Hệ thống kiến thức cơ bản môn Toán Lớp 6, 7, 8, 9 - Đinh Quốc Nguyễn

93 trang thaodu 27261

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Hệ thống kiến thức cơ bản môn Toán Lớp 6, 7, 8, 9 - Đinh Quốc Nguyễn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

he_thong_kien_thuc_co_ban_mon_toan_lop_6_7_8_9_dinh_quoc_ngu.doc

Nội dung text: Hệ thống kiến thức cơ bản môn Toán Lớp 6, 7, 8, 9 - Đinh Quốc Nguyễn

Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 HÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n  M«n : TOÁN Líp : 6,7; 8,9 LỚP 6 CHƯƠNG I 1. TẬP HỢP. PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN. GHI SỐ TỰ NHIÊN Tập hợp là một khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và trong đời sống, ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ. :Để viết một tập hợp, ta có thể: - Liệt kê các phần tử của tập hợp. - Chỉ ra các tính chất đặt trưng cho các phần tữ của tập hợp. Để kí hiệu a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a A. nĐể kí hiệu B không là phần tử của tập hợp A, ta viết b A. Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N N = {0;1;2; } Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là N* N* = {1;2;3; } Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số. Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn. Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị ở một hàng thì làm thành một đơn vị ở hàng trên liền trước đó. Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, người ta dùng mười chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Trong hệ thập phân, giá trị của mỗi số trong một dãy thay đổi theo vị trí 2. SỐ PHẨN TỬ CỦA TẬP HỢP.TẬP HỢP CON Các kiến thức cần nhớ Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào. Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng. Tập hợp rỗng kí hiệu . Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A là con của tập hợp B. Kí hiệu AB, đọc là : A là tập hợp con của tập hợp B, hoặc A được chứa trong B, hoặc B chứa A. Nếu AB và BA thì ta nói A và B làa hai tập hợp bằng nhau, kí hiệu A = B. 3. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN Tính chất giao hoán giữa phép cộng và phép nhân: Khi đổi chỗ các số hạn thì tổng không thay đổi. Khi đổi chổ các thừa số của một tích thì tích không đổi. Tính chất kết hợp giữa phép cộng và phép nhân: Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với số thứ hai và số thứ ba. Muốn nhân một tích hai số với một số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạn của tổng rồi cộng các kết quả lại. Tính chất của pheùp cộng vaø pheùp nhaân: Tính chaát Pheùp coäng Pheùp nhaân 1
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Giao hoaùn a + b = b + a a. b = b. a Keát hôïp (a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c) Coäng vôùi 0 a + 0 = 0 + a = a Nhaân vôùi1 a.1 = 1.a = a Phaân phoái a.( b + c ) = a.b + a.c 4. PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ. Điều kiện để a chia hết cho b (a,b N, b 0) là số tự nhiên q sao cho a = b.q Trong phép chia có dư : Số bị chia = số chia. Thương + số dư Số chia bao giờ cũng khác 0. Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia. 5. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ Các kiến thức cần nhớ Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng a: an = a.a a (n N*) n thừa số Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: Toång quaùt : am . an = am+ n Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: Toång quaùt : am : an = am- n (a ¹ 0,m ³ n) - Quy öôùc : a1 = a , a0 = 1 (a ¹ 0) 6.Thöù töï thöïc hieän caùc pheùp tính : a) Ñoái vôùi bieåu thöùc khoâng coù daáu ngoaëc : - Neáu chæ coù pheùp coäng vaø tröø hoaëc chæ coù pheùp nhaân vaø chia ta thöïc hieän pheùp tính theo thöù töï töø traùi sang phaûi . - Neáu coù caùc pheùp tính coäng , tröø , nhaân , chia , naâng leân luõy thöøa ta thöïc hieän theo thứ tự :Luõy thöøa Nhaân vaø chia Coäng vaø tröø b) Ñoái vôùi bieåu thöùc coù daáu ngoaëc : Ta thöïc hieän : ( ) [ ] { } 7. Tính chaát chia heát cuûa moät toång: ïì (a + b)Mm a)NÕu: aMm , bMm Þ íï îï (a - b)Mm b)NÕu: aMm , bMm, cMm Þ (a + b + c)Mm ïì (a + b)/Mm c)NÕu: aMm , b/Mm Þ íï ï îï (a - b)/Mm d)NÕu: aMm , bMm, c/Mm Þ (a + b + c)/Mm 8. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, CHO 5 DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3, CHO 9 Các số có chữ số tận cùng là các chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2. Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9 Các số có tổng các chữ số chia hết chỏ thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3 2
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 9. ƯỚC VÀ BỘI. SỐ NGUYÊN TỐ. HỢP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ Nếu số tự nhiện a chai hết cho số tự nhiên b thì a là bội của b, b được gọi là ước của a. - Muốn tìm bội của một số khác o, ta nhân số đó lần lược với 0,1,2,3 Bội của b có dạng tổng quát là b.k với k N - Muốn tìm ước của một số khác o, ta lần lược chia số đó cho 1,2,3 để xét xem số đó chia hết cho số nào. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, không có ước khác 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lớn 1, có ước khác 1 và chính nó. Số nguyên tố nhỏ hơn 2, đó là số nguyên tố chẵn duy nhất. Phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng các thừa số nguyên tố. Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố. 10. ƯỚC CHUNG VÀ BỘI CHUNG ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số lớn nhất trong tập hợp ước chung của các số đó. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số, ta thực hiện ba bước sau: Bứơc 1: Phân tích mỗi số ra thừc số nguyên tố Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung. Bước 3: Lập tích các thừa số đó, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm. Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho là số nhỏ nhất đó. Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung của các số đó. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số ta thực hiện ba bước sau: Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng Bước 3: Lập tích các thừa số đó, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm. Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó. Trong các số đã cho, nếu số lốn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho là số lớn nhất ấy Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó CHƯƠNG II: SỐ NGUYÊN 1) Taäp hôïp soá nguyeân vaø thöù töï trong taäp hôïp soá nguyeân : - Taäp hôïp soá nguyeân : Z = { ,- 3,- 2,- 1, 0 , 1 , 2 , 3 , } Hay Z = { Nguyeân aâm , Soá 0 , Nguyeân döông } Chó ý :Mäisè tù nhiªn ®Òu lµsè nguyªn ( N Z) - Thöù töï trong taäp hôïp soá nguyeân : Khi bieåu dieãn treân truïc soá (naèm ngang) , ñieåm a naèm beân traùi ñieåm b thì soá nguyeân a nhoû hôn soá nguyeân b . VD : 3 2 1 0 1 Nhaän xeùt : - Soá nguyeân aâm 0 - Soá nguyeân aâm < 0 < Soá nguyeân döông . 3
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 2)Giaù trò tuyeät ñoái của một soá nguyeân : Giaù trò tuyeät ñoái cuûa soá nguyeân a kyù hieäu :a laø khoaûng caùch töø ñieåm a ñeán ñieåm O treân truïc soá. Chuù yù: Giaù trò tuyeät ñoái cuûa moät soá nguyeân (keát quaû) khoâng bao giôø laø moät soá nguyeân aâm ( vì keát quaû ñoù laø khoaûng caùch) THỰC HIỆN PHÉP TÍNH 1. Cộng hai số nguyên dương: chính là cộng hai số tư nhiên, 2. Cộng hai số nguyên âm: Muốn cộng hai số nguyên âm,ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-” trước kết quả. 3. Cộng hai số nguyên khác dấu: * Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0. * Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn. 4. Hiệu của hai số nguyên: Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b, tức là: a – b = a + (-b) 5. Quy tắc chuyển vế: Muốn chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “-” và dấu “-” đổi thành dấu“+”. 6. Nhân hai số nguyên: Muốn nhân hai số nguyên ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng. 7. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a.(b+c)= a.b + a.c CHƯƠNGIII: PHÂN SỐ 1. Phân số bằng nhau: hai phân số a và c gọi là bằng nhau nếu a.d = b.c b d 2. Quy đồng mẫu nhiều phân số: Quy đồng mẫu các phân số có mẫu dương ta làm như sau: Bước1: Tìm một BC của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung. Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu). Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng 3. So sánh hai phân số: * Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn, tức là: a b  a b  m 0 m m * Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. 4. Phép cộng phân số: * Cộng hai phân số cùng mẫu: Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và a b a b giữ nguyên mẫu, tức là: m m m * Cộng hai phân số không cùng mẫu: Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung. 4
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 5. Phép trừ phân số: Muốn trừ một phân số cho một phân số,ta cộng số bị trừ với số a c a c đối của số trừ: ( ) b d b d 6. Phép nhân phân số: Muốn nhân hai phân số,ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau, tức là: a c a.c  b d b.d 7. Phép chia phân số: Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số,ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia, a c a d a.d c d a.d tức là: :  ; a : a  (c 0). b d b c b.c d c c 8. Tìm giá trị phân số của một số cho trước: Muốn tìm m của số b cho trước, ta tính n b.m (m, n N, n 0). n 9. Tìm một số biết giá trị một phân số của nó: m m Muốn tìm một số biết của nó bằng a, ta tính a : n n (m, n N*). 10. Tìm tỉ số của hai số: Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b, ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết kí hiệu % vào kết quả: a.100 % b 5
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 II. HÌNH HOÏC : CHƯƠNG I 1) Ñöôøng thaúng , ñoaïn thaúng , tia : a)Ñöôøng thaúng AB: A B b) Ñoaïn thaúng AB A B c) Tia AB A B d) Tia BA B A e) Hai tia OM vaø ON ñoái nhau M O N 2) Khi naøo thì AM + MB = AB ? A M B Nắm vững các kiến thức sau: Định nghĩa(Khái niệm) và cách vẽ: Điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng, 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng, điểm nằm giữa hai điểm, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau, hai đường thẳng song song Quan hệ giữa điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng (Điểm thuộc hay không thuộc đường thẳng, đường thẳng cắt đường thẳng, ) và cách vẽ. Các cách tính độ dài đoạn thẳng: - Dựa vào tính chất điểm nằm giữa hai điểm: M nằm giữa A và B AM MB AB - Dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng: M là trung điểm của AB AB AM MB 2 Cách nhận biết điểm nằm giữa hai điểm: M,N Ox, OM ON AM + MB = AB M nằm giữa O và N M nằm giữa A và B 6
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Cách nhận biết một điểm là trung điểm của đoạn thẳng: AM MB AB M naèm giöõa A vaø B . M là trung điểm của AB MA MB AB . MA MB M là trung điểm của AB 2 A, B, M thaúng haøng . MA MB M là trung điểm của AB CHƯƠNG II 1.Góc: góc là hình gồm hai tia chung gốc. - Gốc chung của hai tia là đỉnh của góc. Hai tia là hai cạnh của góc. */ Các loại góc: a) Góc có số đo bằng 900 là góc vuông. b) Góc nhỏ hơn góc vuông là góc nhọn. c) Góc có số đo bằng 1800 là góc bẹt. d) Góc lớn hơn góc vuông nhưng nhỏ hơn góc bẹt là góc tù. */ Quan hệ góc: a) Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng 900 b) Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 1800 c) Hai góc kề nhau là hai góc có chung một cạnh và mỗi cạnh còn lại của hai góc nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa cạnh chung. d) Hai góc kề bù là hai góc vừa kề vừa bù 2. Tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz x·Oy y·Oz x·Oz TiaOy naèm giöõaOx vaø Oz 3. Tia Oy là tia phân giác của x·Oz · · xOy yOz x·Oz Tia Oy là tia phân giác của x·Oz x·Oy y·Oz 2 4. Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R, kí hiệu (O;R) 5. Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA khi ba điểm A, B, C không thẳng hàng. 7
