Chuyên đề toán luyện thi vào Lớp 10 THPT - Phần I: Đại số - Trần Trung Chính

288 trang thaodu 3720

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề toán luyện thi vào Lớp 10 THPT - Phần I: Đại số - Trần Trung Chính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_toan_luyen_thi_vao_lop_10_thpt_phan_i_dai_so_tran.pdf

Nội dung text: Chuyên đề toán luyện thi vào Lớp 10 THPT - Phần I: Đại số - Trần Trung Chính

.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 1
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com KHÁI QUÁT KIẾN THỨC TẬP HỢP 1. Tập hợp số tự nhiên Ký hiệu là: N. Phần tử của tập hợp: N = { 0, 1, 2, , n, } Các ký hiệu khác: Tập hợp số tự nhiên cĩ số "0": N0 = { 0, 1, 2, , n, } Tập hợp số tự nhiên khơng chứa số "0" là: N* = {1, 2, , n, }. Các tính chất của phép cộng các số tự nhiên: Với a, b, c là các số tự nhiên, ta cĩ: (1) Tính chất giao hốn: a + b = b + a (2) Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) (3) Tính đồng nhất khi cộng: a + 0 = 0 + a = a. (4) Tính chất phân phối của phép cộng đối với phép nhân: (b + c)a = b.a + c.a Các tính chất của phép nhân các số tự nhiên: Với a, b, c là các số tự nhiên, ta cĩ: (1) Tính chất giao hốn: a.b = b.a (2) Tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c) = a.b.c (3) Tính đồng nhất khi nhân: a.1 = 1.a = a (4) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a(b + c) = a.b + a.c 2. Tập hợp số nguyên Ký hiệu là: Z. Phần tử của tập hợp: Z = {0, 1, 2, , n, } Các ký hiệu khác: Tập hợp các số nguyên âm là - N = {-1, -2, , -n, } Tập hợp các số nguyên dương là + N = {+1, +2, , +n, } Các phép tốn trên số nguyên: Tốn Cộng Tốn Trừ Tốn Nhân Tốn Chia a + 0 = a a - 0 = a a x 0 = 0 a a + a = 2a a - a = 0 a x 1 = a = 2 0 a + (-a) = 0 (a) - (-a) = 2a a x a = a a 1 = a a x = 1 1 a a = 1 a a = -a 1 3. Tập hợp số hữu tỷ Ký hiệu là: Q. Phần tử của tập hợp: m Q x | x , n 0; m,n Z n Một số ký hiệu khác: Tập hợp các số hữu tỷ khơng âm là Q+. Tập hợp các số hữu tỷ dương là Q*. Các cách biểu diễn số hữu tỷ: Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác. Số hữu tỉ cĩ thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vơ hạn tuần hồn. Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vơ hạn tuần hồn được gọi là chu kỳ. Số các chữ số trong chu kỳ này cĩ thể chứng minh được rằng khơng vượt qua giá trị tuyệt đối của b. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 2
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Biểu diễn bằng liên phân số. Một số thực là số hữu tỷ khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của nĩ là hữu hạn. 4. Tập hợp số thực Ký hiệu là: R Các ký hiệu khác: Tập hợp số thực khơng âm là R+ Tập hợp các số thực dương là R* Các phép tốn trên tập số thực: Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia, phép lũy thừa, phép logarit. 5. Tập hợp số vơ tỷ Ký hiệu là: I Phần tử của tập hợp: I = R\Q Trong tốn học, số vơ tỉ là số thực khơng phải là số hữu tỷ, nghĩa là khơng thể biểu diễn được a dưới dạng tỉ số , với a, b là các số nguyên. b Ví dụ: Số thập phân vơ hạn cĩ chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001 Số 2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7 Số pi ( ) = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 6. Các phép tốn trên tập hợp: a. Hợp của các tập hợp: Định nghĩa: Hợp của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B. Ký hiệu: A  B Phần tử của A  B = {x| x A hoặc x B} b. Giao của các tập hợp: Định nghĩa: Giao của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc hai tập hợp A và B. Ký hiệu: A  B Phần tử của A  B = {x| x A và x B} c. Hiệu của các tập hợp: Định nghĩa: Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp A nhưng khơng thuộc tập hợp B. Ký hiệu: A \ B Phần tử của A \ B = {x| x A và x  B} d. Phần của các tập hợp: Định nghĩa: Nếu A  B thì B\A được gọi là phần bù của tập hợp A trong tập hợp B. Ký hiệu: CAB. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 3
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 2 CĂN THỨC 1. Căn bậc hai: Khái niệm: x được gọi là căn bậc hai của số khơng âm a x2 = a. Kí hiệu: xa , với a ≥ 0. Điều kiện xác định của biểu thức A là: xác định A0 . Ví dụ: (1) Căn bậc hai của 25 là 25 5 . (2) Căn bậc hai của 12 là 12 2 3 . (3) Điều kiện để x 2 cĩ nghĩa là x - 2 ≥ 0 x ≥ 2. (4) Tính x 3 2 . Ta cĩ: x 3 2 x 3 x 3 Hay x 3 2 x 3 và x 3 2 x 3 x 3 Các phép biến đổi căn thức A.B A.B, A 0;B 0 AA , A 0; B 0 B B A2 B A B, B 0 A1 A.B, A.B 0; B 0 BB m. A B m 2 2 , B 0; A B AB AB n n. A B , A 0; B 0; A B AB AB 2 A2B m2m.nn m n m n , (với m, n ≥ 0, với m n A m.n B 2 A A Lưu ý: Với mọi số thực a, giá trị tuyệt đối của a. Kí hiệu: |a| Định nghĩa: anÕu a 0 a anÕu a < 0 Định nghĩa trên cho thấy, giá trị tuyệt đối của a là một số khơng âm. 2. Căn bậc ba: Ký hiệu: Căn bậc ba của một biểu thức (hoặc một số) A là: 3 A . Ta cĩ: 3 AA3 . Ví dụ: 1) 3 8 3 23 2 2) 3 x 2 3 x 2 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 4
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 3. Căn bậc cao: Căn bậc chẵn: Với mọi số tự nhiên m, n, k > 1, ta cĩ: 2k AA.2k 2k A.B 2k A . 2k B , A.B 0 A 2k A 2k , A.B 0; B 0 B 2k B 2k A2k .B A .2k B, B 0 m n A m.n A, A 0 Ví dụ: (1) Căn bậc 4 của 16 là 4 16 4 24 2. 2 (2) Căn bậc 4 của (x + 2)2 là 4 x 2 x 2 , (x + 2 ≥ 0). Chú ý: 2k A cĩ nghĩa khi A ≥ 0. Căn bậc lẻ: Với mọi số tự nhiên m, n, k > 1, ta cĩ: 2k 1 A2k 1 A. 2k 1 A.B 2k 1 A. 2k 1 B AA2k 1 2k 1 , B 0 B 2k 1 B 2k 1 A2k 1 .B A.2k 1 B Ví dụ: (1) Căn bậc 3 của 27 là 3 27 3. (2) Căn bậc 3 của (4 - x)3 là 3 4 x 3 4 x . Chú ý: Đối với căn bậc lẻ thì biểu thức trong dấu căn khơng quy định dấu âm hoặc dương. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 5
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 3 HẰNG ĐẲNG THỨC 1. Kiến thức cơ bản: 1.1. hằng đẳng thức đáng nhớ: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Bình phương của một tổng) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (Bình phương của một tổng) a2 - b2 = (a - b)(a + b) (Hiệu hai bình phương) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (Lập phương của một tổng) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (Lập phương của một tổng) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) (Tổng hai lập phương) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) (Hiệu hai lập phương) 1.2. Các hằng đẳng thức nâng cao: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -bc - ca) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + +abn-1 + bn-1) n k k n-k (a + b) = Cn a b 0n 1n-1 2n-22 kn-kk n-1 n-1 nn = Can +Ca n b+Ca n b + +Ca n b + +C n ab +Cb n (Nhị thức Newton) n! (Với C=k và n! = 1.2.3.4 (n-1).n) n k! n - k ! Chú ý: n! đọc là n giai thừa. 2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích hằng đẳng thức sau: a) (3 - 2x)2 b) (2x + 1)2 c) 9 - 25x2 Giải a) (3 - 2x)2 = 32 - 2.3.2x + (2x)2 = 9 - 12x + 4x2 b) (2x + 1)2 = (2x)2 + 2.2x.1 + 12 = 4x2 + 4x + 1 c) 9 - 25x2 = 32 - (5x)2 = (3 + 5x)(3 - 5x) Bài tập 2: Phân tích hằng đẳng thức sau: a) (7 + 3x)3 b) (9x + 2)3 Giải a) (7 + 3x)3 = 73 + 3.72.3x + 3.7.(3x)2 + (3x)3 = 343 + 441x + 189x2 + 27x3 b) (9x - 2)3 = (9x)3 - 3.(9x)2.2 + 3.9x.22 - 23 = 729x3 - 486x2 + 108x - 8 Bài tập 3: Phân tích hằng đẳng thức sau: a) 1 - 27x3 b) 216x3 + 8 Giải a) 1 - 27x3 = 13 - (3x)3 = (1 - 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 - 3x)(1+ 3x + 9x2) b) 216x3 + 8 = (6x)3 + 23 = (6x + 2)[(6x)2 - 6x.2 + 22] = (6x + 2)(36x2 - 12x + 4) Bài tập 4: Đưa về dạng hằng đẳng thức: a) 2x2 + 4x + 2 b) x2 - 6x + 9 c) x3 + 12x2 + 48x + 64 d) 8x3 - 12x2 + 6x - 1 Giải a) 2x2 + 4x + 2 = 2(x2 + 2.x.1 + 12) = 2(x + 1)2 b) x2 - 6x + 9 = x2 - 2.x.3 + 32 = (x - 3)2 c) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3 d) 8x3 - 12x2 + 6x - 1 = (2x)3 - 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 - 13 = (2x - 1)3 Bài tập 5: Phân tích hằng đẳng thức sau: a) (x2 + x + 1)2 b) (x2 + 2x - 3)2 Giải a) (x2 + x + 1)2 = (x2)2 + x2 + 12 + 2.x2.x + 2.x2.1 + 2.x.1 = x4 + x2 + 1 + 2x3 + 2x2 + 2x = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 b) (x2 + 2x - 3)2 = (x2)2 + (2x)2 + 32 + 2.x2.2x - 2.x2.3 - 2.2x.3 = x4 + 4x2 + 9 + 4x3 - 6x2 - 12x = x4 + 4x3 - 2x2 - 12x + 9 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 6
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 6: Tính nhanh: a) 20042 - 16 b) 8922 + 892.216 + 1082 c) 993 + 1 + 3(992 + 99) d) 20,03.45 + 20,03.47 + 20,03.48 Giải a) 20042 - 16 = 20042 - 42 = (2004 - 4)(2004 + 4) = 2000.2008 = 4016000. b) 8922 + 892.216 + 1082 = 8922 + 2. 892.108 + 1082 = (892 + 108)2 = 10002 = 1000000. c) 993 + 1 + 3(992 + 99) = 993 + 3.992 + 3.99 + 13 = (99 + 1)3 = 1003 = 1000000. d) 20,03.45 + 20,03.47 + 20,03.48 = 20,03(45 + 47 + 48) = 20,03.200 = 20,03.2.100 = 4006. Bài tập 7 : Viết biểu thức 4n 3 2 25 thành tích Giải = (4n + 3)2 - 52 = (4n + 3 + 5)(4n + 3 - 5) = (4n + 8)(4n - 2) Bài tập 8 : Chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức 2n 3 2 9 chia hết cho 4. Giải Ta cĩ: (2n + 3)2 - 9 = (2n + 3)2 - 32 = (2n + 3 + 3)(2n + 3 - 3) = (2n + 6)2n = 4n(n + 3) Biểu thức 4n(n + 3) luơn chia hết cho 4. Vậy (2n + 3)2 - 9 chia hết cho 4. Bài tập 9: Viết biểu thức sau dưới dạng tích a) x+y+z 22 -2 x+y+z y+z + y+z b) x y z 22 y z c) x 3 2 4 x 3 4 d) 25 10 x 1 x 1 2 Giải a) = [(x + y + z) - ( y + z)]2 = (x + y + z - y - z)2 = x2. b) = [(x + y + z) + (y + z)][(x + y + z) - ( y + z)] = (x + y + z + y + z)(x + y + z - y - z) = x(x + 2y + 2z) c) = (x + 3)2 + 2.(x + 3).2 + 22 = [(x + 3) + 2]2 = (x + 3 + 2)2 = (x + 5)2 d) = 52 + 2. 5.(x + 1) + (x + 1)2 = [5 + (x + 1)]2 = (5 + x + 1)2 = (x + 6)2 Bài tập 10: Viết biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức: a)x yzt.x yzt b)x yzt.x yzt c) 2 3 1 324 1 3 1 Giải a)x yzt.x yzt = [(x + y) + (z + t)][(x + y) - (z - t)] = (x + y)2 - (z - t)2 b) x y z t x y z t = [(x - y) + (z - t)] [(x - y) - (z - t)] = (x - y)2 - (z - t)2 = (3 - 1)(3 + 1)(32 + 1)(34 + 1) = (32 - 1)(32 + 1)(34 + 1) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 7
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com = (34 - 1)(34 + 1) = 38 - 1 3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích các hằng đẳng thức sau: a) (3x + 4)2 b) (2x - 5)2 c) 49 - x4 Bài tập 2: Phân tích các hằng đằng thức sau: a) (x + y + z)3 b) (y - z + t)3 c) 8x3 - 125 b) 27y3 + 64z3 Bài tập 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức: a) x2 - 6x + 9 b) 25 + 10x + x2 c) x3 + 15x2 + 75x + 125 d) x3 - 9x2 + 27x - 27 Bài tập 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức: a) x2 + 10x + 26 + y2+ 2y b) x2 - 2xy + 2y2 + 2y + 1 c) x2 - 6x + 5 - y2 - 4y d) 4x2 - 12x - y2 + 2y + 1 Bài tập 5: Rút gọn biểu thức: a) (x + 1)2 - (x - 1)2 - 3(x + 1)(x - 1) 1 2 b) 5(x - 2)(x + 2) - 6 8x 17 2 c) (x + y)3 + (x - y)3 d) (x + y - z)2 - (x - z)3 - 2xy + 2yz. Bài tập 6: Cho x + y = 7. Tính giá trị của biểu thức: M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2. Bài tập 7: Cho x - y = 7. Tính giá trị của biểu thức: A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37. Bài tập 8: Cho a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c). Chứng minh rằng: a = b = c = 1. Bài tập 9: Chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25. Từ đĩ hãy nêu những cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng chữ số 5. Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752. Bài tập 10: Tính: A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 8
