Đại số và Giải tích 11 - Chương II: Tổ hợp và xác suất - Lư Sĩ Pháp

75 trang thaodu 3590

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đại số và Giải tích 11 - Chương II: Tổ hợp và xác suất - Lư Sĩ Pháp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

dai_so_va_giai_tich_11_chuong_ii_to_hop_va_xac_suat_lu_si_ph.pdf

Nội dung text: Đại số và Giải tích 11 - Chương II: Tổ hợp và xác suất - Lư Sĩ Pháp

Giáo Viên Tr ường THPT Tuy P hong ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
LỜI NĨI ĐẦU Quý đọc gi ả, quý th ầy cơ và các em h ọc sinh thân m ến! Nh ằm giúp các em h ọc sinh cĩ tài li ệu t ự h ọc mơn Tốn, tơi biên so ạn cu ốn gi ải tốn tr ọng tâm ĐẠI S Ố VÀ GI ẢI TÍCH 11 . Nội dung c ủa cu ốn tài li ệu bám sát ch ươ ng trình chu ẩn và ch ươ ng trình nâng cao v ề mơn Tốn đã được B ộ Giáo d ục và Đào t ạo quy định. Nội dung g ồm 4 ph ần Ph ần 1. Ki ến th ức c ần n ắm ầ ạ ậ ướ ẫ ả ậ đề ị Ph n 2. D ng bài t p cĩ h ng d n gi i và bài t p ngh Ph ần 3. Ph ần tr ắc nghi ệm cĩ đáp án. Ph ần 4. M ột s ố đề ơn ki ểm tra Cu ốn tài li ệu được xây d ựng s ẽ cịn cĩ nh ững khi ếm khuy ết. R ất mong nh ận được s ự gĩp ý, đĩng gĩp c ủa quý đồng nghi ệp và các em học sinh. Mọi gĩp ý xin g ọi v ề s ố 0939989966 – 0916620899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành c ảm ơn. Lư S ĩ Pháp Gv_Tr ường THPT Tuy Phong
MỤC L ỤC CH ƯƠ NG II. T Ổ H ỢP – XÁC SU ẤT §1. QUY T ẮT ĐẾM Trang 1 – 6 §2. HỐN V Ị – CH ỈNH H ỢP – TỔ H ỢP Trang 7 – 16 §3. NH Ị TH ỨC NIU-TƠN Trang 17 – 22 §4. PHÉP TH Ử VÀ BI ẾN C Ố Trang 23 – 25 §5. XÁC SU ẤT C ỦA BI ẾN C Ố Trang 26 – 32 ƠN T ẬP CH ƯƠ NG II Trang 33 – 45 TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG II Trang 46 – 64 MỘT S Ố ĐỀ ƠN KI ỂM TRA Trang 65 – 68 ĐÁP ÁN Trang 69 – 71
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp CH ƯƠ NG II TỔ H ỢP VÀ XÁC SU ẤT o0o §1. HAI QUY T ẮC ĐẾM C Ơ BẢN A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM Một s ố kí hi ệu Số ph ần t ử c ủa t ập h ợp h ữu h ạn A, được kí hi ệu là n(A) ho ặc A . Ch ẳng h ạn: Nếu A= { abc; ; } thí ta nĩi số ph ần tử c ủa t ập A là 3, ta vi ết n( A )= 3 hay A = 3 1. Qui t ắc c ộng Gi ả s ử cơng vi ệc cĩ th ể được th ực hi ện theo ph ươ ng án A ho ặc ph ươ ng án B. Cĩ n cách ch ọn ph ươ ng án A và m cách ch ọn ph ươ ng án B ( các cách ch ọn ph ươ ng án A khơng trùng v ới b ất c ứ cách ch ọn nào c ủa ph ươ ng án B). Khi đĩ cơng vi ệc cĩ th ể được th ực hi ện b ởi n + m cách. Tổng quát: Gi ả s ử m ột cơng vi ệc cĩ th ể th ực hi ện theo m ột trong k ph ươ ng án A1, A 2, . . .,A k. Cĩ n1 th ực hi ện ph ươ ng án A1, n2 th ực hi ện ph ươ ng án A2, và nk th ực hi ện ph ươ ng án Ak. Khi đĩ cơng vi ệc đĩ được th ực hi ện bởi n1 + n 2 + + n k cách. Gi ả s ử A và B là các t ập h ợp h ữu hạn, khơng giao nhau. Khi đĩ: nA( ∪ B) = nA( ) + nB( ) (1) Cơng th ức (1) cĩ th ể m ở r ộng theo hai h ướng: a) N ếu A và B là hai t ập h ữu h ạn b ất kì thì nA( ∪= B) nA( ) + nB( ) − nA( ∩ B ) (2) b) N ếu A1, A 2 , , A m là các t ập h ợp tu ỳ ý, đơi m ột khơng giao nhau thì ( ∪∪∪) =( ) +( ) ++ ( ) nAA12 Am nAnA 12 nA m 2. Qui t ắc nhân Gi ả s ử m ột cơng vi ệc nào đĩ bao g ồm hai cơng đoạn A và B. Cơng đoạn A cĩ th ể làm theo n cách. V ới mỗi cách th ực hi ện cơng đoạn A thì cơng đoạn B cĩ th ể làm theo m cách. Khi đĩ cơng vi ệc cĩ th ể th ực hi ện theo n.m cách. Tổng quát: Gi ả s ử m ột cơng vi ệc nào đĩ bao g ồm k cơng đoạn . Cơng đoạn A1 th ể th ực hi ện theo n1 cách, cơng đoạn A2 cĩ th ể th ực hi ện theo n2 cách, . . .,cơng đoạn Ak cĩ th ể th ực hi ện theo nk cách. Khi đĩ cơng vi ệc đĩ được th ực hi ện b ởi n1. n 2 n k cách. B. BÀI T ẬP Bài 1.1. Trong m ột l ớp cĩ 18 h ọc sinh nam và 12 h ọc sinh n ữ. H ỏi cĩ bao nhiêu cách ch ọn a) Một b ạn ph ụ trách l ớp tr ưởng ? b) Hai b ạn, trong đĩ cĩ m ột nam và m ột n ữ ? HD @Gi ải a) Theo quy t ắc c ộng, ta cĩ 18 + 12 = 30 cách ch ọn m ột b ạn ph ụ trách l ớp tr ưởng ( ho ặc nam ho ặc n ữ ) b) Muốn cĩ hai b ạn g ồm m ột nam và m ột n ữ, ta ph ải th ực hi ện hai hành động l ựa ch ọn: Ch ọn m ột nam cĩ 18 cách ch ọn, khi cĩ m ột b ạn nam r ồi, cĩ 12 cách ch ọn m ột b ạn n ữ Vậy theo qui t ắc nhân, ta cĩ 18.12 = 216 cách ch ọn tho ả ycbt. Bài 1.2. Trên giá sách cĩ 10 quy ển sách ti ếng Vi ệt khác nhau, 8 quy ển sách ti ếng Anh khác nhau và 6 quy ển sách ti ếng Pháp khác nhau. H ỏi cĩ bao nhiêu cách ch ọn a) Một quy ển sách ? b) Ba quy ển sách ti ếng khác nhau ? c) Hai quy ển sách ti ếng khác nhau ? HD @Gi ải a) Theo qui t ắc c ộng, ta cĩ 10 + 8 + 6 = 24 cách ch ọn m ột quy ển sách 1 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) Theo qui t ắc nhân, ta cĩ 10.8.6 = 480 cách ch ọn ba quy ển sách ti ếng khác nhau c) Theo qui t ắc nhân, cĩ 10.8 = 80 cách ch ọn m ột quy ển sách ti ếng Vi ệt và ti ếng Anh, cĩ 10.6 = 60 cách ch ọn m ột quy ển sách ti ếng Vi ệt và ti ếng Pháp và cĩ 8.6 = 48 cách ch ọn m ột quy ển sách ti ếng Anh và ti ếng Pháp. V ậy cĩ 80 + 60 + 48 = 188 cách ch ọn tho ả ycbt. Bài 1.3. Từ các s ố 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cĩ bao nhiêu cách ch ọn m ột s ố ho ặc là s ố ch ẵn ho ặc là s ố nguyên t ố ? HD @Gi ải Kí hi ệu A = {2,4,6,8 } là t ập các s ố ch ẵn và t ập B = {2,3,5,7, }là các s ố nguyên t ố Khi đĩ, s ố cách ch ọn m ột s ố ho ặc là s ố ch ẵn ho ặc là s ố nguyên t ố là A∪ B . Mặt khác, theo đề bài ta cĩ nA( ) =4, nB( ) = 4 và A∩ B = {2} hay n( A∩ B ) = 1. Theo qui t ắc c ộng m ở rộng, ta cĩ nA( ∪= B) nA( ) + nB( ) − nA( ∩=+−= B ) 4 4 1 7 Vậy cĩ 7 cách ch ọn m ột s ố tho ả ycbt. Bài 1.4. Trong m ột tr ường THPT, kh ối 11 cĩ: 260 h ọc sinh tham gia câu lạc b ộ Tin h ọc, 240 học sinh tham gia câu l ạc b ộ Tốn h ọc, 50 h ọc sinh tham gia c ả hai câu l ạc b ộ và 100 h ọc sinh khơng tham gia câu lạc bơ nào trong hai câu l ạc bơ nêu trên. H ỏi kh ối 11 c ủa tr ường đĩ cĩ bao nhiêu h ọc sinh. HD @Gi ải Gọi t ập h ợp h ọc sinh kh ối 11 ở tr ường THPT tham gia câu l ạc b ộ Tinh h ọc và câu l ạc b ộ Tốn h ọc l ần lượt là A và B. Khi đĩ t ập h ợp h ọc sinh kh ối 11 ở tr ường đĩ tham gia câu l ạc b ộ (Tin h ọc và Tốn h ọc) là A∪ B Theo bài tốn, ta cĩ nA()= 260,() nB = 240, nAB( ∩=) 50 Theo qui t ắc c ộng m ở r ộng, s ố h ọc sinh kh ối 11 tham gia câu l ạc b ộ (Tin h ọc và Tốn h ọc) là nA( ∪= B) nA() + nB () − nA( ∩= B ) 26024050 +−= 450 Vậy kh ối 11 ở tr ường đĩ cĩ 450 + 100 = 550 (h ọc sinh) Bài 1.5. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên cĩ hai ch ữ s ố mà hai ch ữ s ố c ủa nĩ đều ch ẵn ? HD @Gi ải Gọi s ố t ự nhiên cĩ hai ch ữ s ố đều ch ẵn cĩ d ạng là ab , v ới a, b ∈{ 0;2;4;6;8 } và a ≠ 0 . a b Ta cĩ: . V ậy cĩ: 4.5 = 20 s ố tho ả ycbt SCC 4 5 Bài 1.6. Cho t ập nền B = {1;2;4;5;7 } . Cĩ th ể l ập được t ừ B: a) Bao nhiêu s ố g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau? b) Bao nhiêu s ố ch ẵn g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau? c) Bao nhiêu s ố l ẻ g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau ? HD @Gi ải a) Gọi s ố g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau là abcd ; khi đĩ ch ọn các đối t ượng abcd,,,∈ Ba , ≠≠≠ b c d a b c d Ta cĩ: . V ậy cĩ: 5.4.3.2 = 120 s ố. SCC 5 4 3 2 b) Gọi s ố g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau là abcd ; khi đĩ ch ọn các đối t ượng abcd,,,∈ Ba , ≠≠≠ b c d a b c d Do s ố c ần tìm là s ố ch ẵn nên d ∈{2;4 }. Ta cĩ: SCC 4 3 2 2 Vậy cĩ: 4.3.2.2 = 48 s ố c) Ta đã cĩ: 120− 48 = 72 số. Bài 1.7. Cho t ập n ền B = {0;1;2;3 }. Cĩ th ể l ập được t ừ B: a) Bao nhiêu s ố g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau? b) Bao nhiêu s ố ch ẵn g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau? c) Bao nhiêu s ố l ẻ g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau ? HD @Gi ải 2 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Áp d ụng cách gi ải nh ư bài 1.6, nh ưng l ưu ý : Ch ọn s ố c ần tìm abcd thì a ≠ 0 a) Đs: 18 s ố tho ả ycbt b) Đs: 10 s ố tho ả ycbt c) Đs: 8 s ố tho ả ycbt Bài 1.8. Từ các ch ữ s ố 1, 5, 6, 7 cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố t ự nhiên a) Cĩ 4 ch ữ s ố (khơng nh ất thi ết khác nhau) b) Cĩ 4 ch ữ s ố khác nhau ? HD @Gi ải Gọi s ố cĩ b ốn ch ữ s ố d ạng abcd , trong đĩ a, b , c , d ∈{ 1,5,6,7 } a) Số cĩ b ốn ch ữ s ố khơng nhất thi ết khác nhau a b c d Ta cĩ: . Vậy, theo qui t ắc nhân, ta cĩ 4.4.4.4 = 256 (s ố) SCC 4 4 4 4 a b c d b) Số cĩ b ốn ch ữ s ố khác nhau. Ta cĩ: . Vậy cĩ 4.3.2.1 = 24 (s ố) SCC 4 3 2 1 Bài 1.9. Một kết s ắt cĩ 5 núm khố riêng bi ệt, m ỗi núm khố đều cĩ vịng đánh s ố 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Một dãy 5 ch ữ s ố cho m ột cách m ở k ết. Cĩ bao nhiêu ph ươ ng án m ở k ết khác nhau? HD @Gi ải Đặt B = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 } Gọi abcde là m ột ph ươ ng án m ở k ết tu ỳ ý c ần tìm. a b c d e Ta cĩ: . V ậy cĩ 105 = 100000 ph ươ ng án m ở két. SCC 10 10 10 10 10 Bài 1.10. Cĩ bao nhiêu s ố g ồm ba ch ữ s ố trong đĩ ch ỉ cĩ đúng ch ữ s ố 5 ? HD @Gi ải Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng abc và a, b , c ∈{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 } . Để s ố tho ả ycbt cĩ ba khả n ăng x ảy ra: TH1. Các s ố cĩ d ạng 5bc ;( b≠ 5, c ≠ 5) , khi đĩ ta cĩ 9 cách ch ọn b và 9 cách ch ọn b. Vậy cĩ 9.9 = 81 s ố d ạng 5bc TH2. Các s ố cĩ d ạng aca5 ;(≠{ 0;5} , c ≠ 5) , khi đĩ ta cĩ 8 cách ch ọn a và 9 cách ch ọn c. Vậy cĩ 8.9 = 72 s ố d ạng a5 c TH3. Các s ố cĩ d ạng ab5;( a≠{ 0;5} , b ≠ 5) , khi đĩ ta cĩ 8 cách ch ọn a và 9 cách ch ọn b. Vậy cĩ 8.9 = 72 s ố d ạng ab5 Tĩm l ại ta cĩ: 81 + 72 + 72 = 225 s ố tho ả ycbt. Bài 1.11. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên g ồm 5 ch ữ s ố mà các ch ữ s ố đều l ớn h ơn 4 và đơi m ột khác nhau ? HD @Gi ải Đặt B = {5,6,7,8,9 } . Gọi d ạng s ố c ần tìm là abcde , abcde, ,, , ∈ B a b c d e Ta cĩ: . V ậy cĩ: 5.4.3.2.1 = 120 s ố tho ả ycbt SCC 5 4 3 2 1 Bài 1.12. Cho 8 ch ữ s ố 0;1;2;3;4;5;6;7. T ừ 8 ch ữ s ố trên cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố, m ỗi s ố g ồm 4 ch ữ số đơi m ột khác nhau và khơng chia h ết cho 10 ? HD @Gi ải = { } ≠ ≠ ≠ = ∈ Đặt B 0;1;2;3;4;5;6;7 . Gọi 4 s ố c ần tìm cĩ d ạng a1 a 2 a 3 a 4 , ai ai j ; ja ,1 0, ij , 1,4 , ai B a a a a Do b ốn s ố khơng chia h ết cho 10 nên a ≠ 0 . Ta cĩ: 1 2 3 4 4 SCC 6 6 5 7 Vậy cĩ : 6.6.5.7 = 1260 cách ch ọn s ố tho ả ycbt. 3 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 1.13. Từ 5 ch ữ s ố 0;1;3;5;7 cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố, m ỗi s ố g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau và khơng chia h ết cho 5? HD @Gi ải ≠ ≠ ∈ = { } Gọi 4 s ố c ần tìm cĩ d ạng a1 a 2 a 3 a 4 , ai a j ; a 1 0 .Trong đĩ aaaa1, 2 , 3 , 4 B 0;1;3;5;7 và do b ốn s ố ≠ { } khơng chia h ết cho 5 nên a4 0;5 . a a a a Ta cĩ: 1 2 3 4 . Vậy cĩ : 3.3.3.2 = 54 cách ch ọn s ố tho ả ycbt. SCC 3 3 2 3 Bài 1.14. Cĩ bao nhiêu s ố ch ẵn g ồm 6 s ố khác nhau đơi m ột trong đĩ ch ữ s ố đầu tiên là ch ữ s ố l ẻ ? HD @Gi ải ≠ ≠ Gọi s ố cĩ 6 ch ữ s ố c ần tìm cĩ d ạng: aa12 aa 3 4 aa 5 6 , ai a j ; a 1 0 , trong đĩ ∈ = { } ∈{ } aaaaaa12, , 3 , 4 , 5 , 6 B 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Do ch ữ s ố đầu tiên là s ố l ẻ nên a1 1,3,5,7,9 và vì là số a a a a a a ch ẵn nên a ∈{0;2;4;6;8 } . Ta cĩ: 1 2 3 4 5 6 6 SCC 5 8 7 6 5 5 Vậy ta cĩ: 5.8.7.6.5.5 = 42000 s ố ch ọn tho ả ycbt. Bài 1.15. Cho 5 ch ữ s ố 0;1;2;3;4. T ừ 5 ch ữ s ố đĩ cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố ch ẵn cĩ 5 ch ữ s ố sao cho trong m ỗi ch ữ s ố đĩ, m ỗi ch ữ s ố trên cĩ m ặt đúng m ột l ần ? HD @Gi ải Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng là abcde , abcde, , , ,∈ B = { 0;1;2;3;4 }( a ≠ 0 và e là s ố ch ẵn nên e∈{0;2;4 } . Khi đĩ ta xét 3 tr ường h ợp c ủa e. TH1. S ố cĩ d ạng abcd 0. Ch ọn abcd, , ,∈ B = { 1;2;3;4 } thì ta cĩ: 4.3.2.1 = 24 s ố ch ẵn d ạng abcd 0 TH2. S ố cĩ d ạng abcde , e∈{2;4 } cĩ 2 cách ch ọn, chọn a∈ B = {1;2;3;4} \ { e } cĩ 3 cách ch ọn, ch ọn bB∈ = {0;1;2;3;4} \{ ea ; }cĩ 3 cách ch ọn, ch ọn cB∈ = {0;1;2;3;4} \{ eab ; ; } cĩ 2 cách ch ọn và ch ọn dB∈ = {0;1;2;3;4} \{ eabc ; ; ; } cĩ 1 cách ch ọn. V ậy: 2.3.3.2.1 = 36. Vậy cĩ: 24 + 36 = 60 s ố tho ả ycbt Bài 1.16. Một tr ường ti ểu h ọc cĩ 50 học sinh đạt danh hi ệu cháu ngoan Bác H ồ, trong đĩ cĩ b ốn c ặp anh em sinh đơi. Nhà tr ường c ần ch ọn m ột nhĩm 3 h ọc sinh trong 50 h ọc sinh trên d ự Đại h ội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhĩm khơng cĩ c ặp anh em sinh đơi nào. H ỏi cĩ bao nhiêu cách ch ọn ? HD @Gi ải Một nhĩm 3 h ọc sinh sao cho khơng cĩ c ặp em h ọc sinh sinh đơi nào, nên ta cĩ các TH sau: TH1. Trong nhĩm cĩ 3 ng ười cĩ 1 ng ười trong b ốn c ặp sinh đơi. Ch ọn 1 ng ười trong b ốn c ặp sinh đơi cĩ 8 cách ch ọn ng ười th ứ nh ất, cĩ 50 – 8 = 42 cách ch ọn ng ười th ứ 2 và cĩ 41 cách ch ọn ng ười th ứ 3. V ậy cĩ 8.42.41 = 13776 cách ch ọn. TH2. Trong nhĩm 3 ng ười khơng cĩ ai trong b ốn c ặp sinh đơi. Cĩ 42 cách ch ọn ng ười th ứ nh ất, 41 cách ch ọn ng ười th ứ hai và 40 cách ch ọn ng ười th ứ ba. V ậy cĩ 42.41.40 = 68880 cách ch ọn Tĩm l ại cĩ: 13776 + 68880 = 82656 cách ch ọn Bài 1.17. Cĩ 5 con đường n ối hai thành ph ố X và Y, cĩ 4 con đường n ối 2 thành ph ố Y và Z. Mu ốn đi t ừ X đến Z ph ải qua Y. a) Hỏi cĩ bao nhiêu cách ch ọn đi t ừ X đến Z qua Y ? 4 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) Cĩ bao nhiêu cách ch ọn đường đi từ X đến Z r ồi v ề l ại X b ằng nh ững con đường về khơng trùng v ới đường đã đi khác nhau ? HD @Gi ải a) Cĩ 5 cách ch ọn đường đi t ừ X đến Y và cĩ 4 cách ch ọn đường đi t ừ Y đến Z. Do đĩ cĩ 4.5 = 20 cách ch ọn đường đi t ừ X đến Z qua Y. b) Khi tr ở v ề t ừ Z đến Y thì cịn 3 con đường để ch ọn: cĩ 3 cách ch ọn. T ừ Y tr ở v ề X thì cĩ 4 con đường để ch ọn: cĩ 4 cách ch ọn. Do đĩ cĩ 3.4 = 12 cách ch ọn đường đi v ề khơng qua con đường đã đi. V ậy cĩ t ất cả: 20 . 12 = 240 cách ch ọn đường đi và v ề trên tuy ến đường t ừ X đến Z qua Y b ằng nh ững con đường khác nhau. Bài 1.18. Cĩ 4 con đường t ừ A đến B, 2 con đường n ối t ừ B đến C và 3 con đường n ối t ừ C đến D. a) Cĩ bao nhiêu cách đi t ừ A đấn D mà qua B và C ch ỉ m ột l ần? b) Cĩ bao nhiêu cách đi t ừ A đến D r ồi quay l ại A ? HD @Gi ải a) Từ A đến B cĩ 4 con đường, t ừ B đến C cĩ 2 con đường, t ừ C đến D cĩ 3 con đường. T ừ A mu ốn đến bắt bu ộc ph ải đi qua B và C. Vậy theo qui t ắc nhân, s ố cách đi t ừ A đến D là 4.2.3 = 24 ( cách) b) T ươ ng t ự, ta cĩ s ố cách đi t ừ A đến D r ồi tr ở v ề A là 4.2.3.3.2.4 = 24 2 = 576 (cách) Bài 1.19. Từ các ch ữ s ố 0,1,2,3,4,5 cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố t ự nhiên mà m ỗi s ố cĩ 6 ch ữ s ố khác nhau và ch ữ s ố 2 và 3 đứng c ạnh nhau? HD @Gi ải Số cĩ 6 ch ữ s ố và ch ữ s ố 2 đứng c ạnh s ố 3. Ta xem (23) là s ố a. Khi đĩ g ọi s ố c ần tìm là abcde (thay vì cĩ 6 ch ữ s ố), trong đĩ abcde, , , ,∈ B = { 0;1;2;3;4;5 }. Ta cĩ: 4 cách ch ọn a, 4 cách ch ọn b, cĩ 3 cách ch ọn c, cĩ 2 cách ch ọn d và cĩ 1 cách ch ọn e, mà ch ữ s ố 2, 3 đứng c ạch nhau nên nĩ là hốn v ị cho nhau. Vậy cĩ : 4.3.2.1.2 = 192 s ố tho ả ycbt. Bài 1.20. Trong m ột tr ường THPT, kh ối 11 cĩ 280 h ọc sinh nam và 325 h ọc sinh n ữ. a) Nhà tr ường c ần ch ọn m ột h ọc sinh kh ối 11 đi d ự dạ hội c ủa h ọc sinh thành ph ố. H ỏi nhà tr ường cĩ bao nhiêu cách ch ọn? b) Nhà tr ường c ần ch ọn hai h ọc sinh trong đĩ cĩ một nam, m ột n ữ đi d ự tr ại hè của h ọc sinh thành ph ố. Hỏi nhà tr ường cĩ bao nhiêu cách ch ọn? HD @Gi ải a) Nhà tr ường c ần ch ọn m ột h ọc sinh nên: Ch ọn nam cĩ 280 cách ch ọn và cĩ 325 cách ch ọn n ữ. V ậy cĩ: 280 + 325 = 605 cách chon. b) Nhà tr ường c ần ch ọn hai h ọc sinh trong đĩ cĩ m ột nam và m ột n ữ, nên cĩ: Ch ọn nam cĩ 280 cách ch ọn và ứng v ới cách ch ọn nam ta cĩ 325 cách ch ọn n ữ. Vậy cĩ: 280.325 = 91000 cách. Bài 1.21. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên l ớn h ơn 4000 cĩ 4 ch ữ s ố được t ạo thành t ừ các ch ữ s ố 1, 3, 5, 7 n ếu: a) Các ch ữ s ố c ủa nĩ khơng nh ất thi ết khác nhau ? b) Các ch ữ s ố c ủa nĩ khác nhau ? HD @Gi ải a) Gọi các s ố nh ư v ậy cĩ d ạng abcd với a ∈{5,7 } , cịn b, c và d thu ộc {1,3,5,7 } . Do đĩ Số các s ố c ần tìm là 2.4.4.4 = 128 s ố b) Ch ữ s ố a cĩ 2 cách ch ọn, ch ữ s ố b cĩ 3 cách, ch ọn c cĩ 2 cách và d cĩ 1 cách. V ậy cĩ 2.3.2 = 12 cách ch ọn s ố nh ư v ậy. Bài 1.22. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên lẻ trong kho ảng (2000; 3000) cĩ th ể t ạo nên t ừ các ch ữ s ố 1,2,3,4,5,6 nếu: a) Các ch ữ s ố đĩ khơng nh ất thiết khác nhau ? b) Các ch ữ s ố c ủa nĩ khác nhau? HD @Gi ải a) Các s ố l ẻ trong kho ảng (2000; 3000) cĩ d ạng 2abc với a, b ∈{ 1,2,3,4,5,6 } và c∈{1,3,5 } . 5 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Vậy cĩ 6.6.3 = 108 s ố b) Ch ữ s ố c cĩ 3 cách ch ọn, b cĩ 4 cách ch ọn và a cĩ 3 cách ch ọn. V ậy cĩ 3.4.3 = 36 s ố. Bài 1.23. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên gồm 4 ch ữ s ố khác nhau và n ằm trong kho ảng (2000; 4000). HD @Gi ải Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng abcd . Số t ự nhiên g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau và n ằm trong kho ảng (2000; 4000) nên a cĩ th ể ch ọn là 2 ho ặc 3. Do v ậy: S ố cách ch ọn a là 2 cách Số cách ch ọn b là 9 cách Số cách ch ọn c là 8 cách Số cách ch ọn d là 7 cách Vậy: 2.9.8.7 = 1008 (s ố) C. BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN Bài 1.24. Gi ữa hai thành ph ố A và B cĩ 5 con đường đi. H ỏi cĩ bao nhiêu cách đi t ừ A đến B r ồi tr ở v ề A mà khơng cĩ đường nào được đi hai l ần ? Bài 1.25. Cĩ bao nhiêu s ố nguyên d ươ ng g ồm khơng quá ba ch ữ s ố khac nhau ? Bài 1.26. Một l ớp cĩ 40 h ọc sinh, đă ng kí ch ơi ít nh ất một trong hai mơn th ể thao: bĩng đá và bĩng chuy ền. Cĩ 30 em đă ng kí mơn bĩng đá, 25 em đă ng kí mơn bĩng chuy ền. H ỏi cĩ bao nhiêu em đă ng kí cả hai mơn th ể thao ? Bài 1.27. Với các ch ữ s ố 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta cĩ th ể l ập được bao nhieu s ố g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau và trong đĩ ph ải cĩ m ặt ch ữ s ố 5. Bài 1.28. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau? Bài 1.29 . Cĩ bao nhiêu s ố g ồm 3 ch ữ s ố khác nhau cĩ th ể l ập t ừ các ch ữ s ố 0, 2, 4, 6, 8 ? Bài 1.30. Từ các ch ữ s ố 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ th ể l ập được: a) Bao nhiêu s ố t ự nhiên g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau ? b) Bao nhiêu s ố t ự nhiên ch ẵn g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau ? Bài 1.31. Cĩ th ể l ập ra bao nhiêu s ố t ự nhiên g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau và s ố đĩ ph ải chia h ết cho 5, đồng th ời s ố 1 ph ải xu ất hi ện ở m ột trong ba v ị trí đầu tiên ? 6 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §2. HỐN V Ị - CH ỈNH H ỢP - TỔ H ỢP A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM GIAI TH ỪA Cho n∈ℕ* , tích s ố 1,2, ,n được g ọi là n giai th ừa. Kí hi ệu n!. V ậy n! = 1.2.3 n v ới n∈ ℕ* Qui ước: 0! = 1; 1! = 1 Ta suy ra các k ết qu ả sau: n! = n.(n – 1)! = n.(n – 1).(n – 2)! = n.(n – 1)(n – 2) 2.1 n! Nếu n, m ∈ ℕ* và n > m thì: =−−nn( 1)( n 2) ( m + 1) m! Ví d ụ: 5! = 5.4.3.2.1 =120; 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 20! =20.19.18 = 6840 17! I. HỐN V Ị 1. Định ngh ĩa: Cho t ập h ợp A cĩ n ph ần t ử (n ≥ 1) . Khi s ắp x ếp n ph ần t ử này theo m ột th ứ t ự, ta được m ột hốn v ị các ph ần t ử c ủa t ập A( g ọi t ắt là hốn v ị c ủa A) = = − − 2. Số hốn v ị c ủa n ph ần t ử: Kí hi ệu Pn. Pn n ! nn .( 1).( n 2) . . .2.1 II. CH ỈNH H ỢP 1. Định ngh ĩa: Cho t ập h ợp A cĩ n ph ần t ử và s ố nguyên k. Khi l ấy ra k ph ần t ử c ủa A (1 ≤k ≤ n ) và s ắp xếp k ph ần t ử này theo m ột th ứ t ự, ta được m ột ch ỉnh h ợp ch ập k của n ph ần t ử c ủa A(g ọi t ắt là ch ỉnh h ợp ch ập k của A) k ∈ ℕ 2. Số ch ỉnh h ợp ch ập k c ủa n ph ần t ử: Kí hi ệu An (, n k *) n! Ak = =− nn( 1) ( nk −+ 1) n ()n− k ! n! n ! Nếu k = n thì An = = = n! = P . V ậy m ột ch ỉnh h ợp n ch ập n được g ọi là m ột hốn v ị c ủa n n0! 1 n n= k nk− ≤ ≤ ph ần t ử, t ừ đĩ suy ra: An AA n. nk− ;1 kn III. TỔ H ỢP 1. Định ngh ĩa: Cho t ập A cĩ n ph ần t ử và s ố nguyên k với 1 ≤k ≤ n . M ỗi t ập con c ủa A cĩ k ph ần t ử được gọi là m ột t ổ h ợp ch ập k của n ph ần t ử c ủa A ( g ọi t ắt là m ột t ổ h ợp ch ập k của A) k ≤ ≤ ∈ ℕ 2. Số t ổ h ợp ch ập k c ủa n ph ần t ử: Kí hi ệu Cn (1 k nn , *) , n! n! nn (− 1)( n − 2) ( nk −+ 1) Ak C k = Hay C k = = = n n k!( n− k )! n knk!(− )! k ! k ! 3. Tính ch ất: 0==n 1 = ∈ ℕ a) Cn1; CC n n nn ; * k= n− k ≤ ≤ b) CCn n ; 0 kn k=+ k k −1 ≤< c) Cn+1 CC n n ; 1 kn n k=0 ++++ 1 2 n = n ≤≤ d) ∑CCCCnnnn C n 2;0 kn k=0 B. BÀI T ẬP Bài 2.1. Cĩ bao nhiêu cách s ắp x ếp 4 h ọc sinh vào ng ồi trong m ột cái bàn dài đủ ch ỗ ng ồi. HD @Gi ải Mỗi cách s ắp x ếp 4 h ọc sinh vào 4 ch ỗ ng ồi là hốn v ị c ủa 4 ph ần tử. Vậy s ố cách s ắp x ếp là: P n = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách. 7 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 2.2. Cĩ bao nhiêu cách s ắp x ếp ch ỗ ng ồi cho 10 ng ười khách vào m ười gh ế kê thành một dãy ? HD @Gi ải Mỗi cách s ắp x ếp ch ỗ ng ồi c ủa 10 khách theo hàng ngang cho m ột hốn v ị c ủa 10 và ng ược l ại. Vậy cĩ 10! cách s ắp x ếp Bài 2.3. Cĩ th ể lập được bao nhiêu số gồm 4 ch ữ số khác nhau từ các ch ữ số 1,2,3,4 ? HD @Gi ải Trên t ập n ền B = {1;2;3;4 }. G ọi số c ần tìm cĩ d ạng abcd . Để thành l ập s ố g ồm b ốn ch ữ s ố đĩ ta c ần x ếp 4 ch ữ s ố c ủa t ập n ền B vào 4 v ị trí hàng nghìn a, hàng tr ăm b, hàng ch ục c và hàng đơn v ị d. V ậy cĩ t ất c ả: P 4 = 4! = 24 s ố tho ả ycbt. (Dùng quy t ắc đếm để gi ải bài này) Bài 2.4. Cĩ th ể l ập được bao nhiêu ch ữ s ố l ẻ g ồm n ăm ch ữ s ố khác nhau t ừ t ập B = {0;1;2;3;4 } HD @Gi ải Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng abcde; a≠ 0; e ∈ { 1;3 }. Ta xét hai tr ường h ợp: TH1. D ạng s ố: abcd1; a ≠ 0 . Ch ọn a∈{2;3;4 } cĩ 3 cách ch ọn, ch ọn bcd, ,∈{ 0;2;3;4} \ { a }thì s ố cách ch ọn là s ố cách s ắp x ếp ba s ố tu ỳ ý c ủa t ập {0;2;3;4} \ {a}vào nghìn b, hàng tr ăm c và hàng ch ục d. Nên cĩ P 3 = 3! = 6 cách. Vậy cĩ :3.6 = 18 s ố d ạng abcd 1 TH2, D ạng s ố abcd3; a ≠ 0 .Lí lu ận t ươ ng t ự ta cĩ 18 s ố d ạng abcd 3 Tĩm l ại, ta cĩ: 18 + 18 = 36 s ố tho ả ycbt. Bài 2.5. Trong m ột vịng lo ại Olympic, trên tám đường b ơi, 8 v ận động viên khơng cùng m ột lúc v ề đích. H ỏi cĩ bao nhiêu cách s ắp x ếp h ạng x ảy ra ? HD @Gi ải Tất c ả 8 v ận động viên đều v ề đích nh ưng khơng cùng m ột lúc( khơng ai đến đích cùng v ới m ột ng ười khác) trên 8 đường b ơi, thì cách s ắp x ếp h ạng 8 v ận động viên là m ột hốn v ị c ủa 8 ph ần t ử khi s ắp x ếp vào 8 v ị trí ( th ứ h ạng) phân bi ệt, khơng l ặp. Nên ta cĩ: P 8 = 8! = 40320 k ết qu ả. Bài 2.6. Tính tổng S c ủa t ất c ả các s ố g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau và s ố đã l ập được t ừ n ền B = {1;2;3;4 }bằng phép hốn v ị ? HD @Gi ải Phép hốn v ị trên n ền B cho ta thành l ập các s ố g ồm b ốn s ố khác nhau là: P 4 = 4! = 24 s ố Để ý r ằng, t ất c ả các s ố đều vi ết d ưới d ạng c ặp đơi nh ư sau: 1234 1243 1423 1432 4123 2341 3241 3421 3124 2413 4213 4231 ;;;;;;;;;;; cĩ t ổng 4321 4312 4132 4123 1432 3214 2314 2134 2431 3142 1342 1324 tất c ả 24 s ố, s ắp x ếp nh ư trên t ừng c ặp trong 12 c ặp cĩ t ổng là 5555. Vậy t ổng S = 12.5555 = 66660. Bài 2.7. Ch ứng minh r ằng trên t ập B = {1;2;3;4;5;6;7 }cĩ th ể l ập thành được các s ố g ồm b ảy ch ữ s ố khác nhau mà t ổng c ủa chúng thì chia h ết cho 720. HD @Gi ải Phép hốn v ị P 7 = 7! = 5040, cho ta s ố các s ố g ồm 7 ch ữ s ố khác nhau thành l ập được t ừ B. Để ý r ằng 5040 trong 5040 s ố tìm được, ta luơn vi ết được: = 2520 cặp s ố cĩ t ổng là 8 888 888 2 1234567  2134567  3124567 Nh ư ;  ;  ; Nên t ổng S c ủa chúng là: S = 2520.8888888 7654321  6754321  5764321 2520 : 90= 28 Mà 720 = 90.8 và  .Vậy S chia h ết cho 720 (tho ả ycbt) 8888888: 8= 1111111 Bài 2.8. Cĩ bao nhiêu cách xếp n ăm b ạn h ọc sinh A,B,C,D và E vào m ột chi ếc gh ế dài đủ n ăm ch ỗ ng ồi 8 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp sao cho: a) Bạn C ng ồi chính gi ữa? b) Hai b ạn A và E ng ồi ở hai đầu gh ế? HD @Gi ải a) X ếp C ng ồi chính gi ữa cĩ 1(cách), X ếp A, B, D, E vào b ốn ch ỗ cịn l ại cĩ P 4 = 4! = 24 (cách). V ậy cĩ tất c ả là 24 cách x ếp tho ả ycbt. b) Xếp A, E ng ồi ở hai đầu gh ế cĩ 2! = 2 (cách), x ếp B, C, D vào ba ch ỗ cịn l ại cĩ 3! = 6 (cách). V ậy cĩ tất c ả là 2.6 = 12 cách tho ả ycbt. Bài 2.9. Trong m ột phịng học cĩ hai bàn dài, m ỗi bàn cĩ 5 gh ế. Ng ười ta mu ốn x ếp ch ỗ ng ồi cho 10 h ọc sinh g ồm 5 nam và 5 n ữ. H ỏi cĩ bao nhiêu cách s ắp x ếp ch ỗ ng ồi, n ếu: a) Tất c ả các h ọc sinh ng ồi tu ỳ ý ? b) Tất c ả h ọc sinh nam ng ồi m ột bàn và h ọc sinh n ữ ng ồi m ột bàn? HD @Gi ải a) Hai cái bàn và 10 gh ế, nên khi x ếp 10 h ọc sinh ng ồi tu ỳ ý, đĩ là hốn v ị c ủa 10 h ọc sinh ứng v ới 10 gh ế. V ậy cĩ P 10 = 10! = 3 628 800 cách tho ả ycbt. b) Ta cĩ: 5 gh ế x ếp cho 5 học sinh nam cĩ: 5! cách x ếp và 5 gh ế x ếp cho 5 h ọc sinh n ữ cĩ : 5! cách x ếp. Vậy hai cái bàn cĩ: 2.(5!)(5!) = 28800 cách x ếp tho ả ycbt. Bài 2.10. Cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố ch ẵn cĩ 5 ch ữ s ố khác nhau l ấy t ừ 0; 2;3;6;9? HD @Gi ải Tập n ền B = {0;2;3;6;9 }. S ố ch ẵn là nh ững s ố cĩ t ận cùng là 0; 2 và 6 t ừ t ập n ền B - Nếu mơt s ố cĩ 5 ch ữ số t ận cùng là 0 thì b ốn ch ữ s ố đầu là hốn v ị c ủa 2; 3; 6 ;9. tacĩ P 4 = 4! s ố nh ư vậy. - Nếu m ột s ố cĩ 5 ch ữ s ố t ận cùng là 2 thì b ốn ch ữ s ố đầu là hốn v ị c ủa 0; 3; 6; 9 trong đĩ lo ại b ỏ đi các hốn v ị đầu là 0. Ta cĩ: P 4 = 4! Trong đĩ P 3 = 3! hốn v ị b ắt đầu là 0. V ậy cĩ 5 ch ữ s ố t ận cùng là 2 là: P 4 – P3 = 4! – 3! - Tươ ng t ự cho 5 ch ữ s ố t ận cùng là 6 là: P 4 – P3 = 4! – 3!. Tĩm l ại cĩ t ất c ả là: 4! + 4! – 3! + 4! – 3! = 60 tho ả ycbt. Bài 2.11. Một t ổ h ọc sinh cĩ 5 nam và 5 n ữ x ếp thành m ột hàng d ọc. a) Cĩ bao nhiêu cách x ếp khác nhau ? b) Cĩ bao nhiêu cách x ếp sao cho khơng cĩ h ọc sinh cùng gi ới tính đứng k ề nhau ? HD @Gi ải a) Cách x ếp 10 h ọc sinh thành m ột hàng d ọc là: 10! = 3 628 800 cách b) Gi ả s ử h ọc sinh nam x ếp vào vi tr ị ch ẵn cĩ: 5! (cách), h ọc sinh n ữ x ếp váo v ị trí l ẻ cĩ: 5! (cách). Sau đĩ đổi ch ỗ: ch ẵn cho n ữ và l ẻ cho nam nên cĩ: 2!(cách) Vậy cĩ: 5!.5!.2! = 28800(cách) Bài 2.12 . Cĩ bao nhiêu s ố g ồm 7 ch ữ s ố khác nhau đơi m ột được l ập b ằng cách dùng b ảy ch ữ s ố 1;2;3;4;5;7;9 sao cho 2 ch ữ s ố ch ẵn khơng n ằm li ền nhau ? HD @Gi ải Các s ố cĩ 7 ch ữ s ố l ấy t ừ t ập B = {1;2;3;4;5;7;9 }là m ột hốn v ị c ủa 7 ph ần t ử. Vậy s ố c ần tìm là: P 7 = 7! (s ố). Các s ố cĩ 7 ch ữ s ố mà 2 ch ữ s ố ch ẵn 2; 4 đứng k ề nhau là: 2!.6! (s ố). Vậy s ố tho ả ycbt: 7! – 2!.6! = 3600(s ố) Bài 2.13 . Cĩ bao nhiêu cách x ếp ch ỗ ng ồi cho 10 b ạn, trong đĩ cĩ An và Bình, vào 10 gh ế kê thành hàng ngang, sao cho: a) Hai b ạn An và Bình ng ồi c ạnh nhau ? b) Hai b ạn An và Bình khơng ng ồi c ạnh nhau? HD @Gi ải a) Cĩ 2.9 = 18 cách x ếp ch ỗ cho An và Bình ng ồi c ạnh nhau, 8 bạn kia được x ếp vào 8 ch ỗ cịn l ại. Vây cĩ 8! Cách x ếp 8 b ạn cịn lại và do đĩ cĩ 18.8! cách x ếp sao cho An và Bình ng ồi cạnh nhau. b) Cĩ 10! Cách x ếp ch ỗ ng ồi cho 10 b ạn. T ừ đĩ cĩ 10! – 18.8! = 72.8! cách x ếp ch ỗ cho 10 b ạn mà An và Bình khơng ng ồi c ạnh nhau. Bài 2.14. Cĩ 6 h ọc sinh được x ếp ng ồi vào 6 ch ỗ đã ghi s ố th ứ t ự trên m ặt bàn dài. 9 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp a) Tìm s ố cách s ắp x ếp 6 h ọc sinh này ng ồi vào bàn ? b) Tìm s ố cách s ắp x ếp 6 h ọc sinh này sao cho hai h ọc sinh A và B khơng ng ồi c ạnh nhau? HD @Gi ải a) M ỗi m ột cách s ắp x ếp 6 h ọc sinh ng ồi vào 6 ch ỗ cĩ ghi s ố th ứ t ự là m ột hốn v ị 6 ph ần t ử. V ậy s ố cách sắp x ếp là: P 6 = 6! = 720(cách). b) Mỗi m ột cách s ắp x ếp A và B ho ặc B và A theo th ứ t ự đĩ ng ồi c ạnh nhau là m ột hốn v ị c ủa 5 ph ần tử. V ậy cách x ếp A và B ng ồi c ạnh nhau là: 2.P 5 = 2.5!(cách) Vậy s ố cách s ắp x ếp c ần tìm là: 720 – 2.5! = 480(cách) Bài 2.15. Từ ba đỉnh c ủa tam giác ABC cĩ th ể l ập được bao nhiêu vect ơ khác vect ơ O . HD @Gi ải Hai điểm b ất kì phân bi ệt xác định được hai vect ơ khác vect ơ O . T ừ ba đỉnh A, B, C c ủa tam giác ABC thì khơng cĩ điểm nào th ẳng hàng và hai điểm tu ỳ ý thì luơn phân bi ệt nhau. Do đĩ ta l ấy hai điểm tu ỳ ý trong ba điểm thì s ố vect ơ lập được là ch ỉnh h ợp ch ập 2 c ủa 3 ph ần t ử 3! Vậy: A2 = =3.2 = 6 (vect ơ) 3 (3− 2)! Bài 2.16. Cho m ột đa giác l ồi cĩ 15 c ạnh. H ỏi cĩ bao nhiêu vect ơ khác vect ơ O với điểm đầu và điểm cu ối là các đỉnh c ủa đa giác ? HD @Gi ải Đa giác l ồi cĩ 15 c ạnh nên cĩ 15 đỉnh , hai đỉnh thì luơn phân bi ệt nhau và c ứ 3 đỉnh thì khơng th ẳng hàng. Do đĩ ta l ấy 2 điểm tu ỳ ý trong 15 điểm thì s ố vect ơ lập được là m ột ch ỉnh h ợp ch ập 2 c ủa 15 ph ần 15! tử. V ậy s ố vect ơ là: A2 = =15.14 = 210 (vect ơ) 15 (15− 2)! Bài 2.17. Một câu l ạc b ộ Tốn h ọc lúc thành l ập cĩ 14 thành viên, c ần b ầu ch ọn ra m ột thành viên làm giám đốc CLB, m ột thành viên làm phĩ giám đốc CLB và m ột thành viên làm k ế tốn tr ưởng CLB. H ỏi cĩ bao nhiêu cách ch ọn để b ầu mà khơng cĩ ai kiêm nhi ệm ? HD @Gi ải Khi b ầu ch ọn 3 thành viên trong 14 thành viên ra làm giám đốc, phĩ giàm đốc và k ế tốn tr ưởng (k < n) thì th ứ t ự c ần đảm b ảo. 14! Nên cách s ố cách ch ọn để bầu ng ười khơng kiêm nhi ệm là: A3 = = 2184 (cách) 14 (14− 3)! Bài 2.18. Cĩ bao nhiêu s ố nguyên d ươ ng g ồm 5 ch ữ s ố khác khơng và khác nhau đơi m ột? HD @Gi ải ≠ ≠ ∈{ } = Mỗi s ố c ần tìm cĩ d ạng: aa1 2 a 3 a 4 a 5 , trong đĩ ai ai j ; j và ai 1;2;3;4;5;6;7;8;9 , i 1, ,5 . Nh ư vậy ta cĩ th ể coi m ỗi s ố d ạng trên là m ột ch ỉnh h ợp ch ập 5 c ủa 9 ch ữ s ố. V ậy s ố c ần tìm là: 9! A5 = = 15120 (s ố) 9 (9− 5)! Bài 2.19. Gi ả s ử cĩ b ảy bơng hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. H ỏi cĩ bao nhiêu cách c ắm ba bơng hoa vào ba l ọ đã cho ( m ỗi l ọ c ắm m ột bơng)? HD @Gi ải Vì b ảy bơng hoa màu khác nhau và ba l ọ c ắm hoa khác nhau nên m ỗi l ần chọn ra ba bơng hoa để c ắm vào ba l ọ, ta cĩ m ột ch ỉnh h ợp ch ập 3 c ủa 7 ph ần t ử. V ậy s ố cách c ắm hoa vào ba l ọ khác nhau là: 7! A3 = = 210 (cách) 7 (7− 3)! Bài 2.20. Cĩ bao nhiêu cách mắc nối ti ếp 4 bĩng đèn được ch ọn từ 6 bĩng đèn khác nhau? HD @Gi ải Mắc nối ti ếp 4 bĩng đèn từ 6 bĩng đèn khác nhau là m ột ch ỉnh h ợp ch ập 4 c ủa 6 ph ần t ử. V ậy s ố cách 6! mắc là: A4 = = 360 (cách) 6 (6− 4)! 10 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 2.21. Từ n ền B = {0;1;3;5;7 } cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố g ồm ba ch ữ s ố khác nhau ? HD @Gi ải Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng: abc; a ≠ 0 và xét hai th ường h ợp TH1. Ch ọn a∈ B \{ 0 } ⇒ cĩ 4 cách ch ọn TH2. Ch ọn bc,∈ B \ { a } tươ ng đươ ng vi ệc s ắp x ếp 2 ch ữ s ố tu ỳ ý c ủa bc,∈ B \ { a } vào hai v ị trí 4! cịn l ại (k < n và tình th ứ t ự ph ải đảm b ảo) ⇒ cĩ A2 = = 12 cách ch ọn 4 (4− 2)! Vậy s ố c ần tìm là: 4.12 = 48 (s ố) Cách khác: Số cĩ ngh ĩa và khơng cĩ ngh ĩa g ồm ba ch ữ s ố l ập được t ừ B là m ột chinh h ợp ch ập 3 c ủa 5 5! ph ần t ử trong B. A3 = = 60 (s ố). S ố các s ố ngh ĩa: 0bc cần lo ại b ỏ đi t ươ ng đươ ng vi ệc s ắp x ếp 5 (5− 3)! b, c ∈{ 1;3;5;7 } vào hai v ị trí cị l ại và tính th ứ t ự ph ải b ảo đảm. S ố đĩ là ch ỉnh h ợp ch ập 2 c ủa 4 ph ần t ử: 4! A2 = = 12 (s ố). 4 (4− 2)! Vậy s ố c ần tìm là: 60 – 12 = 48 s ố Bài 2.22. Cho t ập n ền B = {0;1;2;3;4;5 }. Cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố ch ẵn, m ỗi s ố g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau ? HD @Gi ải Gọi s ố c ần tìm là: abcde; a≠ 0; e ∈ { 0;2;4 }và a, b , c , d ∈{ 0;1;2;3;4;5 } . Xét các tr ường h ợp: 5! TH1. D ạng s ố abcd0; a ≠ 0 , Ch ọn a, b , c , d ∈{ 1;2;3;4;5 } cĩ A4 = = 120 (s ố dạng abcd 0) 5 (5− 4)! TH2. D ạng s ố abcd2; abcd 4; a ≠ 0 . Ch ọn a∈{1;3;4;5} haya ∈ { 1;2;3;5 }đều cĩ 4 cách ch ọn, ch ọn 4! a, b , c , d ∈{ 1;2;3;4;5 } cĩ A3 = = 24 số. V ậy s ố d ạng abcd2; abcd 4; a ≠ 0 cĩ 2.4.24 = 192(s ố) 4 (4− 3)! Vậy s ố c ần tìm là: 120 + 192 = 312 (s ố ) Bài 2.23. Với t ập n ền B = {0;1;2;3;4;5;6 }, ta cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau và trong đĩ ph ải cĩ m ặt ch ữ s ố 5 ? HD @Gi ải Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng: abcde; a≠ 0;,,,, a b c d e ∈ B . S ố cĩ 5 ch ữ s ố ph ải cĩ m ặt ch ữ s ố 5 ta xét các tr ường h ợp: 6! TH1. D ạng 5bcde , ch ọn b, c , d , e ∈{ 0;1;2;3;4;6 } cĩ A4 = = 360 (s ố) 6 (6− 4)! TH2. D ạng các a5 cde( ab 5; de abc 5; e abcd 5;) a ≠ 0 . Ch ọn a ∈{1;2;3;4;6 } cĩ 5 cách ch ọn, ch ọn 5! bcd, ,∈{ 0;1;2;3;4;6} \ { a } cĩ A3 = = 60 (s ố). 5 (5− 3)! Cĩ b ốn s ố d ạng trên nên cĩ 4.60 =1200 (s ố) Vậy cĩ 360 + 1200 = 2560 s ố tho ả ycbt. Bài 2.24. Từ 7 ch ữ s ố 0;1;2;3;4;5;6 cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố ch ẵn, m ỗi s ố g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau? HD @Gi ải Số c ần tìm cĩ d ạng abcde; a≠ 0; a , b , c , d , e ∈ B = { 0;1;2;3;4;5;6 }và là s ố ch ẵn. 6! TH1. D ạng abcd 0. Ch ọn a, b , c , d ∈{ 1;2;3;4;5;6 } cĩ A4 = = 360 số d ạng abcd 0 6 (6− 4)! 11 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp TH2. D ạng các abcd2( abcd 4; abcd 6) ; a ≠ 0 . Ch ọn a∈{1;3;4;5;6} \ { e } cĩ 5 cách ch ọn, ch ọn 5! bcd, ,∈{ 0;1;3;4;5;6} \{ ae ; } cĩ A3 = = 60 (s ố). 5 (5− 3)! Vậy cĩ 5. 60 = 300 s ố d ạng abcd 2 Cĩ ba s ố d ạng trên nên cĩ: 3.300 = 900 s ố Tĩm l ại cĩ: 360 + 900 = 1260 s ố tho ả ycbt. Bài 2.25. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau chia h ết cho 10 (ch ữ s ố hàng v ạn khác 0)? HD @Gi ải Số cĩ 5 ch ữ s ố khác nhau chia h ết cho 10 cĩ d ạng: abcd0; a ≠ 0 trong đĩ 9! abcd, , ,∈ B = { 1;2;3;4;5;6;7;8;9 }do a ≠ 0 , khi đĩ ta cĩ A4 = = 3024 số tho ả ycbt. 9 (9− 4)! Bài 2.26. Cho 6 ch ữ số 1;2;3;4;5;6. Cĩ th ể t ạo ra bao nhiêu s ố g ồm 4 ch ữ s ố khác nhau? Trong đĩ cĩ bao nhiêu s ố chia h ết cho 5 ? HD @Gi ải Số g ồm b ốn ch ữ s ố khác nhau cĩ d ạng abcd; a ≠ 0 trong đĩ 6! abcd, , ,∈ B = { 1;2;3;4;5;6 } nên ta cĩ: A4 = = 360 (s ố). 6 (6− 4)! Số abcd; a ≠ 0 chia h ết cho 5 khi d = 5 và ch ọn a, b , c ∈{ 1;2;3;4;6 } cĩ 5! A3 = = 60 (s ố ) 5 (5− 3)! Bài 2.27. Từ t ập n ền B = {0;1;2;3;4;5;6 } cĩ th ể l ập được : a) Bao nhiêu s ố t ự nhiên g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau ? b) Bao nhiêu s ố t ự nhiên ch ẵn g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau ? HD @Gi ải 5 a) N ếu k ể c ả tr ường h ợp s ố 0 đứng đầu, thì ta cĩ: A7 số t ự nhiên g ồm 5 ch ữ s ố khác nhau. 5 4 Trong A7 các s ố đĩ g ồm cĩ A6 số g ồm 5 ch ữ s ố mà ch ữ s ố 0 đứng đầu. V ậy s ố g ồm 5 ch ữ số khác nhau 5− 4 = lập t ừ t ập n ền B là: A7 A 6 2160 (s ố) b) Xem bài 2.22 Bài 2.28. Xét các ch ữ s ố g ồm 9 ch ữ s ố, trong đĩ cĩ 5 ch ữ s ố 1 và 4 ch ữ s ố cịn l ại là 2,3,4,5. H ỏi cĩ bao nhiêu s ố nh ư th ế, n ếu: a) 5 ch ữ s ố 1 được x ếp k ề nhau ? b) Các ch ữ s ố được x ếp tu ỳ ý ? HD @Gi ải a) G ọi nhĩm 11111 là s ố a. Bài tốn yêu c ầu ta c ần s ắp x ếp n ăm s ố : a,2,3,4,5 vào 5 v ị trí khác nhau. S ố cách s ắp x ếp là: P 5 = 5! = 120 s ố tho ả ycbt. b) L ập m ột s ố cĩ 9 ch ữ s ố tho ả mãn yêu c ầu, th ực ch ất là vi ệc x ếp b ốn s ố 2,3,4,5 vào 4 v ị trí tu ỳ ý trong 9 vị trí, cịn 5 v ị trí cịn l ại thì ch ữ s ố 1 l ặp 5 l ần. 9! Vậy cĩ: A4 = = 3024 số tho ả ycbt. 9 (9− 4)! Bài 2.29. Cần phân cơng ba b ạn t ừ m ột t ổ cĩ 10 b ạn để tr ực nh ật. H ỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng khác nhau ? HD @Gi ải Kết quả c ủa s ự phân cơng là m ột nhĩm g ồm ba b ạn, t ức là m ột t ổ h ợp ch ập 3 c ủa 10 ban. V ậy s ố cách 10! phân cơng là: C3 = = 120 ( cách) 10 3!(10− 3)! Bài 2.30. Trong m ặt ph ẳng cĩ 6 đường th ẳng song song v ới nhau và 8 đường th ẳng khác c ũng song song 12 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp với nhau đồng thời c ắt 6 đường th ẳng đã cho. H ỏi cĩ bao nhiêu hình bình hành được t ạo nên b ởi 14 đường th ẳng đã cho ? HD @Gi ải Gọi A và B l ần l ượt là t ập h ợp 6 đường th ẳng song song v ới nhau và 8 đường th ẳng song song c ắt 6 đường th ẳng đã cho. M ỗi hình bình hành được t ạo bởi hai đường th ẳng c ủa t ập A và hai đường th ẳng c ủa 2 2 = = tập B. V ậy s ố hình bình hành c ần tìm là: C6. C 8 15.28 420 (hình) Bài 2.31. Cĩ bao nhiêu tam giác mà các đỉnh c ủa chúng thu ộc t ập h ợp g ồm 10 điểm n ằm trên đường trịn? HD @Gi ải 10! Cứ ba điểm d ựng được m ột tam giác. V ậy cĩ th ể d ựng được C3 = = 120 tam giác. 10 3!(10− 3)! Bài 2.32. Một đa giác l ồi 20 c ạnh cĩ bao nhiêu đường chéo ? HD @Gi ải 2 Số đoạn n ối hai đỉnh c ủa đa giác đã cho là C20 , s ố c ạnh c ủa đa giác là 20. V ậy s ố đường chéo c ần tìm là: 2 − = C20 20 170 đường chéo Bài 2.33. Một nhĩm cĩ 10 h ọc sinh, d ự định b ầu ra m ột ban đại di ện g ồm 3 ng ười. a) Cĩ bao nhiêu cách b ầu nh ư dự định ? b) Cĩ bao nhiêu cách b ầu nh ư dự định, nh ưng b ắt bu ộc trong m ỗi cách b ầu ph ải cĩ m ặt nhĩm tr ưởng ? HD @Gi ải a) Ch ọn ra ba h ọc sinh ( k = 3 trong 10 h ọc sinh đại di ện n =10) để cĩ được m ột cách b ầu (khơng tính th ứ 10! tự). Nên s ố cách b ầu là: C3 = = 120 (cách). 10 3!(10− 3)! b) Để ý m ỗi cách b ầu 3 đại di ện trong đĩ ph ải cĩ m ặt nhĩm tr ưởng, tươ ng đươ ng vi ệc ch ọn 2 đại di ện 9! trong 9 ng ười ( khơng cĩ nhĩm tr ưởng). Nên s ố cách bầu là: C2 = = 36 (cách) 9 2!(9− 2)! Bài 2.34. Một t ổ sinh viên cĩ 20 em, trong đĩ 8 em ch ỉ bi ết ti ếng Anh, 7 em ch ỉ bi ết ti ếng Pháp và 5 em ch ỉ bi ết ti ếng Đức. C ần lập m ột nhĩm đi th ực t ế g ồm 3 em bi ết ti ếng Anh, 4 em bi ết ti ếng Pháp, 2 em bi ết ti ếng Đức. H ỏi cĩ bao nhiêu cách l ập nhĩm đi th ực t ế t ừ t ổ sinh viên đĩ ? HD @Gi ải 3 = Số cách ch ọn 3 em bi ết ti ếng Anh là: m 1 = C8 56 cách 4 = Số cách ch ọn 4 em bi ết ti ếng Pháp là : m 2 = C7 35 cách 2 = Số cách ch ọn 2 em bi ết ti ếng Đức là : m 3 = C5 10 cách Vậy s ố cách l ập m ột nhĩm đi th ực t ế là: M = m 1.m 2.m 3 = 19600(cách) Bài 2.35. Một t ổ g ồm cĩ 8 nam và 6 n ữ. C ần l ấy m ột nhĩm 5 ng ười trong đĩ cĩ 2 n ữ. H ỏi cĩ bao nhiêu cách ch ọn ? HD @Gi ải 2 = 3 = Cĩ m 1 = C6 15 cách ch ọn 2 n ữ và cĩ m 2 = C8 56 cách ch ọn 3 nam. Vậy cĩ t ất c ả: M = m 1.m 2 = 15.56 = 840 cách ch ọn tho ả ycbt. Bài 2.36. Cho hai đường th ẳng song song d 1 và d 2. Trên d1 lấy 17 điểm phân bi ệt, trên d 2 lấy 20 điểm phân bi ệt. Tính s ố tam giác cĩ các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã ch ọn trên d 1 và d 2. HD @Gi ải 2 = Trên d 1 cĩ 17 điểm phân bi ệt, nh ư vậy s ố đoạn th ẳng n ối hai đầu mút là 2 trong 17 điểm đĩ là: C17 136 ( đoạn th ẳng) 2 = Tươ ng t ự: cĩ C20 190 ( đoạn th ẳng v ới đầu mút ) là 2 trong 20 điểm cho trên d 2. Xét m ột điểm đã cho trong 17 điểm trên d 1, ứng v ới m ỗi đoạn g ồm 2 điểm trong 20 điểm trên d 2 ta được một tam giác. Nên cĩ 17.190 = 3230 tam giác v ới 2 đỉnh trên d 2, 1 đỉnh trên d1 Tươ ng t ự nh ư vậy cĩ 20 . 