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 LỚP 7 : CHƯƠNG I I. Số hữu tỉ và số thực. 1) Lý thuyết. a 1.1 Số hữu tỉ là số viết được dưới dang phân số với a, b ¢ , b 0. b 1.2 Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ. a b a b a b Với x = ; y = (a,b,m ¢ ) x y m m m m m a b a b x y m m m a c a c a.c Với x = ; y = (y 0) x.y . b d b d b.d a c a d a.d x : y : . b d b c b.c a c 1.3 Tỉ lệ thức : Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b d a c Tính chất 1 :Nếu thì a.d = b.c b d a c a b d c d b Tính chất 2 : Nếu a.d = b.c và a,b,c,d 0 thì ta có: , , , b d c d b a c a 1.4 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. a c e a c e a c e a c (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b d f b d f b d f b d a c e a c e a b e -Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa b d f b d f b d f a c e - Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk b d f 1.5 Mối quan hệ giữa số thập phân và số thực: Số thập phân hữu hạn Q (tập số hữu tỉ) Số thập phân vô hạn tuần hoàn R (tập số thực) I (tập số vô tỉ) Số thập phân vô hạn không tuần hoàn. 1.6 Một số quy tắc ghi nhớ khi làm bài tập a) Quy tắc bỏ ngoặc: Bỏ ngoặc trước ngoặc có dấu “-” thì đồng thời đổi dấu tất cả các hạng tử có trong ngoặc, còn trước ngoặc có dấu “+” thì vẫn giữ nguyên dấu các hạng tử trong ngoặc. b) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó. Với mọi x, y, z R : x + y = z => x = z – y 8
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ: ĐN: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu x là khoảng cách từ điểm x tới điểm 0 x nÕu x 0 trên trục số. x = -x nÕu x 0 A m A m A m (m 0) ; A m (hay m A m) với m > 0 A m A m -Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn) 0< A < B An < Bn ; GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC 1.Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b *A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A * A 0,A , A 0,A * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 * A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ. Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên Cần nắm vững định nghĩa: xn = x.x.x.x x (x Q, n N) n thừa số x Quy ước: x1 = x; x0 = 1; (x 0) Dạng 2: Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng cơ số. Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số. xm .xn xm n x m : x n x m n (x 0, m n ) Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa n xm xm.n Sử dụng tính chất: Với a 0, a 1 , nếu am = an thì m = n Dạng 3: Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng số mũ. Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương: am : an = am –n ( a 0, m n) 9
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 ; ( a.b)n = an .bn ; a an ( )n (b 0) (y 0) b bn Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa (am)n = am.n SỐ THẬP PHÂN HỬU HẠN , SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN A.Lý thuyÕt: I. Viết phân số dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn: 1. Nếu một phân số tối giản mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.(STPHH) 2. Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Phân số đó viết thành số thập phân vô hạn, trong đó có những nhóm chữ số được lặp lại, nhóm chữ số đó gọi là chu kì, số thập phân vô hạn đó gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn(STPVHTH) - Số thập phân có nguồn gốc từ phân số nếu vô hạn thì phải tuần hoàn - Ví dụ: Khi chia 1 cho 7 ta được số thập phân vô hạn, số dư trong phép chia này chỉ có thể là 1,2,3,4,5,6 nếu nhiều nhất đến số dư thứ 7, số dư phải lặp lại, do đó các nhóm chữ số cũng thường lặp lại, và số thập phân vô hạn phải tuần hoàn. 1 Ta có = 0,142857142857 7 3. Để viết gọn số TPVHTH người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc 7 7 Ví dụ: = 0,2121 = 0,(21) = 0,31818 = 0,3(18) 33 22 4. Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phảy, ví dụ 0,(21) ; gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường ví dụ 0,3(18) chu kì là 18 và phần bất thường là 3 II. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số: Muốn viết phần thập phân của STPVHTH dưới dạng phân số ta lấy chu kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số , số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì 1 1 6 2 Lưu ý : 0,(1) = 0,(6) = 6 . 0,(1) = 6 . = 9 9 9 3 1 1 6 2 0,(01) = 0,(06) = 6 . 0,(01) = 6 . = 99 99 99 33 1 1 6 2 0,(001) = 0,(006) = 6 . 0,(001) = 6 . = 999 999 999 333 Muốn viết phần thập phân của STPVHTH tạp dưới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số các chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường 318 3 315 7 Ví dụ: 0,3(18)= 990 990 22 10
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 III. Điều kiện để phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn hay tạp: Một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn . Đối với các phân số đó - Nếu mấu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn 1 Ví dụ: = 0,(142857) ( mẫu chỉ chứa ước nguyên tố 7) 7 - Nếu mấu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp 7 Ví dụ: = 0,31818 = 0,3(18) (mẫu có chứa ước nguyên tố 2 và 11) 22 QUY ƯỚC LÀM TRÒN SỐ 1. Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Ví dụ: Làm tròn số 12, 348 đến chữ số thập phân thứ nhất, được kết quả 12,3. 2. Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Ví dụ: Làm tròn số 0,26541 đến chữ số thập phân thứ hai, được kết quả 0,27. CĂN BẬC HAI a) Định nghĩa về căn bậc hai : - Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a. - Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a và một số âm ký hiệu là -a . b) Định nghĩa căn bậc hai số học : Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a; x 0 2 a a Nếu x ≥ 0 và x =a thì x = . Ta viếtx= 2 x a 11
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 CHƯƠNG II : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ II. Hàm số và đồ thị: 1) Lý thuyết: 1.1 Đại lượng tỉ lệ thuận - đại lượng tỉ lệ nghịch: ĐL Tỉ lệ thuận ĐL tỉ lệ nghịch a a) Định nghĩa: y = kx (k 0) a) Định nghĩa: y = (a 0) hay x.y =a x b)Tính chất: b)Tính chất: y1 y2 y3 Tính chất 1: k Tính chất 1: x1.y1 x2.y2 x3.y3 a x1 x2 x3 x y x y x y x y Tính chất 2: 1 1 ; 3 3 ; Tính chất 2: 1 2 ; 3 4 ; x2 y2 x4 y4 x2 y1 x4 y3 1.2 Khái niệm hàm số: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, kí hiệu y =f(x) hoặc y = g(x) và x được gọi là biến số. 1.3 Đồ thị hàm số y = f(x): Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x ; y) trên mặt phẳng tọa độ. 1.4 Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0). Đồ thị hàm số y = ax (a 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Cách vẽ : cho x = 0 => y = 0 . ta được điểm O ( 0 : 0 ) x = 1 = > y = a . Ta được điểm A ( 1 ; a ) CHƯƠNG III THỐNG KÊ Các kiến thức cần nhớ 1/ Bảng số liệu thống kê ban đầu. 2/ Đơn vị điều tra. 3/ Dấu hiệu ( kí hiệu là X ). 4/ Giá trị của dấu hiệu ( kí hiệu là x ). 5/ Dãy giá trị của dấu hiệu (số các giá trị của dấu hiệu kí hiệu là N). 6/ Tần số của giá trị (kí hiệu là n). n 7/ Tần suất của một giá trị của dấu hiệu được tính theo công thức f Tần suất f thường N được tính dưới dạng tỉ lệ phần trăm. 8/ Bảng “tần số” (bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu). 9/ Biểu đồ ( biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt). 10/ Số trung bình cộng của dấu hiệu. 11/ Mốt của dấu hiệu. 12
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 CHƯƠNG IV : BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số: a) Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số. Phương pháp: Bước 1: dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn. Bước 2: xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn. b) Thu gọn đa thưc, tìm bậc, hệ số cao nhất. Phương pháp: Bước 1: nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đòng dạng. Bước 2: xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số : Phương pháp : Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số. Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số. Bước 3: Tính giá trị biểu thức số. Dạng 3 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến Phương pháp : Bước 1: viết phép tính cộng, trừ các đa thức. Bước 2: áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc. Bước 3: thu gọn các hạng tử đồng dạng ( cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng) Dạng 4: Cộng trừ đa thức một biến: Phương pháp: Bước 1: thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. Bước 2: viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau. Bước 3: thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột. Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)] Dạng 5 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến 1. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không Phương pháp : Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó. Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức. 2. Tìm nghiệm của đa thức một biến Phương pháp : Bước 1: Cho đa thức bằng 0. Bước 2: Giải bài toán tìm x. Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức. Chú ý : – Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 – Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a + b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại x2 = c/a. – Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a – b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = –1, nghiệm còn lại x2 = -c/a. Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x0) = a Phương pháp : Bước 1: Thay giá trị x = x0 vào đa thức. Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a. Bước 3: Tính được hệ số chưa biết. 13
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 B.HÌNH HỌC 1) Lý thuyết: 1.1 Định nghĩa hai góc đối đỉnh: Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. 1.2 Định lí về hai góc đối đỉnh: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. y 1.3 Hai đường thẳng vuông góc: Hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có x x' một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là xx’ yy’. 1.4 Đường trung trực của đường thẳng: y' Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại c trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. 1.5 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: a Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b b song song với nhau. (a // b) 1.6 Tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. 1.7 Tính chất hai đường thẳng song song: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: a) Hai góc so le trong bằng nhau; b) Hai góc đồng vị bằng nhau; c) Hai góc trong cùng phía bù nhau. 1. §êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iÓm a cña nã ®îc gäi lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êy b) Tæng qu¸t: a lµ ®êng trung trùc cña AB A I B a  AB t¹i I  IA =IB 2. C¸c gãc t¹o bëi mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng 14