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. CHUYÊN ĐỀ 4 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1. Kiến thức cần nhớ: Phân tích đa thức thành nhân tử là một kiến thức thuộc chương trình Tốn lớp 8. Đây là dạng tốn tương đối phức tạp. Loại tốn này thường được áp dụng rộng rãi trong các kỳ thi HSG, thi chuyển cấp, thi vào trường chuyên, Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp 1: Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. Phương pháp 2: Đặt nhân tử chung. Phương pháp 3: Tách hạng tử. Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp. Phương pháp 5: Thêm và bớt cùng một hạng tử. Phương pháp 6: Đổi biến số. Phương pháp 7: Xét giá trị riêng. Phương pháp 8: Dùng hệ số bất định. Phương pháp 9: Nhẩm nghiệm. 2. Phƣơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp: Nắm chắc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức nâng cao. Nhận dạng hằng đẳng thức với các dạng biểu thức phức tạp. Ví dụ: Nếu ta biết hằng đẳng thức bình phương của một tổng là (A + B)2 thì [(A + C) + (B - C)]2 ta phải biết. Hạ bậc lũy thừa của một biến hoặc một số và đưa về dạng hằng đẳng thức. Thêm một chút tư duy, sáng tạo trong cách biến đổi xuất hiện hằng đẳng thức. a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. Giải (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy. Bài tập 2: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử. Giải 22 a6 – b6 = ab33 = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Bài tập 3: Phân tích đa thức x12 - y4 thành nhân tử. Giải x12 - y4 = (x6)2 - (y2)2 = (x6 + y2)(x6 - y2) = (x6 + y2)(x3 - y)(x3 + y) Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 4x3 + 4x - 1 Giải x4 - 4x3 + 4x - 1 = (x4 - 4x3 + 4x2) - (4x2 - 4x + 1) = x2(x - 2)2 - (2x - 1)2 = [(x(x - 2) + 2x - 1][x(x - 2) - (2x - 1)] = (x2 - 1)(x2 - 4x + 1) = (x + 1)(x - 1)(x2 - 4x + 1) Bài tập 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 2x3 - 3x2 + 4x + 4 Giải x4 - 2x3 - 3x2 + 4x + 4 = (x2 - 1)2 - 2(x2 - 1)(x + 1) + (x + 1)2 = [(x2 - 1) - (x + 1)]2 = (x + 1)2(x - 2)2 Bài tập 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 – 4 Giải 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) Bài tập 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8 – 27a3b6 Giải 8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4) Bài tập 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 25x4 – 10x2y + y2 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 9
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Giải 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Bài tập 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a16 + a8b8 + b16 Giải Ta cĩ thể viết: a16 + a8b8 + b16 = a16 + 2a8b8 + b16 - a8b8 = (a8 + b8)2 - (a4b4)2 = (a8 + b8 - a4b4)( (a8 + b8 + a4b4) Ta lại cĩ: a8 + b8 + a4b4 = (a4 + b4)2 - (a2b2)2 = (a4 + b4 - a2b2)(a4 + b4 + a2b2) Mặt khác: a4 + b4 + a2b2 = (a2 + b2)2 - (ab)2 = (a2 + b2 - ab)(a2 + b2 + ab) Do đĩ, ta cĩ: a16 + a8b8 + b16 = (a8 - a4b4 + b8)(a4 - a2b2 + b4)(a2 - ab + b2)(a2 + ab + b2) Bài tập 10: Phân tích đa thức sau ra thừa số: A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Giải Ta cĩ thể viết: A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = (x4 + 3x3 - x2) + (3x3 + 9x2 - 3x) - x2 - 3x + 1 = x2(x2 + 3x - 1) + 3x(x2 + 3x - 1) - (x2 + 3x - 1) = (x2 + 3x - 1)2 Vậy A = (x2 + 3x - 1)2 b) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + y)2 - 9x2 Bài tập 2: Phân tích đa thức (2n + 5)2 - 25 thành nhân tử. Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 64 - 27a3b6. Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4(x +1)2 - 25(x - 1)4 Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 25(2x +3)2 - 10 (4x2 - 9) + (2x - 3)2 Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4+ x3 + 2x2 + x +1 Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 2x2y + xy2 - 9x Bài tập 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3. Bài tập 9: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) A = (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15 b) B = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z - y) - 4z2x2(2x + z) 3. Phƣơng pháp đặt nhân tử chung Phương pháp: Tìm nhân tử chung của các hệ số nếu cĩ (ƯCLN của các hệ số) hoặc là những đơn, đa thức cĩ mặt trong tất cả các hạng tử. Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác hoặc nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A(B + C). A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D). Viết nhân tử chung ra ngồi dấu ngoặc, viết các nhân tử cịn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng). Lưu ý: Đối với đa thức thì ta cĩ cách biến đổi như sau: Tìm nghiệm của đa thức (đối xứng thì cĩ thể là -1 hoặc 1) Đối với các đa thức bậc chẵn thì ta chia cho x2 (với x2 khơng là nghiệm của đa thức). Đối với đa thức bậc lẻ thì ta nhẩm nghiệm là thương của ước hạng tử cĩ số mũ cao nhất và ước của hạng tử tự do. Rồi đưa đa thức về đa thức bậc lẻ và làm tương tự. Ta cĩ thể áp dụng thêm quy tắc đồng nhất hệ số (chú ý phải giải hệ phương trình hoặc cách khác để tìm các hệ số của các đa thức): Ví dụ: Phân tích đa thức: ax2 + bx + c = (ax + d)(x + e) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 10
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Một đa thức bậc hai cĩ thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất. Một đa thức bậc ba cĩ thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất và bậc hai. Các đa thức cịn lại thì cĩ thể phân tích tương tự. Dạng chung: n n 1 p p 1 q q 1 axnn1 ax axa 10pp1 ax ax axa 10qq1 ax ax axa 10 (Với p + q = n và p, q, n N) a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. Giải 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Bài tập 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. Giải 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Bài tập 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử. Giải 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x(y – z) + 5y(z –y ) Giải 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) Bài tập 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: xm + xm + 3 Giải xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) b) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức x3 - 2x2 + x thành nhân tử. Bài tập 2: Phân tích đa thức 5x2 y 3 25x 3 y 4 10x 3 y 3 thành nhân tử. Bài tập 3: Phân tích đa thức 5(x - y) - y(x - y) thành nhân tử. Bài tập 4: Phân tích đa thức 15x4 10x 2 y 2 5x 5 y 4 thành nhân tử. Bài tập 5: Phân tích đa thức xt(z - y) - yt(y - z) thành nhân tử. 3. Phƣơng pháp nhĩm hạng tử Phương pháp: Dùng các tính chất giao hốn, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhĩm thích hợp, rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhĩm và phân tích chung đối với các nhĩm. Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhĩm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. Thơng thường ta dựa vào các mối quan hệ sau: Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài tốn. Thành lập nhĩm dựa theo mối quan hệ đĩ, phải thoả mãn: Mỗi nhĩm đều phân tích được. Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhĩm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. Dạng bài tốn: A.B + A.C + E.B + E.C = (A.B + A.C) + (E.B + F.C) = A(B + C) + E(B + C) = (B + C)(A + E) a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. Giải x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 11
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Bài tập 2: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. Giải x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y) Bài tập 3: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Giải x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x4 x 3 2 m 1 x 2 mx m 2 . Giải P m2 m 2x 2 x x 4 x 3 2x 2 22 2 2x 4 2 x x 9x m 2m x x 2x . 2 2 4 4 22 2 x 3x m x 22 m x22 2x m x x Bài tập 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 3x2 + 2x – 3 Giải 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) Bài tập 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 2xy + y2 – 16 Giải x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) b) Bài tập tự luyện Bài tập 1: Phân tích đa thức xy + xz + 3y + 3z thành nhân tử. Bài tập 2: Phân tích đa thức x3 - 4x2 + 4x - 1 thành nhân tử. Bài tập 3: Phân tích đa thức x2y2 + 1 - y2 - x2 thành nhân tử. Bài tập 4: Phân tích đa thức a3 + b3 - a - b thành nhân tử. Bài tập 5: Phân tích đa thức a3 + a2b - ab2 - b3 thành nhân tử. 4. Phƣơng pháp tách hạng tử Phương pháp: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương hoặc hiệu của hai hạng tử là an - bn. Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đĩ làm xuất hiện nhân tử chung. Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhĩm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải tốn. Chú ý: Để phân tích đa thức dạng tam thức bậc hai: ax2 + bx + c, (a 0) thành nhân tử. Ta tách hạng tử: bx = b1x + b2x sao cho b1b2 = ac Đối với đa thức f(x) cĩ bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta cĩ cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhĩm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Phương pháp chung: Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách: a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = = ai.ci = Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 12
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bước 2: Chọn hai thừa số cĩ tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích: a.c = ai.ci với b = ai + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đĩ nhĩm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp. a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử. Giải Cách 1 (tách hạng tử 3x2) 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2 (tách hạng tử : – 8x) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 3 (tách hạng tử : 4) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2) Bài tập 2: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử. Giải – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Bài tập 3: Phân tích đa thức sau ra thừa số: n3 – 7n + 6 Giải n3 – 7n + 6 = n3 – n – 6n + 6 = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Bài tập 4: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử. Giải Ta cĩ cách tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) Bài tập 5: Phân tích đa thức A = 9x2 - 10x + 1 thành nhân tử. Giải Cách 1: Tách hạng tử "bậc nhất", làm xuất hiện hai tích cĩ hai nhân tử chung: A = 9x2 - 9x - x + 1 = (9x2 - 9x) - (x - 1) = 9x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(9x - 1) Cách 2: Tách hạng tử bậc hai thành: A = 10x2 - 10x - x2 + 1 = (10x2 - 10x) - (x2 - 1) = 10x(x - 1) - (x + 1)(x - 1) = (x - 1)[10x - (x + 1)] = (x - 1)(9x - 1). Bài tập 6: Phân tích đa thức A = x4 + x2 + 1 thành nhân tử: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 13
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Giải A = x4 + 2x2 + 1 - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài tập 7: Phân tích đa thức A = 2(x2 + x - 5)2 - 5(x2 + x) + 28 thành nhân tử: Giải A = 2(x2 + x - 5)2 - 5(x2 + x - 5) + 3 = 2(x2 + x - 5)2 - 2(x2 + x - 5) - 3(x2 + x - 5) + 3 = [2(x2 + x - 5)2 - 2(x2 + x - 5)] - [3(x2 + x - 5) - 3] = 2(x2 + x - 5)[ (x2 + x - 5) - 1] - 3[(x2 + x - 5) - 1] = (x2 + x - 6)(2x2 + 2x - 13) = (x - 2)(x + 3)( 2x2 + 2x - 13) Chú ý: Ta cĩ thể đặt ẩn phụ: y = x2 + x - 5. Khi đĩ A = 2y2 - 5y + 3 Bài tập 8: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử. Hướng dẫn Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) Tích của hai thừa số cĩ tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci). Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Giải Cách 1: Tách hạng tử bx. 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4) = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2) Làm xuất hiện hiệu hai bình phương: f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2) Tách thành 4 số hạng rồi nhĩm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = = (x + 2)(3x + 2) Cách 3 (tách hạng tử tự do "c") Tách thành 4 số hạng rồi nhĩm thành hai nhĩm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = = (x + 2)(3x + 2) Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = = (x + 2)(3x + 2) Cách 5 (nhẩm nghiệm) Chú ý: Nếu f(x) = ax2 + bx + c cĩ dạng A2 ± 2AB + C thì ta tách như sau: f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + C = (A ± B)2 – (B2 – C) Bài tập 9: Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử. Hướng dẫn Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đĩ ta cần thêm và bớt 12 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức. Giải f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Bài tập 10: Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử. Giải Cách 1: f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách 2: f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) Bài tập 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2 - 5xy + 2y2. Giải 2 Phân tích đa thứ c này tương tư ̣ như phân tích đa thứ c : f(x) = ax + bx + c. Ta tách haṇ g tử thứ 2 : 2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y). b) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức x2 - 5x + 6 thành nhân tử. Bài tập 2: Phân tích đa thức 3x2 - 16x + 5 thành nhân tử. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 14
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 3: Phân tích đa thức 8x2 + 30x + 7 thành nhân tử. Bài tập 4: Phân tích đa thức 6x2 - 7x - 20 thành nhân tử. Bài tập 5: Phân tích đa thức x3 - 5x2 + 8x - 4 thành nhân tử. 5. Phƣơng pháp phối hợp nhiều phƣơng pháp Phương pháp: Là sự kết hợp giữa các phương pháp nhĩm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, tách hạng tử. Biết kỹ thuật nhận biết dạng đề để biết cách áp dụng phương pháp nào. a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử. Giải x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Bài tập 2: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử. Giải A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Bài tập 3: Phân tích đa thức A = (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 thành nhân tử: Giải Chú ý: Nếu: m + n + p = 0 thì m3 + n3 + p3 = 3mnp. Nhận thấy: (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0 nên ta cĩ ngay: A = (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = 3(a - b)(b - c)(c - a). 2 Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3xy – 12xy + 12x Giải 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a) b) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức x3 + 6x2 + 9x thành nhân tử. Bài tập 2: Phân tích đa thức A = 2x2 - 3xy + y2 - x - 1 thành nhân tử: Bài tập 3: Phân tích đa thức A = 8x4 - 2x3 - 3x2 - 2x - 1 thành nhân tử. 6. Phƣơng pháp thêm và bớt một cùng một hạng tử: Phương pháp: Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhĩm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức. Đối với phương pháp này muốn nắm chắc thì cách tốt nhất là làm thật nhiều bài tập, chứ khơng cĩ dạng tổng quát. Lưu ý: Đối với tốn phân tích đa thức thành nhân tử "giảm dần số mũ của lũy thừa": x3m+2 + x3m+1 + 1 thì đều chứa nhân tử x2 + x + 1. Do đĩ khi phân tích thì phải chú ý làm xuất hiện dạng x2 + x + 1 và các dấu "+" cĩ thể thay bằng dấu "-". a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử. Phân tích: Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Ta cĩ x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 15
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Ta cĩ x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Bài tập 2: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử. Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Giải x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1 = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 ) Cách 2: Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung) Giải x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1 = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 ) Chú ý: Các đa thức cĩ dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1, .; tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều cĩ chứa nhân tử x2 + x + 1. Bài tập 3: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. Gợi ý: Thêm 2x2 và bớt 2x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Giải x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x) Bài tập 4: Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử. Giải Cách 1: x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách 2: x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) 5 Bài tập 5: Phân tích đa thứ c x + x - 1 thành nhân tử Giải Cách 1: x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1). 2 Cách 2: Thêm và bớ t x : x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1). 7 Bài tập 6: Phân tích đa thứ c x + x + 1 thành nhân tử. Giải x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) Lưu ý: Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1. Bài tập 7: Phân tích da thức 4x 4 +81 thành nhân tử. Giải Ta thêm và bớt vào đa thức 4x +81 hạng tử 36x 2 ta cĩ: 4x +81 = 4x +36x2 +81 -36x2 = (2x2+9)2 – (6x)2 = 2x22 6x 9 2x 6x 9 Nhận xét: Trong trường hợp này dùng cho đa thức cĩ hai hạng tử. Bài tập 8: Phân tích đa thức x5 + x -1 thành nhân tử. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 16
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Ta thêm bớt x4, x3, x2 như sau: x5 + x - 1 = x5 + x4 +x3 + x2 - x4 - x3 - x2 + x - 1 = (x5 - x4 + x3) + (x4 - x3 + x2) – (x2 - x + 1 ) = x3(x2 - x + 1) + x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 + x2 - 1) Bài tập 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a10 + a5 + 1 Giải A = (a10 + a9 + a8) + (a7 + a6 + a5) + (a5 + a4 + a3) + (a2 + a + 1) - (a9 + a8 + a7) - (a6 + a5 + a4) - (a3 + a2 + a) = a8(a2 + a + 1) + a5(a2 + a + 1) + a3(a2 + a + 1) - a7(a2 + a + 1) - a4(a2 + a + 1) - a(a2 + a + 1) b) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức A = x7 + x2 + 1 thành nhân tử. Bài tập 2: Phân tích đa thức A = x5 + x4 + 1 thành nhân tử. Bài tập 3: Phân tích đa thức A = x7 + x5 + 1 thành nhân tử. Bài tập 4: Phân tích đa thức A = x8 + x7 + 1 thành nhân tử. Bài tập 5: Phân tích đa thức A = x5 + x1 - 1 thành nhân tử. 7. Phƣơng pháp đổi biến số (đặt ẩn số phụ): Phương pháp: Phương pháp này thường dùng để đưa một đa thức bậc cao về đa thức cĩ bậc thấp hơn. Phương pháp này khơng cĩ cơng thức tổng quát. Trong phương pháp này, cĩ trường hợp đặc biệt khi phân tích: Phân tích đa thức đối xứng thành nhân tử. Lưu ý: Cách giải một số phương trình. Cần sử dụng thêm phương pháp thêm bớt hạng tử. Khi phân tích đa thức đối xứng bậc chẵn thành nhân tử thì ta chia cho đa thức đĩ cho x2 (hay là 1 đặt x2 làm nhân tử chung), nhĩm hai hạng tử thích hợp rồi đặt ẩn phụ cho x . x Các đa thức đối xứng bậc lẻ luơn cĩ nghiệm là - 1. Phân tích đa thức đĩ thành hai nhân tử là (x + 1) và nhân tử thứ 2 là đa thức đối xứng bậc chẵn. Để phân tích hết đa thức thì phân tích đa thức thứ hai theo tổng quát đa thức đối xứng bậc chẵn. Phương pháp này dùng để đơn giản hơn các biểu thức và đưa biểu thức về dạng gọn hơn. a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức A = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 1 thành nhân tử. Giải (Đây là đa thức đối xứng bậc chẵn) Nhận thấy x = 0 khơng là nghiệm của đa thức trên. Ta đặt x2 làm nhân tử chung. Khi đĩ: 11 22 A=x x+2 +4x+ +5 xx 1 Đặt: y = x x 2 22 11 y x x 2 2 xx 1 y22 2 x x2 Lúc này: A = x2(y2 + 4y + 3) = x2(y + 3)(y + 1) 2 11 2 2 = xx 3x 1 x3x1xx1 xx Bài tập 2: Phân tích đa thức x5 + 5x4 + 2x3 + 2x2 + 5x + 1 thành nhân tử. HD: Đây là đa thức đối xứng bậc lẻ. Ta đặt nhân tử (x + 1) và nhân tử cịn lại là đa thức bậc chẵn thì làm tương tự. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 17
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Giải Ta cĩ: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y. Đa thứ c đa ̃ cho có daṇ g: (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. 4 3 2 Bài tập 4: Phân tích đa thứ c sau thành nhân tử : A = x + 6x + 7x - 6x + 1. Giải Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thứ c dướ i daṇ g: 22 11 A x x 2 6 x 7 xx 11 Đặt x y x22 y 2 . xx2 Do đó: A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 2 1 2 2 2 2 = x x 3x x 3x 1 = (x + 3x - 1) . x Dạng phân tích này cũng đúng vớ i x = 0. Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2. b) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y - 15 Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 8. Phƣơng pháp xét giá trị riêng: Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại. Đối với các bài tốn dạng này thì ta luơn nhận biết sự giống nhau về vài trị của các biến trong biểu thức. Cách giải thường dùng là sử dụng phương pháp lý luận vài trị của một biến so với các biến cịn lại. a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2 (y - x) + y2(z - x) + z2(x - y) Giải Giả sử thay x bởi y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0 Như vậy P chứa thừa số x - y. Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi (ta nĩi đa thức P cĩ thể hốn vị vịng quanh bởi các biến x, y, z. Do đĩ nếu P đã chứa thừa số x - y thì cũng chứa thừa số y - z, z - x. Vậy P phải cĩ dạng: P = k(x - y)(y - z)(z - x). Ta thấy k phải là hằng số (khơng chứa biến) vì P cĩ bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng cĩ bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức: x2 (y - x) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x). đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng. Chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0. Ta được k = - 1. b) Bài tập tự luyện: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 18
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q =a(b + c - a2)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: M = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc, với 2m = a + b + c. Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc B = a(a + 2b)3 - b(2a + b)3. C = ab(a + b) - bc (b + c) + ac(a - c) D = (a + b)(a2 - b2) + (b + c)(b2 - c2) + (c + a)(c2 - a2) E = a3(c - b2) + b3(a - c2) + c3(b - a2) + abc(abc - 1) F = a(b - c)3 + b(c - a)3 + c(a - b)3 G = a2b2(a - b) + b2c2(b - c) + a2c2(c - a) H = a4(b - c) + b4(c - a) + c4(a - b) 9. Phƣơng pháp dùng hệ số bất định: Phương pháp: Giả sử đa thức f(x) = ax2 + bx + c cĩ nghiệm m, n thì đa thức sẽ được viết lại: f(x) = ax2 + bx + c = a(x - m)(x - n) Sau đĩ đồng nhất hệ số cả hai vế của phương trình, tức là giải hệ phương trình hoặc nhẩm để tìm hệ số thì ta sẽ tìm được các hệ số m, n. a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 3x2 + 4x + 1 Giải Giả sử a và b là hai nghiệm của đa thức trên. Khi đĩ, ta viết lại như sau: 3x2 + 4x + 1 = 3(x - a)(x - b) 3x2 + 4x + 1 = 3x2 + x(-3b - 3a) + 3ab Đồng nhất hệ số ta được: 4 ab a1 3a 3b 4 3 1 1 3ab 1 b ab 3 3 2 1 Vậy A = 3x + 4x + 1 = 3 x 1 x x 1 3x 1 . 3 Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giải Nhận thấy đa thức trên khơng cĩ nghiệm hữu tỷ. Do đĩ ta sẽ phân tích đa thức trên thành tích của hai đa thức bậc hai. x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + cx + 1) Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số, ta cĩ: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1) Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2. Giải Nhận thấy các số 1, 2 đều khơng là nghiệm của đa thức, nên C khơng cĩ nghiệm hữu tỉ. Như vậy, nếu đa thức C phân tích được thành nhân tử thì phải cĩ dạng. (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd. Đồng nhất các hệ số của đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ phương trình: a c 3 ac b d 1 ad bc 7 bd 2 Giải hệ này ta tìm được (a; b; c; d) = (1; 2; -4; 1). Vậy đa thức đã cho được phân tích thành: (x2 + x + 2)(x2 - 4x + 1). Đa thức này khơng phân tích thành nhân tử thêm được nữa. 4 3 2 Bài tập 4: Phân tích đa thứ c sau thành nhân tử : x - 6x + 12x - 14x - 3 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 19
