Công thức Hình học Lớp 12 - Chủ đề 1: Khối đa diện và thể tích khối đa diện

Nội dung text: Công thức Hình học Lớp 12 - Chủ đề 1: Khối đa diện và thể tích khối đa diện

1. CHỦ ĐỀ 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta cú: B A  BC 2 = AB 2 + AC 2  AH.BC = AB.AC  AB 2 = BH.BC, AC 2 = CH.CB 1 1 1 2  2 = 2 + 2 , AH = HB.HC B H M C AH AB AC  2AM = BC 2. Cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc thường: a. Định lý cosin: A b2 + c2 - a2 * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ị cosA = 2bc 2 2 2 b 2 2 2 a + c - b c * b = a + c - 2ac cosB ị cosB = 2ac a2 + b2 - c2 a * c2 = a2 + b2 - 2abcosC ị cosC = B C 2ab b. Định lý sin: A a b c = = = 2R c b sin A sin B sinC R (R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp B a C ABC) Cụng thức tớnh diện tớch tam giỏc: A 1 1 1  S = a.h = b.h = c.h DABC 2 a 2 b 2 c 1 1 1 c b  S = absinC = bc sin A = ac sin B DABC 2 2 2 abc  S = , S = p.r DABC 4R DABC B a C  p p p a p b p c p - nửa chu vi r - bỏn kớnh đường trũn nội tiếp
2. d.Cụng thức tớnh độ dài đường trung tuyến: A AB 2 + AC 2 BC 2 * AM 2 = - K N 2 4 BA2 + BC 2 AC 2 * BN 2 = - B C 2 4 M CA2 + CB 2 AB 2 * CK 2 = - 2 4 3. Định lý Thales: A AM AN MN * MN / / BC ị = = = k AB AC BC 2 M N S ổAM ử * DAMN = ỗ ữ = k2 ỗ ữ SDABC ốAB ứ B C (Tỉ diện tớch bằng tỉ bỡnh phương đồng dạng) 4. Diện tớch đa giỏc: B a. Diện tớch tam giỏc vuụng: 1 ị S = AB.AC DABC 2  Diện tớch tam giỏc vuụng bằng ẵ tớch 2 cạnh A C gúc vuụng. b. Diện tớch tam giỏc đều: B ùỡ a2 3 . 23 ù S =  Diện tớch tam giỏc đều: S = (cạnh) ù DABC D đều ù 4 4 a ị ớ h ù a 3 (cạnh) . 3 ù h =  Chiều cao tam giỏc đều: h = A C ợù 2 D đều 2 c. Diện tớch hỡnh vuụng và hỡnh chữ nhật: A B ùỡ S = a2 ù HV  Diện tớch hỡnh vuụng bằng cạnh bỡnh phương. a ị ớ O ù AC = BD = a 2 ợù  Đường chộo hỡnh vuụng bằng cạnh nhõn 2 . D C  Diện tớch hỡnh chữ nhật bằng dài nhõn rộng. A D d. Diện tớch hỡnh thang: (AD + BC ).AH 1 ị S = S Hỡnh Thang = .(đỏy lớn + đỏy bộ) x chiều cao 2 2 B H C
3. e. Diện tớch tứ giỏc cú hai đường chộo vuụng B gúc: 1 A C ị S = AC.BD  Diện tớch tứ giỏc cú hai đường chộo vuụng gúc H .Thoi 2 nhau bằng ẵ tớch hai đường chộo.  Hỡnh thoi cú hai đường chộo vuụng gúc nhau D tại trung điểm của mỗi đường. 6.Hỡnh chúp đều: 1. Định nghĩa: Một hỡnh chúp được gọi là hỡnh chúp đều nếu cú đỏy là một đa giỏc đều và cú chõn đường cao trựng với tõm của đa giỏc đỏy. Nhận xột: S  Hỡnh chúp đều cú cỏc mặt bờn là những tam giỏc cõn bằng nhau. Cỏc mặt bờn tạo với đỏy cỏc gúc bằng nhau.  Cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp đều tạo với mặt đỏy cỏc gúc bằng nhau. 2. Hai hỡnh chúp đều thường gặp: A C O a. Hỡnh chúp tam giỏc đều: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC . B ĐỏyABC là tam giỏc đều.  Cỏc mặt bờn là cỏc tam giỏc cõn tại S .  Chiều cao: SO .  Gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy: SãAO = SãBO = SãCO .  Gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy: SãHO . 2 1 AB 3  Tớnh chất: AO = AH, OH = AH, AH = . 3 3 2 S Lưu ý: Hỡnh chúp tam giỏc đều khỏc với tứ diện đều. Tứ diện đều cú cỏc mặt là cỏc tam giỏc đều. Tứ diện đều là hỡnh chúp tam giỏc đều cú cạnh I bờn bằng cạnh đỏy. A D b. Hỡnh chúp tứ giỏc đều: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABCD . O B C ĐỏyABCD là hỡnh vuụng.  Cỏc mặt bờn là cỏc tam giỏc cõn tại S .  Chiều cao: SO .  Gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy:SãAO = SãBO = SãCO = SãDO .  Gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy: SãHO .
4. 7.Thể tớch khối đa diện: S 1 1. Thể tớch khối chúp: V = B.h 3 D B : Diện tớch mặt đỏy. A O h : Chiều cao của khối chúp. B C A C A C 2. Thể tớch khối lăng trụ: V = B.h B B B : Diện tớch mặt đỏy. A C A C h : Chiều cao của khối chúp. ’ ’ ’ B B ’ Lưu ý: Lăng trụ đứng cú chiều cao ’ ’ cũng là cạnh bờn. c a 3. Thể tớch hỡnh hộp chữ nhật: V = a.b.c a a b a ị Thể tớch khối lập phương: V = a3 V SAÂ SBÂ SC Â S 4. Tỉ số thể tớch: S.AÂB ÂC Â = . . VS.ABC SA SB SC A’ B’ 5. Hỡnh chúp cụt ABC.A B C C’ h V = B + BÂ+ BBÂ A B 3( ) Với B,BÂ,h là diện tớch hai đỏy và C chiều cao.