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 a) C¸c cÆp gãc so le trong: a µ µ µ µ A A1 vµ B3 ; A4 vµ B2 . 3 2 b) C¸c cÆp gãc ®ång vÞ: 4 1 µ µ µ µ A1 vµ B3 ; A1 vµ B3 ; µ µ µ µ A1 vµ B3 ; A1 vµ B3 . b µ µ µ µ 2B c) Khi a//b th× A1 vµ B2 ; A4 vµ B3 gäi 3 4 1 lµ c¸c cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau 3. Hai ®êng th¼ng song song c a) DÊu hiÖu nhËn biÕt a - NÕu ®êng th¼ng c c¾t hai ®êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau b b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt - Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®êng M b th¼ng chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng ®ã a c, TÝnh chÊt hai ®êng th¼ng song song - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng song song th×:  Hai gãc so le trong b»ng nhau;  Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau;  Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau. d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song c - Hai ®êng th¼ng ph©n biÖt cïng b vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau a  c a  a / / b b  c 15
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 - Mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi c mét trong hai ®êng th¼ng song b song th× nã còng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng kia c  b  c  a a a / / b e) Ba ®êng th¼ng song song - Hai ®êng th¼ng ph©n biÖt a cïng song song víi mét ®êng b th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau c a//c vµ b//c => a//b CHƯƠNG II TAM GIÁC 1 Tổng ba góc của tam giác: Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800. Định lí tổng ba góc trong một tam giác. Tính chất góc ngoài của tam giác. + có µ µ · 1800 (đ/I tổng ba góc trong một tam A VABC A B ACB giác) + Tính chất của góc ngoài Acx: x ·ACx Aµ Bµ B C 2. Gãc ngoµi cña tam gi¸c Gãc ngoµi cña mét a) §Þnh nghÜa: A tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc cña tam gi¸c Êy b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng kÒ víi nã B C x A· Cx Aµ Bµ 3. Hai tam gi¸c b»ng nhau 16
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 A a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng nhau lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t¬ng øng b»ng nhau B C ABC A 'B'C' A' AB A 'B'; AC A 'C'; BC B'C' µ µ µ µ µ µ A A '; B B'; C C' B' C ' b) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c *) Trêng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh A (c.c.c) - NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã: B C AB A 'B' A' AC A 'C' ABC A 'B'C'(c.c.c) BC B'C' B C' *) Trêng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh ' A (c.g.c) - NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau B C NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A' AB A 'B' µ µ B B'  ABC A 'B'C'(c.g.c) BC B'C'  B' C' 17
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 *) Trêng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g) A - NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã: B C Bµ Bµ'  A' BC B'C' ABC A 'B'C'(g.c.g ) µ µ C C'  B' C' 4/ Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. + Trưòng hợp 1: Hai cạnh góc vuông. : NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau. B E VABC ( Aµ 900 ) và VDEF (Dµ 900 ) AB DE có: AC DF A C D F VABC = VDEF ( Hai cạnh góc vuông ) + Trưòng hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn.  : NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau. B E VABC ( Aµ 900 ) và VDEF (Dµ 900 ) AC DF AB DE có: hoặc µ µ µ µ C F B E A C D F VABC = VDEF ( Cạnh góc vuông- góc nhọn ) + Trưòng hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn. : NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau. B E VABC ( Aµ 900 ) và VDEF (Dµ 900 ) 18 A C D F
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 BC EF BC EF có: hoặc µ µ µ µ C F B E VABC = VDEF ( Cạnh huyền - góc nhọn ) + Trưòng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh góc vuông. NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau. VABC ( Aµ 900 ) và VDEF (Dµ 900 ) B E CB EF CB EF có: hoặc AC DF AB DE VABC = VDEF ( Cạnh huyền - cạnh góc vuông ) A C D F 5/ Định nghĩa tính chất của tam giác cân. A * Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC VABC cân tại A. * Tính chất: 1800 Aµ + AB = AC + Bµ Cµ 2 + Bµ Cµ + Aµ 1800 2Bµ B C 6/ Định nghĩa tính chất của tam giác đều: A * Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC VABC là tam giác đều. * Tính chất: + AB = AC = BC + Aµ Bµ Cµ 600 B C 7/ Tam giác vuông: B * Định nghĩa: Tam giác ABC có Aµ 900 VABC là tam giác vuông tại A. * Tính chất: µ µ 0 A C + B C 90 Định lí Pytago: Trong tam giác vuông ,bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông VABC vuông tại A BC2 = AB2 + AC2 * Định lí Pytago đảo: VABC có BC2 = AB2 + AC2 VABC vuông tại A 8/ Tam giác vuông cân: B 19 A C
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 * Định nghĩa: Tam giác ABC có Aµ 900 và AB = AC VABC là vuông cân tại A. * Tính chất: + AB = AC = c + BC2 = AB2 + AC2 BC = c 2 + Bµ Cµ 450 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1/Nêu định nghĩa tam giác cân? Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh bằng nhau là hai cạnh bên, cạnh còn lại là cạnh đáy 2/ Phát biểu các tính chất của tam giác cân? Tính chất 1: Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. Tính chất hai: tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân. 3/Phát biểu định nghĩa tam giác đều: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. 4 /Phát biểu tính chất của tam giác đều? + Trong tam giác đều mỗi góc bằng 600 + Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều. + Nếu một tam giác cân có một góc bằng 600 thì tam giác đó là tam giác đều. 5 /Phát biểu định nghĩa tam giác vuông cân Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau 6 /Phát biểu tính chất của tam giác vuông cân. Trong tam giác vuông cân mỗi góc nhọn bằng 450 7 Phát biểu định lí Pi ta go Trong tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. 8 phát biểu định lí Pi ta go đảo. Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. CHƯƠNG III A 1. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c) - Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n B C ABC : NÕu AC > AB th× Bµ > Cµ - Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n ABC : NÕu Bµ > Cµ th× AC > AB 20
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 2. Quan hÖ gi÷a ®êng vu«ng gãc vµ ®êng xiªn, ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu  Kh¸i niÖm ®êng vu«ng gãc, ®êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®êng xiªn - LÊy A  d, kÎ AH  d, lÊy B d vµ B H. Khi ®ã : - §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®êng vu«ng A gãc kÎ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d - §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®êng th¼ng d - §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®êng xiªn kÎ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d d - §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña ®êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d H B  Quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc: Trong c¸c ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi mét ®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, ®êng vu«ng gãc lµ ®êng ng¾n nhÊt.  Quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu: Trong hai ®êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, th×: - §êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n - §êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n - NÕu hai ®êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vµ ngîc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®êng xiªn b»ng nhau. 3. Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c - Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i. A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i. AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n hiÖu vµ nhá h¬n tæng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i. VD: AB - AC < BC < AB + AC 4. TÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c 21
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Ba ®êng trung tuyÕn cña mét tam A gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã c¸ch mçi ®Ønh mét kho¶ng b»ng 2 ®é 3 F E dµi ®êng trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy: G GA GB GC 2 DA EB FC 3 B C G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC D 5. TÝnh chÊt ba ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c Ba ®êng ph©n gi¸c cña mét A tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã - §iÓm O lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC (líp 9) O B C 6. TÝnh chÊt ba ®êng trung trùc cña tam gi¸c Ba ®êng trung trùc cña mét tam gi¸c A cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c ®ã - §iÓm O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp O tam gi¸c ABC B C 7. Ph¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n (sö dông mét trong c¸c c¸ch sau ®©y) a) Chøng minh tam gi¸c c©n 1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau 2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau 3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng trung tuyÕn võa lµ ®êng cao 4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng cao võa lµ ®êng ph©n gi¸c ë ®Ønh b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu 1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau 2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau 3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600 c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh 1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh 2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 22
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 5. Tø gi¸c cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng lµ h×nh b×nh hµnh d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang: Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n 1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau 2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®êng chÐo b»ng nhau f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt 1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi 1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau 2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau 3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau 4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng 1. H×nh ch÷ nhËt co hai c¹nh kÒ b»ng nhau 2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc 3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc 4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng 5. H×nh thoi cã hai ®êng chÐo b»ng nhau Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó - Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc bằng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó - Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm - Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3 - Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao 4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc P2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc 23
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 - Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao 5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác 6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc . LỚP 8 : CHƯƠNG I ĐẠI SỐ A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN A .( B + C) = A.C + A.B ( A + B ) .(C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B. C ( A + B ) . (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F 7 haèng ñaúng thöùc:(SGK) Vôùi A, B laø caùc bieåu thöùc (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 (A – B) 3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 A 3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A 3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) Caùc haèng ñaúng thöùc lieân quan: (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB A2 B2 A B 2 2AB A 3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) A 3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) Caùc haèng ñaúng thöùc daïng toång quaùt: 24