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Giải Ta lần lượt thử các nghiệm ±1; ±3 khơng là nghiệm của đa thức , đa thức khơng có nghiệm nguyên cũng khơng có nghiệm hữu tỷ . Như vâỵ đa thức trên p hân tích được thành nhân tử thì phải cĩ dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3. Đồng nhất các hệ số ta được: Xét bd = 3 vớ i b, d Z, b {± 1, ± 3}. Vớ i b = 3 thì d = 1, hê ̣điều kiêṇ trên trở thành a c 6 ac 8 2c = -14 - (-6) = -8. a 3c 14 Do đó c = -4, a = -2. Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1). b) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: C = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 D = x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 E = x4 - 8x + 63 10. Phƣơng pháp nhẩm nghiệm (thêm): Phương pháp: Định lí: Nếu f(x) cĩ nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đĩ, f(x) cĩ một nhân tử là x - a và f(x) cĩ thể viết dưới dạng f(x) = (x - a).q(x) Như vậy đa thức f(x) sẽ cĩ nhân tử là (x - a). Lúc đĩ tách các số hạng của f(x) thành các nhĩm, mỗi nhĩm đều chứa nhân tử là x – a. Lưu ý: Phương pháp này chỉ áp dụng nhiều cho đa thức cĩ hệ số nguyên: n n-1 P(x) = anx + an-1x + + a1x + a0. Hệ quả 1: Nếu f(x) cĩ tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) cĩ một nghiệm là x = 1. Từ đĩ f(x) cĩ một nhân tử là x – 1. Hệ quả 2: Nếu f(x) cĩ tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) cĩ một nghiệm x = –1. Từ đĩ f(x) cĩ một nhân tử là x + 1. f1 f1 Hệ quả 3: Nếu f(x) cĩ nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì và đều là số a1 a1 nguyên. Người ta đã chứng minh nghiệm của đa thức: n n-1 P(x) = anx + an-1x + + a1x + a0. Là nghiệm của hạng tử tự do a0. p Người ta cũng chứng minh được nghiệm của đa thức cĩ dạng x , trong đĩ p là ước của a0 và q q là ước của hạng tử cao nhất an. a) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử. Giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) cĩ một nghiệm x = –2, do đĩ nĩ chứa một nhân tử là x + 2. Từ đĩ, ta tách như sau Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 20
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. = (x + 2)(x2 – x + 2). Bài tập 2: Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử. Giải Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. f(1) = –18, f(–1) = – 44, nên ± 1 khơng phải là nghiệm của f(x). Dễ thấy khơng là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 khơng là nghiệm của f(x). Chỉ cịn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đĩ, ta tách các hạng tử như sau: f(x) = 4x3 - 12x2 - x2 + 3x + 6x - 18 = 4x2(x - 3) - x(x - 3) + 6(x - 3) =(x – 3)(4x2 – x + 6) Bài tập 3: Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử. Giải Các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này khơng là nghiệm của f(x). Như vậy 15 1 f(x) khơng cĩ nghiệm nghuyên. Xét các số ; , ta thấy là nghiệm của đa thức. 33 3 Do đĩ đa thức cĩ một nhân tử là 3x – 1. Ta phân tích như sau: f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5). Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 5x2 + 8x – 4. Giải Nhận thấy đa thức cĩ 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cĩ một nhân tử là x – 1. Ta phân tích như sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Bài tập 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 5x2 + 3x + 9. Giải Nhận thấy, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 cĩ 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cĩ một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 21
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 5 TẬP XÁC ĐỊNH 1) Kiến thức cơ bản: Bài tốn: Cho biểu thức: y = f(x), với x là ẩn số. Định nghĩa: Tập xác định của hàm số là tập hợp những giá trị làm cho biểu thức cĩ nghĩa. Kí hiệu: D = {x| f(x) cĩ nghĩa (điều kiện)} 2) Tập xác định của một số biểu thức: fx Biểu thức: A= TXĐ: D = {x| g(x) 0} gx Biểu thức: A = fx TXĐ: D = {x| f(x) ≥ 0} Chú ý: Nếu A =n f x thì Khi n là số lẻ,với mọi x đều thỏa mãn. Khi n là số chẵn thì f(x) ≥ 0. fx Biểu thức: A= cĩ TXĐ: D = {x| g(x) > 0} gx n n-1 Biểu thức: A = f(x) cĩ TXĐ: D = R (với f(x) = anx + an-1x + + a1x + a0) 3. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm tập xác định của biểu thức sau: y = 3x2 + 2x + 1 Giải Điều kiện xác định D = R. Bài tập 2: Tìm tập xác định của biểu thức: 1 - x y = 3x2 + x - 1 + x + 2 Giải Điều kiện xác định: D= x|x+2 0=  x|x -2 Bài tập 3: Tìm tập xác định của biểu thức: y = x - 3 - x -1 Giải x - 3 0 x 3 Điều kiện xác định: x3 x -1 0 x 1 Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức: 13 A = - x - 2 x x + 2 Giải x - 2 > 0 x > 2 Điều kiện xác định: x 0 x 0 x > 2 x + 2 > 0 x > -2 Bài tập 5: Tìm tập xác định của biểu thức: aa T = a + ab bb Giải b 0 a 0 a > 0, b > 0 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 22
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 4. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Tìm tập xác định của biểu thức: x 1 x - x x + x B = - - 2 2 x x +1 x -1 Bài tập 2: Tìm tập xác định của biểu thức: 3x + 3 P= x32 + x + x +1 Bài tập 3: Tìm tập xác định của biểu thức: P= x22 -2x+1+ x -6x+9 Bài tập 4: Tìm tập xác định của biểu thức: x + 2 x + 2 x + 1 P = - + x - 2 x + 1 x -1 Bài tập 5: Tìm tập xác định của biểu thức: x -1 x +1 1 P = - . x - 2x + 4 x + 4 x - 3 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 23
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 6 RÚT GỌN BIỂU THỨC 1. Kiến thức cơ bản: Dạng khai triển của một số biểu thức: a - b = a + b a - b , với a, b ≥ 0. a+b= 3 a+ 3 b 33 a-ab+b22 3 a-b= 3 a-b 3 33 a+ab+b22 3 a a a3 , với a0 a a2 , với Chú ý: Trước khi rút gọn phải tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu cĩ). A + A22 - B A - A - B + = A + B 22 1 1 1 =- n n +1 n n +1 1 = n +1 - n n + n +1 2 1 k +1 1+ = k2 + 2k k k + 2 1 1 1 =- n+1 n+nn+1 n n+1 1 1 1 1 1+ + = 1+ - n2 n +1 2 n n +1 2) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Rút gọn biểu thức: A = (a + 3)(a - 3)(a2 + 6a + 9)( a2 - 6a + 9) Giải A = (a2 - 9)(a + 3)2(a - 3)2 = (a2 - 9)3 = a6 - 27a4 + 243a2 - 729 Lưu ý: Bài tốn này được đưa về dạng hằng đẳng thức. Bài tập 2: Rút gọn biểu thức sau: 5 3 + 50 5 - 24 11 A = - - +1 75-52 5-2 5+2 Giải 5 3 + 5 2 5 - 2 6 11 A = - - +1 53-52 5-2 5+2 5 3 + 2 5 - 2 6 5 + 2 - 5 + 2 = - -1 5 3 - 2 3 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 24
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 2 5 3 + 2 3 - 2 22 = - -1 5 3 - 2 3 22 5 3 - 2 3 - 2 22 = - -1 5 3 - 2 3 22 = - 3 Lưu ý: Bài tốn này sử dụng phương pháp đưa thừa số ra ngồi dấu căn và hằng đẳng thức a2 - b2. Bài tập 3: Rút gọn biểu thức sau: 219 .27 3 +15.4 9 .9 4 M= 69 .2 10 +12 10 (Đề thi HSG miền Bắc năm 1997) Giải 219 .3 9 + 5.3.2 18 .3 8 2 19 .3 9 + 5.2 18 .3 9 218 .3 9 2 + 5 1 M = = = = 29 .3 9 .2 10 + 4 10 .3 10 2 19 .3 9 + 2 20 .3 10 2 18 .3 9 .2 1+ 2.3 2 Lưu ý: Bài tốn này sử dụng phương pháp đưa về dạng chung của lũy thừa ở tử và mẫu. Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau: 6 8x - 27 y4 -1 A = : 4x4 +6x 2 +9 y 3 +y 2 +y+1 Giải 3 2x2 -3 3 y-1 y+y+y+1 3 2 A = : 4x+6x+94 2 y+y+y+1 3 2 2 4 2 2x -3 4x +6x +9 2x2 - 3 = : y -1 = 4x42 + 6x + 9 y -1 Lưu ý: Bài tốn này được đưa về dạng hằng đẳng thức. Bài tập 5: Rút gọn biểu thức sau: 33 1+ 1- A =22 + 33 1+ 1+ 1- 1- 22 Giải Ta cĩ: 2 3 4 + 2 3 3 +1 1+ = = 2 4 4 2 3 4 - 2 3 3 -1 1- = = 2 4 4 Do đĩ, ta cĩ: 22 3 +1 3 -1 22 3 +1 3 -1 A = + = + = 1 3 +1 3 3 -1 3 2 3 2 3 22 Lưu ý: Nhận biết bài tốn này là dạng A2 = A xuất hiện ở mẫu. Bài tập 6: Rút gọn biểu thức sau: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 25
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com A=4+ 15 10- 6 4- 15 Giải 2 A= 10- 6 4+15 4-15= 10- 6 4+15 Vì 10- 6= 2 5- 3>0 nên ta cĩ: 2 A= 2 5- 3 4+ 15 = 28-215 4+ 15 = 4=2 Lưu ý: Bài tốn này được đưa về dạng đúng của hằng đẳng thức. Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau: A = 1978 197919 +1979 18 + +1979 2 +1980 -1979 20 +1 Giải A = 1979 -1 197919 +1979 18 + +1979 2 +1980 -1979 20 +1 = 197920 -1 -1979 20 +1 = 197920 -1+1979 20 +1 = 0 Lưu ý: Bài tốn này được đưa về dạng đúng của hằng đẳng thức nâng cao: an - bn. Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau: 2x-9 x+3 2x+1 A = - - x-5x+6 x-2 3- x Giải Điều kiện xác định: x 0, x 4; x 9. Ta cĩ: Mẫu thức chung là: x-5 x+6= x-2 x-3 2 x-9-x-9+2 x-1 x-2 x - x - 2 A = = x-2 x-3 x-2 x-3 x +1 x - 2 x +1 = = x - 3 x - 2 x - 3 Lưu ý: Nhân biết dạng bài tốn này là phải quy đồng tìm mẫu thức chung. Sau đĩ tìm nhân tử chung của tử và mẫu. Bài tập 9: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 A = + : - x+1 x-1 x-1 x+1 Giải Điều kiện: x > 1. x+1+ x-1 x+1- x-1 A = : 22 x -1 x -1 2 x +1 + x -1 x +1 + x -1 = = x +1 - x -1 x +1- x +1 = x + x2 -1 Lưu ý: Bài tốn này sử dụng cách quy đồng và rút gọn nhân tử chung (giống nhau) của tử và mẫu. Bài tập 10: Rút gọn biểu thức sau: 2y2 + 5y + 2 A= 2y32 + 9y +12y + 4 (Đề thi HSG tồn quốc năm 1978) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 26
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Giải Ta cĩ tử thức: 2y2 + 5y + 2 = (2y2 + 4y) + (y + 2) = 2y(y + 2) + (y + 2) = (y + 2)(2y + 1) Ta cĩ mẫu thức: 2y3 + 9y2 + 12y + 4 = (2y3 + 4y2) + (5y2 + 10y) + (2y + 4) = 2y2(y + 2) + 5y(y + 2) + 2(y + 2) = (y + 2)(2y2 + 5y + 2) = (y + 2)2(2y + 1) Vì 2y2 + 5y + 2 = (y + 2)(2y + 1) 1 Do đĩ điều kiện bài tốn là: y -2; y - 2 y + 2 2y +1 1 Suy ra: A = = y + 2 2 2y +1 y + 2 Lưu ý: Bài tốn này khơng thể đưa hằng đẳng thức mà cần phải phân tích tử và mẫu thức xuất hiện nhân tử chung. Bài tập 11: Rút gọn biểu thức sau: A= 2+ 3.2+ 2+ 3.2+ 2+ 2+ 3.2- 2+ 2+ 3 Giải Ta cĩ: 2+ 2+ 2+ 3.2- 2+ 2+ 3= 4-2+ 2+ 3 = 2- 2+ 3 2+ 2+ 3.2- 2+ 3= 4-2+ 3= 2- 3 A= 2+ 3. 2- 3=1 Lưu ý: Bài tốn này được hiểu là "căn chồng căn" thì ta phải giải quyết A2 = A từ trong ra ngồi để giảm dần bậc của căn thức. Bài tập 12: Rút gọn biểu thức sau: 1 x x A = + : x x +1 x + x Giải Điều kiện: x > 0. x +1+ x x x +1+ x A = : = x x +1 x x +1 x Lưu ý: Bài tốn này nhận biết được ngày là phải quy đồng và tìm nhân tử chung của tử và mẫu. Bài tập 13: Rút gọn biểu thức sau: 4 - 2 3 A= 6 - 2 Giải 2 4 - 2 3 3 -1 3 -1 2 A = = = 6 - 2 2 3 -1 2 3 -1 2 Lưu ý: Bài tốn này được đưa về dạng hằng đẳng thức và sao cho xuất hiện nhân tử giống nhau của tử và mẫu. Bài tập 14: Rút gọn biểu thức sau: A = 3 2 + 6 6 - 3 3 Giải Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 27
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com 3 4 - 2 3 A= 6 3+1 32-3= 6 3+1 2 2 3 3-1 6 3+1 3 3-1 = 6 3 +1 = 2 2 = 3 3 +1 3 -1 = 6 Lưu ý: Nhận biết được dạng tốn A2 = A và sau đĩ đưa về dạng hằng đẳng thức. Bài tập 15: Rút gọn biểu thức sau: a + b - 2 ab 1 A = : a - b a + b Giải Điều kiện: a > 0, b > 0, a ≠ b. 2 2 2 a-2a.b+b 11 a-b A = : = : a-b a+b a-b a+b = a - b a + b = a - b Bài tập 16: Rút gọn biểu thức sau: x 2 x 1 x 1 P 1: với 0 x 1 x x 1 x x 1 x 1 Giải x 2 x 1 x 1 P 1: ( x 1)(x x 1) x x 1 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 1 P 1: ( x 1)(x x 1) x x 1 x 1 x 2 ( x 1)( x 1) x x 1 P 1: ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x 2 (x 1) (x x 1) P 1: ( x 1)(x x 1) x x P 1: ( x 1)(x x 1) x.( x 1) P 1: ( x 1)(x x 1) x P 1: x x 1 x x 1 Suy ra: P x Lưu ý: Ta nhận biết ngay là sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 và (a - b)2. 3) Bài tập tự luyện Bài tập1: Cho biểu thức: a + 2 5 1 P = - + a +3 a + a -6 2 - a Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 28
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1 Bài tập 2: Cho biểu thức: x x + 3 x + 2 x + 2 P = 1- : + + x+1 x-2 3- x x-5x+6 a) Rút gọn P b)Tìm giá trị của x để P < 0. Bài tập 3: Cho biểu thức: x -1 1 8 x 3 x - 2 P = - + : 1- 3x-13x+19x -1 3x+1 a) Rút gọn P 6 b) Tìm các giá trị của x để P = 5 Bài tập 4: Cho biểu thức: a 1 2 a P = 1+ : - a +1 a-1 a a+ a-a-1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1 c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 -8 3 Bài tập 5: Cho biểu thức: a(1-a)2 1-a 3 1+a 3 P= : + a . - a 1+ a 1- a 1+ a a) Rút gọn P 1 b) Xét dấu của biểu thức M = a. P- 2 Bài tập 6: Cho biểu thức: x+1 2x+x x+1 2x+x P = + -1 : 1+ - 2x+1 2x-1 2x+1 2x-1 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x = 3 + 2 2 2 Bài tập 7: Cho biểu thức: 2 x 1 x P = - : 1+ x x+ x-x-1 x-1 x +1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P 0 Bài tập 8: Cho biểu thức: 2a +1 a 1+ a3 P= - . - a 3 a a + a +1 1+ a a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P 1- a Bài tập 9: Cho biểu thức: 1- a a 1+ a a + a . - a P = 1- a 1+ a a) Rút gọn P b) Tìm a để P < 7 - 4 3 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 29
