 :8 90 50 5.100 50 450 7 2 4 3 4 5 c) 2. 7 33 :32 : 22 99 100 d) 2 : 2 5 :5 .2 3.2 25 5.24 3.25 2. 7 3 : 4 99 100 24. 2 5 6 2. 4 : 4 99 100 24 2.100 100 100 e) 35.37 :310 5.24 73 : 7 f) 32. 52 3 :11 24 2.103 12 10 4 2 3 :3 5.2 7 9. 25 3 :11 16 2.1000 2 4 2 3 5.2 7 9. 22 :11 16 2000 9 5.16 49 9.2 16 2000 9 80 49 2 2000 40 2002 g) 62007 62006 : 62006 h) 52001 52000 :52000 62006 6 1 : 62006 52000 5 1 :52000
5. 62006.5: 62006 52000.4 :52000 5 4 i) 72005 72004 : 72004 j) 57 75 . 68 86 . 24 42 72004(7 1) : 72004 57 75 . 68 86 . 16 16 72004.8: 72004 57 75 . 68 86 .0 8 0 k) 75 79 . 54 56 . 33.3 92 l) 52.23 72.2 : 2 .6 7.25 5 9 4 6 5 7 7 . 5 5 . 27 27 25.8 49.2 : 2 .6 7.2 75 79 . 54 56 .0 200 98 : 2.6 7.32 0 306 224 82 Bài 9 : Thực hiện phép tính. a) 142 50 23.10 23.5 b) 375: 32 4 5.32 42 14  2  c) 210 : 16 3. 6 3.22 3 d) 3 500 5. 409 2 .3 21 1724   Lời giải: a) 142 50 23.10 23.5 b) 375: 32 4 5.32 42 14  142 50 23.5 375: 32 4 45 42 14  142 5.(10 8) 375: 32 4 3  14 142 10 375: 32 7 14 132 375: 25 14 15 14 1 c) 210 : 16 3. 6 3.22 3 3 2   d) 500 5. 409 2 .3 21 1724  210 : 16 3. 6 12  3 2 500 5 409 8.3 21 1724  210 :16 3.18 3 500 5. 409 24 21 2 1724 210 : 70 3  3 3 0 500 5.409 9 1724 500 5.400 1724 500 276 224 Bài 10: Thực hiện phép tính. a) 80 4.52 3.23 b) 56 :54 23.22 12017 3 2 2 c) 5 2. 56 48: 15 7 d) 23.75 5 .10 5 .13 180 2 e) 36.4 4. 82 7.11 : 4 20160 f)303 3. 655 18: 2 1 .43 5 :100  Lời giải:
6. 6 4 3 2 2017 a) 80 4.52 3.23 b)5 :5 2 .2 1 2 5 80 4.25 3.8 5 2 1 80 100 24 25 32 1 56 80 76 4 3 2 2 c)5 2. 56 48: 15 7 d) 23.75 5 .10 5 .13 180 23.75 25.(10 13) 180 125 2.56 48:8 23.75 25.23 180 125 2. 56 6 23.100 180 125 2.50 2300 180 25 2480 2 0 e)36.4 4. 82 7.11 : 4 2016 f)303 3. 655 18: 2 1 .43 5 :100  2 36.4 4. 82 77 : 4 1 303 3. 655 640 5 4 36 25 : 4 1 303 3. 655 640 5 11 1 303 3.10 263 10 Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: A 2002.20012001 2001.20022002 Lời giải: A 2002.20012001 2001.20022002 A 2002. 20010000 2001 2001. 20020000 2002 A 2002. 2001.104 2001 2001. 2002.104 2001 A 2002.2001.104 2002.2001 2001.2002.104 2001.2002 A 0 Bài 12: Tính: a) A 2 22 23 24 2100 b) B 1 5 52 53 5150 c) C 3 32 33 31000 Lời giải: a) A 2 22 23 24 2100 2A 2.2 22.2 23.2 24.2 2100.2 2A 22 23 24 25 2101 2A A 22 23 24 25 2101 2 22 23 24 2100 A 22 23 24 25 2101 2 22 23 24 2100 A 2101 2 Vậy A 2101 2 b) B 1 5 52 53 5150 5B 1.5 5.5 52.5 53.5 5150.5 5B 5 52 53 54 5151
7. 5B B 5 52 53 54 5151 1 5 52 53 5150 4B 5 52 53 54 5151 1 5 52 53 5150 4B 5151 1 5151 1 B 4 c) C 3 32 33 31000 3C 3.3 32.3 33.3 31000.3 3C 32 33 34 31001 3C C 32 33 34 31001 3 32 33 31000 2C 32 33 34 31001 3 32 33 31000 2C 31001 3 31001 3 C 2 Dạng 2.SO SÁNH CÁC LŨY THỪA I.Phương pháp giải. Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) Với a,b,m,n N ta có: a b an bn n N* m n am an (a 1) a 0 hoặc a 1thì am an m.n 0 Với A, B là các biểu thức ta có : An Bn A B 0 Am An m n và A 1 m n và 0 A 1 II.Bài toán. Bài 1. So sánh: 2009 1999 a) 33317 và 33323 b) 200710 và 200810 c) 2008 2007 và 1998 1997 Lời giải a) Vì 1 17 23 nên 33317 và 33323 b) Vì 2007 2008 nên 200710 và 200810