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 (A + B)n = An + n An-1B + . . .+ n ABn-1 + Bn A n – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + . . . +ABn-2 + Bn-1) 2 2 2 2 (A 1 + A2 + . . . +An) = A1 + A2 + . . . + An + 2(A1A2 + A1A3+. . . +An-1An) PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ biÕn ®æi ®a thøc ®ã thµnh mét tÝch cña nh÷ng ®¬n B. Nh÷ng ph¬ng ph¸p nµo thêng dïng ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö? - Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung. - Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc. - Ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c nh : - Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. - Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö. - Ph¬ng ph¸p gi¶m dÇn luü thõa cña sè h¹ng cã bËc cao nhÊt. - Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô(®æi biÕn). - Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh. - Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng. - Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc. Ph¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung Néi dung c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung lµ g× ? Ph¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ nªu ra mét c«ng thøc ®¬n gi¶n cho ph¬ng ph¸p nµy kh«ng ? NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö chung th× ®a thøc ®ã biÓu diÔn ®îc thµnh mét tÝch cña nh©n tö chung ®ã víi mét ®a thøc kh¸c. Ph¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc. C«ng thøc : AB + AC + + AF = A(B + C + + F) Ph¬ng ph¸p: T×m nh©n tö chung. - LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè. - LÊy c¸c biÕn chung cã mËt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tö. - §Æt nh©n tö chung ra ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc AB + AC + + AF = A(B + C + + F) Chó ý: - Ph¬ng ph¸p nµy ¸p dông khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã nh©n tö chung. - NhiÒu khi muèn cã nh©n tö chung ta ph¶i ®æi dÊu c¸c sè h¹ng b»ng c¸ch ®a sè h¹ng vµo trong ngoÆc hoÆc ®a vµo trong ngoÆc ®»ng tríc cã dÊu céng hoÆc trõ. Ph¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøc Néi dung c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc lµ g× ? NÕu ®a thøc lµ mét vÕ cña h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí nµo ®ã th× cã thÓ dïng h»ng ®¼ng thøc ®ã ®Ó biÓu diÔn ®a thøc nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc. Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: - NhËn d¹ng c¸c h»ng ®¼ng thøc. - KiÓm tra xem cã ph¶i ®óng lµ h»ng ®¼ng thøc kh«ng. 25
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Chó ý: NhiÒu khi ph¶i ®æi dÊu míi ¸p dông ®îc h»ng ®¼ng thøc. Ph¬ng ph¸p 3: Nhãm nhiÒu h¹ng tö Néi dung c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö lµ g× ? Nhãm nhiÒu h¹ng tö cña mét ®a thøc mét c¸ch hîp lÝ ®Ó cã thÓ ®Æt ®îc nh©n tö chung hoÆc dïng ®îc h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí. Chó ý: - Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm - Sau khi nhãm ta cã thÓ ¸p dông ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung, ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung míi hoÆc h»ng ®¼ng thøc míi. Ph¬ng ph¸p 4: Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, chØ ®îc dïng riªng rÏ tõng ph¬ng ph¸p hay cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph¬ng ph¸p ®ã ? Cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph¬ng ph¸p ®· biÕt. KiÕn thøc N©ng cao. Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p t¸ch Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö 2 2 C¸ch 1: T¸ch ax + bx + c = a x + b1x + b2x + c Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c C¸ch 2: T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2 Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p thªm bít Ph¬ng ph¸p 7: §Æt biÕn phô Trong ®a thøc cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn ta ®Æt biÓu thøc ®ã lµm biÕn phô ®a vÒ ®a thøc ®¬n gi¶n. Sau khi ph©n tÝch ®a thøc nµy ra nh©n tö råi l¹i thay biÕn cò vµo vµ tiÕp tôc ph©n tÝch Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng KiÕn thøc: 1. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)  f(a) = 0 2. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => f (x)M(x a) Lîc ®å Hoor ne . S¬ ®å Hoãc - ne 3 2 NÕu ®a thøc bÞ chia lµ a0x + a1x + a2x + a3, ®a thø chia lµ x - a ta ®îc th¬ng lµ 2 b0x + b1 x + b2. Theo s¬ ®å Hoãc - ne ta cã: a0 a1 a2 a3 A B0 = a0 b1 = ab0 + a1 b2 = ab1 + a2 r = ab2 + a3 26
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 céng a nh©n §iÒu kiÖn ®Ó tam thøc bËc hai ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö. §èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax2 + bx + c, muèn xÐt xem ®a thøc nµy cã ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö hay kh«ng thêng dïng ph¬ng ph¸p sau: - TÝnh = b2 – 4ac. - NÕu 0 th× ph©n tÝch ®îc. - NÕu < 0 th× kh«ng ph©n tÝch ®îc Ph¬ng ph¸p 10: Ph¬ng ph¸p h¹ bËc C. øng dông ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã thÓ cã Ých cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc, chia ®a thøc, rót gän ®a thøc. A 0 §a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0 B 0 II.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Ph¬ng ph¸p : Thu gän biÓu thøc T×m gi¸ trÞ cña biÕn thay vµo Chuyªn ®Ò: mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc mét biÕn thµnh nh©n tö. C¸c ph¬ng ph¸p: - T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. - Thªm, bít cïng mét h¹ng tö. - §æi biÕn sè. - HÖ sè bÊt ®Þnh. - XÐt gi¸ trÞ riªng (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn). I) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö: §èi víi c¸c ®a thøc mµ c¸c h¹ng tö kh«ng cã nh©n tö chung, khi ph©n tÝch ra nh©n tö ta thêng ph¶i t¸ch mét h¹ng tö nµo ®ã ra thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c ®Ó nhãm víi c¸c h¹ng tö ®· cã trong ®a thøc ®Ó cho trong c¸c nhãm cã nh©n tö chung, tõ ®ã gi÷a c¸c nhãm cã nh©n tö chung míi hoÆc xuÊt hiÖn c¸c h»ng ®¼ng thøc quen thuéc. Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c ra nh©n tö, ta t¸ch h¹ng tö bx thµnh b1x + b2x sao cho b1b2 = ac n n-1 Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + + a1x + a0 cã nghiÖm nguyªn lµ x = x0 th× x0 lµ mét íc cña hÖ sè tù do a0, khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã chøa nh©n tö x - x0. V× vËy ®èi víi nh÷ng ®a thøc mét biÕn bËc cao, ta nªn t×m lÊy mét nghiÖm cña nã ®Ó ®Þnh híng viÖc ph©n tÝch ra nh©n tö. n n-1 Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + + a1x + a0 cã nghiÖm h÷u tØ lµ p x = (d¹ng tèi gi¶n) th× p lµ mét íc cña hÖ sè tù do a0 cßn q lµ íc q 27
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 d¬ng cña hÖ sè cao nhÊt an. Khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã chøa nh©n tö qx - p. II) Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö: Môc ®Ých: Thªm, bít cïng mét h¹ng tö ®Ó nhãm víi c¸c h¹ng tö ®· cã trong ®a thøc nh»m xuÊt hiÖn nh©n tö chung míi hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc, ®Æc biÖt lµ xuÊt hiÖn hiÖu cña hai b×nh ph¬ng. III) Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn: Mét sè ®a thøc cã bËc cao, nhê ®Æt biÕn phô ®a vÒ ®a thøc cã bËc thÊp h¬n ®Ó thuËn tiÖn cho viÖc ph©n tÝch ra nh©n tö, sau khi ph©n tich ra nh©n tö ®èi víi ®a thøc míi, thay trë l¹i biÕn cò ®Ó ®îc ®a thøc víi biÕn cò. IV) Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh: V) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn, cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh) Chñ ®Ò 1: TÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn A. KiÕn thøc c¬ b¶n - N¾m ®îc tÝnh chÊt chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn - VËn dông tèt tÝch chÊt ®Ó lµm c¸c bµi tËp B. Ph¬ng ph¸p chung I. Chøng minh tÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n N hoÆc n Z) §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, ta thêng ph©n tÝch A(n) thµnh thõa sè, trong ®ã cã mét thõa sè lµ m. Nõu m lµ mét hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa sè ®«i mét nguyªn tè cïng nhau, råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét béi cña k Lu ý: C¸c h»ng ®¼ng thøc hay dïng ®Ó chøng minh tÝnh chia hÕt cña mét luü thõa. an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 .b2 + + a.bn-2 + bn-1) víi n N* an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 .b2 - - a.bn-2 + bn-1) víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n n n n-1 n-2 2 n-1 n (a + b) = a + c1a b + c2a b + + cn-1ab + b C¸c hÖ sè ci ®îc x¸c ®Þnh bëi tam gi¸c Pa-xcan ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt ta cã: an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi sè cña a) III. T×m ch÷ sè cuèi cïng trong biÓu diÔn thËp ph©n cña mét sè Ph¬ng ph¸p: XÐt sè tù nhiªn A = nk víi n, k N C¸ch 1: Muèn t×m ch÷ sè cuèi cïng cña A ta chØ cÇn biÓu diÔn A díi d¹ng: A = 10a + b = ab 28
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Th× b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A Ta viÕt A = nk = (10q + r)k = 10t + rk Th× ch÷ sè cuèi cïng cña A còng chÝnh lµ ch÷ sè cña cïng cña rk - NÕu A = 100b + ab = abc th× bc lµ hai ch÷ sè cuèi cïng cña A - C¸ch 2: Khi lÊy k lÇn lît nh÷ng gi¸ trÞ tù nhiªn kh¸c nhau th× trong biÓu diÔn thËp ph©n cña sè A = nk ch÷ sè cuèi cïng hoÆc mét ch÷ sè cuèi cïng xuÊt hiÖn tuÇn hoµn. Ta chØ cÇn t×m chu k× cña hiÖn tîng nµy vµ A ë trêng hîp nµo víi gi¸ trÞ k ®· cho C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d IV. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt V. TÝnh chia hÕt ®èi víi ®a thøc 1. T×m sè d cña phÐp chia mµ kh«ng thùc hiÖn phÐp chia Ph¬ng ph¸p: * §a thøc chia cã d¹ng x - a víi a lµ h»ng sè Sè d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a * §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lªn C¸ch 1: T¸ch ®a thøc bÞ chia thµnh nh÷ng ®a thøc chia hÕt cho ®a thøc chia C¸ch 2: XÐt c¸c gi¸ trÞ riªng Chó ý: an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) 3. Chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc Ph¬ng ph¸p: Ph©n tÝch ®a thøc bÞ chi thµnh nh©n tö, trong ®ã cã mét nh©n tö lµ ®a thøc chia CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I) Ph©n thøc ®¹i sè: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) §Þnh nghÜa: Mét ph©n thøc ®¹i sè (hay nãi gän lµ ph©n thøc) lµ mét biÓu thøc cã A d¹ng , trong ®ã A, B lµ nh÷ng ®a thøc, B lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0 B A lµ tö thøc (tö). B lµ mÉu thøc Mçi mét ®a thøc còng ®îc coi lµ mét ®a thøc cã mÉu lµ 1. c) Hai ph©n tøc b¼ng nhau: A C A C Víi hai ph©n thøc vµ , ta nãi = nÕu A.D = B.C B D B D II) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) TÝnh chÊt: A A.M - TÝnh chÊt 1: (M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0). B B.M A A: M - TÝnh chÊt 2: (M lµ nh©n tö chung kh¸c 0). B B : M 29
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 A A b) Quy t¾c ®æi dÊu: . B B III) Rót gän ph©n thøc 1) Ph¬ng ph¸p: - Ph©n tÝch c¶ tö vµ mÉu thµnh nh©n tö (nÕu cÇn) ®Ó t×m nh©n tö chung. - Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung ®ã. IV) Quy ®ång mÉu thøc. 1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc: - Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn). - LËp tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè vµ ch÷: +) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña c¸c sè ë mÉu. +) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt. V) PhÐp céng c¸c ph©n thøc ®ai sè. 1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức Qui tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức. 2. Cộng phân thức có mẫu thức khác nhau Qui tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức vừa tìm được 3. Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau: - Giao hoán: - Kết hợp: VI) PhÐp trõ c¸c ph©n thøc ®¹i sè. 1) Ph©n thøc ®èi: - Hai ph©n thøc ®îc gäi lµ ®èi nhau nÕu tæng cña chóng b»ng 0. A A A A - C«ng thøc: vµ . B B B B 2) PhÐp trõ: A C A C - Quy t¾c: Muèn trõ ph©n thøc cho ph©n thøc , ta céng víi ph©n thøc ®èi cña B D B D A C A C - C«ng thøc: B D B D VII) PhÐp nh©n c¸c ph©n thøc ®¹i sè. A C A.C 1) KiÕn thøc c¬ b¶n:  . B D B.D 2) TÝnh chÊt c¬ b¶n: A C C A - Giao ho¸n:   B D D B A C E A C E - KÕt hîp:     B D F B D F 30
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 A C E A C A E - Ph©n phèi ®èi víi phÐp céng:   . B D F B D B F CHƯƠNG III Chñ ®Ò 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh A. KiÕn thøc c¬ b¶n - N¾m ®îc kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, ph¬ng tr×nh tÝch, ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. - Cã kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh mét c¸ch thµnh th¹o B. Néi dung I. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn II. Ph¬ng tr×nh tÝch §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh tÝch mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: A(x).B(x) = 0 (1) Trong ®ã A(x), B(x), lµ c¸c ®a thøc C¸ch gi¶i: Gi¶i tõng ph¬ng tr×nh A(x) = 0, B(x) = 0, råi lÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña chóng. Chó ý: ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã vai trß quan träng trong viÖc ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch. Ngoµi ra ta cßn dïng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô * Ph¬ng tr×nh ®èi xøng (c¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng) Trong ph¬ng tr×nh ®èi xøng nÕu a lµ nghiÖm th× 1 còng lµ nghiÖm a + Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ bao giê còng cã mét trong c¸c nghiÖm lµ x = -1 + Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n 2n ®a ®îc vÒ ph¬ng tr×nh bËc n b»ng c¸ch ®Æt 1 Èn phô y x x Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu C¸c bíc gi¶i: - T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh - Quy ®ång mÉu thøc ë hai vÕ cña ph¬ng tr×nh råi khö mÉu thøc - Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®îc - NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ t×m ®îc cña Èn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh. 4) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: a) C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Bíc 1: - Chän Èn vµ ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn. - BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt theo Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt. - LËp ph¬ng tr×nh biÓu thÞ sù t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng. Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh. Bíc 3: Chän kÕt qu¶ thÝch hîp vµ tr¶ lêi Chó ý: Khi gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, ngoµi Èn ®· chän ®«i khi ngêi ta cßn biÓu thÞ nh÷ng ®¹i lîng cha biÕt kh¸c b»ng ch÷. §iÒu lý thó lµ c¸c ch÷ ®ã tuy tham gia vµo qu¸ tr×nh gi¶i to¸n nhng chóng l¹i kh«ng cã mÆt trong ®¸p sè cña bµi to¸n. PHƯƠNG TRÌNH 31
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 I . ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn: 1. Ñònh nghóa: Phöông trình baäc nhaát moät aån laø phöông trình coù daïng ax + b = 0 , vôùi a vaø b laø hai soá ñaõ cho vaø a 0 , Ví duï : 2x – 1 = 0 (a = 2; b = - 1) 2.Caùch giaûi phöông trình baäc nhaát moät aån: Böôùc 1: Chuyeån haïng töû töï do veà veá phaûi. Böôùc 2: Chia hai veá cho heä soá cuûa aån ( Chuù y:ù Khi chuyeån veá haïng töû thì phaûi ñoåi daáu soá haïng ñoù) II Ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt: C¸ch gi¶i: Böôùc 1 : Quy ñoàng maãu roài khöû maãu hai veá Böôùc 2:Boû ngoaëc baèng caùch nhaân ña thöùc; hoaëc duøng quy taéc daáu ngoaëc. Böôùc 3:Chuyeån veá: Chuyeån caùc haïng töû chöùa aån qua veá traùi; caùc haïng töû töï do qua veá phaûi.( Chuù y:ù Khi chuyeån veá haïng töû thì phaûi ñoåi daáu soá haïng ñoù) Böôùc4: Thu goïn baèng caùch coäng tröø caùc haïng töû ñoàng daïng Böôùc 5: Chia hai veá cho heä soá cuûa aån III. ph¬ng tr×nh tÝch vµ c¸ch gi¶i: ph¬ng tr×nh tÝch: Phöông trình tích: Coù daïng: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0 Trong ñoù A(x).B(x)C(x).D(x) laø caùc nhaân töû. A(x) 0 B(x) 0 C¸ch gi¶i: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0 C(x) 0 D(x) 0 IV.ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu: C¸ch gi¶i: Böôùc 1 :Ph©n tÝch mÉu thµnh nh©n tö Böôùc 2: Tìm ÑKXÑ cuûa phöông trình Tìm ÑKXÑ cuûa phöông trình :Laø tìm taát caû caùc giaù trò laøm cho caùc maãu khaùc 0 ( hoaëc tìm caùc giaù trò laøm cho maãu baèng 0 roài loaïi tröø caùc giaù trò ñoù ñi) Böôùc 3:Quy ñoàng maãu roài khöû maãu hai veá . Böôùc 4: Boû ngoaëc. Böôùc 5: Chuyeån veá (ñoåi daáu) Böôc 6: Thu goïn. + Sau khi thu goïn maø ta ñöôïc: Phöông trình baäc nhaát thì giaûi theo quy taéc giaûi phöông trình baäc nhaát + Sau khi thu goïn maø ta ñöôïc: Phöông trình baäc hai thì ta chuyeån taát caûù haïng töû qua veá traùi; phaân tích ña thöùc veá traùi thaønh nhaân töû roài giaûi theo quy taéc giaûi phöông trình tích. Böôùc 4: Ñoái chieáu ÑKXÑ ñeå traû lôøi. c.gi¶I bµi to¸n b»ng c¸h lËp ph¬ng tr×nh. 32
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 1.Phöông phaùp: Böôùc1: Choïn aån soá: + Ñoïc thaät kó baøi toaùn ñeå tìm ñöôïc caùc ñaïi löôïng, caùc ñoái töôïng tham gia trong baøi toaùn + Tìm caùc giaù trò cuûa caùc ñaïi löôïng ñaõ bieát vaø chöa bieát + Tìm moái quan heää giöõa caùc giaù trò chöa bieát cuûa caùc ñaïi löôïng + Choïn moät giaù trò chöa bieát laøm aån (thöôøng laø giaù trò baøi toaùn yeâu caàu tìm) laøm aån soá ; ñaët ñieàu kieän cho aån Böôùc2: Laäp phöông trình + Thoâng qua caùc moái quan heä neâu treân ñeå bieåu dieãn caùc ñaïi löôïng chöa bieát khaùc qua aån Böôùc3: Giaûi phöông trình Giaûi phöông trình , choïn nghieäm vaø keát luaän CHƯƠNG IV : BẤT PHƯƠNG TRÌNH Baát phöông trình daïng ax + b 0, ax + b 0, ax + b 0) vôùi a vaø b laø hai soá ñaõ cho vaø a 0 , ñöôïc goïi laøbaát phöông trình baäc nhaát moät aån .  Caùch giaûi baát phöông trình baäc nhaát moät aån : Töông töï nhö caùch giaûi phöông trình ñöa veà baäc nhaát.råi biÓu diÔn nghiÖm trªn trôc sè Chuù yù : Khi chuyeån veá haïngtöû thì phaûi ñoåi daáu soá haïng ñoù. Khi chia caû hai veà cuûa baát phöông trình cho soá aâm phaûi ñoåi chieàu baát phöông trình Chñ ®Ò 3: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc KiÕn thøc c¬ b¶n I. C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc - TÝnh b¾c cÇu: a > b ; b > c a > c - Céng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè a > b a + c b + c - Nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè: a > b ; c > 0 ac > bc a > b ; c b ; c > d a + c > b + d - Trõ tõng vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc ngîc chiÒu, ®îc bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu víi bÊt ®¼ng thøc bÞ trõ: a > b ; c b – d - Nh©n tõng vÕ hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu mµ hai vÕ kh«ng ©m a > b 0 ; c > d 0 ac > bd - N©ng lªn luü thõa bËc nguyªn d¬ng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc: a > b > 0 an > bn a > b an > bn víi n lÎ a b an > bn víi n ch½n 33
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 - So s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè víi sè mò d¬ng: NÕu m > n > 0 th×: a > 1 am > an a = 1 am = an 0 b , ab > 0 a b II. C¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc: 1. Ngoµi c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc a2 0 ; -a2 0, cÇn nhí c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc liªn quan ®Õn gi¸ trÞ tuyÖt ®èi: 0 a XÈy ra ®¼ng thøc khi a = 0 a a XÈy ra ®¼ng thøc khi a 0 a b a b XÈy ra ®¼ng thøc khi ab 0 a b a b XÈy ra ®¼ng thøc khi ab > 0 vµ a b 2. Mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc kh¸c cã thÓ sö dông nh mét bæ ®Ò ®Ó gi¶i to¸n. a2 + b2 2ab; 2 a b ab 2 Hay (a + b)2 4ab (bÊt ®¼ng thøc C«-si); 1 1 4 a b a b víi a, b > 0 a b 2 b a víi a, b > 0 (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 (BÊt ®¼ng thøc Bu-nhi-a-cèp-xki) III. C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 1. Dïng ®Þnh nghÜa §Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng minh A - B > 0 2. Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng 3. Dïng c¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc 4. Dïng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Chñ ®Ò 4: Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt A. Môc tiªu - Häc sinh n¾m ®îc thÕ nµo lµ gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc - BiÕt c¸ch x¸c ®Þnh gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc B. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 1. Cho biÓu thøc f(x,y, ) Ta nãi M lµ GTLN cña biÓu thøc f(x,y, ) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau: - Víi mäi x, y, ®Ó f(x,y, ) x¸c ®Þnh th× f(x,y, ) M (M lµ h»ng sè) (1) - Tån t¹i x0 , y0 sao cho f(x0, y0, ) = M (2) 2. Cho biÓu thøc f(x,y, ) Ta nãi M lµ GTNN cña biÓu thøc f(x,y, ) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau: Víi mäi x, y, ®Ó f(x,y, ) x¸c ®Þnh th× (1’) 34
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 f(x,y, ) m (m lµ h»ng sè) - Tån t¹i x0 , y0 sao cho f(x0, y0, ) = m (2’) Chó ý: NÕu chØ cã ®iÒu kiÖn (1) vµ (1’) th× cha thÓ nãi g× vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc Ch¼ng h¹n ta xÐt biÓu thøc A = (x - 1)2 + (x - 3)2 MÆc dï A 0 nhng cha thÓ kÕt luËn GTNN cña A = 0 v× kh«ng tå t¹i gi¸ trÞ nµo cña x ®Ó A = 0 C. Néi dung I. Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc chøa mét biÕn 1. Tam thøc bËc hai ¸p dông: Cho tam thøc bËc hai P = ax2 + bx + c a) T×m GTNN cña P nÕu a > 0 b) T×m GTLN cña P nÕu a < 0 2. §a thøc bËc cao h¬n hai 3. Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè mÉu lµ tam thøc bËc hai 4. Ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph¬ng cña mét nhÞ thøc II. Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc cã quan hÖ rµng buéc gi÷a c¸c biÕn HÌNH HOÏC: CHƯƠNG I TÍNH CHẤT CÁC TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP Trong các hình trên thì hình thang là hình gốc: Hình thang là 1 tứ giác có 2 cạnh song song. Hình thang cân là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau. Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Hình chữ nhật là hình thang vừa vuông vừa cân. Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau. Hình bình hành là hình thang có 2 đáy bằng nhau. Hình thoi là hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau, - Hình bình hành : Hình bình hành có bốn cạnh ; những cạnh đối nhau thì song song và bằng nhau. - Hình thoi : Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau; những cạnh đối diện song song với nhau. - Hình chữ nhật : Hình chữ nhật có bốn cạnh và bốn góc vuông. Những cạnh đối nhau thì song song và bằng nhau. - Hình vuông : Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông. - Hình thang : Hình thang có bốn cạnh, có hai cạnh đáy song song nhưng không bằng nhau. - Hình thang cân : Hình thang cân có hai cạnh xiên bằng nhau. - Hình thang vuông góc : 35
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Hình thang vuông góc có một cạnh thẳng góc với hai cạnh đáy. (Hình thang vuông góc có hai góc vuông ) DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP 1): Dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vuông, hình thang cân: - Tứ giác có hai cạnh đối song song. - Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông - Hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân - Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân 2): Dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Có 5 dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có các cặp cạnh đối song song - Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau - Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau - Tứ giác có các góc đối bằng nhau - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 3): Hình chữ nhật (có 4 dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có 3 góc vuông - Hình thang cân có một gócvuông - Hình bình hành có một góc vuông - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau 4): Hình thoi (có 4 dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau - Hình bình hành cá hai cạnh kề bằng nhau - Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau - Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác cùa 1 góc. 5): Hình vuông (có 5 dấu hiệu nhận biết): - Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau - Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc - Hình chứ nhật có đường chéo là đường phân giác của một góc - Hình thoi có một góc vuông - Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau. ĐỊNH LÍ TA-LÉT VÀ CÁC HỆ QUẢ Nói về Ta-let thì ta có 3 vấn đề cơ bản liên quan: +) Định lí Ta-let thuận: "Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ." Nghĩa là: Nếu ta có tam giác ABC, đường thẳng d//BC và cắt AB, AC tại hai điểm B'; C' 36
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 thì AB'/AB = AC'/AC; AB'/B'B = AC'/C'C; B'B/AB = C'C/AC. +) Định lí Ta-let đảo: "Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác." Nghĩa là: Nếu ta có tam giác ABC, điểm B' thuộc AB, C' thuộc AC, AB'/B'B = AC'/C'C thì B'C'//BC. +) Hệ quả của định lí Ta-let: "Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho." Nghĩa là: Nếu ta có tam giác ABC và B'C'//BC (B' thuộc AB, C' thuộc AC) thì AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC. ĐỊNH NGHĨA , TÍNH CHẤT VÀ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT Caâu 1 : Ñònh nghóa töù giaùc , töù giaùc loài , toång caùc goùc cuûa töù giaùc a) Ñònh nghóa töù giaùc : Töù giaùc ABCD laø hình goàm boán ñoaïn thaúng AB , BC , CD , DA trong ñoù baát kyø hai ñoaïn thaúng naøo cuõng khoâng naèm treân moät ñöôøng thaúng b) Ñònh nghóa töù giaùc loài : Töù giaùc loài laø töù gaùic luoân naèm trong moät nöõa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng thaúng chöùa baát kyø caïnh naøo cuûa töù giaùc c) Ñònh lyù toång caùc goùc cuûa töù giaùc : Toång caùc goùc cuûa töù giaùc baèng 3600 Caâu 2 : Hình thang : a)Ñònh nghóa : Hình thang laø töù giaùc coù hai caïnh ñoái song song b) Nhaän xeùt : - Neáu moät hình thang coù hai caïnh beân song song thì hai caïnh beân baèng nhau , hai caïnh ñaùy baèng nhau - Neáu moät hình thang coù hai caïnh ñaùy baèng nhau thì hai caïnh beân song song vaø baèng nhau Caâu 3 : Hình thang caân : a) Ñònh nghóa : Hình thang caân laø hình thang coù hai goùc keà moät ñaùy baèng nhau b) Tính chaát : - Trong Hình thang caân , hai caïnh beân baèng nhau - Trong hình thang caân , hai ñöôøng cheùo baèng nhau 37
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 c) Daáu hieäu nhaän bieát : - Hình thang coù hai goùc keà moät ñaùy baèng nhau laø hình thang caân - Hình thang coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau laø hình thang caân Caâu 4 : Hình bình haønh : a) Ñònh nghóa : Hình bình haønh laø töù giaùc coù caùc caïnh ñoái song song b) Tính chaát : Trong hình bình haønh : - Caùc caïnh ñoái baèng nhau - Caùc goùc ñoái baèng nhau - Hai ñöôøng cheùo caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng c) Daáu hieäu nhaän bieát : - Töù giaùc coù caùc caïnh ñoái song song laø hình bình haønh - Töù giaùc coù caùc caïnh ñoái baèng nhau laø HBH - Töù giaùc coù hai caïnh ñoái song song vaø baèng nhau laø HBH - Töù giaùc coù caùc goùc ñoái baèng nhau laø HBH - Töù giaùc coù hai ñöôøng cheùo caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng laø HBH Caâu 5 : Hình chöõ nhaät : a) Ñònh nghóa : Hình chöõ nhaät laø töù giaùc coù boán goùc vuoâng - HÌnh chöõ nhaät cuõng laø moät hình thang caân , hình bình haønh b) Tính chaát : HCN coù taát caû caùc tính chaát cuûa HBH , Hình thang caân - Trong HCN ,hai ñöôøng cheùo baèng nhau vaø caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng c) Daáu hieäu nhaän bieát : - Töù giaùc coù ba goùc vuoâng laø HCN - Hình thang caân coù moät goùc vuoâng laø HCN - HBH coù moät goùc vuoâng laø HCN - HBH coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau laø HCN Caâu 6 : Hình thoi : a) Ñònh nghóa : Hình thoi laø töù giaùc coù boán caïnh baèng nhau b) Tính chaát : Hình thoi coù taát caû caùc tính chaát cuûa hình bình haønh Trong hình thoi : - Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau - Hai ñöôøng cheùo laø caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc cuûa hình thoi c) Daáu hieäu nhaän bieát : - Töù giaùc coù boán caïnh baèng nhau - Hình bình haønh coù hai caïnh keà baèng nhau laø hình thoi - Hình bình haønh coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau laø hình thoi - Hình bình haønh coù moät ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc cuûa moät goùc laø hình thoi Caâu 7 : Hình vuoâng : a) Ñònh nghóa : Hình vuoâng laø töù giaùc coù boán goùc vuoâng vaø coù boán caïnh baèng nhau b) Tính chaát : Hình vuoâng coù taát caû caùc tính chaát cuûa hình chöõ nhaät vaø hình thoi 38
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 c) Daáu hieäu nhaän bieát : - HÌnh chöõ nhaät coù hai caïnh keà baèng nhau laø hình vuoâng - Hình chöõ nhaät coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau laø hình vuoâng - Hình chöõ nhaät coù moät ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa moät goùc laø hình vuoâng - Hình thoi coù moät goùc vuoâng laø hình vuoâng - Hình thoi coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau laø hình vuoâng Caâu 8 : Ñònh nghóa , ñònh lyù – tính chaát ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc a) Ñònh nghóa : Ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc laø ñoaïn thaúng noái hai trung ñieåm hai caïnh tam giaùc b) Ñònh lyù ( Ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm ) : Ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm hai caïnh cuûa tam giaùc vaø song song vôùi caïnh thöù hai thì ñi qua trung ñieåm caïnh thöù ba c) Tính chaát : Ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc thì song song vôùi caïnh thöù ba vaø baèng nöûa caïnh thöù aáy §êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang a) §êng trung b×nh cña tam gi¸c  §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c  §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy A D E DE / /BC, DE 1 BC 2 B C Caâu 9 :Ñònh nghóa , ñònh lyù – tính chaát ñöôøng trung bình cuûa hình thang a) Ñònh nghóa : Ñöôøng trung bình cuûa hình thang laø ñoaïn thaúng noái trung ñieåm hai caïnh beân b) Ñònh lyù : Ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm moät caïnh beân cuûa hình thang vaø song song vôùi hai ñaùy thì ñi qua trung ñieåm caïnh beân thöù hai c) Tính chaát : Ñöôøng trung bình cuûa hình thang thì song song vôùi hai ñaùy vaø baèng nöûa toång hai ñaùy §êng trung b×nh cña h×nh thang  §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang  §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa tæng hai ®¸y 39
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 A B AB CD EF//AB, EF//CD, EF E 2 F D C Caâu 10 : Ñònh nghóa hai ñieåm ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng – Qua moät ñieåm : a) Hai ñieåm ñöôïc goïi laø ñoái xöùng nhau qua moät ñöôøng thaúng d neáu d laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng ñoù b) Hai ñieåm ñöôïc goïi laø ñoái xöùng nhau qua ñieåm O neáu ñieåm O laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm ñoù c) Tính chaát ñoái xöùng cuûa caùc hình : - Hình thang caân : Ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm hai ñaùy laø truïc ñoái xöùng cuûa hình thang caân - Hình bình haønh : Giao ñieåm hai ñöôøng cheùo cuûa hình bình haønh laø taâm ñoái xöùng cuûa hình bình haønh ñoù Caâu 11 : Ñònh nghóa khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng song song – tính chaát nhöõng ñieåm caùch ñeàu moät ñöôøng thaúng cho tröôùc , tính chaát nhöõng ñöôøng thaúng song song caùch ñeàu a) Ñònh nghóa : Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng song song laø khoaûng caùch töø moät ñieåm tuyø yù treân ñöôøng thaúng naøy ñeán ñöôøng thaúng kia b) Tính chaát : Caùc ñieåm caùch ñöôøng thaúng b moät khoaûng baèng h naèm treân hai ñöôøng thaúng song song vôùi b vaø caùch b moät khaoûng baèng h c) Ñöôøng thaúng song song caùch ñeàu : - Neáu caùc ñöôøng thaúng song song caùch ñeàu caét moät ñöôøng thaúng thì chuùng chaén treân ñöôøng thaúng ñoù caùc ñoaïn thaúng lieân tieáp baèng nhau - Neáu caùc ñöôøng thaúng song song caét moät ñöôøng thaúng vaø chuùng chaén treân ñöôøng thaúng ñoù caùc ñoaïn thaúng lieân tieáp baèng nhau thì chuùng song song caùch ñeàu Caâu 12: Tính chaát trung tuyeán trong tam giaùc vuoâng - Trong tam giaùc vuoâng , ñöôøng trung tuyeán öùng vôùi caïnh huyeàn baèng nöûa caïnh huyeàn - Neáu moät tam giaùc coù ñöôøng trung tuyeán öùng vôùi moät caïnh baèng nöûa caïnh ñoù thì tam giaùc aáy laø tam giaùc vuoâng Caâu 13: Ñònh nghóa ña giaùc loài , ña giaùc ñeàu a) Ña giaùc loài laø ña giaùc luoân naèm trong moät nöûa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng thaúng chöùa baát kyø caïnh naøo cuûa ña giaùc b) Ñònh nghóa ña giaùc ñeàu : laø ña giaùc coù taát caû caùc caïnh vaø caùc goùc baèng nhau CHƯƠNG II 40
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH II. DiÖn tÝch c¸c h×nh b h h a a a a 2 S a.b S a S 1 ah S 1 ah 2 2 b h E F a h a S 1 ah S 1 (a b)h EF.h 2 2 d2 h d1 a S a.h S 1 d  d 2 1 2 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1. Ñònh lí TaLet trong tam giaùc : Neáu moät ñöôøng thaúng caét hai caïnh cuûa moät tam giaùc vaø song song vôùi caïnh coøn laïi thì noù ñònh ra treân hai caïnh ñoù nhöõng ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä . A ABC, B’C’ //BC GT B’ AB B' C' AB' AC ' AB' AC ' B'B C 'C KL ; ; B C AB AC B'B C 'C AB AC 2. Ñònh lí ñaûo cuûa ñònh lí TaLet :Neáu moät ñöôøng thaêûng caét hai caïnh cuûa moät tam giaùc vaø ñònh ra treân hai caïnh naøy nhöõng ñaïon thaúng töông öùng tæ leä thì ñöôøng thaêûng ñoù song song vôùi caïnh coøn laïi . ABC ; B’ AB;C’ AC AB' AC ' GT B'41B C 'C KL B’C’ //BC
