Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh

Nội dung text: Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẮC NINH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN-V1 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 28/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 1(4 điểm).Cho dãy số xn xác định bởi 2 1 (nx 1) n x2 x 3 xn 1 x11 , xn ,  n 1.Đặt ynn ,  1 chứng minh dãy yn 2 1 (nx 2) n x12 x xn có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó Bài 2(4 điểm).Cho hàm số f : thỏa điều kiện fx( 2()) fy fxy ( )3(), fy  xy , 0 x a.Chứng minh f( x ) ,  x 0 2 b. Tìm tất cả hàm số fx() thỏa điều kiện Bài 3(4 điểm).Cho hình thang cân ABCD với AB//CD,AB khác CD.Gọi E là trung điểm của AC.Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt tiếp tuyến tại D của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE tại T.Chứng minh TE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE. Bài 4(4 điểm).Cho số nguyên dương n vớin 3ta viết mỗi số của tập A={1;2;3; ;n-1}bởi 1 trong hai màu đen hoặc đỏ sao cho với mọi i thuộc A ta có hai điều kiện sau 1.Hai số i và n-i được viết cùng màu 2.Hai số i và |m-i| cũng được viết cùng màu (với mọi số nguyên dương m thuộc A nguyên tố cùng nhau với n).Chứng minh tất cả các số của tập A đều được viết cùng màu Bài 5(4 điểm).Cho các số thực a,b,c>0 tìm tất cả các số thực k sao cho 3 a b c 1 k k k k b c c a a b 2 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẮC NINH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN-V2 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 29/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút
2. Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 1(6 điểm).Xét f là đa thức bậc s khác đa thức hằng với hệ số nguyên và k là số nguyên dương bất kỳ .Khi đó tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho f(n) có thể viết được dưới dạng f( n ) d1 d 2 dk 1 trong đó d1, d 2 , , dk 1 là các số nguyên thỏa mãn điều kiện1 d12 d dk n 1.Chứng minh khẳng định trên trong trường hợp s=1. 2.Chứng minh khẳng định trên trong trường hợp s>1. Bài 2(7 điểm).Cho n nguyên dương ,kí hiệu [n]={1,2,3, ,n}.Một phép thế trên tập [n] là 1 song ánh từ [n] vào chính nó .Qũy đạo của x đối với  là tập O() x x ,(), x2 (), x ,chúng ta cũng có thể biểu diễn viết 1 quỹ đạo dưới dạng m O( x ) x , ( x ), , 1 ( x ) với m là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa  m ()xx . Ví dụ với 1 2 3 4 5 6 7 n=7 và phép thế khi đó là 1 phép thế của [7] có chính xác 3 5 1 3 2 4 7 6 quỹ đạo là (1,5,4,2) ,(3) và (6,7). Kí hiệu c(n,k) là số phép thế của [n] với chính xác k quỹ đạo. 1.Chứng minh rằng các số c(n,k) thỏa quan hệ truy hồi c(n+1,k) =c(n,k-1) +n.c(n,k) 2.Đặt fn ( t ) t ( t 1)( t 2) ( t n 1)với mọi n 1.Chứng minh rằng hệ số của số hạng k nk t với trong khai triển đa thức ftm () là ( 1)c ( n , k ) 3.Gỉa sử n là số nguyên dương chẵn .Phép thế được gọi là đẹp nếu tồn tại phần tử i n thuộc {1,2, ,n} sao cho (ii 1) ( ) .Chứng minh rằng số phép thế đẹp nhiều hơn 2 số phép thế không đẹp Bài 3(7 điểm).Cho tứ giác lồi ABCD thỏa AB khác CD.Kí hiệu đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC,ADC lần lượt là 12, .Giả sử rằng tồn tại đường tròn  tiếp xúc với tia đối của tia AB,CB và cũng tiếp xúc với các đường thẳng AD,CD .Chứng minh rằng các đường tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn giao nhau trên đường tròn
3. bài BĐT của VN TST 2009 ngày 2
4. ý tưởng câu hàm b ,thêm biến z>0 như sau: thay y+2f(z), áp dụng liên tiếp đẳng thức đề bài thì ta có được f(x+y+4z)=f(x+y+z)+3f(z) (1) (em làm hơi ẩu nên có thể sai ngay chỗ này). nhận xét: với mọi t>z thì tồn tại x,y sao cho x+y+z=t, nên từ đẳng thức trên ta suy ra f(t+3z)=f(t)+3f(z) (*). từ (*) ta dễ dàng chứng mih được f(4z)=4f(z), do đó (*) đúng với mọi t,z>0. Từ (*) ta suy ra được f tăng nghiêm ngặt. Mặt khác từ dẳng thức (1) ta cũng có f(a+z)+3f(z)=f(a+4z) với mọi a,z>0. Kết hợp với đề bài ta suy ra f(a+4z)=f(a+2f(z)) với
5. mọi a,z>0. Kết hợp với f tăng nghiêm ngặt ta suy ra f(z)=2z với mọi z>0. Bài này hình như có ý tưởng giống bài hàm của imo SL 2007