Công thức toán ôn thi Tốt nghiệp THPT năm 2020 - Vũ Duy Đạt

Nội dung text: Công thức toán ôn thi Tốt nghiệp THPT năm 2020 - Vũ Duy Đạt

1. CƠNG THỨC TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT 2020 Giáo viên: VŨ DUY ĐẠT Chủ đề Cơng thức 1 Tổ hợp, xác suất Tổ hợp: 1. Quy tắc cộng Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này cĩ m cách thực hiên, hành động kia cĩ n cách thực hiên khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đĩ cĩ m + n cách thực hiện. 2. Quy tắc nhân Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp.Nếu cĩ m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách thực hiện hành động thứ hai thì cơng việc đĩ cĩ m.n cách thực hiện. ` Xác suất: 1. Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên là hành động mà kết quả của nĩ khơng đốn trước được. Tuy nhiên cĩ thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử đĩ. 2. Khơng gian mẫu: Ký hiệu  : Là tập hợp các kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử (Tập hợp viết bằng dạng liệt kê) 3. Biến cố: Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu (Là khả năng nào đĩ xảy ra khi thực hiện phép thử) 4. Xác suất: Xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A), được tính bởi cơng thức: 1
2. Với n  là số phần tử của khơng gian mẫu (Số cách chọn k phần tử bất kỳ trong tổng số các phần tử) nA là số phần tử của biến cố A (Số cách chọn trường hợp xảy ra của A) 2 Dãy số, CSC,CSN DÃY SỐ 1. Phương pháp quy nạp tốn học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với nk 1 Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với np ; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với 2. Dãy số uR:N* Dạng khai triển: (un) = u1, u2, , un, n u() n 3. Dãy số tăng, dãy số giảm (un) là dãy số tăng un+1 > un với  n N*. un 1 un+1 – un > 0 với  n N* 1 với n N* ( un > 0). un (un) là dãy số giảm un+1 0). un 4. Dãy số bị chặn * *unn là dãy bị chặn trên  M R : u M,  n N * *unn là dãy bị chặndưới  m R : u m,  n N * *unn là dãy bị chặn  M,m R : m u M,  n N CẤP SỐ CỘNG 2
3. 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: cơng sai) 2. Số hạng tổng quát: un u1 ( n 1) d với n 2 uu 3. Tính chất các số hạng: u kk 11với k 2 k 2 n() u u n2 u ( n 1) d 4. Tổng n số hạng đầu tiên: S u u u 1 n = 1 nn12 2 2 CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: (un ) là cấpsố nhân u n 1 u n .q(qlà công bội) n 1 2. Số hạng tổng quát: un u1. q với n 2 2 3. Tính chất các số hạng: uk u k 11. u k với k 2 Sn nu1 với q 1 4. Tổng n số hạng đầu tiên:  n  uq1(1 ) Sn với q 1  1 q 3 Quan hệ vuơng gĩc 1. Định nghĩa: d( ) d  a ,  a  ( ) da db 2. Điều kiện để đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng: d () ab,() a b I 3. Tính chất:  Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuơng gĩc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đĩ. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 4. Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng:  Nếu d vuơng gĩc với thì gĩc giữa d và là 900 .  Nếu khơng vuơng gĩc với thì gĩc giữa và là thì gĩc giữa và d ' với là hình chiếu của d trên .  Chú ý: gĩc giữa và là thì 000 90 . 5. Gĩc giữa hai mặt phẳng: a   Nếu thì gĩc giữa hai mặt phẳng và  là gĩc giữa hai đường thẳng a và b. b   3
4. a d,() a  Giả sử ()()  d . Từ điểm Id , dựng thì gĩc giữa hai mặt phẳng và  là gĩc giữa b d,() b  hai đường thẳng a và b . 00  Chú ý: Gọi gĩc giữa hai mặt phẳng và  là thì 0 ;90 . 6. Diện tích hình chiếu của một đa giác: Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu vuơng gĩc của đa giác ℋ lên  . Khi đĩ SS' .cos với là gĩc giữa hai mặt phẳng và  . 7. Hai mặt phẳng vuơng gĩc: 0 Nếu hai mặt phẳng vuơng gĩc mặt phẳng  thì gĩc giữa hai mặt phẳng và bằng 90 . a  () Điều kiện để hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau: ()()  a  () Khoảng cách: ① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng M Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH , với H là hình chiếu của a M trên đường thẳng a . Kí hiệu: d M, a MH . M ② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là MH , với H là hình chiếu của M H trên mặt phẳng . Kí hiệu: d M, MH . M b ③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia. a M d a,, b d M b MH M a ④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ H M một điểm bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng : A B a d a,, d M MH M a ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. H Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt  K 4
5. phẳng này đến mặt phẳng kia. d, d a , d A, AH a , A a ⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ab, và cùng vuơng gĩc với mỗi đường thẳng ấy gọi là đường vuơng gĩc chung của ab, . IJ gọi là đoạn vuơng gĩc chung của ab, . c I a  J b Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ. 4 Ứng Đơn điệu Cĩ 2 hướng các em hs cần nắm vững: dụng Hướng 1: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. của Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên K đạo hàm + Nếu fx'0 với mọi xK và fx'0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xK thì hàm số f đồng biến trên K . + Nếu fx'0 với mọi xK và fx'0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xK thì hàm số f nghịch biến trên K . Chú ý: ax b d Đối với hàm phân thức hữu tỉ y x thì dấu "" khi xét dấu đạo hàm y khơng xảy ra. cx d c Hướng 2: Giúp hs nhìn bảng biến thiên (hoặc bảng dấu y’) mà trả lời. Cực trị Quy tắc 1: Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm fx . Bước 2: Tìm các điểm xi i 1;2; mà tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng cĩ đạo hàm. Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu fx . Nếu fx đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi . Quy tắc 2: Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm fx . 5
6. Bước 2: Tìm các nghiệm xi i 1;2; của phương trình fx 0. Bước 3: Tính fx và tính fx i . x .  Nếu fx i 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm i Nếu fx 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm i xi . GTLN,NN 1. Định nghĩa. Cho hàm số y f x xác định trên tập D. f(), x M  x D Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x D,() f x M 00 Kí hiệu: M max f ( x ) . xD f(), x m  x D Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu: . x D,() f x m 00 Kí hiệu: m min f ( x ) . xD 2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN 2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp Bước 1: Tính fx và tìm các điểm x12, x , , xn D mà tại đĩ fx 0 hoặc hàm số khơng cĩ đạo hàm. Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đĩ suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Bước 1: Hàm số đã cho y f x xác định và liên tục trên đoạn ab;. Tìm các điểm x12, x , , xn trên khoảng ab; , tại đĩ fx 0 hoặc fx khơng xác định. Bước 2: Tính f a , f x12 , f x , , f xn , f b . Bước 3: Khi đĩ: maxfx maxfx, fx , , fx , fafb , .  12 n  ab, minfx minfx, fx , , fx , fafb , .  12 n  ab, 2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng Bước 1: Tính đạo hàm fx (). Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm xi (;) a b của phương trình fx ( ) 0 và tất cả các điểm i (;)ab làm cho fx () 6