8. c) Ta có : 2008 2007 2009 12009 1 1998 1997 1999 11999 1 Vậy 2008 2007 2009 1998 1997 1999 Bài 2. So sánh a) 2300 và 3200 e)9920 và 999910 b)3500 và 7300 f)111979 và 371320 c)85 và 3.47 g)1010 và 48.505 d) 202303 và 303202 h)199010 19909 và 199110 Lời giải 100 a) Ta có : 2300 23 8100 100 3200 32 9100 Vì 8100 9100 2300 3200 100 b) Tương tự câu a) ta có : 3500 35 243100 100 7300 73 343100 Vì 243100 343100 nên 3500 7300 c) Ta có : 85 215 2.214 3.214 3.47 85 3.47 3.101 101 101 101 d) Ta có : 202303 2.101 23.1013 8.101.1022 808.101 101 101 303202 3.101 2.101 32.1012 9.1012 Vì 808.1012 9.1012 nên 202303 303202 10 e) Ta thấy : 992 99.101 9999 992 999910 9920 999910 660 f) ta có : 111979 111980 113 1331660 (1) 660 371320 372 1369660 (2) Từ (1) và (2) suy ra : 111979 371320
9. g) Ta có : 1010 210.510 2.29.510 (*) 48.505 3.24 . 25.510 3.29.510 ( ) Từ (*) và ( ) 1010 48.505 h) Có : 199010 19909 19909. 1990 1 1991.19909 199110 1991.19919 Vì 19909 19919 nên 199010 19909 199110 Bài 3. Chứng tỏ rằng : 527 263 528 Lời giải Ta có : 263 1289 527 1259 263 527 (1) Lại có: 263 5127 528 6257 263 528 (2) Từ (1) và (2) 527 263 528 Bài 4.So sánh: a)10750 và 7375 b) 291và 535 Lời giải a) Ta thấy : 10750 10850 4.27 50 2100.3150 (1) 7375 7275 8.9 75 2225.3150 (2) Từ (1) và (2) 10750 2100.3150 2225.3150 7375 b) 291 290 3218 535 536 2518 291 3218 2518 535 Vậy 291 535 Bài 5. So sách các cặp số sau: a) A 275 và B 2433 b) A 2300 và B 3200
10. Lời giải 5 300 3.100 100 a) Ta có A 275 33 315 b) A 2 2 8 B 3200 32.100 9100 5 3 15 B 3 3 Vì 8 9 nên 8100 9100 A B Vậy A B Bài 6.So sánh các số sau: a)19920 và 200315 b) 339 và 1121 Lời giải 20 a) 19920 20020 23.52 260.540 15 15 200315 200015 2.103 24.53 260.545 Vậy 200315 19920 20 b) 339 340 32 920 1121 Bài 7. So sánh 2 hiệu: 7245 7244 và 7244 7243 Lời giải 7245 7244 7244. 72 1 7244.71 7244 7243 7243. 72 1 7243.71 Vậy 7245 7244 7244 7243 Bài 8.So sánh các số sau: a) 95 và 273 b) 3200 và 2300 c) 3500 và 7300 d) 3.47 và 85 e) 202303 và 303202 Lời giải 5 100 a) Ta có: 95 32 310 b) Ta có: 3200 32 9100 3 100 273 33 39 2300 23 8100 Vì 310 39 nên 95 273 Vì 9100 8100 nên 3200 2300 100 5 c) Ta có:3500 35 243100 d) Ta có:85 23 215 100 15 14 14 7 7300 73 343100 2 2.2 3.2 3.4 Vậy 85 3.47 Vì 243100 343100 3500 7300
11. 101 101 e) Ta có: 202303 2023 ; 303202 3032 Ta so sánh 2023 và3032 2023 23.101.1012 3032 32.1012 Vậy 303202< 2002303 Bài 9: So sánh 3101 3 a) A 1 2 22 24 và B 25 1 b) C 3 32 33 3100 và D 2 Lời giải: a) A 1 2 22 24 2A 1.2 2.2 22.2 24.2 2A 2 22 23 25 2A A 2 22 23 25 1 2 22 24 A 2 22 23 25 1 2 22 24 A 25 1 Vậy A B b) C 3 32 33 3100 3C 3.3 32.3 33.3 3100.3 3C 32 33 34 3101 3C C 32 33 34 3101 3 32 33 3100 2C 32 33 34 3101 3 32 33 3100 2C 3101 3 3101 3 C 2 Vậy C D Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA I. Phương pháp giải. Khigiải bài toán tìm x có luỹ thừa phải: Phương pháp 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số . Phương pháp 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ . Phương pháp 3: Biến đổi về dạng tích các lũy thừa. II. Bài toán. Bài 1. Tìm x, biết. a) 2x.4 128 b) 2x 26 6 c) 64.4x 45 d) 27.3x 243 e) 49.7x 2041 g) 3x 81
12. h)34.3x 37 k)3x 25 26.22 2.30 Lời giải a) Ta có: 2x.4 128 2x 128: 4 2x 32 2x 25 x 5. b) Ta có: 2x 26 6 2x 6 26 2x 32 2x 25 x 5. c) Ta có: 64.4x 45 43.4x 45 4x 3 45 x 3 5 x 5 3 x 2. d) Ta có: 27.3x 243 3x 243: 27 3x 9 3x 32 x 2. e) Ta có: 49.7x 2401 7x 2401: 49 7x 49 7x 72 x 2. g) Ta có: 3x 81 3x 34 x 4. h) Ta có: 34.3x 37 3x 37 :34 3x 34 x 4. k) Ta có: 3x 25 26.22 2.30 3x 26.1 2.1 25 3x 31 x 1. Bài 2.Tìm x N, biết. a) 3x.3 243 b) 2x.162 1024 c) 64.4x 168 d) 2x 16 Lời giải a) Ta có: 3x.3 243 3x 243:3 3x 81 3x 34 x 4. b) Ta có: 2x.162 1024 2x 1024 :162 2x 1024 : 256 2x 4 2x 22 x 2. 8 c) Ta có: 64.4x 168 43.4x 42 4x 3 416 x 3 16 x 16 3 x 13. d) Ta có: 2x 16 2x 24 x 4. Bài 3.Tìm x , biết. 3 x 2019 1 a) 7x 11 25.52 200 b) 4 x 2019 c) 2x 1 4 16 d) 2x 1 4 2x 1 6 39 15 3 e) 3x2 g) 2x 1 125 2 2 Lời giải a) Ta có: 7x 11 3 25.52 200 7x 11 3 32.25 200 7x 11 3 1000 7x 11 3 103 7x 11 10 7x 21 x 3 x 2019 1 b) Ta có: x 2019 2 4 x 2019 2 22 x 2019 2 x 2021. 4 x 2019
13. c) Ta có: 2x 1 4 16 2x 1 4 2 4 2x 1 2. 3 TH 1: 2x 1 2 2x 3 x . 2 1 TH 2: 2x 1 2 2x 1 x . 2 3 1 Vậy x hoặc x . 2 2 4 4 6 4 6 4 2 2x 1 0 d) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 0 2x 1 1 2x 1 0 2 1 2x 1 0 2x 1 0 x 0,5 2x 1 1 x 0 2x 1 1 x 1 Vậy x 0,5; x 0; x 1. e) Ta có: 39 15 39 15 39 15 3x2 3x2 3x2 3x2 12 x2 4 x2 2 2 x 2. 2 2 2 2 2 2 g) Ta có: 2x 1 3 125 2x 1 3 53 2x 1 5 2x 5 1 2x 4 x 4 : 2 x 2. Bài 4: Tìm x biết: 10 20 2003 2003 a, 3x 1 3x 1 b, x 6 x 6 x c, 5x 5x 2 650 Lời giải a) Ta có: 3x 1 10 3x 1 20 3x 1 20 3x 1 10 0 1 1 x x 3 3x 1 0 3 2 3x 1 10 3x 1 10 1 0 3x 1 1 x 10 3x 1 1 3x 1 1 3 x 0 b) Ta có: x 6 x 2003 6 x 2003 x 6 x 2003 6 x 2003 0 2003 6 x 0 x 6 6 x x 1 0 x 1 0 x 1 c) Ta có: 5x 5x.52 650 5x 1 25 650 5x 25 5x 52 x 2 Bài 5: Tìm x biết: a, 2x 2 2x 96 b, 2x 1.3y 12x c) 10x :5y 20y Lời giải a) Ta có: 2x 2 2x 96 2x.4 2x 96 2x. 4 1 96 3.2x 96 2x 32 2x 25 x 5
14. x 1 2 x 1 b) Ta có: 2x 1.3y 12x 2x 1.3y 22.3x x y y 1 Vậy x y 1. c) Ta có:10x :5y 20y 10x 20y.5y 10x 100y 10x 102y x 2y. Dạng 4. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ LŨY THỪA I.Phương pháp giải. Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ . - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. am an a 1 m n - Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn . an bn n 0 a b Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân A B, B C thì A C. AC BC C 0 A B II.Bài toán. Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa. Bài 1. So sánh các lũy thừa: 32n và 23n Lời giải n Ta có: 32n 32 9n n 23n 23 8n Vì 9n 8n nên 32n 23n Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) - Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật. - Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B. - Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng. Với a,m,n, K N * . Ta có: a a a a - Nếu m n thì K K và K K . m n m n a a a a - Nếu m n thì K K và K K .(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù) m n m n 1 * Với biểu thức là tổng các số có dạng (với a N *) ta có vận dụng so sánh sau: a2 1 1 1 1 1 a a 1 a2 a 1 a Bài 1. Cho S 1 2 22 23 29 . So sánh S với 5.28 . Lời giải
15. Ta có: S 1 2 22 23 29 2S 2 22 29 210 S 210 1 Mà 210 1 210 4.28 5.28 Vậy S 5.28 . 1015 1 1016 1 Bài 2.So sánh hai biểu thức A và B , biết: A và B 1016 1 1017 1 Lời giải 1015 1 1015 1 1016 10 1016 1 9 9 Ta có: A 10A 10. = = 1 . 16 16 16 16 16 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1016 1 1016 1 1017 10 1017 1 9 9 B 10B 10. = = 1 . 17 17 17 17 17 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 9 9 9 9 Vì 1016 1 1017 1 nên 1 1 1016 1 1017 1 1016 1 1017 1 10A 10B hay A B 22008 3 22007 3 Bài 3.So sánh hai biểu thức C và D , biết: C và D 22007 1 22006 1 Lời giải 22008 3 1 1 22008 3 22008 3 22008 2 1 1 Ta có: C C 1 . 2007 2007 2008 2008 2008 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 22007 3 1 1 22007 3 22007 3 22007 2 1 1 D D 1 2006 2006 2007 2007 2007 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 Vì 22008 – 2 22007 – 2 nên 22008 2 22007 2 1 1 1 1 22008 2 22007 2 1 1 C D hay C D. 2 2 Vậy C D. Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết. * Với các số tự nhiên m, x, p và số dương a . + Nếu a 1 thì: am ax a p m x p . + Nếu a 1 thì: am ax a p m x p . * Với các số dương a,b và số tự nhiên m, ta có: am bm a b . Bài 3. Tìm các số nguyên n thoã mãn: 364 n48 572 . Lời giải Ta giải từng bất đẳng thức 364 n48 và n48 572 .
16. 16 16 16 Ta có: n48 364 n3 34 n3 8116 n3 81 n 4 (với n ¢ ) (1). 24 24 24 Mặt khác n48 572 n2 53 n2 12524 n2 125 11 n 11 (với n ¢ ) (2). Từ (1) và (2) 4 n 11 . Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5;6;7;8;9;10;11. Bài 4. Tìm x N , biết: x 4 x x 1 x 2 18 a) 16 128 . b) 5 .5 .5 1140404 44 2 4 4 4 4.403: 2 . 18 chu so 0 Lời giải x 4 a) Ta có:16x 1284 24 27 24x 228 4x 28 x 7 x 0,1,2,3,4,5,6 . x x 1 x 2 18 b) Ta có:5 .5 .5 1140404 44 2 4 4 4 4.403: 2 18 chu so 0 53x 3 1018 : 218 53x 3 518 3x 3 18 x 5 x 0,1,2,3,4,5 . Bài 5: Tìm số tự nhiên x, y sao cho 10x y2 143. Lời giải Ta có: 10x y2 143 10x 143 y2 Nếu x 0 y 12 thỏa mãn. Nếu x 0 10x có chữ số tận cùng là 0 . Khi đó, 10x có chữ số tận cùng là 3 . Mà y2 là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3 . Do đó không tồn tại x, y thỏa mãn. Vậy x 0; y 12. Bài 6: a) Số 58 có bao nhiêu chữ số? b) Hai số 22003 và 52003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? Lời giải a) Ta có: 58 (54)2 6252 6002 360000 108 100000000 100000000 58 400000 28 256 250 360000 58 400000. Do đó 58 có 6 chữ số. b) Giả sử 22003 có a chữ số và 52003 có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được (a b) chữ số. Vì 10a 1 22003 10a và 10b 1 52003 10b 10a 1.10b 1 22003.52003 10a.10b
17. 10a b 2 102003 10a b . Do đó: 2003 a b 1 a b 2004 . Vậy số đó có 2004 chữ số. Bài 7:Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau: a) n 83. 155 . b) m 416. 525 . Lời giải a) Ta có: 3 n 83. 155 23 . 3.5 5 29. 35. 55 24. 35. 2.5 5 1 6.243 .105 3888. 105. Số 3888.105 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số. Vậy số n có 9 chữ số. b) Ta có: 16 m 416. 525 22 . 525 232.525 27. 225.525 128.1025. Số 128.1025 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số. Vậy số m có 28 chữ số. Dạng 4: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết Bài 1: Chứng minh rằng: a. A 1 3 32 311 chia hết cho 4 b. B 165 215 chia hết cho 33 c. C 5 52 53 58 chia hết cho 30 d. D 45 99 180 chia hết cho9 e. E 1 3 32 33 3119 chia hết cho 13 f. F 1028 8 chia hết cho 72 g. G 88 220 chia hết cho 17 h. H 2 22 23 260 chia hết cho 3,7,15 i. I 1 3 32 33 31991 chia cho 13 và 41 j. J 10n 18n 1chia hết cho 27 k. K 10n 72n 1 chia hết cho 81 Lời giải a. A 1 3 32 311 chia hết cho 4 A 1 3 32. 1 3 310. 1 3 A 4 32.4 310.4
18. A 4. 1 32 310 M4 đpcm b. B 165 215 chia hết cho 33 5 B 24 215 B 220 215 B 215. 1 25 B 215.33 M33 đpcm c. C 5 52 53 58 chia hết cho 30 C 5 52 52. 5 52 56. 5 52 C 30 52.30 56.30 C 30. 1 52 56 M30 đpcm d. D 45 99 180 chia hết cho 9 Ta có: 45M9;99M9;180M9 nên D 45 99 180M9 (đpcm) (tính chất chia hết của một tổng) e. E 1 3 32 33 3119 chia hết cho 13 E 1 3 32 33. 1 3 32 3117. 1 3 32 E 13 33.13 3117.13 E 13. 1 33 3117 M13 đpcm f. F 1028 8 chia hết cho 72 Ta thấy: 72 8.9 Ta có: 28 10 8M9vì tổng các chữ số bằng 9 1028 8M8 vì có tận cùng là 008 Mà 8;9 1nên 1028 8M8.9 72 (đpcm) g. G 88 220 chia hết cho 17
19. 8 G 23 220 G 224 220 G 220. 24 1 G 220.17M17 đpcm h. H 2 22 23 260 chia hết cho 3,7,15 Ta có: H 2. 1 2 23. 1 2 259.(1 2) H 2.3 23.3 259.3 H 3. 2 23 259 M3 Ta có: H 2. 1 2 22 24. 1 2 22 228. 1 2 22 H 2.7 24.7 258.7 H 7. 2 24 258 M7 Ta có: H 2. 1 2 22 23 25. 1 2 22 23 257. 1 2 22 23 H 2.15 25.15 257.15 H 15. 2 25 257 M15 Vậy H chia hết cho 3; 7;15. i. I 1 3 32 33 31991 chia cho 13 và 41 Ta có: I 1 3 32 33. 1 3 32 31989. 1 3 32 I 13 33.13 31989.13 I 13. 1 33 31989 M13 mđp c Ta có:
20. I 1 32 34 36 3 33 35 37 31984 31986 31988 31990 31985 31987 31989 31991 I 1 32 34 36 3. 1 32 34 36 31984. 1 32 34 36 31985. 1 32 34 36 I 820. 1 3 31984 31985 I 41.20. 1 3 31984 31985 M41 Vậy I chia hết cho 13; 41 j. J 10n 18n 1chia hết cho 27 Ta có: J 10n 18n 1 10n 1 18n J 99 9 18n (số 99 9 có n chữ số 9 ) J 9. 11 1 2n (số 11 1có n chữ số 1) J 9.L Xét biểu thức trong ngoặc L 11 1 2n 11 1 n 3n (số 11 1có n chữ số 1) Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3 . Số 11 1có n chữ số 1có tổng các chữ số là 1 1 1 n (vì có n chữ số 1). 11 1 ( n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 11 1 ( n chữ số 1) nM3 L M3 9.LM27 hay J 10n 18n 1chia hết cho 27 (đpcm) k. K 10n 72n 1 chia hết cho 81 Ta có: K 10n 72n 1 K 10n 1 72n K 10 1 . 10n 1 10n 2 10 1 72n K 9. 10n 1 10n 2 10 1 9n 81n K 9. 10n 1 10n 2 10 1 n 81n K 9. 10n 1 1 10n 2 1 10 1 1 1 81n
21. Ta có: 10k 1 10 1 . 10k 1 10 1 chia hết cho 9 9. 10n 1 1 10n 2 1 10 1 1 1 chia hết cho 81 9. 10n 1 10n 2 10 1 n 81n chia hết cho 81 K 10n 72n 1M81 mđp c BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1. So sánh: a) 2435 và 3.275 . b) 6255 và 1257 . Bài 2: So sánh: a) 9920 và 999910. b) 3500 và 7300. c) 202303 và 303202. d) 111979 và 371320. Bài 3: So sánh: a) 85 và 3.47. b) 1010 và 48.505. c) 230 330 430 và 3.2410 . d) 199010 19909 và 199110. Bài 4: So sánh các số sau:19920 và 200315 . Bài 5: So sánh: a) 7812 7811 và 7811 7810 . b) A 7245 7244 và B 7244 7243 . Bài 6: So sánh các số sau:339 và 1121. Bài 7. Chứng tỏ rằng: 527 263 528 . Bài 8: Chứng minh rằng: 21995 5863 . Bài 9: Chứng minh rằng: 21999 7714 . Bài 10. So sánh: 3200 và 2300 . Bài 11: So sánh: 7150 và 3775 . Bài 12: So sánh các số: a) 5020 và 255010 . b) 99910 và 9999995 . Bài 13:Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100;375 và 550 . Bài 14: So sánh 2 số: 123456789 và 567891234 . Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 . Hãy so sánh m với 10.98 . Bài 16: Cho A 1 2012 20122 20123 20124  201271 201272 và B 201273 1. So sánh A và B. 310.11 310.5 210.13 210.65 Bài 17: So sánh hai biểu thức: B và C . 39.24 28.104 3 7 7 3 Bài 18: So sánh: M và N . 83 84 83 84
22. 1930 5 1931 5 Bài 19: So sánh M và N biết: M và N . 1931 5 1932 5 1 1 1 1 1 1 Bài 20: So sánh và . 1012 1022 1032 1042 1052 22.3.52.7 1 1 1 1 1 Bài 21: So sánh A 1 . 1 . 1 1 và . 22 32 42 1002 2 Bài 22: Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 3n 234 . b) 8.16 2n 4. Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415. 915 2n. 3n 1816. 216 . Bài 24: Cho A 3 32 33 . 3100 . Tìm số tự nhiên n , biết 2A 3 3n . Bài 25: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m 2n 256 . Bài 26: Tìm số nguyên dương n biết: a) 64 2n 256 . b) 243 3n 9 . Bài 27: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: n200 6300 . Bài 28: Tìm n N biết: a) 32 2n 512 . b*) 318 n12 208 . HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. So sánh: a) 2435 và 3.275 . b) 6255 và 1257 . Lời giải: 5 5 a) Ta có: 2435 35 325 ; 3.275 3. 33 3.315 316 Vì 316 325 3.275 2435 . b) 6255 (54)5 520;125 (53)7 521 . Vì 521 520 1257 6255 . Bài 2: So sánh: a) 9920 và 999910. b) 3500 và 7300. c) 202303 và 303202. d) 111979 và 371320. Lời giải: 10 10 10 a) Ta thấy: 9920 992 99.99 ;999910 99.101 Vì 99.99 10 99.101 10 9920 999910. 100 100 b) Ta có : 3500 35 243100 , 7300 73 343100 . Vì 243100 343100 nên 3500 7300. c) Ta có: 101 101 202303 2.101 3.101 23.1013 8.101.1012 808.101 101 101 101 303202 3.101 2.101 32.1012 9.1012
23. Vì 808.1012 9.1012 nên 202303 303202. d) Ta có: 660 111979 111980 113 1331660 (1) 660 371320 372 1369660 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 111979 371320. Bài 3: So sánh: a) 85 và 3.47. b) 1010 và 48.505. c) 230 330 430 và 3.2410 . d) 199010 19909 và 199110. Lời giải: a) Ta có: 85 215 2.214, 3.47 3.214 . Vì 2 3 2.214 3.214 85 3.47. b) Ta có : 1010 210. 510 2. 29. 510 , 48. 505 3. 24 . 25. 510 3. 29. 510 Vì 2 3 2. 29. 510 3. 29. 510 1010 48. 505. c) Ta có: 430 (22)30 (2.2)30 230.230 (23)10.(22)15 810.415 , 2410.3 (8.3)10.3 810.310.3 810.311 Vì 311 415 810.311 810.415 430 3.2410 230 330 430 3.2410 . d) Ta có : 199010 19909 19909. 1990 1 1991. 19909 199110 1991. 19919 Vì 19909 19919 nên 199010 19909 199110. Bài 4: So sánh các số sau:19920 và 200315 . Lời giải: 19920 20020 (8.25)20 (23.52)20 (23.52)20 260.540 200315 200015 (16.125)15 (24.53)15 (24.53)15 260.545 Vì 545 540 260.545 260.540 200315 19920 . Bài 5: So sánh: a) 7812 7811 và 7811 7810 . b) A 7245 7244 và B 7244 7243 . Lời giải: a)Ta có: 7812 7811 7811. 78 1 7811.77 7811 7810 7810. 78 1 7810.77 Vì 7811 7810 7811.77 7810.77 7812 7811 7811 7810 . b) Ta có: A 7244(72 1) 7244.71 và B 7243(72 1) 7243.71 7244 7243 7244.71 7243.71 A B. Bài 6: So sánh các số sau:339 và 1121. Lời giải:
24. Ta có: 339 340 (34)10 8110 1120 (112)10 12110 1121 Vì 8110 12110 339 1121. Bài 7. Chứng tỏ rằng: 527 263 528 . Lời giải: Ta có: 263 (27 )9 1289,527 (53)9 1259 263 527 (1) Lại có: 263 (29)7 5127,528 (54)7 6257 263 528 (2) Từ (1) và (2) 527 263 528 Bài 8: Chứng minh rằng: 21995 5863 . Lời giải: Ta có: 21995 21990.25;5863 5860.53 Nhận xét: 25 32 53 125 nên cần so sánh 21990 và 5860 Có: 210 1024,55 3025 210.3 55 21720.3172 5860 Có: 21990 21720.2270 , cần so sánh 21720.2270 với số 21720.3172 như sau: 37 2187;211 2048 37 211 24 3172 37 .34 211 24 211 26 2270 Do đó: 21720.2270 21720.3172 5860 21990 5860 Mà 25 53 21995 5863 Bài 9: Chứng minh rằng: 21999 7714 . Lời giải: Ta có: 210 1024;73 343 210 3.73 (210)238 3238.(73)238 22380 3238.7714 (1) Xét: 3238 33.3235 33.(35)47 33.(28)47 25.2376 2381 (vì 35<28) 3238 2381 (2) 2380 Từ (1) và (2) ta có: 2 2381.7714 714 21999 7 Bài 10. So sánh: 3200 và 2300 . Lời giải: Ta có: 3200 (32)100 9100;2300 (23)100 8100 mà 8100 9100
25. 2300 3200 Bài 11: So sánh: 7150 và 3775 . Lời giải: Ta có: 7150 7250 (8.9)50 2150.3100 (1) 3775 3675 (4.9)75 2150.3150 (2) Mà 2150.3150 2150.3100 (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775 7150 Bài 12: So sánh các số: a) 5020 và 255010 . b) 99910 và 9999995 . Lời giải: 10 a) Ta có: 5020 50 2 250010 255010 520 255010 5 5 b) Ta có: 99910 999 2 9980015 9999995 99910 999999 Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100;375 và 550 . Lời giải: 50 2100 22 450 550 (1) 375 (33)25 2725 375 550 (2) 550 (52)25 2525 (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: 2100 550 375 Bài 14: So sánh 2 số: 123456789 và 567891234 . Lời giải: Ta có: A 123456789 100050000 (103)50000 10150000 B 567891234 1000002000 (105)2000 1010000 Vì 1010000 10150000 567891234 123456789 Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 . Hãy so sánh m với 10.98 . Lời giải: Số có 9 chữ số là a1a2 a9 trong đó các chữ số ai 0(i 1;9) và có thể giống nhau. Từ tập hợp số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 mỗi chữ số ai có 9 cách chọn. Do đó ta có số các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán là m 99 số. Từ đó: m 99 9.98 10.98