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Bài tập 10: Cho biểu thức: 2x x 3x+3 2x-2 P = + - : -1 x + 3 x - 3x - 9 x - 3 a) Rút gọn P 1 b) Tìm x để P 0) x + m x - m 4x - 4m2 a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P = 0. c) Xác định các giá trị của m để giá trị x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1. Bài tập 14: Cho biểu thức: a2 + a 2a + a P = - +1 a - a +1 a a) Rút gọn P b) Biết a >1 Hãy so sánh P với |P|. c) Tìm a để P = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài tập 15: Cho biểu thức: a+1 ab+a a+1 ab+a P = + -1 : - +1 ab+1 ab-1 ab+1 ab-1 a) Rút gọn P 3 -1 b) Tính giá trị của P nếu a = 2 - 3 và b = 1+ 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a + b = 4 Bài tập 16: Cho biểu thức: aa-1aa+1 1 a+1 a-1 - + a - + P = a-aa+a a a-1 a+1 a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của a thì P = 7 c) Với giá trị nào của a thì P > 6 Bài tập 17: Cho biểu thức: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 30
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 2 a - b + 4 ab a b - b a P = . a + b ab a) Tìm điều kiện để P cĩ nghĩa. b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi a = 23 và b = 3 Bài tập 18: Cho biểu thức: 2a+ a-1 2a a- a+a a- a P = 1+ - 1- a 1- a a 2 a -1 a) Rút gọn P 6 b) Cho P = tìm giá trị của a 1+ 6 2 c) Chứng minh rằng P > 3 Bài tập 19: Cho biểu thức: 3 a 3a 1 a -1 . a - b P = - + : a+ ab+b a a-b b a- b 2a+2ab+2b a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a để P cĩ giá trị nguyên a 3 a 2 a a 1 1 Bài tập 20: P : ( với 0 a 1) ( a 2)( a 1) a 1 a 1 a 1 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi a 4 2 3 . 1 c) Tìm a sao cho 1. P Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 31
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 7 CÁC PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC 1. Biến đổi biểu thức nguyên: a. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Ta biến đổi từ một vế của đẳng thức (áp dụng hằng đẳng thức) để chuyển thành biểu thức bằng vế cịn lại. Xét tính chất của một số biểu thức đặc biệt để đưa ra cách phân tích đúng theo yêu cầu bài tốn. Áp dụng biến đổi theo một vế trở thành vế cịn lại hoặc hai vế cùng về một kết quả cụ thể. b) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau: a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b+ c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 + c3 - 3abc - 3a2b - 3ab2 = (a + b+ c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b+ c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab] = (a + b+ c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca). (đpcm) b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3) = (b + c)([(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[(a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a). (đpcm) Bài tập 2: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Giải Từ x + y + z = 0. Suy ra: z = x(x + y). Ta cĩ: x5 + y5 + z5 = x5 + y5 - (x + y)5 = -5(x4y + 2x3y2 + xy4) = -5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = -5xy[(x + y)(x2 + y2 - xy) + 2xy(x + y)] = -5xy(x + y)(x2 + y2 + xy) (1) và x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + (x + y)2 = 2(x2 + y2 + xy) (2) mà x7 + y7 + z7 = x7 + y7 - (x + y)7 = -7(x6y + 3x5y2 + 5x4y3 + 5x3y4 + 3x2y5 + xy6) = -7xy(x + y)(x2 + y2 + xy) (3) Từ (1), (2) và (3) ta cĩ điều phải chứng minh. c) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a) a3 + b3 + c3 = 3abc. b) 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2. Bài tập 2: Chứng minh các hằng đẳng thức sau: a) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 b) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu các số a, b, c thỏa mãn: a4 + b4 + (a - b)4 = c4 + d4 + (c - d)4 thì a2 + b2 + (a - b)2 = c2 + d2 + (c - d)2 Bài tập 4: Cho a3 - 3ab2 = 19, b3 - 3a2b = 98. Tính P = a2 + b2. Bài tập 5: Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a2 - 3ab + 2b2 + a - b = a2 - 2ab + b2 - 5a + 7b = 0. Chứng minh rằng: ab - 12a + 15b = 0. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 32
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 6: Khai triển biểu thức: a4 + (a + b)4 thành dạng 2K + 1 và phân tích K thành tích các thừa số. Bài tập 7: a) Chứng minh đẳng thức: x + y + |x - y| = max{x, y}, với x, y R. a+b a-b2 a+b a-b 2  111 b) Chứng minh đẳng thức: + - + + + = 4max  , , ab ab c ab ab c  a b c với a, b, c ≠ 0. Bài tập 8: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: Đa thức x3n+1 + x2n + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1. Bài tập 9: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). (Đề thi HSG tỉnh năm học 2005 - 2006) Bài tập 10: Cho a2 - b2 = 4c2. Chứng minh rằng: (5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)2. 2. Biến đổi hữu tỷ a. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Sử dụng các biến đổi thơng thường để đưa đến kết luận theo yêu cầu bài tốn. Vận dụng giả thiết để chọn hướng giải nhanh và chính xác. Đối với các bài tốn cĩ số mũ bậc n của các hạng tử, cĩ thể sử dụng phương pháp quy nạp. Lưu ý: Đây là kiến thức cần thiết để chứng minh các bất đẳng thức hay tìm GTLN, GTNN. b) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 1 1 1 + + = + + a2 b 2 c 2 a b c Giải Ta cĩ: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + =2 + 2 + 2 + 2 + + abc a b c abbcca 1 1 1 2 a + b + c =2 + 2 + 2 + a b c abc 1 1 1 = + + . a2 b 2 c 2 Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau thì: b-c c-a a-b 2 2 2 + + = + + a-b a-c b-c b-a c-a c-b a-b b-c c-a Giải Biến đổi vế trái: b - c c - a a - b a-c-a-b b-a-b-c c-b-c-a + + = + + a-b a-c b-c b-a c-a c-b a-b a-c b-c b-a c-a c-b 1 1 1 1 1 1 = - + - + - a-b a-c b-c b-a c-a c-b 2 2 2 = + + a - b b - c c - a c) Bài tập tự luyện: 1 1 1 Bài tập 1: Cho xyz = 1. Chứng minh rằng: + + =1 1+x+xy 1+y+yz 1+z+zx Bài tập 2: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện: a c a + c = = , a.c 0. Chứng minh rằng: b2 = d2. b d 3b -d 1 1 1 Bài tập 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + = b + = c + b c a Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 33
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com a) Cho a = 1. Tính b, c. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đơi một khác nhau thì a2b2c2 = 1. c) Chứng minh rằng nếu a, b, c dương thì a = b = c. Bài tập 4: a + b b + c c + a a) Cho a, b, c thỏa abc ≠ 0 và ab + bc + ca = 0. Tính P= . abc a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 b) Cho a, b, c thỏa (a + b)(b + c)(c + a) ≠ 0 và + + = + + . a+b b+c c+a b+c c+a a+b Chứng minh rằng: a = b = c. 1 1 Bài tập 5: Cho x > 0 thỏa điều kiện: x2 + = 7 . Tính giá trị của biểu thức P = x5 + . x2 x5 x44 y 1 Bài tập 6: Cho a, b, x, y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 = 1 và += . a b a + b x2006 y 2006 1 Chứng minh rằng: += . ab1003 1003 a + b 1003 ac - b22 bd -c Bài tập 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn b ≠ c và = = k. a-2b+c b-2c+d ad - bc Chứng minh: k= . a - b -c + d Bài tập 8: Cho a, b, c là các số thực đơi một khác nhau và khác 0, thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. a b c b-cc-aa-b Chứng minh rằng: + + + + = 9. b-cc-aa-b a b c 1 1 1 1 1 1 Bài tập 9: Đơn giản biểu thức: 3 3 3 ++ 4 2 2 5 a + b a + b a + b a + b a + b a + b ab Bài tập 10: Chứng minh rằng nếu: (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì = . xy Bài tập 11: Chứng minh rằng nếu: (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 và x, y, z khác 0 a b c thì ==. x y z ab2 ab - 2 Bài tập 12: Cho a, b, khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: += b3 -1 a 3 -1 a 2 b 2 +3 3. Biến đổi vơ tỷ a. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức để biến đổi. Một số bằng liên quan đến căn bậc n, cĩ thể sử dụng phương pháp quy nạp để đưa đến kết luận theo yêu cầu bài tốn. Giống các bài tốn rút gọn. b) Bài tập áp dụng: 4449 20 60 49 20 60 Bài tập 1: Chứng minh đẳng thức: 3 2 Giải 22 44 4449 + 20 60 + 49- 20 60 5+ 2 6 + 5- 2 6 VT 1 = = 22 44 44 3 + 2 + 3 - 2 = 2 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 34
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 3 + 2 + 3 - 2 = = 2 3 2 a22 - a a + a 2 Bài tập 2: Cho a 0. Chứng minh rằng: - + a +1= a -1 22 a + a +1 a - a +1 Giải Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ: a = x 0 c) Bài tập tự luyện: 1 1 1 Bài tập 1: Cho a, b > 0 và c ≠ 0. Chứng minh rằng: 0 a b a c b c a b c Bài tập 2: Chứng minh rằng các số sau là số nguyên: 2 3+ 5- 3+ 48 a) A= 6 + 2 48 48 b) B 33 1 1 99 Bài tập 3: Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng nếu x khơng phải là số chính phương thì x là số vơ tỉ. Bài tập 4: Chứng minh rằng số α= 2+ 2+ 3- 6-32+ 3 là một nghiệm của phương trình x4 - 16x2 + 32 = 0. ax3 by 3 cz 3 2 2 2 Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu 1 1 1 thì 3 ax by cz 3 a 3 b 3 c . 1 x y z Bài tập 6: Chứng minh rằng nếu 3a 3 b 3 c 3 a b c thì với số nguyên dương lẻ n ta cĩ na n b n c n a b c . Bài tập 7: Cho xy 1 x22 1 y a Tính S x 1 y22 y 1 x . 2 a1 Bài tập 8: Cho a > 0 và 4aa 2 2 0. Chứng minh rằng: 2 a42 a 1 a Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 35
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 7 CÁC PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC 1. Biến đổi biểu thức nguyên: a. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Ta biến đổi từ một vế của đẳng thức (áp dụng hằng đẳng thức) để chuyển thành biểu thức bằng vế cịn lại. Xét tính chất của một số biểu thức đặc biệt để đưa ra cách phân tích đúng theo yêu cầu bài tốn. Áp dụng biến đổi theo một vế trở thành vế cịn lại hoặc hai vế cùng về một kết quả cụ thể. b) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau: a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b+ c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 + c3 - 3abc - 3a2b - 3ab2 = (a + b+ c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b+ c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab] = (a + b+ c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca). (đpcm) b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3) = (b + c)([(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[(a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a). (đpcm) Bài tập 2: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Giải Từ x + y + z = 0. Suy ra: z = x(x + y). Ta cĩ: x5 + y5 + z5 = x5 + y5 - (x + y)5 = -5(x4y + 2x3y2 + xy4) = -5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = -5xy[(x + y)(x2 + y2 - xy) + 2xy(x + y)] = -5xy(x + y)(x2 + y2 + xy) (1) và x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + (x + y)2 = 2(x2 + y2 + xy) (2) mà x7 + y7 + z7 = x7 + y7 - (x + y)7 = -7(x6y + 3x5y2 + 5x4y3 + 5x3y4 + 3x2y5 + xy6) = -7xy(x + y)(x2 + y2 + xy) (3) Từ (1), (2) và (3) ta cĩ điều phải chứng minh. c) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a) a3 + b3 + c3 = 3abc. b) 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2. Bài tập 2: Chứng minh các hằng đẳng thức sau: a) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 b) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu các số a, b, c thỏa mãn: a4 + b4 + (a - b)4 = c4 + d4 + (c - d)4 thì a2 + b2 + (a - b)2 = c2 + d2 + (c - d)2 Bài tập 4: Cho a3 - 3ab2 = 19, b3 - 3a2b = 98. Tính P = a2 + b2. Bài tập 5: Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a2 - 3ab + 2b2 + a - b = a2 - 2ab + b2 - 5a + 7b = 0. Chứng minh rằng: ab - 12a + 15b = 0. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 36