7. khơng xác định. Bước 3. Tính A lim f ( x ), B lim f ( x ), fx()i , f() i . xa xb Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f ( x ), m min f ( x ) . (;)ab (;)ab Ghi chú: A, B khơng thể là GTLN hay GTNN được. Vậy khi so sánh mà số lớn nhất (nhỏ nhất) rơi vào A, B, thì ta kết luận hàm số khơng cĩ giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). min f x f a ab; Nếu y f x đồng biến, liên tục trên ab; thì . max f x f b ab; minf ( x ) f b ab; Nếu y f x nghịch biến, liên tục trên ab; thì . maxf ( x ) f a ab; Hàm số liên tục trên một khoảng cĩ thể khơng cĩ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đĩ Tiệm cận 1. Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y f() x xác định trên một khoảng vơ hạn (là khoảng dạng ab;,; hoặc ; ). Đường thẳng yy 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f() x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: limf ( x ) y , lim f ( x ) y xx 00 2. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng xx 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f() x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: limf ( x ) , lim f ( x ) , limf ( x ) , lim f ( x ) x x00 x x x x00 x x ax b a 3. Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y c 0; ad bc 0 luơn cĩ tiệm cận ngang là y và tiệm cx d c d cận đứng x . c Khảo sát, 1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức đồ thị 1.1. Hàm số bậc ba y ax32 bx cx d a 0 TRƯỜNG HỢP a 0 a 0 7
8. Phương trình y/ 0 y y cĩ 1 1 2 nghiệm phân biệt O 1 x 1 O x y Phương trình y/ 0 y cĩ nghiệm kép 1 1 1 O x 1 O x Phương trình y/ 0 y y vơ nghiệm 1 O 1 1 x 1 O x 1.2. Hàm số trùng phương y ax42 bx c a 0 TRƯỜNG HỢP a 0 a 0 Phương trình y/ 0 y y cĩ 3 nghiệm phân biệt 1 (ab<0) 1 1 1 O x O x 8
9. Phương trình y/ 0 y y cĩ 1 nghiệm. 1 1 O 1 x 1 O x ax b 1.3. Hàm số nhất biến y c 0, ad bc 0 cx d D ad bc 0 D ad bc 0 ()C Cho hàm số y f() x cĩ đồ thị 1 và y g() x cĩ đồ thị ()C2 . Phương trình hồnh độ giao điểm của ()C1 và ()C2 là f( x ) g ( x ) 1 . Khi đĩ: ()C Số giao điểm của ()C1 và 2 bằng với số nghiệm của phương trình 1 . Nghiệm x 0 của phương trình 1 chính là hồnh độ x 0 của giao điểm. Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hồnh độ x 0 vào y f x hoặc y g x . Điểm M x00; y là giao điểm của ()C1 và ()C2 5 Hàm số Hàm số lũy 1. Cơng thức về lũy thừa lũy thừa mũ thừa, loga Với a, b là những số thực dương, m và n là những số thực tùy ý. Khi đĩ ta cĩ: 9
10. hàm số an a. a a n N*0 ; a 1 mũ và n lơgarit m m n m na m n n1 mn m. n a. a a nn a a a a aa n n n nn aa ab a. b n bb 2. Cơng thức liên quan đến căn bậc n m n aa m na. n b n ab n b 0 n a nn amm a an a 0 n b b Chú ý: Trong hai cơng thức đầu, nếu n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 2 thì a, b là số thực bất kì, nếu n là số tự nhiên chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 thì a, b là số thực khơng âm. 3. Cơng thức về lơgarit Với a, b và c là những số thực dương; a 1. Ta cĩ: Định nghĩa Cơng thức tính lơgarit Cơng thức đổi cơ số (b 1) loga b a b . (loga b loga c logb c aa 0; 1 loga b . c log a b log a c loga b cĩ nghĩa khi ) b 0 logab .log b c log a c b log logbc log a a a c log 1 0; loga 1 1 aa 1 log b logaa log c a c logb a loga b 1 a b; loga a logaa bb log log bb log a a Lơgarit thập phân (cơ số 10): logb hay lg b . 1 logbb log logn bb log 1 a Lơgarit tự nhiên là lơgarit cơ số aan a e e 2,718 1 , viết tắt là lnb . 4. Hàm số mũ, hàm số lơgarit x * Hàm số mũ: ya với aa 0, 1. Tập xác định . Tâp giá trị Hàm số đồng biến trên khi a 1, nghịch biến trên khi 0 a 1. 10
11. * Hàm số lơgarit: yx loga với aa 0, 1. Tập xác định . Tâp giá trị . Hàm số đồng biến trên khi a 1, nghịch biến trên khi 0 a 1. Cơng thức lãi kép a) Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi của kì trước. b) Cơng thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r% /kì hạn gửi (cĩ thể là tháng, quý hay năm). ● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là Ar1 n ● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A1 rnn A A 1 r 1 PT mũ loga Phương trình và bất phương trình lơgarit 01 a 01 a a) log f x b b ) log f x log b g ( x ) 0 a b a a f() x a f()() x g x  a 1  a 1   b  0 f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) a c) loga f x log a b d ) log a f x b  01 a  01 a   b  f( x ) g ( x ) 0  f() x a  a 1  b  f() x a e) log f x b a  0 a 1  b  0 f ( x ) a 11
12. BPT mũ Phương trình và bất phương trình mũ loga a) af x a g x 0 a 1 f ( x ) g ( x ); fx a b 0 a 1, b 0 f ( x ) loga b b)af x a g x f ( x ) g ( x ) nếu a 1 hoặc f x g x a a fx( ) gxnếu ( ) 0 a 1 . fx c)a b f ( x ) loga b nếu a 1, b 0 hoặc fx a b fx( ) loga bnếu 0 a 1, b 0 . 6 Nguyê Nguyên n hàm 1. Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số fx xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay hàm,tíc h phân nửa khoảng). Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu F' x f x với mọi và ứng dụng xK . 2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản Hàm cơ bản Hàm hợp  dx x C dx dx 2  2 xC  ax b C x ax b a x 1 1 (ax b ) 1 x dx C,1 ().ax b dx C  1  a 1 1 11 dx ln x C dx ln ax b C  x  ax b a 1 exx dx e C eax b dx e ax b C   a ax amx n ax dx C, 0 a 1 amx n dx C, 0 a 1  ln a  maln 12
13. 1 sinxdx cos x C sin(ax b ) dx cos( ax b ) C   a 1 cosxdx sin x C cos(ax b ) dx sin( ax b ) C   a 1 11 dx x C dx tan( ax b ) C tan  2  cos2 x cos (ax b ) a 1 11 dx cot x C dx cot( ax b ) C  2  2 sin x sin (ax b ) a 3. Phương pháp tính nguyên hàm 3.1. Phương pháp đổi biến số Nếu  f u d u F u C và u u x là hàm số cĩ đạo hàm liên tục thì  f u x u x d x F u x C 1 Hệ quả: Nếu u ax b a 0 thì ta cĩ f ax b d x F ax b C  a 3.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x và v v x cĩ đạo hàm liên tục trên K thì uxvxxuxvx dd uxvxx Hay udd v uv v u Tich phân 4. Tích phân b f()()()() x dx F xb F b F a 4.1. Định nghĩa  a . a 4.2. Tính chất của tích phân a ba a.  f( x )d x 0 d. f( x )d x f ( x )d x a ab c b c bb b. f( x )d x  f ( x )d x  f ( x )d x ( abc ) e. k.()d f x x k . f ()d x x ( k ) a a b aa b b b c.  fx() gx ()d x  fxx ()d  gxx ()d . a a a 13
14. Ứng dụng 5. Ứng dụng của tích phân a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f() x liên tục trên đoạn ab;  , trục hồnh và hai đường thẳng xa , xb : y f() x y f() x b y0 S f( x ) d x ()H  a xa c c 2 3 xb b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f11() x C , y f22() x C liên tục trên đoạn ab;  và hai đường thẳng xa , xb : y ():()C11 y f x ()C1 ():()C y f x ()H 22 xa ()C 2 xb b a c x S f12( x ) f ( x ) d x O 1 c2 b  a 7 Số Số phức 1. Khái niệm số phức phức Số phức (dạng đại số) : z a bi;, a b . Trong đĩ : a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 1. Tập hợp số phức kí hiệu: . z là số thực phần ảo của z bằng 0 b 0 . z là số ảo (hay cịn gọi là thuần ảo) phần thực bằng 0 a 0 . Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 14
15. 2. Hai số phức bằng nhau Hai số phức z1 a bi a, b và z2 c di c, d bàng nhau khi phần thực và phần ảo của chúng tương đương bằng nhau. ac Khi đĩ ta viết z z a bi c di 12 bd y 3. Biểu diễn hình học số phức M (a;b) Số phức z a bi a, b được biểu diễn bởi điểm M a; b hay O x bởi u a; b trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy . 4. Mơđun của số phức Độ dài của vectơ OM được gọi là mơđun của số phức z và kí hiệu là z . Vậy z OM hay z a bi OM a22 b . Một số tính chất: z a22 b zz OM ; zz zz 0,  ; zz 00 . z z z z z z z z z 1 1 1 1 2 . 1 2 1 2 ; ; 2 z2 z z2 2 z2 z1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 . Các phép 1. Số phức liên hợp tốn Số phức liên hợp của z a bi a, b là z a bi . 15
16. zz zz ; zzzz ' ';.'.'; zzzz 11 ;. zzab 22 . zz 22 z là số thực zz; z là số ảo zz . 2. Phép cộng và phép trừ số phức Cho hai số phức z1 a bi a, b và z2 c di c, d . Khi đĩ: z12 z a c b d i Số đối của số phức z a bi là z a bi . Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nĩ bằng hai lần phần thực của số thực đĩ: z a bi,2 z z a . 3. Phép nhân số phức Cho hai số phức z1 a bi a, b và z2 c di c, d . Khi đĩ: z12 z a bi c di – ac bd ad bc i . Với mọi số thực k và mọi số phức z a bi a, b , ta cĩ k z k a bi ka kbi Đặc biệt: 0.z 0 với mọi số phức z . 0 1 2 3 2 Lũy thừa của i : i 1, i i , i 1, i i . i i i4n 1, i 4 n 1 i , i 4 n 2 1, i 4 n 3 i ,  n  . 4. Chia hai số phức 1 Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số zz 1 . 2 z z''.'. z z z z Phép chia hai số phức z ' và z 0 là zz' 1 . 2 zz z. z 16
17. PT bậc hai 1. Căn bậc hai của số thực âm 2 Cho số z , nếu cĩ số phức z1 sao cho zz1 thì ta nĩi z1 là một căn bậc hai của z . Mọi số phức z 0 đều cĩ hai căn bậc hai. Căn bậc hai của số thực z âm là iz. Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ia. 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0,  a , b , c , a 0. Xét biệt số b2 4 ac của phương trình. Ta thấy: b Khi 0, phương trình cĩ một nghiệm thực x . 2a b Khi 0, phương trình cĩ hai nghiệm thực phân biệt x . 1,2 2a bi Khi 0, phương trình cĩ hai nghiệm phức x . 1,2 2a 8 Khối Thể tích đa diện khối đa 1. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: S diện 1 B : diện tích đáy V= B.h với 3 h : chiều cao A B H C 17
18. 2. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: S A Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là A' B' các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta cĩ: A C' B 60o 30o B C VSABC SA SB SC C VSA 'B'C' SA' SB' SC' MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ: A 1. Diện tích hình ph ng 1.1. Tam giác thường: c b 1 1 abc h * S .a.h a.b.sinC p(p-a)(p-b)(p-c) = pr. 2 2 4R C * p là nủa chu vi, R bán kính đường trịn ngoại tiếp , r là bán kính đường trịn nội B a tiếp. 1.2. Tam giác đều cạnh a: a3 a32 a) Đường cao: h = ; b) S = 2 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 1.3. Tam giác vuơng: 1 a) S = ab (a, b là 2 cạnh gĩc vuơng) 2 b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 1.4. Tam giác vuơng cân cĩ cạnh gĩc vuơng bằng a (nửa hình vuơng): a) S = a2 (2 cạnh gĩc vuơng bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2 1.5. Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuơng cĩ một gĩc bằng 30o hoặc 60o a32 b) BC = 2AB c) AC = d) S = 8 1.6. Tam giác cân: 1 a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 1.7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 18
19. 1 1.8. Hình thoi: S = d1.d2=ah (d1, d2 là 2 đường chéo, h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 1.9. Hình vuơng: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 1.10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy). đáy lớn+đáy bé X chiềucao 1.11.Hình Thang: S= 2 2. Các hệ thức lượng trong tam giác. 2.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuơng : cho ABC vuơng ở A ta cĩ : a) Định lý Pitago : BC2 =AB 2 +AC 2 A b) 22 BA =BH.BC; CA =CH.CB b c) AB. AC = BC. AH c 1 1 1 d) =+ AH2 AB 2 AC 2 b c b c a e) sinB , c os B , tan B ,cot B B H C a a c b bb f) b= a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a= , b= c. tanB = c.cot C sinBC cos +Trong một tam giác vuơng mỗi cạnh gĩc vuơng bằng cạnh huyền nhân sin gĩc đối hay cos gĩc kề. Cạnh huyền bằng cạnh gĩc vuơng chiasin gĩc đối hay cos gĩc kề. +Trong một tam giác vuơng cạnh gĩc vuơng này bằng cạnh gĩc vuơng kia nhân tang gĩc đối hay cotang gĩc kề. 2.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường: *Định lý hàm số Cơsin: a2= b2 + c2 - 2bc.cosA a b c *Định lý hàm số Sin: 2R sinABC sin sin 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: A' B' V=B.h C' B: diện tích đáy A với B h : chiều cao H C 19
20. a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V= a.b.c với a,b,c là ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: c V=a3 b a a a với a là độ dài cạnh 9 Mặt Nĩn 3. HÌNH NĨN – KHỐI NĨN trịn xoay R : bán kính đáy S Rl với xq h l : đườngsinh l STP S xq S đáy R(l R) R 1 2 R : bán kính đáy Vnón R h với 3 h : đường cao Trụ 4. HÌNH TRỤ- KHỐI TRỤ: R : bán kính đáy R Sxq 2 Rl với l : đườngsinh l h STP S xq 2.S đáy 2R(l R) 2 R : bán kính đáy Vtrụ R h với h : đường cao Cầu 1. DIỆN TÍCH MẶT CẦU, THỂ TÍCH KHỐI CẦU: 2 Smc 4 R , R : bán kính. 4 V R3 ,R : bán kính. trụ 3 R 2. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP. – Xác định trục của đáy ( là đường thẳng vuơng gĩc với đáy tại tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy). 20
21. – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. – Giao điểm của (P) và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp. 3. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG: - Xác định trục của hai đáy ( là đường thẳng vuơng gĩc với đáy tại tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy). - Trung điểm đoạn nối hai tâm đa giác đáy là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng 4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt ph ng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)). Nếu d R thì (P) và (S) khơng cĩ điểm chung. Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường trịn giao tuyến cĩ bán kính bằng R được gọi là đường trịn lớn 5. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường th ng Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng . Gọi d = d(O; ). Nếu d R thì và (S) khơng cĩ điểm chung. 21
22. 10 PP tọa Hệ trục tọa 1. Tọa độ vectơ: Cho a a,a,a ,b b,b,b . Ta cĩ độ độ 1 2 3 1 2 3 trong  a b a1 b 1 ;a 2 b 2 ;a 3 b 3 k.a ka ;ka ;ka khơng 1 2 3 gian ab11 aa12a3  a b a22 b a cùng phương b(b 0) a k.b b1 b 2 b 3 ab33  a.b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 a b a b a b  a a222 a a cos a,b 1 1 2 2 3 3  1 2 3 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a 3 . b 1 b 2 b 3 2. Tọa độ điểm: Cho A(xA; y A ;z A ),B(x B; y B ;z B ),C(x C; y C ;z C ) o AB xBABABA x ;y y ;z z 2 2 2 o AB AB xBABABA x y y z z xABABAB x y y z z o M là trung điểm của AB M;; 2 2 2 xABCABCABC x x y y y z z z G là trọng tâm tam giác ABC G;; 3 3 3 o Điểm M thuộc trục tọa độ: M Ox M(x;0;0). M Oy M(0;y;0). M Oz M(0;0;z). NX: cĩ cái gì giữ nguyên cái đĩ.vắng cái gì cái đĩ bằng 0. o Điểm M thuộc mặt phẳng tọa độ: M (Oxy) M(x;y;0). M (Oyz) M(0;y;z). M (Oxz) M(x;0;z). NX: cĩ cái gì giữ nguyên cái đĩ.vắng cái gì cái đĩ bằng 0. o M’ là hình chiếu của điểm M(a;b;c) lên mp tọa độ: (Oxy) M’(a;b;0); (Oyz) M’(0;b;c). (Ozx) M’(a;0;c). o M’ là hình chiếu của điểm M(a;b;c) lên trục tọa độ: Ox M’(a;0;0). Oy M(0;b;0). Oz M’(0;0;c). 3. Tích cĩ hướng của hai vectơ: aa21a3 a3 aa12 Tích cĩ hướng của hai vec tơ a và b là một vectơ, k/h: a,b ; ;  b b b 2b3 3 b 1 1 b 2  - Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: a,b,c đồng phẳng a,b .c 0 22
23.  - a cùng phương b  a,b 0 - Diện tích hình bình hành ABCD : S  AB,AD ABCD  1 - Diện tích tam giác ABC : S  AB,AC ABC 2  1 - Thể tích tứ diện ABCD : V  AB,AC .AD ABCD 6  - Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': V  AB,AD .AA' ABCD.A'B'C'D'    Phương 1. Vectơ pháp tuyến của mp( ) : n 0 là véctơ pháp tuyến của mp( ) Giá của  mp( ) trình MP  Chú ý: Hai vectơ khơng cùng phương a , b cĩ giá nằm trong hoặc song song với ( ). Khí đĩ: ab, là vectơ pháp tuyến của ( )  2.P.trình tổng quát của mp( ): Ax + By + Cz + D = 0 (Với A2 + B2 + C2 0 ). + Mặt phẳng cĩ phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì cĩ VTPT: n (A;B;C) + Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và cĩ một VTPT là thì cĩ pt: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D 0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D 0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D 0 song song, D=0 chứa) x y z *Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c): 1với a.b.c≠0 a b c *Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 4. Vị trí tương đối của hai mp ( ):A1x+B1y+C1z+D1 = 0 và ():A2x+B2y+C2z +D2 = 0 ()cắt()αβ A:B:C A :B:C ABCD 1 1 1 2 2 2 ()()αβ 1 1 1 1 ABCD ABCD2 2 2 2 (αβ )/ /( ) 1 1 1 1 ABCD2 2 2 2 ()()   AA1 2 BB 1 2 CC 1 2 0 5.KC từ M(x0,y0,z0) đến ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 Ax By Cz D d(M,( )) o o o ABC222 n12 .n 6.Gĩc giữa hai mặt phẳng : cos(αβ , ) với n12 ; n là VTPT của 2 mặt phẳng n12 . n 23
24. Phương trình ĐT 1) Vectơ chỉ phương của đường th ng: a 0 là VTCP của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng với đường thẳng d.  Chú ý. Hai vectơ a , b khơng cùng phương cĩ giá d thì ab, là VTCP của d.  2) Các dạng phương trình đường th ng: x x01 a t -Phương trình tham số: y y02 a t , với a (a1 ;a 2 ;a 3 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng. z z03 a t x x0 y y 0 z z 0 -Phương trình chính tắc: . a1. a 2 . a 3 0 a1 a 2 a 3 3) Vị trí tương đối đường th ng và mặt ph ng: Cho đường th ng (d) qua M(x0 ;y0 ;z0), cĩ VTCP u = ( a; b; c) và mặt ph ng ( ): Ax + By + Cz + D = 0 cĩ VTPT n (A;B;C) (d) cắt ( ) n.u 0 Aa +Bb +Cc 0 nu Aa Bb Cc 0 (d) / /( ) Ax By Cz 0 M()0  0 0 0 nu Aa Bb Cc 0 (d) ( ) Ax By Cz 0 M()0 0 0 0  Đặc biệt d( ) và n cùng phương u kn n;u 0 4) Vị trí tương đốicủa hai đường th ng: Cho đường thẳng 1 qua điểm M1 x 1;; y 1 z 1 cĩ VTCP u1 a 1;; a 2 a 3 và đường thẳng 2 qua điểm M2 x 2;; y 2 z 2 cĩ VTCP u2 b 1;; b 2 b 3 . Khi đĩ: uu;0 12 - 12// uu12; cùng phương và M12 hoặc M12 uu;0 12 - 12  cùng phương và M12 hoặc M12 - và cắt nhau u; u . M M 0 . 1 1 2 1 2 24
25. - và chéo nhau u; u . M M 0 1 2 1 2 1 2 Đặc biệt 1  2 u 1  u 2 u 1.0 u 2 a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 Mặt cầu I. Phương trình mặt cầu: Dạng 1:Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r cĩ phương trình: x a 2 y b 2 z c 2 r2. Mặt cầu tâm O, bán kính r: x2 y 2 z 2 r 2 Dạng 2:Phương trình dạng x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz 0 ; điều kiện a2 b 2 c 2 d 0 là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r a2 b 2 c 2 d. II. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: a/ Trong k.g Oxyz Cho : mặt cầu (S),tâm I(a;b;c), bán kinh r và mặt phẳng :0Ax By Cz D . O R Gọi H(x;y;z) là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I(a;b;c) trên m . Aa Bb Cc D Ta cĩ: IH d I,. H 2 2 2 H ABC M P P a/ IH R: mp và mặt cầu (S) khơng cĩ điểm chung. b/ b/ IH R: mp và mặt cầu (S) cĩ 1 điểm chung duy nhất R O ( mp tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H )  H : Gọi là tiếp điểm  mp : Gọi là tiếp diện H M P Điều kiện mp :0Ax By Cz D tiếp xúc mặt c/ cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r: d I, r c/ IH R: mp cắt mặt cầu (S) theo 1 đường trịn (C) cĩ . O R x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 phương trình: (C): . r . H M . Ax By Cz D 0 P ' 2 2 (C) cĩ tâm H, bán kính r r IH .  Khi IH d I, 0: mp cắt mặt cầu (S) theo đường trịn lớn tâm HI , bán kính rr' 25