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 A B' C' B C 3.Heä quaû cuûa ñònh lí TaLet : Neáu moät ñöôøng thaêûng caét hai caïnh cuûa moät tam giaùc vaø song song vôùi caïnh coøn laïi thì noù taïo thaønh moät tam giaùc môùi coù ba caïnh töông öùng tæ leä vôùi ba caïnh cuûa tam giaùc ñaõ cho ABC : B’C’ // GT BC; (B’ AB ; C’ AC) AB' AC ' B'C ' 4. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc KL AB AC BC :Trong tamA giaùc , ñöôøng phaân giaùc cuûa moät goùc chia caïnh ñoái dieän thaønh hai ñoaïn thaúng tæ leä vôùi 2 caïnh keà hai ñoaïn aáy . 3 6 B C GT ABC,Adlaøphaângiaùccuûa D BAC DB AB KL DC AC 5. Caùc caùch chöùng minh hai tam giaùc ñoàng daïng :  Neáu moät ñöôøng thaêûng caét hai caïnh cuûa moät tam giaùc vaø song song vôùi caïnh coøn laïi thì noù taïo thaønh moät tam giaùc môùi ñoàng daïng vôùi tam giaùc ñaõ cho Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc naøy tæ leä vôùi ba caïnh cuûa tam giaùc kia thì hai tam giaùc ñoù ñoàng daïng .(caïnh – caïnh – caïnh) Neáu hai caïnh cuûa tam giaùc naøy tæ leä vôùi 2 caïnh cuûa tam giaùc kia vaø hai goùc taïo ï bôûi caùc caëp caïnh ñoù baèng nhau , thì hai tam giaùc ñoù ñoàng daïng (caïnh – goùc – caïnh) Neáu hai goùc cuûa tam giaùc naøy laàn löôït baèng hai goùc cuûa tam giaùc kia thì hai tam giaùc ñoù ñoàng daïng vôùi nhau .(goùc – goùc) 6. Caùc caùch chöùng minh hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng : Tam giaùc vuoâng naøy coù moät goùc nhoïn baèng goùc nhoïn cuûa tam giaùc vuoâng kia(g-g) Tam giaùc vuoâng naøy coù hai caïnh goùc vuoâng tæ leä vôùi hai caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng kia. (Caïnh - goùc - caïnh) 7.Tyû soá 2 ñöôøng cao , tyû soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng : Tæ soá hai ñöôøng cao töông öùng cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng baèng tyû soá ñoàng daïng A'H ' A'B' A k AH AB A' B H C B' H' C' Tyû soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng baèng bình phöông tyû soá ñoàng daïng 42
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 S A'B'C' = k2 SABC 14. Tam gi¸c ®ång d¹ng a) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c: NÕu mét ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tØ lÖ A B'C'/ /BC AB' AC' ; AB AC B' C' a AB' AC' ; B'B C'C B'B C'C AB AC B C b) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt: NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tØ lÖ th× ®êng th¼ng ®ã song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c VÝ dô: AB' AC' B'C'/ /BC ; C¸c trêng hîp kh¸c t¬ng tù AB AC c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t¬ng øng tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong trêng hîp ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh cßn l¹i (B'C'/ /BC AB' AC' B'C' ) AB AC BC A a C' B' A B C a B' C' B C d) TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c: §êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoµi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi diÖn thµnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã A A C C B D D' B DB AB D'B AB DC AC D'C AC 43
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng : Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã c¸c gãc t¬ng øng b»ng nhau vµ c¸c c¹nh t¬ng øng tØ lÖ µ µ µ µ µ µ A A '; B B'; C C' ABC S A 'B'C' AB AC BC k(tØ sè ®ång d¹ng ) A 'B' A 'C' B'C' f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng: NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c ®· cho A MN / /BC AMN S ABC *) Lu ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi trêng hîp M N a ®êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i B C g) C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c *)Trêng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng. A' A C B' B C NÕu ABC vµ A'B'C' cã: ' AB AC BC ABC S A 'B'C'(c.c.c) A 'B' A 'C' B'C' *)Trêng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng A' A C B B' C' NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB BC  A 'B' B'C'  ABC S A 'B'C'(c.g.c) µ µ B B'  *)Trêng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn lît b»ng hai gãc cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng; 44
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 A' A C B' B C ' NÕu ABC vµ A'B'C' cã: µ µ A A '  ABC S A 'B'C'(g.g ) µ µ  B B' h) C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng *)Trêng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau th× chóng ®ång d¹ng; B' B A C A’ C' NÕu ABC vµ A'B'C' cã: µ µ 0 A A ' 90   ABC S A 'B'C' µ µ C C'  *)Trêng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng; B' B A C A' C' Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã: AB AC ABC S A 'B'C' A 'B' A 'C' *)Trêng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng. Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã: AB BC ABC S A 'B'C' A 'B' B'C' 15. TØ sè hai ®êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng 45
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 - TØ sè hai ®êng cao t¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång d¹ng - TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph¬ng tØ sè ®ång d¹ng - Cô thÓ : A 'B'C' S ABC theo tØ sè k S => A 'H' k vµ A 'B'C' k2 AH SABC 16. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)  b2 ab'  c2 ac' A  a2 b2 c2 (Pi_ta_go)  bc = ah b  h2 b'c' c h 1 1 1  c' b' b2 c2 h2 B C H a 17. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n (dïng thíc vµ compa) a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tríc; b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc; c) Dùng ®êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc, dùng trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc; d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tríc; e) Qua mét ®iÓm cho tríc, dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®êng th¼ng cho tríc; f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®êng th¼ng cho tríc, dùng ®êng th¼ng song song víi mét ®êng th¼ng cho tríc; g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a, hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ. CHƯƠNG IV CÔNG THÚC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 8. Coâng thöùc tính theå tích , dieän tích xung quanh , dieän tích toaøn phaàn cuûa hình hoäp chöõ nhaät , hình laäp phöông , hình laêng truï ñöùng Hình Dieän tích xung Dieän tích Theå tích quanh toaøn phaàn Laêng truï ñöùng Sxq = 2p.h Stp = Sxq + V = S.h D P:nöûa chu vi 2Sñ S: dieän tích ñaùy A ñaùy h : chieàu cao h:chieàu cao G Hình hoäp chöõ nhaät V = a.b.c Caïnh Maët 46
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Hình laäp phöông Ñænh V= a3 1 Sxq = p.d Stp = Sxq + Sñ V = S.h Hình choùp ñeàu p : nöûa chu vi 3 ñaùy S: dieän tích ñaùy d: chieàu cao HS : chieàu cao cuûa maët beân . TOÁN 9 : CHƯƠNG I Vaän duïng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù ñeå giaûi toaùn Nhöõng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù: A .( B + C) = A.C + A.B ( A + B ) .(C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B. C ( A + B ) . (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F 7 haèng ñaúng thöùc:(SGK) Vôùi A, B laø caùc bieåu thöùc (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 (A – B) 3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 A 3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A 3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) Caùc haèng ñaúng thöùc lieân quan: (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB A2 B2 A B 2 2AB A 3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) A 3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) Caùc haèng ñaúng thöùc daïng toång quaùt: (A + B)n = An + n An-1B + . . .+ n ABn-1 + Bn A n – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + . . . +ABn-2 + Bn-1) 47
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 2 2 2 2 (A 1 + A2 + . . . +An) = A1 + A2 + . . . + An + 2(A1A2 + A1A3+. . . +An-1An) ( a b ) 2 a 2 a b b 2 1 a 1 2 a a ( a b ) 2 a 2 a b b 2 1 a 1 2 a a a b a b a b a a b b ( a b ) ( a a b b ) a a b b ( a b ) ( a a b b ) 1 a a 1 a 1 a a 1 a a 1 a 1 a a a b b a ab ( a b ) a b b a ab ( a b ) ÔN TẬP KT CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LÝ THUYẾT Điều kiện có nghĩa của một số biểu Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc thức: hai: 1) A(x) là đa thức A(x) luôn có Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp nghĩa để mẫu số là một bình phương A(x) 2) có nghĩa B(x) 0 A A.B A.B B(x) ( với B 0, A.B 0 ) B B 2 B 3) A(x) có nghĩa A(x) 0 A(x) 4) có nghĩa B(x) > 0 Trục căn thức ở mẫu số: B(x) DẠNG 1: Mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số, ta nhân tử và mẫu với căn thức. A A2 A A A. B A. B A 2 a B a. B a.B Nếu A không âm thì 2 2 DẠNG 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn A A A. A A thức, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.  A – B và A + B là hai biểu thức liên hợp với A.B A. B ( với A ; B 0 ) nhau. 2 2 Tổng quát:  (A – B)(A + B) = A – B A A A A . A A m m.(A B) m. A B 1 2 n 1 2 n với Ai 0 (1 i  A2 B n ) A B (A B)(A B) m m.(A B) m. A B A A (với A 0, B 0) A B (A B)(A B) A2 B B B 48
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 m m. A B m. A B 2  Đưa thừa số A ra ngoài dấu căn bậc A B A B A B A B hai: m m. A B m. A B . ta được |A| . Ta có: A2 B A B A B A B A B A B Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai: A B A2 B ( với A 0 ) A B A2 B ( với A < 0 ) Phương trình chứa căn thức bậc hai: B 0 A2 0 | A | 0 A 0 A B 1) 3) 2 A B B 0 (hoặc A 0 ) 2) A B 4) A B O A = 0 và B = 0 A B A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa. A cã nghÜa khi A 0 2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc. a. A2 A b. AB A. B (A 0; B 0) A A c. (A 0; B 0) B B d. A2 B A B ( B 0) e. A B A2 B (A 0; B 0) A B A2 B (A 0; B 0) A 1 f. AB (AB 0; B 0) B B A A B i. (B 0) B B C C( A mB) k. (A 0; A B2 ) A B A B2 C C( A m B) m. (A 0; B 0; A B ) A B A B2  Kiến thức cơ bản: CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT 1.1Hàm số bậc nhất a. Khái niệm hàm số bậc nhất 49
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0 b. Tính chất :Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: - Đồng biến trên R khi a > 0 - Nghịch biến trên R khi a < 0 c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b - Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = ta được điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi đó a a ' + d // d ' b b' + d ' d ' A a a ' a a ' + d  d ' b b' + d  d ' a.a ' 1 e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0) *Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương *Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b - Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b f. Một số phương trình đường thẳng - Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 x y - Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là 1 x0 y0 2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó - Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức 2 2 AB (xB xA ) (yB yA ) - Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức 50
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 x x y y x A B ; y A B M 2 M 2 CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. CÁC KHÁI NIỆM: Phương trình bậc nhất hai ẩn: +Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(a 0 hoặc b 0) + Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. + Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu a 0;b 0 thì đường a c thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: y x . b b  Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax by c.(1) + Dạng: , , , a x b y c .(2) + Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình + Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d) -Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d') ax by c , a 0 (D) Cho hệ phương trình: a' x b' y c', a' 0 (D') a b (D) cắt (D’) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất. a' b' a b c (D) // (D’) Hệ phương trình vô nghiệm. a' b' c' a b c (D)  (D’) Hệ phương trình có vô số nghiệm. a' b' c' Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: a) Quy tắc thế: + Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn). + Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phư- ơng trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).  Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ. 51