136 = 2720 tam giác v ới 2 đỉnh trên d 1, 1 đỉnh trên d 2. Vậy cĩ : 3230 + 2720 = 5950 tam giác tho ả ycbt. Bài 2.37. Trên m ột m ặt ph ẳng, 9 đường th ẳng song song c ắt 10 đường th ẳng song song khác thì t ạo nên 13 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp bao nhiêu hình bình hành trên m ặt ph ẳng đĩ ? HD @Gi ải Gọi A và B l ần l ượt là t ập h ợp 9 đường th ẳng song song v ới nhau và 10 đường th ẳng song song c ắt 9 đường th ẳng đã cho. M ỗi hình bình hành được t ạo b ởi hai đường th ẳng c ủa t ập A và hai đường th ẳng c ủa 2 2 = = tập B. V ậy s ố hình bình hành c ần tìm là: C9. C 10 36.46 1620 (hình) Bài 2.38. Một t ổ cĩ 7 nam sinh và 4 n ữ sinh. Giáo viên c ần ch ọn 3 h ọc sinh x ếp bàn gh ế c ủa l ớp, trong đĩ cĩ ít nh ất 1 nam sinh. H ỏi cĩ bao nhiêu cách ch ọn ? HD @Gi ải 21+ 12 + 3 = Số cách ch ọn 3 h ọc sinh x ếp bàn gh ế của l ớp, trong đĩ cĩ ít nh ất 1 nam sinh là: CC47. CC 47 . C 7 161 ( cách) Bài 2.39. Cĩ 5 nhà Tốn h ọc nam, 3 nhà Tốn h ọc n ữ và 4 nhà V ật lý nam. L ập m ột đồn cơng tác 3 ng ười c ần cĩ c ả nam và n ữ. Cần cĩ c ả nhà Tốn h ọc và nhà V ật lý. H ỏi cĩ bao nhiêu cách l ập ? HD @Gi ải Để ý gi ả thi ết y ều c ầu cĩ c ả nam và n ữ, cĩ c ả nhà Tốn h ọc và nhà V ật lý. Nên trong đồn cơng tác c ần ph ải cĩ 1 nhà V ật lý luơn là Nam và 1 nhà Tốn h ọc n ữ. Lúc đĩ ng ười th ứ ba cĩ th ể là: nhà Tốn h ọc nam ho ặc nhà V ật lý nam ho ặc nhà tốn h ọc n ữ. 111+ 21 + 12 = Vậy cĩ: CCC534. . CC 34 . CC 34 . 90 cách ch ọn tho ả ycbt. Bài 2.40. Cĩ bao nhiêu s ố g ồm 6 ch ữ s ố khác nhau đơi m ột trong đĩ cĩ đúng 3 ch ữ s ố l ẻ và 3 ch ữ s ố ch ẵn ( ch ữ s ố đầu tiên ph ải khác 0)? HD @Gi ải Số c ần tìm cĩ d ạng abcdef , v ới a,b,c,d,e,f thu ộc vào m ột trong hai nhĩm . { } { } 3 = TH1. Nhĩm ch ữ s ố ch ẵn và l ẻ: 0;2;4;6;8 ; 1;3;5;7;9 . L ấy 3 ch ữ s ố l ẻ trong 5 s ố l ẻ cĩ: C5 10 cách. 3 = Lấy 3 ch ữ s ố ch ẵn trong 5 ch ữ s ố ch ẵn cĩ: C5 10 cách. Do m ỗi nhĩm 3 ch ữ s ố ch ẵn và 3 ch ữ s ố l ẻ khác nhau t ạo được nên cĩ 6! = 720 s ố cĩ 6 ch ữ s ố ( k ể c ả a = 0) Vậy cĩ: 10.10.720 = 72000s ố 6 ch ữ s ố khác nhau, trong đĩ 3 ch ữ s ố l ẻ và 3 ch ữ s ố ch ẵn (k ể c ả a = 0) 3 = TH2. Khi a = 0. L ấy 3 ch ữ s ố l ẻ trong 5 s ố l ẻ cĩ: C5 10 cách. L ấy 2 ch ữ s ố ch ẵn trong 4 ch ữ s ố ch ẵn cĩ: 2 = C4 6 cách. Do m ỗi nhĩm 3 ch ữ s ố ch ẵn và 3 ch ữ s ố l ẻ khác nhau t ạo được nên cĩ 5! = 120 s ố Vậy cĩ: 10.6.120 = 7200s ố 6 ch ữ s ố khác nhau, trong đĩ 3 ch ữ s ố l ẻ và 3 ch ữ s ố ch ẵn và s ố đầu tiên b ằng 0. Tĩm l ại cĩ 72000 – 7200 = 64800 s ố l ập được thoả ycbt. Bài 2.41. Cĩ bao nhiêu tam giác mà các đỉ nh c ủa chúng là các đỉ nh c ủa th ập giác? HD @Gi ải Mỗi tam giác đượ c t ạo b ởi m ột t ập h ợp 3 đỉ nh c ủa th ập giác và ng ượ c l ại. Nh ư v ậy, s ố tam giác b ằng s ố 3 = các t ổ h ợp ch ập 3 c ủa 10 đỉ nh, t ức là b ằng : C10 120 Bài 2.42. Cĩ bao nhiêu đườ ng chéo c ủa thập giác ? HD @Gi ải 2 = Từ 10 đỉ nh c ủa th ập giác cĩ th ể k ẻ đượ c C10 45 đoạn th ẳng trong đĩ cĩ 10 c ạnh c ủa th ập giác. Vậy ta cĩ: 45 – 10 = 35 ( đườ ng chéo) Bài 2.43. Đội thanh niên xung kích c ủa m ột tr ường ph ổ thơng cĩ 12 h ọc sinh, g ồm 5 h ọc sinh l ớp A, 4 học sinh l ớp B và 3 h ọc sinh l ớp C. Cần ch ọn b ốn h ọc sinh đi làm nhi ệm vụ, sao cho 4 h ọc sinh này thu ộc khơng quá 2 trong 3 l ớp trên. H ỏi cĩ bao nhiêu cách ch ọn nh ư v ậy ? HD @Gi ải 4 = Số cách ch ọn 4 h ọc sinh t ừ 12 h ọc sinh đã cho là C12 495 Số cách ch ọn 4 h ọc sinh mà m ỗi l ớp cĩ ít nh ất m ột em được tính nh ư sau: 2 1 1 = - Lớp A cĩ 2 h ọc sinh, các l ớp B, C cĩ 1 h ọc sinh. Số cách ch ọn: C5. C 4 . C 3 120 1 2 1 = - Lớp B cĩ 2 h ọc sinh, các l ớp C, A cĩ 1 h ọc sinh. S ố cách ch ọn: C5. C 4 . C 3 90 1 1 2 = - Lớp C cĩ 2 h ọc sinh, các l ớp B, A cĩ 1 h ọc sinh. S ố cách ch ọn: C5. C 4 . C 3 60 14 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Số cách ch ọn h ọc sinh mà m ỗi l ớp cĩ ít nh ất m ột h ọc sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy s ố cách ch ọn c ần tìm là: 495 – 270 = 225. n +11 1  1 Bài 2.44. Ch ứng minh r ằng +  = (n, k là s ố nguên d ươ ng, k≤ n ) + 2 k k+1  k n Cn+1 C n + 1  C n HD @Gi ải Ta cĩ n+1 1 1  nknkknk + 1 !( +−++− 1 )! ( 1)!( )! +  = . +2k k +1  + 2 ( + 1)! nCn+1 C n + 1  n n 1knk !(− )! knk !( − )! 1 =. [(n +−++= 1 k ) ( k 1)] = + 2 ! ! k n n n Cn A4+ 3 A 3 Bài 2.45. Tìm giá tr ị c ủa bi ểu th ức M = n+1 n . Bi ết r ằng C2+2 C 2 + 2 C 2 + C 2 = 149 (n + 1)! n+1 n + 2 n + 3 n + 4 HD @Gi ải n = 5 ≥ ∈ ℕ 2222+ + + = ⇔+−=⇔ 2 Điều ki ện n3, n . Ta cĩ CCCCn+12 n + 2 2 n + 3 n + 4 149 nn 450  n = − 9 A4+ 3 A 3 3 Nh ận n = 5 và M =6 5 = 6! 4 Bài 2.46. Ch ứng minh r ằng v ới 4≤k ≤ nkn , , ∈ ℤ+ ta cĩ: kk+−1 + k − 2 + kk − 3 += − 4 k CCnn4 6 C n 4 CC nn C n +4 HD @Giải Sử d ụng PP nhĩm các h ạng t ử thích h ợp và s ử d ụng h ằng đẳng th ức Pa-xcan. kk++−1 kk −− 12 ++ kk −− 23 +++ kk −− 34 VT=(CCnn) 3( CC nn) 3 ( CC nn) ( CC nn ) =+++=++kkkkkk−−−123 − 1 kk −−−− 1223 +++ kk CCCC++++ 3 3()()() CC ++ 2 CC ++ CC ++ nnnnnn111111 nn 111 nn =+k kk−−12 += kk + − 1 + kk −− 12 + Cn+2 2 CC nn ++ 22()() CC nn ++ 22 CC nn ++ 22 =k + k−1 = k = Cn+3 Cn+3 C n + 4 VP C. BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN Bài 2.47. Cơ giáo chia 4 qu ả táo, 3 qu ả cam và 2 qu ả chu ối cho 9 cháu (m ỗi cháu m ột qu ả). H ỏi cĩ bao nhiêu cách chia khác nhau ? (Đs: 1260 cách) Bài 2.48. Cĩ bao nhiêu t ập con c ủa t ập h ợp g ồm b ốn điểm phân bi ệt ? (Đs: 16 t ập con) Bài 2.49. Trong m ột đa giác đều b ảy c ạnh, k ẻ các đường chéo. H ỏi cĩ bao nhiêu giao điểm c ủa các đường chéo, tr ừ các đỉnh ? (Đs: 35 giao điểm) Bài 2.50. Tìm các s ố nguyên dươ ng gốm n ăm ch ữ s ố sao cho m ỗi ch ữ s ố c ủa s ố đĩ l ớn h ơn ch ữ s ố ở bên ph ải c ủa nĩ.( Đs: 252 s ố) Bài 2.51. Cĩ bao nhiêu cách x ếp ch ỗ cho 4 b ạn n ữ và 6 b ạn nam ng ồi vào 10 gh ế mà khơng cĩ hai b ạn n ữ nào ng ồi c ạnh nhau, n ếu: 4 a) Gh ế s ắp thành hàng ngang ? ( Đs: 4!. C7 cách) 4 b) Gh ế s ắp quanh m ột bàn trịn ?( Đs: 5!. A6 cách) Bài 2.52. Tính giá tr ị c ủa các bi ểu th ức sau: 7!4! 8! 9!  2 A2 A 5 a. A = −  (Đs: A = ) b. B =5 + 10 (Đs: B = 46) 10! 3!5! 2!7!  3 P27 P 5 PP P P  c. C= PA1 + PA 2 + PA 3 + PA 4 − PPPP (Đs: C = 2750) d. D=5 +4 + 3 + 2  . A 2 (Đs: D = 42) 12 2 3 3 4 4 5 1234 4 3 2 1  5 A5 A 5 A 5 A 5  15 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 12 1 3 1 3 4 4 C− C + C A+ A 6 8 15 1 e. E = 6 5 (Đs: E = 20) f. F = 3 3 65 (Đs: F = ) 4 3 36 A4 P3 A 5 C98+ C 998 g. G = 100 1000 (Đs: G = 1) h. H= CC32 + CC 21 + CC 10 (Đs: H = 81) 2+ 2 54 43 33 C1000 C 100 Bài 2.53. Ch ứng minh r ằng: a) Pn – Pn – 1 = (n – 1)P n – 1 ≤ ≤ k+1 = kk + ++ kk + b) CMR: v ới 1 k n ta cĩ: Cn+1 CC nn − 1 CC kk + 1 Bài 2.54. Gi ải các ph ươ ng trình sau: (x , n ∈ℕ ) x!− ( x − 1)! 1 a) 2A2+ 50 = A 2 ; x ∈ ℕ ( Đs: x = 5) b) = (Đs: x = 2 v x = 3) x2 x (x + 1)! 6 1 c) P= 720 A5 . P (Đs: x = 7) d) A3+3 A 2 = P (Đs: n = 4) x+3 x x − 5 n n2 n +1 1 1 1 A2. C x− 1 = 48 ≥ 1 x − = C 4 0≤ ≤ 4⇒ = 2 e) x x (ĐK: x , Đs: = 4) f) x x x (ĐK: x cĩ ngh ĩa x x là C4 C 5 C 6 nghi ệm) Bài 2.55. Gi ải các ph ươ ng trình sau: k+ k+2 = k + 1 ≤ ≤ ∈ ℕ a) C14 C 142 C 14 (ĐK: 0k 12; k , Đs: k = 4 v k = 8) 1+ 2 + 3 = 2 − ≥ ∈ ℕ b) CCCx6 x 6 x 9 x 14 x (ĐK: x3, x , Đs: x = 7) xxx−−−1+ 2 + 3 ++ x − 10 = ≥ ∈ ℕ c) CCCxxx C x 1023 (ĐK: x10, x , x = 10) y y+1 y − 1 = d) Cx+1 : C x : C x 6:5:2 (Đs: x = 8, y = 3) y+ y−1 yy − 1 − 1 = e) ( Ax−1 yA x − 1 ) : A xx : C 10:2:1 (Đs: x = 7, y = 3) Bài 2.56. Ch ứng minh r ằng: −k = − k −2 a. kk( 1) Cn nn ( 1) C n −2 kk+−1 + k − 2 + kk − 3 += − 4 k b. CCnn4 6 C n 4 CC nn C n +4 kk++1 + k + 2 +=+ k + 3 k + 2 k + 3 c. 2CCnn 5 4 C n C n C n+2 C n + 3 kk+−1 + k − 2 += k − 3 k ≤≤∈ ℕ* d. CCnn33 C n C n C n +3 ;(3 knn ; ) kk+−1 + k − 2 + kk − 3 += − 4 k ≤≤∈ ℕ* e. CCnn46 C n 4 CC nn C n +4 ;(4 knn ; ) k= k + k −1 ≤≤ (HD: Áp d ụng cơng th ức bi ến đổi CCn n−1 C n − 1 ;0 kn ) Bài 2.57. Gi ải các ph ươ ng trình sau 2−x− 1 = 3− 2 = 2+ 3 = 4 a) 2Ax+2 3 C x + 1 30 b) 3Cx A x +1 18 c) Cx C x4 C x x−1+ 2 = 3+x− 2 = 2+x− 2 = c) Cx+1 A x + 1 100 d) Ax2 C x 9 x g) Ax−2 C x 101 16 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §3. NH Ị TH ỨC NIU-TƠN A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Cơng th ức nh ị th ức Niu-Tơn Với hai s ố th ực a và b tu ỳ ý và với m ọi s ố n nguyên d ươ ng ta cĩ ()+=+n 0n 11 n− + 222 n − ++ knkk − ++ nn ab CaCabCabnnn Cab n Cb n (1) n = k nk− k ∑Cn a b k=0 (1) gọi là cơng th ức khai tri ển nh ị th ức Niu-tơn. 2. Tính ch ất c ủa nh ị th ức Niu-tơn a) Số các s ố h ạng tử của cơng th ức là n + 1 b) Số m ũ c ủa a gi ảm d ần t ừ n đến 0, s ố m ũ của b tăng t ừ 0 đến n đồng th ời t ổng các s ố m ũ c ủa a và b trong m ỗi h ạng t ử đều bằng n =k nk− k = c) Số h ạng t ổng quát c ủa cơng th ức cĩ d ạng Tk+1 Cabk n ;( 0,1, , n ) k= n− k ≤ ≤ d) Các h ệ s ố c ủa nh ị th ức cách đều hai s ố h ạng đầu và cu ối b ằng nhau: CCn n ;0 kn 3. Một s ố d ạng đặc bi ệt Dạng 1. Thay a = 1 và b = x vào (1), ta được: +=++n 01 22 ++n− 11 n − + nn = ⇒ 0+ 1 + 2 ++n = n (1x ) CCxCxnnn Cx n Cx n (2) và cho x1 CCCnnn C n 2 Dạng 2. Thay a = 1, b = - x vào (1), ta được: −n =−0 1 + 22 −+−kkk ++− nnn (1xCCxCx )nnn ( 1) Cx n ( 1) Cx n (3) = ⇒ 0− 1 + 2 −+−n n = và thay x1 CCCnnn (1) C n 0 4. Tam giác Pascal (PA-XCAN) B. BÀI T ẬP Bài 3.1. Khai tri ển (b+ a ) 6 thành t ổng các đơn th ức? HD @Gi ải Theo cơng th ức khai tri ển Nh ị th ức Niu-tơn, ta cĩ: (b+=++ a ) 6 Ca 06 CabCab 15 242 + Cab 333 + Cab 424 + Cab 55 + Cb 66 666 6 6 66 =++a66 ab 5 15 ab 42 + 20 ab 33 + 15 ab 24 ++ 6 abb 56 Bài 3.2. Khai tri ển (x− a ) 5 thành t ổng các đơn th ức? HD @Gi ải Theo cơng th ức Nh ị th ức Niu-tơn, ta cĩ: 5 (xa−=+− )5 xa ()  =+ xxa 54 5()10()10()5()() −+ xa 3223 −+ xa −+−+− xa 45 a   =−+x5 5 xa 4 10 xa 32 − 10 xa 23 +− 5 xa 45 a Bài 3.3. Với n là s ố nguyên d ươ ng, ch ứng minh các h ệ th ức sau: 17 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp n =0 + 1 + 2 + 3 ++ n a) 2CCCCnnnn C n 13+ ++ 2102n− = + ++ 2 n b) CC22nn C 2 n CC 22 nn C 2 n HD @Gi ải ( +=++)n 01 22 ++n− 11 n − + nn a) Ta cĩ 1x CCxCxnnn Cx n Cx n (1). n =0 + 1 + 2 + 3 ++ n Ch ọn x = 1 thay vào (1), ta được: 2CCCCnnnn C n ( +=++)2n 0 1 22 ++ 2121n− n − + 22 nn b) Ta cĩ 1x CCxCx222nnn Cx 2 n Cx 2 n (2) =−+0 1 22 +− 2122n− + n n Ch ọn x = -1, thay vào (2), ta được: 0CCCx222nnn C 2 n Cx 2 n 13+ ++ 2102n− = + ++ 2 n Suy ra: CC22nn C 2 n CC 22 nn C 2 n Ho ặc ta cĩ th ể ch ứng minh theo nh ận xét t ừ cơng th ức khai tri ển nh ị th ức Niu-tơn. n01122− n− + n − −+− n =++ 0122 ++ n n Bài 3.4. Ch ứng minh r ằng: 4CCnn 4 4 C n (1) CCCC nnnn 2 2 2 C n HD @Gi ải ( +=+)n 0n 11 n− + 222 n − ++ knkk − ++ nn Ta cĩ: ab CaCabCabnnn Cab n Cb n nnn0−− 11 + − 22 −+− n =−= nn Nh ận xét VT = 4CCCnnn 4 4 (1) C n (41) 3 =+0 1 + 22 ++nn =+= nn Nh ận xét VPCnnn2 C 2 C 2 C n (12) 3 n01122− n− + n − −+− n =++ 0122 ++ n n Suy ra: 4CCnn 4 4 C n (1) CCCC nnnn 2 2 2 C n Bài 3.5. Cho t ập A là m ột t ập h ợp cĩ 20 ph ần t ử. H ỏi cĩ bao nhiêu t ập con c ủa t ập A? HD @Gi ải 0 Số t ập con c ủa A khơng cĩ ph ần t ử nào là C20 1 Số t ập con c ủa A cĩ m ột ph ần t ử là C20 2 Số t ập con c ủa A cĩ 2 ph ần t ử là C20 . 20 Số t ập con c ủa A cĩ 20 ph ần t ử là C20 0+ 1 + 2 ++ 20 = 20 Suy ra, t ổng s ố t ập con c ủa A là: CCC20 20 20 C 20 2 Bài 3.6. Tính t ổng: =0 ++ 1 2 + 3 + 4 + 5 =+0 12233 + + ++ 66 a) AC5 CC 55 C 5 C 5 C 5 b) BCC66663 3 C 3 C 3 C 6 =+0 1 + 22 ++ n n =6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 c) CCCnnn2 2 C 2 C n d) DC11 C 11 C 11 C 11 C 11 C 11 HD @Gi ải =012345 +++++ =+= 55 a) AC5 CC 55 C 5 C 5 C 5 (1 1) 2 =++0 12233 + ++ 66 =+= 66 b) BCC66663 3 C 3 C 3 C 6 (13) 4 =+0 1 + 22 ++nn =+= nn c) CCCnnn2 2 C 2 C n (12) 3 k= n− k d) Áp d ụng cơng th ức Cn C n =+++++=+++++6 7 8 9 1011 5 4 3 2 1 0 Khi đĩ DCCCCCC11 11 11 11 11 11 CCCCCC 11 11 11 11 11 11 =0 ++++ 1 2 10 + 11 =+ 11 = ⇒ = Do đĩ: 2DCCC11 11 11 CC 11 11 (11) 2048 D 1024 Bài 3.7. Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: =0 + 1 + 2 ++ 2009 a) AC2009 C 2009 C 2009 C 2009 =0 − 1 + 2 −+− 20092009 b) BCCC2009 2009 2009 ( 1) C 2009 =0 + 1 + 22 ++ 20092009 c) CCC20092 2009 2 C 2009 2 C 2009 =0 + 21 + 32 ++ 20102009 d) DC32009 3 C 2009 3 C 2009 3 C 2009 HD @Gi ải 18 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp ( +=++)2009 0 1 2 2 ++ 2009120091− − + 20092009 Ta cĩ: 1x C2009 CxCx 2009 2009 Cx 2009 Cx 2009 (1) =0 + 1 + 2 ++ 2009 =+ 2009 = 2009 a) Ch ọn x = 1 thay vào (1), ta được: AC2009 C 2009 C 2009 C 2009 (1 1) 2 =0 − 1 + 2 −+− 20092009 =− 2009 = b) Ch ọn x = -1 thay vào (1), ta được: BCCC2009 2009 2009 ( 1) C 2009 (1 1) 0 =+0 1 + 22 ++ 20092009 =+ 2009 = 2009 c) Ch ọn x = 2, thay vào (1), ta được: CCC20092 2009 2 C 2009 2 C 2009 (12) 3 =0 + 1 + 22 ++ 20092009 d) DCC3( 2009 3 2009 3 C 2009 3 C 2009 ) và ch ọn x = 3 thay vào (1), ta được: =0 ++ 1 22 ++ 20092009 =+= 2009 2009 DCC3( 2009 3 2009 3 C 2009 3 C 2009 ) 3(13) 3.4 Bài 3.8. Tính: =−1 + 22 − 33 +− 2121n− n − + 2 n a) ACCC110222nnn 10 10 10 C 2 n 10 =−170 161 + 2152 − 3143 +− 1717 b) BC317 4.3 C 17 4.3 C 17 4.3 C 17 4 C 17 HD @Gi ải =−1 + 22 − 33 +− 2121n− n − + 2 n aA) 110 C222nnn 10 C 10 C 10 C 2 n 10 =−+0 1 22 − 33 +− 212122nn− − + nn =−= 2 nn CCCC2222nnnn10 10 10 10 CC 22 nn 10 (110) 81 =170 − 161 + 2152 − 3143 +− 1717 =−=− 17 bBC) 317 4.3 C 17 4.3 C 17 4.3 C 17 4 C 17 (34) 1 ( +)n =++2 ++ n Bài 3.9. Cho khai tri ển 12x a0 axax 1 2 axn . + + ++ = Tìm s ố h ạng th ứ 5 trong khai tri ển đĩ, bi ết r ằng aaa0 1 2 a n 729 HD @Gi ải ( +)n =+0 1 + 222 ++ n n n Ta cĩ: 12x Cnn 2 Cx 2 Cx n 2 Cx n 0+ 1 + 22 ++n n = ⇔+= n ⇔= Theo gi ả thi ết, ta cĩ: CCCCnnn2 2 2 n 729 (12) 729 n 6 = 5 4 4 Số h ạng th ứ 5 là: T5 C 6 2 x 6 1  Bài 3.10. Tìm s ố h ạng khơng ch ứa x trong khai tri ển 2x −  . x2  HD @Gi ải Số h ạng t ổng quát trong khai tri ển là: ( 0≤k ≤ 6 ) k 1  =knkkk− =6 − k −= kk 6 −− − kk 63 TCabCx+ (2).  C .2.(1) x k1 n 6x2  6 Số h ạng khơng ch ứa x là ( ta ph ải tìm k): 6 – 3k = 0, nh ận k = 2. =262− − 2 = Vậy s ố h ạng c ần tìm là: T3 C 6 2 ( 1) 240 18 1  Bài. 3.11. Tìm s ố h ạng khơng ch ứa x trong khai tri ển x3 +  . x3  HD @Gi ải k 1  ≤ ≤ =knkkk− =318 − k = k 546 − k Số hạng t ổng quát trong khai tri ển là: ( 0k 18 ) T+ CabCx().  Cx . k1 n 18x3  18 = 9 Nếu Tk+1 khơng ch ứ x ( độc l ập v ới x) thì ta cĩ: 54 – 6k = 0, nh ận k = 9. V ậy s ố h ạng c ần tìm là: T10 C 18 Bài 3.12. Tìm h ệ s ố c ủa x5 trong khai tri ển ( 1 + x ) 12 ? HD @Gi ải Số h ạng t ổng quát trong khai tri ển là: ( 0≤k ≤ 12 ) =k12 − kk = kk 5 Tk+1 C 12(1) xCx 12 . Ta c ần h ệ s ố c ủa x nên ta cĩ: k = 5. =5 = Vậy h ệ s ố c ần tìm là: T6 C 12 729 Bài 3.13. Bi ết h ệ s ố c ủa x2 trong khai tri ển (1 + 3 x)n là 90. Hãy tìm n ? 19 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD @Gi ải = k k 2 = 2 2 Số h ạng th ứ k + 1 trong khai tri ển nh ị th ức : Tk+1 C n (3 x ) .V ậy s ố h ạng ch ứa x là T3 Cn 9. x và theo 2= ⇔ 2 = ⇔= đề bài ta cĩ: Cn990 C n 10 n 5 10 2  Bài 3.14. Tìm s ố h ạng th ứ n ăm trong khai tri ển x +  , mà khai tri ển đĩ s ố m ũ c ủa x gi ảm dần. x  HD @Gi ải k 2  = k10 − k Số h ạng th ứ k + 1 trong khai tri ển nh ị th ức : T+ C x   .Tìm s ố h ạng th ứ n ăm. V ậy ta cĩ: k 1 10 x  4 − 2  16 TCx=4104  =210. x 6 . = 3360 x 2 5 10 x  x4 n Bài 3.15, Trong khai tri ển c ủa (1+ ax ) ta cĩ s ố h ạng đầu là 1, s ố h ạng th ứ hai là 24 x, s ố h ạng th ứ ba là 252 x2. Hãy tìm a và n. HD @Gi ải ( +)n =+1 + 222 + Ta cĩ: 1ax 1 Cn ax C n a x 1 na = 24 C a = 24  na=24  a = 3 Theo đề bài cho: n ⇒ − 2 ⇒  ⇒  1 2 n( n 1) a − = = C a = 252  = 252 (n 1) a 21  n 8 n  2 Bài 3.16. Tính h ệ s ố c ủa x12 y 13 trong khai tri ển ( x + y )25 . HD @Gi ải = k25 − k k 12 13 Số h ạng th ứ k + 1 trong khai tri ển nh ị th ức : Tk+1 Cx 25 y . Hệ s ố x y ứng k = 13. 13 = Tức là: C25 5200300 25 Bài 3.17. Tính h ệ s ố c ủa x25 y 10 trong khai tri ển ( x3 + xy ) HD @Gi ải =k3 15− k k = k 45 − 2 kk Số h ạng th ứ k + 1 trong khai tri ển nh ị th ức : Tk+1 Cx 15() ( xy ) Cx 15 y . 25 10 10 = Hệ s ố x y , ứng k = 10. Tức là: C15 3003 n 8 1 5  Bài 3.18. Tìm h ệ s ố c ủa s ố h ạng ch ứa x trong khai tri ển nh ị th ức Niu-tơn c ủa+ x  , bi ết r ằng x3  n+1 − n = + Cn+4 C n + 3 7( n 3) HD @Gi ải + + (n+ 3)! ( n + 3)( n + 2) Theo h ằng đẳng th ức Pa-xcan ta cĩ Cn1−== C n C n 1 = . Suy ra n+4 n + 3 n + 3 (n + 1)!2! 2 (nn+ 3)( += 2) 14( n + 3)⇒ n = 12 5k = k−3(12 − k ) 2 8 Số h ạng th ứ k trong khai tri ển c ủa bi ểu th ức đã cho là Tk+1 Cx 12 . x . H ệ s ố c ủa s ố h ạng th ứ x , 5k tươ ng ứng −3(12 −+k ) = 8⇒ k = 8 . Vậy s ố h ạng c ần tìm là : C8. x 8 2 12 5 10 Bài 3.19. Tìm h ệ s ố c ủa x5 trong khai tri ển thành đa th ức c ủa: x(12− xx) +2 ( 13 + x ) HD @Gi ải 5 ( − )5 − 4 4 Hệ s ố c ủa x trong khai tri ển c ủa x1 2 x là ( 2) . C5 5 2 ( + )10 3 3 Hệ s ố c ủa x trong khai tri ển c ủa x1 3 x là 3 . C10 20 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 5 ( −)5 +2 ( + ) 10 − 4 4 3 3 Vậy h ệ s ố c ủa x trong khai tri ển thành đa th ức c ủa: x12 xx 13 x là ( 2) . C5 + 3 . C10 = 3320 n Bài 3.20. Tìm h ệ s ố c ủa s ố h ạng ch ứa x10 trong khai tri ển nh ị th ức Niu-tơn c ủa (2 + x) , bi ết: nnnn−−−11 + nn −− 22 − nn −− 33 ++− nn = 3CCCnnn 3 3 3 C n (1) C n 2048 HD @Gi ải nnnnnn−−−11 + −− 22 − nn −− 33 ++− nn =−= nn n = ⇒ = Ta cĩ: 3CCCnnn 3 3 3 C n (1) C n (31)2 . Nên 2 2048n 11 . Hệ s ố 10 ( + )11 10 1 = của x trong khai tri ển nh ị th ức Niu-tơn 2 x là C11 2 22 18 1  Bài 3.21. Tìm s ố h ạng khơng ch ứa x trong khai tri ển nh ị th ừc Niu-tơn c ủa 2x+  ,( x > 0) 5 x  HD @Gi ải 18 1  Số hạng t ổng quát trong khai tri ển Niu-tơn c ủa 2x +  là 5 x  k 6k 18 −k 1  18 − =15 () = k18 − k 5 TCxk+1182 .  Cx 18 .2. . S ố h ạng khơng ch ứa x ứng v ới k th ảo mãn: 5 x  6k 18− =⇔= 0k 15 . V ậy s ố h ạng c ần tìm là T= C 15.2 3 = 6528 5 16 18 13 1  Bài 3.22. Cho khai tri ển nh ị th ức Niu-tơn sau: x −  3 x  a) Tìm s ố h ạng th ứ 4, th ứ 5 c ủa khai tri ển b) Tìm s ố h ạng ch ứa với s ố m ũ t ự nhiên HD @Gi ải k 13 −k 1  =k () ∈≤≤ℕ Ta cĩ, s ố h ạng t ổng quát th ứk + 1 c ủa khai tri ển TCxk+1 13   , k ,0 k 13 3 x  39− 4 k = k 3 Tk+1 C 13 . x = 3 9 a) Số h ạng th ứ 4 c ủa khai tri ển là: T4 C 13 . x 23 = 4 3 Số h ạng th ứ 5 của khai tri ển là: T5 C 13 . x b) Để Tk+1 ch ứa x với s ố m ũ t ự nhiên thì: (39− 4k )⋮ 3 39− 4 k  4k⋮ 3  k ⋮ 3 ∈⇔ℕ 39 ⇔  ⇔  ⇒ k = 0,3,6,9 3 0 ≤k ≤ 0≤≤k 9  0 ≤≤ k 9  4 =013 = 39 = 65 = 9 Do đĩ các s ố h ạng c ần tìm là: T1 CxT 13.; 4 CxT 13 .; 7 CxT 13 .; 10 Cx 13 . Bài 3.23. 9 a) Tìm s ố h ạng c ủa khai tri ển nh ị th ức Niu-tơn sau: ( 3+ 3 2 ) là m ột s ố nguyên n 1  b) Tính A2 nếu bi ết s ố h ạng th ứ 6 c ủa khai tri ển 3 x +  khơng ph ụ thu ộc vào x. n x  HD @Gi ải − 9−k k 9 k k a) Số h ạng th ứ k + 1 c ủa khai tri ển: TC=k()3()3 2 = C k .3.2,2 3 kk ∈≤≤ℤ ,0 9 k+1 9 9 21 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 9 − k = 1,3,5,7,9 k ∈ℤ k ∈ℤ Để T +1 là s ố nguyên thì và . Suy ra  . V ậy: k = 3 và k = 9. k 2 3 k = 0,3,6,9 =3 3 = Với k = 3, s ố h ạng c ần tìm là T4 C 9 .3 .2 4536 =9 0 3 = Với k = 9, s ố h ạng c ần tìm là T10 C 9 .3.2 8 5 − n−5 1  n 20 b) Số h ạng th ứ 6 c ủa khai tri ển là: TCx=5()3   = Cx 5 . 3 6n x  9 n − 20 Vì T khơng ph ụ thu ộc vào x nên = 0⇒ n = 20 . Vậy : A2= A 2 = 380 6 3 n 20 ≥ Bài 3.24. Cho đa giác đều cĩ 2n cạnh A1 A 2 A 2 n ( n 2 , n nguyên) nội ti ếp trong m ột đường trịn. Bi ết rằng s ố tam giác cĩ 3 đỉnh l ấy trong 2n điểm A1, A 2 , , A 2 n nhi ều g ấp 20 l ần s ố hình ch ữ nh ật cĩ 4 đỉnh lấy trong 2n điểm A1, A 2 , , A 2 n . Tìm n . HD @Gi ải 3 Số tam giác tho ả mãn ycbt là C2n tam giác. Số đường chéo qua tâm đường trịn là n, c ứ hai đường chéo 2 qua tâm thì cĩ 1 hình ch ữ nh ật. Suy ra, cĩ Cn hình ch ữ nh ật 3 2 Từ đĩ ta cĩ ph ươ ng trình C2n = 20. Cn . Suy ra n = 8. C. BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN 101 99 ( − )200 − 101 101 99 Bài 3.25. Tính h ệ s ố c ủa x y trong khai tri ển 2x 3 y . ( Đs: C200 2 3 ) 13 Bài 3.26. Tính h ệ s ố c ủa x5 y 8 trong khai tri ển ( x+ y ) . ( Đs: 1287) 11 Bài 3.27. Tính h ệ s ố c ủa x7 trong khai tri ển (1+ x) . ( Đs: 330 ) 9 Bài 3.28. Tính h ệ số c ủa x9 trong khai tri ển (2 − x) . ( Đs: - 94 595072 ) 7 ( − )15 − 7 8 7 Bài 3.29. Tính h ệ s ố c ủa x trong khai tri ển 3 2 x . ( Đs: C15 3 2 ) 10 Bài 3.30. Tìm h ệ số c ủa x5 trong khai tri ển (1− 2 x) ? ( Đs: 8064) 11 1  Bài 3.31. Tìm h ệ s ố c ủa x3 trong khai tri ển x +  ? (Đs: 330) x  n − 1  Bài 3.32. Bi ết r ằng h ệ s ố c ủa xn 2 trong khai tri ển x −  bằng 31. Tìm n.( Đs: n = 32) 4  8 9 ( + )17 8 8 9 Bài 3.33. Tính h ệ s ố c ủa x y trong khai triển 3x 2 y . ( Đs: C17 3 2 ) 3n 1  Bài 3.34. Bi ết t ổng các h ệ s ố c ủa khai tri ển nh ị th ức x +  là 64. Tìm s ố h ạng c ủa khai tri ển khơng x2  = 2 ch ứa x. ( ĐS: n = 2, k = 2; T3 C 6 ) n 3 x  2 +  Bài 3.35. Cho bi ết h ệ s ố c ủa s ố h ạng th ứ 3 trong khai tri ển nh ị th ức x x  bằng 36. Tính s ố x   6  3 3 x  hạng thứ 7.  ĐS:9,nTCxx= =6() 2 .  = 84 xx 3   7 9 x       22 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §4. PHÉP TH Ử VÀ BI ẾN C Ố - XÁC SU ẤT C ỦA BI ẾN C Ố A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Bi ến c ố a. Phép th ử ng ẫu nhiên và khơng gian m ẫu Phép th ử ng ẫu nhiên (g ọi t ắt là phép th ử) là m ột thí nghi ệm hay m ột hành động mà: - Kết qu ả c ủa nĩ khơng đốn được - Cĩ th ể xác định được t ập h ợp t ất c ả các k ết qu ả cĩ th ể xãy ra c ủa phép th ử đĩ - Phép th ử th ường được kí hi ệu b ởi T Tập h ợp t ất c ả các k ết qu ả cĩ th ể xãy ra c ủa phép th ử được g ọi là khơng gian m ẫu của phép th ử và được kí hi ệu b ởi ch ữ Ω (đọc là ơ-mê-ga). Ta ch ỉ xét các phép th ử v ới khơng gian m ẫu Ω là t ập h ữu hạn. b. Bi ến c ố - Với t ập con A của Ω được g ọi là m ột bi ến c ố. - Mỗi k ết qu ả c ủa phép th ử T làm cho A xảy ra, được g ọi là k ết qu ả thu ận l ợi cho A Ω - Tập h ợp các k ết q ủa thu ận l ợi cho A được kí hi ệu là A . Khi đĩ ta nĩi bi ến c ố A được mơ t ả b ởi Ω tập A . - Tập O được g ọi là bi ến c ố khơng th ể ( g ọi t ắt là bi ến c ố khơng). Cịn t ập Ω được g ọi là bi ến c ố ch ắc ch ắn. 2. Xác su ất c ủa bi ến c ố. a. Định ngh ĩa c ổ điển c ủa xác su ất Gi ả s ử phép th ử T cĩ khơng gian mẫu Ω là t ập h ữu h ạn và các k ết q ủa c ủa T là đồng kh ả n ăng x ảy ra. Ω Nếu A là m ột bi ến c ố liên quan v ới phép th ử T và A là t ập các k ết qu ả thu ận l ợi cho A thì xác su ất Ω của A là m ột s ố, kí hi ệu là P(A), được xác định b ởi cơng th ức P( A ) = A Ω - 0≤P ()1 A ≤ - P(Ω ) = 1, P ( O ) = 0 b. Định ngh ĩa th ống kê c ủa xác su ất. - Số l ần xu ất hi ện bi ến c ố A được g ọi là t ận s ố c ủa A trong N lần th ực hi ện phép th ử T - Tỉ s ố gi ữa t ận s ố c ủa A với s ố N được g ọi là t ần xu ất c ủa A trong N lần th ực hi ện phép th ử T Ph ươ ng pháp tính xác su ất Bước 1. Mơ t ả khơng gian m ẫu. Ki ểm tra tính h ữu h ạn c ủa Ω , tính đồng kh ả n ăng c ủa các k ết qu ả Bước 2. Đặt tên cho các bi ến c ố b ằng các ch ữ cái A, B , Bước 3. Xác định các t ập con A, B , của khơng gian m ẫu. Tính n( A), n( B ) , nA( ) nB( ) Bước 4. Tính PA() =, PB() = , n()Ω n () Ω B. BÀI T ẬP Bài 4.1. Lấy ng ẫu nhiên m ột th ẻ t ừ m ột h ộp ch ứa 20 th ẻ đượ c đánh s ố t ừ 1 đế n 20. Tìm xác su ất để th ẻ đượ c l ấy ghi s ố: a) Ch ẵn b) Chia h ết cho 3 c) Lẻ và chia h ết cho 3 HD @Gi ải Khơng gian m ẫu Ω={1,2,3, ,20} ,n ( Ω= ) 20 . Kí hi ệu A, B, C là các bi ến c ố t ươ ng ứng v ới câu a), b), c) 1 a) A={}2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 , nAPA ( ) = 10⇒ ( ) = 2 3 b) B={}3,6,9,12,15,18 , nB ( ) = 6⇒ PB ( ) = 10 23 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 c) C={}3,9,15,( nC ) = 3⇒ PC ( ) = 20 Bài 4.2. Một con súc s ắc cân đố i đồ ng ch ất đượ c gieo hai l ần. Tính xác su ất sao cho: a) A: “T ổng s ố ch ấm c ủa hai l ần gieo là 6” b) B: “Ít nh ất m ột l ần gieo xu ất hi ện m ặt m ột ch ấm” c) C: “S ố ch ấm trong hai lần gieo b ằng nhau” d) D: “T ồng s ố ch ấm c ủa hai l ần gieo là 8” e) E: “T ổng s ố ch ấm c ủa hai l ần gieo là ch ẵn” HD @Gi ải Khơng gian m ẫu: Ω={(;)/1ij ≤≤ ij ; 6,(} n Ω= ) 36 5 a) A={}(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) , nAPA ( ) = 5⇒ ( ) = 36 11 b) B = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} ,nB ( )= 11⇒ PB ( ) = 36 1 c) C= {}(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) , nCPC ( )= 6⇒ ( ) = 6 5 d) D={}(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) , nDPD ( ) = 5⇒ ( ) = 36 e) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,3),(3,1),(1,5),(2,4),(4,2),(5,1),(2,6),(3 ,5),  E =   (5,3),(6,2),(4,6),(6,4)  1 nE()18= ⇒ PE () = 2 Bài 4.3. Ch ọn ng ẫu nhiên 5 h ọc sinh cĩ tên trong danh sách được đánh s ố th ứ t ự t ừ 001 đến 199. Tính xác su ất để 5 h ọc sinh này cĩ s ố th ứ t ự: a) Từ 001 đến 099. b) Từ 150 đến 199. HD @Gi ải Ω 5 Ta cĩ: n( ) = C199 a) G ọi A là bi ến c ố: ”Ch ọn 5 h ọc sinh cĩ s ố th ứ t ự 001 đến 099” C5 ( ) 5 ( ) =99 ≈ Suy ra n A = C99 . Vậy P A 5 0,029 C199 b) G ọi B là bi ến c ố: “Ch ọn 5 h ọc sinh cĩ s ố th ứ t ự 150 đến 199” C 5 ( ) 5 ( ) =50 ≈ Suy ra n B = C50 . Vậy P B 5 0,0009 C199 Bài 4.4. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột s ố nguyên d ươ ng khơng l ớn h ơn 50. a) Mơ t ả khơng gian m ẫu; b) Gọi A là bi ến c ố “S ố được ch ọn là s ố nguyên t ố”. Hãy li ệt kê các k ết qu ả thu ận l ợi cho A; c) Tính xác su ất c ủa A; d) Tính xác su ất để s ố được ch ọn nh ỏ h ơn 4. HD @Gi ải a) Khơng gian m ẫu Ω = {1,2,3, ,50 } Ω = { } b) A 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 15 c) P( A )= = 0,3 50 3 d) Gọi B là bi ến c ố “ s ố được ch ọn nh ỏ h ơn 4”. Ta cĩ P( B )= = 0,06 50 24 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 4.5. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột s ố nguyên d ươ ng nh ỏ h ơn 9. Tính xác su ất để: a) Số được ch ọn là s ố nguyên t ố; b) Số được ch ọn chia hết cho 3; HD @Gi ải 4 a) Gọi A là bi ến s ố “ s ố được ch ọn là s ố nguyên t ố”. Ta cĩ Ω = {2,3,5,7 } và P( A )= = 0,5 A 8 2 b) Gọi B là bi ến c ố “ s ố được ch ọn chia h ết cho 3”. Ta cĩ Ω = {3,6 } và P( B )= = 0,25 B 8 Bài 4.6. Ch ọn ng ẫu nhiên 5 ng ười cĩ tên trong m ột danh sách 20 ng ười được đánh s ố t ừ 1 đến 20. Tính xác su ất để 5 ng ười được ch ọn cĩ s ố th ứ t ự khơng l ớn h ơn 10 ( chính xác đến hàng ph ần nghìn). HD @Gi ải Gọi A là bi ến c ố “5 ng ười được ch ọn cĩ s ố th ứ t ự khơng lớn h ơn 10” Ω = 5 Ω = 5 Khơng gian m ẫu C20 . K ết qu ả thu ận l ợi c ủa bi ến c ố A là A C10 C 5 ()=10 ≈ 0,016 Vậy P A 5 C20 C. BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN Bài 4.7. Danh sách l ớp c ủa Nguyên được đánh s ố t ừ 1 đến 30. Nguyên cĩ s ố th ứ t ực là 12. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột b ạn trong l ớp. a) Tính xác su ất để Nguyên được ch ọn b) Tính xác su ất để Nguyên kkhơng được ch ọn c) Tính xác su ất để m ột b ạn cĩ s ố th ứ t ự nh ỏ h ơn s ố th ứ t ự c ủa Nguyên được ch ọn Bài 4.8. Gieo hai con súc s ắc cân đối a) Mơ t ả khơng gian m ẫu b) Gọi A là bi ến c ố “T ổng s ố ch ấm trên m ặt xu ất hiên c ủa hai con súc s ắc nh ỏ h ơn ho ặc b ằng 7”. Li ệt kê các k ết qu ả thu ận l ợi c ủa A. Tính P(A). c) Cũng h ỏi nh ư trên cho các bi ến c ố B: “cĩ ít nh ất m ột con súc s ắc xu ất hi ện m ặt 6 ch ấm” và C: “ cĩ đúng m ột con súc s ắc xu ất hi ện m ặt 6 ch ấm. Bài 4.9. Gieo đồng th ời hai con súc s ắc cân đối. Tính xác su ất để s ố ch ấm xu ất hi ện trên hai con súc s ắc hơn kém nhau 2. Bài 4.10. Một túi đựng 4 qu ả c ầu đỏ, 6 qu ả c ầu xanh. Ch ọn ng ẫu nhiên 4 qu ả c ầu. Tính xác su ất để trong bốn qu ả c ầu đĩ cĩ c ả qu ả màu đỏ và màu xanh. 25 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §5. CÁC QUY T ẮC TÍNH XÁC SU ẤT A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Quy t ắc c ộng xác su ất a. Bi ến c ố h ợp Cho hai bi ến c ố A và B. Bi ến c ố “A ho ặc B xảy ra”, kí hi ệu A∪ B được g ọi là h ợp c ủa hai bi ến c ố A và B Tổng quát: Cho k bi ến c ố A1, A 2, . . ., A k. Bi ến c ố “ cĩ ít nh ất m ột trong các bi ến c ố A1, A 2, . . ., A k xảy ∪ ∪ ∪ ra”, kí hi ệu là A1 A 2 A k được g ọi là h ợp c ủa k bi ến c ố đĩ. b. Bi ến c ố xung kh ắc Cho hai bi ến c ố A và B. Hai bi ến c ố A và B được g ọi là xung kh ắc n ếu bi ến c ố này x ảy ra thì bi ến c ố kia khơng x ảy ra. c. Quy t ắc c ộng xác su ất Nếu hai bi ến A và B xung kh ắc thì xác su ất c ủa A ho ặc c ủa B xảy ra là PA( ∪ B) = PA() + PB () Tổng quát: Cho k bi ến c ố A1, A 2, . . ., A k đơi m ột xung kh ắc. Khi đĩ ( ∪∪∪) = + ++ PAA12 Ak PAPA () 12 () PA ()k d. Bi ến c ố đối Cho A là m ột bi ến c ố. Khi đĩ bi ến c ố khơng x ảy ra A, kí hi ệu A gọi là bi ến c ố đối của A Xác su ất c ủa bi ến c ố đối A là PA( ) =1 − PA ( ) . Hai bi ến c ố đối nhau là hai bi ến c ố xung kh ắc. Tuy nhiên hai bi ến c ố xung kh ắc ch ưa ch ắc là hai bi ến cố đối nhau. 2. Quy t ắc nhân xác su ất a. Bi ến c ố giao Cho hai bi ến c ố A và B. Bi ến c ố “C ả A và B cùng x ảy ra”, kí hi ệu là AB , được g ọi là giao c ủa hai bi ến cố A và B. Ω Ω Nếu A và B lần l ượt là t ập h ợp các k ết qu ả thu ận l ợi cho A và B thì t ập h ợp các k ết qu ả thu ận l ợi Ω ∩ Ω cho AB là A B b. Bi ến c ố độc l ập Hai bi ến c ố A và B gọi là độc lập v ới nhau n ếu vi ệc xãy ra hay khơng x ảy ra c ủa bi ến c ố này khơng làm ảnh h ưởng t ới xác su ất x ảy ra c ủa bi ến c ố kia. Nếu hai bi ến c ố A, B độc l ập v ới nhau thì A và B ; A và B; A và B cũng độc l ập v ới nhau. c. Quy tắc nhân xác su ất Nếu hai bi ến c ố A và B độc l ập v ới nhau thì PAB(.)= PAPB ().() Nếu P( AB) ≠ PAPB( ) ( ) thì hai bi ến c ố A và B khơng độc l ập v ới nhau. B. BÀI T ẬP Bài 5.1. Gieo m ột con súc s ắc cân đối, đồng ch ất và quan sát s ố ch ấm xu ất hi ện. a) Mơ t ả khơng gian m ẫu b) Xác định các bi ến c ố sau: A: “Xu ất hi ện m ặt ch ẵn ch ấm” B: “ Xu ất hi ện m ặt lẻ ch ấm” C: “Xu ất hi ện m ặt cĩ s ố ch ấm khơng nh ỏ h ơn 3” c) Trong các bi ến c ố trên, hãy tìm các bi ến c ố xung kh ắc. HD @Gi ải a) Khơng gian m ẫu Ω = {1,2,3,4,5,6 } b) Ta cĩ A={2,4,6} ; B ={ 1,3,5} ; C = { 3,4,5,6 } c) Các bi ến c ố A và B là xung kh ắc, vì A∩ B = O Bài 5.2. Gieo m ột con súc s ắc cân đố i và đồ ng ch ất m ột l ần. Gi ả s ử con súc s ắc xu ất hi ện m ặt b ch ấm, 26 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp đượ c thay vào ph ươ ng trình b ậc hai: x 2 + bx + 2 = 0. Tính xác su ất sao cho: a) Ph ươ ng trình cĩ nghi ệm b) Ph ươ ng trình vơ nghi ệm c) Ph ươ ng trình cĩ nghi ệm nguyên HD @Gi ải Khơng gian m ẫu Ω={1,2,3,4,5,6} ,n ( Ω= ) 6 Kí hi ệu A, B, C l ần l ượ t là các bi ến c ố t ươ ng ứng v ới các câu a), b), c). Ta th ấy ph ươ ng trình b ậc hai x 2 + bx + 2 = 0 cĩ nghi ệm khi và ch ỉ khi ∆=b2 −8 ≥ 0 . Do đĩ: 2 a) Abb=∈Ω−≥={}/2 8 0{} 3,4,5,6,() nA = 4⇒ PA () = 3 1 b) Vì B= A nên PB()= PA ()1 =− PA () = 3 1 c) C={}3,()1 nC = ⇒ PC () = 6 Bài 5.3. Kết qu ả (b, c) c ủa vi ệc gieo con súc s ắc cân đố i và đồ ng ch ất hai l ần, trong đĩ b là s ố ch ấm xu ất hi ện trong l ần gieo đầ u, c là s ố ch ấm xu ất hi ện trong l ần gieo th ứ hai, đượ c thay vào ph ươ ng trình: x 2 + bx + c = 0. Tính xác su ất để : a) Ph ươ ng trình vơ nghi ệm b) Ph ươ ng trình cĩ nghi ệm kép c) Ph ươ ng trình cĩ nghi ệm HD @Gi ải Khơng gian m ẫu: Ω={(;)/1bc ≤ bc ; ≤ 6,(} n Ω= ) 36 . Kí hi ệu A, B, C là các bi ến c ố c ần tìm xác su ất ứng với các câu a), b), c). Ta cĩ: ∆ =b2 − 4 c 2 aA) ={ (,) bc ∈Ω / b −< 4 c 0 } 17 nA()= 17⇒ PA () = = {(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,2), ,(2,6),(3 ,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6) } 36 1 b) Bbc={}(,) ∈Ω−== / bc2 4 0{} (2,1),(4,4),() nB = 2⇒ PB () = 18 17 19 c) Ta cĩ C= A⇒ PC()= PA ()1 =− = 36 36 Bài 5.4. Một h ộp đự ng 10 qu ả c ầu đánh s ố t ừ 1 đế n 10, đồ ng th ời các qu ả t ừ 1 đế n 6 đượ c s ơn màu đỏ . Lấy ng ẫu nhiên m ột qu ả. Kí hi ệu A là bi ến c ố:”Qu ả l ấy ra màu đỏ ”, B là bi ến c ố: “Qu ả l ấy ra ghi s ố ch ẵn” . Hỏi A và B cĩ độ c l ập khơng ? HD @Gi ải Kí hi ệu A là bi ến c ố :”Qu ả l ấy ra màu đỏ ”, B là bi ến c ố: “Qu ả l ấy ra ghi s ố ch ẵn” Khơmg gian m ẫu: Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,n ( Ω= ) 10 3 1 A={}1,2,3,4,5,6 , nA ( ) = 6⇒ PA ( ) = , B={}2,4,6,8,10, nB ( ) = 5⇒ PB ( ) = 5 2 3 AB∩={}2,4,6,( nAB ∩= )3⇒ PAB (∩ ) = 10 3 3 1 Mặt khác: PAB()= = . = PAPB ().() . V ậy A, B độ c l ập v ới nhau. 10 5 2 Bài 5.5 Hai h ộp ch ứa các qu ả c ầu. H ộp th ứ nh ất ch ứa 3 qu ả đỏ và 2 qu ả xanh, h ộp th ứ hai ch ứa 4 qu ả đỏ và 6 qu ả xanh. L ấy ng ẫy nhiên t ừ m ỗi h ộp m ột qu ả. Tính xác su ất sao cho: a) Cả hai qu ả đề u đỏ b) Hai qu ả cùng màu c) Hai qu ả khác màu HD @Gi ải Kí hi ệu A: “Qu ả l ấy t ừ h ộp th ứ nh ất màu đỏ ” 27 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Kí hi ệu B: “Qu ả l ấy t ừ h ộp th ứ hai màu đỏ ” Kí hi ệu C: “Hai qu ả l ấy ra cùng màu” Kí hi ệu D: “Hai qu ả l ấy ra khác màu” Khơng gian m ẫu là k ết qu ả c ủa hai hành đồ ng l ấy qu ả t ừ hai h ộp liên ti ếp. Theo qui t ắc nhân: n(Ω ) = 50 và A, B độ c l ập nhau Ta cĩ: A∩ B : “Qu ả l ấy ra t ừ hai h ộp cùng màu đỏ ” và A∩ B : “Qu ả l ấy ra t ừ hai h ộp cùng màu xanh” 3 4 a) C ần tính PA(∩= B ) PAPB ().() = . = 0,24 5 10 n( A∩ B ) 12 (Cách khác: Theo qui t ắc nhân ta cĩ: n( A∩ B ) = 3.4 =12 ⇒ P( A∩= B ) == 0,24 ) n(Ω ) 50 b) T ừ trên suy ra: C=( AB ∩ )( ∪ AB ∩ ) , n( A∩ B )12 = nA(∩ B ) nA ( ∩ B )1212 PC()()()= PAB() ∩∪∩= AB + =+= 0,48 n()Ω n () Ω 5050 c) D ễ th ấy D và C là hai bi ến c ố đố i nhau, ngh ĩa là D= C⇒ PD( )= PC ( ) =− 1 0,48 = 0,52 Bài 5.6. Túi bên ph ải cĩ 3 bi đỏ , 2 bi xanh; túi bên trái cĩ 4 bi đỏ, 5 bi xanh. L ấy m ột bi t ừ m ỗi túi m ột cách ng ẫu nhiên. Tính xác su ất sao cho: a) Hai bi l ấy ra cùng màu b) Hai bi l ấy ra khác màu HD @Gi ải Kí hi ệu A: “Bi l ấy ra t ừ túi ph ải cĩ màu đỏ ”, B: “Bi l ấy ra t ừ túi trái cĩ màu đỏ ”, C: “Hai bi l ấy ra cùng màu” và D: “Hai bi l ấy ra khác màu” Khơng gian m ẫu là k ết qu ả c ủa hai hành đồ ng l ấy qu ả t ừ hai h ộp liên ti ếp. Theo qui t ắc nhân: n(Ω ) = 5.9 = 45 và A, B độ c l ập nhau Ta cĩ: A∩ B : “Bi l ấy ra t ừ hai túi ph ải và túi trái cùng màu đỏ ” và A∩ B : “ Bi l ấy ra t ừ hai túi ph ải và túi trái cùng màu xanh” a) C=( AB ∩ )( ∪ AB ∩ ) , Hi ển nhiên (AB∩ )( ∩ AB ∩ ) = O và n( A∩ B ) = 3.4 =12 , nA(∩ B ) nA ( ∩ B )121022 n( A∩ B ) = 2.5 = 10 . PC()= PAB() ( ∩∪∩= )( AB ) + =+= n()Ω n () Ω 4545 45 22 23 b) D ễ th ấy D và C là hai bi ến c ố đố i nhau, ngh ĩa là D= C⇒ PD()= PC ()1 =− = 45 45 Bài 5.7. Hai b ạn l ớp A và hai b ạn l ớp B đượ c x ếp vào ng ồi 4 gh ế s ắp thành hàng ngang. Tính xác su ất sao cho: a) Các b ạn l ớp A ng ồi c ạnh nhau b) Các b ạn cùng l ớp khơng ng ồi c ạnh nhau HD @Gi ải Gi ả sử hai b ạn lớp A đượ c đánh s ố 1, 2 và hai b ạn l ớp B được đánh s ố 3, 4. K ết qu ả x ếp ch ỗ t ươ ng ứng = { } Ω= = = với m ột hốn v ị c ủa t ập B 1,2,3,4 . Nh ư v ậy s ố ph ần t ử c ủa khơng gian m ẫu n() P 4 4! 24 Kí hi ệu: C là bi ến cố: “Hai b ạn l ớp A ng ồi c ạnh nhau” D là bi ến c ố: “Hai b ạn cùng l ớp khơng ng ồi c ạnh nhau” a) Đầ u tiên x ếp hai b ạn l ớp A ng ồi vào hai gh ế li ền nhau, cĩ 2.3 = 6 cách , sau đĩ x ếp hai b ạn l ớp B vào 2 gh ế cịn l ại cĩ 2 cách. Theo qui t ắc nhân ta cĩ n( C) = 6.2 = 12 và P( C) = 0,5 b) Đầ u tiên x ếp b ạn A ng ồi ở v ị trí th ứ nh ất, ch ẳng h ạn t ừ bên trái: cĩ 2!.2! cách x ếp b ốn b ạn ng ồi xen k ẽ. Sau đĩ x ếp b ạn l ớp B ng ồi v ị trí th ứ nh ất. Ta c ũng cĩ 2!.2! cách ng ồi xen k ẽ. Vậy n(D) = 2. 2!.2! = 8 do 1 đĩ: P(D) = 3 Bài 5.8. Trên giá sách cĩ 4 quy ển sách Tốn, 3 quy ển sách Lí và 2 quy ển sách Hĩa. L ấy ng ẫu nhiên ba quy ển sách. Tính xác su ất sao cho: a) Ba quy ển l ấy ra thu ộc ba mơn khác nhau b) Cả ba quy ển l ấy ra đề u là sách Tốn c) Ít nh ất m ột quy ển sách Tốn 28 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD @Gi ải Ω =3 = Khơng gian m ẫu là m ột t ổ h ợp ch ập 3 c ủa 9 quy ển sách nên n() C 9 84 . Kí hi ệu A, B, C là các bi ến cố tươ ng ứng câu a), b), c) a) Để cĩ m ột ph ần t ử c ủa A ta ph ải ti ến hành ba l ần l ựa ch ọn (t ừ m ỗi lo ại sách m ột quy ển). Vậy n(A) = 2 4.3.2 = 24 và P( A ) = 7 1 b) Cả ba quy ển sách l ấy ra đề u là sách Tốn , nên nB()= C3 ⇒ PB () = 4 21 =3 = c) Gọi C là bi ến c ố: “Trong ba quy ển khơng cĩ quy ển sách Tốn nào”, ta cĩ: n() C C 5 10 và 10 37 PC()1=− PC ()1 =− = 84 42 Bài 5.9. Một h ộp đự ng chín th ẻ đánh s ố t ừ 1 đế n 9. Rút ng ẫu nhiên hai th ẻ r ồi nhân hai s ố ghi trên th ẻ v ới nhau. Tính xác su ất để k ết qu ả nh ận đượ c là m ột s ố ch ẵn. HD @Gi ải Gọi A là bi ến c ố: “ Rút đượ c m ột th ẻ ch ẵn và m ột th ẻ l ẻ”, B là bi ến c ố: “C ả hai th ẻ đượ c rút ra là th ẻ ch ẵn”. Khi đĩ bi ến c ố C: “ Tích hai s ố ghi trên th ẻ là m ột s ố ch ẵn” là: C= A ∪ B . Do hai bi ến c ố A và B xung kh ắc, nên PC()= PA ( ∪= B ) PA () + PB () . Vì cĩ 4 th ẻ ch ẵn và 5 th ẻ l ẻ nên ta CCC1 1 202 6 20 6 13 cĩ: PA()=5 4 = ;() PB ==4 . V ậy PC()= PA ( ∪= B ) + = 236 2 36 36 36 18 C9 C 9 Bài 5.10. Một h ộp đự ng b ốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Ch ọn ng ẫu nhiên hai viên bi. a) Tính xác su ất để ch ọn đượ c hai viên bi cùng màu b) Tính xác su ất để ch ọn hai viên bi khác màu. HD @Gi ải a) Gọi A là bi ến c ố: “Ch ọn đượ c hai viên bi xanh”, B là bi ến c ố “Ch ọn đượ c hai viên bi đỏ ” và C là bi ến cố: “Ch ọn đượ c 2 viên bi vàng”. D là bi ến c ố: “Ch ọn đượ c hai viên bi cùng màu” Theo đề bài, ta cĩ D= A ∪ B ∪ C và các bi ến c ố A, B, C đơi m ột xung kh ắc. Vậy PD()= PA ( ∪∪= B D ) PA ()()() + PB + PC C2 6C 2 3 C 2 1 Mặt khác, ta cĩ: PA()==4 ;() PB ==3 ;() PC ==2 236 2 36 2 36 C9 C 9 C 9 6 3 1 5 Vậy: PD()= PA ( ∪∪= B D ) PA ()()() + PB + PC =++= 36 36 36 18 5 13 b) Bi ến c ố: “Ch ọn đượ c hai viên bi khác màu” chính là bi ến c ố D . V ậy PD()1=− PD ()1 =− = 18 18 Bài 5.11. Xác su ất b ắn trúng m ục tiêu c ủa m ột v ận độ ng viên khi b ắn m ột viên đạ n là 0,6. Ng ườ i đĩ b ắn hai viên đạ n m ột cách độ c l ập. Tìm xác su ất để m ột viên đạ n trúng m ục tiêu và m ột viên đạ n tr ượ t m ục tiêu ? HD @Gi ải Gọi A là bi ến c ố: “ Viên đạ n đầ u trúng m ục tiêu”, B là bi ến c ố: “ Viên đạ n th ứ hai trúng m ục tiêu”, C là bi ến c ố: “ M ột viên đạ n trúng m ục tiêu và m ột viên đạ n tr ượ t m ục tiêu”. Khi đĩ ta cĩ: C= AB ∪ AB và hai viên đạ n b ắn độ c l ập nhau. Vậy : PC( )=∪= PAB ( AB ) PAPB ().() + PBPA ().() =+= 0,6.0,4 0,4.0,6 0,48 Bài 5.12. Ba ng ườ i đi s ăn A, B, C độ c l ập v ới nhau cùng n ổ súng vào m ục tiêu. Bi ết r ằng xác su ất b ắn trúng m ục tiêu c ủa A, B, C tương ứng là: 0,7; 0,6; 0,5. a) Tính xác su ất để x ạ th ủ A bắn trúng cịn hai x ạ th ủ kia b ắn tr ượ t. b) Tính xác su ất để cĩ ít nh ất m ột x ạ th ủ b ắn trúng HD @Gi ải a) Gọi H là bi ến c ố: “X ạ th ủ A b ắn trúng cịn hai x ạ th ủ kia b ắn tr ượ t”. Ta cĩ PH( )= PAPBPC ( ) ( ) ( ) = (0,7)(0,4)(0,5) = 0,14 29 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) G ọi K là bi ến c ố: “Khơng cĩ x ạ th ủ nào b ắn trúng”. Ta cĩ: PK( )= PAPBPC ( ) ( ) ( ) = (0,3)(0,4)(0,5) = 0,06 Vậy xác su ất c ần tìm là : PK( )= 1 − PK ( ) = 0,94 Bài 5.13. Một túi đựng 4 qu ả c ầu đỏ, 6 qu ả c ầu xanh. Ch ọn ng ẫu nhiên 4 qu ả c ầu. Tính xác su ất để trong 4 qu ả đĩ cĩ c ả qu ả màu đỏ và màu xanh. HD @Gi ải Ω 4 Ta cĩ: n( )= C10 = 210 Số cách ch ọn 4 qu ả c ầu tồn đỏ là 1. 