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 6: Khai triển biểu thức: a4 + (a + b)4 thành dạng 2K + 1 và phân tích K thành tích các thừa số. Bài tập 7: a) Chứng minh đẳng thức: x + y + |x - y| = max{x, y}, với x, y R. a+b a-b2 a+b a-b 2  111 b) Chứng minh đẳng thức: + - + + + = 4max  , , ab ab c ab ab c  a b c với a, b, c ≠ 0. Bài tập 8: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: Đa thức x3n+1 + x2n + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1. Bài tập 9: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). (Đề thi HSG tỉnh năm học 2005 - 2006) Bài tập 10: Cho a2 - b2 = 4c2. Chứng minh rằng: (5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)2. 2. Biến đổi hữu tỷ a. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Sử dụng các biến đổi thơng thường để đưa đến kết luận theo yêu cầu bài tốn. Vận dụng giả thiết để chọn hướng giải nhanh và chính xác. Đối với các bài tốn cĩ số mũ bậc n của các hạng tử, cĩ thể sử dụng phương pháp quy nạp. Lưu ý: Đây là kiến thức cần thiết để chứng minh các bất đẳng thức hay tìm GTLN, GTNN. b) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 1 1 1 + + = + + a2 b 2 c 2 a b c Giải Ta cĩ: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + =2 + 2 + 2 + 2 + + abc a b c abbcca 1 1 1 2 a + b + c =2 + 2 + 2 + a b c abc 1 1 1 = + + . a2 b 2 c 2 Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau thì: b-c c-a a-b 2 2 2 + + = + + a-b a-c b-c b-a c-a c-b a-b b-c c-a Giải Biến đổi vế trái: b - c c - a a - b a-c-a-b b-a-b-c c-b-c-a + + = + + a-b a-c b-c b-a c-a c-b a-b a-c b-c b-a c-a c-b 1 1 1 1 1 1 = - + - + - a-b a-c b-c b-a c-a c-b 2 2 2 = + + a - b b - c c - a c) Bài tập tự luyện: 1 1 1 Bài tập 1: Cho xyz = 1. Chứng minh rằng: + + =1 1+x+xy 1+y+yz 1+z+zx Bài tập 2: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện: a c a + c = = , a.c 0. Chứng minh rằng: b2 = d2. b d 3b -d 1 1 1 Bài tập 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + = b + = c + b c a Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 37
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com a) Cho a = 1. Tính b, c. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đơi một khác nhau thì a2b2c2 = 1. c) Chứng minh rằng nếu a, b, c dương thì a = b = c. Bài tập 4: a + b b + c c + a a) Cho a, b, c thỏa abc ≠ 0 và ab + bc + ca = 0. Tính P= . abc a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 b) Cho a, b, c thỏa (a + b)(b + c)(c + a) ≠ 0 và + + = + + . a+b b+c c+a b+c c+a a+b Chứng minh rằng: a = b = c. 1 1 Bài tập 5: Cho x > 0 thỏa điều kiện: x2 + = 7 . Tính giá trị của biểu thức P = x5 + . x2 x5 x44 y 1 Bài tập 6: Cho a, b, x, y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 = 1 và += . a b a + b x2006 y 2006 1 Chứng minh rằng: += . ab1003 1003 a + b 1003 ac - b22 bd -c Bài tập 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn b ≠ c và = = k. a-2b+c b-2c+d ad - bc Chứng minh: k= . a - b -c + d Bài tập 8: Cho a, b, c là các số thực đơi một khác nhau và khác 0, thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. a b c b-cc-aa-b Chứng minh rằng: + + + + = 9. b-cc-aa-b a b c 1 1 1 1 1 1 Bài tập 9: Đơn giản biểu thức: 3 3 3 ++ 4 2 2 5 a + b a + b a + b a + b a + b a + b ab Bài tập 10: Chứng minh rằng nếu: (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì = . xy Bài tập 11: Chứng minh rằng nếu: (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 và x, y, z khác 0 a b c thì ==. x y z ab2 ab - 2 Bài tập 12: Cho a, b, khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: += b3 -1 a 3 -1 a 2 b 2 +3 3. Biến đổi vơ tỷ a. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức để biến đổi. Một số bằng liên quan đến căn bậc n, cĩ thể sử dụng phương pháp quy nạp để đưa đến kết luận theo yêu cầu bài tốn. Giống các bài tốn rút gọn. b) Bài tập áp dụng: 4449 20 60 49 20 60 Bài tập 1: Chứng minh đẳng thức: 3 2 Giải 22 44 4449 + 20 60 + 49- 20 60 5+ 2 6 + 5- 2 6 VT 1 = = 22 44 44 3 + 2 + 3 - 2 = 2 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 38
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 3 + 2 + 3 - 2 = = 2 3 2 a22 - a a + a 2 Bài tập 2: Cho a 0. Chứng minh rằng: - + a +1= a -1 22 a + a +1 a - a +1 Giải Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ: a = x 0 c) Bài tập tự luyện: 1 1 1 Bài tập 1: Cho a, b > 0 và c ≠ 0. Chứng minh rằng: 0 a b a c b c a b c Bài tập 2: Chứng minh rằng các số sau là số nguyên: 2 3+ 5- 3+ 48 a) A= 6 + 2 48 48 b) B 33 1 1 99 Bài tập 3: Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng nếu x khơng phải là số chính phương thì x là số vơ tỉ. Bài tập 4: Chứng minh rằng số α= 2+ 2+ 3- 6-32+ 3 là một nghiệm của phương trình x4 - 16x2 + 32 = 0. ax3 by 3 cz 3 2 2 2 Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu 1 1 1 thì 3 ax by cz 3 a 3 b 3 c . 1 x y z Bài tập 6: Chứng minh rằng nếu 3a 3 b 3 c 3 a b c thì với số nguyên dương lẻ n ta cĩ na n b n c n a b c . Bài tập 7: Cho xy 1 x22 1 y a Tính S x 1 y22 y 1 x . 2 a1 Bài tập 8: Cho a > 0 và 4aa 2 2 0. Chứng minh rằng: 2 a42 a 1 a Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 39
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 9 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 1. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Thơng thường để giải dạng tốn này ta phải rút gọn trước. Sau đĩ thay các giá trị của biến vào và tính tốn. Áp dụng một số tính chất của các biểu thức, phân thức, hằng đẳng thức để phân tích bài tốn. 2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức: M = 136 7260 Giải Ta cĩ: 2 M = 136 7260 112 2.11. 15 15 11 15 Vậy: M = 11 + 15 Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức: M = 8 2 15 8 2 15 Giải Ta cĩ: 2 2 2 2 M 8 2 15 8 2 15 3 2. 3. 5 5 3 2. 3. 5 5 5 3 5 3 2 3 Vậy: M = - 2 3 Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức: N = 5 3 29 12 5 Giải Ta cĩ: 2 N 5 3 29 12 5 5 3 5 3 5 6 2 5 2 5 1 2 5 5 5 5 1 1 Vậy: N = 1 Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức: Q = 2x 1 2 x2 x 2x 1 2 x2 x tại x = 4: Giải Ta cĩ: Q 2x 1 2 x 2 x 2x 1 2 x 2 x x 1 2 x(x 1) x x 1 2 x(x 1) x x x 1 x x 1 2 x Thay x = 4, ta được: Q = 4. 1 Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức: M = 48 -2 75 + 108 - 147 7 Giải Ta cĩ: 1 M = - + - = 16.3 -2 25.3 + 36.3 - 49.3 7 = 4 3 -10 3 + 6 3 - = - 3 x x 3x 1 x2 (3 x) Bài tập 6: Tính giá trị của biểu thức: S = x tại x = 10. x 1 Giải Ta cĩ: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 40
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 3 2 3 x x 3x 1 x 2 (3 x) 3 x 3 x .x 3 x.x 2 x3 S x x x 1 x 1 3 3 x x x x x x 1 x x x x x 0 x 1 x 1 x 1 Vậy: S = 0 Bài tập 7: Tính giá trị của biểu thức: M = 4 x 1 28 x 1 (với x > 1), tại x = 256. Giải Ta cĩ: 2 M = 4 x 1 28 x 1 8 x 1 1 8 x 1 1 8 x Vậy: M = 2. c) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho các số thực dương a và b thoả mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Hãy tính giá trị của biểu thức: P = a2004 + b2004. 1 1 1 ab bc ca Bài tập 2: Cho + + = 0. Tính giá trị của biểu thức: S = + + . a b c c2 a 2 b 2 Bài tập 3: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. a b c Tính giá trị của biểu thức: S = 1+ 1+ 1+ b c a Bài tập 4: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: A = a4 + b4 + c4. Bài tập 5: Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức: B = (x - 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. Bài tập 6: Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của biểu thức: C = a2 + b9 + c1945. Bài tập 7: Tính giá trị của biểu thức: a) A = x4 - 17x3 + 17x2 - 1x + 20 tại x = 16. b) B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14. c) C = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 tại x = 9. d) D = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x12 + - 8x2 + 8x - 5 tại x = 7. Bài tập 8: Tính giá trị của biểu thức: a) A = x3(x2 - y2) + y2(x3 - y3) với x = 2; |y| = 1. b) B = M.N với |x| = 2. Biết rằng: M = -2x2 + 3x + 5; N = x2 - x + 3 Bài tập 9: Cho a3 - 3ab2 = 19 và b3 - 3a2b = 98. Hãy tính: E = a2 + b2. 81 1 36 1+ 14641 1- 14641 Bài tập 10: Tính giá trị của biểu thức: A = + + + + 121 121 81 122 120 52 Đáp số: A = 33 1296 Bài tập 11: Tính giá trị của biểu thức: N = 243 + 363 + - 3072 3 Bài tập 12: Tính giá trị của biểu thức: Q = x 1 23 x x 3x 3 x 1 , tại x = 5 Đáp số: Q = 5 +1 Bài tập 13: Tính giá trị của biểu thức sau: T = 72 98 32 50 Đáp số: T = 0. 5 + 23 17 5 -38 1 Bài tập 14: Cho biểu thức sau: P = Đáp số: P = 5 + 14 - 6 5 3 Bài tập 15: Tính giá trị của biểu thức: G = 6 25 4 6 3 1 2 6 3 1 2 6 Đáp số: G = 0. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 41
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com 3 2 1 Bài tập 16: Tính giá trị của biểu thức: E = 3 2 1 .3 Đáp số: E = 1. 3 Bài tập 17: Tính giá trị của biểu thức: M = 6 2 5 6 2 5 . Đáp số: M = 2 4 n x 42n x Bài tập 18: Tính giá trị của biểu thức: L = 2n x 1 tại x = 2. Đáp số: L = 2. n x 2 1 2 Bài tập 19: Tính giá trị của biểu thức: Q = n x. 1 tại x = 2n. Đáp số: Q = 3. n x 2 n x Bài tập 20: Tính giá trị của biểu thức sau: A = 364+ 3 27+2+ 3 64- 3 27-1 Đáp số: A = 3. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 42
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. CHUYÊN ĐỀ 10 TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂU THỨC 1. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Ax Để tìm giá trị x nguyên sao cho biểu thức (trong đĩ A(x), B(x) là những đa thức) nhận giá Bx trị nguyên, ta làm như sau: A x Q x Biến đổi Px , Deg Q(x) < Deg B(x). Dẫn đến tìm số nguyên a sao cho Q(a) B x B x chia hết cho B(a). 2. Bài tập áp dụng: 2n 5 Bài tập 1: Tìm số nguyên n sao cho biểu thức là số nguyên. n2 Giải 2n 5 1 Ta cĩ: 2 n 2 n 2 1 Để biểu thức là số nguyên thì phải là số nguyên. Vì 2 là số nguyên. n2 Do đĩ: n + 2 phải là ước của 1. Suy ra: n + 2 = 1 n = -1. n + 2 = -1 n = -3. n6 6n 10 Bài tập 2: Tìm số nguyên n sao cho biểu thức là số nguyên. n3 Giải 2 n2 6n 11 n 3 2 2 Ta cĩ: n3 n 3 n 3 n 3 2 Biểu thức trên cĩ giá trị nguyên khi là số nguyên. n3 Do đĩ: n + 3 phải là ước của 2. Hay n + 3 = 2; n + 3 = -2; n + 3 = 1; n + 3 = -1 Vậy n = -1; -5; -2; - 4. x15 Bài tập 3: Tìm sơ nguyên x sao cho biểu thức nhận giá trị nguyên. x13 Giải 2 3 2 x52 1x x 1 x 1 x 1 x 1 Ta cĩ: xx22 x3 1 x 3 1 x 3 1 x 2 x 1 x1 Biểu thức nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên với x nguyên. x2 x 1 x x 1 1 Suy ra: 1 cũng nhận giá trị nguyên. x22 x 1 x x 1 (Vì một số nguyên thì nhân thêm một số nguyên x là một số nguyên). Do đĩ: Xét: x2 x 1 = 1 x(x - 1) = 0 hay x = 0 hoặc x = 1. Xét: x2 x 1 = - 1 x2 - x + 2 = 0 (Phương trình này vơ nghiệm). Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 43
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Vậy giá trị x nguyên cần tìm là x = 0; 1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Bài tập 4: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta cĩ số: 2 k1 n k 23 là một số nguyên dương. Giải Ta cĩ thể viết: 2 k 1 k2 2k 1 k 23 k 21 484 484 n =k - 21+ , k Z k 23 k 23 k 23 k 23 n là một số nguyên khi và chỉ khi k + 23 là ước của 484, k + 23 > 23 Ta cĩ: 484 = 222 = 4.121 = 44.11. k 23 121 k 98 k 23 44 k 21 Với k = 98, ta cĩ: n = 81 Với k = 21, ta cĩ n = 11. Vậy cĩ hai giá trị k nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của bài tốn là k = 98 và k = 21. Giá trị lớn nhất của k là 98. 1 1 1 Bài tập 5: Tìm số nguyên z sao cho là một số nguyên. 2z 3z 4z Giải 1 1 1 6 4 3 13 Ta cĩ: 2z 3z 4z 12z 12z 13 Để biểu thức trên là một số nguyên thì phải là một số nguyên. 12z Hay 12z| 13. Mà 13 = 12.z và z Z. Nên khơng tồn tại vì (12; 13) = 1. Vậy khơng tồn tại z sao cho là một số nguyên. 3. Bài tập tự luyện: 6n 1 Bài tập 1: Tìm số nguyên n sao cho biểu thức 3 là một số nguyên. 2n 1 n2 6n 10 Bài tập 2: Tìm số nguyên âm n sao cho biểu thức là một số nguyên âm. 2n 9 3k2 2k 1 Bài tập 3: Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho biểu thức (2k 1) đạt giá trị nguyên. 3k 1 Bài tập 4: Tìm số nguyên dương n sao cho biểu thức 2n 1 2n 8 cĩ giá trị nguyên. Bài tập 5: Tìm số nguyên m sao cho biểu thức m 1 m 1 đạt giá trị nguyên. 1 1 Bài tập 6: Cho a = x ,x R* , là một số nguyên. Chứng minh rằng số bx 2005 là một x x2005 số nguyên. 11 Bài tập 7: Cho x và y là hai số thực khác 0 sao cho các số: a = x + ; b = y + đều là số yx nguyên. 1 a) Chứng minh rằng số c = x22 y + cũng là một số nguyên. xy22 1 b) Tìm mọi số nguyên dương x, y sao cho số d xnn y là số nguyên. xynn Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 44