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số) HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU A. Kiến thức cơn bản 1. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương 8 8 6 T 6 4 4 2 T 2 A -15 -10 -5 5 10 15 y=ax+b -15 -10 -5 5 10 15 y=ax -2 A y=ax -2 -4 y=ax+b -6 -4 -8 -6 Trường hợp a > 0 -8 Trường hợp a 0 00 900 , a càng lớn thì càng lớn - với a < 0 900 1800 , a càng lớn thì càng lớn 2. y = ax + b (a khác 0) thì a được gọi là hệ số góc của đường thẳng 3. Với 2 đường thẳng d : y ax b và d ' : y a' x b' a;a' 0 , ta có: d / / d ' a a';b b' d  d ' a a';b b' d d ' a a' d  d ' a.a' 1 - Chú ý: khi a khác a’ và b = b’ thì 2 đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A. Kiến thức cơ bản 1. Quy tắc thế - từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn 2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn - giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A. Kiến thức cơ bản 1. Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước - Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới - Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia) 2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 52
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn kia là thành” - Nghĩa là: + nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau + đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau + cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn + thay vào tính nốt ẩn còn lại GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Kiến thức cơ bản Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau : - bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau) + chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn) + biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết + lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng - bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1 - bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu CHƯƠNG III HÀM SỐ y ax2 a 0 . ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax2 a 0 A. Kiến thức cơ bản 1. Tính chất hàm số y ax2 a 0 a) Tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 Nếu a 0 và đồng biến khi x 0 thì y > 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0. giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0. Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0;0) là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0;0) là điểm cao nhất của đồ thị. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: pt bậc hai một ẩn là pt có dạng: ax2 bx c 0 a 0 (1), trong đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước. 2. Cách giải x 0 x 0 2 a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: ax bx 0 x ax b 0 b ax b 0 x a 53
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 c b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: ax2 c 0 ax2 c x2 (2) a c - nếu 0 thì pt (2) vô nghiệm, suy ra pt (1) cung vô nghiệm a c c - nếu 0 x a a c) đầy đủ: ax2 bx c 0 a 0 Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn b2 4ac ' b'2 ac + Nếu 0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt: + Nếu ' 0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt: b b b' ' b' ' x ; x x ; x 1 2a 2 2a 1 a 2 a + nếu 0 thì pt có nghiệm kép: + nếu ' 0 thì pt có nghiệm kép: b b' x1 x2 x x 2a 1 2 a + nếu 0 thì pt vô nghiệm + nếu ' 0 thì pt vô nghiệm d) Cho pt: ax2 bx c 0 a 0 . Điều kiện để phương trình: - Vô nghiệm: 0 ( ' 0 ) - Nghiệm kép: 0 ( ' 0 ) - Có 2 nghiệm phân biệt: 0 ( ' 0 ) hoặc a.c < 0 ' 0 - Có 2 nghiệm cùng dấu: P x1.x2 0 ' 0 - Có 2 nghiệm cùng dấu âm: P x1.x2 0 S x x 0 1 2 ' 0 - Có 2 nghiệm cùng dấu dương: P x1.x2 0 S x x 0 1 2 ' 0 - Có 2 nghiệm khác dấu: P x1.x2 0 3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng b x1 x2 2 a - Định lý: Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của pt ax bx c 0 a 0 thì c x .x 1 2 a - Ứng dụng nhẩm nghiệm của hệ thức Vi-ét: c + nếu pt ax2 bx c 0 a 0 có a b c 0 thì pt có 2 nghiệm là: x 1; x 1 2 a c + nếu pt ax2 bx c 0 a 0 có a b c 0 thì pt có 2 nghiệm là: x 1; x 1 2 a 54
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 u v S 2 + nếu thì suy ra u, v là nghiệm của pt: x Sx P 0 (điều kiện để tồn tại u, v là u.v P S 2 4P 0 ) PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Phương trình trùng phương. - dạng tổng quát: ax4 bx2 c 0 a 0 - cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x2 t t 0 . Khi đó ta có pt: at 2 bt c 0 (đây là pt bậc hai một ẩn) 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Các bước giải - Tìm đk xác định của pt - Quy đồng mẫu thức cả 2 vế của pt, rồi khử mẫu - Giải pt vừa nhận được - Kết luận: so sánh nghiệm tìm được với đk xác định của pt 3. Phương trình tích. A x 0 - dạng tổng quát: A .B 0 - cách giải: A .B 0 x x x x B 0 x 3. Hµm sè y = ax + b (a 0) - TÝnh chÊt: + Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0. + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x 0. + NÕu a 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0). + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh. + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa díi trôc hoµnh. 5. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) vµ (d') c¾t nhau  a a' (d) // (d')  a = a' vµ b b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b' 6. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng cong. XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm 55
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung 7. Ph¬ng tr×nh bËc hai. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän = b2 - 4ac ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai - NÕu ' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: nghiÖm ph©n biÖt: b b b' ' b' ' x ; x x ; x 1 2a 2 2a 1 a 2 a NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm - NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b ' kÐp : x x b 1 2 kÐp: x x 2a 1 2 a NÕu < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 8. HÖ thøc Viet vµ øng dông. - HÖ thøc Viet: 2 NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax + bx + c = 0 (a 0) th×: b S x x 1 2 a c P x .x 1 2 a - Mét sè øng dông: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn S2 - 4P 0) + NhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: c x1 = 1 ; x2 = a NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: c x1 = -1 ; x2 = a 9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn B. c¸c d¹ng bµi tËp D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A  §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c bíc sau: - Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã) 56
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 - §a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia - Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng. D¹ng 2: Bµi to¸n tÝnh to¸n Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.  TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót gän biÓu thøc A Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a  C¸ch gi¶i: - Rót gän biÓu thøc A(x). - Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän. D¹ng 3: Chøng minh ®¼ng thøc Bµi to¸n: Chøng minh ®¼ng thøc A = B  Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh: - Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A = B  A - B = 0 - Ph¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp. A = A1 = A2 = = B - Ph¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p so s¸nh. A = A1 = A2 = = C A = B B = B1 = B2 = = C - Ph¬ng ph¸p 4: Ph¬ng ph¸p t¬ng ®¬ng. A = B  A' = B'  A" = B"  (*) (*) ®óng do ®ã A = B - Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B  Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng: - BÊt ®¼ng thøc Cosi: a a a a 1 2 3 n n a .a .a a (víi a .a .a a 0 ) n 1 2 3 n 1 2 3 n DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: a1 a2 a3 an - BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki: Víi mäi sè a1; a2; a3; ; an; b1; b2; b3; bn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn (a1 a2 a3 an )(b1 b2 b3 bn ) a a a a DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: 1 2 3 n b1 b2 b3 bn  Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh: - Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa 57
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 A > B  A - B > 0 - Ph¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp 2 A = A1 = A2 = = B + M > B nÕu M 0 - Ph¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p t¬ng ®¬ng A > B  A' > B'  A" > B"  (*) (*) ®óng do ®ã A > B - Ph¬ng ph¸p 4: Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu A > C vµ C > B A > B - Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng §Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B. - Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 5: bµi to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)  C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i: - Ph¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. - Ph¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai x2 = a x = a - Ph¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm Ta cã = b2 - 4ac + NÕu > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: b b x ; x 1 2a 2 2a + NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b x x 1 2 2a + NÕu 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: b' ' b' ' x ; x 1 a 2 a + NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b ' x x 1 2 a + NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et. 2 NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax + bx + c = 0 (a 0) th×: b x x 1 2 a c x .x 1 2 a 58
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: b b x ; x 1 2a 2 2a b NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x x 1 2 2a NÕu 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: b' ' b' ' x ; x 1 a 2 a b ' NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x x 1 2 a NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm.  Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm: 1. HoÆc a = 0, b 0 2. HoÆc a 0, 0 hoÆc ' 0 TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu kiÖn 2. Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. a 0 a 0  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt hoÆc ' 0 0 Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: a 0 a 0 a 0 hoÆc hoÆc ' b 0 0 0 Bµi to¸n 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp. 59
Đinh Quốc Nguyễn TH Sông Nhạn - Cẩm Mỹ - Đồng Nai 0972999177 a 0 a 0  §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp: hoÆc ' 0 0 Bµi to¸n 7: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm. a 0 a 0  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: hoÆc ' 0 0 Bµi to¸n 8: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm. a 0 a 0 a 0  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: hoÆc hoÆc ' b 0 0 0 Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu: 0 ' 0 c hoÆc c P 0 P 0 a a Bµi to¸n 10 :T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d¬ng.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d¬ng: 0 ' 0 c c P 0 hoÆc P 0 a a b b S 0 S 0 a a Bµi to¸n 11 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m: 0 ' 0 c c P 0 hoÆc P 0 a a b b S 0 S 0 a a Bµi to¸n 12 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu. Bµi to¸n 13 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1.  C¸ch gi¶i: 2 - Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã: ax1 + bx1 + c = 0 m - Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*) x1, x2 P - HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 = x1 60