Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2015 - Vòng 1 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng

Nội dung text: Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2015 - Vòng 1 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng

1. SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO HƯỚNG D ẪN CH ẤM THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI THAM CAO B ẰNG DỰ KÌ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI QU ỐC GIA NĂM 2015 - VÒNG 1 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH TH ỨC (H ướng d ẫn ch ấm có 05 trang) I. H ướng d ẫn chung: 1. N ếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nh ưng đúng thì v ẫn cho đủ số điểm t ừng ph ần nh ư h ướng d ẫn quy đị nh. 2. Vi ệc chi ti ết hóa (n ếu có) thang điểm trong h ướng d ẫn ch ấm ph ải đả m b ảo không làm sai l ệch h ướng d ẫn ch ấm. 3. Điểm c ủa bài thi theo thang điểm 20, ph ần l ẻ được tính đế n 0,25 điểm. Giám kh ảo gi ữ nguyên điểm l ẻ, không được làm tròn điểm. II. Đáp án và thang điểm: Câu ý Đáp án Điểm Có TX Đ: D=R yx'= 32 − 6 x + 3(1 − m ) ; y''= 6 x − 6 ; y''= 0 ⇔ x = 1 0,5 Tọa độ điểm u ốn I(1;2) ggd Dùng phép t ịnh ti ến theo véc t ơ OI bi ến h ệ tr ục 0xy thành h ệ tr ục IXY ta x= X + 1 có công th ức đổ i h ệ tr ục:  thay vào ph ươ ng trình hàm s ố ta có: 0,5 y= Y + 2 Y+=+−2 (X 1)3 3(X ++− 1) 2 (3 3 m )(X +++ 1) 1 3 m ⇔=Y X3 −3 mX = f (X) f(X) có t ập xác đị nh R và f(-X)=-f(X) nên f(X) là hàm s ố l ẻ suy ra đồ th ị 0,25 hàm s ố (1) nh ận điểm I(1;2) làm tâm đối x ứng. 1 (2 đ) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa y’: Có b ảng bi ến thiên +∞ x −∞ 1 0,5 y’ ’ − 0 + +∞∞∞ I y' +∞ (4 đ) -3m Từ b ảng bi ến thiên ta th ấy y’ đạt giá tr ị nh ỏ nh ất b ằng -3m khi x=1 hay 0,25 hệ s ố góc c ủa ti ếp tuy ến t ại điểm u ốn là nh ỏ nh ất. Ta có: yxx'= 32 −+−= 6 3(1 m ) 3( xxm 2 −+− 2 1 ) . Đồ th ị hs (1) có c ực tr ị khi và ch ỉ khi pt: y '= 0 có 2 nghi ệm phân bi ệt t ức là: 0,5 ∆=−' 1 (1 −m ) = m > 0 (2) 1 Ta có nh ận xét: y= y'( x −+− 1) 2( mx ++ 1 m ) (3) 3 Đẳng th ức 3 ch ứng t ỏ n ếu (x1 ; y 1 ) và (x2 ; y 2 ) là các điểm c ực tr ị c ủa hàm y=2( − mx ++ 1 m ) số thì 1 1  = − ++ y22( mx 2 1 m ) 1
2. Đồ th ị hs (1) c ắt tr ục hoành t ại 1 điểm duy nh ất khi: 0,25 a) Ho ặc đồ th ị không có c ực tr ị t ức là ∆≤' 0 ⇔m ≤ 0 b) Ho ặc đồ th ị có c ực đạ i , c ực ti ểu nh ưng y y > 0 điều này x ảy ra khi: 1 2 m > 0 m > 0 0,5 ⇔  (I) y y > 0 2 − + +++2 > 2  1 2 mxxm12(1 mxx )( 12 ) (1 m ) 0 2 − +− = (2 đ) Do x1, x 2 là 2 nghi ệm c ủa ph ươ ng trình x2 x 1 m 0 nên theo định lý x+ x = 2 Vi-ét ta có 1 2 thay vào (I) ta được:  = − 0,5 x1 x 2 1 m m > 0  ⇔0 0 Vậy đồ th ị hs (1) c ắt tr ục hoành t ại 1 điểm duy nh ất khi m< 1 0,25 π . Đk: x≠ k 2 0,5 3 2 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: ()1+tan2 x + −= 3 cot x 2 sin2 x 2(sin2x+ cos 2 x ) ⇔3tan2 x + −= 3 2 cot x sinx cos x 0,5 1 ⇔3tan2 x + 2 tan x −= 30 (2 đ) π tan = −  =− + π x 3 x k 0,5 ⇔⇔⇔  ⇔ 3 ∈  1  k Z tan x =  π  x= + k π  3  6 π π KL: So sánh v ới điều ki ện ph ươ ng trình có nghi ệm : x= + k ; k∈Z 6 2 0,5 1 ⇔−2(1 sin2)2x +− 1 2sin2 2 x + 2sin2 xm += 0 II Ph ươ ng trình 2 (3 đ) ⇔3sin22 x − 2sin2 x −−= m 3 0 π 0,5 Đặt sin2x = t, vì 0 ≤x ≤ nên 0≤t ≤ 1 bài toán đư a v ề: 2 2  ft()3= t − 2 tm = + 3 Tìm m để h ệ:  có nghi ệm ≤ ≤ 0t 1 Xảy ra khi: minftm ( )≤ + 3 ≤ max ft ( ) (1) 0≤t ≤ 1 0≤t ≤ 1 2 (1 đ) Ta có f’(t) = 6t – 2 có b ảng xét d ấu f’(t) 1 t 0 3 1 f’(t) − O + 0 1 f(t) 0,5 1 − 3 2