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 45
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 10 TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂU THỨC 1. Kiến thức cơ bản: Phương pháp: Ax Để tìm giá trị x nguyên sao cho biểu thức (trong đĩ A(x), B(x) là những đa thức) nhận giá Bx trị nguyên, ta làm như sau: A x Q x Biến đổi Px , Deg Q(x) < Deg B(x). Dẫn đến tìm số nguyên a sao cho Q(a) B x B x chia hết cho B(a). 2. Bài tập áp dụng: 2n 5 Bài tập 1: Tìm số nguyên n sao cho biểu thức là số nguyên. n2 Giải 2n 5 1 Ta cĩ: 2 n 2 n 2 1 Để biểu thức là số nguyên thì phải là số nguyên. Vì 2 là số nguyên. n2 Do đĩ: n + 2 phải là ước của 1. Suy ra: n + 2 = 1 n = -1. n + 2 = -1 n = -3. n6 6n 10 Bài tập 2: Tìm số nguyên n sao cho biểu thức là số nguyên. n3 Giải 2 n2 6n 11 n 3 2 2 Ta cĩ: n3 n 3 n 3 n 3 2 Biểu thức trên cĩ giá trị nguyên khi là số nguyên. n3 Do đĩ: n + 3 phải là ước của 2. Hay n + 3 = 2; n + 3 = -2; n + 3 = 1; n + 3 = -1 Vậy n = -1; -5; -2; - 4. x15 Bài tập 3: Tìm sơ nguyên x sao cho biểu thức nhận giá trị nguyên. x13 Giải 2 3 2 x52 1x x 1 x 1 x 1 x 1 Ta cĩ: xx22 x3 1 x 3 1 x 3 1 x 2 x 1 x1 Biểu thức nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên với x nguyên. x2 x 1 x x 1 1 Suy ra: 1 cũng nhận giá trị nguyên. x22 x 1 x x 1 (Vì một số nguyên thì nhân thêm một số nguyên x là một số nguyên). Do đĩ: Xét: x2 x 1 = 1 x(x - 1) = 0 hay x = 0 hoặc x = 1. Xét: x2 x 1 = - 1 x2 - x + 2 = 0 (Phương trình này vơ nghiệm). Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 46
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Vậy giá trị x nguyên cần tìm là x = 0; 1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Bài tập 4: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta cĩ số: 2 k1 n k 23 là một số nguyên dương. Giải Ta cĩ thể viết: 2 k 1 k2 2k 1 k 23 k 21 484 484 n =k - 21+ , k Z k 23 k 23 k 23 k 23 n là một số nguyên khi và chỉ khi k + 23 là ước của 484, k + 23 > 23 Ta cĩ: 484 = 222 = 4.121 = 44.11. k 23 121 k 98 k 23 44 k 21 Với k = 98, ta cĩ: n = 81 Với k = 21, ta cĩ n = 11. Vậy cĩ hai giá trị k nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của bài tốn là k = 98 và k = 21. Giá trị lớn nhất của k là 98. 1 1 1 Bài tập 5: Tìm số nguyên z sao cho là một số nguyên. 2z 3z 4z Giải 1 1 1 6 4 3 13 Ta cĩ: 2z 3z 4z 12z 12z 13 Để biểu thức trên là một số nguyên thì phải là một số nguyên. 12z Hay 12z| 13. Mà 13 = 12.z và z Z. Nên khơng tồn tại vì (12; 13) = 1. Vậy khơng tồn tại z sao cho là một số nguyên. 3. Bài tập tự luyện: 6n 1 Bài tập 1: Tìm số nguyên n sao cho biểu thức 3 là một số nguyên. 2n 1 n2 6n 10 Bài tập 2: Tìm số nguyên âm n sao cho biểu thức là một số nguyên âm. 2n 9 3k2 2k 1 Bài tập 3: Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho biểu thức (2k 1) đạt giá trị nguyên. 3k 1 Bài tập 4: Tìm số nguyên dương n sao cho biểu thức 2n 1 2n 8 cĩ giá trị nguyên. Bài tập 5: Tìm số nguyên m sao cho biểu thức m 1 m 1 đạt giá trị nguyên. 1 1 Bài tập 6: Cho a = x ,x R* , là một số nguyên. Chứng minh rằng số bx 2005 là một x x2005 số nguyên. 11 Bài tập 7: Cho x và y là hai số thực khác 0 sao cho các số: a = x + ; b = y + đều là số yx nguyên. 1 a) Chứng minh rằng số c = x22 y + cũng là một số nguyên. xy22 1 b) Tìm mọi số nguyên dương x, y sao cho số d xnn y là số nguyên. xynn Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 47
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 48
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. CHUYÊN ĐỀ 11 SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Kiến thức cơ bản: 2 Giả sử phương trình bậc hai: f(x) = ax + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2, (a ≠ 0). Theo định lý Vi-ét, ta cĩ: b S = x + x = - 12 a c P = x x = 12 a Dạng tốn: Dạng 1: Tồn tại số thỏa mãn x1 < < x2. Biến đổi: x1 - < 0 < x2 - . Đặt: x - = y x = y + . Suy ra: f(y) = a(y + )2 + b(y + ) + c = 0 (*) Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình (*) phải cĩ hai nghiệm trái dấu. P < 0. Dạng 2: Tồn tại số thỏa mãn < x1 < x2. Ta cĩ: < x1 < x2 0 < - x1 < - x2. Đặt: y = - x x = - y. Suy ra: f(y) = a( - y)2 + b( - y) + c = 0 (*) Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình (*) phải cĩ hai nghiệm dương phân biệt 0 S0 P0 Hay cĩ thể dùng cách khác 0 < x1 < x2 af 0 S 0 2 Dạng 3: Tồn tại số thỏa mãn xx12 . Ta cĩ: x1 < x2 < x1 - < x2 - < 0 Đặt: y = x - x = y - . Khi đĩ ta cĩ phương trình: f(y) = a(y - )2 + b(y - ) + c = 0 (*) Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình (*) phải cĩ hai nghiệm âm phân biệt 0 S0 P0 Hay ta cĩ thể dùng cách khác: 0 af 0 S 0 2 Dạng 4: Cho hai số: < , f(x) = ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0). xx12  (1) f f  0 xx12  Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 49
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com 0 af 0 xx12 (2) xx  12 af  0 xx12  S  2 2. Bài tập áp dụng: 2 2 Bài tập 1: Tìm m để phương trình: (2m - 1)x + (m - 1)x + m + 2 = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 < 1 < x2. Giải Đặt f(x) = (2m - 1)x2 + (m2 - 1)x + m + 2. Từ giả thiết, ta cĩ: x1 < 1 < x2 x1 - 1 < 0 < x2 - 1. Đặt: x - 1 = y x = y + 1. Suy ra: f(y) = (2m - 1)(y + 1)2 + (m2 - 1)(y + 1) + m + 2 = (2m - 1)y2 + (m2 + 4m - 3)y + m2 + 3m. Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình f(y) = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt trái dấu (2m - 1)(m2 + 3m) < 0 m3 1 0m 2 2 Bài tập 2: Tìm m để phương trình: x - 3x + 2m - 1 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 1 < x1 < x2. Giải Ta cĩ: 1 < x1 < x2 0 < 1 - x1 < 1 - x2. Đặt: y = 1 - x x = 1 - y. Suy ra: f(y) = (1 - y)2 - 3(1 - y) + 2m - 1 = 0 f(y) = y2 - y + 2m - 3 = 0 Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình f(y) = 0 phải cĩ hai nghiệm dương phân biệt 0 2 13 P 1 0 m . 38 S 2m 3 0 Bài tập 3: Cho phương trình: x2 - 2mx + m2 - 1 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình cĩ 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x1 < x2 < 4. Giải Để phương trình cĩ 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x1 < x2 < 4 0 a.f 2 0 S 2 2 x12 x 2 1 m 3 x12 x 4 0 a.f 4 0 S 2 2 Bài tập 4: Chứng minh rằng phương trình: f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0, với a < b < c luơn cĩ hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: a < x1 < b < x2 < c. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 50
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Nhận thấy rằng f(x) là một tam thức bậc hai với hệ số x2 là 3. f(b) = (b - a)(b - c) 0, vì a 0, nên c nằm ngồi [x1; x2] mà c > b nên a < x1 < b < x2 < c. Bài tập 5: Biết 2a + 3b + 6c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Giải 1 1 1 Nếu a = 0 thì 3b + 6c = 0 b. + c = 0. Suy ra x= là nghiệm của phương trình và 0; 1 . 2 2 c 1 Nếu a ≠ 0 thì 2a + 3b + 6c = f(1) + f(0) + 4f = 0. 2 Nhưng f(0), f(1), f khơng thể đồng thời bằng 0. Vì nếu như vậy thì phương trình bậc hai sẽ cĩ 3 nghiệm phân biệt. Điều đĩ chứng tỏ, một trong ba biêut thức f(0), f(1), f phải cĩ hai biểu thức trái dấu. Vậy phương trình luơn cĩ nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 3. Bài tập tự luyện: 2 2 Bài tập 1: Tìm m để phương trình: (m + 4)x + (m - m)x + 2m = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 < -1 < x2. 2 Bài tập 2: Tìm m để phương trình (m + 1)x - (2m - 1)x + m = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: -2 ≤ x1 < x2. Bài tập 3: Cho phương trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0. Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 < x1 < x2 < 6. Bài tập 4: Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0. Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: - 1 < x1 < x2 < 1. Bài tập 5: Cho phương trình: f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chứng minh phương trình trên cĩ nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đĩ tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 cĩ hai nghiệm lớn 2. Bài tập 6: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Với giá trị nào của tham số a thì phương trình cĩ nghiệm kép. Tính các nghiệm kép đĩ. b) Xác định a để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1. Bài tập 7: Cho phương trình: x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m để phương trình cĩ một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình cĩ hai nghiệm nhỏ hơn 2. 2 Bài tập 8: Tìm m để phương trình: x - mx + m = 0 cĩ hai nghiệm thỏa mãn: x1 ≤ -2 ≤ x2. 2 Bài tập 9: Tìm m để phương trình: (m + 1)x + mx + 3 = 0 cĩ hai nghiệm thoả mãn x1 < - 2 < 1 < x2. 2 Bài tập 10: Tìm m để phương trình: x – 2mx + m = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 (-1;3). m Bài tập 11: Tìm m để phương trình: x2 – 2x – 3m = 0 thoả mãn: x 1 x . 2 12 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 51
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 11 SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Kiến thức cơ bản: 2 Giả sử phương trình bậc hai: f(x) = ax + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2, (a ≠ 0). Theo định lý Vi-ét, ta cĩ: b S = x + x = - 12 a c P = x x = 12 a Dạng tốn: Dạng 1: Tồn tại số thỏa mãn x1 < < x2. Biến đổi: x1 - < 0 < x2 - . Đặt: x - = y x = y + . Suy ra: f(y) = a(y + )2 + b(y + ) + c = 0 (*) Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình (*) phải cĩ hai nghiệm trái dấu. P < 0. Dạng 2: Tồn tại số thỏa mãn < x1 < x2. Ta cĩ: < x1 < x2 0 < - x1 < - x2. Đặt: y = - x x = - y. Suy ra: f(y) = a( - y)2 + b( - y) + c = 0 (*) Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình (*) phải cĩ hai nghiệm dương phân biệt 0 S0 P0 Hay cĩ thể dùng cách khác 0 < x1 < x2 af 0 S 0 2 Dạng 3: Tồn tại số thỏa mãn xx12 . Ta cĩ: x1 < x2 < x1 - < x2 - < 0 Đặt: y = x - x = y - . Khi đĩ ta cĩ phương trình: f(y) = a(y - )2 + b(y - ) + c = 0 (*) Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình (*) phải cĩ hai nghiệm âm phân biệt 0 S0 P0 Hay ta cĩ thể dùng cách khác: 0 af 0 S 0 2 Dạng 4: Cho hai số: < , f(x) = ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0). xx12  (1) f f  0 xx12  Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 52
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 0 af 0 xx12 (2) xx  12 af  0 xx12  S  2 2. Bài tập áp dụng: 2 2 Bài tập 1: Tìm m để phương trình: (2m - 1)x + (m - 1)x + m + 2 = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 < 1 < x2. Giải Đặt f(x) = (2m - 1)x2 + (m2 - 1)x + m + 2. Từ giả thiết, ta cĩ: x1 < 1 < x2 x1 - 1 < 0 < x2 - 1. Đặt: x - 1 = y x = y + 1. Suy ra: f(y) = (2m - 1)(y + 1)2 + (m2 - 1)(y + 1) + m + 2 = (2m - 1)y2 + (m2 + 4m - 3)y + m2 + 3m. Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình f(y) = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt trái dấu (2m - 1)(m2 + 3m) < 0 m3 1 0m 2 2 Bài tập 2: Tìm m để phương trình: x - 3x + 2m - 1 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 1 < x1 < x2. Giải Ta cĩ: 1 < x1 < x2 0 < 1 - x1 < 1 - x2. Đặt: y = 1 - x x = 1 - y. Suy ra: f(y) = (1 - y)2 - 3(1 - y) + 2m - 1 = 0 f(y) = y2 - y + 2m - 3 = 0 Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì phương trình f(y) = 0 phải cĩ hai nghiệm dương phân biệt 0 2 13 P 1 0 m . 38 S 2m 3 0 Bài tập 3: Cho phương trình: x2 - 2mx + m2 - 1 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình cĩ 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x1 < x2 < 4. Giải Để phương trình cĩ 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x1 < x2 < 4 0 a.f 2 0 S 2 2 x12 x 2 1 m 3 x12 x 4 0 a.f 4 0 S 2 2 Bài tập 4: Chứng minh rằng phương trình: f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0, với a < b < c luơn cĩ hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: a < x1 < b < x2 < c. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 53
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Nhận thấy rằng f(x) là một tam thức bậc hai với hệ số x2 là 3. f(b) = (b - a)(b - c) 0, vì a 0, nên c nằm ngồi [x1; x2] mà c > b nên a < x1 < b < x2 < c. Bài tập 5: Biết 2a + 3b + 6c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Giải 1 1 1 Nếu a = 0 thì 3b + 6c = 0 b. + c = 0. Suy ra x= là nghiệm của phương trình và 0; 1 . 2 2 c 1 Nếu a ≠ 0 thì 2a + 3b + 6c = f(1) + f(0) + 4f = 0. 2 Nhưng f(0), f(1), f khơng thể đồng thời bằng 0. Vì nếu như vậy thì phương trình bậc hai sẽ cĩ 3 nghiệm phân biệt. Điều đĩ chứng tỏ, một trong ba biêut thức f(0), f(1), f phải cĩ hai biểu thức trái dấu. Vậy phương trình luơn cĩ nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 3. Bài tập tự luyện: 2 2 Bài tập 1: Tìm m để phương trình: (m + 4)x + (m - m)x + 2m = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 < -1 < x2. 2 Bài tập 2: Tìm m để phương trình (m + 1)x - (2m - 1)x + m = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: -2 ≤ x1 < x2. Bài tập 3: Cho phương trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0. Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 < x1 < x2 < 6. Bài tập 4: Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0. Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: - 1 < x1 < x2 < 1. Bài tập 5: Cho phương trình: f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chứng minh phương trình trên cĩ nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đĩ tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 cĩ hai nghiệm lớn 2. Bài tập 6: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Với giá trị nào của tham số a thì phương trình cĩ nghiệm kép. Tính các nghiệm kép đĩ. b) Xác định a để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1. Bài tập 7: Cho phương trình: x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m để phương trình cĩ một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình cĩ hai nghiệm nhỏ hơn 2. 2 Bài tập 8: Tìm m để phương trình: x - mx + m = 0 cĩ hai nghiệm thỏa mãn: x1 ≤ -2 ≤ x2. 2 Bài tập 9: Tìm m để phương trình: (m + 1)x + mx + 3 = 0 cĩ hai nghiệm thoả mãn x1 < - 2 < 1 < x2. 2 Bài tập 10: Tìm m để phương trình: x – 2mx + m = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 (-1;3). m Bài tập 11: Tìm m để phương trình: x2 – 2x – 3m = 0 thoả mãn: x 1 x . 2 12 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 54
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. CHUYÊN ĐỀ 13 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1. Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x). Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D. Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu: f(x) m, với mọi x D Kí hiệu: m max f x hoặc giá trị lớn nhất của y = m. xD Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu: f(x) M, với mọi x D 0 Kí hiệu: M min f x hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M. xD 2. Bài tập áp dụng theo dạng tốn: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Cho biểu thức: f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0). Ta cĩ: f(x) = m - (cx + d)2 hoặc f(x) = M + (ex + f)2, với m, M là hai số thực. Giá trị lớn nhất của f(x): d GTLN f(x) = m, đạt được khi cx + d = 0 x . c Giá trị nhỏ nhất của f(x): f GTNN f(x) = M, đạt được khi ex + f = 0 x e Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x2 + 6x + 10. Giải Ta cĩ: y = 2x2 + 8x + 15 y = 2(x2 + 4x + 4) + 7 y = 2(x + 2)2 + 7 ≥ 7. Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 7, đạt được khi x + 2 = 0 x = -2. Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 5 + 4x - 4x2. Giải Ta cĩ: y = 5 + 4x - 4x2 y = 6 -(1 - 4x + 4x2) y = 6 - (1 - 2x)2 ≤ 6 1 Vậy giá trị lớn nhất của y = 6, đạt được khi 1 - 2x = 0 x . 2 Bài tập 3: Tìm giá trị của m, p sao cho: P = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ. Giải Ta cĩ: P = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p) Đặt: X = m - 2p. Ta cĩ: P = X2 + 10 X + (p - 1)2 + 27 = (X + 5) 2 + (p - 1)2 + 2. Ta thấy (X + 5)2 0; (p - 1)2 0, với mọi m, p. Do đĩ: P ≥ 2. P đạt giá trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p - 1 = 0. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 55
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Giải hệ điều kiện trên ta được: p = 1, m = -3. Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của P = 2, với p = 1, m = -3 Vậy p = 1 và m = -3 là hai giá trị cần tìm. Px Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đƣa về dạng 0 Qx Px hoặc 0, với P(x) và Q(x) là các đa thức cĩ bậc lớn hơn 0. Qx x2 15x 16 Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . 3x Giải x 4 2 23 Ta cĩ P = = , với mọi x > 0 3x 3 2 x4 23 23 Vì x > 0 nên . 3x 3 3 23 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = , đạt được khi x = 4. 3 3x2 6x 10 Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = . x2 2x 3 Giải Tập xác định: D = R. 1 Ta cĩ: P = = 3 + . x 1 2 2 1 1 1 1 Vì nên ta cĩ: P = 3 + 3 + = 3,5. x 1 2 2 2 x 1 2 2 2 Vậy giá trị lớn nhất của P = 3,5, đạt được khi (x + 1)2 = 0 x = -1 xy 2 y2 y2 x 1 Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = . x2y4 2y4 x2 2 Giải 4 y 1 1 1 2 Ta cĩ: P = = , vì x + 2 ≥ 2. y4 1 x2 2 x2 2 2 1 Vậy giá trị lớn nhất của P = , đạt được khi x = 0 và y R. 2 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cơsi. Bất đẳng thức Cơ si (Cauchy): Với hai số thực khơng âm x, y, z, t, ta cĩ: xy xy 2 x y z 3 xyz 3 x y z t 4 xyz 4 Với mọi số thức khơng âm x1, x2, , xn, ta cĩ: x x x 12 n n x x x n 12 n Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn. x12 x xn Đại lượng được gọi là trung bình cộng của các số x1, x2, , xn. n Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 56
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Đại lượng x1 x 2 x n được gọi là trung bình nhân của các số x1, x2, , xn. 8x 2 2 Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = , với x > 0. x Giải 2 Ta cĩ: P = = 8x + . x Ta thấy 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương. Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương là 8x và ta cĩ: 2 8x + 2 8x. 2 16 8. x 1 Dấu bằng xảy ra khi: 8x = x = . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8, đạt được khi x = . 1 Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + , với x > 0. 8x Giải 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương: 2x và , ta cĩ: 8x 1 1 1 P = 2x + 2 2x. 2 1 hay P ≥ 1. 8x 8x 4 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1, đạt được khi 2x = x = . 4 Dạng 4: Tìm GTLN,GTNN bằng phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki (Bouniakovski ) hay cịn gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (C - S). Bất đẳng thức Buanhiakovski: Cho hai dãy số thực a1, a2, , an và b1, b2, , bn. Khi đĩ ta cĩ bất đẳng thức sau: 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 + a2b2 + +anbn) (a1 + a2 + +an )(b1 + b2 + bn ) a a a Dấu bằng xảy ra khi 1= 2 = = n b1 b 2 b n Bài tập 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2 + z2. Biết: x + y + z = 1995. Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số: (1, 1, 1) và (x, y, z) ta cĩ: (x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2) ( x + y + z )2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) 19952 ≤ 3(x2 + y2 + z2), vì x + y + x = 1995. 19952 Từ đĩ, ta cĩ: P = x2 + y2 + z2 . 3 19952 x y z Vậy giá trị nhỏ nhất của P = , đạt được khi x y z 665 . 3 x y z 1995 Bài tập 10: Cho biểu thức: P 2x 4y 5z . Trong đĩ x, y, z là các đại lượng thoả mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 169. Tìm giá trị lớn nhất của P. Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số:(2, 4, 5 ) và (x, y, z), ta cĩ: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 57
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com 2 2 2x 4y 5z 22 42 5 x2 y2 z2 2 Hay P2 22 42 5 x2 y2 z2 , vì x2 + y2 + z2 = 169 nên P2 25.169. x y z Vậy giá trị lớn nhất của P = 65, đạt được khi 2 4 5 . 2 2 2 x y z 169 26 26 52 52 13 5 13 5 Từ đĩ tìm được: x = ; . y = ; . z = ; . 5 5 5 5 5 5 * Lưu ý: a a - Giá trị lớn nhất của A = (với a là số dương) là . fx GTNN cđa f x b b - Giá trị nhỏ nhất của B = (với b là số dương) là . fx GTLN cđa f x 3. Bài tập áp dụng chung: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 - 4x + 7 b) B = 4x2 + 5x - 1 c) C = 25x22 - 20x + 4 + 25x -30x +9 Giải a) Ta cĩ: A = x2 - 4x + 7 = (x - 2)2 + 3 3. Vậy GTNN của A là 3, đạt được khi x - 2 = 0 x = 2. 2 2 5 21 21 b) Ta cĩ: B = 4x + 5x - 1 = 2x . 2 4 4 21 55 Vậy GTNN của B là , đạt được 20xx . 4 24 c) Ta cĩ: 22 C = 25x22 - 20x + 4 + 25x -30x +9 = 5x - 2 + 5x -3 5 5x 2 2 0 ; đạt được khi x= . 2 Và 5 5x 3 2 0 ; đạt được khi x= 3 Với hoặc thì GTNN của C = 0. Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của P = x 1- x Giải 2 1 1 1 P = x 1 x x x x 4 2 4 11 Đẳng thức xảy ra khi xx 24 1 1 Do đĩ giá trị lớn nhất của P là đạt khi x= . 4 4 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 58
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 1 Bài tập 3: Tìm giá trị của x để biểu thức cĩ giá trị lớn nhất. x2 - 2 2x +5 Giải Ta cĩ: 2 x2 2 2 x 5 x 2 3 3 11 xx2 2 2 5 3 1 Khi x = 2 thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất là . 3 Bài tập 4: Với hai số khơng âm x và y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 4009 P=x-2 xy+3y-2 x+ 2 Giải Đặt: x = a, y = b , với a, b 0, ta cĩ: P = a2 - 2ab + 3b2 - 2a + 2004,5 = a2 - 2(b+ 1)a + 3b2 + 2004,5 = a2 - 2(b + 1)a + (b + 1)2 + 2b2 - 2b + 2003,5 2 2 11 a b 1 2 b b 2003 , 5 42 2 2 1 a b 1 2 b 2003 2003 2 2 2 1 Vì ab 10 và b 0 ,  a, b . 2 3 ab 1 a 2 P = 2003 khi 1 b 0 1 2 b 2 39 xx 24 Vậy GTNN của P = 2003 đạt được khi . 11 yy 24 6 Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . xx2 24 Giải Ta cĩ: x2 - 2x + 4 = (x -1)2 + 3 3. 61 Do đĩ: 62. xx2 2 4 3 Dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 x = 1. Vậy GTLN của là 3. 10 Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . xx2 49 Giải Ta cĩ: -x2 + 4x - 9 = -5 - (x - 2)2 - 5. 10 10 Do đĩ: 2 . xx2 4 9 5 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 2 = 0 x = 2. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 59
.:: CHUYÊN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com 10 Vậy GTNN của biểu thức là -2. xx2 49 8x2 -50x + 79 Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . x2 -6x +9 Giải Ta cĩ: 2 8x2 -50x + 79 8 x - 6x + 9 - 2 x -3 +1 = x2 - 6x + 9 x -3 2 22 1 1 1 1 = 8- 2. + = - 2. +1+ 7 x-3 x-3 x-3 x-3 2 1 = -1 + 7 ³ 7 x -3 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 0 x 3 1 x 4 . x 3 Vậy GTNN của biểu thức là 7. 83x Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A . 41x2 Giải A(4x2 + 1) = 8x + 3 4Ax2 - 8x + A - 3 = 0. Ta cĩ: = 82 - 4.4A.(A - 3) = 0. A2 - 3A - 4 = 0 A = -1, A = 4. Giá trị nhỏ nhất là của A là -1 đạt được khi x = -1 và giá trị lớn nhất của A là 4 đạt được khi x = 1 . 4 Bài tập 9: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x + y. Giải Ta cĩ: (x + y)2 2(x2 + y2) = 2 M2 2 2 M 2 2 Suy ra Min M = - 2 , đạt được khi x = y = - 2 Bài tập 10: Cho x, y, z là ba số khơng âm thoả mãn: xy + yz + zx = 100. Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz. Giải Ta cĩ: P 0. Xét 100 = xy + yz + zx 33 xy.yz.zx 3 3 22 100 100 3 P P 3 100 100 P 33 100 100 Suy ra: maxP = , đạt được xy = yz = zx. 33 Bài tập 11: Cho biểu thức y = x - x -1993 (với x > 1993). Tìm giá trị nhỏ nhất của y. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 60