4 Số cách ch ọn 4 qu ả c ầu tồn xanh là C6 = 15. Gọi A là bi ến c ố: ”Ch ọn 4 qu ả c ầu cĩ c ả qu ả màu đỏ và xanh” 194 Suy ra: n( A ) = 210 – 15 – 1 = 194. Vậy P( A ) = 210 Bài 5.14. Xác su ất để làm thí nghi ệm thành cơng là 0,4. M ột nhĩm 5 h ọc sinh, m ỗi h ọc sinh độc l ập v ới nhau ti ến hành cùng thí nghi ệm trên. a) Tính xác su ất để c ả nhĩm khơng cĩ ai làm thí nghi ệm thành cơng. b) Tính xác su ất để ít nh ất cĩ m ột h ọc sinh trong nhĩm làm thí nghi ệm thành cơng (tính chính xác đến hàng ph ần tr ăm). HD @Gi ải a) Xác su ất để m ột h ọc sinh trong nhĩm làm thí nghi ệm khơng thành cơng là 1 – 0,4 = 0,6. Theo qui t ắc 5 nhân xác su ất, xác su ất để c ả nhĩm (5 HS) khơng cĩ ai làm thí nghi ệm thành cơng là : (0,6) ≈ 0,08 5 b) Xác su ất c ần tìm là 1−( 0,6) ≈ 0,92 Bài 5.15. Gieo m ột con súc s ắc cân đối ba l ần. Tính xác su ất để cĩ đúng hai l ần xu ất. hi ện m ặt 6 ch ấm. HD @Gi ải Gọi A là bi ến c ố “l ần gieo th ứ nh ất xu ất hi ện m ặt 6 ch ấm”, B là bi ến c ố “ l ần gieo th ứ hai xu ất hi ện m ặt 6 ch ấm”, C là bi ến c ố “ l ầm gieo th ứ ba xu ất hi ện m ặt 6 ch ấm” H là bi ến cĩ “ cĩ đúng hai l ần xu ất hi ện m ặt 6 ch ấm” Khi đĩ: PH( ) = PAPBPC( ) ( ) ( ) + PAPBPC( ) ( ) ( ) + PAPBPC( ) ( ) ( ) 1 5 15 Ta cĩ: PA()=== PB () PC () ; PA() === PB() PC() . Vậy P( H ) = 6 6 216 Bài 5.16. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột vé x ổ s ố cĩ 5 ch ữ số t ừ 0 đến 9. Tính xác su ất để s ố trên vé khơng cĩ ch ữ số 1 ho ặc khơng cĩ ch ữ s ố 5. HD @Gi ải Gọi A là bi ến c ố “ khơng cĩ ch ữ s ố 1”; B là bi ến c ố “ khơng cĩ ch ữ s ố 5” Ta cĩ PA( )= PB ( ) = (0,9) 5 và P( AB )= (0,8) 5 Từ đĩ PA( ∪=+− B) PA( ) PB ( ) PAB ( ) = 2.(0,9)5 − (0,8) 5 = 0,8533 Bài 5.17. Một túi ch ứa 16 viên bi, trong đĩ cĩ 7 viên bi tr ắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. a) Lấy ng ẫu nhiên 2 viên bi trong túi i) Tính xác su ất được hai viên b ị đen ii) Tính xác su ất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi tr ắng b) Lấy ng ẫu nhiên ba viên bi trong túi i) Tính xác su ất để được 3 viên bi đỏ ii)Tính xác su ất để được 3 viên bi v ới ba màu khác nhau HD @Gi ải 2 a) Số tr ường h ợp cĩ th ể x ảy ra là: C16 C 2 1 i) Số tr ường h ợp rút được hai viên bi đen là C2 . V ậy xác su ất rút được hai viên bi đen là 6 = 6 2 8 C16 30 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 = ii) Số tr ường h ợp rút được 1 viên bi tr ắng và 1 viên bi đen là C7. C 6 42 . V ậy xác su ất để được 1 viên bi 42 7 đen và 1 viên bi tr ắng là = 2 20 C12 3 b) Số tr ường h ợp cĩ th ể x ảy ra là C16 1 1 i) Số tr ường h ợp rút được 3 viên bi đỏ là C3 = 1. V ậy xác su ất rút được 3 viên bi đỏ là = 3 3 560 C16 ii) Theo qui t ắc nhân, ta cĩ 7.6.3 = 126 cách ch ọn 3 viên bi cĩ 3 màu khác nhau. V ậy xác su ất rút được 3 126 9 viên bi cĩ 3 màu khác nhau là = 3 40 C16 Bài 5.18. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột th ẻ t ừ n ăm th ẻ đánh s ố 1, 2, 3, 4, 5. Kí hi ệu: A là bi ến c ố “ Th ẻ ghi s ố bé h ơn 3 được ch ọn” B là bi ến c ố “ th ẻ ghi s ố ch ẵn ch ọn được” a) Mơ t ả khơng gian m ẫu b) Li ệt kê các ph ần t ử c ủa t ập A và B c) Vì sao A và B khơng xung kh ắc d) Tính PAPBPA(),(),(∩ BPA ),( ∪ B ) HD @Gi ải a) Ω = {1,2,3,4,5 } b) A={1,2} , B = { 2,4 } c) A∩ B = {2} nên A và B khơng xung kh ắc 2 1 3 d) PA()== PBPAB ();( ∩=∪= ) , AB{}() 1;2;4, PAB ∪= 5 5 5 Bài 5.19. Gieo ba con súc s ắc cân đối m ột cách độc l ập. Tính xác su ất để t ổng s ố ch ấm trên m ặt xu ất hi ện của ba con súc s ắc b ằng 9. HD @Gi ải Gi ả s ử T là phép th ử “Gieo ba con súc sắc”. K ết qu ả c ủa T là m ột b ộ ba s ố ( x; y; z ) t ươ ng ứng là k ết qu ả của vi ệc giao com súc s ắc th ứ nh ất, th ứ hai, th ứ ba. Khơng gian m ẫu c ủa T cĩ 6.6.6 = 216 ph ần t ử. Gọi A là bi ến c ố: “T ổng s ố ch ấm trên m ặt xu ất hi ện c ủa ba con súc s ắc là 9”. Ta cĩ t ập h ợp các k ết qu ả Ω= ++=≤ ≤ ∈ ℕ* thu ận l ợi cho A là: A {(;;)/xyzxyz 9,1 xyz ,, 6,,, xyz } Nh ận xét: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3 { } { } { } Ω { } { } Các t ập 1;2;6 ; 1;3;5 ; 2;3;4 mỗi t ập cĩ 6 ph ần t ử c ủa A , t ập 1;4;4 ; 2;2;5 mỗi t ập cĩ 3 ph ần t ử Ω { } Ω của A và t ập 3;3;3 cĩ duy nh ất một ph ần t ử c ủa A 25 Vậy Ω =6 +++++= 6 6 3 31 25 . V ậy P( A ) = A 216 Bài 5.20. Ch ọn ng ẫu nhiên ba s ố t ừ t ập {1,2, ,11 } a) Tính xác su ất để t ổng ba s ố được ch ọn là 12 b) Tính xác su ất để tổng ba s ố được ch ọn là s ố l ẻ HD @Gi ải Ω =3 = Khơng gian m ẫu C11 165 a) Gọi A là bi ến c ố “t ổng ba s ố được ch ọn là 12”. Khi đĩ, các b ộ (a, b, c) mà a + b + c = 12 và a < b < c là 7 (1,2,9), (1,3,8), (1,4,7), (1,5,6), (2,3,7), (2,4,6) và (3,4,5). Vậy P( A ) = 165 b) Gọi B là bi ến c ố “t ổng ba s ố được ch ọn là s ố l ẻ”. Tổng a + b + c l ẻ khi và ch ỉ khi: Ho ặc c ả ba s ố đều l ẻ ho ặc ba s ố cĩ m ột s ố l ẻ và hai s ố ch ẵn 3 = { } 1 2 = Ta cĩ C6 20 cách ch ọn s ố l ẻ t ừ t ập s ố l ẻ 1,3,5,7,9,11 và cĩ C6. C 5 60 cách ch ọn m ột s ố l ẻ và 31 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 20+ 60 16 hai s ố ch ẵn. V ậy P( B ) = = 165 33 C. BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN Bài 5.21. Một túi ch ứa 16 viên bi, trong đĩ cĩ 7 viên bi tr ắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. a) Lấy ng ẫu nhiên ba viên bi trong túi. Tính xác su ất để: i) Lấy được viên bi đỏ ii) Lấy được c ả ba viên bi khơng đỏ iii) Lấy được m ột viên bi tr ắng, m ột viên bi đỏ, m ột viên bi đen b) Lấy ng ẫu nhiên b ốn viên bi trong túi. Tính xác su ất để: i) Lấy được đúng m ột viên bi tr ắng ii) L ấy được đúng hai viên bi tr ắng c) Lấy ng ẫu nhiên m ười viên bi. Tính xác su ất rút được 5 viên bi tr ắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ. Bài 5.22. Một h ộp đựng 9 th ẻ đánh s ố t ừ 1,2, . . ., 9. Rút ng ẫu nhiên hai th ẻ và nhân hai s ố ghi trên hai th ẻ với nhau. Tính xác su ất để: a) Tích nh ận được là s ố l ẻ. b) Tích nh ận được là s ố ch ẵn. Bài 5.23. Một h ộp đựng 9 th ẻ đánh s ố t ừ 1,2, . . ., 9. Rút ng ẫu nhiên 5 th ẻ. Tính xác su ất để: a) Các th ẻ ghi s ố 1, 2, 3 được rút. b) Cĩ đúng m ột trong ba th ể ghi các s ố 1, 2, 3 được rút. c) Khơng th ể nào trong ba th ẻ ghi các s ố 1, 2, 3 được rút. 32 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp ƠN T ẬP CH ƯƠ NG II Bài 1. Cĩ bao nhiêu cách x ếp 7 ng ười vào hai dãy gh ế sao cho gh ế đầu cĩ 4 ng ười và dãy sau cĩ 3 ng ười. HD @Gi ải 4 Ch ọn 4 ng ười để x ếp vào 4 gh ế ở đầu: cĩ A7 cách. Cịn 3 ng ười x ếp vào 3 gh ế ở dãy sau: cĩ 3! Cách 4 = Vậy cĩ t ấ c ả A7 .3! 5040 cách x ếp Bài 2. Một câu l ạc b ộ cĩ 30 thành viên a) Cĩ bao nhiêu cách ch ọn 5 thành viên vào U ỷ ban th ươ ng tr ực ? b) Cĩ bao nhiêu cách ch ọn Ch ủ t ịch, Phĩ Ch ủ t ịch và Th ủ qu ỹ ? HD @Gi ải 5 = a) Số cách ch ọn 5 ng ười vào U ỷ ban th ường tr ực là C30 142506 b) Cần ch ọn 3 ng ười gi ữ các ch ức v ụ Ch ủ t ịch, Phĩ Ch ủ t ịch và Th ủ qu ỹ. S ố cách ch ọn là 3 = A30 24360 Bài 3. Trong khơng gian cho t ập h ợp g ồm 9 điểm trong đĩ khơng cĩ 4 điểm nào đồng ph ẳng. H ỏi cĩ th ể lập được bao nhiêu t ứ di ện v ới các đỉnh thu ộc t ập h ợp đã cho ? HD @Gi ải 4 = Cứ 4 điểm khơng đồng ph ẳng cho ta được m ột t ứ di ện. V ậy s ố t ứ di ện c ần tìm C9 126 (t ứ di ện) 21 −1 − 1  6+ 6 3 Bài 4. Trong khai tri ển c ủa a bb a  , xác định s ố h ạng mà lu ỹ th ừa c ủa a và b gi ống nhau.   HD @Gi ải −− −− k − kkk21 21 423 kk 421 =k2 636 = k 6 6 Ta cĩ s ố h ạng t ổng quát trong khai tri ển là Tk+121 Cbaa b Ca 21 . b Theo đề bài, ta cĩ 42− 3k = 4 k − 21 . Suy ra k = 9 Bài 5. 2+ 2 < a) Gi ải b ất ph ươ ng trình 2Cx+1 3 A x 30 10+ 9 = 8 b) Gi ải ph ươ ng trình Ax A x9 A x HD @Gi ải a) Điều ki ện x∈ℕ, x ≥ 2 5 Ta cĩ 2CA2+ 3 2 <⇔+ 30 (1)3(1)30 xxxx + −<⇔ 4 xx2 −−<⇔−<< 2300 x 3 x+1 x 2 So v ới điều ki ện, suy ra x = 2 b) Điều ki ện x∈ℕ, x ≥ 10 . Ta cĩ x = 11 10+=⇔ 9 8 x! + x ! = x ! ⇔− −+−=⇔−+=⇔2 AAAx x9 x 9. (9)(8) xxxxx 89 16550  (x− 10)! ( x − 9)! ( x − 8)! x = 5 So v ới điều ki ện, suy ra x = 11 Bài 6. Tính xác su ất sao cho trong 13 con bài tú l ơ kh ơ được chia nh ẫu nhiên cho b ạn Nguyên cĩ 4 con pích, 3 con rơ, 3 con c ơ và 3 con nhép. HD @Gi ải 13 (Ω) = 13 Số cách rút ra 13 con bài là C52 . Nh ư v ậy n C 52 Kí hi ệu A: “Trong 13 con bài cĩ 4 con pích, 3 con rơ, 3 con c ơ và 3 con nhép”. 13! 13! ()=4 3 3 = ()= ≈ 0,000002 Ta cĩ nA C13 CC 9 6 2 . Vậy P A 2 13 4!(3!) 4!(3!) . C52 Bài 7. Ch ọn ng ẫu nhi ện m ột s ố t ự nhi ện bé h ơn 1000. Tính xác su ất để s ố đĩ: a) Chia h ết cho 3 b) Chia h ết cho 5 HD @Gi ải a) Các s ố chia h ết cho 3 cĩ d ạng là 3k ( k ∈ ℕ ) . Ta ph ải cĩ 3k ≤ 999 nên k ≤ 333 33 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 334 Vậy cĩ 334 s ố chi h ết cho 3 bé h ơn 1000. Suy ra P = = 0,334 1000 b) Các s ố chi h ết cho 5 cĩ d ạng 5k ( k ∈ ℕ ) . Ta ph ải cĩ 5k < 1000 nên k < 200 200 Vậy cĩ 200 s ố chia h ết cho 5 bé h ơn 1000. Suy ra P = = 0,2 1000 Bài 8. Ba ng ườ i đi s ăn A, B, C độ c l ập v ới nhau cùng n ổ súng vào m ục tiêu. Bi ết r ằng xác su ất b ắn trúng mục tiêu c ủa A, B, C tương ứng là: 0,4; 0,3; 0,2. a) Tính xác su ất để x ạ th ủ A bắn trúng cịn hai x ạ th ủ kia b ắn tr ượ t. b) Tính xác su ất để cĩ ít nh ất m ột x ạ th ủ b ắn trúng HD @Gi ải a) G ọi H là bi ến c ố: “X ạ th ủ A bắn trúng cịn hai x ạ th ủ kia b ắn tr ượ t”. Ta cĩ PH( )= PAPBPC ( ) ( ) ( ) = (0,4)(0,7)(0,8) = 0,224 b) G ọi K là bi ến c ố: “Khơng cĩ x ạ th ủ nào b ắn trúng”. Ta cĩ: PK( )= PAPBPC ( ) ( ) ( ) = (0,6)(0,7)(0,8) = 0,336 Vậy xác su ất c ần tìm là : PK( )= 1 − PK ( ) = 0,664 Bài 9. Bốn kh ẩu pháo cao xạ A, B, C và D cùng b ắn độc l ập vào m ột m ục tiêu. Bi ết xác su ất b ắn trúng c ủa 1 2 4 5 các kh ẩu pháo trên t ươ ng ứng là: PA()= ,() PB = ,() PC = ,() PD = . Tính xác su ất để m ục tiêu b ị 2 3 5 7 trúng đạn. HD @Gi ải Gọi H: “Các kh ẩu pháo b ắn tr ượt m ục tiêu”. Ta tính xác su ất để m ục tiêu khơng b ị trúng đạn t ức là khi c ả 1112 1 4 kh ẩu pháo đều b ắn tr ượt. Ta cĩ P() H = = 2 3 5 7 105 1 104 Xác su ất để m ục tiêu b ị trúng đạn là PH() =−1 PH ()1 =− = 105 105 Bài 10. Một h ộp đự ng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Ch ọn ng ẫu nhiên hai viên bi. a) Tính xác su ất để ch ọn đượ c hai viên bi cùng màu b) Tính xác su ất để ch ọn hai viên bi khác màu. HD @Gi ải Ω Ω =2 = a) Khơng gian m ẫu cĩ s ố ph ần t ử là n() C 12 66 Gọi A là bi ến c ố: “Ch ọn đượ c hai viên cùng màu”. n( A ) 19 Ta cĩ: nA()= C2 + C 2 + C 2 = 19 . V ậy P( A ) = = 5 4 3 n(Ω ) 66 b) Bi ến c ố: “Ch ọn đượ c hai viên bi khác màu” chính là bi ến c ố A . 19 47 Vậy PA()1=− PD ()1 =− = 66 66 Bài 11. Cĩ ba hịm, m ỗi hịm ch ứa 5 th ẻ đánh s ố t ừ 1 đến 5. Rút ng ẫu nhi ện t ừ m ỗi hịm m ột t ấm th ẻ. Tính xác su ất để: a) Tổng các s ố ghi trên ba t ấm th ẻ rút ra khơng l ớn h ơn 4? b) Tổng các s ố ghi trên ba t ấm th ẻ rút ra b ằng 6 ? HD @Gi ải Khơng gian m ẫu Ω={(,,)/1xyz ≤≤≤≤≤≤ x 5,1 y 5,1 z 5;,, xyz ∈ ℕ*} trong đĩ x, y , z theo th ứ t ự là s ố ghi trên th ẻ rút ở hịm th ứ nh ất, th ứ hai và th ứ ba. Ta cĩ n(Ω) =5.5.5 = 125 . a) Gọi A là bi ến c ố “T ổng các s ố ghi trên ba t ấm th ẻ rút ra khơng l ớn h ơn 4”. Khi đĩ A là bi ến c ố “ T ổng số ghi trên ba t ấm th ẻ được ch ọn nhi ều nh ất là 3”. Khi đĩ Ω = {(1,1,1) } nên n(Ω) = 1 A A 34 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 Vậy PA()1=− PA() =− 1 = 0,992 125 b) Gọi B là bi ến c ố “T ổng các số ghi trên ba t ấm th ẻ rút ra b ằng 6” Ω= ++=≤≤≤≤≤≤ ∈ ℕ* Khi đĩ B {(,,)/xyzxyz 6,1 x 5,1 y 5,1 z 5;,, xyz } Ta cĩ 6 = 1 + 2 + 3 = 1 + 1 + 4 = 2 + 2 + 2 { } Ω { } Ω { } Tập 1,2,3 cho ta 6 ph ần t ử c ủa B , t ập 1,1,4 cho ta 3 ph ần t ử c ủa B , t ập 2,2,2 ch ỉ cho duy 10 nh ất 1 ph ần t ử c ủa Ω . V ậy n(Ω) =6 ++= 3 1 10 . Do đĩ P( B )= = 0,08 B B 125 Bài 12. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên g ồm 6 ch ữ s ố đơi m ột khác nhau (ch ữ s ố đầu tiên ph ải khác 0), trong đĩ cĩ m ặt ch ữ s ố 0 nh ưng khơng cĩ m ặt ch ữ s ố 1 ? HD @Gi ải ≠ ≠ ≠ = ∈ = { } Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng: aaaaaaa123456, 1 0, ai ai j , jij ; , 1,6 và aaaaaa12, , 3 , 4 , 5 , 6 B 0,1, ,9 { } Ch ọn m ột ch ữ s ố trong các ch ữ s ố a2, a 3 , a 4 , a 5 , a 6 để cho b ằng 0 cĩ 5 cách ch ọn { } 5 Ch ọn 5 ch ữ s ố cịn l ại t ừ B \ 0,1 cĩ A8 cách ch ọn 5 = Vậy s ố tho ả mãn yêu c ầu là: 5A8 33600 (s ố). Bài 13. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên g ồm 7 ch ữ s ố (ch ữ s ố đầu tiên ph ải khác 0), bi ết r ằng ch ữ s ố 2 cĩ mặt đúng hai l ần, ch ữ s ố 3 cĩ m ặt đúng ba l ần và các ch ữ s ố cịn l ại cĩ m ặt khơng quá m ột l ần ? HD @Gi ải ≠ ∈ = { } Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng: aaaaaaa1234567, a 1 0, và aaaaaaa1234, , , , 56 , , 7 B 0,1, ,9 ° Xét tr ường h ợp a1 tu ỳ ý (cĩ th ể b ằng 0) 2 Ch ọn 2 v ị trí x ếp hai ch ữ s ố 2: cĩ C7 cách ch ọn 3 Ch ọn 3 v ị trí x ếp ba ch ữ s ố 3: cĩ C5 cách ch ọn 2 Cịn hai v ị trí, ch ọn hai ch ữ s ố x ếp vào hai v ị trí này: cĩ 2!. C8 2 3 2 = Do đĩ, ta cĩ C7. C 5 .2! C 8 11760 (s ố) = ° Xét tr ường h ợp a1 0 2 Ch ọn 2 v ị trí x ếp hai ch ữ s ố 2: cĩ C6 cách ch ọn 3 Ch ọn 3 v ị trí x ếp ba ch ữ s ố 3: cĩ C4 cách ch ọn Ch ọn m ột s ố x ếp vào v ị trí cịn l ại: cĩ 7 cách ch ọn 2 3 = Do đĩ cĩ: C6. C 4 .7 420 (s ố) Vậy s ố tho ả ycbt: 11760 – 420 = 11340(s ố). Bài 14. Từ các ch ữ s ố 1, 2, 5, 7, 8, l ập được bao nhiêu s ố t ự nhiên cĩ ba ch ữ s ố khác nhau và nh ỏ h ơn 276? HD @Gi ải = ≠≠= ∈= { } < Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng naaaa1 2 3;i ai j ; jij ; , 1,3; aaa1 , 2 , 3 B 1,2,5,7,8 và n 276 = { } 2 = ° a 1, khi đĩ b, c l ấy trong B\ a . Do đĩ cĩ A4 12 (s ố) = < ⇒ ∈{ } ∈ { } 1 = ° a2, b 7 b 1,5 và c B\ ab , . Do đĩ cĩ 2.A3 6 (s ố) ° a=2, b = 7⇒ c ∈{ 1,5 }. Do đĩ cĩ 2 (s ố) Vậy s ố các s ố n tho ả ycbt: 12 + 6 + 2 = 20(s ố) Bài 15. Cĩ bao nhiêu s ố t ự nhiên chia h ết cho 5 mà m ỗi s ố g ỗm 4 ch ữ s ố khác nhau ? HD @Gi ải = ≠≠= ∈= { } Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng n aaaaa1 2 3 4 ;i ai j ; jij ;, 1,4; aaaa1 , 2 , 3 , 4 B 0,1,2,4, ,9 Số cách ch ọn a4 cĩ 2 cách ch ọn 35 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 Số cách ch ọn a1, a 2 , a 3 cĩ A9 cách ch ọn 3 = Vậy cĩ 2A9 số cĩ 4 ch ữ s ố chia h ết cho 5 (k ể c ả tr ường h ợp a1 0) = 2 Số tr ường h ợp a1 0 là A9 3− 2 = Vậy s ố c ần tìm tho ả yêu c ầu bài tốn là: 2A9 A 9 952 (s ố) Cách khác : Gi ải theo quy t ắc đếm. Bài 16. Từ các ch ữ s ố 1,2,3,4,5,6 cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố t ự nhiên, m ỗi s ố cĩ 6 ch ữ s ố và tho ả mãn điểu ki ện: Sáu ch ữ s ố là khác nhau và trong m ỗi s ố đĩ t ổng c ủa ba ch ữ s ố đầu nh ỏ h ơn t ổng c ủa ba ch ữ s ố cu ối m ột đơ n v ị ? HD @Gi ải ≠ ≠ = ∈= { } Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng: aaaaaaa12 34 56 ;i ai j ; jij ; , 1,6; a i B 1,2,3,4,5,6 + + = ++ − Điều ki ện: aa12 a 3 a 4 a 5 a 6 1. Vì 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 + + = + + = Vậy suy ra a1 a 2 a 3 10 hi ển nhiên a4 a 5 a 6 11 Ta cĩ các tr ường h ợp sau x ảy ra: {1,3,6} và { 2,4,5} . Ta có :3!.3!= 36 số {1,4,5} và { 2,3,6} . Ta có : 3!.3!= 36 số {2,3,5} và { 1,4,6} . Ta có : 3!.3!= 36 số Theo quy t ắc c ộng ta cĩ: 36 + 36 + 36 = 108 s ố c ần tìm. Bài 17. Từ các ch ữ s ố 1,2,3,4,5,6,7,8,9 cĩ th ể l ập được bao nhiêu s ố t ự nhiên, m ỗi s ố g ồm 6 ch ữ s ố khác nhau và t ổng các ch ữ s ố hàng ch ục, hàng tr ăm, hàng nghìn b ằng 8. HD @Gi ải ≠ ≠ = ∈= { } Gọi s ố c ần tìm cĩ d ạng: aaaaaaa12 34 56 ;i ai j ; jij ; , 1,6; a i B 1,2,3,4,5,6,7,8,9 + + = ∈{ } ∈ { } Theo đề bài, ta cĩ a3 a 4 a 5 8, suy ra aaa345, , 1,2,5 hayaaa 345 , , 1,3,4 ∈{ } Tr ường h ợp: a3, a 4 , a 5 1,2,5 = Số cách ch ọn a3, a 4 , a 5 cĩ 3! 6 cách ch ọn 3 Số cách ch ọn a1, a 2 , a 6 cĩ A6 cách ch ọn 3 = Vậy cĩ 6.A6 720 (s ố) ∈{ } Tr ường h ợp: a3 , a 4 , a 5 1,3,4 , th ực hi ện gi ải t ươ ng t ự, ta cĩ 720 (s ố) Vậy cĩ 720 + 720 = 1440 s ố c ần tìm. Bài 18. Đội tuy ển h ọc sinh gi ỏi c ủa tr ường g ồm 18 em, trong đĩ cĩ 7 h ọc sinh kh ối 12, 6 h ọc sinh kh ối 11 và 5 h ọc sinh kh ối 10. H ỏi cĩ bao nhiêu cách c ử 8 h ọc sinh trong đội đi d ự tr ại hè sao cho m ỗi kh ối cĩ ít nh ất m ột em h ọc sinh được ch ọn ? HD @Gi ải 8 = Số cách ch ọn 8 h ọc sinh t ừ 18 em c ủa đội tuy ển là C18 43758 cách Trong 43758 cách ch ọn b ất kì trên bao g ồm: 8 ° Số cách ch ọn 8 h ọc sinh t ừ kh ối 12 và 11 là C13 8 ° Số cách ch ọn 8 h ọc sinh t ừ kh ối 12 và 10 là C12 8 ° Số cách ch ọn 8 h ọc sinh t ừ kh ối 10 và 11 là C11 8− 8 + 8 + 8 = Vậy s ố cách ch ọn tho ả yêu c ầu bài tốn là: C18( C 13 C 12 C 11 ) 41811 (cách ch ọn) − ( −++)n( ) n 1 =++2 ++ n Bài 19. Gi ả s ử cĩ khai tri ển 1x x 1 x aaxax0 1 2 axn + + ++ = Bi ết aaa0 1 2 a n 512 . Hãy tính h ệ s ố a3 HD @Gi ải 36 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp = ⇒ n−1 = ++ ++ = ⇒ = Từ gi ả thi ết ch ọn x12 aaaa0 1 2 n 512 n 10 Với n = 10 , ta cĩ ( −++=−+)10( ) 9 0 1 22 − 33 +++ 10 0 12 + 23 ++ 910 1x x 1 x C1010 CxCxCx 10 10 C 10 CxCxCx 9 9 9 Cx 9 =−3 + 2 =− Từ đĩ suy ra a3 C 10 C 9 84 ( +)10 ( +=+) 11 10 + 9 ++ Bài 20. Gọi a1, a 2 , , a 11 là các h ệ s ố trong khai tri ển sau: x1 x 2 xaxax1 2 a 11 . Hãy tính h ệ s ố a5 HD @Giải ( +=)10 010 + 19 + 28 + 37 + 46 + 55 +++ 9 10 Ta cĩ x1 Cx10 CxCxCxCxCx 10 10 10 10 10 CxC 10 10 10 ( +1) ( +=++ 2 ) 5 2 4  6 + Suy ra x x CCx10 10  =5 + 4 = Vậy a5 C 102 C 10 672 n 1  Bài 21. Tìm h ệ s ố c ủa s ố h ạng ch ứa x26 trong khai tri ển + x7  , bi ết r ằng x 4  12+ ++n =− 20 C21n+ C 21 n + C 21 n + 2 1 HD @Gi ải 012+ + ++n = 20 Từ gi ả thi ết, ta cĩ CCC21nnn+++ 21 21 C 21 n + 2 (1) k=2 n+ 1 − k ∀≤≤ Vì C21n+ C 21 n + , kkn ,0 2 , nên 1 CCC012+ + ++ Cn =() CCC 012 + + ++ C 21n + (2) 21nnn+++ 21 21 21 n +2 21 nnn +++ 21 21 21 n + 2n+ 1 Từ khai tri ển nh ị th ức Niu-tơn c ủa (1+ 1 ) 0+ 1 + 2 ++ 2121n+ = n + suy ra CCC21nnn+++ 21 21 C 21 n + 2 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: 22n = 2 20 ⇔n = 10 10 1  n10 −k k n +7 =k()()− 4 7 = k 1140 k − Ta cĩ 4 x  ∑ Cx10 x ∑ Cx 10 x  k=0 k = 0 26 k − = ⇔= Hệ s ố c ủa x là C10 tho ả mãn: 11k 40 26 k 6 26 6 = Vậy h ệ s ố c ủa x là : C10 210 Bài 22. Cho khai tri ển nh ị th ức: − − −n −n − n 1 − n1 n x1− x  x 1 x 1 −x x 1  − x − x 222+=+3 CC0 2 2 1 2 2  2 3 ++ Cn−1 222  3 + C n 2 3 n n n   n     3= 1 (n là s ố nguyên d ươ ng). Bi ết r ằng trong khai tri ển đĩ Cn5 C n và s ố h ạng th ứ t ư b ằng 20 n . Tìm x, n HD @Gi ải n∈ℤ+ , n ≥ 3 n∈ℤ+ , n ≥ 3  3=⇔ 1 ⇔= ⇔= Ta cĩ CCn5 n   n 7 n 7 (n− 2)( n − 1) = 30  n = − 4 − 4 − 4 x 1 − x x 1 − x Và TC=3 22 23 =⇔ 20 nC3 22 23 =⇔=⇔= 1402x−2 4 x 4 4 7 7      Vậy n=7, x = 4 0+ 1 + 2 ++n n = Bài 23. Tìm s ố nguyên d ươ ng nC:nnn 2 CC 4 2 C n 243 HD @Gi ải 37 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp ( +)n =+0 1 + 22 ++ n n = Từ khai tri ển: 1x Cnnn CxCx Cx n .Ta ch ọn x 2 ta được ( +)n ==+n 0 1 + 2 ++ n n 0+ 1 + 2 ++n n = ⇔=⇔= n 5 12 3CCCnnn 2 4 2 C n . Do đĩ CCCnnn2 4 2 C n 243 33 n 5 Vậy n = 5 22n−+ 23 + 33 n − = Bài 24. Tìm s ố t ự nhiên n tho ả mãn: CCnn2 CC nn CC nn 100 HD @Gi ải Điêu ki ện n ≥ 3 và n∈ ℕ . Ta cĩ 2 2 2 222333n−+ + n − =⇔ 2 + 233 + =⇔+= 23 CCnn2 CCCC nnnn 100( C n) 2 CCC nnn( ) 100( CC nn ) 100 nn(− 1) nn ( − 1)( n − 2) ⇔+=⇔CC2 3 10 + =⇔− 10(1)(1)3.4.5nnn += ⇒ n = 4 n n 2 6 Vậy n = 4 3n− 3 Bài 25. Với n là s ố nguyên d ươ ng, g ọi a3n− 3 là h ệ s ố c ủa x trong khai tri ển thành đa th ức c ủa n 2 +() + n = (x1) x 2 . Tìm n để a3n− 3 26 n HD @Gi ải n n n nn 2++=()n knk 2−− 2 hnhh = khhnkh3 −+ (2 ) Ta cĩ ()x12 x∑ Cxn ∑ Cx n 2 ∑∑ CCx nn 2 k=0 h = 0 kh == 00 k=1, h = 1 Từ gi ả thi ết, ta suy ra 2k+ h = 3 ⇔  k=0, h = 3 =11 + 303 = ⇒ = Từ đĩ suy ra: a3n− 3 2 CC nn 2 CC nn 26 nn 5 Vậy n = 5 8 8 +2 −  Bài 26. Tìm h ệ s ố c ủa x trong khai tri ển thành đa th ức c ủa 1x() 1 x  HD @Gi ải Ta cĩ 8 2 3 11+−=+2()()()()  012 1 −+ 24 1 −+ 36 1 − x x  CCx88 xCx 8 x Cx 8 x +48()() −++4 816 − 8 Cx8 1 x Cx 8 1 x 8 3 6 ( − )3 4 8 ( − )4 Số h ạng ch ứa x trong khai tri ển trên ch ỉ cĩ trong C8 x1 x và C8 x1 x 8 3+ 4 = Suy ra h ệ s ố c ủa x là 3C8 C 8 238 3+n− 2 ≤ Bài 27. Tìm n là s ố nguyên d ươ ng tho ả mãn b ất ph ươ ng trình: An2 C n 9 n HD @Gi ải 3+n− 2 ≤ ≥ ∈ ℕ Bất ph ươ ng trình An2 C n 9 n , cĩ điều ki ện n3, n (*) − n! 2.! n ACn3+2n 2 ≤⇔ 9 + ≤⇔−−+−≤ 9 nnnnnn (1)(2)(1)9 n n n (n− 3)! ( n − 2)!2! ⇔n2 − 2 n −≤⇔−≤≤ 8 0 2 n 4 Từ (*), suy ra n=3, n = 4 ( +)n =++2 ++k ++ n Bài 28. Gi ả s ử n là s ố nguyên d ươ ng và 1x aaxax0 1 2 axk ax n . Bi ết r ằng t ồn t ại a a a số k nguyên( n≤ k ≤ n − 1) sao cho : k−1= k = k + 1 . Hãy tính n 2 9 24 HD @Gi ải ( +)n =++2 ++k ++ n Ta cĩ 1x aaxax0 1 2 axk ax n Và 38 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp  k−1 k Cn C n k−1 k k + 1  = a− aa + C CC  2 9 k1== kk 1 ⇔ n == nn ⇔  2 9 24 2 9 24 Ck C k +1  n= n   9 24  2n + 2 k = 2(n− k + 1) = 9 k  11 ⇔ ⇔  ⇔−=+⇔=3n 82 n 2 n 10 3(nkk−=+ ) 8( 1) 3 n − 8 k =  11 2n Bài 29. Tìm h ệ s ố c ủa x7 trong khai tri ển đa th ức (2− 3 x) , trong đĩ n nguyên d ươ ng tho ả mãn: 1+ 3 + 5 ++ 21n+ = CCC21nnn+++ 21 21 C 21 n + 1024 HD @Gi ải +21n+ = 0 + 1 + 22 ++ 2121n+ n + Ta cĩ (1x ) C21nnn+++ CxCx 21 21 Cx 21 n + = +21210n+ = n + = + 1 + 2 ++ 21n + Ch ọn x 1 ta được: (1 1) 2CCC21nnn+++ 21 21 C 21 n + (1) = − −21n+ == 0 − 1 + 2 −− 21n + Ch ọn x 1 ta được: (1 1) 0CCC21nnn+++ 21 21 C 21 n + (2) ⇒ 21n+ = 1 + 3 + 5 ++ 21n + Lấy (1) – (2) 22(CCC21nnn+++ 21 21 C 21 n + ) Suy ra: 22n = 2 10 ⇔ 2n = 10 ( − x )10 =k − k10 − k ( )k Ta cĩ: 2 3 cĩ s ố h ạng khai tri ển t ổng quát: Tk+1 C 10 ( 1) 2 3 x Hệ s ố c ủa x7 ứng v ới k = 7. 7 −7 7 3 = − Vậy h ệ s ố c ủa x là C10 32 2099520 Bài 30. Cho t ập A gồm n ph ần t ử (n ≥ 4) . Bi ết r ằng s ố t ập con g ồm 4 ph ần t ử c ủa A bằng 20 l ần s ố t ập con g ồm 2 ph ần t ử c ủa A. Tìm k∈{1;2;3; ; n } sao cho s ố t ập con g ồm k ph ần t ử c ủa A là l ớn nh ất. HD @Gi ải Theo bài tốn, ta cĩ: n! n ! CC4=⇔20 2 = 20 ⇔−−= (3)(2)20.12 nn⇒ n = 18 (Vì n ≥ 4 ) n n 4!(n− 4)! 2!( n − 2)! + Ck≥ C k 1 C k lớn nh ất ⇔  18 18 ⇒ k = 9 . Vậy: k = 9 18 k≥ k −1 C18 C 18 n−1= 3 5 Bài 31. Cho n s ố nguyên d ươ ng th ỏa mãn 5Cn C n . Tìm s ố h ạng ch ứa x trong khai tri ển nh ị th ức n nx 2 1  Niu-tơn −  ,x ≠ 0 . 14 x  HD @Gi ải − n( n− 1)( n − 2) Ta cĩ: 5CCnn 1=⇔= 3 5 ⇔= n 7 (vì n nguyên d ươ ng) n n 6 n 7 7 −k k 2 27 2 7 k k nx1  nx 1   x  1  (− 1) C − −=−=Ck −= 7 x 14 3 k Khi đĩ:   ∑7    ∑ 7−k 14x  14 x k=0  2  x  k = 0 2 Số h ạng ch ứa x5 tươ ng ứng v ới 143−k =⇔ 5 k = 3 (− 1) 3C 3 35 Vậy s ố h ạng c ần tìm là 7 x5= − x 5 24 16 Bài 32. Gọi S là t ập h ợp t ất c ả các s ố t ự nhiên g ồm ba ch ữ s ố phân bi ệt được ch ọn t ừ các ch ữ s ố 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định s ố ph ần t ử c ủa S. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột s ố t ừ S, tính xác su ất để s ố được ch ọn là s ố ch ẵn. HD @Gi ải 39 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất
Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp =3 = Số ph ần t ử c ủa S là n() S A 7 210 . Gọi A là bi ến c ố: “Ch ọn được t ừ S s ố được ch ọn là s ố ch ẵn” Ta cĩ n(A) = 3.6.5 = 90 (cách) n() A 90 3 Xác su ất c ần tìm là: P( A ) = = = n() S 210 7 Bài 33. Cĩ hai h ộp ch ứa bi. H ộp th ứ nh ất ch ứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi tr ắng, h ộp th ứ hai ch ứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi tr ắng. L ấy ng ẫu nhiên t ừ m ỗi h ộp ra 1 viên bi. Tính xác su ất để 2 viên bi được l ấy ra cùng màu. HD @Gi ải Số cách ch ọn 2 viên bi, m ỗi viên t ừ m ột h ộp là: 7.6 = 42 Số cách ch ọn 2 vuên bi đỏ, m ỗi viên t ừ m ột h ộp là: 4.2 = 8 Số cách ch ọn 2 vuên bi tr ắng, mỗi viên t ừ m ột h ộp là: 3.4 = 12 8+ 12 10 Xác su ất l ấy ra được hai viên bi cùng màu là: P = = 42 21 Bài 34. Từ m ột h ộp ch ứa 16 th ẻ đánh s ố t ừ 1 đến 16, ch ọn ng ẫu nhiên 4 th ẻ. Tính xác su ất để 4 th ẻ được ch ọn đều đánh s ố ch ẵn. HD @Gi ải (Ω) =4 = Số ph ần t ử khơng gian m ẫu: n C 16 1820 Gọi bi ến c ố A : “Ch ọn được 4 th ẻ đều đánh s ố ch ẵn” ( ) =4 = Kết qu ả thu ận l ợi cho bi ến cĩ A là n A C 8 70 n( A ) 70 1 Xác su ất c ủa bi ến c ố A là P() A = = = n()Ω 1820 26 Bài 35. Để ki ểm tra ch ất l ượng s ản ph ẩm t ừ m ột cơng ty s ữa, ng ười ta đã gi ử đến b ộ ph ận ki ểm nghi ệm 5 hộp s ữa cam, 4 h ộp s ữa dâu và 3 h ộp s ữa nho. B ộ ph ận ki ểm nghi ệm ch ọn ng ẫu nhiên 3 h ộp s ữa để phân tích m ẫu. Tính xác su ất để 3 h ộp s ữa được ch ọn cĩ c ả 3 lo ại. HD @Gi ải (Ω) =3 = Số ph ần t ử khơng gian m ẫu: n C 12 220 Gọi bi ến c ố A : “3 h ộp s ữa được ch ọn cĩ c ả 3 lo ại” ( ) =1 1 1 = Kết qu ả thu ận l ợi cho bi ến cĩ A là nA CCC5. 4 . 3 60 n( A ) 60 3 Xác su ất c ủa bi ến c ố A là P() A = = = n()Ω 220 11 Bài 36. Cho đa giác đều n đỉnh, n∈ ℕ và n ≥ 3. Tìm n bi ết r ằng đa giác đã cho cĩ 27 đường chéo. HD @Gi ải n( n − 3) Số đường chéo c ủa đa giác đều n đỉnh là C2 − n = n 2 n( n − 3) Theo gi ả thi ết, ta cĩ: =27 ⇔n = 9 ho ặc n = − 6 2 Do n∈ ℕ và n ≥ 3 nên giá tr ị n cần tìm là n = 9 Bài 37. Trong đợt ứng phĩ d ịch MERS-CoV, S ở Y t ế thành ph ố đã ch ọn ng ẫu nhiên 3 đội phịng ch ống dịch c ơ động trong 5 đội c ủa Trung tâm y t ế d ự phịng thành ph ố và 20 đội c ủa các Trung tâm y t ế c ơ s ở để ki ểm tra cơng tác chu ẩn b ị. Tính xác su ất để ít nh ất 2 đội c ủa Trung tâm y t ế c ơ s ở được ch ọn. HD @Gi ải Ω =3 = Số ph ần t ử c ủa khơng gian m ẫu n() C 25 2300 Gọi A là bi ến c ố “ít nh ất 2 đội c ủa Trung tâm y tế c ơ s ở được ch ọn” =3 1 + 3 = Ta cĩ s ố k ết qu ả thu ận l ợi cho bi ến c ố A là nA() CC20 5 C 20 2090 n( A ) 209 Vậy: P( A ) = = n(Ω ) 230 40 Đại s ố và Giải tích 11 Ch ươ ng II. T ổ h ợp – Xác su ất