3. 1 1 Vậy minft ( )==− f( ) ; max ft ( ) == f(1) 1 0≤t ≤ 1 3 3 0≤t ≤ 1 1 10 Thay vào (1) ta được: − ≤m +≤⇔−3 1 ≤ m ≤− 2 3 3 S 1 M (2 đ) K H N C B J I D A Hình v ẽ Gọi I, J l ần l ượt là trung điểm c ủa AB và CD, Ta có 0,5 AB⊥ SI  ⇒ AB⊥ ( S IJ) AB ⊥ IJ Vẽ JH vuông góc v ới giao tuy ến Ix c ủa (P) và (SIJ) (H thu ộc Ix) khi đó JH vuông góc v ới (P) (vì (P) ⊥ (SIJ) ) 0,5 Vậy JH = a là kho ảng cách t ừ J t ới (P) và c ũng là kho ảng cách gi ữa CD III (4 đ) và (P) IJ ⊥ AB  0,5 Ta c ũng có:  ⇒ JIH là góc gi ữa (P) và (ABCD) HI⊥ AB Tam giác vuông JHI có IJ = 2a, JH =a nên JIH = 30 o 0,5 CD//AB nên CD//(P) suy ra (P) c ắt mp(SCD) theo giao tuy ến MN//CD, thi ết di ện là hình thang ABMN. 0,5 Tam giác vuông SIA: SI2=−= SAIA 22(a 5) 222 −=⇔= a 4 a SI 2 a Mà SI=SJ=IJ=2a nên SIJ là tam giác đều.  = 0  2 Suy ra SIJ 60 nên IH là phân giác c ủa góc SIJ do đó IH qua trung điểm 0,5 (2 đ) K c ủa SJ và MN qua trung điểm này nên là đường trung bình c ủa tam giác SCD. V ậy MN = a Để ý r ằng đường cao IK c ủa tam giác SIJ c ũng là đường cao c ủa hình 2a 3 0,5 thang ABMN nên IK= = a 3 2 ABMN+2 aa + 3 a 2 3 0,5 Di ện tích thi ết di ện S=. IK = . a 3 = ABMN 2 2 2 3
4. 222 2 CM: (CCC0) +( 1) +( 2 ) ++ ( CCn) = n nnn nn2 Theo công th ức khai tri ển nh ị th ức Niu T ơn: 2n ()+2n = k k 1 x∑ C2n x (1) 0,75 = k 0 n n IV n n ()()1.1+x + x = CxCxii . jj (3 đ) ∑n ∑ n (2) 0,75 i=0 j = 0 n n Hệ s ố c ủa x trong (1) là C2n 0,5 Hệ s ố c ủa xn trong (2) là: 2 2 2 0,75 0n+ 11 n− ++ n 00 = + 1 ++ n CCCCnnnn. . CCC nnn .( ) ( C n) ( C n ) Từ (1) và (2) ta có điều ph ải ch ứng minh 0,25 x +6 ≥ 0  x +2 ≥ 0 1 0,5 Tập xác đị nh c ủa pt là:  ⇔x ≥ (x+ 6)(2 x − 1) ≥ 0 2   + − ≥ (x 2)(2 x 1) 0 Vi ết ph ươ ng trình d ưới d ạng: fxxx()= ( + 2)(2 −− 1)3 x ++ 6 ( xx + 6)(2 −− 1)3 x += 2 4 0,5 ⇔ (x +++ 6 x 2)( 2 x −−= 1 3) 4 (1) 0,5 V Từ (1) suy ra 2130x−− ≥ ⇔ x ≥ 5 v ậy ta ch ỉ xét (1) v ới x ≥ 5 (3 đ) Ta có: * gx()= x ++ 6 x + 2 là hàm s ố đồ ng bi ến khi x ≥ 5 vì 0,5 1 1 g'( x )= + >∀≥ 0, x 5 2x+ 62 x + 2 * h() x= 2 x − 13 − là hàm s ố đồ ng bi ến khi x ≥ 5 vì 1 0,5 h'() x = > 0, ∀≥x 5 2 2x − 1 Vậy khi x ≥ 5 thì g(x) và h(x) là các hàm không âm và luôn đồng bi ến, nên tích c ủa chúng là hàm s ố đồng bi ến khi x ≥ 5 hay f(x) là hàm s ố đồ ng 0,5 bi ến khi x ≥ 5 Mặt khác f (7)= ( 13 + 3).( 13 −= 3) 4 nên x = 7 là nghi ệm duy nh ất c ủa pt Gọi 2 c ạnh c ủa hình ch ữ nh ật là a và b (a>0; b>0) khi đó ta có: P = 2(a+b); S = ab và b ất đẳ ng th ức t ươ ng đươ ng: 32 ab 0,5 2(a+ b ) ≥ 2ab+ 2( a + b )2 + 8ab 0,5 ⇔a + b ≥ VI ab+ a + b + 1 (3 đ) ⇔+(aba )( + 1)( b +≥ 1) 8 ab (1) 0,5 4
5. a+ b ≥ 2 ab (2) 0,5 Áp d ụng b ất đẳ ng th ức Côsi ta có: a+1≥ 2a (3) b+1≥ 2b (4) Nhân v ế v ới v ế các b ất đẳ ng th ức (2), (3), (4) suy ra (1) đúng. V ậy b ất đẳng th ức được ch ứng minh. 0,5 Dấu “b ằng” trong (1) x ảy ra khi và ch ỉ khi đồ ng th ời có d ấu “b ằng” a= b  trong (2), (3), (4) ⇔a =1 ⇔ Hình ch ữ nh ật đã cho là hình vuông đơ n v ị 0,5  b = 1 ___Hết___ 5