26. Bài 16: Cho A 1 2012 20122 20123 20124  201271 201272 và B 201273 1. So sánh A và B. Lời giải: Ta có: A 1 2012 20122 20123 20124 201271 201272 2012.A 2011 20122 20123 20124 20125 201272 201273 2012.A A 2011A 201273 1 A (201273 1) : 2011 201273 1 Vậy A < B. 310.11 310.5 210.13 210.65 Bài 17: So sánh hai biểu thức: B và C . 39.24 28.104 Lời giải: 310.11 310.5 310(11 5) B 3 39.24 39.16 210.13 210.65 210(13 65) 22.78 C 3 28.104 28.104 104 Vậy B = C. 3 7 7 3 Bài 18: So sánh: M và N . 83 84 83 84 Lời giải: 7 3 3 4 3 3 3 4 Ta có: 83 84 83 83 84 83 84 83 7 3 3 4 3 3 3 4 83 84 83 83 84 83 84 83 4 4 3 3 4 3 3 4 Vì 84 83 83 84 84 83 84 83 M N 1930 5 1931 5 Bài 19: So sánh M và N biết: M và N . 1931 5 1932 5 Lời giải: 1930 5 19.(1930 5) 1931 95 90 M nên 19M 1 1931 5 1931 5 1931 5 1931 5 1931 5 19(1931 5) 1932 95 90 N nên 19N 1 1932 5 1932 5 1932 5 1932 5 90 90 Vì 1931 5 1932 5
27. 90 90 1 1 hay 19M > 19N M N 1931 5 1932 5 1 1 1 1 1 1 Bài 20: So sánh và . 1012 1022 1032 1042 1052 22.3.52.7 Lời giải: Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: 1 1 n (n 1) n n 1 1 1 n 1 n (n 1).n (n 1).n (n 1)n n2 1 1 1 n2 n 1 n Áp dụng vào bài toán ta được: 1 1 1 1012 100 101 1 1 1 1022 101 102 1 1 1 1052 104 103 1 1 1 1 1 1012 1022 1052 100 105 105 100 5 1 100.105 22.52.5.3.7 22.52.3.7 1 1 1 1 Vậy 1012 1022 1052 22.52.3.7 1 1 1 1 1 Bài 21: So sánh A 1 . 1 . 1 1 và . 22 32 42 1002 2 Lời giải: A là tích của 99 số âm. Do đó: 1 1 1 1 A 1 1 1 1 4 9 16 1002 3 8 15 9999 . . 22 32 42 1002 1.3 2.4 3.5 99.101 . . 22 32 42 1002 Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau: 1.2.3.4.5.6 98.99 3.4.5 100.101 1 101 101 1 A . . 2.3.4.5 99.100 2.3.4 99.100 100 2 200 2 1 Vậy A < 2 Bài 22: Tìm các số tự nhiên n sao cho:
28. a) 3 3n 234 . b) 8.16 2n 4. Lời giải: a) 3 3n 234 31 3n 35 1 n 5 n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5. b) 8.16 2n 4 23.24 2n 22 27 2n 22 7 n 2 n nhận các giá trị là: 2, 4, 5, 6, 7 Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415. 915 2n. 3n 1816. 216 . Lời giải: Ta có: 415.915 2n.3n 1816.216 (4.9)15 (2.3)n (18.2)16 3615 6n 3616 (62)15 6n (62)16 630 6n 632 30 n 32 n 31 Bài 24: Cho A 3 32 33 . 3100 . Tìm số tự nhiên n , biết 2A 3 3n . Lời giải: Có A 3 32 33 3100 3A 32 33 34 3101 3A A 2A 3101 3 2A 3 3101 Mà theo đề bài ta có 2A + 3 = 3n 3101 3n n 101 Bài 25: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m 2n 256 . Lời giải: Ta có: 2m 2n 256 28 2n (2m n 1) 28 (1) Dễ thấy m n , ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m – n = 1 thì từ (1) ta có: 2n.(2 – 1) = 28 => 2n = 28 => n = 8 và m = 9 Trường hợp 2: Nếu m – n 2 2m n 1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau. Vậy n 8 và m 9 là đáp số duy nhất. Bài 26: Tìm số nguyên dương n biết: a) 64 2n 256 . b) 243 3n 9 . Lời giải:
29. a) Ta có: 64 3n 9 35 3n 32 5 n 2 mà n nguyên dương nên n 2;3;4 . Bài 27: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: n200 6300 . Lời giải: Ta có: n200 = (n2)100; 6300 = (63)100 = 216100 100 n200 < 6300 n2 216100 n2 216 (*) Suy ra: số nguyên lớn nhất thỏa mãn (*) là n = 14. Bài 28: Tìm n N biết: a) 32 2n 512 . b*) 318 n12 208 . Lời giải: a)32 2n 512 25 2n 29 Suy ra 5 n 9 Vậy n 6;7 6 6 b) Với n ¥ , ta xét: 318 n12 33 n2 33 n2 27 n2 Nhận thấy: 52 27 62 nên 62 n2 6 n 4 4 n12 208 n3 202 n3 202 n3 400 Nhận thấy: 73 400 83 nên n3 73 n 7 Do đó: 6 n 7 n 6;7 HẾT