Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán năm 2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

Nội dung text: Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán năm 2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

1. ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HÀ NỘI – NĂM 2019 4 x 1 15x2x1 Bài I: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A và B: với x 0 ,x 2 5 . 2 5 x x25 x5x5 1) Tìm giá trị của biểu thức A khi x = 9. với Ta có: x = 9 (tm) thay vào A ta được: 4 9 1 16 A = =1. 2 5 9 16 Vậy khi x = 9 thì A = 1. (0,5 điểm) 2) Rút gọn biểu thức B. 15x2x1 B: x25 x5x5 15x2x1 : x5x5 x5x5 15 x2 x 5 x 1 : x 5 x 5 x 5 x 5 x5 15x2x5 x1 : x5x5 x5 x5x5 . x5x5 x1 1 = với . (1 điểm) x1 3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất. 4 x 1 14 Ta có: P A.B . với . 25 xx1 25 x thaytoan.edu.vn HỌC TOÁN 9 THEO CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM
2. Để P nguyên khi x nguyên thì: 4 ⋮ (25 – x) 25 x U 4 25 x  4; 2; 1;1;2;4 Ta có bảng giá trị: 25 – x -4 -2 -1 1 2 4 x 29 (tm) 27 (tm) 26 (tm) 24 (tm) 23 (tm) 21 (tm) P -1 -2 -4 4 2 1 Dựa vào bảng giá trị ta thấy x = 24 (tm) thì P = 4 là số nguyên lớn nhất. Vậy P đạt giá trị nguyên lớn nhất bằng 4 khi x = 24. (0,5 điểm) Bài II (2,5 điểm) 1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đọi hàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên? Gọi: thời gian làm một mình xong công việc của đội thứ nhất là x (ngày, x > 15) thời gian làm một mình xong công việc của đội thứ hai là y (ngày, y > 15) 1 Mỗi ngày đội thứ nhất làm được số phần công việc là: (công viêc) x 1 Mỗi ngày đội thứ hai làm được số phần công việc là: (công việc) y Vì hai đội cùng làm chung công việc thì sau 15 ngày làm xong nên mỗi ngày cả hai đội làm được số 1 phần công việc là: (công việc) 15 111 Do đó ta có phương trình: (1) xy15 Đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì 1 cả hai đội hoàn thành được 25% = (công viêc) nên ta có phương trình: 4 3 5 1 (2) x y 4 thaytoan.edu.vn HỌC TOÁN 9 THEO CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM
3. 1 1 1 x y 15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (x > 15; y > 15) 3 5 1 x y 4 1 1 1 11 a ab a x 15 24 x 24 x 2 4 tm Đặt ta được 1 1 1 11 y 4 0 tm b 3 a 5b b y 4 40 y 40 Vậy: đội thứ nhất làm một mình trong 24 ngày thì xong công việc; đội thứ hai làm một mình trong 40 ngày thì xong công việc. (2,0 điểm) 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là 0,32m2. Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước). - Thể tích của bồn nước là: V = S.h = 1,75.0,32 = 0,56 (m3) - Vậy bồn nước đựng được 0,56 mét khối nước. Bài 3: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : x4 – 7x2 – 18 = 0 Pt: x4 + 2x2 – 9x2 – 18 = 0 x2(x2 + 2) – 9(x2 + 2) = 0 (x2 – 9)(x2 + 2) = 0 Vì x2 + 2 > 0 với mọi x, nên pt tương đương với: x2 – 9 = 0 x = ±3 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-3; 3} (1,0 điểm) 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2mx – m2 + 1 và parabol (P): y = x2. a) Chứng minh (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = 2mx – m2 + 1 x2 – 2mx + m2 – 1 = 0. (*) (a = 1; b = -2m; b’ = -m c = m2 – 1) Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (d) và (P). Phương trình (*) có: ∆’ = b’2 – ac = (m)2 – 1(m2 – 1) = 1 > 0 với ∀m. Do vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀m, hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. (đpcm). (0,5 điểm) thaytoan.edu.vn HỌC TOÁN 9 THEO CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM
4. b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn: 112 1 xxxx1212 Theo chứng minh ở câu a) ta có (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Với x12 , x là hoành độ giao điểm của (d) và (P) thì là hai nghiệm của (*). b x x 2m 12 a Theo hệ thức viet ta có: c x .x m2 1 12 a 112 2 Xét: 1 (đk: x.x0m10m112 ) xxx.x1212 xxxx 2 1212 xxx.xxx121212 xx2x.x1212 2m2m1 2 m2m302 mm3m302 mm13m10 m1m30 m 1 0 m1 ktm m 3 0 m3 tm Vậy m = 3 thỏa mãn điều kiện đề bài. (0,5 điểm) Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. 1) Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF. 3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP. thaytoan.edu.vn HỌC TOÁN 9 THEO CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM
5. 1) Xét tam giác ABC ta có: x BE, CF là đường cao (gt)  BE vuông góc với AC, CF  AB. A  BEC BFC 90o D E Mà E và F là hai đỉnh kề nhau cua tứ giác P M N BEFC. G F  Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp; H O Hay B, C, E, F cùng thộc một đường tròn B I C (đpcm) K Q (1,0đ) 2) Xét đường tròn (O) Gọi Ax là tiếp tuyến của (O) tại A, khi đó: 1 x A C là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AC => x A C= sđ AC 2 1 Mà: A B C là góc nội tiếp chắn cung AC => = sđ AC (góc nội tiếp) 2 => = Mặt khác BFEC là tứ giác nội tiếp (cmt) => AEFABC (cùng bù góc CEF) => = A E F Mà và ở vị trí đồng vị => Ax // EF Vì Ax là tiếp tuyến (O) nên OA  Ax => OA EF (đpcm) (1,0đ) 3) Gọi D là giao điểm của OA và EF M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC, => OM, ON lần lượt vuông góc với AB, AC (quan hệ giữa đường kính và dây cung) Xét tứ giác OMAN có AMOANO9090180 ooo => OMAN là tứ giác nội tiếp => AMNAON (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) Gọi G là giao điểm của AH và MN. Vì H = BE ∩ CF => H là trực tâm của ∆ABC => AH BC. Mà MN là đường trung bình của ∆ABC nên MN // BC => AH MN tại G. thaytoan.edu.vn HỌC TOÁN 9 THEO CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM
6. AGM ANO 90o Xét ∆GMA và ∆NOA có: => GMA ~∆NOA (g.g) AMG AMN AON(cmt) => G A M O A N (góc tương ứng) hay P A F D A E => PAFPADDAEPAD => F A D E A P hay B A I E A P AEPABCABIcmt Xét ∆APE và ∆AIB có =>∆APE ~∆AIB (g.g) – đpcm (0,5đ) EAPBAIcmt A P A E => (cạnh tương ứng) (1) A I A B o AEHABQ90 Xét ∆AHE và ∆AQB có: =>∆AHE ~ ∆AQB (g.g) FADEAPcmt hay QABEAH A H A E => (2) A Q A B APAHAPAI Từ (1) và (2) => PI / /HQ (định lý ta lét đảo) – đpcm. (0,5 đ) AIAQAHAQ Bài V (0,5 điểm) Cho biểu thức P = a4 + b4 – ab, với a, b là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + ab = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Ta có: a2 + b2 + ab = 3  a2 + b2 = 3 – ab Mà: (a – b)2 ≥ 0  a2 – 2ab + b2 ≥ 0  a2 + b2 ≥ 2ab  3 – ab ≥ 2ab  3 ≥ 3ab  ab ≤ 1 thaytoan.edu.vn HỌC TOÁN 9 THEO CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM
7. Mặt khác: (a + b)2 ≥ 0  a2 + 2ab + b2 ≥ 0  a2 + b2 ≥ -2ab  3 – ab ≥ -2ab  3 ≥ -ab  ab ≥ -3 => -3 ≤ ab ≤ 1 Xét a2 + b2 = 3 – ab với -3 ≤ ab ≤ 1  (a2 + b2)2 = (3 – ab)2  a4 + b4 + 2a2b2 = 9 – 6ab + a2b2  a4 + b4 = -(ab)2 – 6ab + 9  a4 + b4 – ab = -(ab)2 – 7ab + 9  a4 + b4 – ab = -[(ab)2 + 7ab – 9] 4 4 2 7 49 49  a + b – ab = ab 2. ab 9 2 4 4 2 785  a4 + b4 – ab = ab 24 2 4 4 785  a + b – ab = ab 24 +) Vì ab ≤ 1 779 ab1 222 2 781 ab 24 7 81 ab 24 7 85 81 85 ab 2 4 4 4 P1 thaytoan.edu.vn HỌC TOÁN 9 THEO CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM
8. ab1 ab1ab1 Dấu “=” xảy ra khi: 2 ab0 abab1 +) Vì ab ≥ -3 7 7 1 ab 3 2 2 2 2 71 ab 24 2 71 ab 24 2 785185 ab 2444 P 2 1 ab3 ab3a3;b3 Dấu “=” xảy ra khi 2 ab0 ab a3;b3 Vậy: a3;b3 Giá trị lớn nhất của P là Pmax = 21, khi a3;b3 ab1 Giá trị nhỏ nhất cả P là Pmin = 1, khi (0,5 điểm) ab1 thaytoan.edu.vn HỌC TOÁN 9 THEO CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM